正项级数比值判别法
正项级数比值对数判别法
正项级数比值对数判别法作者：张运波周华军李顺龙来源：《中国科技纵横》2010年第15期摘要: 在正项级数敛散性的判别法中,达朗贝尔判别法是最简单又最常用的判别法之一,针对其中失效的情形,教材中通常采用拉贝判别法判别,在这里,通过对比值取对数,巧用麦克劳林级数展开式给出了一种不同于拉贝判别法,即比值对数判别法,该方法在判定某些正项级数敛散性时优于拉贝判别法.关键词:正项级数;敛散性;达朗贝尔判别法作者简介:张运波(1986.9-),男,四川达州人,大学本科学历,内江师范学院在读学生,研究方向:物理学;周华军、李顺龙,内江师范学院一引言对于正项级数敛散性的判定,高等数学教材中通常给出了比较判别法,比较法的极限形式,达朗贝尔判别法,柯西判别法,拉贝判别法及高斯判别法.然而,针对达朗贝尔判别法失效的情形,通常采用拉贝判别法,为此,不少学者探究出新的方法 ,但对于通项中含有因子及探讨通项中含有的正项级数敛散性时,拉贝判别法不易施行.就这类情况,本文给出了一种新的判别法,即比值对数判别法,该方法避开了求极限等繁琐过程,应用更为方便.二引理和主要结果引理 -级数的敛散性引理设为正项级数,若存在正整数 ,当时,有则(1) 若收敛,则收敛;(2)若发散,则发散.定理1设为正项级数,满足则(1) 当时,级数收敛;(2) 当时,级数发散.证明:(1)当时,由 ,有因为 ,所以 ,使 ,不妨令 ,则所以 .即对充分大的 ,有由引理1知级数收敛,再由引理2就能得到级数收敛.(2)同理,由 ,有因为 ,则则 .即对充分大的 ,有由引理1知级数发散,再由引理2得级数发散.综上,定理1得证.三应用例1. 判定正项级数的敛散性.解:因为达朗贝尔判别法失效.方法一,用拉贝判别法解..由于因为 ,所以原级数收敛.方法二,采用定理1解.由于因为 ,所以级数收敛.例2.讨论级数收敛的充分条件.解:因为于此,采用拉贝判别法难以施行.采用本文定理1得:则当时,级数是收敛.所以,级数收敛的充分条件为 .从以上两例可见,定理1在判断有些正项级数敛散性时的应用中是方便可行的,且避免了拉贝判别法中求极限的繁琐过程,还弥补了拉贝判别法难以施行的正项级数敛散性的辨别.但是本文给出的方法仍存在不足,针对a=1时,定理1未给出合理的验证方法,如调和级数用此法将无法判别其敛散性.参考文献1.凌国英,关于达朗贝尔判别法.[J]湖州师范学院学报,2003.Vol.25 11-15.2.姬小龙,王锐利,正项级数的Gauss指标判别法.[J]数学的实践与认识 Vol. 38 No.11.207-209.3.高等数学.第二册/四川大学数学系高等数学教研室编[M].北京:高等教育出版社,1996.4.李成章,黄玉民.数学分析(上)[M].北京:科学出版社,1999.5.钱伟懿,正向级数敛散性的一种判别方法.[J]渤海大学学报,2008.Vol.29 No.2. 155-1576.B.Ⅱ.吉米多维奇数学分析习题集题解(4)/费定晖编-2版-济南:山东科学技术出版社,1999.9。
正项级数的比值审敛法
例一—-设，a则-an2〈+（奇T=如），"础 一 3 例•设an -
8
8
n
从而级数£ an = £ n=1 n=1 2
但 5 = 2 + (T)n+1
收敛.
1
一 a” 2(2 + (-1)n ) 〃‘ 且lim c2n =z，
lim
c2n+1
=
3，・.・
lim
-n±L
=
lim
ns 6 cn 不存
10n+1 n! 10
故级数£刍发散. n=110
1 .比值审敛法不必找参考级数，通过相邻两项比值的极限 来确定级数的敛散性.
2.当级数的一般性含有n!时,采用比值审敛法
一、比值审敛法（达朗贝尔判别法）
8
"
定理1 :设£an是正项级皿数,若极限lim-^ = p,则
8 n=1
E an
⑴p < 1时,£ an收敛；
n=1 8
(2) 1 < p V+8 时，£ an 发
散;
n=1
证明：⑴当Q vl时,取0 V £ V 1 - 〃，记r = p + £
< 1,
a
则于是H NaN,+当1 < nra>N ,Na时N+2,有< a-nr^aN<+1p< +r a£N，= 一r, , 8
ns
当p = +8时,取M > 1,则存在N，当 n > N时,
芒>M.同上，级数发散
比值审敛法的优点：不必找参考级数.
8
注1 P = 1时,£ an可能收敛，也可能发
正项级数的根式判别法和比式判别法
重庆三峡学院毕业设计（论文）题目：对正项级数敛散性判别法应用性的探讨目录摘要 (I)Abstract: ..................................................................................................................................................... I I 1 引言 . (3)2正项级数相关概念 (3)2.1 定义 (3)2.2 正项级数敛散性判别的充要条件 (3)2.3 三个重要比较级数 (4)2.3.1 几何级数 (4)2.3.2 调和级数 (5)2.3.3 P-级数 (5)3 正项级数敛散性判别法 (6)3.1 判别发散的简单方法 (6)3.2 比较判别法 (7)3.2.1 定理及其推论 (7)3.2.2 活用比较判别法 (9)3.2.3 归纳总结 (11)3.3 柯西判别法与达朗贝尔判别法 (12)3.3.1 柯西判别法 (12)3.3.2 达朗贝尔判别法 (13)3.3.3 比值判别法和根值判别法失效的情况 (15)3.4 拉贝判别法 (17)3.5 积分判别法 (19)3.6 两种新方法 (20)3.7 判别正项级数敛散性方法的总结 (23)4 在判别级数敛散性中的作用 (23)4.1 证明负项级数的敛散性 (23)4.2 证明变号级数绝对收敛 (24)4.3 证明函数级数收敛 (25)5 结束语 (26)致谢 (27)参考文献: (27)对正项级数敛散性判别法应用性的探讨尹委红（重庆三峡学院数学学院数学与应用数学专业2006级重庆万州 404000）摘要:正项级数是级数内容中的一种重要级数,它的敛散性是其基本性质.本文主要探讨正项级数∑∞=1 nnu)0(>nu的各种敛散性判别法,主要有积分判别法、比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法.探讨了它们的证明过程及应用其解决相关的例题.并简单介绍了它们之间的关系,如强弱性的比较,不同形式的nu适合用哪种方法来证明其敛散性更为简单.最后介绍了正项级数敛散性判别法在判别级数敛散性中的作用.关键词: 正项级数;判别法;敛散性Positive Series Convergence Criterion of applicabilityYIN Wei-hong(Grade 2006, Mathematics and Applied Mathematics, College of Mathematics and Computer Science, Chongqing Three Gorges University, Wanzhou, Chongqing 404000 )Abstract:Series is a series of positive content is an important series,convergence and Divergence of its basic nature of its. This paper discusses the positive series all Convergence Criterion, There are Integral Test, Comparison Tests, Cauchy Criterion, Criterion big Lambert, Rabe Criterion. Discussed their certification process and application of relevant examples of its solution. And briefly describes the relationships between them, such as comparison of theu which method to prove its convergence and strength of、suitable for different forms ofndivergence easier. Finally, Introduced the positive series Convergence Criterion of Convergence and Divergence in the identification of the role.Keywords: positive series; criterion; convergence1 引言级数是数学分析这门学科中的一个重要部分,而正项级数又是级数中最简单从而也是级数中最基本的一种级数.证明级数的敛散性是级数的一种重要性质,解决级数的问题多半要设计到讨论级数的敛散性.由于正项级数在级数中的基础地位,所以讨论正项级数的敛散性是级数的一个基础内容,也是一个十分重要的内容,故正项级数敛散性判别法在数学分析中有着重要的作用.2正项级数相关概念2.1 定义设有数列{}n u ,即 .,,,,321 n u u u u 将此数列的项依次用加号连接起来,即+++++n u u u u 321 或 ∑∞=1n n u ，称为数值级数,其中n u 称为级数的第n 项或通项.级数就是无限多个数的和.若级数的每一项n u 的符号都是正,则称级数∑∞=1n nu是正项级数.取级数前n 项的和为n s ,即 n n u u u s +++= 21 或 ∑==nk nn us 1,称为级数的n 项部分和.若一级数的部分和数列{}n s 收敛,设s s n n =∞→lim 或 s unk kn =∑=∞→1lim,则称此级数收敛,s是级数的和,表为 +++++==∑∞=n n nu u u u us 3211.若部分和数列{}n s 发散,则称该级数发散,此时级数没有和.2.2 正项级数敛散性判别的充要条件正项级数的每一项都为正的基本特点导致正项级数部分和数列单调增加,从而有正项级数敛散性的基本判别定理:定理1 正项级数∑∞=1n nu收敛⇔它的部分和数列{}n s 有上界.证明 由于),2,1(0 =>i u i ,所以{}n s 是递增数列.而单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界定理),从而本定理得证.基本判别定理解决了一个级数的收敛问题,不必研究s s n n =∞→lim ,而粗略地估计n s 的值当∞→n 时是否保持有界就可以了,这样就避开了n s 冠以n 的复杂的表达式.它是判断正项级数收敛（或发散）的最基本方法,几乎所有其它的判别法都是由它导出,但是在具体应用时不大方便.由正项级数敛散性的基本判别定理可以推导出正项级数敛散性常用判别定理——积分判别法、比较判别法、柯西判别(又叫根值判别法)、达朗贝尔判别法(又叫比值判别法).2.3 三个重要比较级数在正项级数敛散性的判别中往往需要用到一个比较因子,用比较因子的敛散性来判断一个级数收敛还是发散.常用的比较因子有三个重要的正项级数——几何级数、调和级数、p-级数.下面简单介绍这三个级数,及其它们敛散性的证明,便于后面能更好的应用.2.3.1 几何级数(等比级数)讨论几何级数+++++=-∞=-∑1211n n n ar ar ar a ar的敛散性,其中r a ,0≠是公比.解：1）当0≠r 时,已知几何级数的n 项部分和 +++++=-12n n ar ar ar a s（i ）当1<r 时,存在极限,且.11lim lim rar ar a s n n n n -=--=∞→∞→因此,当1<r 时,几何级数收敛,其和是r a -1,即r aar n n -=∑∞=-111.（ii ）当1>r 时,不存在极限,且.1lim lim ∞=--=∞→∞→rar a s nn n n因此,当1>r 时,几何级数发散. 2）当1=r 时,有两种情况:(ⅰ)当1=r 时,几何级数是)0(≠a , +++++a a a a .na a a a s n n =+++=个∞==∞→∞→na s n n n lim lim 即部分和数列{}n s 发散.（ⅱ）当1-=r 时,几何级数是 .)1(1+-++-+--a a a a a n{,,0,,是偶数是奇数n n a n s =即部分和数列{}n s 发散.于是,当1=r 时,几何级数发散.综上所述,几何级数∑∞=-11n n ar ,当1<r 时收敛,其和是ra-1,当1≥r 时发散. 2.3.2 调和级数证明调和级数+++++=∑∞=n n n 13121111是发散的. 证明 设调和级数∑∞=11n n 的n 项部分和是ns ,即.131211n s n ++++= 由于已知.1]ln )1211[(lim .)ln 1211(lim =+++=-+++∞→∞→n nc n n n n 或（欧拉常数）即当∞→n 时,调和级数的部分和n s n 131211++++= 与n ln 是等价无穷大,即调和级数∑∞=11n n 发散. 2.3.3 P-级数讨论p-级数+++++=∑∞=p p p n p n n 13121111的敛散性,其中p 是任意实数.（该级数又称为广义调和级数）解：1）当1=p 时,广义调和级数就是调和级数∑∞=11n n,已知调和级数发散,即p-级数发散.2）当1<p 时,+∈∀N n ,有n n p 11≥.已知调和级数∑∞=11n n发散,根据比较判别法可知,当1<p 时,p-级数发散.3）当1>p 时,2≥∀n ,有]1)1(1[11111-----<p p p n n p n .于是,N n ∈∀,有1111)11(111)1)1(131212111(111)1)1(1(11)3121(11)2111(1111312111111111111111-=-+<--+=--++-+--+=---++--+--+≤++++=-------------p p p n p n n p nn p p p n s p p p p p p p p p p p p p p p p n 即p-级数的部分和数列{}n s 有上界,从而p-级数收敛.综上所述,当1≤p 时,p-级数发散;当1>p 时,p-收敛.在正项级数敛散性的证明中常借助于这三个级数敛散性为桥梁来判断其它级数的敛散性,所以必须要熟练掌握这三个级数.3 正项级数敛散性判别法3.1 判别发散的简单方法由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数∑∞=1n nu收敛,,,,0N p N n N N ∈∀>∀∈∃>∀⇔+ε有ε<++++++p n n n u u u 21.取特殊的1=p ,可得推论:若级数∑∞=1n nu收敛,则0lim =∞→nn u .定理2 该推论的逆否命题:若0lim ≠∞→nn u ,则级数∑∞=1n nu发散.例1 快速判断级数∑∞=+12215n n n 的敛散性.解: 由于05115lim22≠=+∞→n n n ,从而根据定理2可知,该级数发散. 如果0lim ≠∞→n n u ,则可由该逆否命题直接可以判别出该级数发散;如果0lim =∞→nn u ,则不能判断级数是否收敛,因为存在级数满足0lim =∞→nn u 的发散级数，如∑∞=11n n ；也存在级数满足0lim =∞→n n u 的收敛级数，如∑∞=121n n.显然该逆否命题只使用于满足0lim ≠∞→nn u 的发散级数.3.2 比较判别法 3.2.1 定理及其推论定理3 (比较判别法) 有两个正项级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv,且N n N N ≥∀∈∃+,,有n n cv u ≤,c 是正常数.1）若级数∑∞=1n nv收敛,则级数∑∞=1n nu也收敛;2）若级数∑∞=1n nu发散,则级数∑∞=1n nv也发散.证明 因为有定理若去掉、增添或改变级数∑∞=1n nu的有限项,则不改变级数∑∞=1n nu的敛散性,因此,不妨设+∈∀N n ,有 c cv u n n ,≤是正常数.设级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv的n 项部分和分部是n A 与n B ,由上述不等式,有.)(212121n n n n n cB v v v c cv cv cv u u u A =+++=+++≤+++=1）若级数∑∞=1n nv收敛,根据定理1,数列{}n B 有上界,从而数列{}n A 也有上界,再根据定理1,级数∑∞=1n nu收敛.2）若级数∑∞=1n nu发散,根据定理1,数列{}n A 无上界,从而数列{}n B 也无上界,再根据定理1,级数∑∞=1n nv发散.推论 有两个正项级数∑∞=1n n u 与)0(1≠∑∞=n n n v v ,且 k v u nnn =∞→lim).0(+∞≤≤k1）若级数∑∞=1n nv收敛,且+∞<≤k 0,则级数∑∞=1n nu也收敛;2）若级数∑∞=1n nv发散,且+∞≤<k 0,则级数∑∞=1n nu也发散.证明 1）若级数∑∞=1n nv收敛,且+∞<≤k 0,由已知条件,N n N N ≥∀∈∃>∃+,,00ε,有0||ε<-k v u n n 或 0ε+<k v u n n,即N n ≥∀,有n n v k u )(0ε+<,根据定理2,级数∑∞=1n n u 也收敛.2）若级数∑∞=1n nv发散,且+∞<<k 0，由已知条件,N n N N k ≥∀∈∃<<∃+,,0:00εε,有 0||ε<-k v u n n 或 n n v u k <-0ε )0(0>-εk ,即N n ≥∀,有n n u k v 01ε-≤,根据定理2,级数∑∞=1n nu也发散.若级数∑∞=1n nv发散,且+∞=k ,由已知条件,,,,0N n N N M ≥∀∈∃>∃+有M v u n n>,即N n N N ≥∀∈∃+,,有n n u M v 1<,根据定理2,级数∑∞=1n n u 也发散. 从比较判别法的内容,我们可以得出以下几点启示:（1）比较判别法只适用于正项级数敛散性的判断;（2）比较判别法重在“比较”,是利用两个正项级数的通项结构来比较的;要求必须掌握等比级数,调和级数,p-级数的敛散性,因为比较判别法的比较对象常常就是上述三种级数.（3）要证明某一个级数∑∞=1n nu收敛,需要找一个通项比n u 大的收敛的整形级数∑∞=1n nv,即n n cv u ≤,也就是需要将所求的级数通咯级数项放大;（4）要证明某一个级数∑∞=1n nu发散,需要找一个通项比n u 小的发散的正项级数∑∞=1n nv,即n n u cv ≤,也就是需要将所求的级数通项缩小.比较判别法提供了一个判别级数敛散的简单方法:只须拿一个已知敛散性的级数和要判别的级数作比较便能得出结论.常用的作为比较的级数有等比级数、调和级数、p-级数,因此,正项级数比较判别法的关键是:如何选取比较对象,放大或缩小所求级数的通项.3.2.2 活用比较判别法(1) 当所求级数的通项中出现关于n 的有理式时,比较对象常常选取p-级数或调和级数. 例1 判别级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性. 分析: 考虑通项)1(1+n n ，分子n 的最高幂是0（只有常数1 ),分母n 的最高幂是2,这时通项接近2201n n n =,原级数也接近于级数∑∞=121n n,这是12>=p 的收敛的p-级数,那么原级数也一定收敛.事先知道级数是收敛的,就把通项放大,放大为一个收敛的级数通项,这个级数一般就是∑∞=121n n ,至多差一个系数. 解: 因为21)1(1n n n <+（分母缩小,分数放大）,又由于∑∞=121n n收敛.则由此比较判别法,原级数∑∞=+1)1(1n n n 也收敛. 例2 判别级数∑∞=+1421n nn 的敛散性. 分析: 考虑通项421n n +,分子n 的最高幂是1,分母n 的最高幂是4,这时通项接近341n n n =,原级数也接近于级数∑∞=131n n,这是13>=p 的收敛的p-级数,那么原级数也一定收敛.解: 因为3444122221n n n n n n n n ==+≤+（分子放大,分数放大）,又由于∑∞=131n n 收敛,则由比较判别法,原级数∑∞=+1421n nn 也收敛. 例3 判别级数∑∞=--+12521n n n n 的敛散性. 分析: 考虑通项5212--+n n n ,分子n 的最高幂是1,分母n 的最高幂是2,这时通项接近，n n n 2122=,原级数也接近于级数∑∞=11n n,至多差一个系数. 解: 因为52152221222--+≤--<=n n n n n n n n n （分子缩小,分母放大,分数缩小）,又由于∑∞=11n n 是发散的,则由比较判别法,原级数也是发散的. (2) 当所求级数通项中出现正弦函数或对数函数时,利用不等式选取适当的比较对象.主要用到下面两个式子:当0>x 时,.1)11ln(11,sin xx x x x ≤+≤+< 例4 判别级数nn n 3sin21π∑∞=的敛散性.分析: 考虑当0>x 时,x x <sin ,则πππππnnn nn nn)32(323sin2,33sin=⋅<<,而πnn )32(1∑∞=是公比132||<=q 的收敛级数,故原级数收敛. 例5 判别级数∑∞=+1221ln n n n 的敛散性. 分析: 由于有不等式22221)11ln(1ln n n n n ≤+=+,而∑∞=121n n是收敛的级数,故原级数也收敛.(3) 当所求级数的通项放大、缩小不方便时,可采用比较判别法的推论.利用比较判别法的推论时要注意:（1）把要求的级数当作∑∞=1n nu,另找一个正项级数（往往找调和级数、p-级数或等比级数),作∑∞=1n nv;（2）重点考察极限结果1,因为1在0与∞之间.例6 判别级数∑∞=+-12114n nn 的敛散性. 分析: 考虑通项1142+-n n ,分子n 的最高幂为1,分母n 的最高幂为2,通项接近nn n 12=,因此就把级数∑∞=11n n作∑∞=1n n v .解: 由于414lim ]1114[lim 222=+-=+-∞→∞→n nn n n n n n ,又因为∑∞=11n n 是发散的,则原级数也发散.例7 另解上面的例5.分析: 我们前面已经讨论过该题,若忘记前面的不等式,而此题的通项又不易进行放大、缩小,可用推论.把)11ln(2n +作为n u ,再找一个n v .观察到n u 中,有对数函数)11ln(2n+出现,考虑用第二重要极限e nnn =+∞→)11(lim ,取.12n v n =解: 因为1)11ln(lim ]1)11ln([lim 2222=+=+∞→∞→n n n n nn,又∑∞=121n n收敛,故原级数也收敛.3.2.3 归纳总结判断正项级数∑∞=1n nu“ 敛散性的一般步骤：(ⅰ) 检查通项。
正项级数知识
sn
1
1 2p
1 3p
n1pn1p
n
n1
dx xp
y
y
1 xp
(
p
1)
1
12
dx xp
n
n1
dx xp
1
1n
dx xp
o 1234
1
1
1
1
(1 p 1
n p1 ) 1
p 1
即sn有界,则P 级数收敛.
P
级数当 当pp
1时, 1时,
x
收敛 发散
例2证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明
+
ln 2
dt tq
故q 1时发散，q 1时收敛。
内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法
必要条件
lim
n
un
0
满足
不满足 发 散
比值审敛法 nlimuunn1
根值审敛法
lim n
n
un
1
1
收敛
发散
比较审敛法
1
不定
部分和极限
用它法判别
积分判别法
则 1时级数收敛; 1时级数发散; 1时失效.
证明 当为有限数时,对 0,
N ,当n N时,有 un1 ,
un
即 un1 (n N )
un
当 1时,取 1 ,使r 1,
uN 2 ruN 1, uN 3 ruN 2 r 2uN 1, ,
uN m
n1
n1!，（2）n11n0!n
，（3）
n1
(2n
1 1)
2n
无穷极数中的几个典型反例
无穷极数中的几个典型反例一、正项级数中比值判别法和根值判别法的反例（1） 比值差别法：例1：1(1)3n n ∞=+-级数1(1)3n n ∞=+-发散，但极限1lim n n nu u +→∞并不存在因为级数13n ∞=发散而级数1(1)3n n ∞=-∑收敛。
所以级数1(1)3n n ∞=+-发散。
而11n n n u u ++=是摆动数列，故11lim n n n n nu u ++→∞=并不存在。
当然，p-级数∑∞=11n n p 也是一个典型的反例, 1lim n n nu u +→∞=1,但当p>1时收敛; 1≤p 时,发散。
（2） 根值判别法：例2：1(1)3n n n ∞=⎤-⎥⎣⎦∑级数1(1)3nn n ∞=⎤-⎥⎣⎦∑收敛，但(1)lim 3n n n →∞-=并不存在。
2(1)21033n n n ⎡⎤⎛⎫-≤≤ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭ 而113n n ∞=⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∑收敛（公比小于1的等比级数）。
由比较判别法，1(1)3n n n ∞=⎤-⎥⎣⎦∑(1)3n -=是摆动数列。
故(1)lim 3n n n →∞-=不存在。
注：在正项级数的敛散性判别中,比值判别法和根值判别法使用起来非常方便,但是它成立的条件是充分而非必要的。
二、 交错级数中使用莱布尼兹差别法的反例在交错级数的敛散性判别中,莱布尼兹判别法使用起来非常方便,但是有些情况下的交错级数不满足条件。
例3：n n ∞=n u =， 显而易见满足lim 0n n u →∞=，而不满足。
1(1,2,)n n u u n +≥= ， 但作为任意项级数(1)(1)1(1)111n n n n n u n n n ⎤--⎣⎦===-----由级数2(1)1n n ∞=--∑ 收敛，而级数211n n ∞=-∑发散知，级数n n ∞=发散。
例4： nn nn )1(1)1(2-+-∑∞= n n nn )1(1)1(2-+-∑∞==111)1(1))1(()1(222----=----n n n n n n n n ， 根据莱布尼兹判别法易知交错级数∑∞=--221)1(n n n n 收敛，而∑∞=-2211n n 收敛，所以原级数n n nn )1(1)1(2-+-∑∞=是收敛的。
正项级数的比值判别法
1.正项级数的比值判别法是什么？
答：后项比前项、大于1发散、小于1收敛。
正项级数，是一种数学用语。
在级数理论中，正项级数是非常重要的一种，对一般级数的研究有时可以通过对正项级数的研究来获得结果，就像非负函数广义积分和一般广义积分的关系一样。
所谓正项级数是这样一类级数：级数的每一项都是非负的。
正项级数收敛性的判别方法主要包括：利用部分和数列判别法、比较原则、比式判别法、根式判别法、积分判别法以及拉贝判别法等。
若数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数。
对于同号级数，只需研究各项都是由正数组成的级数，称它为正项级数。
如果级数的各项都是负数，则它乘以-1后就得到一个正项级数，它们具有相同的敛散性。
总结正项级数判别法的原理
总结正项级数判别法的原理1.引言在学习数学中，我们经常会遇到各种各样的级数。
其中正项级数是一种比较特殊的级数，它是由一串正数相加而成的级数。
正项级数判别法是判断正项级数是否收敛的一种方法。
本篇文章将详细介绍正项级数判别法的原理及其应用。
2.原理正项级数判别法是在判断正项级数收敛的时候使用的一种方法。
正项级数指的是级数的各个项都是正数。
在判断正项级数是否收敛的时候，我们需要用到一个非常重要的原理：比较原理。
比较原理是正项级数判别法的核心原理。
以下是比较原理的两种形式：-若级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，且对于所有$n\in N^+$，都满足$0\le b_n\le a_n$，则级数$\sum_{n=1}^{\infty} b_n$也收敛；-若级数$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$发散，且对于所有$n\in N^+$，都满足$0\le b_n\le a_n$，则级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$也发散。
比较原理的第一个形式说明了一个结论：“如果一个级数收敛，那么它的任何小于等于它的级数也收敛”。
这个结论非常重要，因为它让我们可以用更容易处理的级数来代替意义相同但更复杂的级数。
比较原理的第二个形式则说明了另一个结论：“如果一个级数发散，那么所有大于等于它的级数都发散”。
这个结论同样非常重要，因为它让我们可以用更容易处理的级数来判断一个级数是否发散。
在使用比较原理判断正项级数的收敛性时，我们需要找到一个小于等于该级数的级数，并且我们知道这个小于等于级数的级数是收敛的或者发散的。
如果这个小于等于级数的级数是收敛的，那么原级数也一定收敛；如果这个小于等于级数的级数是发散的，那么原级数也一定发散。
以上就是正项级数判别法的核心原理：比较原理。
接下来，我们将探讨在实际运用中如何找到一个小于等于该级数的级数，并且如何判断这个小于等于级数的级数是收敛的还是发散的。
级数敛散性的判别方法
级数敛散性的判别方法级数是数学中一个重要的概念，它在分析、微积分等领域有着广泛的应用。
在研究级数时，一个重要的问题就是判别级数的敛散性。
本文将介绍几种常见的判别方法，帮助读者更好地理解级数的敛散性。
首先，我们来看级数的敛散性定义。
对于一个级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，如果它的部分和数列${S_n}$收敛于某个值$S$，即$\lim_{n \to \infty}S_n=S$，那么我们称级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$是收敛的，$S$称为级数的和。
如果${S_n}$发散，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$就是发散的。
接下来，我们将介绍几种判别级数敛散性的方法。
一、比较判别法。
比较判别法是判别级数敛散性常用的方法之一。
设$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$和$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$是两个级数，如果对于所有的$n$，都有$0 \leq a_n \leq b_n$，且$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛，那么$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也收敛；如果$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$发散，那么$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也发散。
二、比值判别法。
比值判别法是判别正项级数敛散性的一种方法。
对于正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，计算极限$\lim_{n \to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$，如果这个极限存在且小于1，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛；如果这个极限大于1或者不存在，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散；如果这个极限等于1，比值判别法不起作用，需要使用其他方法进行判别。
三、积分判别法。
积分判别法适用于正项级数。
对于正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，如果函数$f(x)$在$[1, +\infty)$上连续、单调递减且非负，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$与积分$\int_{1}^{\infty}f(x)dx$的敛散性是等价的，即$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$与$\int_{1}^{\infty}f(x)dx$同时收敛或者同时发散。
无穷极数中的几个典型反例
无穷极数中的几个典型反例一、正项级数中比值判别法和根值判别法的反例（1） 比值差别法：例1：1(1)3nn ∞=+-∑级数1(1)3nn ∞=+-∑发散，但极限1limn n nu u +→∞并不存在因为级数13n ∞=∑发散而级数1(1)3nn ∞=-∑收敛。
所以级数1(1)3nn ∞=+-∑发散。
而11(1)n n nu u +++-=11(1)limlimn n n n nu u ++→∞→∞+-=并不存在。
当然，p-级数∑∞=11n np也是一个典型的反例, 1limn n nu u +→∞=1,但当p>1时收敛;1≤p 时,发散。
（2） 根值判别法：例2：1(1)3nnn ∞=⎤-⎥⎣⎦∑级数13nn ∞=⎣⎦∑收敛，但lim lim3n n →∞→∞=并不存在。
(1)21033nnn⎡⎤⎛⎫+-≤≤ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭而113nn ∞=⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭∑收敛（公比小于1的等比级数）。
由比较判别法，1(1)3nnn ∞=⎤+-⎥⎣⎦∑(1)3n-=是摆动数列。
故(1)limlim3nn n →∞→∞-=不存在。
注：在正项级数的敛散性判别中,比值判别法和根值判别法使用起来非常方便,但是它成立的条件是充分而非必要的。
二、 交错级数中使用莱布尼兹差别法的反例在交错级数的敛散性判别中,莱布尼兹判别法使用起来非常方便,但是有些情况下的交错级数不满足条件。
例3：2(1)nn ∞=-∑1n u =显而易见满足lim 0n n u →∞=，而不满足。
1(1,2,)n n u u n +≥= ， 但作为任意项级数(1)(1)1(1)111n nnn n u n n n ⎤---⎣⎦===-----由级数21n n ∞=-∑收敛，而级数211n n ∞=-∑发散知，级数2nn ∞=∑发散。
例4： nn nn )1(1)1(2-+-∑∞=nn nn )1(1)1(2-+-∑∞==111)1(1))1(()1(222----=----n n n n n nnn，根据莱布尼兹判别法易知交错级数∑∞=--221)1(n nn n 收敛，而∑∞=-2211n n 收敛，所以原级数nn nn )1(1)1(2-+-∑∞=是收敛的。
级数判别法
级数判别法基本定理：正项级数收敛的充要条件是：∑∞=1n n a的部分和数列}{n S 有界。
1、 比较判别法：设∑∞=1n n a 和∑∞=1n n b是两个正项级数，且存在0>N ，使当N n >时，有不等式n n b a ≤，则：○1：∑∞=1n n b收敛∑∞=⇒1n na 收敛。
○2：∑∑∞=∞=⇒101n n n n ba 发散发散。
2、 比较判别法极限形式：设∑∞=1n na 和∑∞=1n nb 是两个正项级数，且λ=+∞→n nn b a lim，则：○1：当+∞<<λ0时，∑∞=1n na 和∑∞=1n n b具有相同的敛散性。
○2：当0=λ时，∑∞=1n n b 收敛∑∞=⇒1n na 收敛。
○3：当+∞=λ时，∑∞=1n n b 发散∑∞=⇒1n na 发散。
3、 比较判别法II ：设有两正项级数∑∑∞=∞=101n nn n b a 和，)0,0(≠≠n n b a 满足：nn n n b b a a 11++≤，则：○1：∑∞=1n n b收敛∑∞=⇒1n na 收敛。
○2：∑∞=1n na发散∑∞=⇒1n n b发散。
4、 比值判别法（达朗贝尔）：设∑∞=1n n a为正项级数，则：1°若当n 充分大时有：11<≤+q a a n n ，则级数∑∞=1n n a 必收敛。
2°若当n 充分大时有：11≥+n n a a ，则级数∑∞=1n n a 必发散。
5、 达朗贝尔判别法的极限形式：设∑∞=1n n a为正项级数，且2111lim limλλ==+∞→+∞→n n n n n n a a，a a ，+∞≤2,1λ，则：1°：当11<λ时，级数∑∞=1n n a 收敛。
2°：当12>λ时，级数∑∞=1n n a 发散。
6、 根值判别法（Cauchy ）：设∑∞=1n n a为正项级数，则：1°：若当n 充分大时，有1<≤q a nn ，则级数∑∞=1n na 必收敛。
正项级数比值判别法的推广
关键词
ｌ 引 言
正项级 数 的敛散性 有多种 判别方 法 ， 中 比值 判别 法 是经 常用 到 的一 种 方法 ． 文对 文 ［ ］ 其 本 １关
于 比值 判敛 法所作 的 改进 ， 出 了如 下改进 ． 提
定理［ 正项级数曼。满足条件 ・
１ —— ｌ ｌ ａ ， ｉｎ 则 ｍ ＋ —
。等 等 ￣ ｌ ＜ ａ Ｎ ０ ＋
故有 ｎ
ＤⅣ＾＋ １
， 而
ＤⅣ＾ １ ＋
为常数， 较判别法知： 由比 当萎ｂ收敛时， ｎ 敛； 萎ａ亦 当萎ａ 发散时， ｎ
．
Ｈ １
ｎ＝ １
’＝１ ｎ
。…
’
∑ｂ 亦发 散．
定理 １ 正 项级 数 ∑口 满足 条件
摘 要 为判 别 正 项 级 数 的 收 敛性 ， 一 种 改进 的 比 值 判 别 法 的 基 础 上 给 出 了 进 一 步 的 推 广 ， 其 更 具 有 一 在 使 正项级数 ； 比值 判别 法 ； 敛 ； 散 ； 收 发 中图 分 类 号 Ｏ１ ３ １ ７ ．
般 性 ， 后 还 给 出 了 对 比 值判 别 法 的另 外 两 种 形 式 的 推广 ． 最
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高 等数 学 研 究
２ ０
Ｓ ＴＵＤＩ Ｓ Ｉ Ｃ Ｅ Ｎ ０ＬＬ ＥＧＥ ＡＴＨＥＭＡＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ ． ｌ Ｎｏ ３ １１ 。 ． Ｍａ ２ ｙ。 ００８
正 项级 数 比值 判 别 法 的推 广
杨 春 玲 张传 芳 （ 江科技学 黑龙 院 数学系 哈尔 滨 １ ０７ ５ ２） ０
ｌ ｉ ｍ
： ａ＾
定理 ２ 正 项级 数 ∑ａ 满 足条 件
第二节正项级数
n1
想.如果猜想所给级数收敛，只需适当放大 un，使
其放大后的表达式 vn ，而正项级数 vn收敛.如果
n1
猜想级数发散，只需适当缩小
un
，使其缩小后的
表达式
vn
，而正项级数
vn发散.
n1
定.
判定正项级数 un 的收敛性应注意以下几点：
n1
1.如果
lim
n
un易求，应先判定是否lim
n
un
0？若
lim
n
un
0
则可知 un 发散.
n1
2.可以先考虑利用比值判别法判定其收敛性.特别是 un中
含有因子n!的情形，利用比值判别法通常比较方便.
3.使用比较判别法时，应先对 un的收敛性作一个猜
4
n
，u
n1
3n1 5n1 4n1
.
3n1
lim un1 n un
lim
5n1 4n1 3n
5n 4n
lim
n
3
1 4 n 5
5
1
4 5
n
1
3 5
1,
所以原级数收敛.
例6
判定级数
n 1
nn a n n!
(a 0,a e)
收敛性.
解 原级数为正项级数，其通项为
un
nn ， an (n)!
n1
n1
若un vn (n 1,2, , n) ，则有
0 Sn u1 u2 un v1 v2 vn n ,
如果vn收敛，可知 n 有上界，从而知{Sn}有上界.
n1
再由正项级数收敛的充分必要条件可知 un 收敛.
n1
正项级数的判别法
法
思考题
设正项级数 un 收敛, 能否推得 un 收敛?
2 n1 n1
反之是否成立?
思考题解答
由正项级数 un 收敛，可以推得 un 收敛,
2 n 1 n1
un lim lim un 0 n u n n
由比较审敛法知 un 收敛.
2
1时级数发散; 1 时失效.
1 例如, 设级数 n , n1 n
1 1 un n n 0 ( n ) 级数收敛. n n
n
小 结
正 项 级 数
1. 若 Sn S , 则级数收敛;
审
敛
2. 当 n , un 0, 则级数发散;
3.按基本性质; 4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法Leabharlann lim a2 nn
1 , 6
lim a2 n1
n
3 , 2
un1 lim lim an 不存在. n u n n
例 4 判别下列级数的收敛性:
1 (1) ; n 1 n!
解
n! 1 (2) n ; (3) . n 1 10 n 1 ( 2n 1) 2n 1 un1 ( n 1)! 1 (1) 0 ( n ), 1 un n1 n! 1 故级数 收敛. n 1 n!
1 (1) sin ; n n 1
二、比值判别法
un 1 (数或 ) 设 un 是正项级数,如果 lim n u n 1 n
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1 时失效.
证明 当为有限数时, 对 0,
02第二节正项级数的判别法
第二节 正项级数的判别法 一般情况下，利用定义和准则来判断级数的收敛性是很困难的，能否找到更简单有效的判别方法呢？我们先从最简单的一类级数找到突破口，那就是正项级数.分布图示★ 正项级数★ 比较判别法 ★ 例1★ 例2★ 例3★ 例4 ★ 例5★ 比较判别法的极限形式★ 例6 ★ 例7★ 例8★ 例9 ★ 例10 ★ 比值判别法 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 根值判别法★ 例14★ 例15★ 例16 ★ 积分判别法 ★ 例17 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题12-2★ 返回内容要点一、正项级数收敛的充要条件是：它的部分和数列}{n s 有界. 以此为基础推出一系列级数收敛性的判别法： 比较判别法；比较判别法的极限形式；推论（常用结论）比较判别法是判断正项级数收敛性的一个重要方法. 对一给定的正项级数，如果要用比较判别法来判别其收敛性，则首先要通过观察，找到另一个已知级数与其进行比较，并应用定理2进行判断. 只有知道一些重要级数的收敛性，并加以灵活应用，才能熟练掌握比较判别法. 至今为止，我们熟悉的重要的已知级数包括等比级数、调和级数以及-p 级数等. 要应用比较判别法来判别给定级数的收敛性，就必须给定级数的一般项与某一已知级数的一般项之间的不等式. 但有时直接建立这样的不等式相当困难，为应用方便，我们给出比较判别法的极限形式.使用比较判别法或其极限形式，需要找到一个已知级数作比较，这多少有些困难. 下面介绍的几个判别法，可以利用级数自身的特点，来判断级数的收敛性. 比值判别法（达朗贝尔判别法）：适合1+n u 与n u 有公因式且nn n u u 1lim +∞→ 存在或等于无穷大的情形.根值判别法（柯西判别法）：适合n u 中含有表达式的n 次幂，且ρ=∞→n n n u lim 或等于∞+的情形.积分判别法：对于正项级数,1∑∞=n na ，如果}{na 可看作由一个在),1[+∞上单调减少函数)(x f 所产生, 即有).(n f a n = 则可用积分判别法来判定正项级数∑∞=1n n a 的敛散性. 例题选讲比较判别法的应用例1（E01）讨论p —级数)0(131211>+++++p np p p 的收敛性. 解 1p ≤时，,11n np≥-∴p 级数发散. 1>p 时，由图可见,11⎰-<n n p p x dx n p p p n ns 131211++++=,111111111111121-+<⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=+=+++<--⎰⎰⎰p n p x dx x dx x dx p n n n pp p即n s 有界，-∴p 级数收敛. 当1>p 时收敛 故-p 级数 . 当1≤p 时发散例2（E 02）证明级数∑∞=+1)1(1n n n 是发散的.证 )1(1+n n ,11+>n 而级数∑∞-+111n n 发散， ∴∑∞-+1)1(1n n n 发散.例3（E03）判别级数∑∞=+++122)2()1(12n n n n 的收敛性.解 运用比较判别法.因22)2()1(12+++n n n 22)2()1(22+++<n n n 3)1(2+<n ,23n <而∑∞=131n n是收敛的,所以原级数收敛.例4（E04）设n n n b c a ≤≤),,2,1( =n 且∑∞=1n na及∑∞=1n nb均收敛， 证明级数∑∞=1n nc收敛.证 由,n n n b c a ≤≤得 ,),2,1(0 =-≤-≤n a b a c n n n n 由于∑∞=1n na与∑∞=1n nb都收敛,故)(1nn na b ∑∞=-是收敛的,从而由比较判别法知,正项级数)(1n n n a c ∑∞=-也收敛.再由∑∞=1n na与)(1n n na c-∑∞=的收敛性可推知: 级数∑∞=1n n c )]([1n n n na c a∑∞=-+=也收敛.例5 设⎰=40tan πxdx a nn ，证明级数∑∞=1n nna λ)0(>λ收敛. 证 由⎰=4tan πxdx a n n ⎰<42sec tan πxdx x n⎰=40tan tan πx xd n⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+41tan 11πx n n 11+=n n 1< 得.λλ+<<110n n a n 因为,11>+λ所以∑∞=+111n n λ收敛, 由比较判别法知∑∞=1n nn a λ收敛.比较判别法及其推论的应用例6（E05）判定下列级数的敛散性:(1) ;11ln 12∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n (2).cos 111∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n n π解 )1(因⎪⎭⎫ ⎝⎛+211ln n ),(1~2∞→n n 故 n n u n 2lim ∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→2211ln lim n n n 221lim nn n ⋅=∞→1=根据极限判别法,知所给级数收敛. )2(因为n n u n2/3lim ∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→n n u n n n πcos 11lim 2/322211lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=∞→n n n nn π,212π= 根据极限判别法, 知所给级数收敛.比值判别法的应用例7 判别级数∑∞=++1)(n an nn a n 的敛散性. 解 记an nn na n u ++=)(a n n n n n n a n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1,1a nn n a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 采用比较法的极限形式,取,1an n v =因 nn n v u ∞→lim nn n a ⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→1lim a e =,0≠ 所以原级数与级数∑∞=11n an具有相同的敛散性,从而知当1>a 时，级数∑∞=++1)(n an nn a n 收敛; 当1≤a 时，级数∑∞=++1)(n an nna n 发散.例8 判别级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-1sin n n n ππ的敛散性. 解 选取级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛13n n π作比较.由,613cos 1lim sin lim203=-=-→→x x x n x x x π可得3sinlim ⎪⎭⎫⎝⎛-∞→n n n n πππ.61=因级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛13n n π收敛,所以原级数也收敛.注:从以上解答过程中可以看到极限中的某些等价无穷小在级数审敛讨论时十分有用的,事实上级数的收敛性取决于通项n u 趋向于零的“快慢”程度.例9（E06）判别级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-11ln 1n n n n的敛散性. 解 令)1ln()(x x x u +-=),0(0>>x .)(2x x v =由于2)1ln(limx x x x +-+∞→x x x 2111lim +-=+∞→)1(21lim x x +=+∞→,21=从而2111ln 1limn n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→211ln1lim nn n n n +-=∞→.21= 由级数∑∞=121n n 的收敛推知本题所给级数也收敛.例10 级数,11∑∞=n p n 当1>p 时收敛, 有人说, 因为,111>+n 故级数∑∞=+1111n nn 收敛. 你认为他的说法对吗?解 不对.前者-p 级数的p 是一常数与n 无关,而后者n11+与n 有关,事实上 n nnn /11lim11+∞→1)(lim -∞→=n n n 1=由级数∑∞=11n n 的发散性,可知级数∑∞=+1111n nn 也发散.例11（E07）判别下列级数的收敛性：(1) ∑∞=1!1n n ； (2)∑∞=110!n nn . (3) ().21211∑∞=⋅-n n n解 )1(n n u u 1+!/1)!1/(1n n +=11+=n ,0−−→−∞→n 故级数∑∞=1!1n n 收敛.)2(n n u u 1+!1010)!1(1n n n n ⋅+=+,∞−−→−∞→n 故级数∑∞=110!n n n 发散. )3(nn n u u 1lim+∞→)22()12(2)12(lim +⋅+⋅-=∞→n n nn n ,1=比值判别法失效,改用比较判别法,因为n n 2)12(1⋅-,21n <而级数∑∞=121n n 收敛,所以∑∞=⋅-12)12(1n n n 收敛.例12（E08）判别级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1212n nn n 的散敛性.解 因为n nn )12(2+,22nn <而对于级数,212∑∞=n n n 由比值判别法,因 nn n u u 1lim +∞→21222)1(lim n n n n n ⋅+=+∞→2)11(21lim n n +=∞→21=,1< 所以级数∑∞=122n nn 收敛,从而原级数亦收敛.例13 判别级数)0(!1>∑∞=a n a n n n n的收敛性.解 采用比较判别法,由于nn n u u 1lim +∞→!)1()!1(lim 11n a n n n a n n n n n ⋅⋅++=++∞→n n n a )/11(lim +=∞→,e a= 所以当e a <<0时，原级数收敛;当e a >时，原级数发散;当e a =时，比值法失效,但此时注意到:数列nn n x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=11严格单调增加,且,e n n<⎪⎭⎫⎝⎛+11于是,11>=+nn n x e u u 即,n n u u >+1故,e u u n =>1由 此得到,0lim ≠∞→n n u 所以当时原级数发散.例14 判别级数2111n n n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-的散敛性.解 一般项含有n 次方, 故可采用根值判别法.因为n nn u ∞→lim n n n n 211lim ⎪⎭⎫⎝⎛-=∞→nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→11lim e1=1<故所求级数收敛.例15（E 09）判别级数∑∞=---1)1(2n n n的收敛性：解 因为n n n u ∞→lim nn n n n)(2lim ---∞→=nn n)1(12lim ---∞→=21=1< 由根值判别法知题设级数收敛.例16（E10） 判别级数∑∞=-+12)1(2n nn的收敛性. 解 因为n 21n n 2)1(2-+≤n23≤ 而,2121lim =∞→n n n ,2123lim =∞→n n nn n nn 2)1(2l i m -+∞→21=1< 故原级数收敛.例17（E11）试确定级数∑∞=1ln n n n的敛散性. 解 若设,xxx f ln )(=则显然)(x f 在1>x 时非负且连续. 因,2ln 1)(x xx f -='所以在e x >时有,0)(<'x f 函数)(x f 单调减少, 于是,可以对级数∑∞=1ln n n n应用积分判别法.注意到 dx xxe⎰∞ln ⎰∞→=beb dx x xln limbeb x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+∞→2ln lim 22ln ln lim 22e b b -=+∞→,+∞= 即广义积分以散,所以级数∑∞=1ln n n n发散.课堂练习1.设正项级数∑∞=1n n u 收敛, 能否推得∑∞=12n n u 收敛? 反之是否成立?2.判别下列级数的收敛性.1)3(;22)2(;cos 1)1(111∑∑∑∞=∞=∞=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-n nn n n e n n n π达朗贝尔（D ’Alember Jean Le Rond ，1717~1783）达朗贝尔是法国物理学家、数学家。
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较摘要：本文将对正项级数的敛散性问题进行研究，引入常用的比较判别法和比值判别法，而后再给出相应的级数作为比较尺度后，得到了相应的达朗贝尔判别法和柯西根式判别法，并给出了相应的极限形式和上下极限形式的版本。
在采用更加精细的级数作为比较尺度后，引出了拉贝尔判别法，并对上述的几种方法进行了总结和分析。
关键词：正项级数敛散性达朗贝尔判别法柯西根式判别法拉贝尔判别法引言随着正负无穷的引入，人们对于数字的理解不再拘泥于传统意义上的有限数字。
此时，关于一列已知序列求和的敛散性问题便应运而生。
如何判断一列序列求和是有限的还是发散的，成为数学分析中的一个重要问题，受到了很多的关注和研究，产生了诸如比较判别法、达朗贝尔判别法和柯西根式判别法等等。
本文将对目前常用的一些判定方法进行归纳，并对它们的适用性和局限性进行分析。
一、比较判别法、比值判别法及达朗贝尔判别法我们在本节中将介绍三种常用的判别方法——比较判别法、比值判别法和达朗贝尔判别法，在引入序列的上下极限以后，给出极限形式和上下极限形式下的达朗贝尔判别法，从而使得达朗贝尔判别法得到很好的总结和完善。
而后改变比较级数的尺度，对达朗贝尔判别法进行推广，引入拉贝尔判别法，使得比较变得更加的精细和准确[1]。
1.比较判别法和比值判别法当我们遇到一个未知的序列以后，我们可以将它与已知的收敛或者发散的序列进行比较，进而来判断它的敛散性，从而诞生了比较判别法和比值判别法。
为了下文的行文的简单性，我们用符号来表示[2]。
定理1（比较判别法）假设级数和均为正项级数，那么我们有：（1）如果收敛且存在和，使得，，那么也收敛;（2）如果发散且存在和，使得，，那么也发散。
为了方便使用，我们这里引入极限形式的比值判别法.推论1设级数和均为正项级数令则有：（1）如果收斂，且，那么也收敛;（2）如果发散，且，那么也发散。
同样的，对于严格的正项级数我们可以得到如下的比值判别法.定理2（比值判别法）假设级数和都是严格的正项级数，那么我们有：（1）如果收敛，且存在，使得，，那么也收敛;（2）如果发散，且存在，使得，，那么也发散。
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正项级数比值判别法
正项级数比值判别法是数学中常用的一种级数收敛性判别法。
它是通过比较相邻两项的比值来判断级数的收敛性。
具体来说，如果相邻两项的比值小于1，则级数收敛；如果相邻两项的比值大于1，则级数发散；如果相邻两项的比值等于1，则无法判断级数的收敛性。
这个判别法的原理可以通过数学公式来表示。
假设有一个正项级数a1, a2, a3, …，则它的相邻两项的比值为：
lim(n→∞) an+1/an
如果这个极限存在且小于1，则级数收敛；如果这个极限存在且大于1，则级数发散；如果这个极限不存在或等于1，则无法判断级数的收敛性。
这个判别法的应用非常广泛，可以用来判断各种类型的级数的收敛性。
例如，可以用它来判断调和级数的收敛性。
调和级数是指形如
1/1 + 1/2 + 1/3 + …的级数。
根据正项级数比值判别法，调和级数的相邻两项的比值为：
lim(n→∞) (1/(n+1))/(1/n) = lim(n→∞) n/(n+1) = 1
因此，调和级数的收敛性无法判断。
实际上，调和级数是发散的，这可以通过其他方法来证明。
除了调和级数，正项级数比值判别法还可以用来判断几何级数、指
数级数、幂级数等各种类型的级数的收敛性。
在实际应用中，我们通常会结合其他的级数收敛性判别法来判断级数的收敛性，以确保判断的准确性。
正项级数比值判别法是一种非常有用的级数收敛性判别法，它可以用来判断各种类型的级数的收敛性。
在使用时，我们需要注意判断条件的准确性，以确保判断的正确性。