2012年长春市高中毕业生第四次调研测试文科数学答案及评分细则
2012年长春市试考数学试题及答案
2012年长春市初中毕业生学业考试网上阅卷模拟训练数 学本试卷包括七道大题，共26小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、选择题（每小题3分，共24分） 1．计算 6(3)--的值是（A ）－9． （B ）－3． （C ）3． （D ）9．2．2011年某市居民人均收入达到36 200元．将36 200这个数字用科学记数法表示为 （A ）362×102． （B ）3.62×104． （C ）3.62×105． （D ）0.362×105． 3．右图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，其左视图是4．吉林省2007～2011年全省粮食产量统计结果如图所示（单位：万吨）．这组粮食产量数据的中位数是 （A ）2 454． （B ）2 460． （C ）2 840．（D ）3 171．5．不等式24x -≤0的解集在数轴上表示为（A ） （B ）（C ） （D ）正面（第3题）2 4542 8402 4602 8423 1712007年 2008年 2009年 2010年 2011年 （第4题）（A ） （B ） （C ） （D ）6．如图，AB 、CD 都是⊙O 的弦，且AB ⊥CD .若∠CDB =62︒，则∠ACD 的大小为 （A ）28︒. （B ）31︒. （C ）38︒. （D ）62︒.7．如图，在正六边形ABCDEF 中，△ABC 的面积为2，则△EBC 的面积为 （A ）4． （B ）6． （C ）8． （D ）12．8．如图，在平面直角坐标系中，若点A （2，3）在直线12y x b =-+与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成的三角形内部，则b 的值可能是（A ）3-． （B ）3． （C ）4． （D ）5． 二、填空题（每小题3分，共18分）9．写出一个在2和3之间的无理数： ． 10．分解因式：23a a -= ．11．购买m 千克苹果花费p 元，则按同样的价格购买n 千克苹果，需花费 元（用含p 、m 、n 的代数式表示）．12．如图，在四边形ABCD 中，∠A =90︒，BD ⊥CD ，∠ADB =∠C ．若AB =4，AD =3，则BC 的长为 ．（第12题） （第13题） （第14题）13．如图，在∠MON 的两边上分别截取OA 、OB ，使OA =OB ；分别以点A 、B 为圆心，OA 长为半径作弧，两弧交于点C ；连结AC 、BC 、AB 、OC ．若AB =2cm ，四边形OACB 的面积为42cm ．则OC 的长为 cm ．14．将矩形纸片ABCD 按如图方式折叠，DE 、CF 为折痕，折叠后点A 和点B 都落在点O 处．若△EOF 是等边三角形，则ABAD的值为 ． （第7题）A B CO MN AEFACD（第8题）（第6题） ABCDO .三、解答题（每小题5分，共20分）15．先化简，再求值：2(1)2(1)3a a +---，其中a =．16．A 、B 两车间生产同一种材料，B 车间每天比A 车间多生产20吨，A 车间生产25吨与B 车间生产35吨所用时间相同．A 车间每天生产这种材料多少吨？17．如图，四边形ABCD 是矩形，以AD 为直径的⊙O 交BC 边于点E 、F ，AB =4，AD =12．求线段EF 的长．18．小丹有3张扑克牌，小林有2张扑克牌，扑克牌上的数字如图所示．两人用这些扑克牌做游戏，他们分别从自己的扑克牌中随机抽取一张，比较这两张扑克牌上的数字大小，数字大的一方获胜．请用画树状图（或列表）的方法，求小丹获胜的概率．四、解答题（每小题6分，共12分）19．图①、图②和图③均是边长为1的正方形网格，按要求画出顶点在格点上的图形. （1）用若干个图①中的三角形拼出一个梯形，在图②中画出拼得的梯形.（2）用若干个图①中的三角形、图②中的梯形拼出一个是中心对称但不是轴对称的四边形，在图③中画出拼得的四边形，并画出所用三角形和梯形的各边.图① 图② 图③小林小丹 小林小丹20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 、B 分别落在x 轴、y 轴的正半轴上，顶点C 在第一象限，BC 与x 轴平行.已知BC =2，△ABC 的面积为1. （1）求点C 的坐标.（2）将△ABC 绕点C 顺时针旋转90︒，△ABC 旋转到△A 1B C 的位置，求经过点1B的反比例函数关系式.五、解答题（每小题6分，共12分）21．为了解全校学生登录校社团网站的情况，学生会在全校学生中随机抽取了n 名学生，对他们一周当中登陆校社团网站的次数进行了调查，并将调查结果绘制成如下条形统计图．（1）这次被调查的学生人数n 为 ．（2）全校有2 100名学生，估计一周登录 校社团网站超过3次的人数．（3）估计全校2 100名学生一周登录校社团 网站的总次数会达到多少次?22.从水平地面到水平观景台之间有一段台阶路和一段坡路，示意图如下．台阶路AE共有8个台阶，每个台阶的宽度均为0.5m ，台阶路AE 与水平地面夹角∠EAB 为28︒．坡路EC 长7m ，与观景台地面的夹角∠ECD 为15︒．求观景台地面CD 距水平地面AB 的高度BD (精确到0.1m)．【参考数据：sin28°=0.47，cos28°=0.88，tan28°=0.53；sin15°=0.26，cos15°=0.97，tan15°=0.27】.n 名学生一周登录校社团网站23．甲、乙两辆货车分别从A 、B 两地同时出发，沿同一条公路相向而行，甲车每小时行驶75千米．两车相遇后，用2小时互换货物，然后甲车沿原路原速度返回，乙车沿原路返回，途经C 地，用0.8小时卸下部分货物后返回B 地．甲车回到A 地时，乙车恰好回到B 地．下图表示乙车离B 地的路程y （千米）与出发时间x （时）的函数图象． （1）求两车相遇前乙车行驶的速度． （2）求A 、B 两地之间这条公路的长．（3）求乙车从C 地返回到B 地行驶过程中y 与x 的函数关系式．24．感知：如图①，在菱形ABCD 中，AB =BD ，点E 、F 分别在边AB 、AD 上.若AE =DF ，易知△ADE ≌△DBF .探究：如图②，在菱形ABCD 中，AB =BD ，点E 、F 分别在BA 、AD 的延长线上.若AE =DF ，△ADE 与△DBF 是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．拓展：如图③，在□ABCD 中，AD =BD ，点O 是AD 边的垂直平分线与BD 的交点，点E 、F 分别在OA 、 AD 的延长线上. 若AE =DF ，∠ADB =50︒，∠AFB 32=︒，求∠ADE 的度数.图① 图② 图③CDFABCD EFA BCDOE Fy (千米x (时)25．如图，点A 、B 分别为抛物线2143y x bx =-++、2126y x x c =-+与y 轴交点，两条抛物线都经过点C （6，0）．点P 、Q 分别在抛物线2143y x bx =-++、2126y x x c =-+上，点P 在点Q 的上方，PQ 平行y 轴．设点P 的横坐标为m ． （1）求b 和c 的值．（2）求以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形时m 的值．（3）当m 为何值时，线段PQ 的长度取得最大值？并求出这个最大值． （4）直接写出线段PQ 的长度随m 增大而减小的m 的取值范围．26．如图，在△AOB 中，∠AOB =90︒，OA =OB =6．C 为OB 上一点，射线CD ⊥OB 交AB于点D ，OC =2．点P 从点AAB 方向运动，点Q 从点C 出发以每秒2个单位长度的速度沿CD 方向运动，P 、Q 两点同时出发，当点P 到达到点B 时停止运动，点Q 也随之停止．过点P 作PE ⊥OA 于点E ，PF ⊥OB 于点F ，得到矩形PEOF ．以点Q 为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN ，斜边MN //OB ，且MN =QC ．设运动时间为t （单位：秒）． （1）求t =1时FC 的长度． （2）求MN =PF 时t 的值．（3）当△QMN 和矩形PEOF 有重叠部分时，求重叠（阴影）部分图形面积S 与t 的函数关系式．（4）直接写出△QMN 的边与矩形PEOF 的边有三个公共点时t 的值．数学试题参考答案及评分标准1．D 2．B 3．B 4．C 5．C 6．A 7．A 8．D 二、填空题（每小题3分，共18分） 9．5（答案不唯一） 10．)3(-a a 11．m np 12．425 13．4 1415．解：原式322122-+-++=a a a 2a =．当10=a 时，原式2)10(= 10=． 备注: 2)1(+a 展开正确得1分；2(1)a --去括号正确得1分．16．解：设A 车间每天生产这种材料x 吨．根据题意，得xx 252035=+． 解得x =50． 经检验，50=x 是原方程的解，且符合题意． 答：A 车间每天生产这种材料50吨．17．解：作OM ⊥BC 于M ，连结OE ．∴EF MF ME 21==． ∵AD =12，∴6=OE在矩形ABCD中，OM ⊥BC ，∴OM =AB =4． 在△OEM 中，=∠OME 90°，∴ME ==∴线段EF 的长度为54．18．解：∴P （小丹获胜）=63=21．2 6 93 8 3 8 3 8 小林小丹或19．解：（1）以下答案供参考．（2）以下答案供参考．备注：（2）中图形正确，但没有画出所用三角形和梯形各边得2分，所画边不全或多画得2分．20．解：（1）作CD ⊥x 轴于D ． （1分）∵BC 与x 轴平行，∴CD BC S ABC ⋅=∆21， ∵BC =2，1=∆ABC S ，∴1=CD ． （2分）∴ C （2，1）． （3分）（2）由旋转得CB 1=CB =2，∴ B 1（2 ，3）． （4分）设经过点B 1（2，3）的反比例函数为xky =，∴23k =． 解得k =6．∴经过点B 1的反比例函数为xy 6=． 21．解：（1）150．（2）∵150502100⨯700=（人）， ∴全校一周登录校社团网站超过3次的大约有700人． （3）∵366145364163322401=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，∴51241503662100=⨯． ∴全校学生一周登录校社团网站的总次数大约可以达到5 124次．22．解：作EM ⊥CD 于M ，EN ⊥AB 于N ．在△ANE 中，∠ENA =90°，ANENEAN =∠tan ， ∵∠BAE =28°，AN =0.5×8=4，∴tan EN AN =⋅28°=4×0.53=2.12．在△CME 中，∠CME =90°，CEMEECM =∠sin ， ∵∠DCE =15°，EC =7，∴sin ME CE =⋅15°=7×0.26=1.82．∴NE +ME =2.12+1.82=3.94 ≈ 3.9． 答：水平地面到观景台的高度约为3.9m ．23．解：（1）两车相遇前乙车行驶的速度为606360=千米/时． （2）75×6=450千米，360+450=810千米． ∴A 、B 两地之间的这条公路长为810千米． （3）乙车从C 地返回到B 地行驶过程中，设y 与x 之间的函数关系式为b kx y +=，根据题意，y 与x 之间的函数图象经过（10.8，240），（14，0）两点，∴⎩⎨⎧+=+=.140，8.10240b k b k 解得⎩⎨⎧=-=.1050，75b k∴乙车从C 地返回到B 地行驶过程中，y 与x 的函数关系式为105075+-=x y ． 24． 探究：△ADE 和△DBF 全等．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =AD ．∵AB =BD ，∴AB =AD =BD ．∴△ABD 为等边三角形． ∴∠DAB =∠ADB =60°．∴∠EAD =∠FDB =120°．MN∵AE =DF ，∴△ADE ≌△DBF ．拓展：∵点O 在AD 的垂直平分线上，∴OA=OD ．∴∠DAO=∠ADB=50︒．∴∠EAD=∠FDB ． ∵AE =DF ，AD =DB ，∴△ADE ≌△DBF ．∴∠DEA=∠AFB =32︒． ∴∠EDA=18°．25．解：（1）∵两条抛物线都经过点C (6，0)，∴21664=03b -⨯++，解得34=b ．21626=06c ⨯-⨯+，解得=6c ． （2）根据题意，点A 的坐标为（0，4），点B 的坐标为（0，6），∴AB =2. ∵点P 的横坐标为m ， ∴P (m ,434312++-m m ). ∵PQ 平行于y 轴，∴Q (m ,62612+-m m ). ∴PQ =)43431(2++-m m )6261(2+--m m 2310212-+-=m m ．∴当PQ AB =时，2310212-+-m m 2=． 解得372101+=m ,372102-=m . ∴以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形时， m 值为37210+或37210-．（3）由（2）知，PQ =2110223m m -+-932)310(212+--=m ， ∴当m =310时，线段PQ 的长度最大，线段PQ 的最大长度为932．（4）线段PQ 的长度随m 的增大而减小的取值范围是310≤m ＜6. 备注：（4）中只写m ＜6不得分，只写m ≥310或m ＞310得1分，写310＜m ＜6得2分．数学试题 第 页（共6页） 11 26．解：（1）根据题意，△AOB 、△AEP 都是等腰直角三角形． ∵t AP 2=， OF = EP =t ， ∴当t =1时，FC =1．（2）∵t AP 2=，AE =t ，PF =OE =t -6，MN =QC =t 2，∴t -6=t 2，t =2． 当t =2时，∴PF MN =．（3）当1≤t ≤2时，S =2422+-t t ，如图①．当2<t ≤38时，S =32302132-+-t t ，如图②． 当38<t ≤3时，S =t t 622+-，如图③． （4）t =2或38，如图④，如图⑤．图① 图② 图③图④图⑤。
2015年长春市四模(数学文科)参考答案与评分参考
长春市普通高中2015届高三质量监测（四）数学(文科)参考答案及评分参考说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1. A2. B3. A4. C5. C6. A7. C 8. A 9. A 10. B 11. B 12. C简答与提示：1. 【命题意图】本小题主要考查集合的计算，是一道常规问题.【试题解析】A {|1ln 0}{|0}A x x x x e =-=<≥≤，则(,)U A e =+∞ð．故选A.2. 【命题意图】本小题主要考查复数的几何意义.【试题解析】B 根据复数的几何意义，由题意，可将12,z z 看作夹角为90︒的单位向量，从而12||z z -，故选B.3. 【命题意图】本小题主要考查空间线和面的位置关系，对于特殊位置要提示考生多加论证，多举反例.【试题解析】A 易知③正确，故选A.4. 【命题意图】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析，本题特殊利用秦九韶算法，使学生更加深刻地认识中国优秀的传统文化.【试题解析】C 由秦九韶算法，0010230(())S a x a x a a x =+++，故选C.5. 【命题意图】本小题主要考查线性回归方程的性质和应用，对学生的数据处理能力提出一定要求.【试题解析】C 由题意知，4,5x y ==，从而代入回归方程有 1.10b =，故选C .6. 【命题意图】本小题主要借助条件逻辑的判定，考查函数的性质以及对复合函数奇偶性的判定等问题.【试题解析】A 当()f x 为偶函数时，可得(())(())g f x g f x -=，故p 是q 的充分条件；而当(())g f x 为偶函数时，不能推出“()f x 为偶函数”成立，如3()||,()g x x f x x ==，3(())||g f x x =是偶函数，而()f x 不是偶函数，故选A.7. 【命题意图】本小题主要考查立体几何中的三视图问题，并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体的能力进行考查，同时考查简单几何体的体积公式.【试题解析】C 该几何体可看成以正视图为底面，4为高的棱柱与半圆柱的组合体，从而其体积为4(163)6412+=+ππ，故选C.8. 【命题意图】本小题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，对学生的推理论证能力和数形结合思想提出一定要求.【试题解析】A 由正弦定理得c =，a =，再由余弦定理可得cos A =，故选A. 9. 【命题意图】本小题主要考查函数的性质对函数图像的影响，并通过对函数的性质来判断函数的图像等问题.【试题解析】A 判断函数为奇函数，排除,B C ；又由于当0x >时，x e 的增加速度快，故选A.10. 【命题意图】B 本小题主要考查对等差数列通项以及变化规律的理解，还包括前n 项和的理解，理解等差数列性质以及特点的学生解决此类问题会比较容易.【试题解析】由等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，再由11121a a <-，知11120,0a a ><，从而使n S 取最大值的11n =，故选B.11. 【命题意图】本小题是线性规划的简单应用，对可行域的求取、对目标函数的理解都是考生必须掌握的基本技能，而且本题另外的一个重要考点是基本不等式的应用，此类问题也是非常典型的常规问题.【试题解析】B 由题可求得，33,2M m ==，从而12b a +=，2121559()()22222b b a a a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当23a b ==时取“=”，故选B. 12. 【命题意图】本小题主要考查双曲线的定义，双曲线离心率的运算，对考生的运算求解能力和数形结合能力提出较高要求.【试题解析】C 不妨设点P 在双曲线右支，12,F F 分别为左，右焦点，有12||||2PF PF a -=，由212||||8PF PF a ⋅=，可得12||4,||2PF a PF a ==，由12||22F F c a =>知，12PF F ∆的最小内角为1230PF F ∠=︒，从而12PF F ∆为直角三角形，1290F F P ∠=︒，此时双曲线离心率e ，故选C.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. 3 14. 6π 15. ②④⑤ 16. 203π 简答与提示：13. 【命题意图】本小题是向量的简单应用，对向量计算的掌握是考生必须掌握的基本技能.【试题解析】由a b ⊥得12xy =，||1(23a b +=+，故||a b +的最小值为3.14. 【命题意图】本小题主要考查三角函数的对称，图像的平移以及三角函数最值的求取，属于基本试题.【试题解析】函数()g x 的解析式为()sin 2g x x =，其图象向左平移ϕ个单位后对应解析式为sin(22)y x ϕ=+，从而223k πϕπ=+，即()6k k N πϕπ=+∈，所以min 6πϕ=.15. 【命题意图】本小题通过统计学基本定义问题考查学生的统计学的思想，是一道中档难度的综合试题.【试题解析】由统计学的相关定义可知，②④⑤的说法正确.16. 【命题意图】本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题，属于较难题.【试题解析】取,AB CD 中点分别为,E F ，连接,,EF AF BF ，由题意知,AF BF AF BF ⊥=，EF =O 在线段EF 上，连接,OA OC ，有222222,R AE OE R CF OF =+=+，求得253R =，所以其表面积为203π. 三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查利用解三角形的思想解决实际问题，对考生的抽象概括能力和运算求解能力，化归与转化能力提出一定要求.【试题解析】解：(1) 在ABC ∆中，,(),CAB ABC ACB αθπβθβα∠=-∠=--∠=-，由正弦定理，sin()sin()BC l αθβα-=-. (6分)(2) 由(1)及条件知，sin()sin()BC l αθβα-==-，9015BCD β∠=︒-=︒， 45CBD βθ∠=-=︒，120BDC ∠=︒，由正弦定理得，sin 4524sin120CD BC ︒=⋅=-︒. (12分)18. 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，其中包括概率的求法、离散型随机变量的数学期望以及方差. 本题主要考查学生的数据处理能力和运算求解能力.【试题解析】解：(1) 根据统计数据出现好天的概率为0.4，则连续两天出现“好天”的概率为0.40.40.16⨯=. (6分)(2) 利用分层抽样后利润等于40万元的天数为2，并设为,A B ，利润等于15万元的天数为3，并设为,,a b c ，从中取出3天的结果可能有以下10种：ABa 、ABb 、ABc 、Aab 、Aac 、Abc 、Bab 、Bac 、Bbc 、abc .其中Aab 、Aac 、Abc 、Bab 、Bac 、Bbc 、abc 共7种利润之和不足80万元.因此利润值和小于80万元的概率为710. (12分)19. 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、空间点面距离的求法. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.【试题解析】解：(1) 证明：由1112DB AF BB AE ==，可知//EF BD ， 11////EF BD EF BC D BD BC D ⎫⇒⎬⊂⎭平面平面. (6分) (2) 由题可知111132EBD ABB A A DE ABE BDB S S S S S ∆∆∆∆=---=.1111111111111111A A A B C A A C D C D ABB A C D A B C C D A B ⎫⊥⎫⇒⊥⎬⎪⇒⊥⊂⎬⎭⎪ ⊥⎭平面平面平面则1113C EBD EBD V S C D -∆=⋅=1EBC ∆中，EC =，EB =1BC =1EBC S ∆=1113C EBD EBC V S h h -∆=⋅==4h =. (12分)20. 【命题意图】本小题主要考查抛物线的性质，直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线标准方程的求取，直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中定值的求取. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.【试题解析】解(1) 设(,)P x y ，则(1,)H y -，有(1,0),(2,),(1,),(2,)HP x HF y FP x y FH y =+=-=-=-，从而由题意得24y x =. (4分)(2) 证明：设点000(,)(0)M x y x ≠为轨迹C 上一点，直线000:()m y k x x y =-+为轨迹C 的切线，有20004()y x y k x x y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，消去x 得， 20000440k y y k x y --+=，其判别式0000164(44)0k k x y ∆=--+=，解得002k y =，有002:2y m y x y =+ * 设1122(,),(,)A x y B x y ，:(1)AB y k x =-，联立有24,(1)y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去x 得，2440ky y k --=，有124y y k+=，124y y ⋅=- 根据*式有112:2y NA y x y =+，222:2y NB y x y =+，解得2(1,)N k-， 从而20111NF AB k k k k -⋅=⋅=-+，为定值. (12分)21. 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述函数的极值等情况. 本小题主要考查考生分类讨论思想的应用，对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.【试题解析】解：(1)函数的定义域为(0,)+∞，2211ln ln ()x x f x x x--'==-. 令()0f x '=，得1x =；当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以，1x =为极大值点， 所以112a a <<+，故112a <<，即实数a 的取值范围为1(,1)2. (6分)(2)当1x ≥时，(1)(1ln )x x k x ++≤，令(1)(1ln )()x x g x x++=， 则221[1ln 1](1)(1ln )ln ()x x x x x x x g x x x+++-++-'==.再令()ln h x x x =-， 则1()10h x x'=-≥，所以()(1)1h x h ≥=，所以()0g x '>， 所以()g x 为单调增函数，所以()(1)2g x g ≥=，故2k ≤. (12分)22. 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到圆的切线的性质，切割线定理等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】解： (1) 取BD 中点为F ，连结OF ，由题意知，//OF AC ，OF AC = AC 为圆O 的切线，BC 为割线2CA CD CB ∴=⋅，由2AC CD ==，6,4,2BC BD BF ∴===在Rt OBF ∆中，由勾股定理得，4r OB ==. (5分)(2) 由(1)知，//,OA BD OA BD =所以四边形O AD B 为平行四边形，又因为E 为AB 的中点，所以OD 与AB 交于点E ，所以,,O E D 三点共线. (10分)23. 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系、利用三角函数相关知识解决点线距离问题等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】解：(1) 由题意知，1C 的普通方程为22(1)1x y -+=2C 的直角坐标方程为1y x =+. (5分)(2) 设(1cos 2,sin 2)P αα+，则P 到2C的距离2)|4d πα=+， 当cos(2)14πα+=-，即322()4k k Z παπ=+∈时，d1， 此时P点坐标为(1. (10分) 24. 【命题意图】本小题主要考查含绝对值不等式求解的相关知识以及不等式证明的相关知识. 本小题重点考查考生的逻辑思维能力与推理论证能力.【试题解析】解：(1) 由()6f x ≤，得626(6)a x a a a -≤-≤-<，即其解集为{|33}x a x -≤≤，由题意知()6f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤，所以1a =. (5分)(2) 原不等式等价于，存在实数n ，使得()()|12||12|2m f n f n n n ≥+-=-+++恒成立，即min |12||12|2m n n ≥-+++，而由绝对值三角不等式，|12||12|2n n -++≥，从而实数4m ≥. (10分)。
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长春市普通高中2017届高三质量监测（四）数学（文科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.i 为虚数单位，则234i i i i +++=A. 0B. iC. 2iD.1-2.已知集合A ={}|24x x x <-≥或，{}1|28x B x -=<则A B =IA. {}|4x x ≥B. {}|4x x >C. {}|2x x ≥-D. {}|2x x <-3.已知函数()2x 2,1=2-1,x -1x x f x ⎧-<-⎪⎨≥⎪⎩，则函数()f x 的值域为A. [)1,-+∞B. ()1,-+∞C. 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D.R 4. 下面四个残差图中可以反映出回归模型拟合精度较好的为A. 图1B. 图2C. 图3D. 图35.公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.右图是根据刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图.运行该程序，则输出的n 的值为：（参考数据：3 1.732,sin150.2588,sin 7.50.1305=≈≈o o ）A. 48B. 36C. 30D. 24 6.将函数()cos2sin 2f x x x =-的图象向左平移8π个单位后得到函数()F x 的图象，则下列说法中正确的是A. ()F x 是奇函数，最小值为-2B. ()F x 是偶函数，最小值为-2C. ()F x 是奇函数，最小值为2-D. ()F x 是偶函数，最小值为2- 7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的四个面中最大面的面积为A. 4B. 22C. 26D.42 8.函数()1ln f x x=的大致图象为9.已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和n S 有最大值，且201720161a a <-，则使得0n S >的n 的最大值为A. 2016B. 2017C. 4031D. 403310.球面上有A,B,C 三点，球心O 到平面ABC 的距离是球半径的13，且22,AB AC BC =⊥，则球O 的表面积是A. 81πB. 9πC.814πD.94π11.已知12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是双曲线C 上的一点，若126PF PF a +=，且12PF F ∆的最小内角的大小为30o ，则双曲线C 的渐近线方程为 A.20x y ±= B. 20x ±= C. 20x y ±= D.20x y ±=12.已知定义在R上的函数()f x 满足()[)[)222,0,12,1,0x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()()252,2x f x f x g x x ++==+，则方程()()f x g x =在区间[]6,2-上的所有实根之和为A. -5B. -7C. -9D. -11二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 数列{}n a 是等比数列，满足22462,14a a a a =++=，则6a = .14. 已知实数,x y 满足约束条件2201x y x y x ≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则2z y x =-的最小值为.15. 若非零向量,a b r r 满足2,a b a b ==+r r r r ，则向量,a b r r夹角的余弦值为 .16. 有甲、乙两人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m 月n 日，张老师把m 告诉了甲，把n 告诉了乙，然后张老师列出了如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日.看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道”，乙听了甲的话后说，“本我不知道，但现在我知道了”，甲接着说“哦，现在我也知道了”，请问：张老师的生日是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分） 如图，在四边形ABCD 中，5,7,8,6,.AB BC AC CD BC CD ====⊥（1）求BAC ∠的大小；（2）求四边形ABCD 的面积；18.（本题满分12分）某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为6个月，12个月，18个月，24个月，36个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴200元、300元、300元、400元、400元，从享受此项政策的自主创业人员中抽取了100人进行调查统计，选取贷款期限的频数如下表：（1）若小王准备申请此项贷款，求其获得政府补贴不超过300元的概率；（以上表中各种贷款期限的频率作为自主创业人员选择各种贷款期限的概率）；（2）若小王和小李同时申请此项贷款，求两人所获得的补贴之和不超过600元的概率.19.（本题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，1AA ⊥平面ABCD ，E 为1B D 的中点.（1）证明：平面ACE ⊥平面ABCD ；（2）若，11,AA AB ==点C 到平面AED 的距离为22，求三棱锥C AED -的体积.20.（本题满分12分）如图，在矩形ABCD 中，4,2,AB AD O ==为AB 的中点，,P Q 分别是AD ,CD 的上的点，且直线AQ 与BP 的交点在椭圆()222:10x E y a a+=>上.（1）求椭圆E 的方程；（2）设R 为椭圆E 的右顶点，T 为椭圆E 的上顶点，M 为椭圆E 第一象限部分上一点，,求梯形ORMT 的面积的最大值.21.（本题满分12分） 已知函数()()12ln 2.f x a x ax x=-++ （1）当2a =时，求函数()f x 的极值； （2）当0a <时，讨论()f x 的单调性；（3）若对任意的()[]123,2,,1,3a x x ∈--∈，恒有()()()12ln32ln3m a f x f x +->-成立，求实数m 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分. 22.（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点O 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为，曲线222cos :2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）.的极坐标方程为，曲线（为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；（2）极坐标系中两点()1020,,,2A B πρθρθ⎛⎫+⎪⎝⎭都在曲线1C 上，求221211ρρ+的值.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲（1）已知函数()()10f x x x a a =++->，若不等式()5f x ≥的解集为{}|23x x x ≤-≥或，求a 的值；（2）已知实数,,a b c R +∈，且a b c m ++=，求证：1119.2a b a c c b m++≥+++长春市普通高中2017届高三质量监测（四） 数学（文科）参考答案与评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. A2. D3. B4. A5. D6. C7. D 8. A9. C10. B11. A12. B简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的基本概念及运算.【试题解析】A 由错误!未找到引用源。
2013年长春市高中毕业班第四次调研测试文科数学
2013年长春市高中毕业班第四次调研测试数 学(文科)命题人:长春市教育局教研室于海洋本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1． 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2． 选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1. 设集合{2,04,},{2,}n A x x n n B x x n n ==<<∈==∈Z Z ，则AB 为A. {1,2,4,8,16}B. {1,2,4,8}C. {2,4,8}D. {2,4}2. 关于复数2(1)1i z i+=-，下列说法中正确的是A. 在复平面内复数z 对应的点在第一象限B. 复数z 的共轭复数1z i =-C. 若复数1z z b =+()b ∈R 为纯虚数，则1b =D. 设,a b 为复数z 的实部和虚部，则点(,)a b 在以原点为圆心，半径为1的圆上3. 下列函数的图像一定关于原点对称的是A. ln(sin )y x =B. sin cos y x x =C. cos(sin )y x =D. sin x y e =4. 已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足8417S S =，则公比q = A.12 B. 12± C. 2 D. 2±5. 执行如图所示程序框图，输出的x 值为 A. 11 B. 13 C. 15 D. 46. 若1()2f x x x =+-(2)x >在x n =处取得最小值，则n =A. 52B. 3C. 72D. 47. 设函数()|sin(2)|3f x x π=+，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是A. ()f x 是偶函数B. ()f x 最小正周期为πC. ()f x 图象关于点(,0)6π-对称 D. ()f x 在区间7[,]312ππ上是增函数 8. 已知直线l ：y x m =+()m ∈R ，若以点(2,0)M 为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且P 在y 轴上，则该圆的方程为A. 22(2)8x y -+=B. 22(2)8x y ++=C. 22(2)8x y +-=D. 22(2)8x y ++= 9. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A. 4B.203C. 263D. 810. 如图，平面内有三个向量,,OA OB OC ，其中OA与OB 的夹角为120︒，OA 与OC 的夹角为30︒，且3||2,||,||232OA OB OC ===(,)OC OA OB λμλμ=+∈R ，则A. 4,2λμ==B. 83,32λμ==C. 42,3λμ==D. 34,23λμ==11. 已知双曲线12222=-by a x (0,0)a b >>以及双曲线22221y x a b -=(0,0)a b >>的渐近线将第一象限三等分，则双曲线12222=-b y a x 的离心率为A. 2B. 3C. 2或3D. 12. 已知空间4个球，它们的半径均为2，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这4个球都外切，则这个小球的半径为A.2B.C.3D. 2侧视图俯视图ABCO第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 设,x y 满足约束条件0+22y y x x y ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤，则3z x y =+的最大值为____________.14. 已知,,a b c 为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，满足cos cos sin a B b A c C +=，向量1)m =-，(cos ,sin )n A A =. 若m n ⊥，则角B =___________. 15. 给出下列5种说法： ①在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；②标准差越小， 样本数据的波动也越小；③回归分析就是研究两个相关事件的独立性；④在回归分 析中，预报变量是由解释变量和随机误差共同确定的；⑤相关指数2R 是用来刻画回 归效果的，2R 的值越大，说明残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好. 其中说法正确的是____________（请将正确说法的序号写在横线上）. 16. 函数3()2(1)f x x xf '=+-，则函数()f x 在区间[2,3]-上的值域是_____________. 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17. （本小题满分12分）数列{}n a 满足122n n n a a --=*(,2)n N n ∈≥，且12a =.(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 若2(1)n n nb n a =+，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1n T <. 18. （本小题满分12分） 为了研究玉米品种对产量的影响，某农科院对一块试验田种植的一批玉米共10000(1) 6株玉米，再从这6株 玉米中随机选出2株，求这2株之中既有高茎玉米又有矮茎玉米的概率； (2) 根据对玉米生长情况作出的统计，是否能在犯错误的概率不超过0.050的前提下2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)19. （本小题满分12分）如图，平面四边形ABCD 的4个顶点都在球O 的表面上， AB 为球O 的直径，P 为球面上一点，且PO ⊥平面ABCD ，2BC CD DA ===，点M 为PA 的中点. (1) 证明：平面//PBC 平面ODM ； (2) 求点A 到平面PBC 的距离. 20. （本小题满分12分）已知1F 、2F 是椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点，且离心率12e =，点P 为椭圆上的一个动点，12PF F ∆的内切圆面积的最大值为43π.(1) 求椭圆的方程；(2) 若,,,A B C D 是椭圆上不重合的四个点，满足向量1F A 与1FC 共线，1F B 与1F D 共 线，且0AC BD ⋅=，求||||AC BD +的取值范围. 21. （本小题满分12分） 已知函数2()ln(1)f x ax x =++. (1) 当14a =-时，求函数()f x 的单调区间；(2) 当[0,)x ∈+∞时，函数()y f x =图象上的点都在00x y x ⎧⎨-⎩≥≤所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.如图，PA 是O 的切线，PE 过圆心O ， AC 为O 的直径，PC 与O 相交于B 、C 两点，连结AB 、CD . (1) 求证：PAD CDE ∠=∠；(2) 求证：2PA BDPC PE AD=⋅. 23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.在极坐标系内，已知曲线1C 的方程为22(cos 2sin )40ρρθθ--+=，以极点为原点，极轴方向为x 正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线2C 的参数方程为5145183x ty t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数）.(1) 求曲线1C 的直角坐标方程以及曲线2C 的普通方程； (2) 设点P 为曲线2C 上的动点，过点P 作曲线1C 的两条切线，求这两条切线所成角余弦值的取值范围.24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.设函数()|3||1|f x x x =--+，x ∈R ． (1) 解不等式()1f x <-； (2) 设函数()||4g x x a =+-，且()()g x f x ≤在[2,2]x ∈-上恒成立，求实数a 的取值范围.2013年长春市高中毕业班第四次调研测试OADPBCM数学(文科)参考答案及评分标准1. 【命题意图】本小题通过集合的性质与运算考查学生对集合问题的理解，本题属于基本题. 【试题解析】C 由题可知{2,4,8}A =，{}B =偶数，因此{2,4,8}A B =， 故选C.2. 【命题意图】本小题通过复数的运算与性质考查学生的运算求解能力，本题将复数的考点考查的比较全面，是一道复数的综合题，属于基本题.【试题解析】C由题可知2(1)2111i iz i i i+===-+--，若z b +()b ∈R 为纯虚数， 则1b =，故选C.3. 【命题意图】本小题通过三角函数考查复合函数的奇偶性，对学生的函数部分的基础知识加以考查，并且要求学生有一定的数形结合的想象能力. 本小题是一道侧重考查数学概念的基本题. 【试题解析】B 由奇函数定义可知，函数sin cos y x x =中，x 的定义域关于原点 对称且sin()cos()sin cos x x x x --=-，故选B.4. 【命题意图】本小题通过等比数列的求和考查学生的运算求解能力，要求学生全面的地把握本题，通过设置漏洞，以让学生理解等比数列求和的易错点，本小题是一道侧重考查数学基本公式应用的基本题.【试题解析】D由题可知1q ≠，则818484414(1)11117(1)11a q S q qq a q S qq---===+=---，得 416q =，因此2q =±，故选D.5. 【命题意图】本小题通过程序框图考查学生的逻辑推理能力，要求学生将程序框图读懂，并且理解程序框图的相关作用，本小题是一道基本题. 【试题解析】B 由程序框图可知：02x =，13x =，25x =，36x =，47x =，59x =，610x =，711x =，813x =而后输出x 值为13，故选B.6. 【命题意图】本小题通过均值不等式考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，本小题是一道基本题. 【试题解析】B由11()(2)2422f x x x x x =+=-++≥--，当且仅当1202x x -=>-即3x =时，取得等号，故选B. 7. 【命题意图】本小题通过三角函数图像考查学生的运算求解能力与数形结合思想，本小题是一道基本题.【试题解析】D 由三角函数的性质可知：()|sin(2)|3f x x π=+的单调区间232k x k ππππ≤+≤+，则26212k k x ππππ-≤≤+()k ∈Z ，当1k =时，7[,]312x ππ∈，故选D.8. 【命题意图】本小题通过直线与圆的位置关系考查学生的运算求解能力与数形结合思想，本小题是一道基本题. 【试题解析】A 由题意(0,)P m ，又直线l 与圆相切于点P ，MP l ⊥，且直线的倾斜角为45，所以点P 的坐标为(0,2). ||22MP =，于是所求圆的方程为 22(2)8x y -+=，故选A.9. 【命题意图】本小题通过三视图考查学生的空间想象能力与运算求解能力，是一道中档难度的试题. 【试题解析】B 由三视图可知，该几何体可分为一个三棱锥和一个四棱锥，则12111202242223323V V V =+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，故选B. 10. 【命题意图】本小题通过平面向量考查学生的运算求解能力，同时也考查学生的数形结合思想，是一道中档难度的试题. 【试题解析】C 设与,O A O B 同方向的单位向量分别为,a b ，依题意有42OC a b =+，又2OA a =，32OB b =，则423OC OA OB =+，所以42,3λμ==.故选C.11. 【命题意图】本小题通过双曲线考查学生的推理论证能力与运算求解能力，进而考查学生化归与转化的数学思想，是一道中档难度的试题.【试题解析】C由题可知，双曲线渐近线的倾角为30︒或60︒，则bk a==或3. 则2c e a ====或3，故选C. 12. 【命题意图】着重考查几何体中点线面的关系问题，是一道较难的试题. 【试题解析】A 由题意可知，小球球心O 为正四面体2r =. 故选A.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分) 13. 614.6π15. ②④⑤ 16.[-简答与提示:13. 【命题意图】本小题通过线性规划问题考查学生的运算求解能力，是一道基本题. 【试题解析】如图所示，在线性规划区域内，斜率为3-的直线经O2B 1B 2A 1CD过该区域并取最大值时，该直线应过点(2,0)，因此3z x y =+的 最大值为6.14. 【命题意图】本小题通过解三角形考查学生的运用公式的求解问题的能力，是一道基本题. 【试题解析】由cos cos sin a B b A c C +=，可知sin 1C =，于是2C π=，再由m n ⊥sin 0A A -=，解得：3A π=，所以6B π=.15. 【命题意图】本小题通过统计学基本定义问题考查学生的统计学的思想，是一道中档难度的综合试题. 【试题解析】由统计学的相关定义可知，②④⑤的说法正确.16. 【命题意图】本小题通过导数的基本知识考查学生的推理论证能力，是一道中档难度的综合试题. 【试题解析】由2'()32'(1)f x x f =+-，令1x =-，则'(1)32(1)f f '-=+-， 则'(1)3f -=-，即3()6f x x x =-，由导函数的性质可求得()f x 在区间[2,3]-上的值域为[-.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分) 17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要通过递推数列通项公式的求取，考查对考生的运算求解能力、逻辑推理能力，对考生化归与转化的数学思想提出较高要求. 本题属于基础试题，难度相对较低. 【试题解析】解：(1) 由122n n n a a --=可知11122n n n n a a ---=， 所以数列{}2nn a 是公差为1的等差数列. 由等差数列的通项公式可知，1(1)22nn a a n n =+-=.所以2n n a n =⋅.(6分)(2) 由(1)可得 2111(1)(1)1n n n b n a n n n n ===-+++，则{}n b 的前n 项和1111111 (1122311)n T n n n =-+-++-=-<++. (12分)18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题通过统计与概率的相关知识，具体涉及到随机变量的分布列、数学期望的求法和统计案例中独立性检验等知识内容，考查学生对数据处理的能力，对考生的运算求解能力、推理论证能力都有较高要求. 本题属于统计概率部分综合题，对考生的统计学的知识考查比较全面，是一道的统计学知识应用的基础试题. 【试题解析】解：(1) 依题意，取出的6株圆粒玉米中含高茎2株，记为,a b ，矮茎4株，记为,,,A B C D ，从中随机选取2株的情况有如下15种：,,,,,,,,,,,,,,aA aB aC aD bA bB bC bD ab AB AC AD BC BD CD .其中满足题意的共有,,,,,,,aA aB aC aD bA bB bC bD 8种，则所求概率为815P =. (6分) (2)所以250(1171319) 3.860 3.84130202426K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯. 又2( 3.841)0.050p K =≥，因此能在犯错误的概率不超过0.050的前提下认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关.(12分) 19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题通过立体几何的相关知识，具体涉及到直线与直线垂直的判断、线面的平行关系的判断以及二面角的求法等有关知识，考查考生的空间想象能力、推理论证能力，对学生的数形结合思想的考查也有涉及，本题是一道立体几何部分的综合题，属于中档难度试题. 【试题解析】(1) 证明：2AB O BC CD DA BC CD DA ⎫⇒===⎬==⎭为圆直径且AB CD ，则CD 平行且等于BO ，即四边形OBCD 为平行四边形，所以//BC OD .//////////AO BO OM PB OD PBC ODM PBC AM PM OM PBC BC OD =⎫⎫⇒⎫⎬⎪⇒⇒=⎬⎬⎭⎭⎪ ⎭平面平面平面平面(6分)(2) 由图可知P ABC A PBC V V --=，即11112223232h ⨯⨯⨯=⨯⨯则7h =，即点A 到平面PBC 的距离为7.(12分)20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要通过对直线与圆锥曲线中椭圆的综合应用的考查，具体涉及到椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识与圆锥曲线的综合知识，提示考生对圆锥曲线的综合题加以重视，本题主要考查考生的推理论证能力，运算求解能力、化归与转化以及数形结合的数学思想.【试题解析】解：(1)由几何性质可知：当12PF F ∆内切圆面积取最大值时， 即12PF F S ∆取最大值，且12max 1()22PF F S c b bc ∆⋅⋅=. 由243r ππ=得3r = 又1222PF F C a c ∆=+为定值，12122PF F PF F rS C ∆∆=，综上得22bc a c =+； 又由12c e a ==，可得2a c =，即b ，经计算得2c =，b =4a =，故椭圆方程为2211612x y +=. (5分) (2) ①当直线AC 与BD 中有一条直线垂直于x 轴时，||||6814AC BD +=+=. ②当直线AC 斜率存在但不为0时，设AC 的方程为：(2)y k x =+，由22(2)11612y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222(34)1616480k x k x k +++-=，代入弦长公式得：2224(1)||34k AC k +=+，同理由221(2)11612y x kx y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 可得2222111(34)1616480x x k k k +++-=， 代入弦长公式得：2224(1)||34k BD k +=+，所以2222222168(1)168||||11(34)(43)121(1)k AC BD k k k k ++==+++-++ 令21(0,1)1t k =∈+，则24912(12,]4t t -++∈，所以96||||[,14)7AC BD +∈， 由①②可知，||||AC BD +的取值范围是96[,14]7. (12分)21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要通过函数与导数综合应用问题，具体涉及到用导数来研究函数的单调性等知识内容，考查考生的运算求解能力，推理论证能力，其中重点对导数对函数的描述进行考查，本题是一道难度较高且综合性较强的压轴题，也是一道关于数列拆分问题的典型例题，对今后此类问题的求解有很好的导向作用. 【试题解析】解：(1) 当14a =-时，21()ln(1)4f x x x =-++(1)x >-， 11(2)(1)()212(1)x x f x x x x +-'=-+=-++(1)x >-， 由()0f x '>解得11x -<<，由()0f x '<解得1x >.故函数()f x 的单调递增区间为(1,1)-，单调递减区间为(1,)+∞. (6分)(2) 因函数()f x 图象上的点都在0,0x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域内，则当[0,)x ∈+∞时，不等式()f x x ≤恒成立，即2ln(1)0ax x x ++-≤恒成立，、 设2()ln(1)g x ax x x =++-(0x ≥)，只需max ()0g x ≤即可． 由1()211g x ax x '=+-+[2(21)]1x ax a x +-=+， (i) 当0a =时， ()1xg x x -'=+， 当0x >时，()0g x '<，函数()g x 在(0,)+∞上单调递减，故()(0)0g x g ≤=成立． (ii) 当0a >时，由[2(21)]()01x ax a g x x +-'==+，因[0,)x ∈+∞，所以112x a=-，① 若1102a -<，即12a >时，在区间(0,)+∞上，()0g x '>， 则函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，()g x 在[0,)+∞上无最大值，当x →+∞时，()g x →+∞，此时不满足条件；② 若1102a -≥，即102a <≤时，函数()g x 在1(0,1)2a-上单调递减， 在区间1(1,)2a-+∞上单调递增，同样()g x 在[0,)+∞上无最大值，当x →+∞时，()g x →+∞，不满足条件．(iii) 当0a <时，由[2(21)]()1x ax a g x x +-'=+，∵[0,)x ∈+∞，∴2(21)0ax a +-<，∴()0g x '<，故函数()g x 在[0,)+∞上单调递减，故()(0)0g x g ≤=成立． 综上所述，实数a 的取值范围是(,0]-∞．(12分)22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明及其运算，具体涉及到共圆图形的判断和圆的性质以及两个三角形全等的判断和应用等有关知识内容.本小题针对考生的平面几何思想与数形结合思想作出考查.【试题解析】解：(1) 由PA 是圆O 的切线，因此弦切角PAD ∠的大小等于夹弧所对的圆周角ACD ∠，在等腰OCD ∆中，OD OC =，可得ACD CDE ∠=∠，所以PAD CDE ∠=∠. (5分)(2) 由PBD ∆与PEC ∆相似可知，PB BD PE CE=，由切割线定理可知，2PA PB PC =⋅，则2PA PB PC =，又EC AD =，可得2PA BD PC PE AD =⋅. (10分) 23. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及有关距离等知识内容.【试题解析】解：(1) 对于曲线1C 的方程为22(cos 2sin )40ρρθθ--+=， 可化为直角坐标方程222440x y x y +-++=，即22(1)(2)1x y -++=；对于曲线2C 的参数方程为5145183x t y t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数），可化为普通方程34150x y +-=.(5分) (2) 过圆心(1,2)-点作直线34150x y +-=的垂线，此时两切线成角θ最大，即余 弦值最小. 则由点到直线的距离公式可知，4d ==，则1sin 24θ=，因此27cos 12sin 8θθ=-=， 因此两条切线所成角的余弦值的取值范围是7[,1)8. (10分) 24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式证明以及解法等内容.【试题解析】解：(1) 由条件知41()|3||1|221343x f x x x x x x <-⎧⎪=--+=-+-≤≤⎨⎪->⎩，由()1f x <-，解得32x >. (5分) (2) 由()()g x f x ≤得 ||4|3||1|x a x x +-≤--+，由函数的图像可知a 的取值范围是[4,0]-. (10分)。
2012长春四模文科试题及答案
2012年长春市高中毕业生第四次调研测试数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1． 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2． 选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1. 计算i i-+11等于 A. i B. i - C. 1 D. 1-2. 集合12{0,log 3,3,1,2}A =-，集合{|2,}xB y y x A ==∈，则A B =A. {1}B. {1,2}C. {3,1,2}-D. {3,0,1}-3. 下列函数既是奇函数，又是增函数的是 A. 2log y x = B. 3y x x =+C. 3xy =D. 1y x -=4. 等差数列}{n a 的公差为3，若842,,a a a 成等比数列，则4a = A. 8 B. 10 C. 12 D. 165. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是A. 4B. 5C. 6D. 76. 已知锐角α的终边上一点)50cos ,50sin 1(+P ，则锐角α= A.80B.70 C.20D. 10开始0k =0S =100S <2k S S =+1k k =+输出结束k 是否7. 函数()sin()(0,,)2f x A x x R πωφωφ=+><∈的部分图像如图，则A. ()4sin()84f x x ππ=-+ B. ()4sin()84f x x ππ=- C. ()4sin()84f x x ππ=-- D. ()4sin()84f x x ππ=+ 8. 甲、乙、丙、丁四人排成一行，则甲、乙都不在两边的概率为A. 121 B. 16 C. 124 D. 149. 若椭圆2213x y m +=与直线220x y +-=有两个不同的交点，则m 的取值范围是A. 1(,3)4B. (3,)+∞C.1(,3)2D. 1(,3)(3,)4+∞10. 已知函数()f x 是定义在R 上的最小正周期为3的奇函数，当3(,0)2x ∈-时，2()l o g (1)f x x =-，则(2011)(2012)(2013)(2014)f f f f +++=A. 0B. 1C. -1D. 211. 在ABC ∆中，120BAC ∠=，2AB = ，1AC = ，点P 满足BP BC λ= (01)λ≤≤，则BC AP BP ⋅-2的取值范围是 A. 1[,3]4B. 1[,5]2C. 15[2,]4-D. 13[,5]412. 某几何体的三视图如图所示，这个几何体的内切球的体积为A.π34 B. π)32(4-C. π2734 D. π98第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 若实数y x ,满足不等式组20y x x y y ⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥，则目标函数y x z 3+=的最大值为 .14. 为检查国家全民健身运动的落实情况，在某社区成年居民中随机抽取200名，统计其平均每天参加体育活动时间（h ），画出右边频率分布直方图，已知该社区共有成年居民1500人，根据上述信息估计平均每天参加体育活动时间在[)5.1,5.0内的人数约为___________.15. 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得15BCD ∠= ，30BDC ∠=，30CD =米，并在C 测得塔顶A 的仰角为 60，则塔的高度AB =__________米.16. 已知函数()lg f x x =和()10x g x =的图像与圆2220x y +=在第一象限内的部分相交于11(,)M x y 和22(,)N x y 两个点，则2212y y +=__________.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17. （本小题满分12分）等差数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，满足2222(1)S a a =+，且11a =.⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵设nS b n n 132+=，求数列{}n b 的最小值项. 18. （本小题满分12分）已知直三棱柱111C B A ABC -中，CB AC ⊥，D 为AB中点，31==AC A A ，1=CB .⑴求证：1BC ∥平面CD A 1； ⑵求三棱锥DC A C 11-的体积.19. （本小题满分12分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50人进行问卷调查后得到了如下的列联表喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计男生 5 女生 10 合计50已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱篮球的学生的概率为0.6.⑴请将上面的列联表补充完整；⑵能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关系；⑶已知喜爱打篮球的10位女生中，54321,,,,A A A A A 还喜欢打羽毛球，321,,B B B 还喜欢打乒乓球，21,C C 还喜欢踢足球。
2014年长春市高中毕业班第四次调研测试文科数学试题及参考答案与评分标准
2014年长春市高中毕业班第四次调研测试文科数学试题参考答案与评分标准1．【答案】B【解析】}20|{<<=x x A ，}1|{<=x x B ，由韦恩图可知阴影部分表示的是C U B ∩A ∴阴影部分表示的集合为}21|{<≤x x ，故选B ．2．【答案】A【解析】由图可知，12i =--z ，2i =z ，则221-=+z z ，∴2||21=+z z ，故选A ．3．【答案】D【解析】A 选项，可能α⊂m ，B 选项，若n β⊂，则α⊥n ，无条件n β⊂，直线n 与平面α 位置关系不确定，C 选项，在空间中，l 与m 可能平行，可能异面，可能相交， 故选D ．4．【答案】B【解析】由约束条件1||||≤+y x ，作出可行域如图，设2=+z x y ，则2=-+y x z ，平移直线2=-y x ，当经过点(1,0)A 时，z 取得最大值2，当经过点)0,1(-B 时，z 取得最小值2-，故选B ．5．【答案】D【解析】由程序框图，输入3=x ，第1次进入循环体，6=x ，第2次进入循环体，21=x ，第3次进入循环体，231=x ，100231>成立，输出结果231=x ，故选D ．6．【答案】D 【解析】432tan =α，即43tan 1tan 22=-αα，解得3tan -=α或31tan =α，又)4,0(πα∈，∴31tan =α，又sin cos sin cos αααα+=-21tan 1tan -=-+αα，故选D ． 7．【答案】D【解析】观察茎叶图，甲班学生成绩的平均分是86，故8=x ，乙班学生成绩的中位数是83，故5=y ，∴x +y 13=，故选D ．8．【答案】A【解析】12+=x y ，∴x y 2='，2|1='==x y k ，故切线l 方程为：02=-y x ，又03422=+++x y x 表示的是以)0,2(-为圆心，以1为半径的圆，圆心)0,2(-到l 的距离55454==d ，∴直线l 上的任意点P 与圆03422=+++x y x 上的任意点Q 之间的最近距离是1554-，故选A ． 9．【答案】 B【解析】由三视图可知，该几何体由一个底面半径为1，高为1的圆柱，和一个半径为1的四分之一球构成的，故πππ343441=⨯+=V ，故选B ． 10．【答案】A【解析】在Rt △21F MF 中，c F F 2||21=，则332||2c MF =，334||1c MF =，由双曲线定义可知：a MF MF 2||||21=-，即a c 2332=，化简得3=a c ，故选A ． 11．【答案】D 【解析】令0)(=x f ，0)(=x g ，0)(=x h 分别得1+=x x ，x x 2-=，x x ln -=，则321,,x x x 分别为函数x y =的图象与函数1+=x y ，x y 2-=，x y ln -=的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系下作出它们的图象，易得11>x ，02<x ，103<<x ，故选D ．12．【答案】D 【解析】由n x nn a n xx x x lg )1()1()1(21lg -≥-+-+++ 得1)1()1(21-≥-+-+++x xx x x n nn a n ，即x x x x x n n a n ≥-+-+⋯++)1()1(21 即x x x n )1(21-+++ x an ≥ ∴x x x n n n n a )1()2()1(-+++≤ ，令x x x nn n n x f )1()2()1()(-+++= 由于2≥n ，故)(x f 在]1,(-∞上为减函数，故212)1(1121)1()(-=-⋅=-+++=≥n n n n n n n n f x f 21≥，∴21≤a 即可，故选D ． 13．【答案】60 【解析】n27146432432=+++++++，解得60=n ． 14 【答案】)3,1( 【解析】设),(y x =c ，则)1,2(--=-y x a c ，)2,1(-+=-y x b c ，∴0)2)(1()1)(2(=--++-y y x x 化简得：0322=-+-y y x x ①又a ，b 在非零向量c 上的投影相等，则cb c c a c ⋅=⋅，即x y 3= ② 由①②联立得：∴1=x ，3=y ，∴c )3,1(=．15.【答案】23)2(1+>+n f n )(*∈N n 【解析】24)2(2>f ,25)2(3>f ,26)2(4>f , 27)2(5>f ,由归纳推理得，一般结论为23)2(1+>+n f n ，)(*∈N n 16．【答案】]162,122[ 【解析】设4个实数根依次为d m d m d m m 3,2,,+++，由等差数列性质，不妨设 d m m 3,+为2180x x a -+=的两个实数根，则d m d m 2,++为方程2180x x b -+=的两个根，由韦达定理1832=+d m ，即d m 239-=，又a d m m =+)3(，b d m d m =++)2)((, 故b a +)219)(219()239)(239(d d d d +-++-=2241814981d d -+-=225162d -= ]16,0[2∈d ，∴b a +]162,122[∈，即b a +的取值范围是]162,122[．17．【解析】（1）由题意可知])4(sin[2)(ϕπω+-=x x g 由于2||221π=⋅⋅=BC S ABC △，则22||π==T BC ，∴π=T ，即2=ω ………2分 又由于1)2sin(2)0(=-=πϕg ，且222ππϕπ<-<-，则62ππϕ=-，∴32πϕ=………5分 即)62sin(2]32)4(2sin[2)(πππ+=+-=x x x g ． ………6分 （2）1)62sin(2)(=+=πA A g ，)613,6(62πππ∈+A 则6562ππ=+A ，∴3π=A ………8分 由余弦定理得5cos 2222==-+a A bc c b ，∴bc bc c b ≥-+=225 ………10分 ∴435sin 21≤=A bc S ABC △，当且仅当5==c b 时，等号成立，故ABC S ∆的最大值为435． ……12分18．【解析】（1）∵2051=∑=i i x ，2551=∑=i i y ，∴45151==∑=i i x x ，55151==∑=i i y y∴2.1459054511255ˆ2512251=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==i i i i ix x y x y x b ………3分 2.042.15ˆˆ=⨯-=-=x b y a………5分 ∴线性回归方程2.02.1ˆ+=x y． ………6分 （2）①由（1）知02.1ˆ>=b，∴变量x 与y 之间是正相关． ………9分 ②由（1）知，当8=x 时，8.9ˆ=y （万元），即使用年限为8年时，支出的维修费约是8.9万元．……12分19．【解析】（1）证明：∵底面ABCD 和侧面11B BCC 是矩形，∴CD BC ⊥，1CC BC ⊥又∵ C CC CD =1 ………4分 ∴⊥BC 平面11D DCC∵⊂E D 1平面11D DCC∴1⊥BC D E ． ………6分（2）解法一：211==AA DD ， 1=DE ，1D E CD ⊥∴△ED D 1为等腰直角三角形，∴145DD E ∠=︒连结1CD ，则11CD DD ⊥，且1CD =由（1）⊥BC 平面11D DCC ，∴⊥11D A 平面11D DCC∴⊥11D A 1CD∴1CD ⊥平面11A ADD∴1CD ⊥平面1B BC ………9分∴1111111113323B BC D B CB V S CD -=⋅⋅=⨯⨯△三棱锥． ……12分 解法二：∵1D E CD ⊥,且22AB BC ==∴在Rt △ED D 1中，211==AA DD ，1=DE ，得11=E D ………9分∴三棱锥11D B CB -的体积： 1111112D B CB B C CB V V --=三棱锥四棱锥D 16=⋅1111ABCD A B C D V -四棱柱16ABCD S =⋅四边形1D E ⋅1121163=⨯⨯⨯=．…12分20．【解析】（1）由离心率22=e ，得a c b 22== 又因为222=ab ，所以1,2==b a ，即椭圆标准方程为1222=+y x ． ………4分 （2）由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=12222y x m x m y 消y 得：0222)21(2222=-+++m x m x m ． 所以0)22)(21(44224>-+-=∆m m m ， 可化为 022<-m 解得22<<-m ． ………8分（3）由l ：20x y -+=,设0=x ， 则2=y , 所以)2,0(P ………9分设),(y x M 满足1222=+y x , 则64)2(22)2(||222222+--=-+-=-+=y y y y y x PM |10)2(2++-=y 因为 11≤≤-y ， 所以 ………11分 当1-=y 时，|MP |取得最大值3． ………12分21．【解析】xx x g 1)(-='， ………1分 当10<<x 时，0)(<'x g ，当1>x 时，0)(>'x g即)(x g 在)1,0(上为减函数，在),1(+∞上为增函数 ………4分 ∴1)1()(=≥g x g ，得证． ………5分（2）1()1x x f x e -=-，xe x xf 2)(-='， ………6分 ∴20<<x 时，0)(<'x f ，2>x 时，0)(>'x f即)(x f 在)2,0(上为减函数，在),2(+∞上为增函数 ∴211)2()(ef x f -=≥ ………8分 又由（1）ln 1x x -≥ ………10分 ∴21(ln )()1x x f x e->- ． ………12分 22．【解析】（1）因为PA 是⊙O 的切线，切点为A ， 所以PAE ∠=45ABC ∠=︒， ………1分又PE PA =,所以PEA ∠=45︒，APE ∠=90︒ ………2分因为1=PD ，8=DB ，所以由切割线定理有92=⋅=PB PD PA ，所以3==PA EP …4分所以△ABP 的面积为12PA BP ⋅=272． ………5分（2）在Rt △APE 中，由勾股定理得AE = ………6分 又2=-=PD EP ED ，6=-=DE DB EB ，所以由相交弦定理得12=⋅=⋅ED EB EA EC ………9分所以222312==EC ，故=AC ． ………10分23．【解析】（1）设),(y x P ，由题设可知， 则ααπcos 2)cos(||32-=-=AB x ，ααπsin )sin(||31=-=AB y ， 所以曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=-=ααsin cos 2y x （α为参数，παπ<<2）． ………5分 （2）由（1）得=2||PD 4sin 4sin cos 4)2(sin )cos 2(2222+++=++-ααααα328)32(sin 38sin 4sin 322+--=++-=ααα． 当32sin =α时，||PD 取得最大值3212． ………10分 24．【解析】（1）ab b a 222≥+∴222)(22b a b a +≥+，∴9)(2≤+b a∴3≤+b a （当且仅当23==b a 时取等号）又b a m +≥，故3≥m ，即m 的最小值为3． （2）由（1）3≤+b a 若b a x x +≥+-|||1|2对任意的b a ,恒成立，故只需3|||1|2≥+-x x⎩⎨⎧≥--<3)1(20x x x 或⎩⎨⎧≥+-≤≤3)1(210x x x 或⎩⎨⎧≥+->3)1(21x x x 解得31-≤x 或35≥x ． ………10分。
吉林长春2019高中毕业生第四次调研测试-数学(文)
吉林长春2019高中毕业生第四次调研测试-数学（文）数 学(文科)本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分，总分值150分.考试时间为120分钟，其中第二卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 本卷须知1． 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2． 选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第一卷〔选择题，共60分〕【一】选择题〔本大题包括12小题，每题5分，共60分，每题给出的四个选项中，只有．．一．项为哪一项．．．．．符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上〕. 1. 计算ii -+11等于A.iB.i -C.1D.1-2. 集合12{0,log 3,3,1,2}A =-，集合{|2,}xB y y x A ==∈，那么AB =A.{1}B.{1,2}C.{3,1,2}-D.{3,0,1}- 3. 以下函数既是奇函数，又是增函数的是 A.2log y x = B.3y x x =+ C.3x y =D.1y x -=4. 等差数列}{n a 的公差为3，假设842,,a a a 成等比数列，那么4a =A.8B.10C.12D.165. 某程序框图如下图，该程序运行后输出的k 的值是A.4B.5C.6D.76. 锐角α的终边上一点)50cos ,50sin 1( +P ，那么锐角α=A. 80B. 70C. 20D.107. 函数()sin()(0,,)2f x A x x R πωφωφ=+><∈的部分图开始k =0S =100<S =+k =+是像如图，那么A.()4sin()84f x x ππ=-+B.()4sin()84f x x ππ=-C.()4sin()84f x x ππ=--D.()4sin()84f x x ππ=+8. 甲、乙、丙、丁四人排成一行，那么甲、乙都不在两边的概率为A.121B.16C.124D.149. 假设椭圆2213x y m+=与直线220x y +-=有两个不同的交点，那么m 的取值范围是A.1(,3)4B.(3,)+∞C.1(,3)2 D .1(,3)(3,)4+∞10. 函数()f x 是定义在R 上的最小正周期为3的奇函数，当3(,0)2x ∈-时，2()log (1)f x x =-，那么(2011)(2012)(2013)(2014)f f f f +++=A.0B.1C.-1D.211. 在ABC ∆中，120BAC ∠=，2AB =，1AC =，点P 满足BP BC λ=(01)λ≤≤，那么⋅-2的取值范围是A.1[,3]4B.1[,5]2C.15[2,]4-D.13[,5]412. 某几何体的三视图如下图，这个几何体的内切球的体积为A.π34 B.π)32(4-C.π2734 D.π98第二卷〔非选择题，共90分〕本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.【二】填空题(本大题包括4小题，每题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13. 假设实数y x ,满足不等式组20y xx y y ⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥，那么目标函数y x z 3+=的最大值为.14. 为检查国家全民健身运动的落实情况，在某社区成年居民中随机抽取200名，统计其平均每天参加体育活动时间〔h 〕，画出右边频率分布直方图，该社区共有成年居民1500人，根据上述信息估计平均每天参加体育活动时间在[)5.1,5.0内的人数约为___________. 15. 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得15BCD ∠=，30BDC ∠=，30CD =米，并在C 测得塔顶A 的仰角为 60，那么塔的高度AB =__________米.16. 函数()lg f x x =和()10x g x =的图像与圆2220x y +=在第一象限内的部分相交于11(,)M x y 和22(,)N x y 两个点，那么2212y y +=__________. 【三】解答题〔本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤〕.17. 〔本小题总分值12分〕等差数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，满足2222(1)S a a =+，且11a =.⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设nS b n n 132+=，求数列{}n b 的最小值项. 18. 〔本小题总分值12分〕直三棱柱111C B A ABC -中，CB AC ⊥，D 为AB 中点，31==AC A A ，1=CB.⑴求证：1BC ∥平面CD A 1；⑵求三棱锥DC A C 11-的体积. 19. 〔本小题总分值12分〕为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50人进行问卷调查后得到了如下的列联表喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生 5 女生 10 合计50在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱篮球的学生的概率为0.6. ⑴请将上面的列联表补充完整；⑵能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关系； ⑶喜爱打篮球的10位女生中，54321,,,,A A A A A 还喜欢打羽毛球，321,,B B B 还喜欢打乒乓球，21,C C 还喜欢踢足球。
吉林省吉林市普通中学高三数学毕业班第四次调研测试试
吉林市普通中学2016—2017学年度高中毕业班第四次调研测试数 学（理科）参考答案与评分标准一、选择题：12题解答：222[(2)][ln (1)]b a b a m m --+--≥-恒成立，左端为点(),ln P b b 与点 (2,1)Q a a --距离平方，因为,P Q 分别在曲线:ln C y x =及直线:1l y x =+上，由11y x'==得1x =，故与l 平行且与:ln C y x =相切的切点为（1,0）所以PQ 最小值22d ==，所以22m m -≤，解得12m -≤≤。
故选B . 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13：4 ；14：3 ;15.54；16. 19π三、解答题 17解答：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，因为3574,14a a a =+=，所以有112421014a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得121a d =⎧⎨=⎩，---------------------------------------------4分所以2(1)1n a n n =+-=+；---------------------------------------------5分(1)22n n n S n -=+21(3)2n n =+。
---------------------------------------------6分1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ACDCBDBDCABB（Ⅱ）由（1）知211111()1(2)22n n b a n n n n ===--++，----------------------------------------------9分 所以111111(1232435n T =-+-+-+ 1111...)112n n n n +-+--++1111(1)2212n n =+--++----------------------------------------------11分 34<----------------------------------------------12分18解答：(Ⅰ)由直方图，抽取的50名学生的数学平均成绩为： 850.12950.161050.321150.201250.121350.08107.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以，该校理科毕业生的数学平均成绩约为：107.8 -----------------------------3分（Ⅱ）由直方图知，后两组频率之和为0.2，后两组人数之和为500.210⨯=。
吉林省长春市高三质量监测文科数学试卷(四)含答案
长春市普通高中 高三质量监测（四） 数学文科第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上） 1. 已知集合{421,5}A =--，，，，{|2}B x y x ==+，则A B 中元素的个数为A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知复数z 满足 52z i=-，则||z = A. 2 B. 5 C. 3 D. 53. 设,a b ∈R ，则“22log log a b >”是“21a b ->”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.已知直线m n ,与平面αβ，，下列命题中错误．．的是 A.若 m n αα,⊥⊥，则m n //B. 若 m n ββ,//⊥，则m n ⊥C.若 m n αβαβ,,⊥⊥⊥，则m n ⊥D. 若 m n n α//,⊂，则m α//5. 执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是A. 34s ≤B. 56s ≤C. 1112s ≤D. 2524s ≤ 6. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为A. 42π-B. 483π-C. 8π-D. 82π-7. 函数()sin()(000)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<,,的部分图象如图所示，则2()9f π=A. 3B. 1C. 2D. 28. 已知等比数列{}n a 单调递减，满足154910a a a a =+=2,，则数列{}n a 的公比q =A. 13-B. 13C. 23D. 39.函数2ln y x x =+的大致图像为10. 如图，从高为h 的气球()A 上测量待建规划铁桥()BC 的长，如果测得桥头()B 的俯角是α，桥头()C 的俯角是β，则桥BC 的长为A. sin()sin sin hαβαβ- B. cos()sin sin h αβαβ- C. sin()cos cos h αβαβ- D. cos()cos cos h αβαβ-11. 棱长为1的正四面体ABCD 中，E 为棱AB 上一点（不含A B ,两点），点E 到平面ACD 和平面BCD 的距离分别为,a b ，则11a b+的最小值为A. 2B.C.D.12. M 为双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>,右支上一点，A 、F 分别为双曲线的左顶点和右焦点，且MAF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为A.41 C.2 D. 6第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13.已知2=|a |=|b |，2⋅-=-（）a b a ，则a 与b 的夹角为_______14. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则使n S 取最小值的n 等于 . 15. 已知圆C 的圆心在直线210x y +-=上，且经过原点和点(1,5)--，则圆C 的方程为 ___________. 16. 下列说法中正确的有：___________.（将你认为正确的命题序号全部填在横线上）①电影院调查观众的某一指标，通知“每排（每排人数相等）座位号为14的观众留下来座谈”是系统抽样；②推理过程“因为指数函数xy a =是增函数，而2xy =是指数函数，所以2xy =是增函数”中，小前提是错误的；③对命题“正三角形与其内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体与其内切球切于各面中心；④在判断两个变量y 与x 是否相关时，选择了3个不同的模型，它们的相关指数2R 分别为：模型1为098.，模型2为080.，模型3为050..其中拟合效果最好的是模型1；三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分12分）已知函数()cos()sin 6f x x x π=+-.（1）利用“五点法”列表，并画出()f x 在5[]33ππ-,上的图象； （2）a b c ,,分别是锐角ABC ∆中角A B C ,,的对边.若a =()f A =，求ABC ∆面积的取值范围. 18. （本小题满分12分） 某便携式灯具厂的检验室，要检查该厂生产的某一批次产品在使用时的安全性。
长春市2012届高三毕业班第四次模拟考试文综参考答案
长春市2012届高三毕业班第四次模拟考试文科综合能力测试试题参考答案及评分细则一、选择题：共140分1．【命题立意】本题考查学生解读地理信息及分析判断地理问题的能力。
【试题解析】①地为辽河平原，降水量不足不适合种植水稻。
②地为呼伦贝尔草原。
③地为长白山，应加强对林业资源的保护。
④地为三江平原应保护湿地。
【试题答案】B2．【命题立意】本题考查学生调动和运用地理知识及分析和判断地理问题的能力。
【试题解析】苹果属暖温带水果，东北平原中部属中温带。
东北中部平原属季风气候，降水季节和年际变化大，河流流量不稳定。
【试题答案】D3．【命题立意】本题考查学生运用地理知识的能力。
【试题解析】影响产业转移的主要因素是劳动力、内部交易成本、市场。
城市化是产业转移的影响结果之一，而非原因。
【试题答案】D4．【命题立意】本题考查学生调动和运用地理知识的能力。
【试题解析】产业转移和逆城市化出现无关，我国是发展中国家，是产业转移的转入地，会缓解就业压力，产业转移可能使转入地加重环境污染。
【试题答案】C5．【命题立意】本题考查学生获取和解读信息的能力以及调动和运用地理知识的能力，学生从图中获取和解读有效信息，辨析分析后得出结论。
【试题解析】从图中可知，径流深度变化与降水量密切相关。
题干问的是AB段与BC 段斜率不同的原因，不是A-B或B-C变化的原因。
距海远近只会使径流深度发生变化，不会使斜率不同。
斜率是指单位距离的变化量，与距海远近无关。
【试题答案】B6．【命题立意】本题考查调动和运用地理知识能力。
【试题解析】B点出现明显转折即B点降水量突然变化（增多）。
B点位于四川盆地西部，受地形抬升，降水量较附近地区多。
【试题答案】A7．【命题立意】本题考查学生调动和运用地理知识的能力。
【试题解析】季风区是指受夏季风影响明显的地区，三列山脉两侧受夏季风影响差异大，导致降水差异大。
三列山脉为分界线，与西北部高山无关。
【试题答案】A8．【命题立意】本题考查学生调动和运用地理知识的能力以及探究的能力。
2012年长春市高中毕业班第二次调研测试数学文科答案
2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2012年长春市高中毕业班第二次调研测试数学(文科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.C2.B3. B4. A5.B6.A7.B8.D9.C 10.C 11.C 12.D 简答与提示：1. C {}1,4U B =ð，{}()1,2,4U A B =U ð.故选C.2. B13(13)(1)24121(1)(1)2i i i ii i i i +++-+===-+--+，实部与虚部之和为121-+=. 故选B.3. B 由题意可知，3sin 5α=，3sin()sin 5απα+=-=-.故选B. 4. A 由题意可知，该几何体为一个四棱锥，底面面积为32，高为1，体积为1311322V =⋅⋅=.故选A.5. B 代入中心点(,)x y ，可知 1.45a =.故选B.6. A 因为函数的最大值为1，最小值为1-，且在区间2[,]63ππ上单调递减，又函数值从1减小到1-，可知2362πππ-=为半周期，则周期为π，222T ππωπ===，此时原式为sin(2)y x ϕ=+，又由函数过(,1)6π点，代入可得6πϕ=，因此函数为sin(2)6y x π=+，令0x =，可得12y =.故选A.7. B i ＝3，打印点(－2,6)，x ＝－1，y ＝5，i ＝3－1＝2；i ＝2，打印点(－1,5)，x ＝0，y ＝4， i ＝2－1＝1；i ＝1，打印点(0,4)，x ＝1，y ＝3， i ＝1－1＝0；0不大于0，所以结束．故选B.8. D 当0x ≥时，1[()]4xf f x =≥，所以4x ≥；当0x <时，21[()]2x f f x =≥，所以22x ≥，x ≥x ≤所以x ∈(,[4,)-∞+∞.故选D.9. C'2()2f x x ax =-，由2a >可知，'()f x 在(0,2)x ∈恒为负，即()f x 在(0,2)内单调递减，又(0)10f =>，8(2)4103f a =-+<，∴()f x 在(0,2)只有一个零点. 故选C.10. C ()()DE DF DO OE DO OF ⋅=+⋅+()()198DO OE DO OE =+⋅-=-=-.故选C.11. C 过M 作x 轴的垂线，交x 轴于N 点，则N 点坐标为(,0)2c ，并设12222MF MO MF t ===，根据勾股定理可知，22221122MFNF MF NF -=-，得到2c t =，而32ta =，则3c e a ==.故选C . 12. D2()f x x ax b '=++， 由题意可知：2222(1)(1)(1)10(1)1110(2)22420(4)441640f a b a b f a b a b f a b a b f a b a b '⎧-=-+-+=-+>⎪'=+⋅+=++<⎪⎨'=+⋅+=++<⎪⎪'=+⋅+=++>⎩所构成的区域即为图中阴影部分，四边形的四个顶点坐标分别为：(3,4),(1,2),(3,2),(5,4),------可验证得：当5,4a b =-=时，2z a b =+取得最大值为3；当3,4a b =-=-时，2z a b =+取得最小值为11-.于是2z a b =+的取值范围是(11,3)-.故选D.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分) 13.[1,)-+∞ 14.2+15.216.24)π简答与提示：13. 如图作出函数()f x x a =+与()1g x x =-的图像，观察图像可知：当且仅当1a -≤，即1a -≥时，不等式()()f x g x ≥恒成立，因此a 的取值范围是[1,)-+∞.14. 由212AF F F=，可知22b c a =.又1a =，b=c =m =即244m m -=，2448m m -+=，2(2)8m -=，解得2m =±又0m >，所以2m =+15. 因为274sincos 222A B C +-=，所以272[1cos()]2cos 12A B C -+-+=.2722cos 2cos 12C C +-+=, 21cos cos 04C C -+=，解得1cos 2C =. 根据余弦定理有2217cos 22a b C ab+-==，227ab a b =+-,222327()725718ab a b ab a b =++-=+-=-=，6ab =.所以11sin 62222S ab C ==⋅⋅=. 16. O 为正方体外接球的球心，也是正方体的中心，O 到平面11AB D 的距离是体对角线的16又球的半径是正方体体对角线长的一半，即为圆锥底面面积为2124S ππ=⋅=；圆锥的母线即为球的半径圆锥的侧面积为2=S l ππ=⋅⋅；因此圆锥的表面积为12+2424)S S S ππ==+=.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分) 17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查等差数列基本量的求取、等差数列求和公式以及裂项 求和的应用.【试题解析】解：⑴121112323()5311a a a a d a d +=++=+=， 32624a a a =+-即1112(2)54a d a d a d +=+++-得2d =， 11a =，1(1)1(1)221n a a n d n n =+-=+-⨯=-. (6分)⑵2111(1)1(1)222n S na n n d n n n n =+-=⨯+-⨯=，211111(1)1n n b S n n n n n n n ====-++++，111111111()()()...()1122334111n nT n n n n =-+-+-++-=-=+++. (12分) 18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布表、频 率分布直方图以及概率的初步应用. 【试题解析】解：⑴由题可知100.25M =， 25n M =， m p M =， 20.05M=. 又 10252m M +++=，解得 40M =，0.625n =，3m =，0.075=p . 则[15,20)组的频率与组距之比a 为0.125. (5分)⑵参加在社区服务次数在区间[15,20)内的人数为3600.625225⨯=人. (8分)⑶在样本中，处于[20,25)内的人数为3，可分别记为,,A B C ，处于[25,30)内的人 数为2，可分别记为,a b . 从该5名同学中取出2人的取法有(,),(,),(,)A a A bB a (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)B bC a C b A B A C B C a b 共10种；至多一人在 [20,25) 内的情况有(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A a A b B a B b C a C b a b 共7种，所以至多一人参加社区服务次数在区间[)20,25内的概率为710. (12分)19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、 点到平面距离的求法等知识.【试题解析】解：⑴证明：设AC BD O =，取BE 中点G ，连结OG FG 、，则OG ∥DE 且OG ＝12DE . ∵DE AF //，AF DE 2=，∴AF ∥OG 且AF ＝OG ， ∴四边形AFGO 是平行四边形，∴AO FG //. ∵FG ⊂平面BEF ,AO ⊄平面BEF , ∴//AO 平面BEF ，即//AC 平面BEF .(5分)⑵在Rt △BAF中，BF = 在Rt △BDE中，BE ===，在直角梯形ADEF中，EF ===所以1122BEFSBE ==⋅=， 1122222DEF S DE AD =⋅=⋅⋅=，由于B DEF D BEF V V --=,即1133DEF BEF S AB S h ⋅=⋅，3DEF BEF S AB h S ⋅===， 即点D 到平面BEF 的距离为3. (12分) 20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线 方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识.【试题解析】解：⑴以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积112222S a b ab =⋅⋅=， 以两个短轴端点和两个焦点为顶点的四边形面积212222S c b cb =⋅⋅=. 12222S ab a S bc c ===，即2a c =. 可设椭圆方程为2222143x y c c+=，代入3(1,)2点可得21c =. 所求椭圆方程为22143x y += . (5分) ⑵由APB ∠为锐角，得0PA PB ⋅>，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,)PA x m y =-，22(,)PB x m y =-，21212121212()()()0PA PB x m x m y y x x m x x m y y ⋅=--+=-+++>，联立椭圆方程22143x y +=与直线方程10x y ++=消去y 并整理得27880x x +-=. 所以1287x x =-，1287x x +=-，进而求得1297y y =-，所以22121212889()()0777x x m x x m y y m m -+++ =--⋅-+->，即278170m m +->，解之得m 的取值范围4315(()-+-∞+∞. (12分)21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研 究函数的单调性、极值以及函数零点的情况.【试题解析】解：⑴当1x <时，2()32f x x ax b '=-++. 因为函数图像在点(2,(2))f --处的切线方程为16200x y ++=. 所以切点坐标为(2,12)-，并且(2)84212,(2)12416,f a b f a b -=+-=⎧⎨'-=--+=-⎩解得1,0a b ==.(4分)⑵由⑴得，当1x <时，32()f x x x =-+，令2()320f x x x '=-+=可得0x =或23x =， ()f x 在(1,0)-和2(,1)3上单调递减，在2(0,)3上单调递增，对于1x <部分：()f x 的最大值为2max{(1),()}(1)23f f f -=-=；当12x ≤≤时，()ln f x c x =⋅，当0c ≤时，ln 0c x ⋅≤恒成立，()02f x <≤， 此时()f x 在[1,2]-上的最大值为(1)2f -=；当0c >时，()ln f x c x =⋅在[1,2]上单调递增，且(2)ln 2f c =⋅.令ln 22c ⋅=，则2ln 2c =，所以当2ln 2c >时，()f x 在[1,2]-上的最大值为(2)ln 2f c =⋅；当20ln 2c <≤时，()f x 在[1,2]-上的最大值为(1)2f -=.综上可知，当2ln 2c ≤时，()f x 在[1,2]-上的最大值为2； 当2ln 2c >时，()f x 在[1,2]-上的最大值为ln 2c ⋅. (8分) ⑶32,(1)()ln ,(1)x x x f x c x x ⎧-+ <=⎨ ⎩≥，根据条件M ，N 的横坐标互为相反数，不妨设32(,)M t t t -+，(,())N t f t ，(0)t >.若1t <，则32()f t t t =-+，由MON ∠是直角得，0OM ON ⋅=，即23232()()0t t t t t -++-+=， 即4210t t -+=.此时无解；(10分)若1t ≥，则()l n f t c t =⋅. 由于MN 的中点在y 轴上，且90MON ∠=，所以N 点 不可能在x 轴上，即1t ≠. 同理有0OM ON ⋅=，即232()ln 0t t t c t -++⋅=，1(1)ln c t t =+. 由于函数1()(1)ln g t t t =+(1)t >的值域是(0,)+∞，实数c 的取值范围是(0,)+∞即为所求. (12分) 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到割线定理以及三角形 相似等内容.【试题解析】解：⑴连结DE ，因为ACED 是圆的内接四边形，所以 BDE BCA ∠=∠. 又DBE CBA ∠=∠，所以△BDE ∽△BCA ，即有BE DEBA CA=.而2AB AC =，所以2BE DE =.又CD 是ACB ∠的平分线，所以AD DE =， 从而2BE AD =. (5分) ⑵由条件得22AB AC ==，设AD t =，根据割线定理得 BD BA BE BC ⋅=⋅，即()2(2)AB AD BA AD AD CE -⋅=⋅+所以(2)22(22)t t t -⨯=+，即22320t t +-=，解得12t =，即12AD =. (10分) 23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标 方程与平面直角坐标方程的互化、距离等内容.【试题解析】⑴将cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）化为普通方程得()1122=-+y x ，将()cos sin 10ρθθ-+=化为直角坐标方程得01=+-y x . (5分)⑵ 由⑴知曲线1C 表示圆心为(0,1)，半径为1的圆，曲线2C 表示直线01=+-y x ，并且过圆心(0,1)，所以曲线1C 上的点到曲线2C 上点的最远距离等于圆的半径1. (10分) 24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式证明等内容.【试题解析】解：⑴原不等式等价于12445x x ⎧<⎪⎨⎪-⎩≤或132225x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤或32445x x ⎧>⎪⎨⎪-⎩≤， 因此不等式的解集为]49,41[-∈x . (5分)⑵由于mx f x g +=)(1)(的定义域为R ，则0)(=+m x f 在R 上无解.又()|21||23||2123|2f x x x x x =-+---+=≥，)(x f 的最小值为2，所以2m -<，即2m >-.(10分)。
吉林省吉林市普通中学高三数学毕业班第四次调研测试试
吉林市普通中学2016—2017学年度高中毕业班第四次调研测试数学（文科）参考答案与评分标准一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABCCCBDDBACA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．13 ;14．7- ;15. 14π;16. 112221n n ++--（或11121n +--）三、解答题 17解答（Ⅰ）因为3,26,a b ==2B A =，所以在ABC∆中，由正弦定理得326sin sin 2A A=，-----------------------------------------------------2分所以2s i nc os 26sin3A AA=，故6cos 3A =.------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知6c o s3A =。
所以23s i n 1c os3A A =-= --------------------------------------------5分又因为2B A=，所以21c os 2c3B A =-=--------------------------------------------------------7分所以222sin 1cos 3B B =-=。
-----------------------------------------------------------------------8分在ABC∆中，s i n s i n ()s C A B A c o c BA B=+=+ 539=。
------------------------10分所以s i n5s i na C c A ==。
（也可用余弦定理求解此问，从略。
）-------------------------------------12分 18解答.(Ⅰ) 因为a 有3种取法，b 有4种取法，则对应的函数有3×4＝12个 ------------------------------2分因为函数f (x )的图象关于直线x ＝2ba对称，若事件A 发生，则a ＞0且2ba≤1------------------------3分数对(a ，b )的取值为(1，－1)，(2，－1)，(2，1)，共3种． -------------------------------------5分所以P (A )=31124= -------------------------------------------------------------------------6分 (Ⅱ)集合(){},40,0,0a b a b a b +-≤>>对应的平面区域为Rt△AOB ，如图．其中点A (4，0)，B (0,4)，则△AOB 的面积为12×4⨯4=8----------------------------------8分 若事件B 发生，则f (1)<0，即a －4b ＋2<0.--------------------------------------------------------9分所以事件B 对应的平面区域为△BCD .由40420a b a b +-=⎧⎨-+=⎩，得交点坐标为146(,)55D ．又1(0,)2C ，则△BCD 的面积为12×1(4)2-×145＝4910. -----11分所以P (B )＝S △BCD S △AOB ＝4980-------------------------12分19解答 (Ⅰ)证明：PA ⊥面ABCD ，CD ⊂面ABCD ，PA CD ∴⊥ ----------------------------------------2分又,AD CD ⊥PA AD A =。
【恒心】【好卷速递】2012年长春市高中毕业生第四次调研测试文科数学标准参考答案【教师专版】
数学（文科）参考答案及评分细则 第1页（共6页）2012年长春市高中毕业生第四次调研测试数学(文科)参考答案及评分细则1. A 21(1)2.1(1)(1)2i i ii i i i ++===--+ 故选A.2. B 21{0,log ,3,1,2}3A =-，∴11{1,,,2,4}38B =，∴{1,2}A B = . 故选B.3. B 四个函数中只有函数3y x x =+既是奇函数又是增函数. 故选B.4. C 令首项为a ，根据条件有2(9)(3)(21)3a a a a +=+⋅+⇒=，433312a =+⨯=. 故选C.5. D 01234522222263100+++++=< ，012345622222226364127100.++++++=+=>∴当151k k =+=+时，63100S =<；当161k k =+=+时，127100S =>. 即该程序输出的7k =. 故选D.6. C 2cos50sin 402sin 20cos 20tan tan 20.1sin 501cos 402cos 20α︒︒︒︒====︒+︒+︒︒又α是锐角，所以20α=︒. 故选C.7. A 通过观察图像可知函数图像过(2,0)-和(2,4)-两个固定点，由(2,0)-可知：84x x ππωϕ+=+；由(2,4)-可知，4A =-. 从而()4sin()84f x x ππ=-+. 故选A.8. B 甲、乙、丙、丁四人站成一排有如下24种情形：甲乙丙丁、甲乙丁丙、甲丙乙丁、甲丙丁乙、甲丁乙丙、甲丁丙乙、 乙甲丙丁、乙甲丁丙、乙丙甲丁、乙丁甲丙、乙丁丙甲、乙丙丁甲、 丙甲乙丁、丙甲丁乙、丙乙甲丁、丙乙丁甲、丙乙丁甲、丙丁乙甲、 丁甲乙丙、丁甲丙乙、丁乙甲丙、丁乙丙甲、丁丙甲乙、丁丙乙甲. 其中甲、乙都不在两边有如下4种情形： 丙甲乙丁、丙乙甲丁、丁甲乙丙、丁乙甲丙.因此所求概率为41246p ==. 故选B. 9. D 由2213220x y m x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩消去x 并整理得2(34)80m y my m +-+=.根据条件得230644(43)0m m m m m ⎧≠⎪>⎨⎪∆=-+>⎩，解得134m <<或3m >. 故选D.数学（文科）参考答案及评分细则 第2页（共6页）10. C 由于22(1)log (1(1))log 21f -=--==，(0)0f =，(1)1f =- ，所以(2011)(2012)(2013)(2014)f f f f +++(1)(1)(0)(1)11011f f f f =+-++=-++-=-. 故选C. 11. D 在ABC ∆中，根据余弦定理得BC ===根据正弦定理得1sin cos sin sin sin sin120AC BC B B B A B =⇒=⇒=⇒=︒ 从而有2222()()72(71137().24BP AP BC BC AB BC BC λλλλλ-⋅=-+⋅=--=-+又01λ≤≤，所以2BP AP BC -⋅的取值范围是13[,5]4. 故选D.12. C 此几何体是底面边长为2为12. 令内切球的半径为r，则1123r r ⨯=⇒=343V π== 故选C.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. 4 14. 96015. 16. 20简答与提示：13. 不等式组20y x x y y ⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥围成一个三角形区域，三顶点的坐标分别为：(1,1),(0,0),(2,0)，所以当直线y x z 3+=过点(1,1)时，z 取得最大值4. 14. 1500(0.820.46)0.5960⨯+⨯=(人). 15. 在BCD ∆中，根据正弦定理得，30sin sin 30sin sin(1801530)CD BC CDB CBD =⋅∠=⨯︒=∠︒-︒-︒在Rt ABC ∆中，tan tan60AB BC ACB =⋅∠=︒=.16. 由于函数()lg f x x =和函数()10x g x =互为反函数，其图像关于直线y x =对称，这样它们的图像与圆2220x y +=在第一象限内的交点M 和N 也关于直线y x =对称，这两个点的坐标满足12x y =，21x y =，从而2222122220y y x y +=+=.数学（文科）参考答案及评分细则 第3页（共6页）三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分) 17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查等差数列基本量的求取、等差数列求和公式以及函数单调性等有关知识的应用.【试题解析】解：⑴由22222S a a =+，可得211112()()()a a d a d a d ++=+++.又11a =，可得1d =. 数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，n a n ∴=. (4分) ⑵根据⑴得(1)2n n n S +=，213(1)13131n n S n n b n n n n +++===++. 由于函数13()(0)f x x x x=+>在上单调递减，在)+∞上单调递增，而34<，且132288(3)33312f =+==，132987(4)44412f =+==， 所以当4n =时，n b 取得最小值，且最小值为2933144+=. 即数列{}n b 的最小值项是4334b =. (12分) 18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、几何体的体积的求法等知识.【试题解析】⑴证明：连结1AC 交1AC 于O 点，连结DO ，则O 和D 分别为1AC 和AB 的中点，所以DO ∥1BC ，而1DO A DC ⊂平面，11BC A DC ⊄平面，所以1BC ∥平面1A DC . (6分)⑵因为1BC ∥平面1A DC ，所以点1C 和B 到平面1A DC 的距离相等，从而有 11111111332BDC Rt ABC C A DC A BDC V V S AA S AA ∆∆--==⋅=⨯⋅三棱锥三棱锥111111162624AC BC AA =⨯⋅⋅=⨯=. (12分) 19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到统计案例中独立性检验以及概率的求法等内容.【试题解析】解：⑴因为喜爱篮球的学生数为500.630⨯=，所以补充完整的列联(3分)⑵由⑴可知2250(2015105)8.3337.879(2010)(515)(205)(1015)K ⋅⨯-⨯=≈>+⋅+⋅+⋅+.又2(7.879)0.005p K =≥，因此可以断定在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关系. (7分)。
【恒心】【好卷速递】2012年长春市高中毕业生第四次调研测试理科数学标准参考答案【教师专版】
2012年长春市高中毕业生第四次调研测试数学(理科)参考答案及评分细则1. D *{|911}{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A x N x =∈-<<=，{|32}B x x =-≤≤，∴{1,2}A B = . 故选D.2. B211(1)111(1)22222i i i i i i i i i i +++⨯-====-+---⨯，其共轭复数为1122i --. 故选B. 3. B 四个函数中只有函数3y x x =+既是奇函数又是增函数. 故选B. 4. C 令首项为a ，根据条件有2(9)(3)(21)3a a a a +=+⋅+⇒=，433312a =+⨯=.故选C.5. D 01234522222263100+++++=< ，012345622222226364127100++++++=+=>.∴当151k k =+=+时，63100S =<；当161k k =+=+时，127100S =>. 即该程序输出的7k =. 故选D.6. A 9921991()(1)r r r r r rr T C x C x x--+=-=-，令9233r r -=⇒=，从而3x 的系数为339(1)84C -=-. 故选A.7. A 通过观察图像可知函数图像过(2,0)-和(2,4)-两个固定点，由(2,0)-可知：84x x ππωϕ+=+；由(2,4)-可知：4A =-.从而()4sin()84f x x ππ=-+. 故选A.8. D 244412A p A ==. 故选D.9. D 由于2ABF ∆是以2F 为顶点的等腰三角形，所以2ABF ∆为锐角三角形的充要条件是12Rt AF F ∆的锐角221452b AF F ca∠<︒⇔>，即2222,210ac c a e e >---<，解得11e <1e >，所以11e <<. 故选D. 10. D 在中，根据余弦定理得BC 根据正弦定理得1sin cos sin sin sin AC BC B B B A B =⇒=⇒=⇒= 从而有22()()BP AP BC BC AB BC BC λλ-⋅=-+⋅2211372(77()24λλλ=--=-+.又01λ≤≤，所以2BP AP BC -⋅的取值范围是13[,5]4. 故选D.11. C 此几何体是底面边长为2为12. 令内切球的半径为r ，则1123r r ⨯=⇒=343V π== 故选C.12. C 函数()f x 的定义域为[，作出函数[y x =∈和]),[(2a a x x y -∈-=的图像，前者是圆22x y a +=的上半圆，后者是一条折线段，观察图像很容易发现：当01a <<时，()0f x <在[上恒成立；当2a >时，()0f x >在[上恒成立；当12a ≤≤时，()0f x =在[上总有实数根. 故选C.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. 5π- 14. 960 15. 16. [8,2]-简答与提示: 13.222220022()cos 2sin |2|sinsin 02(2)22f x dx xdx dx x x ππππππ=+=+=-+-⎰⎰⎰145ππ=+-=-.14. 1500(0.820.46)0.5960⨯+⨯=(人). 15. 在BCD ∆中，根据正弦定理得，30sin sin 30sin sin(1801530)CD BC CDB CBD =⋅∠=⨯︒=∠︒-︒-︒在Rt ABC ∆中，tan tan60AB BC ACB =⋅∠=︒=.16. 设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为)1(2+=-x k y .设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由222(1)8y k x x y -=+⎧⎨+=⎩可以得 222122211447,144k k k y y k k k x x +++-=+-+=. 从而有221212224474411k k k k OA OB x x y y k k +--++⋅=+=+++2226886611k k k k k-++==-+++.令43k t +=，则2326625tOA OB t t ⋅=-+-+ .当0t =时，6OA OB ⋅=-；当0t ≠时，2323266256256t OA OB t t t t ⋅=-+=-+-++- . 由于2510t t+≥(当5t =时取等号)，所以82OA OB -⋅ ≤≤但6OA OB ⋅≠- .综合可知82OA OB -⋅≤≤为所求.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分) 17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查等差数列基本量的求取、等差数列求和公式以及函数单调性等有关知识的应用.【试题解析】解：⑴由22222S a a =+，可得211112()()()a a d a d a d ++=+++. 又11a =，可得1d =. 数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，n a n ∴=.(4分)⑵根据⑴得(1)2n n n S +=，213(1)13131n n S n n b n n n n +++===++. 由于函数13()(0)f x x x x=+>在上单调递减，在)+∞上单调递增，而34<，且132288(3)33312f =+==，132987(4)44412f =+==， 所以当4n =时，n b 取得最小值，且最小值为2933144+=. 即数列{}n b 的最小值项是4334b =. (12分) 18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到随机变量的分布列、数学期望的求法和统计案例中独立性检验等知识内容.【试题解析】解：⑴根据条件ξ的取值为2，3，4，而且在20人中，数学成绩优秀的6人，不优秀的14人，所以有21422091(2)190C p C ξ===，1161422084(3)190C C p C ξ===，2622015(4)190C p C ξ===. 所以ξ的分布列为(6分)数学期望918415()234 2.6190190190E ξ=⨯+⨯+⨯=. (8分)所以220(41222) 5.4875 5.024(42)(212)(42)(212)K ⋅⨯-⨯=≈>+⋅+⋅+⋅+. 又2( 5.024)0.025p K =≥，因此根据这次抽查数据在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为物理成绩优秀与否和数学成绩优秀与否有关系.(12分) 19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到直线与直线垂直的判断、线面的平行关系的判断以及二面角的求法等有关知识.【试题解析】⑴证明：由条件知四边形ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥，而平面⊥11CC AA 平面ABCD ，平面11AACC 平面ABCD AC =， 所以BD⊥平面11AACC ，又1AA ⊂平面11AACC ，因此1AABD ⊥. (3分) ⑵因为60ABC ∠=，ABCD 是菱形，所以1AC AB AA ==，而160A AC ∠=，所以1A AC ∆是正三角形. 令BD AC O = ，连结1AO ，则1,,BD AC OA 两两互相垂直.如图所示，分别以1,,BD AC OA 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(D ，(0,1,0)A -，1A ，1,0)DA =-，1DA = ，平面11AACC 的法向量为(1,0,0)n = . 设(,,)m x y z =是平面1DAA 的法向量，则100000m DA y y x z m DA ⎧⎧⋅=-==⎪⎪⇔⇔⎨⎨+=⋅=⎪=⎪⎩⎩. 令1x =，则 1.y z =-即(11)m =-. 设二面角C AA D --1的平面角为θ， 则θ是锐角，并且cos cos ,5m n m n m nθ⋅====⋅因此二面角C AA D --1(8分) ⑶设这样的点P 存在，且1CP CCλ=，而1(0,1,0),2,3)C C ，所以(0,1)P λ+，又B ，所以()BP λ=+，1DC = 设(,,)k x y z =是平面11DAC 的法向量，则。
吉林省长春市2012年高考数学毕业班第二次调研测试题 文
吉林省长春市2012年高中毕业班第二次调研测试数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.注意事项：1． 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2． 选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀. 参考公式：柱体体积公式：Sh V =,其中S 为底面面积,h 为高. 锥体体积公式：Sh V 31=,其中S 为底面面积,h 为高. 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1. 已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =，则()U A B =A.{1}B.{2,3}C.{1,2,4}D.{2,3,4}2.i 为虚数单位，复数131ii+-的实部和虚部之和为 A.0 B.1C.2D.33. 已知α∈(π2，π)，3tan 4α=-，则sin()απ+等于A.35B. 35-C.45D. 4-4. 如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为A.12B. 1C.34D.325. 已知x 、y 取值如下表：从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且ˆ0.95yx a =+，则a = A.1.30B.1.45C.1.65D.1.806.函数sin()y x ωϕ=+(0)2πωϕ><且在区间2[,]63ππ上单调递减，且函数值从1减小到1-，那么此函数图像与y 轴交点的纵坐标为A.127. 利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印的点落在坐标轴上的个数是 A.0 B.1 C.2 D.38. 已知函数2,(0)()2,(0)xx f x x x ⎧⎪=⎨⎪<⎩≥，则[()]1f f x ≥≥1的充要条件是 A.x ∈(,-∞B.x ∈)+∞C.x ∈(,1][42,)-∞-+∞D.x ∈(,[4,)-∞+∞ 9. 若2a >，则函数321()13f x x ax =-+在(0,2)内零点的个数为 A.3 B.2C.1D.010. 已知圆O 的半径为3，直径AB 上一点D 使3AB AD =，E F 、为另一直径的两个端点，则DE DF ⋅= A.3- B.4-C.8-D.6-11. 以O 为中心，12,F F 为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足1222MF MO MF ==,则该椭圆的离心率为A.2B.3 C. 3 D.4 12. 已知函数()c bx ax x x f +++=232131在1x 处取得极大值，在2x 处取得极小值，满足1(1,1)x ∈-，2(2,4)x ∈，则2a b +的取值范围是A.(11,3)--B.(6,4)--C. (16,8)--D. (11,3)-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 设函数()f x x a =+，()1g x x =-，对于任意的x R ∈，不等式()()f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是__________.14. 12,F F 是双曲线221y x m-=的两个焦点，过点2F 作与x 轴垂直的直线和双曲线的一个交点为A ，满足212AF F F =，则m 的值为__________.15. 在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知274sincos 222A B C +-=，且5a b +=，c =ABC 的面积为________.16. 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，则以正方体1111ABCD A B C D -的中心为顶点，以平面11AB D 截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的全面积为__________.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17. （本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，42,113262321-+==+a a a a a ，其前n 项和为n S . ⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵设数列{}n b 满足1n n b S n=+，求数列}{n b 的前n 项和n T .18. （本小题满分12分）对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：D 1C 1B 1DCB A 1A⑴求出表中M、p及图中a的值；⑵若该校高一学生有360人，试估计他们参加社区服务的次数在区间[)15,20内的人数；⑶在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[)20,25内的概率.19.（本小题满分12分）A B CD FE如图，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，90ADE ∠=，DE AF //，22===AF DA DE .⑴求证：//AC 平面BEF ； ⑵求点D 到平面BEF 的距离.20. （本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过定点3(1,)2，以其四个顶点为顶点的四边形的面 积等于以其两个短轴端点和两个焦点为顶点的四边形面积的2倍.⑴求此椭圆的方程；⑵若直线10x y ++=与椭圆交于A ，B 两点，x 轴上一点(,0)P m ，使得APB ∠为 锐角，求实数m 的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数32,(1)()ln ,(1)x ax bx x f x c x x ⎧-++ <=⎨ ⎩≥的图像在点(2,(2))f --处的切线方程为16200x y ++=.⑴求实数a 、b 的值；⑵求函数()f x 在区间[1,2]-上的最大值；⑶曲线()y f x =上存在两点M 、N ，使得△MON 是以坐标原点O 为直角顶点的直角 三角形，且斜边MN 的中点在y 轴上，求实数c 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲. 如图，在△ABC 中，CD 是ACB ∠的平分线，△ACD 的外接圆交BC 于点E ，2AB AC =. ⑴求证：2BE AD =；⑵当1AC =，2EC =时，求AD 的长.23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）.以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为(cos sin )10ρθθ-+=. ⑴求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； ⑵求曲线1C 上的点到曲线2C 的最远距离.24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲. 设函数|32||12|)(-+-=x x x f ，∈x R ．⑴解不等式)(x f ≤5；⑵若m x f x g +=)(1)(的定义域为R ，求实数m 的取值范围．2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2012年长春市高中毕业班第二次调研测试数学(文科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.C2.B3. B4. A5.B6.A7.B8.D9.C 10.C 11.C 12.D 简答与提示：1. C{}1,4UB =，{}()1,2,4U A B =.故选C. 2. B13(13)(1)24121(1)(1)2i i i ii i i i +++-+===-+--+，实部与虚部之和为121-+=. 故选B.3. B 由题意可知，3sin 5α=，3sin()sin 5απα+=-=-.故选B. 4. A 由题意可知，该几何体为一个四棱锥，底面面积为32，高为1，体积为1311322V =⋅⋅=.故选A.5. B 代入中心点(,)x y ，可知 1.45a =.故选B.6. A 因为函数的最大值为1，最小值为1-，且在区间2[,]63ππ上单调递减，又函数值从1减小到1-，可知2362πππ-=为半周期，则周期为π，222T ππωπ===，此时原式为sin(2)y x ϕ=+，又由函数过(,1)6π点，代入可得6πϕ=，因此函数为sin(2)6y x π=+，令0x =，可得12y =.故选A.7. B i ＝3，打印点(－2,6)，x ＝－1，y ＝5，i ＝3－1＝2；i ＝2，打印点(－1,5)，x ＝0，y ＝4， i ＝2－1＝1；i ＝1，打印点(0,4)，x ＝1，y ＝3， i ＝1－1＝0；0不大于0，所以结束．故选B.8. D 当0x ≥时，1[()]4xf f x =≥，所以4x ≥；当0x <时，21[()]2x f f x =≥，所以22x ≥，x x ≤所以x ∈(,[4,)-∞+∞.故选D.9. C'2()2f x x ax =-，由2a >可知，'()f x 在(0,2)x ∈恒为负，即()f x 在(0,2)内单调递减，又(0)10f =>，8(2)4103f a =-+<，∴()f x 在(0,2)只有一个零点. 故选C.10. C ()()DE DF DO OE DO OF ⋅=+⋅+()()198DO OE DO OE =+⋅-=-=-.故选C.11. C 过M 作x 轴的垂线，交x 轴于N 点，则N 点坐标为(,0)2c ，并设12222MF MO MF t ===，根据勾股定理可知，22221122MF NF MF NF -=-，得到2c t =，而32ta =，则3c e a ==.故选C. 12. D2()f x x ax b '=++， 由题意可知：2222(1)(1)(1)10(1)1110(2)22420(4)441640f a b a b f a b a b f a b a b f a b a b '⎧-=-+-+=-+>⎪'=+⋅+=++<⎪⎨'=+⋅+=++<⎪⎪'=+⋅+=++>⎩所构成的区域即为图中阴影部分，四边形的四个顶点坐标分别为：(3,4),(1,2),(3,2),(5,4),------可验证得：当5,4a b =-=时，2z a b =+取得最大值为3；当3,4a b =-=-时，2z a b =+取得最小值为11-.于是2z a b =+的取值范围是(11,3)-.故选D.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分) 13.[1,)-+∞14.2+15.216.24)π简答与提示：13. 如图作出函数()f x x a =+与()1g x x =-的图像，观察图像可知：当且仅当1a -≤，即1a -≥时，不等式()()f x g x ≥恒成立，因此a 的取值范围是[1,)-+∞.14. 由212AF F F =，可知22bc a=. 又1a =，b =c=m =244m m -=，2448m m -+=，2(2)8m-=，解得2m =±又0m >，所以2m =+15. 因为274sin cos 222A B C +-=，所以272[1cos()]2cos 12A B C -+-+=.2722cos 2cos 12C C +-+=, 21cos cos 04C C -+=，解得1cos 2C =.根据余弦定理有2217cos 22a b C ab+-==，227ab a b =+-,222327()725718ab a b ab a b =++-=+-=-=，6ab =.所以11sin 62222S ab C ==⋅⋅=. 16. O 为正方体外接球的球心，也是正方体的中心，O 到平面11AB D 的距离是体对角线的16，又球的半径是正方体体对角线长的一半，即为圆锥底面面积为2124S ππ=⋅=；圆锥的母线即为球的半径圆锥的侧面积为2=S l ππ=⋅⋅；因此圆锥的表面积为12+2424)S S S ππ==+=.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分) 17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查等差数列基本量的求取、等差数列求和公式以及裂项 求和的应用.【试题解析】解：⑴121112323()5311a a a a d a d +=++=+=， 32624a a a =+-即1112(2)54a d a d a d +=+++-得2d =， 11a =，1(1)1(1)221n a a n d n n =+-=+-⨯=-. (6分)⑵2111(1)1(1)222n S na n n d n n n n =+-=⨯+-⨯=，211111(1)1n n b S n n n n n n n ====-++++，111111111()()()...()1122334111n nT n n n n =-+-+-++-=-=+++. (12分) 18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布表、频 率分布直方图以及概率的初步应用.【试题解析】解：⑴由题可知100.25M =， 25n M =， m p M =， 20.05M=. 又 10252m M +++=，解得 40M =，0.625n =，3m =，0.075=p .则[15,20)组的频率与组距之比a 为0.125. (5分) ⑵参加在社区服务次数在区间[15,20)内的人数为3600.625225⨯=人. (8分) ⑶在样本中，处于[20,25)内的人数为3，可分别记为,,A B C ，处于[25,30)内的人 数为2，可分别记为,a b . 从该5名同学中取出2人的取法有(,),(,),(,)A a A b B a (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)B b C a C b A B A C B C a b 共10种；至多一人在 [20,25) 内的情况有(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A a A b B a B b C a C b a b 共7种，所以至多一人 参加社区服务次数在区间[)20,25内的概率为710. (12分)19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、 点到平面距离的求法等知识.【试题解析】解：⑴证明：设AC BD O =，取BE 中点G ，连结OG FG 、，则OG ∥DE 且OG ＝12DE . ∵DE AF //，AF DE 2=，∴AF ∥OG 且AF ＝OG ， ∴四边形AFGO 是平行四边形，∴AO FG //. ∵FG ⊂平面BEF ,AO ⊄平面BEF , ∴//AO 平面BEF ，即//AC 平面BEF .(5分)⑵在Rt △BAF中，BF ==在Rt △BDE中，BE ===在直角梯形ADEF中，EF ===所以1122BEFSBE ==⋅=， 1122222DEF S DE AD =⋅=⋅⋅=，由于B DEF D BEF V V --=,即1133DEF BEF S AB S h⋅=⋅，3DEF BEF S AB h S ⋅===， 即点D 到平面BEF 的距离为3. (12分) 20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线 方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识. 【试题解析】解：⑴以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积112222S a b ab =⋅⋅=， 以两个短轴端点和两个焦点为顶点的四边形面积212222S c b cb =⋅⋅=. 12222S ab a S bc c ===，即2a c =. 可设椭圆方程为2222143x y c c+=， 代入3(1,)2点可得21c =. 所求椭圆方程为22143x y += . (5分) ⑵由APB ∠为锐角，得0PA PB ⋅>，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,)PA x m y =-，22(,)PB x m y =-，21212121212()()()0PA PB x m x m y y x x m x x m y y ⋅=--+=-+++>，联立椭圆方程22143x y +=与直线方程10x y ++=消去y 并整理得27880x x +-=. 所以1287x x =-，1287x x +=-，进而求得1297y y =-，所以22121212889()()077x x m x x m y y m m -+++ =--⋅-+->，即278170m m +->，解之得m 的取值范围44315(,()77---+-∞+∞. (12分)21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研 究函数的单调性、极值以及函数零点的情况.【试题解析】解：⑴当1x <时，2()32f x x ax b '=-++. 因为函数图像在点(2,(2))f --处的切线方程为16200x y ++=.所以切点坐标为(2,12)-，并且(2)84212,(2)12416,f a b f a b -=+-=⎧⎨'-=--+=-⎩解得1,0a b ==. (4分)⑵由⑴得，当1x <时，32()f x x x =-+，令2()320f x x x '=-+=可得0x =或23x =，()f x 在(1,0)-和2(,1)3上单调递减，在2(0,)3上单调递增，对于1x <部分：()f x 的最大值为2max{(1),()}(1)23f f f -=-=；当12x ≤≤时，()ln f x c x =⋅，当0c ≤时，ln 0c x ⋅≤恒成立，()02f x <≤， 此时()f x 在[1,2]-上的最大值为(1)2f -=；当0c >时，()ln f x c x =⋅在[1,2]上单调递增，且(2)ln 2f c =⋅.令ln 22c ⋅=，则2ln 2c =，所以当2ln 2c >时，()f x 在[1,2]-上的最大值为(2)ln 2f c =⋅；当20ln 2c <≤时，()f x 在[1,2]-上的最大值为(1)2f -=.综上可知，当2ln 2c ≤时，()f x 在[1,2]-上的最大值为2；当2ln 2c >时，()f x 在[1,2]-上的最大值为ln 2c ⋅. (8分)⑶32,(1)()ln ,(1)x x x f x c x x ⎧-+ <=⎨ ⎩≥，根据条件M ，N 的横坐标互为相反数，不妨设32(,)M t t t -+，(,())N t f t ，(0)t >.若1t <，则32()f t t t =-+，由MON ∠是直角得，0OM ON ⋅=，即23232()()0t t t t t -++-+=， 即4210t t -+=.此时无解；(10分)若1t ≥，则()ln f t c t =⋅. 由于MN 的中点在y 轴上，且90MON ∠=，所以N 点 不可能在x 轴上，即1t ≠. 同理有0OM ON ⋅=，即232()ln 0t t t c t -++⋅=，1(1)ln c t t =+. 由于函数1()(1)ln g t t t=+(1)t >的值域是(0,)+∞，实数c 的取值范围是(0,)+∞即为所求. (12分) 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到割线定理以及三角形 相似等内容.【试题解析】解：⑴连结DE ，因为ACED 是圆的内接四边形，所以BDE BCA ∠=∠. 又DBE CBA ∠=∠，所以△BDE ∽△BCA ，即有BE DEBA CA=. 而2AB AC =，所以2BE DE =.又CD 是ACB ∠的平分线，所以AD DE =， 从而2BE AD =. (5分) ⑵由条件得22AB AC ==，设AD t =，根据割线定理得 BD BA BE BC ⋅=⋅，即()2(2)AB AD BA AD AD CE -⋅=⋅+所以(2)22(22)t t t -⨯=+，即22320t t +-=，解得12t =，即12AD =. (10分)23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标 方程与平面直角坐标方程的互化、距离等内容.【试题解析】⑴将cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）化为普通方程得()1122=-+y x ，将()cos sin 10ρθθ-+=化为直角坐标方程得01=+-y x . (5分)⑵ 由⑴知曲线1C 表示圆心为(0,1)，半径为1的圆，曲线2C 表示直线01=+-y x ，并且过圆心(0,1)，所以曲线1C 上的点到曲线2C 上点的最远距离等于圆的半径1.(10分) 24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及 不等式证明等内容.【试题解析】解：⑴原不等式等价于12445x x ⎧<⎪⎨⎪-⎩≤或132225x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤或32445x x ⎧>⎪⎨⎪-⎩≤， 因此不等式的解集为]49,41[-∈x . (5分) ⑵由于mx f x g +=)(1)(的定义域为R ，则0)(=+m x f 在R 上无解.又()|21||23||2123|2f x x x x x =-+---+=≥，)(x f 的最小值为2，所以2m -<，即2m >-.(10分)。
2012年吉林省长春市高中毕业生第四次调研测试(文数,解析版)
2012年长春市高中毕业生第四次调研测试数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1． 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2． 选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1. 计算i i-+11等于 A. i B. i - C. 1 D. 1-2. 集合12{0,log 3,3,1,2}A =-，集合{|2,}xB y y x A ==∈，则A B = A. {1}B. {1,2}C. {3,1,2}-D. {3,0,1}-3. 下列函数既是奇函数，又是增函数的是 A. 2log y x = B. 3y x x =+C. 3xy =D. 1y x -=4. 等差数列}{n a 的公差为3，若842,,a a a 成等比数列，则4a = A. 8 B. 10 C. 125. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是A. 4B. 5C. 6D. 76. 已知锐角α的终边上一点)50cos ,50sin 1(+P ，则锐角α= A.80B.70 C. 20D. 10开始0k =0S =100<S =+k =+是7. 函数()sin()(0,,)2f x A x x R πωφωφ=+><∈的部分图像如图，则A. ()4sin()84f x x ππ=-+ B. ()4sin()84f x x ππ=- C. ()4sin()84f x x ππ=-- D. ()4sin()84f x x ππ=+ 8. 甲、乙、丙、丁四人排成一行，则甲、乙都不在两边的概率为A. 121B. 16C. 124D. 149. 若椭圆2213x y m +=与直线220x y +-=有两个不同的交点，则m 的取值范围是A. 1(,3)4B. (3,)+∞C.1(,3)2D. 1(,3)(3,)4+∞10. 已知函数()f x 是定义在R 上的最小正周期为3的奇函数，当3(,0)2x ∈-时，2()l o g (1)f x x =-，则(2011)(2012)(2013)(2014)f f f f +++=A. 0B. 1C. -1D. 211. 在ABC ∆中，120BAC ∠=，2AB = ，1AC = ，点P 满足BP BC λ= (01)λ≤≤，则⋅-2的取值范围是 A. 1[,3]4B. 1[,5]2C. 15[2,]4-D. 13[,5]412. 某几何体的三视图如图所示，这个几何体的内切球的体积为A.π34 B. π)32(4-C. π2734 D. π98第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 若实数y x ,满足不等式组20y x x y y ⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥，则目标函数y x z 3+=的最大值为 .14. 为检查国家全民健身运动的落实情况，在某社区成年居民中随机抽取200名，统计其平均每天参加体育活动时间（h ），画出右边频率分布直方图，已知该社区共有成年居民1500人，根据上述信息估计平均每天参加体育活动时间在[)5.1,5.0内的人数约为___________.15. 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得15BCD ∠= ，30BDC ∠=，30CD =米，并在C 测得塔顶A 的仰角为 60，则塔的高度AB =__________米.16. 已知函数()lg f x x =和()10x g x =的图像与圆2220x y +=在第一象限内的部分相交于11(,)M x y 和22(,)N x y 两个点，则2212y y +=__________.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17. （本小题满分12分）等差数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，满足2222(1)S a a =+，且11a =.⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵设nS b n n 132+=，求数列{}n b 的最小值项. 18. （本小题满分12分）已知直三棱柱111C B A ABC -中，CB AC ⊥，D 为AB中点，31==AC A A ，1=CB .⑴求证：1BC ∥平面CD A 1； ⑵求三棱锥DC A C 11-的体积.19. （本小题满分12分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50人进行问卷调查后得到了如⑴请将上面的列联表补充完整；⑵能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关系；⑶已知喜爱打篮球的10位女生中，54321,,,,A A A A A 还喜欢打羽毛球，321,,B B B 还喜欢打乒乓球，21,C C 还喜欢踢足球。
2012长春市四模理综参考答案
2012年长春市高中毕业生第四次调研测试理科综合能力测试参考答案及评分细则1．【参考答案】A【命题立意】本题考查与同位素标记法相关的经典科学实验。
【解析】证明DNA是遗传物质的噬菌体侵染细菌实验是用35S标记蛋白质分子，用32P标记DNA分子，故A选项错误。
2．【参考答案】A【命题立意】本题考查了现代生物进化理论的有关知识以及分析推理能力。
【解析】不同时期种群基因库的差异是自然选择的结果、种群基因频率发生变化不一定会形成新的物种、生物变异是不定向的，但定向的自然选择决定了生物进化的方向，故B、C、D均不正确。
3．【参考答案】B【命题立意】本题考查了有关种群特征的知识。
【解析】社鼠与其天敌种群数量波动是有时间差的、不是同步的，故B选项正确，种群的数量可能在K值上下波动、种群的年龄组成变化会影响种群数量、仅是食物充足的条件下社鼠的种群数量不会一直呈“J”型增长。
4．【参考答案】D【命题立意】本题主要考查了识图能力和分析综合能力。
【解析】M物质是丙酮酸，④过程不会发生在线粒体中，发生在细胞质基质中，故D选项正确。
蛋白质合成过程发生在核糖体中，H2O中的H来自于氨基和羧基、在缺氧的情况下，③过程中也会产生少量的[H]、③是葡萄糖分解为丙酮酸，此过程发生在细胞质基质中，故A、B、C选项均错误。
5．【参考答案】C【命题立意】本题考查了有关内环境的知识。
【解析】由内环境进入组织细胞的是养料和氧气，故C选项正确。
6．【参考答案】C【命题立意】本题考查了有关染色体复制的知识和获取知识的能力。
【解析】细胞能长久保持分裂能力实质上就是发生了癌变，所以C选项是错误的。
7．【参考答案】A【命题立意】本题考查元素化合物相关知识【解析】根据学生对臭氧的理解知A是错误的8．【参考答案】C【命题立意】考查常见的生活中的有机物等基础知识【解析】油脂水解得不到氨基酸,煤中不存在苯等有机物,淀粉不能与银氨溶液作用9．【参考答案】C【命题立意】考查限定条件下的同分异构体【解析】有两个甲基,并不是两个甲基支链10．【参考答案】B【命题立意】考查有关溶液化学试剂相互作用显色的反应.【解析】氯化铵溶液加热酸性增强,红色变深;氨水受热挥发红色变浅,碳酸钠溶液加热水解程度增大,红色变深,滴入石蕊的硫酸溶液加热水减少，红色变深（或不考虑水蒸发，H+浓度不变，红色不变），溶有有SO2的品红溶液亚硫酸分解无色变红色,氢氧化钙受热溶解度减小,碱性减弱,红色变浅. 11．【参考答案】D【命题立意】考查弱电解质的电离及电解原理【解析】对于A不同浓度的氨水电离程度不同,碳酸根在溶液中要水解,氧化钠和过氧化钠阴离子之比为1,电解氢氧化钠溶液实质是电解水,故体积为2:112．【参考答案】C【命题立意】本题考查离子反应和离子共存的相关知识【解析】酸性二价铁与硝酸根不共存,中性溶液铁离子不共存,加入铝产生氢气的可以是酸溶液,也可以是碱溶液13．【参考答案】B【命题立意】本题考查氧化还原反应的相关计算【解析】根据电子得失守恒可知生成25克碳酸钙则有0.25mol一氧化碳参加反应生故转移电子数为0.5 mol二、选择题:本大题包括8小题，每小题6分，共48分。
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2012年长春市高中毕业生第四次调研测试数学(文科)参考答案及评分细则1. A 21(1)2.1(1)(1)2i i ii i i i ++===--+ 故选A.2. B 21{0,log ,3,1,2}3A =-，∴11{1,,,2,4}38B =，∴{1,2}A B = . 故选B.3. B 四个函数中只有函数3y x x =+既是奇函数又是增函数. 故选B.4. C 令首项为a ，根据条件有2(9)(3)(21)3a a a a +=+⋅+⇒=，433312a =+⨯=. 故选C.5. D 01234522222263100+++++=< ，012345622222226364127100.++++++=+=>∴当151k k =+=+时，63100S =<；当161k k =+=+时，127100S =>. 即该程序输出的7k =. 故选D.6. C 2cos50sin 402sin 20cos 20tan tan 20.1sin 501cos 402cos 20α︒︒︒︒====︒+︒+︒︒又α是锐角，所以20α=︒. 故选C.7. A 通过观察图像可知函数图像过(2,0)-和(2,4)-两个固定点，由(2,0)-可知：84x x ππωϕ+=+；由(2,4)-可知，4A =-. 从而()4sin()84f x x ππ=-+. 故选A.8. B 甲、乙、丙、丁四人站成一排有如下24种情形：甲乙丙丁、甲乙丁丙、甲丙乙丁、甲丙丁乙、甲丁乙丙、甲丁丙乙、 乙甲丙丁、乙甲丁丙、乙丙甲丁、乙丁甲丙、乙丁丙甲、乙丙丁甲、 丙甲乙丁、丙甲丁乙、丙乙甲丁、丙乙丁甲、丙乙丁甲、丙丁乙甲、 丁甲乙丙、丁甲丙乙、丁乙甲丙、丁乙丙甲、丁丙甲乙、丁丙乙甲. 其中甲、乙都不在两边有如下4种情形： 丙甲乙丁、丙乙甲丁、丁甲乙丙、丁乙甲丙.因此所求概率为41246p ==. 故选B. 9. D 由2213220x y m x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩消去x 并整理得2(34)80m y my m +-+=.根据条件得230644(43)0m m m m m ⎧≠⎪>⎨⎪∆=-+>⎩，解得134m <<或3m >. 故选D.10. C 由于22(1)log (1(1))log 21f -=--==，(0)0f =，(1)1f =- ，所以(2011)(2012)(2013)(2014)f f f f +++(1)(1)(0)(1)11011f f f f =+-++=-++-=-. 故选C. 11. D 在ABC ∆中，根据余弦定理得BC ===根据正弦定理得1sin cos sin sin sin sin120AC BC B B B A B =⇒=⇒=⇒=︒ 从而有2222()()72(71137().24BP AP BC BC AB BC BC λλλλλ-⋅=-+⋅=--=-+又01λ≤≤，所以2BP AP BC -⋅的取值范围是13[,5]4. 故选D.12. C 此几何体是底面边长为2为12. 令内切球的半径为r，则1123r r ⨯=⇒=343V π== 故选C.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. 4 14. 96015. 16. 20简答与提示：13. 不等式组20y x x y y ⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥围成一个三角形区域，三顶点的坐标分别为：(1,1),(0,0),(2,0)，所以当直线y x z 3+=过点(1,1)时，z 取得最大值4. 14. 1500(0.820.46)0.5960⨯+⨯=(人). 15. 在BCD ∆中，根据正弦定理得，30sin sin 30sin sin(1801530)CD BC CDB CBD =⋅∠=⨯︒=∠︒-︒-︒在Rt ABC ∆中，tan tan60AB BC ACB =⋅∠=︒=.16. 由于函数()lg f x x =和函数()10x g x =互为反函数，其图像关于直线y x =对称，这样它们的图像与圆2220x y +=在第一象限内的交点M 和N 也关于直线y x =对称，这两个点的坐标满足12x y =，21x y =，从而2222122220y y x y +=+=.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分) 17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查等差数列基本量的求取、等差数列求和公式以及函数单调性等有关知识的应用.【试题解析】解：⑴由22222S a a =+，可得211112()()()a a d a d a d ++=+++.又11a =，可得1d =. 数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，n a n ∴=. (4分) ⑵根据⑴得(1)2n n n S +=，213(1)13131n n S n n b n n n n +++===++.由于函数13()(0)f x x x x=+>在上单调递减，在)+∞上单调递增，而34<，且132288(3)33312f =+==，132987(4)44412f =+==， 所以当4n =时，n b 取得最小值，且最小值为2933144+=. 即数列{}n b 的最小值项是4334b =. (12分) 18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、几何体的体积的求法等知识.【试题解析】⑴证明：连结1AC 交1AC 于O 点，连结DO ，则O 和D 分别为1AC 和AB 的中点，所以DO ∥1BC ，而1DO A DC ⊂平面，11BC A DC ⊄平面，所以1BC ∥平面1A DC . (6分)⑵因为1BC ∥平面1A DC ，所以点1C 和B 到平面1A DC 的距离相等，从而有 11111111332BDC Rt ABC C A DC A BDC V V S AA S AA ∆∆--==⋅=⨯⋅三棱锥三棱锥111111162624AC BC AA =⨯⋅⋅=⨯=. (12分) 19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到统计案例中独立性检验以及概率的求法等内容.【试题解析】解：⑴因为喜爱篮球的学生数为500.630⨯=，所以补充完整的列联(3分)⑵由⑴可知2250(2015105)8.3337.879(2010)(515)(205)(1015)K ⋅⨯-⨯=≈>+⋅+⋅+⋅+.又2(7.879)0.005p K =≥，因此可以断定在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关系. (7分)⑶从喜欢打羽毛球、喜欢乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名可以出现下面30种情形：111A B C ，121A B C ，131A B C ，112A B C ，122A B C ，132A B C ，211A B C ，221A B C ，231A B C ，212A B C ，222A B C ，232A B C ，311A B C ，321A B C ，331A B C ，312A B C ， 322A B C ，332A B C ，411A B C ，421A B C ，431A B C ，412A B C ，422A B C ，432A B C ， 511A B C ，521A B C ，531A B C ，512A B C ，522A B C ，532A B C . 其中1B 和1C 全被选中的仅有5种情形：111A B C ，211A B C ，311A B C ，411A B C ，511A B C . 那么1B 和1C 不全被选中的情形有25种，因此所求的1B 和1C 不全被选中的概率为255306p ==. (12分)20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及直线过定点的判定与圆锥曲线的综合知识.【试题解析】解：⑴依题意可得2221b caa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2a =.所以椭圆C 的方程是2214x y +=. (4分) ⑵由22141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得22(1)44my y ++=，即22(4)230m y my ++-=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,)A x y '-且12224m y y m +=-+，12234y y m =-+，经过点1122(,),(,)A x y B x y '-的直线方程为112121y y x x y y x x +-=+-. 令0y =，则21211112211211211212()()+x x x x y x y y x y x yx y x y y y y y y --+++=+==++.又11221,1x my x my =+=+，所以当0y =时，22211212121212262(1)(1)2()44 4.24m m my y my y my y y y m m x m y y y y m --+++++++====++-+ 这说明直线A B '与x 轴交于定点(4,0). (12分)21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性等知识内容.【试题解析】解：⑴当1a =时，2()f x x'=，∴(1)2f '=，又(1)0f =， ∴所求切线方程为2(1)y x =-，即220x y --=.(4分)⑵221()(1)(1)f x a x x'=+-+，①当a ≥1时，又x ≥1，()f x ≥0，不合题意；②当a ≤0时，222211()(1)(1)(1)a f x a a x x x x'=+-+=--+≤0，∴()f x 在[1,)+∞ 上是减函数，∴()f x ≤(1)0f =，符合题意；③当01a <<时，22221(1)2(1)()(1)(1)a x x a f x a x x x-++-'=+-+=.设2()(1)2(1)h x a x x a =-++-，令()0h x =得x =1>>当x ∈时，()0h x >，即()0f x '>，∴()f x 在此区间上是单增函数，恒有()f x ＞(1)0f =，不合题意.综上实数a 的取值范围是(,0]-∞. (12分) 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明及其运算，具体涉及到共圆图形的判断和圆的性质以及两个三角形全等的判断和应用等有关知识内容.【试题解析】解：⑴连结CH ，则因为AC AH =，AK AE =，所以四边形CHEK 为等腰梯形，注意到等腰梯形的对角互补，故C ，H ，E ，K 四点共圆，同理C ，E ，H ，M 四点也共圆，从而四点E ，H ，M ，K 在由三点C ，E ，H 所确定的圆上，因此这四点共圆； (5分) ⑵连结EM ，则由⑴得E ，H ，M ，C ，K 五点共圆，因为四边形CEHM 为等腰梯形，EM HC =，所以MKE CEH ∠=∠.由KE EH =可得KME ECH ∠=∠，所以三角形MKE 和三角形CEH 全等，所以3KM EC ==为所求. (10分) 23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及有关距离等知识内容.【试题解析】解：⑴对于曲线C ：θθρ2sin cos 4=，可化为4cos sin sin ρθρθρθ=. 把互化公式cos ,sin x y ρθρθ==代入，得4x y y=，即24y x =为所求.(可验证原点(0,0)也在曲线上) (5分) ⑵根据条件直线l 经过两定点(1,0)和(0,1)，所以其方程为1x y +=.由241y x x y ⎧=⎨+=⎩，消去x 并整理得2440y y +-=.令11(,)A x y ，22(,)B x y 则 12124,4y y y y +=-=-.所以8AB ==. (10分) 24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式证明以及解法等内容.【试题解析】解：⑴由条件知(2)2(2)6(3)236232f a a f a a a ⎧⎪-=⨯--+=⎪=⨯-+=⎨⎪⎪-⎩≤≤，解得1a =. (5分)⑵由⑴得()211f x x =-+，所以()()f n m f n --≤等价于()()21121121212m f n f n n n n n +-=-++++=++-+≥.若存在实数n 使()()f n m f n --≤成立，当且仅当(21212)min m n n ++-+≥. 而2121(21)(21)2n n n n ++-+--=≥，当1122n -≤≤时取等号. 因此实数m 的取值范围是[4,)+∞. (10分)。