2019届高考数学一轮复习：坐标系与参数方程课时训练选修4_含答案

选修4­4 坐标系与参数方程第1课时 坐 标 系1. (1) 将点M 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫4，143π化成直角坐标；(2) 将点N 的直角坐标(4，－43)化成极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．解：(1) ∵ x＝4cos 143π＝4cos 2π3＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2，y ＝4sin 143π＝4sin 2π3＝23，∴ 点M 的直角坐标是(－2，23)．(2) ∵ ρ＝42＋（－43）2＝8，tan θ＝－434＝－3，θ∈[0，2π)，又点(4，－43)在第四象限，∴ θ＝5π3，∴ 点N 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫8，5π3.2. 已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆心的极坐标．解：以极坐标系的极点为直角坐标系的原点O ，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系xOy. ∵ 圆C 的极坐标方程为ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0，∴ 圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6. ∴ 圆心的直角坐标为(1，－1)，则其极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4. 3. (2017·省扬中等七校联考)在极坐标系中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6，直线l ：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，求点P 到直线l 的距离．解：点P 的直角坐标为(3, 3), 直线l 的普通方程为x －y －4＝0, 从而点P 到直线l 的距离为|3－3－4|2＝2＋62.4. 已知点P(－1＋2cos α，2sin α)(其中α∈[0，2π))，点P 的轨迹记为曲线C 1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点Q 在曲线C 2：ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4上．(1) 求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2) 当ρ≥0，0≤θ<2π时，求曲线C 1与曲线C 2的公共点的极坐标．解：(1) 曲线C 1：(x ＋1)2＋y 2＝2，极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－1＝0，曲线C 2的直角坐标方程为y ＝x －1.(2) 曲线C 1与曲线C 2的公共点的坐标为(0，－1)，极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3π2.5. 在极坐标系中，求圆ρ2－4ρsin θ－5＝0截直线θ＝π3(ρ∈R )所得线段长．解：以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy.则圆ρ2－4ρsin θ－5＝0化为普通方程为x 2＋y 2－4y －5＝0，即x 2＋(y －2)2＝9.直线θ＝π3(ρ∈R )化为普通方程为y ＝3x ，即3x －y ＝0.圆心(0，2)到直线3x －y ＝0的距离为d ＝|3×0－2|3＋1＝1，于是所求线段长为29－d 2＝4 2.6. (2017·金陵中学质检)在极坐标系中，已知圆C 的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋7＝0，直线l 的极坐标方程为3ρcos θ－4ρsin θ＋a ＝0.若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．解：圆C 和直线l 的直角坐标方程分别为(x －2)2＋(y －2)2＝1，3x －4y ＋a ＝0. 因为圆C 与直线l 相切，所以d ＝|6－8＋a|5＝1，解得a ＝－3或a ＝7.7. 在极坐标系中，已知圆A 的圆心为(4，0)，半径为4，点M 为圆A 上异于极点O 的动点，求弦OM 中点的轨迹的极坐标方程．解：由题意知，圆A 的极坐标方程为ρ＝8cos θ， 设弦OM 中点为N(ρ，θ)，则M(2ρ，θ)，因为点M 在圆A 上，所以2ρ＝8cos θ，即ρ＝4cos θ. 又点M 异于极点O ，所以ρ≠0，所以弦OM 中点的轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ≠0)．8. 在极坐标系中，设直线θ＝π3与曲线ρ2－10ρcos θ＋4＝0相交于A ，B 两点，求线段AB 中点的极坐标．解：(解法1)将直线θ＝π3化为普通方程，得y ＝3x ，将曲线ρ2－10ρcos θ＋4＝0化为普通方程，得x 2＋y 2－10x ＋4＝0，联立⎩⎨⎧y ＝3x ，x 2＋y 2－10x ＋4＝0并消去y ，得2x 2－5x ＋2＝0， 解得x 1＝12，x 2＝2，所以AB 中点的横坐标为x 1＋x 22＝54，纵坐标为543，化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，π3. (解法2)联立直线l 与曲线C 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π3，ρ2－10ρcos θ＋4＝0，消去θ，得ρ2－5ρ＋4＝0，解得ρ1＝1，ρ2＝4，所以线段AB 中点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1＋ρ22，π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫52，π3.(注：将线段AB 中点的极坐标写成⎝ ⎛⎭⎪⎫52，π3＋2k π(k∈Z )亦可) 9. 在极坐标系中，已知三点A(4，0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫4，3π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，π6.(1) 若A ，B ，C 三点共线，求ρ的值；(2) 求过O(坐标原点)，A ，B 三点的圆的极坐标方程．解：(1) 由题意知点A ，B 的直角坐标分别为A(4，0)，B(0，－4)，所以直线AB 的方程是x －y －4＝0.因为点C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3ρ2，ρ2，所以3ρ2－ρ2－4＝0，所以ρ＝4(3＋1)． (2) 因为A(4，0)，B(0，－4)，O(0，0)，所以过O ，A ，B 三点的圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝8，整理得x 2＋y 2－4x ＋4y ＝0，即极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋4ρsin θ＝0，整理得ρ＝4cos θ－4sin θ.10. 在极坐标系中，设圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，圆心是直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：因为圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝32与极轴的交点，所以令θ＝0，得ρ＝1，即圆心是(1，0)．又圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，所以圆的半径r ＝3＋1－23cos π6＝1，所以圆过原点，所以圆C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ.11. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos φ，y ＝bsin φ(a ＞b ＞0，φ为参数)，且曲线C上的点M(2，3)对应的参数φ＝π3.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1) 求曲线C 的普通方程；(2) 若A(ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2是曲线C 上的两点，求1ρ21＋1ρ22的值． 解：(1) 将M(2，3)及对应的参数φ＝π3代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos φ，y ＝bsin φ(a>b>0，φ为参数)，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝acos π3，3＝bsin π3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2，所以曲线C 的普通方程为x 216＋y24＝1.(2) 曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ16＋ρ2sin 2θ4＝1，将A(ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2代入得ρ21cos 2θ16＋ρ21sin 2θ4＝1，ρ22sin 2θ16＋ρ22cos 2θ4＝1，所以1ρ21＋1ρ22＝516. 第2课时 参 数 方 程1. 已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t －2，y ＝4t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋3＝0.点P 在直线l 上，点Q 在曲线C 上，求PQ 的取值范围．解：直线l 的普通方程为4x －3y ＋8＝0； 曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝1，曲线C 是圆心为(2，0)，半径为1的圆．圆心到直线的距离d ＝|4×2－0＋8|5＝165，所以PQ 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫115，＋∞. 2. 已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2，y ＝t ，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，试判断直线l 与曲线C 的位置关系．解：直线l 的普通方程为2x －y －2＝0；曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，它表示圆． 由圆心到直线l 的距离d ＝45＝455＜2，得直线l 与曲线C 相交．3. 在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t为参数)平行的直线的普通方程．解：由题意知，椭圆的长半轴长为a ＝5，短半轴长为b ＝3，从而c ＝4，所以右焦点为(4，0)．将已知直线的参数方程化为普通方程得x －2y ＋2＝0，故所求的直线的斜率为12，因此所求的直线方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝7－2t (t 为参数)与椭圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝3sin θ(θ为参数，a ＞0)的一条准线的交点位于y 轴上，求实数a 的值．解：直线C 1：2x ＋y ＝9，椭圆C 2：y 29＋x2a2＝1(0＜a ＜3)，准线：y ＝±99－a2. 由99－a2＝9，得a ＝2 2. 5. 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t 3(t 为参数)，在以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，求曲线C 1与C 2的交点在直角坐标系中的直角坐标．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t 3，消去t 得曲线C 1的普通方程为y ＝33x (x≥0)； 由ρ＝2，得ρ2＝4，得曲线C 2的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x （x≥0），x 2＋y 2＝4，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1.故曲线C 1与C 2的交点坐标为(3，1)．6. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos t ，y ＝1＋asin t (t 为参数， a ＞0)，在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2∶ρ＝4cos θ.(1)求曲线C 1的普通方程，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a.解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0. (2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ，若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可解得1－a 2＝0，根据a ＞0，得到a ＝1，当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上，所以a ＝1.7. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ－2cos θ－6sin θ＋1ρ＝0，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)．(1) 求曲线C 的普通方程；(2) 若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(3，3)，求PA ＋PB 的值．解：(1) 曲线C 的极坐标方程为ρ－2cos θ－6sin θ＋1ρ＝0，可得ρ2－2ρcos θ－6ρsin θ＋1＝0， 可得x 2＋y 2－2x －6y ＋1＝0，曲线C 的普通方程：x 2＋y 2－2x －6y ＋1＝0.(2) 由于直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝3＋32t (t 为参数)．把它代入圆的方程整理得 t 2＋2t －5＝0，∴ t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－5. 又PA ＝|t 1|，PB ＝|t 2|，PA ＋PB ＝|t 1|＋|t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝2 6. ∴ PA ＋PB 的值为2 6.8. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝32，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝3sin t(t 为参数)． (1) 求直线l 的直角坐标方程与椭圆C 的普通方程；(2) 若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：(1) 由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝32 ，得ρ(32cos θ－12sin θ)＝32，即32x －12y ＝32，化简得y ＝3x －3，所以直线l 的直角坐标方程是y ＝3x － 3.由⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 32＝cos 2t ＋sin 2t ＝1，得椭圆C 的普通方程为x 24＋y 23＝1.(2) 联立直线方程与椭圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，x 24＋y 23＝1，消去y ，得x 24＋(x －1)2＝1，化简得5x 2－8x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝85，所以A(0，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，35 3或A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，35 3，B(0，－ 3)， 则AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－852＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－35 32＝165.9. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22＋rcos θ，y ＝－22＋rsin θ(θ为参数，r ＞0)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，若圆C 上的点到直线l的最大距离为3，求r 的值．解：圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22＋rcos θ，y ＝－22＋rsin θ(θ为参数，r ＞0)，消去参数θ得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋222＝r 2(r ＞0)，所以圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，半径为r.直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1， 化为普通方程为x ＋y －2＝0. 圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22到直线x ＋y －2＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－22－22－22＝2.∵ 圆C 上的点到直线l的最大距离为3，即d ＋r ＝3，∴ r ＝3－d ＝3－2＝1.10. 已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1) 求M 的轨迹的参数方程；(2) 将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解：(1) 由题意有，P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)， 因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)，M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0<α<2π)．(2) M 点到坐标原点的距离为d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π)， 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．11. 若以直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程是ρsin 2θ＝6cos θ.(1) 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；(2) 若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：(1) 由ρsin 2θ＝6cos θ，得ρ2sin 2θ＝6ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为y 2＝6x ，曲线是以原点为顶点，⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0为焦点的抛物线． (2) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32＋t 2，y ＝32t ，y 2＝6x ，化简得t 2－4t －12＝0，则t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝－12，所以AB ＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝8.。