还有比调和级数发散速度更慢的正项级数吗
正项级数比值判别法
正项级数比值判别法
正项级数比值判别法是数学中常用的一种级数收敛性判别法。
它是通过比较相邻两项的比值来判断级数的收敛性。
具体来说，如果相邻两项的比值小于1，则级数收敛；如果相邻两项的比值大于1，则级数发散；如果相邻两项的比值等于1，则无法判断级数的收敛性。
这个判别法的原理可以通过数学公式来表示。
假设有一个正项级数a1, a2, a3, …，则它的相邻两项的比值为：
lim(n→∞) an+1/an
如果这个极限存在且小于1，则级数收敛；如果这个极限存在且大于1，则级数发散；如果这个极限不存在或等于1，则无法判断级数的收敛性。
这个判别法的应用非常广泛，可以用来判断各种类型的级数的收敛性。
例如，可以用它来判断调和级数的收敛性。
调和级数是指形如
1/1 + 1/2 + 1/3 + …的级数。
根据正项级数比值判别法，调和级数的相邻两项的比值为：
lim(n→∞) (1/(n+1))/(1/n) = lim(n→∞) n/(n+1) = 1
因此，调和级数的收敛性无法判断。
实际上，调和级数是发散的，这可以通过其他方法来证明。
除了调和级数，正项级数比值判别法还可以用来判断几何级数、指
数级数、幂级数等各种类型的级数的收敛性。
在实际应用中，我们通常会结合其他的级数收敛性判别法来判断级数的收敛性，以确保判断的准确性。
正项级数比值判别法是一种非常有用的级数收敛性判别法，它可以用来判断各种类型的级数的收敛性。
在使用时，我们需要注意判断条件的准确性，以确保判断的正确性。
八个常见级数的敛散性2篇
八个常见级数的敛散性2篇第一篇：八个常见级数的敛散性（一）级数是数学中一个非常重要的概念，它是由一列数相加而得到的结果。
在实际应用和数学理论中，人们经常需要研究级数的敛散性。
散指的是级数的和无穷大，而敛则是指的是级数的和有一个有限的极限值。
本文将讨论八个常见级数的敛散性。
1. 等比级数等比级数是指项之间的比例是一个常数的级数，比如1+1/2+1/4+1/8+…。
对于等比级数来说，当公比绝对值小于1时，级数是收敛的，当公比绝对值大于等于1时，级数是发散的。
2. 调和级数调和级数是指级数的项是调和数的级数，比如1+1/2+1/3+1/4+…。
对于调和级数来说，它是发散的，因为随着项数的增加，每一项都趋近于无穷大，所以级数的和也趋近于无穷大。
3. 幂级数幂级数是指级数的项是幂函数的级数，比如1+x+x^2+x^3+…。
对于幂级数来说，它的敛散性取决于幂函数的底数 x 的取值范围。
当x 的绝对值小于1时，幂级数是收敛的，当 x 的绝对值大于等于1时，幂级数是发散的。
4. 几何级数几何级数是指级数的项是等比数列的级数，比如1+x+x^2+x^3+…。
对于几何级数来说，当公比绝对值小于1时，级数是收敛的，当公比绝对值大于等于1时，级数是发散的。
5. 斯特林级数斯特林级数是一种逼近阶乘函数的级数，它的公式为：n! ≈√(2πn) (n/e)^n，其中 n 是一个正整数。
斯特林级数收敛非常快，可以用来估计阶乘函数的值。
6. 莱布尼茨级数莱布尼茨级数是指级数的项是交替数列的级数，比如 1-1/2+1/3-1/4+…。
莱布尼茨级数是发散的，但是它是交替发散的，也就是说，它的和会在一定范围内波动，但不会趋于无穷大或负无穷大。
7. 邹次定理邹次定理是一个判断级数敛散性的定理，它的原理是通过比较级数的项与调和级数的项的大小来判断。
如果级数的项大于等于调和级数的项，那么级数一定是散的；如果级数的项小于调和级数的项，那么级数的敛散性就不确定，需要进一步研究。
常见的调和级数
常见的调和级数引言调和级数是数学中一个重要的级数概念，是指形如1+12+13+14+⋯的级数。
调和级数在数学分析、几何学、物理学等领域中都有广泛的应用。
在本文中，我们将深入探讨常见的调和级数及其性质。
调和级数的定义调和级数是自然数倒数的无限级数，可以用以下公式表示：S=∑1 n∞n=1=1+12+13+14+⋯其中，S表示调和级数，n表示自然数。
调和级数的性质收敛性与发散性调和级数是一个典型的发散级数，也就是说，它的部分和序列无界，无论我们取多大的N，总能找到一个大于N的自然数n，使得部分和S N大于任意给定的实数M。
这是因为随着n的增大，每一项1n 都比前一项1n−1要小，但是无论怎么小，都无法使得部分和有界。
调和级数的发散速度调和级数是一个发散得非常慢的级数，它的部分和S N增长得非常缓慢。
具体来说，当N趋向于无穷大时，S N的增长速度可以用下面的等式表示：S N=lnN+O(1)其中，lnN表示自然对数函数，O(1)表示与N无关的常数。
可以看出，随着N的增大，调和级数的部分和S N以lnN的速度增长。
调和级数的应用调和级数在数学中的应用调和级数在数学中有着重要的应用，特别是在数学分析和数论方面。
例如，在实数域上，反常积分可以通过调和级数的思想来进行研究。
此外，调和级数也是研究无理数近似的重要工具，在数论中有深入的研究。
调和级数在物理学中的应用调和级数在物理学中也有着广泛的应用。
例如，在力学中，牛顿定律可以推导出调和振动方程，其中调和函数正是通过调和级数来定义的。
此外，在电磁学中，调和级数可以用于展开复杂的电磁场。
常见的调和级数调和级数的变种除了上述的常见调和级数1+12+13+14+⋯之外，还存在一些变种的调和级数。
例如，1+122+132+142+⋯被称为二次调和级数，它在数学分析中有着重要的应用。
调和级数的近似求和由于调和级数的发散性，我们无法得到它的精确求和结果。
然而，通过对部分和序列进行适当的近似和估算，我们可以得到调和级数的一些重要性质。
50个常见收敛发散级数
50个常见收敛发散级数在数学领域中，级数是一种重要的概念。
级数可以分为两种情况，即收敛和发散。
收敛级数是指级数的部分和在无限项时趋于一个有限的数，而发散级数则是指级数的部分和无限增加或者趋于无穷大。
在本文中，我们将讨论50个常见的收敛和发散级数以及它们的性质。
1. 调和级数(Harmonic Series)调和级数是最为著名的级数之一，其形式为：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4+ ... 。
调和级数是一个发散级数，即其部分和随着项数的增加无限增加。
2. 等比级数 (Geometric Series)等比级数是一种非常重要的级数，其形式为：a + ar + ar^2 + ar^3 + ... ，其中a是首项，r是公比。
当公比r的绝对值小于1时，等比级数是一个收敛级数；当公比r 的绝对值大于等于1时，等比级数是一个发散级数。
3. 幂级数 (Power Series)幂级数是一种以幂函数的形式表示的级数，其形式为：a_0 + a_1(x - c) + a_2(x - c)^2 + a_3(x - c)^3 + ... 。
幂级数的收敛半径可以通过收敛半径公式计算得到。
4. 绝对收敛级数 (Absolutely Convergent Series)绝对收敛级数是指级数的各项的绝对值之和收敛的级数。
对于绝对收敛级数来说，无论项的排列方式如何，其部分和都是收敛的。
5. 条件收敛级数 (Conditionally Convergent Series)条件收敛级数是指级数是收敛的，但是其各项的绝对值之和是发散的。
条件收敛级数的收敛性与项的排列方式有关，不同的排列方式可能导致不同的结果。
6. 幂级数的收敛区间 (Interval of Convergence for Power Series)幂级数的收敛区间是指使幂级数收敛的变量取值范围。
通过幂级数的收敛半径可以确定其收敛区间。
7. 幂级数的收敛域 (Domain of Convergence for Power Series)幂级数的收敛域是指幂级数收敛的变量取值范围及其取值范围的边界。
50个常见收敛发散级数
50个常见收敛发散级数在数学中，级数是由无穷多个数相加或相乘的表达式。
其中，收敛级数指的是其部分和序列逐渐趋于一个有限值，而发散级数则是其部分和序列无穷大或无穷小。
在本文中，我们将探讨50个常见的收敛与发散级数。
1. 调和级数（Harmonic series）是最简单的级数之一，其公式为1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n。
经过研究发现，调和级数是发散的。
2. 几何级数（Geometric series）是由等比数列构成的级数。
例如，1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n。
当公比小于1时，几何级数收敛于有限值；当公比大于等于1时，则发散。
3. 幂级数（Power series）是由幂函数构成的级数。
例如，1 + x + x^2 +x^3 + ... + x^n。
幂级数的收敛半径与x的取值有关，超出收敛半径将发散。
4. 指数级数（Exponential series）是由指数函数构成的级数。
例如，1 + x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + ... + (x^n)/n!。
指数级数在整个实数范围内都是收敛的。
5. 对数级数（Logarithmic series）是由对数函数构成的级数。
例如，1 + (x-1)/1 - (x-1)^2/2 + (x-1)^3/3 - ... + (-1)^(n-1)*(x-1)^n/n。
对数级数在-1<x<1范围内收敛。
6. 斯特林级数（Stirling series）是用于估算阶乘的级数。
它基于斯特林公式，其公式为n! ≈ √(2πn)*(n/e)^n。
7. 贝塞尔级数（Bessel series）是由贝塞尔函数构成的级数。
贝塞尔函数广泛应用于物理和工程学领域中的振动问题。
8. 超几何级数（Hypergeometric series）是由超几何函数构成的级数。
它在统计学和数论中有重要应用。
常见收敛发散级数表
常见收敛发散级数表常见收敛发散级数表收敛和发散是微积分中非常重要的概念，通过研究不同级数的收敛性质，我们可以更好地理解数学中的数列和级数。
本文将介绍一些常见的收敛和发散级数。
1. 调和级数：调和级数是最简单的级数之一，它的一般形式为：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...调和级数是发散的，也就是说，它的和无穷大。
这个结论是由数学家埃德马·费马在17世纪证明的。
2. 几何级数：几何级数是一种形如a + ar + ar^2 + ar^3 + ...的级数，其中a为首项，r为公比。
当|r| < 1时，几何级数收敛，其和为a/(1-r)。
当|r| ≥ 1时，几何级数发散。
3. 幂级数：幂级数是形如∑(n=0到无穷) [an(x-c)^n]的级数，其中an是系数，c是常数。
幂级数的收敛半径R可以通过求解极限lim(n→∞) |an/an+1|来确定。
当|x-c| < R时，幂级数收敛；当|x-c| > R时，幂级数发散。
4. 斯特林级数：斯特林级数是一个近似级数，用于估算阶乘的近似值。
斯特林级数的一般形式为：n! ≈√(2πn) (n/e)^n该级数是收敛的，但是注意，它只是对阶乘的估算，并不精确。
5. Fourier级数：Fourier级数是用一组三角函数的无穷级数来表示周期函数的方法。
Fourier级数的收敛性和周期函数的光滑性相关。
对于光滑的函数，其Fourier级数收敛于函数本身。
然而，对于非光滑的函数，Fourier级数可能会发散或者收敛到函数的不同形式。
总结：本文介绍了一些常见的收敛和发散级数。
调和级数是发散的，几何级数在公比小于1时收敛，幂级数在一定条件下收敛，斯特林级数是对阶乘的近似，而Fourier级数用于表示周期函数。
级数的收敛性质是数学研究中的重要内容，对深入理解微积分等数学领域起到了关键作用。
常见收敛发散级数
常见收敛发散级数收敛和发散是数学中用来描述数列或数级数行为的术语。
在数学中，一些常见的收敛和发散级数包括：1.调和级数：调和级数是指形如1/n的级数。
即1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n + ...。
经过研究发现，这个级数是发散的，也就是说，级数的和是无穷大的。
2.等差级数：等差级数是指形如a + (a+d) + (a+2d) + (a+3d) + ... + (a+nd) + ...的级数。
其中a为首项，d为公差。
当公差d不为零时，等差级数是发散的。
只有当公差d等于零时，等差级数才是收敛的，此时级数的和等于首项a。
3.几何级数：几何级数是指形如a + ar + ar^2 + ar^3 + ... + ar^n + ...的级数。
其中a为首项，r为公比。
当公比r的绝对值小于1时，几何级数是收敛的，此时级数的和等于首项a除以(1-r)。
当公比r的绝对值大于或等于1时，几何级数是发散的。
4.幂级数：幂级数是指形如a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + ... + anx^n + ...的级数。
其中a0, a1, a2, ...是一系列常数，而x是变量。
根据幂级数的收敛半径来判断，当x的取值在收敛半径内时，幂级数是收敛的；而当x的取值超过收敛半径时，幂级数是发散的。
5.正项级数：正项级数是指级数的每一项都是大于或等于零的。
对于正项级数，若存在一个数M，使得级数的部分和序列有界，则该级数是收敛的。
反之，如果级数的部分和序列无界，则该级数是发散的。
6.条件收敛级数：条件收敛级数是指某个级数的所有项之和是有限的，但是如果改变项的顺序，那么级数的和将发生改变。
著名的例子是贝尔数列（Riemann定理），这个级数的和在正向加法中是发散的，但是在某些特定方式的反向加法中是收敛的。
7.交错级数：交错级数是指级数的所有项交替正负。
交错级数的判断方式较为特殊，可以应用莱布尼茨判别法。
数项级数
åb = å(
An - An +1 )
¥ P lim n = 0 å an n ®¥ S n =1 n 比收敛级数 收敛得
¥ n
问题 5 何谓一个发散的正项级数 n =1 比另一个发散的正项级数 n =1 发散得较慢？是否存在发散最慢的正项级数？
的正项级数 å vn , 一定存在另一个发散的正项级数 å u n , 使 lim
n =1 n =1
u n = 0. 证 n ®¥ v n
明如下：
¥
（1）设 å vn 为收敛的正项级数，记
n =1 ¥ ¥
s = å vn , sn = å v k ,
n =1 n =1
u n = s - sn -1 - s - sn ( s0 = 0), n = 1, 2,...
1 S - Sn -1 + S - S n
= ¥.
¥
（2）设 å vn 为发散的正项级数，记
n =1 ¥
S n = å vk , u n =
n =1 ¥
v n Sn .
则 å un 为一发散的正项级数，并使
n =1
lim
u 1 n = lim = 0. n ®¥ v n ®¥ S n n
2 u n n +1 lim = lim = 1 。 2 n ®¥ u n ®¥ ( n + 1) n ¥
问题 7 试问收敛的正项级数 å un ，其通项是否必定是单调递减
n =1
的？ 答
¥
不一定。例如级数
np é ê sin 2 ê ê n ë
常见的正项级数收敛
常见的正项级数收敛正项级数是指所有项都是非负数的级数。
在数学中，我们经常会遇到各种各样的正项级数，而其中一些级数是收敛的，即它们的和是有限的。
在本文中，我们将讨论一些常见的正项级数，并探讨它们的收敛性质。
首先，让我们来看一个最简单的正项级数，1 + 1/2 + 1/4 +1/8 + 1/16 + ...。
这个级数被称为几何级数，因为每一项都是前一项乘以一个常数（在这个例子中是1/2）。
几何级数的收敛性取决于常数的值，当常数小于1时，级数收敛；当常数大于等于1时，级数发散。
另一个常见的正项级数是调和级数，1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +1/5 + ...。
调和级数是一个经典的例子，它是发散的。
虽然每一项都是正数，但是调和级数的和却是无限的。
然而，并非所有的正项级数都是发散的。
例如，调和级数的倒数级数，1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ... 是一个收敛的级数，它的和是π^2/6。
这个结果被称为巴塞尔问题的解，它展示了一个有趣的性质，尽管每一项都是正数，但级数的和却是有限的。
除了几何级数和调和级数，还有许多其他常见的正项级数，它们的收敛性质各不相同。
有些级数的和可以用数学公式精确地表示出来，而有些级数的和则只能用近似值来表示。
正项级数的收敛性质是数学分析中一个重要的课题，它不仅在理论上具有重要意义，也在应用中发挥着关键作用。
总之，正项级数的收敛性质是一个广泛而深刻的课题，它涉及到许多重要的数学概念和方法。
通过研究各种常见的正项级数，我们可以更好地理解级数的性质，从而更好地应用它们到实际问题中。
希望本文能够帮助读者更好地理解正项级数的收敛性质，以及它们在数学中的重要作用。
正项级数达朗贝尔判别法的几点补充
正项级数达朗贝尔判别法的几点补充作者：陈实石昌梅彭春源何丁莉来源：《现代职业教育》2020年第32期[摘要] 达朗贝尔判别法是判别正项级数敛散性一种非常方便和常用的方法，这种方法对某些级数敛散性的判别却是无效的.主要通过举例说明达朗贝尔判别法失效的两种情况，给出了判别这类级数敛散性的一些方法和思路.[关键词] 正项级数;达朗贝尔判别法;敛散性;失效[中图分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2020）32-0056-02无穷级数是数学分析中的一个重要组成部分，无穷级数又分为数值级数和函数项级数，数值级数是研究函数项级数的基础.函数项级数是用于表示函数的一个重要工具，特别是非初等函数的表示问题.对某些函数，利用幂级数可将其表示成无穷项多项式的和，同时通过选取有限项来近似计算时可以估计其误差等.所以，无穷级数对于研究函数起到非常重要的作用.对无穷级数最重要的问题是什么呢？对给定的级数，最核心的两个问题是：（1）判别所给级数是否收敛;（2）如果级数收敛，则级数的和为多少？所以，对一个级数而言，首当考虑的是其敛散性的判别问题.那么，如何判别一个级数的敛散性呢？有关级数敛散的判别法有很多，常用的方法有：（1）利用级数敛散的定义，将问题转化为求数列极限的问题，这种方法的前提是所给级数的前n项部分和要能够比较容易地计算出来，这对许多级数而言都是比较困难的，例如级数;（2）利用级数敛散性的柯西收敛准则，这种方法是級数理论上的一个非常重要的结果，但对具体的级数而言，柯西收敛准则应用起来会比较麻烦，甚至会不易判别;（3）可以借助已知敛散性的级数，以及级数的运算性质来进行判别;（4）利用级数相关判别法，例如比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、莱布尼茨判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法等[1].正项级数作为数值级数的一类重要类型，其敛散性判别法常用的有比较判别法、柯西判别法和达朗贝尔判别法等，为了使判别法更精细、应用更广泛，学者们在已有的这些经典方法的基础上，进一步深入地研究和探讨正项级数敛散性的判别方法，例如有关推广判别法的研究，文献[2]对拉贝判别法和达朗贝尔判别法进行了进一步的研究，并考虑更精细的级数作为比较标准，从而将已有方法做了两个推广;又有将新的级数作为比较标准，得到比较判别法的新审敛法，由此总结出：当正项级数的通项含有ln（n）且较复杂时，可以考虑用此审敛法[3];还有基于柯西积分判别法和比较原理，证明了某些正项级数的敛散性，并将这些结果推广到更一般的情形[4].关于正项级数的敛散性问题的研究还有很多，例如文献[5-11]，学者们从不同角度，利用不同的方法和工具对正项级数的敛散性进行探讨，例如文献[5]是利用函数的泰勒展开式以及极限的运算性质，再借助已知级数的敛散性，推导出判别正项级数敛散性的两种方法，并在此基础上得到了通项递减的正项级数敛散性的两种判别法.本文主要是在判别正项级数敛散性的达朗贝尔判别法的基础上，讨论该方法的应用问题，其中主要考虑达朗贝尔判别法失效的情形，通过举例说明达朗贝尔判别法失效的两种情况，并给出其中某些级数敛散性判别的一些方法.一、达朗贝尔判别法正项级数作为一类重要的级数，由于级数理论的复杂性和不确定性，我们看到并不能建立一种万能的判别方法，因为针对不同类型的级数可能需要应用不同的判别法，所以，这使级数敛散性的判别方法有很多.比较判别法是判别正项级数敛散性一种最基本和最常用的方法.在比较判别法中，当以几何级数n作为比较的标准级数时，得到了柯西（Cauchy）判别法和达朗贝尔（D’Alembert）判别法.柯西判别法和达朗贝尔判别法的极限形式叙述如下：从定理2的叙述可以知道，达朗贝尔判别法是通过考察比来判断级数的增长速率的，而且该判别法是具体级数判别问题中非常便利的一种方法.一般地，当级数通项中包含有n的阶层或n的次幂时，达朗贝尔判别法都是有效的，我们可以通过下面两个级数敛散性的判别看到.从这两个级数敛散性的判别操作上可以看到，达朗贝尔判别法在实际应用中是非常方便的.那么，达朗贝尔判别法适用于哪些类型级数的敛散性判别呢？从理论上来看，由于达朗贝尔判别法是以几何级数用，例如，调和级数就无法用达朗贝尔判别法判断其敛散性. 因此，对达朗贝尔判别法失效的正项级数，如何判别它们的敛散性便成为一个需要讨论的问题.下面，我们将讨论达朗贝尔判别法失效的两种情况，并给出其中某些常见类型级数敛散性判别的一些方法和思路，通过实例进行解析.由此希望能给读者在学习正项级数敛散性判别法时提供一点解题思路和建议.二、达朗贝尔判别法失效的情况分析（1）对通项为单调增加数列的级数，可以考虑其通项极限是否为零.我们知道，收敛级数一个重要的必要条件是其通项极限为零，所以，这个命题的逆否命题为真的，即若级数通项数列的极限不为零，则级数是发散的.因此，如果级数的通项是单调增加的，而且其首项不为零，则此时级数的通项的极限不为零，故可以判断级数是发散的.我们来看下面具体的例子.（2）对敛散性比几何级数慢的级数，可以考虑以比几何级数敛散更慢的正项级数作为新的比较标准而得到更精细的判别法，这样判别法适用范围也将会有所扩大.例如下面的拉贝（Raabe）判别法即是广义调和级数作为比较级数所得到的判别法.所以，对敛散性比几何级数慢的级数，可以考虑用拉贝判别法，甚至用比拉贝判别法更细致的其他推广形式，例如文献[2]中的推广方法等.参考文献：[1]刘玉琏，傅沛仁，林玎，等.数学分析讲义（第六版，下册）[M].北京：高等教育出版社，2019.[2]李蔚.正项级数敛散性比较判别法推广Ⅰ及Ⅱ[J].安徽广播电视大学学报，2013（1）：121-24.[3]陈翠玲，韩彩虹，李智，等.正项级数审敛法的推广[J].高师理科学刊，2020（1）：9-11.[4]卢霖.柯西积分判别法与比较原理的应用[J].高师理科学刊，2020（2）：72-75.[5]贾瑞玲，崔国忠.基于正项级数比较判别法的探讨[J].高等数学研究，2019（3）：6，18-20.[6]冯洁.运用放大法判定正项级数的敛散性[J].大庆师范学院学报，2019（6）：92-96.[7]陈飞翔.级数收敛性的判别法[J].课程教育研究，2019（6）：136.[8]邱晨阳.还有比调和级数发散速度更慢的正项级数吗[J].高等数学研究，2019（5）：7-9.[9]李娅.比较判别法在级数收敛性判别上的应用[J].高等数学研究，2019（5）：26-28.[10]李卫平，纪宏伟.对正项级数敛散性判别方法的研究[J].高等数学研究，2019（5）：8，21-25.[11]于也淳，邓雪.正项级数比较判别法极限形式的探析[J].高师理科学刊，2020（1）：6-8.[12]伍胜健.数学分析（第二册）[M].北京：北京大学出版社，2010.◎编辑马燕萍。
针对调和级数的发散特点写写你的感受
针对调和级数的发散特点写写你的感受调和级数是一种数学级数，具有特殊的发散性质。
在我学习调和级数的过程中，我深深感受到了它的发散特点以及与其他级数的不同之处。
调和级数的一般形式为1+1/2+1/3+1/4+...+1/n+...，可以看出每一项都是前一项的倒数。
最初，我可能会认为这是一个简单的级数，可能会收敛到一些确定的值。
然而，我很快就发现，这个级数实际上是发散的。
调和级数的发散特点可由调和级数的部分和来加以说明。
部分和是所有项的和，对于调和级数来说，部分和可以表示为S(n)=1+1/2+1/3+...+1/n。
通过观察，我发现无论n取多大，调和级数的部分和是递增的。
这意味着随着n的增大，部分和越来越大，没有一个确定的边界，因此无法收敛到一个有限的值。
这让我感到十分惊讶和困惑。
在之前的学习中，我习惯于处理能够收敛的级数，如几何级数或按幂次递减的级数。
但与调和级数不同，它的每一项并不以幂次递减的方式减小，而是以倒数的方式增加。
这种增长的速度非常慢，导致部分和无限增加。
这也意味着调和级数会越来越离无穷远，永远无法达到一个确定的值。
另一个我认为非常有趣的特点是，调和级数的发散速度非常缓慢。
虽然调和级数发散，但是每一项又是一个正数。
因此，随着n的增大，尽管部分和递增，但增长的速度变得非常缓慢。
例如，当n=10时，部分和大约为2.93；而当n=100时，部分和大约为5.19；即使当n增大到1000时，部分和也仅为7.49、这显示出调和级数发散的缓慢性质，即使增加到非常大的n，它们的和也只会逐渐增加。
总的来说，在学习调和级数的发散特点时，我深刻感受到了它的独特性。
它不同于其他能够收敛的级数，每一项的倒数增长导致部分和无限增加，永远无法收敛到一个确定的值。
与此同时，调和级数的发散速度非常缓慢，使得它的部分和逐渐增加，然而增长的速度却很慢。
这些特点给我带来了启发和思考，对于我学习数学的思维方式和问题解决能力都有很大的提升。
50个常见收敛发散级数
50个常见收敛发散级数1. 调和级数，1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...2. 等比级数，1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...3. 幂级数，1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...4. 正弦级数，sin(x) = x x^3/3! + x^5/5! x^7/7! + ...5. 余弦级数，cos(x) = 1 x^2/2! + x^4/4! x^6/6! + ...6. 指数级数，e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...7. 自然对数级数，ln(1+x) = x x^2/2 + x^3/3 x^4/4 + ...8. 调和级数的平方，1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ...9. 绝对值级数，1 1/2 + 1/3 1/4 + ...10. 奇数幂级数，1 1/3 + 1/5 1/7 + ...11. 偶数幂级数，1 + 1/2 1/4 + 1/6 ...12. 超几何级数，1 + x + x^2 + x^3 + ...13. 负超几何级数，1 x + x^2 x^3 + ...14. 调和三角级数，sin(x) = x x^3/3! + x^5/5! x^7/7!+ ...15. 斯特朗级数，1 1/2! + 1/3! 1/4! + ...16. 贝塞尔级数，Jn(x) = (x/2)^n / n! (x/2)^n+2 / (n+2)! + ...17. 趋向于π的级数，4 4/3 + 4/5 4/7 + ...18. 趋向于e的级数，1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...19. 趋向于ln(2)的级数，1 1/2 + 1/3 1/4 + ...20. 趋向于ln(3)的级数，1 + 1/2 1/3 + 1/4 ...21. 趋向于γ的级数，1 ln(2) + ln(3) ln(4) + ...22. 趋向于黄金分割率的级数，1 + 1/1 + 1/2 + 1/3 + ...23. 趋向于黄金角度的级数，1 1/1! + 1/2! 1/3! + ...24. 趋向于黄金比例的级数，1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...25. 趋向于虚数单位i的级数，i i^2/2! + i^3/3! i^4/4!+ ...26. 趋向于虚数单位j的级数，j + j^2/2! + j^3/3! + j^4/4! + ...27. 趋向于虚数单位k的级数，k k^2/2! + k^3/3! k^4/4!+ ...28. 趋向于虚数单位l的级数，l + l^2/2! + l^3/3! + l^4/4! + ...29. 趋向于虚数单位m的级数，m m^2/2! + m^3/3! m^4/4!+ ...30. 趋向于虚数单位n的级数，n + n^2/2! + n^3/3! + n^4/4! + ...31. 趋向于虚数单位o的级数，o o^2/2! + o^3/3! o^4/4!+ ...32. 趋向于虚数单位p的级数，p + p^2/2! + p^3/3! + p^4/4! + ...33. 趋向于虚数单位q的级数，q q^2/2! + q^3/3! q^4/4!+ ...34. 趋向于虚数单位r的级数，r + r^2/2! + r^3/3! + r^4/4! + ...35. 趋向于虚数单位s的级数，s s^2/2! + s^3/3! s^4/4!+ ...36. 趋向于虚数单位t的级数，t + t^2/2! + t^3/3! + t^4/4! + ...37. 趋向于虚数单位u的级数，u u^2/2! + u^3/3! u^4/4!+ ...38. 趋向于虚数单位v的级数，v + v^2/2! + v^3/3! + v^4/4! + ...39. 趋向于虚数单位w的级数，w w^2/2! + w^3/3! w^4/4!+ ...40. 趋向于虚数单位x的级数，x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + ...41. 趋向于虚数单位y的级数，y y^2/2! + y^3/3! y^4/4!+ ...42. 趋向于虚数单位z的级数，z + z^2/2! + z^3/3! + z^4/4! + ...43. 趋向于无穷大的级数，1 + 2 + 3 + 4 + ...44. 趋向于无穷小的级数，1 1/2 + 1/3 1/4 + ...45. 趋向于零的级数，1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...46. 趋向于1的级数，1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...47. 趋向于负一的级数，1 1 + 1 1 + ...48. 趋向于二分之一的级数，1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ...49. 趋向于四分之一的级数，1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...50. 趋向于零点五的级数，1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...以上是一些常见的收敛和发散级数，它们在数学和物理等领域都有重要的应用和研究价值。
(整理)级数的收敛速度与正项级数判敛法的关系
级数的收敛速度与正项级数判敛法的关系数学与统计学院、数学与应用数学、0701班，湖北，黄石，4350021.引言级数敛散的速度问题，无论对于理论研究者或是实际工作者都具有意义。
在做理论研究判断正项级数敛散性时，利用比较判别法必须事先选择好具有适当敛散性的级数，而利用d'Alembert 判别法或Cauchy 判别法总有一些级数不能判断其敛散性，如n 11n ∞=∑，211n n∞=∑，其原因在于作为“标尺”的几何级数收敛得不够慢，因此想要得到更好的判别法就必须寻找收敛得更慢的级数作为比较的“标尺”。
通过探究达朗贝尔判别法、拉贝判别法产生缺陷的原因以及几项正项级数收敛速度的比较，得出级数的收敛速度与正项级数判敛法的关系。
2.级数收敛速度的定义在关于级数的论著中对正项级数敛散快慢问题，通常有下列三种定义。
(分别由下面的定义1、2与3、4以及定义5组成）定义1 设正项级数n a ∑与n b ∑都收敛，n r ，n r '分别是它们的余式，如果lim0nn nr r →∞='，就称n b ∑比n a ∑收敛较慢。
定义2 设正项级数n a ∑与n b ∑都发散，n A ，n B 分别是它们的部分和，如果lim0nn nB A →∞=，就称n b ∑比n a ∑发散较慢。
定义3 设正项级数n a ∑与n b ∑都收敛，如果lim0nn na b →∞=，就称n b ∑比na∑收敛较慢。
定义4 设正项级数n a ∑与n b ∑都发散，如果lim0nn nb a →∞=，就称n b ∑比na∑发散较慢。
定义5 设正项级数n a ∑与n b ∑都收敛（发散），并有自然数N,使N ≥n 时，有11n n n n a b a b ++≤（11n n n na ba b ++≥），则说n b ∑比n a ∑收敛（发散）较慢。
3．几种常用判敛法定理1（比较判别法）123nμμμμ=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅∑（1） 123nvv v v =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅∑（2）是两个正项级数，如果当n 充分大时，总有不等式n n v μ≤成立，则由级数（2）收敛可推出级数（1）收敛，而由级数（1）发散可推出（2）发散。
常见收敛发散级数表
常见收敛发散级数表常见的收敛发散级数表给我们展示了数学世界中的一些有趣的现象和规律。
这些级数既有收敛的，也有发散的，每一个都有其独特的特点和性质。
我们来看看著名的调和级数：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...。
这个级数是发散的，也就是说，它的和没有一个有限的值。
无论我们加上多少个分数，总和都会越来越大，无穷大。
这个级数是发散的原因是因为每一项的增长速度非常快，无法被有限的和所表示。
接下来，我们来看看几何级数：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...。
这个级数是收敛的，也就是说，它的和有一个有限的值。
这个级数的和是2，也就是说，无限个分数相加的结果是2。
这个级数之所以收敛，是因为每一项的增长速度是递减的，随着项数的增加，每一项的贡献越来越小，最终趋于零。
还有一个著名的级数是调和级数的平方：(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...)^2。
这个级数也是发散的，和调和级数一样，无论我们加上多少个分数，总和都会越来越大，无穷大。
但是，与调和级数不同的是，这个级数的增长速度比调和级数慢一些，所以它的和会比调和级数的和小一些。
另一个有趣的级数是正弦级数：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...。
这个级数在一定条件下是收敛的，当x的取值在(-∞, ∞)范围内时，这个级数的和是有限的。
这个级数展示了正弦函数的无限个项相加的结果，可以用来近似计算正弦函数的值。
我们来看看一个有趣的级数：自然对数的级数：ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...。
这个级数是收敛的，当x的取值在(-1, 1]范围内时，这个级数的和是有限的。
这个级数展示了自然对数函数的无限个项相加的结果，可以用来近似计算自然对数的值。
通过这些常见的收敛发散级数表，我们可以看到数学世界的奇妙和多样性。
无论是发散的还是收敛的级数，它们都给我们提供了深入了解数学规律和现象的机会，也让我们对数学的美感有了更深刻的体会。
常用的收敛级数和发散级数
常用的收敛级数和发散级数收敛级数和发散级数是数学中重要的概念，它们在数学分析、物理学等领域都有广泛的应用。
本文将从常用的收敛级数和发散级数的角度出发，介绍它们的定义、性质和应用。
一、收敛级数收敛级数是指级数的部分和能够趋向于一个有限的值。
在数学中，收敛级数的定义如下：对于给定的数列{an}，如果数列{sn}的极限存在且有限，即lim(n→∞)sn = S，则称级数∑an收敛于S。
常用的收敛级数有几何级数、调和级数和幂级数。
1. 几何级数几何级数是指以一个常数q为公比的级数，其通项可以表示为an = aq^(n-1)，其中a为首项。
当|q| < 1时，几何级数收敛，其和为S = a / (1-q)。
2. 调和级数调和级数是指级数的通项为倒数的级数，即an = 1/n。
调和级数的部分和可以表示为sn = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n。
调和级数发散，即其部分和无限增大，但增长速度较慢。
3. 幂级数幂级数是指级数的通项为多项式的级数，即an = cnx^n，其中cn为常数系数。
幂级数在数学分析和物理学中有广泛应用，常见的幂级数有泰勒级数和傅里叶级数。
二、发散级数发散级数是指级数的部分和无法趋向于一个有限的值。
在数学中，发散级数的定义如下：对于给定的数列{an}，如果数列{sn}的极限不存在或无穷大，即lim(n→∞)sn = ±∞或不存在，则称级数∑an发散。
常见的发散级数有等差级数、阶乘级数和振荡级数。
1. 等差级数等差级数是指以一个常数d为公差的级数，其通项可以表示为an = a + (n-1)d，其中a为首项。
等差级数的部分和可以表示为sn = (n/2)(2a + (n-1)d)。
当公差d不等于0时，等差级数发散。
2. 阶乘级数阶乘级数是指级数的通项为阶乘的级数，即an = n!。
阶乘级数的部分和可以表示为sn = 1! + 2! + 3! + ... + n!。
常用的正项级数
常用的正项级数常用的正项级数正项级数是数学中的一种重要数列。
它由无穷多个项组成，而且每一项都是正数。
正项级数在数值计算和数学推理中具有广泛的应用。
本文将介绍一些常用的正项级数及其性质。
一、等差级数等差级数是最简单的一种正项级数。
它的一般形式为：a + (a + d) + (a + 2d) + ... + (a + (n-1)d)+ ...，其中a为首项，d为公差。
等差级数的前n项和用Sn表示，可表示为：Sn = n(a + (a + (n-1)d)) / 2。
等差级数有一个重要的性质，即其前n项和可以通过求平均数乘以项数得到。
这一性质的应用非常广泛，例如在计算等差数列的和、计算等速直线运动的路程等方面都有重要的作用。
二、几何级数几何级数是另一种常见的正项级数。
它的一般形式为：a + aq + aq^2 + ... + aq^(n-1) + ...，其中a为首项，q为公比。
几何级数的前n项和用Sn表示，可表示为：Sn = a(1 - q^n) / (1 - q)。
几何级数有一个重要的性质，即其绝对值小于1的时候，前n项和有极限值，即Sn = a / (1 - q)。
这一性质被广泛应用于金融、物理等领域的计算中，例如计算复利、计算自然指数的级数等。
三、调和级数调和级数是指以倒数作为项的级数。
它的一般形式为：1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + ...。
调和级数的前n 项和用Hn表示，可表示为：Hn = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n。
调和级数有一个重要的性质，即其发散。
也就是说，调和级数的和趋向于无穷大。
这一性质在概率论、统计学等领域有着重要的应用，例如计算随机事件的期望、计算样本的平均值等。
四、指数级数指数级数是以指数函数作为项的级数。
它的一般形式为：1 + a + a^2 + ... + a^n + ...，其中a为底数。
指数级数的前n项和用Sn表示，可表示为：Sn = (a^(n+1) - 1) / (a - 1)。
50个常见收敛发散级数
50个常见收敛发散级数1. 引言级数是数学中的重要概念，它由无穷多个数相加或相乘而成。
在级数中，我们可以观察到一些特殊的性质，其中最为重要的就是收敛和发散。
本文将介绍50个常见的收敛和发散级数，并对它们进行详细讨论。
2. 收敛级数2.1 等比级数等比级数是指每一项与前一项之比都相等的级数。
例如，1+12+14+18+⋯就是一个等比级数。
当公比小于1时，等比级数是收敛的。
2.2 幂级数幂级数是指形如a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯的级数。
根据幂级数的收敛半径，可以判断其是否收敛。
2.3 调和级数调和级数是指形如1n的级数。
调和级数是发散的，即无穷大。
2.4 绝对收敛如果一个序列中所有项都为非负值，并且其部分和序列有界，则该级数是绝对收敛的。
2.5 条件收敛如果一个级数是收敛的，但其绝对值级数是发散的，则该级数是条件收敛的。
3. 发散级数3.1 调和幂级数调和幂级数是指形如1n p的级数，其中p是一个常数。
当p≤1时，调和幂级数是发散的。
3.2 等差级数等差级数是指每一项与前一项之差都相等的级数。
例如，1+2+3+4+⋯就是一个等差级数。
当公差不为零时，等差级数是发散的。
3.3 平方倒序和平方倒序和是指形如 ∑1n 2∞n=1 的级数。
这个级数被称为巴塞尔问题，它收敛于 π26。
3.4 正弦函数展开式正弦函数可以用其幂函数展开式来表示：sinx =x −x 33!+x 55!−⋯。
这个展开式只在有限区间内有效，在整个实轴上它是发散的。
4. 总结本文介绍了50个常见的收敛和发散级数。
我们讨论了等比级数、幂级数、调和级数以及其他一些特殊的级数，并给出了它们的性质和收敛条件。
理解这些级数的性质对于深入研究数学领域中的级数理论非常重要。
希望本文能够帮助读者更好地理解收敛和发散级数，为进一步研究提供基础。
感谢阅读！参考文献： - Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.). Cengage Learning.。
常见收敛发散级数表
常见收敛发散级数表引言在数学中，级数是指由一系列项组成的无穷和。
对于一个给定的级数，我们关心的一个重要问题是它是否收敛或发散。
收敛意味着级数的和有一个有限的极限值，而发散则表示级数的和趋向于无穷大或无穷小。
本篇文章将介绍一些常见的收敛和发散级数，并给出它们的性质及相关证明。
这些级数在数学分析、微积分、概率论等领域中具有重要的应用。
1. 调和级数（Harmonic Series ）调和级数是最简单也是最经典的无穷级数之一。
它定义如下：∑1n ∞n=1=1+12+13+14+⋯ 调和级数在初等微积分中经常出现，它既可以作为例子来说明某些概念，也可以作为反例来证明某些结论。
性质： - 调和级数发散。
- 调和级数的部分和序列{∑1n N n=1}是发散的。
证明： 调和级数的部分和序列可以写为：S N =1+12+13+⋯+1N我们可以通过比较判别法来证明调和级数的发散性。
对于任意正整数n ，我们有：∫1x n+1ndx <1n <∫1x n n−1dx 将上述不等式两边从n =2加到n =N ，得到：∫1x N+12dx <S N −1<∫1xN 1dx 利用积分的性质，我们可以得到：ln (N +1)−0<S N −0<lnN −0当N 趋向于无穷大时，左右两边的不等式变为：lim N→∞ln (N +1)=∞, lim N→∞lnN =∞因此，调和级数是发散的。
2. 几何级数（Geometric Series ）几何级数是另一个重要的无穷级数。
它定义如下：∑a ∞n=0r n =a +ar +ar 2+ar 3+⋯其中，a 是首项，r 是公比。
性质： - 当且仅当|r |<1时，几何级数收敛。
- 当|r |≥1时，几何级数发散。
证明： 我们可以通过求和公式来证明几何级数的收敛性。
假设r ≠1，则几何级数的部分和可以表示为：S N =a +ar +ar 2+⋯+ar N−1利用等比数列求和公式，我们有：S N =a 1−r N1−r当|r |<1时，随着n →∞，我们有r N →0。
八个常见级数的敛散性
八个常见级数的敛散性
级数是一种强大的数学概念。
它可以用来表达无穷多的函数和变换，包括为描述和解决抽象问题而开发的新型算法。
级数的性质决定了它们在许多数学和科学应用中的重要性。
八
个常见级数的敛散性是其中一个重要性质，它表示级数是否会发散或收敛，也可称作级数
的收敛性或稳定性。
首先，指数级数是发散的级数，它描述的是一种数量以指数步长递增的情况。
即每一项的
系数由较小的数字乘以越来越大的幂数来表示，通常用二元连乘符表示。
比如，2^n
（n=1,2,3,4…），它的值会随着n的增加而无限增加，即发散。
其次，对数级数是收敛的级数，它关于数学上的应用，如无穷级数求和，常常与对数有关。
相同条件下，它们的增长常常较慢，且经过一定时间增量会变得极小，从而收敛。
再者，平方级数也是收敛的级数，它表示一系列系数按平方连乘而成的事实。
在此情况下，级数收敛的增长速度要快于指数级数，但它也不会像对数级数那样迅速收敛，只会在一定水平收敛。
此外，还有调和级数、∑(1/n^2)、∑(1/n!)、∑(1/n^r)、∑((-1)^n/(2n-1))、∑((-1)^(n-1)/ n )和∑(1/n^x)，均为收敛级数。
总之，级数的敛散性是其重要特性之一，它描述了该级数是否会发散或收敛。
通常来说，指数级数为发散级数，而调和级数、对数级数、平方级数、∑(1/n^2)、∑(1/n!)、
∑(1/n^r)、∑( - 1)^n/(2n - 1)) 、∑((-1)^(n-1)/ n )和∑(1/n^x)等等则为收敛级数。
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高 等 数 学 研 究 ＳＴＵＤＩＥＳＩＮ ＣＯＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ
犱狅犻：１０．３９６９／犼．犻狊狊狀．１００８１３９９．２０１９．０３．００４
Ｖｏｌ．２２，Ｎｏ．３ Ｍａｙ，２０１９
还有比调和级数发散速度更慢的正项级数吗
邱晨阳
（北京交通大学 理学院，北京 １０００８９）
［１，＋
）
可见狆 →１且狆 ＜１时，犉′（狀）严格小于０．由于
犉（１）＝－１－１狆 ＜０， 所以ｌｎ狀 严格小于
１ 狀１－狆 １－狆
（狆
→
１）．
故 对 于０＜狆 ≤１，当狆 ＝１时 级 数 发 散 速 度 最 慢 ，即
调和级数是发散速度最慢的狆 级数．
２ 一般正项级数发散速度及判别法
由狆 级数的发散速度得到启示，级数的发散快 慢性质蕴含在前狀 项 部 分 和 中．于 是 我 们 可 以 把 正 ห้องสมุดไป่ตู้级数的发散速度规定为级数部分和的增长速度大
其中γ（狆）是一个与系数狆有关的有限常数，ｌｉｍε狀 ＝０． ｎ→
证 明 详 细 过 程 可 以 参 考 文 献 ［３］，由 于 篇 幅 过 大
此处从略．
把狀 的取值扩展到 ＋ ，这样对狆 级数发散速
度的比较就完全转移到对上式第一项增长速度的比
较
．这
个
狆
级
数
发
散
速
度
快
慢
也
被 １ 狀１－狆 １－狆
引言
调和级数是一 个 重 要 的 正 项 级 数，常 用 于 判 别 其它级数的敛散性．调 和 级 数 形 式 上 简 洁 但 级 数 的 发 散 速 度 极 慢 ，已 经 证 明 ，该 级 数 前 １００ 万 项 和 约 等 于１４．３５７，为 使 调 和 级 数 和 等 于 １００，必 须 将 其 前 １０的４３次 方 相 加 ！ ［１］ 那 么，一 个 很 自 然 的 想 法 产 生了，是否还存在比 调 和 级 数 发 散 更 慢 的 正 项 级 数 呢？
犐狊犜犺犲狉犲犪犘狅狊犻狋犻狏犲犛犲狉犻犲狊犇犻狏犲狉犵犲狀狋犛犾狅狑犲狉狋犺犪狀犎犪狉犿狅狀犻犮犛犲狉犻犲狊？
ＱＩＵ Ｃｈｅｎｙａｎｇ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＢｅｉｊｉｎｇＪｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１０００８９）
犃犫狊狋狉犪犮狋 ＵｓｉｎｇＥｕｌｅｒｓｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＮｐａｒｔｉａｌｓｕｍｏｆｔｈｅｈａｒｍｏｎｉｃｓｅｒｉｅｓ，ｔｈｉｓｐａｐｅｒｄｅｆｉｎｅｓｔｈｅｄｉ ｖｅｒｇｅｎｔｓｐｅｅｄｓｅｑｕｅｎｃｅｆｏｒａｐｏｓｉｔｉｖｅｄｉｖｅｒｇｅｎｔｓｅｒｉｅｓａｎｄｇｉｖｅｓａｒｕｌｅｔｏｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈｔｈｅｄｉｖｅｒｇｅｎｔｓｐｅｅｄｏｆ ａｐｏｓｉｔｉｖｅｓｅｒｉｅｓ．Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ，ａｓｅｑｕｅｎｃｅｏｆｐｏｓｉｔｉｖｅｓｅｒｉｅｓｗｉｔｈｄｅｃｒｅａｓｉｎｇｄｉｖｅｒｇｅｎｔｓｐｅｅｄｉｓ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ，ｗｈｉｃｈｄｉｖｅｒｇｅｓｓｌｏｗｅｒｔｈａｎｔｈｅｈａｒｍｏｎｉｃｓｅｒｉｅｓ． 犓犲狔狑狅狉犱狊 ｈａｒｍｏｎｉｃｓｅｒｉｅｓ，ｄｉｖｅｒｇｅｎｔｓｐｅｅｄ
定．可以说，调和级数与ｌｎ狀 有相同的发散速度．
由上述 欧 拉 公 式 得 到 启 示，有 如 下 关 于 ０ ＜
狆 ＜１的狆 级数任意狀 项部分和大小估计的定理． 定 理１［３］ 对于０＜狆 ＜１的狆 级数前狀 项部
狀
∑ 分和 １，有
犽狆
犽＝１
ｎ
∑１
犽狆
犽＝１
＝
１ 狀１－狆 １－狆
＋γ（狆）＋ε狀
１ 狆 级数及其发散速度
定义１［２］ 对任意的正实数狆，称下列级数
为狆 级数．
∑１
狀狆
ｎ＝１
当 狆 ＞１时，狆 级数收敛；当狆 ≤１时，狆 级数
发散．
特别地，当 狆 ＝ １ 时 为 调 和 级 数．对 于 调 和 级
收稿日期：２０１８ ０９ ７ 修改日期：２０１９ ０１ ２１ 作者简介：邱晨 阳 （１９９８ ），男，云 南，本 科，北 京 交 通 大 学，计 算 数
完全
确定了．
８
高等数学研究
２０１９ 年 ５ 月
由 定理１，可以得到狆级数在０＜狆＜１时发散 速度的一个定义．
定 义２ 狆级数在０＜狆＜１时，对于一个确定 的狆，其关于狀 的发散速度序列为
犞狀（狆）＝
１ 狀１－狆 １－狆
以犞狀（狆）作为发散速度时，要 比 较 狆 不 同 时 级
数发散速度大小，只需比较不同 狆 下犞狀（狆）序列 的
学 ，Ｅｍａｉｌ：１６２７１０５０＠ｂｊｔｕ．ｅｄｕ．ｃｎ
数 ，有 欧 拉 估 计
狀
∑ 犽＝１
１ 犽
＝ｌｎ犽＋γ（１）＋ε狀
其中γ（１） ＝０．５７７２１５６６５… 是欧拉常数，ｌｉｍε狀 ＝０． ｎ→
欧拉估计的优点是给出了直观确定调和级数大
小的式子，其任 意狀 项 部 分 和 的 大 小 完 全 被ｌｎ狀 确
各项大小即可．
将犞狀（狆）看 作狆 的 函 数 ，研 究犞狀（狆）的 导 数 ．作
变量替换狋＝１－狆，原式 ＝犞狀（狋）＝ 狋１狀狋，则
犞′狀（狋）＝狋狀狋ｌｎ狋狀２－狀狋
＝
狀狋（狋ｌｎ狀－１） 狋２
由于发散级数的 有 限 项 不 影 响 发 散 速 度，故 只
要选取一个合适的有 限 数 犖，就 能 使犞′狀（狋）在狋∈ （０，１）上 恒 大 于０．可 见犞狀（狋）当狋减 小 时 单 调 递 减 ， 故犞狀（狆）当狆 增大时单调递减．
综 上，对于０＜狆 ＜１，当狆 增大时，发散速度减 慢，当狆 →１时级数发散速度最慢．
针对狆 ＝ １ 的情况，已知调和级数 的 发 散 速 度 犞狀 ＝ｌｎ狀（欧拉估计式），将 其 与 狆 → １ 的犞狀（狆）比 较 ．令
犉（狀）＝ｌｎ狀－１－１狆狀１－狆 对狀 求导得
犉′（狀）＝
１ 狀
－狀１狆
＜０ 狀 ∈
摘 要 本文从调和级数前狀 项和的欧拉估计出发，定 义 正 项 发 散 级 数 发 散 速 度 序 列，给 出 判 别 正 项 级 数 发 散 速 度 快 慢 法 则 ．并 依 据 此 法 构 造 出 发 散 速 度 无 限 降 低 的 正 项 级 数 序 列 ，其 比 调 和 级 数 发 散 速 度 更 慢 ． 关键词 调和级数 发散速度 中图分类号 Ｏ１７３．１ 文献标志码 Ａ 文章编号 １００８ １３９９（２０１９）０３ ０００７ ０３