2018版高中数学人教版A版必修一学案：第一单元 1.3.2 奇偶性 Word版含答案

1.3.2 奇偶性
学习目标 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义(难点).2.掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系(重点).3.会利用函数的奇偶性解决简单问题(重点)．
预习教材P33－P35，完成下面问题： 知识点 函数的奇偶性 函数的奇偶性
(1)对于函数y ＝f (x )，若存在x ，使f (－x )＝－f (x )，则函数y ＝f (x )一定是奇函数．( ) (2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( )
(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数．( ) 提示 (1)× 反例：f (x )＝x 2，存在x ＝0，f (－0)＝－f (0)＝0，但函数f (x )＝x 2不是奇函数； (2)× 存在f (x )＝0，x ∈R 既是奇函数，又是偶函数；
(3)× 函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈R 的定义域关于原点对称，但它既不是奇函数，又不是偶函数．
题型一 函数奇偶性的判断 【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝2－|x |；
(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2； (3)f (x )＝
x
x －1
； (4)f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋1，x >0，
－x ＋1，x <0.
解 (1)∵函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，又f (－x )＝2－|－x |＝2－|x |＝f (x )，
(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，
又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数．
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x>0时，－x<0，
f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．规律方法判断函数奇偶性的两种方法：
(1)定义法：
(2)图象法：
【训练1】判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5；
(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
(3)f(x)＝2x2＋2x x＋1
.
解(1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，
(2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
题型二奇、偶函数的图象问题
【例2】已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．
(1)画出在区间[－5,0]上的图象．
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
解(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．
(2)由图象知，使函数值f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．
规律方法 1.巧用奇偶性作函数图象的步骤
(1)确定函数的奇偶性．
(2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象．
(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象．
2．奇偶函数图象的应用类型及处理策略
(1)类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题．
(2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察．
【训练2】已知偶函数f(x)的一部分图象如图，试画出该函数在y轴另一侧的图象，并比较f(2)，f(4)的大小．
解f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，如图，
由图象知，f (2)<f (4).
方向1 【例3－1】 已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8，若f (－3)＝10，则f (3)＝( ) A ．26
B ．18
C ．10
D ．－26
解析 法一 由f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8， 得f (x )＋8＝x 5＋ax 3＋bx . 令G (x )＝x 5＋ax 3＋bx ＝f (x )＋8， ∵G (－x )＝(－x )5＋a (－x )3＋b (－x ) ＝－(x 5＋ax 3＋bx )＝－G (x )，
∴G (x )是奇函数，∴G (－3)＝－G (3)， 即f (－3)＋8＝－f (3)－8.又f (－3)＝10， ∴f (3)＝－f (－3)－16＝－10－16＝－26. 法二 由已知条件，得
⎩
⎪⎨⎪⎧
f (－3)＝(－3)5＋a (－3)3
＋b (－3)－8，①f (3)＝35
＋a ·33＋b ·3－8，② ①＋②得f (3)＋f (－3)＝－16， 又f (－3)＝10，∴f (3)＝－26. 答案 D
方向2 利用奇偶性求参数值 【例3－2】 若函数f (x )＝
(x ＋1)(x ＋a )
x
为奇函数，则a ＝________. 解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即(－x ＋1)(－x ＋a )－x ＝－(x ＋1)(x ＋a )
x ，显然x ≠0，
整理得x 2－(a ＋1)x ＋a ＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ，故a ＋1＝0，解得a ＝－1.
答案 －1
方向3 利用奇偶性求函数的解析式
【例3－3】 已知函数f (x )(x ∈R )是奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝2x －1，求函数f (x )的解析式．
解 当x ＜0，－x ＞0， ∴f (－x )＝2(－x )－1＝－2x －1. 又∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝2x ＋1.又f (x )(x ∈R )是奇函数， ∴f (－0)＝－f (0)，即f (0)＝0.
∴所求函数的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －1，x ＞0，0，x ＝0，
2x ＋1，x ＜0.
规律方法 1.利用函数的奇偶性求函数值或参数值的方法：利用函数的奇偶性的定义f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )可求函数值，比较f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )的系数可求参数值．
2．利用函数奇偶性求函数解析式的步骤
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x 就应在哪个区间上设； (2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；
(3)利用f (x )的奇偶性写出－f (x )或f (－x )，从而解出f (x )．
课堂达标
1．下列函数是偶函数的是( ) A ．y ＝x
B ．y ＝2x 2－3
C ．y ＝x
D ．y ＝x 2，x ∈(－1,1]
解析 对于A ，f (－x )＝－x ＝－f (x )，是奇函数；对于B ，定义域为R ，满足f (x )＝f (－x )，是偶函数；对于C 和D ，定义域不关于原点对称，则不是偶函数，故选B ．
答案 B
2．若函数f (x )＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)为偶函数，则m 的值是( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析 f (－x )＝(m －1)x 2－(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)，f (x )＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)，由f (－x )＝f (x )，得m －2＝0，即m ＝2.
答案 B
3．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝－x 2＋1
x －1，则f (－2)＝________.
解析 f (2)＝－22＋12－1＝－92，又f (x )是奇函数，故f (－2)＝－f (2)＝9
2.
答案 9
2
4．如图，已知偶函数f (x )的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，且f (3)＝0，则不等式f (x )<0的解集为________．
解析 由条件利用偶函数的性质，画出函数f (x )在R 上的简图：数形结合可得不等式f (x )<0的解集为(－3,0)∪(0,3)．
答案 (－3,0)∪(0,3)
5．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x ＋1，求f (x )的解析式． 解 当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝－x ＋1，又f (－x )＝－f (x )，故f (x )＝x －1， 又f (0)＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋1，x >0，0，x ＝0，
x －1，x <0.
课堂小结
1．定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的一个必要条件，f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．
2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )∓f (x )＝0⇔f (－x )
f (x )
＝±1(f (x )≠0)．
3．应用函数的奇偶性求值、参数或函数的解析式，要根据函数奇偶性的定义，f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )对函数值及函数解析式进行转换．。