阿氏圆 (1)

阿氏圆整理
阿氏圆基本解法：构造相似
阿氏圆一般解题步骤：PC kPD +
第一步：连接动点至圆心O （将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP 、OD ；
第二步：计算出所连接的这两条线段OP 、OD 长度；
第三步：计算这两条线段长度的比
OP
m OD =； 第四步：在OD 上取点M ，使得OM
m OP
=；
第五步：连接CM ，与圆O 交点即为点P ．
例题讲解：
例1、如图1，抛物线y ＝ax 2＋(a ＋3)x ＋3（a ≠0）与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E （m ，0）（0＜m ＜4），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ． （1）求a 的值和直线AB 的函数表达式；
（2）设△PMN 的周长为C 1，△AEN 的周长为C 2，若12C C ＝6
5，求m 的値；
（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ′，旋转角为α(0°
＜α＜90°)，连接E ′A 、E ′B ，求E ′A ＋2
3
E ′B 的最小值．
解：（1）把点A （4，0）代入y ＝ax 2＋(a ＋3)x ＋3，得 16a ＋4(a ＋3)＋3＝0．
解得a ＝－3
4
．
∴抛物线的函数表达式为：y ＝－34x 2＋9
4x ＋3．
把x ＝0代入上式，得y ＝3．
∴点B 的坐标为（0，3）．
由A （4，0），B （0，3）可得直线AB 的函数表达式为：y ＝－34x ＋3．
（2）根据题意，得
OE ＝m ，AE ＝4－m ，AB ＝5，点P 的坐标可表示为(m ，－34m 2＋9
4m ＋3)．
∴PE ＝－34m 2＋9
4m ＋3……………………………………………………①
∵△AEN ∽△AOB ，∴AN AB ＝NE BO ＝AE 4．∴AN 5＝NE 3＝4－m
4．
∴AN ＝54(4－m )， NE ＝3
4(4－m )．
∵△PMN ∽△AEN ，且12C C ＝6
5
， ∴
PN AN ＝65．∴PN ＝65AN ＝65×5
4
(4－m )＝32(4－m )． ∴PE ＝NE ＋PN ＝34(4－m )＋32(4－m )＝9
4(4－m )………………………...②
由①、②，得
－34m 2＋94m ＋3＝9
4
(4－m )． 解得m 1＝2，m 2＝4(不合题意，舍去)． ∴m 的値为2．
（3）在（2）的条件下，m 的値为2，点E （2，0），OE ＝2．∴OE ′＝OE ＝2． 如图，取点F (0，43)，连接FE ′、AF ．则OF ＝4
3
，AF ＝
42＋(43)2＝4
3
10．
∵OF OE ′＝4
32＝23，OE ′OB ＝23，且∠FOE ′＝∠E ′OB ，∴△FOE ′∽△E ′OB ．∴FE ′E ′B ＝23．∴FE ′＝23E ′B ． ∴E ′A ＋23E ′B ＝E ′A ＋FE ′≥AF ＝4
310．
∴E ′A ＋23E ′B 的最小值为4
3
10．
巩固练习：
1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ﹦90°，CB ﹦4，CA ﹦6，圆C 半径为2，P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，1
2
AP BP +
最小值为（ ） A 37 B 、6 C 、17 D 、4
C
A
P 2、如图，在△ABC 中，∠B ﹦90°，AB ﹦CB ﹦2，以点B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，则2
2
PA PC +
的最小值是 ． C
B
A
P
第28题答案图
x
y
F B A
O
E
E'
3、如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则3
2
PB PD +
的最小值为 ． C
D
A
P
E B
4、在平面直角坐标系中，A （2，0），B （0，2），C （4，0），D （3，2），P 是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BP A ﹦135°，则2PD ﹢PC 的最小值是 ．
5、（1）如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +
的最小值和1
2
PD PC -的最大值． （2）如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，求23PD PC +
的最小值和2
3
PD PC -的最大值． （3）如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ﹦90°，圆B 的半径为,2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +
的最小值和1
2
PD PC -的最大值． D
A
C
D
A C
D
A
B
B
B
P P
P
C
图1 图2 图3
y x。