高一上学期期末考试数学试卷含解析 (30)
北京市房山区2023-2024学年高一上学期期末检测数学试卷含答案
房山区2023-2024学年度第一学期期末检测试卷高一数学（答案在最后）本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存.第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知()2,3A -，()4,1B -，则线段AB 中点的坐标为（）A.()3,2- B.()3,2- C.()1,1 D.()1,1--【答案】D 【解析】【分析】根据,A B 两点的坐标，利用平面向量的坐标表示计算可得结果.【详解】设线段AB 中点的坐标为(),M x y ，取()0,0O ，则()()2,3,4,1OA OB =-=-uu r uu u r；由向量的坐标表示可得2OM OA OB =+，即224,231x y =-=-+，解得1,1x y =-=-；所以线段AB 中点的坐标为()1,1--.故选：D2.某产品按质量分为甲、乙、丙三个级别，从这批产品中随机抽取一件进行检测，设“抽到甲级品”的概率为0.80，“抽到乙级品”的概率为0.15，则“抽到丙级品”的概率为（）A .0.05B.0.25C.0.8D.0.95【答案】A 【解析】【分析】根据概率之和为1求解.【详解】“抽到甲级品”，“抽到乙级品”，“抽到丙级品”是互斥事件，因为“抽到甲级品”的概率为0.80，“抽到乙级品”的概率为0.15，则“抽到丙级品”的概率为0.800.051150.-=-.故选：A3.下列四个函数中，在()0,∞+上单调递减的是（）A.y =B.2y x x =-+C.2x y =D.2log y x=-【答案】D 【解析】【分析】ACD 可根据函数图象直接判断；C 选项，配方后得到函数单调性.【详解】A 选项，y =()0,∞+上单调递增，A 错误；B 选项，221124y x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，故在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，B 错误；C 选项，2x y =在()0,∞+上单调递增，C 错误；D 选项，2log y x =在()0,∞+上单调递增，故2log y x =-在()0,∞+上单调递减，D 正确.故选：D4.设2log 0.3a =，20.3b =，0.32c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c <<B.a c b <<C.b a c <<D.b c a<<【答案】A 【解析】【分析】利用函数性质，确定与中间量0和1的大小关系即可.【详解】22log 0.3log 10a =<=,2000.30.31b <=<=,0.30221c =>=.所以a b c <<.故选：A.5.甲、乙两名射击运动员在某次测试中各射击10次，两人的测试成绩如下表：甲的成绩乙的成绩环数678910环数678910频数12421频数32113甲、乙两人成绩的平均数分别记作1x ，2x ，标准差分别记作1s ，2s ，则（）A.12x x >，12s s >B.12x x <，12s s <C.12x x >，12s s <D.12x x <，12s s >【答案】C 【解析】【分析】根据平均数、方差公式运算求解.【详解】由题意可得：()1161728492101810x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，()21637281911037.910x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，1s ==，2s =所以12x x >，12s s <.故选：C.6.如图，在ABC 中，点M ，N 满足AM MB =，3BN NC = ，则MN = （）A.1344AB AC +B.1344AB AC -C.1344AB AC-+D.1344AB AC--【答案】C 【解析】【分析】直接利用向量的几何运算求解即可.【详解】()131331242444MN MB BN AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=-.故选：C.7.在信息论中，设某随机事件发生的概率为p ，称21log p为该随机事件的自信息.若按先后顺序抛掷两枚均匀的硬币，则事件“恰好出现一次正面”的自信息为（）A.0B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】依题意计算出事件“恰好出现一次正面”的概率为12p =，代入计算可得结果.【详解】根据题意可知，按先后顺序抛掷两枚均匀的硬币共有“正正、反反、正反、反正”四种情况，则事件“恰好出现一次正面”的概率为12p =，所以“恰好出现一次正面”的自信息为221log log 21p==.故选：B8.设,a b是向量，“a ab =+”是“0b = ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据向量的运算性质结合充分条件和必要条件的判定，即可得出答案.【详解】当12a b =-时，1122a b b b b a +=-+== ，推不出0b = 当0b = 时，0b = ，则0a b a a +=+=即“a a b =+”是“0b = ”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题主要考查了判断必要不充分条件，属于中档题.9.血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是95%~100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：0()e Kt S t S =描述血氧饱和度()S t 随给氧时间t （单位：时）的变化规律，其中0S 为初始血氧饱和度，K 为参数.已知060%S =，给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（）（精确到0.1，参考数据：ln 2069ln 3110≈≈．，．）A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.9【答案】B 【解析】【分析】依据题给条件列出关于时间t 的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数.【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要1t -小时，由题意可得60e 80K =，60e 90Kt =，两边同时取自然对数并整理，得804ln ln ln 4ln 32ln 2ln 3603K ===-=-，903ln ln ln 3ln 2602Kt ===-，则ln 3ln 2 1.100.691.52ln 2ln 320.69 1.10t --=≈≈-⨯-，则给氧时间至少还需要0.5小时故选：B10.已知函数()12xf x =，()221f x x =+，()()1log 1a g x x a =>，()()20g x kx k =>，则下列结论正确的是（）A.函数()1f x 和()2f x 的图象有且只有一个公共点B.0x ∃∈R ，当0x x >时，恒有()()12g x g x >C.当2a =时，()00,x ∃∈+∞，()()1010f x g x <D.当1a k=时，方程()()12g x g x =有解【答案】D 【解析】【分析】对于A ，易知两个函数都过()0,1，结合特值和图象可得函数()1f x 和()2f x 的图像有两个公共点；对于B ，由函数的增长速度可判断；对于C ，当2a =时，作图可知x ∀∈R ，有()()11f x g x >恒成立；对于D ，当1a k =时，易知两个函数都过点1,1k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即方程()()12g x g x =有解；【详解】对于A ，指数函数()12xf x =与一次函数()221f x x =+都过()0,1，且()()121213f f =<=，()()123837f f =>=，故还会出现一个交点，如图所示，所以函数()1f x 和()2f x 的图像有两个公共点，故A 错误；对于B ，()()1log 1a g x x a =>，()()200g x kx k =>=均单调递增，由对数函数的性质可得对数函数的增长速度越来越慢，逐渐趋近0，一次函数的增长速度固定，所以不存在0x ∈R ，当0x x >时，恒有()()12g x g x >，故B 错误；对于C ，当2a =时，指数函数()12xf x =与对数函数()12log g x x =互为反函数，两函数图像关于直线y x=对称，如图所示，由图可知，x ∀∈R ，有()()11f x g x >恒成立，故C 错误；对于D ，当1a k =时，()11log k g x x =，()()20g x kx k =>，由1a >知，11k >，且两个函数都过点1,1k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即方程()()12g x g x =有解，故D 正确；故选：D【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解第二部分（非选择题共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.11.238=____________；lg 42lg 5+=___________.【答案】①.4②.2【解析】【分析】直接利用指数对数的运算性质计算即可.【详解】2223824===，()22lg 42lg 5lg 4lg 5lg 45lg1002+=+=⨯==.故答案为：4；2.12.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若(),c a b λμλμ=+∈R，则λμ+=_________.【答案】3【解析】【分析】根据题意将向量a ，b ，c坐标化，解方程即可求出2,1λμ==，可得结果.【详解】以b 的起点为坐标原点，水平向右为x 轴正方向，b的方向为y 轴负方向，建立平面直角坐标系；不妨取()1,1a = ，()0,1b =- ，()2,1c =，由(),c a b λμλμ=+∈R可得()()2,10,λλμ=+-，即可得2,1λμ==，即3λμ+=.故答案为：313.为估计某森林内松鼠的数量，使用以下方法：先随机从森林中捕捉松鼠100只，在每只松鼠的尾巴上作上记号后放回森林.再随机从森林中捕捉50只，若尾巴上有记号的松鼠共有5只，估计此森林内约有松鼠_______只.【答案】1000【解析】【分析】直接根据比例求解.【详解】估计此森林内约有松鼠5100100050÷=只.故答案为：100014.已知向量)a =，(),b x y = ，若a ，b 共线，且1b = ，则向量b的坐标可以是__________.（写出一个即可）【答案】1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭（写出一个即可）【解析】【分析】直接根据题目条件列方程组求解即可.【详解】由已知得221x x y =+=⎪⎩，解得3212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即向量b的坐标可以是1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭（写出一个即可）.15.函数()()31,1log ,1a a x x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩，若4a =，则()()2f f -=_________；若函数()f x 是(),-∞+∞上的增函数，则a 的取值范围是___________.【答案】①.0②.[)2,3【解析】【分析】（1）利用分段函数的解析式，直接求值即可；（2）函数在(),-∞+∞上递增，必须函数的每一段都递增，且1x =时，()311log 1a a -⨯-≤.【详解】（1）当4a =时，()()()234211f -=-⨯--=，()41log 10f ==.（2）因为函数在(),-∞+∞上递增，所以：()301311log 1a a a a ⎧->⎪>⎨⎪-⨯-≤⎩⇒23a ≤<.故答案为：0；[)2,316.有一组样本数据1x ，2x ，…，6x ，其中1x 是最小值，6x 是最大值，下面有四个结论：①2x ，3x ，4x ，5x 的中位数等于1x ，2x ，…，6x 的中位数；②2x ，3x ，4x ，5x 的平均数等于1x ，2x ，…，6x 的平均数；③2x ，3x ，4x ，5x 的标准差不大于1x ，2x ，…，6x 的标准差；④2x ，3x ，4x ，5x 的极差不大于1x ，2x ，…，6x 的极差.则所有正确结论的序号是____________.【答案】①③④【解析】【分析】由中位数、极差、方差的定义性质结合平均数公式逐一判断即可.【详解】由题意不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤，对于2x ，3x ，4x ，5x 的中位数和1x ，2x ，…，6x 的中位数均为342x x +，故①正确；取12345612x x x x x x =====<=，此时2x ，3x ，4x ，5x 的平均数为1，它小于1x ，2x ，…，6x 的平均数76，故②错误；对于③，2x ，3x ，4x ，5x 相比1x ，2x ，…，6x 去掉了两个极端的数，应更为稳定，故③正确；2x ，3x ，4x ，5x 的极差与1x ，2x ，…，6x 的极差满足5261x x x x -≤-，故④正确.故答案为：①③④.三、解答题共5题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.设向量a 与b不共线.（1）若()1,2a =r ，()1,1b =- ，且2a kb -与32a b - 平行，求实数k 的值；（2）若AB a b =- ，32BC a b =+，82CD a b =-- ，求证：A ，C ，D 三点共线.【答案】（1）43k =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用向量平行求待定系数；（2）证明AC CD λ=，可得A ，C ，D 三点共线.【小问1详解】()1,2a = ，()1,1b =- ，则()22,4a kb k k -=+- ，()325,4a b -=.因为2a kb - 与32a b - 平行，所以有()()42540k k +--=.解得43k =.【小问2详解】因为AB a b =- ，32BC a b =+，82CD a b =-- ，所以324AC AB BC a b a b a b =+=-++=+，所以2CD AC =- .所以AC 与CD共线，又因为有公共点C ，所以A ，C ，D 三点共线.18.一个问题，甲正确解答的概率为0.8，乙正确解答的概率为0.7.记事件:A 甲正确解答，事件:B 乙正确解答.假设事件A 与B 相互独立.（1）求恰有一人正确解答问题的概率；（2）某同学解“求该问题被正确解答的概率”的过程如下：解：“该问题被正确解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正确解答了问题”，所以随机事件“问题被正确解答”可以表示为A B +.所以()()()0.80.7 1.5P A B P A P B +=+=+=.请你指出这位同学错误的原因，并给出正确解答过程.【答案】（1）0.38（2）答案见解析【解析】【分析】（1）分析可知，事件“恰有一人正确解答”可表示为AB AB +，利用互斥事件和独立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）指出该同学作答的错误之处，分析可知，“问题被解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正确解答了问题”，可以表示为AB AB AB ++，利用互斥事件和独立事件的概率公式可求得所求事件的概率，或利用对立事件和独立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【小问1详解】解：事件“恰有一人正确解答”可表示为AB AB +，因为AB 、AB 互斥，A 与B 相互独立，所以()()()()()()()P AB AB P AB P AB P A P B P A P B +=+=+0.20.70.80.30.38=⨯+⨯=.【小问2详解】解：该同学错误在于事件A 、B 不互斥，而用了互斥事件的概率加法公式.正确的解答过程如下：“问题被解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正确解答了问题”，可以表示为AB AB AB ++，且AB 、AB 、AB 两两互斥，A 与B 相互独立，所以()()()()P AB AB AB P AB P AB P AB ++=++()()()()()()0.20.70.80.30.80.70.94P A P B P A P B P A P B =++=⨯+⨯+⨯=.或者()()()()11P A B P AB P A P B +=-=-()()110.810.70.94=---=.19.已知函数()()()33log 2log 2f x x x =++-.（1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性，并证明；（3）解关于x 的不等式()1f x ≥.【答案】（1）()2,2-（2）函数()f x 是定义在()2,2-上的偶函数，证明见解析（3）{}11x x -≤≤【解析】【分析】（1）根据对数函数定义域求法可得()f x 的定义域为()2,2-；（2）利用定义域关于原点对称，由奇偶性定义可得()f x 为偶函数；（3）由对数函数单调性解不等式即可得不等式()1f x ≥的解集为{}11x x -≤≤.【小问1详解】由题意可得2020x x +>⎧⎨->⎩，解得22x -<<.所以函数()f x 的定义域为()2,2-.【小问2详解】偶函数，证明如下：函数()f x 的定义域为()2,2-，关于原点对称.因为()()()33log 2log 2f x x x =++-，所以()()()()33log 2log 2f x x x f x -=-++=.即函数()f x 是定义在()2,2-上的偶函数.【小问3详解】由()()()()2333log 2log 2log 4f x x x x=++-=-，得()23log 41x -≥，即()233log 4log 3x -≥.因为3log y x =在()0,∞+是增函数，所以243x -≥.解得11x -≤≤，因为函数()f x 的定义域为()2,2-.因此不等式()1f x ≥的解集为{}11x x -≤≤.20.某校为了调查学生的体育锻炼情况，从全校学生中随机抽取100名学生，将他们的周平均锻炼时间（单位：小时）数据按照[)3,5，[)5,7，[)7,9，[)9,11，[]11,13分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求a 的值；（2）用分层抽样的方法从[)9,11和[]11,13两组中抽取了6人.求从这6人中随机选出2人，这2人不在同一组的概率；（3）假设同组中的每个数据用该区间的中点值代替，试估计全校学生周平均锻炼时间的平均数.【答案】（1）0.15a =（2）815（3）7.92小时【解析】【分析】（1）由频率分布直方图所有矩形的面积之和为1计算可得0.15a =;（2）列举出从6人中随机选出2人的所有情况，再求得2人不在同一组的情况，即可求得其概率；（3）由频率分布直方图计算平均数公式代入计算即可求得结果.【小问1详解】因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为1，易知组距为2，所以()0.020.050.10.1821a ++++⨯=，解得0.15a =.【小问2详解】由频率分布直方图可知[)9,11和[]11,13两组的频数的比为0.1:0.052:1=所以利用分层抽样的方法抽取6人，这两组被抽取的人数分别为4，2，记[)9,11中的4人为1a ，2a ，3a ，4a ，[]11,13中的2人为1b ，2b ，从这6人中随机选出2人，则样本空间{}121314232434111221223132414212,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a a a a a a a b a b a b a b a b a b a b a b b b Ω=，共15个样本点设事件A ：选出的2人不在同一组，{}1112212231324142,,,,,,,A a b a b a b a b a b a b a b a b =，共8个样本点，所以()815P A =【小问3详解】()40.0260.1880.15100.1120.0527.92⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=估计全校学生周平均锻炼时间的平均数为7.92小时21.若0M ∃>，对x D ∀∈，都有()f x M ≤成立，则称函数()f x 在D 上具有性质()J M .（1）分别判断函数()221x x f x -=-+与()11x g x x +=-在区间[)2,+∞上是否具有性质()J M ，如果具有性质()J M ，写出M 的取值范围；（2）若函数()124x x h x a +=⋅-在[]0,1上具有性质()1J ，求实数a 的取值范围.【答案】21.详见解析；22.3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）根据题意结合调性与最值分析判断；（2）令[]21,2xt =∈，由题意可得对[]1,2t ∀∈，都有2121at t --≤≤.方法1：利用参变分类结合恒成立问题分析求解；方法2：先取特值1,2，求得314a ≤≤，进而根据二次函数分析求解；方法3：分类讨论二次函数对称轴与区间的关系，结合恒成立问题分析求解.【小问1详解】因为2x y =在[)2,+∞上是单调递增的函数，2xy -=在[)2,+∞上是单调递减的函数，则()221x x f x -=-+在[)2,+∞上是单调递增的函数，可得()()19204f x f =>≥，任意0M >，当2logx >()221x x f x M -=-+>，所以函数()221x x f x -=-+在区间[)2,+∞上不具有性质()J M .因为()11221111x x g x x x x +-+===+---在区间[)2,+∞上单调递减，由[)2,x ∞∈+可得[)11,x -∈+∞，则(]10,11x ∈-，所以()(]1,3g x ∈，所以3M ∃=，对[)2,x ∀∈+∞，()3≤g x ，即函数()g x 在区间[)2,+∞上具有性质()J M ，且M 的取值范围是[)3,+∞.【小问2详解】因为函数()124x x h x a +=⋅-在[]0,1上具有性质()1J ，即对[]0,1x ∀∈，都有()11h x -≤≤，且()()2124222x x x xh x a a +=⋅-=⋅-，令[]21,2x t =∈，可得对[]1,2t ∀∈，都有2121at t --≤≤，方法1：[]1,2t ∀∈，都有111122t a t t t ⎛⎫⎛⎫-≤≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()122t m t t=-，()112n t t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得()max a m t ≥，()min a n t ≤，因为()m t 在区间[]1,2上单调递增，()n t 在区间[]1,2上单调递增.则()()max 324m t m ==，()()min 11n t n ==.可得314a ≤≤，所以a 的取值范围为3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦.方法2：对[]1,2t ∀∈，都有2121at t --≤≤，可得12111441a a -≤-≤⎧⎨-≤-≤⎩，解得314a ≤≤，若314a ≤≤，函数()22F t t at =-+的对称轴为1t a =≤，则()22F t at t =-在[]1,2t ∈上单调递减，所以()()21112121F at t F ⎧≤⎪-≤-≤⇔⎨≥-⎪⎩，即314a ≤≤，所以a 的取值范围为3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦.方法3：函数()22F t t at =-+的对称轴为t a =，以对称轴与区间的关系分1a ≤，12a <<，2a ≥三种情况.（i ）当1a ≤时，12111441a a -≤-≤⎧⎨-≤-≤⎩，解得314a ≤≤；（ⅱ）当2a ≥时，12111441a a -≤-≤⎧⎨-≤-≤⎩，不合题意，舍去；（ⅲ）当12a <<时，2212111441121a a a a -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-≤-≤⎩，不合题意，舍去；综上所述：a 的取值范围为3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。
2022-2023学年湖北省襄阳市襄州第一高一年级上册学期期末考试数学试卷【含答案】
襄州第一高级中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学解析版一，单选题1.如图所示的时钟显示的时刻为，此时时针与分针的夹角为则4:30()0ααπ<≤( )α=A.B. C. D. 2π4π8π16π答案B 解：由图可知，. 故选B ．1284παπ=⨯=2.已知，若，则的化简结果是( )()f x =,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()sin sin f f x α--A. B. C. D.2tan α-2tan α2cos α-2cos α答案A .解：，若，()f x =,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则.()()cos cos sin sin 2tan 1sin 1sin f f x αααααα---==+=--+3.已知函数，在上恰有3条对称轴，3个对称中心，()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭(),0π-则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 1710,63⎛⎤ ⎥⎝⎦1710,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭71,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭71,36⎛⎤ ⎥⎝⎦答案A 解：函数，当时,所以()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭(),0x π∈- ，因为在上恰有3条对称轴，3个对称中心，333x πππωπω-+<+<()f x (),0π-所以. 故选A.5171033263πππωπω-≤-+<-⇒<≤4.若函数的定义域为（ ）()f x =+()21f x -A.B. C. D. ()0,2[)(]2,00,2-⋃[]2,2-[]0,2答案C 解：由,解得，则()f x =+3010x x -≥⎧⎨+≥⎩13x -≤≤中，令 , 解得 , 则函数的定义域为()21f x -2113x -≤-≤22x -≤≤()21f x -,故选C.[]2,2-5.若函数在上有最小值（为常数）()(32log 1f x ax b x =++(),0-∞5-,a b 则函数在上（ ）()f x ()0,+∞A.有最大值4 B.有最大值7 C.有最大值5 D.有最小值5答案B 解：考虑函数,定义域为R,()(32log gx ax b x =++()(32log g x ax bx -=-+-，(()3322log log ax b ax b x g x =-+=--+=-所以是奇函数，()(32log g x ax b x=++函数在上有最小值-5，()(32log 1f x ax b x =+++(),0-∞则在上有最小值，()(32log g x ax b x =++(),0-∞根据奇函数的性质得：在上有最大值6，()(32log g x ax b x =++()0,+∞所以在上有最大值7.故选：B.()(32log 1f x ax b x =+++()0,+∞6.定义:正割，余割.已知为正实数，且1sec cos αα=1csc sin αα=m 对任意的实数均成立，则的最小值为22csc tan 15m x x ⋅+≥,2x x k k Z ππ⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭m A.1 B.4C.8D.9答案D 解：由已知得，即．因为222sin 15sin cos m x x x +≥422sin 15sin cos x m x x ≥-，所以，则,2x k k Zππ≠+∈(]2cos 0,1x ∈()()224242222221cos sin 12cos cos 15sin 151cos 1515cos cos cos cos x x x x x x x x x x--+-=--=--422221cos 11515cos 21716cos 179cos cos x x x x x +⎛⎫=-+-=-+≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当时等号成立，故m≥9．故选：D ．21cos 4x =7.1626年，阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号：、、（正割），1675年，sin tan sec 英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：、、（余割），但直到1748年，cos cot csc 经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中，若1sec cos αα=1csc sin αα=，且，则( )()0,απ∈111sec csc 5αα+=tan α=A.B.A.B. C.或 D.不存在34-43-34-43-答案B 解：由，得，又,111sec csc 5αα+=1sin cos 5αα+=22sin cos 1αα+=，()0,απ∈联立解得（舍）或，∴．故选B ．3sin 54cos 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩sin 4tan cos 3ααα==-8.已知关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是x 20x x m ++=()1,2m A.B. C. D. []6,2--()6,2--(][),62,-∞-⋃-+∞()(),62,-∞-⋃-+∞答案B 解：因为在上单调递增，且的图象是连续不断的， 要使关于()f x ()1,2()f x 的方程在区间内有实根必有f （1）=1+1+m ＜0且f （2）x 20x x m ++=()1,2=4+2+m ＞0，解得-6＜m ＜-2．故选：B ．9.已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数．设()f x R ()1f x -()1f x -，则（）()21f -=()2f =A.-D.-B.1C.2D.-2答案A 解:因为为奇函数,所以=,所以的图象关于点(1,0)对()1f x -()1f x -()1f x --()f x 称. 因为为偶函数,所以f(-x-1)=f(x-1),即f(-1-x)=f(-1+x), 所以f(x)的图象()1f x -关于直线x=-1对称. 则有f(-2)=f(0)=-f(2)=1,即f(2)=-1. 故选A. 10.定义在上的函数满足，，且当R ()f x ()()4f x f x =-()()0f x f x +-=时，，则方程所有的根之和为（ ）[]0,2x ∈()3538f x x x =+()240f x x -+=A.44 B.40C.36D.32 答案A 解：因为，①所以的对称轴为x=2，因为()()4f x f x =-()f x ，②所以为奇函数，由②可得f （x ）=-f （-x ），由①可得-f （-()()0f x f x +-=()f x x ）=f （4-x ），令t=-x, 所以-f （t ）=f （4+t ），所以f （8+t ）=-f （4+t ）=-[-f （t ）]=f （t ），所以函数的周期为T=8，又当x∈[0，2]时,，作出()f x ()3538f x x x =+的函数图象如下：()f x方程所有的根为方的根，函数与函数()240f x x -+=()()142f x x =-()f x 都过点（4，0），且关于（4，0）对称，所以方程所有的()122y x =-()240f x x -+=根的和为5×8+4=44，故选：A ．根据题意可得f （x ）的对称轴为x=2，为奇函数，()f x 进而可得的周期，作出函数的图像，方程所有的根为方程()f x ()f x ()240f x x -+=的根，函数与函数都过点（4，0），且关于（4，0）()()142f x x =-()f x ()122y x =-对称，由对称性，即可得出答案．11.已知函数，则实数根的个数为( )ln ,0()1,0xx x f x e x -⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩()()22f x f x += A. B. C. D.答案A 解：作出f(x)的图象：若，则f(x)=-2或f(x)=1，由图象可知y=f(x)与y=-2没有交点，()()22f x f x +=y=f(x)与y=1有2个交点，故实数根的个数为2，故选A.()()22f x f x +=二，多选题12（多选）.已知正实数，满足，则（ ）,x y 450x y xy ++-=A. 的最大值为1 B. 的最小值为4xy 4x y +C. 的最小值为1 D.的最x y +()()2241x y +++小值为18答案AB 解：因为，，可得450x y xy ++-=4x y xy xy ++≥+，所以，解得，当且仅当250+-≤)510+≤01xy <≤时取等号，即的最大值为1，故A 正确；4x y =xy 因为，所以()211445444442x y x y xy x y x y x y +⎛⎫++==++⋅≤++ ⎪⎝⎭,解得, 当且仅当x=4y 时，取等号，即x+4y()()24164800x y x y +++-≥44x y +≥的最小值为4，故B 正确；由可解得，所以450x y xy ++-=941x y =-+，当且仅当取等号，即915511x y y y +=++-≥-=+911y y =++,故C 错误；,2,1y x ==-()()()()222299411211811x y y y y y ⎛⎫+++=++≥⋅+= ⎪++⎝⎭当且仅当，取等号，即故D 错误；故选：AB ．911y y =++2,1y x ==-13（多选）.下列命题正确的是( )A.第一象限的角都是锐角B.小于的角是锐角2πC. 是第三象限的角D.钝角是第二象限角2019o答案CD 解：A ．当α=390°时，位于第一象限，但α=390°不是锐角，故A 错误，B ．，但不是锐角，故B 错误， C.2019°=5×360°+219°，∵219°是第62ππα=-<α三象限角，∴2019°是第三象限的角，故C 正确， D ．因为钝角大于90°小于180°，即钝角是第二象限角，故D 正确.14（多选）.以下式子符号为正号的有（）A.B.()tan 485sin 447oo-5411sincos tan 456πππC.D.()tan188cos 55oo -2913costan 662sin3πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭答案ACD 解：A.因为是第二象限角，故tan485°<0，485360125o o o=+A,因为是第四象限角，故sin （－447°） <0，所以tan485°447720273o-=-+ sin （－447°）>0，故A 正确；B,因为是第三象限角，所以,因为是第二象限角，所以；因54π5sin 04π<45π4cos 05π<为是第四象限角所以，所以,故B 错误；116π11tan 06π<5sin 4π4cos 5π11tan 06π<C.因为是第三象限角，故，因为是第四象限角，故，188otan1880o>55o-()cos 550o ->故，故C 正确； D.因为是第二象限角，所以()tan1880cos 55oo>-295466πππ=+，因为是第四象限角，所以，因为是第29cos 06π<13266πππ-=--13tan 06π-<23π二象限角，所以，所以，故正确. 故选ACD.2sin03π>2913costan 6602sin3πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭>15.（多选）已知，，则（ ）()0,θπ∈1sin cos 5θθ+=A.B.C.D. ,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3cos 5θ=-3tan 4θ=-7sin cos 5θθ-=答案：ABD解：∵,∴两边平方得：,，1sin cos 5θθ+=112sin cos 25θθ+⋅=12sin cos 25θθ∴=-与异号,又∵,∴θ∈，∴，∴sin θ∴cos θ()0,θπ∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭sin cos θθ>,∴，又∵，∴()249sin cos 12sin cos 25θθθθ-=-=7sin cos 5θθ-=1sin cos 5θθ+=,，故选ABD.4sin 5θ=3cos 5θ=-4tan 3θ=-16.在平面直角坐标系中，点，，xoy ()1cos ,sin P αα2cos ,sin 33P ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）3cos ,sin 66P ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A.线段与的长均为1 B.线段的长为11OP 3OP 23P PC.当时，点关于轴对称 D.当时，点关于轴对称3πα=12,PP y 1312πα=13,PP x 答案ACD解：由题意可得，同理可得，21OP ==31OP =故A 正确；由题意得，由勾股定理得，故B 错误；当23362P OP πππ∠=+=23P P =时，即，即，点3πα=1cos ,sin 33P ππ⎛⎫⎪⎝⎭112P ⎛ ⎝222cos ,sin 33P ππ⎛⎫⎪⎝⎭112P ⎛- ⎝关于轴对称，故C 正确；当时，，12,P P y 1312πα=31313cos ,sin 126126P ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即，即3cos ,sin 1212P ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭11313cos ,sin 1212P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭1cos ,sin 1212P ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故点关于轴对称，故D 正确. 故选:ACD.13,P P x 17.函数的图象可能是（ ）()()af x x a R x =-∈A. B. C. D.答案ACD 解：①当a=0时,,选项A 符合；()f x x=当时0a ≠(),0,0a x x xf x a x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩②当a>0时，当x>0时，为对勾函数的一部分,()af x x x =+当x<0时,单调递减,选项B 不符合，选项D 符合，故D 有可能；()af x x x =-+③当a<0时,当x>0时单调递增, 当x<0时,()a f x x x =+()a a f x x x x x -⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭其中（x ＜0）为对勾函数第三象限的一部分，()af x x x -=+则x ＜0时的图象位于第二象限, 选项C 符合；可知选项B 中图象不是()a f x x x -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭函数f(x)的图象.18（多选）.给出下列四个命题，其中正确的命题有（）A.函数的图象关于点对称tan y x =(),02k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B.函数是最小正周期为的周期函数sin y x=πC. 为第二象限的角，且，则.θcos tan θθ>sin cos θθ>D.函数的最小值为2cos sin y x x =+1-答案AD 解：对于A ：函数的图象关于点对称，故A 正确；tan y x =(),02k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭对于B ：函数=，图象关于y 轴对称，不是周期函数，故B 错误；sin y x =sin ,0sin ,0x x x x ≥⎧⎨-<⎩对于C ：由为第二象限的角,得,由,得,故tan sin θθ>cos tan θθ>sin cos θθ<C 错误;对于D ：函数当时，22215cos sin sin sin 1sin ,24y x x x x x ⎛⎫=+=-++=--+ ⎪⎝⎭sin 1x =-函数的最小值为-1，故D 正确．故选：AD ．19（多选）.一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍()f x [],a b [],ka kb k 跟随区间”；若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”[],a b [],a b [],a b ()f x 下列结论正确的是( )A.若为的“跟随区间”，则[]1,b ()222f x x x =-+2b =B.函数存在“跟随区间”()11f x x =+C.若函数“跟随区间”，则()f x m =1,04m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦D.二次函数存在“3倍跟随区间”()212f x x x=-+答案AD 解：对于A ，若为的跟随区间，[]1,b ()222f x x x =-+因为在区间上单调递增, 故函数在区间的值域为()222f x x x =-+[]1,b ()f x []1,b .根据题意有，解得，因为，故21,22b b ⎡⎤-+⎣⎦222b b b -+=12b b ==或12b b >=或A 正确；对于B ，由题意，因为函数在区间上均单调递减，()11f x x =+()(),0,0,-∞+∞故若存在跟随区间，则或，()11f x x =+[],a b 0a b <<0a b <<则有，即，得，与或矛盾，1111a b b a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩11ab b ab a =+⎧⎨=+⎩a b =0a b <<0a b <<故函数不存在跟随区间，B 不正确；()11f x x =+对于C ，若函数存在跟随区间，因为为减函数，()f x m =-[],a b()f x m =故由跟随区间的定义可知 ,，b m a b a m ⎧=-⎪⇒-=⎨=-⎪⎩a b <即，()()()11a b a b a b-=+-+=-因为，易得，ab <1=01≤<≤所以，(1a m m =-=-即，同理可得，10am +-=10b m +-=转化为方程在区间上有两个不相等的实数根，20t t m --=[]0,1故，解得，故C 不正确；1400m m +>⎧⎨-≥⎩1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦对于D ，若存在“3倍跟随区间”, 则可设定义域为,值域为()212f x x x =-+[],a b, 当时,易得在区间上单调递增，[]3,3a b 1a b <≤()212f x x x =-+[],a b 此时易得a,b 为方程的两根，解得x=0或x=-4，2132x x x-+=故存在定义域[-4，0]，使得的值域为[-12,0]，故D 正确. 故选AD.()212f x x x=-+三，填空题20.已知，且，则____.答案：()1sin 533o α-=27090o o α-<<-()sin 37oα+=解：，又，所以()()()sin 37sin 9053cos 53o oo ααα⎡⎤+=--=-⎣⎦27090α-<<-,又，所以，所以14353323o α<-< ()1sin 5303o α-=>14353180o α<-< 为负值，所以。
山东省潍坊市高一上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则集合A ，B 的关系是（ ） {}N A x y x =∈{}4,3,2,1B =A ． B ． C ．D ．B A ⊆A B =B A ∈A B ⊆【答案】A【分析】计算得到，据此得到集合的关系.{}0,1,2,3,4A =【详解】，，故错误； {}{N}0,1,2,3,4A xy x ==∈=∣{}4,3,2,1B =A B =集合中元素都是集合元素，故正确；B A B A ⊆是两个集合，不能用“”表示它们之间的关系，故错误；A B ，∈B A ∈集合中元素存在不属于集合的元素，故错误. A B A B ⊆故选：A2．函数的定义域为（ ）()()2ln 2f x x x =-A ． B ． (,0)(2,)-∞+∞ (,0][2,)-∞⋃+∞C ． D ．()0,2[]0,2【答案】C【分析】根据对数型函数的定义域运算求解. 【详解】令，解得，220x x ->02x <<故函数的定义域为.()()2ln 2f x x x =-()0,2故选：C.3．命题“，”的否定形式是（ ） 2x ∀>240x -≠A ．， B ．， 2x ∃>240x -≠2x ∀≤240x -=C ．， D ．，2x ∃>240x -=2x ∃≤240x -=【答案】C【分析】根据全称命题的否定形式可直接得到结果.【详解】由全称命题的否定可知：原命题的否定为，. 2x ∃>240x -=故选：C.4．已知，，，则（ ） 0.13a =30.3b =0.2log 3c =A ． B ．C ．D ．a b c <<c b a <<b a c <<c<a<b 【答案】B【分析】根据指数函数和对数函数单调性，结合临界值即可判断出结果.0,1【详解】，.3000.10.20.2log 3log 100.30.3133<=<<==< c b a ∴<<故选：B.5．某市四区夜市地摊的摊位数和食品摊位比例分别如图、图所示，为提升夜市消费品质，现用12分层抽样的方法抽取的摊位进行调查分析，则抽取的样本容量与区被抽取的食品摊位数分别6%A 为（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，21024210272522425227【答案】D【分析】根据分层抽样原则，结合统计图表直接计算即可.【详解】根据分层抽样原则知：抽取的样本容量为；()1000800100014006%252+++⨯=区抽取的食品摊位数为.A 10006%0.4527⨯⨯=故选：D.6．小刚参与一种答题游戏，需要解答A ，B ，C 三道题．已知他答对这三道题的概率分别为a ，a ，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为1214（ ） A ． B ．C ．D ．12131415【答案】C【分析】记小刚解答A ，B ，C 三道题正确分别为事件D ，E ，F ，并利用D ，E ，F 构造相应的事件，根据概率加法公式与乘法公式求解相应事件的概率.【详解】记小刚解答A ，B ，C 三道题正确分别为事件D ，E ，F ，且D ，E ，F 相互独立， 且. ()()()1,2P D P E a P F ===恰好能答对两道题为事件，且两两互斥， DEF DEF DEF ++DEF DEF DEF ，，所以()()()()P DEF DEF DEF P DEF P DEF P DEF ++=++()()()()()()()()()P D P E P F P D P E P F P D P E P F =++，()()11111112224a a a a a a ⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪⎝⎭整理得，他三道题都答错为事件，()2112a -=DEF 故.()()()()()()22111111224P DEF P D P E P F a a ⎛⎫==--=-= ⎪⎝⎭故选：C.7．定义在上的奇函数满足：对任意的，，有，且R ()f x ()12,0,x x ∈+∞12x x <()()21f x f x >，则不等式的解集是（ ） ()10f =()0f x >A ． B ． ()1,1-()()1,01,-⋃+∞C ． D ．()(),10,1-∞-⋃()(),11,-∞-⋃+∞【答案】B【分析】根据单调性定义和奇函数性质可确定的单调性，结合可得不等式()f x ()()110f f -=-=的解集.【详解】对任意的，，有， ()12,0,x x ∈+∞12x x <()()21f x f x >在上单调递增，又定义域为，， ()f x \()0,∞+()f x R ()10f =在上单调递增，且，；()f x \(),0∞-()()110f f -=-=()00f =则当或时，， 10x -<<1x >()0f x >即不等式的解集为. ()0f x >()()1,01,-⋃+∞故选：B.8．已知函数，若函数有七个不同的零点，()11,02ln ,0x x f x x x +⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩()()()()24433g x f x t f x t =-+⎤⎦+⎡⎣则实数t 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭{}10,12⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】先以为整体分析可得：和共有7个不同的根，再结合的图象()f x ()34f x =()f x t =()f x 分析求解.【详解】令，解得或， ()()()()244330g x f x t f x t =-+⎦+⎤⎣=⎡()34f x =()f x t =作出函数的图象，如图所示，()y f x =与有4个交点，即方程有4个不相等的实根，()y f x =34y =()34f x =由题意可得：方程有3个不相等的实根，即与有3个交点， ()f x t =()y f x =y t =故实数t 的取值范围是.{}10,12⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭故选：D.【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法（1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解． （2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解．二、多选题9．下列说法正确的是（ ） A ．的最小值为 B ．无最小值 ()4f x x x=+4()4f x x x=+C ．的最大值为D ．无最大值()()3f x x x =-94()()3f x x x =-【答案】BC【分析】结合基本不等式和二次函数性质依次判断各个选项即可.【详解】对于AB ，当时，（当且仅当时取等号）； 0x >44x x +≥=2x =当时，（当且仅当时取等号）， 0x <()444x x x x ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2x =-的值域为，无最小值，A 错误，B 正确； ()4f x x x∴=+(][),44,-∞-⋃+∞对于CD ，，()()22393324f x x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭当时，取得最大值，最大值为，C 正确，D 错误. ∴32x =()f x 94故选：BC.10．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（ ） (0,)+∞A ． B ．C ．D ．y x =||e x y =-12log y x =13y x -=【答案】BC【分析】A 选项不满足单调性；D 不满足奇偶性，B 、C 选项均为偶函数且在上单调递减正(0,)+∞确.【详解】在上单调递增，A 选项错误；y x =()0,∞+，故为偶函数，当时为单调递减函数，B()e ,)()e (xxf x f x f x =--==-||e x y =-()0,x ∈+∞e x y =-选项正确；，故为偶函数，当时为单调递1122()()log ,log ()g g g x x x x x =-==12log y x =()0,x ∈+∞12log y x =减函数，C 选项正确；是奇函数，D 选项错误. 13y x -=故选：BC11．如图，已知正方体顶点处有一质点Q ，点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的1111ABCD A B C D -某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q 的初始位置位于点A 处，记点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为，则下列n P 说法正确的是（ ）A ．B ． 123P =259P =C ．D ．点Q 移动4次后恰好位于点的概率为012133n n P P +=+1C 【答案】ABD【分析】根据题意找出在下或上底面时，随机移动一次仍在原底面及另一底面的概率即可逐步分Q 析计算确定各选项的正误.【详解】依题意，每一个顶点由3个相邻的点，其中两个在同一底面.所以当点在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为：， Q 23在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为：，13所以，故A 选项正确； 123P =对于B ：，故B 选项正确；22211533339P =⨯+⨯=对于C ：，故C 选项错误； ()1211113333n n n n P P P P +=+-=+对于D ：点由点移动到点处至少需要3次， Q A 1C 任意折返都需要2次移动，所以移动4次后不可能 到达点，所以点Q 移动4次后恰好位于点的概率为0. 1C 1C 故D 选项正确； 故选：ABD.12．已知实数a ，b 满足，，则（ ） 22a a +=22log 1b b +=A ． B ． C ． D ．22a b +=102a <<122a b->5384b <<【答案】ACD【分析】构建，根据单调性结合零点存在性定理可得，再利用指对数互()22xf x x =+-13,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭化结合不等式性质、函数单调性分析判断. 【详解】对B ：∵，则，22a a +=220a a +-=构建，则在上单调递增，且，()22xf x x =+-()f x R 3413350,202244f f ⎛⎫⎛⎫=<=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故在上有且仅有一个零点，B 错误；()f x R 13,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对A ：∵，则， 22log 1b b +=222log 20b b +-=令，则，即，22log t b =22t b =220t t +-=∴，即，故，A 正确； 2lo 2g a t b ==22a b =22a b +=对D ：∵，则，D 正确； 22a b +=253,284a b -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭对C ：∵，且在上单调递增， 23211224a a ab a ---=-=>->-2x y =R ∴，C 正确. 11222a b-->=故选：ACD.【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，则方程解的个数即为零点的个数．（2）零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a ，b ]上是连续的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．（3）数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．三、填空题13．已知一元二次方程的两根分别为和，则______． 22340x x +-=1x 2x 1211x x +=【答案】## 340.75【分析】利用韦达定理可直接求得结果.【详解】由韦达定理知：，，. 1232x x +=-122x x =-1212121134x x x x x x +∴+==故答案为：. 3414．已知函数（且）的图象恒过定点M ，则点M 的坐标为______．1log (2)3a y x =-+0a >1a ≠【答案】13,3⎛⎫⎪⎝⎭【分析】函数存在参数，当时所求出的横纵坐标即是定点坐标． log (2)0a x -=【详解】令，解得，此时，故定点坐标为． log (2)0a x -=3x =13y =13,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为：13,3⎛⎫⎪⎝⎭15．将一组正数，，，…，的平均数和方差分别记为与，若，1x 2x 3x 10x x 2s 10214500i i x ==∑250s =，则______． x =【答案】20【分析】列出方差公式，代入数据，即可求解.【详解】由题意得，()10221110i i s x x ==-∑， 102211105010i i x x =⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑代入数据得，， ()214500105010x -=解得.20x =故答案为：2016．已知两条直线：和：，直线，分别与函数的图象相交1l 1y m =+2l ()221y m m =+>-1l 2l 2x y =于点A ，B ，点A ，B 在x 轴上的投影分别为C ，D ，当m 变化时，的最小值为______． CD【答案】()2log 2-【分析】分别求出直线，与函数的图象交点的横坐标，再根据对数运算与基本不等式求1l 2l 2x y =最值.【详解】由与函数相交得，解得，所以，1y m =+2x y =21x m =+()2log 1x m =+()()2log 1,0C m +同理可得，()()22log 2,0D m +所以，()()222222log 2log 1log 1m CD m m m +=+-+=+令，()2231211m g m m m m +==++-++因为， 所以,当且仅当时取最小值. 1m >-()31221g m m m =++-≥-+1m =所以 ()()22min log 2log 2CD ==所以的最小值为. CD ()2log 2-故答案为:()2log 2【点睛】利用基本不等式求最值时要注意成立的条件，一正二定三相等，遇到非正可通过提取负号转化为正的；没有定值时可对式子变形得到积定或和定再用基本不等式；取不到等号时可借助于函数的单调性求最值.四、解答题17．设全集，已知集合，． U =R {}11A x a x a =-+≤≤+401x B xx -⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭(1)若，求；3a =A B ⋃(2)若，求实数a 的取值范围． A B ⋂=∅【答案】(1)或；{1x x <}2x ≥(2). 23a ≤≤【分析】（1）由已知解出集合A ，B ，根据并集的运算即可得出答案； （2）若，根据集合间关系列出不等式，即可求出实数a 的取值范围. A B ⋂=∅【详解】（1）当，， 3a ={}24A x x =≤≤由得，所以或， 401x x ->-(4)(1)0x x -->{1B x x =<}4x >或；{1A B x x ∴⋃=<}2x ≥（2）已知， {}11A x a x a =-+≤≤+由（1）知或， {1B x x =<}4x >因为，且， A B ⋂=∅B ≠∅∴且， 11a -+≥14a +≤解得，23a ≤≤所以实数a 的取值范围为.23a ≤≤18．已知函数．()22f x x ax a =-+(1)若的解集为，求实数的取值范围； ()0f x ≥R a (2)当时，解关于的不等式． 3a ≠-x ()()43f x a a x >-+【答案】(1) []0,1(2)答案见解析【分析】（1）由一元二次不等式在上恒成立可得，由此可解得结果；R 0∆≤（2）将所求不等式化为，分别在和的情况下解不等式即可. ()()30x x a +->3a >-3a <-【详解】（1）由题意知：在上恒成立，，解得：， 220x ax a -+≥R 2440a a ∴∆=-≤01a ≤≤即实数的取值范围为.a []0,1（2）由得：；()()43f x a a x >-+()()()23330x a x a x x a +--=+->当时，的解为或； 3a >-()()30x x a +->3x <-x a >当时，的解为或；3a <-()()30x x a +->x a <3x >-综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为3a >-()(),3,a -∞-+∞ 3a <-.()(),3,a -∞-+∞ 19．受疫情影响年下半年多地又陆续开启“线上教学模式”．某机构经过调查发现学生的上课2022注意力指数与听课时间（单位：）之间满足如下关系：()f t t min ，其中，且．已知在区间上的最大()()224,016log 889,1645a mt mt n t f t t t ⎧-++≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩0m >0a >1a ≠()y f t =[)0,16值为，最小值为，且的图象过点． 8870()y f t =()16,86(1)试求的函数关系式；()y f t =(2)若注意力指数大于等于时听课效果最佳，则教师在什么时间段内安排核心内容，能使学生听85课效果最佳？请说明理由．【答案】(1) ()()2121370,0168log 889,1645t t t f t t t ⎧-++≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩(2)教师在内安排核心内容，能使学生听课效果最佳1224t ⎡⎤∈-⎣⎦【分析】（1）根据二次函数最值和函数所过点可构造不等式求得的值，由此可得； ,,m n a ()f x （2）分别在和的情况下，由可解不等式求得结果.016t ≤<1645t ≤≤()85f t ≥【详解】（1）当时，，[)0,16t ∈()()()222412144f t m t t n m t m n =--+=--++，解得：； ()()()()max min 1214488070f t f m n f t f n ⎧==+=⎪∴⎨===⎪⎩1870m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩又，，解得：， ()16log 88986a f =+=log 83a ∴=-12a =.()()2121370,0168log 889,1645t t t f t t t ⎧-++≤<⎪∴=⎨-+≤≤⎪⎩（2）当时，令，解得：；16t ≤<21370858t t -++≥1216t -≤<当时，令，解得：；1645t ≤≤()12log 88985t -+≥1624t ≤≤教师在内安排核心内容，能使学生听课效果最佳.∴1224t ⎡⎤∈-⎣⎦20．已知函数，函数． ()()33log log 39x f x x =⋅()1425x x g x +=-+(1)求函数的最小值；()f x (2)若存在实数，使不等式成立，求实数x 的取值范围．[]1,2m Î-()()0f x g m -≥【答案】(1) 94-(2)或 109x <≤27x ≥【分析】（1）将化为关于的二次函数后求最小值；()f x 3log x （2）由题意知，求得后再解关于的二次不等式即可.min ()()f x g m ≥min ()g m 3log x 【详解】（1） ()()3333()log log (3)log 2log 19x f x x x x =⋅=-+ ()233log log 2x x =--， 2319log 24x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∴显然当即, ， 31log 2x =x =min 9()4f x =-∴的最小值为. ()f x 94-（2）因为存在实数，使不等式成立，[]1,2m Î-()()0f x g m -≥所以， 又，min ()()f x g m ≥()()21421524x x x g x +=-+-=+所以，()()2124m g m -=+又，显然当时，，[]1,2m Î-0m =()()02min 2414g m -=+=所以有，即，可得， ()4f x ≥()233log log 24x x --≥()()33log 2log 30x x +-≥所以或，解得 或. 3log 2x ≤-3log 3x ≥109x <≤27x ≥故实数x 的取值范围为或. 109x <≤27x ≥21．某中学为了解高一年级数学文化知识竞赛的得分情况，从参赛的1000名学生中随机抽取了50名学生的成绩进行分析．经统计，这50名学生的成绩全部介于55分和95分之间，将数据按照如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得[)55,60[)60,65[]90,95到的频率分布直方图的一部分．已知第一组和第八组人数相同，第七组的人数为3人．(1)求第六组的频率；若比赛成绩由高到低的前15%为优秀等级，试估计该校参赛的高一年级1000名学生的成绩中优秀等级的最低分数（精确到0.1）；(2)若从样本中成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取两名学生，记他们的成绩分别为x ，y ，从下面两个条件中选一个，求事件E 的概率．()P E ①事件E ：；[]0,5x y -∈②事件E ：．(]5,15x y -∈注：如果①②都做，只按第①个计分．【答案】(1)0.08；81.8(2)选①：；选②： 715815【分析】（1）根据频率之和为1计算第六组的频率；先判断优秀等级的最低分数所在区间，再根据不低于此分数所占的频率为0.12求得此分数.（2）分别求出第六组和第八组的人数，列举出随机抽取两名学生的所有情况，再求出事件E 所包含事件的个数的概率，根据古典概型求解.【详解】（1）第七组的频率为， 30.0650＝所以第六组的频率为，()10.0650.00820.0160.0420.060.08--⨯++⨯+=第八组的频率为0.04，第七、八两组的频率之和为0.10，第六、七、八组的频率之和为0.18，设优秀等级的最低分数为，则，m 8085m <<由，解得， 850.040.060.080.155m -++⨯=81.8m ≈故估计该校参赛的高一年级1000名学生的成绩中优秀等级的最低分数.81.8（2）第六组的人数为4人，设为,，第八组的人数为2人，设为， [80,85),a b ,c d [90,95],A B 随机抽取两名学生，则有共15种情况，,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad bc bd cd aA bA cA dA aB bB cB dB AB选①：因事件发生当且仅当随机抽取的两名学生在同一组，[]:0,5E x y -∈所以事件包含的基本事件为共7种情况，E ,,,,,,ab ac ad bc bd cd AB 故. 7()15P E =选②：因事件发生当且仅当随机抽取的两名学生不在同一组，(]:5,15E x y -∈所以事件包含的基本事件为共8种情况，E ,,,,,,,aA bA cA dA aB bB cB dB 故. 8()15P E =22．已知函数的定义域为D ，对于给定的正整数k ，若存在，使得函数满足：()f x [],a b D ⊆()f x 函数在上是单调函数且的最小值为ka ，最大值为kb ，则称函数是“倍缩函()f x [],a b ()f x ()f x 数”，区间是函数的“k 倍值区间”．[],a b ()f x (1)判断函数是否是“倍缩函数”？（只需直接写出结果）()3f x x =(2)证明：函数存在“2倍值区间”；()ln 3g x x =+(3)设函数，，若函数存在“k 倍值区间”，求k 的值． ()2841x h x x =+10,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦()h x 【答案】(1)是，理由见详解(2)证明见详解(3){}4,5,6,7k ∈【分析】（1）取，结合题意分析说明；1,1,1k a b ==-=（2）根据题意分析可得至少有两个不相等的实根，构建函数结合零点存在性定理分析ln 32x x +=证明；（3）先根据单调性的定义证明在上单调递增，根据题意分析可得在内()h x 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦2841x kx x =+10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦至少有两个不相等的实根，根据函数零点分析运算即可得结果.【详解】（1）取，1,1,1k a b ==-=∵在上单调递增，()3f x x =[]1,1-∴在上的最小值为，最大值为，且， ()3f x x =[]1,1-()1f -()1f ()()()1111,1111f f -=-=⨯-==⨯故函数是“倍缩函数”.()3f x x =（2）取，2k =∵函数在上单调递增，()ln 3g x x =+[],a b 若函数存在“2倍值区间”，等价于存在，使得成立， ()ln 3g x x =+0a b <<ln 32ln 32a a b b+=⎧⎨+=⎩等价于至少有两个不相等的实根，ln 32x x +=等价于至少有两个零点，()ln 23G x x x =-+∵，且在定义内连续不断， ()()()332e 0,110,2ln 210e G G G -=-<=>=-<()G x ∴在区间内均存在零点，()G x ()()3e ,1,1,2-故函数存在“2倍值区间”.()ln 3g x x =+（3）对，且，则， 121,0,2x x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦12x x <()()()()()()12121212222212128148841414141x x x x x x h x h x x x x x ---=-=++++∵，则， 12102x x ≤<≤221212120,140,410,410x x x x x x -<->+>+>∴，即，()()120h x h x -<()()12h x h x <故函数在上单调递增， ()h x 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦若函数存在“k 倍值区间”，即存在，使得成立， ()h x *10,2a b k ≤<≤∈N 22841841a ka ab kb b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩即在内至少有两个不相等的实根， 2841x kx x =+10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦∵是方程的根，则在内有实根， 0x =2841x kx x =+2841k x =+10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦若，则，即，且， 10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦[)284,841x ∈+[)4,8k ∈*k ∈N ∴，即.4,5,6,7k ={}4,5,6,7k ∈【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解．（2）分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．。
贵州省贵阳市2023-2024学年高一上学期期末考试 数学 含答案
贵阳市普通中学2023—2024学年度第一学期期末监测考试试卷高一数学注意事项：1.本试卷共6页，满分100分，考试时间120分钟．2.答案一律写在答题卡上，写在试卷上的不给分．3.考试过程中不得使用计算器．一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上．）1.全织U ={0,1,2,3,4,5,6, 7} il s4M = {O, 1,2,3}, N = {3,4,5},U,M, N，找合＇ 的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（）u`C.{3}A.{l,2,3,4,5}B.{4,5}D.02命题“3xE R, x2 + x+1 � 0”的否定是（）2A.3x e R, x2 + x +l之0B.3x E R, x2 + x+l< 0D.Vx茫R,x·+x+l< 0C.VxER,x2 +x+ l < 0 23对任意角a和fJ."sina = sin/J“是“a=fJ”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C.充要条件D既不充分也不必要条件24已知函数f(x)= �+log。
,(2-x)，则f(x)的定义域为（）4x-3A （扣） B.（扣］C.(-oo,2) D （三）u(扣）5设函数f(x)=2·'+x的零点为X o'则X o所在的区间是（）A.(-1,0) C.(1,2)B.(-2,-1) D.(0,1)6设a=(½/,b= 2(c = log2¾，则a,b,c的大小关系为（A. c<a<bB. c < b < aC. a<b<cD.a<c<bII冗7下列选项中，与sin(－飞－）的值不相等的是（）A.2sin l5°sin 75°B.cosl8° cos42° -sinl8° sin42°C.2cos2l5°-lD.tan22.5° l-tan2 22.5°8.某池塘野生水葫芦的援盖面积与时间的函数关系图象如图所示．假设其函数关系为指数函数，其中说法错误的是（y/m2l 6t--－-－-－－－－－－-－-－ ,,，81--－－－－－-－－t'一气， ，， ，， ，A此指数函数的底数为2B在第5个月时，野生水葫芦的稷盖面积会超过30m2C野生水葫芦从4m2荽延到12m2只需1.5个月D设野生水葫芦蔓延至2m2,3m2,6m2所需的时间分别为x1,x2,x3,则有X1+x2 = X3二、多项选择题（本题共2小题，每小题4分，共8分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得2分，有选错得0分．）9已知a,b,c eR,则下列命题正确的是（）I IA若－＞一，则a<ba bB若ac2> bc2,则（1>bC.若a<b,c <d,则a-c<b-dD若a>b > O,c > 0,则a a+c一＞b b+cIO下列说法中，正确的是()IA函数y=－在定义域上是减函数e x -1B.函数y=——一是奇函数e x +lC函数y= f(x+a)-b为奇函数，则函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形D函数f(x)为定义在(-x,,O)U(O冲心）上的奇函数，且f(3) = I.对千任意x,,x2E (0，长't:)),x1:;cx2,汀(x,)－x2f(x2) 3都有1>0成立，则.f(x)三一的解集为（－OCJ,-3] u(0,3]X1 -x2''X三、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置上．）11若幕函数f(x)＝(11i2-2m-2)义”在(0,+～)上单调递增，则实数m=12函数y= sinx+ cosx的最大值是s13 已知圆和四边形（四个角均为直角）的周长相等，而积分别为S I'鸟，则_]_的最小值为s214已知函数f(x) = 2sin(cv x+(p)(co> O,I例<:)的部分图像如图所示，则f行）＝X-2.一一一一-壹15已知函数f(X) = 2kx2 -kx -i (0 ::; X ::;; 2, k E R)，若k=I，则该函数的零占为若对沁XE[0,2],不等式f(x) < -2k恒成立，则实数K的取值范围为四、解答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16已知角0的终边过点(-3,4)，求角0的三个三角函数值．17.(I)已知芦＋a令＝3,求a＋矿的值：(2)已知log2[ l og3 (log4X)] =0'求X的值18 已知函数f(x)=x-�IX(I)判断函数f(x)的奇偶性：1(2)根据定义证明函数f(x)=x-－在区间(0,＋幻）上单调递增X冗19将函数f(x) =c o s(x+ �)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的上，纵坐标不变，得到函数g(x的（） 图象(I)求函数g(x)的单调递增区间和对称中心：(2)若关于X的方程2sin2x-m c o s x-4= 0在XE（吟）上有实数解，求实数m的取值范围五、阅读与探究（本大题1个小题，共8分解答应写出文字说明，条理清晰．）20. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的瓜要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的篮要方法．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（I)整体观察：（2)整体设元；（3)整体代入：（4)整体求和等l l例如，ab=I,求证：一＋－＝l.I+a I+b证明：原式ab I b I+—=—+—=I. ab+a I+b b+I l+b阅读材料二：解决多元变掀问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问题处理方法进行研究a+b例如，正实数a,b满足ab=L求(l+a)b解：由ab=I,得b＝一，的最小值1 a+b a+--;; _ a 2+1_ (a+l }2-2(a+l)+2＝ ＝ ＝ ..(I+a)b I a+la+I (l+a )� a 2 2 =(a+l)＋二－2�2✓(a+l)二－2=2✓2-2,当且仅当a+I =✓2，即a=✓2-1,b = ✓2 +1时，等号成立a+b.. (l+a)b的最小值为2J5-2波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个腮菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征结合阅读材料解答下列问题：(I)已知ab=I,求＋——了的值；l+a 2. l +bI I(2)若正实数a,b 满足ab=I,求M =--=--+ 的最小值I+a I+3b贵阳市普通中学2023—2024学年度第一学期期末监测考试试卷高一数学注意事项：1.本试卷共6页，满分100分，考试时间120分钟．2.答案一律写在答题卡上，写在试卷上的不给分．3.考试过程中不得使用计算器．一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上．）1.全织U = {0,1,2,3,4,5,6, 7} il s4M = {O, 1,2,3}, N={3,4,5},U,M, N，找合＇ 的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（u`A.{l,2,3,4,5}【答案】B【解析】B.{4,5}【分析】求出M n N,得到阴影部分表示的渠合C.{3}［详解】图中阴影部分表示的渠合为N中元素去掉M n N的元素后的梊合，MnN = {0,1,2,3们{3,4,5}=｛习，故图中阴影部分表示的集合为{4,5}故选：B2.命题“3xER,x2+x+l2:0”的否定是（）A.3x ie R, x2 + x+l ;;:: 0B.3x E R, x2 + x+I <0C.VxER,x2+x+l<0 2D.Vx茫R,X4+x+l< 0【答案】C【解析】【分析】根据命题的否定即可求解D.0【详解】命题“:3x E R, x 2+ x + 1 2:: 0”的否定是“"ix E R,x 2+x+ 1< 0",故选：C3对任意角a 和/3,"sin a = s in/3“是“a=/3”的（）A 充分不必要条件B必要不充分条件C.充要条件D 既不充分也不必要条件【答案）B 【解析】【分析】根据三角函数的性质，结合必要不充分的定义即可求解【详解】由sina=s in/3可得a=/J+2朊或者a+/3＝冗＋2幻，kEZ,故sina=s in/3不能得到a=/3，但a=/3，则sina= s in/3，故“sina=sin/3“是“a=/3”的必要不充分条件，故选：B2 4已知函数f(x) =�+log 。
人教版高一数学上册期末考试试卷及答案
人教版高一数学上册期末考试试卷及答案（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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2022-2023学年河北省张家口市高一上学期期末考试数学试题(含解析)
绝密★启用前张家口市2022－2023学年度高一年级第一学期期末考试数学试卷班级____________ 姓名____________注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{}x |x 2<4，B ＝{}－1，0，2，则A ∩B ＝A.{}－1，0B.{}－1C.{}0，2D.{}2 2．“πa >πb ”是“a >b ”的一个 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p ：“∀x ∈()0，＋∞，3x 2＋3＝3x ”，则p 为A ．∃x ∈()0，＋∞，3x 2＋3≠3xB ．∃x ∉()0，＋∞，3x 2＋3＝3xC ．∀x ∉()0，＋∞，3x 2＋3≠3xD ．∃x ∈()0，＋∞，3x 2＋3＝3x4．函数f ()x ＝log 2()x －1－1x2的零点所在区间为A.()0，1B.()1，2C.()2，3D.()3，45．已知函数f ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋3x ，－3≤x <1，x 2－3x ，1≤x ≤3，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫32＝ A ．－274 B ．－154 C ．－2716 D ．－15166．设a ＝0.30.3，b ＝0.40.3，c ＝0.30.4，则a ，b ，c 的大小关系为A ．c <a <bB ．a <c <bC ．b <c <aD ．c <b <a7．若x >0，y >0，x ＋3y ＝1，则xy3x ＋y的最大值为A.19B.112C.116D.1208．已知方程x 2－2ax ＋6a ＋7＝0在[)2，＋∞上有实数解，则实数a 的取值范围为 A ．[)7，＋∞B ．(]－∞，－1∪[)7，＋∞C ．(]－∞，－7∪[)1，＋∞D ．⎝⎛⎦⎤－∞，－112∪[)7，＋∞ 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列命题正确的是A ．若a >b ，则1a <1bB ．若a 2>b 2，则a >bC ．若a >b ，则a 3>b 3D ．若a <b <0，则a 2>ab >b 2 10．已知不等式3ax 2＋2ax ＋1>0，则下列说法正确的是A ．若a ＝－1，则不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－1，13B ．若不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－2，43，则a ＝－18C ．若不等式的解集为()x 1，x 2，则121884x x⋅=D ．若不等式恒成立，则a ∈()0，311．若函数f ()x ＝lg ()x 2＋ax －a ，则下列说法正确的是 A ．若a ＝0，则f ()x 为偶函数 B ．若f ()x 的定义域为R ，则－4<a <0C ．若a ＝1，则f ()x 的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ D ．若f ()x 在()－2，－1上单调递减，则a <1212．已知函数f ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧||lg x ，0<x ≤10，10－x －1，－10≤x ≤0，则下列说法正确的是A ．函数f ()x 在[)0，10上有两个零点B ．方程f ()x ＝t 在[)0，10有两个不等实根，则t ∈(]0，1C ．方程f ()x ＝t 在(]0，10上的两个不等实根为x 1，x 2，则x 1x 2＝1D ．方程f ()x ＝10－|x |＋1共有两个实根三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．幂函数f ()x 的图象过点()4，2，则f ()2＝________． 14．函数y ＝log 2()2x ＋2的值域为________． 15．不等式5×2x －4x >4的解集为________．16．若∀x ∈⎣⎡⎦⎤34，43，不等式4x 2－()λ＋3x ＋1≥0恒成立，则实数λ的取值范围为________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 计算下列各式的值：（1）202022()2021-+（2）5log 3615510log 5log 100(log 2log 3)5⨯⨯++18．（本小题满分12分）已知集合A ＝{}x |2x 2－3x ＋1≤0，集合B ＝{}x |ax 2－（4a ＋1）x ＋4>0. （1）当a ＝2时，求A ∪B ；（2）若a >14，且满足A ⊆B ，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）李华计划将10 000元存入银行，恰巧银行最新推出两种存款理财方案．方案一：年利率为单利（单利是指一笔资金无论存期多长，只有本金计取利息，而以前各期利息在下一个利息周期内不计算利息的计息方法），每年的存款利率为2.5%.方案二：年利率为复利（复利是指在计算利息时，某一计息周期的利息是由本金加上先前周期所积累利息总额来计算的计息方式，也即通常所说的“利生利”），每年的存款利率为2%.（1）如果李华想存款x （x ∈N ）年，其所获得的利息为y 元，分别写出两种方案中，y关于x 的函数关系式； （2）李华最后决定存款10年，如果你是银行工作人员，请帮他合理选择一种投资方案，并告知原由．（参考数据：（1＋2%）10≈1.218 99，（1＋2%）9≈1.195 09） 20．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝log a （x －2）＋log a （x －4）（a >0且a ≠1）． （1）若a ＝2，且g （x ）＝f （x ）－3，求函数g （x ）的零点； （2）当x ∈（4，6]时，f （x ）有最小值－3，求a 的值． 21．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝ln x ＋11－x.（1）判断函数f （x ）的奇偶性并证明你的结论；（2）在f （x ）>0的条件下，求函数g （x ）＝x 2＋2x ＋3x ＋1的最小值．22．（本小题满分12分）已知函数f （x ）为定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝⎩⎨⎧2x，0≤x ≤2，||x －6，x >2.（1）①作出函数f （x ）在[]－10，10上的图象；②若方程f （x ）＝a 恰有6个不相等的实根，求实数a 的取值范围． （2）设g （x ）＝log 2（x 2＋1）－，若∀x 1∈R ，∃x 2∈[1，＋∞），使得f （x 1）＋3a ≥g （x 2）成立，求实数a 的最小值．张家口市2022－2023学年度高一年级第一学期期末考试数学参考答案1.A 解析：∵A ＝x －2<x <2，∴A ∩B ＝－1，0，故选A. [命题意图] 本题考查集合的运算，落实数学运算素养，属于基础题． 2．C 解析：∵πa >πb ⇔a >b ，∴“πa >πb ”是“a >b ”的一个充要条件，故选C. [命题意图] 本题考查充分、必要条件，落实数学抽象素养，属于基础题．3．A 解析：“∀x ∈()0，＋∞，3x 2＋3＝3x ”的否定为“∃x ∈()0，＋∞，3x 2＋3≠3x ”，故选A.[命题意图] 本题考查含有全称量词命题的否定，落实数学抽象素养，属于基础题．4．C 解析：不难发现f ()x 在()1，＋∞上单调递增，f ()2·f ()3＝⎝⎛⎭⎫－14×⎝⎛⎭⎫1－19<0，故选C.[命题意图] 本题考查函数零点存在定理，落实数学抽象素养，属于基础题．5．B 解析：∵f ⎝⎛⎭⎫32＝94－92＝－94，∵－94∈[)－3，1，∴f ⎝⎛⎭⎫－94＝3＋⎝⎛⎭⎫－94×3＝－154，故选B.[命题意图] 本题考查分段函数求值，落实数学运算素养，属于基础题．6．A 解析：y ＝0.3x 在R 上单调递减，则a ＝0.30.3>0.30.4＝c ，y ＝x 0.3在[)0，＋∞上单调递增，则a ＝0.30.3<0.40.3＝b ，∴c <a <b ，故选A.[命题意图] 本题考查指数函数与幂函数单调性，落实数学抽象素养，属于基础题．7．C 解析：xy 3x ＋y ＝13y ＋1x ＝1⎝⎛⎭⎫3y ＋1x ()x ＋3y ＝13x y ＋3y x ＋10≤123x y ·3yx＋10＝116，当且仅当x ＝y ＝14时，等式成立，故选C.[命题意图] 本题考查基本不等式求最值，落实数学逻辑推理素养，属于中档题． 8．D 解析：令f ()x ＝x 2－2ax ＋6a ＋7，当a <2时，f ()x 在[)2，＋∞上单调递增，令f（2）＝22－2×2a ＋6a ＋7≤0⇒a ≤－112；当a ≥2时，Δ＝4a 2－4×()6a ＋7≥0⇒a ≥7.综上所述，a ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－112∪[)7，＋∞，故选D. [命题意图] 本题考查二次方程根的存在性问题，落实数学抽象素养，属于中档题．9．CD 解析：对于A ：当a ＝2，b ＝－1时，则1a >1b；对于B ：当a ＝－1，b ＝0时，a <b ；对于C ：a >b ⇒a 3>b 3；对于D ：若a <b <0时，在不等式两边同时乘以a ，则a 2>ab ，同时乘以b ，则ab >b 2，则a 2>ab >b 2，故选CD.[命题意图] 本题考查不等式的性质，落实数学运算素养，属于基础题．10．ABC 解析：对于A ：－3x 2－2x ＋1>0⇔3x 2＋2x －1<0⇒－1<x <13；对于B ：可知－2是方程3ax 2＋2ax ＋1＝0的一个实数根，代入得a ＝－18；对于C ，易知x 1＋x 2＝－23，所以8x 1·8x 2＝23x 1·23x 2＝23()x 1＋x 2＝2－2＝14；对于D ：当a ＝0时，1>0恒成立．当a ≠0时，a >0且Δ＝4a 2－12a <0⇒0<a <3，∴a ∈[)0，3，故选ABC.[命题意图] 本题考查含参不等式的综合应用，落实数学运算素养，属于中档题． 11．AB 解析：若a ＝0，则x ≠0，则f ()－x ＝lg []()－x 2＝lg ()x 2＝f ()x ，故A 正确；若f ()x 的定义域为R ，则Δ＝a 2＋4a <0，即－4<a <0，故B 正确；若a ＝1，x 2＋x －1>0，∴x <－1＋52或x >5－12，令g ()x ＝x 2＋x －1，可知g ()x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，＋∞上单调递增，且y ＝lg x 单调递增，∴f ()x 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，＋∞，故C 错误；令h ()x ＝x 2＋ax －a ，若f ()x 在()－2，－1上单调递减，则h ()－1≥0且－a 2≥－1，∴a ≤12，故D 错误，故选AB.[命题意图] 本题考查复合函数的综合应用，落实数学抽象素养，属于中档题． 12．ACD 解析：函数f ()x ＝0⇒x ＝0或1，可知A 正确，B 错误；不妨设0<x 1<x 2，则||lg x 1＝||lg x 2，即－lg x 1＝lg x 2，lg x 1＋lg x 2＝0，∴x 1x 2＝1，故C 正确；令g ()x ＝⎝⎛⎭⎫110||x＋1，作图可知f ()x 与g ()x 共2个交点，即方程f ()x ＝10－||x ＋1共有两个实根，故选ACD.[命题意图] 本题考查分段函数的图象以及图象的变化，落实数学抽象素养，属于难题．13.2 解析：∵f ()x ＝x α，∴f ()4＝4α＝2，∴α＝12，∴f ()x ＝x ，∴f ()2＝ 2.[命题意图] 本题考查幂函数的解析式以及指数幂的运算，落实数学运算素养，属于基础题．14.()1，＋∞ 解析：t ＝2x ＋2>2，y ＝log 2t >log 22＝1，故y ∈()1，＋∞. [命题意图] 本题考查复合函数求值域问题，落实数学运算素养，属于基础题．15.()0，2 解析：式子整理变形可得()2x 2－5×2x ＋4<0⇒()2x －1()2x －4<0⇒1<2x <4⇒0<x <2，即x ∈()0，2.[命题意图] 本题考查复合函数不等式问题，落实数学抽象素养，属于中档题．16.⎝⎛⎦⎤－∞，43 解析：参变分离，式子整理变形可得4x 2＋1x≥λ＋3恒成立⇒⎝⎛⎭⎫4x ＋1x min ≥λ＋3，f ()x ＝4x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤34，43上单调递增，∴f ()x min ＝f ⎝⎛⎭⎫34＝3＋43≥3＋λ⇒λ≤43，故实数λ的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，43. [命题意图] 本题考查二次不等式恒成立问题，落实数学抽象素养，属于中档题． 17．解：（1）202022()221 3.2021-+=+-=（5分） 5log 361551015lg6(2)log 5log 100(log 2log 3)5(2)3231lg6lg5g ⨯⨯++=⨯-⨯+=-+=（10分）[命题意图]本题考查幂运算及对数运算，是基础题． 18．解：（1）由题意知2x 2－3x ＋1≤0⇒12≤x ≤1，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤1，（2分）∵a ＝2，∴2x 2－9x ＋4>0⇒x <12或x >4，∴B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <12或x >4，（4分）∴A ∪B ＝{}x |x ≤1或x >4.（6分）（2）不等式ax 2－（4a ＋1）x ＋4>0⇒（x －4）（ax －1）>0，∵a >14，∴1a <4，不等式可化为（x －4）⎝⎛⎭⎫x －1a >0，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a 或x >4，（9分）又A ⊆B ，∴1a>1，∴a <1，故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫14，1.（12分） [命题意图]本题考查一元二次不等式的解法与应用，也考查了集合之间包含关系问题，是综合性题目．19．解：（1）方案一中，一年的利息为10 000×2.5%＝250（元），∴y ＝250x ，x ∈N .（3分）方案二根据复利计算公式，y ＝10 000（1＋2%）x －10 000，x ∈N .（6分） （2）方案一中，10年的利息为250×10＝2 500（元），（9分）方案二中，10年的利息为10 000（1＋2%）10－10 000≈2 189.9（元）．（11分） 因为2 500>2 189.9，所以选择方案一．（12分）[命题意图]本题考查一次函数模型和指数型函数的应用，本题从数学素养上体现对学生数学建模、逻辑推理素养的考查，考查学生的运算求解、推理论证的能力．20．解：（1）要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x －4>0⇒x >4，故函数f （x ）的定义域为()4，＋∞.（2分）则f （x ）－3＝0⇔log 2（x －2）（x －4）＝log 28， ∴（x －2）（x －4）＝8⇒x 2－6x ＝0，∴x ＝0或x ＝6.（5分） ∵x >4，∴函数g （x ）的零点为x ＝6.（6分）（2）当a >1时，x ∈（4，6]，f （x ）单调递增，无最小值，不合题意；（9分）当0<a <1时，x ∈（4，6]，f （x ）单调递减，有最小值f （6）＝log a 4＋log a 2＝log a 8＝－3，∴a ＝12.（12分）[命题意图]本题考查对数函数和单调性求最值，在解方程时要注意函数的定义域，求最值时讨论函数的单调性．本题从数学素养上体现对学生逻辑推理素养的考查，考查学生的运算求解、分类讨论的能力．21．解：（1）令x ＋11－x >0⇔x ＋1x －1<0，∴－1<x <1，∴f （x ）的定义域为（－1，1），定义域关于原点对称，（3分）又f （－x ）＝ln 1－x 1＋x ，f （x ）＝ln x ＋11－x ，且f （－x ）＋f （x ）＝ln 1－x 1＋x ＋ln x ＋11－x＝ln 1＝0，∴f （x ）为奇函数．（5分）（2）f （x ）>0⇔x ＋11－x >1⇔2xx －1<0，∴0<x <1，（7分）g （x ）＝x 2＋2x ＋3x ＋1＝x ＋1＋2x ＋1≥2（x ＋1）·2x ＋1＝22，（10分）当且仅当x ＋1＝2，即x ＝2－1时，等号成立，（11分） ∴函数g （x ）的最小值为2 2.（12分）[命题意图]本题考查了函数奇偶性的判断、对数函数的性质、分式不等式的解法、基本不等式的应用，考查学生的运算能力和推理论证的能力．3分）②方程f （x ）＝a 恰有6个不相等的实根，等价于函数y ＝f （x ）的图象与直线y ＝a 有6个不同的交点，通过函数图象得，实数a 的取值范围为（1，4）．（6分）（2）不难发现g （x ）在[0，＋∞）上单调递增．（7分） 若∀x 1∈R ，∃x 2∈[1，＋∞），使得f （x 1）＋3a ≥g （x 2）成立， 等价于f （x 1）min ＋3a ≥g （x 2）min ，（8分）由（1）知f （x 1）min ＝0，又g （x ）在[0，＋∞）上单调递增，所以g （x 2）min ＝g （1）＝12，（10分） ∴f （x 1）min ＋3a ≥g （x 2）min ⇒3a ≥12，∴a ≥16，故实数a 的最小值为16.（12分）[命题意图]本题考查重要函数、恒成立和存在性问题，本题从数学素养上体现对学生数学运算、逻辑推理素养的考查，考查学生的运算求解、推理论证能力．。
高一数学上学期期末考试试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某省某某第一中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学一、选择题：共10题1．下列说法中,正确的是A.幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)B.当a＝0时,函数y＝xα的图象是一条直线C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称,则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数y＝xα,当a<0时,在第一象限内函数值随x值的增大而减小【答案】D【解析】本题主要考查幂函数的图象与性质.由幂函数的图象与性质可知，A错误；当x=0时，y=0，故B错误；令a＝-1，则y=x-1，显然C错误；故D正确.2．如图所示,则这个几何体的体积等于A.4B.6C.8D.12【答案】A【解析】由三视图可知所求几何体为四棱锥,如图所示,其中SA⊥平面ABCD,SA=2,AB=2,AD=2,CD=4,且四边形ABCD为直角梯形,∠DAB=90°,∴V=SA×(AB+CD)×AD=×2××(2+4)×2=4,故选A.3．下列关于函数y＝f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为①若x0∈[a,b]且满足f(x0)＝0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根,f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点;④用二分法求方程的根时,得到的都是根的近似值.A.0B.1C.3D.4【答案】B【解析】本题主要考查方程与根、二分法.由零点的定义知，零点是曲线与x轴交点的横坐标，故①错误；当f(a)=0时，无法用二分法求解，故②错误；显然，③正确；若f(x)=2x-x-1，在区间(-1,1)上的零点，用二分法，可得f(0)=0，显然，④错误.4．如图,在三棱锥S-ABC中,E为棱SC的中点,若AC＝,SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝2,则异面直线AC与BE所成的角为A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】本题主要考查异面直线所成的角.取SA的中点D，连接BD、DE，则,是异面直线AC与BE所成的角或补角，由题意可得BD=BE=，DE=，即三角形BDE是等边三角形，所以5．如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF＝,则下列结论中错误的是A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.直线AB与平面BEF所成的角为定值D.异面直线AE、BF所成的角为定值【答案】D【解析】本题主要考查线面平行与垂直的判定定理、线面所成的角、异面直线所成的角，考查了空间想象能力.易证AC⊥平面BDD1B1，则AC⊥BE，A正确，不选；易知平面A1B1C1D1∥平面ABCD，则EF∥平面ABCD，B正确，不选；因为平面BEF即是平面BDD1B1，所以直线AB 与平面BEF所成的角为定值，故C正确，不选；故选D.6．若函数且)有两个零点,则实数a的取值X围是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查函数的性质与零点.当时，函数是减函数，最多只有1个零点，不符合题意，故排除A、D；令,易判断函数在区间上分别有一个零点，故排除C，所以B正确.7．已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l【答案】D【解析】本题涉及直线与平面的基本知识,意在考查考生的空间想象能力、分析思考能力,难度中等偏下.由于m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,则平面α与平面β必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线m,n,又直线l满足l⊥m,l⊥n,则交线平行于l ,故选D.8．已知直线(1+k)x+y-k-2＝0过定点P,则点P关于直线x-y-2＝0的对称点的坐标是A.(3,﹣2)B.(2,﹣3)C.(3,﹣1)D.(1,﹣3)【答案】C【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.将(1+k)x+y-k-2＝0整理为：k(x-1)+x+y-2=0,则x-1=0且x+y-2=0,可得P(1,1),设点P的对称点坐标为(a,b),则，则x=3,y=-1,故答案：C.9．如图,平面⊥平面与两平面所成的角分别为和．过分别作两平面交线的垂线,垂足为,则＝A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查线面与面面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，考查了空间想象能力.根据题意，由面面垂直的性质定理可得，,则,则AB=2，则10．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,若截距之和最小,则直线的方程为A.x＋2y-6＝0 B.2x＋y-6＝0 C.x-2y＋7＝0 D.x-2y-7＝0【答案】B【解析】本题主要考查直线方程、基本不等式.由直线的斜率为k(k<0)，则y-4=k(x-1),分别令x=0、y=0求出直线在两坐标轴上的截距为：4-k，1-,则4-k+1-,当且仅当-k=-，即k=-2时，等号成立，则直线的方程为2x＋y-6＝0二、填空题：共5题11．已知直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,则经过点A(3,2)且与直线垂直的直线方程为________．【答案】2x-y-4＝0【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.因为直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,所以(m+1)m-2=0,且8-(m-2),则m=1，直线: x+2y-1=0,根据题意，设所求直线方程为2x-y+t＝0，将点A(3,2)代入可得t=-4，即：2x-y-4＝012．用斜二测画法得到的四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形,其下底长为5,一腰长为,则原四边形的面积是________.【答案】8【解析】本题主要考查平面直观图.根据题意，直观图中，梯形的下底长为5，一腰长为,则易求上底为3，高为1，面积为,所以原四边形的面积是13．已知三棱锥A-BCD的所有棱长都为,则该三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】3π【解析】本题主要考查空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力.将正方体截去四个角可得到一个正四面体，由题意，可将该三棱锥补成一个棱长为1的正方体，所以该三棱锥的外接球的直径即为正方体的对角线，所以2r=，则该三棱锥的外接球的表面积为S=14．已知关于x的方程有两根,其中一根在区间内,另一根在区间内,则m的取值X围是________．【答案】【解析】本题主要考查二次函数的性质与二元一次方程的根.设,由题意可知：，求解可得15．甲、乙、丙、丁四个物体同时以某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，，有以下结论：①当时，甲走在最前面；②当时，乙走在最前面；③当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.其中，正确结论的序号为_________(把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分).【答案】③④⑤【解析】①错误.因为，，所以，所以时，乙在甲的前面.②错误.因为，，所以，所以时，甲在乙的前面.③正确.当时，，的图象在图象的上方.④正确.当时，丙在甲乙前面，在丁后面，时，丙在丁前面，在甲、乙后面，时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱.⑤正确.指数函数增长速度越来越快，x充分大时，的图象必定在，，上方，所以最终走在最前面的是甲.三、解答题：共5题16．如图(1)所示,在直角梯形中,BC AP,AB BC,CD AP,又分别为线段的中点,现将△折起,使平面平面(图(2))．(1)求证:平面平面;(2)求三棱锥的体积．【答案】证明:(1)分别是的中点,∵平面,AB平面.∴平面.同理,平面,∵,EF平面平面∴平面平面.(2)＝.【解析】本题主要考查面面与线面平行与垂直的判定与性质、空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力与等价转化.(1)根据题意,证明、,再利用线面与面面平行的判定定理即可证明;(2)由题意易知，则结果易得.17．已知两点,直线,求一点使,且点到直线的距离等于2．【答案】设点的坐标为.∵．∴的中点的坐标为．又的斜率．∴的垂直平分线方程为,即．而在直线上．∴．①又已知点到的距离为2．∴点必在于平行且距离为2的直线上,设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:∴或．∴点在直线或上．∴或②∴①②得:或．∴点或为所求的点．【解析】本题主要考查直线方程与斜率、两条直线的位置关系、中点坐标公式.设点的坐标为，求出统一线段AB的垂直平分线，即可求出a、b的一个关系式；由题意知，点必在于平行且距离为2的直线上, 设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:，求出m的值，又得到a、b的一个关系式，两个关系式联立求解即可.18．(1)已知圆C经过两点,且被直线y=1截得的线段长为.求圆C的方程;(2)已知点P(1,1)和圆过点P的动直线与圆交于A,B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【答案】(1)设圆方程为.因为点O,Q在圆上,代入:又由已知,联立:解得:由韦达定理知:.所以:.即即:.即:.则.所以所求圆方程为:.(2)设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2). 由题意:,又.所以: 化简:所以M 点的轨迹方程为【解析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的性质、直线的斜率公式、方程思想.(1)设圆方程为，将y =1代入圆的方程，利用韦达定理，求出D 、E 、F 的一个关系式，再由点O 、Q 在圆上，联立求出D 、E 、F 的值，即可得到圆的方程;(2) 设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2)，由题意:,又，化简求解即可得到结论.19．如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD , AB ⊥AD , AC ⊥CD ,∠ABC ＝60°,PA ＝AB ＝BC ,E 是PC 的中点．C A PB D E(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小;(2)证明:AE ⊥平面PCD ;(3)求二面角A-PD-C的正弦值．【答案】(1)在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥A B.又AB⊥AD,PA∩AD＝A,从而AB⊥平面PAD,∴PB在平面PAD内的射影为PA,从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中,AB＝PA,故∠APB＝45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明:在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥PA.由条件CD⊥AC,PA∩AC＝A∵CD⊥平面PA C.又AE⊂平面PAC,∴AE⊥C D.由PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°,可得AC＝PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥P C.又PC∩CD＝C,综上得AE⊥平面PCD.(3)过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示．由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD.因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角．由已知,可得∠CAD＝30°.设AC＝a,可得PA＝a,AD＝a,PD＝a,AE＝在Rt△ADP中,∵AM⊥PD,∴AM·PD＝PA·AD,则AM＝＝.在Rt△AEM中,sin∠AME＝＝.所以二面角A—PD—C的正弦值为.【解析】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理、线面角与二面角，考查了空间想象能力.(1)根据题意，证明AB⊥平面PAD,即可得证∠APB为PB和平面PAD所成的角，则易求结果；(2)由题意，易证CD⊥平面PA C，可得AE⊥C D，由题意易知AC＝PA，又因为E是PC 的中点,所以AE⊥P C，则结论易证；(3) 过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示，由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD，因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角，则结论易求.20．诺贝尔奖的奖金发放方式为:每年一发,把奖金总额平均分成6份,分别奖励给在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半;另一半利息计入基金总额,以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示:1999年诺贝尔发放后基金总额约为19 800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1),2000年记为f(2),…,依次类推)(1)用f(1)表示f(2)与f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式;(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由．(参考数据:1.031 29≈1.32)【答案】(1)由题意知:f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%＝f(1)×(1＋3.12%),f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2,∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x-1(x∈N*)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19800(1＋3.12%)9＝26136,故2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%≈136(万美元),与150万美元相比少了约14万美元,是假新闻．【解析】本题主要考查指数函数、函数的解析式与求值,考查了分析问题与解决问题的能力、计算能力.(1)由题意知: f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%，f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%，化简，即可归纳出函数f(x)的解析式；(2)根据题意，求出2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)，再求出2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%，即可判断出结论.。
北京市清华大学附属中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试卷(word版,含答案)
清华大学附属中学2022-2023学年高一上学期期末考试数 学1. 已知集合A ={y|y =log 2x,x >2}，B ={y|y <4}，则A ∩B =( ) A. {y|0<y <4}B. {y|0<y <1}C. {y|1<y <4}D. ⌀2. 命题“∀x >0，x 2−2x +1≥0”的否定是( ) A. ∃x >0，x 2−2x +1<0 B. ∀x >0，x 2−2x +1<0 C. ∃x ≤0，x 2−2x +1<0D. ∀x ≤0，x 2−2x +1<03. 下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是( ) A. y =−1xB. y =3x −3−xC. y =tanxD. y =√x4. 已知a =(12)3.1,b =3.112,c =lg 12，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. c <a <bB. a <c <bC. c <b <aD. a <b <c5. 函数f(x)=x|x|+lnx 2的图象可能是( )A. B.C. D.6. 已知函数f(x)={ax 2−x −14,x ≤1log a x −1,x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为( ) A. [14,12)B. [14,12]C. (0,12]D. [12,1)二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。
在每小题有多项符合题目要求）7. 函数f(x)=sin (ωx +φ)(ω>0)的最小正周期为π，f(x)≤f(π8)，下列说法正确的是( ) A. f(x)的一个零点为−π8 B. f(x +π8)是偶函数C. f(x)在区间(3π8,7π8)上单调递增D. f(x)的一条对称轴为x =−3π88. 定义域和值域均为[−a,a]的函数y =f(x)和y =g(x)的图象如图所示，其中a >c >b >0，下列四个结论中正确有( )A. 方程f[g(x)]=0有且仅有三个解B. 方程g[f(x)]=0有且仅有三个解C. 方程f[f(x)]=0有且仅有八个解D. 方程g[g(x)]=0有且仅有一个解三、填空题（本大题共5小题，共25.0分）9. 函数f(x)=lg(x −2)+1x−3的定义域是______ ．10. 把函数y =cosx 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，然后把图象向左平移π4个单位，则所得图象对应的函数解析式为______．11. 若α的终边过点(−1,2)，则tanα= ______ ．sin(π−α)sin(π2+α)−cos(π+α)= ______ ．12. 设函数f(x)={log ax(x >0)2x (x≤0)，若f(12)=12，则实数a = (1) ，f(f(2))= (2) ．13. 已知函数f(x)={x 2+2x −3,x ≤0−2+lnx,x >0，方程f(x)=k 有两个实数解，则k 的范围是 ． 四、解答题（本大题共3小题，共36.0分。
安徽省六安2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题含答案
六安2023年秋学期高一年级期末考试数学试卷（答案在最后）时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知命题P ：0x ∃∈R ，0302xx >，则它的否定形式为（）A.0x ∃∈R ，0302x x ≤ B.x ∀∈R ，32>x x C.0x R ∃∉，0302x x ≤ D.x ∀∈R ，32≤xx 【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“0:P x R ∃∈，0302xx >”的否定为：“:P x R ⌝∀∈，32≤x x ”.故选：D.2.π3α=是1cos 2α=的（）条件A.充要B.必要不充分C.充分不必要D.既不充分也不必要【答案】C 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值判断充分性，通过举反例说明不满足必要性即可.【详解】若π3α=，故可得1cos 2α=，满足充分性；若π3α=-，显然满足1cos 2α=，但无法推出π3α=，故必要性不成立；故π3α=是1cos 2α=的充分不必要条件.故选：C .3.函数2()log f x x x =+的零点所在区间为（）A.10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭B.11,84⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,12⎛⎫⎪⎝⎭D.11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据()f x 的单调性，结合零点存在性定理，即可判断和选择.【详解】2,log y x y x ==在()0,+∞上都是单调增函数，故()y f x =在()0,+∞上是单调增函数；又21111log 308888f ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，21111log 204444f ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，21111log 102222f ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，()211log 110f =+=>；故()f x 的零点所在区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.4.设2log 0.3a =，0.3log 0.2b =，sin37c =︒，则a ，b ，c 之间的大小关系是（）A.a b c >>B.b a c>> C.c a b>> D.b c a>>【答案】D 【解析】【分析】通过三个数与0，1的关系即可解出.【详解】由题意，22log 0.3log 10a =<=，0.30.3log 0.2log 0.31b =>=，0sin 37sin 451c <=︒<︒<，∴01a c b <<<<.故选：D.5.函数()sin ln ||f x x x =⋅的大致图象是A. B.C. D.【解析】【详解】函数()=sin ln f x x x ⋅是奇函数，图像关于原点对称，故排除,A B 当2x =时，()2sin 2ln 20f =⨯>，故排除D 故选C点睛：已知函数的解析式判断函数图象的形状时，主要是按照排除法进行求解，可按照以下步骤进行：（1）求出函数的定义域，对图象进行排除；（2）判断函数的奇偶性、单调性，对图象进行排除；（3）根据函数图象的变化趋势判断；（4）当以上方法还不能判断出图象时，再选取一些特殊点，根据特殊点处的函数值进行判断．6.若43m =，则3log 12=（）A.1m m+ B.21m m+ C.2m m+ D.212m m+【答案】A 【解析】【分析】指数式化为对数式，进而利用换底公式及对数运算公式进行求解.【详解】由43m=得：4log 3m =，则334111log 121log 411log 3m m m+=+=+=+=故选：A7.已知ABC 的外接圆圆心为O ，且2AO AB AC =+ ，OA AC = ，则向量BA 在向量BC上的投影向量为（）A.32BC B.34BC uu u r C.32BC-D.34BC - 【答案】B 【解析】【分析】根据题意得出BC 为外接圆的直径，且AOC 是等边三角形，从而求出向量BA 在向量BC上的投影向量.【详解】∵ABC 的外接圆的圆心为O ，且2AO AB AC =+，∴O 为BC 的中点，即BC 为外接圆的直径，∴90BAC ∠=︒．∵OA AC = ，∴AOC 是等边三角形.设D 为OC 的中点，则34BD BC =.∴向量BA 在向量BC上的投影向量为3cos 4BD BC BA ABC BC BC BC BC∠⋅=⋅=.故选:B.8.已知函数()cos ]2f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，下列说法正确的是（）A.()f x 为偶函数B.()f x 的值域为{0,1}C.()f x 为周期函数，且最小正周期2T =D.()f x 与7|1og |l y x =-的图像恰有一个公共点【答案】D 【解析】【分析】利用特殊值排除AC ，根据余弦函数的性质可求出函数的值域进而判断B ，根据函数的值域判断D .【详解】对于A ，由于1cos 012f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，1πcos 022f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()y f x =不是偶函数，故A 错；对于B ，由于[]x 为整数，[]()ππZ 22x k k =⋅∈，而πcos 2k ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的值有0,1,1-三种情况，所以()f x 的值域为{}0,1,1-，故B 错误；对于C ，由于()[]()π1.1cos 1.1cos 12f π⎛⎫-=⨯-=-=-⎪⎝⎭，()[]π0.9cos 0.9cos 012f ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭，()()1.10.9f f -≠，故C 错误；对于D ，由B 得(){}0,1,1f x ∈-，令7log 10x -=，得2x =或0x =，而()()2cos π1,0cos01f f ==-==不是公共点的横坐标.令7log 11x -=，得8x =或6x =-，而()()()8cos 4π1,6cos 3πcos π1f f ==-=-==-，所以()8,1是两个函数图像的一个公共点.令7log 11x -=-，得87x =或67x =，而8π6cos 0,cos 01727f f ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以不是两个函数图像的一个公共点.综上所述，两个函数图像有一个公共点()8,1，故D 正确.故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.）A.sin15cos15︒+︒B.222cossin 1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C.1tan151tan15+︒-︒D.2sin15cos15︒︒【答案】BC 【解析】【分析】根据三角恒等变换公式，求解即可.【详解】对于A 选项，原式45)2=︒+︒=，故A 选项错误；对于B 选项，原式2cosπ6==，故B 选项正确；对于C 选项，原式tan 45tan15tan 601tan 45tan15︒+︒==︒=-︒︒C 选项正确；对于D 选项，原式1sin 302=︒=，故D 选项错误.故选：BC.10.若0a b >>，0c <，则下列不等式中正确的是（）A.c c a b< B.ac bc< C.b c ba c a +>+ D.2b a a b+>【答案】BD 【解析】【分析】利用不等式的基本性质看判断B 选项；利用作差法可判断ACD 选项.【详解】因为0a b >>，0c <，对于A 选项，()0c b a c c a b ab--=>，所以，c c a b >，A 错；对于B 选项，由不等式的基本性质可得ac bc <，B 对；对于C 选项，()()()()()a b c b a c c a b b c b a c a a a c a a c +-+-+-==+++，a c +的符号不确定，无法得出b c a c ++与ba的大小关系，C 错；对于D 选项，()222220a b b a a ab b a b ab ab--++-==>，则2b a a b +>，D 对.故选：BD.11.如图，已知点O 为正六边形ABCDEF 的中心，下列结论正确的是（）A.CB OA=B.0OA OB OC ++=C.OF OD OC OB+=-D.OA FA DE BC⋅=⋅ 【答案】AC 【解析】【分析】利用相等向量的定义可判断A 选项；利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项；利用平面向量线性运算可判断C 选项；利用平面向量数量积的定义可判断D 选项.【详解】对于A 选项，由正六边形的几何性质可知，60AOB OBC BOC ABO ∠=∠=∠=∠= ，所以，//OA BC ，//AB OC ，则四边形OABC 为平行四边形，故CB OA =，A 对；对于B 选项，因为四边形OABC 为平行四边形，由平面向量加法的平行四边形法则可得20OA OB OC OB ++=≠，B 错；对于C 选项，由正六边形的几何性质可知，OF OD DE EF ===，则四边形ODEF 为菱形，所以，OF OD OE += ，OC OB BC -=，易知ODE 为等边三角形，则OE DE BC == ，故OF OD OC OB +=-，C 对；对于D 选项，设正六边形ABCDEF 的边长为a ，易知CB EF =，则21cos 602OA FA AO AF AO AF a ⋅=⋅=⋅=，21cos1202DE BC DE CB DE EF ED EF ED EF a ⋅=-⋅=-⋅=⋅=⋅=- ，所以，OA FA DE BC ⋅≠⋅，D 错.故选：AC.12.已知函数()()πsin 0,2f x x ϕωϕω⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，下列说法中正确的有（）A.若1ω=，则()f x 在π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B.若()f x 在()0,π上有且仅有4个零点，则232966ω<≤C.若把()f x 的图象向左平移π6个单位后得到的函数为偶函数，则ω的最小值为2D.若2,33x ωωππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则()()sin f x x ωϕ=+与()()tan g x x ωϕ=+有3个交点【答案】ABC 【解析】【分析】由已知条件求出π6ϕ=，利用正弦型函数的单调性可判断A 选项；利用函数()f x 在()0,π上的零点个数可得出关于实数ω的不等式，解出ω的取值范围，可判断B 选项；利用三角函数图象变换结合正弦型函数的奇偶性可判断C 选项；当2,33x ωωππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，解方程()()f x g x =，可判断D 选项.【详解】因为函数()()πsin 0,2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()1sin 20==f φ，又因为ππ22ϕ-<<，所以，π6ϕ=，对于A 选项，若1ω=，则()πsin 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当π5π,36x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，则πππ26x <+<，所以，函数()f x 在π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，A 对；对于B 选项，因为()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，当()0,πx ∈时，ππππ666x ωω<+<+，因为()f x 在()0,π上有且仅有4个零点，则π4ππ5π6ω<+≤，解得232966ω<≤，B 对；对于C 选项，把()f x 的图象向左平移π6个单位，可得到函数ππππsin sin 6666y x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦为偶函数，则()ππππ662k k ω+=+∈Z ，可得()62k k ω=+∈Z ，因为0ω>，故当0k =时，ω取最小值2，C 对；对于D 选项，因为2,33x ωωππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭且0ω>，则πππ262x ω-<+<，由πsin ππ6sin tan π66cos 6x x x x ωωωω⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=+= ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，可得πsin 06x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则π06x ω+=，故当2,33x ωωππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，则()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()πta 6n g x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭只有1个交点，D 错.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.一个扇形的弧长为6π，面积为27π，则此扇形的圆心角为________．（用弧度制表示）【答案】2π3【解析】【分析】利用扇形弧长公式，面积公式列方程求解即可.【详解】设圆心角为α，扇形半径为r ，依题可得6πr α=，2127π2r α=，解得2π3α=，9r =.故答案为：2π314.已知简谐运动ππ()2sin ||32f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象经过点(0,1)，则该简谐运动初相ϕ为________．【答案】π6##1π6【解析】【分析】将点代入函数中，结合所求量范围求解即可.【详解】将(0,1)代入函数中，可得()12sin ϕ=，解得π2πZ 6k k =+∈，ϕ，已知π||2ϕ<，解得ππ22ϕ-<<，故π6ϕ=.故答案为：π615.求值：()cos 40110︒+︒=__________．【答案】1【解析】【分析】利用三角函数切化弦，辅助角公式与诱导公式求解即可.【详解】()sin10cos10cos 40110cos 401cos 40cos10cos10︒︒+︒⎛⎫︒+︒=︒+=⨯︒ ⎪︒︒⎝⎭()2sin 30cos10cos30sin102sin40sin80cos 40cos40cos10cos10cos10︒︒+︒︒︒︒=⨯︒=⨯︒=︒︒︒()sin 9010cos101cos10cos10︒-︒︒===︒︒．故答案为：1．16.已知方程12sin π01x x-=-，则当[2,4]x ∈-时，该方程所有实根的和为________．【答案】8【解析】【分析】作出1()1f x x=-，()2sin πg x x =的图象，通过图象的对称性可得方程所有实根的和.【详解】方程12sin π01x x -=-，即12sin π1x x=-，令1()1f x x =-，()2sin πg x x =，1()1f x x =-的图象可由1y x=-的图象向右平移1个单位得到，故关于点(1,0)对称，同时(1,0)也是()2sin πg x x =的一个对称中心；作图可得()f x ，()g x 的图象，观察它们在[2,4]x ∈-时的图象，可知二者的图象都关于(1,0)点成中心对称且()f x ，()g x 图象在[2,4]-上共有8个交点，这8个交点两两成对关于点(1,0)对称，每一对关于(1,0)对称的交点的横坐标的和为2，故所有8个交点的横坐标的和为248⨯=，即方程12sin π01x x-=-所有实根的和为8.故答案为：8.【点睛】方法点睛：（1）转化法，方程12sin π01x x-=-的根的问题，转化为1()1f x x =-，()2sin πg x x=的图象的交点问题；（2）数形结合：作出函数1()1f x x=-，()2sin πg x x =的图象，判断其对称性，从而求解问题.四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{30}A x x =-≤<，集合{}22B x x x =->．（1）求A B ⋂；（2）若集合{}22C x a x a =≤≤+，且()C A B ⊆ ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}20A B x x ⋂=-<<（2）{}2a a >【解析】【分析】（1）计算{}21B x x =-<<，再计算交集得到答案.（2）考虑C =∅和C ≠∅两种情况，根据集合的包含关系得到答案.【小问1详解】{}{}2221B x x x x x =->=-<<，{}20A B x x ⋂=-<<.【小问2详解】当C =∅时，22a a >+，即2a >，满足条件；当C ≠∅时，22a a ≤+且2220a a >-⎧⎨+<⎩，无解.综上所述：实数a 的取值范围{}2a a >.18.如图，以Ox 为始边作角α与(0π)<<<ββα，它们的终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已知点P 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求3sin()5sin 22cos()cos 2ππααπαα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值；（2）若5sin 13β=，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin()αβ+的值．【答案】（1）32（2）3365【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简求值即可.（2）利用两角和的正弦公式处理即可.【小问1详解】由题得3cos 5α=-，4sin 5α=，4tan 3α=-，所以433sin()5sin 353sin 5cos 3255342cos sin 22cos()cos 2255ααααααααπ⎛⎫⎛⎫π-+-⨯+⨯- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭===π+⎛⎫⎛⎫--+⨯-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【小问2详解】由题得，5sin 13β=，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以12cos 13β=，所以4123533sin()sin cos cos sin 51351365αβαβαβ⎛⎫+=+=+-⨯= ⎪⎝⎭19.已知函数π()cos 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭．（1）填写下表，并用“五点法”画出()f x 在[0,]π上的图象；23x π-3π-2ππ32π53πx6π512π23π1112ππ()f x 1211-12（2）将()y f x =的图象横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移π2个单位后，得到()g x 的图象，求()g x 的对称中心．【答案】（1）表格及图象见解析（2）ππ,03k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()k ∈Z 【解析】【分析】（1）直接根据五点作图法补全表格，然后描点画图；（2）先通过图象变换得到()cos 6g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后令πππ62x k +=+可得对称中心．【小问1详解】π()cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，列表如下：π23x -π3-π2π3π25π3xπ65π122π311π12π()f x 1211-012图象如图：【小问2详解】()f x 的图象横坐标扩大为原来的2倍得πcos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再向左平移π2个单位后，得()cos cos 236g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令πππ62x k +=+，()k ∈Z ，得ππ3x k =+，()k ∈Z ，所以函数()g x 的对称中心为ππ,03k ⎛⎫+⎪⎝⎭，()k ∈Z ．20.已知函数2()2sin cos f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域．【答案】（1）π，π7ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎣⎦()k ∈Z ；（2）[1,2].【解析】【分析】（1）将()f x 化简为三角函数的一般式，结合正弦型函数最小正周期以及单调区间的求解方法，即可求得结果；（2）根据x 的取值范围，求得23x π+的范围，结合正弦函数单调性，即可求得结果.【小问1详解】2π()2sin cos sin 222sin 23f x x x x x x x ⎛⎫=+-==+ ⎪⎝⎭，所以()f x 最小正周期为22ππ=；由ππ3π2π22π232k x k +≤+≤+，解得单调递减区间是π7ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；【小问2详解】当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5π2,336x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦，又sin y x =在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；则π5π236x +=，即π4x =时，()f x 取得最小值1，ππ232x +=，即π12x =时，()f x 取得最大值2，故当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域为[1,2]．21.六安一中新校区有一处矩形地块ABCD ，如图所示，50AB =米，BC =米，为了便于校园绿化，计划在矩形地块内铺设三条绿化带OE ，EF 和OF ，考虑到整体规划，要求O 是边AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且π2EOF ∠=．（1）设BOE α∠=，ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，试将OEF 的周长l 表示成α的函数关系式；（2）在（1）的条件下，为增加夜间照明亮度，决定在两条绿化带OE 和OF 上按装智能照明装置，已知两条绿化带每米增加智能照明装置的费用均为m 元，当新加装的智能照明装置的费用最低时，求α大小（备注：7πsin124+=）【答案】（1）25(1sin cos )sin cos l αααα++=，ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）π4【解析】【分析】（1）分别在Rt BOE 和Rt AOF △中，表示出,OE OF ，即可求出EF ，从而求得OEF 的周长l 表示成α的函数关系式；（2）结合（1）可得出OE OF +的表达式，利用三角代换，令sin cos t αα+=，化简OE OF +的表达式，即为501t tOE OF +=-，再结合函数1y t t =-的单调性，即可确定OE OF +何时取得最小值，即可求得答案.【小问1详解】由题意知50AB =，O 是边AB 的中点，在Rt BOE 中，由BOE α∠=，ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得25cos OE α=，由于π2EOF ∠=，故在Rt AOF △中，π2AOF α∠=-，AFO α∠=，可得25sin OF α=，又在Rt EOF △中，由勾股定理得25sin cos EF αα===，所以25252525(1sin cos )cos sin sin cos sin cos l αααααααα++=++=，ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】根据题意，要使费用最低，只需OE OF +最小即可，由（1）得25(sin cos )sin cos OE OF αααα++=，ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设sin cos t αα+=，则21sin cos 2t αα-⋅=，得2225(sin cos )25505011sin cos 12t t OE OF t t t t αααα++===---=，由于πsin cos )4t ααα=+=+，5ππ7π12412α≤+≤，而5π7πsinsin 12124+==，故312t +≤≤，令1()f t t t=-，则1()f t t t=-在(0,)+∞上为增函数，则max 2()2f t f ==，所以当t =时，501t tOE OF +=-最小，此时π4α=，即当新加装的智能照明装置的费用最低时，π4α=．22.已知函数1()log 1a x f x x -=+（0a >且1a ≠）．（1）求()f x 的定义域；（2）若当12a =时，函数()()g x f x b =-在()1,∞+有且只有一个零点，求实数b 的范围；（3）是否存在实数a ，使得当()f x 的定义域为[,]m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m ++，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】22.,1(),)1(-∞-⋃+∞23.()0,+∞24.存在，03a <<-【解析】【分析】（1）根据对数的真数大于0结合分析不等式运算求解；（2）根据题意分析可知()f x b =在(1,)+∞上有且只有一个解，进而结合函数单调性运算求解；（3）根据定义域和值域可得01a <<，且1m n <<，结合单调性分析可知2()(1)10h x ax a x =+-+=有两个大于1相异实数根，结合二次函数零点分布运算求解.【小问1详解】由101x x ->+，得1x >或1x <-．所以()f x 的定义域为,1(),)1(-∞-⋃+∞．【小问2详解】令12()111x t x x x -==-++，可知()t x 在()1,∞+上为增函数，可得()()10t x t >=，且()1t x <，可知()t x 的值域为()0,1，因为12a =，则12log y x =在定义域内为减函数，可得()12log 10f x >=，所以函数()f x 在()1,+∞上的值域为()0,+∞，又因为函数()()g x f x b =-在()3,∞+有且只有一个零点，即()f x b =在()3,∞+上有且只有一个解，所以b 的范围是()0,+∞．【小问3详解】存在，理由如下：假设存在这样的实数a ，使得当()f x 的定义域为[,]m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m ++，由m n <且1log 1log +<+a a n m ，可得01a <<，且1m n <<．令12()111x t x x x -==-++，可知()t x 在(1,)+∞上为增函数，因为01a <<，则log a y x =在定义域内为减函数，所以()f x 在(1,)+∞上为减函数，可得()()()()1log log 11log log 1a a aa m f m am m n f n an n -⎧==⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩，可知11x ax x -=+在(1,)+∞上有两个互异实根，可得2(1)10ax a x +-+=，即2()(1)10h x ax a x =+-+=有两个大于1相异实数根．则()()2Δ14011210a a a a h ⎧=-->⎪-⎪->⎨⎪>⎪⎩，解得03a <<-，所以实数a的取值范围(0,3-.【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法（1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解；。
北京市石景山区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷含答案
石景山区2023—2024学年第一学期高一期末试卷数学（答案在最后）本试卷共5页，满分为100分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}0A x x =>，{}12B x x =-<<，则A B = （）A.{}2x x < B.{}02x x << C.{}12x x << D.{}12x x -<<【答案】B 【解析】【分析】根据交集的定义，即可判断选项.【详解】集合{}0A x x =>，{}12B x x =-<<，由交集的定义可知，{}02A B x x ⋂=<<.故选：B2.已知命题p ：“2,10x R x x ∃∈-+<”，则p ⌝为（）A.2,10x R x x ∃∈-+≥ B.2,10∃∉-+≥x R x x C.2,10x R x x ∀∈-+≥ D.2,10x R x x ∀∈-+<【答案】C 【解析】【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】特称命题的否定是全称命题．命题p ：“2,10x R x x ∃∈-+<”，的否定为：2,10x R x x ∀∈-+≥．故选：C ．3.下列函数中，在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.1()2xy = B.()21y x =- C.1y x =-+ D.3y x =【答案】D【分析】根据各选项中的函数直接判断单调性即可.【详解】函数1()2xy =在R 上单调递减，A 不是；函数()21y x =-在(,1)-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，则在(0,)+∞上不单调，B 不是；函数1y x =-+的R 上单调递减，C 不是；函数3y x =在R 上单调递增，在(0,)+∞上单调递增，D 是.故选：D4.已知关于x 的不等式20x ax b ++<的解集是()2,1-则a b +=（）A.0B.1- C.1D.2-【答案】B 【解析】【分析】根据不等式的解集与相应方程的根的关系，利用韦达定理求解．【详解】由题意2-和1是方程20x ax b ++=的两根，所以21a -+=-，1a =，212b -⨯==-，∴1a b +=-．故选：B ．5.“21x <”是“1x <”的（）A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先求解21x <的解集，再根据集合的包含关系，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项.【详解】由21x <，得0x <，因为{}0x x <{}1x x <，所以“21x <”是“1x <”的充分不必要条件.故选：A6.某中学高三年级共有学生800人，为了解他们的视力状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，若样本中共有女生11人，则该校高三年级共有男生（）人A.220B.225C.580D.585【答案】C【分析】利用分层抽样比例一致得到相关方程，从而得解.【详解】依题意，设高三男生人数为n 人，则高三女生人数为()800n -人，由分层抽样可得8001180040n -=，解得580n =.故选：C.7.若0a b <<则（）A.22a b <B.2ab b < C.22a b> D.2a bb a+>【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质，以及指数函数的性质，基本不等式，即可判断选项.【详解】A.因为0a b <<，则a b >，则22a b >，故A 错误；B.因为0a b <<，所以2ab b >，故B 错误；C.2x y =在R 上单调递增，当0a b <<时，22a b <，故C 错误；D.因为0a b <<，所以b a 和a b都大于0，则2a b b a +≥=，当b aa b =时，即0a b =<时等号成立，所以“=”不能取到，所以2a b b a+>，故D 正确.故选：D8.已知函数()22log ,14,1x x x f x x -≥⎧=⎨<⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A.1-B.0C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】根据分段函数的定义区间，结合函数解析式，求函数值.【详解】函数()22log ,14,1x x x f x x -≥⎧=⎨<⎩，则()1221422log 212f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C9.已知函数()2log 1f x x x =-+，则不等式()0f x <的解集是（）A.()0,1 B.()(),12,-∞+∞ C.()1,2 D.()()0,12,⋃+∞【答案】D【分析】由()0f x <可得2log 1x x <-，即1y x =-的图象在2log y x =图象的上方，画出2log ,1y x y x ==-图象，即可得出答案.【详解】因为()2log 1f x x x =-+的定义域为()0,∞+，因为()21log 1110f =-+=，()22log 2210f =-+=，由()0f x <可得2log 1x x <-，即1y x =-的图象在2log y x =图象的上方，画出2log ,1y x y x ==-的图象，如下图，由图可知：不等式()0f x <的解集是()()0,12,∞⋃+.故选：D .10.已知非空集合A ，B 满足以下两个条件：（1）{}1,2,3,4,5,6A B = ，A B ⋂=∅；（2）A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素.则有序集合对(),A B 的个数为（）A.12B.10C.6D.5【答案】B 【解析】【分析】首先讨论集合,A B 中的元素个数，确定两个集合中的部分元素，再结合组合数公式，即可求解.【详解】若集合A 中只有1个元素，则集合B 只有5个元素，1A ∉，5B ∉，即5A ∈，1B ∈，此时有04C 1=个；若集合A 中只有2个元素，则集合B 只有4个元素，2A ∉，4B ∉，即4A ∈，2B ∈，此时有14C 4=个；若集合A 中只有3个元素，则集合B 只有3个元素，3A ∉，3B ∉，不满足题意；若集合A 中只有4个元素，则集合B 只有2个元素，4A ∉，2∉B ，即2A ∈，4B ∈，此时有34C 4=个；若集合A 中只有5个元素，则集合B 只有1个元素，5A ∉，1B ∉，即1A ∈，5∈B ，此时有44C 1=个；故有序集合对(),A B 的个数是144110+++=.故选：B第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.11.函数()1lg 2y x x=-+的定义域为______.【答案】(2,)+∞【解析】【分析】利用函数有意义列式求解即得.【详解】函数()1lg 2y x x=-+有意义，则20x ->且0x ≠，解得2x >，所以函数()1lg 2y x x=-+的定义域为(2,)+∞.故答案为：(2,)+∞12.已知()2240x x y x x++=>，则当x =______时，y 取得最小值为______.【答案】①.2②.6【解析】【分析】由基本不等式求解即可.【详解】因为0x >，40x >，所以224422x x y x x x ++==++≥+426=+=，当且仅当4x x=，即2x =时取等，所以当2x =时，y 取得最小值为6.故答案为：2；6.13.不等式212xx ≤-的解集为__________.【答案】[)2,2-【解析】【分析】将分式不等式转化成整式不等式求解即可得出答案.【详解】根据不等式212x x ≤-整理可得2102xx -≤-，即202x x +≤-，等价于()()22020x x x ⎧+-≤⎨-≠⎩，解得22x -≤<；所以不等式212xx ≤-的解集为[)2,2-故答案为：[)2,2-14.写出一个值域为[)1,+∞的偶函数()f x =______.【答案】2x （答案不唯一）【解析】【分析】根据偶函数的性质，以及指数函数的性质，即可求解()f x 的解析式.【详解】设()2xf x =，函数的定义域为R ，且()()f x f x -=，即函数为偶函数，0x ≥，所以()21x f x =≥，即函数的值域为[)1,+∞,所以满足条件的一个函数()2xf x =.故答案为：2x15.已知函数()21,1,1x ax x f x ax x ⎧-++≤=⎨>⎩，（1）若0a =，则()f x 的最大值是______；（2）若()f x 存在最大值，则a 的取值范围为______.【答案】①.1②.(],0-∞【解析】【分析】（1）若0a =，则()21,10,1x x f x x ⎧-+≤=⎨>⎩，由二次函数的性质可得出答案；（2）当0a =时，由（1）知，()f x 存在最大值，当0a ≠时，若()f x 存在最大值，()f x ax =在()1,∞+应单调递减，所以a<0，即可得出答案.【详解】（1）若0a =，则()21,10,1x x f x x ⎧-+≤=⎨>⎩，当1x ≤时，()f x =21x -+，所以()(],1f x ∞∈-，则()f x 的最大值是1.（2）当0a =时，由（1）知，()f x 存在最大值，当0a ≠时，若()f x 存在最大值，()f x ax =在()1,∞+应单调递减，所以a<0，且当1x >时，()0f x ax a =<<，无最大值，当1x ≤时，()f x =2221124a a x ax x ⎛⎫-++=--++ ⎪⎝⎭，则()f x 在,2a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在,12a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以()f x 存在最大值为2124a af a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭.故a 的取值范围为：(],0-∞.故答案为：1；(],0-∞.三、解答题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知集合{}2340A x x x =-->，集合{}0B x a x =-≤（1）当2a =时，求A B ⋃；（2）若R B A ⋂≠∅ð，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{1A B x x ⋃=<-或2}x ≥；（2）4a ≤【解析】【分析】（1）分别求集合,A B ，再求A B ⋃；（2）根据（1）的结果，首先求R A ð，再根据集合的运算结果，求实数a 的取值范围.【小问1详解】当2a =时，{}2B x x =≥，2340x x -->，得>4x 或1x <-，即{1A x x =<-或4}x >，所以{1A B x x ⋃=<-或2}x ≥；【小问2详解】由（1）可知，{}R 14A x x =-≤≤ð，{}B x x a =≥，若R B A ⋂≠∅ð，则4a ≤.17.已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的.（1）求丙投篮命中的概率；（2）甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率；（3）甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率.【答案】（1）0.5（2）0.21（3）0.29【解析】【分析】（1）首先设甲，乙，丙投篮命中分别为事件,,A B C ，根据独立事件概率公式，即可求解；（2）根据（1）的结果，根据公式()()()()P ABC P A P B P C =，即可求解；（3）首先表示3人中恰有1人命中的事件，再根据概率的运算公式，即可求解.【小问1详解】设甲投篮命中为事件A ，乙投篮命中为事件B ，丙投篮命中为事件C ，由题意可知，()0.6P A =，()0.3P B =，()()()0.35P BC P B P C ==，则()()10.7P B P B =-=，()0.350.50.7P C ==,所以丙投篮命中的概率为0.5；【小问2详解】甲和乙命中，丙不中为事件D ，则()P D =()()()()0.60.70.50.21P ABC P A P B P C ==⨯⨯=，所以甲和乙命中，丙不中的概率为0.21；【小问3详解】甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中为事件E ，则()()P E P ABC ABC ABC =++,()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++0.60.30.50.40.70.50.40.30.5=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.29=18.已知函数()322x mf x x -=+的图像过点()1,1．（1）求实数m 的值；（2）判断()f x 在区间(),1-∞-上的单调性，并用定义证明；【答案】（1）1m =-（2）()f x 在区间(),1-∞-上单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）将()1,1代入解析式，得到m 的值；（2）利用定义法证明函数单调性步骤：取值，作差，判号，下结论.【小问1详解】将点()1,1代入函数()322x m f x x -=+中，可得3122m-=+，解得1m =-．【小问2详解】单调递增，证明如下．由（1）可得()()()3123131222121x x f x x x x +-+===-+++，任取()12,1x x <∈-∞-，则()()121231312121f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=---⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()122112111111x x x x x x -=-=++++，因为()12,1x x <∈-∞-，则120x x -<，110x +<，210x +<，即()()12110x x ++>，所以()()1212011x x x x -<++，即()()12f x f x <，所以()f x 在区间(),1-∞-上单调递增．19.甲、乙两个篮球队在4次不同比赛中的得分情况如下：甲队88919396乙队89949792（1）在4次比赛中，求甲队的平均得分；（2）分别从甲、乙两队的4次比赛得分中各随机选取1次，求这2个比赛得分之差的绝对值为1的概率；（3）甲，乙两队得分数据的方差分别记为21S ，22S ，试判断21S 与22S 的大小（结论不要求证明）【答案】（1）92（2）516（3）2212S S =【解析】【分析】（1）根据平均数公式，即可求解；（2）利用列举样本空间的方法，结合古典概型概率公式，即可求解；（3）结合方差的定义和公式，即可判断.【小问1详解】设甲队的平均分为1x ，则188919396924x +++==所以甲队的平均分为92；【小问2详解】分别从甲、乙两队的4次比赛得分中各随机选取1次，有()()()()88,89,88,94,88,97,88,92,()()()()91,89,91,94,91,97,91,92,()()()()93,89,93,94,93,97,93,92,()()()()96,89,96,94,96,97,96,92，共包含16个基本事件，这2个比赛得分之差的绝对值为1包含()()()()()88,89,91,92,93,94,93,92,96,97，共5个基本事件，所以这2个比赛得分之差的绝对值为1的概率516P =;【小问3详解】乙队的平均分为289949792934x +++==，则()()()()22222188929192939296928.54S -+-+-+-==,()()()()22222289939493979392938.54S -+-+-+-==2212S S =20.已知函数()e e x xf x a -=+，其中e 为自然对数的底数，R a ∈.（1）若0是函数()f x 的一个零点，求a 的值并判断函数()f x 的奇偶性；（2）若函数()f x 同时满足以下两个条件，求a 的取值范围.条件①：x ∀∈R ，都有()0f x >；条件②：[]01,1x ∃∈-，使得()04f x ≤.【答案】20.1a =-；奇函数.21.[]0,4【解析】【分析】（1）由()00f =可求出1a =-；再由奇偶函数的定义即可判断；（2）条件①，x ∀∈R ，都有()0f x >，即2e x a -<在R 上恒成立，由2e 0x >，即可求出a 的取值范围，条件②，[]01,1x ∃∈-，使得()04f x ≤，即()0024e e x x a ≤-，令0e x t =，由二次函数的性质即可得出答案，综合两个条件①②可得出a 的取值范围.【小问1详解】因为0是函数()f x 的一个零点，所以()000e e 10f a a =+=+=，解得：1a =-，所以()e e x x f x -=-，因为()f x 的定义域为R ，()()ee x xf x f x --=-=-，所以()f x 为奇函数.【小问2详解】条件①：x ∀∈R ，都有()0f x >，即e e 0x x a -+>，所以()2e 0e x x a+>，即()2e 0x a +>，则2e x a -<在R 上恒成立，因为2e 0x >，所以0a -≤，则0a ≥.故a 的取值范围为[)0,∞+.条件②：[]01,1x ∃∈-，使得()04f x ≤，即00e e 4x x a -+≤，即()002e 4e 0x x a -+≤，即()0024e e x x a ≤-，令0e x t =，[]01,1x ∈-，则1,e e t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()()22424g t t t t =-=--+，1,e et ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当2t =时，()()max 24g t g ==，所以4a ≤.若函数()f x 同时满足两个条件①②可得：故a 的取值范围为[]0,4.。
高一数学第一学期期末考试试卷(共5套,含参考答案)
高一第一学期期末考试数学试卷 满分：150分 时间: 120分钟一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}|27,|1,A x x B x x x N =-<<=>∈，则AB 的元素的个数为（ ）A.3B.4C.5D.62.两条直线a ，b 满足a ∥b ，b α⊂，则a 与平面α的关系是( ) A.a ∥α B.a 与α相交 C.a 与α不相交 D.a α⊂3.方程的1xe x =的根所在的区间是（ ）． A.)21,0( B.)1,21( C.)23,1( D.)2,23(4.函数y=x （x 2-1）的大致图象是( )5.如图所示，已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为（ ） A.90°B.60°C.45°D.30°6.长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AA =3AD =，则 长方体1111ABCD A B C D - 的外接球的直径为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.57.圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( ) A.120° B.150° C.180° D.240°8.如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是( ) A.BD ∥平面CB 1D 1 B.AC 1⊥BDC.AC 1⊥平面CB 1D 1D.异面直线AD 与CB 1角为60°9.若方程1ln 02xx a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭有两个不等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B.()1,+∞C.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.(),1-∞10.某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的表面积是（ ）A.65B.6C.2D.511.已知函数()22log f x x x =+，则不等式()()120f x f +-<的解集为（ ）A. ()(),13,-∞-⋃+∞B. ()(),31,-∞-⋃+∞C. ()()3,11,1--⋃-D. ()()1,11,3-⋃12.已知()()()2,log 0,1x a f x ag x x a a -==>≠，若()()440f g ⋅-<，则y=()f x ，y=()g x 在同一坐标系内的大致图象是( )二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知不等式062<-+px x 的解集为{|32}x x -<<，则p = .14.2lg 2＝ _________15.函数()lg 21y x =+的定义域是______________________. 16.函数x21f x =-log x+23⎛⎫⎪⎝⎭（）（）在区间[－1,1]上的最大值为________． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）全集R U =，函数()lg(3)f x x =+-的定义域为集合A ，集合{}02<-=a x x B ．（1）求U A ð； （2）若A B A = ,求实数a 的取值范围．18.（本题满分12分）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤-=)0(,1)1(log )0(,2)21()(2x x x x f x（1）求)(x f 的零点； （2）求不等式()0f x >的解集.19．（12分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠A ＝90°，BD ⊥DC ，将△ABD 沿BD 折起到△EBD 的位置，使平面EBD ⊥平面BDC. (1) 求证:平面EBD ⊥平面EDC ； (2) 求ED 与BC 所成的角．20．(1２分)一块边长为10 cm 的正方形铁块按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．(1)试把容器的容积V 表示为x 的函数； (2)若x ＝6，求图2的正视图的面积．21.（本小题满分12分）在三棱柱111C B A ABC -中，侧面11A ABB 为矩形，1AB =，1AA ，D 为1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，⊥CO 侧面11A ABB .（Ⅰ）证明：1AB BC ⊥； （Ⅱ）若OA OC =，求点1B 到平面ABC 的距离.1A A1B B1C COD22．（本小题满分12分）已知函数4()log (41)x f x kx =++(k ∈R )，且满足(1)(1)f f -=． （1）求k 的值；（2）若函数()y f x =的图象与直线12y x a =+没有交点，求a 的取值范围； （3）若函数1()2()421f x xx h x m +=+⋅-，[]20,log 3x ∈，是否存在实数m 使得()h x 最小值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.高一第一学期期末考试 数学试卷参考答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 1 14. 2 15. 16. 316.解析：∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 和y ＝－log 2(x ＋2)都是[－1,1]上的减函数，∴f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上是减函数，∴函数f(x)在区间[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.答案：3三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.解：(1)∵⎩⎨⎧>->+0302x x ∴23x -<<…………………………………3分∴A=(-2,3) ∴(][)23u C A =-∞-+∞，，……………………………5分 （2）当0≤a 时，φ=B 满足A B A = ……………………………6分当0>a 时，)(a a B ，-= ∵AB A = ∴A B ⊆[]∴⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-32a a ， ∴40≤<a ……………………………9分 综上所述：实数a 的范围是4≤a ……………………………………10分18.解：（1）由0)(=x f 得，⎪⎩⎪⎨⎧=-≤02)21(0x x 或⎩⎨⎧=-+>01)1(log 02x x ，解得1-=x 或1=x .所以，函数)(x f 的零点是—1，1..................................6分（2）由()0f x >得，01()202xx ≤⎧⎪⎨->⎪⎩或20log (1)10x x >⎧⎨+->⎩，解得1x <-或1x >.所以，不等式1)(>x f 的解集是{x |1x <-或1x >}.................................12分19.(1) 证明：∵平面EBD ⊥平面BDC ，且平面EBD ∩平面BDC ＝BD ，CD ⊥BD ， ∴CD ⊥平面EBD ， ∵CD 平面EDC ，∴平面EBD ⊥平面EDC.……………………………6分 (2) 解：如答图，连接EA ，取BD 的中点M ，连接AM ，EM ， ∵AD ∥BC ，∴∠EDA 即为ED 与BC 所成的角． 又∵AD ＝AB ，∴ED ＝EB. ∴EM ⊥BD ，∴EM ⊥平面ABCD.设AB ＝a ，则ED ＝AD ＝a ，EM ＝MA ， ∴AE ＝a ，∴∠EDA ＝60°.即ED 与BC 所成的角为60°……………………………１２分20.(12分)解 (1)设所截等腰三角形的底边边长为x cm. 在Rt △EOF 中，EF ＝5 cm ，OF ＝12x cm ，所以EO ＝25－14x 2.于是V ＝13x225－14x 2(cm 3)．依题意函数的定义域为{x|0<x<10}．……………………………６分(2)正视图为等腰三角形，腰长为斜高，底边长＝AB ＝6， 底边上的高为四棱锥的高＝EO ＝25－14x 2＝4，S ＝4×62＝12(cm 2)．……………………………１２分21.解：(1),由 得又即又又BD 与CO 交于O 点，又……………………………６分(2),,又AB=1，可得，由得……………………………１２分22．解析：（1）(1)(1)f f -=，即144log (41)log (41)k k -+-=++444512log log 5log 144k ∴=-==- ∴12k =- ………………………………………………………………………… ………5分（2）由题意知方程411log (41)22x x x a +-=+即方程4=log (41)x a x +-无解, 令4()log (41)x g x x =+-，则函数()y g x =的图象与直线y a =无交点444411()log 41)log log (1)44x x x xg x x +=+-==+（ 任取1x 、2x ∈R ，且12x x <，则12044x x <<，121144x x ∴>. 12124411()()log 1log 1044x x g x g x ⎛⎫⎛⎫∴-=+-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()g x ∴在(),-∞+∞上是单调减函数.1114x +>， 41()log 104xg x ⎛⎫∴=+> ⎪⎝⎭. ∴a 的取值范围是(],0.-∞ ……………………………………………………………… 9分注意：如果从复合函数角度分析出单调性，给全分。
自贡市中职校2023-2024学年度高一上末考试数学试卷 (含答案)
中职高一数学上期末试卷 第1页 共9页自贡市中等职业学校2023-2024学年高一年级上学期期末考试数 学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1.选择题必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.2.第I 卷共1个大题，15个小题.每个小题4分，共60分.一、选择题（每小题4分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合{}1,2,3A =，集合{}3,4,5B =，则AB =（ ）A. φB. {}3C. {}1,2D. {}1,2,3,4,5 2.函数()f x =）A. {}|2x R x ∈≠B. {}|<2x R x ∈C. {}|2x R x ∈≥D. {}|>2x R x ∈3. 已知函数()y f x =的对应关系如下表，函数()y g x =的图象是如图的曲线ABC ，其中(1, 3)(2, 1)(3, 2)A B C ，，，则()()2f g 的值为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0中职高一数学上期末试卷 第2页 共9页4. 若>a b ,下列说法正确的是（ ）A. 1>2a b +-B. >ac bcC. 22>ac bcD. 2>2b a 5. (1)(2)0x x -+≤的解集为（ ）A. {}|12x x -≤≤B. {}|21x x -≤≤C. {}|21x x x ≤-≥或D. {}|12x x x ≤-≥或 6. 函数1()f x x=的单调递减区间是（ ） A . (, 0)(0, +)-∞∞和 B . (, 0)(0, +)-∞∞C . (, 0)-∞D . (0, +)∞7. 已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且(1)3f =，则(1)f -=（ ） A. 1- B. 3- C. 3 D. 1 8. 下列所给图象是函数图象的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 9. “>0x ”是“>1x ”的（ ）A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 10. 下列不等式中，解集为{}11x x -<<的是（ ）A. 210x -≤B. 10x -≤C.()()1011x x ≤+-D. 101x x -≤+中职高一数学上期末试卷 第3页 共9页11. 已知函数1()(>1)x f x a a -=,则该函数图象必经过定点（ ） A. (0, 1) B. (0, 2) C. (1, 2) D. (1, 1)12. 若函数2()21f x x mx =+-在区间(3, )-+∞上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A. 3m ≥ B. 3m ≤ C. 3m ≥- D. 3m ≤-13. 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则随机调查的100位学生阅读过《西游记》的学生人数为（ ）A. 50B. 60C. 70D. 8014. 已知函数()f x 是定义在()(),00,∞-+∞上的奇函数，且()10f -=，若对于任意两个实数x 1，()20,x ∈+∞且12x x ≠，不等式()()12120f x f x x x -<-恒成立，则不等式()0xf x >的解集是（ ）A. ()(),10,1-∞-B. ()(),11,-∞-+∞C. ()()1,01,-+∞ D. ()()1,00,1-15. 计算0122222()x x N ++++∈,令0122222x S =++++Ⅰ，将Ⅰ两边同时乘以2：123122222x S +=+++Ⅰ，用Ⅰ−Ⅰ得到：2S S -=1231(2222)x ++++_012(2222)x ++++，得到121x S +=-；观察该式子的特点，每一项都是前一项的2倍（除第一项外）；运算思路是将代数式每一项乘2后再与原式相减，数学上把这种运算的方法叫做“错位相减”，那么当 0121013333S =++++时候，则1S 的值为（ ）A. 1131- B. 1031- C. 11312- D. 10312-中职高一数学上期末试卷 第4页 共9页第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1. 非选择题必须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.答在试题卷上无效.2. 本部分共2个大题，12个小题.共90分.二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 16. 不等式2<1x -的解集为 .（注意：用区间表示）17. 分段函数()22, 11, 2<1x x f x xx x ⎧+≥⎪=⎨⎪+-≤⎩，则分段函数的定义域为________． 18. 若()12f x x =-，则(2)f -= .19. 2023年第31届世界大学生运动会（成都大运会）是中国大陆第三次举办世界大学生夏季运动会，也是中国西部第一次举办的世界性综合运动会，有关吉祥物“蓉宝”的纪念徽章、盲盒等商品成为抢手货，市场供不应求。
山东省威海市2023-2024学年高一上学期期末考试 数学含答案
高一数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{12345}U =,,,,，{13}A =,，{35}B =,，则()U A B = C A.{24}, B.{5}C.{1245},,, D.{3}2.命题“x Q ∀∈，x A.x Q ∃∈，x + B.x Q ∃∈，x +C.x Q ∃∉，x +D.x Q ∃∉，x +3.函数()f x =的定义域为A.[0)+∞,B.(0)+∞,C.(]0-∞,D.()0-∞,4.已知幂函数2()(214)k f x k k x =--在(0)+∞,上单调递增，则k =A.3- B.3C.5- D.55.甲、乙两校各有2名教师报名支教，若从报名的4名教师中任选2名，则选出的2名教师来自不同学校的概率为A.14B.13C.23D.346.已知343(4a -=，5log 3b =，6log 3c =，则A.a b c <<B.c b a <<C.b c a <<D.b a c<<7.掷红蓝两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件1A ：红骰子的点数为2，2A ：红骰子的点数为3，3A ：两个骰子的点数之和为7，4A ：两个骰子的点数之和为9，则A.1A 与2A 对立 B.3A 与4A 不互斥C.1A 与3A 相互独立D.2A 与4A 相互独立8.已知函数()lg 1f x x =-，若()()f a f b =，且a b <，则2[()](10)f a f b -的最小值为A.3- B.54-C.94-D.134-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年上海市上海中学高一上学期期末考试数学试卷带讲解
【分析】根据幂函数的定义及性质列方程与不等式求解即可得实数 的取值集合.
【详解】解：因为幂函数 ，所以 ，
解得 或 ，
幂函数 的图像与两条坐标轴均没有公共点，所以 ，即 ，
所以 或 均符合题意，则实数 的取值集合是 .
故答案为： .
7.不等式 的解为______.
【答案】
【分析】根据幂函数的性质确定幂函数 的奇偶性与单调性即可解不等式.
A.若 ，则函数 的图象关于原点对称
B.若 ， ，则方程 有大于2的实根
C.若 ， ，则方程 有两个实根
D.若 ， ，则方程 有三个实根
【答案】B
【分析】A.取 ， 判断；B.由 ， 仍是奇函数，2仍是它的一个零点，再由上下平移判断；C.取 ， 判断；D.取 ， 判断.
【详解】A.若 ， ，则函数 不是奇函数，其图象不可能关于原点对称，故错误；
（3）根据保序同构函数的定义可知 为单调递增的函数，结合对勾函数的单调性即可求解.
【小问1详解】
【小问2详解】
假设存在一个从集合 到集合 的“保序同构函数”，
由“保序同构函数”的定义可知，集合 和集合 中的元素必须是一一对应的，
不妨设整数0和1在 中的像分别为 和 ，
根据保序性，因为 ，
所以 ，
又 也是有理数，但是 没有确定的原像，
因为0和1之间没有另外的整数了，
故假设不成立，故不存在从集合 到集合 的“保序同构函数”；
（1）写出服药后 与 之间的函数关系式 ；
（2）进一步测定：每毫升血液中的含药量不少于 毫克时，药物对治疗疾病有效，求服药一次治疗疾病的有效时间．
【答案】代入函数 的解析式，求出 的值，将点 的坐标代入函数 的解析式，由此可得出函数 的解析式；
四川省成都市高一(上)期末数学试卷(含答案解析)
高一（上）期末数学试卷一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分．每小题只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设全集U=R，，B={x|x＜2}，则（∁U A）∩B=（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＜2}D．{x|x≥1}2．（5分）下列函数既是偶函数，又在（0，+∞）上是增函数的是（）A．y=x﹣2B．C．y=2|x|D．y=|x﹣1|+|x+1|3．（5分）下列说法正确的是（）A．若f（x）是奇函数，则f（0）=0B．若α是锐角，则2α是一象限或二象限角C．若，则D．集合A={P|P⊆{1，2}}有4个元素4．（5分）将函数y=sinπx的图象沿x轴伸长到横坐标为原来的2倍，再向左平移1个单位，得到的图象对应的解析式是（）A．B．y=sin（2πx+1） C．D．5．（5分）若G是△ABC的重心，且满足，则λ=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣26．（5分）如图，向一个圆台型容器（下底比上底口径宽）匀速注水（单位时间注水体积相同），注满为止，设已注入的水体积为v，高度为h，时间为t，则下列反应变化趋势的图象正确的是（）A． B． C． D．7．（5分）平面直角坐标系xOy中，角α的始边在x轴非负半轴，终边与单位圆交于点，将其终边绕O点逆时针旋转后与单位圆交于点B，则B 的横坐标为（）A．B．C．D．8．（5分）函数y=f（x）满足对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=2，若g（x）是f（x）的反函数（注：互为反函数的函数图象关于直线y=x对称），则g（8）=（）A．3 B．4 C．16 D．9．（5分）函数（）A．定义域是B．值域是RC．在其定义域上是增函数D．最小正周期是π10．（5分）过x轴上一点P作x轴的垂线，分别交函数y=sinx，y=cosx，y=tanx 的图象于P1，P2，P3，若，则=（）A．B．C．D．11．（5分）定义符号函数为sgn（x）=，则下列命题：①|x|=x•sgn（x）；②关于x的方程lnx•sgn（lnx）=sinx•sgn（sinx）有5个实数根；③若lna•sgn（lna）=lnb•sgn（lnb）（a＞b），则a+b的取值范围是（2，+∞）；④设f（x）=（x2﹣1）•sgn（x2﹣1），若函数g（x）=f2（x）+af（x）+1有6个零点，则a＜﹣2．正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个12．（5分）已知函数，那么下列命题正确的是（）A．若a=0，则y=f（x）与y=3是同一函数B．若0＜a≤1，则C．若a=2，则对任意使得f（m）=0的实数m，都有f（﹣m）=1D．若a＞3，则f（cos2）＜f（cos3）二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分，把最终的结果填在题中横线上）13．（5分）若函数，则函数y=f（2x）的定义域是．14．（5分）已知f（x）=的值域为R，那么a的取值范围是．15．（5分）若，则sinβ=．16．（5分）若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数且满足f（x）+g （x）=e x，其中e是自然对数的底数，则比较f（e），f（3），g（﹣3）的大小．三、解答题（共6个小题，共计70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（I）求值：log23•log34﹣log20.125﹣；（II）求值：sin15°+cos15°．18．（12分）已知函数．（I）求函数f（x）对称轴方程和单调递增区间；（II）对任意，f（x）﹣m≥0恒成立，求实数m的取值范围．19．（12分）根据平面向量基本定理，若为一组基底，同一平面的向量可以被唯一确定地表示为，则向量与有序实数对（x，y）一一对应，称（x，y）为向量在基底下的坐标；特别地，若分别为x，y 轴正方向的单位向量，则称（x，y）为向量的直角坐标．（I）据此证明向量加法的直角坐标公式：若，则；（II）如图，直角△OAB中，，C点在AB上，且，求向量在基底下的坐标．20．（12分）某企业一天中不同时刻的用电量y（万千瓦时）关于时间t（小时，0≤t≤24）的函数y=f（t）近似满足f（t）=Asin（ωt+φ）+B，（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）．如图是函数y=f（t）的部分图象（t=0对应凌晨0点）．（Ⅰ）根据图象，求A，ω，φ，B的值；（Ⅱ）由于当地冬季雾霾严重，从环保的角度，既要控制火力发电厂的排放量，电力供应有限；又要控制企业的排放量，于是需要对各企业实行分时拉闸限电措施．已知该企业某日前半日能分配到的供电量g（t）（万千瓦时）与时间t（小时）的关系可用线性函数模型g（t）=﹣2t+25（0≤t≤12）模拟．当供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．初步预计停产时间在中午11点到12点间，为保证该企业既可提前准备应对停产，又可尽量减少停产时间，请从这个初步预计的时间段开始，用二分法帮其估算出精确到15分钟的停产时间段．21．（12分）已知函数f（x）=lg（x+1）﹣lg（x﹣1）．（Ⅰ）求f（x）的定义域，判断并用定义证明其在定义域上的单调性；（Ⅱ）若a＞0，解关于x的不等式f（a2x﹣2a x）＜lg2．22．（12分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R，都有f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x2．（I）当﹣2≤x≤0时，求f（x）的解析式；（II）设向量，若同向，求的值；（III）定义：一个函数在某区间上的最大值减去最小值的差称为此函数在此区间上的“界高”．求f（x）在区间[t，t+1]（﹣2≤t≤0）上的“界高”h（t）的解析式；在上述区间变化的过程中，“界高”h（t）的某个值h0共出现了四次，求h0的取值范围．高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分．每小题只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设全集U=R，，B={x|x＜2}，则（∁U A）∩B=（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＜2}D．{x|x≥1}【解答】解：由A中不等式解得：x＜1或x＞3，即A={x|x＜1或x＞3}，∴∁U A={x|1≤x≤3}，∵B={x|x＜2}，∴（∁U A）∩B={x|1≤x＜2}，故选：A．2．（5分）下列函数既是偶函数，又在（0，+∞）上是增函数的是（）A．y=x﹣2B．C．y=2|x|D．y=|x﹣1|+|x+1|【解答】解：函数y=x﹣2是偶函数，但在（0，+∞）上是减函数；函数是奇函数，在（0，+∞）上是增函数；函数y=2|x|=是偶函数，又在（0，+∞）上是增函数；函数y=|x﹣1|+|x+1|=是偶函数，但在（0，1]上不是增函数；故选C3．（5分）下列说法正确的是（）A．若f（x）是奇函数，则f（0）=0B．若α是锐角，则2α是一象限或二象限角C．若，则D．集合A={P|P⊆{1，2}}有4个元素【解答】解：对于A，若f（x）是奇函数，且定义域中有0，则f（0）=0，若定义域中无0，则f（0）无意义，故错；对于B，若α=450，则2α不是一象限，也不是二象限角，故错；对于C，当时，不成立，故错；对于D，若P⊆{1，2}，集合P可以是{1}，{2}，{1，2}，∅，故正确．故选：D4．（5分）将函数y=sinπx的图象沿x轴伸长到横坐标为原来的2倍，再向左平移1个单位，得到的图象对应的解析式是（）A．B．y=sin（2πx+1） C．D．【解答】解：由题意可得：若将函数y=sinπx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即周期变为原来的两倍，可得函数y=sin x，再将所得的函数图象向左平移1个单位，可得y=sin[（x+1）]=sin（x+）=cos x．故选：C．5．（5分）若G是△ABC的重心，且满足，则λ=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：∵G是△ABC的重心，∴，∵，∴λ=﹣1，故选B．6．（5分）如图，向一个圆台型容器（下底比上底口径宽）匀速注水（单位时间注水体积相同），注满为止，设已注入的水体积为v，高度为h，时间为t，则下列反应变化趋势的图象正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：向一个圆台型容器（下底比上底口径宽）匀速注水（单位时间注水体积相同），则容器内对应的水的高度h随时间的t的增加而增加，且增加的速度越来越快，故选：D．7．（5分）平面直角坐标系xOy中，角α的始边在x轴非负半轴，终边与单位圆交于点，将其终边绕O点逆时针旋转后与单位圆交于点B，则B 的横坐标为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得sinα=，cosα=，B的横坐标为cos（α+）=cosαcos﹣sinαsin=﹣=﹣，故选：B．8．（5分）函数y=f（x）满足对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=2，若g（x）是f（x）的反函数（注：互为反函数的函数图象关于直线y=x对称），则g（8）=（）A．3 B．4 C．16 D．【解答】解：函数y=f（x）满足对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=2，可得f（2）=f（1）•f（1）=4，令x=1，y=2，可得f（3）=f（1）•f（2）=2×4=8，由g（x）是f（x）的反函数，可得互为反函数的函数图象关于直线y=x对称，（3，8）关于直线y=x对称的点为（8，3），则g（8）=3．故选：A．9．（5分）函数（）A．定义域是B．值域是RC．在其定义域上是增函数D．最小正周期是π【解答】解：∵函数==tan（x+），∴f（x）的定义域是{x|x≠kπ+，且x≠+kπ，k∈Z}，A错误；f（x）的值域不是R，B错误；f（x）在其定义域上不是增函数，C错误；f（x）的最小正周期是π，D正确．故选：D．10．（5分）过x轴上一点P作x轴的垂线，分别交函数y=sinx，y=cosx，y=tanx 的图象于P1，P2，P3，若，则=（）A．B．C．D．【解答】解：过x轴上一点P作x轴的垂线，分别交函数y=sinx，y=cosx，y=tanx 的图象于P1，P2，P3，∴线段PP1的长即为sinx的值，PP3的长为tanx的值，PP2的长为cosx的值；又，∴tanx=cosx，即cos2x=sinx，由平方关系得sin2x+sinx=1，解得sinx=，或sinx=﹣3（不合题意，舍去），∴=．故选：A．11．（5分）定义符号函数为sgn（x）=，则下列命题：①|x|=x•sgn（x）；②关于x的方程lnx•sgn（lnx）=sinx•sgn（sinx）有5个实数根；③若lna•sgn（lna）=lnb•sgn（lnb）（a＞b），则a+b的取值范围是（2，+∞）；④设f（x）=（x2﹣1）•sgn（x2﹣1），若函数g（x）=f2（x）+af（x）+1有6个零点，则a＜﹣2．正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①当x＞0时，x•sgn（x）=x，当x=0时，x•sgn（x）=0，当x＜0时，x•sgn（x）=﹣x．故|x|=x•sgn（x）成立，故①正确；②设f（x）=lnx•sgn（lnx），当lnx＞0即x＞1时，f（x）=lnx，当lnx=0即x=1时，f（x）=0，当lnx＜0即0＜x＜1时，f（x）=﹣lnx，作出y=f（x）的图象（如右上）；设g（x）=si nx•sgn（sinx），当sinx＞0时，g（x）=sinx，当sinx=0时，g（x）=0，当sinx＜0时，g（x）=﹣sinx，画出y=g（x）的图象（如右上），由图象可得y=f（x）和y=g（x）有两个交点，则关于x的方程lnx•sgn（lnx）=sinx•sgn（sinx）有2个实数根，故②错误；③若lna•sgn（lna）=lnb•sgn（lnb）（a＞b），则a＞1，0＜b＜1，即有lna=﹣lnb，可得lna+lnb=0，即ab=1，则a+b＞2=2，则a+b的取值范围是（2，+∞），故③正确；④设f（x）=（x2﹣1）•sgn（x2﹣1），当x2﹣1＞0即x＞1或x＜﹣1，即有f（x）=x2﹣1，当x2﹣1=0即x=±1，f（x）=0，当x2﹣1＜0即﹣1＜x＜1，f（x）=1﹣x2，作出f（x）的图象，（如下图）令t=f（x），可得函数y=t2+at+1，若函数g（x）=f2（x）+af（x）+1有6个零点，则t2+at+1=0有6个实根，由于t=0不成立，方程t2+at+1=0的两根，一个大于1，另一个介于（0，1），则即为，解得a＜﹣2，故④正确．故正确的个数有3个．故选：D．12．（5分）已知函数，那么下列命题正确的是（）A．若a=0，则y=f（x）与y=3是同一函数B．若0＜a≤1，则C．若a=2，则对任意使得f（m）=0的实数m，都有f（﹣m）=1D．若a＞3，则f（cos2）＜f（cos3）【解答】解：对于A，若a=0，则y=f（x）的定义域为{x|x≠0}，y=3定义域为R，不是同一函数，故错；对于B，若0＜a≤1时，可得函数f（x）在[﹣，]上为增函数，∵=，故错；对于C，a=2时，f（x）=，f（x）+f（﹣x）==，∴则对任意使得f（m）=0的实数m，都有f（﹣m）=1，正确；对于D，当a＞3时，f（x）在[﹣，]上为增函数，且cos2＞cos3，则f（cos2）＞f（cos3），故错．故选：C二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分，把最终的结果填在题中横线上）13．（5分）若函数，则函数y=f（2x）的定义域是[1，+∞）．【解答】解：由x﹣2≥0，解得：x≥2，故2x≥2，解得：x≥1，故函数的定义域是：[1，+∞）．14．（5分）已知f（x）=的值域为R，那么a的取值范围是﹣1．【解答】解：∵f（x）=∴x≥1，lnx≥0，∵值域为R，∴1﹣2ax+3a必须到﹣∞，即满足：即故答案为：．15．（5分）若，则sinβ=．【解答】解：由a∈（0，π），＞0，∴∵sin2α+cos2α=1解得：sinα=，cosα=由cos（a+β）=＞0，∵，β∈（0，π）∴（α+β）∈（0，）∴sin（a+β）=那么：sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=×﹣=故答案为．16．（5分）若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数且满足f（x）+g （x）=e x，其中e是自然对数的底数，则比较f（e），f（3），g（﹣3）的大小f （e）＜f（3）＜g（﹣3）．【解答】解；∵函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数且满足f（x）+g（x）=e x，①∴f（﹣x）+g（﹣x）=e﹣x，即﹣f（x）+g（x）=e﹣x，②两式联立得，f（x）=，则函数f（x）为增函数，∴f（e）＜f（3），∵g（x）偶函数，∴g（﹣3）=g（3），∵g（3）=，f（3）=，∴f（3）＜g（﹣3），综上：f（e）＜f（3）＜g（﹣3）．故答案为：f（e）＜f（3）＜g（﹣3）．三、解答题（共6个小题，共计70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（I）求值：log23•log34﹣log20.125﹣；（II）求值：sin15°+cos15°．【解答】解：（I）原式=，（II）原式=（sin15°+cos15°）=sin60°=18．（12分）已知函数．（I）求函数f（x）对称轴方程和单调递增区间；（II）对任意，f（x）﹣m≥0恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（I）==（3分）由，由，所以对称轴是，单调增区间是．（6分）（II）由得，从而，（11分）f（x）﹣m≥0恒成立等价于m≤f（x）min，∴．（12分）19．（12分）根据平面向量基本定理，若为一组基底，同一平面的向量可以被唯一确定地表示为，则向量与有序实数对（x，y）一一对应，称（x，y）为向量在基底下的坐标；特别地，若分别为x，y 轴正方向的单位向量，则称（x，y）为向量的直角坐标．（I）据此证明向量加法的直角坐标公式：若，则；（II）如图，直角△OAB中，，C点在AB上，且，求向量在基底下的坐标．【解答】解：（I）证明：根据题意：，∴=x1+y1，=x2+y2，（2分）∴，（4分）∴；（6分）（II）【解法一】（向量法）：根据几何性质，易知∠OAB=60°，∴||=，||=；从而，∴+=（+），∴=+，化简得：=+；∴在基底下的坐标为．【解法二】（向量法）：同上可得：，∴+=（+），∴=+；从而求得坐标表示．【解法三】（坐标法）：以O为坐标原点，方向为x，y轴正方向建立直角坐标系，则，由几何意义易得C的直角坐标为；设，则，∴，解得，即得坐标为（，）．（12分）20．（12分）某企业一天中不同时刻的用电量y（万千瓦时）关于时间t（小时，0≤t≤24）的函数y=f（t）近似满足f（t）=Asin（ωt+φ）+B，（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）．如图是函数y=f（t）的部分图象（t=0对应凌晨0点）．（Ⅰ）根据图象，求A，ω，φ，B的值；（Ⅱ）由于当地冬季雾霾严重，从环保的角度，既要控制火力发电厂的排放量，电力供应有限；又要控制企业的排放量，于是需要对各企业实行分时拉闸限电措施．已知该企业某日前半日能分配到的供电量g（t）（万千瓦时）与时间t（小时）的关系可用线性函数模型g（t）=﹣2t+25（0≤t≤12）模拟．当供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．初步预计停产时间在中午11点到12点间，为保证该企业既可提前准备应对停产，又可尽量减少停产时间，请从这个初步预计的时间段开始，用二分法帮其估算出精确到15分钟的停产时间段．【解答】解：（Ⅰ）由图知，∴．（1分），．（3分）∴．代入（0，2.5），得，又0＜φ＜π，∴．（5分）综上，，，，B=2．即．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知．令h（t）=f（t）﹣g（t），设h（t0）=0，则t0为该企业的停产时间．易知h（t）在（11，12）上是单调递增函数．由h（11）=f（11）﹣g（11）＜0，h（12）=f（12）﹣g（12）＞0，又，则t0∈（11，11.5）．即11点到11点30分之间（大于15分钟）又，则t0∈（11.25，11.5）．即11点15分到11点30分之间（正好15分钟）．（11分）答：估计在11点15分到11点30分之间的时间段停产．（12分）21．（12分）已知函数f（x）=lg（x+1）﹣lg（x﹣1）．（Ⅰ）求f（x）的定义域，判断并用定义证明其在定义域上的单调性；（Ⅱ）若a＞0，解关于x的不等式f（a2x﹣2a x）＜lg2．【解答】解：（Ⅰ）由题意，所以定义域为（1，+∞）．（2分）任取1＜x1＜x2，则，∵1＜x1＜x2，∴（x1x2﹣1+x2﹣x1）﹣（x1x2﹣1﹣x2+x1）=2（x2﹣x1）＞0，且x1x2﹣1﹣x2+x1=（x1﹣1）（x2+1）＞0，∴，∴，∴f（x1）＞f（x2），即函数f（x）在（1，+∞）上单调递减（6分）注：令，，先判断φ（x1），φ（x2）大小，再判断f（x1），f（x2）大小的酌情给分．（Ⅱ）由知，，（可直接看出或设未知数解出），于是原不等式等价于f（a2x﹣2a x）＜f（3）．（7分）由（Ⅰ）知函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，于是原不等式等价于：a2x ﹣2a x＞3＞1，即a2x﹣2a x﹣3＞0⇒（a x﹣3）（a x+1）＞0⇒a x＞3．（9分）于是：①若a＞1，不等式的解集是{x|x＞log a3}；②若0＜a＜1，不等式的解集是{x|x＜log a3}；③若a=1，不等式的解集是Φ．（（12分），每少一种情况扣1分）22．（12分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R，都有f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x2．（I）当﹣2≤x≤0时，求f（x）的解析式；（II）设向量，若同向，求的值；（III）定义：一个函数在某区间上的最大值减去最小值的差称为此函数在此区间上的“界高”．求f（x）在区间[t，t+1]（﹣2≤t≤0）上的“界高”h（t）的解析式；在上述区间变化的过程中，“界高”h（t）的某个值h0共出现了四次，求h0的取值范围．【解答】解：（I）设﹣2≤x≤﹣1，则0≤x+2≤1，∴f（x+2）=（x+2）2=﹣f（x），∴f（x）=﹣（x+2）2；设﹣1≤x≤0，则0≤﹣x≤1，∴f（﹣x）=（﹣x）2=﹣f（x），∴f（x）=﹣x2．综上：当﹣2≤x≤0时，．（II）由题：，∴，所以．∵sinθcosθ＞0，∴θ可能在一、三象限，若θ在三象限，则反向，与题意矛盾；若θ在一象限，则同向．综上，θ只能在一象限．∴，∴，（※）由f（x+2）=﹣f（x）得f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣[﹣f（x）]=f（x），所以（※）式=（或0.16）（III）先说明对称性（以下方法均可）：法一：由（II）：f（x+4）=f（x），再由已知：f（x）是奇函数且f（x+2）=﹣f （x），得f（x﹣2）=﹣f（x）=f（﹣x），令x为﹣x，得f（﹣2﹣x）=f（x），∴f（x）的图象关x=﹣1对称．法二：由（I）：x∈[﹣1，0]时，f（﹣2﹣x）=﹣（﹣2﹣x）2=﹣（x+2）2=f（x）；x∈[﹣2，﹣1]时，f（﹣2﹣x）=﹣（﹣2﹣x+2）2=﹣x2=f（x），综上：f（x）在[﹣1，0]和[﹣2，﹣1]上的图象关于x=﹣1对称．法三：由画出图象说明f（x）在[﹣2，﹣1]和[﹣1，0]上的图象关于x=﹣1对称也可．设f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），则h（t）=M（t）高一(上)期末数学试卷(含答案解析)﹣m（t）．显然：区间[t，t+1]的中点为．所以，如图：（i）当t≥﹣2且，即时，M（t）=﹣（t+2）2，m（t）=﹣1，∴h（t）=M（t）﹣m（t）=﹣（t+2）2+1；（ii）当t+1≤0且，即时，M（t）=﹣（t+1）2，m（t）=﹣1，∴h（t）=M（t）﹣m（t）=﹣（t+1）2+1；（iii）当﹣1≤t≤0时，M（t）=（t+1）2，m（t）=﹣t2，∴h（t）=M（t）﹣m （t）=（t+1）2+t2=2t2+2t+1．综上：．根据解析式分段画出图象，并求出每段最值（如图），由图象可得：．。