2017-2018学年河北省石家庄市高一上学期期末考试数学试题(解析版)

2017-2018学年河北省石家庄市高一上学期期末考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共13小题，共65.0分）1.已知集合A={x2≤2x≤4}，B=（0，4），则A∪B=（）A. B. C. D.2.下列两个函数是相等函数的是（）A. 函数和B. 函数和C. 函数与D. 函数与3.函数y=e x-e-x的图象为（）A. B.C. D.4.函数f（x）=3x+3x-8的零点所在区间为（）A. B. C. D.5.已知向量，不共线，=+，=2-（λ-1），若 ∥，则（）A. B. C. D.6.在自然界中，存在着大量的周期函数，比如声波，若两个声波随时间的变化规律分别为：y1=3sin（100πt），y2=3cos（100πt），则这两个声波合成后即y=y1+y2的振幅为（）A. 3B. 6C.D.7.若sin66°=m，则cos12°=（）A. B. C. D.8.如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若=x+y，则把有序数对（x，y）叫做向量在坐标系xOy中的坐标假设=（2，2），则=（）A. B. C. D.9.在△ABC中，若sin B sin C=cos2，则下面等式一定成立的是（）A. B. C. D.10.已知log2x=log3y=log5＞0，则（）A. B. C. D.11.已知函数f（x）=cos（ωx-）+ω（ω＞0）的部分图象如图所示其最小值为0，则下列选项判断错误的是（）A.B.C.D.12.[普通高中已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[0，2 时，f（x）=（x-1）2，如果g（x）=f（x）-log5x，则函数y=g（x）的零点个数为（）A. 1B. 3C. 5D. 713.[示范高中已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[0，2时，f（x）=2x-1 -1，如果g（x）=f（x）-log3x-2 ，则函数y=g（x）的所有零点之和为（）A. 6B. 8C. 10D. 12二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）14.已知函数f（x）=，则f（f（3））=______．15.将函数y=3sin（2x+）图象向右平移个单位，向上平移1个单位后得到函数y=f（x）的图象，则f（x）=______．16.已知tanθ=-2，则=______．17.【普通高中】若对任意x≤2，都有（ax+2）（x2-4）≤0，则a=______．18.【示范高中】设a，b∈，若对任意x≤0，都有（ax+2）（x2+2b）≤0，则a+b=______．三、解答题（本大题共6小题，共60.0分）19.已知函数f（x）=．（Ⅰ）求f（），f（），f（），f（）的值；（Ⅱ）当实数a≠时，猜想f（a）+f（1-a）的值，并证明．20.已知向量=（2sin x，-1），=（sin x，3），若函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的集合．21.在热学中，物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，如果物体的初始温度是T0，经过一定时间t后，温度T将满足，其中T a是环境温度，h称为半衰期．现有一杯用195F热水冲的速溶咖啡，放在75F的房间内，如果咖啡降到105F需要20分钟，问降温到95F需要多少分钟？（F为华氏温度单位，答案精确到0.1．参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）22.已知函数f（x）=ωx+sinωx cosωx-（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）＞，求x取值的集合．23.已知在直角坐标系xOy中，P（1，1），A（x，0）（x＞0），B（0，y）（y＞0）（Ⅰ）若x=，⊥，求y的值；（Ⅱ）若△OAB的周长为2，求向量与的夹角．24.已知函数f（x）=ln（+mx）（m∈R）．（Ⅰ）是否存在实数m，使得函数f（x）为奇函数，若存在求出m的值，若不存在，说明理由；（Ⅱ）若m为正整数，当x＞0时，f（x）＞ln x++，求m的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A={x 2≤2x≤4}={x 1≤x≤2}，B=（0，4），∴A∪B=（0，4）．故选：B．先分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集的定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：A．y=x的定义域为R，的定义域为{ ≥0}，两函数不相等；B．y=x的定义域为R，的定义域为{ ≠0}，不相等；C．y=ln（1-x2）的定义域为（-1，1），y=ln（1-x）+ln（1+x）=ln（1-x2）的定义域为（-1，1），两函数相等；D．y=ln（x2-1）的定义域为{ ＜-1，或x＞1}，y=ln（x-1）+ln（x+1）的定义域为{ ＞1}，不相等．故选：C．通过求函数定义域，即可判断A，B，D三个选项错误，从而选C．考查函数的概念，判断两函数是否相等的方法：看定义域和对应法则是否都相同．3.【答案】A【解析】解：函数y=e x-e-x=，由于函数为增函数，故也为增函数，故：函数y=e x-e-x为增函数，故选：A．直接利用函数的性质：单调性求出结果．本题考查的知识要点：函数的图象和函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4.【答案】B【解析】解：∵函数f（x）=3x+3x-8在R上为连续增函数，又由f（1）=3+3-8＜0，f（2）=9+6-8=7＞0，函数f（x）=3x+3x-8的零点所在的区间为（1，2），故选：B．连续函数f（x）=3x+3x-8在R上单调递增且f（1）＜0，f（2）＞0，根据函数的零点的判定定理可求．本题主要考查了函数零点的定义及零点判定定理的应用，属于基础试题．5.【答案】C【解析】解：∵不共线，且；∴存在，使；即；∴；解得．故选：C．根据不共线，以及，即可得出：存在，使得，从而得出，从而得出，解出λ即可．考查共面向量基本定理，和共线向量基本定理．6.【答案】C【解析】解：∵y=y1+y2=3sin（100πt）+3cos（100πt）=3sin（100πt+）∴利用函数的性质可得函数的振幅为：3．故选：C．由两角和的正弦函数公式先求得函数解析式，直接利用函数的性质，求出函数的振幅即可．本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：sin66°=m=cos24°=2cos212°-1，则cos12°=，故选：C．由题意利用诱导公式、二倍角公式，求得cos12°的值．本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：根据题意，若=（2，2），则=2+2=2（+），则2=4（2+2•+2）=12，则=2；故选：B．根据题意，由题目中向量坐标的定义可得=2+2=2（+），由数量积的计算公式可得2=4（2+2•+2）=12，变形即可得答案．本题考查向量的坐标表示以及向量模的计算，注意向量坐标表示的定义，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：在△ABC中，∵sinBsinC=cos2=，∴2sinBsinC=-cosBcosC+sinBsinC+1，∴cosBcosC+sinBsinC=cos（B-C）=1，∵-π＜B-C＜π，∴B-C=0，B=C．故选：C．利用倍角公式、两角和差的余弦公式、余弦函数的单调性即可得出．本题考查了倍角公式、两角和差的余弦公式、余弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：∵log2x=log3y=log5＞0，∴设log2x=log3y=log5 =t，t＞0，则x=2t，y=3t，=5t，∴==，==，==，∵（）10=25t（）10=32t∴＜．又（）6=9t，（）6=8t∴＜∴＜．故选：D．设log2x=log3y=log5 =t，t＞0，则x=2t，y=3t，=5t，由此能求出结果．本题考查三个数的大小的判断，考查对数、指数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11.【答案】B【解析】解：函数f（x）=cos（ωx-）+ω（ω＞0）的部分图象如图所示其最小值为ω-1=0，∴ω=1，∴函数f（x）=cos（x-）+1．故函数f（x）的图象关于直线x=对称，故有f（）=f（+x）成立，故A对．∴f（x）+f（）=cos（x-）+1+cos（-x-）+1=cos（x-）+2+sinx，故B不对．故有f（）=1，故C对．∴MN====π，故D对，故选：B．根据函数f（x）=cos（ωx-）+ω（ω＞0）的最值ω-1，求得ω的值，可得f（x）的解析式，再利用余弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查函数f（x）=cos（ωx-）+ω（ω＞0）的最值，余弦函数的图象和性质，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：根据题意，函数g（x）=f（x）-log5x，若g（x）=f（x）-log5x=0，则有f（x）=log5x，分别作出函数y=f（x）与y=log5x的图象，分析可得：两个函数图象有5个交点，则函数y=g（x）的零点个数为5，故选：C．根据题意，分析可得若g（x）=f（x）-log5x=0，则有f（x）=log5x，分别作出函数y=f（x）与y=log5x的图象，分析两个函数图象的交点，结合函数零点的定义分析可得答案．本题考查函数零点的判断方法，注意将函数零点转化为两个函数的交点问题．13.【答案】D【解析】解：当x∈[0，2 时，f（x）=2 x-1 -1，函数y=f（x）的周期为2，可作出函数f（x）的图象；图象关于y轴对称的偶函数y=log3 x 向右平移2个单位得到函数y=log3 x-2 ，则y=h（x）=log3 x-2 关于x=2对称，可作出函数的图象如图所示；函数y=g（x）的零点，即为函数图象交点横坐标，当x＞5时，y=log3 x-2 ＞1，此时函数图象无交点，又两函数在[2，5 上有3个交点，由对称性知，它们在[-1，2 上也有3个交点，且它们关于直线x=2对称，所以函数y=g（x）的所有零点之和为3×4=12．故选：D．分别作出函数y=f（x）、y=h（x）=log5 x-1 的图象，结合函数的对称性，即可求得结论．本题考查函数的零点应用问题，也考查了数形结合的数学思想，正确作出函数的图象是解题的关键．14.【答案】【解析】解：根据题意，函数f（x）=，则f（3）=-log2（3+1）=-2，f（f（3））=2-2-1=-1=-；故答案为：-．根据题意，由函数的解析式计算可得f（3）的值，进而计算f（f（3））即可得答案．本题考查分段函数的求值，关键是掌握分段函数的形式，属于基础题．15.【答案】3sin（2x-）+1【解析】解：将函数y=3sin（2x+）图象向右平移个单位，向上平移1个单位后得到函数y=f（x）=3sin（2x-+）+1=3sin（2x-）+1的图象，故答案为：3sin（2x-）+1．由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．16.【答案】-3【解析】解：已知tanθ=-2，由===．故答案为：-3．利用弦化切，和正弦的和与差化简即可．本题主要考察了同角三角函数关系式和正弦的和与差化的应用，属于基本知识的考查．17.【答案】1【解析】解：根据题意，设f（x）=ax+2，g（x）=x2-4，当x＜-2时，g（x）＞0，当-2＜x＜2时，g（x）＜0，又由（ax+2）（x2-4）≤0，则当x＜-2时，f（x）＜0，当-2＜x＜2时，f（x）＞0，而f（x）=ax+2为一次函数，则f（-2）=a×（-2）+2=0，解可得a=1；故答案为：1．根据题意，设f（x）=ax+2，g（x）=x2-4，分析g（x）的符号，进而可得当x＜-2时，f（x）＜0，当-2＜x＜2时，f（x）＞0，结合一次函数的性质分析可得f（-2）=a×（-2）+2=0，解可得a的值，即可得答案．本题考查不等式恒成立问题，注意分析（ax+2）的符号，属于基础题．18.【答案】-1【解析】解：根据题意，设f（x）=ax+2，g（x）=x2+2b，当b≥0时，g（x）=x2+2b≥0，而f（x）=ax+2≤0不可能在（-∞，0 上恒成立，必有b＜0，对于g（x）=x2+2b，b＜0，在（-∞，-），g（x）＞0，在（-，0），g（x）＜0；若（ax+2）（x2+2b）≤0，则对于f（x）=ax+2，在（-∞，-），f（x）＜0，在（-，0），f（x）＞0；而f（x）为一次函数，则必有f（-）=（-a）×+2=0，且a＞0，变形可得：a2（-b）=2，又由a，b∈，则a=1，b=-2；故a+b=-1；故答案为：-1．根据题意，设f（x）=ax+2，g（x）=x2+2b，分析可得b＜0，结合二次函数的性质分析可得在（-∞，-），g（x）＞0，在（-，0），g（x）＜0；又由（ax+2）（x2+2b）≤0，分析可得对于f（x）=ax+2，在（-∞，-），f（x）＜0，在（-，0），f（x）＞0；进而可得有f（-）=（-a）×+2=0，结合a，b∈，分析可得答案．本题考查不等式的恒成立问题，涉及一次函数、二次函数的性质，属于综合题．19.【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=．∴f（）==-6，f（）==9，f（）==-，f（）==．（Ⅱ）当a时，f（a）+f（1-a）=3．证明：当a时，f（a）+f（1-a）=+===3．∴当a时，f（a）+f（1-a）=3．【解析】（Ⅰ）由函数f（x）=，能求出f（），f（），f（），f（）的值．（Ⅱ）当a时，f（a）+f（1-a）=+==3．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．20.【答案】解：（Ⅰ）由已知，f（x）==2sin2x-3=1-cos2x-3=-cos2x-2；……（4分）又T==π，∴f（x）的最小正周期为π；……（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=-cos2x-2，当2x=2π+π，∈时，cos2x=-1，∴f（x）的最小值为-1，……（8分）此时x=π+，∈；……（10分）所以当x=π+，∈时，f（x）取得最小值为-1．……（12分）【解析】（Ⅰ）由平面向量的数量积求出f（x）并化简，再求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）利用三角函数的图象与性质，求出f（x）取最小值时x的值即可．本题考查了平面向量的数量积与三角函数的图象和性质的应用问题，是基础题．21.【答案】解：依题意，可令T0=195，T=105，T a=75，t=20，代入式子得：，解得h=10，又若T=95代入式子得，则，∴=，答：降温到95F约需要25.9分钟．【解析】求解就可得到半衰期h的值．再利用公式中，T=95，半衰期h的值，代入就可解出此时需要多少分钟．本题考查了指数函数的综合题，通过研究指数函数的性质解释实际问题．我们要掌握底数两种基本情况下函数的性质特别是单调性和值域的差别，它能帮我们解释具体问题．22.【答案】解：（Ⅰ）∵=，因为周期为，所以ω=1，故．由，∈，得，∈，故函数f（x）的单调递减区间为，，∈．（Ⅱ）＞，即＞，由正弦函数得性质得＜＜，∈，解得＜＜，所以＜＜，∈，则x取值的集合为＜＜，∈．【解析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性求得ω的值，从而确定f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性求出函数f（x）的单调递减区间．（Ⅱ）利用正弦函数的图象和性质，求出f（x）＞的解集．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，正弦函数的图象和性质，属于中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）若x=，P（1，1），A（，0），B（0，y）（y＞0），可得=（-1，y-1），=（-，y），由⊥，可得•=+y2-y=0，解得y=；（Ⅱ）若△OAB的周长为2，即为x+y+=2，即有2-x-y=，平方可得4-4x-4y+2xy=0，即1-x-y=-xy，又=（x-1，-1），=（-1，y-1），•=1-x+1-y=2-x-y=，•=•=====•，则cos＜，＞==，由0≤＜，＞≤π，可得向量与的夹角为．【解析】（Ⅰ）分别求得A，，的坐标，由向量垂直的条件：数量积为0，解方程可得y的值；（Ⅱ）由题意可得x+y+=2，移项平方，计算向量与的数量积，以及模的乘积，再由向量夹角公式，即可得到所求角．本题考查向量的数量积的性质和夹角的大小，注意运用向量垂直的条件：数量积为0，以及化简整理的变形能力，属于中档题．24.【答案】解：（Ⅰ）存在，m=±1，理由如下：∵f（x）=ln（+mx），∴f（-x）=ln（-mx），∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），即ln（-mx）=-ln（+mx），即ln（（1-m2）x2+1）=0恒成立，∴m=±1，检验：当m=±1时，f（x）是奇函数，（Ⅱ）由题意得：当x＞0时，ln（+mx）＞ln x++，即ln（+m）＞+，y=ln（+m）单调递减，∴ln（+m）＞ln（1+m），即只要ln（1+m）＞+，令g（t）=ln（1+t）-，则g（t）在（0，+∞）上单调递增，当m=1时，ln2＞1+不成立，当m=2时，ln3＞+不成立，当m=3时，ln4＞+不成立，当m=4时，ln5＞+不成立，当m=5时，ln6=ln2+ln3≈1.7921＞+=1.7成立，故正整数m的最小值是5【解析】（Ⅰ）根据奇函数的定义即可求出m的值，（Ⅱ）问题转化为ln（1+m）＞+，令g（t）=ln（1+t）-，则g（t）在（0，+∞）上单调递增，代值验证即可本题考查了奇函数的性质和不等式恒成立的问题，考查了转化思想和运算能力，属于中档题。