《三角形的三条重要线段》练习题课件演示教学
三角形的高、中线与角平分线-教学ppt课件
缓而来。 啊，秋天真美呀！ 《昆虫记》是优秀的科普著作也是公认的文学经典。它行文生动活泼，语调轻松诙谐，鲁迅把它奉为“讲昆虫生活”的楷模。它根据大量第一手资料，将昆虫的生活和习性揭示出
A 从三角形的一个顶点，向它的对边所
在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，
叫作三角形的高线，简称三角形的高。
01 23 4 5
01 23 4 5
如右图，线段AD就是BC边上的高。
B
DC
符号语言 ∵AD是△ABC的高
：
∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°
注意 ! 标明垂直符号 和垂足的字母。
知识讲解 1、三角形的高
角平分线 交于一点，都在三角形内部。 2.你能说说什么是三角形的重心吗？ 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心。
【课堂小结】
感 谢 聆 听！
毒蛇蜘蛛咬伤的小麻雀也会“愉快地进食，如果我们喂食动作慢了，它甚至会像婴儿般哭闹。 4、修辞手法作用类 20． 黑蜂山妖怪叫（ 黑大王，又叫黑风怪），他后来被观音菩萨收去，让他做了落伽山的（守山大神 ）。
3
知识讲解 1、三角形的高
难点突破
你还能画出三角形 其它边上的高吗？动手
三角形的高的定义:
试一试。
难点突破 分别画锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条中线，这三
条中线的位置又是怎样的？
你有何发现？
三角形的三条中线都交于一点，且都在三角形的内部。 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心。
知识讲解 3、三角形的角平分线
难点突破
北师版数学七年级下册《4.1 认识三角形》第3课时 三角形的中线、角平分线课件(新版22页)
的中线，若△ABD 的周长比△ADC 的周长大 2 cm，
则 AB＝__7__cm.
A
提示：将△ABD 与△ADC 的周长
之差转化为边长之差.
B
D
C
例2 如图，AD 是△ABC 的中线，CE 是△ACD 的
中线，S△AEC = 3 cm2，则 S△ABC =___1_2__cm2.
解析：因为 CE 是△ACD 的中线，
D
B
E
C
5. 在△ABC 中，CD 是中线，已知 BC－AC = 5 cm，
△DBC 的周长为 25 cm，求△ADC 的周长.
解：因为 CD 是△ABC 的中线，
A
所以 BD＝AD.
D
因为△DBC 的周长为
BC＋BD＋CD＝25 cm，
B
C
所以 BD + CD＝25－BC.
所以△ADC 的周长为 AD＋CD＋AC ＝BD＋CD＋AC
北师版数学七下课件
第四章 三角形
4.1 认识三角形
第3课时 三角形的中线、角平分线
导入新课
情境导入 这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要
平分，该怎么办呢？本节课让我们一起来解决这个 问题吧！
三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点
A
与它对边中点的线段，叫做这
个三角形的中线. 如图，若 BE
= EC，则 AE 是 △ABC 的 BC B
A
B
所以∠BAC = 180°－∠B－∠C = 180°－45°－60° = 75°.
所以∠BAE = 37.5°.
因为∠B +∠BAE +∠AEB = 180°， 所以∠AEB = 180°－45°－37.5° = 97.5°.
八年级数学上册《三角形中的主要线段》教案、教学设计
针对以上学情，本章节教学应注重分层教学，关注学生个体差异，充分激发学生的学习兴趣，提高其合作学习能力，使学生在掌握三角形主要线段知识的同时，提高数学素养。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握三角形中主要线段（中线、高线、角平分线）的定义及其性质。
（3）选做题和创新与实践题目可根据个人兴趣和能力选择完成，旨在培养学生的探究精神和团队合作能力。
（二）讲授新知，500字
1.教师介绍三角形的中线、高线、角平分线的定义，并通过动态演示和静态图示相结合的方式，让学生直观地理解这些线段的特点。
2.引导学生探索三角形中线、高线、角平分线的性质，如中线将三角形分成面积相等的两个部分，高线与底边垂直，角平分线将角平分等。
3.教师通过具体例题，讲解如何利用三角形的主要线段求解几何问题，并强调解题过程中的注意事项。
5.重视数学思想的渗透，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
1.教师通过展示生活中常见的三角形物体，如三角形的警示牌、自行车三角架等，引导学生思考这些三角形物体的稳定性与三角形的主要线段有何关系。
2.学生观察、讨论后，教师提出问题：“三角形中除了边长外，还有哪些重要的线段？这些线段有何作用？”从而引出本节课的主题：三角形中的主要线段。
4.引导学生总结解题方法，培养学生的概括能力和逻辑思维能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣，激发学生的学习积极性，使其主动投入到三角形相关知识的学习中。
2.培养学生的空间想象能力和直观感知能力，使其能够从几何角度认识和理解世界。
专题4.6 认识三角形-三角形的三条重要线段(专项练习)七年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)
专题4.6 认识三角形-三角形的三条重要线段（专项练习）一、单选题1．（2021·黑龙江哈尔滨市·八年级期末）如图，在下列图形中，最具有稳定性的是（）A．B．C．D．的高是（）2．（2021·宁夏固原市·八年级期末）下列图形中，线段BE是ABCA．B．C．D．3．（2020·湖北孝感市·八年级月考）如图，在ABC中，AB边上的高为（）A．CG B．BF C．BE D．AD 4．（2020·黑龙江牡丹江市·八年级期中）如图，王师傅用六根木条钉成一个六边形木框，要使它不变形，至少还要再钉上________根木条（）A．2B．3C．4D．5 5．（2020·安岳县石羊镇初级中学七年级期中）如果一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，那么这个三角形是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形 6．（2020·辽宁抚顺市·）如图，CE 是ABC 的外角ACD ∠的平分线，若30B ∠=︒，50ACE ∠=︒，则A ∠=（ ）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒7．（2021·上海崇明区·九年级一模）已知点G 是ABC 的重心，如果连接AG ，并延长AG 交边BC 于点D ，那么下列说法中错误的是（ ）A ．BD CD =B ．AG GD =C ．2AG GD = D ．2BC BD = 8．（2020·安徽阜阳市·八年级月考）如图，在ABC 中，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AD 的中点，若ABC 的面积是40，则四边形BDEF 的面积是（ ）A ．10B ．12.5C ．15D ．209．（2019·山东临沂市·八年级期中）如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是BC ，AD ，CE 的中点，若S △ABC =16，则S △BEF 的值为（ ）A ．1B ．4C ．6D ．810．（2020·内蒙古赤峰市·八年级期中）如图所示，在ABC 中，AD BC ⊥于D ，E 是BC 边上的一点，连结AE ，则线段AD 是（ ）个三角形的高A．3B．4C．5D．6 11．（2020·广西八年级月考）如图，盖房子时，在窗框没有安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（）A．两点之间线段最短B．长方形的对称性C．长方形四个角都是直角D．三角形的稳定性的边AC上的高是（）12．（2021·北京丰台区·八年级期末）如图所示，ABCA．线段AE B．线段BA C．线段BD D．线段DA 13．（2021·湖南娄底市·八年级期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD 中AD边上的中线，若△ABC的面积是40，则△ABE的面积是( )A．25B．20C．15D．10 14．（2020·浙江省开化县第三初级中学八年级期中）如图，工人师傅砌门时，常用一根木条EF来固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（）A ．两点之间线段最短B ．长方形的四个角都是直角C ．长方形是轴对称图形D ．三角形具有稳定性15．（2020·四川绵阳市·东辰国际学校八年级月考）如图，在△ABC 中，已知点D 、E 、F 分别为边BC 、AD 、CE 的中点，且23S cm =阴影，则△ABC 的面积为（ ）平方厘米A ．9B ．12C ．15D ．18二、填空题 16．（2020·广西柳州市·八年级期中）如图，BE 、CF 是ABC 的角平分线，80,60ABC ACB ︒︒∠=∠=，BE 、CF 相交于D ，则CDE ∠的度数是_____________．17．（2020·安徽合肥市五十中学西校八年级期中）如图所示，AD 、CE 、BF 是△ABC 的三条高，AB ＝6，BC ＝5，AD ＝4，则CE ＝_____．18．（2020·湖北孝感市·八年级月考）如图所示，则α=__________．19．（2021·全国九年级专题练习）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，则△ABE的面积________．20．（2020·甘州中学七年级月考）OB是△AOC内部的一条射线，把三角形的角的顶点放在点O处，转动三角尺，当三角尺的边OD平分△AOB，三角尺的另一边OE也正好平分△BOC，则△AOC的度数为________21．（2019·广东广州市白云区六中珠江学校八年级期中）如图，在ABC中，AD、AE分AE=，ABC的面积为25，则CD的长为________．别是边BC上的中线与高，522．（2021·肥东县第四中学七年级期末）如图，已知AD 是ABC 的中线，CE 是ADC 的中线，ABC 的面积为8，则CDE △的面积为______．23．（2020·吉林吉林市·八年级期末）大桥钢架、索道支架等为了坚固，都采用三角形结构．这样做的根据是__________________．24．（2021·河南商丘市·八年级期末）如图，在△ABC 中，△ABC 和△ACB 的角平分线交于点O ，延长BO 与△ACB 的外角平分线交于点D ，若△BOC ＝130°，则△D ＝_____25．（2021·上海九年级专题练习）已知点G 是ABC ∆的重心，连接BG 、GC ，那么BGC ABCS S ∆∆=_________． 26．（2021·全国九年级专题练习）如图，、、A B C 分别是线段1A B 、1B C 、1C A 的中点，若ABC 的面积是1，那么111A B C △的面积为____．27．（2020·东营市实验中学七年级月考）如图，若//AB CD ，BF 平分ABE ∠，DF 平分CDE ∠，90BED ∠=，则BFD ∠=______．28．（2020·宁津县育新中学八年级期中）如图，在△ABC 中，△A=64°，△ABC 与△ACD 的平分线交于点A 1，△A 1BC 与△A 1CD 的平分线相交于点A 2，得△A 2；…；△A n -1BC 与△A n -1CD 的平分线相交于点A n ，要使△A n 的度数为整数，则n 的值最大为______．29．（2020·天津市河西区新华圣功学校八年级月考）如图，已知AE 是ABC 的边BC 上的中线，若8AB cm =，ACE △的周长比AEB △的周长多2cm ，则AC =______cm ．30．（2020·宜春市宜阳学校八年级月考）如图，在ABC 中，点D 、E 、F 分别是边BC 、AD 、CE 上的中点，则6ABC S =，则BEF S =△______．31．（2021·全国八年级）如图，在ABC 中，点,,D E F 分别在三边上，点E 是AC 的中点，,,AD BE CF 交于一点,283BGD AGE G BD DC S S ===，，，则ABC 的面积是________．32．（2021·全国八年级）如图，ABC 的三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点为G ，且21AG GD =：：．若12ABC S =△，则图中阴影部分的面积是________．33．（2020·上海宝山区·九年级月考）如图，△ABC 的两条中线AD 、BE 相交于点G ，如果S △ABG ＝2，那么S △ABC ＝_____．34．（2021·菏泽市定陶区第一实验中学八年级月考）如图，在△ABC 中，△A ＝θ，△ABC 和△ACD 的平分线交于点A 1，得△A 1，△A 1BC 和△A 1CD 的平分线交于点A 2，得△A 2；…；△A 2020BC 和△A 2020CD 的平分线交于点A 2021，则△A 2021＝________．（用θ表示）35．（2021·庆云县第二中学八年级期末）如图，ACD ∠是ABC 的外角，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，1A BC ∠的平分线与1A CD ∠的平分线交于点2A ，…，1n A BC -∠的平分线与1n A CD -∠的平分线交于点n A ，设=A θ∠，则2=A ∠___________，=n A ∠___________．36．（2020·黑龙江牡丹江市·八年级期中）如图，点D，E，F分别是边BC，AD，AC上的中点，若图中阴影部分的面积为3，则ABC的面积是________．37．（2020·龙湾区永中中学九年级月考）如图1，ABC纸片面积为24，G为ABC纸片）连结CG，DG，并将纸片剪去GDC，的重心，D为BC边上的一个四等分点（BD CD则剩下纸片（如图2）的面积为__________．38．（2021·四川绵阳市·八年级期末）如图，在△ABC中E是BC上的一点，BC=3BE，点D 是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF﹣S△BEF=____．三、解答题39．（2020·贵州省施秉县第二中学八年级期末）如图，在△ABC中，BE△AC，BC＝5cm，AC＝8cm，BE＝3cm．（1）求△ABC的面积；（2）画出△ABC中BC边上的高AD，并求出AD的长．40．（2021·福建三明市·八年级期末）如图，在△ABC中，△A＝30°，△ACB＝80°，△ABC 的外角△CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求△CBE的度数；DF BE，交AC的延长线于点F，求△F的度数．（2）过点D作//41．（2021·全国八年级）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE．（1）求证：点D在BE的垂直平分线上；（2）若△ABE＝20°，请求出△BEC的度数．42．（2021·山东济南市·八年级期末）△ABC中，AD是△BAC的角平分线，AE是△ABC的高．（1）如图1，若△B＝40°，△C=60°，求△DAE的度数；（2）如图2，△B＜△C，则DAE、△B，△C之间的数量关系为___________；（3）如图3，延长AC到点F，△CAE和△BCF的角平分线交于点G，求△G的度数．43．（2021·四川绵阳市·东辰国际学校七年级期末）如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的直角三角板如图△放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC、三角板PBD 均可绕点P逆时针旋转（1）试说明△DPC=90°；（2）如图△，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转旋转一定角度，PF 平分△APD，PE平分△CPD，求△EPF；（3）如图△．在图△基础上，若三角板PAC开始绕点P逆时针旋转，转速为5°/秒，同时三角板PBD绕点P逆时针旋转，转速为1°/秒，（当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，PC、PB、PD三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间．参考答案1．D【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可．【详解】解：根据三角形具有稳定性可得选项D具有稳定性，其余的都具有不稳定性，故选：D．【点拨】此题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．2．D【分析】根据三角形高的定义可得结论【详解】在三角形中,从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线,顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．故选：D【点拨】熟记三角形高的定义是解决本题的关键．3．A【分析】在ABC中，过C点向AB所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段是AB上的高，由此可得答案．【详解】CG解：ABC中，AB边上的高为：.故选：.A【点拨】本题考查的是三角形的高的含义，掌握钝角三角形的高是解题的关键．4．B【分析】根据三角形的稳定性，要使它不变形，只需每一条边都分别在一个三角形之中即可【详解】解：要使六边形木框不变形，则需每一条边都分别在一个三角形之中，观察图形可得，至少还需要再钉上3根木条故选：B【点拨】本题考查了三角形的稳定性，观察图形如何使每一条边都分别在一个三角形之中是解决本题的关键5．C【分析】直接根据钝角三角形的三条高线交于三角形的外部解答即可．【详解】解：钝角三角形的三条高线交于三角形的外部，故选：C ．【点拨】本题考查了三角形的三条高线交点的位置与三角形的形状的关系，即：锐角三角形的三条高线交于三角形的内部，直角三角形的三条高线交于三角形的直角的顶点，钝角三角形的三条高线交于三角形的外部．6．D【分析】根据角平分线的定义以及三角形外角的性质，即可求解．【详解】△CE 是ABC 的外角ACD ∠的平分线，50ACE ∠=︒，△△ACD =2△ACE=100°，△△A=△ACD -△B=100°-30°=70°，故选D【点拨】本题主要考查角平分线的定义以及三角形外角的性质，熟练掌握“三角形的外角等于不相邻的两个内角之和”是解题的关键．7．B【分析】根据三角形重心的定义和性质解答即可．【详解】解：△点G 是ABC 的重心，△BD CD =，2AG GD =，2BC BD =，△A 、C 、D 正确，B 错误，故选B ．【点拨】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．8．C【分析】要求四边形面积，可以转化为两个三角形面积之和，把三角形面积计算中的底与高转化为大三角形ABC 的底与高即可求解．【详解】△ABC 的面积是40， △1402BC h ⨯⨯=， △D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AD 的中点，△EF 平行且等于12CD ，CD BD =， 以BD 为底，设BDF 的高为h '，以EF 为底，DEF 的高为h ''， △//BC EF ，△h h '''=， 11=22BDF DEF BDEF S S S BD h EF h ''+=⨯⨯+⨯⨯四边形， △F 是AD 的中点，△12h h '=， △111111=10515222422BDEF S BC h BC h ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=四边形， 故选：C ．【点拨】本题主要考查的是三角形中线的性质求面积问题，熟练掌握三角形中线求面积的性质是解答本题的关键．9．B【分析】根据三角形中线把三角形分成面积相等的两部分可以得解．【详解】解：由题意可得：BEC BED DEC SS S =+=()12ABD ACD S S + =12ABC S =8， △142BEF BEC S S ==， 故选：B ．【点拨】本题考查三角形中线的应用，熟练掌握三角形中线把三角形分成面积相等的两部分的性质是解题关键 ．10．D【分析】由AD BC ⊥，结合线段BC （包括端点）共有4个已知点，从而可得线段AD 是三角形以,,,,,BE BD BC ED EC DC 为边上的高，于是可得答案．【详解】解：,AD BE ⊥AD ∴是ABE △的高，,AD BD ⊥AD ∴是ABD △的高，AD BC ⊥，AD ∴是ABC 的高，AD DE ⊥,AD ∴是ADE 的高，,AD CE ⊥AD ∴是ACE △的高，,AD CD ⊥AD ∴是ACD △的高，∴ 线段AD 是6个三角形的高故选：.D【点拨】本题考查的是三角形高的含义，分类讨论的数学思想，掌握以上要点是解题的关键． 11．D【分析】在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，据此即可判断是利用了三角形的稳定性．【详解】在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，利用了三角形的稳定性，D 正确．故答案选D ．【点拨】本题比较简单主要考查三角形稳定性的实际应用，通常要使一些图形具有稳定的结构，往往是将其转化为三角形而获得．12．C【分析】根据三角形的高解答即可，三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫做这个三角形的高．A.线段AE是△ABC的边BC上的高，故不符合题意；B.线段BA不是任何边上的高，故不符合题意；C.线段BD是△ABC的边AC边上的高，故符合题意；D.线段DA是△ABD的边BD上的高，故不符合题意；故选C．【点拨】本题考查了三角形的高线，熟练掌握三角形高线的定义是解答本题的关键．13．D【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可解答．【详解】解：△AD是BC上的中线，△12ABD ACD ABCS S S==△△△，△BE是△ABD中AD边上的中线，△12ABE BED ABDS S S==△△△，△14ABE ABCS S=△△，△△ABC的面积是40，△144010ABES，故选：D．【点拨】本题主要考查了三角形面积的求法，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．14．D【分析】根据三角形具有稳定性解答．用木条EF 固定长方形门框ABCD ，使其不变形，这样做的根据是三角形具有稳定性， 故选：D ．【点拨】此题考查三角形的稳定性，正确理解题意即可解决实际问题．15．B【分析】由点D 为BC 的中点，可得△ABD 、△ACD 与△ABC 的面积之比，继而由点E 为AD 的中点，可得△ABC 与△BCE 的面积之比，同理可得△BCE 和△EFB 的面积之比，据此可解答．【详解】解：如图，△D 为BC 的中点，△S △ABD = S △ACD = 12S △ABC ， △E 为AD 的中点， △S △BDE =12 S △ABD ，S △CDE = 12S △ACD ， △S △BDE + S △CDE = 12S △ABD + 12 S △ACD = 12 S △ABC ， △S △BEC = 12 S △ABC ， △F 为EC 的中点，△S △BEF = 12 S △BEC = 14S △ABC ， △S △BEF =3，△S △ABC =12．故选：B ．【点拨】本题主要考查了三角形面积及三角形面积的等积变换，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．16．70【分析】利用角平分线的定义求得CBE FCB ∠∠、的度数，然后利用三角形外角的性质求解【详解】解：△BE 、CF 是ABC 的角平分线，80,60ABCACB ∠=∠=， △1140,3022CBE ABC FCB ACB ∠=∠=∠=∠=， △70CDE CBE FCB ∠=∠+∠=． 故答案为：70．【点拨】本题考查三角形外角的性质，掌握三角形外角等于不相邻的两个内角和是解题关键． 17．103【分析】 利用三角形面积公式得到12×AB ×CE ＝12×BC ×AD ，然后将已知条件代入求解即可． 【详解】解：△S △ABC ＝12×AB ×CE ＝12×BC ×AD ， △CE ＝BC AD AB⨯＝546⨯＝103． 故答案为103． 【点拨】本题主要考查了三角形面积公式，利用三角形的面积公式列出方程是解答本题的关键． 18．114︒【分析】根据三角形外角性质解答即可．【详解】如图所示:由三角形外角性质可得:1245882︒︒∠=+︒=1328232114α︒︒︒︒=∠+=+=故答案为: 114︒．【点拨】此题考查三角形外角性质，关键是根据三角形外角性质解答．19．6【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，即可解答．【详解】解：△AD是BC上的中线，△ABC的面积是24，△S△ABD=S△ACD=12S△ABC=12，△BE是△ABD中AD边上的中线，△S△ABE=S△BED=12S△ABD=6，故答案为：6．【点拨】本题主要考查了三角形面积的求法，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．20．120°【分析】根据角平分线是定义得到△BOD=12△AOB，△BOE=12△COB,则△DOE=12△AOB+12△COB=12△AOC，然后把△DOE=60°代入计算即可．【详解】△OD平分△AOB，OE平分△COB，△△BOD1=2△AOB，△BOE=12△COB，△△DOE=12△AOB+12△COB=12△AOC，△△DOE=60°，△△AOC=260=120⨯．故答案为：120°【点拨】本题主要考查了角之间的和差关系及角平分线的定义．正确理解角的和差倍分关系是解题的关键．21．5.【分析】由三角形的面积为：25，求解,BC 再利用三角形的中线的概念求解CD 即可得到答案． 【详解】 解： AD 、AE 分别是边BC 上的中线与高，1,,2BD CD BC AE BC ∴==⊥ 1252BC AE ∴=， 5AE =，550BC ∴=，10BC ∴=，152CD BC ∴==， 故答案为：5.【点拨】本题考查的是三角形的中线，高的含义，三角形的面积，掌握以上知识是解题的关键． 22．2【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分直接进行求解即可．【详解】 解：AD 是ABC 的中线，ABC 的面积为8， ∴142ADC ABC S S ==△△， CE 是ADC 的中线， ∴122CDE ADC S S △△；故答案为：2．【点拨】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．23．三角形具有稳定性【分析】三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性，利用三角形的稳定性即可解释．【详解】△三角形具有稳定性，△大桥钢架、索道支架等为了坚固，都采用三角形结构．这样做的根据是三角形的稳定性．故答案为：三角形的稳定性．【点拨】本题考查三角形的稳定性，掌握三角形是固定不变的，不会变形，即三角形的稳定性，生活中需要稳定的东西一般都制成三角形的形状．24．40°【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论．【详解】解：△△ABC和△ACB的角平分线交于点O，△△ACO=12△ACB，△CD平分△ACE，△△ACD=12△ACE，△△ACB+△ACE=180°，△△OCD=△ACO+△ACD=12（△ACB+△ACE）=12×180°=90°，△△BOC＝130°，△△D=△BOC-△OCD=130°-90°=40°，故答案为：40°．【点拨】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和概念正确推理计算是解题的关键．25．13【分析】直接根据三角形重心的性质进行解答即可．【详解】解：连接AG 并延长交BC 于D△点G 为△ABC 的重心，△AG=2DG ，△△DGC 的面积等于△ADC 面积的13， △DGB 的面积等于△ADB 面积的13， △△DGC 的面积+△DGB 的面积=13（△ADC 的面积+△ADB 的面积） △△BCG 的面积=13△ABC 的面积 △13∆∆=BGC ABC S S 故答案为：13【点拨】本题考查的是三角形的重心，熟知三角形的重心是三角形三边中线的交点是解答此题的关键．26．7【分析】连接111,,AB BC CA ，根据等底等高的三角形的面积相等求出1ABB △，11A AB △的面积，从而求出11A BB 的面积，同理可求11B CC 的面积，11A AC △的面积，然后相加即可得解．【详解】解：如下图，连接111,,AC B A C B ，△B 是线段1B C 的中点，△1B B BC =， ABC 和1AB B 等底同高，△根据等底同高的两个三角形面积相等可得11B AB ABC S S ==△△；同理可得：1111A B A AB B S S ==△△；△11111112A B B A B A AB B S S S =+=+=；同理可得112C CB S =△，112C AA S =△，△11111111122217A B C A BB C CB C AA ABC S S S S S =+++=+++=．故答案为：7．【点拨】本题考查了与三角形中线有关的面积计算，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线把三角形进行分割是解题的关键．27．45°【分析】如图，作射线BF 与射线BE ，根据平行线的性质和三角形的外角性质可得△ABE +△EDC ＝90°，然后根据角平分线的定义和三角形的外角性质即可求出答案．【详解】解：如图，作射线BF 与射线BE ，△AB △CD ，△△ABE ＝△4，△1＝△2，△△BED＝90°，△BED＝△4+△EDC，△△ABE+△EDC＝90°，△BF平分△ABE，DF平分△CDE，△△1+△3＝12△ABE+12△EDC＝45°，△△5＝△2+△3，△△5＝△1+△3＝45°，即△BFD＝45°，故答案为：45°．【点拨】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义和三角形的外角性质，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．28．6【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得到△A＝2△A1，同理可得△A1＝2△A2，即△A＝22△A2，因此找出规律．【详解】由三角形的外角性质得，△ACD＝△A＋△ABC，△A1CD＝△A1＋△A1BC，△△ABC的平分线与△ACD的平分线交于点A1，△△A1BC＝12△ABC，△A1CD＝12△ACD，△△A1＋△A1BC＝12（△A＋△ABC）＝12△A＋△A1BC，△A1B、A1C分别平分△ABC和△ACD，△△ACD＝2△A1CD，△ABC＝2△A1BC，而△A1CD＝△A1＋△A1BC，△ACD＝△ABC＋△A，△△A＝2△A1，△△A1＝12△A，同理可得△A1＝2△A2，△△A2＝14△A，△△A＝2n△A n，△△A n＝（12）n△A＝642n，△△A n的度数为整数，△n＝6．故答案为：6．【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的12是解题的关键．29．10【分析】依据AE是△ABC的边BC上的中线，可得CE=BE，再根据AE=AE，△ACE的周长比△AEB 的周长多2cm，即可得到AC的长．【详解】解：△AE是△ABC的边BC上的中线，△CE=BE，又△AE=AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，△AC-AB=2cm，即AC-8=2cm，△AC=10cm，故答案为：10；【点拨】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键．30．3 2【分析】利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分解决问题即可．【详解】解：△BD=DC ，△S △ABD =S △ADC =12×6=3（cm 2）， △AE=DE ，△S △AEB =S △AEC =12×3=32（cm 2）， △S △BEC =6-3=3（cm 2），△EF=FC ，△S △BEF =12×3=32（cm 2）， 故答案为32． 【点拨】本题考查三角形的面积，三角形的中线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．31．30【分析】根据部分三角形的高相等，由这些三角形面积与底边的比例关系可求三角形ABC 的面积．【详解】解：在BDG 和GDC 中，△2BD DC =,△2BDG GDC SS =，8BGD S =△， △4GDC S =,△点E 是AC 的中点，3AGE S = △ 3.GEC AGE SS == △84315BEC BDG GDC GEC SS S S =++=++=， △230.ABC BEC S S ==故答案为：30．【点拨】本题中由于部分三角形的高相等，可根据这些三角形面积的比等于底边的比例关系来求三角形ABC的面积是解题关键．32．4【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍．【详解】解：△△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，AG：GD=2：1，△AE=CE，△S△CGE=S△AGE=13S△ACF，S△BGF=S△BGD=13S△BCF，△S△ACF=S△BCF=12S△ABC=12×12=6，△S△CGE=13S△ACF=13×6=2，S△BGF=13S△BCF=13×6=2，△S阴影=S△CGE+S△BGF=4．故阴影部分的面积为4．故答案为：4．【点拨】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，正确的识别图形是解题的关键．33．6【分析】根据D，E分别是三角形的中点，得出G是三角形的重心，再利用重心的概念可得：2GD ＝AG进而得到S△ABG：S△ABD＝2：3，再根据AD是△ABC的中线可得S△ABC＝2S△ABD进而得到答案．【详解】解：△△ABC的两条中线AD、BE相交于点G，△2GD＝AG，△S△ABG＝2，△S△ABD＝3，△AD是△ABC的中线，△S△ABC＝2S△ABD＝6．故答案为：6．此题主要考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的两倍．34．20212θ【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得ACD A ABC ∠=∠+∠，111ACD A A BC ∠=∠+∠，根据角平分线的定义可得112A BC ABC ∠=∠，112ACD ACD ∠=∠，然后整理得到112A A ∠=∠，同理可得2112A A ∠=∠，⋯从而判断出后一个角是前一个角的一半，然后表示出n A ∠即可．【详解】解：1A B 平分ABC ∠，1A C 平分ACD ∠，112A BC ABC ∴∠=∠，112ACA ACD ∠=∠， 111ACD A A BC ∠=∠+∠， ∴11122ACD A ABC ∠=∠+∠， 11()2A ACD ABC ∴∠=∠-∠， A ABC ACD ∠+∠=∠，A ACD ABC ∴∠=∠-∠，112A A ∴∠=∠， 1221122A A A ∠=∠=∠，⋯， 以此类推，12n n A A ∠=∠， 202120212021122A A θ∴∠=∠=． 故答案为：20202θ．本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．35．4θ 2n θ 【分析】根据三角形的外角性质可得△ACD=△A+△ABC ，△A 1CD=△A 1+△A 1BC ，根据角平分线的定义可得△A 1BC=12△ABC ，△A 1CD=12△ACD ，整理得到△A 1=12△A ，同理可得△A 2=12△A 1，从而判断出后一个角是前一个角的12，然后表示出△A n 即可得答案． 【详解】△ACD ∠是ABC 的外角，△A 1CD 是△A 1BC 的外角，△△ACD=△A+△ABC ，△A 1CD=△A 1+△A 1BC ，△ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，△△A 1BC=12△ABC ，△A 1CD=12△ACD ， △△A 1=12△A ， 同理可得△A 2=12△A 1=14△A ， △△A=θ，△△A 2=4θ， 同理：△A 3=12△A 2=382θθ=， △A 4=12△A 3=4162θθ= ……△△A n =2n θ． 故答案为：4θ，2nθ 【点拨】 本题考查了三角形的外角性质及角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；熟记性质并准确识图，求出后一个角是前一个角的12是解题的关键．36．8【分析】利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，S△ABD=S△ACD=12S△ABC，S△BDE=12S△ABD，S△ADF=12S△ADC，再得到S△BDE=14S△ABC，S△DEF=18S△ABC，所以S△ABC=83S阴影部分．【详解】解：△D为BC的中点，△12ABD ACD ABCS S S==△△△，△E，F分别是边,AD AC上的中点，△111,,222 BDE ABD ADF ADC DEF ADFS S S S S S===，△111,448 BDE ABC DEF ADC ABCS S S S S===，△113488BDE DEF ABC ABC ABCS S S S S S=+=+=阴影部分，△888333ABCS S⨯===阴影部分，故答案为：8．【点拨】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．37．18【分析】连接BG，根据重心的性质得到△BGC的面积，再根据D点是BC的四等分点得到△GDC的面积，故可求解．【详解】连接BG，△G为ABC纸片的重心，△S△BGC=13S△ABC=8△D为BC边上的一个四等分点（BD CD）△S△DGC=34S△BGC=6△剪去GDC，则剩下纸片的面积为24-6=18故答案为：18．【点拨】此题主要考查重心的性质，解题的关键是熟知重心的性质及面积的换算关系．38．2【分析】S△ADF-S△BEF=S△ABD-S△ABE，所以求出三角形ABD的面积和三角形ABE的面积即可，因为BC=3BE，点D是AC的中点，且S△ABC=12，就可以求出三角形ABD的面积和三角形ABE 的面积．【详解】解：△点D是AC的中点，△AD=12 AC，△S△ABC=12，△S△ABD=12S△ABC=12×12=6．△BC=3BE，△S△ABE=13S△ABC=13×12=4，△S△ABD-S△ABE=（S△ADF+S△ABF）-（S△ABF+S△BEF）=S△ADF-S△BEF，即S△ADF-S△BEF=S△ABD-S△ABE=6-4=2，故答案为：2．【点拨】本题考查三角形的面积，解题的关键是要能根据已知条件求出三角形的面积并对要求的两个三角形的面积之差进行变化．39．（1）212cm ；（2）作图见解析，245cm 【分析】（1）结合题意，根据三角形面积计算公式分析，即可得到答案；（2）过点A 作AD BC ⊥交BC 于点D ，结合三角形面积公式计算，即可得到答案．【详解】（1）△BE△AC ， AC ＝8cm ，BE ＝3cm △211=831222ABC S AC BE cm ⨯=⨯⨯=△ （2）如图，过点A 作AD BC ⊥交BC 于点D△211=1222ABC S AC BE BC AD cm ⨯=⨯=△ △22122455ABC S AD BC ⨯===△cm ． 【点拨】本题考查了三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形高的性质，从而完成求解． 40．（1）55CBE ∠=︒；（2）25.F ∠=︒【分析】（1）由30,80,A ACB ∠=︒∠=︒ 利用三角形的外角的性质求解,CBD ∠ 再利用角平分线的含义求解CBE ∠即可得到答案；（2）先由三角形的外角的性质求解,CEB ∠ 再利用平行线的性质求解F ∠即可得到答案．【详解】解：（1）30,80,A ACB ∠=︒∠=︒3080110,CBD A ACB ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒ BE 平分,CBD ∠1111055.22CBE CBD ∴∠=∠=⨯︒=︒ （2）80,55,ACB CBE ∠=︒∠=︒805525,CEB ACB CBE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒//,BE DF25.F CEB ∴∠=∠=︒【点拨】本题考查的是三角形的外角的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．41．（1）见解析；（2）60°．【分析】（1）连接DE ，根据垂直定义得到△ADC ＝△BDC ＝90°，根据直角三角形的性质可得DE ＝CE ，根据线段垂直平分线的性质可得结论；（2）根据等边对等角的性质和三角形外角的性质及角的和差倍数关系即可求证结论．【详解】（1）证明：连接DE ，△CD 是AB 边上的高，△△ADC ＝△BDC ＝90°，△BE 是AC 边上的中线，△AE ＝CE ，△DE ＝CE ，△BD ＝CE ，△BD ＝DE ，△点D 在BE 的垂直平分线上；（2）解：△DE ＝AE ，△△A ＝△ADE ，△△ADE ＝△DBE+△DEB ，△BD ＝DE ，△△DBE ＝△DEB ，△△A ＝△ADE ＝2△ABE ，△△BEC ＝△A+△ABE ，△△BEC＝3△ABE，△△ABE＝20°，△△BEC＝60°．【点拨】本题考查线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线定理、等边对等角的性质、三角形外角和性质，解题的关键是熟练掌握上述所学知识．42．（1）10°；（2）△DAE＝12(△C−△B)；（3）45°．【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求得△BAC＝80°，由角平分线的定义可得△CAD 的度数，利用三角形的高线可求△CAE得度数，进而求解即可得出结论；（2）根据（1）的推理方法可求解△DAE、△B、△C的数量关系；（3）设△ACB＝α，根据角平分线的定义得△CAG＝12△EAC＝12（90°−α）＝45°−12α，△FCG＝12△BCF＝12（180°−α）＝90°−12α，再利用三角形外角的性质即可求得结果．【详解】解：（1）△△B＝40°，△C＝60°，△BAC＋△B＋△C＝180°，△△BAC＝80°，△AD平分△BAC，△△CAD＝△BAD＝12△BAC＝40°，△AE是△ABC的高，△△AEC＝90°，△△C＝60°，△△CAE＝90°−60°＝30°，△△DAE＝△CAD−△CAE＝10°；（2）△△BAC＋△B＋△C＝180°，△△BAC＝180°−△B−△C，△AD平分△BAC，。
七年级数学下册《三角形的三条重要线段》教案、教学设计
3.及时反馈原则：要求学生在规定时间内提交作业，教师及时给予评价和指导，帮助学生发现问题、提高自己。
-指出：“在解决几何问题时，我们要学会运用所学的性质，进行严密的逻辑推理。”
3.鼓励学生对所学知识进行自我反思，评价自己的学习效果。
-提问：“你认为自己在今天的课堂上有哪些收获？还有哪些地方需要进一步学习和提高？”
五、作业布置
为了巩固学生对三角形三条重要线段的理解和应用，以及提高他们的问题解决能力，我设计了以下作业：
3.引导学生通过观察、思考、总结，形成解决问题的策略和方法。
-教师鼓励学生在学习过程中积极思考，通过问题驱动的方式，引导学生总结三角形三条重要线段的相关性质。
-学生在教师的引导下，学会运用几何知识进行逻辑推理，形成解题的策略。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣，激发学生的探究欲望。
-通过设置具有挑战性的问题，教师激发学生的学习兴趣，鼓励学生主动探索三角形三条重要线段的秘密。
-学习笔记要体现学生的自主学习和思考过程，有助于他们梳理知识结构。
5.互动交流作业：鼓励学生与家长或同学分享今天学到的三角形知识，讨论解决实际问题的策略。
-通过互动交流，培养学生的沟通能力和团队合作精神。
作业布置时，注意以下原则：
1.分层次原则：针对不同学生的学习水平，提供不同难度的作业，使每个学生都能得到适当的挑战和锻炼。
-通过例题，让学生看到中线如何将三角形分成面积相等的两部分，角平分线如何将角平分，高线如何与底边垂直。
3.解释这些性质在解决几何问题中的应用，并展示解题步骤。
-以具体的几何题目为例，示范如何运用中线、角平分线、高线的性质来解决问题。
《三角形的认识》课件
建筑中的三角形应用
屋顶结构
许多建筑的屋顶采用三角形的设 计，以提供更好的承重和稳定性
。
钢架结构
在建筑中，钢架结构经常采用三角 形的设计，以增强结构的强度和稳 定性。
桥梁支撑
桥梁的支撑结构经常采用三角形的 设计，以分散重量并增强稳定性。
数学中的三角形应用
勾股定理
勾股定理是三角形的一个重要性 质，它描述了直角三角形三边的
《三角形的认识》 ppt课件
REPORTING
• 三角形的定义与性质 • 三角形的分类 • 三角形的面积与周长 • 三角形的应用 • 三角形的证明与定理
目录
PART 01
三角形的定义与性质
REPORTING
三角形的定义
总结词
三角形是由三条边和三个角构成 的平面图形。
详细描述
三角形是最简单的多边形之一， 由不在同一直线上的三条线段首 尾顺次连接形成的平面图形。
详细描述
三角形的边与角之间存在密切的关系，如等腰三角形的两腰相等，且对应的两个 底角也相等；直角三角形中有一个角为90度，且斜边与直角边的关系满足勾股定 理等。这些关系是三角形的重要性质，有助于解决各种几何问题。
PART 02
三角形的分类
REPORTING
按角度分类
01
02
03
锐角三角形
三个角都小于90度的三角 形。
边边边（SSS）证明方法
如果两个三角形有三条边分别相等，则这两 个三角形全等。
边角边（SAS）证明方法
如果两个三角形有两条边和夹角分别相等， 则这两个三角形全等。
角角边（AAS）证明方法
如果两个三角形有两个角和一条非夹角边分 别相等，则这两个三角形全等。
《三角形的三边关系》说课稿(获奖作品)
巧手摆一摆，实验求真知－说《三角形的三边关系》各位评委、老师大家好！我今天说课的主题是《巧手摆一摆，实验求真知》－－说《三角形的三边关系》一、实验内容分析统观教材：“三角形三边的关系”是人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》第八册的内容，这个内容在初中还要进一步学习。
小学阶段学习这个知识主要是通过实验、猜测、观察等方法去发现规律,并能够运用这个知识解释一些简单的生活现象。
已学过的相关内容：在学习这个内容之前学生已经认识三角形的定义、三角形的特征。
本节课的内容是通过实验操作，进一步研究三角形的又一个新特征——即“任意两边之和大于第三边”。
后续学习的内容：这部分的知识会为以后学习三角形、四边形等图形的基本性质以及初中学习三角形三边关系打下基础。
二、实验环境设计数学是一门最基础的科学，数学教学中应当根据具体教学内容恰当引入数学实验。
《三角形的三边关系》这节课的内容实验性强，操作性强的，能从实验数据中获得结论。
并且我校每班都配有一体机，实物投影非常的方便。
学生在实验过程中不仅记录的数据可以及时清晰地反映出来，而且可以动态演示学生实验的过程。
每组需要的小棒与实验报告单也易于准备，所以适合进行实验教学。
三、实验教学预达目标知识与技能目标：1.学生能自主掌握“三角形任意两边的和大于第三边”这一关系。
2.能判断给定长度的三条线段是否围成三角形，并能运用这一知识解决生活中的简单的实际问题。
过程与方法目标：1.在动手实验、观察、操作、分析、比较等活动中，经历三角形三边关系的探索过程。
2.在实验过程中提高学生观察、分析、概括的能力，感受数学思想方法在学习，生活中的应用。
3.学生真实记录实验数据，养成崇尚科学的良好品质。
重点：经历三角形三边关系的探索过程，掌握“三角形任意两边之和大于第三边”的特征。
难点：通过实验发现“三角形任意两边之和大于第三边”的特征，准确理解“任意”的含义。
四、实验方法设计教学有法，但无定法。
在数学实验教学中把学生分成若干小组，每个小组所用的实验材料各不相同，可以得到不同实验数据。
《角的平分线的性质(1)》课件
PD＝PE；选项B和C中PD不是到OA的距离；选项D中P到OA
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测 探究三：用角的平分线的性质解决简单问题 活动1 例1 (2)下图中,PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别为点D、E，
则图中PD＝PE吗 不相等
【思路点拨】已知没有告诉OC为∠AOB的平分线， 由此PD与PE不相等.
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测 重难点归纳
（1）角的平分线的性质的探究. （2）角的平分线的性质的证明及应用. （3）证明线段相等通常证明线段所在的两个 三角形全等.
边的垂线段. 哪个学生的作法正确？ 同学乙的画法是正确的．
同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线， 而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的 画法不符合要求．
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究二：角的平分线的性质 活动2 问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质？
角平分线上的点到角的两边的距离相等．
证明： ∵∠C＝90°，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E， ∴DC=DE 又∵△AD=DF △ ∴ DCF≌ DEA（HL）
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究三：用角的平分线的性质解决简单问题
活动3
练习：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE， CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
知识回顾 问题探究 探究二：角的平分线的性质 活动3
课堂小结
随堂检测
角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
符号语言：
∵∠AOC=∠BOC, PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为点D、E.（已知） ∴ PD=PE（角的平分线上的点到角的 两边的距离相等）
七年级数学下册《三角形的三条重要线段》优秀教学案例
五、案例亮点
1.生活化的情景导入
本案例从学生熟悉的生活场景出发，将三角形三条重要线段与实际生活紧密结合，让学生在轻松愉快的氛围中感受数学的魅力。这种生活化的情景导入，有助于激发学生的学习兴趣，使他们更容易理解和接受新知识。
（四）反思与评价
1.在教学过程中，我将引导学生进行自我反思，如：“我在本节课中学到了什么？”“我还有哪些地方需要改进？”等，帮助学生总结学习经验，提高自我认知。
2.采用多元化的评价方式，如课堂问答、小组讨论、课后作业等，全面了解学生的学习情况。在评价过程中，注重鼓励性原则，充分肯定学生的优点，同时指出不足，并提出改进建议。
a.如何准确地找到三角形的内心、外心和重心？
b.这些线段在三角形中有哪些应用？
c.你能举例说明三角形内心、外心和重心的性质在实际问题中的应用吗？
2.学生在小组内展开讨论，分享自己的发现和心得，教师巡回指导，解答学生的疑问。
（四）总结归纳
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，总结三角形内心、外心和重心的定义及性质。
3.定期组织学生进行阶段性的自我评价和同伴评价，培养他们客观、公正地评价他人和自我反思的能力。
4.教师要关注学生在学习过程中的情感态度与价值观，引导他们形成正确的数学观念，激发他们对数学学科的兴趣。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示生活中常见的三角形物体，如三角板、自行车三角架等，引导学生观察这些物体中的三角形特点。
七年级数学下册《三角形的三条重要线段》优秀教学案例
一、案例背景
在我国初中数学教育中，三角形的相关知识一直是教学的重点和难点。七年级数学下册的《三角形的三条重要线段》章节，旨在帮助学生理解并掌握三角形的内心、外心、重心这三条重要线段的概念及其性质。为了提高学生的学习兴趣，激发他们的探究欲望，本教学案例将采用生活实例导入、合作探究、分层练习等多样化的教学策略，使学生在轻松愉快的氛围中掌握知识，提高解决问题的能力。
《三角形的边》课件
• 直角三角形的特点是？
计算题
• 已知直角三角形的两条 直角边分别为3cm和 4cm，求斜边的长度。
• 已知等腰三角形的底边 长度为5cm，底角为60 度，求等腰边的长度。
应用题
• 设计一个平面图形，其 中包含一个直角三角形。
• 解释一个现实生活中的 等边三角形的例子。
等边三角形的性质
等边三角形的三个角都是60 度。
三角形的定理
• 直角三角形定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 • 等腰三角形定理：等腰三角形的两个底角相等。 • 三边定理：三角形的任意两边之和大于第三边。 • 两角一边定理：两个三角形的两个角度相等，且一条边的比例相等。
练习题
选择题
总结
• 三角形边具有基本概念和分类。 • 三角形的性质和定理对于解决几何问题非常重要。 • 练习题有助于巩固所学知识和提高解决问题的能力。
《三角形的边》PPT课件
# 三角形的边
三角形简介
• 三角形是由三条线段组成的形状。 • 三角形可以根据边长和角度进行分类。
三角形的边
1 边的概念
条边
三角形有三条边，分别称为AB、BC和CA。
3 边的长度
边的长度可以通过测量或计算来确定。
三角形的分类
按边长分类
• 等边三角形：三条边的长度相等。 • 等腰三角形：两条边的长度相等。 • 普通三角形：三条边的长度都不相等。
按角度分类
• 直角三角形：一个角是90度。 • 锐角三角形：三个角都小于90度。 • 钝角三角形：一个角大于90度。
三角形的性质
内角和
三角形的内角和总是180度。
外角和
三角形的外角和总是360度。
人教版八年级上册第十一章 三角形知识点复习及习题练习
第十一章三角形知识框架【三角形的概念】1、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。
要点：①三条线段；②不在同一条直线上；③首尾顺次相连。
2、基本概念：三角形有三条边，三个内角，三个顶点。
边：组成三角形的线段，表示方法：AB(c)、BC(a)、AC(b)内角：相邻两边所组成的角，表示方法：∠A、∠B、∠C顶点：相邻两边的公共端点，表示方法：A、B、C三角形ABC用符号表示为△ABC。
夹边、夹角、对边、对角3、数三角形个数技巧1）按组成三角形的图形个数来数（如单个三角形、由2个图形组成的三角形……最后求和）2）从图中的某一条线段开始，按一定的顺序找出能组成三角形的另外两条边；3）先固定一个顶点，再变换另外两个顶点，找出不共线的三点共有多少组。
练：1、下列说法中正确的是（）A、由三个角组成的图形叫三角形B、由三条直线组成图形叫三角形C、由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形D、由三条线段组成的图形叫三角形2、右图中三角形的个数是（）A、6B、7C、8D、93、如右图所示：（1）图中有几个三角形？把它们一一写出来。
（2）写出△ABD的三个内角。
（3）以∠C为内角的三角形有哪些？（4）以AB为边的三角形有哪些？【分类】在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
练：1、如果三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（）A、锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法判断2、若△ABC三边长分别为m，n，p，且| m - n |+( n - p)2= 0 ，则这个三角形为（）A、等腰三角形B、等边三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形3、三角形中，若一个角等于其他两个角的差，则这个三角形是（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形4、根据下列所给条件，判断△ABC的形状（若已知的是角，则按角的分类标准去判断；若已知的是边，则按边的分类标准去判断）（1）∠A=45°，∠B=65°，∠C=70°；（2）∠C=90°；（3）∠C=120°；（4）AB=BC=4，AC=5.【三边的关系】①三角形任意两边之和大于第三边，b + c > a；②三角形任意两边之差小于第三边，b - c < a。
中考数学专题复习之《三角形》试题集
9.1 三角形(2) 同步练习◆课堂测控测试点三角形的三条重要线段1．锐角三角形的三条高在三角形_________，钝角三角形有______条高在三角形外，直角三角形有两条高恰好是_________．2．如图1，BD=DE=EF=CF，图中共有_______个三角形，AF是△______的中线，AE是△_______的中线．(1) (2) (3)3．如图2，∠AEB=90°，则AE是______个三角形的高，它们分别是______．4．如图3，△ABC中BC边上的高是________，△ACD中CD边上的高是_____，以CF为高的三角形是________．5．关于三角形的角平分线和中线，下列说法正确的是（）A．都是直线 B．都是射线 C．都是线段 D．可以是射线或线段6．如果一个三角形的三条高的交点恰是一个三角形的顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定7．下列说法正确的是（）A．三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部;B．三角形的角平分线、高都在三角形的内部;C．三角形的高、中线都在三角形的内部;D．三角形的角平分线、中线在三角形的内部8．在图4中第一个三角形中作三条中线、在第二个三角形作三条角平分线，在第三个三角形中作三条高线．◆课后测控1．如图5，AD为△ABC的中线，AE•是△ABC•的角平分线，•若BD=•2cm，•则BC=_____cm，若∠BAC=80°，则∠CAE=________．(5) (6) (8)2．如图6，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则BC边上的高是______，AC•边上的高是______，AB边上的高是______，三条高的交点是______．3．如图7，BD是△ABC的中线，AB=6cm，BC=4cm，则△ABD与△BCD•的周长差为_______cm．4．如图，画△ABC的AB边上的高，正确的是（）5．下面的说法：①三角形一边的对角也是另外两边的夹角；②三角形的角平分线就是三角形的内角的平分线；③三角形的中线就是顶点和它的对边中点的连线段；④△ABC中，顶点A就是∠A，其中正确的说法是（）A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①③6．下面说法正确的是（）A．三角形的高就是顶点到对边垂线段的长 B．直角三角形有且仅有一条高C．三角形的高都在三角形的内部 D．三角形三条高至少有一条高在三角形内部7．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（）A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形C．直角三角形 D．周长相等的三角形8．如图，在△ABC中，AD⊥BC且AD平分∠BAC，若∠1=30°，则∠C为多少度？∠B呢？△ABC是什么三角形？9．如图，已知：D是△ABC的BC边延长线上一点，DF⊥AB于点F，交AC于E，•∠A=40°，∠D=30°，求∠ACB的度数．10．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，与∠ABC的角平分线BE 相交于点D，求∠ADE的度数．答案:回顾探索1．中线 2．顶点与垂足间的线段2．顶点与交点之间的线段课堂测控1．内两两直角边2．10 AEC ADF和△ABC3．三△ADE，△ ABE，△ACE4．AD AD △BCF和△ACF5．C 6．B 7．D 8．画图略课后测控1．4 40°2．AC BC CD C3．2（点拨：由BD是中线知AD=CD）4．D 5．B 6．D 7．B8．60°，60°，等边三角形9．80°（点拨：根据三角形内角和等于180°先求∠B=60°，再求∠ACB=80°）10．45°（点拨：由∠C=90°，AD、BE是∠CAB、∠CBA的平分线可得∠BAD+•∠ABD=45°，又∠ADE=∠BAD+∠ABD）学校 班级 姓名…………………………………密………………………封………………………线……………………………中考专题训练 三角形（一）一、选择题1．（2013德阳）如果三角形的两边分别为3和5，那么连结这个三角形三边中点所得的三角形的周长可能是（）． A ． 5. 5 B ．5 C ．4.5 D ．4 是一个三角形的边长的是（）． 2．（2013温州）下列各组数可能A ．1，2，4 B ．4，5，9 C ．4，6，8 D ．5，5，113．（2013宁波）一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为（）．A ．5B ．6C ．7D ．8 4．（2013陕西）如图，在四边形中，对角线AB=AD ，CB=CD ，若连接AC 、BD 相交于点O ，则图中全等三角形共有（）． A ．1对B ．2对 C ．3对D ．4对5．（2011泸州）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10，将BC 向BA 方向翻折过去，使点C 落在BA 上的点C ′，折痕为BE ，则EC 的长度是（）． A ．B ．C ．D ．6．（2012贵阳）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB 的垂直平分线DE 交于BC 的延长线于点F ，若∠F=30°，DE=1，则EF 的长是（）． A ．3 B ．2 C ．D ．17．（2012宁波）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为（）．B C DAO第4题图第5题图第6题图A ．90B ．100C ．110D ．1218．（2013牡丹江）如图，在△ABC 中∠A=60°，BM ⊥AC 于点M ，CN ⊥AB 于点N ，P 为BC 边的中点，连接PM ，PN ，则下列结论：①PM=PN ；②；③△PMN 为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC ．其中正确的个数是（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题9．（2013温州）如图，直线a ，b 被直线c 所截，若a ∥b ，∠1=40°，∠2=70°，则∠3=度．10．（2013黔西南州）如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG=CD ， DF=DE ，则∠E=度．11．（2012四川南充）如图，四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=900,AB=AD,若四边形ABCD 的面积是24cm 2.则AC 长是cm ．12．（2012山东枣庄）如图所示，DE 为△ABC 的中位线，点F 在DE 上，且∠AFB ＝90°，若AB＝5，BC ＝8，则EF 的长为_．13．（2012甘肃白银）如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接第7题图 第8题图第9题图第10题图第11题图第12题图小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是．第13题图第14题图14．（2012山东临沂）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=cm．三、解答题15．（2012广东广州）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：BE=CD．16．(2012湖南湘西)如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D，∠B=60°，∠C=45°．（1）求∠BAC的度数．（2）若AC=2，求AD的长．17．（2012重庆市）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）18．（2012广东肇庆）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与BD 交于O，AC=BD．求证：（1）BC=AD；（2）△OAB是等腰三角形．19．（2012北京市）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=900，∠CED=450，∠DCE=900，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．20．（2012浙江绍兴）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．（1）若∠ACD=114°，求∠MAB的度数；（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN．21．（2012山东滨州）如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G．（1）求证：△ADF≌△CBE；（2）求正方形ABCD的面积；（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面积S．22．(2011广东河源)如图,已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．（1）当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP=；（直接写结果）（2）连结AD、BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由；（3）如图，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转α的大小是否发生变化？（旋转角小于180°），此时（只需直接写出你的猜想，不必证明）23．（2011吉林长春）探究：如图①，在的形外分别作等腰直角△ABF和等腰直角△ADE,,连结AC、EF．在图中找一个与△FAE全等的三角形，并加以证明．应用：以的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图②，连结EF、GH、IJ、KL，若的面积为5，则图中阴影部分四个三角形的面积和为________．24．（2013常德）已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．北师大版七年级下第五章三角形一、三角形三边关系和角关系1、三角形任意两边之和大于第三边。
《三角形三边关系的探究》-练习题
一、填一填由三条（）围成的图形叫做三角形。
一个三角形有( )个顶点，（）个角，（）条边。
二、判断下面三根小棒可以围成一个三角形吗？你是怎么判断的？（能的在下面画“√”）三、试一试现有长度为2cm,3cm,4cm,5cm的木棒，从中任取三根围成一个三角形，可以怎样选？四、选一选1、下面各组中的三条线段，可以围成一个三角形的（）A、2、4、6B、2、5、5C、2、2、5D、3、4、72、已知一个三角形的两条边是7厘米和8厘米，则第三条边不可能是（）A、2厘米B、3厘米C、14厘米D、1厘米五、先想一想，再小组内说一说（1）3根同样长的小棒，能否首尾相连地摆成一个三角形？（2）4根同样长的小棒，能否首尾相连地摆成一个三角形?六、解决问题1、小明要做一个三角形的支架，他的手中有两根长度分别是4分米、8分米的木条，他还需要一根几分米长的木条就能完成他的心愿？2、已知一个三角形的两条边分别是7cm 、3cm，第三条边可能是多少厘米？班级：________ 姓名：__________ 成绩：_________（能的在下面画“√”）2. 一个三角形的两边分别是5和6，另一条边可能是（）A、小于11B、大于11C、小于11大于13．两根小棒分别是5cm、10cm，再有一根（）㎝的小棒就能围成一个三角形。
A、5cmB、6cmC、4cmD、15cm4. 写出三角形第三边的长度6厘米和6厘米，第三边可能长_______________厘米3厘米和4厘米，第三边可能长_______________厘米5. 如果三角形的两条边的长分别是5cm和8cm，那么第三条边的长最短是（）厘米，最长是（）厘米。
(填整厘米数)6. 一个三角形的各边长都是整厘米数，其中两条边分别是7cm，8cm，那么这个三角形的周长最长是（）厘米，最少是（）厘米。
三角形中位线定理【教案背景】1、面向学生：初二学生2、课时：1课时3、学科：数学4、学生准备：提前预习本节课的内容，2张三角形纸，剪刀.【教材分析】1、教材的地位和作用：本节教材是浙江教育出版社的八年级数学下册第四章第五节的内容。
《找找三角形》ppt课件
介绍与三角形相关的数学史话，如勾股定理的发现、三角函数的发展等，帮助学生了解数学 文化的博大精深。
数学竞赛
推荐学生参加与三角形相关的数学竞赛，如全国高中数学联赛、美国数学竞赛等，提高学生 的数学素养和竞技水平。
数学应用
介绍三角形在实际生活中的应用，如建筑设计、工程测量、航空航天等领域中的三角形问题， 引导学生将数学知识应用于实际生活中。
其他领域中的三角形应用
艺术领域 艺术家们经常利用三角形的形状和特性来创作独特、富有 动感的艺术作品，如抽象画、雕塑和装置艺术等。
标志设计 在标志设计中，三角形常被用来表示方向、速度和力量等 概念，如交通标志、企业标志和运动会标志等。
数学教育
在数学教育中，三角形是一个重要的教学内容，通过学习 和理解三角形的性质和应用，可以帮助学生培养空间思维 能力和解决问题的能力。
两边成比例且夹角相等的两个三 角形相似；
预备定理：平行于三角形一边的 直线和其他两边（或两边的延长 线）相交，所构成的三角形与原 三角形相似。
三边成比例的两个三角形相似。
相似三角形应用举例
01
测量问题
通过相似三角形的性质，可以解决一些难以直接测量的距离或高度问题。
例如，利用影子的长度和已知的高度，可以计算出建筑物的高度。
三角形的分类
按边可分为等边三角形、等腰三角 形和不属于以上两种的其他三角形； 按角可分为锐角三角形、直角三角 形和钝角三角形。
三角形内角和定理
三角形内角和定理
三角形的三个内角之和等于180°。
三角形内角和定理的推论
直角三角形的两个锐角互余；一个三角形中至少有两个锐角等。
三角形外角和定理
三角形外角和定理
《找找三角形》ppt 课件
湘教八年级数学上册《三角形高、角平分线、中线》课件(共11张幻灯片)
小结
通过这节课的学习活动你有哪些收获？
从知识上，在小学学习的基础上，我们又学习了什么？ 从方法上，我们是怎么认识这些重要线段的。对你 后续的学习有什么启示吗？
你还有什么想法吗？ 有什么需要同学们帮助解决的问题吗？
作业：P49 A 3 B 6
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月22日星期五2022/4/222022/4/222022/4/22 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/222022/4/222022/4/224/22/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/222022//22April 22, 2022
探究 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直
线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形 的高线，简称三角形的高.
如图，AH⊥BC，垂足为点H， 则线段AH是△ABC的BC边上的高.
做一做
如图，试画出图中△ABC的BC边上的高.
A
A
DB
CB
C
议一议
任何一个三角形有几条高？它们交于一点， 这点一定在三角形内部吗？
△AEC， △ABE，△ADC，△ABC.
（2）其中哪些三角形的面积相等？ 解 因为AD是△ABC的中线，所以 BD=DC. 因为AE是△ABC的高，也是△ABD和 △ADC的高， 又 SΔ ABD=1 2BDAE， SΔ ADC=1 2DCAE， 所以S△ABD = S△ADC .
三角通形过中反线思把本三题角第形二平问分， 成面你积有相什等么的发两现部？分.
第3课时 三角形中几条重要线段 教案2024-2025学年沪科版八年级数学上册
《13.1.3三角形中几条重要线段》教学设计教学内容分析本节内容着重介绍了三角形的三种特殊线段，已学过的过直线外一点作已知直线的垂线、线段的中点、角的平分线等知识是学习本节新知识的基础，其中三角形的高学生从小学起已开始接触，教材从学生已有认知出发，从高入手，利用图形，给高作了具体定义，使学生了解三角形的高为线段，进而引出三角形的另外几种特殊线段——中线、角平分线。
本节内容是日后学习等腰三角形等特殊三角形的基础。
故学好本节内容是十分必要的。
因此，对三角的高、中线、角平分线定义的理解及画法的掌握是本节教学的重点，而三角形的高由于三角形的形状改变而使其位置呈现多样性，学生难以掌握，故在各类三角形中作出它们是本课的难点。
学习者分析学生对于三角形的高有一定的了解，但对于三角形的角平分线、中线还没有接触，因此及本课讲解时需要设计一些实际操作，让学生对这三条线的定义有清晰的印象.教学目标 1.了解并掌握三角形的高、中线和角平分线的概念,会用直尺、量角器等工具作出三角形的高、中线与角平分线；2.通过作图了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点的性质；3.明确重心的概念；4.经历作图的实践过程,认识三角形的高、中线与角平分线,帮助学生养成实事求是、具体问题具体分析的习惯；5.发展学生合情推理的能力,提高学生学习数学的兴趣,形成合作交流的意识。
教学重点理解三角形的高、中线与角平分线的概念及其画法.教学难点钝角三角形高线的画法.学习活动设计教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1：如图，在△ABC中，一动点D在BC边上移动，从点B沿着BC边移动到点C,观察移动过程中形学生活动1：学生观察图片，动脑思考，并积极回答.成的无数条线段中，有没有特殊位置的线段?今天，我们一起来认识三角形中几条特殊的线段!活动意图说明：通过展示图片，引发学生思考，引出这节课要学的内容，调动学生学习的积极性. 环节二：三角形中的特殊线段教师活动2：角平分线：三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．如图，△ABC 中，∠1＝∠2，线段AD就是△ABC一条角平分线中线：三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线．如图，△ABC中，点E是BC的中点，线段AE 就是△ABC的一条中线．高线：学生活动2：学生听教师讲解，理解三角形中的特殊线段。
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解：方案一：如图①，在BC边上取点D、E、F，使BD＝DE＝EF＝FC， 连结AD、AE、AF. 方案二：如图②，取BC的中点D，连结AD，分别取DC、AD的中点E、 F，连结AE、BF. 方案三：如图③，取BC的中点D，再取CD的中点E及AB的中点F，连 结AD、AE、DF.
17．(导学号27094125)探索：在如图①至图③中，△ABC的面积为a. (1) 如 图 ① ， 延 长 △ ABC 的 边 BC 到 点 D ， 使 CD ＝ BC ， 连 结 DA. 若 △ACD的面积为S1，则S1＝__a__(用含a的代数式表示)； (2)如图②，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD＝BC， AE＝CA，连结DE.若△DEC的面积为S2，则S2＝____ (2用a 含a的代数式 表示)；
3．如图所示，AD是△ABC的中线，E是AC的中点，若S△ADE＝1， 则S△ABC＝4____.
知识点2：三角形的角平分线 4．如图所示，AD是△ABC的角平角线，AE是△ABD的角平分 线，若∠BAC＝80°，则∠EAD的度数是( A ) A．20° B．30° C．45° D．60°
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACE＝40°，AD、CE是 △ ABC的 角 平 分 线， 则∠ DAC＝ ___3_0_°___ ， ∠ BCE ＝ ___4_0_°____ ， ∠ACB＝____8_0_°____．
解：因为AD为△ABC的中线， 所以BD＝CD. 因为△ACD的周长比△ABD的周长少2 cm, 所以(AB＋BD＋AD)－(AC＋AD＋CD)＝AB－AC＝2 cm， 所以AC＝AB－2＝5－2＝3 (cm)．
15 ． 如 图 ， AD 是 △ ABC 的 角 平 分 线 ， DE∥AB ， DF∥AC ， EF 交 AD于点O.请问：DO是∠EDF的角平分线吗？如果是，请给予证明； 如果不是，请说明理由．
解：因为AD是△ABC的角平分线， 所以∠EAD＝∠FAD. 因为DE∥AB，DF∥AC, 所以∠EDA＝∠FAD，∠FDA＝∠EAD， 所以∠EDA＝∠FDA, 即DO是∠EDF的角平分线．
16．(导学号27094124)有一块三角形优良品种试验基地，如图所示， 由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四 块，请你制定出两种以上的划分方案供选择(画图并说明作法)．
Hale Waihona Puke 七年级下册数学（华师版）第9章 多边形
9．1 三角形
1．认识三角形 第2课时 三角形的三条重要线段
知识点 1：三角形的中线 1．若 AD 是△ABC 的中线，则下列结论中错误的是( A ) A．AD 平分∠BAC B．BD＝DC C．BD＝21BC D．BC＝2DC
2．如图，在△ABC中，D、E、F、G是边BC上的五等分点， 即BD＝DE＝EF＝FG＝GC，则AD是_______△__A_B__E的中线， AE是_______△__A_D_F__、__△__A的B中G 线．
11．(2017·河池)三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等 两部分的是( A )
A．中线 B．角平分线 C．高 D．中位线
12．(导学号27094122)如图，已知在正方形网格中，每个小方格都是边 长为1的正方形，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，且以 A、B、C为顶点的三角形的面积为1，则满足条件的点C的个数是( C )
A．2 B．3 C．4 D．5
13．(导学号27094123)如图，在△ABC中，已知点D为BC上一点，E、 F分别为AD、BE的中点，且S△ABC＝8 cm2，则图中阴影部分△CEF的 面积是__2__cm2.
14．已知AD为△ABC的中线，AB＝5 cm，且△ACD的周长比 △ABD的周长少2 cm，则AC的长度是多少？
(3)在图②的基础上延长AB到点F，使BF＝AB，连结FD、FE，得到 △DEF(如图③)．若阴影部分的面积为S3，则S3＝__6_a_(用含a的代数式 表示)．
像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到 △DEF(如图③)，此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现， 扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的__7__倍．
应用：去年在面积为10 m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年 准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩 展成△DEF，第二次由△DEF扩展成 △MGH(如图④)．求这两次扩展 的区域(即阴影部分)的面积共为多少平方米．
解：扩展一次后得到的△ DEF的面积是原来三角形的面积的7倍． 则图④中阴影部分的面积为(72－1)×10＝480(m2)．
9．如图，AD、CE是△ABC的两条高，若AD＝9，CE＝8，AB＝10. (1)求△ABC的面积； (2)求BC的长．
解：(1)S△ABC＝12AB·CE＝40. (2)因为 S△ABC＝12BC·AD， 所以 80＝9BC，即 BC＝890.
易错点：不会判断三角形的高而导致出错 10．如图，填空： (1)在△ABC中，BC边上的高是_A_B__； (2)在△AEC中，AE边上的高是_C__D_； (3)在△FEC中，EC边上的高是_F_E__； (4)若AB＝CD＝3 cm，AE＝4 cm，则S△AEC＝__6__cm2，CE＝ __4__cm.
知识点3：三角形的高 6．三角形的一条高是一条( C ) A．直线 B．垂线 C．垂线段 D．射线 7．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是( A )
8．下列说法错误的是( D ) A．三角形的三条高可能相交于外部一点 B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点 C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点 D．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点