函数与导数解答题——含参数的一元二次不等式的解法
(完整版)一元二次不等式的经典例题及详解
一元二次不等式专题练习例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．例2 解下列分式不等式： （1）22123+-≤-x x （2）12731422<+-+-x x x x例3 解不等式242+<-x x例4 解不等式04125622<-++-x x x x ． 例5 解不等式x xx x x <-+-+222322． 例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ． 例8 解不等式331042<--x x ．例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ． 例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．例11 若不等式1122+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31(∞+-∞，， ，求a 、b 的值． 例12不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值． 例13解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ． 例14 解不等式x x x ->--81032．例1解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或例2（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
高考数学复习讲义：破解导数问题常用到的4种方法
(－∞，－a－1)，(a，＋∞)，f(x)的极小值为 f(－a－1)＝－a2，极大
值为 f(a)＝1.当 a<0 时，f(x)的递增区间是(－∞，a)，(－a－1，
＋∞)，递减区间是(a，－a－1)，f(x)的极小值为 f(－a－1)＝－a2，
极大值为 f(a)＝1.
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[题后悟通] 求导后，若导函数中的二次三项式能因式分解需考虑首 项系数是否含有参数．若首项系数有参数，就按首项系数为 零、为正、为负进行讨论．可归纳为“首项系数含参数，先 证系数零正负”．
函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(3)＝0，则不
等式f(x)g(x)>0的解集是
()
A．(－3,0)∪(3，＋∞)
B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0,3)
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[解析] 利用构造条件中“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)”与待 解不等式中“f(x)g(x)”两个代数式之间的关系，可构造函数 F(x)＝f(x)g(x)，由题意可知，当x<0时，F′(x)>0，所以F(x) 在(－∞，0)上单调递增．又因为f(x)，g(x)分别是定义在R上 的奇函数和偶函数，所以F(x)是定义在R上的奇函数，从而 F(x)在(0，＋∞)上单调递增，而F(3)＝f(3)g(3)＝0，所以 F(－3)＝－F(3)，结合图象可知不等式f(x)g(x)>0⇔F(x)>0的 解集为(－3,0)∪(3，＋∞)，故选A.
由
f′(x)＝0⇒x1＝－a－3
a2－3，x2＝－a＋3
a2－3 .
x (－∞，x1) (x1，x2) (x2，＋∞)
专题17 函数与导数压轴解答题常考套路归类(精讲精练)(原卷版)
专题17 函数与导数压轴解答题常考套路归类【命题规律】函数与导数是高中数学的重要考查内容，同时也是高等数学的基础，其试题的难度呈逐年上升趋势，通过对近十年的高考数学试题，分析并归纳出五大考点：（1）含参函数的单调性、极值与最值； （2）函数的零点问题；（3）不等式恒成立与存在性问题； （4）函数不等式的证明． （5）导数中含三角函数形式的问题其中，对于函数不等式证明中极值点偏移、隐零点问题、含三角函数形式的问题探究和不等式的放缩应用这四类问题是目前高考函数与导数压轴题的热点．【核心考点目录】核心考点一：含参数函数单调性讨论 核心考点二：导数与数列不等式的综合问题 核心考点三：双变量问题 核心考点四：证明不等式 核心考点五：极最值问题 核心考点六：零点问题核心考点七：不等式恒成立问题核心考点八：极值点偏移问题与拐点偏移问题 核心考点九：利用导数解决一类整数问题 核心考点十：导数中的同构问题 核心考点十一：洛必达法则核心考点十二：导数与三角函数结合问题【真题回归】1．（2022·天津·统考高考真题）已知a b ∈R ，，函数()()sin ,x f x e a x g x =-=(1)求函数()y f x =在()()0,0f 处的切线方程； (2)若()y f x =和()y g x =有公共点， （i ）当0a =时，求b 的取值范围； （ii ）求证：22e a b +>．2．（2022·北京·统考高考真题）已知函数()e ln(1)x f x x =+． (1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性； (3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．3．（2022·浙江·统考高考真题）设函数e()ln (0)2f x x x x=+>． (1)求()f x 的单调区间；(2)已知,a b ∈R ，曲线()y f x =上不同的三点()()()()()()112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若e a >，则10()12e a b f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭； （ⅰ）若1230e,a x x x <<<<，则22132e 112e e6e 6e a ax x a --+<+<-． （注：e 2.71828=是自然对数的底数）4．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()e e ax x f x x =-． (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围； (3)设n *∈N21ln(1)n n +>++．5．（2022·全国·统考高考真题）已知函数1()(1)ln f x ax a x x=--+． (1)当0a =时，求()f x 的最大值；(2)若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围．6．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()ln xf x x a xx e -=+-．(1)若()0f x ≥，求a 的取值范围；(2)证明：若()f x 有两个零点12,x x ，则121x x <．7．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值． (1)求a ；(2)证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【方法技巧与总结】1、对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：（1）定函数（极值点为0x ），即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x 0．（2）构造函数，即根据极值点构造对称函数0()()(2)F x f x f x x =--，若证2120x x x > ，则令2()()()x F x f x f x=-． （3）判断单调性，即利用导数讨论()F x 的单调性．（4）比较大小，即判断函数()F x 在某段区间上的正负，并得出()f x 与0(2)f x x -的大小关系．（5）转化，即利用函数()f x 的单调性，将()f x 与0(2)f x x -的大小关系转化为x 与02x x -之间的关系，进而得到所证或所求．【注意】若要证明122x x f +⎛⎫' ⎪⎝⎭的符号问题，还需进一步讨论122x x +与x 0的大小，得出122x x +所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效2121212ln ln 2x x x xx x -+<-证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数； ②将所得含对数的等式进行变形得到1212ln ln x x x x --；③利用对数平均不等式来证明相应的问题．3、 比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可．【核心考点】核心考点一：含参数函数单调性讨论 【规律方法】1、导函数为含参一次型的函数单调性导函数的形式为含参一次函数时，首先讨论一次项系数为0，导函数的符号易于判断，当一次项系数不为雩，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数图像判定导函数的符号，写出函数的单调区间．2、导函数为含参二次型函数的单调性当主导函数（决定导函数符号的函数）为二次函数时，确定原函数单调区间的问题转化为探究该二次函数在给定区间上根的判定问题．对于此二次函数根的判定有两种情况：（1）若该二次函数不容易因式分解，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域； （2）若该二次函数容易因式分解，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而判断原函数的单调性．3、导函数为含参二阶求导型的函数单调性当无法直接通过解不等式得到一阶导函数的符号时，可对“主导”函数再次求导，使解题思路清晰．“再构造、再求导”是破解函数综合问题的强大武器．在此我们首先要清楚()()()f x f x f x '''、、之间的联系是如何判断原函数单调性的．（1）二次求导目的：通过()f x ''的符号，来判断()f x '的单调性；（2）通过赋特殊值找到()f x '的零点，来判断()f x '正负区间，进而得出()f x 单调性． 【典型例题】例1．（2023春·山东济南·高三统考期中）已知三次函数()()32111212322f x ax a x x =+---.(1)当3a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程， (2)讨论()y f x =的单调性.例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()2122ex f x x a x a -⎡⎤=+-+-⎣⎦，R a ∈，讨论函数()f x 单调性；例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()212ln 212f x a x x a x =+-+，a ∈R ，求()f x 的单调区间.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()()22ln 211f x x ax a x a =---+∈R .求函数()f x 的单调区间；核心考点二：导数与数列不等式的综合问题 【规律方法】在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法．可以达到减少运算量的目的．【典型例题】例5．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知函数()1ln f x x a x x=--.(1)若不等式()0f x ≥在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； (2)证明：()()()22211ln 21ni n n i i n n =+-⎛⎫>⎪+⎝⎭∑.例6．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知函数()e (2)2,x f x x a ax a =-++∈R ． (1)当1a =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； (2)若不等式()0f x ≥对0x ∀≥恒成立，求实数a 的范围； (3)证明：当111,1ln(21)23n n n*∈++++<+N ．例7．（2023春·福建宁德·高三校考阶段练习）已知函数()e ax f x x =-（12a ≥）. (1)(0,1)x ∈，求证：1sin ln 1x x x<<-；(2)证明：111sin sin sin()23f n n+++<.(ln20.693,ln3 1.099≈≈)核心考点三：双变量问题 【规律方法】破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 【典型例题】例8．（2023春·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）已知函数()()ln 1R f x x ax a =-+∈. (1)若过原点的一条直线l 与曲线()y f x =相切，求切点的横坐标；(2)若()f x 有两个零点12x x ，，且212x x >，证明：①1228>e x x ； ②2212220+>e x x .例9．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知函数2()e ,2xmx f x m =-∈R . (1)讨论()f x 极值点的个数；(2)若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明:()()122e f x f x m +<-.例10．（2023·全国·高三专题练习）巳知函数()ln(3)f x x x =+-. (1)求函数f （x ）的最大值; (2)若关于x 的方程e ln3,(0)3x a a a x +=>+有两个不等实数根x x ₁，₂，证明: 122e e x xa+>.核心考点四：证明不等式 【规律方法】利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数． （4）对数单身狗，指数找基友 （5）凹凸反转，转化为最值问题 （6）同构变形 【典型例题】例11．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知函数()()22ln ,f x x ax bx a b =-+∈R ．(1)当0b =时，讨论()f x 的单调性;(2)设12,x x 为()f x 的两个不同零点，证明：当()0,x ∈+∞时，()()12212124sin 2e x x f x x x x +-+<++．例12．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知2()(ln 1)f x x x =+． (1)求()f x 的单调递增区间； (2)若124()()ef x f x +=，且12x x <，证明12ln()ln 21x x +>-．例13．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数()ln m x nf x x+=在()()1,1f 处的切线方程为1y =. (1)求实数m 和n 的值；(2)已知()(),A a f a ，()(),B b f b 是函数()f x 的图象上两点，且()()f a f b =，求证：()()ln ln 1a b ab +<+.核心考点五：极最值问题 【规律方法】利用导数求函数的极最值问题．解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间，从而求得极最值．只是对含有参数的极最值问题，需要对导函数进行二次讨论，对导函数或其中部分函数再一次求导，确定单调性，零点的存在性及唯一性等，由于零点的存在性与参数有关，因此对函数的极最值又需引入新函数，对新函数再用导数进行求值、证明等操作．【典型例题】例14．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数()31,R 3f x x ax a a =-+∈.(1)当1a =-时，求()f x 在[]22-,上的最值； (2)讨论()f x 的极值点的个数.例15．（2023·江西景德镇·高三统考阶段练习）已知函数21()(2)e e,()2x f x x g x a x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，其中a 为大于0的常数，若()()()F x f x g x =-． (1)讨论()F x 的单调区间；(2)若()F x 在()1x t t =≠取得极小值，求()g t 的最小值．例16．（2023·浙江温州·统考模拟预测）已知0a >，函数()()()F x f x g x =-的最小值为2，其中1()e x f x -=，()ln()g x ax =．(1)求实数a 的值；(2)(0,)∀∈+∞x ，有(1)1(e )f x m kx k g x +-≥+-≥，求2mk k -的最大值．核心考点六：零点问题 【规律方法】函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围．求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与x 轴（或直线y k =）在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像； 第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数． 【典型例题】例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()2e 2x m f x x m =+∈R ． (1)若存在0x >，使得()0f x <成立，求m 的取值范围；(2)若函数()()2e e x F x x f x =+-有三个不同的零点，求m 的取值范围．例18．（2023·全国·高三专题练习）设0a >，已知函数()e 2xf x a x =--，和()()ln 22g x x a x =-++⎡⎤⎣⎦.(1)若()f x 与()g x 有相同的最小值，求a 的值；(2)设()()()2ln 2F x f x g x a =++-有两个零点，求a 的取值范围.例19．（2023春·广西·高三期末）已知函数()()ln e axxf xg x x ax ==-，. (1)当1a =时，求函数()f x 的最大值；(2)若关于x 的方()()f x g x +=1有两个不同的实根，求实数a 的取值范围.核心考点七：不等式恒成立问题 【规律方法】1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥．3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()y f x =，[],x a b ∈，()y g x =，[],x c d ∈． （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，有()()12f xg x <成立，则()()maxmin f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f xg x <成立，则()()maxmax f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f xg x <成立，则()()minmax f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f xg x =成立，则()f x 的值域是()g x 的值域的子集．【典型例题】例20．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知函数()ln 1f x x =+.(1)若函数()()1g x mf x x =+-的图象在1x =处的切线与直线2y x =平行，求函数()g x 在1x =处的切线方程；(2)求证：当12a ≤时，不等式()1af x a +≤在[1,e]上恒成立.例21．（2023·上海·高三专题练习）已知函数()(1)e (R x f x x ax a =--∈且a 为常数）. (1)当0a =，求函数()f x 的最小值；(2)若函数()f x 有2个极值点，求a 的取值范围；(3)若()ln e 1x f x x ≥-+对任意的,()0x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.例22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()()e 1ln ln 0x f x a x a x a =+--⋅>．(1)若e a =，求函数()f x 的单调区间； (2)若不等式()1f x <在区间()1,+∞上有解，求实数a 的取值范围．核心考点八：极值点偏移问题与拐点偏移问题 【规律方法】1、极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性．若函数)(x f 在0x x =处取得极值，且函数)(x f y =与直线b y =交于),(),,(21b x B b x A 两点，则AB 的中点为),2(21b x x M +，而往往2210x x x +≠．如下图所示．图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移极值点偏移的定义：对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ，方程)(x f 的解分别为21x x 、，且b x x a <<<21，（1）若0212x x x ≠+，则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移；（2）若0212x x x >+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏，简称极值点0x 左偏；（3）若0212x x x <+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏，简称极值点0x 右偏．【典型例题】例23．（2022•浙江期中）已知函数()f x x lnx a =--有两个不同的零点1x ，2x ． （1）求实数a 的取值范围； （2）证明：121x x a +>+．例24．（2021春•汕头校级月考）已知，函数()f x lnx ax =-，其中a R ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()f x 有两个零点， ()i 求a 的取值范围；()ii 设()f x 的两个零点分别为1x ，2x ，证明：212x x e >．例25．（2022•浙江开学）已知a R ∈，()ax f x x e -=⋅（其中e 为自然对数的底数）． （ⅰ）求函数()y f x =的单调区间；（ⅰ）若0a >，函数()y f x a =-有两个零点x ，2x ，求证：22122x x e +>．核心考点九：利用导数解决一类整数问题 【规律方法】分离参数、分离函数、半分离 【典型例题】例26．已知函数()ln 2f x x x =--． （1）求函数在()()1,1f 处的切线方程（2）证明：()f x 在区间()3,4内存在唯一的零点；（3）若对于任意的()1,x ∈+∞，都有()ln 1x x x k x +>-，求整数k 的最大值．例27．已知函数211()ln 2f x x x x a a ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，(0)a ≠． （1）当12a =时，求函数()fx 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）令2()()F x af x x =-，若()12F x ax <-在()1,x ∈+∞恒成立，求整数a 的最大值．（参考数据：4ln 33<，5ln 44<）．例28．已知函数()ln 2f x x x =--．（1）证明：()f x 在区间()3,4内存在唯一的零点；（2）若对于任意的()1,x ∈+∞，都有()ln 1x x x k x +>-，求整数k 的最大值．核心考点十：导数中的同构问题【规律方法】1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式2、同构式的应用：（1）在方程中的应用：如果方程()0f a =和()0f b =呈现同构特征，则,a b 可视为方程()0f x =的两个根（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．<同构小套路>①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：()xf x x e =⋅，()xf x e x =±；寻找“亲戚函数”是关键；③信手拈来凑同构，凑常数、x 、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围． （3）在解析几何中的应用：如果()()1122,,,Ax y B x y 满足的方程为同构式，则,A B 为方程所表示曲线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线AB 的方程（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于(),n a n 与()1,1n a n --的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解【典型例题】例29．（2022·河北·高三阶段练习）已知函数()ln f x x x =． （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且b a a b =，证明：2111e a b<+<．例30．（2022·河南郑州·二模（文））已知函数()e 21e xf x x =⋅-+，()ln 2xg x x=+． （1）求函数()g x 的极值；（2）当x >0时，证明：()()f x g x ≥例31．（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））已知函数()()e x f x ax a =-∈R ．（1）讨论f （x ）的单调性．（2）若a ＝0，证明：对任意的x >1，都有()4333ln f x x x x x ≥-+．核心考点十一：洛必达法则 【规律方法】法则1、若函数()f x 和()g x 满足下列条件： （1）()lim 0x af x →=及()lim 0x ag x →=；（2）在点a 的去心邻域()(),,a a a a εε-⋃+内，()f x 与()g x 可导且()0g x '≠； （3）()()limx af x lg x →'='，那么()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='．法则2、若函数()f x 和()g x 满足下列条件：（1）()lim 0x f x →∞=及()lim 0x g x →∞=； （2）0A ∃>，()f x 和()g x 在(),A -∞与(),A +∞上可导，且()0g x '≠； （3）()()limx f x l g x →∞'='，那么()()limx f x g x →∞=()()limx f x l g x →∞'='．法则3、若函数()f x 和()g x 满足下列条件： （1）()lim x af x →=∞及()lim x ag x →=∞；（2）在点a 的去心邻域()(),,a a a a εε-⋃+内，()f x 与()g x 可导且()0g x '≠； （3）()()limx af x lg x →'='， 那么()()limx af xg x →=()()limx af x lg x →'='． 注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： （1）将上面公式中的x a →，,x x →+∞→-∞，x a +→，x a -→洛必达法则也成立． （2）洛必达法则可处理00，∞∞，0⋅∞，1∞，∞，，∞-∞型．（3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞，0⋅∞，1∞，∞，，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限．（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．()()()()()()limlimlimx ax ax a f x f x f x g x g x g x →→→'''=='''，如满足条件，可继续使用洛必达法则． 【典型例题】例32．已知函数()=ln (,)f x a x bx a b R +∈在12x =处取得极值，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线10x y -+=垂直．（1）求实数,a b 的值；（2）若[1,)x ∀∈+∞，不等式()(2)mf x m x x≤--恒成立，求实数m 的取值范围．例33．设函数()1x f x e -=-．（1）证明：当1x >-时，()1xf x x ≥+； （2）设当0x ≥时，()1xf x ax ≤+，求a 的取值范围．例34．设函数sin ()2cos xf x x=+．如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．22sin 2sin 2sin (sin )x x x x x x =-=-核心考点十二：导数与三角函数结合问题 【规律方法】 分段分析法【典型例题】例35．（2023·河南郑州·高三阶段练习）已知函数()1sin e xx f x x -=+，ππ,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦． (1)求证：()f x 在ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；(2)当[]π,0x ∈-时，()sin e cos sin xf x x x k x --⎡⎤⎣⎦恒成立，求k 的取值范围．例36．（2023春·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）已知函数()sin ()cos f x x x a x =-+（a 为常数），函数3211()32g x x ax =+.(1)证明：（i ）当0x >时，sin x x >； （ii ）当0x <时，sin x x <；(2)证明：当0a ≥时，曲线()y f x =与曲线()y g x =有且只有一个公共点.例37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数π()e sin sin ,[0,π]4xf x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.(1)若1a ≤，判断函数()f x 的单调性； (2)证明：e (π)1sin cos x x x x -+≥-.【新题速递】1．（2023·北京·高三专题练习）已知1x =是函数()()ln ln ln 21xf x x ax x=-+++的一个极值点． (1)求a 值；(2)判断()f x 的单调性；(3)是否存在实数m ，使得关于x 的不等式()f x m ≥的解集为()0,∞+?直接写出m 的取值范围．2．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知()214ln 2f x x x a x =-+． (1)若函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，证明：()()1210ln f x f x a +>-+．3．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知函数()()2e 21xf x x ax =+-，其中R a ∈，若()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程为210x by ++=． (1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在区间[]3,1-上的最值．4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()1f x x =-，()ln(1)g x m x =-，R m ∈. (1)若直线:20l x y -=与()y g x =在(0,(0))g 处的切线垂直，求m 的值；(2)若函数()()()h x g x f x =-存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()()1122x h x x h x >.5．（2023·北京·高三专题练习）已知函数()2e x f x =，直线:2l y x b =+与曲线()y f x =相切．(1)求实数b 的值；(2)若曲线()y af x =与直线l 有两个公共点，其横坐标分别为(,)m n m n <． ①求实数a 的取值范围； ②证明：()()1f m f n ⋅>．6．（2023春·陕西西安·高三统考期末）已知函数()()33ln af x x a x x=--+． (1)当0a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若[]1,e x ∀∈，()0f x <，求实数a 的取值范围．7．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数()31f x x ax =-+．(1)当1a =时，过点()1,0作曲线()y f x =的切线l ，求l 的方程； (2)当0a ≤时，对于任意0x >，证明：()cos f x x >．8．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数()22e xx f x ax +=++． (1)若()f x 单调递增，求a 的取值范围；(2)若()f x 有两个极值点12,x x ，其中12x x <，求证：2133x x a ->-．9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()43,R,04a f x x ax bx ab a =--∈≠ (1)若0b =，求函数()f x 的单调区间；(2)若存在0R x ∈，使得()()00f x x f x x =+-，设函数()y f x =的图像与x 轴的交点从左到右分别为A ，B ，C ，D ，证明：点B ，C 分别是线段AC 和线段BD 的黄金分割点.（注：若线段上的点将线段分割成两部分，且其中较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，则称此点为该线段的黄金分割点）10．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数()()2e e xf x x =-+，()()2112g x a x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()()ln 1ln h x x x a =-+，其中a 为常数，若()()()()F x f x g x h x =-+.(1)讨论()F x 的单调区间；(2)若()F x 在()1x t t =≠取得极小值，且()()f t mh t ≥恒成立，求实数m 的取值范围.11．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点P (2，0)作直线l 交抛物线于A ，B 两点．(1)若l 的倾斜角为π4，求△F AB 的面积；(2)过点A ，B 分别作抛物线C 的两条切线1l ，2l 且直线1l 与直线2l 相交于点M ，问：点M 是否在某定直线上？若在，求该定直线的方程，若不在，请说明理由．12．（2023春·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考期中）已知函数()21ln 2f x x ax =-，()()21e 112x g x x ax a x =--+-，(1)求函数()y f x =的单调区间；(2)若对于定义域内任意x ，()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．。
解答含参不等式问题常用的几种方法
考点透视含参不等式问题较为复杂，常与导数、函数、方程等知识相结合.这类问题侧重于考查不等式的性质、简单基本函数的图象和性质、导数的性质等，对同学们的运算和分析能力有较高的要求.下面举例说明解答含参不等式问题的几种常用方法.一、判别式法判别式法主要适用于求解含参二次不等式问题.解答这类问题主要有三个步骤：第一步，根据二次不等式构造一元二次方程；第二步，运用二次方程的判别式，建立关于参数的新不等式；第三步，解新不等式，求得问题的答案.例1.若ax2-2ax+1≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围为_____.解：当a=0时，1≥0，不等式ax2-2ax+1≥0成立；当a≠0时，{a>0，Δ≤0，解得0<a≤1；综上所述，实数a的取值范围为0≤a≤1.该二次不等式的二次项和一次项中含有参数，需分a=0和a≠0两种情况进行讨论.运用判别式法求解含参一元二次不等式问题，需先根据不等式构造一元二次函数和一元二次方程；然后根据一元二次方程的根的分布情况，建立关于判别式、根与系数、对称轴的不等式，从而求得参数的取值范围.二、分离参数法分离参数法适用于求解变量和参数可分离的不等式问题.解题时，需先判断出参数系数的正负；然后根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端含有参数、另一端含有变量的不等式；再求出含变量一边的式子的最值；最后求出参数的取值范围.例2.当x∈()1,+∞时，(e x-1-1)ln x≥a(x-1)2恒成立，则实数a的取值范围为_____.解：因为x∈()1,+∞，则x-1>0，由(e x-1-1)ln x≥a(x-1)2，可得e x-1-1x-1⋅ln xx-1≥a，即e x-1-1x-1⋅1x-1ln x≥a，则e x-1-1x-1⋅1e ln x-1ln x≥a，令f()x=e x-1x()x>0，则f′()x=()x-1e x+1x2，令g()x=()x-1e x+1，则g′()x=xe x>0，所以g()x在()0,+∞上单调递增，则g()x>g()0=0，即f′()x>0，所以f()x在()0,+∞上单调递增，则f()x>0，令h()x=ln x-x+1，则h′()x=1-xx<0，则h()x在()1,+∞上单调递减，则h()x<h()1=0，即ln x-x+1<0，则x-1>ln x，所以f()x-1>f()ln x>0，即e x-1-1x-1>eln x-1ln x>0，可得e x-1-1x-1⋅1e ln x-1ln x>1，则a≤1，解答本题，要先将不等式进行整理，使参数和变量分离；再构造出函数f()x=e x-1x()x>0，将问题转化为函数最值问题.对其求导，判断其单调性，即可求得参数的取值范围.三、函数性质法若含参不等式中含有简单基本函数，则可直接将不等式进行变形，将其构造成函数，把问题转化为f(x,a)≥0、f(x,a)<0、f(x,a)≥g(x,a)、f(x,a)<g(x,a)等函数不等式问题.再根据简单基本函数的单调性，以及导数与函数单调性之间的关系，判断出函数的单调性，即可根据函数的单调性，求得函数的最值，顺利求出问题的答案.例3.若不等式sin x-ln()x+1+e x≥1+x+ax2-13x3恒成立，则a的取值范围为_____.解：由x>-1得，sin x-ln(x+1)+e x-x-1-ax2+13x3≥0，设f(x)=sin x-ln(x+1)+e x-x-1-ax2+13x3，则g(x)=f′(x)=cos x-1x+1+e x-1-2ax+x2，则h(x)=g′(x)=-sin x+1(x+1)2+e x-2a+2x，则z(x)=h′(x)=-cos x-2(x+1)3+e x+2，z′(x)=sin x+6(x+1)4+e x，当x>-1时，z′(x)>0，则h(x)单调递增，又当x∈(-1,0)时，z(x)<0，则h(x)单调递减，当x∈(0,+∞)时，z(x)>0，则h(x)单调递增，又h(0)=2-2a，①当2-2a≥0，即1≥a时，h(0)≥0，则当x∈(-1,+∞)孙小芳35考点透视时，h (x )≥0，此时g (x )单调递增，又g (0)=0，故当x ∈(-1,0)时，g (x )<0，则f (x )单调递减，当x ∈(0,+∞)时，g (x )>0时，f (x )单调递增，所以f (x )min =f (0)，又f (0)=0，故f (x )≥0恒成立，满足题意；②当2-2a <0，即a >1时，h (0)<0，x →+∞，h (x )→+∞，故存在x 0>0，且h (x 0)=0，则当x ∈(-1,x 0)时，h (x )<0，则g (x )单调递减，当x ∈(x 0,+∞)时，h (x )>0，所以g (x )单调递增，又g (0)=0，故g (x 0)<0，x →+∞，g (x )→+∞，故存在x 1>x 0，且g (x 1)=0，所以当x ∈(-1,x 1)时，g (x )<0，则f (x )单调递减，又因为f (0)=0，所以f (x )<f (0)=0，与f (x )≥0恒成立不相符；综上所述，a ≤1.根据不等式构造函数f (x )=sin x -ln(x +1)+e x -x -1-ax 2+13x 3，通过多次求导，判断出导函数的符号，进而判断出函数的单调性，求得函数最值.求得使f (x )min ≥0成立时a 的取值范围，即可解题.四、主参换位法主参换位法，也叫反客为主法，适用于解答已知参数的范围求自变量取值范围的不等式问题.解答这类问题一般分三个步骤：第一步，将原不等式转化成关于参数的不等式；第二步，以参数为自变量，构造函数式，将问题转化为函数问题；第三步，根据函数的性质、图象讨论不等式成立的情形，建立关系即可解题.例4.已知函数f ()x =ax 2+bx -6，不等式f ()x ≤0的解集为[]-3,2.若当0≤m ≤4时，不等式mf ()x +6m <x +1恒成立，求实数x 的取值范围．解：由题意知：-3,2是方程ax 2+bx -6=0的根，且a >0，∴ìíîïï-b a=-3+2，-6a=(-3)×2，解得a =1，b =1．∴f ()x =x 2+x -6，∴mf ()x +6m <x +1可变形为()x 2+x m -x -1<0，令g ()m =()x 2+x m -x -1，∴{g (0)<0，g (4)<0，即{-x -1<0，4x 2+3x -1<0，解得ìíîx >-1，-1<x <14，-1<x <14．解答本题主要采用了主参换位法.因为已知参数m 的取值范围，故把m 当成自变量，通过主参换位，将问题转化为g ()m =()x 2+x m -x -1对任意0≤m ≤4恒成立，根据一次函数的性质，列出不等式组，即可解题．五、数形结合法当把不等式两边的式子看成两个函数式时，可根据其几何意义画出两个函数的图象，分析两个曲线间的位置，确保不等式恒成立，即可通过数形结合，求得参数的取值范围.例5.若关于x 的不等式||||kx -4-x 2-3≤3k 2+1恒成立，则k 的取值范围是_____.解：由题意可得4-x 2≥0，得-2≤x ≤2，则||||kx -4-x 2-3≤3k 2+1可转化为：||kx -4-x 23，设直线l :kx -y -3=0，上半圆C :x 2+y 2=4()y >0，即y =4-x 2，半径为r =2，||kx -4-x 2≤3表示圆C 小于或等于3，如图，设圆心（原点O ）到直线l 的距离为d ，由于圆C 上半部分上的点到直线l 的最大距离为d +r =d +2，所以d +2≤3，即d ≤1，即||0-0-3k 2+1≤1，解得k ≤-22或k ≥22，所以k 的取值范围为(]-∞,-22⋃[)22,+∞.解答本题，需挖掘代数式的几何意义，采用数形结合法，将原问题转化为使圆C 上半部分上的任意一点到直线l 的距离小于或等于3时参数的取值范围.分析直线与圆的位置关系，便可建立新不等式.由此可见，求解含参不等式问题的方法多样.但由于不等式与函数的关系紧密，且利用函数的单调性和图象容易建立不等关系式，因此函数思想是破解含参不等式问题的主要思想.（作者单位：江苏省南京市大厂高级中学）36。
一元二次不等式的解法说课稿
《一元二次不等式解法》说课稿1一、教材简析1、地位和价值一元二次不等式解法是高中数学新教材第一册（上）第一章第5节的内容。
在此之前，学生在初中已学习了一元一次不等式，一元一次不等式组，一元二次方程，二次函数，绝对值不等式（高中），这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
一元二次不等式解法是解不等式的基础和核心，它在高中代数中起着广泛应用的工具作用，蕴藏着“数与形结合”的重要思想方法，它已成为代数、三角、解析几何交汇综合的重要部分，是高考综合题的热点。
2、教材结构简介教材首先以一个一次函数图象的应用解一元一次不等式，引出图象法，然后给出一个二次函数，通过具体画图象，提出问题。
再一般地给出了二次函数图象解二次不等式的结论。
课本精选了四个解不等式的例题，并配有相应的练习和习题。
它的后一小节为解可转化为一元二次不等式的分式不等式。
二、教育教学观1、学生为主体，重学生参与学习活动。
2、重过程。
按照认知规律及学生认知特点，由浅入深，由表及里，设计一系列教学活动过程。
体现由“实践……观察……归纳……猜想……结论……验证应用”的循环往复的认知过程。
3、重能力与态度的培养，在活动中培养学生自主、交流合作、探究、发现的能力。
重科学严谨的个性品质。
重参与学习的兴趣和体验。
4、重指导点拨。
在学生自主探究、实践的基础上，相机启发，恰当点拨，促进学生知识由感性向理性提升，由具体到概括抽象，形成师生间的有效互动。
三、教学目标基于上述认识，及不等式的基本知识，同时学生在初中已学过二次函数，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制订如下教学目标：1、知识目标：一元二次方程，一元二次不等式及二次函数间的联系，及利用二次函数的图象求解一元二次不等式。
2、能力目标：数形结合的思想（应用二次函数图象解不等式）3、情感态度目标：通过问题解决，培养学生自主参与学习，以及严谨求实的态度。
四、教与学重点、难点1、重点：用图象解一元二次不等式。
2、难点：围绕二次函数图象、性质这一主线，解决三个“二次”的联系和应用。
导数解答题之证明不等式
，
①当 m≤0 时 f′（x）＞0 恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，无极值， ②当 m＞0 时令 f′（x）＞0，∴0＜x＜ ， 令 f′（x）＜0，∴x＞ ， 所以函数 f（x）在（0， ）上为增函数，在（ ，+∞）为减函数， 所以当 x＝ 时，有极大值，极大值为﹣ （ln2m+1），无极小值，
∴
由题意可知 a＞x0+1，又 x0∈（3，4），a∈Z， ∴a 的最小值为 5．
多元不等式的证明
证明多元不等式通常的方法有两个 （1）消元：① 利用条件代入消元 ② 不等式变形后对某多元表达式进行整体换元 （2）变量分离后若结构相同，则可将相同的结构构造一个函数，进而通过函数的单调性与 自变量大小来证明不等式 （3）利用函数的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系，再寻找方法.
证明一元不等式主要的方法
方法一：将含 x 的项或所有项均挪至不等号的一侧，将一侧的解析式构造为函数，通过分
析函数的单调性得到最值，从而进行证明，其优点在于目的明确，构造方法简单，但对于 移项后较复杂的解析式则很难分析出单调性
x 1
2e x
f (x) e ln x . f x 1 已知函数
证明：
上单 调递增 ，从
1
而
g(x)在(0，＋∞)上的最小值为
g
e
＝－1 e
设函数 h(x)＝xe－x－2，则 h′(x)＝e－x(1－x)．所以当 x∈(0，1)时，h′(x)>0；当 x∈(1， e
＋∞)时，h′(x)<0.故 h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而 h(x)在(0，＋∞)
所以 h（x）max＝h（x0）＝
一元二次不等式及其解法
由f(x)＝ x － 2x－ 4ln x，定义域为(0，＋∞ )， 2 4 2（ x － x－ 2） ∴ f′(x)＝ 2x－ 2－ ＝ ， x＞ 0， x x 由 f′(x)＞ 0且 x＞ 0，得 x2－ x－ 2＞0且 x＞0， 即 (x－ 2)(x＋ 1)＞ 0且 x＞ 0， 解之得x＞ 2， ∴不等式f′(x)＞ 0的解集为{x|x＞ 2}.
(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ的符号； (3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程 的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无根； (4)结合二次函数的图象得出不等式的解 集．特别地，若一元二次不等式的左边的
(2013·九江调研)若将例1的函数f(x)的解析 式改为“f(x)＝x2－2x－4ln x”，求不等式 f′(x)＞0的解集． 2
一元二次不等式及其解法
1．一元二次不等式与相应的二次函数及一 元二次方程的关系如下表
判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数 y＝ax2＋bx ＋c (a＞0)的图像
一元二次方程 有两相异实根 2 ax ＋ bx＋c＝ 0 x1，x2(x1＜ x2) (a＞ 0)的根 一元二次不等 {x| x＜x1 式 或x＞x2 } ax2＋ bx＋c＞ 0 ____________ (a＞ 0)的解集 ax2＋ bx＋c＜ 0 {x|x ＜x＜x } 1 2 ___________ (a＞ 0)的解集
6＜ s1＜ 8， 图6－2－1所示，其中 14＜ s2＜ 17.
(1)求n的值； (2)要使刹车距离不超过12.6 m，则行驶的 最大速度是多少？ 【审题视点】 (1)由图象信息，将v＝40， v＝70时，代入求s1，s2，得关于n的不等 式组；(2)解关于v的不等式，求最大值．
高考数学专题《函数与导数》解读
从新高考的考查情况来看，函数与导数一直是高考的重点和难点．一般以基本初等函数为载体，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点等问题，同时与解不等式关系最为密切，还可能与三角函数、数列等知识综合考查。
一般出现在选择题和填空题的后两题以及解答题中，难度较大，复习备考的过程中应引起重视。
通过导数研究函数的单调性、极值、最值问题，考查考生的分类讨论思想、等价转化思想以及数学运算、逻辑推理核心素养.1、研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (1)讨论分以下四个方面①二次项系数讨论；②根的有无讨论；③根的大小讨论；④根在不在定义域内讨论． (2)讨论时要根据上面四种情况，找准参数讨论的分类． (3)讨论完毕须写综述．2、研究函数零点或方程根的方法(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法:借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围．(2)数形结合法求解零点:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围．(3)构造函数法研究函数零点:①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解．②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法． 3、求与函数零点有关的参数范围的方法： 方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点．（1）参数分离法，构造新的函数，将问题转化为利用导数求新函数单调性与最值.（2）分类讨论法. 4、不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点()0f x =()y f x =x ()y f x =重难点06 函数与导数和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．恒成立问题的重要思路：(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max．(2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min．存在性（有解）问题的重要思路：(1)存在m≥f(x) ⇒m≥f(x) min(2) 存在m≤f(x) ⇒m≤f(x) max．5、利用导数证明不等式f(x)＞g(x)的基本方法：(1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min＞g(x)max；(2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)＞0.无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质，达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.6、函数性质综合问题函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略：（1）函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．（3）单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．（4）应用奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称．利用单调性比较大小、解不等式、研究函数的最值、函数单调性的讨论（含参）、零点问题和不等式恒成立的相关问题（包含不等式证明和由不等式恒成立求参数取值范围）是出题频率最高的；同时也要注意极值点偏移、双变量等热点问题。
高中数学导数压轴30题
高中数学导数压轴30题（解答题）解答题（共30小题）1．设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．解答：解：（I）令g（x）=2x2+2x+a，其对称轴为．由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，其充要条件为，得（1）当x∈（﹣1，x1）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，x1）内为增函数；（2）当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x1，x2）内为减函数；（3）当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x2，+∞）内为增函数；（II）由（I）g（0）=a＞0，∴，a=﹣（2x22+2x2）∴f（x2）=x22+aln（1+x2）=x22﹣（2x22+2x2）ln（1+x2）设，则h'（x）=2x﹣2（2x+1）ln（1+x）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（1+x）（1）当时，h'（x）＞0，∴h（x）在单调递增；（2）当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减．∴故．2．己知函数f（x）=x2e﹣x（Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．∴x=0是极小值点，x=2极大值点，又f（0）=0，f（2）=．故f（x）的极小值和极大值分别为0，．（II）设切点为（），则切线方程为y﹣=（x﹣x0），令y=0，解得x==，因为曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数，∴（＜0，∴x0＜0或x0＞2，令，则=．①当x0＜0时，0，即f′（x0）＞0，∴f（x0）在（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x0）＜f（0）=0；②当x0＞2时，令f′（x0）=0，解得．当时，f′（x0）＞0，函数f（x0）单调递增；当时，f′（x0）＜0，函数f（x0）单调递减．故当时，函数f（x0）取得极小值，也即最小值，且=．综上可知：切线l在x轴上截距的取值范围是（﹣∞，0）∪．3．已知函数f（x）=lnx+x2．（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a＞1，h（x）=e3x﹣3ae x x∈[0，ln2]，求h（x）的极小值；（Ⅲ）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣kx（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且2x0=m+n．问：函数F（x）在点（x0，F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．分析：（Ⅰ）先根据题意写出：g（x）再求导数，由题意知，g′（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立，即由此即可求得实数a的取值范围；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用换元法令t=e x，则t∈[1，2]，则h（t）=t3﹣3at，接下来利用导数研究此函数的单调性，从而得出h（x）的极小值；（Ⅲ）对于能否问题，可先假设能，即设F（x）在（x0，F（x0））的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnx﹣x2﹣kx结合题意，列出方程组，证得函数在（0，1）上单调递增，最后出现矛盾，说明假设不成立，即切线不能否平行于x轴。
高中数学必修五同步练习题库：一元二次不等式及其解法(选择题：一般)
一元二次不等式及其解法（选择题：一般）1、不等式组的解集是（）A． B． C． D．或2、关于的不等式的解集为，且，则（）A． B． C． D．3、已知不等式的解集为，则不等式的解集为（）A． B．C． D．4、若不等式对一切恒成立，则实数取值的集合为（）A． B． C． D．5、已知不等式的解集为,则不等式的解集为( ) A． B．C． D．6、已知集合则 ( )A． B． C． D．7、关于的不等式()的解集为,且,则（）A． B． C． D．8、已知不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．9、不等式对于恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．10、对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D．11、对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是( ) A． B．(-∞,2］ C． D．12、若关于的不等式的解集为，则实数的值是（）A．1 B．2 C．3 D．413、若二次不等式在区间[2,5]上有解，则的取值范围是A． B． C． D．14、不等式的解集是（）A． B．C． D．15、不等式的解为（）A． B． C． D．16、已知不等式的解集是，则的值为（）A． B． C． D．17、不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A． B． C． D．18、关于的不等式的解集为，则不等式的解为（）A． B． C． D．19、若不等式的解集为，则的值为 ( )A． B． C． D．20、不等式的解集是（）A． B． C． D．21、对于任意实数x，不等式（ a-2）x2-2(a-2)x-4<0恒成立，则实数a的取值范围是( )A．(-∞,2) B．(-∞,2］C．(-2,2) D．（-2,2］22、若不等式的解集为，则的值为 ( )A． B． C． D．23、设集合P={m|－1＜m≤0，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x成立，则下列关系中成立的是（）A．P Q B．Q P C．P=Q D．P∩Q=φ24、若实数，且，满足，，则代数式的值为（）A．－20 B．2 C．2或－20 D．2或2025、若实数，且满足，，则代数式的值为（）A．-20 B．2 C．2或-20 D．2或2026、已知关于的不等式对任意恒成立，则有( )A． B． C． D．27、若为的解集，则的解集为()A．或 B．C． D．或28、若对任意实数x∈R，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[2，6] B．[-6，-2] C．（2，6） D．（-6，-2）29、用表示非空集合中的元素个数，定义，若，，且，则的取值范围是( ) A．或 B．或C．或 D．或30、已知集合，，则（）A． B． C． D．31、已知方程组的解为非正数，为非负数，则的取值范围是（）A． B． C． D．32、已知集合，，则A． B． C． D．33、已知集合，，则A． B． C． D．34、已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为( )A．6 B．7 C．9 D．1035、不等式组的解集是（）A． B． C． D．或36、若“”是“不等式成立”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．37、不等式的解集是（）A． B． C． D．38、已知，则（）A． B． C． D．39、若关于x的不等式ax2+bx+2＜0的解集为，则a﹣b的值是（）A．﹣14 B．﹣12 C．12 D．1440、对任意实数x，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．41、若不等式的解集为，则的值为 ( )A． B． C． D．42、不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a-b等于（）A．-10 B．10 C．-14 D．1443、当时，不等式恒成立，则k之的取值范围是（）A． B． C． D．（0，4）44、若不等式和不等式的解集相同，则、的值为（）A．=﹣8 =﹣10 B．=﹣4 =﹣9C．=﹣1 =9 D．=﹣1 =245、若{x|2<x<3}为x2＋ax＋b<0的解集，则bx2＋ax＋1>0的解集为()A．{x|x<2或x>3} B．{x|2<x<3}C． D．46、当时，不等式恒成立，则的取值范围是A． B．C． D．47、若不等式x2-kx+k-1>0对x∈(1,2)恒成立,则实数k的取值范围是()A．(-∞,2] B．(1,+∞) C．(-∞,2) D．[1,+∞)48、函数的定义域是()A．{x|x<－4或x>3} B．{x|－4<x<3}C．{x|x≤－4或x≥3} D．{x|－4≤x≤3}49、当|x|≤1时，函数y＝ax＋2a＋1的值有正也有负，则实数a的取值范围是()A．a≥－ B．a≤－1C．－1<a<－ D．－1≤a≤－50、不等式的解集为（）A．或 B． C． D．或51、当x∈R时，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，则k的取值范围是()A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．[0,4) D．(0,4)52、已知关于x的不等式ax2-x+b≥0的解集为[-2，1]，则关于x的不等式bx2-x+a≤0的解集为（）A．[-1，2] B．[-1， ] C．[-，1] D．[-1，-]53、若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是( )A．[2，＋∞) B．(－∞，－6] C．[－6,2] D．(－∞，－6]∪[2，＋∞)54、已知不等式的解集为,则不等式的解集为( ) A． B．C． D．55、若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．56、不等式的解集为A． B． C．R D．57、当|x|≤1时，函数y＝ax＋2a＋1的值有正也有负，则实数a的取值范围是()A．a≥－ B．a≤－1C．－1<a<－ D．－1≤a≤－58、二次函数的部分对应值如下表：则一元二次不等式的解集是A. B.C. D.59、对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．60、若关于的不等式的解集为，且，则（）A． B． C． D．61、已知关于x的不等式ax2-x+b≥0的解集为[-2，1]，则关于x的不等式bx2-x+a≤0的解集为（）A．[-1，2] B．[-1， ] C．[-，1] D．[-1，-]62、不等式的解集是 ( )A． B．C． D．63、若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．64、设，=,C U A=,则m的取值范围是（）A．[0， ) B．{0} (，+)C．(-，0] D．( -，0] (，+)65、关于x的不等式ax-b>0的解集是（1，+），则关于x的不等式（ax+b）（x-2）>0的解集是（）A．（1，2） B．（-1，2）C．（-，-1）（2，+） D．（-，1）（2，+）66、当x>0时，若不等式x2+ax+4≥0恒成立，则a的最小值为（）A．-2 B．2 C．-4 D．467、若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．68、若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．69、函数的定义域为_______________．70、关于x的不等式的解集中，恰有个整数，则a的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案1、C2、A3、B4、D5、B6、C．7、A8、B9、A10、C11、D12、A13、A14、D15、C16、A17、B18、C19、B20、A21、D22、B23、C24、A25、A26、A27、D28、A29、D30、B31、D32、A33、A34、C35、C36、D37、D38、B39、A40、A41、B42、A43、C44、B45、D46、C47、A48、C49、C50、C51、C52、C53、D54、B55、A56、A57、C58、C59、A60、D61、C62、B63、A64、A65、C66、C67、A68、A69、70、D【解析】1、求解不等式：可得：；求解不等式：可得：；据此可得不等式组的解集是.本题选择C选项.点睛：解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集.2、试题分析：原不等式等价于，，所以不等式的解集为：，所以，解得，故选A.考点：一元二次不等式3、由题意可知的两个根为，不等式即为，解不等式得解集为.考点：三个二次之间的关系.4、当时，恒成立；当时，有解得，所以.考点：不等式恒成立问题.5、试题分析：由已知可得是方程的两根．由根与系数的关系可知，，．代入不等式解得．考点：本题考查一元二次不等式的解法．6、试题分析：解得，，故选C．考点：1．一元二次不等式的解法；2．集合的运算．7、试题分析：由得，，所以.所以选A. 考点：1.含参的二次不等式的解法.8、不等式等价于，令，由得在上是减函数，时，取最大值，故选B.9、不等式对于恒成立，(1)时，不等式成立；当时，，；综上可知：的取值范围是.10、，即时，恒成立，时，则有，解得，故选C.11、首先讨论当二次项系数为0时，即a=2时，原不等式为-4<0,恒成立；当时，该函数是二次函数，则要求开口向下，判别式小于零，，且两种情况并到一起，得到a的范围为。
一元二次不等式题-概述说明以及解释
一元二次不等式题-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述一元二次不等式是数学中常见且重要的内容之一。
它是由一个未知数的二次方程构成的不等式，表示了一个范围内的不等关系。
解一元二次不等式是我们在求解实际问题时经常遇到的需求，掌握解一元二次不等式的方法可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
本文将对一元二次不等式的基本概念、性质以及解题方法进行详细介绍。
首先，我们将介绍一元二次不等式的基本概念，包括定义、形式以及与一元二次方程的关系。
其次，我们将介绍一元二次不等式的性质，如单调性、图像、根的性质等，这些性质是我们解一元二次不等式时的重要参考依据。
最后，我们将探讨解一元二次不等式的方法，包括图像法、代入法、等价变形法等不同的解题思路和应用技巧。
本文的目的是帮助读者通过学习和掌握一元二次不等式的基本概念和性质，以及解题方法，提高对一元二次不等式的理解和应用能力。
通过解一元二次不等式的过程，读者可以培养分析问题、抽象问题、解决问题的能力，同时也可以锻炼逻辑思维和数学推理的能力。
在文章的后续部分，我们将详细介绍一元二次不等式的基本概念和性质，以及解一元二次不等式的方法。
通过对这些内容的学习和理解，读者将能够更好地应用一元二次不等式解决实际问题，在数学学习中迈出更加坚实的步伐。
接下来，我们将开始介绍一元二次不等式的基本概念和性质。
请继续阅读下一部分：2.1 一元二次不等式的基本概念和性质。
1.2文章结构1.2 文章结构：本文主要分为三个部分，分别是引言、正文和结论。
在引言部分，我们将概述本文的主题——一元二次不等式题，并介绍文章的目的。
通过引言部分的阅读，读者可以初步了解一元二次不等式题的基本概念、性质以及解题方法的重要性。
在正文部分，我们将详细介绍一元二次不等式的基本概念和性质。
首先，我们会解释什么是一元二次不等式，它在数学中的重要性以及与一元二次方程的关系。
然后，我们会探讨一元二次不等式的性质，包括判定一元二次不等式的正负性、求解一元二次不等式的基本步骤等等。
高考总复习二轮理科数学精品课件 专题6 函数与导数 增分2 利用导数证明不等式
由题意可得 f(1)=2,f'(1)=e.故 a=1,b=2.
x
(2)证明 (方法一)要证明 e ln
只需证明 ln
2
x+e
设函数 g(x)=ln
只需证明
>
2e-1
x+ >1(x>0),
1
(x>0),即证明
e
ln
2
1
x+e − e >0,
2
1
x+ − (x>0),
2
1
0<a≤ 时,f(x)≥ ax+
e
2
+ 1.
1e0 -0
1 x
1 0
(1)解 由题意 f'(x)= e .设切点为 A(x0,y0),切线的斜率 k= e =
,
解得
e
e
x0=1,∴A(1,),k=,
∴切线的方程为
e
y-
=
e
(x-1),即
e
y=x.
(2)证明 (方法一)①当 a=1 时,要证
x
x
x-1
1
e-1
1
(x>0),∴只需证明
则下面证明
eln
2
x+
>
ห้องสมุดไป่ตู้
1
(x>0),设
e-1
g(x)min>0,g'(x)= 2 .
g(x)=eln
2
1
x+ − =eln
第一轮一元二次不等式及其解法详细过程
第一节一元二次不等式及其解法(见学生用书第1页)考纲传真1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3．会解一元二次不等式．对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.1．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅2.用程序框图表示一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的求解过程3．简单的分式不等式 (1)f （x ）g （x ）＞0⇔f (x )·g (x )＞0； (2)f （x ）g （x ）≤0⇔f (x )·g (x )≤0且g (x )≠0．ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)对一切x ∈R 恒成立的条件是什么？ 【提示】 a >0且b 2－4ac <0.1．(人教A 版教材习题改编)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )A ．(－12，1) B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－12)∪(1，＋∞)【解析】 ∵2x 2－x －1＝(x －1)(2x ＋1)＞0，∴x ＞1或x ＜－12.故原不等式的解集为(－∞，－12)∪(1，＋∞)．【答案】 D2．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A ．(－12，1]B ．{x |x ≥1或x ＜－12}C ．[－12，1]D ．{x |x ≥1或x ≤－12}【解析】 原不等式等价于(x －1)(2x ＋1)＜0或x －1＝0.∴原不等式的解集为(－12，1]．【答案】 A 3．(2012·福建高考)已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 ∵x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立， ∴Δ＝a 2－4×2a <0，∴0<a <8. 【答案】 (0，8)4．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是(－12，13)，则a ＋b 的值是________．【解析】 由已知得方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12，13.则⎩⎨⎧－b a ＝－12＋132a ＝（－12）×13解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14. 【答案】－14(见学生用书第2页)一元二次不等式的解法解下列不等式 (1)3＋2x －x 2≥0； (2)x 2＋3＞2x ；(3)2x x －1≤1. 【思路点拨】 (1)先把二次项系数化为正数，再用因式分解法；(2)用配方法或用判别式法求解；(3)移项通分，转化为一元二次不等式求解．【尝试解答】 (1)原不等式化为x 2－2x －3≤0， 即(x －3)(x ＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}． (2)原不等式化为x 2－2x ＋3＞0，∵Δ＝4－12＝－8＜0，又因二次项系数为正数， ∴不等式x 2＋3＞2x 的解集为R . (3)∵2x x －1≤1⇔2xx －1－1≤0⇔x ＋1x －1≤0 ⇔(x －1)(x ＋1)≤0且x ≠1. ∴原不等式的解集为[－1，1)．,1．熟记一元二次不等式的解集公式是掌握一元二次不等式求解的基础，可结合一元二次方程及判别式或二次函数的图象来记忆求解． 2．解一元二次不等式的步骤：(1)把二次项系数化为正数；(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法；(3)写出不等式的解集．解下列不等式：(1)－2x 2－5x ＋3＞0； (2)－1≤x 2＋2x －1≤2；【解】 (1)∵－2x 2－5x ＋3＞0，∴2x 2＋5x －3＜0， ∴(2x －1)(x ＋3)＜0，∴原不等式的解集为{x |－3＜x ＜12}．(2)这是一个双向不等式，可转化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1≥－1，x 2＋2x －1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ≥0， ①x 2＋2x －3≤0. ②由①得x ≥0或x ≤－2； 由②得－3≤x ≤1.故得所求不等式的解集为{x |－3≤x ≤－2或0≤x ≤1}.含参数的一元二次不等式的解法 求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．【思路点拨】 先求方程12x 2－ax ＝a 2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集． 【尝试解答】 ∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0， 即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，得：x 1＝－a 4，x 2＝a3.①a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为{x |x ＜－a 4或x ＞a3}；②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； ③a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为{x |x ＜a 3或x ＞－a4}．综上所述：当a ＞0时，不等式的解集为{x |x ＜－a 4或x ＞a3}；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a ＜0时，不等式的解集为{x |x ＜a3或x ＞－a 4}．,解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程实根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定方程无实根时可直接写出解集，确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．解关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0.【解】 原不等式可化为(x －a )(x －1)＜0. 当a ＞1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为空集； 当a ＜1时，原不等式的解集为(a ，1)．三个二次的关系 已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集(－1，2)，试求关于x 的不等式ax 2＋x ＋b ＜0的解集．【思路点拨】 不等式解集的端点值是相应方程的根．【尝试解答】 由于x 2＋ax ＋b ＜0的解集是(－1，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＋b ＝0，4＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.故不等式即为－x 2＋x －2＜0，∵⎩⎪⎨⎪⎧－1＜0，Δ＝1－8＝－7＜0 ∴不等式ax 2＋x ＋b ＜0的解集为R .,(1)给出一元二次不等式的解集，则可知二次项系数的符号和相应一元二次方程的两根． (2)三个二次的关系体现了数形结合，以及函数与方程的思想方法．若关于x 的不等式axx －1＜1的解集是{x |x ＜1或x ＞2}，求实数a 的取值范围．【解】 axx －1＜1⇔（a －1）x ＋1x －1＜0⇔[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，由原不等式的解集是{x |x＜1或x ＞2}，知⎩⎨⎧a －1＜0，－1a －1＝2⇒a ＝12. ∴实数a 的取值范围是{12}．不等式恒成立问题 若不等式mx 2－mx －1＜0对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 【思路点拨】 分m ＝0与m ≠0两种情况讨论，当m ≠0时，用判别式法求解． 【尝试解答】 要使mx 2－mx －1＜0对一切实数x 恒成立， 若m ＝0，显然－1＜0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0，解得－4＜m ＜0，故实数m 的取值范围是(－4，0]．,1．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＞0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.2．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．对任意a ∈[－1，1]不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则实数x 的取值范围是________．【解析】 设f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则原问题可转化为一次函数(或常数函数)f (a )在区间[－1，1]上恒正时x 应满足的条件，故应有⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＞0，f （1）＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，化为⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x －3）＞0，（x －1）（x －2）＞0.解之，得x ＜1或x ＞3. 【答案】 x ＜1或x ＞3一个过程解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程根的情况)，三写(写出不等式的解集)．两点联想不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(a ≠0)的求解，善于联想：(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点，(2)方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，运用好“三个二次”间的关系．三个防范1.二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况．2．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．3．不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．(见学生用书第3页)从近两年的高考试题来看，一元二次不等式的解法、含参数不等式的解法以及二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的综合应用等问题是高考的热点．常与集合、函数、导数等知识交汇命题，主要考查分析问题、解决问题的能力、推理论证能力及转化与化归的思想．思想方法之一 巧用一元二次不等式求代数式的最值(2011·浙江高考)设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．【解析】 法一 设2x ＋y ＝t ，∴y ＝t －2x ，代入4x 2＋y 2＋xy ＝1，整理得6x 2－3tx ＋t 2－1＝0.关于x 的方程有实根，因此Δ＝(－3t )2－4×6×(t 2－1)≥0，解得－2105≤t ≤2105.则2x ＋y 的最大值是2105.法二 ∵1＝4x 2＋y 2＋xy ＝(2x ＋y )2－3xy＝(2x ＋y )2－32(2x )·y≥(2x ＋y )2－32·(2x ＋y 2)2＝58(2x ＋y )2，∴(2x ＋y )2≤85，∴－85≤2x ＋y ≤ 85，即－2105≤2x ＋y ≤2105.【答案】 2105易错提示：(1)换元后，不会从关于x 的一元二次方程有实数解入手解决问题，致使思维受阻．(2)不会利用化归与转化思想化未知为已知，致使解题时无从下手，盲目作答． 防范措施：(1)应熟练掌握一元二次方程与其判别式Δ之间的关系，关于x 的一元二次不等式有实根的充要条件是其对应的判别式非负．(2)遇到一个问题，要注意寻找结论和已知间的关系，化已知为未知或化未知为已知．1．(2012·天津高考)设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 2x 2＋x －1>0的解集为{x |x >12或x <－1}，故由x >12⇒2x 2＋x －1>0，但2x 2＋x －1>0D ⇒/x >12.则“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的充分不必要条件．【答案】 A 2．(2013·清远模拟)不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 由题意知，不等式(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0对一切x ∈R 恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，Δ＝16－4（a ＋2）（a －1）＜0，解得a ＞2. 【答案】 (2，＋∞)。
《导数》解答题16道(含详解答案)
《导数》解答题16道专项练习1.已知函数22()x f x e ax e x =+-.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线平行于x 轴，求函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若0x >时，总有2()f x e x >-，求实数a 的取值范围.【详解答案】（Ⅰ）由22()x f x e ax e x =+-，得2()2x f x e ax e '=+-，即()y f x =在点(2,(2))f 处的切线斜率40k a ==此时2()x f x e e x =-，2()x f x e e '=-由()0f x '=，得2x =当(,2)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在(,2)-∞上为单调递减函数；当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(2,)+∞上为单调递增函数.（Ⅱ）2()f x e x >-得2x e a x >-，设2()x e g x x =-(0)x >，则2(2)()x e x g x x -'=当02x <<时，()0g x '>，()g x 在(0,2)上单调递增；当2x >时，()0g x '<，()g x 在(0,2)上单调递减；2()(2)4e g x g ≤=-，所以实数a 的取值范围为2(,)4e -+∞2.函数()ln()ln f x x m n x =+-.（Ⅰ）当1m =，0n >时，求()f x 的单调减区间；（Ⅱ）1n =时，函数()(2)()g x m x f x am =+-，若存在0m >，使得()0g x >恒成立，求实数a 的取值范围.【详解答案】（Ⅰ）由()ln()ln f x x m n x =+-((0,))x ∈+∞，1(1)()1(1)n n x n f x x x x x --'=-=++①当1n =时，1()(1)f x x x -'=+，所以函数()f x 的单调递减区间为：(0,)+∞②当01n <<时，由()0f x '<，得01n x n <<-，所以函数()f x 的单调递减区间为：(0,)1n n-③当1n >时，由()0f x '<，得0x >，所以函数()f x 的单调递减区间为：(0,)+∞综上可得：当1n ≥时，函数()f x 的单调递减区间为：(0,)+∞当01n <<时，函数()f x 的单调递减区间为：(0,1n n-（Ⅱ）当1n =时，函数()(2)()(2)[ln()ln ]g x m x f x am m x x m x am =+⋅-=++--，(0,)+∞由()0g x >可得()0g x x >，即(1)ln (1)0m x m x m x a x x x ++++-->，设1m x t x +=>，所以(1)ln (1)0t t a t +-->，(1)ln 01a t t t -->+令(1)()ln 1a t h t t t -=-+，1t >，222(1)1()(1)t a t h t t t +-+'=+，(1)0h =①当2a ≤时，222(1)1210t a t t t +-+≥-+>，所以()0h t '>可得函数()h t 在(1,)+∞上单调递增.可得()(1)0h t h >=②当2a >时，()0h t '=，即2t +2(1-a )t +1=0，得11t a =--，21t a =-+由21t >，121t t =，可得11t <，所以函数()h t 在2(1,)t 上单调递减可得()(1)0h t h <=，舍去综上可得，实数a 的取值范围为2a ≤3.已知函数(a ∈R )，当时，讨论f (x )的单调性．【详解答案】（1）求函数的导数，可得导函数的零点为1，，根据一元二次不等式的解法可确定函数的单调性．试题解析：因为，所以，，令，可得两根分别为1，，因为，所以，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．4.已知函数，x >1.(1)若f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围；(2)若a ＝2，求函数f (x )的极小值．【详解答案】(1)，由题意可得在上恒成立，∴.∵，∴，∴当时函数的最小值为，∴.故实数的取值范围为.(2)当时，，，令得，解得或(舍)，即.当时，，当时，，∴的极小值为.5.已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x－1(a ∈R)．当0<a <12时，讨论f (x )的单调性．【详解答案】因为f (x )＝ln x －ax ＋1－a x －1，所以f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2－x ＋1－a x 2，x ∈(0，＋∞)，令f ′(x )＝0，可得两根分别为1，1a －1，因为0<a <12，所以1a－1>1>0，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x，1a －f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x1，＋f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．6.已知函数f (x )＝x ln x ＋ax ，x >1.(1)若f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围；(2)若a ＝2，求函数f (x )的极小值．解析：(1)f ′(x )＝ln x －12＋a ，由题意可得f ′(x )≤0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1ln 2x －1ln x ＝－14.∵x ∈(1，＋∞)，∴ln x ∈(0，＋∞)，∴当1ln x －12＝0时函数t －14的最小值为－14，∴a ≤－14.故实数a ∞，－14.(2)当a ＝2时，f (x )＝x ln x ＋2x ，f ′(x )＝ln x －1＋2ln 2x ln 2x ，令f ′(x )＝0得2ln 2x ＋ln x －1＝0，解得ln x ＝12或ln x＝－1(舍)，即x ＝e 12.当1<x <e 12时，f ′(x )<0，当x >e 12时，f ′(x )>0，∴f (x )的极小值为＝e 1212＋2e 12＝4e 12.7.已知函数()1ln f x x a x x=-+（a R ∈）．（Ⅰ）若函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）已知()()21112g x x m x x =+-+，2m ≤-，()()()h x f x g x =+，当1a =时，()h x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求()()12h x h x -的最小值．【详解答案】（1）由已知可得()0f x '≥在[)1,+∞上恒成立，()222111a x ax f x x x x ++'=++= ，210x ax ∴++≥恒成立，21x a x--∴≥，记()2112x x x x x ϕ--⎛⎫==-+≤- ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时等号成立，2a ∴≥-．………………+4分（2）()21ln 2h x a x x mx =++，当1a =时，由()21ln 2h x x x mx =++，()211x mx h x x m x x ++'=++=，由已知210x mx ++=有两互异实根1x ，2x ，由根与系数的关系得12x x m +=-，1x ，21x =．()()221211122211ln ln 22h x h x x x mx x mx ⎛⎫⎛⎫∴-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()221212121ln ln 2x x m x x x x =-+-+-()()()()222211212121212211ln ln ln 22x x x x x x x x x x x x =--+-+-=--+1212121ln 2x x x x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．……………………+7分令12x t x =，()0,1t ∴∈，()2222121212922x x x x x x m +=++=≥ ，221252x x ∴+≥，221212122152x x x x x x x x +∴=+≥，152t t +≥，10,2t ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦，()()()1211ln 2h x h x t t t t ϕ⎛⎫∴-=--= ⎪⎝⎭，()()2212t t t ϕ-'∴=-，()t ϕ∴10,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦单调递减，()min 13ln 224t ϕϕ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭． (12)8.已知函数()222x f x e ax a =+-，a R ∈．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0x ≥时，()23f x x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围．【详解答案】（Ⅰ）()22x f x e a '=+，①0a ≥时，()0f x '>恒成立，此时()f x 在R 上单调递增；②当0a <时，由()0f x '>，得()ln x a >-；由()0f x '<，得()ln x a <-，此时()f x 在()(),ln a -∞-上递减，在())ln ,a -+∞⎡⎣上递增．…………………+4分（Ⅱ）令()()()22323x g x f x x e x a =-+=--+，0x ≥，则()()2x g x e x a '=-+，又令()()2x h x e x a =-+，则()()210x h x e '=-≥，()h x ∴在[)0,+∞上递增，且()()021h a =+．①当1a ≥-时，()0g x '≥恒成立，即函数()g x 在[)0,+∞上递增，从而须满足()2050g a =-≥，解得a ≤≤，又1a ≥-，1a ∴-≤≤；②当1a <-时，则00x ∃>，使()00h x =，且()00,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，即()g x 递减，()0,x x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，即()g x 递增．()()()0200min 230x g x g x e x a ∴==--+≥，又()()00020x h x e x a =-+=，从而()002230x x e e-+≥，解得00ln 3x <≤，由0000x x e x a a x e =-⇒=-，令()x M x x e =-，0ln 3x <≤，则()10xM x e '=-<，()M x ∴在(]0,ln 3上递减，则()()ln 3ln 33M x M ≥=-，又()()01M x M <=-，故ln 331a -≤<-，综上ln 335a -≤≤．……………………+12分9.（本小题满分12分）已知函数()()22ln f x x a x a x =-++，其中a R ∈．（1）若曲线()y f x =在点()()2,2f f 处的切线的斜率为1，求a 的值；（2）讨论函数()f x 的单调性．【详解答案】（1）由()()22ln f x x a x a x =-++可知，函数的定义域为{}0x x >，且()()22a f x x a x '=-++．由题意，()()24212a f a '=-++=，解得2a =．（2）()()()()()2222122x a x a x a x a f x x a x x x-++--'=-++==（0x >）令()0f x '=，得11x =，22a x =①当0a ≤时，02a ≤，令()0f x '>，得1x >，令()0f x '<，得01x <<所以，()f x 在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数②当012a <<，即02a <<时，令()0f x '>，得1x >或02a x <<，令()0f x '<，得12a x <<所以，()f x 在,12a ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞上为增函数③当12a =，即2a =时，()0f x '≥恒成立，所以，()f x 在()0,+∞上为增函数④当12a >，即2a >时，令()0f x '>，得01x <<或2a x >，令()0f x '<，得12a x <<所以，()f x 在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在()0,1和,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数10.（本小题满分12分）已知函数()()22x f x ax x e =++（0a >），其中e 是自然对数的底数．（1）当2a =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 在[]2,2-上是单调增函数，求a 的取值范围；（3）当1a =时，求整数t 的所有值，使方程()4f x x =+在[],1t t +上有解．【详解答案】（1）()()222x f x x x e =++，则()()()()2253123x x f x x x e x x e '=++=++令()0f x '=，1x =-，32-()32352f x f e -⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭极大值，()()113f x f e -=-=极小值（2）问题转化为()()22130xf x ax a x e '⎡⎤=+++≥⎣⎦在[]2,2x ∈-上恒成立；又0x e >即()22130ax a x +++≥在[]2,2x ∈-上恒成立；令()()2213g x ax a x =+++0a > ，对称轴1102x a=--<①当1122a --≤-，即102a <≤时，()g x 在[]2,2-上单调增，()()min 210g x g ∴=-=>102a ∴<≤②当12102a -<--<，即12a >时，()g x 在12,12a ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦上单调减，在11,22a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调增，()221120a a ∴∆=+-≤解得：331122a -≤≤+13122a ∴<≤+综上，a 的取值范围是30,12⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦．（3）1a = ，设()()224x h x x x e x =++--，()()2331xh x x x e '=++-令()()2331x x x x e ϕ=++-，()()256xx x x e ϕ'=++令()()2560x x x x e ϕ'=++=，得2x =-，3-()()33310x e ϕϕ∴=-=-<极大值，()()21210x eϕϕ=-=-<极小值()1110e ϕ-=-< ，()020ϕ=>∴存在()01,0x ∈-，()0,x x ∈-∞时()0x ϕ<，()0,x x ∈+∞时()0x ϕ>()h x ∴在()0,x -∞上单调减，在()0,x +∞上单调增又()41440h e -=> ，()38310h e-=-<，()020h =-<，()1450h e =->由零点的存在性定理可知：()0h x =的根()14,3x ∈--，()20,1x ∈即4t =-，0．11.设函数211()ln 42f x x x x =--.（1）求()f x 的极值；（2）若21()(()1)4g x x f x x =++，当1x >时，()g x 在区间(,1)n n +内存在极值，求整数n 的值.【详解答案】（1）2'1112()0)222x x f x x x x x --+=--=>，令'()0f x =，解得1x =（-2舍去），根据',(),()x f x f x 的变化情况列出表格：由上表可知函数()f x 的单调增区间为(0,1)，递减区间为(1,)+∞，在1x =处取得极大值34-，无极小值.（2）2211()(()1)ln 42g x x f x x x x x x =++=-+，'()ln 11ln 2g x x x x x =+-+=-+，令()ln 2h x x x =-+，∴'11()1x h x x x -=-=，∵1x >，∴'()0h x <恒成立，所以()h x 在(1,)+∞为单调递减函数，∵(1)10h =>，(2)ln 20h =>，(3)ln 31h =-，(4)ln 420h =-<.所以()h x 在(3,4)上有零点0x ，且函数()g x 在0(3,)x 和0(,4)x 上单调性相反，因此，当3n =时，()g x 的区间(,1)n n +内存在极值，所以3n =.12.已知函数21()(2)2x f x a x e x x =-∙-+.（1）若1a =，求函数()f x 在(2,(2))f 处切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调区间.【详解答案】（1）'()1()x x f x e x e x x R =--+∈，故切线斜率'2(2)1f e =-，(2)0f =，所以，切线方程22(1)2(1)0e x y e ----=.（2）令'()0f x =，(1)(1)0x x ae --=，当(,0]a ∈-∞时，()f x 在(,1)-∞上为增函数，在(1,)+∞上为减函数，当1(0,)a e ∈时，()f x 在(,1)-∞，1(ln,)a +∞上为增函数，在1(1,ln a 上为减函数当1a e =时，()f x 在R 上恒为增函数当1(,)a e ∈+∞时，()f x 在1(,ln )a -∞，(1,)+∞上为增函数，在1(ln ,1)a上为减函数13.已知函数()x f x ae x b =-+，()ln(1)g x x x =-+，（,,a b R e ∈为自然对数的底数），且曲线()y f x =与()y g x =在坐标原点处的切线相同.（1）求()f x 的最小值；（2）若0x ≥时，()()f x kg x ≥恒成立，试求实数k 的取值范围.【详解答案】（1）因为'()1x f x ae =-，'1()1(1)1g x x x =->-+，依题意，''(0)(0)f g =，且(0)0f =，解得1,1a b ==-，所以'()1x f x e =-，当0x <时，'()0f x <；当0x >时，'()0f x >.故()f x 的单调递减区间为(,0)-∞，单调递增区间为(0,)+∞.∴当0x =时，()f x 取得最小值为0.（2）由（1）知，()0f x ≥，即1x e x ≥+，从而ln(1)x x ≥+，即()0g x ≥.设()()()ln(1)(1)1x F x f x kg x e k x k x =-=++-+-，则'()(1)1(1)11x kkF x e k x k x x =+-+≥++-+++，①当1k =时，因为0x ≥，∴'1()1201F x x x ≥++-≥+（当且仅当0x =时等号成立）此时()F x 在[0,)+∞上单调递增，从而()(0)0F x F ≥=，即()()f x kg x ≥.②当1k <时，由于()0g x ≥，所以()()g x kg x ≥，又由（1）知，()()0f x g x -≥，所以()()()f x g x kg x ≥≥，故()0F x ≥，即()()f x kg x ≥.（此步也可以直接证1k ≤）③当1k >时，令()(1)1x kh x e k x =+-++，则'2()(1)x kh x e x =-+，显然'()h x 在[0,)+∞上单调递增，又'(0)10h k =-<，'11)10h -=->，所以'()h x 在1)上存在唯一零点0x ，当0(0,)x x ∈时，'()0h x <，∴()h x 在0[0,)x 上单调递减，从而()(0)0h x h <=，即'()0F x <，所以()F x 在0[0,)x 上单调递减，从而当0(0,)x x ∈时，()(0)0F x F <=，即()()f x kg x <，不合题意.综上，实数k 的取值范围为(,1]-∞.14.已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈.（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调区间.【详解答案】（1）∵2a =，∴()2ln f x x x =-，∴(1)12ln11f =-=，即(1,1)A '2()1f x x =-，'(1)121f =-=-，当0a ≤时，∵0x >，∴'()0f x >恒成立，∴()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增；当0a >时，令'()0f x =，得x a =，∵0x >，∴'()0f x >，得x a >；'()0f x <得0x a <<；∴()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增.15.已知函数1()f x x x=-.（1）用函数单调性的定义证明：函数()f x 在区间(0,)+∞上为增函数；（2）若2(4)(2)0t t tf mf -=，当[1,2]t ∈时，求实数m 的取值范围.【详解答案】（1）证明：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则1212121212121212()(1)1111()()()x x x x f x f x x x x x x x x x x x -+-=---=-+=∵120x x <<，∴1210x x +>，120x x >，120x x -<，有12()()0f x f x -<即12()()f x f x <，∴函数()f x 在区间(0,)+∞上为增函数（2）∵22112(4)(2)2(2)(2)022t t t t t t t t f mf m -=---=即24(21)21t t m -=-∵2210t ->，∴221t m =+∵[1,2]t ∈，∴212[5,17]t +∈故m 的取值范围是[5,17].16.已知函数2()ln 2f x x ax x =--.（1）若函数()f x 在1[,2]4x ∈内单调递减，求实数a 的取值范围；（2）当14a =-时，关于x 的方程1()2f x x b =-+在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围.【详解答案】（1）2'1221()22ax x f x ax x x --+=--=由题意'()0f x ≤在1[,2]4x ∈时恒成立，即221212(1)1x a x x-≥=--在1[,2]4x ∈时恒成立，即2max 12[(1)1]a x ≥--，当14x =时，21(1)1x --取得最大值8，∴实数a 的取值范围是4a ≥（2）当14a =-时，1()2f x x b =-+可变形为213ln 042x x x b -+-=令213()ln (0)42g x x x x b x =-+->，则'(2)(1)()2x x g x x --=列表如下：∴()(2)ln 22g x g b ==--极小值，5(1)4g b =--又(4)2ln 22g b =--∵方程()0g x =在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，∴(1)0(2)0(4)0g g g ≥⎧⎪<⎨⎪≥⎩得5ln 224b -<≤-.17.已知函数2()2ln f x x x =-+，函数()f x 与()a g x x x =+有相同极值点.（1）求函数()f x 的最大值；（2）求实数a 的值；（3）若121,[,3]x x e ∀∈，不等式12()()11f x g x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围.【详解答案】（1）'22(1)(1)()20)x x f x x x x x--+=-+=>，由'()00f x x ⎧>⎨>⎩，得01x <<；由'()00f x x ⎧<⎨>⎩，得1x >∴()f x 在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数，∴函数()f x 的最大值为(1)1f =-.（2）因为()a g x x x =+，所以'2()1a g x x=-，由（1）知，1x =是函数()f x 的极值点，又因为函数()f x 与()a g x x x=+有相同极值点，∴1x =是函数()g x 的极值点，∴'(1)10g a =-=，解得1a =经检验，当1a =时，函数()g x 取到极小值，符合题意（3）因为211(2f ee =--，(1)1f =-，(3)92ln 3f =-+∵2192ln 321e -+<--<-，即1(3)()(1)f f f e <<，∴11[,3]x e ∀∈，1min ()(3)92ln 3f x f ==-+，1max ()(1)1f x f ==-，由（2）知，1()g x x x=+，∴'21()1g x x =-∴()g x 在1[,1)e 上，'()0g x <；当(1,3]x ∈时，'()0g x >∴()g x 在1[,1)e 上为减函数，在(1,3]上为增函数，∵11()g e e e =+，(1)2g =，110(3)333g =+=，而11023e e <+<，∴1(1)()(3)g g g e <<∴21[,3]x e ∀∈，2min ()(1)2g x g ==，2max 10()(3)3g x g ==①当10k ->，即1k >时，对于121,[,3]x x e ∀∈，不等式12()()11f x g x k -≤-恒成立即12max [()()]1k f x g x ≥-+，∵12()()(1)(1)123f x g x f g -≤-=--=-，∴312k ≥-+=-，由12k k >⎧⎨≥-⎩，得1k >.②当10k -<时，即1k <，对于121,[,3]x x e ∀∈，不等式12()()11f xg x k -≤-恒成立即12min [()()]1k f x g x ≤-+，∵121037()()(3)(3)92ln 32ln 333f x g x f g -≥-=-+-=-+，∴342ln 33k ≤-+综上所述，所求的实数k 的取值范围为34(,2ln 3](1,)3-∞-++∞ .。
(完整版)一元二次不等式的经典例题及详解
一元二次不等式专题练习例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．例2 解下列分式不等式： （1）22123+-≤-x x （2）12731422<+-+-x x x x例3 解不等式242+<-x x例4 解不等式04125622<-++-x x x x ． 例5 解不等式x xx x x <-+-+222322． 例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ． 例8 解不等式331042<--x x ．例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ． 例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．例11 若不等式1122+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31(∞+-∞，， ，求a 、b 的值． 例12不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值． 例13解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ． 例14 解不等式x x x ->--81032．例1解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或例2（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
高三数学 一元二次不等式及其解法复习 试题
第2讲一元二次不等式及其解法制卷人：打自企；成别使；而都那。
审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。
【2021年高考会这样考】1．会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型．2．考察一元二次不等式的解法及其“三个二次〞间的关系问题．3．以函数、导数为载体，考察不等式的参数范围问题．【复习指导】1．结合“三个二次〞之间的联络，掌握一元二次不等式的解法．2．纯熟掌握分式不等式、无理不等式、含绝对值不等式、高次不等式、指数不等式和对数不等式的解法．根底梳理1．一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或者ax2＋bx＋c ＜0(a＞0)．(2)求出相应的一元二次方程的根．(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx ＋c (a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集一个技巧一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集确实定受a的符号、b2－4ac的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有亲密联络，可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集．假设一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax2＋bx＋c＞0(或者＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1，x2，(x1＜x2)(此时Δ＝b2－4ac＞0)，那么可根据“大于取两边，小于夹中间〞求解集．两个防范(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况；(2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进展分类讨论；假设不能因式分解，那么可对判别式进展分类讨论，分类要不重不漏．双基自测1．不等式x2－3x＋2＜0的解集为()．A．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B．(－2，－1)C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(1,2)2．不等式2x2－x －1＞0的解集是( )． A.⎝⎛⎭⎫－12，1 B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 3．不等式9x2＋6x ＋1≤0的解集是( )． A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠－13B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－13≤x≤13 D ．R 4．假设不等式ax2＋bx －2＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－2＜x ＜14，那么ab ＝( )．A ．－28B ．－26C ．28D ．265．不等式ax2＋2ax ＋1≥0对一切x ∈R 恒成立，那么实数a 的取值范围为_____考向一 一元二次不等式的解法【例1】►函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋2x ，x≥0，－x2＋2x ，x ＜0，解不等式f(x)＞3.[审题视点] 对x 分x≥0、x ＜0进展讨论从而把f(x)＞3变成两个不等式组．解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为HY 形式；(2)确定判别式Δ的符号；(3)假设Δ≥0，那么求出该不等式对应的二次方程的根，假设Δ＜0，那么对应的二次方程无根；(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集．特别地，假设一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，那么可立即写出不等式的解集．【训练1】 函数f(x)＝2x2＋x －3＋log3(3＋2x －x2)的定义域为________．考向二 含参数的一元二次不等式的解法 【例2】►求不等式12x2－ax ＞a2(a ∈R)的解集．[审题视点] 先求方程12x2－ax ＝a2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集．解含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1)二次项假设含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 【训练2】 解关于x 的不等式(1－ax)2＜1.考向三 不等式恒成立问题【例3】►不等式ax2＋4x ＋a ＞1－2x2对一实在数x 恒成立，务实数a 的取值范围．[审题视点] 化为HY 形式ax2＋bx ＋c ＞0后分a ＝0与a≠0讨论．当a≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝b2－4ac ＜0.不等式ax2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或者恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＞0；当a≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0；不等式ax2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或者恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＜0；当a≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.【训练3】 f(x)＝x2－2ax ＋2(a ∈R)，当x ∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围．标准解答12——怎样求解含参数不等式的恒成立问题【问题研究】 含参数的不等式恒成立问题越来越受高考命题者的青睐，且由于新课标对导数应用的加强，这些不等式恒成立问题往往与导数问题交织在一起，在近年的高考试题中不难看出这个根本的命题趋势.对含有参数的不等式恒成立问题，破解的方法主要有：别离参数法和函数性质法.【解决方案】 解决这类问题的关键是将恒成立问题进展等价转化，使之转化为函数的最值问题. 【例如】►(此题满分是14分)(2021·)设函数f(x)＝(x －a)2ln x ，a ∈R. (1)假设x ＝e 为y ＝f(x)的极值点，务实数a ；(2)务实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈(0,3e]，恒有f(x)≤4e2成立． 注：e 为自然对数的底数．此题对于(1)问的解答要注意对于结果的检验，因为f′(x0)＝0，x0不一定是极值点；对于(2)问的解答可以采用别离参数求最值的方法进展打破，这样问题就转化为单边求最值，相对分类讨论求解要简单的多．[解答示范] (1)求导得f′(x)＝2(x －a)ln x ＋x －a 2x ＝(x －a)(2ln x ＋1－ax)．(2分) 因为x ＝e 是f(x)的极值点，所以f′(e)＝(e －a)⎝⎛⎭⎫3－ae ＝0，解得a ＝e 或者a ＝3e.经检验，符合题意，所以a ＝e 或者a ＝3e.(4分)(2)①当0＜x≤1时，对于任意的实数a ，恒有f(x)≤0＜4e2成立．(5分) ②当1＜x≤3e 时，由题意，首先有f(3e)＝(3e －a)2ln(3e)≤4e2， 解得3e －2e ln 3e ≤a≤3e ＋2eln 3e(6分)由(1)知f′(x)＝x －a ⎝⎛⎭⎫2ln x ＋1－ax .(8分) 令h(x)＝2ln x ＋1－ax，那么h(1)＝1－a ＜0，h(a)＝2ln a ＞0，且h(3e)＝2ln(3e)＋1－a3e ≥2 ln(3e)＋1－3e ＋2eln 3e 3e ＝2⎝⎛⎭⎫ln 3e －13ln 3e ＞0.(9分)又h(x)在(0，＋∞)内单调递增，所以函数h(x)在(0，＋∞)内有唯一零点，记此零点为x0，那么1＜x0＜3e,1＜x0＜a.从而，当x ∈(0，x0)时，f′(x)＞0；当x ∈(x0，a)时，f′(x)＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f′(x)＞0.即f(x)在(0，x0)内单调递增，在(x0，a)内单调递减，在(a ，＋∞)内单调递增． 所以要使f(x)≤4e2对x ∈(1,3e]恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧f x0＝x0－a 2ln x0≤4e2，1f3e ＝3e －a 2ln 3e≤4e2，2成立．(11分)由h(x0)＝2ln x0＋1－ax0＝0，知a ＝2x0ln x0＋x0.(3)将(3)代入(1)得4x20ln3x0≤4e2.又x0＞1，注意到函数x2ln3x 在(1，＋∞)内单调递增，故1＜x0≤e. 再由(3)以及函数2xln x ＋x 在(1，＋∞)内单调递增，可得1＜a≤3e. 由(2)解得，3e －2e ln 3e ≤a≤3e ＋2eln 3e.所以3e －2eln 3e≤a≤3e.(13分)综上，a 的取值范围为3e －2eln 3e≤a≤3e.(14分)．此题考察函数极值的概念，导数的运算法那么，导数的应用，不等式的根底知识，考察学生推理论证才能．分析问题，解决问题的才能．难度较大，做好此类题目，一要有信心，二要结合题意进展恰当地转化，化难为易，化生疏为熟悉．【试一试】 设函数f(x)＝ax3－3x ＋1，假设对于任意x ∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，务实数a 的值． [尝试解答] (1)假设x ＝0，那么不管a 取何值，f(x)＝1＞0恒成立． (2)假设x ＞0，即x ∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x ＋1≥0可化为a≥3x2－1x3.设g(x)＝3x2－1x3，那么g ′(x)＝31－2xx4， ∴g(x)在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减．∴g(x)max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a≥4. (3)假设x ＜0，即x ∈[－1,0)时，f(x)＝ax3－3x ＋1≥0可化为a≤3x2－1x3.设h(x)＝3x2－1x3，那么h′(x)＝31－2xx4， ∴h(x)在[－1,0)上单调递增． ∴h(x)min ＝h(－1)＝4，从而a≤4. 综上所述，实数a 的值是4.制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
高中数学导数经典题型解题技巧(运用方法)
高中数学导数经典题型解题技巧（运用方法)高中数学导数及其应用是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中·期末还是会考·高考，都是高中数学的必考内容之一.因此，针对这两各部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法,希望能够帮助到高中的同学们有更多·更好·更快的方法解决高中数学问题。
好了，下面就来讲解常用逻辑用语的经典解题技巧。
第一·认识导数概念和几何意义1.导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景。
(2)理解导数的几何意义。
2．导数的运算（1）能根据导数定义求函数231(),,,,,y C C y x y x y x y y x======为常数的导数。
（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
（3)能求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +的复合函数）的导数。
3．导数在研究函数中的应用(1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。
（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次）;会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。
4．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题5．定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。
（2）了解微积分基本定理的含义。
总结：先搞清楚导数概念以及几何意义，才能更好地运用其解题技巧！第二·导数运用和解题方法一、利用导数研究曲线的切线考情聚焦：1．利用导数研究曲线()的切线是导数的重要应y f x用，为近几年各省市高考命题的热点.2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题,多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。
解题技巧：1．导数的几何意义函数()y f x =在0x 处的导数()f x '的几何意义是：曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数()s t 对时间t 的导数).2．求曲线切线方程的步骤:（1)求出函数()y f x =在点0x x =的导数，即曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的斜率；（2）在已知切点坐标00(,())P x f x 和切线斜率的条件下,求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。
高二数学函数试题答案及解析
高二数学函数试题答案及解析1.若定义在R上的函数满足：，且对任意满足，则不等式的解集为（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】构造，则；因为对任意满足，所以恒成立，即在上为减函数；又因为，所以的解集为.【考点】抽象不等式的解集.2.设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”．已知，若对任意的实数满足时，函数在区间上为“凸函数”，则的最大值为（）A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】由题意，得，．令对上恒成立，∴，解得，∴，故选C【考点】1、利用导数求最值；2、二次函数的图象应用．3.已知函数在与时都取得极值.(1)求的值与函数的单调区间(2)若对，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】（1），函数的递增区间是与,递减区间是；（2）或.【解析】(1)先求出，进而得到，从中解方程组即可得到的值，然后再通过求出函数的增区间，通过求出函数的减区间； (2)要使对，不等式恒成立问题，则只需，从而目标转向函数的最大值，根据(1)中所得的值，确定函数在区间的最大值，进而求解不等式即可. 试题解析：（1）由，得，函数的单调区间如下表：-极大值¯极小值-所以函数的递增区间是与,递减区间是（2），当时，为极大值，而，则为最大值，要使恒成立，则只需要，得或.【考点】1.函数的极值与导数；2.函数的单调性与导数；3.函数的最值与导数.4.已知函数的导函数的图象如图所示，则关于函数，下列说法正确的是 ( )A．在处取得最大值B．在区间上是增函数C．在区间上函数值均小于0D．在处取得极大值【答案】D【解析】因为函数的导函数的图象如图所示，导函数在，的值小于零，所以函数在，上递减；导函数在的值大于零，所以函数在递增.所以A,B,C选项都错了，所以选D.【考点】1.导函数的图像.2.导函数的几何意义.3.利用导数解决函数的性质.5.已知函数.（1）解关于的不等式；（2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，原不等式的解集为或；当时，解集为且；当时，解集为或；（2）的取值范围是.【解析】（1）本小题是含参数的一元二次不等式问题，求解时先考虑因式分解，后针对根的大小进行分类讨论，分别写出不等式的解集即可；（2）不等式的恒成立问题，一般转化为函数的最值问题，不等式即在上恒成立可转化为（），而函数的最小值可通过均值不等式进行求解，从而可求得的取值范围.试题解析：（1）由得，即 1分当，即时，原不等式的解为或 3分当，即时，原不等式的解为且 4分当，即时，原不等式的解为或综上，当时，原不等式的解集为或；当时，解集为且；当时，解集为或 6分（2）由得在上恒成立，即在上恒成立，所以（） 8 分令，则 10分当且仅当等号成立，即故实数的取值范围是 12分.【考点】1.一元二次含参不等式；2.分类讨论的思想；3.分离参数法；4.均值不等式.6.设F（x）=3a+2bx+c，若a+b+c=0，且F（0）>0，F（1）>0.求证：a>0，且—2<<—1.【答案】主要求出F(0)和F（1）【解析】证明：由题意，又，所以.注意到，又，所以，即，又，，所以，即.综上：，且【考点】不等关系与不等式．点评：本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．7.若函数f(x)在定义域D内某区间I上是增函数，且在I上是减函数，则称y＝f(x)在I 上是“弱增函数”．已知函数h(x)＝x2－(b－1)x＋b在(0，1]上是“弱增函数”，则实数b的值为．【答案】【解析】根据题意，由于函数f(x)在定义域D内某区间I上是增函数，且在I上是减函数，则称y＝f(x)在I 上是“弱增函数”，则可知函数h(x)＝x2－(b－1)x＋b在(0，1]上是“弱增函数”则在给定区间是递减函数，则利用对称轴x=，开口向上，利用定义域和对称轴的关系可知，b的值为1，故可知答案为1.【考点】函数的单调性点评：主要是考查了函数的单调性的运用，属于基础题。
第一轮一元二次不等式及其解法详细过程
第一节一元二次不等式及其解法(见学生用书第1页)3．简单的分式不等式(1)f （x ）g （x ）＞0⇔f (x )·g (x )＞0； (2)f （x ）g （x ）≤0⇔f (x )·g (x )≤0且g (x )≠0．ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)对一切x ∈R 恒成立的条件是什么？ 【提示】 a >0且b 2－4ac <0.1．(人教A 版教材习题改编)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )A ．(－12，1) B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－12)∪(1，＋∞)【解析】 ∵2x 2－x －1＝(x －1)(2x ＋1)＞0，∴x ＞1或x ＜－12.故原不等式的解集为(－∞，－12)∪(1，＋∞)．【答案】 D2．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A ．(－12，1]B ．{x |x ≥1或x ＜－12}C ．[－12，1]D ．{x |x ≥1或x ≤－12}【解析】 原不等式等价于 (x －1)(2x ＋1)＜0或x －1＝0.∴原不等式的解集为(－12，1]．【答案】 A 3．(2012·福建高考)已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 ∵x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立， ∴Δ＝a 2－4×2a <0，∴0<a <8. 【答案】 (0，8)4．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是(－12，13)，则a ＋b 的值是________．【解析】 由已知得方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12，13.则⎩⎨⎧－b a ＝－12＋132a ＝（－12）×13解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.【答案】 －14错误!(见学生用书第2页)(1)3＋2x －x 2≥0； (2)x 2＋3＞2x ；(3)2x x －1≤1. 【思路点拨】 (1)先把二次项系数化为正数，再用因式分解法；(2)用配方法或用判别式法求解；(3)移项通分，转化为一元二次不等式求解．【尝试解答】 (1)原不等式化为x 2－2x －3≤0， 即(x －3)(x ＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}． (2)原不等式化为x 2－2x ＋3＞0，∵Δ＝4－12＝－8＜0，又因二次项系数为正数， ∴不等式x 2＋3＞2x 的解集为R .(3)∵2x x －1≤1⇔2xx －1－1≤0⇔x ＋1x －1≤0⇔(x －1)(x ＋1)≤0且x ≠1.∴原不等式的解集为[－1，1)．,1．熟记一元二次不等式的解集公式是掌握一元二次不等式求解的基础，可结合一元二次方程及判别式或二次函数的图象来记忆求解．2．解一元二次不等式的步骤：(1)把二次项系数化为正数；(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法；(3)写出不等式的解集．解下列不等式：(1)－2x 2－5x ＋3＞0； (2)－1≤x 2＋2x －1≤2；【解】 (1)∵－2x 2－5x ＋3＞0，∴2x 2＋5x －3＜0， ∴(2x －1)(x ＋3)＜0，∴原不等式的解集为{x |－3＜x ＜12}．(2)这是一个双向不等式，可转化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1≥－1，x 2＋2x －1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ≥0， ①x 2＋2x －3≤0. ② 由①得x ≥0或x ≤－2； 由②得－3≤x ≤1.【思路点拨】 先求方程12x 2－ax ＝a 2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集． 【尝试解答】 ∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0， 即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，得：x 1＝－a 4，x 2＝a3.①a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为{x |x ＜－a 4或x ＞a3}；②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；③a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为{x |x ＜a 3或x ＞－a4}．综上所述：当a ＞0时，不等式的解集为{x |x ＜－a 4或x ＞a3}；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a ＜0时，不等式的解集为{x |x ＜a3或x ＞－a 4}．,解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程实根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定方程无实根时可直接写出解集，确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．解关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0.【解】 原不等式可化为(x －a )(x －1)＜0. 当a ＞1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为空集； 当a ＜1时，原不等式的解集为(a ，1)．ax 2＋x ＋b ＜0的解集．【思路点拨】 不等式解集的端点值是相应方程的根．【尝试解答】 由于x 2＋ax ＋b ＜0的解集是(－1，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＋b ＝0，4＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.故不等式即为－x 2＋x －2＜0， ∵⎩⎪⎨⎪⎧－1＜0，Δ＝1－8＝－7＜0 ∴不等式ax 2＋x ＋b ＜0的解集为R .,(1)给出一元二次不等式的解集，则可知二次项系数的符号和相应一元二次方程的两根． (2)三个二次的关系体现了数形结合，以及函数与方程的思想方法．若关于x 的不等式axx －1＜1的解集是{x |x ＜1或x ＞2}，求实数a 的取值范围．【解】 axx －1＜1⇔（a －1）x ＋1x －1＜0⇔[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，由原不等式的解集是{x |x＜1或x ＞2}，知⎩⎪⎨⎪⎧a －1＜0，－1a －1＝2⇒a ＝12. ∴实数a 的取值范围是{12}．【思路点拨】 分m ＝0与m ≠0两种情况讨论，当m ≠0时，用判别式法求解． 【尝试解答】 要使mx 2－mx －1＜0对一切实数x 恒成立， 若m ＝0，显然－1＜0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0，解得－4＜m ＜0， 故实数m 的取值范围是(－4，0]．,1．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＞0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.2．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．对任意a ∈[－1，1]不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则实数x 的取值范围是________．【解析】 设f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则原问题可转化为一次函数(或常数函数)f (a )在区间[－1，1]上恒正时x 应满足的条件，故应有⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＞0，f （1）＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0， 化为⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x －3）＞0，（x －1）（x －2）＞0.解之，得x ＜1或x ＞3. 【答案】 x ＜1或x ＞3一个过程解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程根的情况)，三写(写出不等式的解集)．两点联想不等式ax ＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(a ≠0)的求解，善于联想：(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点，(2)方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，运用好“三个二次”间的关系．三个防范1.二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况．2．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．3．不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．(见学生用书第3页)从近两年的高考试题来看，一元二次不等式的解法、含参数不等式的解法以及二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的综合应用等问题是高考的热点．常与集合、函数、导数等知识交汇命题，主要考查分析问题、解决问题的能力、推理论证能力及转化与化归的思想．思想方法之一 巧用一元二次不等式求代数式的最值(2011·浙江高考)设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________． 【解析】 法一 设2x ＋y ＝t ，∴y ＝t －2x ，代入4x 2＋y 2＋xy ＝1，整理得6x 2－3tx ＋t 2－1＝0.关于x 的方程有实根，因此Δ＝(－3t )2－4×6×(t 2－1)≥0，解得－2105≤t ≤2105.则2x ＋y 的最大值是2105.法二 ∵1＝4x 2＋y 2＋xy ＝(2x ＋y )2－3xy＝(2x ＋y )2－32(2x )·y≥(2x ＋y )2－32·(2x ＋y 2)2＝58(2x ＋y )2，∴(2x ＋y )2≤85，∴－85≤2x ＋y ≤ 85，即－2105≤2x ＋y ≤2105.【答案】 2105易错提示：(1)换元后，不会从关于x 的一元二次方程有实数解入手解决问题，致使思维受阻．(2)不会利用化归与转化思想化未知为已知，致使解题时无从下手，盲目作答．防范措施：(1)应熟练掌握一元二次方程与其判别式Δ之间的关系，关于x 的一元二次不等式有实根的充要条件是其对应的判别式非负．(2)遇到一个问题，要注意寻找结论和已知间的关系，化已知为未知或化未知为已知．1．(2012·天津高考)设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 2x 2＋x －1>0的解集为{x |x >12或x <－1}，故由x >12⇒2x 2＋x －1>0，但2x 2＋x －1>0D ⇒/x >12.则“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的充分不必要条件．【答案】 A 2．(2013·清远模拟)不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 由题意知，不等式(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0对一切x ∈R 恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，Δ＝16－4（a ＋2）（a －1）＜0，解得a ＞2. 【答案】 (2，＋∞)。