分解质因式
奥数——分解质因数
分解质因数★知识要点质因数：如果一个质数是某个数的约数，称这个质数为这个数的质因数。
分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来。
分解质因数的两种常用方法：直接分解法和短除法。
★例题精讲例1、将360分解质因数。
直接分解法：短除法：练习1、将10101分解质因数。
例2、将下列8个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等，应怎样分？26、39、46、57、85、95、119、161练习2、将12、14、18、45、77、105、175、275这8个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等，应怎样分？例3、要使975×935×972×（）这个乘积的最后四位数字为0，在括号内最小应填什么数？练习3、1×2×3×4×……×25的乘积的末尾有几个零？例4、已知a×（b+c）＝221，请将a,b,c分别换成一个质数，使等式成立。
练习4、某车间有216个零件，如果平均分成若干份，分得份数在5到20之间，那么有多少种分法？例5、下面算式中，不同的字母代表不同的数字。
求算式abc×c=1995。
练习5、有四个孩子，恰好一个比一个大１岁，他们的年龄相乘的积等于3024，问这四个孩子中年龄最大的是几岁？作业1、把77分解质因数：77＝( )。
2、把143分解质因数：143＝( )。
3、把1001分解质因数：1001＝( )。
4、把41041分解质因数：41041＝( )。
5、一个合数能分解成三个不同的质因数，这个合数最小是 ( )。
6、三个连续自然数的积是60，则这三个数分别是（），（），（）。
7、33×34×35×……×50的乘积的末尾有几个零？8、1×2×3×4×5×……×99×100，积的末尾有多少个零？9、一个两位数除310余37.这个数是多少？10、要使486×135×1925×□的结果的最后五位都是零，□中最小填( )。
详解分解质因数-学生课程PPT
【例3】在1×2×3×4×5×…×200的末尾，连续有多少个零？
解析：1~200以内含有的质因数中2的个数一定比5的多，所以我们只 需要看5的个数就可以了（2×5=10）。
含有因数5的数字有：200÷5=40（个） 25含有因数5两个：200÷25=8（个）
125含有因数5三个：200÷125=1（个）······75 40+8+1=49（个） 答：末尾连续有49个0。
50=2×5×5
二： 44 21 15 60
答：两组数字分别为：22、42、50、18及44、21、15、 60此时乘积相等。
举一反三： 5、将21、30、65、126、143、169、275分成两组，使两组数的积相等。
21=3×7
30=2×3×5 65=5×13 126=2×3×3×7
143=11×13 169=13×13 275=5×5×11
作业：
举一反三
2、爷孙两人今年的年龄的乘积是693，4年前他们的年龄都是质数。爷孙两人今年的 年龄各是多少岁？ 3、在1×2×3×4×5×…×2013的末尾，连续有多少个零？
熟能生巧
1、一个长方体，它的长、宽、高是三个连续的自然数，且体积是39270立方厘米， 求这个长方体的表面积。 4、小青去看电影，他买的票的排数与座位号数的积是391，而且排数比坐位号数大6， 问小青买的电影票是几排几座？ 5、把一批图书分给三个班，每个班所得的本数一班比一班多3本，且各班所得图书 的乘积为910，问三个班各得多少本？
一： 16 9
275 126
二： 143 65
30
分解质因数100道题五年级
分解质因数100道题五年级1. 将24分解质因数。
24 = 2 × 2 × 2 × 3。
2. 将36分解质因数。
36 = 2 × 2 × 3 × 3。
3. 将75分解质因数。
75 = 3 × 5 × 5。
4. 将60分解质因数。
60 = 2 × 2 × 3 × 5。
5. 将98分解质因数。
98 = 2 × 7 × 7。
6. 将64分解质因数。
64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2。
7. 将40分解质因数。
40 = 2 × 2 × 2 × 5。
8. 将54分解质因数。
54 = 2 × 3 × 3 × 3。
9. 将86分解质因数。
86 = 2 × 43。
10. 将120分解质因数。
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5。
11. 将77分解质因数。
77 = 7 × 11。
12. 将90分解质因数。
90 = 2 × 3 × 3 × 5。
13. 将105分解质因数。
105 = 3 × 5 × 7。
14. 将48分解质因数。
48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3。
15. 将63分解质因数。
63 = 3 × 3 × 7。
16. 将72分解质因数。
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3。
17. 将81分解质因数。
81 = 3 × 3 × 3 × 3。
18. 将66分解质因数。
66 = 2 × 3 × 11。
分解质因数
1.什么叫分解质因数？答：把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如： 24=2 × 2 × 2 × 3， 75=3 × 5 × 5 。
2.怎样分解质因数？答：把一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止（短除法）。
3.分解质因数的目的？答：一是为了研究已知数与未知数之间的关系，从而使某些问题得到解决；二是为求最大公约数、最小公倍数服务。
【例1】有4名同学参加夏令营，他们的年龄恰好一个比一个大1岁。
且知他们年龄的乘积是17160，你知道他们分别是多少岁呢？解析：17160=2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 11 × 13=10 × 11 × 12 × 13【练习1】三个连续奇数的乘积是1287，则这三个数的和是多少？解析：1287=3 × 3 × 11 × 13=9 × 11 × 13 9+11+13=33【例2】三个质数的和是38 ，求这三个质数的乘积最大值是多少？解析：奇+奇+偶=偶必有质数2，剩余两数和为36，则各自为 17和19【练习2】两个质数的和是 2001 ，这两个质数的乘积是多少？解析：同理【例3】把 7、 14、 20、 21、 28、 30 这六个数分成两组，每组三个数相乘，使他们的积相等应该如何分？解析：将每个数分解质因数，然后将质因数个数均分。
【练习3 】将 21、30、65、126、143、169、275 分成两组，使两组数的积相等。
解析：同理【例题4】在1 × 2 × 3 × 4 × 5 ×…× 200 的末尾，连续有多少个零？解析：一个质因数2 和一个质因数 5 相乘会使末尾产生一个0，质因数2的个数显然比质因数5的个数多，质因数的5的个数的确定：200 ÷ 5=40 200 ÷ 25=8 200 ÷ 125=1...75 所以有 40+8+1=49 个5 ，因此有49 个0末尾。
分解质因数的方法
分解质因数的方法
质因数分解是将一个数分解为几个质数相乘的形式。
下面给出分解质因数的方法步骤：
1. 首先，我们从最小的质数开始，即2开始尝试能否整除给定的数。
2. 如果能够整除，则整除后的商作为新的数，继续用2去尝试能否整除。
3. 如果不能整除，则尝试下一个比当前数大的质数。
4. 重复以上步骤，直到商等于1为止。
5. 将每次成功整除的质数写成连乘的形式，即为该数的质因数分解。
举个例子，对于数字30的质因数分解，可以按照上述步骤依次尝试2、3、5，得到30=2×3×5。
通过以上步骤，就可以得到任意数的质因数分解形式。
分解质因数要点
分解质因数要点：
1.质因数：把合数用质数相乘的形式表示出来，其中每个质数
都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。
2.分解质因数：把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做
分解质因数。
3.判断质数的方法：（1）查表法，（2）试除法。
判断一个自然
数是不是质数可以用所有比它小的质数从小到大依次去除它，除到商数比除数小还是除不尽，它就是质数，否则不是质数。
判断100以内的数是不是质数，只需用2，3，5，7这四个质数去试除，如果没有一个能整除它，这个数一定是质数，否则不是质数。
判断200以内的数是不是质数，只需用2，3，5，7，11，13这六个数去试除，如果没有一个能整除它，这个数一定是质数，否则不是质数。
判断500以内的数是不是质数，要依次用2，3，5，7，11，···，23试除。
4.判断互质数的技巧：
（1）两个质数互质，（2）两个连续自然数互质，（3）1和任何自然数互质，（4）2和任何奇数互质，（5）自然数a
和b ，若a＞b,且a是质数，则a与b互质，（6）自然
数a和b，若a＞b，且b是质数，a不是b的倍数，则
a与b互质，（7）两个连续的奇数互质。
5.求因数个数的技巧：
一个大于1的整数的因数的个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（指数）加1的连乘积。
100以内的质数表
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97.。
分解质因数(优秀6篇)
分解质因数(优秀6篇)分解质因数篇一教学目标(一)理解质因数、的意义。
(二)会把一个合数，掌握用短除式。
(三)培养学生观察分析，概括的能力。
教学重点和难点(一)质因数与的意义。
(二)用短除式。
教学用具投影片。
教学过程设计(一)复习准备1.请说出1～12这些数中的质数和合数。
(投影片)学生口答后，投影出示答案：①2，3，5，7，11是质数；②4，6，8，9，10，12是合数。
2.说一说质数与合数的区别？3.请想一想，第1题答案中的两组数，哪一组数能分成比它本身小的两个数相乘的形式？哪一组不能？为什么？学生口答后，老师指出：像这样的数，即合数，因为它们除了1和本身外，还有别的约数，所以都可以用几个比本身小的数相乘的形式表示出来。
这节课就来研究要求连乘式子里的因数都是质数的情况。
(二)学习新课1.质因数的意义，分别质因数的意义和方法。
(1)板书例3 6，28和60可以写成哪几个质数相乘的形式？教师板书出6，学生口答后，老师再用塔式分解式写出2，3，圈上。
教师：用算式如何表示，学生口答后老师板书；6=2×3。
教师板书出28，学生口答后，老师按塔式分解式写出：4，7，7是质数，圈上。
问：4老师为什么没圈？(4不是质数，继续分解。
)板书；2，2，圈上。
请用算式表示。
板书；28=2×2×7。
教师：请用上面的方法把60分成几个质数相乘的形式。
老师巡视中请一位同学板书出塔式分解式和算式。
(如下)(2)教师：请观察，(指塔式分解式和算式)每个合数都写成什么形式？(每个合数都写成了几个质数相乘的形式。
)教师：这些质数，在式子里与原来的合数是什么关系？(这些质数都是原来合数的因数。
) 教师：像这样，把一个合数写成几个质因数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。
板书：质因数。
教师：请说一说什么是质因数。
请说一说上面三个算式中谁是谁的质因数。
针对学生口答，老师说明：讲质因数时，要说出这个质数是哪个合数的质因数，不能单独说一个数是质因数。
分解质因素
分解质因数分解质因数就是把一个合数用质因数相乘的形式表示出来。
有许多数学题用分解质因数的方法能够很快的找到答案。
这方面的应用也非常广泛。
【例1】计算119＋993×17[分析]通过观察式子可知，把119分解质因数，119=7×17，这样两个加数中均含有质因数17，可把公约数提取出来，使计算简便。
[解]119＋993×17=7×17+993×17=17×（7＋993）=17×1000=17000点评今后我们可以自觉、灵活、合理地运用分解质因数的方法，使计算更简便，提高正确率。
【例2】将33、26、65、34、51、55这六个数分成两组，每组3个数，且每组3个数的乘积相等。
[分析]先把六个数分别分解质因数，然后把相同的质因数分摊到两个组中，使每组数中含有的质因数相同，两组数的乘积才能相等。
[解]33=3×11 26=2×1365=5×13 34=2×1751=3×17 55=5×11从上面的分解质因数来看，共有2个2，2个3，2个5，2个11，2个13，2个17。
将这些质因数平均分配到两个组，每组中含有：2、3、5、7、13、17、19、23。
第一组是：33、34、65。
第二组是：51、26、55。
点评合理地运用分解质因数的方法，可以把问题化繁为简，化难为易。
【例3】小宋是锡师附小五年级学生，他参加省小数报竞赛取得比较好的成绩。
已知他的名次、年龄和所得分数的乘积是2328。
请你算一下他的名次、年龄和得分是多少？[分析]既然2328是三个数的乘积，那么就把2328分解质因数：2328=2×2×2×3×97。
小宋是五年级学生，不可能是2岁、3岁，也不可能是（2×2）岁、（2×2×2）岁、（2×3）岁，因此可以肯定小宋是（2×2×3）=12岁，得了第2名，成绩为97分。
分解质因数的含义
分解质因数的含义1. 你知道啥是分解质因数吗？就好比把一个大拼图拆成一个个单独的小块！比如说 12，咱们把它分解质因数，不就像把 12 这个大拼图拆成 2、2、3 这些小块嘛，这多神奇呀！2. 分解质因数到底是啥意思呢？这不就像是把一个复杂的密码破解成简单的数字组合嘛！像 18 分解质因数，得到 2、3、3，是不是有种解开谜题的快感？3. 你难道不想搞清楚分解质因数的含义？这其实就跟把一堆乱麻的线一根根理顺一样！比如说 20，分解质因数成 2、2、5，是不是瞬间清晰了？4. 分解质因数有这么难理解吗？其实它就像把一座大房子拆成一块块砖头！比如 28，分解质因数为 2、2、7，是不是很简单？5. 还不明白分解质因数的意思？这简直就是把一个大蛋糕切成小块分给大家嘛！像 30 分解质因数成 2、3、5，是不是很形象？6. 分解质因数到底意味着啥？这不就像把一群人按照特点分类一样嘛！比如说 36，分解质因数是 2、2、3、3，是不是很清晰明了？7. 难道分解质因数的含义这么难悟透？这其实就跟把一首复杂的歌拆解成一个个简单的音符！像 42，分解质因数为 2、3、7，是不是很有趣？8. 还搞不懂分解质因数？这就好比把一本厚书拆成一篇篇短文！比如 48，分解质因数成 2、2、2、2、3，是不是一下子简单多了？9. 分解质因数的含义真的那么神秘吗？这其实就像把一个大团队分成一个个小组！像 50，分解质因数是 2、5、5，是不是很好理解？10. 你就不想知道分解质因数是啥？这就跟把一个大花园里的花按种类分开！比如说 56，分解质因数为 2、2、2、7，是不是一目了然？11. 分解质因数到底有啥玄机？这不就像是把一个大机器拆成一个个小零件！像 60，分解质因数成 2、2、3、5，是不是很奇妙？12. 还在为分解质因数的含义头疼？这简直就是把一场盛大的聚会按照关系分组！比如 66，分解质因数是 2、3、11，是不是一下子清楚了？13. 分解质因数的意思真的这么难懂？这其实就跟把一幅巨画分解成一个个色彩块！像 72，分解质因数为 2、2、2、3、3，是不是很有意思？14. 难道还没搞清楚分解质因数？这就好比把一个大果园里的水果按品种分开！比如说 78，分解质因数为 2、3、13，是不是很容易？15. 分解质因数的含义真这么复杂？这其实就像把一场精彩的表演拆分成一个个节目！像 80，分解质因数成 2、2、2、2、5，是不是很简单？16. 还不明白分解质因数？这简直就是把一个大合唱团分成一个个声部！比如 84，分解质因数为 2、2、3、7，是不是很清晰？17. 分解质因数到底是怎么回事？这不就像是把一个大超市的商品按类别摆放！像 90，分解质因数是 2、3、3、5，是不是一下子就明白了？18. 难道分解质因数的意思还不清晰？这其实就跟把一个大拼图按照图案拆分！比如说 96，分解质因数为 2、2、2、2、2、3，是不是很有趣？19. 还没领悟分解质因数的含义？这就好比把一个大书架上的书按类别整理！像 100，分解质因数成 2、2、5、5，是不是很轻松？20. 分解质因数的意思真就这么难搞懂？这其实就像把一个大乐团的乐器按种类分开！比如 102，分解质因数是 2、3、17，是不是一下子就懂了？。
数的质因数分解
数的质因数分解质因数分解是指将一个正整数表示为几个质数的乘积形式。
在数论中，质数是只能被1和自身整除的自然数，而合数是至少有一个大于1且小于自身的因数的自然数。
质因数分解是数学中重要且基础的概念，它在因式分解、最小公倍数、约数等问题的求解中起着关键的作用。
本文将详细介绍数的质因数分解的原理和方法。
一、质因数分解的原理质因数分解的原理基于唯一分解定理，即每一个大于1的自然数都可以唯一地表示为一系列质数的乘积形式。
根据这个定理，任何一个合数都可以分解为若干个质数的乘积，质数的个数可能是1个或多个。
例如，合数18可以分解为2×3×3，其中2和3都是质数。
二、质因数分解的方法1.试除法试除法是最常见也是最简单的质因数分解方法。
它的基本思想是从最小的质数2开始，依次试除给定的整数，如果能整除则继续除以该质数，直到不能整除为止。
然后再用下一个质数试除，直到得到质因数分解的结果。
例如，对于数60，我们可以用试除法进行质因数分解：60 ÷ 2 = 3030 ÷ 2 = 1515 ÷ 3 = 5最终得到60的质因数分解为2×2×3×5。
2.分解质因数法分解质因数法是另一种常用的质因数分解方法。
它的基本思路是先找到一个质因数，然后将原数除以这个质因数并继续分解商，直到商为1为止。
例如，对于数36，我们可以用分解质因数法进行质因数分解：36 ÷ 2 = 1818 ÷ 2 = 99 ÷ 3 = 33 ÷ 3 = 1最终得到36的质因数分解为2×2×3×3。
三、质因数分解的应用1.最小公倍数和最大公约数质因数分解在求解最小公倍数和最大公约数时非常有用。
最小公倍数是指两个数中包含了它们的所有质因数的整数的乘积，而最大公约数是指两个数中公共的质因数的乘积。
通过将两个数进行质因数分解，我们可以很方便地求得它们的最小公倍数和最大公约数。
分解质因数指数公式
分解质因数指数公式
（最新版）
目录
1.分解质因数指数公式的定义与意义
2.分解质因数的方法
3.质因数指数公式的推导过程
4.质因数指数公式的应用实例
5.总结
正文
1.分解质因数指数公式的定义与意义
分解质因数指数公式是一种数学公式，用于将一个正整数分解为若干个质数的乘积，同时给出每个质数出现的次数。
这种表示方法可以更加简洁地描述一个正整数的质因数分解结果，有助于我们更好地理解数的性质和进行数学运算。
2.分解质因数的方法
分解质因数是指将一个正整数分解为若干个质数的乘积。
常见的分解质因数方法有短除法、辗转相除法等。
分解质因数的过程可以帮助我们找出一个数的内在结构，为后续的数学运算打下基础。
3.质因数指数公式的推导过程
质因数指数公式的推导过程相对简单。
假设我们有一个正整数 n，它的质因数分解结果为 p1^a1 * p2^a2 *...* pm^am，其中 pi 为质数，ai 为该质数出现的次数。
我们可以将这个分解式重新写成 n = p1^a1 * p2^a2 *...* pm^am 的形式，这就是质因数指数公式。
4.质因数指数公式的应用实例
质因数指数公式在数论研究中有广泛的应用。
例如，在计算两个数的最大公约数和最小公倍数时，我们需要用到质因数分解。
通过质因数指数公式，我们可以更加清晰地表示这两个数的质因数分解结果，从而方便地进行计算。
5.总结
分解质因数指数公式是一种描述正整数质因数分解结果的简洁方法。
通过掌握分解质因数的方法，我们可以轻松地推导出质因数指数公式，并将其应用于各种数学运算中。
分解质因数
中级奥数教程分解质因数【知识要点和基本方法】1．质因数和分解质因数（1）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数（2）把一个合数用质因数相乘表示，叫做分解质因数，如把12分解质因数得12＝2×2×3＝22×3，这时并称2和3是12的质因数。
（3）算术基本定理：任何大于1的整数都能表示成质数的乘积(4)如果把相同的质因数合并为它的幂，则任一大于1的整数N只能唯一地表成：N=p1r1 .p1r2 ......p n rn .（其中质数p1 < p2< p3<.....< p n, r1,，r2。
，r n是正整数，它们分别是p1,，p2。
，p n的指数），则上式称为N的标准分解式。
（5）质数与互质的区别：质数是指约数只有1和它本身的自然数；而两个数的公约数只有1时，这样两个数的关系称为互质。
（6）分解质因数的方法主要是短除法，（在小学阶段）：譬如分解675这个合数，试除时一般从最小质数开始所以，675＝33×522、合数的约数个数与合数的约数和以前的例子为例可知：（1）675的约数有1、2、5、9、15、27、45、75、135、225、675共12个，而675的质因数分解式为：675＝33×52其中指数3时质因数3的个数，指数2时质因数5的个数，那么675的约数的个数12，恰好时各个质因数指数加1的和的乘积：（3+1）×（2+1）＝12（2）675的12个约数之和：1+3+5+9+15+25+27+45+75+135+225+675＝1240但由于675的质因数分解式为675＝33×52，那么675的所有约数之和与675的质因数3和5的方幂恰好有如下关系：1240＝（1+3+32+33）×（1+5+52）＝40×31＝1240我们再举一个例子，比如18000＝24×32×53，不妨我们自己验证一下：（1）合数18000的所有约数的个数为：（4+1）×（2+1）×（3+1）＝60个（2）合数18000的所有约数和为：（1+2+22+23+24）×（1+3+32）×（1+5+52+53）＝31×13×156＝62868当然，这不是偶然的，我们可以总结出求一个合数的所有约数的个数和所有约数和有如下结论。
分解质因数法
分解质因数法
分解质因数的四种方法是：1、相乘法；2、短除法；3、因式分解法；4、提取公因式法。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
如30=2×3×5 。
分解质因数只针对合数。
1、相乘法：
译成几个质数相加的形式（这些不重复的质数即为为质因数），实际运算时可以使用逐步水解的方式。
如：36=2*2*3*3 运算时可逐步分解写成36=4*9=2*2*3*3或3*12=3*2*2*3
2、长乘法：
从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。
分解质因数的算式的叫短除法。
3、因式分解法：
数学中用以求解高次一元方程的一种方法。
把方程的一侧的数（包括未知数），通过移动使其值化成0，把方程的另一侧各项化成若干因式的乘积，然后分别令各因式等于0而求出其解的方法叫因式分解法。
4、抽取公因式法：
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
第九讲分解质因数
第九讲 分解质因数质数：一个大于1的数除了1和它背身之外，没有别的因数，这个数就做质数，也叫做素数。
合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的因数，这个数叫做合数。
质因数：如果某个质数是某个数的因数，那么这个质数就是这个数的质因数。
分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
通常用短除法分解质因数。
任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式：N=11y a ×22y a ×33y a ×......×n yn a ，其中1a 、2a 、3a 、4a 、......n a ，都是合数N 的质因数，且1a <2a <3a <4a <......<n a 。
求因数个数的公式：P=)1()1()1()1(321+⨯⨯+⨯+⨯+n y y y y 。
例一：求135因数的个数。
分析：首先对l35分解质因数： 3 1353 45 3 155所以l35=3×3×3×5。
其次，把l35的质因数作各种乘积的组合：(1)一个质因数构成的因数有：3、5，共2个；(2)两个质因数构成的因数有：3×3、3×5，共2个；(3)三个质因数构成的因数有：3×3×3、3×3×5，共2个；(4)四个质因数构成的因数有：3×3×3×5，只有1个；(5)单位1。
合计共有因数：2+2+2+1+1=8(个)也可以：l35=1×135 135=3×45 135=5×27 135=9×15或可由135=33×5，套用求因数的个数公式：P=(3+1)×(1+1)=8(个) 因此：135的因数共有8个，分别是：l ，3，5，9，15，27，45，135。
练习一1．写出852的所有因数。
小学数学——分解质因数
小学数学——分解质因数在自然数中，一个数除1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数．例如2，3，5，7，11，……都是质数．一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数．例如4，6，8，9，12，……都是合数．1既不是质数，也不是合数．这样，自然数在按约数个数分类，可以分成：质数、合数和1．偶数中只有2是质数，而且是所有质数中最小的一个．除2以外所有的偶数都是合数，除2以外所有的质数都是奇数．每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就叫做这个合数的质因数．例如，因为70=2×5×7，所以2，5，7是70的质因数．把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数．例如，60=2×2×3×5=22×3×5，把60这个合数用2×2×3×5或22×3×5的形式来表示，就是把60分解质因数．例1两个质数的积是46，求这两个质数的和．分析：两个质数的积是46，46是偶数，只能是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，因此很容易得出另外的质数，从而问题得以解决．解：因为46是偶数，因此它必是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，另一质数46÷2=23，所以2与23的和为25．例2用2，3，4，5中的三个数能组成哪些三位质数？分析：首先考虑个位数字是几，如果个位数字是2或4，这样的三位数必能被2整除，因此这样的三位数不会是质数，如果个位数字是5，这样的三位数必能被5整除，这样的三位数也不会是质数，所以个位数字只能是3，再由剩下的三个数字组成百位、十位，得出个位数字是3的三位数为：243，423，253，523，453，543，最后根据质数的判断方法，得到所求的质数．解：如果组成的三位数的个位数字是2、4、5时，这个数必能被2或5整除，因此个位数字只能是3，而个位数字是3的三位数有243，423，253，523，453，543，其中243，423，453，543均能被3整除，253能被11整除，所以只有523是质数．质数的判断方法是，当一个数比较小时，用定义直接判断，但这个数比较大时，通常采用查质数表，最好记住100以内的所有质数．在没有质数表的情况下，可以用质数从小到大的顺序逐个地去试除．如果能被其中某一个质数整除，就说明这个数是合数，如果除到商已比试除的质数小，还不能被这些质数中的任何一个整除，那么这个数一定是质数．例如，判断100以内的数是否是质数，只需用2、3、5、7这四个质数去试除，如果没有一个能整除它，这个数一定是质数，否则不是质数．判断97是不是质数，因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，因此97是质数．为什么不必去试除比97小的所有的质数呢？因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，它就一定不能被4，6，8，9，10等数（分别为2，3，5的倍数）整除，又因为，如果用11或大于11的质数去试除，97÷11=8…9，97÷13=7…6，其商为8、7，比除数还小，都已试除过，因此判断100以内的数是否是质数只需用2，3，5，7去试除．判断200以内的数是否是质数，只需用2，3，5，7，11，13，17这七个质数去试除；判断300以内的质数，只需用2到17这七个质数去试除；判断400以内的质数，只需用20以内的八个质数与去试除；判断500以内的质数，只需2到23的质数去试除．其余可用类似的方法推出，你可以思考一下1000以内的质数如何判断？例3将40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等．分析：如果采用观察、计算调整的方法是比较麻烦的．要使两组数的乘积相等，只有两组数中的质因数相同，而且质因数的个数也相同，就可以了，所以从这八个数分解质因数入手，根据各质因数的个数，进行适当的搭配，便能找出问题的答案．解：将八个数分解成质因数：40=23×5 44=22×1145=32×5 63=32×765=5×1378=2×3×1399=32×11105=3×5×7这八个数分解质因数后一共有6个2，8个3，4个5，2个7，2个11，2个13．因此，这八个数被分成两组后，每一组应含有3个2，4个3，2个5，1个7，1个11，1个13，这样可以得到两组分别为：40，63，65，99和44，45，78，105．例4 360有多少个约数？分析：如果先求360的所有约数，再数出它们的个数，显然比较麻烦．为此，先将360分解质因数：360=23×32×5，360的任意一个约数均由若干个2或3或5组成，我们将360的所有约数列成下面的数阵：12222332×322×323×3322×32 22×3223×3252×522×523×53×52×3×522×3×523×3×532×52×32×522×32×5 23×32×5这个数阵共6行，每行4个约数，所以360共有4×6=24个，而24=（3+1）×（2+1）×（1+1），这里3，2，1恰好是360分解质数式子中2，3，5的个数，从而得到下面关于约数个数的一个重要结论：一个大于1的整数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加1的连乘积．用数字式子表示为：如果A分解质因数为：则A的全体约数的个数为：（r1+1）×（r2+1）×…×（r n+1）例5有30个约数的最小自然数是多少？分析：设所求的数为A，则A有30个约数，因为30=30×1=2×15=6×5=10×3=2×3×5，要使A最小，一般使A的质因数的幂指数尽可能小，质因数的个数尽可能少，所以A必为下列形式：其中a1，a2，a3为互不相同的质数．要使A最小，a1，a2，a3尽可能小，显然a3=2，a2=3，a1=5，这样A=24×32×5=720解：因为30=30×1=2×15=6×5=10×3=2×3×5，而且题中要求a2、a3为互不相等的质数，为了使A最小，a3=2，a2=3，a1=5，所以A=24×32×5=720．例6九个连续自然数中至多有四个质数，例如1至9中有2、3、5、7四个质数．请在200以内再找出五组这样的质数．分析：9个连续自然数中至多有5个奇数．在两位数中，个位是5的数必能被5整除，而且三个连续的奇数必有一个能被3整除，所以只有当个位数字为5的两位数又能被3整除时，其余的四个奇数才有可能是质数．当找到一组这样的两位以上的质数时，另一组与这组对应的数的差必定是30的倍数．按照上述办法找出后，再根据质数的判断方法去筛选就可得出结果．首先容易得出3，5，7，11；5，7，11，13；在两位数中，按照上面的方法可得出以下各组数：11，13，15，17，19；41，43，45，47，49；71，73，75，77，79；101，103，105，107，109；131，133，135，137，139；161，163，165，167，169；191，193，195，197，199；根据质数的判断方法可以得出两位数中还有11，13，17，19；101，103，107，109；191，193，197，199这三组符合条件．解：200以内另外五组这样的质数为：3，5，7，11；5，7，11，13；11，13，17，19；101，103，107，109；191，193，197，199．。
分解质因数
分解质因数自然数中任何一个合数都可以表示成若干个质因数乘积的形式，如果不考虑因数的顺序，那么这个表示形式是唯一的。
把合数表示为质因数乘积的形式叫做分解质因数。
例如，60=22×3×5，1998=2×33×37。
例1 一个正方体的体积是13824厘米3，它的表面积是多少？分析与解：正方体的体积是“棱长×棱长×棱长”，现在已知正方体的体积是13824厘米3，若能把13824写成三个相同的数相乘，则可求出棱长。
为此，我们先将13824分解质因数：把这些因数分成三组，使每组因数之积相等，得13824=（23×3）×（23×3）×（23×3），于是，得到棱长是23×3=24（厘米）。
所求表面积是24×24×6=3456（厘米2）。
例2 学区举行团体操表演，有1430名学生参加，分成人数相等的若干队，要求每队人数在100至200之间，共有几种分法？分析与解：按题意，每队人数×队数=1430，每队人数在100至200之间，所以问题相当于求1430有多少个在100至200之间的约数。
为此，先把1430分解质因数，得1430＝2×5×11×13。
从这四个质数中选若干个，使其乘积在100到200之间，这是每队人数，其余的质因数之积便是队数。
2×5×11=110，13；2×5×13=130，11；11×13=143，2×5=10。
所以共有三种分法，即分成13队，每队110人；分成11队，每队130人；分成10队，每队143人。
例3 1×2×3×…×40能否被90909整除？分析与解：首先将90909分解质因数，得90909=33×7×13×37。
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第11讲分解质因数自然数中任何一个合数都可以表示成若干个质因数乘积的形式，如果不考虑因数的顺序，那么这个表示形式是唯一的。
把合数表示为质因数乘积的形式叫做分解质因数。
例如，60=22×3×5， 1998=2×33×37。
例1 一个正方体的体积是13824厘米3，它的表面积是多少？分析与解：正方体的体积是“棱长×棱长×棱长”，现在已知正方体的体积是13824厘米3，若能把13824写成三个相同的数相乘，则可求出棱长。
为此，我们先将13824分解质因数：把这些因数分成三组，使每组因数之积相等，得13824=（23×3）×（23×3）×（23×3），于是，得到棱长是23×3=24（厘米）。
所求表面积是24×24×6=3456（厘米2）。
例2 学区举行团体操表演，有1430名学生参加，分成人数相等的若干队，要求每队人数在100至200之间，共有几种分法？分析与解：按题意，每队人数×队数=1430，每队人数在100至200之间，所以问题相当于求1430有多少个在100至200之间的约数。
为此，先把1430分解质因数，得1430＝2×5×11×13。
从这四个质数中选若干个，使其乘积在100到200之间，这是每队人数，其余的质因数之积便是队数。
2×5×11=110，13；2×5×13=130，11；11×13=143，2×5=10。
所以共有三种分法，即分成13队，每队110人；分成11队，每队130人；分成10队，每队143人。
例3 1×2×3×…×40能否被90909整除？分析与解：首先将90909分解质因数，得 90909=33×7×13×37。
因为33（=27），7，13，37都在1～40中，所以1×2×3×…×40能被90909整除。
例4 求72有多少个不同的约数。
分析与解：将72分解质因数得到72=23×32。
根据72的约数含有2和3的个数，可将72的约数列表如下：上表中，第三、四行的数字分别是第二行对应数字乘以3和32，第三、四、五列的数字分别是第二列对应数字乘以2，22和23。
对比72=23×32，72的任何一个约数至多有两个不同质因数：2和3。
因为72有3个质因数2，所以在某一个约数的质因数中，2可能不出现或出现1次、出现2次、出现3次，这就有4种情况；同理，因为72有两个质因数3，所以3可能不出现或出现1次、出现2次，共有3种情况。
根据乘法原理，72的不同约数共有4×3=12（个）。
从例4可以归纳出求自然数N的所有不同约数的个数的方法：一个大于1的自然数N的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加1的连乘积。
例如，2352=24×3×72，因为2352的质因数分解式中有4个2，1个3，2个7，所以2352的不同约数有（4+1）×（1+1）×（2+1）=30（个）；又如，9450=2×33×52×7，所以9450的不同的约数有（1+1）×（3+1）×（2+1）×（1+1）=48（个）。
例5 试求不大于50的所有约数个数为6的自然数。
分析与解：这是求一个数的约数个数的逆问题，因此解题方法正好与例4相反。
因为这个数有六个约数，6=5+1=（2+1）×（1+1），所以，当这个数只有一个质因数a时，这个数是a5；当这个数有两个质因数a和b时，这个数是a2×b。
因为这个数不大于50，所以对于a5，只有a=2，即25=32；对于a2×b，经试算得到，22×3=12，22×5=20，22×7=28，22×11=44，32×2=18，32×5=45，52×2=50。
所以满足题意的数有八个：32，12，20，28，44，18，45，50。
练习111.一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209分米2，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少立方分米？2.爷孙两人今年的年龄的乘积是693，4年前他们的年龄都是质数。
爷孙两人今年的年龄各是多少岁？3.某车间有216个零件，如果平均分成若干份，分的份数在5至20之间，那么有多少种分法？4.小英参加小学数学竞赛，她说：“我得的成绩和我的岁数以及我得的名次乘起来是3916，满分是100分。
”能否知道小英的年龄、考试成绩及名次？5.举例回答下面各问题：（1）两个质数的和仍是质数吗？（2）两个质数的积能是质数吗？（3）两个合数的和仍是合数吗？（4）两个合数的差（大数减小数）仍是合数吗？（5）一个质数与一个合数的和是质数还是合数？6.求不大于100的约数最多的自然数。
7.同学们去射箭，规定每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶）或者是不超过10的自然数。
甲、乙两同学各射5箭，每人得到的总环数之积刚好都是1764，但是甲的总环数比乙少4环。
求甲、乙各自的总环数。
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[编辑本段]例题例如，从A城到B城中间必须经过C城，从A城到C城共有3条路线(设为a，b，c)，从C 城到B城共有2条路线(设为m，t)，那么，从A城到B城共有3×2=6条路线，它们是：am，at，bm，bt，cm，ct．下面我们通过一些例子来说明这两个原理在计数中的应用．例1 利用数字1，2，3，4，5共可组成(1)多少个数字不重复的三位数？(2)多少个数字不重复的三位偶数？(3)多少个数字不重复的偶数？解(1)百位数有5种选择；十位数有4种选择；个位数有3种选择．所以共有5×4×3=60个数字不重复的三位数．(2)先选个位数，共有两种选择：2或4．在个位数选定后，十位数还有4种选择；百位数有3种选择．所以共有2×4×3=24个数字不重复的三位偶数．(3)分为5种情况：一位偶数，只有两个：2和4．二位偶数，共有8个：12，32，42，52，14，24，34，54．三位偶数由上述(2)中求得为24个．四位偶数共有2×(4×3×2)=48个．括号外面的2表示个位数有2种选择(2或4)．五位偶数共有2×(4×3×2×1)=48个．由加法原理，偶数的个数共有2+8+24+48+48=130．例2 从1到300的自然数中，完全不含有数字3的有多少个？解法1 将符合要求的自然数分为以下三类：(1)一位数，有1，2，4，5，6，7，8，9共8个．(2)二位数，在十位上出现的数字有1，2，4，5，6，7，8，98种情形，在个位上出现的数字除以上八个数字外还有0，共9种情形，故二位数有8×9=72个．(3)三位数，在百位上出现的数字有1，2两种情形，在十位、个位上出现的数字则有0，1，2，4，5，6，7，8，9九种情形，故三位数有2×9×9=162个．因此，从1到300的自然数中完全不含数字3的共有8+72+162=242个．解法2 将0到299的整数都看成三位数，其中数字3不出现的，百位数字可以是0，1或2三种情况．十位数字与个位数字均有九种，因此除去0共有3×9×9-1=242(个)．例3 在小于10000的自然数中，含有数字1的数有多少个？解不妨将1至9999的自然数均看作四位数，凡位数不到四位的自然数在前面补0．使之成为四位数．先求不含数字1的这样的四位数共有几个，即有0，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字所组成的四位数的个数．由于每一位都可有9种写法，所以，根据乘法原理，由这九个数字组成的四位数个数为9×9×9×9＝6561，其中包括了一个0000，它不是自然数，所以比10000小的不含数字1的自然数的个数是6560，于是，小于10000且含有数字1的自然数共有9999-6560=3439个．例4 求正整数1400的正因数的个数．解因为任何一个正整数的任何一个正因数(除1外)都是这个数的一些质因数的积，因此，我们先把1400分解成质因数的连乘积1400=23527所以这个数的任何一个正因数都是由2，5，7中的n个相乘而得到(有的可重复)．于是取1400的一个正因数，这件事情是分如下三个步骤完成的：(1)取23的正因数是20，21，22，33，共3+1种；(2)取52的正因数是50，51，52，共2+1种；(3)取7的正因数是70，71，共1+1种．所以1400的正因数个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．说明利用本题的方法，可得如下结果：若pi是质数，ai是正整数(i=1，2，…，r)，则数的不同的正因数的个数是(a1+1)(a2+1)…(ar+1)．例5 求五位数中至少出现一个6，而被3整除的数的个数．+a5能被3整除，于是分别讨论如下：(1)从左向右计，如果最后一个6出现在第5位，即a5=6，那么a2，a3，a4可以是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字之一，但a1不能是任意的，它是由a2+a3+a4+a5被3除后的余数所决定．因此，为了保证a1+a2+a3+a4+a5能被3整除，a1只有3种可能，根据乘法原理，5位数中最后一位是6，而被3整除的数有3×10×10×10=3000(个)．(2)最后一个6出现在第四位，即a4=6，于是a5只有9种可能(因为a5不能等于6)，a2，a3各有10种可能，为了保证a1+a2+a3+a4+a5被3整除，a1有3种可能．根据乘法原理，属于这一类的5位数有3×10×10×9=2700(个)．(3)最后一个6出现在第3位，即a3=6，被3整除的数应有3×10×9×9=2430(个)．(4)最后一个6出现在第2位，即a2=6，被3整除的数应有3×9×9×9=2187(个)．(5)a1=6，被3整除的数应有3×9×9×9=2187(个)．根据加法原理，5位数中至少出现一个6而被3整除的数应有3000+2700+2430+2187+2187=12504(个)．例6 如图1－63，A，B，C，D，E五个区域分别用红、蓝、黄、白、绿五种颜色中的某一种着色．如果使相邻的区域着不同的颜色，问有多少种不同的着色方式？解对这五个区域，我们分五步依次给予着色：(1)区域A共有5种着色方式；(2)区域B因不能与区域A同色，故共有4种着色方式；(3)区域C因不能与区域A，B同色，故共有3种着色方式；(4)区域D因不能与区域A，C同色，故共有3种着色方式；(5)区域E因不能与区域A，C，D同色，故共有2种着色方式．于是，根据乘法原理共有5×4×3×3×2=360种不同的着色方式．例7 在6×6的棋盘上剪下一个由四个小方格组成的凸字形，如图1－64，有多少种不同的剪法？解我们把凸字形上面那个小方格称为它的头，每个凸字形有并且只有一个头．凸字形可以分为两类：第一类凸字形的头在棋盘的边框，但是棋盘的四个角是不能充当凸字形的头的．于是，边框上(不是角)的小方格共有4×4=16个，每一个都是一个凸字形的头，所以，这类凸字形有16个．第二类凸字形的头在棋盘的内部，棋盘内部的每一个小方格可以作为4个凸字形的头(即头朝上，头朝下，头朝左，头朝右)，所以，这类凸字形有4×(4×4)=64(个)．由加法原理知，有16+64=80种不同的凸字形剪法．练习十八1．把数、理、化、语、英5本参考书，排成一行放在书架上．(1)化学不放在第1位，共有多少种不同排法？(2)语文与数学必须相邻，共有多少种不同排法？(3)物理与化学不得相邻，共有多少种不同排法？(4)文科书与理科书交叉排放，共有多少种不同排法？2．在一个圆周上有10个点，把它们两两相连，问共有多少条不同的线段？3．用1，2，3，4，5，6，7这七个数，(1)可以组成多少个数字不重复的五位奇数？(2)可以组成多少个数字不重复的五位奇数，但1不在百位上？4．从1，2，3，4，5这五个数字中任取三个数组成一个三位数，问共可得到多少个不同的三位数？5．由1，2，3，4，5，6这六个数字能组成多少个大于34500的五位数？6．今有一角币一张，两角币一张，伍角币一张，一元币四张，伍元币两张，用这些纸币任意付款，可以付出不同数额的款子共有多少种？7．将三封信投到5个邮筒中的某几个中去，有多少种不同的投法？8．从字母a，a，a，b，c，d，e中任选3个排成一行，共有多少种不同的排法？添加评论。