因式分解十字相乘法预习案
(完整版)十字相乘法因式分解讲义2
课题因式分解十字相乘法1、认识因式分解的意义。
教课目的2、娴熟运用适合的方法进行因式分解。
要点：因式分解的观点以及运用提取公因式法和公式法分解因式。
要点、难点难点：运用因式分解进行多项式的除法以及解简单的一元二次方程。
教课内容一、概括定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这类变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被宽泛地应用于初等数学之中，是我们解决很多半学问题的有力工具。
因式分解方法灵巧，技巧性强，学习这些方法与技巧，不单是掌握因式分解内容所必要的，并且对于培育学生的解题技术，发展学生的思想能力，都有着十分独到的作用。
学习它，既能够复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既能够培育学生的察看、注意、运算能力，又能够提升学生综合剖析和解决问题的能力。
分解因式与整式乘法互为逆变形。
二、因式分解的方法因式分解没有广泛的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在比赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。
注意三原则1分解要完全2最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（比如：-3 x2+x=-x(3x-1)）十字相乘法分解因式1．二次三项式（ 1）多项式ax2bx c ，称为字母的二次三项式，此中称为二次项，为一次项，为常数项．比如： x22x 3 和 x25x 6 都是对于x的二次三项式．（ 2）在多项式x26xy 8y2中，假如把看作常数，就是对于的二次三项式；假如把看作常数，就是对于的二次三项式．（ 3）在多项式2a2b27ab3中，把看作一个整体，即，就是对于的二次三项式．同样，多项式 (x ) 27()12，把看作一个整体，就是对于的二次三项式．y x y2．十字相乘法的依照和详细内容(1) 对于二次项系数为 1 的二次三项式x2(a b)x ab (x a)(x b)方法的特点是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号同样；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，此中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号同样．(2) 对于二次项系数不是 1 的二次三项式ax 2bx c a1 a2 x2( a1c2a2c1 ) x c1c2(a1x c1 )(a2 x c2 )它的特点是“ 拆两端，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，而后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号同样；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号同样注意：用十字相乘法分解因式，还要注意防止以下两种错误出现：一是没有仔细地考证交错相乘的两个积的和能否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．二、典型例题例 1把以下各式分解因式：(1) x22x 15 ；(2) x25xy 6y 2．例 2把以下各式分解因式：(1) 2x25x 3；(2) 3x28x 3 ．例 3把以下各式分解因式：1）x410x29 ；(2) 7( x y) 35( x y) 22( x y) ；(3) ( a28a) 222(a28a)120 ．例 4分解因式：(x22x 3)( x22x 24)90 ．例 5分解因式6x45x338 x25x6．例 6分解因式x22xy y25x 5y 6．例 7 分解因式： ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－ b)．试一试：把以下各式分解因式：(1) 2x215x 7(2)3a28a 4(3)5x27x 6(4) 6 y211y 10 (5)5a2b223ab 10(6)3a2 b217abxy 10 x2 y2(7)x27xy12 y2 (8)x47x218(9)4m28mn 3n2(10)5x515x3 y20xy2课后练习一、选择题1．假如x2px q( x a)( x b)，那么p 等于()A ． ab B． a＋ b C．－ ab D ．－ (a＋ b)2．假如x2(a b) x 5b x2x 30 ，则b为( )A ． 5B．－ 6C．－ 5 D ． 63．多项式x23x a 可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为( ) A．10和－2B．－10和2C．10 和 2D．－10 和－ 24．不可以用十字相乘法分解的是()A ．x2x2B ．3x210x23x C． 4x 2x 2D．5x26xy 8y2 5．分解结果等于 (x＋ y－ 4)(2x＋ 2y－ 5)的多项式是()A ．2( x y)213(x y)20B．( 2x 2 y)213(x y)20C．2( x y)213( x y)20D．2( x y) 29( x y)206．将下述多项式分解后，有同样因式x－1 的多项式有()① x27x 6 ；② 3x22x 1 ；③ x 25x 6 ；④ 4x25x9；⑤ 15x223x 8；⑥ x 411x212A．2个B．3 个C．4 个D．5 个二、填空题7．x23x 10 8．m25m6__________．(m＋ a)(m＋b)． a＝ __________，b＝ __________ ．9．2x25x 3(x－ 3)(__________) ．10． x2____2y2(x－ y)(__________) ．11．a2n a(_____)(________) 2．m12．当 k＝ ______时，多项式3x27x k 有一个因式为(__________)．13．若 x－ y＝ 6，xy17，则代数式 x3 y2x2 y2xy3的值为__________．36三、解答题14．把以下各式分解因式：(1) x47x2 6 ；(2) x45x236 ；(3) 4x465x 2 y 216 y 4；(4) a67a3b38b6；(5) 6a45a34a2；(6) 4a637a4 b29a2 b4．15．把以下各式分解因式：(1) ( x23)24x2；(2) x2( x 2)29 ；(3) (3x22x 1)2(2x 23x 3)2；(4) ( x2x)217( x2x) 60 ；(5) ( x22x) 27( x22x) 8 ；．16．已知 x＋ y＝ 2， xy＝ a＋4，x3y326 ，求a的值．。
(完整版)十字相乘法分解因式的讲解与练习
十字相乘法分解因式一、学习目标 1、能记住十字相乘法2、会运用十字相乘法分解因式（重点） 二、知识复习1．二次三项式（1）多项式c bx ax ++2，称为字母 的二次三项式，其中 称为二次项， 为一次项， 为常数项．例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．（2）在多项式2286y xy x +-中，如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式；如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式．（3）在多项式37222+-ab b a 中，把 看作一个整体，即 ，就是关于- 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项式． 2．十字相乘法的依据和具体内容(1)对于二次项系数为1的二次三项式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． (2)对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同； 常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母． 三、典型例题[例1] 把下列各式因式分解。
（1）3722+-x x （2）5762--x x （3）22865y xy x -+解：（1）)12)(3(3722--=+-x x x x1231--7)1(1)3(2-=-⨯+-⨯（2）)53)(12(5762-+=--x x x x5312-713)5(2-=⨯+-⨯（3）)45)(2(86522y x y x y xy x -+=-+yy4521-y y y 6)2(5)4(1=⨯+-⨯ 四、当堂检测1、把下列各式分解因式：（1）22157x x ++ （2） 2384a a -+- （3） 2576x x +- （4）261110y y -- （5）1032+--x x （6）652--m m二、分解因式1. 2252310a b ab +- 2. 222231710a b abxy x y -+ 3. 22712x xy y -+ 4.42718x x +- 5.22483m mn n ++。
第四章因式分解—十字相乘(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解十字相乘的基本概念。十字相乘是一种因式分解的方法，通过将多项式的项按照一定规则排列，找到两个数使得它们的乘积等于常数项，而它们的和等于一次项的系数。这种方法是解决二次多项式分解问题的关键。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例，如分解x^2 + 5x + 6。这个案例将展示十字相乘在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
-难点突破方法：
-使用图表、动画或实物模型来形象化展示十字相乘的过程；
-通过多个例题，展示不同情况下十字相乘的应用，强调识别和选择合适数字的策略；
-分组讨论，让学生在小组内相互解释和交流，共同解决难点问题；
-设计具有挑战性的问题，鼓励学生独立思考和探索，如让学生尝试分解含有一个变量和常数的二次多项式；
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对十字相乘的概念接受度较高，但实际操作时仍有一些困难。在讲解理论部分时，我尽量用生动的语言和具体的例子来阐述，希望让学生能够更好地理解。从学生的反馈来看，这种方法是有效的。
然而，当我让学生们尝试自己分解一些多项式时，部分学生显得有些迷茫。他们对于如何选择合适的数进行十字相乘感到困惑。这时，我意识到需要在教学过程中加强对这一难点的讲解和练习。或许，我可以设计一些更具针对性的练习题，让学生们在课堂上即时巩固所学知识。
-理解并记忆十字相乘法的步骤，尤其是如何确定乘积和和；
-在应用十字相乘法时，如何灵活变通，处理各种不同类型的二次多项式；
-将实际问题转化为数学表达式，并运用十字相乘法进行因式分解。
举例：难点在于如何引导学生从简单的例子中总结出十字相乘的规律，如对于多项式x^2 + 5x + 6，学生需要找出两个数（2和3），使得它们的乘积等于6，和等于5。学生可能在这一过程中遇到困难，需要教师通过具体例子和图示来帮助学生理解。
北师大版数学八年级下册-4-因式分解预习学案
北师大版－八年级下册－因式分解4.1 因式分解扫码边看边学「概念课」什么是因式分解学习目标理解因式分解的概念会判断是不是因式分解过程视频助学请先思考引导问题，再看视频【什么是因式分解】，然后完成引导问题下方的摘要填．．．．．．．．．．．．空．引导问题 1因式分解是什么？（00:00-02:20 ）1.因式分解：把一个化成几个的积的形式．因式分解与整式乘法是方向的变形．2. a 2 2a； a24．引导问题 2为什么要因式分解？（02:20-03:23 ）3.因式分解可以降低多项式的，辅助解决问题．4.解方程 x2 18x 77 0 ．因式分解：x 7 x110．解得：．引导问题 3 因式分解有哪些注意事项？（03:23-06:29 ）5. ○分清题目要求，是做还是．1○因式分解的结果必须是．2○3因式分解的结果中，（填写“能”或“不能” ）有没化简完的式子．要检查结果中每个式子是否能再化简．○4因式分解必须符合书写规范，数字和字母要放在括号（填写“前面”或“后面”），把相同的多项式写成的形式．线上练习提出疑问完成视频后相应的【专项练习】．预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：4.2 提公因式法扫码边看边学「概念课」提公因式法因式分解学习目标会用提公因式法分解因式视频助学请先思考引导问题，再看视频【提公因式法因式分解】，然后完成引导问题下方的摘要填．．．．．．．．．．．．空．引导问题1公因式是什么？什么是提公因式法？（00:00-01:52 ）1.多项式 pa pb pc 中，它的各项都有一个公共的因式，我们把叫做这个多项式各项的公因式．2.形如 pa pb pc，如果多项式的各项有，那么可以把这个公因式提取出来，将多项式写成与另一个因式的的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．引导问题 2 提公因式法的步骤是什么？（01:52-06:15 ）3.第一步：先系数．找到所有系数的．第二步：再底数．把在所有项里都出现过的提出来．第三步：后指数．把公因子在所有项里出现的最小的提出来．注意：提公因式后的多项式与原多项式项数相同．4.按步骤提公因式法分解因式6p4ab 8p3ab212p2a2c2p2a ．5. 按步骤提公因式法分解因式6ax24a23a ．线上练习提出疑问完成视频后相应的【专项练习】．预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：「解题课」提公因式法进阶－上不会做我教你能力目标指数带字母或底数为多项式的公因式提取拔高练习不看视频先试试！做完再看洋葱数学视频【提公因式法进阶－上】讲题．．．．．．．．．1.分解因式：4a n 1b m6a n 2b m 1．2.分解因式： 3x3y n 1 27xy2n 1z ．3.分解因式： 2 mn x y 24mn 2x y ．4.分解因式： 2 a 3 b 1 2 a 4b 1 a 3b 1 ．25.分解因式：3x y3x y x 3 y ．攻略1.先系数再底数后指数2.指数取最小值攻略1.先系数再底数后指数2.指数取最小值3.多项式也能提公因式4.检验是否分解彻底检查梳理线上练习看视频【提公因式法进阶－上】，核对拔高练习标准答案并订正，最后完整梳理一遍解题过程．．．．．．．．．．．．．．完成视频后相应的【专项练习】．「解题课」提公因式法进阶－下不会做我教你能力目标发现隐藏在代数结构里的公因式拔高练习．．．．．．．．【提公因式法进阶－下】讲题．不看视频先试试！做完再看洋葱数学视频1. 分解因式：a2 b 3 2b 6．攻略三种隐身招数1.打散自己方法：凑括号2. 分解因式：a 1 b b2 1 b b 2．33. 分解因式：x 2 y5 2 y x ．攻略三种隐身招数2.扮成相反数方法：提负号4.分解因式：2a 6b 23b a 4．攻略三种隐身招数3.藏入倍数关系方法：提倍数检查梳理线上练习看视频【提公因式法进阶－下】，核对拔高练习标准答案并订正，最后完整梳理一遍解题过程．．．．．．．．．．．．．．完成视频后相应的【专项练习】．4.3 公式法扫码边看边学「概念课」用公式法因式分解学习目标了解平方差公式、完全平方公式的结构特征能根据多项式的不同特点，正确选择公式进行因式分解视频助学请先思考引导问题，再看视频【用公式法因式分解】，然后完成引导问题下方的摘要填．．．．．．．．．．．．空．引导问题 1什么是公式法？（ 00:00-01:11 ）1.把公式、公式反过来，进行的方法叫做公式法．引导问题 2如何使用平方差公式进行因式分解？（01:11-04:56 ）2.○1式子有项．○2每一项都能写成数或式子的的形式．○3两项的符号要．3. 用公式法因式分解a2b29； 100 m2；25a249b2； 4x2y2z2；2．注意：先提公因式．引导问题3 如何使用完4x 16全平方公式进行因式分解？（ 04:56-07:18）4. ○式子有项．○ 两项要能写成的形式，它们的符号要．○ 剩123下的那项必须是平方的两个式子的倍，符号没有限制．但它的符号决定了分解结果的符号．5.用公式法因式分解4x24xy y2；4x24xy y2．线上练习提出疑问完成视频后相应的【专项练习】．预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：「解题课」公式法进阶－上能力目标提公因式进一步分解降幂排列拔高练习不看视频先试试！做完再看洋葱数学视频【公式法进阶－上】讲题．．．．．．．．．1.分解因式：a4b4．2.分解因式： m4 2m2 1．3.分解因式： 2a4 16a2 32 ．4.分解因式： 2a a2 1 ．不会做我教你攻略检查可否再分攻略检查可否再分攻略1.先看能否提公因式2.检查可否再分攻略1.先看能否提公因式降幂排列首项负号要提出2.检查可否再分检查梳理线上练习看视频【公式法进阶－上】，核．对．拔．高练．．习．标．准．答．案．并．订．正．，最后完整梳理一遍解题过程．完成视频后相应的【专项练习】．「解题课」公式法进阶－下能力目标把式子看作整体再套用公式分解拔高练习不看视频先试试！做完再看洋葱数学视频【公式法进阶－下】讲题．．．．．．．．．1.分解因式： a b 29c2．2.分解因式： 4 x y 29 x y 2．3. 分解因式：x 12 4 x 1 x 1 4 x 1 2 ．4.分解因式：x y 2 4 x y 2 4 x2y2．5. 分解因式：x224 16x2．4 8x x2不会做我教你攻略1.把多项式看成整体2.套公式分解3.把整体换回式子检查梳理线上练习看视频【公式法进阶－下】，核对拔高练习标准答案并订正，最后完整梳理一遍解题过程．．．．．．．．．．．．．．完成视频后相应的【专项练习】．「解题课」提公因式法与公式法综合不会做我教你能力目标综合运用两种方法因式分解拔高练习不看视频先试试！做完再看洋葱数学视频【提公因式法与公式法综合】讲题．．．．．．．．．1.分解因式： 75x6y 12x2y5．2.分解因式： xyz2 4xyz 4xy ．攻略1.分解前先看能否提公因式2.分解后检查每个式子能否再分3.分解因式： x5 y n6x4 y n 19x3 y n 2．4.分解因式：x2x y y2y x ．5. 分解因式：3x 2 y9 2 y x．检查梳理看视频【提公因式法与公式法综合】，核对拔高练习标准答案并订正，最后完整梳理一遍解题．．．．．．．．．．．．．过程．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．扫码边看边学*十字相乘法「概念课」什么是十字相乘法学习目标判断十字相乘法可以分解的式子了解十字相乘的原理和操作方法视频助学请先思考引导问题，再看视频【什么是十字相乘法】，然后完成引导问题下方的摘要填．．．．．．．．．．．．空．引导问题 1什么样的多项式可以用十字相乘进行因式分解？（00:00-01:50 ）1.十字相乘能分解的多项式很多，其中最基本的是一元次项式，和从中衍生出的其它式子，例如：x27x8 、x25xy4y2．2.形如 x28x 15x 3x 5，利用十字相乘，可以把一个二次三项式分解成两个次多项式的．引导问题 2十字相乘的原理是什么？（01:50-04:16 ）3.ax b cx d acx2ad bc x bd，因式分解是整式乘法相反的变形，在已知ac 、ad bc、 bd ，求ax b cx d的过程中，就要用到十字相乘．第一步：先分解系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角．第二步：再分解项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角．acx2ad bc x bd 第三步：交叉，求代数和，使其等于系数．a b第四步：得出结果，第一行是一个因式，第二行是另一个因式．c d总结一下就是：十字左边相乘等于系数，右边相乘等于项，十字相乘再相加等于系数．引导问题 3利用十字相乘进行因式分解因式有哪些应用？（04:16-06:52 ）4.利用十字相乘法分解因式：x28x15 ．5.利用十字相乘法分解因式：2x25x 2 ．线上练习提出疑问完成视频后相应的【专项练习】．预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：「概念课」十字相乘法—上扫码边看边学学习目标能熟练应用十字相乘法分解系数为正数的多项式视频助学请先思考引导问题，再看视频【十字相乘法—上】，然后完成引导问题下方的摘要填．．．．．．．．．．．．空．引导问题1如何用十字相乘法分解系数为正数的多项式？1.分解因式： x2 5x 6 ．第一步：拆．把常数项拆成几对因数．第二步：凑．看哪对拆下来的因数通过可以凑成原来多项式里的系数．2.很多形如 x2bx c 这一类型的多项式可以被分解为x m x n 的形式，其中一次项系数 b，常数项c．3.按上面的方法分解因式： x2 9 x 8 ，并写出十字相乘的步骤．4.按上面的方法分解因式：x210x24，并写出十字相乘的步骤．线上练习提出疑问完成视频后相应的【专项练习】．预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：「概念课」十字相乘法—下扫码边看边学学习目标能熟练应用十字相乘法分解系数含有负数的多项式视频助学请先思考引导问题，再看视频【十字相乘法—下】，然后完成引导问题下方的摘要填．．．．．．．．．．．．空．引导问题1如何用十字相乘法分解系数含有负数的多项式？1.分解因式： x2 5x 6 ．第一步：拆．把常数项拆成几对因数，注意一定要考虑．第二步：凑．看哪对拆下来的因数通过可以凑成原来多项式里的系数．2.按上面的方法分解因式：x26x8 ，并写出十字相乘的步骤．3.按上面的方法分解因式： x2 3x 10 ，并写出十字相乘的步骤．4.按上面的方法分解因式：x28x15 ，并写出十字相乘的步骤．线上练习提出疑问完成视频后相应的【专项练习】．预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：「概念课」首项系数不为 1 的十字相乘扫码边看边学学习目标会用十字相乘法分解二次项系数不为1的式子视频助学请先思考引导问题，再看视频【首项系数不为 1的十字相乘】，然后完成问题．．．．．．．．．．．．下方的摘要填空．引导问题1如何用十字相乘分解二次项系数不为1的多项式？（00:00-04:00）1.分解因式： 2x25x12 ．第一步：先拆和．第二步：尝试方块里的各种组合，凑出．注意：根据要凑的数的特点，把不合适的组合排除，留下合适的组合仔细算．第三步：得到结果．2.按上面的步骤分解因式： 6x2 7x 2 ．引导问题2这种十字相乘法有哪些应用？（04:00-07:23 ）3.分解因式： 8x2 46x 63 ．4.分解因式： 4x2 6x 4 ．5.分解因式：3x213x10 ．线上练习提出疑问完成视频后相应的【专项练习】．预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：「解题课」十字相乘法进阶－上不会做我教你能力目标两个字母的十字相乘拔高练习．．．．．．．．【十字相乘法进阶－上】讲题．不看视频先试试！做完再看洋葱数学视频1. 分解因式：x34x2 12x ．2.分解因式：x2 y23xy24y2．3.分解因式： x24xy21y2．攻略1.看看能否提公因式攻略1.看看能否提公因式攻略1.看看能否提公因式2.带两个字母的二次三项式因式分解4.分解因式： 6a2ab b2．检查梳理线上练习看视频【十字相乘法进阶－上】，核对拔高练习标准答案并订正，最后完整梳理一遍解题过程．．．．．．．．．．．．．．完成视频后相应的【专项练习】．「解题课」十字相乘法进阶－下不会做我教你能力目标结合整体法，用十字相乘法分解因式拔高练习不看视频先试试！做完再看洋葱数学视频【十字相乘法进阶－下】讲题．．．．．．．．．21.分解因式： a b 4 a b 3 ．2.分解因式： x2 y2 7xy 8 ．3.分解因式： a42a2 b28b4．攻略先看提公因式后看继续分解4. 分解因式：7 x 12 4 x 1 y 2 20 y 2 2 ．检查梳理线上练习看视频【十字相乘法进阶－下】，核对拔高练习标准答案并订正，最后完整梳理一遍解题过程．．．．．．．．．．．．．．完成视频后相应的【专项练习】．满分必学扫码边看边学「概念课」分组分解法因式分解－上、下学习目标会用分组分解法分解因式视频助学 1 请先思考引导问题，再看视频【分组分解法因式分解－上】，然后完成引导问题下方的摘要填．．．．．．．．．．．．空．引导问题1什么是分组分解法？（00:00-03:32 ）1.分解因式： ax bx ay by x y2.像上题那样无法直接处理的式子，通过分解法．．的方式进行因式分解，这种方法叫分组3.用分组分解法分解因式： ax bx ay by ．第一步：分组．得到．第二步：提公因式．得到．第三步：再提公因式．得到．引导问题2分组分解法有哪些应用？（03:32-07:21 ）4.分解因式： a2 bc ab ac ．5.分解因式： 4xy 2x 2 y 1．6.分解因式： ac 4a bc 4b．7.分解因式： x3 4x2y 8xy2 32y3．8.常用的分组依据：按分组、按分组．视频助学 2 请先思考引导问题，再看视频【分组分解法因式分解－下】，然后完成引导问题下方的摘要填．．．．．．．．．．．．空．引导问题1分组分解法还有哪些形态？（00:00-02:11.用分组分解法分解因式：x23x y23y ．第一步：分组．得到．第二步：使用平方差公式．得到．第三步：提公因式．得到．2.除了按字母、系数分组外，我们还可以按分组．引导问题2哪些题型可以按公式分组？（02:11-06:46 ）3.分解因式： m2n26m6n ．4.分解因式： a22ab 2bc c2．5.分解因式： x2 y2 2x 1．6.分解因式： 1 2x x2y2．7.分解因式： a2b24bc4c2．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：「解题课」分组分解法进阶不会做我教你能力目标综合运用分组和其他方法因式分解拔高练习不看视频先试试！做完再看洋葱数学视频【分组分解法进阶】讲题．．．．．．．．．1.分解因式： 9x26ax 2ay y2．5 232.分解因式： x y x 3xy 3．3.分解因式： a22ab b22a2b．4.分解因式： a b 2 c 2 c a 2 b 2．攻略1.先提公因式2.再看项数两项：平方差公式完全平方公式三项：十字相乘四项以上：分组分解攻略若原式分组错误1去括号还原2.重新分组5.分解因式：ab c 2 d 2cd a 2 b 2．检查梳理线上练习看视频【分组分解法进阶】，核．对．拔．高练．．习．标．准．答．案．并．订．正．，最后完整梳理一遍解题过程．完成视频后相应的【专项练习】．「解题课」因式分解综合－上不会做我教你能力目标通过“项数”来判断因式分解的方法拔高练习．．．．．．．．【因式分解综合－上】讲题．不看视频先试试！做完再看洋葱数学视频1. 分解因式：m23．m 1n 2 m 12.分解因式：x2y2a2 24x2 y2．攻略1.先提公因式2.再看项数两项：平方差公式完全平方公式三项：十字相乘四项以上：分组分解3.都不行，再拆开重新组合检查：是否化简 +继续分解3.分解因式： a24ab 4b2c26c9．4. 分解因式：a28ab 16b28a 32b 16 ．检查梳理线上练习看视频【因式分解综合－上】，核对拔高练习标准答案并订正，最后完整梳理一遍解题过程．．．．．．．．．．．．．．完成视频后相应的【专项练习】．北师大版－八年级下册－因式分解「解题课」因式分解综合－下不会做我教你能力目标复杂式子的分组分解；根据“项”继续分解拔高练习不看视频先试试！做完再看洋葱数学视频【因式分解综合－下】讲题．．．．．．．．．1.分解因式： a2 b2a2b21．2.分解因式： a2b2c24d 22ab4cd ．攻略1.先提公因式2.再看项数两项：平方差公式完全平方公式三项：十字相乘四项以上：分组分解3.分解因式： a 2b2c2c2 b c a b ．4.分解因式： mn n22m 3n2．检查梳理线上练习看视频【因式分解综合－下】，核对拔高练习标准答案并订正，最后完整梳理一遍解题过程．．．．．．．．．．．．．．完成视频后相应的【专项练习】．北师大版－八年级下册－因式分解「解题课」用换元法因式分解能力目标用换元法进行因式分解不会做我教你拔高练习．．．．．．．．【用换元法因式分解】讲题．不看视频先试试！做完再看洋葱数学视频1. 分解因式：a23a 3 a23a 1 5 ．2.分解因式：x 2x 1 x 2x 212 ．攻略先换元再展开分解分解后，再代回最后检验是否继续分解22222．3. 分解因式：x xy y4xy x y3334.分解因式： a 2b c a b b c．检查梳理线上练习看视频【用换元法因式分解】，核对拔高练习标准答案并订正，最后完整梳理一遍解题过程．．．．．．．．．．．．．．完成视频后相应的【专项练习】．。
因式分解法之十字相乘法教案
第7课时§2.4.1 因式分解法——十字相乘法教学目标1、 会对多项式运用十字相乘法进行分解因式；2、 能运用十字相乘法求解一元二次方程。
教学重点和难点重点：运用十字相乘法求解一元二次方程难点：对多项式运用十字相乘法进行分解因式教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题这节课，我们学习一种比较简便的解一元二次方程的方法。
二、师生共同研究形成概念1、 复习分解因式分解因式：把一个多项式分解成几个整式的积的形式一）填空：1）)4)(3(++x x = ； 2）)5)(4(++x x = 。
3）)3)(1(++y y = ； 4）))((q x p x ++= 。
二）能否对1272++x x 、2092++x x 、342++y y 、pq x q p x +++)(2进行因式分解？它们有什么特点？特点：1）二次项系数是1；2）常数项是两个数之积；3）一次项系数是常数项的两个因数之和。
2、 十字相乘法步骤：（1）列出常数项分解成两个因数的积的各种可能情况；（2）尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数；（3）将原多项式分解成))((q x p x ++的形式。
关键：乘积等于常数项的两个因数，它们的和是一次项系数二次项、常数项分解坚直写，符号决定常数式，交叉相乘验中项，横向写出两因式3、 讲解例题例1 分解因式：1）562++x x ； 2）862++y y ； 3）1682+-x x ； 4）21102+-a a ；5）1452-+x x ； 6）542-+t t ； 7）14132--x x ； 8）6322--x x 。
分析：关键之处在于把常数项分解成两数的积，再找它们的和等于一次项的系数的两个因数。
例2 分解因式：1）652++x x ； 2）652+-x x ； 3）652-+x x ； 4）652--x x 。
分析：此例题中各式都有很大的相同之处。
只有深刻理会十字相乘法，才可以正确地把四个多项式分解因式。
最新人教版初中数学八年级上册 14.3《因式分解》十字相乘法教案
因式分解十字相乘法◆教学目标◆◆知识与技能：理解十字相乘法的概念和意义；◆过程与方法：会用十字相乘法把形如x2＋px＋q的二次三项式分解因式；.◆情感态度：培养学生的观察、分析、抽象、概括的能力，训练学生思维的灵活性和层次性渗.◆教学重点与难点◆◆重点：能熟练用十字相乘法把形如x2＋p x＋q的二次三项式分解因式◆难点：能熟练用十字相乘法把形如x2＋p x＋q的二次三项式分解因式◆教学过程◆自主学习一. 创设情境1．口答计算结果：（1） (x＋2)(x＋1) （2） (x＋2)(x－1) （3）(x－2)(x＋1)（4） (x－2)(x－1)（5）(x＋2)(x＋3) （6） (x＋2)(x－3)（7） (x－2)(x＋3) （8） (x－2)(x－3)2．问题：你是用什么方法将这类题目做得又快又准确的呢?归纳： .二．探索尝试根据上面的公式试将下列多项式写成两个一次因式相乘的形式：x2＋(2＋3)x＋2×3＝；x2＋(－1－2)x＋(－1)×(－2)＝；x2＋(－1＋2)x＋(－1)×2＝；x2＋(1－2)x＋1×(－2)＝ . 由上面的分析可知形如x2＋px＋q的二次三项式，如果常数项q能分解为两个因数a、b的积，并且a＋b恰好等于一次项的系数p，那么它就可以分解因式，即x2＋px＋q＝x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)三．例题举例基础题（1）x2＋7x＋6 （2）x2－5x－6 （3）x2－5x＋6四.练习：（1）x2－7x＋6 （2）a2－4a－21（3）t2－2t－8 （4）m2＋4m－12拓展题（1）x2＋xy－12y2（2）x4＋5x2－6五.练习：（1）x2－13xy－36y2 （2）a2－ab－12b2（3）m4－6m2＋8 （4）x4＋10x2＋9六.课堂小结：对二次三项式x2＋px＋q进行因式分解，应重点掌握以下三个方面：1．掌握方法: 拆分常数项,验证一次项.2．符号规律: 当q＞0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；当q＜0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同.七.课外延伸：把下列多项式分解因式：（1） 342+-x x （2）1282+-x x （3）1582++x x （4）762-+x x（5）11102--a a （6）432-+m m （7）302-+x x （8）13122--x x（9）2282y xy x -+ （10）2234b ab a ++ （11）22208y xy x -- （12）2254n mn m --（13）434--x x （14）1522--x x （15）24102-+x x （16）24142+-x x 八.思考：1.请将下列多项式因式分解：①362132++x x ② 12724++x x ③()()242112222+---x x x x2. 先填空,再分解（尽可能多的）： x 2 ( )x + 60 = ；◆板书设计◆15.4.4 因式分解之十字相乘法二. 创设情境二．探索尝试三．例题举例课 堂 小 结课 外 延 伸◆课后思考◆。
因式分解(十字相乘法)教案
（3）
点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．
五、课堂小测（约5分钟）
六、独立作业我能行
1、独立完成＄第十四章整式的乘法与因式分解小结与复习工具单
解：（1） ；
（2） ．
例2把下列各式分解因式：
（1） ；（2） ．
点悟：我们要把多项式 分解成形如 的形式，这里 ， 而 ．
学习活动
设计意图
解：（1） ；
（2） ．
点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．
2、独立作业
四、归纳总结巩固新知（约15分钟）
1、知识点的归纳总结：
2、运用新知解决问题：（重点例习题的强化训练）
例1把下列各式分解因式：
（1） ；（2） ．
点悟：
（1）常数项－15可分为3×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；
（2）将y看作常数，转化为关于x的二次三项式，常数项 可分为(－2y)(－3y)，而(－2y)＋(－3y)＝(－5y)恰为一次项系数．
用十字相乘
◆用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出
现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：
学习活动
设计意图
【3】因式分解一般要遵循的步骤
◆多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．
人教版八年级上册9.15：因式分解十字相乘法教学设计
人教版八年级上册9.15：因式分解十字相乘法教学设计
一、教学目标
1.知识目标：了解因式分解的定义和方法，掌握十字相乘法的运用。
2.能力目标：能够对简单的多项式进行因式分解。
3.情感目标：培养学生对数学的兴趣，激发学生学习数学的积极性。
二、教学重难点
1.教学重点：因式分解和十字相乘法的学习。
2.教学难点：多项式因式分解的学习。
三、教学过程
1. 导入环节
•介绍本次课将要学习的内容，引入因式分解和十字相乘法的概念。
2. 新课讲解
（1）因式分解的定义和方法
•通过示例引导学生了解因式分解的概念。
•教师讲解因式分解的方法：提取公因数法、分组法、十字相乘法。
（2）十字相乘法的运用
•具体讲解十字相乘法的步骤和运用。
3. 练习环节
•通过课堂练习节目，让学生掌握因式分解的方法。
•课堂分组，同学之间可以互相合作，相互交流，互相矫正。
4. 知识点总结和归纳
•总结本节课所学的知识点，让学生在脑海中形成对这些知识点的一个清晰的概念。
四、教学资源
•教学课件、白板、笔记本、教材、练习册。
五、教学反思
通过本节课，学生能够了解因式分解的定义和方法，掌握十字相乘法的运用。
在教学过程中，通过示例的引导，让学生更好地理解了因式分解的概念；并在练习环节中，让学生锻炼了自己的思维能力。
同时，也意识到在这个过程中，教师的引导作用是非常重要的。
在这个基础上，我们需要努力，使学生能够更好地掌握这个知识点。
因式分解高级篇十字相乘讲课教案
三、十字相乘法①
前面出现了一个公式： (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 暂且称为p、q型因式分解 我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式）
例1：因式分解x2+4x+3 可以看出常数项 3 = 1×3 而一次项系数 4 = 1 + 3 ∴原式=(x+1)(x+3)
这个公式简单的说， 就是把常数项拆成两个数的乘积， 而这两个数的和刚好等于一次项系数
⑦ a 3 b 3 c 3 3 abc
⑧ 4 x 3 31 x 15
综合训练(二)
1、 7241能被 40到50之间的两个整数整除
这两个整_数 __是 和 _ ___。 _
2、x2y–y2z+z2x–x2z+y2x+z2y–2xyz因式分解 后的结果是( )。
A. (y–z)(x+y)(x–z) B. (y–z)(x–y)(x+z) C. (y+z)(x–y)(x+z) D. (y+z)(x+y)(x–z)
2 x2 + 3 xy – 9 y2 + 14 x – 3 y + 20
2 4 –3 15 3 1206–+–1435==13–43
∴原式 = (2x–3y+4)(x+3y+5)
七*、求根法
设原多项式等于零，解出方程的 解 x1、x2……，则原式就可以分解 为(x–x1)(x–x2)(x–x3)……
例2：因式分解x2–7x+10 可以看出常数项10 = (–2)×(–5) 而一次项系数 –7 = (–2) + (–5) ∴原式=(x–2)(x–5)
初中数学因式分解公式法十字相乘法知识点的讲解和练习
运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。
主要有：平方差公式完全平方公式立方和、立方差公式补充：特别地：当时，有运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。
但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。
用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。
因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。
下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】1. 把分解因式的结果是（）A. B.C. D.分析：。
再利用平方差公式进行分解，最后得到，故选择B。
说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。
同时要注意分解一定要彻底。
2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：已知多项式有一个因式是，求的值。
分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出的值。
解：根据已知条件，设则由此可得由（1）得把代入（2），得把代入（3），得3. 在几何题中的应用。
例：已知是的三条边，且满足，试判断的形状。
分析：因为题中有，考虑到要用完全平方公式，首先要把转成。
所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。
解：为等边三角形。
4. 在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。
分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。
解：设这两个连续奇数分别为（为整数）则由此可见，一定是8的倍数。
5、中考点拨：例1：因式分解：________。
解：说明：因式分解时，先看有没有公因式。
此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。
例2：分解因式：_________。
解：说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。
题型展示：例 1. 已知：，求的值。
解：原式说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。
十字相乘法因式分解专题学案(解析版)
十字相乘法因式分解的强化【基础内容与方法】二次三项式的概念（1）多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中ax 2称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．（2）在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．（3）在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即 2(ab)2-7(ab)+3，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x+y 看作一个整体，就是关于x+y 的二次三项式．类型一：对于二次项系数为1的二次三项式))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++例1：分解因式：652++x x【答案】)3)(2(++x x【解析】将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5.由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5.解：652++x x =32)32(2⨯+++x x=)3)(2(++x x例2：分解因式：672+-x x【答案】)6)(1(--x x【解析】解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x=)6)(1(--x x考点练习：分解因式1.24142++x x2.36152+-a a3.542-+x x解：原式=)2)(12(++x x 原式=)3)(12(--a a 原式=)1)(5(-+x x4.2524x x +-5.22-+x x6.1522--y y原式=)3)(8(-+x x 原式=)1)(2(-+x x 原式=)3)(5(+-x y7.24102--x x 8.2422-+x x原式=)2)(12(+-x x 原式=)4)(6(-+x x类型二：（2020年）对于二次项系数不是1的二次三项式如：二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2.条件：（1）21a a a =1a 1c ，（2）21c c c =2a 2c ，（3）1221c a c a b +=1221c a c a b +=.分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++.例3：分解因式101132+-x x .分析：[来源:学#科#网Z#X#X#K]解：101132+-x x =)53)(2(--x x .考点练习：分解因式1.6752-+x x2.2732+-x x3.317102+-x x 解：原式=)2)(35(+-x x 原式=)2)(13(--x x 原式=)32)(15(--x x4.101162++-y y5.2212175y xy x --6.224715y xy x -+ 原式=)52)(23(+-+x x 原式=)4)(35(y x y x -+ 原式=)45)(3(y x y x +-7.22254341y xy x -- 8.a x a x ++-)12(22 原式=)2)(5(41y x y x +- 原式=))(12(a x x -- [来源:学科网]9.5)6(11)6(222++-+x x x x原式=)1)(56)(1212(2+--+x x x x [来源:学_科_网]类型三：十字相乘法的进阶（一）换元法与十字相乘法综合例4：分解因式262234+---x x x x解：原式=)2162(222x x x x x +---=[]6)1()1(2222-+-+x x xx x 设t x x =+1，则21222-=+t xx ∴原式=[]6)2222---t t x （ =()10222--t t x [来源:学&科&网Z&X&X&K] =()()2522+-t t x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+215222x x x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21··522·x x x x x x =()()1225222+++-x x x x =)2)(12()1(2--+x x x考点练习：选用适当的方法分解因式1.673676234+--+x x x x 解：原式=)673676(222xx x x x +--+ =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+3617)1(6222x x x x x 设y x x =-1，则21222+=+y xx ∴原式=)2476(22--y y x=)32)(83(2+-y y x=)322)(833(2+---xx x x x =()()23238322-+--x x x x=()()3)(212)(13-+-+x x x x2.)(2122234x x x x x +++++解：原式=)1232(222x x x x x ++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++3)1(2)1(222x x x x x 设t x x =+1，则21222-=+t xx∴原式=[]32)222++-t t x （=()1222++t t x=()221+t x =2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x =()221++x x3.144234+++-x x x x解：原式=22241(41)x x x x x -+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+1141222x x x x x 设y x x =-1，则21222+=+y xx ∴原式=22(43)x y y -+=2(1)(3)x y y --=)31)(11(2----xx x x x =()()13122----x x x x（二）待定系数法例5：如果823+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值.【答案】解：设823+++bx ax x =))(2)(1(c x x x +++，则823+++bx ax x =c x c x c x 2)32()3(23+++++.∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=82323c c b c a 解得⎪⎩⎪⎨⎧===4147c b a ，∴b a +=21.【解析】823+++bx ax x 是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如c x +的一次二项式.例6：分解因式613622-++-+y x y xy x .【答案】解：设613622-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++，∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622，∴613622-++-+y x y xy x =mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622，对比左右两边相同项的系数可得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+613231mn m n n m ，解得⎩⎨⎧=-=32n m . ∴原式=)32)(23(+--+y x y x .【解析】原式的前3项226y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+，则原多项式必定可分为)2)(3(n y x m y x +-++.。
用十字相乘法因式分解
和而不同 求同存异 WUHAN NO.62 MIDDLE SCHOOL 矜而不争 群而不党导学案系列 编号： 班级： 姓名：课题：用十字相乘法因式分解主备： 审核： 时间： 201 年 月 第 周一、导入（x ＋p ）（x ＋q ）＝x 2＋（p ＋q ）x ＋pq 反过来，有x 2＋（p ＋q ）x ＋pq ＝（x ＋p ）（x ＋q ）它告诉我们：对于二次项系数为1的二次三项式，如果它的常数项能够分解成两个因数，并且它们的和恰好等例1：分解因式 x 2＋6x ＋8解：x 2＋6x ＋8＝x 2＋（2＋4）x ＋2×4＝（x ＋2）（x ＋4）熟练后，中间步骤可省去。
练习：分解因式（1）、x 2＋7x ＋12 （2）、x 2＋12x ＋20例2：分解因式 x 2－8x ＋15分析：因为－8为负数，所以15应分解为两个负数之积。
解：x 2－8x ＋15＝x 2＋［（－3）＋（－5）］x ＋（－5）×（－3）＝［x ＋（－3）］［x ＋（－5）］＝（x －3）（x －5）练习：分解因式：（1）、x 2－3x ＋30 （2）、x 2－8x ＋12例3：分解因式 （1）、x 2－3x －10 （2）、x 2＋9x －10三、练习1.分解因式和而不同求同存异WUHAN NO.62 MIDDLE SCHOOL 矜而不争群而不党（1）、x2－3x－4 （2）、x2＋10x－24（3）、a2＋a－20 （4）、a2－9a－36四、作业1.分解因式（1）、x2－7xy－18y2（2）、x2y2＋7xy－44（3）、x2－20xy＋96y2（4）、a4－21a2－100（5）、－a2＋6ab－9b2（6）、－x2－3x＋4（7）、x－x2＋42 （8）、x2（x2－20）＋64（9）、3x2y2－9xy－12 （10）、（x2＋x）2－14（x2＋x）＋24。
十字相乘法进行因式分解(详案)
流教育——圆你成功梦十字相乘法进行因式分解【基础知识精讲】（1）理解二次三项式的意义；（2）理解十字相乘法的根据；（3）能用十字相乘法分解二次三项式；（4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．【重点难点解析】1．二次三项式多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为流教育——圆你成功梦负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．（2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221，那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：)45)(2(86522-+=-+x x y xy x3．因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．【典型热点考题】例1 把下列各式分解因式：（1）1522--x x ；（2）2265y xy x +-． 点悟：（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；（2）将y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项26y 可分为(－2y )(－3y )，而(－2y )＋(－3y )＝(－5y )恰为一次项系数．解：（1）)5)(3(1522-+=--x x x x ；流教育——圆你成功梦（2）)3)(2(6522y x y x y xy x --=+-．例2 把下列各式分解因式：（1）3522--x x ；（2）3832-+x x ．点悟：我们要把多项式c bx ax ++2分解成形如))((2211c ax c ax ++的形式，这里a a a =21，c c c =21而b c a c a =+1221．解：（1）)3)(12(3522-+=--x x x x ；（2）)x )(x (x x 3133832+-=-+．点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性． 例3 把下列各式分解因式：（1）91024+-x x ；（2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；（3）120)8(22)8(222++++a a a a ．点悟：（1）把2x 看作一整体，从而转化为关于2x 的二次三项式；（2）提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式；（3）以)8(2a a +为整体，转化为关于)8(2a a +的二次三项式．解：（1） )9)(1(9102224--=+-x x x x＝(x ＋1)(x －1)(x ＋3)(x －3)．（2） )(2)(5)(723y x y x y x +-+-+流教育——圆你成功梦＝(x ＋y )[(x ＋y )－1][7(x ＋y )＋2]＝(x ＋y )(x ＋y －1)(7x ＋7y ＋2)．（3） 120)8(22)8(222++++a a a a点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ．点悟：把x x 22+看作一个变量，利用换元法解之．解：设y x x =+22，则原式＝(y －3)(y －24)＋90＝(y －18)(y －9) )92)(182(22-+-+=x x x x ．点拨：本题中将x x 22+视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果．此外，)9)(18(162272--=+-y y y y 一步，我们用了“十字相乘法”进行分解． 例5 分解因式653856234++-+x x x x ．点悟：可考虑换元法及变形降次来解之．解：原式]38)1(5)1(6[222-+++=xx x x x ]50)1(5)1(6[22-+++=xx x x x ， 令y xx =+1，则流教育——圆你成功梦 原式)5056(22-+=y y x )13)(3)(12)(2(++--=x x x x ．点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱．但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节． 例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ．点悟：方法1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x －y )的二次三项式． 方法2：把字母y 看作是常数，转化为关于x 的二次三项式．解法1： 655222-+-+-y x y xy x )6)(1(--+-=y x y x ．解法2： 655222-+-+-y x y xy x＝(x －y －6)(x －y ＋1)．例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组．解：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )＝(a －b )(c －a )(c －b )．点拨：因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某几项展开再分组．此题展开四项后，根据字母c 的次数分组，出现了含a －b 的因式，从而能提公因式．随后又出现了关于c 的二次三项式能再次分解．例8 已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．点悟：因为12624+++x x x 是四次多项式，有一个因式是42++ax x ，根据多项式的乘法原则可知道另一流教育——圆你成功梦 个因式是32++bx x （a 、b 是待定常数），故有=+++12624x x x +2(x )3()42+++⋅bx x ax ．根据此恒等关系式，可求出a ，b 的值．解：设另一个多项式为32++bx x ，则 12)43()43()(234++++++++=x b a x ab x b a x ，∵ 12624+++x x x 与12)43()43()(234++++++++x b a x ab x b a x 是同一个多项式，所以其对应项系数分别相等．即有由①、③解得，a ＝－1，b ＝1，代入②，等式成立．∴ a ＝－1，另一个因式为32++x x ．点拨：这种方法称为待定系数法，是很有用的方法．待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法，在其他数学知识的学习中也经常运用．希望读者不可轻视．【易错例题分析】例9 分解因式：22210235y aby b a -+．错解：∵ －10＝5×(－2)，5＝1×5，5×5＋1×(－2)＝23，∴ 原式＝(5ab ＋5y )(－2ab ＋5y )．警示：错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤． 正解：∵ 5＝1×5，－10＝5×(－2)，5×5＋1×(－2)＝23．∴ 原式＝(ab ＋5y )(5ab －2y )．【同步练习】流教育——圆你成功梦一、选择题1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( ) A ．ab B ．a ＋b C ．－ab D ．－(a ＋b )2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为( ) A ．5 B ．－6 C ．－5 D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是( ) A ．22-+x x B ．x x x 310322+-C ．242++x xD ．22865y xy x --5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是( ) A ．20)(13)(22++-+y x y xB ．20)(13)22(2++-+y x y xC ．20)(13)(22++++y x y xD ．20)(9)(22++-+y x y x6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有( ) ①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ； ④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x xA ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题7．=-+1032x x __________．8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )．流教育——圆你成功梦 a ＝__________，b ＝__________．9．=--3522x x (x －3)(__________)．10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)． 11．22____)(____(_____)+=++a mn a ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)．13．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________． 三、解答题14．把下列各式分解因式：（1）6724+-x x ； （2）36524--x x ；（3）422416654y y x x +-； （4）633687b b a a --； （5）234456a a a --； （6）422469374b a b a a +-．15．把下列各式分解因式：（1）2224)3(x x --；（2）9)2(22--x x ；（3）2222)332()123(++-++x x x x ；（4）60)(17)(222++-+x x x x ；（5）8)2(7)2(222-+-+x x x x ；（6）48)2(14)2(2++-+b a b a ．16．把下列各式分解因式：（1）b a ax x b a +++-2)(2；（2）))(()(222q p q p pq x q p x -+++-；（3）81023222-++--y x y xy x ；流教育——圆你成功梦（4）310434422-+---y x y xy x ；（5）120)127)(23(22-++++x x x x ；（6）4222212)2)((y y xy x y xy x -++++．17．已知60197223+--x x x 有因式2x －5，把它分解因式．18．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值． 参考答案【同步练习】1．D 2．B 3．D 4．C 5．A 6．C7．(x ＋5)(x －2) 8．1或－6，－6或1 9．2x ＋1 10．xy ，x ＋2y 11．224m n ，a ,mn 2 12．－2，3x ＋1或x ＋2 13．1714．（1） 原式)6)(1(22--=x x（2） 原式)4)(9(22+-=x x（3） 原式)16)(4(2222y x y x --=（4） 原式))(8(3333b a b a +-=（5） 原式)456(22--=a a a（6） 原式)9374(42242b b a a a +-= 15．（1） 原式)23)(23(22x x x x +---=（2） 原式]3)2(][3)2([+---=x x x x（3） 原式)332123()332123(2222---+++++++=⋅x x x x x x x x （4） 原式)5)(12(22-+-+=x x x x流教育——圆你成功梦（5） 原式)12)(82(22++-+=x x x x（6）原式)82)(62(-+-+=b a b a16．（1） 原式)1]()[(+++-=x b a x b a（2） 原式)]()][([q p q x q p p x +---=（3）原式)8103()22(22+----=y y x y x（4） 原式3103)1(4422-+-+-=y y x y x（5） 原式120)4)(3)(2)(1(-++++=x x x x（6） 原式422222212)()(y y xy x y y xy x -+++++=17．提示：)52()601972(23-+--÷x x x x 18．∵ ))((2233y xy x y x y x +-+=+ ]3))[((2xy y x y x -++=，又∵ 2=+y x ，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，∴ 26)]4(32[22=+-a ， 解之得，a ＝－7．。
人教版八年级数学上册十字相乘法因式分解培优学案
c + d = −1，m = −1，c − 2d = −2m
解得： c = 0，d = −1，m = −1 此时，原式 = x − 2 x − x + 1
2 2
∴ ( x − 3)( x − 8) > 0 x − 3 > 0 x − 3 < 0 或 ∴ x − 8 > 0 x − 8 < 0 ∴x >8 或 x <3
合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。 对于二次三项 ax + bx + c （a、b、c 都是整数，且 a ≠ 0 ）来说，如果存在
2
(
)(
)
号，得： 四个整数 a1 ，c1 ，a 2 ，c2 满足 a1 a 2 = a，c1c2 = c ，并且 a1 c2 + a 2 c1 = b ，那么 二 次 三 项 式 ax + bx + c 即 a1 a 2 x 2 + ( a1 c2 + a 2 c1 ) x + c1c2 可 以 分 解 为
2
x 4 + (a + b) x 3 + x 2 + (2a − b) x − 2
将它与原式的各项系数进行对比，得：
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(a1 x + c1 )(a 2 x + c2 ) 。这里要确 定四个常数 a1 ，c1 ，a2 ，c2 ，分析和尝试都要比
首项系数是 1 的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。 下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。
人教版八年级数学上册 十字相乘法因式分解 培优学案
沪科版七年级下册8.4因式分解 十字相乘法学案
《十字相乘法》学案 姓名一、预习导学1、你还记得多项式乘多项式的法则吗？利用法则计算下列各式：()()=++34x x()()=--62x x ()()=+-62x x ()()=-+43x x结合以上算式，用字母表示你得到的规律：规律：2、我们前面学习过提公因式法和公式法因式分解，你还记得它们的公式吗？提公因式法： =-+mc mb ma公式法： =++222bab a =+-222bab a =-22ba 二、思考：试着把多项式3722++x x 分解一下。
（暂时不会写没关系，希望学完本节课你能轻松解决。
）三、新课：（结合老师的讲解，补充完成。
注意认真听讲呦！）1、十字相乘法的依据：2、例1：把下列各式因式分解：（1） 1272++x x （2） 16102+-x x解：3、十字相乘法的操作步骤：1) ；2) ；3) 。
口诀： ， 。
4、小试牛刀：把下列各式因式分解： （1）12--2x x = （2） 12-42x x += （3） 12-2x x += （4） 12-112x x +=（5） 1582++y y= （6） 15162+-m m = 5、交流一下你得到的经验吧归纳：1、当常数项是正数时，它分解成两个 号因数，它们和 的符号相同；2、当常数项是 时，它分解成 ，其中绝对值 的因数和一次项系数的符号相同。
四、探究例2：因式分解4832++x x = 思考过程：五、达标测评把下列多项式因式分解：86-2+x x = 8-22x x += 8-7-2x x = 892++x x = 3722++x x = 37-22+x x = ()()4032----y x y x=六、课堂小结今天你学会了什么：。
【预习】数学第一课时 十字相乘法
第一课时 因式分解的常用方法---------十字相乘法
一课前检验
分解因式()()112
+-+ab b a
二．例题精讲
1.分解下列因式
()()()()()()()()()abc
x c b a abcx c
b a x
c b a x a a x x x x x x ++++++++++-+-++222222
22422541310
11326
51
2.分解下列因式
()()()()()()3
884435242332367221281222222
22
2+-+-++++-+++-++-+-y x y xy x b
a ax x
b a y x y xy x y xy x b ab a
3.十字相乘法的应用
（1）如果22234--+-mx mx x x 能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求的值，并把这个多项式分解因式。
（2）已知：长方形的长、宽为
，周长为16cm ，且满足022
2=-+--y xy x y x ，求长方形的面积
（3）证明：若74是y x -的倍数，其中都是整数，则223108y xy x -+是49的倍数
三．变式训练
（1）若6522-++-y mx y x 能分解围两个一次因式的积，则m 的值为？
（2）已知c b a 、、互为不相等的数，且满足()()()b c a b c a --=-42
求证：c b b a -=- （3）若a x x x +++7523有一因式1+x ，求a ，并将原式分解
四．课后作业
1.分解因式：
2. 若互为相反数，则的值为？
3. 如果，那么代数式的值为？。