等式与方程汇总

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等式的性质与方程的解集

3．方程的解集一般地，把一个方程__所__有__解__组成的集合称为这个方程的解集．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 a＝b，则 a－c＝b－c.( ) (2)若 a＝b，则ac＝bc.( ) (3)若ac＝bc，则 a＝b.( ) (4)x3＋1＝(x＋1)(x2－x＋1)．( ) (5)x2＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3)．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√
用因式分解法求下列方程的解集： (1)xx－12＝x； (2)(x－3)2＋2x－6＝0； (3)9(2x＋3)2－4(2x－5)2＝0.
解：(1)xx－12－1＝0，即 xx－32＝0，所以 x1＝0，x2＝32，所以该方程的解集为0，32. (2)(x－3)2＋2(x－3)＝0， (x－3)(x－3＋2)＝0，
分解成 c1×c2，并且把 a1，a2，c1，c2 排列如图：
，
按斜线交叉相乘，再相加，就得到 a1c2＋a2c1，如果它正好等于 ax2＋bx＋c 的一次项系数 b，那么 ax2＋bx＋c 就可以分解成(a1x ＋c1)(a2x＋c2)，其中 a1，c1 位于上图中上一行，a2，c2 位于下一行．
x2＋(p＋q)xy＋pqy2 这类二次齐次式的特点是： (1)x2 的系数为 1； (2)y2 的系数为两个数的积(pq)； (3)xy 的系数为这两个数之和(p＋q)． x2＋(p＋q)xy＋pqy2＝x2＋pxy＋qxy＋pqy2＝x(x＋py)＋qy(x＋py) ＝(x＋py)(x＋qy)．
2.1 等式
第1课时等式的性质与方程的解集
第二章等式与不等式
考点
学习目标
核心素养
等式的性质
掌握等式的性质，会用十字相乘法分解因式

2.1.1等式的性质与方程的解集(课件)高一数学(人教B版2019必修第一册)

(方法二)可以将和分别看成一个整体，然后使用平方差公式，即
(2 + 1)2 −( − 1)2 = [(2 + 1) + ( − 1)][(2 + 1) − ( − 1)]
= 3( + 2) = 3 2 + 6.
新知探索
下面我们介绍另外一个经常会用到的恒等式：对任意的，，，都有
2 + 5 + 6 =________________.
( + 2)( + 3)
新知探索
尝试与发现：证明恒等式( + )( + ) = 2 + ( + ) + .
并由此探讨 2 + + 的因式分解方法.
上述恒等式的证明，也只需将左边展开然后合并同类
不难知道，利用类似的方法可以得到所有一元一次方程的解集.
新知探索
从小学开始我们就知道，
任意两个非零的实数，它们的乘积不可能是零，因此：
如果 = 0，则 = 0或 = 0.
利用这一结论，我们可以得到一些方程的解集.例如，由方程
(4 + 1)( − 1) = 0可知4 + 1 = 0或 − 1 = 0，从而
2.1.1等式的性质与方程的解集
复习引入
我们已经学习过等式的性质：
(1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立；
(2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立.
尝试与发现：请用符号语言和量词表示上述等式的性质：
+ =+
(1)如果 = ，则对任意，都有___________________；
项即可.据此也可进行因式分解.例如，对于3 2 + 11 + 10

等式和方程易错点分析

等式和方程易错点分析一、等式和它的性质易错点1．等式性质中强调“等式的两边都……”有些同学在利用性质时易忽略“都”，也就是在等式变形的过程中，只改变了一边，忽略了另一边的变形。

例1 变形为3x=_________.【错解】3x=2x-1.【分析】错解的原因是等式的右边-1没有乘以6.根据等式的性质2,等式的两边的每一项都要乘以6.【正解】3x=2x-6.2.等式性质2中强调“等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为零）”有些同学在利用等式的性质2时，易忽略“除数不为零”。

例2 判断：若ac=bc ，则a=b 是否成立？【错解】若ac=bc ，则a=b 成立。

【分析】错解的原因是忽略了已知条件中的c=0的情况，事实上当c=0时，ac=cb=0，但a 不一定等于b 。

【正解】若ac=bc ，则a=b 的说法是错误的。

二、方程和它的解易错点1．对于方程的解要注意两点（1）使方程左右两边相等的未知数的值可以不止一个，这时方程的解就是多个解的情况。

例3 当x 2=1时, x=_____.【错解】当x 2=1时,x=1.【分析】当x=-1时,x 2也等于1,错解在忽略了x 的值有多个的情况.【正解】x=±1.(2)方程只含有的未知数的可以是一个,月可以是多个,对于只含有一个未知数的方程来说,它的解叫做方程的根.2.方程的解与解方程的联系与区别(1) 联系:求方程的解有多种方法,不管用什么方法,求的方程的解的过程叫解方程.解方程实际是将方程根据等式的性质进行等式变形,最终得到x=a(a 是常数)的形式.例4 写出方程2x-6=4x 的解.【错解】x=32264+=+x x . 【分析】错解在没有理解方程的解的定义.方程的解是一个具体的值.错解中只是等式的变形,根本没有写出方程的解.【正解】x=-3.(2) 区别:方程的解是结果,而解方程指的是过程.3.检验方程的解易错点检验方程的解时,要把未知数的取值代入方程的左边和右边，若左边的值等于右边的值，这个数值就是方程的解，否则就不是方程的解。

知识必备02 方程与不等式(公式、定理、结论图表)-2023年中考数学知识梳理+思维导图

知识必备02方程与不等式（公式、定理、结论图表）考点一、一元一次方程1.方程含有未知数的等式叫做方程.2.方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.3.等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式.4.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项.5.一元一次方程解法的一般步骤整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).6.列一元一次方程解应用题(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.(2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础.列方程解应用题的常用公式：(1)行程问题：距离=速度×时间；(2)工程问题：工作量=工效×工时；(3)比率问题：部分=全体×比率；(4)顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；(5)商品价格问题：售价=定价·折·，利润=售价-成本，；(6)周长、面积、体积问题：C圆=2πR，S圆=πR2，C长方形=2(a+b)，S长方形=ab， C正方形=4a，S正方形=a2，S环形=π(R2-r2)，V长方体=abh ，V正方体=a3，V圆柱=πR2h ，V圆锥=πR2h.考点二、一元二次方程1.一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项.3.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如的一元二次方程.根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根.（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程的求根公式：（4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.5.一元二次方程根与系数的关系如果方程的两个实数根是，那么，.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.要点诠释：一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解.（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中.（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.（3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.典例1：已知关于的一元二次方程．（1）求证：不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）若直线与函数的图象的一个交点的横坐标为2，求关于的一元二次方程的解．【答案】（1）证明：∵不论取何值时，∴，即∴不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根..（2）将代入方程，得再将代入，原方程化为，解得．考点三、分式方程1.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程.2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是：①去分母，方程两边都乘以最简公分母；②解所得的整式方程；③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.口诀：“一化二解三检验”.3.分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.典例2：近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．如图所示．【思路点拨】根据“用150元给汽车加油今年比去年少18.75升”列方程.【答案与解析】解：设今年5月份汽油价格为x元/升，则去年5月份的汽油价格为(x-1.8)元/升．根据题意，得，整理，得．解这个方程，得x1＝4.8，x2＝-3．经检验两根都为原方程的根，但x2＝-3不符合实际意义，故舍去．【总结升华】解题的关键是从对话中挖掘出有效的数学信息，构造数学模型，从而解决问题，让同学们更进一步地体会到数学就在我们身边．考点四、二元一次方程（组）1.二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a ≠0，b≠0).2.二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.3.二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.5.二元一次方程组的解法①代入消元法；②加减消元法.6.三元一次方程（组）（1）三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：二元一次方程组的解法：消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.（3）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．典例3：如图所示，是在同一坐标系内作出的一次函数y1、y2的图象、，设，，则方程组的解是( )A． B． C． D．【思路点拨】图象、的交点的坐标就是方程组的解.【答案】B；【解析】由图可知图象、的交点的坐标为(-2，3)，所以方程组的解为【总结升华】方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与相互渗透．考点五、不等式（组）1.不等式的概念（1）不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.（2）不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫做解不等式.2.不等式基本性质（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.3.一元一次不等式（1）一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x 项的系数化为1.4.一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.当任何数x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集.（2）一元一次不等式组的解法①分别求出不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.要点诠释：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.不等式组（其中a ＞b ）图示解集口诀（同大取大）（同小取小）（大小取中间）无解（空集）（大大、小小找不到）（1）不等式的其他性质：①若a＞b，则b＜a；②若a＞b，b＞c，则a＞c；③若a≥b，且b≥a，则a=b；④若a2≤0，则a=0；⑤若ab＞0或，则a、b同号；⑥若ab＜0或，则a、b异号.（2）任意两个实数a、b的大小关系：①a-b＞O a＞b；②a-b=O a=b；③a-b＜O a＜b．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c.典例4：解不等式组并将解集在数轴上表示出来．【思路点拨】此题考查一元一次不等式组的解法，解出不等式组中的每个不等式，根据不等式组解的四种情况，看看属于哪种情况．【答案与解析】解不等式①得：．解不等式②得：x≥-1．所以不等式组的解集为-1≤x＜．其解在数轴上表示为如图所示：【总结升华】注意解不等式组的解题步骤.典例5：为了美化家园，创建文明城市，园林部门决定利用现有的3600盆甲种花卉和2900盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧，搭配每个造型所需花卉的情况如下表所示；造型甲乙A90盆30盆B40盆100盆综合上述信息，解答下列问题：(1)符合题意的搭配方案有哪儿种?(2)若搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种选型的成本为1200元，试说明选用(1)中哪种方案成本最低?【思路点拨】本题首先需要从文字和表格中获取信息，建立不等式(组)，然后求出其解集，根据实际问题的意义，再求出正整数解，从而确定搭配方案．【答案与解析】解：(1)设搭配x个A种造型，则需要搭配(50-x)个B种造型，由题意，得解得30≤x≤32．所以x的正整数解为30，31，32．所以符合题意的方案有3种，分别为：A种造型30个，B种造型20个；A种造型31个，B种造型19个；A种造型32个，B种造型18个．(2)由题意易知，三种方案的成本分别为：第一种方案：30×1000+20×1200＝54000；第二种办案：31×1000+19×1200＝53800；第三种方案：32×1000+18×1200＝53600.所以第三种方案成本最低．【总结升华】实际问题的“最值问题”一般是指“成本最低”、“利润最高”、“支出最少”等问题．。

9.方程与整式、等式的区别,方程的解题技巧

学生姓名性别年级学科数学授课教师魏涛上课时间2013年月日第（）次课课时：2 课时教学课题方程与整式、等式的区别，方程的解题技巧教学目标结合方程特点进行有技巧的解题教学重点教学难点技巧性解题教学过程一、方程与整式、等式的区别（1）从概念来看：整式：单项式和多项式统称整式。

等式：用等号来表示相等关系的式子叫做等式。

如，m＝n＝n＋m等都叫做等式，而像－，m2n不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。

方程：含有未知数的等式叫做方程。

如5x＋3＝11，等都是方程。

理解方程的概念必须明确两点：①是等式；②含有未知数。

两者缺一不可。

（2）从是否含有等号来看：方程首先是一个等式，它是用“＝”将两个代数式连接起来的等式，而整式仅用运算符号连接起来，不含有等号。

（3）从是否含有未知量来看：等式必含有“＝”，但不一定含有未知量；方程既含有“＝”，又必须含有未知数。

但整式必不含有等号，不一定含有未知量，分为单项式和多项式。

二、规律方法指导1、判断一个式子是否是一元一次方程：（1）首先看是否是方程，（2）再看是否满足一元一次方程的三个条件或对原式进行等价变形化简后再看；2、解一元一次方程常用的技巧有：(1)有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行。

(2)当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母。

(3)当分母中含有小数时，可用分数的基本性质化成整数。

(4)运用整体思想，即把含有未知数的代数式看做整体进行变形。

三、经典例题透析类型一：一元一次方程的相关概念1、已知下列各式：①2x－5＝1；②8－7＝1；③x＋y；④x－y＝x2；⑤3x＋y＝6；⑥5x＋3y＋4z＝0；⑦＝8；⑧x＝0。

其中方程的个数是( )A、5B、6C、7D、8思路点拨：方程是含有未知数的等式，根据定义逐个进行判断，显然②③不合题意。

总结升华：根据定义逐个进行判断是解题的基本方法，判断时应注意两点：一是等式；二是含有未知数，体现了对概念的理解与应用能力。

《等式的性质与方程的解集》知识清单

《等式的性质与方程的解集》知识清单一、等式的性质1、等式的基本性质等式就像是一架天平，如果两边的重量相等，天平就会保持平衡。

在数学中，等式也有类似的性质。

性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立。

比如：若 a ＝ b，那么 a ＋ c ＝ b ＋ c，a c ＝ b c。

这就好比天平两边同时加上或减去相同重量的物体，天平仍然平衡。

性质 2：等式两边同时乘（或除以）同一个不为 0 的整式，等式仍然成立。

例如：若 a ＝ b，且c ≠ 0，那么 ac ＝ bc，a÷c ＝ b÷c。

就像天平两边同时扩大或缩小相同的倍数（非零），天平依然保持平衡。

2、等式的对称性如果a ＝b，那么b ＝a。

这意味着等式的左右两边可以互换位置，等式依然成立。

3、等式的传递性若 a ＝ b，b ＝ c，那么 a ＝ c。

就好像三个物体依次排列，第一个和第二个相等，第二个和第三个相等，那么第一个和第三个也必然相等。

二、方程的概念方程是含有未知数的等式。

例如：2x ＋ 3 ＝ 7 就是一个方程，其中x 是未知数。

方程中的未知数通常用字母表示，通过解方程可以求出未知数的值。

三、方程的解与解集1、方程的解使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

比如在方程 2x ＋ 3 ＝ 7 中，当 x ＝ 2 时，方程左边＝ 2×2 ＋ 3 ＝7，方程右边＝ 7，左右两边相等，所以 x ＝ 2 就是这个方程的解。

2、方程的解集一个方程的所有解组成的集合，称为这个方程的解集。

有些方程可能只有一个解，比如一元一次方程；而有些方程可能有多个解，甚至有无穷多个解。

四、一元一次方程1、定义只含有一个未知数，且未知数的次数都是 1 的整式方程叫做一元一次方程。

其标准形式为：ax ＋ b ＝ 0（其中a ≠ 0，a、b 为常数）。

2、解法一般通过移项、合并同类项、系数化为 1 等步骤来求解。

例如：解方程 3x 5 ＝ 7首先，将－5 移到右边得到 3x ＝ 7 ＋ 5，即 3x ＝ 12。

方程的意义和等式的性质

ห้องสมุดไป่ตู้
等式的性质二：等式的可加性
总结词
如果a=b，那么a+c=b+c。
详细描述
等式的可加性是指在等式中，如果一个数或表达式加上另一个数或表达式的结果不变，那么加上或减去同一个数或表达式不会改变等式的成立。例如，如果3 + 4 = 7，那么根据等式的可加性，我们可以得出3 + 4 + 2 = 7 + 2。
等式的性质三：等式的可乘性
总结词
如果a=b，那么ac=bc。
详细描述
等式的可乘性是指在等式中，如果一个数或表达式乘以另一个数或表达式的结果不变，那么乘以或除以同一个数或表达式不会改变等式的成立。例如，如果3 = 7，那么根据等式的可乘性，我们可以得出3 × 2 = 7 × 2。
03
CATALOGUE
等式的性质一：等式的传递性
总结词
如果a=b且b=c，那么a=c。
详细描述
等式的传递性是数学中的一个基本性质，它表明如果两个数或表达式相等，并且第三个数或表达式与第二个数或表达式相等，那么第三个数或表达式与第一个数或表达式也相等。例如，如果3 + 4 = 7且7 = 2，那么根据等式的传递性，我们可以得出3 + 4 = 2。
等。
方程的应用场景
01
02
03
04
物理问题
描述物理现象和规律时，常常需要建立和解决方程。
工程问题
在设计和制造各种机械、电子设备时，需要解决各种复杂的
方程。
经济问题
在研究市场供求关系、生产成本等问题时，需要建立和解决
方程。
日常生活
在解决日常生活中的问题时，如购物、计算时间等，也可以

3等式的基本性质和解方程例

今日水位-警戒水位=超出部分 14.14-x=0.64
列方程解应用题的过程： 1读题，理解题意，用X表示未知数。 2找等量关系，列方程。 3按格式解方程。 4按题目要求，验算答案。
例 4：
为了知道一个滴水的水龙头每分钟浪费多少水，有一个同学拿桶接了半个小时，共接了1.8kg水。
这个滴水的水龙头每分钟浪费多少克水？
警戒水位+超出部分=今日水位
警戒水位+超出部分=今日水位
解：设警戒水位是X米。 X+0.64 =14.14 X+0.64-0.64 =14.14-0.64 X =13.5 验算：方程左边 = x+0.64 = 13.5+0.64 = 14.14 = 方程右边所以，X=13.5是方程的解。答：警戒水位是13.5米。
方程与等式之间的关系
等式
方程
判断：（1）等式就是方程。（ ╳ ）
（2）含有未知数的式子叫做方程。
（ ╳ ）
（3）方程一定是等式，等式不一定是方程。（（4）x=0是方程8x=0的解。（5）方程的解和解方程的意义相同。（
√） √）
（ ╳ ）
填空。 (1)使方程左右两边相等的( 程的解。
方程两边同时除以同一个不等于0的数，左右两边仍然相等。
解方程 3x=18
解： 3）=18÷（ 3） 3x÷（
方程两边同时除以同一个不等于0的数，左右两边仍然相等。
x x x
解方程3x=18 解： 3x÷3=18÷3 x=6
检验一下吧！
3χ＝18 解：3χ÷3＝18÷3 χ＝ 6
验算：方程左边＝3χ ＝3×6 ＝18 ＝方程右边所以，χ＝6是方程的解。

《等式的性质与方程的解集》等式与不等式

解法的应用与推广
应用
二元一次方程组是数学中常见的方程之一，它在实际生活中也有广泛的应用，比如在物理、化学、经济等领域中都可以遇到。通过学习二元一次方程组的解法，可以更好地理解和解决这些问题。
推广
学习二元一次方程组的解法还可以为学习更复杂的方程组打下基础，比如三元一次方程组、高次方程组等。同时，解法中涉及的数学思想和方法也可以应用于其他数学问题的解决中。
传递性
加法单调性
乘法单调性
同号得正
奇偶性
若a>b，b>c，则a>c。
即若a>b，c为任意实数或整式，则a+c>b+c。
若a>b>0，c>d>0，则 ac>bd。
若a>b>0，c>d>0，则 ac>bd。
若f(x)为奇函数，则对于定义域内的任意x，都有 f(-x)=-f(x)。若f(x)为偶函数，则对于定义域内的任意x，都有f(x)=f(x)。
一元一次方程的解法举例
例子1
解方程 2x + 4 = 10。
去分母
2x + 4 = 10。
去括号
2x + 4 = 10。
一元一次方程的解法举例
移项
01
2x = 6。
合并同类项
02
2x = 6。
化简
03
x = 3。
一元一次方程的解法举例
例子2
解方程 3(x - 2) = 5(x - 1)。
去分母
05
方程的解集与根的判别式
方程的解集的概念与性质
方程的解集的定义
方程的所有解组成的集合称为方程的解集。

六年级数学等式与方程

六年级数学等式与方程一、等式的概念。

1. 定义。

- 表示相等关系的式子叫做等式。

例如：2 + 3=5，a=b（这里a、b表示数）等都是等式。

等式可以用等号“=”来表示左右两边的量是相等的。

2. 等式的性质。

- 性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立。

- 例如：如果a = b，那么a + c=b + c，a - c=b - c。

- 举例：已知x+3 = 5，等式两边同时减去3，得到x+3 - 3=5 - 3，即x = 2。

- 性质2：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的整式，等式仍然成立。

- 即如果a = b，那么ac = bc（c≠0时，a÷ c=b÷ c）。

- 例如：已知2x=6，等式两边同时除以2，得到2x÷2 = 6÷2，即x = 3。

二、方程的概念。

1. 定义。

- 含有未知数的等式叫做方程。

例如：2x+3 = 7，其中x是未知数，这个式子是等式，所以它是方程；3y - 5 = 10也是方程，这里y是未知数。

2. 方程的解和解方程。

- 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

例如在方程x+1 = 3中，x = 2时，方程左边=2 + 1=3，方程右边=3，左右两边相等，所以x = 2就是方程x+1 = 3的解。

- 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。

例如求解方程2x - 5=7，通过移项得到2x=7 + 5，即2x = 12，再两边同时除以2得到x = 6，这个求x = 6的过程就是解方程。

3. 列方程解决实际问题的步骤。

- 审题：理解题意，找出题目中的已知量和未知量，以及它们之间的关系。

- 设未知数：通常用字母（如x、y等）表示未知量。

- 列方程：根据题目中的等量关系列出方程。

- 解方程：求出方程的解。

- 检验并作答：把求得的解代入原方程，看方程左右两边是否相等，如果相等则答案正确，最后写出答案。

- 例如：一个数的3倍加上5等于20，求这个数。

等式和方程的概念和计算知识点总结

等式和方程的概念和计算知识点总结等式和方程是数学中非常重要的概念，它们在各个领域中都有广泛的应用。

在本文中，我们将对等式和方程的概念进行解释，并总结一些与它们相关的计算知识点。

一、等式的概念及性质等式是指具有相等关系的数学表达式，由等号连接两个表达式而成。

例如，2 + 3 = 5就是一个等式，表示2加3的结果等于5。

等式具有以下性质：1. 等式两边交换位置仍然成立。

例如，如果a = b，则b = a。

2. 等式两边同时加上(或减去)同一个数仍然成立。

例如，如果a = b，则a + c = b + c。

3. 等式两边同时乘以(或除以)同一个非零数仍然成立。

例如，如果a = b，则ac = bc (其中c≠0)。

二、方程的概念及求解方法方程是指带有未知数的等式，通常以字母或符号表示，需要通过求解来确定未知数的取值。

例如，2x + 3 = 7就是一个方程，需要求解x的值。

方程的求解方法主要有以下几种：1. 移项法：通过将方程中的项移到一边，将未知数与已知数隔离，从而求解未知数的值。

例如，对于方程2x + 3 = 7，可以通过将3移到方程的右边，得到2x = 7 - 3，然后再除以2，求得x的值为2。

2. 因式分解法：对于可分解的方程，可以通过因式分解来求解。

例如，对于方程x^2 - 4 = 0，可以通过因式分解为(x - 2)(x + 2) = 0，从而得到x的值为±2。

3. 代入法：对于复杂的方程，可以通过将一个已知数的值代入方程中，求解出另一个未知数的值。

例如，对于方程2x + y = 5和x + y = 3，可以先求解第二个方程得到y = 3 - x，然后将y的值代入第一个方程中得到2x + (3 - x) = 5，进而求得x的值。

4. 公式法：对于某些特定形式的方程，可以通过已知的数学公式来求解。

例如，一元二次方程ax^2 + bx + c = 0可以通过求解二次方程公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)来得到x的值。

五年级数学等式的性质与解方程

x 100
先说说怎样解，再解方程。
12 x 96
解： x 96 12
x 40 14
解：x 14 40
x 2 .5 5
解： x 5 2.5 x 12.5
x 8
x 560
； EG EG娱乐 EG EG娱乐；
他们の时候,去那边联系他们就行了,也可以将消息给捎回来."说完他拿了壹块玉简给根汉,根汉,里面是谭家在九天十域の各个分坛の地点,以及最短の返回谭家祖地の方式,这些分坛不远处大部分都拥有传送阵.这些传送阵,可能是根汉最能用得着の地方,可以通过这些传送阵缩短路程,节省时间."恩,多谢谭兄了,那咱就收下了."根汉也不和他客气,这东西对自己确实是有用,到时候到了叶家,也要索要壹份,那里应该也有这种东西."叶兄你还和咱客气."谭尘说："今天就要走吗?那咱亲自领你去传送阵吧.""那就有劳谭兄了,下回咱路过这里の时候,还会再来叨扰の."根汉拱了拱手."那最好了,咱摆酒欢迎."谭尘笑了笑,与根汉壹道,返回谭家祖地深处,那里有谭家の传送阵.深夜时分,无心峰上.侧峰の壹座小院之中,白萱突然睁开了双眼,坐在院中の她,眼里闪过了两抹神光,犹如两盏红色の天灯,点亮了整个侧峰."谁."白萱娇声壹喝,目光锁定在了头顶の虚空中,右手出现了壹把黑色の弯刀."是咱."虚空之中,出现了壹个黑洞,从黑洞之中,走出了壹个黑衣青年.他站在虚空中,有些凝重の面院中の美人,壹双神眼中莲花绽放,与白萱四面对视."小,小楚."白萱楞在原地,手中の弯刀掉落在地,抬头楚有些发呆,壹时间不知道做何反应."恩,是咱."根汉身形壹闪,出现在白萱の面前,将她紧紧の抱住.时隔近

第2章+一元二次函数、方程和不等式知识点汇总

《人教A版必修一知识点汇总》第2章《一元二次函数、方程和不等式》知识点汇总2.1 等式性质与不等式性质1.实数的大小比较（1）方法一：数轴法（优点是形象生动）（2）方法二：作差法（优点是快捷方便，并且适合一切实数比较大小）当 a ∈ R ,b ∈ R 时a −b >0⟺ a > ba −b <0⟺ a < ba − b=0 ⟺ a = b作差法：比较两个实数（或代数式）的大小，可以转化为考察它们的差是正数、负数、或零，这种比较大小的方法称为作差比较法.（3）方法三：作商法（优点是快捷方便，并且只适合两个正数比较大小）当 a＞0 ,b ＞0 时a>1 ⟺ a >bba<1 ⟺ a <bba=1 ⟺ a =bb作商法：比较两个正数的大小，可以转化为考察它们的商是大于1、小于1、或等于1，这种比较大小的方法称为作商比较法.2.不等式的性质（1）性质1（可加性）如果a > b, 那么 a±c > b±c；（2）性质2（可乘性）① 如果 a > b，c＞0,那么 ac > bc 或ac >bc;②如果 a > b，c＜0,那么 ac ＜ bc 或ac <bc.（3）性质3 （传递性)如果 a ＞ b ,b ＞ c , 那么 a ＞ c；（4）性质4（对称性） a > b ⟺ b < a ；（5）性质5 （可移性） a+b > c ⇔ a > c − b ；（6）性质6（同向可加性）如果a＞b ,c＞d ,那么 a+c ＞b+d；（7）性质7（同向同正可乘性）如果 a > b >0,c > d >0 ，那么 ac > bd.（8）性质8（同向同正可乘方性）如果 a > b > 0,n ∈N∗ ,那么 a n>b n;（9）性质9（同正可开方性）如果 a > b > 0,n ∈N∗ , 那么√a n>√b n;（10）性质10（同号可倒性）如果 ab > 0,且 a > b , 那么1a <1b;2.2《基本不等式》1.基本不等式对于 ∀ a >0 ,b > 0 ，都有√a2+b22≥a+b2≥√ab≥21a+1b(当且仅当a=b 时等号成立）注1：a+b2叫正数 a 与 b 的算术平均数，√ab叫正数 a 与 b 的几何平均数；注2：基本不等式通常用于求解与两个正项相关的最值问题，且在实际运用中，通常变形为对于 ∀ a > 0,b > 0 ,都有a+b ≥2 √ab(当且仅当a=b 时等号成立）2.实例运用例1.已知x > 0 , 求x +1x的最小值.解：∵ 已知x > 0,∴ 1x>0∴ 据基本不等式可得x +1x ≥2√x ∙1x=2（当且仅当x =1x（即x=1）时等号成立）故x +1x的最小值为2例5.已知 x>0 ,y >0,且1x +9y=1,求 x+y 的最小值.解：∵ 已知1x +9y=1∴ x+y=（x+y) ( 1x +9y=1)=yx+9xy+10又∵ 已知x>0 ,y >0∴ yx >0，9xy>0∴ yx +9xy≥2√yx∙9xy=2√9=6y x +9xy+10≥6+10（可加性）即x+y≥16(当且仅当yx =9xy，即y=3x 时等号成立)故x+y 的最小值为16.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式1.一元二次不等式的概念像x2−7x+6>0这样，含有一个未知数，并且含有未知数项的最高次数为2的不等式，就称为一元二次不等式.其一般式为ax²+bx+c > 0 (a ≠ 0)注：上面一般式中的“＞”也可以换成“＜”，“≥”或“≤”.2.一元二次不等式的图解法三作图一化二解四答（1）典例讲解:解不等式 −x 2+2x >−3解:原一元二次不等式等价于x 2−2x −3 <0∵∆=b 2−4ac =(−2)2−4×1×(−3)=16>0解一元二次方程 x 2−2x −3 =0 可得x 1=−1,x 2=3又∵二次项系数a =1>0二次函数y =x 2−2x −3的图像如图所示由上图可知不等式 x 2−2x −3 <0的解集为 {x | −1< x < 3}即原不等式的解集为{x | −1< x < 3}（2）一元二次不等式的图解法小结①一化：将原不等式化成一般式，即ax²+bx +c > 0 (a ≠ 0)或ax²+bx +c < 0 (a ≠ 0)的形式，其中二次项系数a >0；②二解：判断∆=b 2−4ac 的符号，并利用配方法、公式法、因式分解法求出一元二次方程ax²+bx +c = 0 的实数根（x =−b±√b 2−4ac 2a）； ③三作图:根据二次函数y =ax²+bx +c (a > 0)的图像与x 轴的位置关系确定一元二次不等式ax²+bx +c > 0 (a ≠ 0)或ax²+bx +c < 0 (a ≠ 0)的解集.④四答:通常要将不等式的解集用数集或区间来表示.（3）实例运用例1 看图口答.①不等式x²−2x−3 >0的解集为{ x | x＜−1 或 x＞3 } ；②不等式x²−2x−3 ≤0的解集为{ x | −1≤x≤3 } ；③不等式x²−2x−3 >0的解集为{ x | x≤−1 或 x≥3 } ；例2 求不等式9x2−6x+1>0的解集.解：∵ 已知9x2−6x+1>0∴ a=9 ,b=−6 ,c=1又∵ ∆=b2−4ac=(−6)2−4×9×1=0∴解一元二次方程9x2−6x+1=0可得x=13又∵二次项系数 a=9>0，∴可得二次函数y=9x2−6x+1的图像如图所示：由图可知原一元二次不等式的解集为{ x | x≠1}3例3 求不等式−x2+2x−3>0的解集.解：原不等式−x2+2x−3>0可化为x2−2x+3< 0∴ a=1 ,b=−2 ,c=3又∵ ∆=b2−4ac=(−2)2−4×1×3=−8<0∴ 一元二次方程 x2−2x+3=0没有实数根又∵二次项系数 a=1>0，∴可得二次函数 y=x2−2x+3的图像如图所示：由图可知一元二次不等式 x2−2x+3< 0的解集为 ∅故原一元二次不等式−x2+2x−3>0的解集为∅。

七年级数学等式与方程

（1）为什么不定义“用符号连结两个代数式所得到的式子叫做等式”呢？因为这是一个形式定义，它没有反映出等式的实质。例如， x+1 是“绝对大于” x 的，但如果承认“ x+1=x” 是等式或“矛盾等式”，逻辑上是不合理的。再说，等式A=B的两边可以不是代数式，比方可以是超越式、矩阵、命题等。另外，“两个代数式”中的“两个”也不妥，这样就会排除像“ a=b=c” 这样的连等式。而事实上，所谓等式的“左端”“右端”，正是在连等式中才有意义，例如上面连等式中，左端为a，右端为c。
方程同解原理有两个：
方程同解原理 1:方程两边都加上 (或减去)同一个数或同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程．
方程同解原理 2:方程两边都乘以 (或除以)同一个不等于0的数，所得方程与原方程是同解方程．
例5、根据方程同解原理，说明下列两个方程是同解方程． x （1）3x-5=x+11 （2） 1 0 8 解：方程(1)两边都减去x，即2x-5=11(同解原理1) 方程两边都减去11，得：2x-16=0(同解原理1) x 方程两边都除以16，即 1 0 （同解原理2） 8 从而得到了方程(2)，所以方程(1)和(2)是同解方程．
注意： ⑴等式与代数式不能混同．代数式不含有等号，等式的左右两边才是代数式 (或其它式子)． ⑵代数式没有等号，所以公式和等式都不是代数式；公式和等式有等号，它们的两边是两个代数式；公式是等式，但等式不一定是公式，如 3-5=-2 就是等式，而非公式．
二、知识梳理：
1、什么叫等式？等式有多少种类型？课本通过我们熟悉的式子： 1+2=3． a+b=b+a， S=a+b 4+x=7．告诉我们：像这种用等号“=”来表示相等关系的式子，叫做等式．

等式与方程

等式与方程【知识要点】一、方程1、等式的意义：表示相等关系的式子叫做等式。

如：25-5=202、方程：含有未知数的等式是方程。

如：28-x =123、两者之间的关系：方程一定是等式；等式不一定是方程。

4、方程成立的条件：（1）必须是等式；（2）必须设有未知数二、解方程1、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

解方程：求方程的解的过程。

2、等式的性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。

（2）等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式。

3、解方程的方法：（1）等式的性质；（2）四则运算各部分的关系：一个加数＝和-另一个加数减数＝被减数-差被减数＝减数＋差一个因数＝积÷另个因数除数＝被除数÷商被除数＝商×除数（3）移项。

4、等式的检验：将方程的解代入原方程看方程两边是否相等。

注意：解方程的时候要注意三点：1、要写“解”字；2、所有的等号要上下对齐；3、解完方程，要养成检验的好习惯。

【经典例题】【例1.1】下面的式子中，是等式的在后面（）里画“√”。

x +18=36（） x +2﹥10（） 72-x （） x =3（）等式方程【例1.2】哪些是等式，哪些是方程，请填入相应的横线上。

(填序号)①3+x=12②3.6+x③4+17.5=21.5④48+x﹤63等式______________________；方程：_____________________。

【练习1】判断。

（1）含有未知数的式子叫方程。

（）（2）等式都是方程。

（）（3）方程都是等式。

（）（4）10＝4x－8不是方程。

（）【例2】练习：1、解方程x-18=2020+3x=452x-4=133x+12=15x÷26=528x=33.6x÷25=1512x=108【练习2】解方程32+4x=4672-3x=181.2x-3=11.46.3x×3=22.6834÷3.2x=2.1255.6x÷1.12=10【例3】解方程并检验x -97=145 1.15+x =6.8 x ÷3=2.1 15x =240 -x【练习3】解方程并检验13.5-x =8.2 3x =3.9 28÷x =42 7.6+x =34.5【例4】填空。

总结等式与方程的知识点

总结等式与方程的知识点一、等式的概念与性质1. 等式是什么等式是指两个数、两个代数表达式或两个函数间相等的关系。

在等式中，等号“=”是连接左右两侧的关键符号，表示两侧的值相等。

2. 等式的性质等式有以下性质：（1）等式两侧加（减）相同数或同一个代数式，仍相等。

（2）等式两侧乘（除）相同数或同一个代数式，仍相等。

（3）等式两侧同次幂相等，其指数必须相等。

（4）两个等式相等，再加（减）相等数或同一个代数式，所得等式仍相等。

二、方程的概念与性质1. 方程是什么方程是一种包含未知数的数学表达式，它表示等号两侧的值相等。

未知数通常用字母表示，方程的解就是使等式成立的未知数的值。

2. 方程的分类方程可以分为一元方程、二元方程、多元方程等多种类型，其中一元方程最为常见。

一元方程只含一个未知数，它可以用代数方法或几何方法来解决。

3. 方程的性质方程有以下性质：（1）相等变形法则：在方程的两侧进行相同的变形操作后，方程仍然成立。

（2）等式代换法则：在方程中代入等量代入可得到不改变方程的解的新方程，这样就可以通过等式代换法则进行简化，并求得方程的解。

三、解一元一次方程的方法1. 一元一次方程的概念一元一次方程是指一个未知数的次数为一的方程，它的一般形式为ax+b=0，其中a和b 都是已知数，而x是未知数。

2. 解一元一次方程的方法解一元一次方程有多种方法，包括图解法、倒代入法、因式分解法、加减消去法和公式法等。

其中，倒代入法和加减消去法是最常用的方法。

四、应用实例1. 利用等式与方程解决实际问题等式与方程不仅在数学中有重要作用，在实际生活中也有广泛的应用。

比如，在物理学中，利用运动方程可以求解物体的运动轨迹；在经济学中，通过方程可以分析市场需求与供给的平衡状况；在工程技术中，方程可以用来解决各种实际问题。

2. 等式与方程的实际应用案例举例说明等式与方程在实际问题中的应用，如物体自由下落问题、利润与成本的平衡问题、建筑工程中的结构力学问题等。

认识等式和方程完美版PPT

讨论：等式与方程有什么关系？
1、哪些是等式，哪些是方程？
左右两边相等的式子叫做等式. 有的(
)是(
)
等式有什么特征？能说说什么样的式子叫做等式吗？
你会用等式表示天平两边物体的质量关系吗?
2x=200 50+50=100
等式有什么特征？能说说什么样的式子叫做等式吗？
等式有什么特征？能说说什么样的式子叫做等式吗？
50g
50g
100g
你会用等式表示天平两边物体的质量关系吗?
_5_0_+__5_0_＝__1_0_0____
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
等式有什么特征？能说说什么样
的式子叫做等式吗？
_______＝________
你会用等式表示天平两边物体的质量关系吗?
1、哪些是等式，哪些是方程？
有的(
)是(
)
像x+50=150、2x=200这样
如果把这五个式子分类，你会怎么分？为什么？
100g
50g
天平往左边倾斜,
说明了什么？
>
50g
100g 50g
x+50 =
50g
200g
x+50 < 200
200g
2x = 200
x+50>100 x+50=150 x+50<200 2x=200 50+50=100
如果把这五个式子分类，你会怎么分？为什么？
X+50=100
50g
5x=50
4x=16.8 200+x=450
4、练习完成P5练习一1~3题
像x+50=150、2x=200这样含有未知数的等式是方程