2020年黑龙江省大庆市中考数学试题及参考答案(word解析版)
2020年黑龙江省大庆市中考数学试卷(有详细解析)
2020年黑龙江省大庆市中考数学试卷班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.在−1，0，π，√3这四个数中，最大的数是()A. −1B. 0C. πD. √32.天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2900000000km，数字2900000000用科学记数法表示为()A. 2.9×108B. 2.9×109C. 29×108D. 0.29×10103.若|x+2|+(y−3)2=0，则x−y的值为()A. −5B. 5C. 1D. −14.函数y=√2x中，自变量x的取值范围是()A. x≤0B. x≠0C. x≥0D. x≥25.已知正比例函数y=k1x和反比例函数y=k2，在同一直角坐标系下的图象如图所示，x其中符合k1⋅k2>0的是()A. ①②B. ①④C. ②③D. ③④6.将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为()A. 1B. 2C. 3D. 47.在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0(单位：分).若去掉一个最高分和一个最低分．则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是()A. 平均分B. 方差C. 中位数D. 极差8.底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为()A. 1：1B. 1：3C. 1：6D. 1：99.已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为()A. 10+√7或5+2√7B. 15C. 10+√7D. 15+3√710.如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH的公共部分的面积为y.则当y=5时，x的值2为()A. 74或2+√22 B. √102或2−√22 C. 2±√22D. 74或√102二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11. 点P(2,3)关于y 轴的对称点Q 的坐标为______． 12. 分解因式：a 3−4a =______．13. 一个周长为16cm 的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为______cm ． 14. 将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若∠AOD =108°，则∠COB =______．15. 两个人做游戏：每个人都从−1，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为______．16. 如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为______．17. 已知关于x 的一元二次方程：x 2−2x −a =0，有下列结论：①当a >−1时，方程有两个不相等的实根； ②当a >0时，方程不可能有两个异号的实根； ③当a >−1时，方程的两个实根不可能都小于1；④当a >3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3． 以上4个结论中，正确的个数为______．18. 如图，等边△ABC 中，AB =3，点D ，点E 分别是边BC ，CA 上的动点，且BD =CE ，连接AD 、BE 交于点F ，当点D 从点B 运动到点C 时，则点F 的运动路径的长度为______．三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）19. 先化简，再求值：(x +5)(x −1)+(x −2)2，其中x =√3．四、解答题（本大题共9小题，共92.0分）20.计算：|−5|−(1−π)0+(13)−1．21.解方程：2xx−1−1=4x−1．22.如图，AB，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M，从建筑物AB的顶点A测得M点的俯角为45°，从建筑物CD的顶点C测得M点的俯角为75°，测得建筑物AB的顶点A的俯角为30°.若已知建筑物AB的高度为20米，求两建筑物顶点A、C之间的距离(结果精确到1m，参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732)．23.为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数(次数为整数，且最高次数不超过150次)，整理后绘制成如图的频数直方图，图中的a，b满足关系式2a=3b.后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120.请结合所给条件，回答下列问题．(1)求问题中的总体和样本容量；(2)求a，b的值(请写出必要的计算过程)；(3)如果一分钟跳绳次数在125次以上(不含125次)为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？(注：该年级共1000名学生)24.如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．(1)求证：四边形ANCM为平行四边形；(2)若AD=4，AB=2，且MN⊥AC，求DM的长．25.期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．(1)求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？(2)两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%，求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．26.如图，反比例函数y=k与一次函数y=−x−(k+1)的图象在第二象限的交点为A，x在第四象限的交点为C，直线AO(O为坐标原点)与函数y=k的图象交于另一点B.过x点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两直线相交于点E，△AEB的面积为6．(1)求反比例函数y=k的表达式；x(2)求点A，C的坐标和△AOC的面积．27.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N．(1)求证：MN是⊙O的切线；(2)求证：DN2=BN⋅(BN+AC)；(3)若BC=6，cosC=3，求DN的长．528.如图，抛物线y=ax2+bx+12与x轴交于A，B两点(B在A的右侧)，且经过点C(−1,7)和点D(5,7)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)连接AD，经过点B的直线l与线段AD交于点E，与抛物线交于另一点F.连接CA，CE，CD，△CED的面积与△CAD的面积之比为1：7，点P为直线l上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t.当t为何值时，△PFB的面积最大？并求出最大值；(3)在抛物线y=ax2+bx+12上，当m≤x≤n时，y的取值范围是12≤y≤16，求m−n的取值范围．(直接写出结果即可)答案和解析1.C解：根据实数比较大小的方法，可得−1<0<√3<π，∴在这四个数中，最大的数是π．2.B解：2900000000用科学记数法表示为2.9×109，3.A解：∵|x+2|+(y−3)2=0，∴x+2=0，y−3=0，解得：x=−2，y=3，故x−y=−2−3=−5．4.C解：根据题意可得：2x≥0，解得：x≥0，5.B解：①中k1>0，k2>0，故k1⋅k2>0，故①符合题意；②中k1<0，k2>0，故k1⋅k2<0，故②不符合题意；③中k1>0，k2<0，故k1⋅k2<0，故③不符合题意；④中k1<0，k2<0，故k1⋅k2>0，故④符合题意；6.B解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“1”与“6”是相对面，“5”与“2”是相对面，“3”与“4”是相对面．7.C解：原来7个数据，从小到大排列处在中间位置的那个数与去掉一个最高和一个最低后剩下的5个数中间位置的那个数是相同的，因此中位数不变，8.D解：设圆锥和圆柱的底面圆的半径为r，圆锥的高为h，则圆柱的高为3h，所以圆锥与圆柱的体积的比=(13×πr2×ℎ)：(πr2×3ℎ)=1：9．9.A解：当3，4为直角边，6，8也为直角边时，此时两三角形相似，不合题意；当3，4为直角边，m=5；则8为另一三角形的斜边，其直角边为：2−62=2√7，故m+n=5+2√7；当6，8为直角边，n=10；则4为另一三角形的斜边，其直角边为：√42−32=√7，故m+n=10+√7；10.A解：如图1中，当过A在正方形内部时，连接EG交MN于O，连接OF，设AB交EH 于Q，AC交FG于P．由题意，△ABC是等腰直角三角形，AQ=OE=OG=AP=OF，S△OEF=1，∵y=52，∴S四边形AOEQ +S四边形AOFP=1.5，∴OA⋅2=1.5，∴OA=34，∴AM=1+34=74．如图2中，当点A在正方形外部时，由题意，重叠部分是六边形WQRJPT ，S 重叠=S △ABC −2S △BQR −S △AWT ， ∴2.5=12×2√2×2√2−1−12×2AN ×AN ，解得AN =√22，∴AM =2+√22， 综上所述，满足条件的AM 的值为74或2+√22，11. (−2,3)解：点P(2,3)关于y 轴的对称点Q 的坐标为(−2,3)． 故答案为：(−2,3)．12. a(a +2)(a −2)解：原式=a(a 2−4) =a(a +2)(a −2)． 13. 8解：如图，∵点D 、E 分别是AB 、AC 的中点 ∴DE =12BC ． 同理可得：DF =12AC ，EF =12AB ，∴DE +DF +EF =12(AB +BC +AC)=12×16=8(cm)． 则三条中位线构成的三角形的周长为8cm ．14.72°解：∵∠COD=90°，∠AOB=90°，∠AOD=108°，∴∠AOC=∠AOD−∠COD=108°−90°=18°，∴∠COB=∠AOB−∠AOC=90°−18°=72°．15.59解：画树状图为：共有9种等可能的结果，其中两数的绝对值相等的结果数为5，所以两人所写整数的绝对值相等的概率=5．916.440解：观察图形可知：第1个图需要黑色棋子的个数为：3=1×3；第2个图需要黑色棋子的个数为：8=2×4；第3个图需要黑色棋子的个数为：15=3×5；第4个图需要黑色棋子的个数为：24=4×6；…发现规律：第n个图需要黑色棋子的个数为：n(n+2)；所以第20个图需要黑色棋子的个数为：20(20+2)=440．17.①③④解：∵x2−2x−a=0，∴△=4+4a，∴①当a>−1时，△>0，方程有两个不相等的实根，故①正确，②当a>0时，两根之积<0，方程的两根异号，故②错误，③方程的根为x=2±√4+4a=1±√1+a，2∵a>−1，∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确，④若方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．则有32−6−a<0，∴a>3，故④正确，18.2√3π3．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠ABC=∠BAC=∠BCE=60°，∴在△ABD和△BCE中，{AB=AC∠ABC=∠BCE BD=CE，∴△ABD≌△BCE(SAS)，∴∠BAD=∠CBE，∵∠AFE=∠BAD+∠FBA=∠CBE+∠FBA=∠ABC=60°，∴∠AFB=120°，∴点F的运动轨迹是以点O为圆心，OA为半径的弧上运动，如图，此时∠AOB=120°，OA=AHcos30∘=√3，所以弧AB的长为：120π×√3180=2√3π3．则点F的运动路径的长度为2√3π3．19.解：原式=x2+4x−5+x2−4x+4=2x2−1，当x=√3时，原式=2(√3)2−1=5．20.解：|−5|−(1−π)0+(13)−1=5−1+3=7．21.解：方程的两边同乘x−1，得：2x−x+1=4，解这个方程，得：x=3，经检验，x=3是原方程的解，∴原方程的解是x=3．22.解：∵AB⊥BD，∠BAM=45°，∴∠AMB=45°，∴AB=BM=20，∴在Rt△ABM中，AM=20√2，作AE⊥MC于E，由题意得∠ACM=45°，∠CAM=75°，∴∠AMC=60°，∴在Rt△AME中，AM=20√2，∵sin∠AME=AEAM，∴AE=sin60°⋅20√2=√32×20√2=10√6，在Rt△AEC中，∠AEC=90°，∠ACE=45°，AE=10√6，∴sin∠ACE=AEAC，∴AC=AEsin45∘=√6√22=20√3≈35(米)，答：两建筑物顶点A、C之间的距离约为35米．23.解：(1)1000名学生一分钟的跳绳次数是总体，40名学生的一分钟跳绳次数是样本容量；(2)由题意所给数据可知：50.5～75.5的有4人，75.5～100.5的有16人，∴a+b=40−4−16=20，∵2a=3b，∴解得a=12，b=8，(3)1000×840=200(人)，答：估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是200人．24.解：(1)证明：∵在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，∴AD//BC，AO=CO，∴∠OAM=∠OCN，∠OMA=∠ONC，在△AOM和△CON中，{∠OAM=∠OCN ∠AMO=∠CNO AO=CO，∴△AOM≌△CON(AAS)，∴AM=CN，∵AM//CN，∴四边形ANCM为平行四边形；(2)∵在矩形ABCD中，AD=BC，由(1)知：AM=CN，∴DM=BN，∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，∴平行四边形ANCM为菱形，∴AM=AN=NC=AD−DM，∴在Rt△ABN中，根据勾股定理，得∴(4−DM)2=22+DM 2，解得DM =32． 25. 解：(1)设购买一个甲种笔记本需要x 元，购买一个乙种笔记本需要y 元，依题意，得：{15x +20y =250x −y =5， 解得：{x =10y =5． 答：购买一个甲种笔记本需要10元，购买一个乙种笔记本需要5元．(2)设购买m 个甲种笔记本，则购买(35−m)个乙种笔记本，依题意，得：(10−2)m +5×0.8(35−m)≤250×90%，解得：m ≤2114，又∵m 为正整数，∴m 可取的最大值为21．设购买两种笔记本总费用为w 元，则w =(10−2)m +5×0.8(35−m)=4m +140， ∵k =4>0，∴w 随m 的增大而增大，∴当m =21时，w 取得最大值，最大值=4×21+140=224．答：至多需要购买21个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为224元．26. 解：(1)由题意得，点A 与点B 关于原点对称，即OA =OB ，∴S △AOMS △ABE =(OA AB )2=14， 又△AEB 的面积为6，∴S △AOM =14S △ABE =14×6=32=12|k|，∴k =−3，k =3(舍去)，∴反比例函数的关系式为y =−3x ；(2)由k =−3可得一次函数y =−x +2，由题意得，{y =−x +2y =−3x ，解得，{x 1=3y 1=−1，{x 2=−1y 2=3， 又A 在第二象限，点C 在第四象限，∴点A(−1,3)，点C(3,−1)，(2)一次函数y =−x +2与y 轴的交点N 的坐标为(0,2)，∴S △AOC =S △CON +S △AON =12×2×(1+3)=4．27. 证明：(1)如图，连接OD ，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，又∵AB=AC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD，∵AO=BO，BD=CD，∴OD//AC，∵DM⊥AC，∴OD⊥MN，又∵OD是半径，∴MN是⊙O的切线；(2)∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠ABC+∠BAD=90°，∠ACB+∠CDM=90°，∴∠BAD=∠CDM，∵∠BDN=∠CDM，∴∠BAD=∠BDN，又∵∠N=∠N，∴△BDN∽△DAN，∴BNDN =DNAN，∴DN2=BN⋅AN=BN⋅(BN+AB)=BN⋅(BN+AC)；(3)∵BC=6，BD=CD，∴BD=CD=3，∵cosC=35=CDAC，∴AC=5，∴AB=5，∴AD=√AB2−BD2=√25−9=4，∵△BDN∽△DAN，∴BNDN =DNAN=BDAD=34，∴BN=34DN，DN=34AN，∴BN=34(34AN)=916AN，∵BN+AB=AN，∴916AN +5=AN ∴AN =807， ∴DN =34AN =607．28. 解：(1)把C(−1,7)，D(5,7)代入y =ax 2+bx +12，可得{a −b +12=725a +5b +12=7， 解得{a =−1b =4， ∴抛物线的解析式为y =−x 2+4x +12．(2)如图1中，过点E 作EM ⊥AB 于M ，过点D 作DN ⊥AB 于N ．对于抛物线y =−x 2+4x +12，令y =0，得到，x 2−4x −12=0，解得x =−2或6， ∴A(−2,0)，B(6,0)，∵D(5,7)，∴OA =2，DN =7，ON =5，AN =7∵△CED 的面积与△CAD 的面积之比为1：7，∴DE ：AD =1：7，∴AE ：AD =6：7，∵EM//DN ，∵EN DN =AM AN =AE AD =67， ∴EM7=AM 7=67， ∴AM =EM =6，∴E(4,6)，∴直线BE 的解析式为y =−3x +18，由{y =−3x +18y =−x 2+4x +12，解得{x =6y =0或{x =1y =15， ∴F(1,15)，过点P 作PQ//y 轴交BF 于Q ，设P(t,−t 2+4t +12_)则Q(t,−3t +18)，∴PQ =−t 2+4t +12−(−3t +18)=−t 2+7t −6，∵S △PBF =12⋅(−t 2+7t −6)⋅5=−52(t −72)2+1258，∵−52<0，∴t =72时，△BFP 的面积最大，最大值为1258．(3)对于抛物线y =−x 2+4x +12，当y =16时，−x 2+4x +12=16， 解得x 1=x 2=2，当y =12时，−x 2+4x +12=12，解得x =0或4，观察图2可知：当0≤x ≤2或2≤x ≤4时，12≤y ≤16，∴m =0，n =2或m =2，n =4，∴m −n =−2．。
2020年黑龙江省大庆市中考数学试卷
2020年黑龙江省大庆市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）1．（3分）在﹣1，0，π，这四个数中，最大的数是（）A．﹣1B．0C．πD．2．（3分）天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2900000000km，数字2900000000用科学记数法表示为（）A．2.9×108B．2.9×109C．29×108D．0.29×1010 3．（3分）若|x+2|+（y﹣3）2＝0，则x﹣y的值为（）A．﹣5B．5C．1D．﹣14．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是（）A．x≤0B．x≠0C．x≥0D．x≥5．（3分）已知正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合k1•k2＞0的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④6．（3分）将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（）A．1B．2C．3D．47．（3分）在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分．则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（）A．平均分B．方差C．中位数D．极差8．（3分）底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（）A．1：1B．1：3C．1：6D．1：99．（3分）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为（）A．10+或5+2B．15C．10+D．15+310．（3分）如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH的公共部分的面积为y．则当y＝时，x的值为（）A．或2+B．或2﹣C．2±D．或二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为．12．（3分）分解因式：a3﹣4a＝．13．（3分）一个周长为16cm的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为cm．14．（3分）将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若∠AOD＝108°，则∠COB ＝．15．（3分）两个人做游戏：每个人都从﹣1，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为．16．（3分）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为．17．（3分）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为．18．（3分）如图，等边△ABC中，AB＝3，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且BD ＝CE，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为．三、解答题（本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（4分）计算：|﹣5|﹣（1﹣π）0+（）﹣1．20．（4分）先化简，再求值：（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x＝．21．（5分）解方程：﹣1＝．22．（6分）如图，AB，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M，从建筑物AB的顶点A测得M点的俯角为45°，从建筑物CD的顶点C测得M点的俯角为75°，测得建筑物AB的顶点A的俯角为30°．若已知建筑物AB的高度为20米，求两建筑物顶点A、C之间的距离（结果精确到1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）．23．（7分）为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如图的频数直方图，图中的a，b满足关系式2a＝3b．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120．请结合所给条件，回答下列问题．（1）求问题中的总体和样本容量；（2）求a，b的值（请写出必要的计算过程）；（3）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共1000名学生）24．（7分）如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．25．（7分）期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%，求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．26．（8分）如图，反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x﹣（k+1）的图象在第二象限的交点为A，在第四象限的交点为C，直线AO（O为坐标原点）与函数y＝的图象交于另一点B．过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两直线相交于点E，△AEB的面积为6．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）求点A，C的坐标和△AOC的面积．27．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：DN2＝BN•（BN+AC）；（3）若BC＝6，cos C＝，求DN的长．28．（9分）如图，抛物线y＝ax2+bx+12与x轴交于A，B两点（B在A的右侧），且经过点C（﹣1，7）和点D（5，7）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AD，经过点B的直线l与线段AD交于点E，与抛物线交于另一点F．连接CA，CE，CD，△CED的面积与△CAD的面积之比为1：7，点P为直线l上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t．当t为何值时，△PFB的面积最大？并求出最大值；（3）在抛物线y＝ax2+bx+12上，当m≤x≤n时，y的取值范围是12≤y≤16，求m﹣n 的取值范围．（直接写出结果即可）。
2020年黑龙江省大庆市中考数学试题
2020年黑龙江省大庆市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）1．（3分）在﹣1，0，π，这四个数中，最大的数是（）A．﹣1B．0C．πD．2．（3分）天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2900000000km，数字2900000000用科学记数法表示为（）A．2.9×108B．2.9×109C．29×108D．0.29×1010 3．（3分）若|x+2|+（y﹣3）2＝0，则x﹣y的值为（）A．﹣5B．5C．1D．﹣14．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是（）A．x≤0B．x≠0C．x≥0D．x≥5．（3分）已知正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合k1•k2＞0的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④6．（3分）将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（）A．1B．2C．3D．47．（3分）在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分．则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（）A．平均分B．方差C．中位数D．极差8．（3分）底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（）A．1：1B．1：3C．1：6D．1：9 9．（3分）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为（）A．10+或5+2B．15C．10+D．15+310．（3分）如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF 与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH的公共部分的面积为y．则当y＝时，x的值为（）A．或2+B．或2﹣C．2±D．或二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为．12．（3分）分解因式：a3﹣4a＝．13．（3分）一个周长为16cm的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为cm．14．（3分）将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若∠AOD＝108°，则∠COB＝．15．（3分）两个人做游戏：每个人都从﹣1，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为．16．（3分）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为．17．（3分）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为．18．（3分）如图，等边△ABC中，AB＝3，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为．三、解答题（本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（4分）计算：|﹣5|﹣（1﹣π）0+（）﹣1．20．（4分）先化简，再求值：（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x＝．21．（5分）解方程：﹣1＝．22．（6分）如图，AB，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M，从建筑物AB的顶点A测得M点的俯角为45°，从建筑物CD的顶点C测得M点的俯角为75°，测得建筑物AB的顶点A的俯角为30°．若已知建筑物AB的高度为20米，求两建筑物顶点A、C之间的距离（结果精确到1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）．23．（7分）为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如图的频数直方图，图中的a，b满足关系式2a＝3b．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120．请结合所给条件，回答下列问题．（1）求问题中的总体和样本容量；（2）求a，b的值（请写出必要的计算过程）；（3）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共1000名学生）24．（7分）如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．25．（7分）期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%，求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．26．（8分）如图，反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x﹣（k+1）的图象在第二象限的交点为A，在第四象限的交点为C，直线AO（O 为坐标原点）与函数y＝的图象交于另一点B．过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两直线相交于点E，△AEB的面积为6．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）求点A，C的坐标和△AOC的面积．27．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：DN2＝BN•（BN+AC）；（3）若BC＝6，cosC＝，求DN的长．28．（9分）如图，抛物线y＝ax2+bx+12与x轴交于A，B两点（B 在A的右侧），且经过点C（﹣1，7）和点D（5，7）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AD，经过点B的直线l与线段AD交于点E，与抛物线交于另一点F．连接CA，CE，CD，△CED的面积与△CAD的面积之比为1：7，点P为直线l上方抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为t．当t为何值时，△PFB的面积最大？并求出最大值；（3）在抛物线y＝ax2+bx+12上，当m≤x≤n时，y的取值范围是12≤y≤16，求m﹣n的取值范围．（直接写出结果即可）。
2020年黑龙江省大庆市中考数学试卷及答案解析.pdf
值为（ ）
7 A． 或 2
2
4
2
B． 10 或 2 2 C． 2 2
2
2
2
11．点(2，3)关于 y 轴对称的点的坐标为_____．
试卷第 2 页，总 7 页
7
D． 或
10
42
12．分解因式： a3 4a ______． 13．一个周长为16cm 的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为_________ cm ． 14．将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若 AOD 108 ，则 COB
（1）求证：四边形 ANCM 为平行四边形； （2）若 AD 4 ， AB 2 ，且 MN AC ，求 DM 的长
25．期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场 购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本 15 个，乙种笔记本 20 个，共花费 250 元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费 5 元． （1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？ （2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔 记本共 35 个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减 价 2 元，乙种笔记本按上一次购买时售价的 8 折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种 笔记本的总费用不超过上一次总费用的 90%？至多需要购买多少个甲种笔记本？并求 购买两种笔记本总费用的最大值．
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（1）求问题中的总体和样本容量;
（2）求 a ， b 的值（请写出必要的计算过程）；
（3）如果一分钟跳绳次数在 125 次以上（不含 125 次）为跳绳成绩优秀，那么估计该 校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共 1000 名学生）
2020黑龙江省大庆市中考数学试卷
2020年黑龙江省大庆市中考数学试卷，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项小题，（本大题共10小题一、选择题选择题（）请将正确选项的序号填涂在答题卡上）中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上只有一项是符合题目要求的，1．（3分）在﹣1，0，π，这四个数中，最大的数是（ ）A．﹣1 B．0 C．πD．2．（3分）天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2900000000km，数字2900000000用科学记数法表示为（ ）A．2.9×108B．2.9×109C．29×108D．0.29×10103．（3分）若|x+2|+（y﹣3）2＝0，则x﹣y的值为（ ）A．﹣5 B．5 C．1 D．﹣14．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是（ ）A．x≤0 B．x≠0 C．x≥0 D．x≥5．（3分）已知正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合k1•k2＞0的是（ ）A．①①B．①①C．①②D．②①6．（3分）将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（ ）A．1 B．2 C．3 D．47．（3分）在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分．则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（ ）A．平均分B．方差C．中位数D．极差8．（3分）底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（ ）A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：99．（3分）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为（ ）A．10+或5+2B．15 C．10+ D．15+3 10．（3分）如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH的公共部分的面积为y．则当y＝时，x的值为（ ）。
黑龙江省大庆市2020年中考数学试题(解析版)
2020年大庆市初中升学统一考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）1.－1，0，π）A. －1B. 0C. πD.【答案】C【解析】【分析】利用正数大于0, 0大于负数，从而可得答案．【详解】解：由正数大于0, 0大于负数，1∴-＜0＜,π所以：最大的数是.π故选.C【点睛】本题考查的是实数的大小比较，掌握实数的大小比较方法是解题的关键．2.天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2 900 000 000km ，数字2 900 000 000用科学记数法表示为（）A. 82.910⨯B. 92.910⨯C. 82910⨯D. 100.2910⨯【答案】B【解析】【分析】根据科学记数法的表示计算即可；【详解】92 900 000 000=2.910⨯，故答案选B ．【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示，准确书写是做题的关键．3.若2|2|(3)0x y ++-=，则x y -的值为（ ）A. －5B. 5C. 1D. －1【答案】A【解析】【分析】根据绝对值和平方的非负性可求出x ，y 的值，代入计算即可；【详解】∵2|2|(3)0x y ++-=，∴20x +=，30y -=，∴2x =-，3y =，∴235-=--=-x y ．故答案选A ．【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，准确计算是解题的关键．4.函数2y x =的自变量x 的取值范围是（ ） A. 0x ≤B. 0x ≠C. 0x ≥D. 12x ≥ 【答案】C【解析】【分析】由二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，从而可得答案．【详解】解：由题意得：20,x ≥ 0,x ∴≥故选：.C【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，同时考查二次根式有意义的条件，掌握以上知识是解题的关键．5.已知正比例函数1y k x =和反比例函数2k y x=，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合120k k ⋅>的是（ ）A. ①②B. ①④C. ②③D. ③④【答案】B【解析】【分析】 根据正比例函数和反比例函数的图象逐一判断即可．【详解】解： 观察图像①可得120,0k k >>，所以120k k >，①符合题意；观察图像②可得120,0k k <>，所以120k k <，②不符合题意；观察图像③可得120,0k k ><，所以120k k <，③不符合题意；观察图像④可得120,0k k <<，所以120k k >，④符合题意；综上，其中符合120k k ⋅>的是①④，故答案为：B ．【点睛】本题考查的是正比例函数和反比例函数的图像，当k ＞0时，正比例函数和反比例函数经过一、三象限，当k ＜0时，正比例函数和反比例函数经过二、四象限．6.将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，先判断中间四个面的情况，根据这一特点可得到答案．【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，所以：1,6是相对面，3,4是相对面，所以：5,2是相对面．故选B ．【点睛】本题主要考查了正方体的表面展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 7.在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分，则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（ ）A. 平均分B. 方差C. 中位数D. 极差【答案】C【解析】【分析】根据中位数的定义即可得．【详解】将该歌手的分数按从小到大进行排序为9.0，9.3，9.4，9.5，9.6，9.7，9.9则去掉前其中位数为9.5分去掉一个最高分和一个最低分，该歌手的分数为9.3，9.4，9.5，9.6，9.7则去掉后其中位数为9.5分因此，去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是中位数故选：C ．【点睛】本题考查了中位数的定义，熟记定义是解题关键．8.底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（ ）A. 1：1B. 1：3C. 1：6D. 1：9 【答案】D【解析】【分析】 根据1,,3V S h V S h ==圆锥底面积圆柱底面积高高结合已知条件可得答案． 【详解】解：设圆锥与圆柱的底面半径为,r 圆锥的高为h ，则圆柱的高为3h ， 2221,33,3V r h V r h r h πππ∴==⨯=圆锥圆柱 22113.39r h V V r h ππ∴=圆锥圆柱＝ 故选D ．【点睛】本题考查的是圆锥的体积与圆柱的体积的计算，掌握以上知识是解题的关键．9.已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m 和6，8，n ，且这两个直角三角形不．相似，则m n +的值为（ ） A. 107+或527+ B. 15 C. 107+ D. 1537+ 【答案】A【解析】【分析】判断未知边m 、n 是直角三角形的直角边还是斜边，再根据勾股定理计算出m 、n 的值，最后根据题目中两个三角形不相似，对应边的比值不同进行判断．【详解】解：在第一个直接三角形中，若m 是直角边，则22437m =-=，若m 是斜边，则22435m =+=；在第二个直接三角形中，若n 是直角边，则22862827n =-==，若n 是斜边，则228610n =+=；又因为两个直角三角形不相似，故m =5和n =10不能同时取，即当m =5，27n =，527m n +=+，当7m =，n =10，107m n +=+，故选：A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理以及相似三角形的性质，在直角三角形中对未知边是直角边还是斜边进行不同情况的讨论是解题的关键．10.如图，在边长为2的正方形EFGH 中，M ，N 分别为EF 与GH 的中点，一个三角形ABC 沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A 恒在直线MN 上，当点A 运动到线段MN 的中点时，点E ，F 恰与AB ，AC 两边的中点重合．设点A 到EF 的距离为x ，三角形ABC 与正方形EFGH 的公共部分的面积为y ，则当52y =时，x 的值为（ ）A. 74或22+1022- C. 22± D. 7410【答案】A【解析】【分析】本题应该分类讨论，从以下三个情况进行讨论，分别是：①当x<1时，重叠部分为直角三角形的面积，将其三角形面积用x 表示，但是求出10x=2，与x<1相违背，要舍去；②当1<x<2时，除去重叠部分，剩下的图形为两个直角梯形的面积，将剩余的直角梯形ANHP 用x 表示，求出x 即可；③当x>2时，重叠部分为一个多边形，可以从剩余部分IHK JGL PQFE 3S S S =2++△△矩形的角度进行求解，分别将矩形PQFE 、IHK △、JGL △的面积用x 表示，求出x 即可，将x 求出后，应该与前提条件假设的x 的范围进行比较，判断x 的值．【详解】解：∵在边长为2的正方形EFGH 中，如图所示，当A 运动到MN 的中点时，点E 、F 恰好与AB 、AC 的中点重合，即AM=EM=FM=1，且MN ⊥EF ，∴AME 和AMF 均为等腰直角三角形，可得：ABC 也是等腰直角三角形，其中AB=AC=22，BC=4，设A 到EF 的距离AM=x ，①当x<1时，此时图形的位置如下图所示，AB 与EF 交于P 点，AC 与EF 交于Q 点，∵AM=x ，且△APQ 为等腰直角三角形，∴2APQ 15S =2x x=x =22⋅⋅△，解得：10，但是与前提条件x<1相违背，故不存在该情况； ②当1<x<2时，此时图形的位置如下图所示，AB 与EH 交于P 点，AC 与GF 交于Q 点，∵公共部分面积为52，正方形剩余部分32，∴ANHP 133S ==224⨯四边形，四边形ANHP 是直角梯形，当AM=x ，则AN=2-x ，PE=x-1，HP=3-x ，NH=1， ∴ANHP (AN HP)NH 52x 3S ===224+⋅-四边形，解得：7x=4； ③当x>2时，此时图形的位置如下图所示，AB 与EH 交于K 点，AB 与HG 交于I 点，AC 与FG 交于L 点，AC 与HG 交于J 点，BC 与EH 交于P 点，BC 与GF 交于Q 点，∵公共部分面积为52，∴IJLQPK 5S =2多边形，IHK JGL PQFE 3S S S =2++△△矩形 且22IHK JGL PQFE 113S S S =2(x-2)+(3-x)(3-x)222++⨯⋅+⋅=△△矩形，解得：2x=22+或2x=2-2（舍）， 所以，满足条件的AM 的值为7x=4或2x=22+， 故选：A ． 【点睛】本题考察了移动图形间的重叠问题，需要进行分类讨论，必须要把x 的移动范围进行分类，根据不同的x 取值，画出不同重叠的图形，并将重叠部分的面积用x 进行表示，解题的关键在于利用剩余部分的面积进行倒推求解．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11.点(2，3)关于y 轴对称的点的坐标为_____．【答案】(﹣2，3)【解析】【分析】平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于y 轴的对称点的坐标是（-x ，y ），即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．【详解】点（2，3）关于y 轴对称的点的坐标是（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．12.分解因式：34a a -=______．【答案】()()22a a a +-【解析】【分析】提出公因式a 后，括号内的两项都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开．【详解】解：324(4)(2)(2)a a a a a a a -=-=+-．【点睛】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．13.一个周长为16cm 的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为_________cm ．【答案】8【解析】【分析】根据三角形中位线定理、三角形的周长公式即可得．【详解】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半 则三角形的三条中位线构成的三角形的周长等于这个三角形周长的一半，即1168()2cm ⨯=故答案为：8．【点睛】本题考查了三角形中位线定理等知识点，熟记三角形中位线定理是解题关键．14.将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若108AOD ∠=︒，则COB ∠=_________．【答案】72.︒【解析】由∠AOB=∠COD=90°，∠AOC=∠BOD，进而∠AOC=∠BOD=108°-90°=18°，由此能求出∠BOC．【详解】解：∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠BOD，又∠AOD=108°，∴∠AOC=∠BOD=108°-90°=18°，∴∠BOC=90°-18°=72°．故答案为：72︒．【点睛】本题考查的是角的和差，两锐角的互余，掌握以上知识是解题的关键．15.两个人做游戏：每个人都从－1，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为_________．【答案】5 9【解析】【分析】画出树状图进行求解即可；【详解】由题可得到树状图如下图所示：∴59P=．故答案为59．【点睛】本题主要考查了利用树状图求概率，准确画图是解题的关键．16.如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为_________．【答案】440【分析】先观察图形得出前四个图中黑色棋子的个数，再归纳类推出一般规律，由此即可得．【详解】观察图形可知，黑色棋子的个数变化有以下两条规律：（1）正多边形的各顶点均需要1个黑色棋子（2）从第1个图开始，每个图的边上黑色棋子的个数变化依次是0,1,2,3,即第1个图需要黑色棋子的个数为330+⨯第2个图需要黑色棋子的个数为441+⨯第3个图需要黑色棋子的个数为552+⨯第4个图需要黑色棋子的个数为663+⨯归纳类推得：第n 个图需要黑色棋子的个数为(2)(2)(1)(2)n n n n n +++-=+，其中n 为正整数 则第20个图需要黑色棋子的个数为20(202)440⨯+=故答案为：440．【点睛】本题考查了整式的图形规律探索题，依据图形，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 17.已知关于x 的一元二次方程220x x a --=，有下列结论：①当1a >-时，方程有两个不相等的实根；②当0a >时，方程不可能有两个异号的实根；③当1a >-时，方程的两个实根不可能都小于1；④当3a >时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为_________．【答案】①③【解析】【分析】由根的判别式，根与系数的关系进行判断，即可得到答案．详解】解：根据题意，∵一元二次方程220x x a --=，∴2(2)41()44a a ∆=--⨯⨯-=+；∴当440a +>，即1a >-时，方程有两个不相等的实根；故①正确；当12440•0a x x a +>⎧⎨=->⎩，解得：10a -<<吗，方程有两个同号的实数根，则当0a >时，方程可能有两个异号的实根；故②错误； 抛物线的对称轴为：212x -=-=，则当1a >-时，方程的两个实根不可能都小于1；故③正确； 由3a >，则223a x x =->，解得：3x >或1x <-；故④错误；∴正确的结论有①③；故答案为：①③．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行解题．18.如图，等边ABC ∆中，3AB =，点D ，点E 分别是边BC ，CA 上的动点，且BD CE =，连接AD 、BE 交于点F ，当点D 从点B 运动到点C 时，则点F 的运动路径的长度为_________．23π 【解析】【分析】如图，作过A 、B 、F 作⊙O,AFB 为点F 的轨迹，然后计算出,AFB 的长度即可．【详解】解：如图：作过A 、B 、F 作⊙O,过O 作OG ⊥AB∵等边ABC ∆∴AB=BC,∠ABC=∠C=60°∵BD CE =∴△BCE ≌△ABC∴∠BAD=∠CBE∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°∴∠ABE+∠BAD=60°∴∠AFB=120°∵∠AFB 是弦AB 同侧的圆周角∴∠AOB=120°∵OG⊥AB,OA=OB∴∠BOG=∠AOG=12∠AOB=60°,BG=12AB=32∴∠OBG=30°设OB=x，则OG=12x∴222322xx⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得x=3或x=-3（舍）∴AFB的长度为12023233603ππ⨯=．故答案为：233π．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理以及圆周角定理，根据题意确定点F的轨迹是解答本题的关键．三、解答题（本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.计算：115(1)3π-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭【答案】7．【解析】【分析】先计算绝对值运算、零指数幂、负整数指数幂，再计算有理数的加减法即可得．【详解】原式513=-+43=+7=．【点睛】本题考查了绝对值运算、零指数幂、负整数指数幂等知识点，熟记各运算法则是解题关键．20.先化简，再求值：2(5)(1)(2)x x x +-+-，其中x =【答案】221x -，5．【解析】【分析】先根据整式的乘法、完全平方公式去括号，再计算整式的加减法，然后将x 的值代入求值即可．【详解】原式225544x x x x x =-+-+-+221x =-将x =2212315=⨯=⨯-=-．【点睛】本题考查了整式的乘法与加减法、完全平方公式、实数的混合运算，熟记各运算法则是解题关键． 21.解方程：24111x x x -=-- 【答案】3【解析】【分析】去分母化成整式方程，求出x 后需要验证，才能得出结果； 【详解】24111x x x -=--， 去分母得：214x x -+=，解得：3x =．检验：把3x =代入1x -中，得-=-=≠13120x ，∴3x =是分式方程的根．【点睛】本题主要考查了分式方程的求解，准确计算是解题的关键．22.如图，AB ，CD 为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M ．从建筑物AB 的顶点A 测得M 点的俯角为45°，从建筑物CD 的顶点C 测得M 点的俯角为75°，测得建筑物AB 的顶点A 的俯角为30°．若已知建筑物AB 的高度为20米，求两建筑物顶点A 、C 之间的距离（结果精确到1m ，参考数据：1.414≈ 1.732≈）【答案】两建筑物顶点A 、C 之间的距离为35米．【解析】【分析】如图（见解析），先根据俯角的定义得出45AMB EAM ∠=∠=︒，75FCM ∠=︒，30CAE ∠=︒，////CF AE BD ，再根据平行线的性质、角的和差可得60AMN ∠=︒，45ACN ∠=︒，然后根据等腰直角三角形的判定与性质可得202AM =又在Rt AMN △中，解直角三角形可得106AN =最后根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．【详解】如图，过点A 作AN CM ⊥于点N由题意得：45AMB EAM ∠=∠=︒，75FCM ∠=︒，30CAE ∠=︒，////CF AE BD180105BMC FCM ∴∠=︒-∠=︒，60AMN BMC AMB ∠=∠-∠=︒30ACF CAE ∠=∠=︒，45ACN FCM ACF ∠=∠-∠=︒90,45B AMB ∠=︒∠=︒，20AB =米Rt ABM ∴是等腰直角三角形2202AM ∴==在Rt AMN △中，sin AN AMN AM ∠=3sin 60202=︒=解得106AN =在Rt ACN 中，45ACN ∠=︒Rt ACN ∴是等腰直角三角形2210620320 1.73234.6435AC AN ∴===≈⨯=≈（米）答：两建筑物顶点A 、C 之间的距离为35米．【点睛】本题考查了俯角的定义、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形的实际应用等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．23.为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如下的频数直方图，图中的a ，b 满足关系式23a b =．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120．请结合所给条件，回答下列问题．（1）求问题中的总体和样本容量;（2）求a ，b 的值（请写出必要的计算过程）；（3）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共1000名学生）【答案】（1）总体是某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，样本容量是40；（2）a=12，b=8；（3）该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是200人．【解析】【分析】（1）根据总体和样本容量的定义即可求解；（2）根据题意可得一分钟跳绳次数在100次以上的人数有20人，再根据23a b =可求得a 和b 的值； （3）先计算出40名学生中一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）的人所占的比例，再乘以1000即可求解．【详解】解：（1）总体是某校某年级1000名学生一分钟跳绳次数，样本容量是40（2）设23a b m ==，则,23m m a b ==，根据题意可得一分钟跳绳次数在100次以上的人数有20人，即a+b=20，2023m m +=，解得24m =， ∴a=12，b=8；（3）8100020040⨯=（人）， 答：该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是200人．【点睛】本题考查抽样调查、读频数分布直方图的能力、利用统计图获取信息的能力和由样本估计整体；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 24.如图，在矩形ABCD 中，O 为对角线AC 的中点，过点O 作直线分别与矩形的边AD ，BC 交于M ，N 两点，连接CM ，AN ．（1）求证：四边形ANCM 为平行四边形；（2）若4=AD ，2AB =，且MN AC ⊥，求DM 的长【答案】（1）证明见解析；（2）32【解析】【分析】（1）通过证明△AOM 和△CON 全等，可以得到=AM NC ，又因为//AM NC ，所以可以证明四边形ANCM 为平行四边形；（2）根据MN AC ⊥，从而可以证明平行四边形ANCM 是菱形，得到AM AN NC ==，再使用勾股定理计算出BN 的长度，从而可以得到DM 的长度．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形∴//AD BC ，//AM NC∴AMN MNC MAC ACN ∠=∠∠=∠，在△AOM 和△CON 中 AMN MNC MAC ACN AO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOM ≌△CON∴=AM NC又∵//AM NC∴四边形ANCM 为平行四边形．（2）∵四边形ANCM 为平行四边形∵MN AC ⊥∴平行四边形ANCM 是菱形∴AM AN NC ==∵4AD BC ==设BN 的长度为x在Rt △ABN 中，2AB =，4AN x =-222AB BN AN +=2222(4)x x +=-32x = 52AN AM ==∴32DM = 【点睛】（1）本题主要考查了如何证明平行四边形，明确一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键；（2）本题主要考查了菱形的证明以及勾股定理的应用，知晓对角线互相垂直的平行四边形是菱形是解题的关键．25.期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%？至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．【答案】（1）购买一个甲种笔记本10元，一个乙种笔记本5元；（2）至多需要购买21个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为224元．【解析】【分析】（1）设购买一个甲种笔记本x元，一个乙种笔记本y元，根据题意列出方程组求解即可；（2）设需要购买a个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为w，先求出调价之后甲、乙两种笔记本的单价，再列出不等式求解，再列出函数关系式表示出购买两种笔记本总费用的最大值，代入a的值求解即可．【详解】解：（1）设购买一个甲种笔记本x元，一个乙种笔记本y元，由题意得：51520250 x yx y-=⎧⎨+=⎩，解得：105xy=⎧⎨=⎩，答：购买一个甲种笔记本10元，一个乙种笔记本5元．（2）设需要购买a个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为w，调价之后，甲种笔记本的单价为：10-2=8（元），乙种笔记本的单价为：5×0.8=4（元），8a+4（35-a）≤250×90%，解得：854a≤，至多需要购买21个甲种笔记本，()84354140w a a a=+-=+，当a=21时，w=224，答：购买两种笔记本总费用的最大值为224元．【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题意列出方程组或不等式，求解即可．26.如图，反比例函数kyx=与一次函数(1)y x k=--+的图象在第二象限的交点为A，在第四象限的交点为C，直线AO（O为坐标原点）与函数kyx=的图象交于另一点B．过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两直线相交于点E，AEB△的面积为6．（1）求反比例函数k y x=上的表达式； （2）求点A ，C 的坐标和AOC △的面积．【答案】（1）3y x =-；（2）()()1,3,3,1,A C --AOC △的面积为4. 【解析】【分析】（1）联立k y x =与(1)y x k =--+求解,A C 的坐标，利用k y x =得到,A B 关于原点成中心对称，求解B 的坐标，结合已知得到E 的坐标，利用面积列方程求解即可得到答案； （2）由（1）得到k 的值，得到,A C 的坐标，AC 的解析式，记AC 与y 轴的交点为,D 求解D 的坐标，利用AOC AOD DOC S S S =+可得答案．【详解】解：（1）由题意得：()1k y x y x k ⎧=⎪⎨⎪=--+⎩()1,k x k x∴=--+ ()210,x k x k ∴+++=()()10,x k x ∴++=12,1,x k x =-=-当11,1,x k y =-=-当221,,x y k =-=-经检验：符合题意． k ＜0,()()1,,,1,A k C k ∴----,A B 为OA 与k yx=的交点， ()1,,B k ∴//AE y 轴，//BE x 轴，()1,,E k ∴-()2,112,AE k k k BE ∴=--=-=--= AEB 的面积为6．16,2AE BE ∴•= ()1226,2k ∴⨯⨯-= 3,k ∴=-∴ 反比例函数为：3.y x=- （2）()()1,,,1,A k C k ----3,k =- ()()1,3,3,1,A C ∴-- 直线AC 为2y x =-+， 记AC 与x 轴的交点为D ，令0,y = 则20,x -+=2,x ∴=()2,0,D ∴AOC AOD DOC S S S ∴=+112321 4.22=⨯⨯+⨯⨯=【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合题，考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与一次函数的性质，考查了方程组与一元二次方程的解法，图形与坐标，图形面积问题，掌握以上知识是解题的关键．27.如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，连接AD ，过点D 作DM AC ⊥，垂足为M ，AB 、MD 的延长线交于点N ．（1）求证：MN 是O 的切线； （2）求证：()2DN BN BN AC =⋅+；（3）若6BC =，3cos 5C =，求DN 的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）607DN =【解析】【分析】（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质和圆的相关性质证得OD 为△ABC 的中位线，即可求证；（2）根据题中条件证明△BND ∽△DNA ，再根据AB=AC ，进行等量代换即可证明；（3）先根据等腰三角形的性质、解直角三角形和勾股定理求出AB 、BD 、AD 的长度，再利用相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）如图，连接OD ，∵AB 为O 的直径，∴∠ADB=90°，∵AB=AC ，∴BD=CD ，点D 为BC 的中点，又∵AO=BO ，∴OD 为△ABC 的中位线，∴OD ∥AC ，∵DM AC ⊥，∴OD ⊥MN ，故MN 是O 的切线．（2）∵∠ADB=90°，∠1+∠3=90°，∵DM AC ⊥，∴∠3+∠5=90°，∠2+∠3=90°，∴∠2=∠5，∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴∠4=∠5，∵∠1=∠2，∴∠1=∠4，∵∠N=∠N ，∴△BND ∽△DNA ， ∴BN DN DN AN=， ∵AB=AC ， ∴BN DN DN DN BN AB BN AC==++， ∴()2DN BN BN AC =⋅+（3）∵6BC =，∴BD=CD=3， ∵3cos 5C =， ∴AC=5cos CD C=， ∴AB=5，由勾股定理可得AD=4，,由（2）可得，△BND ∽△DNA ， ∴34BN DN BD DN AN AD === ∴34BD DN =， ∵34DN AN =， ∴34DN AB BN =+，即33454DN DN =+， 解得：607DN =． 【点睛】本题考查圆的切线的判定、相似三角形的性质与判定和解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相关性质和判定并灵活应用．28.如图，抛物线212y ax bx =++与x 轴交于A ，B 两点（B 在A 的右侧），且经过点()17C -,和点D ()5,7．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AD ，经过点B 的直线l 与线段AD 交于点E ，与抛物线交于另一点F ．连接CA ，CE ，CD ，CED 的面积与CAD 的面积之比为1：7．点P 为直线l 上方抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为t ．当t 为何值时，PFB △的面积最大？并求出最大值；（3）在抛物线212y ax bx =++上，当m x n ≤≤时，y 的取值范围是1216y ≤≤，求m n -的取值范围．（直接写出结果即可）【答案】（1）2412y x x =-++；（2）所以：当72t =时， PFB △的最大面积1258=；（3）42m n -≤-≤-． 【解析】【分析】 （1）把()17C -,和点D ()5,7代入：212y ax bx =++，从而可得答案； （2）过D 作DQ x ⊥轴于,Q 过E 作EH x ⊥于H ，则//,DQ EH 利用CED 的面积与CAD 的面积之比为1：7，求解E 的坐标，再求解BE 的解析式及F 的坐标，设()2,412,P t t t -++过P 作PG x ⊥轴于G ，交BF 于,M 建立PFB △的面积与t 的函数关系式，利用函数的性质求最大面积，从而可得答案； （3）记抛物线与y 轴的交点为,N 过N 作//NK x 轴交抛物线于K ，先求解,N K 的坐标，可得当1216y ≤≤时，有04,x ≤≤ 结合已知条件可得答案．【详解】解：（1）把()17C -,和点()5,7代入：212y ax bx =++，127255127a b a b -+=⎧∴⎨++=⎩解得：1,4a b =-⎧⎨=⎩ 所以：抛物线为：2412y x x =-++，（2）2412y x x =-++,令0,y = 则24120,x x -++=解得：122,6,x x =-=()()2,0,6,0,A B ∴-过D 作DQ x ⊥轴于,Q 过E 作EH x ⊥于H ，则//,DQ EH()5,7,D7,QA QD ∴== 45,DAQ ∠=︒CED 的面积与CAD 的面积之比为1：7，1,7DE DA ∴= //,DQ EH1,7DE HQ DA AQ ∴== 1,6,HQ AH ∴==4,OH ∴=45,DAQ ∠=︒6,EH AH ∴==()4,6,E ∴设BE 为：,y kx b =+4660k b k b +=⎧∴⎨+=⎩解得：3,18k b =-⎧⎨=⎩BE ∴为：318,y x =-+2318,412y x y x x =-+⎧∴⎨=-++⎩解得：121216,,150x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ ()1,15,F ∴过P 作PG x ⊥轴于G ，交BF 于,M设()2,412,P t t t -++则(),318,M t t -+ ()2241231876,PM t t t t t ∴=-++--+=-+-()15,22BPF B F S PM xx PM =•-= 当PM 最大，则PFB △的面积最大，所以：当()772212b t a =-=-=⨯-时，4949256,424PM =-+-=最大 所以PFB △的最大面积＝525125.248⨯=（3）2412,y x x =-++令0,12,x y ==记抛物线与y 轴的交点为,N 过N 作//NK x 轴交抛物线于K ，()0,12,N ∴令12,y = 则241212,x x -++=解得：120,4,x x ==()4,12,K ∴()22412216,y x x x =-++=--+∴抛物线的顶点()2,16,当1216y ≤≤时， 04,x ∴≤≤当m x n ≤≤时，y 的取值范围是1216y ≤≤，02,24,m n ∴≤≤≤≤42,m n ∴-≤-≤-【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，一次函数的解析式，考查了平行线分线段成比例，等腰直角三角形的性质，同时考查了二次函数的增减性，函数交点坐标的求解，是典型的压轴题，掌握以上相关的知识是解题的关键．。
2020年黑龙江省大庆市中考数学试卷
2020年黑龙江省大庆市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
1．（3分）在﹣1，0，π，这四个数中，最大的数是（）
A．﹣1B．0C．πD．
2．（3分）天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2900000000km，数字2900000000用科学记数法表示为（）A．2.9×108B．2.9×109C．29×108D．0.29×1010
3．（3分）若|x+2|+（y﹣3）2＝0，则x﹣y的值为（）
A．﹣5B．5C．1D．﹣1
4．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是（）
A．x≤0B．x≠0C．x≥0D．x≥
5．（3分）已知正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合k1•k2＞0的是（）
A．①②B．①④C．②③D．③④
6．（3分）将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（）
A．1B．2C．3D．4
7．（3分）在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分．则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（）
A．平均分B．方差C．中位数D．极差
8．（3分）底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（）。
2020大庆市中考数学试题(word版)及参考答案
2020大庆市中考数学试题及参考答案一、单选题1．－1，0，π ）A ．－1B ．0C ．πD 2．天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2 900 000 000km ，数字2 900 000 000用科学记数法表示为（ ）A ．82.910⨯B ．92.910⨯C ．82910⨯D ．100.2910⨯ 3．若2|2|(3)0x y ++-=，则x y -的值为（ ）A ．－5B ．5C ．1D ．－14．函数y =x 的取值范围是（ ） A ．0x ≤ B ．0x ≠ C ．0x ≥ D ．12x ≥ 5．已知正比例函数1y k x =和反比例函数2k y x=，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合120k k ⋅>的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④ 6．将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分，则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（ ）A ．平均分B ．方差C ．中位数D ．极差8．底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（ ） A ．1：1 B ．1：3 C ．1：6 D ．1：99．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m 和6，8，n ，且这两个直角三角形不．相似，则m n +的值为（ ）A．105+ B ．15 C ．10 D ．15+10．如图，在边长为2的正方形EFGH 中，M ，N 分别为EF 与GH 的中点，一个三角形ABC 沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A 恒在直线MN 上，当点A 运动到线段MN 的中点时，点E ，F 恰与AB ，AC 两边的中点重合．设点A 到EF 的距离为x ，三角形ABC 与正方形EFGH 的公共部分的面积为y ，则当52y =时，x 的值为（ ）A ．74或22+B ．2或22-C ．22±D ．74或2二、填空题11．点(2，3)关于y 轴对称的点的坐标为_____．12．分解因式：34a a -=______．13．一个周长为16cm 的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为_________cm ． 14．将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若108AOD ∠=︒，则COB ∠=_________．15．两个人做游戏：每个人都从－1，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为_________．16．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为_________．17．已知关于x 的一元二次方程220x x a --=，有下列结论：①当1a >-时，方程有两个不相等的实根；②当0a >时，方程不可能有两个异号的实根；③当1a >-时，方程的两个实根不可能都小于1；④当3a >时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为_________．18．如图，等边ABC ∆中，3AB =，点D ，点E 分别是边BC ，CA 上的动点，且BD CE =，连接AD 、BE 交于点F ，当点D 从点B 运动到点C 时，则点F 的运动路径的长度为_________．三、解答题19．计算：1015(1)3π-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭20．先化简，再求值：2(5)(1)(2)x x x +-+-，其中x =21．解方程：24111x x x -=-- 22．如图，AB ，CD 为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M ．从建筑物AB 的顶点A 测得M 点的俯角为45°，从建筑物CD 的顶点C 测得M 点的俯角为75°，测得建筑物AB 的顶点A 的俯角为30°．若已知建筑物AB 的高度为20米，求两建筑物顶点A 、C 之间的距离（结果精确到1m 1.414≈ 1.732≈）23．为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如下的频数直方图，图中的a ，b 满足关系式23a b =．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120．请结合所给条件，回答下列问题．（1）求问题中的总体和样本容量;（2）求a ，b 的值（请写出必要的计算过程）；（3）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共1000名学生）24．如图，在矩形ABCD 中，O 为对角线AC 的中点，过点O 作直线分别与矩形的边AD ，BC 交于M ，N 两点，连接CM ，AN ．（1）求证：四边形ANCM 为平行四边形；（2）若4=AD ，2AB =，且MN AC ⊥，求DM 的长25．期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%？至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．26．如图，反比例函数k y x =与一次函数(1)y x k =--+的图象在第二象限的交点为A ，在第四象限的交点为C ，直线AO （O 为坐标原点）与函数k y x =的图象交于另一点B ．过点A 作y 轴的平行线，过点B 作x 轴的平行线，两直线相交于点E ，AEB △的面积为6．（1）求反比例函数k y x=上的表达式； （2）求点A ，C 的坐标和AOC △的面积．27．如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，连接AD ，过点D 作DM AC ⊥，垂足为M ，AB 、MD 的延长线交于点N ．（1）求证：MN 是O 的切线； （2）求证：()2DN BN BN AC =⋅+；（3）若6BC =，3cos 5C =，求DN 的长．28．如图，抛物线212y ax bx =++与x 轴交于A ，B 两点（B 在A 的右侧），且经过点()17C -,和点D ()5,7．（1）求抛物线的函数表达式； （2）连接AD ，经过点B 的直线l 与线段AD 交于点E ，与抛物线交于另一点F ．连接CA ，CE ，CD ，CED 的面积与CAD 的面积之比为1：7．点P 为直线l 上方抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为t ．当t 为何值时，PFB △的面积最大？并求出最大值；（3）在抛物线212y ax bx =++上，当m x n ≤≤时，y 的取值范围是1216y ≤≤，求m n-的取值范围．（直接写出结果即可）2020大庆市中考数学试题参考答案一、填空题1．C2．B3．A4．C5．B6．B7．C8．D9．A10．A二、选择题11．(﹣2，3)12．()()22a a a +-13．814．72.︒15．5916．44017．①③18 三、解答题19．解：原式513=-+43=+7=．20．解： 原式225544x x x x x =-+-+-+221x =-将3x =代入得：原式22(3)12315=⨯=⨯-=-．21．解： 24111x x x -=--， 去分母得：214x x -+=，解得：3x =．检验：把3x =代入1x -中，得-=-=≠13120x ，∴3x =是分式方程的根．22. 解：如图，过点A 作AN CM ⊥于点N由题意得：45AMB EAM ∠=∠=︒，75FCM ∠=︒，30CAE ∠=︒，////CF AE BD 180105BMC FCM ∴∠=︒-∠=︒，60AMN BMC AMB ∠=∠-∠=︒30ACF CAE ∠=∠=︒，45ACN FCM ACF ∠=∠-∠=︒90,45B AMB ∠=︒∠=︒，20AB =米Rt ABM ∴是等腰直角三角形2202AM AB ∴==（米）在Rt AMN △中，sin AN AMN AM ∠=，即3sin 602202=︒= 解得106AN =（米）在Rt ACN 中，45ACN ∠=︒Rt ACN ∴是等腰直角三角形2210620320 1.73234.6435AC AN ∴==⨯=≈⨯=≈（米）答：两建筑物顶点A 、C 之间的距离为35米．23．解：（1）总体是某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，样本容量是40 （2）设23a b m ==，则,23m m a b ==， 根据题意可得一分钟跳绳次数在100次以上的人数有20人，即a+b=20，2023m m +=，解得24m =， ∴a=12，b=8；（3）8100020040⨯=（人）， 答：该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是200人．24．解：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形∴//AD BC ，//AM NC∴AMN MNC MAC ACN ∠=∠∠=∠，在△AOM 和△CON 中AMN MNC MAC ACN AO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOM ≌△CON∴=AM NC又∵//AM NC∴四边形ANCM 为平行四边形．（2）∵四边形ANCM 为平行四边形∵MN AC ⊥∴平行四边形ANCM 是菱形∴AM AN NC ==∵4AD BC ==设BN 的长度为x在Rt △ABN 中，2AB =，4AN x =-222AB BN AN +=2222(4)x x +=-32x = 52AN AM ==∴32DM = 25．解：（1）设购买一个甲种笔记本x 元，一个乙种笔记本y 元，由题意得：51520250x y x y -=⎧⎨+=⎩， 解得：105x y =⎧⎨=⎩， 答：购买一个甲种笔记本10元，一个乙种笔记本5元．（2）设需要购买a 个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为w ， 调价之后，甲种笔记本的单价为：10-2=8（元），乙种笔记本的单价为：5×0.8=4（元），8a+4（35-a ）≤250×90%， 解得：854a ≤， 至多需要购买21个甲种笔记本，()84354140w a a a =+-=+，当a=21时，w=224，答：购买两种笔记本总费用的最大值为224元．26．解：（1）由题意得：()1k y x y x k ⎧=⎪⎨⎪=--+⎩()1,k x k x∴=--+ ()210,x k x k ∴+++=()()10,x k x ∴++=12,1,x k x =-=-当11,1,x k y =-=-当221,,x y k =-=-经检验：符合题意． k ＜0,()()1,,,1,A k C k ∴----,A B 为OA 与k y x=的交点，()1,,B k ∴//AE y 轴，//BE x 轴，()1,,E k ∴-()2,112,AE k k k BE ∴=--=-=--= AEB 的面积为6． 16,2AE BE ∴•=()1226,2k ∴⨯⨯-=3,k ∴=-∴ 反比例函数为：3.y x =-（2）()()1,,,1,A k C k ----3,k =-()()1,3,3,1,A C ∴-- 直线AC 为2y x =-+，记AC 与x 轴的交点为D ，令0,y = 则20,x -+=2,x ∴=()2,0,D ∴AOC AOD DOC S S S ∴=+112321 4.22=⨯⨯+⨯⨯=27．证明：（1）如图，连接OD ，∵AB 为O 的直径，∴∠ADB=90°，∵AB=AC ，∴BD=CD ，点D 为BC 的中点，又∵AO=BO ，∴OD 为△ABC 的中位线，∴OD ∥AC ，∵DM AC ⊥，∴OD ⊥MN ，故MN 是O 的切线．（2）∵∠ADB=90°，∠1+∠3=90°，∵DM AC ⊥，∴∠3+∠5=90°，∠2+∠3=90°，∴∠2=∠5，∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴∠4=∠5，∵∠1=∠2，∴∠1=∠4，∵∠N=∠N ，∴△BND ∽△DNA ， ∴BN DN DN AN =， ∵AB=AC ， ∴BNDNDNDN BN AB BN AC ==++，∴()2DN BN BN AC =⋅+（3）∵6BC =，∴BD=CD=3，∵3cos 5C =，∴AC=5cos CDC =，∴AB=5，由勾股定理可得AD=4，,由（2）可得，△BND ∽△DNA ，∴34BN DN BDDN AN AD ===∴34BD DN =，∵34DN AN =， ∴34DN AB BN =+，即33454DN DN =+， 解得：607DN =． 28．解：（1）把()17C -,和点()5,7代入：212y ax bx =++， 127255127a b a b -+=⎧∴⎨++=⎩ 解得：1,4a b =-⎧⎨=⎩ 所以：抛物线为：2412y x x =-++，（2）2412y x x =-++,令0,y = 则24120,x x -++=解得：122,6,x x =-=()()2,0,6,0,A B ∴-过D 作DQ x ⊥轴于,Q 过E 作EH x ⊥于H ，则//,DQ EH ()5,7,D7,QA QD ∴== 45,DAQ ∠=︒CED 的面积与CAD 的面积之比为1：7，1,7DE DA ∴= //,DQ EH1,7DE HQ DA AQ ∴== 1,6,HQ AH ∴==4,OH ∴=45,DAQ ∠=︒6,EH AH ∴==()4,6,E ∴设BE 为：,y kx b =+4660k b k b +=⎧∴⎨+=⎩ 解得：3,18k b =-⎧⎨=⎩BE ∴为：318,y x =-+2318,412y x y x x =-+⎧∴⎨=-++⎩ 解得：121216,,150x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ ()1,15,F ∴过P 作PG x ⊥轴于G ，交BF 于,M设()2,412,P t t t -++则(),318,M t t -+ ()2241231876,PM t t t t t ∴=-++--+=-+-()15,22BPF B F S PM x x PM =•-= 当PM 最大，则PFB △的面积最大，所以：当()772212b t a =-=-=⨯-时，4949256,424PM =-+-=最大 所以PFB △的最大面积＝525125.248⨯=（3）2412,y x x =-++令0,12,x y ==记抛物线与y 轴的交点为,N 过N 作//NK x 轴交抛物线于K ， ()0,12,N ∴令12,y = 则241212,x x -++= 解得：120,4,x x ==()4,12,K ∴()22412216,y x x x =-++=--+ ∴抛物线的顶点()2,16, 当1216y ≤≤时，04,x ∴≤≤当m x n ≤≤时，y 的取值范围是1216y ≤≤， 02,24,m n ∴≤≤≤≤ 42,m n ∴-≤-≤-。
黑龙江省大庆市2020年中考数学试题
2020年大庆市初中升学统一考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）1.－1，0，π，3这四个数中，最大的数是（ ）A.－1B.0C.πD.32.天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2 900 000 000km ，数字2 900 000 000用科学记数法表示为（ ）A.82.910⨯B.92.910⨯C.82910⨯D.100.2910⨯ 3.若2|2|(3)0x y ++-=，则x y -的值为（ ）A.－5B.5C.1D.－1 4.函数2y x =的自变量x 的取值范围是（ ） A.0x ≤ B.0x ≠ C.0x ≥ D.12x ≥ 5.已知正比例函数1y k x =和反比例函数2k y x=，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合120k k ⋅>的是（ ）A.①②B.①④C.②③D.③④6.将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（ ）A.1B.2C.3D.47.在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）.若去掉一个最高分和一个最低分，则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（ ）A.平均分B.方差C.中位数D.极差8.底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（ ）A.1：1B.1：3C.1：6D.1：99.已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m 和6，8，n ，且这两个直角三角形不．相似，则m n +的值为（ ） A.107+或527+ B.15 C.107+ D.1537+10.如图，在边长为2的正方形EFGH 中，M ，N 分别为EF 与GH 的中点，一个三角形ABC 沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A 恒在直线MN 上，当点A 运动到线段MN 的中点时，点E ，F 恰与AB ，AC 两边的中点重合.设点A 到EF 的距离为x ，三角形ABC 与正方形EFGH 的公共部分的面积为y ，则当52y =时，x 的值为（ ）A.74或222+B.102或222-C.222±D.74或102 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11.点()23P ,关于y 轴的对称点Q 的坐标为_________.12.分解因式：34a a -=_________.13.一个周长为16cm 的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为_________cm .14.将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若108AOD ∠=︒，则COB ∠=_________.15.两个人做游戏：每个人都从－1，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为_________.16.如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为_________.17.已知关于x 的一元二次方程220x x a --=，有下列结论：①当1a >-时，方程有两个不相等的实根；②当0a >时，方程不可能有两个异号的实根；③当1a >-时，方程的两个实根不可能都小于1；④当3a >时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3.以上4个结论中，正确的个数为_________.18.如图，等边ABC ∆中，3AB =，点D ，点E 分别是边BC ，CA 上的动点，且BD CE =，连接AD 、BE 交于点F ，当点D 从点B 运动到点C 时，则点F 的运动路径的长度为_________.三、解答题（本大题共10小题，共66分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.计算：101|5|(1)3π-⎫⎛---+ ⎪⎝⎭ 20.先化简，再求值：2(5)(1)(2)x x x +-+-，其中3x =21.解方程：24111x x x -=-- 22.如图，AB ，CD 为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M .从建筑物AB 的顶点A 测得M 点的俯角为45°，从建筑物CD 的顶点C 测得M 点的俯角为75°，测得建筑物AB 的顶点A 的俯角为30°.若已知建筑物AB 的高度为20米，求两建筑物顶点A 、C 之间的距离（结果精确到1m ，参考数据：2 1.4143 1.732≈）23.为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如下的频数直方图，图中的a ，b 满足关系式23a b =.后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120.请结合所给条件，回答下列问题.（1）求问题中的总体和样本容量;（2）求a ，b 的值（请写出必要的计算过程）；（3）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共1000名学生）24.如图，在矩形ABCD 中，O 为对角线AC 的中点，过点O 作直线分别与矩形的边AD ，BC 交于M ，N 两点，连接CM ，AN .（1）求证：四边形ANCM 为平行四边形；（2）若4AD =，2AB =，且MN AC ⊥，求DM 的长25.期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰.她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元.已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元.（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售.如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%？至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值.26.如图，反比例函数k y x =与一次函数(1)y x k =--+的图象在第二象限的交点为A ，在第四象限的交点为C ，直线AO （O 为坐标原点）与函数k y x =的图象交于另一点B .过点A 作y 轴的平行线，过点B 作x 轴的平行线，两直线相交于点E ，AEB ∆的面积为6.（1）求反比例函数k y x=上的表达式； （2）求点A ，C 的坐标和AOC ∆的面积.27.如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，连接AD ，过点D 作DM AC ⊥，垂足为M ，AB 、MD 的延长线交于点N .（1）求证：MN 是O 的切线；（2）求证：()2DN BN BN AC =⋅+；（3）若6BC =，3cos 5C =，求DN 的长. 28.如图，抛物线212y ax bx =++与x 轴交于A ，B 两点（B 在A 的右侧），且经过点()17C -,和点()57,.（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AD ，经过点B 的直线l 与线段AD 交于点E ，与抛物线交于另一点F .连接CA ，CE ，CD ，CED ∆的面积与CAD ∆的面积之比为1：7.点P 为直线l 上方抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为t .当t 为何值时，PFB ∆的面积最大？并求出最大值；（3）在抛物线212y ax bx =++上，当m x n ≤≤时，y 的取值范围是1216y ≤≤，求m n -的取值范围.（直接写出结果即可）。
黑龙江省大庆市2020年中考数学试题
黑龙江省大庆市2020年中考数学试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx学校注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息$2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．－1，0，π ） A ．－1 B ．0C ．πD【答案】C 【解析】 【分析】利用正数大于0, 0大于负数，从而可得答案． 【详解】解：由正数大于0, 0大于负数，1∴-＜0,π所以：最大的数是.π 故选.C 【点睛】本题考查的是实数的大小比较，掌握实数的大小比较方法是解题的关键．2．天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2 900 000 000km ，数字2 900 000 000用科学记数法表示为（ ） A ．82.910⨯ B ．92.910⨯ C ．82910⨯ D ．100.2910⨯【答案】B 【解析】试卷第2页，总29页【分析】根据科学记数法的表示计算即可； 【详解】92 900 000 000=2.910⨯，故答案选B ． 【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示，准确书写是做题的关键． 3．若2|2|(3)0x y ++-=，则x y -的值为（ ） A ．－5 B ．5 C ．1 D ．－1【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值和平方的非负性可求出x ，y 的值，代入计算即可； 【详解】∵2|2|(3)0x y ++-=， ∴20x +=，30y -=， ∴2x =-，3y =， ∴235-=--=-x y ． 故答案选A ． 【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，准确计算是解题的关键． 4．函数y =x 的取值范围是（ ）A ．0x ≤B ．0x ≠C ．0x ≥D ．12x ≥【答案】C 【解析】 【分析】由二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，从而可得答案． 【详解】解：由题意得：20,x ≥订…………○…__考号：___________订…………○…0,x ∴≥故选：.C 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，同时考查二次根式有意义的条件，掌握以上知识是解题的关键．5．已知正比例函数1y k x =和反比例函数2k y x=，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合120k k ⋅>的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④【答案】B 【解析】 【分析】根据正比例函数和反比例函数的图象逐一判断即可． 【详解】解： 观察图像①可得120,0k k >>，所以120k k >，①符合题意； 观察图像②可得120,0k k <>，所以120k k <，②不符合题意； 观察图像③可得120,0k k ><，所以120k k <，③不符合题意； 观察图像④可得120,0k k <<，所以120k k >，④符合题意； 综上，其中符合120k k ⋅>的是①④， 故答案为：B ． 【点睛】本题考查的是正比例函数和反比例函数的图像，当k ＞0时，正比例函数和反比例函数经过一、三象限，当k ＜0时，正比例函数和反比例函数经过二、四象限．6．将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（ ）试卷第4页，总29页……○…………○……A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，先判断中间四个面的情况，根据这一特点可得到答案． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， 所以：1,6是相对面，3,4是相对面， 所以：5,2是相对面． 故选B ． 【点睛】本题主要考查了正方体的表面展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．7．在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分，则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（ ） A ．平均分 B ．方差 C ．中位数 D ．极差【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数的定义即可得． 【详解】将该歌手的分数按从小到大进行排序为9.0，9.3，9.4，9.5，9.6，9.7，9.9 则去掉前其中位数为9.5分去掉一个最高分和一个最低分，该歌手的分数为9.3，9.4，9.5，9.6，9.7 则去掉后其中位数为9.5分因此，去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是中位数 故选：C ．【点睛】本题考查了中位数的定义，熟记定义是解题关键．8．底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（） A ．1：1B ．1：3C ．1：6D ．1：9【答案】D 【解析】 【分析】 根据1,,3V S h V S h ==圆锥底面积圆柱底面积高高结合已知条件可得答案． 【详解】解：设圆锥与圆柱的底面半径为,r 圆锥的高为h ，则圆柱的高为3h ，2221,33,3V r h V r h r h πππ∴==⨯=圆锥圆柱22113.39r h VV r h ππ∴=圆锥圆柱＝ 故选D ． 【点睛】本题考查的是圆锥的体积与圆柱的体积的计算，掌握以上知识是解题的关键． 9．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m 和6，8，n ，且这两个直角三角形不．相似，则m n +的值为（ ） A ．105+B ．15C ．10D ．15+【答案】A 【解析】 【分析】判断未知边m 、n 是直角三角形的直角边还是斜边，再根据勾股定理计算出m 、n 的值，最后根据题目中两个三角形不相似，对应边的比值不同进行判断． 【详解】解：在第一个直接三角形中，若m 是直角边，则m == 若m 是斜边，则5m ==；在第二个直接三角形中，若n 是直角边，则n ==试卷第6页，总29页…………○……※※在※※装※※订※※线…………○……若n 是斜边，则10n ==；又因为两个直角三角形不相似，故m =5和n =10不能同时取， 即当m =5，n =5m n +=+， 当m =，n =10，10m n +=故选：A ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及相似三角形的性质，在直角三角形中对未知边是直角边还是斜边进行不同情况的讨论是解题的关键．10．如图，在边长为2的正方形EFGH 中，M ，N 分别为EF 与GH 的中点，一个三角形ABC 沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A 恒在直线MN 上，当点A 运动到线段MN 的中点时，点E ，F 恰与AB ，AC 两边的中点重合．设点A 到EF 的距离为x ，三角形ABC 与正方形EFGH 的公共部分的面积为y ，则当52y =时，x 的值为（ ）A ．74或22+B ．2或22-C ．22± D ．74或2【答案】A 【解析】 【分析】本题应该分类讨论，从以下三个情况进行讨论，分别是：①当x<1时，重叠部分为直角三角形的面积，将其三角形面积用x 表示，但是求出，与x<1相违背，要舍去；②当1<x<2时，除去重叠部分，剩下的图形为两个直角梯形的面积，将剩余的直角梯形ANHP 用x 表示，求出x 即可；③当x>2时，重叠部分为一个多边形，可以从剩余部分IHK JGL PQFE 3S S S =2++△△矩形的角度进行求解，分别将矩形PQFE 、IHK △、JGL △的面积用x 表示，求出x 即可，将x 求出后，应该与前提条件假设的x 的范围进行比较，…外…………○………○…………○…………线……学___________班级：___________…内…………○………○…………○…………线……判断x 的值． 【详解】解：∵在边长为2的正方形EFGH 中，如图所示，当A 运动到MN 的中点时，点E 、F 恰好与AB 、AC 的中点重合，即AM=EM=FM=1，且MN ⊥EF ，∴AME 和AMF 均为等腰直角三角形，可得：ABC 也是等腰直角三角形，其中AB=AC=BC=4， 设A 到EF 的距离AM=x ，①当x<1时，此时图形的位置如下图所示，AB 与EF 交于P 点，AC 与EF 交于Q 点，∵AM=x ，且△APQ 为等腰直角三角形， ∴2APQ 15S =2x x=x =22⋅⋅△，解得：x=2，但是与前提条件x<1相违背，故不存在该情况；②当1<x<2时，此时图形的位置如下图所示，AB 与EH 交于P 点，AC 与GF 交于Q 点，∵公共部分面积为52，正方形剩余部分32，∴ANHP 133S ==224⨯四边形，四边形ANHP 是直角梯形，当AM=x ，则AN=2-x ，PE=x-1，HP=3-x ，NH=1，试卷第8页，总29页○…………线…○…………线……∴ANHP (AN HP)NH 52x 3S ===224+⋅-四边形，解得：7x=4；③当x>2时，此时图形的位置如下图所示，AB 与EH 交于K 点，AB 与HG 交于I 点，AC 与FG 交于L 点，AC 与HG 交于J 点，BC 与EH 交于P 点，BC 与GF 交于Q 点，∵公共部分面积为52，∴IJLQPK 5S =2多边形，IHK JGL PQFE 3S S S =2++△△矩形 且22IHK JGL PQFE 113S S S =2(x-2)+(3-x)(3-x)222++⨯⋅+⋅=△△矩形，解得：x=2+x=2-2（舍）， 所以，满足条件的AM 的值为7x=4或x=22+， 故选：A ． 【点睛】本题考察了移动图形间的重叠问题，需要进行分类讨论，必须要把x 的移动范围进行分类，根据不同的x 取值，画出不同重叠的图形，并将重叠部分的面积用x 进行表示，解题的关键在于利用剩余部分的面积进行倒推求解．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题11．点(2，3)关于y 轴对称的点的坐标为_____． 【答案】(﹣2，3) 【解析】 【分析】平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于y 轴的对称点的坐标是（-x ，y ），即关于纵…外……………内…………轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数． 【详解】点（2，3）关于y 轴对称的点的坐标是（﹣2，3）， 故答案为：（﹣2，3）． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．12．一个周长为16cm 的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为_________cm ．【答案】8 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理、三角形的周长公式即可得． 【详解】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半则三角形的三条中位线构成的三角形的周长等于这个三角形周长的一半，即1168()2cm ⨯= 故答案为：8． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理等知识点，熟记三角形中位线定理是解题关键． 13．将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若108AOD ∠=︒，则COB ∠=_________．【答案】72.︒ 【解析】 【分析】由∠AOB=∠COD=90°，∠AOC=∠BOD ，进而∠AOC=∠BOD=108°-90°=18°，由此能试卷第10页，总29页……○………………装………※※请※※不※※要※※在※※……○………………装………求出∠BOC ． 【详解】 解：∠AOB=∠COD=90°，∴ ∠AOC=∠BOD ， 又∠AOD=108°， ∴ ∠AOC=∠BOD=108°-90°=18°， ∴ ∠BOC=90°-18°=72°．故答案为：72︒． 【点睛】本题考查的是角的和差，两锐角的互余，掌握以上知识是解题的关键．14．两个人做游戏：每个人都从－1，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为_________． 【答案】59【解析】 【分析】画出树状图进行求解即可； 【详解】由题可得到树状图如下图所示：∴59P =． 故答案为59．【点睛】本题主要考查了利用树状图求概率，准确画图是解题的关键．15．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为_________．试卷第11页，总29页【答案】440 【解析】 【分析】先观察图形得出前四个图中黑色棋子的个数，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】观察图形可知，黑色棋子的个数变化有以下两条规律： （1）正多边形的各顶点均需要1个黑色棋子（2）从第1个图开始，每个图的边上黑色棋子的个数变化依次是0,1,2,3,即第1个图需要黑色棋子的个数为330+⨯ 第2个图需要黑色棋子的个数为441+⨯ 第3个图需要黑色棋子的个数为552+⨯ 第4个图需要黑色棋子的个数为663+⨯归纳类推得：第n 个图需要黑色棋子的个数为(2)(2)(1)(2)n n n n n +++-=+，其中n 为正整数则第20个图需要黑色棋子的个数为20(202)440⨯+= 故答案为：440． 【点睛】本题考查了整式的图形规律探索题，依据图形，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 16．已知关于x 的一元二次方程220x x a --=，有下列结论： ①当1a >-时，方程有两个不相等的实根； ②当0a >时，方程不可能有两个异号的实根； ③当1a >-时，方程的两个实根不可能都小于1； ④当3a >时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3． 以上4个结论中，正确的个数为_________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由根的判别式，根与系数的关系进行判断，即可得到答案． 【详解】…○…………装…※※请※※不※※要※…○…………装…解：根据题意，∵一元二次方程220x x a--=，∴2(2)41()44a a∆=--⨯⨯-=+；∴当440a+>，即1a>-时，方程有两个不相等的实根；故①正确；当12440•0ax x a+>⎧⎨=->⎩，解得：10a-<<，方程有两个同号的实数根，则当0a>时，方程可能有两个异号的实根；故②错误；抛物线的对称轴为：212x-=-=，则当1a>-时，方程的两个实根不可能都小于1；故③正确；由3a>，则223a x x=->，解得：3x>或1x<-；故④正确；∴正确的结论有①③④；故答案为：①③④．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行解题．17．如图，等边ABC∆中，3AB=，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且BD CE=，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为_________．【解析】【分析】如图，作过A、B、F作⊙O,AFB为点F的轨迹，然后计算出,AFB的长度即可．【详解】解：如图：作过A、B、F作⊙O,过O作OG⊥AB试卷第12页，总29页试卷第13页，总29页外…………○…………学校:_________内…………○…………∵等边ABC ∆∴AB=BC,∠ABC=∠C=60° ∵BD CE = ∴△BCE ≌△ABC ∴∠BAD=∠CBE∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60° ∴∠ABE+∠BAD=60° ∴∠AFB=120°∵∠AFB 是弦AB 同侧的圆周角 ∴∠AOB=120° ∵OG ⊥AB,OA=OB ∴∠BOG=∠AOG=12∠AOB=60°,BG=12AB=32∴∠OBG=30° 设OB=x ，则OG=12x ∴222322x x ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得 ∴AFB 的长度为120233603π⨯=． ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理以及圆周角定理，根据题意确定点F 的轨迹是解答本题的关键． 三、解答题试卷第14页，总29页18．计算：1015(1)3π-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭【答案】7． 【解析】 【分析】先计算绝对值运算、零指数幂、负整数指数幂，再计算有理数的加减法即可得． 【详解】 原式513=-+43=+7=．【点睛】本题考查了绝对值运算、零指数幂、负整数指数幂等知识点， 熟记各运算法则是解题关键．19．先化简，再求值：2(5)(1)(2)x x x +-+-，其中x = 【答案】221x -，5． 【解析】 【分析】先根据整式的乘法、完全平方公式去括号，再计算整式的加减法，然后将x 的值代入求值即可． 【详解】原式225544x x x x x =-+-+-+221x =-将x =2212315=⨯=⨯-=-． 【点睛】本题考查了整式的乘法与加减法、完全平方公式、实数的混合运算，熟记各运算法则是解题关键． 20．解方程：24111x x x -=-- 【答案】3 【解析】 【分析】试卷第15页，总29页装…………○……_姓名：___________班级：__装…………○……去分母化成整式方程，求出x 后需要验证，才能得出结果； 【详解】24111x x x -=--， 去分母得：214x x -+=， 解得：3x =．检验：把3x =代入1x -中，得-=-=≠13120x ， ∴3x =是分式方程的根． 【点睛】本题主要考查了分式方程的求解，准确计算是解题的关键．21．如图，AB ，CD 为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M ．从建筑物AB 的顶点A 测得M 点的俯角为45°，从建筑物CD 的顶点C 测得M 点的俯角为75°，测得建筑物AB 的顶点A 的俯角为30°．若已知建筑物AB 的高度为20米，求两建筑物顶点A 、C 之间的距离（结果精确到1m 1.414≈，1.732≈）【答案】两建筑物顶点A 、C 之间的距离为35米． 【解析】 【分析】如图（见解析），先根据俯角的定义得出45AMB EAM ∠=∠=︒，75FCM ∠=︒，30CAE ∠=︒，////CF AE BD ，再根据平行线的性质、角的和差可得60AMN ∠=︒，45ACN ∠=︒，然后根据等腰直角三角形的判定与性质可得AM =Rt AMN △中，解直角三角形可得AN =质即可得． 【详解】如图，过点A 作AN CM ⊥于点N由题意得：45AMB EAM ∠=∠=︒，75FCM ∠=︒，30CAE ∠=︒，////CF AE BD试卷第16页，总29页○…………外………………○…………※※在※※装※※订※※线※※○…………内………………○…………180105BMC FCM ∴∠=︒-∠=︒，60AMN BMC AMB ∠=∠-∠=︒ 30ACF CAE ∠=∠=︒，45ACN FCM ACF ∠=∠-∠=︒90,45B AMB ∠=︒∠=︒，20AB =米Rt ABM ∴是等腰直角三角形AM ∴==在Rt AMN △中，sin AN AMN AM ∠=sin 602=︒=解得AN =在Rt ACN 中，45ACN ∠=︒Rt ACN ∴是等腰直角三角形20 1.73234.6435AC ∴===≈⨯=≈（米）答：两建筑物顶点A 、C 之间的距离为35米．【点睛】本题考查了俯角的定义、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形的实际应用等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．22．为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如下的频数直方图，图中的a ，b 满足关系式23a b =．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120．请结合所给条件，回答下列问题．（1）求问题中的总体和样本容量;试卷第17页，总29页（2）求a ，b 的值（请写出必要的计算过程）；（3）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共1000名学生） 【答案】（1）总体是某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，样本容量是40；（2）a=12，b=8；（3）该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是200人． 【解析】 【分析】（1）根据总体和样本容量的定义即可求解；（2）根据题意可得一分钟跳绳次数在100次以上的人数有20人，再根据23a b =可求得a 和b 的值；（3）先计算出40名学生中一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）的人所占的比例，再乘以1000即可求解． 【详解】解：（1）总体是某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，样本容量是40 （2）设23a b m ==，则,23m ma b ==， 根据题意可得一分钟跳绳次数在100次以上的人数有20人， 即a+b=20，2023m m+=，解得24m =， ∴a=12，b=8； （3）8100020040⨯=（人）， 答：该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是200人． 【点睛】本题考查抽样调查、读频数分布直方图的能力、利用统计图获取信息的能力和由样本估计整体；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．23．如图，在矩形ABCD 中，O 为对角线AC 的中点，过点O 作直线分别与矩形的边AD ，BC 交于M ，N 两点，连接CM ，AN ．试卷第18页，总29页…………○………………○……（1）求证：四边形ANCM 为平行四边形；（2）若4=AD ，2AB =，且MN AC ⊥，求DM 的长 【答案】（1）证明见解析；（2）32【解析】 【分析】（1）通过证明△AOM 和△CON 全等，可以得到=AM NC ，又因为//AM NC ，所以可以证明四边形ANCM 为平行四边形；（2）根据MN AC ⊥，从而可以证明平行四边形ANCM 是菱形，得到AM AN NC ==，再使用勾股定理计算出BN 的长度，从而可以得到DM 的长度．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形 ∴//AD BC ，//AM NC∴AMN MNC MAC ACN ∠=∠∠=∠， 在△AOM 和△CON 中AMN MNC MAC ACN AO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOM ≌△CON ∴=AM NC 又∵//AM NC∴四边形ANCM 为平行四边形． （2）∵四边形ANCM 为平行四边形 ∵MN AC ⊥∴平行四边形ANCM 是菱形 ∴AM AN NC == ∵4AD BC ==试卷第19页，总29页设BN 的长度为x在Rt △ABN 中，2AB =，4AN x =-222AB BN AN +=2222(4)x x +=-32x =52AN AM ==∴32DM = 【点睛】（1）本题主要考查了如何证明平行四边形，明确一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键；（2）本题主要考查了菱形的证明以及勾股定理的应用，知晓对角线互相垂直的平行四边形是菱形是解题的关键．24．期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元． （1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%？至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．【答案】（1）购买一个甲种笔记本10元，一个乙种笔记本5元；（2）至多需要购买21个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为224元． 【解析】 【分析】（1）设购买一个甲种笔记本x 元，一个乙种笔记本y 元，根据题意列出方程组求解即可；（2）设需要购买a 个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为w ，先求出调价之后甲、乙两种笔记本的单价，再列出不等式求解，再列出函数关系式表示出购买两种笔记本总费用的最大值，代入a 的值求解即可．试卷第20页，总29页【详解】解：（1）设购买一个甲种笔记本x 元，一个乙种笔记本y 元， 由题意得：51520250x yx y -=⎧⎨+=⎩，解得：105x y =⎧⎨=⎩，答：购买一个甲种笔记本10元，一个乙种笔记本5元．（2）设需要购买a 个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为w ， 调价之后，甲种笔记本的单价为：10-2=8（元）， 乙种笔记本的单价为：5×0.8=4（元）， 8a+4（35-a ）≤250×90%， 解得：854a ≤， 至多需要购买21个甲种笔记本，()84354140w a a a =+-=+，当a=21时，w=224，答：购买两种笔记本总费用的最大值为224元． 【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题意列出方程组或不等式，求解即可． 25．如图，反比例函数ky x=与一次函数(1)y x k =--+的图象在第二象限的交点为A ，在第四象限的交点为C ，直线AO （O 为坐标原点）与函数ky x=的图象交于另一点B ．过点A 作y 轴的平行线，过点B 作x 轴的平行线，两直线相交于点E ，AEB △的面积为6．试卷第21页，总29页○…………线…………○……_○…………线…………○……（1）求反比例函数ky x=的表达式； （2）求点A ，C 的坐标和AOC △的面积． 【答案】（1）3y x=-；（2）()()1,3,3,1,A C --AOC △的面积为4. 【解析】 【分析】 （1）联立k y x =与(1)y x k =--+求解,A C 的坐标，利用ky x=得到,A B 关于原点成中心对称，求解B 的坐标，结合已知得到E 的坐标，利用面积列方程求解即可得到答案；（2）由（1）得到k 的值，得到,A C 的坐标，AC 的解析式，记AC 与y 轴的交点为,D 求解D 的坐标，利用AOCAODDOC S SS=+可得答案．【详解】解：（1）由题意得：()1k y x y x k ⎧=⎪⎨⎪=--+⎩ ()1,kx k x∴=--+ ()210,x k x k ∴+++= ()()10,x k x ∴++=12,1,x k x =-=-当11,1,x k y =-=-试卷第22页，总29页当221,,x y k =-=- 经检验：符合题意．k ＜0,()()1,,,1,A k C k ∴----,A B 为OA 与ky x=的交点， ()1,,B k ∴//AE y 轴，//BE x 轴，()1,,E k ∴-()2,112,AE k k k BE ∴=--=-=--=AEB 的面积为6． 16,2AE BE ∴•= ()1226,2k ∴⨯⨯-= 3,k ∴=-∴ 反比例函数的解析式为：3.y x=-（2）()()1,,,1,A k C k ----3,k =-()()1,3,3,1,A C ∴-- 直线AC 为2y x =-+，记AC 与x 轴的交点为D ， 令0,y = 则20,x -+=2,x ∴=()2,0,D ∴AOCAODDOCSSS∴=+112321 4.22=⨯⨯+⨯⨯=试卷第23页，总29页………装…………○…………………线…………○……__________姓名：___________班级：_____………装…………○…………………线…………○……【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合题，考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与一次函数的性质，考查了方程组与一元二次方程的解法，图形与坐标，图形面积问题，掌握以上知识是解题的关键． 26．如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，连接AD ，过点D 作DM AC ⊥，垂足为M ，AB 、MD 的延长线交于点N ．（1）求证：MN 是O 的切线；（2）求证：()2DN BN BN AC =⋅+；（3）若6BC =，3cos 5C =，求DN 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）607DN = 【解析】 【分析】（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质和圆的相关性质证得OD 为△ABC 的中位线，即可求证；试卷第24页，总29页（2）根据题中条件证明△BND ∽△DNA ，再根据AB=AC ，进行等量代换即可证明； （3）先根据等腰三角形的性质、解直角三角形和勾股定理求出AB 、BD 、AD 的长度，再利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）如图，连接OD ， ∵AB 为O 的直径，∴∠ADB=90°， ∵AB=AC ，∴BD=CD ，点D 为BC 的中点， 又∵AO=BO ，∴OD 为△ABC 的中位线， ∴OD ∥AC ， ∵DM AC ⊥， ∴OD ⊥MN ， 故MN 是O 的切线．（2）∵∠ADB=90°， ∠1+∠3=90°， ∵DM AC ⊥，∴∠3+∠5=90°，∠2+∠3=90°， ∴∠2=∠5，∵AB=AC ，AD ⊥BC ， ∴∠4=∠5， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠4， ∵∠N=∠N ， ∴△BND ∽△DNA ， ∴BN DNDN AN=， ∵AB=AC ， ∴BN DN DNDN BN AB BN AC==++， ∴()2DN BN BN AC =⋅+试卷第25页，总29页○…………线…………○…___○…………线…………○…（3）∵6BC =， ∴BD=CD=3，∵3cos 5C =，∴AC=5cos CDC=， ∴AB=5，由勾股定理可得AD=4，,由（2）可得，△BND ∽△DNA ，∴34BN DN BD DN AN AD === ∴34BD DN =，∵34DN AN =， ∴34DN AB BN =+，即33454DN DN =+，解得：607DN =．【点睛】本题考查圆的切线的判定、相似三角形的性质与判定和解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相关性质和判定并灵活应用．27．如图，抛物线212y ax bx =++与x 轴交于A ，B 两点（B 在A 的右侧），且经过点()17C -,和点D ()5,7．试卷第26页，总29页………○…………线…………○……※※题※※………○…………线…………○……（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AD ，经过点B 的直线l 与线段AD 交于点E ，与抛物线交于另一点F ．连接CA ，CE ，CD ，CED 的面积与CAD 的面积之比为1：7．点P 为直线l 上方抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为t ．当t 为何值时，PFB △的面积最大？并求出最大值；（3）在抛物线212y ax bx =++上，当m x n ≤≤时，y 的取值范围是1216y ≤≤，求m n -的取值范围．（直接写出结果即可） 【答案】（1）2412y x x =-++；（2）所以：当72t =时， PFB △的最大面积1258=；（3）42m n -≤-≤-． 【解析】 【分析】（1）把()17C -,和点D ()5,7代入：212y ax bx =++，从而可得答案； （2）过D 作DQ x ⊥轴于,Q 过E 作EH x ⊥轴于H ，则//,DQ EH 利用CED 的面积与CAD 的面积之比为1：7，求解E 的坐标，再求解BE 的解析式及F 的坐标，设()2,412,P t t t -++过P 作PG x ⊥轴于G ，交BF 于,M 建立PFB △的面积与t 的函数关系式，利用函数的性质求最大面积，从而可得答案；（3）记抛物线与y 轴的交点为,N 过N 作//NK x 轴交抛物线于K ，先求解,N K 的坐标，可得当1216y ≤≤时，有04,x ≤≤ 结合已知条件可得答案． 【详解】试卷第27页，总29页解：（1）把()17C -,和点()5,7代入：212y ax bx =++， 127255127a b a b -+=⎧∴⎨++=⎩ 解得：1,4a b =-⎧⎨=⎩所以：抛物线的解析式为：2412y x x =-++， （2）2412y x x =-++,令0,y = 则24120,x x -++= 解得：122,6,x x =-=()()2,0,6,0,A B ∴-过D 作DQ x ⊥轴于,Q 过E 作EH x ⊥轴于H ，则//,DQ EH()5,7,D7,QA QD ∴== 45,DAQ ∠=︒CED 的面积与CAD 的面积之比为1：7，1,7DE DA ∴= //,DQ EH1,7DE HQ DA AQ ∴== 1,6,HQ AH ∴== 4,OH ∴= 45,DAQ ∠=︒ 6,EH AH ∴==()4,6,E ∴设BE 的解析式为：,y kx b =+4660k b k b +=⎧∴⎨+=⎩试卷第28页，总29页○…………外…………○…………※※请※※不※○…………内…………○…………解得：3,18k b =-⎧⎨=⎩ BE ∴为：318,y x =-+2318,412y x y x x =-+⎧∴⎨=-++⎩解得：121216,,150x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩()1,15,F ∴过P 作PG x ⊥轴于G ，交BF 于,M 设()2,412,P t t t -++ 则(),318,M t t -+()2241231876,PM t t t t t ∴=-++--+=-+-()15,22BPFB F SPM x x PM =•-= 当PM 最大，则PFB △的面积最大， 所以：当()772212b t a =-=-=⨯-时，4949256,424PM =-+-=最大 所以PFB △的最大面积＝525125.248⨯=（3）2412,y x x =-++试卷第29页，总29页……○…………装…………学校:___________姓名：_________……○…………装…………令0,12,x y ==记抛物线与y 轴的交点为,N 过N 作//NK x 轴交抛物线于K ，()0,12,N ∴令12,y = 则241212,x x -++= 解得：120,4,x x ==()4,12,K ∴()22412216,y x x x =-++=--+ ∴抛物线的顶点为()2,16,当1216y ≤≤时，04,x ∴≤≤当m x n ≤≤时，y 的取值范围是1216y ≤≤，02,24,m n ∴≤≤≤≤ 42,m n ∴-≤-≤-【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，一次函数的解析式，考查了平行线分线段成比例，等腰直角三角形的性质，同时考查了二次函数的增减性，函数交点坐标的求解，是典型的压轴题，掌握以上相关的知识是解题的关键．。
最新2020年大庆市中考数学试卷及答案解析
7．下列图形中是中心对称图形的有（ ）个．2016 年大庆市初中升学统一考试数学试题、选择题（本大题共 10小题,每小题 3分,共 30分）地球上的海洋面积为 361 000 000 平方千米 ,数字 361 000 000 用科学记数法表示为（A ．36.1×107B ．0.361×109C ．3.61×108D ．3.61×107已知实数 a 、b 在数轴上对应的点如图所示 ,则下列式子正确的是（A ．a?b >0B ． a+b < 0C ． |a|< |b|D ．a ﹣b >0A ．对角线互相垂直的四边形是菱形B ．矩形的对角线互相垂直C ．一组对边平行的四边形是平行四边形D ．四边相等的四边形是菱形个白球的概率为（6． A ． B ． C ． D ． 由若干边长相等的小正方体构成的几何体的主视图、左视图、俯视图如图所示,则构成这个几何体的小正方体有（ ）个． 1． 2． 3． 列说法正确的是（4． A ．x 2B ． < x <x 2C ．x <x 2<2 个红球和3 个白球 ,现从中任取 2 个球 , 则取到的是一个红球、一个盒子装有除颜色外其它均相同的的大小顺序是（< x D 当 0<x < 1 时 ,x 2、x 、A ．1B ．2C ．3D ．48．如图 ,从① ∠1=∠2 ② ∠C=∠D ③ ∠A=∠F 三个条件中选出两个作为已知条件 ,另一个作为结论所组成关系式不正确的是（A ．x 1?x 2<0 B． x1?x 3< 0 C．x2?x 3<0 D．x1+x 2<010．若 x 0 是方程 ax 2+2x+c=0（a ≠0）的一个根 ,设 M=1﹣ac,N=（ax 0+1）2,则 M 与 N 的大小关系正确的为 （ ）A ．M >NB ．M=NC ．M <ND ．不确定二、填空题（本大题共 8小题,每小题 3 分,共 24分）11．函数 y=的自变量 x 的取值范围是 ．12．若 a m=2,a n=8,则 a m+n= ．13．甲乙两人进行飞镖比赛 ,每人各投 5 次 ,所得平均环数相等 ,其中甲所得环数的方差为 15,乙所得环数如下： 0,1,5,9,10,那么成绩较稳定的是 （填 “甲”或“乙”）．14．如图 ,在△ ABC 中,∠A=40°,D 点是∠ABC 和∠ACB 角平分线的交点 ,则∠BDC=．上的三点 ,若 x 1<x 2<x 3,y 2< y 1 < y 3,则下列9．已知 A （ x 1,y 1）、 Bx 2,y 2）、 C （ x 3,y 3）是反比例函数15．如图,① 是一个三角形 ,分别连接这个三角形三边中点得到图 ② ,再连接图 ② 中间小三角形三边的中点得到图③ ,按这样的方法进行下去 ,第 n 个图形中共有三角形的个数为16．一艘轮船在小岛 A 的北偏东 60°方向距小岛 80海里的 B 处,沿正西方向航行 3小时后到达小岛的北偏西45°的 C 处,则该船行驶的速度为海里 /小时．17．如图 ,在矩形 ABCD 中,AB=5,BC=10 ,一圆弧过点 B 和点 C,且与 AD 相切,则图中阴影部分面积该定点坐标为三、解答题（本大题共 10小题,共 66分）19．计算（+1）2﹣π0﹣ |1﹣ |20．已知 a+b=3,ab=2, 求代数式 a 3b+2a 2b 2+ab 3的值． 21．关于 x 的两个不等式 ①< 1 与② 1﹣ 3x >0（1）若两个不等式的解集相同 ,求 a 的值；（2）若不等式 ① 的解都是 ② 的解,求 a 的取值范围．22．某车间计划加工 360 个零件 ,由于技术上的改进 ,提高了工作效率 ,每天比原计划多加工 20%,结果提前 10天完成任务 ,求原计划每天能加工多少个零件？23．为了了解某学校初四年纪学生每 周平均课外阅读时间的情况 ,随机抽查了该学校初四年级 m 名同学 ,对其每周平均课外阅读时间进行统计 ,绘制了如下条形统计图（图一）和扇形统计图（图二）：18．直线 y=kx+b 与抛物线 y= 2x 2 交于 Ax 1,y 1) B （x 2,y 2）两点 ,当 OA ⊥OB 时,直线 AB 恒过一个定点为1）根据以上信息回答下列问题：①求m 值．②求扇形统计图中阅读时间为 5 小时的扇形圆心角的度数．③补全条形统计图．2）直接写出这组数据的众数、中位数,求出这组数据的平均数．24．如图,在菱形ABCD 中,G是BD上一点,连接CG并延长交BA的延长线于点F,交AD 于点E．（1）求证：AG=CG ．（2）求证：AG 2=GE ?GF．25．如图,P1、P2是反比例函数y= （k>0）在第一象限图象上的两点,点A1的坐标为（4,0）．若△P1OA1 与△P2A1A2 均为等腰直角三角形,其中点P1、P2 为直角顶点．（1）求反比例函数的解析式．（2）① 求P2 的坐标．② 根据图象直接写出在第一象限内当x 满足什么条件时,经过点P1、P2 的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值．26．由于持续高温和连日无雨,某水库的蓄水量随时间的增加而减少,已知原有蓄水量y 1（万m3）与干旱持续时间x（天）的关系如图中线段l1所示,针对这种干旱情况,从第20 天开始向水库注水,注水量y2（万m3）与时间x（天）的关系如图中线段l 2所示（不考虑其它因素）1）求原有蓄水量y 1（万m3）与时间x（天）的函数关系式,并求当x=20 时的水库总蓄水量．27．如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,以BC 为直径的⊙O交斜边AB 于点M,若H是AC 的中点,连接MH．1）求证：MH 为⊙O 的切线．2）若MH= ,tan∠ABC= ,求⊙O 的半径．3）在（2）的条件下分别过点A、B作⊙O的切线,两切线交于点D,AD 与⊙O相切于N点,过N 点作NQ⊥BC,垂足为E,且交⊙O 于Q点,求线段NQ 的长度．28．若两条抛物线的顶点相同,则称它们为“友好抛物线”,抛物线C1：y1=﹣2x2+4x+2 与C2：u2=﹣x2+mx+n 为“友好抛物线”．（1）求抛物线C2 的解析式．（2）点 A 是抛物线C2上在第一象限的动点,过 A 作AQ⊥x轴,Q 为垂足,求AQ+OQ 的最大值．（3）设抛物线C2 的顶点为C,点 B 的坐标为（﹣1,4）,问在C2的对称轴上是否存在点M, 使线段MB 绕点M 逆时针旋转90°得到线段MB ′,且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在求出点M 的坐标,不存在说明2）求当0≤x≤60 时,水库的总蓄水量y（万m3）与时间x（天）的函数关系式（注明x 的范围）,若总蓄水量不多于900万m3为严重干旱,直接写出发生严重干旱时x 的范围．理由．2016 年黑龙江省大庆市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题,每小题3分,共30分）1．地球上的海洋面积为361 000 000 平方千米,数字361 000 000 用科学记数法表示为（）A ．36.1×107B．0.361×109C．3.61×108D ． 3.61×107 【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n 为整数．确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时,n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时,n 是负数．【解答】解：361 000 000 用科学记数法表示为 3.61×108, 故选：C．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|< 10,n 为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n 的值．2．已知实数a、b 在数轴上对应的点如图所示,则下列式子正确的是（）A．a?b>0 B．a+b<0 C．|a|< |b| D．a﹣b>0【考点】实数与数轴．【分析】根据点a、b 在数轴上的位置可判断出a、b 的取值范围,然后即可作出判断．【解答】解：根据点a、b 在数轴上的位置可知1<a<2,﹣1<b<0, ∴ab< 0,a+b> 0,|a|> |b|,a﹣b> 0,．故选： D ．【点评】本题主要考查的是数轴的认识、有理数的加法、减法、乘法法则的应用,掌握法则是解题的关键．3．下列说法正确的是（）A ．对角线互相垂直的四边形是菱形B．矩形的对角线互相垂直C．一组对边平行的四边形是平行四边形D．四边相等的四边形是菱形【考点】矩形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定．【分析】直接利用菱形的判定定理、矩形的性质与平行四边形的判定定理求解即可求得答案．【解答】解： A 、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；故本选项错误；B 、矩形的对角线相等,菱形的对角线互相垂直；故本选项错误；C、两组组对边分别平行的四边形是平行四边形；故本选项错误；D、四边相等的四边形是菱形；故本选项正确．故选．【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的判定以及平行四边形的判定．注意掌握各特殊平行四边形对角线的性质是解此题的关键．4．当0<x< 1 时,x2、x、的大小顺序是（）A．x2B． <x<x2C．<x D．x<x2<【考点】不等式的性质．【分析】先在不等式0<x<1 的两边都乘上x,再在不等式0< x< 1的两边都除以x,根据所得结果进行判断即可．【解答】解：当0<x<1 时,在不等式0< x<1 的两边都乘上x,可得0<x2< x, 在不等式0<x<1的两边都除以x,可得0<1< , 又∵ x<1,∴x2、x、的大小顺序是：x2< x< ．故选（ A ）点评】本题主要考查了不等式,解决问题的根据是掌握不等式的基本性质．不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数,不等号的方向不变,即：若a>b,且m>0,那么am> bm 或>5．一个盒子装有除颜色外其它均相同的 2 个红球和3个白球,现从中任取 2 个球,则取到的是一个红球、个白球的概率为（）【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与取到的是一个红球、一个白球的情况,再利用概率公式求解即可求得答案．故选C．点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．6．由若干边长相等的小正方体构成的几何体的主视图、左视图、俯视图如图所示,则构成这个几何体的小正方体有（）个．【考点】由三视图判断几何体．【分析】根据三视图,该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两行三列,故可得出该几何体的小正方体的个数．【解答】解：综合三视图可知,这个几何体的底层应该有2+1+1+1=5 个小正方体, 第二层应该有 2 个小正方体, 因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是故选C12种情况,∴取到的是一个红球、一个白球的概率为：=．=．5+2=7 个．解答】解：画树状图得：∵共有20 种等可能的结果,取到的是一个红球、一个白球的有点评】本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力果掌握口诀“俯视图打地基,正视图疯狂盖,左视图拆违章”就更容易得到答案．A．1 B．2 C．3 D．4考点】中心对称图形．分析】根据中心对称图形的概念求解．解答】解：第 2 个、第 4 个图形是中心对称图形,共 2 个．故选B．【点评】本题考查了中心对称图形的概念,中心对称图形的关键是要寻找对称中心,旋转180 度后两部分重合．8．如图,从① ∠1=∠2 ② ∠C=∠D ③ ∠A=∠F 三个条件中选出两个作为已知条件,另一个作为结论所组成【分析】直接利用平行线的判定与性质分别判断得出各结论的正确性．【解答】解：如图所示：当① ∠ 1=∠ 2,则∠ 3=∠2,故DB∥ EC,则∠D=∠4, 当② ∠ C=∠D,故∠ 4=∠C, 则DF∥ AC, 可得：∠A= ∠F, 即?③ ；,同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如考点】命题与定理．当① ∠ 1=∠ 2, 则∠3=∠2, 故DB∥ EC, 则∠ D=∠4, 当③ ∠A= ∠F, 故DF∥ AC, 则∠ 4=∠C, 故可得：∠C= ∠D, 即?② ；当③ ∠A= ∠F, 故DF∥ AC, 则∠4=∠C, 当② ∠ C=∠D,则∠4=∠D, 故DB∥ EC,则∠ 2=∠3,可得：∠ 1=∠2,?①,故正确的有 3 个．故选： D ．【点评】此题主要考查了命题与定理,正确掌握平行线的判定与性质是解题关键．9．已知 A （x1,y1）、B（x 2,y 2）、C（x3,y3）是反比例函数y= 上的三点,若x1<x2<x3,y2<y1<y3,则下列关系式不正确的是（）A ．x1?x2<0 B．x1?x3<0 C．x2?x3<0 D．x1+x2< 0【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据反比例函数y= 和x1<x2<x3,y2<y1<y3,可得点A,B 在第三象限,点 C 在第一象限,得出x1< x2< 0<x3,再选择即可．【解答】解：∵ 反比例函数y= 中,2> 0,∴在每一象限内,y随x的增大而减小,∵x1<x2<x3,y2<y1<y3,∴点A,B 在第三象限,点 C 在第一象限,∴x1<x2<0< x3,∴x1?x2<0,故选 A ．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,解答此题的关键是熟知反比例函数的增减性,本题是逆用,难度有点大．10．若x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根,设M=1﹣ac,N=（ax0+1）2,则M 与N 的大小关系正确的为（）A．M>N B．M=N C ．M<N D．不确定【考点】一元二次方程的解．【分析】把x0 代入方程ax2+2x+c=0 得ax02+2x0=﹣c,作差法比较可得．【解答】解：∵x0 是方程ax2+2x+c=0 （a≠0）的一个根,∴ax02+2x0+c=0,即ax02+2x0=﹣c,则 N ﹣ M= （ ax 0+1） 2﹣（ 1﹣ac ）22=a x 0 +2ax 0+1﹣1+ac2=a （ ax 0 +2x 0）+ac =﹣ ac+ac=0,∴M=N,故选： B ．【点评】本题主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比较大小做方程的解是根本 ,利用作差法比较大小是解题的关键． 、填空题（本大题共 8小题,每小题 3分,共 24分）11．函数 y= 的自变量 x 的取值范围是【考点】函数自变量的取值范围．分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解．【解答】解：由题意得 ,2x ﹣ 1≥0, 解得 x ≥ ．故答案为： x ≥ ．【点评】本题考查了函数自变量的范围 ,一般从三个方面考虑：1）当函数表达式是整式时 ,自变量可取全体实数；2）当函数表达式是分式时 ,考虑分式的分母不能为 0；3）当函数表达式是二次根式时 ,被开方数非负．m n m+n若 a =2,a =8,则 a = 16考点】同底数幂的乘法．专题】计算题；实数．分析】原式利用同底数幂的乘法法则变形 ,将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解： ∵ a m =2,a n =8,∴a m+n =a m ?a n =16, 故答案为： 16,熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫12．点评】此题考查了同底数幂的乘法,熟练掌握乘法法则是解本题的关键．13．甲乙两人进行飞镖比赛,每人各投 5 次,所得平均环数相等,其中甲所得环数的方差为15,乙所得环数如下：0,1,5,9,10,那么成绩较稳定的是甲（填“甲”或“乙”）．【考点】方差．【分析】计算出乙的平均数和方差后,与甲的方差比较后,可以得出判断．【解答】解：乙组数据的平均数=（0+1+5+9+10 ）÷5=5, 乙组数据的方差S2= [（0﹣5）2+（1﹣5）2+（9﹣5）2+（10﹣5）2]=16.4, ∵S2甲＜S2乙,∴成绩较为稳定的是甲．故答案为：甲．点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n 个数据,x1,x2,⋯x n的平均数为,则方差S2= ［（x1﹣）2+（x2﹣）2+⋯+（x n﹣）2],它反映了一组数据的波动大小,方差越大,波动性越大,反之也成立．14．如图,在△ ABC 中,∠A=40°,D 点是∠ABC 和∠ACB 角平分线的交点,则∠BDC= 110°【考点】三角形内角和定理．【分析】由 D 点是∠ABC 和∠ACB 角平分线的交点可推出∠DBC+∠DCB=70, 再利用三角形内角和定理即可求出∠ BDC 的度数．【解答】解：∵D 点是∠ABC 和∠ACB 角平分线的交点,∴有∠CBD=∠ABD= ∠ABC, ∠BCD=∠ACD= ∠ACB,∴∠ABC+∠ACB=180 ﹣40=140,∴∠ OBC+ ∠ OCB=70,∴ ∠ BOC=180 ﹣70=110°,故答案为：110°．点评】此题主要考查学生对角平分线性质,三角形内角和定理,三角形的外角性质等知识点的理解和掌握难度不大,是一道基础题,熟记三角形内角和定理是解决问题的关键．15．如图,① 是一个三角形,分别连接这个三角形三边中点得到图② ,再连接图② 中间小三角形三边的中点得到图③ ,按这样的方法进行下去,第n 个图形中共有三角形的个数为4n﹣ 3 ．【考点】三角形中位线定理；规律型：图形的变化类．【分析】结合题意,总结可知,每个图中三角形个数比图形的编号的4倍少3个三角形,即可得出结果．【解答】解：第① 是 1 个三角形,1=4×1﹣3；第② 是 5 个三角形,5=4×2﹣3；第③ 是9 个三角形,9=4×3﹣3；∴第n 个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．【点评】此题主要考查了图形的变化,解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．16．一艘轮船在小岛 A 的北偏东60°方向距小岛80海里的 B 处,沿正西方向航行 3 小时后到达小岛的北偏西45°的 C 处,则该船行驶的速度为【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】设该船行驶的速度为x海里/时,由已知可得BC=3x,AQ ⊥BC,∠BAQ=60 °,∠CAQ=45 °,AB=80 海里, 在直角三角形ABQ 中求出AQ 、BQ,再在直角三角形AQC 中求出CQ,得出BC=40+40 =3x,解方程即可．【解答】解：如图所示：设该船行驶的速度为x 海里/时,3 小时后到达小岛的北偏西45°的 C 处, 由题意得：AB=80 海里,BC=3x 海里,在直角三角形ABQ 中,∠ BAQ=60 °,∴∠ B=90°﹣60°=30°,∴ AQ= AB=40,BQ= AQ=40 ,在直角三角形AQC 中,∠CAQ=45 °,∴ CQ=AQ=40,∴ BC=40+40 =3x,解得：x= ．即该船行驶的速度为海里/时；故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；通过解直角三角形得出方程是解决问题的关键．17．如图,在矩形ABCD 中, AB=5,BC=10 ,一圆弧过点B和点C,且与AD 相切,则图中阴影部分面积为75 ﹣【考点】扇形面积的计算；矩形的性质；切线的性质．【分析】设圆的半径为x,根据勾股定理求出x, 根据扇形的面积公式、阴影部分面积为：矩形ABCD 的面积﹣（扇形BOCE 的面积﹣△ BOC 的面积）进行计算即可．【解答】解：设圆弧的圆心为O,与AD 切于E,连接OE 交BC 于F,连接OB 、OC, 设圆的半径为x,则OF=x﹣5, 由勾股定理得,OB2=OF2+BF2,即 x 2=（ x ﹣5）2+（5 ） 2 解得 ,x=5,则∠ BOF=60 °,∠ BOC=120 °, 则阴影部分面积为：矩形 ABCD 的面积﹣（扇形 BOCE 的面积﹣ △ BOC 的面积）=10 ×5﹣ + ×10 ×5点评】本题考查的是扇形面积的计算 ,掌握矩形的性质、切线的性质和扇形的面积公式的关键．= =218．直线 y=kx+b 与抛物线 y= x 2交于 A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）两点 ,当 OA ⊥OB 时,直线 AB 恒过一个定点 该定点坐标为 （ 0,4） ．【考点】二次函数的性质；一次函数的性质．【专题】推理填空题．2【分析】根据直线 y=kx+b 与抛物线 y= x 2交于 A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）两点 ,可以联立在一起 ,得到关于 x 的一元二次方程 ,从而可以得到 两个之和与两根之积 ,再根据 OA ⊥ OB,可以求得 b 的值 ,从而可以得到直线 AB 恒过的定点的坐标．【解答】解： ∵直线 y=kx+b 与抛物线 y= x 2交于 A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）两点 ,∴ kx+b= ,化简 ,得 x 2﹣ 4kx ﹣4b=0,∴ x 1+x 2=4k,x 1x 2= ﹣ 4b,又∵ OA ⊥OB,S= 是解题 故答案为： 75 ﹣解得,b=4,即直线y=kx+4, 故直线恒过顶点（0,4）, 故答案为：（0,4）．【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,知道两条直线垂直时, 它们解析式中的k 的乘积为﹣1．三、解答题（本大题共10小题,共66分）19．计算（+1）2﹣π0﹣|1﹣|【考点】实数的运算；零指数幂．【分析】直接利用完全平方公式以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简求出答案．【解答】解：原式=2+2 +1﹣1﹣（﹣1）=2+2 ﹣+1=3+ ．【点评】此题主要考查了完全平方公式以及零指数幂的性质、绝对值的性质等知识,正确化简各数是解题关键．20．已知a+b=3,ab=2, 求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式ab,再根据完全平方公式进行二次分解,然后代入数据进行计算即可得解．【解答】解：a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）2=ab（a+b）2,将a+b=3,ab=2 代入得,ab（a+b）2=2×32=18 ．故代数式a3b+2a2b2+ab3的值是18．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止．21．关于x 的两个不等式①<1 与② 1﹣3x>0（1）若两个不等式的解集相同,求 a 的值；（2）若不等式① 的解都是② 的解,求a的取值范围．【考点】不等式的解集．【专题】计算题；一元一次不等式（组）及应用．【分析】（1）求出第二个不等式的解集,表示出第一个不等式的解集,由解集相同求出 a 的值即可；（2）根据不等式① 的解都是② 的解,求出a的范围即可．【解答】解：（1）由① 得：x< ,由② 得：x< ,由两个不等式的解集相同,得到= ,解得：a=1；（2）由不等式① 的解都是② 的解,得到≤,解得：a≥1．【点评】此题考查了不等式的解集,根据题意分别求出对应的值利用不等关系求解．22．某车间计划加工360 个零件,由于技术上的改进,提高了工作效率,每天比原计划多加工20%,结果提前10 天完成任务,求原计划每天能加工多少个零件？考点】分式方程的应用．分析】关键描述语为：“提前10 天完成任务”；等量关系为：原计划天数=实际生产天数+10．解答】解：设原计划每天能加工x 个零件,可得：解得：x=6,经检验x=6 是原方程的解,答：原计划每天能加工 6 个零件．点评】本题考查分式方程的应用,分析题意,找到关键描述语,找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题需注意应设较小的量为未知数．23．为了了解某学校初四年纪学生每周平均课外阅读时间的情况 ,随机抽查了该学校初四年级 m 名同学 ,对其 每周平均课外阅读时间进行统计 ,绘制了如下条形统计图（图一）和扇形统计图（图二）∵课外阅读时间为 2 小时的有 15 人, ∴m=15 ÷ =60；② 第三小组的频数为： 60﹣ 10﹣15﹣10﹣5=20,补全条形统计图为：== ∴其所占的百分比为1）根据以上信息回答下列问题：① 求 m 值．② 求扇形统计图中阅读时间为 5 小时的扇形圆心角的度数．③ 补全条形统计图．（ 2）直接写出这组数据的众数、中位数 ,求出这组数据的平均数．【考点】众数；扇形统计图；条形统计图；加权平均数；中位数．【分析】（ 1）① 根据 2 小时所占扇形的圆心角的度数确定其所占的百分比 的人数求得 m 的值；,然后根据条形统计图中 2 小时② 求得总人数后减去其他小组的人数即可求得第三小组的人数；（2）利用众数、中位数的定义及平均数的计算公式确定即解答】解：（ 1）① ∵ 课外阅读时间为 2 小时的所在扇形的圆心角的度数为 90°,2）∵课外阅读时间为3小时的20 人,最多, ∴ 众数为 3 小时；∵共60人,中位数应该是第30和第31 人的平均数,且第30和第31人阅读时间均为3小时,∴ 中位数为 3 小时；平均数≈2.92 小时．为：点评】本题考查了众数、中位数、平均数及扇形统计图和条形统计图的知识,解题的关键是能够结合两个统计图并找到进一步解题的有关信息,难度不大．24．如图,在菱形ABCD 中,G是BD 上一点,连接CG并延长交BA 的延长线于点F,交AD 于点E．1）求证：AG=CG ．2）求证：AG 2=GE ?GF．考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．专题】证明题．【分析】根据菱形的性质得到AB ∥ CD,AD=CD, ∠ADB= ∠ CDB,推出△ADG ≌△ CDG,根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）由全等三角形的性质得到∠EAG=∠DCG,等量代换得到∠EAG= ∠F,求得△ AEG ∽△FGA,即可得到结论．解答】解：（1）∵ 四边形ABCD 是菱形,∴AB∥CD,AD=CD, ∠ADB= ∠CDB, ∴∠ F∠ FCD,在△ADG 与△CDG 中,∴△ADG ≌△ CDG,∴ ∠ EAG= ∠DCG, ∴ AG=CG ；（2）∵△ADG ≌△ CDG,∴ ∠ EAG= ∠F,∵ ∠ AGE= ∠AGE,∴△ AEG∽△FGA,∴,∴,∴AG 2=GE?GF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,菱形的性质,全等三角形的判定和性质,熟练掌握各定理是解题的关键．25．如图,P1、P2是反比例函数y= （k>0）在第一象限图象上的两点,点A1的坐标为（4,0）．若△P1OA1 与△ P2A 1A 2均为等腰直角三角形,其中点P1、P2为直角顶点．（1）求反比例函数的解析式．（2）① 求P2 的坐标．② 根据图象直接写出在第一象限内当x 满足什么条件时,经过点P1、P2 的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值．考点】反比例函数与一次函数的交点问题；等腰直角三角形．【分析】（1）先根据点 A 1的坐标为（4,0）,△P1OA1为等腰直角三角形,求得P1的坐标,再代入反比例函数求解；（2）先根据△P2A1A2为等腰直角三角形,将P2的坐标设为（4+a,a）,并代入反比例函数求得a的值,得到P2的坐标；再根据P1的横坐标和P2的横坐标,判断x 的取值范围．【解答】（1）过点P1作P1B⊥x 轴,垂足为B∵点 A 1的坐标为（4,0 ）,△ P1OA 1 为等腰直角三角形∴OB=2,P1B= OA 1=2∴P1 的坐标为（2,2）将P1 的坐标代入反比例函数y= （k>0）,得k=2 ×2=4∴反比例函数的解析式为（2）① 过点P2作P2C⊥x轴,垂足为C∵△ P2A 1A 2为等腰直角三角形∴ P2C=A 1C设P2C=A 1C=a,则P2 的坐标为（4+a,a）将P2 的坐标代入反比例函数的解析式为,得a= ,解得a1= ,a2= （舍去）∴P2 的坐标为（, ）② 在第一象限内,当2<x< 2+ 时,一次函数的函数值大于反比例函数的值．,解决问题的关键是根据等腰直角三角形的性质求得点P1和P2 的坐标．等腰直角三角形是一种特殊的三角形,具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．26．由于持续高温和连日无雨,某水库的蓄水量随时间的增加而减少,已知原有蓄水量y1（万m3）与干旱持续时间x（天）的关系如图中线段l1所示,针对这种干旱情况,从第20 天开始向水库注水,注水量y2（万m3）与时间x（天）的关系如图中线段l2 所示（不考虑其它因素）．（1）求原有蓄水量y1（万m3）与时间x（天）的函数关系式,并求当x=20 时的水库总蓄水量．分析】（1）根据两点的坐标求y1（万m3）与时间x （天）的函数关系式,并把x=20 代入计算；2）分两种情① 当0≤x≤20 时,y=y 1,② 当20<x≤60 时,y=y1+y2；并计算分段函数中y≤900 时的取值．【解答】解：（1）设y1=kx+b,把（0,1200）和（60,0）代入到y1=kx+b 得：解得,∴y1=﹣20x+1200当x=20 时,y1=﹣20×20+1200=800,（2）设y2=kx+b,把（20,0）和（60,1000）代入到y2=kx+b 中得：解得,∴ y 2=25x ﹣500,当0≤x≤20 时,y= ﹣20x+1200,当20< x ≤60 时,y=y1+y2=﹣20x+1200+25x ﹣500=5x+700,y≤900,则5x+700 ≤900,x≤40,当y1=900 时,900= ﹣20x+1200,x=15,∴ 发生严重干旱时x 的范围为：15≤x≤40．【点评】本题考查了一次函数的应用,熟练掌握利用待定系数法求一次函数的解析式：设直线解析式为y=kx+b, 将直线上两点的坐标代入列二元一次方程组,求解；注意分段函数的实际意义,会观察图象．2）求当0≤x≤60 时,水库的总蓄水量y（万m3）与时间x（天）的函数关系式（注明x 的范围）,若总蓄水量不多于900 万m3为严重干旱,直接写出发生严重干旱时x 的范围．考点】一次函数的应用．27．如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M,若H是AC的中点,连接MH．（1）求证：MH 为⊙O 的切线．（2）若MH= ,tan∠ABC= ,求⊙O 的半径．（3）在（2）的条件下分别过点A、B作⊙ O的切线,两切线交于点D,AD 与⊙O相切于N点,过N点作NQ ⊥ BC, 垂足为E,且交⊙O 于Q点,求线段NQ的长度．【考点】圆的综合题．【分析】（1）连接OH 、OM,易证OH是△ABC 的中位线,利用中位线的性质可证明△COH≌△MOH,所以∠HCO= ∠HMO=90 °,从而可知MH 是⊙O的切线；（2）由切线长定理可知：MH=HC, 再由点M 是AC 的中点可知AC=3, 由tan∠ ABC= ,所以BC=4, 从而可知⊙ O 的半径为2；（3）连接CN,AO,CN 与AO 相交于I,由AC、AN 是⊙O 的切线可知AO⊥ CN, 利用等面积可求出可求得CI 的长度,设CE 为x, 然后利用勾股定理可求得CE 的长度,利用垂径定理即可求得NQ．【解答】解：（1）连接OH 、OM,∵H是AC 的中点,O是BC的中点,∴OH 是△ABC 的中位线,∴OH∥AB,∴ ∠ COH= ∠ ABC, ∠ MOH= ∠OMB,又∵ OB=OM,∴ ∠ OMB= ∠MBO,∴ ∠ COH= ∠MOH, 在△COH 与△MOH 中,。
2020年黑龙江省大庆市中考数学试卷(含解析)
2020年黑龙江大庆市中考数学试卷（考试时间：120分钟满分：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．在﹣1，0，π，这四个数中，最大的数是（）A．﹣1 B．0 C．πD．2．天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2900000000km，数字2900000000用科学记数法表示为（）A．2.9×108B．2.9×109C．29×108D．0.29×10103．若|x+2|+（y﹣3）2＝0，则x﹣y的值为（）A．﹣5 B．5 C．1 D．﹣14．函数y＝的自变量x的取值范围是（）A．x≤0 B．x≠0 C．x≥0 D．x≥5．已知正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合k1•k2＞0的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④6．将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（）A．1 B．2 C．3 D．47．在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分．则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（）A．平均分B．方差C．中位数D．极差8．底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（）A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：99．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为（）A．10+或5+2B．15 C．10+D．15+310．如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH的公共部分的面积为y．则当y＝时，x 的值为（）A．或2+B．或2﹣C．2±D．或二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为．12．分解因式：a3﹣4a＝．13．一个周长为16cm的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为cm．14．将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若∠AOD＝108°，则∠COB＝．15．两个人做游戏：每个人都从﹣1，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为．16．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为．17．已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为．18．如图，等边△ABC中，AB＝3，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为．三、解答题（本大题共10小题，共66分）19．（4分）计算：|﹣5|﹣（1﹣π）0+（）﹣1．20．（4分）先化简，再求值：（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x＝．21．（5分）解方程：﹣1＝．22．（6分）如图，AB，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M，从建筑物AB的顶点A 测得M点的俯角为45°，从建筑物CD的顶点C测得M点的俯角为75°，测得建筑物AB的顶点A的俯角为30°．若已知建筑物AB的高度为20米，求两建筑物顶点A、C之间的距离（结果精确到1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）．23．（7分）为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如图的频数直方图，图中的a，b满足关系式2a＝3b．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120．请结合所给条件，回答下列问题．（1）求问题中的总体和样本容量；（2）求a，b的值（请写出必要的计算过程）；（3）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共1000名学生）24．（7分）如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N 两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．25．（7分）期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%，求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．26．（8分）如图，反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x﹣（k+1）的图象在第二象限的交点为A，在第四象限的交点为C，直线AO（O为坐标原点）与函数y＝的图象交于另一点B．过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两直线相交于点E，△AEB的面积为6．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）求点A，C的坐标和△AOC的面积．27．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：DN2＝BN•（BN+AC）；（3）若BC＝6，cosC＝，求DN的长．28．（9分）如图，抛物线y＝ax2+bx+12与x轴交于A，B两点（B在A的右侧），且经过点C（﹣1，7）和点D（5，7）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AD，经过点B的直线l与线段AD交于点E，与抛物线交于另一点F．连接CA，CE，CD，△CED的面积与△CAD的面积之比为1：7，点P为直线l上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t．当t为何值时，△PFB的面积最大？并求出最大值；（3）在抛物线y＝ax2+bx+12上，当m≤x≤n时，y的取值范围是12≤y≤16，求m﹣n的取值范围．（直接写出结果即可）参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得﹣1＜0＜＜π，∴在这四个数中，最大的数是π．故选：C．2．【解答】解：2900000000用科学记数法表示为2.9×109，故选：B．3．【解答】解：∵|x+2|+（y﹣3）2＝0，∴x+2＝0，y﹣3＝0，解得：x＝﹣2，y＝3，故x﹣y＝﹣2﹣3＝﹣5．故选：A．4．【解答】解：根据题意可得：2x≥0，解得：x≥0，故选：C．5．【解答】解：①中k1＞0，k2＞0，故k1•k2＞0，故①符合题意；②中k1＜0，k2＞0，故k1•k2＜0，故②不符合题意；③中k1＞0，k2＜0，故k1•k2＜0，故③不符合题意；④中k1＜0，k2＜0，故k1•k2＞0，故④符合题意；故选：B．6．【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“1”与“6”是相对面，“5”与“2”是相对面，“3”与“4”是相对面．故选：B．7．【解答】解：原来7个数据，从小到大排列处在中间位置的那个数与去掉一个最高和一个最低后剩下的5个数中间位置的那个数是相同的，因此中位数不变，故选：C．8．【解答】解：设圆锥和圆柱的底面圆的半径为r，圆锥的高为h，则圆柱的高为3h，所以圆锥与圆柱的体积的比＝（×πr2×h）：（πr2×3h）＝1：9．故选：D．9．【解答】解：当3，4为直角边，6，8也为直角边时，此时两三角形相似，不合题意；当3，4为直角边，m＝5；则8为另一三角形的斜边，其直角边为：＝2，故m+n＝5+2；当6，8为直角边，n＝10；则4为另一三角形的斜边，其直角边为：＝，故m+n＝10+；故选：A．10．【解答】解：如图1中，当过A在正方形内部时，连接EG交MN于O，连接OF，设AB交EH于Q，AC交FG于P．由题意，△ABC是等腰直角三角形，AQ＝OE＝OG＝AP＝OF，S△OEF＝1，∵y＝，∴S四边形AOEQ+S四边形AOFP＝1.5，∴OA•2＝1.5，∴OA＝，∴AM＝1+＝．如图2中，当点A在正方形外部时，由题意，重叠部分是六边形WQRJPT，S重叠＝S△ABC﹣2S△BQR﹣S△AWT，∴2.5＝××﹣1﹣×2AN×AN，解得AN＝，∴AM＝2+，综上所述，满足条件的AM的值为或2+，故选：A．二、填空题11．【解答】解：点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．12．【解答】解：原式＝a（a2﹣4）＝a（a+2）（a﹣2）．故答案为：a（a+2）（a﹣2）13．【解答】解：如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE＝BC．同理可得：DF＝AC，EF＝AB，∴DE+DF+EF＝（AB+BC+AC）＝16＝8（cm）．则三条中位线构成的三角形的周长为8cm．故答案为：8．14．【解答】解：∵∠COD＝90°，∠AOB＝90°，∠AOD＝108°，∴∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝108°﹣90°＝18°，∴∠COB＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣18°＝72°．故答案为：72°．15．【解答】解：画树状图为：共有9种等可能的结果，其中两数的绝对值相等的结果数为5，所以两人所写整数的绝对值相等的概率＝．故答案为．16．【解答】解：观察图形可知：第1个图需要黑色棋子的个数为：3＝1×3；第2个图需要黑色棋子的个数为：8＝2×4；第3个图需要黑色棋子的个数为：15＝3×5；第4个图需要黑色棋子的个数为：24＝4×6；…发现规律：第n个图需要黑色棋子的个数为：n（n+2）；所以第20个图需要黑色棋子的个数为：20（20+2）＝440．故答案为：440．17．【解答】解：∵x2﹣2x﹣a＝0，∴△＝4+4a，∴①当a＞﹣1时，△＞0，方程有两个不相等的实根，故①正确，②当a＞0时，两根之积＜0，方程的两根异号，故②错误，③方程的根为x＝＝1±，∵a＞﹣1，∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确，④若方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．则有32﹣6﹣a＜0，∴a＞3，故④正确，故答案为①③④．18．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，∴在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∵∠AFE＝∠BAD+∠FBA＝∠CBE+∠FBA＝∠ABC＝60°，∴∠AFB＝120°，∴点F的运动轨迹是以点O为圆心，OA为半径的弧上运动，如图，此时∠AOB＝120°，OA＝＝，所以弧AB的长为：＝．则点F的运动路径的长度为．故答案为：．三、解答题19．【解答】解：|﹣5|﹣（1﹣π）0+（）﹣1＝5﹣1+3＝7．20．【解答】解：原式＝x2+4x﹣5+x2﹣4x+4＝2x2﹣1，当x＝时，原式＝2（）2﹣1＝5．21．【解答】解：方程的两边同乘x﹣1，得：2x﹣x+1＝4，解这个方程，得：x＝3，经检验，x＝3是原方程的解，∴原方程的解是x＝3．22．【解答】解：∵AB⊥BD，∠BAM＝45°，∴∠AMB＝45°，∴∠AMB＝∠BAM，∴AB＝BM＝20，∴在Rt△ABM中，AM＝20，作AE⊥MC于E，由题意得∠ACM＝45°，∠CAM＝75°，∴∠AMC＝60°，∴在Rt△AME中，AM＝20，∵sin∠AME＝，∴AE＝sin60°•20＝×20＝10，在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，AE＝10，∴sin∠ACE＝，∴AC＝＝＝20≈35（米），答：两建筑物顶点A、C之间的距离约为35米．23．【解答】解：（1）1000名学生一分钟的跳绳次数是总体，40名学生的一分钟跳绳次数是样本容量；（2）由题意所给数据可知：50.5～75.5的有4人，75.5～100.5的有16人，∴a+b＝40﹣4﹣16＝20，∵2a＝3b，∴解得a＝12，b＝8，（3）1000×＝200（人），答：估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是200人．24．【解答】解：（1）证明：∵在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，在△AOM和△CON中，，∴△AOM≌△CON（AAS），∴AM＝CN，∵AM∥CN，∴四边形ANCM为平行四边形；（2）∵在矩形ABCD中，AD＝BC，由（1）知：AM＝CN，∴DM＝BN，∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，∴平行四边形ANCM为菱形，∴AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，∴在Rt△ABN中，根据勾股定理，得AN2＝AB2+BN2，∴（4﹣DM）2＝22+DM2，解得DM＝．25．【解答】解：（1）设购买一个甲种笔记本需要x元，购买一个乙种笔记本需要y元，依题意，得：，解得：．答：购买一个甲种笔记本需要10元，购买一个乙种笔记本需要5元．（2）设购买m个甲种笔记本，则购买（35﹣m）个乙种笔记本，依题意，得：（10﹣2）m+5×0.8（35﹣m）≤250×90%，解得：m≤21，又∵m为正整数，∴m可取的最大值为21．设购买两种笔记本总费用为w元，则w＝（10﹣2）m+5×0.8（35﹣m）＝4m+140，∵k＝4＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝21时，w取得最大值，最大值＝4×21+140＝224．答：至多需要购买21个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为224元．26．【解答】解：（1）由题意得，点A与点B关于原点对称，即OA＝OB，∴＝（）2＝，又△AEB的面积为6，∴S△AOM＝S△ABE＝×6＝＝|k|，∴k＝﹣3，k＝3（舍去），∴反比例函数的关系式为y＝﹣；（2）由k＝﹣3可得一次函数y＝﹣x+2，由题意得，，解得，，，又A在第二象限，点C在第四象限，∴点A（﹣1，3），点C（3，﹣1），（2）一次函数y＝﹣x+2与y轴的交点N的坐标为（0，2），∴S△AOC＝S△CON+S△AON＝×2×（1+3）＝4．27．【解答】证明：（1）如图，连接OD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，∵AO＝BO，BD＝CD，∴OD∥AC，∵DM⊥AC，∴OD⊥MN，又∵OD是半径，∴MN是⊙O的切线；（2）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ABC+∠BAD＝90°，∠ACB+∠CDM＝90°，∴∠BAD＝∠CDM，∵∠BDN＝∠CDM，∴∠BAD＝∠BDN，又∵∠N＝∠N，∴△BDN∽△DAN，∴，∴DN2＝BN•AN＝BN•（BN+AB）＝BN•（BN+AC）；（3）∵BC＝6，BD＝CD，∴BD＝CD＝3，∵cosC＝＝，∴AC＝5，∴AB＝5，∴AD＝＝＝4，∵△BDN∽△DAN，∴＝＝，∴BN＝DN，DN＝AN，∴BN＝（AN）＝AN，∵BN+AB＝AN，∴AN+5＝AN∴AN＝，∴DN＝AN＝．28．【解答】解：（1）把C（﹣1，7），D（5，7）代入y＝ax2+bx+12，可得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+12．（2）如图1中，过点E作EM⊥AB于M，过点D作DN⊥AB于N．对于抛物线y＝﹣x2+4x+12，令y＝0，得到，x2﹣4x﹣12＝0，解得x＝﹣2或6，∴A（﹣2，0），B（6，0），∵D（5，7），∴OA＝2，DN＝7，ON＝5，AN＝7∵△CED的面积与△CAD的面积之比为1：7，∴DE：AD＝1：7，∴AE：AD＝6：7，∵EM∥DN，∵＝＝＝，∴＝＝，∴AM＝EM＝6，∴E（4，6），∴直线BE的解析式为y＝﹣3x+18，由，解得或，∴F（1，15），过点P作PQ∥y轴交BF于Q，设P（t，﹣t2+4t+12_）则Q（t，﹣3t+18），∴PQ＝﹣t2+4t+12﹣（﹣3t+18）＝﹣t2+7t﹣6，∵S△PBF＝•（﹣t2+7t﹣6）•5＝﹣（t﹣）2+，∵﹣＜0，∴t＝时，△BFP的面积最大，最大值为．（3）对于抛物线y＝﹣x2+4x+12，当y＝16时，﹣x2+4x+12＝16，解得x1＝x2＝2，当y＝12时，﹣x2+4x+12＝12，解得x＝0或4，观察图2可知：当0≤x≤2或2≤x≤4时，12≤y≤16，∴m＝0，n＝2或m＝2，n＝4，∴m﹣n＝﹣2。
黑龙江省大庆市2020年中考数学试题
黑龙江省大庆市2020年中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．－1，0，π）A ．－1B ．0C ．π D2．天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2 900 000 000km ，数字2 900 000 000用科学记数法表示为（ ）A ．82.910⨯B ．92.910⨯C ．82910⨯D ．100.2910⨯ 3．若2|2|(3)0x y ++-=，则x y -的值为（ ）A ．－5B ．5C ．1D ．－14．函数y =x 的取值范围是（ ）A ．0x ≤B ．0x ≠C ．0x ≥D ．12x ≥ 5．已知正比例函数1y k x =和反比例函数2k y x=，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合120k k ⋅>的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④ 6．将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 7．在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分，则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（ ）A ．平均分B ．方差C ．中位数D ．极差8．底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（ ） A ．1：1 B ．1：3 C ．1：6 D ．1：9 9．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m 和6，8，n ，且这两个直角三角形不．相似，则m n +的值为（ ）A ．105+B ．15 C ．10D ．15+10．如图，在边长为2的正方形EFGH 中，M ，N 分别为EF 与GH 的中点，一个三角形ABC 沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A 恒在直线MN 上，当点A 运动到线段MN 的中点时，点E ，F 恰与AB ，AC 两边的中点重合．设点A 到EF 的距离为x ，三角形ABC 与正方形EFGH 的公共部分的面积为y ，则当52y =时，x 的值为（ ）A ．74或2B 2C ．2D ．74二、填空题11．点(2，3)关于y 轴对称的点的坐标为_____．12．分解因式：34x x -=______．13．一个周长为16cm 的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为_________cm ． 14．将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若108AOD ∠=︒，则COB ∠=_________．15．两个人做游戏：每个人都从－1，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为_________．16．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为_________．17．已知关于x 的一元二次方程220x x a --=，有下列结论：①当1a >-时，方程有两个不相等的实根；②当0a >时，方程不可能有两个异号的实根；③当1a >-时，方程的两个实根不可能都小于1；④当3a >时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为_________．18．如图，等边ABC ∆中，3AB =，点D ，点E 分别是边BC ，CA 上的动点，且BD CE =，连接AD 、BE 交于点F ，当点D 从点B 运动到点C 时，则点F 的运动路径的长度为_________．三、解答题19．计算：1015(1)3π-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭20．先化简，再求值：2(5)(1)(2)x x x +-+-，其中x =21．解方程：24111x x x -=-- 22．如图，AB ，CD 为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M ．从建筑物AB 的顶点A 测得M 点的俯角为45°，从建筑物CD 的顶点C 测得M 点的俯角为75°，测得建筑物AB 的顶点A 的俯角为30°．若已知建筑物AB 的高度为20米，求两建筑物顶点A 、C 之间的距离（结果精确到1m 1.414≈ 1.732≈）23．为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如下的频数直方图，图中的a ，b 满足关系式23a b =．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120．请结合所给条件，回答下列问题．（1）求问题中的总体和样本容量;（2）求a ，b 的值（请写出必要的计算过程）；（3）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共1000名学生） 24．如图，在矩形ABCD 中，O 为对角线AC 的中点，过点O 作直线分别与矩形的边AD ，BC 交于M ，N 两点，连接CM ，AN ．（1）求证：四边形ANCM 为平行四边形；（2）若4=AD ，2AB =，且MN AC ⊥，求DM 的长25．期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%？至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．26．如图，反比例函数k y x=与一次函数(1)y x k =--+的图象在第二象限的交点为A ，在第四象限的交点为C ，直线AO （O 为坐标原点）与函数k y x =的图象交于另一点B ．过点A 作y 轴的平行线，过点B 作x 轴的平行线，两直线相交于点E ，AEB △的面积为6．（1）求反比例函数k y x=的表达式； （2）求点A ，C 的坐标和AOC V 的面积．27．如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O e 交BC 于点D ，连接AD ，过点D 作DM AC ⊥，垂足为M ，AB 、MD 的延长线交于点N ．（1）求证：MN 是O e 的切线；（2）求证：()2DN BN BN AC =⋅+；（3）若6BC =，3cos 5C =，求DN 的长．28．如图，抛物线212y ax bx =++与x 轴交于A ，B 两点（B 在A 的右侧），且经过点()17C -,和点D ()5,7．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AD ，经过点B 的直线l 与线段AD 交于点E ，与抛物线交于另一点F ．连接CA ，CE ，CD ，CED △的面积与CAD V的面积之比为1：7．点P 为直线l 上方抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为t ．当t 为何值时，PFB △的面积最大？并求出最大值； （3）在抛物线212y ax bx =++上，当m x n ≤≤时，y 的取值范围是1216y ≤≤，求m n -的取值范围．（直接写出结果即可）。
黑龙江省大庆市中考数学试卷及答案(Word解析版)
黑龙江省大庆市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）（•大庆）下列运算结果正确的是（）A．B．a2•a3=a6C．a2•a3=a5D．a2+a3=a6考点：二次根式的性质与化简；合并同类项；同底数幂的乘法．分析：根据二次根式的化简、合并同类项、同底数幂的乘法分别进行计算，即可得出答案．解答：解：A、=a，（a≥0），故本选项错误；B、a2•a3=a5，故本选项错误；C、a2•a3=a5，故本选项错误；D、a2+a3=a6，同类项，不能合并，故本选项错误．故选C．点评：此题考查了二次根式的化简、合并同类项、同底数幂的乘法，记准法则是解题的关键，注意同底数幂的乘法与幂的乘方很容易混淆．2．（3分）（•大庆）若实数a满足a﹣|a|=2a，则（）A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤0考点：绝对值．分析：先求出|a|=﹣a，再根据绝对值的性质解答．解答：解：由a﹣|a|=2a得|a|=﹣a，∴a≤0．故选D．点评：本题考查了绝对值的性质，比较简单，熟记绝对值的性质是解题的关键．3．（3分）（•大庆）已知两圆的半径分别是3和6，若两圆相交，则两圆的圆心距可以是（）A．2B．5C．9D．10考点：圆与圆的位置关系．分析：根据两圆相交时圆心距与两圆半径之间的数量关系进行解答．解答：解：∵半径分别为3和6的两圆相交，又∵3+6=9，6﹣3=3，∴这两圆的圆心距d的取值范围是3＜d＜9．只有B选项符合．故选B．点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解此题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．4．（3分）（•大庆）对于函数y=﹣3x+1，下列结论正确的是（）A．它的图象必经过点（﹣1，3）B．它的图象经过第一、二、三象限C．当x＞1时，y＜0 D．y的值随x值的增大而增大考点：一次函数的性质．分析：根据一次比例函数图象的性质可知．解答：解：A、将点（﹣1，3）代入原函数，得y=﹣3×（﹣1）+1=4≠3，故A错误；B、因为k=﹣3＜0，b=1＞0，所以图象经过一、二、四象限，y随x的增大而减小，故B，D错误；C、正确；D、当x=1时，y=﹣2＜0，故C正确．故选C．点评：本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的性质及函数图象平移的法则是解答此题的关键．5．（3分）（•大庆）若不等式组的解集为0＜x＜1，则a的值为（）A．1B．2C．3D．4考点：解一元一次不等式组．分析：求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，即可得出方程，求出方程的解即可．解答：解：∵解不等式①，得x＞，解不等式②，得x＜，∴原不等式组的解集为：＜x＜，∵不等式组的解集为0＜x＜1，∴=0，=1，解得：a=1，故选A．点评：本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组的应用，关键是能根据不等式组的解集得出关于a的方程．6．（3分）（•大庆）已知梯形的面积一定，它的高为h，中位线的长为x，则h与x的函数关系大致是（）A．B．C．D．考点：梯形中位线定理；反比例函数的图象；反比例函数的应用．分析：根据梯形的中位线定理和梯形的面积的计算方法确定两个变量之间的函数关系，然后判断其图象即可．解答：解：梯形的面积=×梯形上、下底之和×高，符合k=hx，故h=（x＞0，h＞0）所以是反比例函数．故选D．点评：本题考查了反比例函数的图象及反比例函数的应用，解题的关键是根据实际问题列出函数关系式．7．（3分）（•大庆）已知函数y=x2+2x﹣3，当x=m时，y＜0，则m的值可能是（）A．﹣4 B．0C．2D．3考点：抛物线与x轴的交点．专题：计算题．分析：根据函数图象得到﹣3＜x＜1时，y＜0，即可作出判断．解答：解：令y=0，得到x2+2x﹣3=0，即（x﹣1）（x+3）=0，解得：x=1或x=﹣3，由函数图象得：当﹣3＜x＜1时，y＜0，则m的值可能是0．故选B．点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，利用了数形结合的思想，求出x的范围是解本题的关键．8．（3分）（•大庆）图1所示的几何体，它的俯视图为图2，则这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：根据图示几何体和俯视图可知该几何体底面一层有三个正方形，上面一层有一个正方形，然后找到从左面看到的图形即可．解答：解：由图示几何体和俯视图可知该几何体底面一层有三个正方形，上面一层有一个正方形，则从左面看易得图形：．故选D．点评：本题考查了三视图的知识，注意左视图是从物体的左面看得到的视图．9．（3分）（•大庆）正三角形△ABC的边长为3，依次在边AB、BC、CA上取点A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，则△A1B1C1的面积是（）A．B．C．D．考点：等边三角形的判定与性质分析：依题意画出图形，过点A1作A1D∥BC，交AC于点D，构造出边长为1的小正三角形△AA1D；由AC1=2，AD=1，得点D为AC1中点，因此可求出S△AA1C1=2S△AA1D=；同理求出S△CC1B1=S△BB1A1=；最后由S△A1B1C1=S△ABC﹣S△AA1C1﹣S△CC1B1﹣S△BB1A1求得结果．解答：解：依题意画出图形，如下图所示：过点A1作A1D∥BC，交AC于点D，易知△AA1D是边长为1的等边三角形．又AC1=AC﹣CC1=3﹣1=2，AD=1，∴点D为AC1的中点，∴S△AA1C1=2S△AA1D=2××12=；同理可求得S△CC1B1=S△BB1A1=，∴S△A1B1C1=S△ABC﹣S△AA1C1﹣S△CC1B1﹣S△BB1A1=×32﹣3×=．故选B．点评：本题考查等边三角形的判定与性质，难度不大．本题入口较宽，解题方法多种多样，同学们可以尝试不同的解题方法．10．（3分）（•大庆）已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是（）A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形B．当AB=AD，CB=CD时，四边形ABCD是菱形C．当AB=AD=BC时，四边形ABCD是菱形D．当AC=BD，AD=AB时，四边形ABCD是正方形考点：菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定．分析：根据平行四边形、菱形的判定与性质分别判断得出即可．解答：解：A、对角线AC与BD互相垂直，AC=BD时，无法得出四边形ABCD是矩形，故此选项错误；B、当AB=AD，CB=CD时，无法得到，四边形ABCD是菱形，故此选项错误；C、当两条对角线AC与BD互相垂直，AB=AD=BC时，∴BO=DO，AO=CO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两条对角线AC与BD互相垂直，∴平行四边形ABCD是菱形，故此选项正确；D、当AC=BD，AD=AB时，无法得到四边形ABCD是正方形，故此选项错误；故选C．点评：此题主要考查了菱形的判定以及矩形和正方形的判定，熟练掌握相关判定是解题关键．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．（3分）（•大庆）计算：sin260°+cos60°﹣tan45°=．考点：特殊角的三角函数值．分析：将特殊角的三角函数值代入计算即可．解答：解：原式=（）2+﹣1=+﹣1=．故答案为：．点评：本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握几个特殊角的三角函数值．12．（3分）（•大庆）在函数y=中，自变量x的取值范围是x≥﹣．考点：函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件．专题：计算题．分析：当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，即2x+1≥0．解答：解：依题意，得2x+1≥0，解得x≥﹣．点评：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．13．（3分）（•大庆）地球的赤道半径约为6 370 000米，用科学记数法记为 6.37×106米．考点：科学记数法—表示较大的数分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将6 370 000用科学记数法表示为：6.37×106．故答案为：6.37×106．点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．14．（3分）（•大庆）圆锥的底面半径是1，侧面积是2π，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角为180°．考点：圆锥的计算分析：根据圆锥的侧面积公式S=πrl得出圆锥的母线长，再结合扇形面积公式即可求出圆心角的度数．解答：解：∵侧面积为2π，∴圆锥侧面积公式为：S=πrl=π×1×l=2π，解得：l=2，∴扇形面积为2π=，解得：n=180，∴侧面展开图的圆心角是180度．故答案为：180°．点评：此题主要考查了圆锥的侧面积公式应用以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥的母线长是解决问题的关键．15．（3分）（•大庆）某品牌手机降价20%后，又降低了100元，此时售价为1100元，则该手机的原价为1500元．考一元一次方程的应用．点：分析：首先假设原价为x元，根据降价20%后应为（1﹣20%）x，再根据又降低了100元，此时售价为1100元得出等式求出即可．解答：解：设原价为x元，根据题意得出：（1﹣20%）x﹣100=1100解得：x=1500．故答案为：1500．点评：此题主要考查了一元一次方程的应用；得到第二次降价后的价格的等量关系是解决本题的关键．16．（3分）（•大庆）袋中装有4个完全相同的球，分别标有数字1、2、3、4，从中随机取出一个球，以该球上的数字作为十位数，再从袋中剩余3个球中随机取出一个球，以该球上的数字作为个位数，所得的两位数大于30的概率为．考点：列表法与树状图法分析：首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与所得的两位数大于30的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，所得的两位数大于30的有6种情况，∴所得的两位数大于30的概率为：=．故答案为：．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．17．（3分）（•大庆）已知…依据上述规律计算的结果为（写成一个分数的形式）考点：规律型：数字的变化类分析：根据已知得出原式=×[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]进而求出即可．解答：解：∵…∴=×[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=×（1﹣）=．点评：此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出数字中的变与不变是解题关键．18．（3分）（•大庆）如图，三角形ABC是边长为1的正三角形，与所对的圆心角均为120°，则图中阴影部分的面积为．考点：扇形面积的计算；等边三角形的性质．分析：设与相交于点O，连OA，OB，OC，线段OA将阴影的上方部分分成两个弓形，将这两个弓形分别按顺时针及逆时针方向绕点O旋转120°后，阴影部分便合并成△OBC，得到它的面积等于△ABC面积的三分之一，利用等边三角形的面积公式：×边长2，即可求得阴影部分的面积．解答：解：如图，设与相交于点O，连接OA，OB，OC，线段OA将阴影的上方部分分成两个弓形，将这两个弓形分别按顺时针及反时针绕点O旋转120°后，阴影部分便合并成△OBC，它的面积等于△ABC面积的三分之一，∴S阴影部分=××12=．故答案为：．点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了等边三角形的面积公式：×边长2．三、解答题（共10小题，满分46分）19．（•大庆）计算：﹣++（π﹣3）0．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．分析：本题涉及零指数幂、负指数幂、立方根、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式=0.5﹣++1=0.5﹣2++1=1．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是掌握零指数幂、负指数幂、立方根、二次根式化简等考点的运算．20．（•大庆）已知ab=﹣3，a+b=2．求代数式a3b+ab3的值．考点：因式分解的应用．分析：由a+b=﹣3，ab=2，可得a2+b2=10，因为（a2+b2）ab=a3b+ab3，所以a3b+ab3=﹣30．解答：解：∵a+b=2，∴（a+b）2=4，∴a2+2ab+b2=4，又∵ab=﹣3，∴a2+b2=10，∴（a2+b2）ab=a3b+ab3=﹣30．点评：本题为代数式求值题，主要考查整体思想，是一道比较基础的题目，要认真掌握，并确保得分．21．（•大庆）如图，已知一次函数y=k1x+b（k1≠0）的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，且与反比例函数y=（k2≠0）的图象在第一象限的交点为C，过点C作x轴的垂线，垂足为D，若OA=OB=OD=2．（1）求一次函数的解析式；（2）求反比例函数的解析式．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：计算题．分析：（1）由OA与OB的长，确定出A与B的坐标，代入一次函数解析式中求出k1与b 的值，即可确定出一次函数解析式；（2）由OD的长，确定出D坐标，根据CD垂直于x轴，得到C与D横坐标相同，代入一次函数解析式求出C的纵坐标，确定出C坐标，将C坐标代入反比例解析式中求出k2的值，即可确定出反比例解析式．解答：解：（1）∵OA=OB=2，∴A（﹣2，0），B（0，2），将A与B代入y=k1x+b得：，解得：，则一次函数解析式为y=x+2；（2）∵OD=2，∴D（2，0），∵点C在一次函数y=x+2上，且CD⊥x轴，∴将x=2代入一次函数解析式得：y=2+2=4，即点C坐标为（2，4），∵点C在反比例图象上，∴将C（2，4）代入反比例解析式得：k2=8，则反比例解析式为y=．点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用了待定系数法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．22．（•大庆）某班同学在一次综合实践活动中，对本县居民参加“全民医保”情况进行了调查，同学们利用节假日随机调查了3000人，对调查结果进行了统计分析，绘制出两幅不完整的统计图：[注：图中A表示城镇职工基本医疗保险；B表示城镇居民基本医疗保险；C表示“新型农村合作医疗”；D表示其他情况]（1）补全条形统计图；（2）在本次调查中，B类人数占被调查人数的百分比为25%；扇形统计图中D区域所对应的圆心角的大小为36°．（3）据了解，国家对B类人员每人每年补助210元．已知该县人口数约为100万，请估计该县B类人员每年享受国家补助共多少元？考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图分析：（1）“新型农村合作医疗”的人数=这次调查的总人数×45%，“城镇职工基本医疗保险”的人数=2000﹣B表示的人数﹣C表示的人数﹣D表示的其他情况的人数．（2）用B表示的“城镇居民基本医疗保险”的人数÷这次调查的总人数可得B类人数占被调查人数的百分比．（3）该县B类人员每年享受国家补助的总钱数=国家对B类人员每人每年补助的钱数×100×B类人员所占的百分比．解答：解：（1）如下图．（2）500÷2000=25%，即在本次调查中，B类人数占被调查人数的百分比为25%．D区域区域的圆心角为：=36°；（3）210×100×25%=5250（万元）．答：该县B类人员每年享受国家补助共5250万元．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．23．（6分）（•大庆）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数．考点：全等三角形的判定与性质．分析：（1）在△CBF和△DBG中，利用SAS即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可证得；（2）根据全等三角形的对应角相等，即可证得∠DHF=∠CBF=60°，从而求解．解答：（1）证明：∵在△CBF和△DBG中，，∴△CBF≌△DBG（SAS），∴CF=DG；（2）解：∵△CBF≌△DBG，∴∠BCF=∠BDG，又∵∠CFB=∠DFH，∴∠DHF=∠CBF=60°，∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键．24．（6分）（•大庆）如图，平面直角坐标系中，以点C（2，）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A，B两点．（1）求A，B两点的坐标；（2）若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A，B，试确定此二次函数的解析式．考点：垂径定理；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理．专题：计算题．分析：（1）连结AC，过点C作CM⊥x轴于点M，根据垂径定理得MA=MB；由C点坐标得到OM=2，CM=，再根据勾股定理可计算出AM，可可计算出OA、OB，然后写出A，B两点的坐标；（2）利用待定系数法求二次函数的解析式．解答：解：（1）过点C作CM⊥x轴于点M，则MA=MB，连结AC，如图∵点C的坐标为（2，），∴OM=2，CM=，在Rt△ACM中，CA=2，∴AM==1，∴OA=OM﹣AM=1，OB=OM+BM=3，∴A点坐标为（1，0），B点坐标为（3，0）；（2）将A（1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c得，解得．所以二次函数的解析式为y=x2﹣4x+3．点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理和待定系数法求二次函数的解析式．25．（8分）（•大庆）如图所示，AB是半圆O的直径，AB=8，以AB为一直角边的直角三角形ABC中，∠CAB=30°，AC与半圆交于点D，过点D作BC的垂线DE，垂足为E．（1）求DE的长；（2）过点C作AB的平行线l，l与BD的延长线交于点F，求的值．考点：相似三角形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形．分析：（1）先由圆周角定理得出∠ADB=90°，再解Rt△ABD，得出BD=4，然后解Rt△BDE，即可求出DE的长；（2）先由DE⊥BC，AB⊥BC，得出DE∥AB，根据平行线分线段成比例定理得出=，则DA=3CD，再证明△FCD∽△BAD，根据相似三角形对应边成比例即可求出的值．解答：解：（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB=90°．在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠DAB=30°，AB=8，∴BD=AB=4．在Rt△BDE中，∠DEB=90°，∠DBE=30°，BD=4，∴DE=BD=2；（2）∵DE⊥BC，AB⊥BC，∴DE∥AB，∴===，∴CA=4CD，∴DA=3CD．∵CF∥AB，∴∠FCD=∠BAD，∠DFC=∠DBA，∴△FCD∽△BAD，∴===．点评：本题考查了圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，难度适中，求出DE的长，进而得到DA=3CD是解题的关键．26．（8分）（•大庆）随机抛掷图中均匀的正四面体（正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字），并且自由转动图中的转盘（转盘被分成面积相等的五个扇形区域）．（1）求正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为4的概率；（2）设正四面体着地的数字为a，转盘指针所指区域内的数字为b，求关于x的方程ax2+3x+=0有实数根的概率．考点：列表法与树状图法；根的判别式．分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由根的判别式得出方程ax2+3x+=0有实数根的所有情况，利用概率公式求解即可求得答案．解答：解；（1）画树状图得出：总共有20种结果，每种结果出现的可能性相同，正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为4的有3种情况，故正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为4的概率为：；（2）∵方程ax2+3x+=0有实数根的条件为：9﹣ab≥0，∴满足ab≤9的结果共有14种：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2）∴关于x的方程ax2+3x+=0有实数根的概率为：=．点评：此题主要考查了根的判别式和树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．27．（9分）（•大庆）对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°﹣α），cosα=﹣cos（180°﹣α）（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．考点：特殊角的三角函数值；一元二次方程的解专题：新定义．分析：（1）按照题目所给的信息求解即可；（2）分三种情况进行分析：①当∠A=30°，∠B=120°时；②当∠A=120°，∠B=30°时；③当∠A=30°，∠B=30°时，根据题意分别求出m的值即可．解答：解：（1）由题意得，sin120°=sin（180°﹣120°）=sin60°=，cos120°=﹣cos（180°﹣120°）=﹣cos60°=﹣，sin150°=sin（180°﹣150°）=sin30°=；（2）∵三角形的三个内角的比是1：1：4，∴三个内角分别为30°，30°，120°，①当∠A=30°，∠B=120°时，方程的两根为，﹣，将代入方程得：4×（）2﹣m×﹣1=0，解得：m=0，经检验﹣是方程4x2﹣1=0的根，∴m=0符合题意；②当∠A=120°，∠B=30°时，两根为，，不符合题意；③当∠A=30°，∠B=30°时，两根为，，将代入方程得：4×（）2﹣m×﹣1=0，解得：m=0，经检验不是方程4x2﹣1=0的根．综上所述：m=0，∠A=30°，∠B=120°．点评：本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是按照题目所给的运算法则求出三角函数的值和运用分类讨论的思想解题，难度一般．28．（9分）（•大庆）如图所示，在直角梯形ABCD中，AB为垂直于底边的腰，AD=1，BC=2，AB=3，点E为CD上异于C，D的一个动点，过点E作AB的垂线，垂足为F，△ADE，△AEB，△BCE的面积分别为S1，S2，S3．（1）设AF=x，试用x表示S1与S3的乘积S1S3，并求S1S3的最大值；（2）设=t，试用t表示EF的长；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，=4S1S3．考相似形综合题．点：专题：探究型．分析：（1）直接根据三角形的面积公式解答即可；（2）作DM⊥BC，垂足为M，DM与EF交与点N，根据=t，可知AF=tFB，再由BM=MC=AD=1可得出====，所以NE=，根据EF=FN+NE即可得出结论；（3）根据AB=AF+FB=（t+1）FB=3，可得出FB=，故可得出AF=tFB=，根据三角形的面积公式可用t表示出S1，S3，S2，由s22=4S1S3．即可得出t的值．解答：解：（1）∵S1=AD•AF=x，S3=BC•BF=×2×（3﹣x）=3﹣x，∴S1S3=x（3﹣x）=（﹣x2+3x）=[﹣（x﹣）2+]=﹣（x﹣）2+（0＜x＜3），∴当x=时，S1S3的最大值为；（2）作DM⊥BC，垂足为M，DM与EF交与点N，∵=t，∴AF=tFB，∵BM=MC=AD=1，∴====，∴NE=，∴EF=FN+NE=1+=；（3）∵AB=AF+FB=（t+1）FB=3，∴FB=，∴AF=tFB=，∴S1=AD•AF=×=，S3=BC•FB=×2×=；S2=AB•FE=×3×=，∴S1S3=，S22=，∴=4×，即4t2﹣4t+1=0，解得t=．点评：本题考查的是相似形综合题，熟知三角形的面积公式、二次函数的最值问题等相关知识是解答此题的关键．。
黑龙江省大庆市中考数学真题试题
2020年大庆市初中升学统一考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上） 1．有理数-8的立方根为（ ）A ．-2B ．2C ．±2D ．±4 【答案】A2．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D3．小明同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，搜索到与之相关的结果条数为608000，这个数用科学记数法表示为（ ）A ．60.8×104B ．6.08×105C ．0.608×106D ．6.08×107【答案】B4．实效m ，n 在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（ ）A ．n m >B ．||m n >-C ．||n m >-D ．||||n m <【答案】C5．正比例函数y =kx （k ≠0）的函数值y 随着x 增大而减小，则一次函数y =x +k 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A6．下列说法中不正确的是（ ）A ．四边相等的四边形是菱形B ．对角线垂直的平行四边形是菱形C ．菱形的对角线互相垂直且相等D ．菱形的邻边相等 【答案】C7．某企业1-6月份利润的变化情况如图所示，以下说法与图中反映的信息相符的是（ ）A ．1-6月份利润的众数是130万元B ．1-6月份利润的中位数是130万元C ．1-6月份利润的平均数是130万元D ．1-6月份利润的极差是40万元 【答案】D7题图 8题图8．如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，CE 是外角∠ACM 的平分线，BE 与CE 相交于点E ，若∠A =60°，则∠BEC 是（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60° 【答案】B9．—个“粮仓”的三视图如图所示（单位：m ），则它的体积是（ ）A ．21πm 3B ．30πm 3C ．45πm 3D ．63πm 3【答案】C10．如图，在正方形ABCD 中，边长AB =1，将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转180°至正方形AB 1C 1D 1，则线段CD 扫过的面积为（ ）A ．4π B ．2π C ．π D ．π2【答案】B俯视图119题图 10题图二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．=÷35a a _____． 【答案】2a12．分解因式：=--+b a ab b a 22_______________． 【答案】))(1(b a ab +-13．一个不透明的口袋中共有8个白球、5个黄球、5个绿球、2个红球，这些球除颜色外都相同．从口袋中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是____． 【答案】52 14．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC ，AC 的中点，AD 与BE 相交于点G ，若DG =1，则AD =__________． 【答案】3③②①14题图 15题图15．归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第n 个“T”字形需要的棋子个数为_________． 【答案】3n +2 16．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，那么2)(b a -的值是_________．【答案】117．已知x =4是不等式ax -3a -1＜0的解，x =2不是不等式ax -3a -1＜0的解，则实数a 的取值范围是_________． 【答案】a ≤-1 18．如图，抛物线241x py =（p ＞0），点F （0，p ），直线l ：y =-p ，已知抛物线上的点到点F 的距离与到直线l 的距离相等，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，垂足分别为A 1、B 1，连接A 1F ，B 1F ，A 1O ，B 1O ．若A 1F =a ，B 1F =b 、则△A 1OB 1的面积=__________．（只用a ，b 表示）． 【答案】4abba16题图 18题图三、解答题（本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题4分）计算：︒--+-60sin |31|)2019(0π．解：︒--+-60sin 31)2019(0π:23131--+=23=． 20．（本题4分）已知：ab =1，b =2a -1，求代数式ba 21-的值． 解：∵ab =1，b =2a -1，∴b -2a =-1，∴ab a b b a 221-=-111-=-=．21．（本题5分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450机器所需时间相同，求该工厂原来平均每天生产多少台机器？解：设该工厂原来平均每天生产x 台机器，则现在平均每天生产(x +50)台机器． 根据题意得xx 45050600=+，解得x =150． 经检验知x =150是原方程的根．答：该工厂原来平均每天生产150台机器． 22．（本题6分）如图，一艘船由A 港沿北偏东60°方向航行10km 至B 港，然后再沿北偏西30°方向航行10km 至C 港．（1）求A ，C 两港之间的距离（结果保留到0.1km ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）； （2）确定C 港在A 港的什么方向．东北解：（1）由题意可得，∠PBC =30°，∠MBB =60°，∴∠CBQ =60°，∠BAN =30°，∴∠ABQ =30°，∴∠ABC =90°． ∵AB =BC =10，∴AC =22BC AB +=210≈14.1．答：A 、C 两地之间的距离为14.1km ．（2）由（1）知，△ABC 为等腰直角三角形，∴∠BAC =45°，∴∠CAM =15°， ∴C 港在A 港北偏东15°的方向上． 23．（本题7分）某校为了解七年级学生的体重情况，随机抽取了七年级m 名学生进行调查，将抽取学生的体请根据图表信息回答下列问题：（1）填空：①m =_____，②n =_____，③在扇形统计图中，C 组所在扇形的圆心角的度数等于__________度；（2）若把每组中各个体重值用这组数据的中间值代替（例如：A 组数据中间值为40千克），则被调查学生的平均体重是多少千克？（3）如果该校七年级有1000名学生，请估算七年级体重低于47.5千克的学生大约有多少人？ 解：（1）①100，②20，③144； （2）被抽取同学的平均体重为：5010010602055405020451040=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯．答：被抽取同学的平均体重为50千克． （3）300100301000=⨯． 答：七年级学生体重低于47.5千克的学生大约有300人． 24．（本题7分） 如图，反比例函数xmy 2=和一次函数y =kx -1的图象相交于A （m ，2m ），B 两点． （1）求一次函数的表达式；（2）求出点B 的坐标，并根据图象直接写出满足不等式12-<kx xm的x 的取值范围．解：（1）∵A (m ，2m )在反比例函数图象上，∴mmm 22=，∴m =1，∴A (1，2)． 又∵A (1，2)在一次函数y =kx -1的图象上，∴2=k -1，即k =3， ∴一次函数的表达式为：y =3x -1．（2）由⎪⎩⎪⎨⎧-==132x y xy 解得B (32-，-3) ∴由图象知满足12-<kx x m 的x 取值范围为032<<-x 或x ＞1． 25．（本题7分）如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4．M 、N 在对角线AC 上，且AM =CN ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点．（1）求证：△ABM ≌△CDN ；（2）点G 是对角线AC 上的点，∠EGF =90°，求AG 的长．（1）证明∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，∴∠MAB = ∠NCD ． 在△ABM 和△CDN 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CN AM NCD MAB CD AB ∴△ABM ≌△CDN ；（2）解：如图，连接EF ，交AC 于点O ． 在△AEO 和△CFO 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠∠=∠=FCO EAO FOC EOA CF AE ∴△AEO ≌△CFO ，∴EO =FO ，AO =CO ，∴O 为EF 、AC 中点． ∵∠EGF =90°，2321==EF OG ，∴AG =OA -OG =1或AG =OA +OG =4， ∴AG 的长为1或4．26．（本题8分）如图，在Rt△ABC 中，∠A =90°．AB =8cm ，AC =6cm ，若动点D 从B 出发，沿线段BA 运动到点A 为止（不考虑D 与B ，A 重合的情况），运动速度为2cm/s ，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，连接BE ，设动点D 运动的时间为x （s ），AE 的长为y （cm ）． （1）求y 关于x 的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当x为何值时，△BDE 的面积S 有最大值？最大值为多少？解：（1）动点D 运动x 秒后，BD =2x ． 又∵AB =8，∴AD =8-2x ．∵DE ∥BC ，∴AC AE AB AD =，∴x x AE 2368)28(6-=-=， ∴y 关于x 的函数关系式为623+-=x y (0＜x ＜4)．（2）解：S △BDE =AE BD ⋅⋅21)623(221--⨯=x x =x x 6232+-(0＜x ＜4)．当2)23(26=-⨯-=x 时，S △BDE 最大，最大值为6cm 2．27．（本题9分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，D 是AC 中点，直线OD 与⊙O 相交于E ，F 两点，P 是⊙O 外一点，P 在直线OD 上，连接PA ，PC ，AF ，且满足∠PCA =∠ABC ． （1）求证：PA 是⊙O 的切线； （2）证明：OP OD EF ⋅=42； （3）若BC =8，tan∠AFP =32，求DE 的长．27题图 27题备用图（1）证明∵D 是弦AC 中点，∴OD ⊥AC ，∴PD 是AC 的中垂线，∴PA =PC ，∴∠PAC =∠PCA ． ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∴∠CAB +∠CBA =90°．又∵∠PCA =∠ABC ，∴∠PCA +∠CAB =90°，∴∠CAB +∠PAC =90°，即AB ⊥PA ，∴PA 是⊙O 的切线；（2）证明：由（1）知∠ODA =∠OAP =90°， ∴Rt△AOD ∽Rt△POA ，∴AODO PO AO =，∴OD OP OA ⋅=2． 又EF OA 21=，∴OD OP EF ⋅=241，即OD OP EF ⋅=42． （3）解：在Rt△ADF 中，设AD =a ，则DF =3a ．421==BC OD ，AO =OF =3a -4．∵222AO AD OD =+，即222)43(4-=+a a ，解得524=a ，∴DE =OE -OD =3a -8=532．28．（本题9分）如图，抛物线c bx x y ++=2的对称轴为直线x =2，抛物线与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为（-1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）将抛物线c bx x y ++=2图象x 轴下方部分沿x 轴向上翻折，保留抛物线在x 轴上的点和x 轴上方图象，得到的新图象与直线y =t 恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D ，E ，F ，G ．当以EF 为直径的圆过点Q （2，1）时，求t 的值；（3）在抛物线c bx x y ++=2上，当m ≤x ≤n 时，y 的取值范围是m ≤y ≤7，请直接写出x 的取值范围．28题图 28题备用图解：（1）抛物线的对称轴是x =2，且过点A (-1，0)点，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-⨯+-=-0)1()1(222c b b，∴⎩⎨⎧-==54c b ，∴抛物线的函数表达式为：542--=x x y ；（2）解：∵9)2(5422--=--=x x x y ，∴x 轴下方图象翻折后得到的部分函数解析式为：542++-=x x y =9)2(2+--x (-1＜x ＜5)，其顶点为(2，9)．∵新图象与直线y =t 恒有四个交点，∴0＜t ＜9． 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)． 由⎩⎨⎧++-==542x x y ty 得0542=-+-t x x ，解得t x --=921，t x -+=922∵以EF 为直径的圆过点Q (2，1)，∴1212x x t EF -=-=， 即|1|292-=-t t ，解得2331±=t ．又∵0＜t ＜9，∴t 的值为2331+；（3）x 的取值范围是：722-≤≤-x 或62535≤≤+x ．。
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2020年大庆市初中升学统一考试数学试题（考试时间120分钟，总分120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在﹣1，0，π，这四个数中，最大的数是（）A．﹣1 B．0 C．π D．2．天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2900000000km，数字2900000000用科学记数法表示为（）A．2.9×108B．2.9×109C．29×108D．0.29×10103．若|x+2|+（y﹣3）2＝0，则x﹣y的值为（）A．﹣5 B．5 C．1 D．﹣14．函数y＝的自变量x的取值范围是（）A．x≤0 B．x≠0 C．x≥0 D．x≥5．已知正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合k1•k2＞0的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④6．将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（）A．1 B．2 C．3 D．47．在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分．则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（）A．平均分B．方差C．中位数D．极差8．底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（）A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：99．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n 的值为（）A．10+或5+2B．15 C．10+D．15+310．如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH 的公共部分的面积为y．则当y＝时，x的值为（）A．或2+B．或2﹣C．2±D．或二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程）11．点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为．12．分解因式：a3﹣4a＝．13．一个周长为16cm的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为cm．14．将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若∠AOD＝108°，则∠COB＝．15．两个人做游戏：每个人都从﹣1，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为．16．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为．17．已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为．18．如图，等边△ABC中，AB＝3，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为．三、解答题（本大题共10小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（4分）计算：|﹣5|﹣（1﹣π）0+（）﹣1．20．（4分）先化简，再求值：（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x＝．21．（5分）解方程：﹣1＝．22．（6分）如图，AB，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M，从建筑物AB的顶点A测得M点的俯角为45°，从建筑物CD的顶点C测得M点的俯角为75°，测得建筑物AB的顶点A的俯角为30°．若已知建筑物AB的高度为20米，求两建筑物顶点A、C之间的距离（结果精确到1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）．23．（7分）为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如图的频数直方图，图中的a，b满足关系式2a＝3b．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120．请结合所给条件，回答下列问题．（1）求问题中的总体和样本容量；（2）求a，b的值（请写出必要的计算过程）；（3）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共1000名学生）24．（7分）如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．25．（7分）期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%，求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．26．（8分）如图，反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x﹣（k+1）的图象在第二象限的交点为A，在第四象限的交点为C，直线AO（O为坐标原点）与函数y＝的图象交于另一点B．过点A 作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两直线相交于点E，△AEB的面积为6．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）求点A，C的坐标和△AOC的面积．27．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D 作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：DN2＝BN•（BN+AC）；（3）若BC＝6，cosC＝，求DN的长．28．（9分）如图，抛物线y＝ax2+bx+12与x轴交于A，B两点（B在A的右侧），且经过点C（﹣1，7）和点D（5，7）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AD，经过点B的直线l与线段AD交于点E，与抛物线交于另一点F．连接CA，CE，CD，△CED的面积与△CAD的面积之比为1：7，点P为直线l上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t．当t为何值时，△PFB的面积最大？并求出最大值；（3）在抛物线y＝ax2+bx+12上，当m≤x≤n时，y的取值范围是12≤y≤16，求m﹣n的取值范围．（直接写出结果即可）答案与解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在﹣1，0，π，这四个数中，最大的数是（）A．﹣1 B．0 C．π D．【知识考点】算术平方根；实数大小比较．【思路分析】实数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【解题过程】解：根据实数比较大小的方法，可得﹣1＜0＜＜π，∴在这四个数中，最大的数是π．故选：C．【总结归纳】此题考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．2．天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2900000000km，数字2900000000用科学记数法表示为（）A．2.9×108B．2.9×109C．29×108D．0.29×1010【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解题过程】解：2900000000用科学记数法表示为2.9×109，故选：B．【总结归纳】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．若|x+2|+（y﹣3）2＝0，则x﹣y的值为（）A．﹣5 B．5 C．1 D．﹣1【知识考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．【思路分析】利用非负数的性质得出x，y的值，代入计算得出答案．【解题过程】解：∵|x+2|+（y﹣3）2＝0，∴x+2＝0，y﹣3＝0，解得：x＝﹣2，y＝3，故x﹣y＝﹣2﹣3＝﹣5．故选：A．【总结归纳】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题的关键．4．函数y＝的自变量x的取值范围是（）A．x≤0 B．x≠0 C．x≥0 D．x≥【知识考点】函数自变量的取值范围．【思路分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解题过程】解：根据题意可得：2x≥0，解得：x≥0，故选：C．【总结归纳】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．5．已知正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合k1•k2＞0的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④【知识考点】正比例函数的性质；反比例函数的性质．【思路分析】根据各个小题中的函数图象，可以得到k1和k2的正负情况，从而可以判断k1•k2的正负情况，从而可以解答本题．【解题过程】解：①中k1＞0，k2＞0，故k1•k2＞0，故①符合题意；②中k1＜0，k2＞0，故k1•k2＜0，故②不符合题意；③中k1＞0，k2＜0，故k1•k2＜0，故③不符合题意；④中k1＜0，k2＜0，故k1•k2＞0，故④符合题意；故选：B．【总结归纳】本题考查反比例函数的性质、正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6．将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（）A．1 B．2 C．3 D．4【知识考点】正方体相对两个面上的文字．【思路分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【解题过程】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“1”与“6”是相对面，“5”与“2”是相对面，“3”与“4”是相对面．故选：B．【总结归纳】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．7．在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分．则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（）A．平均分B．方差C．中位数D．极差【知识考点】算术平均数；中位数；极差；方差；统计量的选择．【思路分析】根据中位数的实际意义，通过比较去掉最高分和最低分前后的数据变化进行判断即可．【解题过程】解：原来7个数据，从小到大排列处在中间位置的那个数与去掉一个最高和一个最低后剩下的5个数中间位置的那个数是相同的，因此中位数不变，故选：C．【总结归纳】本题考查中位数、众数、平均数、极差的意义，理解各个概念的意义和计算方法是正确判断的前提．8．底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（）A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9【知识考点】圆锥的计算．【思路分析】设圆锥和圆柱的底面圆的半径为r，圆锥的高为h，则圆柱的高为3h，然后利用圆锥和圆柱的体积公式计算．【解题过程】解：设圆锥和圆柱的底面圆的半径为r，圆锥的高为h，则圆柱的高为3h，所以圆锥与圆柱的体积的比＝（×πr2×h）：（πr2×3h）＝1：9．故选：D．【总结归纳】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆柱．9．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n 的值为（）A．10+或5+2B．15 C．10+D．15+3【知识考点】勾股定理；相似三角形的性质．【思路分析】直接利用相似三角形的性质结合勾股定理分别得出符合题意的答案．【解题过程】解：当3，4为直角边，6，8也为直角边时，此时两三角形相似，不合题意；当3，4为直角边，m＝5；则8为另一三角形的斜边，其直角边为：＝2，故m+n＝5+2；当6，8为直角边，n＝10；则4为另一三角形的斜边，其直角边为：＝，故m+n＝10+；故选：A．【总结归纳】此题主要考查了相似三角形的性质，正确分类讨论是解题关键．10．如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH 的公共部分的面积为y．则当y＝时，x的值为（）A．或2+B．或2﹣C．2±D．或【知识考点】三角形的面积；正方形的性质；平移的性质．【思路分析】分两种情形：如图1中，当过A在正方形内部时，连接EG交MN于O，连接OF，设AB交EH于Q，AC交FG于P．如图2中，当点A在正方形外部时，分别求解即可解决问题．【解题过程】解：如图1中，当过A在正方形内部时，连接EG交MN于O，连接OF，设AB 交EH于Q，AC交FG于P．由题意，△ABC是等腰直角三角形，AQ＝OE＝OG＝AP＝OF，S△OEF＝1，∵y＝，∴S四边形AOEQ+S四边形AOFP＝1.5，∴OA•2＝1.5，∴OA＝，∴AM＝1+＝．如图2中，当点A在正方形外部时，由题意，重叠部分是六边形WQRJPT，S重叠＝S△ABC﹣2S△BQR﹣S△AWT，∴2.5＝××﹣1﹣×2AN×AN，解得AN＝，∴AM＝2+，综上所述，满足条件的AM的值为或2+，故选：A．【总结归纳】本题考查正方形的性质，平移变换，多边形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程）11．点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为．【知识考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【思路分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y）即求关于y轴的对称点时：纵坐标不变，横坐标变成相反数，据此即可解答．【解题过程】解：点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．【总结归纳】本题考查了关于x轴、y轴的对称点的坐标．解题的关键是掌握关于x轴、y轴的对称点的坐标的特征，关于y轴对称的两个点纵坐标不变，横坐标变成相反数．12．分解因式：a3﹣4a＝．【知识考点】提公因式法与公式法的综合运用．【思路分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．【解题过程】解：原式＝a（a2﹣4）＝a（a+2）（a﹣2）．故答案为：a（a+2）（a﹣2）【总结归纳】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13．一个周长为16cm的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为cm．【知识考点】三角形中位线定理．【思路分析】根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．即可求得结果．【解题过程】解：如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE＝BC．同理可得：DF＝AC，EF＝AB，∴DE+DF+EF＝（AB+BC+AC）＝16＝8（cm）．则三条中位线构成的三角形的周长为8cm．故答案为：8．【总结归纳】本题考查了三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．14．将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若∠AOD＝108°，则∠COB＝．【知识考点】余角和补角．【思路分析】根据∠COD＝90°，∠AOD＝108°，进而得出∠AOC的度数，根据∠COB＝∠AOB﹣∠AOC即可得出结论．【解题过程】解：∵∠COD＝90°，∠AOB＝90°，∠AOD＝108°，∴∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝108°﹣90°＝18°，∴∠COB＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣18°＝72°．故答案为：72°．【总结归纳】本题考查了角的计算及直角三角形，熟知角的和差计算方法是解答此题的关键．15．两个人做游戏：每个人都从﹣1，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为．【知识考点】列表法与树状图法．【思路分析】画树状图展示所有9种等可能的结果，找出其中两数的绝对值相等的结果数，然后根据概率公式求解．【解题过程】解：画树状图为：共有9种等可能的结果，其中两数的绝对值相等的结果数为5，所以两人所写整数的绝对值相等的概率＝．故答案为．【总结归纳】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．16．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为．【知识考点】规律型：图形的变化类．【思路分析】观察图形可得前几个图需要黑色棋子的个数，发现规律即可得第20个图需要黑色棋子的个数．【解题过程】解：观察图形可知：第1个图需要黑色棋子的个数为：3＝1×3；第2个图需要黑色棋子的个数为：8＝2×4；第3个图需要黑色棋子的个数为：15＝3×5；第4个图需要黑色棋子的个数为：24＝4×6；…发现规律：第n个图需要黑色棋子的个数为：n（n+2）；所以第20个图需要黑色棋子的个数为：20（20+2）＝440．故答案为：440．【总结归纳】本题考查了规律型﹣图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．17．已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为．【知识考点】根的判别式；根与系数的关系．【思路分析】根据判别式，根与系数的关系，二次函数的性质一一判断即可．【解题过程】解：∵x2﹣2x﹣a＝0，∴△＝4+4a，∴①当a＞﹣1时，△＞0，方程有两个不相等的实根，故①正确，②当a＞0时，两根之积＜0，方程的两根异号，故②错误，③方程的根为x＝＝1±，∵a＞﹣1，∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确，④若方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．则有32﹣6﹣a＜0，∴a＞3，故④正确，故答案为3．【总结归纳】本题考查一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．18．如图，等边△ABC中，AB＝3，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为．【知识考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；轨迹．【思路分析】根据已知条件证明△ABD≌△BCE，再得∠AFB＝120°，可得点F的运动轨迹是以点O为圆心，OA为半径的弧，此时∠AOB＝120°，OA＝，根据弧长公式即可得点F的运动路径的长度．【解题过程】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，∴在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∵∠AFE＝∠BAD+∠FBA＝∠CBE+∠FBA＝∠ABC＝60°，∴∠AFB＝120°，∴点F的运动轨迹是以点O为圆心，OA为半径的弧，如图，此时∠AOB＝120°，OA＝＝，所以弧AB的长为：＝．则点F的运动路径的长度为．故答案为：．【总结归纳】本题考查了轨迹、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．三、解答题（本大题共10小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（4分）计算：|﹣5|﹣（1﹣π）0+（）﹣1．【知识考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【思路分析】原式第一项绝对值计算，第二项利用零指数幂的法则计算，第三项利用负指数幂的法则计算，计算即可得到结果．【解题过程】解：|﹣5|﹣（1﹣π）0+（）﹣1＝5﹣1+3＝7．【总结归纳】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（4分）先化简，再求值：（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x＝．【知识考点】整式的混合运算—化简求值．【思路分析】根据整式的混合运算顺序先进行整式的化简，再代入值进行计算即可．【解题过程】解：原式＝x2+4x﹣5+x2﹣4x+4＝2x2﹣1，当x＝时，原式＝2（）2﹣1＝5．【总结归纳】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，解决本题的关键是先进行整式的化简，再代入值进行计算．21．（5分）解方程：﹣1＝．【知识考点】解分式方程．【思路分析】根据解分式方程的步骤解答即可．【解题过程】解：方程的两边同乘x﹣1，得：2x﹣x+1＝4，解这个方程，得：x＝3，经检验，x＝3是原方程的解，∴原方程的解是x＝3．【总结归纳】本题主要考查了解分式方程，会把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键．22．（6分）如图，AB，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M，从建筑物AB的顶点A测得M点的俯角为45°，从建筑物CD的顶点C测得M点的俯角为75°，测得建筑物AB的顶点A的俯角为30°．若已知建筑物AB的高度为20米，求两建筑物顶点A、C之间的距离（结果精确到1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）．【知识考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【思路分析】在Rt△ABM中，根据等腰直角三角形的性质求得AM，在Rt△AME中，根据正弦函数求得AE，在Rt△AEC中，根据正弦函数求得AC．【解题过程】解：∵AB⊥BD，∠BAM＝45°，∴∠AMB＝45°，∴∠AMB＝∠BAM，∴AB＝BM＝20，∴在Rt△ABM中，AM＝20，作AE⊥MC于E，由题意得∠ACM＝45°，∠CAM＝75°，∴∠AMC＝60°，∴在Rt△AME中，AM＝20，∵sin∠AME＝，∴AE＝sin60°•20＝×20＝10，在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，AE＝10，∴sin∠ACE＝，∴AC＝＝＝20≈35（米），答：两建筑物顶点A、C之间的距离约为35米．【总结归纳】本题考查了解直角三角形的应用，借助俯角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题关键．23．（7分）为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如图的频数直方图，图中的a，b满足关系式2a＝3b．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120．请结合所给条件，回答下列问题．（1）求问题中的总体和样本容量；（2）求a，b的值（请写出必要的计算过程）；（3）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共1000名学生）【知识考点】总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；频数（率）分布直方图．【思路分析】（1）根据总体和样本容量的定义即可得问题中的总体和样本容量；（2）根据表格所给数据先求出50.5～75.5的有4人，75.5～100.5的有16人，再根据a+b＝20，2a＝3b，即可求出a，b的值；（3）利用样本估计总体的方法即可估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人．【解题过程】解：（1）1000名学生一分钟的跳绳次数是总体，样本容量是：40；（2）由题意所给数据可知：50.5～75.5的有4人，75.5～100.5的有16人，∴a+b＝40﹣4﹣16＝20，∵2a＝3b，∴解得a＝12，b＝8，（3）1000×＝200（人），答：估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是200人．【总结归纳】本题考查了频数分布直方图、总体、个体、样本、样本容量、用样本估计总体，解决本题的关键是综合运用以上知识．24．（7分）如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．【知识考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质．【思路分析】（1）在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，可得AD∥BC，AO＝CO，可以证明△AOM≌△CON可得AM＝CN，进而证明四边形ANCM为平行四边形；（2）根据MN⊥AC，可得四边形ANCM为菱形；根据AD＝4，AB＝2，AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，即可在Rt△ABN中，根据勾股定理，求DM的长．【解题过程】（1）证明：∵在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，在△AOM和△CON中，，∴△AOM≌△CON（AAS），∴AM＝CN，∵AM∥CN，∴四边形ANCM为平行四边形；（2）解：∵在矩形ABCD中，AD＝BC，由（1）知：AM＝CN，∴DM＝BN，∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，∴平行四边形ANCM为菱形，∴AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，∴在Rt△ABN中，根据勾股定理，得AN2＝AB2+BN2，∴（4﹣DM）2＝22+DM2，解得DM＝．【总结归纳】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．25．（7分）期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%，求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．【知识考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．【思路分析】（1）设购买一个甲种笔记本需要x元，购买一个乙种笔记本需要y元，根据“购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元；购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m个甲种笔记本，则购买（35﹣m）个乙种笔记本，根据总价＝单价×数量结合此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数可得出最多购买甲种笔记本的个数，设购买两种笔记本总费用为w元，根据总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解题过程】解：（1）设购买一个甲种笔记本需要x元，购买一个乙种笔记本需要y元，依题意，得：，解得：．答：购买一个甲种笔记本需要10元，购买一个乙种笔记本需要5元．（2）设购买m个甲种笔记本，则购买（35﹣m）个乙种笔记本，依题意，得：（10﹣2）m+5×0.8（35﹣m）≤250×90%，解得：m≤21，又∵m为正整数，∴m可取的最大值为21．设购买两种笔记本总费用为w元，则w＝（10﹣2）m+5×0.8（35﹣m）＝4m+140，∵k＝4＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝21时，w取得最大值，最大值＝4×21+140＝224．答：至多需要购买21个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为224元．【总结归纳】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．26．（8分）如图，反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x﹣（k+1）的图象在第二象限的交点为A，。