线性分组码的编译码要点
实验三、线性分组码的编译码
信息论与编码实验报告1、认真阅读课本中关于线性分组码的基本原理及特点等内容，并简要写出其基本原理及特点；解：基本原理：对信源编码器输出的D 进制序列进行分组，设分组长度为k ，相应的码字表示为),,,(12m m m k M ∙∙∙=→，其中每个码元()k i m i≤≤1都是D 进制的显然这样的码字共有kD 个。
特点：一个()k n ,线性分组码中非零码字的最小重量等于该码的最小距离min d 。
2、写出（7，4）线性分组码编解码基本步骤，画出程序流程图；编码流程图 译码流程图 (7,4)汉明码的编码就是将输入的4 位信息码M=[ 3456a a a a ]加上3 位监督码012b b b 从而编成7位汉明码[6a 012345,,,,,a a a a a a ]，编码输出B=[6a 5a 4a 3a 2a 1a 0a ].由式A = M ·G=[3456a a a a ]·G 可知，信息码M 与生成矩阵G 的乘积就 是编好以后的(7,4)汉明码3、实现（7，4）线性分组码编解码的Matlab源程序；构造BSC传输信道中采用（7,4）线性分组码的Simulink仿真程序。
(7,4)汉明码的编码程序：library ieee;use ieee.std_logic_1164.all;entity bm isport(a:in std_logic_vector(3 downto 0);but std_logic_vector(6 downto 0));end ;architecture one of bm isbeginb(6)<=a(3);b(5)<=a(2);b(4)<=a(1);b(3)<=a(0);b(2)<=a(3) xor a(2) xor a(1);b(1)<=a(3) xor a(2) xor a(0);b(0)<=a(3) xor a(1) xor a(0);end;(7,4)汉明码的译码程序：library ieee;use ieee.std_logic_1164.all;entity ym isport(a:in std_logic_vector(6 downto 0);sut std_logic_vector(2 downto 0);but std_logic_vector(3 downto 0);cut std_logic_vector(2 downto 0));end ;architecture one of ym isbeginprocess(a)variable ss:std_logic_vector(2 downto 0);variable bb:std_logic_vector(6 downto 0);beginss(2):=a(6) xor a(5) xor a(4) xor a(2);ss(1):=a(6) xor a(5) xor a(3) xor a(1);ss(0):=a(6) xor a(4) xor a(3) xor a(0);bb:=a;if ss> "000" thencase ss iswhen "001" =>bb(0):= not bb(0);c<="000";when "010" =>bb(1):= not bb(1);c<="001";when "100" =>bb(2):=not bb(2);c<="010";when "011" =>bb(3):=not bb(3);c<="011";when "101" =>bb(4):=not bb(4);c<="100";when "110" =>bb(5):=not bb(5);c<="101";when "111" =>bb(6):=not bb(6);c<="110";when others => null;c<="111";end case;else b<= a(6)&a(5)&a(4)&a(3);end if;s<=ss;b<=bb(6)&bb(5)&bb(4)&bb(3);end process;end;4、讨论（7，4）线性分组码的最小码距与码重及纠错能力的关系，讨论采用纠错编码和不采用纠错编码对传输系统的影响。
线性分组码的编码与译码
实践教学大学计算机与通信学院2014年秋季学期计算机通信课稈设计题目：线性分组码（9 , 4）码的编译码仿真设计专业班级：_______________________________姓名：_________________________________________学号：_______________________________________指导教师：______________________________________成绩：______________________________________________摘要该系统是（9, 4）线性分组码的编码和译码的实现，它可以对输入的四位的信息码进行线性分组码编码，对于接收到的九位码字可以进行译码，从而译出四位信息码。
当接收到的九位码字中有一位发生错误时，可以纠正这一位错码；当接收到的码字有两位发生错误时，只能纠正一位错误，但同时能检测出另一位错误不能纠正。
只有特定位有两位错误时，才能纠正两位错误。
这样就译出正确的信息码组，整个过程是用MATLAB语言实现的。
关键词：编码；译码;纠错摘要 目录1. 信道编码概述2.•…1.1信道模型 ............................................................... 2•…1.2抗干扰信道编码定理及逆定理 ............................................ 3…1.3检错与纠错的基本原理 .................................................. 4•…1.4限失真编码定理 ........................................................ 5•…2. 线性分组码的编码 ........................................................... 6 _2.1生成矩阵 ............................................................... 6•…2.2校验矩阵 ............................................................... 9•…2.3伴随式与译码 ......................................................... 1.0....3. 线性分组码编码的 Matlab 仿真 ............................................... 1.2..3.1程序流程图 ............................................................ 1.2....3.2程序执行结果 ......................................................... 12....3.2线性分组码译码的 Matlab 仿真 .......................................... 1.3.3.3结果分析 .............................................................. 1.5.... 参考文献 .................................................................... .1.6..... 总结 ......................................................................... 1.7.... 致谢 ......................................................................... 1.8.... 附录目录19刖言由于计算机、卫星通信及高速数据网的飞速发展，数据的交换、处理和存储技术得到了广泛的应用，数字信号在传输中往往由于各种原因，使得在传送的数据流中产生误码，从而使接收端产生图象跳跃、不连续、出现马赛克等现象，人们对数据传输和存储系统的可靠性提出来了越来越高的要求，经过长时间的努力，通过编译码来控制差错、提高可靠性的方式在信道传输中得到了大量的使用和发展，并形成了一门新的技术叫做纠错编码技术，纠错编码按其码字结构形式和对信息序列处理方式的不同分为两大类：分组码和卷积码。
线性分组码编译码报告
9
case 7: { B[i][5]=1^B[i][5]; printf("\n\n 您接收的第%d 个码组有错误，正确的码组应为：",++i); i--; for(j=6;j>=0;j--) printf("%1d",B[i][j]); printf("译出的信息序列为："); for(j=6;j>2;j--) printf("%d",B[i][j]);break; } case 8: { B[i][6]=1^B[i][6]; printf("\n\n 您接收的第%d 个码组有错误，正确的码组应为：",++i); i--; for(j=6;j>=0;j--) printf("%1d",B[i][j]); printf("译出的信息序列为："); for(j=6;j>2;j--) printf("%d",B[i][j]);break; } } } printf("\n\n 总的译码结果为："); for(i=0;i<u;i++) for(j=6;j>2;j--) printf("%1d",B[i][j]); printf("\n\n 接下来您想：\n\n");/*继续选择功能*/ printf("1.用编码器 2.用译码器 3.退出\n\n"); printf("我想：");
10
scanf("%d",&Q); if(Q==0) Q=Q+4; while(Q) { if(Q==1||Q==2||Q==3)break; else { printf("对不起，您输入有误，请重新输入"); scanf("%d",&Q); } } } else if(Q==3)/*退出程序*/ { printf("\n 谢谢您的使用，欢迎再次使用！\n"); } } } 运行的结果：
8.2 线性分组码 线性分组码编码
8.2 线性分组码
线性分组码的编码
1
引言
• 信道编码，目的是提高数字通信的可靠性
– 差错率是信噪比的函数
• 信道编码，差错控制编码，抗干扰编码
• 信道编码过程：
– 信息码元序列＋监督码元→编码码组
• 信道译码过程：
– 编码码组→检错或纠错→信息码元序列
2
1. 线性分组码的概念
1 0 0
G＝0 1 0 0 1 1
1 0 1
0 0 1 1 1 0
1 1 0
1 1 1
7
由式
，得码组矩阵为：
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0
0 C＝0
1
1 1 0
0 1
0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 1
0 1 1
110＝100
1 1 0
0 1 0
0 1 1
6
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例8-1 已知(6,3)码的生成矩阵为G，试求：(1) 编码码组 和各码组的码重；(2) 最小码距 d及min其差错控制能力。
解
(1) 由3位码组成的信息码组矩阵为D：
0 0
0 0
0 1
0 1 0
1 0 0 1 0 1
0 1 1
D＝
ck = dk
ck +1 ck+2
= =
h11d1 h12d2 h1k dk h21d1 h22d2 h2k dk
G生成矩阵
cn = hm1d1 hm2d2 hmk dk
5
写成矩阵形式，有 C = D G ，G为生成矩阵(k*n)，且：
信息论基础——线性分组码
17
线性分组码的基本概念
信息位 00 01 10 11 x2 x0 x1 00000 x3 x0 x x x 01101 0 1 4 码字 10111 11010
信息位k=2 码字数M=4
可见，码字的三个校验元都由其前两位线 性组合得到，即可由的线性方程组求得；
18
线性分组码的基本概念
f1 : GF (2) 2 GF (2)5
信息位 00 01 10 11 码字 00000 01101 10111 11010
1 ( 0 1 ) 1 ( 1 0 ) 1 1
f( 1 1 ) 1 1 0 1 0
1 ( 0 1 1 0 1 )1 ( 1 0 1 1 1 ) 1 1 0 1 0
30
线性分组码的基本概念
汉明距离： 指（n,k）分组码中两个码字xn 、 yn对应位取 值不同的个数；记为d（xn ， yn）.
5 5 ( 1 0 1 0 1 ) , y ( 0 1 1 1 1 ) 例： x
d(x ,y ) 3
5 5
31
线性分组码的基本概念
线性分组码的最小距离： 称（n,k）分组码中任两个码字汉明距离的最小 值，为该分组码的最小距离d.
f ( 1 ( 0 1 ) 1 ( 1 0 ) ) 1 ( 0 1 1 0 1 ) 1 ( 1 0 1 1 1 ) 线性编码
19
线性分组码的基本概念
例题1： 下面是某个（n，k）线性二元码的全部码字
x16=000000 x26=100011 x36=010101 x46=001111 x56=110110 x66=101100 x76=011010 x86=111001 求n、k的值；
线性分组码的编码方法
线性分组码的编码方法0 引言随着通信技术的飞速发展，数字信息的存储和交换日益增加，对于数据传输过程中的可靠性要求也越来越高，数字通信要求传输过程中所造成的数码差错足够低。
引起传输差错的根本原因是信道内的噪声及信道特性的不理想。
要进一步提高通信系统的可靠性，就需采用纠错编码技术。
1线性分组码线性分组码是差错控制编码的一种，它的编码规则是在k 个信息位之后附加r=（n-k ）个监督码元，每个监督码元都是其中某些信息位的模2和，即（n-k ）个附加码元是由信息码元按某种规则设计的线性方程组运算产生，则称为线性分组码（linear block code ）。
目前，绝大多数的数字计算机和数字通信系统中广泛采用二进制形式的码元，因此以下对线性分组码的讨论都是在有限域GF （2）上进行的，域中元素为0、1。
以（7，3）线性分组码为例，（7，3）线性分组码的信息组长度k=3，在每个信息组后加上4个监督码元，每个码元取值“0”或“1”。
设该码字为（C 6,C 5,C 4,C 3,C 2,C 1,C 0）。
其中C 6,C 5,C 4是信息位，C 3,C 2,C 1,C 0是监督位，监督位可以按下面的方程计算：463C C C +=4562C C C C ++=（1）561C C C += 450C C C +=以上四式构成了线性方程组，它确定了由信息位得到监督位的规则，称为监督方程或校验方程。
由于所有的码字都按同一规则确定，因此上式又称为一致监督方程或一致校验方程，这种编码方法称为一致监督编码或称一致校验编码。
由式（1）可以得出，每给出一个3位的信息组，就可以编出一个7位的码字，同理可以求出其它7个信息组所对应的码字。
2 生成矩阵和一致校验矩阵（n ，k ）线性分组码的编码问题，就是如何从n 维线性空间V n 中，找出满足一定要求的，由2k个矢量组成的k 维线性子空间；或者说在满足一定条件下，如何根据已知的k 个信息元求得n-k 个校验元。
实验四 线性分组码的信道编码和译码
一致性校验矩阵如下：
一般情况下：G是k*N生成矩阵；H为r*N一致性校验 矩阵，r =N-k为校验数目。
H和G的关系为：G=[Ik*K Ak*r] H=[Ak*r Ir*r] 纠错译码时，若发送码字为 c ，则接收序列为 y ，校
实验四 线性分组码的信道编码和译码
一、实验目的
熟悉 Matlab 工作环境及工具箱； 掌握线性分组码的编码、译码原理以及纠错原
理。
二、实验原理
信源发出的信息序列通常不能直接传送给信道传输， 它们需要经过某种变换使其适合信道传输。
变换——编码和译码 信道编码：
降低平均差错率，提高传送的可靠性——纠错编码。 纠错编码：
简述实验目的； 简述实验原理； 根据不同的线性分组码，观察生成矩阵和校验
矩阵的特性。 根据不同的线性分组码，分析检错和纠错能力。
正s=y*HT=e*HT 。
因此，可以得到译码 c=y e 。 其中，e称为差错图样。 S是传输是否出错的标志，称为伴随式。
三、实验内容
(5,2) 线性分组码的最小汉明距离为dmin=3，能够检出 2位错误或纠正1位错误。
线性分组码的信道编码和译码流程图 信道编码流程图
译码流程图
四、实验报告要求
例如，对于（5，2）分组码，N=5，K=2，其编码函数f
为：信息组是二元符号序列，用矩阵表示为m=[m1,m2] 码字长度为N=5,用矩阵表示为C=[C1,C2,C3,C4,C5]
编码函数fห้องสมุดไป่ตู้
由编码函数可知:c(码字)=m(信息矩阵)G(生成矩阵） 生成矩阵
生成矩阵确定以后，由编码函数的后三个方程可以确 定检验方程。
基于线性分组码的最优编译码方法
２ 编译 码 方 法 分 析
２ １ 编 码 过 程 ．
表 ２ 系统 码 字
对 于 （ 志 线 性 分 组 码 ， 虑 ｍ 信 息 Ｇ 生 ， ） 考 成 矩 阵 Ｃ 发 码 ， 校 验矩 阵 为 ： Ｈ
Ｍ Ｘ Ｇ— Ｃ （） １
２ ２ 译 码 过 程 ．
在 无ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 错 条件下 ，
收 稿 日期 ： ０ １ １ 一 ７ ２ １ － ２Ｏ
作者简介 ： 刘
１ ６ ９
可 能 的 Ｅ， 据 Ｅ 可 以 列 出标 准 矩 阵译 码 表 ， 得 根 值 注 意 的 是 在 各 个 Ｓ下 的 Ｅ 的 解 可 能 不 是 唯 一 的 ， 但
则 将 （ ） 入 （ ） 得 Ｈ×Ｇ—Ｅ， ２带 １式 即对 于生 成矩 阵 Ｃ的选 择 必须 要 存在 一个 对 应 的校 验矩 阵 Ｈ ， 使
中 图分 类号 ： Ｎ９ １ ２ Ｔ ｌ． ２
文 献标 识 码 ： Ａ
文 章 编 号 ： ６ ４ ９ ４ （ ０ ２ ０ — １ ６０ １ ７ — ９ ４ ２ １ ） １０ ９ — ２
１ 引 言
根据 线性 分组 码定 理 ， 线 性分 组码 的最小 （ ） ， 码 距 必然 小 于 等 于 —ｋ ｌ 即 Ｄ ≤ —ｋ １ 使 ＋ ， ＋ ， 得 等 号取 得 的编码 叫 ＭＤ Ｃ码 ， 二进 制 情 况 下 ， 在 除
摘 要 ： 出 了信 道 编 码 旨在 增 强 差错 控 制 和 提 高纠 检 错 能 力 。 分 析 了信 息 编 码 在 通 信 系统 中的 作 用 ， 指 探
讨 了基 于 线 性 分 组 码 的 最 优 编 译 码 方 法 。 关 键 词 ： 道 编 码 ； 性 分 组 码 ； 干扰 ； 错 控 制 信 线 抗 差
线性分组码
二、线性分组码的严格数学定义2
2. 定理1 (码的封闭性）
设CH为由监督矩阵H定义的分组码，则c1,c2CH : c1+c2CH 证明： 由c1CH，得Hc1T=0T;
由c2CH，得Hc2T=0T;
所以 H(c1+c2)T=H(c1T+c2T) =Hc1T+Hc2T=0T c1+c2满足HcT=0T，所以c1+c2 CH
+
+
考虑如何用串行方式？
三、G与H的关系4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
D0
D1
+
D2
+
D3
+
D0
D1
+
D2
+
D3
+
m4m5m6
m6
m6
D0
D1
m6+m5 m6
D0
D1
m6
m6
+
D2
+
D3
+
m4m5
m6+m5
m6+m5
+
D2
m6+m5+m6
=m5
+
D3
+
m4
m5+m4
互为对偶码，若CH=CG, 则称为自对偶码（P62)
[Q In-k] [IkP]T= [QIn-k] [IkT PT]T= Q + PT = 0
所以 P= - QT 或 Q = -PT
由此得 G=[Ik P] = [ Ik –QT] H=[Q In-k]= [ -PT In-k]
三、G与H的关系2
线性分组码的译码实现原理
线性分组码的译码实现原理
线性分组码的译码原理是:
1. 接收端接收到编码后的码字信号。
2. 根据码字的格式,可以判断出码字中的信息位和校验位。
3. 对信息位进行译码,恢复成原始的信息比特。
4. 对校验位进行判错译码,根据设定的校验规则对信息比特进行重新编码计算。
5. 将计算出的新的校验码与接收到的校验码进行对比。
6. 如果两者一致,说明备措大没有错误,信息比特解码正确。
7. 如果不一致,说明码字在传输中出现了错误。
可以根据校验方式得出错误的位置。
8. 对有误码字进行纠错,修正信息比特,恢复正确信息。
9. 最后将纠正后的信息比特输出。
线性分组码通过增加冗余校验码,可以有效检测和纠正码字错误,提高信息的可靠性。
线性分组码的编译码要点
******************实践教学******************兰州理工大学计算机与通信学院2013年秋季学期计算机通信课程设计题目：线性分组码（7,3）码的编译码仿真设计专业班级：通信工程三班姓名：彭佳峰学号： 10250302 指导教师：彭铎成绩：摘要本课题是应用C语言对（7,3）线性分组码的编译码的软件设计。
主要做了一下几项工作：对三位正确的信息码进行编码；若输入的三位信息码有错，系统输出提醒，可以重新输入；对七位接收到的码字判断是否有错，并在无错和有一位错误时进行译码，在有多位错误时输出提醒，可以选择重新输入。
关键字：线性分组码编码译码 C语言目录前言 (1)1 基本原理 (2)1.1线性分组码的基本概念 (2)1.2差错控制原理 (2)1.3线性分组码的纠检错能力 (3)2线性分组码的编码 (4)2.1监督矩阵 (4)2.2生成矩阵 (5)3线性分组码的译码 (7)4设计与仿真 (9)4.1 C语言平台简介 (9)4.2整体流程图 (9)4.3编码流程图 (10)4.4译码流程图 (10)5 仿真结果及分析 (11)设计总结 (17)参考文献 (18)致谢 (19)附录 (20)前言近年来，随着计算机、卫星通信及高速数据网的飞速发展，数据的交换、处理和存储技术得到了广泛应用，人们对数据传输和存储系统的可靠性提出了越来越高的要求。
因此，如何控制差错、提高数据传输和存储的可靠性，成为现代数字通信系统设计工作者所面临的重要课题。
香农第二定理指出，当信息传输率低于信道容量时，通过某种编译码方法，就能使错误率为任意小。
差错控制编码在此定理指导下迅速发展起来，它使得传输数据本身带有规律性，利用规律性来减少错误。
线性分组码是差错控制编码的重要一种。
它的规律性在于局限在一个码组之内，编码后长为n的一个码组中含有k位信息元和n-k位监督元，监督元是随所传输的信息元而改变的。
接收端正式通过监督元和信息元之间的规律性来发现并纠正错误的。
第8章 线性分组码
一致监督方程/一致校验方程：确定信息元得到监督元规则 的一组方程称为监督方程/校验方程。由于所有码字都按同 一规则确定，又称为一致监督方程/一致校验方程。
3）2k个信息元组以什么算法一一映射到码空间。
概念
线性分组码的编码过程分为两步： 把信息序列按一定长度分成若干信息码组，每组由 k 位 组成； 编码器按照预定的线性规则(可由线性方程组规定)，把信 息码组变换成 n 重 (n>k) 码字，其中 (n－k) 个附加码元2k 个不同的信息码组，则应该有 2k 个 码字与它们一一对应。
的码字。 生成矩阵：由于矩阵 G 生成了 (n,k) 线性码，称矩阵 G 为 (n,k) 线性码的生成矩阵。 (n,k) 线性码的每一个码字都是生成矩阵 G 的行矢量的线性 组合，所以它的 2k 个码字构成了由 G 的行张成的 n 维空间 Vn的一个 k 维子空间 Vk。
线性系统分组码: 通过行初等变换，将 G 化为前 k 列是单位子阵的标准形式
T
Ir (Prk )T T Q k r (Prk ) Q k r 0 k r Ir
线性分组码的生成矩阵
线性码的封闭性: 线性码的封闭性：线性码任意两个码字之和仍是一个码字。 [证明]：若 U 和 V 为线性码的任意两个码字，故有
HUT=0T，HVT=0T 那么 H(U+V)T=H(UT+VT)=HUT+HVT=0T 即 U+V 满足监督方程，所以 U+V 一定是一个码字。 一个长为 n 的二元序列可以看作是GF(2)(二元域)上的 n 维
(7,3)分组码编码表
线性分组码编码的分析与实现重点讲义资料
吉林建筑大学电气与计算机学院信息理论与编码课程设计报告设计题目：线性分组码编码的分析与实现专业班级：电子信息工程121学生姓名：学号：指导教师：设计时间：2016.1.11－2016.1.22第1章概述1.1设计的作用、目的《信息论与编码》是一门理论与实践密切结合的课程,课程设计是其实践性教学环节之一，同时也是对课堂所学理论知识的巩固和补充。
其主要目的是加深对理论知识的理解，掌握查阅有关资料的技能，提高实践技能，培养独立分析问题、解决问题及实际应用的能力。
通过完成具体编码算法的程序设计和调试工作，提高编程能力，深刻理解信源编码、信道编译码的基本思想和目的，掌握编码的基本原理与编码过程，增强逻辑思维能力，培养和提高自学能力以及综合运用所学理论知识去分析解决实际问题的能力，逐步熟悉开展科学实践的程序和方法。
1.2设计任务及要求线性分组码具有编译码简单，封闭性好等特点，采用差错控制编码技术是提高数字通信可靠性的有效方法，是目前较为流行的差错控制编码技术。
通过设计一组（7,3）线性分组码，来完成对任意序列的编码，根据生成矩阵形成监督矩阵，得到伴随式下，并根据其进行译码，同时验证工作的正确性，最基本的是要具备对输入的信息码进行编码，让它具有抗干扰的能力。
1. 理解无失真信源编码的理论基础，掌握无失真信源编码的基本方法；2. 掌握哈夫曼编码/费诺编码方法的基本步骤及优缺点；3. 深刻理解信道编码思想与目的，理解线性分组码的基本原理与编码过程。
4. 能够使用MATLAB或其他语言进行编程，编写的函数要有通用性。
1.3设计内容已知一个（7,3）线性分组码的校验元与信息元有如下限定关系。
设码字为(c6,c5,c4,c3,c2,c1,c0)。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⊕=⊕=⊕⊕=⊕=2161521423ccccccccccccc求出标准校验矩阵、Q矩阵、标准生成矩阵，完成对任意信息序列（23个许用码字）的编码。
当接收码字分别为(0000000),(0000001),(0000010),(0000100),(0001000), (0010000),(0100000),(1000000),(0100100)时，写出其伴随式S，以表格形式写出伴随式与错误图样E的对应关系，纠错并正确译码，当有两位错码时，假定为c5位和c2位发生错误。
信道编码-线性分组码2
计算接收矢量 R 的伴随式 ST=HRT ； 根据伴随式和错误图样一一对应的关系，利用伴随式译码表， 由伴随式译出 R 的错误图样 E； 将接收字减错误图样，得发送码矢的估值 C’=R－E 。
增广：保持 n 不变，增加码字数目 k。 删信：保持 n 不变减小 k。
(3) 延长/Lengthening和缩短/Sportening
延长：同时增加 k 和 n。 缩短：同时减小 k 和 n。
2013/4/11
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9. 由已知码构造新码的方法
举例： (7,4,3) 汉明码的各种修正关系如图6.2.31所示。
[证明]：
(n,k) 线性码的标准阵列有 2k 列（和码矢矢量相等），2n/2k= 2n－k 行，且任何两列和两行都没有相同的元素。 陪集：标准阵列的每一行叫做码的一个陪集。 陪集首：每个陪集的第一个元素叫做陪集首。
每一列包含 2n－k 个元素，最上面的是一个码矢，其它元素是陪 集首和该码矢之和，例如第 j 列为 接下页
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2013/4/11
6. 线性分组码的译码
若发送码矢为 Cj，信道干扰的错误图样是陪集首，则接收矢量 R 必在 Dj 中； 若错误图样不是陪集首，则接收矢量 R不在 Dj 中，则译成其 它码字，造成错误译码； 当且仅当错误图样为陪集首时，译码才是正确的。 可纠正的错误图样：这 2n－k 个陪集首称为可纠正的错误图样。
2/41
第20讲—— 线性分组码编码与译码(2)
分组码的纠检错能力
若使一个(n,k)线性分组码的最小码距为d，其充要条 件是一致校验矩阵H中的任何d-1个列向量线性无关。 T H h0 , h1 , , h n1 若 cH 0 则 c C 即 c0h0 c1h1 cn1h n1 0 若d-1列线性无关，则至少d列线性相关，于是取使H中 d列线性相关的列的系数作为码字中对应的非零分量， 其余分量为0，则该码字至少有d个非零分量，故dmin=d
对偶码
从线性空间的零化空间的概念可知，如果一个矢量空间 的有两个子空间，其中一个子空间的每一个矢量都与另 一个子空间的每一个矢量正交，则称这两个子空间互为 正交空间，或互为零化空间，也叫作对偶空间。 由线性分组码的一致校验矩阵H和生成矩阵G的基本定义 可知，HGT=0，这说明H与G互为零化空间，而且分别为 n维线性空间Vn的r维和k维子空间。 如果H和G分别是码字C的校验矩阵和生成矩阵，则将 HD=G作为校验矩阵，GD=H作为生成矩阵，则可以产生 一个(n,n-k)线性分组码CD，称C和CD互为对偶码。
分组码的纠检错能力
定理1 线性分组码的最小码距等于非0码字的最小码重。 定理2 若使一个(n,k)线性分组码的最小码距为d，其充要条 件是一致校验矩阵H中的任何d-1个列向量线性无关。 任一个(n,k)线性分组码，若要纠正t位错误，其充要条 件是一致校验矩阵H中的任何2t个列向量线性无关。 使一个(n,k)线性分组码的最小码距d等于一致校验矩 阵H中和为0的最小列数。
增余汉明码与缩短码
在汉明码的基础上，再增加一位校验位，取它为所 有码元的模2加，这样使汉明码的最小码距dmin=4， 可以在纠一位错的同时检两位错，这种线性分组码 称为增余汉明码，也称为扩展汉明码。 一个系统码，可以通过将一些信息位设为0来缩短，称 其为原来码的缩短码，即(n,k)码可以将前l位置0，缩 短为(n-l,k-l)码。 缩短后码的最小距离至多和原码一样大。
线性分组码编码与译码
n
1
根据sT=HrT=HeT列出线性方程组（含有n-k个相互独立的
方程），通过求解线性方程得到e。
s0 e0h0,0 e1h0,1 e h n1 0,n1
s1 e0h1,0 e1h1,1 e h n1 1,n1
snk 1 e h0 nk 1,0 e h1 nk 1,1 e h n1 nk 1,n1
0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1
若信息码元m=[1101]，则有c= mG=[1101000]。
第19页，共33页。
译码准则
设发送码字为c=( c0,c1,……, cn-1)，由于信道干扰产生差错，反映 到接收码字上可以用一个二元矢量e表示，e=( e0,e1,……, en-1) ， 称为错误图样，其中，ei=1表明相应位有错，ei=0表明相应位 无错。这时接收码字可以表示为r=c+e=( c0+e0， c1+e1,……cn-1+en-1) 译码器就是从接收码字r得到发送码字的估计值，或者说从 接收码字中确定错误图样e，然后由c=r-e得到发送码字的估 计值。如果估计正确则译码正确，否则译码错误。
h0 h0,0
H
h1
h1,0
h
n
k
1
hnk 1,0
h0,1 h1,1
hnk 1,1
h0,n1
h1,n1
hnk
1,
n1
第11页，共33页。
一致校验矩阵
由对偶空间的定义知，有对任意的
cC
cHT 0
即H可以检验一个n重是否为码字，称H为码C的 一致校验矩阵。
h0 h0,0
一致校验矩阵编码 H 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1
8.3.4 线性分组码的编译码电路[共2页]
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第
8章 信道编码
275
表8-4 (7,4)码伴随式和错1位的错误图样对应关系 错 误 位
错误图样
E
e 6 e 5 e 4 e 3 e 2 e 1 e 0 伴随式S s 3 s 2 s 1 s 0 无错 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 e 6 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 e 5 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 e 4 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 e 3 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 e 2 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 e 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 e 0
0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 1
8.3.4 线性分组码的编译码电路
按照信息码元和监督码元之间的线性关系，可画出线性分组码的并行编码电路和串行编码电路，如图8-2所示。
图8-2 线性分组编码电路原理图
分组码的译码电路一般都比较复杂，这里仅给出一个框图，如图8-3所示。
它由3部分组成，分别是伴随式计算、S E →的转换及纠错电路C R E =+，都是由逻辑电路构成的。
【例8-1】 设某线性码的生成矩阵为110011011101
100101G ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，
（1）确定(,n k )码中的n ，k 值； （2）求典型生成矩阵G ； （3）求典型监督矩阵H ； （4）列出全部码组； （5）求min d ；
（6）列出错码图样表。
图8-3 线性分组码的译码框图。
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******************实践教学******************兰州理工大学计算机与通信学院2013年秋季学期计算机通信课程设计题目：线性分组码（7,3）码的编译码仿真设计专业班级：通信工程三班姓名：彭佳峰学号： 10250302 指导教师：彭铎成绩：摘要本课题是应用C语言对（7,3）线性分组码的编译码的软件设计。
主要做了一下几项工作：对三位正确的信息码进行编码；若输入的三位信息码有错，系统输出提醒，可以重新输入；对七位接收到的码字判断是否有错，并在无错和有一位错误时进行译码，在有多位错误时输出提醒，可以选择重新输入。
关键字：线性分组码编码译码 C语言目录前言 (1)1 基本原理 (2)1.1线性分组码的基本概念 (2)1.2差错控制原理 (2)1.3线性分组码的纠检错能力 (3)2线性分组码的编码 (4)2.1监督矩阵 (4)2.2生成矩阵 (5)3线性分组码的译码 (7)4设计与仿真 (9)4.1 C语言平台简介 (9)4.2整体流程图 (9)4.3编码流程图 (10)4.4译码流程图 (10)5 仿真结果及分析 (11)设计总结 (17)参考文献 (18)致谢 (19)附录 (20)前言近年来，随着计算机、卫星通信及高速数据网的飞速发展，数据的交换、处理和存储技术得到了广泛应用，人们对数据传输和存储系统的可靠性提出了越来越高的要求。
因此，如何控制差错、提高数据传输和存储的可靠性，成为现代数字通信系统设计工作者所面临的重要课题。
香农第二定理指出，当信息传输率低于信道容量时，通过某种编译码方法，就能使错误率为任意小。
差错控制编码在此定理指导下迅速发展起来，它使得传输数据本身带有规律性，利用规律性来减少错误。
线性分组码是差错控制编码的重要一种。
它的规律性在于局限在一个码组之内，编码后长为n的一个码组中含有k位信息元和n-k位监督元，监督元是随所传输的信息元而改变的。
接收端正式通过监督元和信息元之间的规律性来发现并纠正错误的。
1 基本原理1.1线性分组码的基本概念（1）线性分组码线性分组码是一组固定长度的码组，可表示（n，k），通常它用于前向纠错。
在分组码中，监督位被加到信息位之后，形成新的码。
在编码时，k个信息位被编为n位码组长度，而n-k个监督位的作用就是实现检错与纠错。
当分组码的信息码元与监督码元之间的关系为线性关系时，这种分组码就称为线性分组码。
对于长度为n的二进制线性分组码，它有2n种可能的码组2n，从码组中，可以选择M=个码组（k<n)组成一种码，称为许用码组。
这样，一个k比特信息的线性分组码可2k以映射到一个长度为n的码组上，该码组是从2kM=码组构成的码集中选出来的，这样剩下的码组就可以对个分组码进行检错或纠错。
（2）码重（汉明重量）把码组中非零位的数量定义为码重。
（3）码距（汉明距离）两个码组对应位上数字不同的个数称为码组的距离，简称码距。
原则是，让选择的这些码字的码距越长越好。
1.2差错控制原理将信息码分组，并为每个信息组附加若干监督的编码，称为“分组码”。
在分组码中，监督码元仅监督本组码中的信息码元。
分组码一般用符号（n）、（k）表示，其中k是每组码二进制信息码元的数目。
n是码组的总位数，又称为码组的长度。
r=n-k为每个码组中的监督码元数目，或称监督位数目。
k位二进制数构成的码组集合为2k种不同的码组，若2k组都为有用码组，其中任意码组出现错误都将变成另一码组，则接收端无法检测识别哪一组出错。
若只取部分码组为有用码组，则在传输过程中如接收端接收到的码组为非许用码组即禁用码组时，则可知传输错误。
以3位二进制数构成的码组为例，它有8种不同的可能组合，若将其全部用来表示天气，则可以表示8种不同天气，例如：000晴、001云、010阴、011雨、100血、101霜、110雾、111雹。
其中任一码组在传输中若发生一个或多个错误，则将变成另一个信息码组。
这时接收端无法发现错误。
若在上述8种码组中次序使用4种来传达天气，例如：000晴、011云、101阴、110雨。
这时，虽然只能传达4种不同天气，但是接收端却可能发现码组中的一个错码。
如000错码一位，则接收码组将变成100或011，这三种码组都为禁用码组，故接收端认为接收码错误。
要想能够纠正错误，需增加冗余度。
1.3线性分组码的纠检错能力最小码距与码的抗干扰能力之间的关系，通过证明（不给出详细的证明过程），可以得到如下的结论，具体如下：若一种码的最小距离为d 0，则它能检查传输差错个数（称为检错能力）e 应满足10+≥e d ；若一种码的最小距离为d 0，则它能纠正传输差错个数t 应满足120+≥t d ；若一种码的最小距离为d 0，则能检查e 个错误，同时又能纠正t 个一下错误的条件是()t e e d >+≥10。
2线性分组码的编码2.1监督矩阵（n,k)码中有n-k 个监督元，例如（7,3）码，以序列c c c c c c c 0123456表示码组，前面三位c c c 456为信息元。
监督元根据以下四个线性方程求得：c c c 463+=c c c c 4562++=c c c 561+=（2.1） c c c 450+=通常称这四个线性方程为（7,3）码的一致监督关系或一致监督方程组。
一致监督关系是从12827=个n 重矢量中挑选出来的，具有封闭性。
把这种结构形式的线将一致的监督方程组移动并记成矩阵形式：0346=++c c c 02456=+++c c c c 0156=++c c c 0045=++c c c或者记成以下形式：式中P 是()k k n ⨯-阶矩阵，I r 是r 阶单位方阵。
称具有这种子形式的H 矩阵为典型阵。
上式可以简写成：0==CH HC T T一致监督矩阵H 完全确定了线性分组码的规律性，找到了H 矩阵也就确定了线性分组码的构造。
2.2生成矩阵生成矩阵反映了信息元和监督元之间的直接关系。
对于上例，可将编码方程改写为：c c 66=c c 55=c c 44=c c c 463+= c c c c 4562++=c c c 561+=c c c 45+=式中称为（7,3）码的生成矩阵。
系统码的生成矩阵具有[]Q I k 的形式，称为典型生成矩阵。
通常，二进制（n,k)线性系统码的生成矩阵G 具有如下形式： G 矩阵的每行都是一个码字。
有了G 矩阵或H 矩阵，线性分组码的构造就确定了，根据C=IG ，就可计算出该码组的全部码元。
比较P 矩阵和Q 矩阵，便知Q P T =,或P Q T =。
这就是说，P 的第一行就是Q 的第一列，P 的第二行就是Q 的第二列...因此，H 一定，Q 也就确定，反之亦然。
3线性分组码的译码为了描述数据在传输信道中出现差错的情况，引入了错误图样的概念。
错误图样：错误图样是接收序列和发送序列之间的差，用E 表示。
在错误图样中，0表示对应位没有传错，1表示传输有错。
例如：发送序列[]0100101=C ,接收序列[]0110101=R ，则错误图样[]0010000=-=C R E 。
可见，在译码时，只要设法从R 中找到错误图样E ，就可恢复发送端发送的码字C ,E R C -=。
因此，译码的任务就是要找到E 。
首先，我们假定:发送码组为[]C C C C C C n n 01221...--=,接收码组为[]R R R R R R n n 01221...--=,错误图样[]E E E E E E n n 01221...--=。
若1=E i ，说明R i 与C i 不同，码字的C i 位发生了错误。
由于每个码字C 必须满足H 矩阵每行所确定的线性方程，因而收到R 后，可用H 矩阵检查，若等于0则认为是码字，没有错误；否则就认为R 不是码字，产生了错误。
定义:[]()EH EH CH H E C RH S S S S T T T T T r r =+=+===--021...，将EH T 称为接收向量R 的伴随式。
显然S 仅与错误图样有关，而与发送的码字无关。
若0=E ,则0=S ；若0≠E ，则0≠S 。
因此根据S 是否可为0可进行码字的检查。
假如接收码字R 中只有一位码元发送错误，又设错误在第i 为，即1=-E i n ，其它的均为0，则EH T 为H T 的第i 行，为H 的第i 列。
中有多位码元同时发生错误，设错误在i ，j ，...，i 位，即11====----E E E E n k n j n i n ，其余的0=E i ，同理可知：这说明S T 相当于H 矩阵的第i ，j，k ，...，1列的线性组合，假设这个线性组合为0，即伴随式序列()0...00=S ，则在接收端是不能判断出接收码组中R 中有错（此时的错误称不可检错误）。
假设这个线性组合恰好相当于H 矩阵的某一列，在接收端根据这个结果来纠错，则会做出错误的纠正；假设这个线性组合的结果与H 矩阵中的任一列都不相当，则根据这个结果只能检测出R 中有错，而不能进行纠正。
综上所述，一个（n,k)码要能纠正所有单个错，则由所有单个错误图样确定的S 均不相同且不等于0。
若要能纠正t ≤个错误，显然要求t ≤个错的所有可能组合的错误模式都必须有不同的伴随式与之对应。
4设计与仿真4.1 C语言平台简介C语言是Combined Language（组合语言）的中英混合简称。
是一种计算机程序设计语言。
它既具有高级语言的特点，又具有汇编语言的特点。
它可以作为工作系统设计语言，编写系统应用程序，也可以作为应用程序设计语言，编写不依赖计算机硬件的应用程序。
各类科研都需要用到C语言，具体应用比如单片机以及嵌入式系统开发。
其语言特点如下：（1）C是中级语言。
它把高级语言的基本结构和语句与低级语言的实用性结合起来。
C 语言可以像汇编语言一样对位、字节和地址进行操作，而这三者是计算机最基本的工作单元。
（2）C是结构式语言。
结构式语言的显著特点是代码及数据的分隔化，即程序的各个部分除了必要的信息交流外彼此独立。
这种结构化方式可使程序层次清晰，便于使用、维护以及调试。
C 语言是以函数形式提供给用户的，这些函数可方便的调用，并具有多种循环、条件语句控制程序流向，从而使程序完全结构化。
（3）C语言功能齐全。
具有各种各样的数据类型，并引入了指针概念，可使程序效率更高。
另外C语言也具有强大的图形功能，支持多种显示器和驱动器。
（4）C语言适用范围大。
适合于多种操作系统，如Windows、DOS、UNIX等等；也适用于多种机型。
（5）C语言对编写需要硬件进行操作的场合，明显优于其它解释型高级语言，有一些大型应用软件也是用C语言编写的。
4.2图4.1 整体流程图4.3编码流程图图4.2 编码流程图 4.4译码流程图5 仿真结果及分析(1)初始化界面设置图5.1 初始化界面的设置通过初始化界面，可以选择编码或者译码。