实验3 信号抽样

subplot(223) plot(t1,ft,':'),hold on stem(t2,fst),grid on axis([-4 4 -0.1 1.1]) xlabel('Time(sec)'),ylabel('fs(t)') title('抽样后的信号'),hold off Fsw = Ts*fst*exp(-j*t2'*W); subplot(224) plot(W,abs(Fsw)), grid on axis([-10 10 -0.2 1.1*pi]) xlabel('\omega'),ylabel('Fs(w)') title('抽样信号的频谱')
p(t )
n


Pn e jnst P( ) 2
n
P ( n )
n s

其中， s
2 为抽样角频率， Ts 为抽样间隔。因此，抽样信号 f s (t ) 的频谱为： Ts
1 F ( ) P( ) F ( ) Pn ( ns ) Pn F ( ns ) 2 n n
( fs
s 1 1 , f m m ) 称为奈奎斯特频率，把最大允许的抽样间隔 Ts 2 2 fs 2 fm
称为奈奎斯特间隔。 （3）信号重建 抽样定理表明，当抽样间隔小于奈奎斯特间隔时，可用抽样信号 f s (t ) 唯一地 表示原信号 f (t ) ，即信号的重建。为了从频谱中无失真地恢复原信号，可采 用截止频率为 c m 的理想低通滤波器。 设理想低通滤波器的冲激响应为 h(t ) ，则 f (t ) f s (t )* h(t )
用 MATLAB 编程， 实现该信号经冲激脉冲抽样后得到的抽样信号 f s (t ) 及其频谱。 解： 升余弦脉冲信号的频谱大部分集中在 [0,

] 之间，当采用抽样间隔 Ts 1 时，
根据抽样定理，可以从抽样信号恢复出原信号。MATLAB 源程序为： Ts = 1; dt = 0.1; t1 = -4:dt:4; ft =
可获得由 f (nTs ) 重建 f (t ) 的表达式，即：
f (t ) Ts
c
n


f (nTs ) sinc[
c (t nTs )]
【例 2】对例 1 中的升余弦脉冲信号，假设其截止频率 m 2 ，抽样间隔 Ts 1 ， 采用截止频率 c 1.2m 的低通滤波器对抽样信号滤波后重建信号 f (t ) ，并计算 重建信号与原升余弦脉冲信号的绝对误差。 解：MATLAB 源程序为： wm =2; ％升余弦脉冲信号带宽 wc = 1.2*wm; ％理想低通截止频率 Ts = 1; ％抽样间隔 n = -100:100; ％时域计算点数 nTs = n *Ts; ％时域抽样点 fs = ((1+cos(nTs))/2).*(uCT(nTs+pi)-uCT(nTs-pi)); t = -4:0.1:4; ft = fs*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t)))); t1 = -4:0.1:4; f1 = ((1+cos(t1))/2).*(uCT(t1+pi)-uCT(t1-pi)); subplot(311) plot(t1,f1,':'), hold on stem(nTs,fs),grid on axis([-4 4 -0.1 1.1]) xlabel('nTs'),ylabel('f(nTs)'); title('抽样间隔Ts=1时的抽样信号f(nTs)') hold off subplot(312) plot(t,ft),grid on axis([-4 4 -0.1 1.1]) xlabel('t'),ylabel('f(t)'); title('由f(nTs)信号重建得到升余弦脉冲信号')
图 3 不满足抽样定理条件的信号的重建
3. 实验内容
（1）设有三个不同频率的正弦信号，频率分别为 f1 100Hz, f 2 200Hz,
f3 3800Hz 。现在用抽样频率 f3 3800Hz 对这三个正弦信号进行抽样，用
MATLAB 命令画出各抽样信号的波形及频谱，并分析频率混叠现象。 （2）结合抽样定理，用 MATLAB 编程实现 Sa(t ) 信号经冲激脉冲抽样后得到的 抽样信号 f s (t ) 及其频谱，并利用 f s (t ) 重构 Sa(t ) 信号。
102 以内，这是因为当选取升余弦脉冲信号带宽 m 2 时，实际上已经将很少的
高频分量忽略了。 【例 3】如果例 2 中的抽样间隔修改为 Ts 2 .5，低通滤波器的截止频率修改为
c 0.9m 。那么，从理论分析将会产生频谱混叠，则重建的信号与原来的升余
弦脉冲信号相比也会产生较大失真。按要求修改例 2 MATLAB 程序，并分析失 真的误差。 解：程序略，所得结果如图 3 所示。
n


f (nTs ) Sa[c (t nTs )]
上式表明， 连续信号可以展开为抽样函数 Sa(t ) 的无穷级数， 系数等于抽样值。 利用 MATLAB 中的函数 sinc(t )
sin( t ) t 来表示 Sa(t ) ，有 Sa(t ) sinc( ) ，所以 t


n
( n )
s

因此，冲激脉冲序列抽样后信号的频谱为：
Fs ( )
1 Ts
n
F ( n )
s
可以看出， Fs ( ) 是以 s 为周期等幅地重复。 【例 1】已知升余弦脉冲信号为 f (t )
E t [1 cos( )], 0 t ， E 1, 2 2
图 1 升余弦脉冲信号经抽样后的频谱比较 很明显，升余弦脉冲信号的频谱在抽样后发生了周期延拓，频域上该周期为
s 2 / Ts 。
（2）抽样定理 若 f (t ) 是带限信号， 带宽为 m ， 则信号 f (t ) 可以用等间隔的抽样值来唯一表 示。 f (t ) 经抽样后的频谱 Fs ( ) 就是将 f (t ) 的频谱 F ( ) 在频率轴上以抽样频率
error = abs(ft-f1); subplot(313) plot(t,error),grid on xlabel('t'),ylabel('error(t)'); title('重建信号与原升余弦脉冲信号的绝对误差')
图 2 抽样信号的重建与误差分析 程序的运行结果如图 2 所示，重建后的信号与原升余弦脉冲信号的误差在
s 为间隔进行周期延拓。 因此， 当 s 2m 时， 或者抽样间隔 Ts
2 (Ts ) 时， m s
周期延拓后频谱 Fs ( ) 不会产生频率混叠； 当 s 2m 时， 周期延拓后频谱 Fs ( ) 将 产 生 频 率 混 叠 。 通 常 把 满 足 抽 样 定 理 要 求 的 最 低 抽 样 频 率 fs 2 fm ，
4. 问题与思考
（1）通过简单计算，说明例 3 中重建信号失真的原因。 （2）说明例 2 与例 3 中 nTs 向量和 t 向量的区别。
Fs ( )
上式表明， 信号在时域被抽样后，它的频谱是原连续信号的频谱以抽样角频率为 间隔周期的延拓，即信号在时域抽样或离散化，相当于频域周期化。在频谱的周 期重复过程中，其频谱幅度受抽样脉冲序列的傅里叶加权，即被 Pn 加权。 假设抽样信号为周期冲激脉冲序列，即：
p(t )
n
(t nTs ) s
f s (t ) f (t ) p(t )
因此可以用傅里叶变换的频移卷积性质来求抽样信号 f s (t ) 的频谱。常用的抽样 脉冲序列 p(t ) 有周期矩形脉冲序列和周期冲激脉冲序列。 假设原连续信号 f (t ) 的频谱为 F ( ) ，即 f (t ) F ( ) ；抽样脉冲 p(t ) 是一个 周期信号，它的频谱为：
其中， f s (t ) f (t ) (t nTs )
n

n


f (nTs ) (t nTs ) ， h(tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ) Ts
c Sa(ct ) ，因此
f (t )
n
[ f (nT ) (t nT )]*[T
s s

c Sa(ct )] Ts c s
((1+cos(t1))/2).*(uCT(t1+pi)-uCT(t1-pi));
t2 = -4:Ts:4; fst =
((1+cos(t2))/2).*(uCT(t2+pi)-uCT(t2-pi));
subplot(221) plot(t1,ft), grid on axis([-4 4 -0.1 1.1]) xlabel('Time(sec)'),ylabel('f(t)') title('升余弦脉冲信号') N=500; k = -N:N; W = 2*pi*k/((2*N+1)*dt); Fw = dt*ft*exp(-j*t1'*W); subplot(222) plot(W,abs(Fw)), grid on axis([-10 10 -0.2 1.1*pi]) xlabel('\omega'),ylabel('F(w)') title('升余弦脉冲信号的频谱')
实验三
1. 实验目的
信号抽样
（1）学会运用 MATLAB 完成信号抽样及对抽样信号的频谱进行分析； （2）学会运用 MATLAB 改变抽样间隔，观察抽样后信号的频谱变化； （3）学会运用 MATLAB 对抽样后的信号进行重建。进一步加深对信号采样和 重建过程的理解。
2. 实验原理及实例分析
（1）信号抽样 信号抽样是连续时间信号分析向离散时间信号、连续信号处理向数字信号处 理的第一步， 广泛应用于实际的各类系统中。 所谓信号抽样， 也称为取样或采样， 就是利用抽样脉冲序列 p(t ) 从连续信号 f (t ) 中抽取一系列的离散样值， 通过抽样 过程得到的离散样值信号称为抽样信号，用 f s (t ) 表示。从数学上讲，抽样过程 就是抽样脉冲 p(t ) 和原连续信号 f (t ) 相乘的过程，即：