【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业13

课时作业21 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用1．(2018·天津卷)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( A )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递减C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，3π2上单调递增D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上单调递减解析：将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10＋π5＝sin2x ，令2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－π4≤x ≤k π＋π4(k ∈Z )．所以y ＝sin2x 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )， 当k ＝1时，y ＝sin2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增，故选A ．2．(2019·清华大学自主招生能力测试)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，先将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有的点向右平移θ(θ＞0)个单位长度，得到的图象关于y 轴对称，则θ的最小值为( B )A ．π9B ．5π18C ．π3D ．2π3解析：f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，将其图象上所有点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)， 得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π3的图象，再将得到的图象上所有的点向右平移θ(θ＞0)个单位长度，得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(x －θ)＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －3θ＋π3的图象，由y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3－3θ的图象关于y 轴对称得π3－3θ＝k π＋π2(k ∈Z )，即θ＝－6k ＋118π(k ∈Z )．又θ＞0，故当k ＝－1时，θ取得最小值518π，故选B ． 3．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16的值为( D )A ．－34 B ．－14 C ．－12D ．34解析：由题及f (x )的图象可知，△KLM 为等腰直角三角形且∠KML＝90°，KL ＝1，所以A ＝12，T ＝2，因为T ＝2πω，所以ω＝π， 又因为f (x )是偶函数，故φ＝π2＋k π，k ∈Z ， 由0＜φ＜π知φ＝π2，因此f (x )的解析式为f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2＝34.4．(2019·河南顶级名校联考)将函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上所有的点向右平移5π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，则下列说法不正确的是( B )A ．直线x ＝π4为g (x )图象的对称轴B ．g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π8，－π4上单调递减，且g (x )为偶函数 C ．g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π8，－7π8上单调递增，且g (x )为奇函数D ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0是g (x )图象的对称中心 解析：由题意，g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π12＋π3，则g (x )＝sin2x .令2x ＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π4(k ∈Z )，故A 中说法正确． 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π8，－π4时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π4，－π2，g (x )单调递减，但g (x )为奇函数，故B 中说法不正确．当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－9π8，－7π8时，2x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－9π4，－7π4，g (x )单调递增，又g (x )为奇函数，故C 中说法正确．g (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )，故D 中说法正确．5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( B )A ．12B ．32C ．22D ．1解析：由题图可知，T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，又－π6＋π32＝π12，所以f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝1， 得π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， 即φ＝π3＋2k π，k ∈Z ， 又|φ|＜π2，可得φ＝π3， 所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 由f (x 1)＝f (x 2)，x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，可得x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝sin 2π3＝32.6．将函数f (x )＝2cos2x 的图象向右平移π6个单位得到函数g (x )的图象，若函数g (x )在区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，7π6上均单调递增，则实数a的取值范围是( A )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π8解析：易得g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， 由2k π－π≤2x －π3≤2k π， 得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，即函数g (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．当k ＝0时，函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6，当k ＝1时，函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6.又函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，7π6上均单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜a 3≤π6，2π3≤2a ＜7π6，解得π3≤a ≤π2.7．(2019·河南天一联考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的部分图象如图所示，则φ＝－π3 .解析：由T 4＝1112π－23π＝π4，得T ＝π， 又知T ＝2πω，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)．又知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1112π＝－2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋φ＝－1. ∴116π＋φ＝2k π＋32π(k ∈Z )，∴φ＝2k π－π3(k ∈Z )， 又∵－π2＜φ＜0，∴φ＝－π3.8．已知关于x 的方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是1≤m ＜2__.解析：方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0⇔m ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，要使原方程在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同实根，函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6与y ＝m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同交点，如图，需满足1≤m ＜2.9．(2019·百校联盟质检)已知函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫M >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，其中A (2,3)(点A 为图象的一个最高点)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，0，则函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6 .解析：依题意，M ＝3，34T ＝2＋52＝92，则T ＝6，故ω＝2πT ＝π3.又函数过点A (2,3)，即3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝3，得2π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，则φ＝－π6＋2k π(k ∈Z )．因为|φ|<π2，所以φ＝－π6，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6. 10．(2019·太原模拟)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为π__.解析：f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)． 由2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝12，∴ωx ＋π6＝2k π＋π6或ωx ＋π6＝2k π＋5π6(k ∈Z )． 令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝5π6， ∴x 1＝0，x 2＝2π3ω.由|x 1－x 2|＝π3，得2π3ω＝π3，∴ω＝2. 故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.11．(2019·黑龙江哈尔滨六中月考)已知函数f (x )＝ cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度，再将得到的图象横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝g (x )的图象．若函数y ＝g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，13π4上的图象与直线y ＝a 有三个交点，求实数a 的取值范围．解：(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝12cos2x ＋32sin2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)将f (x )的图象向左平移π3个单位长度，得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 的图象，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得g (x )＝cos x 的图象．作函数g (x )＝cos x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，13π4上的图象，及直线y ＝A ．根据图象知，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22，0.12．如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内草坪的一侧修建一条直路OC ，另一侧修建一条休闲大道，它的前一段OD 是函数y ＝k x (k ＞0)图象的一部分，后一段DBC 是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，x ∈[4,8]的图象，图象的最高点为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，833，DF ⊥OC ，垂足为F .(1)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式；(2)若在草坪内修建如图所示的儿童游乐园，即矩形PMFE ，问点P 落在曲线OD 上何处时，儿童游乐园的面积最大？解：(1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，由图象可知，A ＝833，ω＝2πT ＝2π4(8－5)＝π6，将B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，833代入y ＝833sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ中， 可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝1，故5π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，φ＝2k π－π3(k ∈Z )． 因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3. 故y ＝833sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6x －π3，x ∈[4,8]．(2)在y ＝833sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6x －π3中，令x ＝4，得y ＝4，故D (4,4)，从而得OD 对应的函数为y ＝2x (0≤x ≤4)．设点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，t (0≤t ≤4)，则矩形PMFE 的面积S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－t 24t (0≤t ≤4)． 因为S ′＝4－3t 24，由S ′＝0，得t ＝433，当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，433时，S ′＞0，S 单调递增； 当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫433，4时，S ′＜0，S 单调递减．所以当t ＝433时，S 最大，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，433.13．(2019·石家庄质检)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，得到函数g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32对称，则m 的值可能为( D)A ．π6B ．π2C ．7π6D ．7π12解析：依题意得⎩⎨⎧A ＋B ＝332，－A ＋B ＝－32，解得⎩⎨⎧A ＝3，B ＝32，T 2＝πω＝2π3－π6＝π2，故ω＝2，则f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋32.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＋32＝332， 故π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝π6＋2k π(k ∈Z )． 因为|φ|＜π2，故φ＝π6， 所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32.将函数f (x )的图象向左平移m 个单位长度后得到g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2m ＋32的图象， 又函数g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32对称，即h (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2m 的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＋2m ＝0，即5π6＋2m ＝k π(k ∈Z )，故m ＝k π2－5π12(k ∈Z )．令k ＝2，则m ＝7π12.14．函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2在同一个周期内，当x ＝π4时，y 取得最大值1，当x ＝7π12时，y 取得最小值－1.若函数f (x )满足方程f (x )＝a (0＜a ＜1)，则在[0,2π]内的所有实数根之和为( A )A ．11π2B ．9π2C ．7π2D ．5π2解析：由题意可得2πω＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π4，所以ω＝3.又sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1，所以3π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝2k π－π4(k ∈Z )． 又|φ|＜π2，所以φ＝－π4， 所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4.由于f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4的最小正周期为2π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4在[0,2π]内恰有3个周期，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4＝a (0＜a ＜1)在[0,2π]内有6个实数根，由小到大依次记为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，令3x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，可得x ＝π4＋2k π3，(k ∈Z )．依据f (x )图象的对称性可得x 1＋x 2＝2×π4＝π2，x 3＋x 4＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2π3＝11π6，x 5＋x 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋4π3＝19π6，故所有实数之和为x 1＋x 2＋…＋x 6＝π2＋11π6＋19π6＝11π2，故选A ． 15．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，g (x )＝m cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－2m ＋3(m ＞0)，若对∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∃x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，使得g (x 1)＝f (x 2)成立，则实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，43 .解析：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6， sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值域为[1,2]． 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， ∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，函数g (x )＝m cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－2m ＋3(m ＞0)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3m 2＋3，－m ＋3. ∵对∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∃x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，使得g (x 1)＝f (x 2)成立，∴⎩⎨⎧－3m 2＋3≥1，－m ＋3≤2，解得1≤m ≤43，即m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，43.16．(2019·福建厦门一模)已知函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫M ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象与x 轴的两个相邻交点是A (0,0)，B (6,0)，C 是函数f (x )图象的一个最高点．a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，满足(a ＋c )·(sin C －sin A )＝(a ＋b )sin B ．(1)求函数f (x )的解析式；(2)将函数f (x )的图象向左平移1个单位后，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的π3倍，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的单调递减区间．解：(1)∵函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫M ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象与x 轴的两个相邻交点是A (0,0)，B (6,0)， ∴sin φ＝0，∴φ＝0，且T 2＝12·2πω＝6， ∴ω＝π6，∴f (x )＝M sin π6x .∵C 是函数f (x )图象的一个最高点，a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，满足(a ＋c )(sin C －sin A )＝(a ＋b )sin B ， ∴(a ＋c )(c －a )＝(a ＋b )b ， 整理可得a 2＋b 2－c 22ab ＝－12， 即cos C ＝－12，∴C ＝2π3. 由题意可得CA ＝CB ，∴A ＝π6， 设AB 的中点为D ，连接CD ，则CD ⊥AB ，且点D (3,0)，点C (3，M )， 根据tan A ＝tan π6＝33＝CD AD ＝M3， 得M ＝3，∴f (x )＝3sin π6x .(2)将函数f (x )＝3sin π6x 的图象向左平移1个单位，纵坐标不变，可得y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x ＋1)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6的图象；再把横坐标伸长为原来的π3倍，得到函数 g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π·π6x ＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图象． 令2k π＋π2≤x 2＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z . 得4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3，k ∈Z ，故函数g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3，k ∈Z .。