第五章 光的衍射

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( p) 0光波通行无阻时自由光场E 0 =1 + 2
巴比涅原理中的一对互补屏
在衍射积分式中，积分区间(光孔)
( p)=E ( p)+E ( p) E 1 2
( p) ,则其互补屏之衍射场就容易地获 得， 意义:一旦求得E 1
( p)=E ( p)-E ( p) E 2 1
2
夫琅和费衍射实验装置
2
( x, y) 1 exp[ik ( z x y )] E ( x , y ) exp[ ik ( xx yy )]dx dy E 1 1 1 1 1 1 1 i z1 2 z1 z 1
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衍开孔平面上光的分 布均匀则透镜紧贴矩孔
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5.1 光的衍射引言
1、光的衍射概论 光波在传播过程中遇到障碍物时，会偏离原来的传播方向
弯入障碍物的几何影区内，并在障碍物后的观察屏上呈现
光强的不均匀分布，这种现象称为光的衍射。 衍射使屏障以后的空间光强分布，既区别于几何光学给出 的光强分布，又区别于光波自由传播时的光强分布，衍射 光强有了一种重新分布！
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2、基尔霍夫标量衍射理论
光是一种电磁波，光通过小孔的衍射问题可以作为
电磁场的边值问题来求解。这种方法的缺点是比较复杂。 实际所用的衍射理论都是一些近似的解法。本章主 要介绍的是基尔霍夫标量衍射理论（也是一种近似理论）。 可以解决多数的光学仪器中的衍射问题。 其适用条件是： 傍轴、自然光！ 这在实验上是不难被满足的。
exp(ikr ) E ( P) c k ( )E(Q) r d
14 14
菲涅尔假设
0, K ( ) 1 , K ( ) 0
2
且有
K ( )
惠更斯—菲涅耳原理的缺陷
（1）人为假设了k(θ),未给出k(θ)和c的具体形式;
（2）假设当 θ≥π/2时，k(θ)＝0。事实证明，该假设不正确;
这一近似称为夫琅和费近似，在此条件下看到的衍射现象称 为夫琅和费衍射，观察屏所处的区域称为夫琅和费衍射区
exp(ikz1 ) ik 2 ~ E ( x, y ) exp[ ( x y 2 )] iz1 2 z1


ik ~ E ( x1, y1 ) exp[ ( xx1 yy1 )]dx1dy1 z1
这一近似即为菲涅耳近似。观察屏位于这一近似区域内所 观察到的衍射现象即为菲涅耳衍射，此时观察屏所处的区 域为菲涅耳衍射区。近似后菲涅耳-基尔霍夫衍射公式为：
1 (Q) exp(ikr )d E ( x, y) E ( P) E i z1 2 2 ( x x ) ( y y ) 1 1 1 E ( x1 , y1 ) exp ik[ z1 ] dx1dy1 i z1 2 z1 2 z1
K 1 cos 1 2
即近似地把倾斜因子看作常量，不考虑它对衍射的影响
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（2）同时取r≈z1，认为r变化对振幅影响可略，但r对相位的影响
不可略 。
1 (Q) exp(ikr )d E ( P ) E 取上面两个近似后有： i z1
强调:
(Q) ，将产生不同的衍 不同的光孔形状（Σ）、不同的瞳函数 E
2 2 2 k [( x x ) ( y y ) ] 1 1 中的第5项 3 8z1
由于菲涅尔衍射光斑只是略有扩大，取 ( x x1 )2 ( y y1 )2 2
4 3 3 z cm 16000cm 5 4 6 10
3 1
即 z1 25cm
(Q)=0 (1)、无穷远面 2：E (Q)=0 (2)、光屏面 ：E
1
(3)、光孔面 0 对场点有贡献。
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衍射积分公式简化为：
( P) A (Q) exp(ikr ) cos(n, r ) cos(n, l ) d E E i r 2
15 15
5.3 菲涅耳-基尔霍夫衍射公式
基尔霍夫指从亥姆霍兹方程方程出发，用格林公式，在k.r >> 1 近似下,给出了无源空间边值定解的积分表达式： 基尔霍夫的新贡献是：
( P) A E (Q) cos(n, r ) cos(n, l ) exp(ikr) d E i 2 r
A exp(ikr ) cos(n, r ) cos( n, l ) E ( P) E (Q) d i r 2
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（一）傍轴近似（初步近似）
当孔径范围及观察范围远小于两 者之间距的情况 。 单色平面波垂直入射时： （1）cos(n,r)=cos（θ）≈1,因此倾斜因子
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为满足夫琅禾费衍射的成立条件，要求
x12 y12 k 2 z1
即
z1 x12 y12
取 x1 y1 1cm
160m

菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射的观察
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5.4 矩孔和单缝的夫琅和费衍射
一、装置与实验现象 S：单色点光源 L1 、 L2：透镜 平行光入射，焦点怎么 偏离了P0点？
应用二项式展开 ，得 2 2 2 2 2 1 x x1 y y1 1 x x1 y y1 r z [1 ]
1
2
z12
8
z12

( x x1 ) 2 ( y y1 ) 2 [( x x1 ) 2 ( y y1 ) 2 ]2 =z1 1 2 4 2 z 8 z 1 1
ik exp(ikz1 ) 2 2 E ( x1 , y1 ) exp [( x x1 ) ( y y1 ) ] dx1dy1 i z1 2 z1
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在孔径外的复振幅为0则上式可写为：
ik exp(ikz1 ) 2 2 E ( x, y) E ( x1 , y1 ) exp [( x x1 ) ( y y1 ) ] dx1dy1 i z1 2 z1
——菲涅耳衍射公式
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如进一步增大z1，将观察屏移到离衍射开孔更远的地方，菲涅尔 衍射公式中的第四项对位相的贡献远小于π时,忽略第四项，则 有
x 2 y 2 xx1 yy1 x 2 y 2 xx1 yy1 x12 y12 z1 r z1 2 z1 z1 2 z1 z1 2 z1
z1 f
2 x y x y E ( x, y) exp[ik ( f )] E ( x1 , y1 ) exp[ ik ( x1 y1 )]dx1dy1 i f 2f f f
1
2
x y 令l sin x , w sin y f f
P点的复振幅可写为
( P) ，而积分核 exp(ikr ) 射场 E
总是这个形式。
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（二）菲涅耳近似和夫琅和费近似 要对相位因子指数中的r进行积分是 比较困难，因此必须做更精确的近 似来进行简化
如右图在衍射开孔平面和观察屏平面建立坐标系，有：
r z12 ( x x1 ) 2 ( y y1 ) 2 z1[1 ( x x1 2 y y1 2 1 2 ) ( ) ] z1 z1
x2 y 2 xx1 yy1 x12 y12 [( x x1 )2 ( y y1 )2 ]2 z1 3 2 z1 z1 2 z1 8z1
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当z1大到使第四项以后各项对位相 k· r 的作用远小于π时， 忽略第四项以后的高次项：
( x x1 )2 ( y y1 )2 x 2 y 2 xx1 yy1 x12 y12 r z1 z1 2 z1 z1 2 z1 2 z1 2 z1
菲涅耳原理的实质：无源空间边值定解，即波前决定一切，决 定观测结果;
其推论：当再现或重构相同的波前，必将再现相同的观测结果，
即使原物不复存在。------ 全息术的思想基础
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5.3．菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射
衍射积分公式计算比较复杂，为了能够详细讨论衍射现象，
在计算的过程做一些近似以便简化计算。
——夫琅和费衍射公式 夫琅和费衍射公式要比菲涅耳衍射公式简单。 实际应用中，对夫琅和费衍射可直接由以上公式进行计算
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例：不透明屏上圆孔的直径为2cm，受波长为600nm的平行光照射， 试估算菲涅尔衍射区和夫琅禾费衍射区起点到圆孔的距离。
解：为满足菲涅尔近似的成立条件，要求
x2 y 2 xx1 yy1 x12 y12 [( x x1 )2 ( y y1 )2 ]2 kr k ( z1 ) 3 2 z1 z1 2 z1 8z1
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3、衍射系统及其分类
前场 照明空间,照明波一般较简单， 后场 衍射空间,衍射波一般较复杂。 理论目标是
(x , y ) E ( x, y) E 0 0
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衍射的分类
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4、衍射巴比涅原理 反映互补屏的两个衍射场之关系
( p) 1屏造成的衍射场E 1 ( p) 屏造成的衍射场E
d 波前上作为次波源的微分面源； (Q) 次波源自身的复振幅； E exp(ikr ) 次波源发射球面波到达场点 r K ( ) 倾斜因子用以表明次波源的发射并非各向同性
引入常数c,
exp(ikr ) dE ( P) cK ( ) E (Q) d r
具有实际意义与理论意义。
衍射现象显著，出现衍射花样。
衍射现象过于明显向散射过渡。
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衍射是一切波动均具有的传播行为。与声波衍射、水波衍射相 比，光波衍射不易观察到。 原因两点： 一 是可见光的波长极短， 二 是普通光源是非相干的面光源。 既要求光源是足够小的“点”，又要求在远处有足够的光强，