02 PB 第二讲
物理竞赛讲义_静力学第二讲力平衡(一)答案
第二讲 力平衡（一）精选例题【例1】 如图所示一个均匀的质量为1m 的球挂在天花板上，从同一点挂一个重物质量为2m 。
问所成角度。
O 【解析】相对于点的总力矩为0.)m g (l +R )sin =m 12g R -(l +R sin θθ⎡⎤⎣⎦∴()1212sin []+R m (m +)m R l θ-=该题如果用变力分析去解题，对悬挂2m 的绳对大球的支持力的方向比较困难，而用力矩去解题，显得尤为简单【例2】 如图，重为G 木块用绳子悬挂在两个轻杆支架的交点P ，现给木块一个水平方向的F F 12N 、N 、T 作用力，缓慢增大并且系统保持平衡，求作用力的变化趋势。
N 【解析】可以采用图解法，分别考虑木块以及P 点的受力平衡，将二者的受力三角形画在同一个图中，利用几何相似三角形的方法可以得到三个力的变化趋势。
最后可得，不变，2N 1和T 增加。
【例3】 如图，一个半径为R 非均匀质量光滑的圆球，其重心不在球心O 处，先将它置于A 30︒B A B 30︒C O 水平地面上，平衡时球面上的点和地面接触；再将它置于倾角为的粗糙斜面上，平衡时球面上的点与斜面接触，已知到的圆心角也为，试求球体的重心到球心的距离.【解析】B BC A OA 放在斜面上，球受重力支持力和摩擦力，三力共点必过点的重心在过B 于平面垂直的直线上。
即，又放在水平面上点落地，则此时球受重力和支持力，则球重心必在连线上，则重心位置在C 点.CO==【例6】有一长l重为W的均匀杆AB，A顶端竖直的粗糙墙壁上，杆端与墙间的摩擦系数μB CθμθP A P WPB PA x 为，端用一强度足够而不可伸长的绳悬挂，绳的另一端固定在墙壁点，木杆呈水平状态，绳与杆的夹角为（如图），求杆能保持平衡时与应满足的条件。
杆保持平衡时，杆上有一点存在，若与点间挂一重物，则足够大可以破坏平衡了，而在间任一点悬挂任意重物均不能破坏平衡。
求距离. 【解析】受力分析coT Nsθ=力平衡siT f W Wnθ+=+A力矩平衡：以为支点，θ=Wsin2lTl W+x∴f=W+W-N tan≤Nθμ2W xtanθ=+N W∴0002l2lW Wx xW+W Wtanlμθ-+()≤(+W)∴00()2l2W W)≤(+WtanlW Wx xμθ+-①0W=ntaμθ≥当不挂生物,此即为不挂重物平衡的条件，可得②W0(1)2tan(+1)-W Wμxμθl tanθ-+≤W取穷大，则上式仍成立.∴μθl tan(1)+-1tanxl tanθθμ+≥0⇒x≥wr G【例7】有一个半径为a，高为4a，重为的两端开口的薄壁圆筒，现将筒竖放在光滑的水平面上，之后将半径为，重为的两个完全相同的光滑圆球放入筒内而呈叠放状态，如图，当<r 2<a 2a 时，试求使圆筒不翻倒的条件.【解析】方法一：先看一个直角三角形O 对进行受力分析∴cos sin T =G cot θθ=N T θ=N G ⇒22212-a r ar -a r N =G ar -a sin θG =G =再对筒受力分析A N A 考虑以为支点，考虑翻倒则地面给筒的支持力的作用点移到点.则不翻倒条件。
第2讲概率论复习及R相关应用
例 抛掷一枚硬币可能出现的两个结果，也可以
用一个变量来描述
X
( )
1, 0,
正面向上 反面向上
二、引入随机变量的意义 有了随机变量,随机试验中的各种事件， 就可以通过随机变量的关系式表达出来. 如：单位时间内某电话交换台收到的呼 叫次数用X表示，它是一个随机变量.
事件{收到不少于1次呼叫} { X 1}
{没有收到呼叫} {X= 0}
§2.1 随机变量的概念 随机变量的概念
定义 设E是一随机试验，S 是它的样本空间， 若
S 按一定法则 实数 X ()
则称 S 上的单值实值函数 X ( )为随机变量
随机变量一般用 X, Y , Z ,或小写希腊字母 , , 表示
如，若用X 表示电话总机在9:00~10:00接到 的电话次数，则
解：设x,y分别为甲、乙到达时刻(分钟) 令A={两人能会面}={(x,y)||x-y|≤20，x≤60,y≤60}
P(A)=A的面积/S的面积=（602-402）/602=5/9
三.概率的频率定义
例2：从同一型号同一批次的反坦克弹中任抽一 发反坦克弹射击目标，观测命中情况。设A代表 “命中”这一事件，求P(A)?
意义:
(1) 提供了估计概率的方法; (2)提供了一种检验理论正确与否的准则.
§1.3 条件概率
设试验的基本事件总数为n，事件A所 包含的基本事件总数为m，事件AB所包含 的基本事件总数为k。
PB A k k / n P(AB) m m / n P(A)
定义 设A、B为两事件, P ( A ) > 0 , 则
公式方法 两者 一般方法 联系
表示 方法
分布率 性 密度函数 质
正态标 准化
第02讲+离子反应+离子方程式-2024年高考化学一轮复习高频考点精讲(新教材新高考)
[归纳提升]
电离方程式书写的思维模型
专项突破
离子反应过程中溶液导电性变化的判断
1.下列几种导电性变化图像，把符合要求的图像字母填在相应的题目后面的括号中。 (1)向H2SO4溶液中加入等体积、等物质的量浓度 的Ba(OH)2溶液( D ) (2)向H2S溶液中通入Cl2直至过量( B ) (3)向AgNO3溶液中通入少量HCl( C ) (4)向氨水中通入HCl直至过量( B ) (5)向NaOH溶液中通入少量Cl2( C ) (6)向饱和石灰水中不断通入CO2( A )
_____________________________________________________。 答案：(1)H＋＋SO24－＋Ba2＋＋OH－===BaSO4↓＋H2O (2)2H＋＋SO24－＋Ba2＋＋2OH－===BaSO4↓＋2H2O
3.(1)联氨(N2H4)为二元弱碱，在水中的电离方程式与氨相似。联氨与 硫酸形成的酸式盐的化学式为________。
√
[解析]
HCl为强电解质，CH3COOH为弱电解质，滴加NH3·H2O， 先与HCl反应，生成同样为强电解质的NH4Cl，但溶液体 积不断增大，溶液稀释，所以电导率下降；当HCl被中 和 完 后 ， 继 续 与 CH3COOH 反 应 ， 生 成 CH3COONH4 ， 为强 电解质，所以电导率增大；HCl与CH3COOH均反应完后，继续滴加弱电解质 NH3·H2O，电导率变化不大，因为溶液被稀释，有下降趋势。
[例2]按要求书写下列电解质的电离方程式： ①Ba(OH)2：_B_a_(_O_H__)2_=_=_=_B__a_2＋__＋__2_O_H_－__； ②KAl(SO4)2：_K_A__l(_S_O__4)_2_=_=_=_K_＋__＋__A_l_3＋_＋ ___2_S_O_24_－_； ③CH3COOH：_C_H__3C__O_O__H____C_H__3_C_O_O__－_＋__H__＋_； ④H2CO3：_H_2_C_O__3 ___H__＋_＋__H__C_O_3－__、__H_C_O__－3____H__＋_＋__C_O__23－__； ⑤Cu(OH)2：_C_u_(_O_H__)_2 ___C__u_2＋__＋__2_O_H_－__； ⑥NaHSO4溶于水：_N_a_H__S_O_4_=_=_=_N__a_＋_＋__H_＋__＋__S_O_24_－_； ⑦NaHSO4熔融：_N__aH__S_O_4_(_熔__融__)=__=_=_N_a_＋_＋__H__S_O_－ 4__； ⑧NaHCO3：_N_a_H__C_O_3_=_=_=_N__a_＋_＋__H_C__O_－3_、__H__C_O__－3 ____H__＋_＋__C_O__23－__。
2023中考九年级数学分类讲解 - 第二讲 代数式(含答案)(全国通用版)
第二讲代数式专项一列代数式知识清单1.代数式：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或__________连接起来的式子叫做代数式.单独一个数或一个字母也是代数式.2.列代数式:（1）关键是理解并找出问题中的数量关系及公式；（2）要掌握一些常见的数量关系，如:路程＝速度×时间，工作总量=工作效率×工作时间，售价＝标价×折扣等；（3）要善于抓住一些关键词语，如:多、少、大、小、增长、下降等.特别地，探索规律列代数式这类考题是近几年中考的热点，这类题通常是通过对数字及图形关系分析，探索规律，并能用代数式反映这个规律.3. 代数式的值:用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式给出的运算计算出的结果，叫做代数式的值.这个过程叫做求代数式的值.考点例析例1 将x克含糖10％的糖水与y克含糖30％的糖水混合，混合后的糖水含糖（）A．20％B．+100%2x y⨯C．+3100%20x y⨯D．+3100%10+10x yx y⨯分析：根据题意，可知混合后糖水中糖的质量为（10%x+30%y）克，糖水的质量为（x+y）克，则混合后的糖水含糖为混合后的糖的质量除以糖水的质量再乘100%．例2将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为1，3，6，10，…，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为．分析：先根据已知图形中黑色圆点的个数得到第n个图形中黑色圆点的个数为()12n n+；然后判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除；再计算出第33个能被3整除的数在原数列中的序数，代入计算即可．归纳：解决数、式或图形规律探索题，通常从给出的一列数、一列式子或一组图形入手去探索研究，通过观察、分析、类比、归纳、猜想，找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论，并用含字母的代数式进行表示.跟踪训练1.某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（）A．先打九五折，再打九五折B．先提价50％，再打六折C．先提价30％，再降价30％D．先提价25％，再降价25％2.（2021·达州）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值为3，则输出的y值为___________.第2题图3.一组按规律排列的式子：a+2b，a2-2b3，a3+2b5，a4-2b7，…，则第n个式子是___________．4.下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形……依此规律，则第n个图形中三角形的个数是_______.第4题图专项二整式知识清单一、整式的加减1．相关概念：表示数或字母的_________的式子叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式；________与______统称为整式.所含字母_________，并且相同字母的_________也相同的项叫做同类项.2. 合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的________，且字母连同它的指数________.3. 去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号_______；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号_______.4. 整式的加减：几个整式相加减，如果有括号就_______，然后再____________.二、幂的运算1. 同底数幂的乘法：a m·a n=________(m，n是整数).2. 同底数幂的除法：a m÷a n=________ (a≠0,m，n是整数).3. 幂的乘方：（a m）n=_______ (m，n是整数).4. 积的乘方：（ab）n=_______(n是整数).三、整式的乘法1. 单项式乘单项式：把它们的__________、__________分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的___________作为积的一个因式.2. 单项式乘多项式：p(a+b+c)=pa+pb+pc.3. 多项式乘多项式：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq.4. 乘法公式：①平方差公式：(a+b)(a-b)=_________ ;②完全平方公式：(a±b)2 =a2±2ab+b2.四、整式的除法1. 单项式相除，把__________与__________分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的__________作为商的一个因式.2. 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以___________，再把所得的商相加. 考点例析例1 下列运算正确的是（）A．2x2 +3x3=5x5B．(-2x)3=-6x3C．(x+y)2=x2+y2D．(3x+2)(2-3x)=4-9x2分析：依次根据合并同类项法则、积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式进行判断.例2已知10a=20，100b=50，则1322a b++的值是（）A．2B．52C．3D．92分析：将100b变形为102b，根据同底数幂的乘法，将已知的两个式子相乘可得a+2b=3，整体代入求值．例3已知单项式2a4b-2m+7与3a2m b n+2是同类项，则m+n=__________.分析：根据同类项的定义，分别列出关于m，n的方程，求出m，n的值，再代入代数式计算.例4（2021·金华）已知x=16，求(3x-1)2+(1+3x)(1-3x)的值.分析：直接运用完全平方公式、平方差公式将式子展开，然后合并同类项化简，再将x=16代入求值.解：归纳：整式化简求值的关键是把原式化简，然后代入题目中的已知条件求值，其大致步骤可以简记为：一化，二代，三计算．需注意：①无论题目是否指定解题步骤，都应先化简后代入求值；①代入求值时，若代入的是负数或求分数的乘方时要注意添加括号；①当条件给定字母之间的关系时，代入则需要运用整体代入法.跟踪训练1.下列单项式中，a2b3的同类项是（）A．a3b2B．2a2b3C．a2b D．ab32.下列计算中，正确的是（ ） A ．a 5·a 3=a 15 B ．a 5÷a 3=a C ．()423812a b a b -=D ．()222a b a b +=+3.计算：()23a b -=（ ）A ．621a b B ．62a bC ．521a b D ．32a b -4.下列运算正确的是（ ）A ．3a+2b=5abB ．5a 2-2b 2=3C ．7a+a=7a 2D ．（x -1）2=x 2+1-2x 5.计算：（x+2y ）2+(x -2y)(x+2y)+x(x -4y).6.先化简，再求值：（x ﹣3）2+（x +3）（x ﹣3）+2x （2﹣x ），其中x ＝﹣12．专项三 因式分解知识清单1. 定义：把一个多项式化成几个整式的 的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解.2. 因式分解的基本方法：（1）提公因式法：ma+mb+mc = _____________.:::⎧⎪⎨⎪⎩系数取各项系数的最大公约数公因式的确定字母取各项相同的字母指数取各项相同字母的最低次数 （2）公式法：①平方差公式：a 2-b 2=_____________; ②完全平方公式：a 2±2ab+b 2 =___________.3. 因式分解的一般步骤：一提（公因式）；二套（公式）；三检验（是否彻底分解）. 考点例析例1 因式分解：1-4y 2=（ ）A .（1-2y ）(1+2y)B . (2-y)(2+y)C . (1-2y)(2+y)D . (2-y)(1+2y) 分析：先将4y 2化为(2y)2，然后用平方差公式分解因式. 例2 已知xy =2，x -3y =3，则2x 3y -12x 2y 2+18xy 3= ______.分析：先提取多项式中的公因式2xy ，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解，最后将xy =2，x -3y =3代入其中求值.归纳：若一个多项式有公因式，应先提取公因式，多项式是二项式优先考虑用平方差公式继续分解，多项式是三项式优先考虑用完全平方公式继续分解，直到不能分解为止.跟踪训练1.因式分解：x3﹣4x＝（）A．x（x2﹣4x）B．x（x+4）（x﹣4）C．x（x+2）（x﹣2）D．x（x2﹣4）2.多项式2x3-4x2+2x因式分解为（）A．2x（x-1）2 B．2x（x+1） 2 C．x（2x-1） 2 D．x（2x+1） 23.因式分解：m2﹣2m=________．4.计算：20212-20202=________．5.因式分解：24ax+ax+a= ___________．6.若m+2n=1，则3m2+6mn+6n的值为___________．7.先因式分解，再计算求值：2x3-8x，其中x=3．专项四分式知识清单一、分式的相关概念1. 定义：如果A，B表示两个整式，并且B中含有_________，那么式子AB叫做分式.分式AB中，A叫做分子，B叫做分母.2. 分式有意义和值为0的条件（1）分式AB有意义⇔_________;（2）分式AB的值为0⇔_________.二、分式的基本性质1. 基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个_____________，分式的值不变.2. 约分：把一个分式的分子与分母的____________约去，叫做分式的约分. 约分的结果必须是最简分式或整式，最简分式是分子、分母没有公因式的分式.3. 通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的____________的分式，叫做分式的通分.通分的关键是确定各分式的____________.三、分式的运算1. 分式的加减同分母分式相加减:a bc c±=____________；异分母分式相加减:a c ad bcb d bd bd±=±=____________.2. 分式的乘除乘法法则：a c b d ⋅=___________；除法法则：a c a d b d b c÷=⋅=___________.3. 分式的乘方法则:把分子、分母分别乘方，如na b ⎛⎫ ⎪⎝⎭=___________. 4. 分式的混合运算:先算___________，再算___________，最后算加减，有括号的先算括号里面的. 考点例析例1 不论x 取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ） A ．x+1 B ．x 2-1C ．11x + D ．（x+1）2分析：选项A ，B ，D 中都能得到代数式的值为0时x 的值，而选项C 中，分式的分子是1，所以11x +不可能为0．归纳：分式值为0要关注两个条件:（1）分子为0；（2）分母不为0.例2 化简221111a a a ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭的结果是（ ） A ．a +1 B ．1a a+ C ．-1a aD ．21a a +分析：根据分式的混合运算法则，先将括号内的两项通分合并，同时将除式中多项式因式分解，再将除法转化为乘法约分化简即可．归纳：分式的化简中，应注意以下几点:（1）若分子、分母为多项式，则应先分解因式，能约分的先约分，再计算；（2）化简过程中要特别注意常见的符号变化，如ｘ-ｙ＝-(ｙ-ｘ)，-ｘ-ｙ＝-(ｘ+ｙ)等；ꎻ （3）在分式和整式加减运算中，通常把整式看成分母为“１”的“分式”，再进行计算； （4）分式运算的最终结果应是最简分式或整式．例3 先化简，再求值：22121121x x x x x x ++⎛⎫+-÷ ⎪+++⎝⎭，其中x 满足x 2-x-2=0．分析：先把原式化简，然后求出方程x 2-x-2=0的解，根据分式有意义的条件确定x 的值，代入计算即可． 解：跟踪训练 1.要使分式12x +有意义，则x 的取值应满足（ ） A ．x≠0B ．x≠-2C ．x ≥-2D ．x ＞-22.计算24541a a a a a --⎛⎫÷+- ⎪⎝⎭的结果是（ ） A ．22a a +-B ．22a a -+C ．()()222a a a-+ D ．2a a+3.已知非零实数x ，y 满足1xy x =+，则3x y xy xy -+的值等于_________．4.已知()()261212ABx x x x x --=----，求A ，B 的值．5.先化简22111369a a a a a a ⎛⎫-+--÷ ⎪--+⎝⎭，然后从-1，0，1，3中选一个合适的数作为a 的值代入求值．专项五 二次根式知识清单一、二次根式的有关概念1. 二次根式：一般地，形如 (a≥0)的式子叫做二次根式．2. 最简二次根式：（1）被开方数不含 ；（2）被开方数中不含 的因数或因式．满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 二、二次根式的性质 （1）2＝ （a ≥0） ；（2a＝（3= （a ≥0，b ≥0）； （4= （a ≥0，b ＞0）．三、二次根式的运算1. 二次根式的加减：先将二次根式化成 ，再将被开方数相同的二次根式进行合并．2. 二次根式的乘除：（1＝ （a≥0，b≥0）． （2= （a≥0，b ＞0）． 考点例析 例1 函数()02y x =-的自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≥-1 B ．x ＞2 C ．x ＞-1且x ≠2 D ．x ≠-1且x ≠2分析：根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂的概念列不等式组求解．（a ≥0）， （a <0）；归纳：（1）被开方数ａ≥０；ꎻ（2）观察参数是否在分母位置，分母不能为０；ꎻ （3）观察参数是否有在０次幂的底数位置，底数不能为０. 例2 下列运算正确的是（ ）A 3B ．4=C =D 4=分析：根据二次根式的加、减、乘、除运算法则逐个计算后判断．例3 计算：222122122⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+---．分析：先利用绝对值的性质去掉绝对值符号，同时将后面两个完全平方式展开或利用平方差公式计算，最后再进行加减运算． 解：归纳：进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式、因式分解等来简化运算． 跟踪训练1.0x 的取值范围是（ ）A ．x ＞-1B ．x ≥-1且x ≠0C ．x ＞-1且x ≠0D ．x ≠02.2，5，m ）A ．2m-10B ．10-2mC ．10D ．43.设6a ，小数部分为b ，则(2a b +的值是（ ）A ．6B ．C ．12D ．4.计算=____________．5.的结果是 _____．6.这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a b =则ab=1，记11111S a b =+++，2221111S a b =+++，…，1010101111S a b =+++，则1210S S S +++=__________．专项六 代数式中的数学思想1.整体思想整体思想是指用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法.本讲中求代数式的值时，将某一已知代数式的值作为整体代入计算，就运用了整体思想.例1 已知x-y=2，111x y-=，求x2y-xy2的值．11y=变形后得到y-x=xy，再将x2y-xy2因式分解后，整体代入计算．解：2.从特殊到一般的思想从特殊到一般的思想是指在解决问题时，以特殊问题为起点，抓住数学问题的特点，逐步分析、比较、讨论，层层深入，从解决特殊问题的规律中，寻找解决一般问题的方法和规律，又用以指导特殊问题的解决. 例2 观察下列树枝分杈的规律图，若第n个图树枝数用Y n表示，则Y9-Y4=（）A．15×24 B．31×24 C．33×24 D．63×24分析：根据前几个图中的树枝数，可发现树枝分杈的规律为Y n=2n-1①从而可求出Y9-Y4．跟踪训练1.已知x2-3x-12=0，则代数式-3x2+9x+5的值是（）A．31 B．-31 C．41 D．-412.按一定规律排列的单项式：a2①4a3①9a4①16a5①25a6①…，第n个单项式是（）A．n2a n+1B．n2a n-1C．n n a n+1D．（n+1）2a n3.若1136xx+=，且0＜x＜1，则221xx-=_______．4.如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有________个交点.第4题图参考答案专项一 列代数式例1 D 例2 1275 1．B 2．2 3．()12112n nn a b +-+-⋅ 4．n 2+n -1专项二 整 式例1 D 例2 C 例3 3例4 解：原式=9x 2-6x+1+1-9x 2=-6x+2.当x=16时，原式=-6×16+2=1.1．B 2．C 3．A 4．D5．解：原式=x 2+4xy+4y 2+x 2-4y 2+x 2-4xy=3x 2．6．解：原式＝x 2﹣6x +9+x 2﹣9+4x ﹣2x 2＝﹣2x ．当x ＝﹣12时，原式＝﹣2×12⎛⎫- ⎪⎝⎭＝1． 专项三 因式分解例1 A 例2 361．C 2．A 3．m （m-2） 4．4041 5．()224a x + 6．37. 解:原式=2x(x 2-4)=2x(x+2)(x-2). 当x=3时，原式=2×3×（3+2）（3-2）=30.专项四 分 式例1 C 例2 B例3 解：原式=2221+12121x x x x x x +-+÷+++=()()2+2+112x x x x x ⋅++=x （x +1）=x 2+x ． 解方程x 2-x-2=0，得x 1=2,x 2=-1． 因为x+1≠0①所以x≠-1． 当x=2时，原式=22+2=6． 1．B 2．A 3．44．解：因为12A B x x ---=()()()()2112A x B x x x -+---=()()()212A+B x A B x x ----=()()2612x x x ---，所以22 6.A B A B +=⎧⎨--=-⎩，解得42.A B =⎧⎨=-⎩，5．原式＝()()()22113331a a a a a a --+--⋅-+＝()()()2113331a a a a a a +--+-⋅-+＝()()221331a a a a +-⋅-+=2a ﹣6． 因为a ＝-1或a ＝3时，原式无意义，所以a 只能取1或0． 当a ＝1时，原式＝2﹣6＝﹣4．（当a ＝0时，原式＝﹣6）专项五 二次根式例1 C 例2 C例3 解：原式112-=441．C 2．D 3．A 4．3 5．6．10专项六代数式中的数学思想例11-=，所以y-x=xy．因为x-y=2，所以y-x=xy=-2．y所以原式=xy(x-y)=-2×2=-4．例2 B1．B 2．A 3．-654．19036。
第二讲 双曲线中常用的结论及解法技巧(学生版)
C． 3
D． 2
【4】设双曲线 C
x2
：
a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
的左焦点为 F
，直线 4x 3y 20
0 过点 F
且与 C 在第二象限的交点为 P ，O 为原点， OP OF ,则双曲线 C 的离心率为（ ）
【例
9】如图，已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0的左、右焦点分别为 F1, F2 ，|
F1F2
|
4，
P 是双曲线右支上的一点， F2P 与 y 轴交于点 A ， APF1 的内切圆在 PF1 上的切点为 Q ，
若 | PQ | 1 ，则双曲线的离心率是（ ）
4
A． 3
B． 2
C． 3
D． 2
则（1）|
PF1
||
PF2
|
2b2 1 cos
；（2）双曲线的焦点角形的面积为
S F1PF2
b2 ．
tan
2
3．过双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0 上任一点
A(x0 ,
y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双
曲线于 B,C
两点，则直线 BC 有定向且 kBC
b2 x0 a2 y0
（常数）．
x a
2 2
y2 b2
1a 0,b 0上关于原点对称的任意两点， B 是双曲
线上其它任意一点，直线
A1B, A2B 的斜率存在，则 k A1B
k A2B
b2 a2
．
2．双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
初二-第02讲-直角三角形(培优)-教案
学科教师辅导讲义学员编号：年级：八年级(下)课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第02讲-直角三角形授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①掌握直角三角形的性质与判定方法；②进一步掌握推理证明的方法，培养演绎推理能力；授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识梳理1、直角三角形的性质和判定方法定理：直角三角形的两个锐角互余。
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。
2、勾股定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
3、勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
4、逆命题、逆定理互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个体系搭建命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆命题。
5、斜边、直角边定理定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。
考点一：直角三角形全等的判定例1、在如图中，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则下列结论中不正确的是（）A．△ABE≌△ACF B．点D在∠BAC的平分线上C．△BDF≌△CDE D．点D是BE的中点【解析】选D．例2、如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动4分钟后△CAP与△PQB全等．【解析】∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，∴∠A=∠B=90°，设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；则BP=xm，BQ=2xm，则AP=（12﹣x）m，分两种情况：①若BP=AC，则x=4，AP=12﹣4=8，BQ=8，AP=BQ，∴△CAP≌△PBQ；②若BP=AP，则12﹣x=x，解得：x=6，BQ=12≠AC，此时△CAP与△PQB不全等；综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；故答案为：4．例3、如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由．【解析】（1）全等，理由是：∵∠1=∠2，∴DE=CE，∵∠A=∠B=90°，AE=BC，∴Rt△ADE≌Rt△BEC；P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（）A．一锐角对应相等B．两锐角对应相等C．一条边对应相等D．两条直角边对应相等【解析】选：D．2、如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（）A．∠BAC=∠BAD B．AC=AD或BC=BDC．AC=AD且BC=BD D．以上都不正确【解析】从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，也是公共边．跟据“HL”定理，证明Rt△ABC≌Rt△ABD，还需补充一对直角边相等，即AC=AD或BC=BD，故选B．3、如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C=55°，则∠ABC的度数是（）A．35°B．55°C．60°D．70°【解析】∵CD⊥BD，∠C=55°，∴∠CBD=90°﹣55°=35°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠CBD=2×35°=70°．故选D．4、如图，△ABC中，CD⊥AB于D，且E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于（）A．5 B．6C．7 D．8【解析】∵△ABC中，CD⊥AB于D，∴∠ADC=90°．∵E是AC的中点，DE=5，∴AC=2DE=10．∵AD=6，∴CD===8．故选D．5、如图，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，还需添加条件AC=BD或BC=AD或∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA．（只需写出符合条件一种情况）【解析】∵AC⊥BC，AD⊥DB，∴∠C=∠D=90°∵AB为公共边，要使△ABC≌△BAD∴添加AC=BD或BC=AD或∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA后可分别根据HL、HL、AAS、AAS判定△ABC≌△BAD．6、如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=30°，当∠A=60°或90°时，△AOP为直角三角形．【解析】若∠APO是直角，则∠A=90°﹣∠AON=90°﹣30°=60°，若∠APO是锐角，∵∠AON=30°是锐角，∴∠A=90°，综上所述，∠A=60°或90°．故答案为：60°或90°．7、如图，在直角三角形ABC中，斜边上的中线CD=AC，则∠B等于30°．【解析】∵CD是斜边AB上的中线，∴CD=AD，又CD=AC，∴△ADC是等边三角形，∴∠A=60°，∴∠B=90°﹣∠A=30°．故答案为：30°．8、底角为30°，腰长为a的等腰三角形的面积是a2．【解析】如图，过点A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等腰三角形，∴BC=2BD，∵底角∠B=30°，∴AD=AB=a，由勾股定理得，BD==a，∴BC=2BD=a，∴三角形的面积=×a×a=a2．故答案为a2．9、如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．【解析】证明：（1）∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B；（2）在Rt△AFC中，∠CFA=90°﹣∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED=90°﹣∠DAE．又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠DAE，∴∠AED=∠CFE，又∵∠CEF=∠AED，∴∠CEF=∠CFE．10、已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=15°．过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D，求△ACD的周长．【解析】如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=15°，∴∠B=∠ACB=15°，∴∠DAC=2∠B=30°．又∵CD⊥BA，∴CD=AC=1，∴根据勾股定理得到AD==，∴△ACD的周长=AD+CD+AC=+1+2=+3．答：△ACD的周长是+3．➢课后反击1、要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（）①有两条直角边对应相等；②有两个锐角对应相等；③有斜边和一条直角边对应相等；④有一条直角边和一个锐角相等；⑤有斜边和一个锐角对应相等；⑥有两条边相等．A．6个B．5个C．4个D．3个【解析】故选B2、如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（）A．HL B．AASC．SSS D．ASA【解析】∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠AEO=∠AFO=90°，又∵OE=OF，AO为公共边，∴△AEO≌△AFO．故选A．3、直角三角形两个锐角平分线相交所成的钝角的度数为（）A．90°B．135°C．120°D．45°或135°【解析】如图：∵AE、BD是直角三角形中两锐角平分线，∴∠OAB+∠OBA=90°÷2=45°，两角平分线组成的角有两个：∠BOE与∠EOD这两个角互补，根据三角形外角和定理，∠BOE=∠OAB+∠OBA=45°，∴∠EOD=180°﹣45°=135°，故选B．4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC的面积分成相等的两部分，则∠CDA=（）A．30°B．45°C．60°D．75°【解析】如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，∴AC=AB，又∵过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC的面积分成相等的两部分，∴AD=BD∴AC=AD，∵∠A=60°，∴△ADC是等边三角形，∴∠CDA=60°．5、如图，△ABC中，AB=AC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则DE 的长为（）A．10 B．6C．8 D．5【解析】∵AB=AC=10，AD平分∠BAC，∴BD=DC，∵E为AC的中点，∴DE=AB=×10=5，故选D．6、如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是AC=DE．【解析】AC=DE，理由是：∵AB⊥DC，∴∠ABC=∠DBE=90°，在Rt△ABC和Rt△DBE中，，∴Rt△ABC≌Rt△DBE（HL）．故答案为：AC=DE．7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B=50°，则∠ACB′= 10°．【解析】∵∠ACB=90°，∠B=50°，∴∠A=40°，∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，∴CD=BD，CD=AD，∴∠BCD=∠B=50°，∠DCA=∠A=40°，由翻折变换的性质可知，∠B′CD=∠BCD=50°，∴∠ACB′=∠B′CD﹣∠DCA=10°，故答案为：10°．8、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为6．【解析】∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠DAE=∠B=30°，∴∠ADC=60°，∴∠CAD=30°，∴AD为∠BAC的角平分线，∵∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=3，∵∠B=30°，∴BD=2DE=6，故答案为：6．9、如图所示，AB⊥BC，DC⊥AC，垂足分别为B，C，过D点作BC的垂线交BC于F，交AC于E，AB=EC，试判断AC和ED的长度有什么关系并说明理由．【解析】AC=ED，理由如下：∵AB⊥BC，DC⊥AC，ED⊥BC，∴∠B=∠EFC=∠DCE=90°．∴∠A+∠ACB=90°，∠CEF+∠ACB=90°．∴∠A=∠CEF．在△ABC和△ECD中，∴△ABC≌△ECD（ASA）．∴AC=ED（全等三角形的对应边相等）．10、在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于D，CE是△ABC的角平分线．（1）求∠DCE的度数．（2）若∠CEF=135°，求证：EF∥BC．【解析】∵∠B=30°，CD⊥AB于D，∴∠DCB=90°﹣∠B=60°．S(Summary-Embedded)——归纳总结重点回顾1、直角三角形的性质和判定方法定理：直角三角形的两个锐角互余。
第二讲流体静力学基本方程及其应用
第二讲流体静力学基本方程及其应用【学习要求】1．理解流体静力学方程的意义；2．掌握流体静力学方程的应用。
【预习内容】1．在均质流体中，流体所具有的与其所占有的之比称为。
任何流体的密度都随它的和而变化，但对液体的密度影响很小，可忽略，故常称液体为的流体。
2．流体静压力的两个重要特性分别是：（1）；（2）。
3．1atm = mmHg = Pa = mH2O【学习内容】一、流体静力学基本方程式1．流体静力学基本方程式的形式p2 = p1+ ρ ( z1—z2 )g 或p2 = p1+ hρg流体静力学方程表明：在重力作用下静止液体内部的变化规律。
即在液体内部任一点的流体静压力等于。
2．流体静力学基本方程式的意义流体静力学方程表明：（1）当作用于流体面上方的压强有变化时；（2）当流体面上方的压强一定时，静止流体内部任一点压强的大小与流体本身的和有关，因此在的的同一液体处，处在都相等。
二、流体静力学基本方程式的应用1．流体进压强的测量（1）U形管压差计①U形管压差计由、及管内指示液组成。
②指示液要与被测流体不，不起，其密度要，通常采用的指示液有、、及等。
③U形管压差计可用来测量压强差，也可以用来测量或。
【典型例题】例1用U形管测量管道中1、2两点的压强差。
已知管内流体是水，指示液是密度为1595 kg／m3的CCl4，压差计读数为40cm，求压强差(p1– p2)。
若管道中的流体是密度为2.5kg／m3的气体，指示液仍为CCl4，U形管读数仍为40cm，则管道中1、2两点的压强差是多少Pa？【例2】某蒸汽锅炉用本题附图中串联的汞-水U形管压差计以测量液面上方的蒸气压。
已知汞液面与基准面的垂直距离分别为h1 = 2.3 m，h2 = 1.2 m,h3 = 2.5 m,h4 = 1.4m,两U形管间的连接管内充满了水。
锅炉中水面与基准面的垂直距离h5 = 3.0m，大气压强p a = 99kPa。
试求锅炉上方水蒸汽的压强p0为若干（Pa）？【随堂练习】1．大气压强为750mmHg时，水面下20m深处水的绝对压强为多少Pa？2．水平导管上的两点接一盛有水银的U形管压差计（如图所示），压差计读数为26mmHg。
第二讲纳什均衡
美苏军备竞赛
前苏联
扩军 扩军
美 国 －2000 －2000
裁军
－∞ 8000
裁军
－∞
8000
0 0
扩军
百万裁军的论证
• 背景：世界力量的多元化，使得相互制约格局已形成。 背景：世界力量的多元化，使得相互制约格局已形成。各方面的力量都 在发展，绝对的强弱关系让位于相对的强弱关系。 在发展，绝对的强弱关系让位于相对的强弱关系。相对强的一方并不足 于把对方吃掉，相对弱的一方已经有力量做相当的抗争。 于把对方吃掉，相对弱的一方已经有力量做相当的抗争。 • • • 1984年前后，军委主席邓小平同志主持中国人民解放军百万大裁军。 年前后，军委主席邓小平同志主持中国人民解放军百万大裁军。 年前后 博弈双方有三个可供选择的策略：成本为 亿的扩军； 博弈双方有三个可供选择的策略：成本为2000亿的扩军；一个是预算为 亿的扩军 0的不设防策略；一个为成本为500亿美元的有限军备策略 的不设防策略；一个为成本为 的不设防策略 亿美元的有限军备策略 如果都采取有限军备，双方均占不到便宜，盈利为－ 亿美元； 如果都采取有限军备，双方均占不到便宜，盈利为－500亿美元；一个 亿美元 为有限军备，另一个为扩军，则扩军一方获利 亿美元， 为有限军备，另一个为扩军，则扩军一方获利400亿美元，其纯盈利为 亿美元 400－2000＝－ － ＝－1600亿美元，有限军备的一方，损失为 亿美元， 亿美元， ＝－ 亿美元 有限军备的一方，损失为1000亿美元，其纯 亿美元 盈利为－ ＝－1500亿美元；其余同上 亿美元； 盈利为－1000－500＝－ － ＝－ 亿美元
上策均衡法
• 上策均衡：一个博弈的某个策略组合中的所有策略都是 上策均衡： 各个博弈方各自的上策
高中数学第二讲直线与圆的位置关系五与圆有关的比例线段教材梳理素材
五 与圆有关的比例线段庖丁巧解牛知识·巧学一、相交弦定理1。
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
2。
定理的证明：如图2-5—2,已知⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于圆内的一点P 。
图2—5-2求证:PA·PB=PC·PD.证明：连结AC 、BD ，则由圆周角定理有∠B=∠C,又∵∠BPD=∠CPA，∴△APC∽△DPB.∴PA∶PD=PC∶PB，即PA·PB=PC·PD.当然，连结AD 、BC 也能利用同样道理，证得同样结论。
3。
由于在问题的证明中，⊙O 的弦AB 、CD 是任意的，因此,PA·PB=PC·PD 成立,表明“过圆内一定点P 的弦,被P 点分成的两条线段长的积应为一个定值”.虽然过定点P 的弦有无数多条，然而在这众多的弦中有一些长度比较特殊的弦，如过点P 的最长或最短的弦，通过它们可以找到定值。
图2-5-3如图2—5-3(1），考察动弦AB ，若AB 过⊙O 的圆心O ，则AB 为过点P 的最长的弦,设⊙O 的半径为R ，则PA·PB=（R+OP ）(R —OP ）。
如图2-5—3（2）,考察过点P 的弦中最短的弦，AB 为过⊙O 内一点P 的直径,CD 为过点P 且垂直于AB 的弦，显然，由垂直定理和相交弦定理,应有PA·PB=PC·PD=（21CD)2=OC 2—OP 2= R 2-OP 2。
由于⊙O 是定圆，P 为⊙O 内一定点，故⊙O 的半径R 与OP 的长为定值.设OP=d,比较上述两式，其结论是一致的，即PA·PB=（R+d ）（R-d ）=R 2-d 2，为定值.于是，相交弦定理可进一步表述为：“圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积为一定量，它等于圆的半径与交点到圆心距离的平方差.”定圆的任一弦被定点分得两线段长的积为定值，这个定值与点P 的位置有关,对圆内不同的点P,一般来说,定值是不同的，即这个定值是相对于定点P 与定圆O 而言的。
2 第2讲 空间几何体的表面积与体积
第2讲 空间几何体的表面积与体积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及其侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面 展开图侧面 积公式 S 圆柱侧 ＝2πrlS 圆锥侧 ＝πrlS 圆台侧＝ π(r ＋r ′)l表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱)S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝S 底h 锥体 (棱锥和圆锥)S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝13S 底h台体 (棱台和圆台)S 表面积＝S 侧 ＋S 上＋S 下 V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h 球 S ＝4πR 2V ＝43πR 3常用知识拓展1．正方体的棱长为a ，外接球的半径为R ，内切球的半径为r . (1)若球为正方体的外接球，则2R ＝3a . (2)若球为正方体的内切球，则2r ＝a . (3)若球与正方体的各棱相切，则2R ′＝2a .2．长方体的共顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积．( ) (3)球的体积之比等于半径比的平方．( )(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( ) (5)长方体既有外接球又有内切球．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×以长为a ，宽为b 的矩形的一边所在的直线为轴旋转一周所得圆柱的侧面积为( )A ．abB ．πabC ．2πabD ．2ab解析：选C.若以长边所在的直线为轴旋转，则S 侧＝2πab ，若以短边所在的直线为轴旋转，则S 侧＝2πba .所以S 圆柱侧＝2πab ，故选C.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3 C.323cm 3 D.403cm 3 解析：选C.由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2 cm 的正方体，体积V 1＝2×2×2＝8(cm 3)；上面是底面边长为2 cm ，高为2 cm 的正四棱锥，体积V 2＝13×2×2×2＝83(cm 3)，所以该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝323(cm 3)．(2018·高考天津卷)如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1BB 1D 1D 的体积为____________．解析：法一：连接A 1C 1交B 1D 1于点E ，则A 1E ⊥B 1D 1，A 1E ⊥BB 1，则A 1E ⊥平面BB 1D 1D ，所以A 1E 为四棱锥A 1BB 1D 1D 的高，且A 1E ＝22，矩形BB 1D 1D 的长和宽分别为2，1，故VA 1BB 1D 1D ＝13×1×2×22＝13.法二：连接BD 1，则四棱锥A 1BB 1D 1D 分成两个三棱锥B -A 1DD 1与B -A 1B 1D 1，V A 1BB 1D 1D＝V B A 1DD 1＋V B A 1B 1D 1＝13×12×1×1×1＋13×12×1×1×1＝13.答案：13(2017·高考全国卷Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为________．解析：依题意得，长方体的体对角线长为32＋22＋12＝14，记长方体的外接球的半径为R ，则有2R ＝14，R ＝142，因此球O 的表面积等于4πR 2＝14π. 答案：14π空间几何体的表面积(师生共研)(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π(2)(2019·沈阳质量检测(一))某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是( )A ．4＋4 2B ．42＋2C ．8＋4 2D. 83【解析】 (1)因为过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋22π×22＝12π.(2)由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥P -ABCD ，如图所示，其中P A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且P A ＝2，AB ＝2，PB ＝22，所以该四棱锥的侧面积S 是四个直角三角形的面积和，即S ＝2×⎝⎛⎭⎫12×2×2＋12×2×22＝4＋42，故选A. 【答案】 (1)B (2)A空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积问题应注意衔接部分的处理． (3)旋转体的表面积问题应注意其侧面展开图的应用．1．(2019·湖南五市联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A ．20＋4 5B ．12＋4 5C ．20＋2 5D ．12＋2 5解析：选A.由三视图知该几何体是一个直三棱柱，底面是直角边分别为4，2的直角三角形，高为2，所以该几何体的表面积是(2＋4＋22＋42)×2＋2×12×2×4＝20＋45，故选A.2．(2019·唐山市摸底考试)已知某几何体的三视图如图所示(俯视图中曲线为四分之一圆弧)，则该几何体的表面积为( )A ．1－π4B ．3＋π2C ．2＋π4D ．4解析：选D.由题设知，该几何体是棱长为1的正方体被截去底面半径为1的14圆柱后得到的，如图所示，所以表面积S ＝2×⎝⎛⎭⎫1×1－14×π×12＋2×(1×1)＋14×2π×1×1＝4.故选D.空间几何体的体积(多维探究)角度一 求简单几何体的体积(1)(一题多解)(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知∠ACB ＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC ＝2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为____________．【解析】 (1)法一(补形法)：如图所示，由几何体的三视图，可知该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得．将圆柱补全，并将圆柱体从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.法二(估值法)：由题意，知12V 圆柱<V 几何体<V 圆柱．又V 圆柱＝π×32×10＝90π，所以45π<V 几何体<90π.观察选项可知只有63π符合．(2)如图，过点P 分别作PE ⊥BC 交BC 于点E ，作PF ⊥AC 交AC 于点F .由题意知PE ＝PF ＝ 3.过P 作PH ⊥平面ABC 于点H ，连接HE ，HF ，HC ，易知HE ＝HF ，则点H 在∠ACB 的平分线上，又∠ACB ＝90°，故△CEH 为等腰直角三角形．在Rt △PCE 中，PC ＝2，PE ＝3，则CE ＝1，故CH ＝2，在Rt △PCH 中，可得PH ＝2，即点P 到平面ABC 的距离为 2.【答案】 (1)B (2) 2角度二 求组合体的体积(2019·福州市质量检测)如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.π12＋3 B.π12＋6 C.π3＋3 D.π3＋6【解析】 由三视图可知，该几何体是由直四棱柱与圆锥拼接而成的简单组合体，如图所示．由题设得，V 四棱柱＝12×(1＋2)×2×1＝3，V 圆锥＝13π⎝⎛⎭⎫122×1＝π12，所以该几何体的体积V＝V 四棱柱＋V 圆锥＝3＋π12.故选A.【答案】 A求空间几何体的体积的常用方法1．(2019·高考全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O -EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB ＝BC ＝6 cm ，AA 1＝4 cm.3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为____________g.解析：长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积V 1＝6×6×4＝144(cm 3)，而四棱锥O -EFGH 的底面积为矩形BB 1C 1C 的面积的一半，高为AB 长的一半，所以四棱锥O -EFGH 的体积V 2＝13×12×4×6×3＝12(cm 3)，所以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O -EFGH 后所得几何体的体积V ＝V 1－V 2＝132(cm 3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．答案：118.82.如图是一个以A 1B 1C 1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ，已知A 1B 1＝B 1C 1＝2，∠A 1B 1C 1＝90°，AA 1＝4，BB 1＝3，CC 1＝2，则几何体的体积为____________．解析：过C 作平行于平面A 1B 1C 1的截面A 2B 2C ，交AA 1，BB 1分别于点A 2，B 2.由直三棱柱性质及∠A 1B 1C 1＝90°， 则V ＝V A1B 1C 1A 2B 2C ＋V C ABB 2A 2＝12×2×2×2＋13×12×(1＋2)×2×2＝6. 答案：6球与空间几何体的接、切问题(师生共研)(1)(2017·高考全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A.πB.3π4C.π2D.π4(2)(2018·高考全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D -ABC 体积的最大值为( )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3【解析】 (1)设圆柱的底面半径为r ，则r 2＝12－⎝⎛⎭⎫122＝34，所以，圆柱的体积V ＝34π×1＝3π4，故选B.(2)设等边三角形ABC 的边长为x ，则12x 2sin 60°＝93，得x ＝6.设△ABC 的外接圆半径为r ，则2r ＝6sin 60°，解得r ＝23，所以球心到△ABC 所在平面的距离d ＝42－（23）2＝2，则点D 到平面ABC 的最大距离d 1＝d ＋4＝6，所以三棱锥D -ABC 体积的最大值V max ＝13S △ABC ×6＝13×93×6＝18 3.【答案】 (1)B (2)B处理球的“切”“接”问题的求解策略(1)“切”的处理与球有关的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．(2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．1．正四棱锥P -ABCD 的侧棱和底面边长都等于22，则它的外接球的表面积是( ) A ．16π B ．12π C ．8πD ．4π解析：选A.设正四棱锥的外接球半径为R ，顶点P 在底面上的射影为O ，因为OA ＝12AC＝12AB 2＋BC 2＝12（22）2＋（22）2＝2，所以PO ＝P A 2－OA 2＝（22）2－22＝2.又OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝2，由此可知R ＝2，于是S 球＝4πR 2＝16π.2．设球O 内切于正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，则球O 的体积与正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积的比值为________．解析：设球O 半径为R ，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为a ，则R ＝33×a 2＝36a ，即a ＝23R ，又正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高为2R ，所以球O 的体积与正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积的比值为43πR 334a 2×2R ＝43πR 334×12R 2×2R ＝23π27.答案：23π27直观想象——数学文化与三视图(2019·长春市质量检测(一))《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1)，那么该刍甍的体积为( )A ．4B ．5C ．6D ．12【解析】 如图，由三视图可还原得几何体ABCDEF ，过E ，F 分别作垂直于底面的截面EGH 和FMN ，将原几何体拆分成两个底面积为3，高为1的四棱锥和一个底面积为32，高为2的三棱柱，所以V ABCDEF ＝2V 四棱锥E -ADHG ＋V 三棱柱EHG -FNM ＝2×13×3×1＋32×2＝5，故选B. 【答案】 B本题是数学文化与三视图结合，主要是根据几何体的三视图及三视图中的数据，求几何体的体积或侧(表)面积．此类问题难点：一是根据三视图的形状特征确定几何体的结构特征；二是将三视图中的数据转化为几何体的几何度量．考查了直观想象这一核心素养．(2019·郑州市第二次质量预测)我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )A ．4－π2B ．8－4π3C ．8－πD ．8－2π解析：选C.由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等．根据题设所给的三视图，可知题图中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，正方体的体积为23＝8，半圆柱的体积为12×(π×12)×2＝π，因此该不规则几何体的体积为8－π，故选C.[基础题组练]1．(2019·安徽合肥质检)已知圆锥的高为3，底面半径为4，若一球的表面积与此圆锥侧面积相等，则该球的半径为( )A ．5 B. 5 C ．9D ．3解析：选B.因为圆锥的底面半径r ＝4，高h ＝3，所以圆锥的母线l ＝5，所以圆锥的侧面积S ＝πrl ＝20π，设球的半径为R ，则4πR 2＝20π，所以R ＝5，故选B.2．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为( )A ．2B ．4＋2 2C ．4＋4 2D ．4＋6 2解析：选C.由三视图知，该几何体是直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，其中AB ＝AA 1＝2，BC ＝AC ＝2，∠C ＝90°，其直观图如图所示，侧面为三个矩形，故该“堑堵”的侧面积S ＝(2＋22)×2＝4＋42，故选C.3.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A.500π3cm 3B.866π3cm 3C.1 372π3cm 3D.2 048π3cm 3解析：选A.设球的半径为R ，则由题意知球被正方体上面截得的圆的半径为4 cm ，球心到截面圆的距离为(R －2)cm ，则R 2＝(R －2)2＋42，解得R ＝5，所以球的体积为4π×533＝500π3cm 3.4．(2019·福建市第一学期高三期末考试)已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( )A ．4π B.163π C.323π D ．16π解析：选D.如图，由题意知圆柱的中心O 为这个球的球心，于是，球的半径r ＝OB ＝OA 2＋AB 2＝12＋（3）2＝2.故这个球的表面积S ＝4πr 2＝16π.故选D.5．(2019·武汉市武昌调研考试)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x 为( )A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.4解析：选B.该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为12的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4－x 、3、1的长方体，所以组合体的体积V ＝V 圆柱＋V 长方体＝π·⎝⎛⎭⎫122×x ＋(5.4－x )×3×1＝12.6(其中π＝3)，解得x ＝1.6.故选B.6.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1EDF 的体积为________．解析：三棱锥D 1EDF 的体积即为三棱锥F DD 1E 的体积．因为E ，F 分别为AA 1，B 1C 上的点，所以在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，△EDD 1的面积为定值12，F 到平面AA 1D 1D 的距离为定值1，所以V D 1EDF ＝V F DD 1E ＝13×12×1＝16.答案：167.(2017·高考江苏卷)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________． 解析：设球O 的半径为r ，则圆柱的底面半径为r ，高为2r ，所以V 1V 2＝πr 2·2r 43πr 3＝32. 答案：328．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．解：由已知得：CE ＝2，DE ＝2，CB ＝5，S 表面积＝S 圆台侧＋S 圆台下底＋S 圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×22＝(60＋42)π，V ＝V 圆台－V 圆锥＝13(π·22＋π·52＋22·52π2)×4－13π×22×2＝1483π. [综合题组练]1．(2019·蓉城名校第一次联考)已知一个几何体的正视图和侧视图如图1所示，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形(如图2所示)，则此几何体的体积为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2解析：选B.根据直观图可得该几何体的俯视图是一个直角边长分别是2和2的直角三角形(如图所示)，根据三视图可知该几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为3，所以体积V ＝13×⎝⎛⎭⎫12×2×2×3＝ 2.故选B. 2．(2019·福州市质量检测)已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面积为334，一个侧面的周长为63，则正三棱柱ABC -A 1B 1C 1外接球的表面积为( )A ．4πB ．8πC ．16πD ．32π解析：选C.如图所示，设底面边长为a ，则底面面积为34a 2＝334，所以a ＝ 3.又一个侧面的周长为63，所以AA 1＝2 3.设E ，D 分别为上、下底面的中心，连接DE ，设DE 的中点为O ，则点O 即为正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的外接球的球心，连接OA 1，A 1E ，则OE ＝3，A 1E ＝3×32×23＝1.在直角三角形OEA 1中，OA 1＝12＋（3）2＝2，即外接球的半径R ＝2，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝16π，故选C.3．(2019·福建泉州质检)如图，在正方形网格纸上，实线画出的是某多面体的三视图及其部分尺寸．若该多面体的顶点在同一球面上，则该球的表面积等于( )A ．8πB ．18πC ．24πD ．86π解析：选C.设球的半径为R .多面体是两个正四棱锥的组合体(底面重合)．两顶点之间的距离为2R ，底面是边长为2R 的正方形，由R 2＋⎝⎛⎭⎫2R 22＝32⇒R 2＝6，故该球的表面积S ＝4πR 2＝24π.选C.4．(2019·辽宁五校协作体模考)一个长方体被一平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．36B ．48C ．64D ．72解析：选B.由几何体的三视图可得几何体如图所示，将几何体分割为两个三棱柱，所以该几何体的体积为12×3×4×4＋12×3×4×4＝48，故选B.5．(2019·洛阳市第一次统考)一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为( )A ．8－2π3B ．4－π3C ．8－π3D ．4－2π3解析：选A.由三视图可得该几何体的直观图如图所示，该几何体是一个棱长为2的正方体上、下各挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥后剩余的部分，其体积为23－2×13×π×12×1＝8－2π3.故选A.6.(应用型)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P -A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍，若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？解：由PO 1＝2 m ，知O 1O ＝4PQ 1＝8 m.因为A 1B 1＝AB ＝6 m ，所以正四棱锥P -A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)；正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积 V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)，所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)． 故仓库的容积是312 m 3.。
第二讲--二次函数中有关三角形存在性问题
+第二讲 二次函数中有关三角形存在性问题一、课题说明：二、知识梳理：动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）等。
1.基本步骤：（1）分类讨论 （2）尺规作图 （3）计算 2.常用公式：（1）如果A(x 1,y 1)B(x 2,y 2),那么则它们的中点P 的坐标为（(x 1+x 2)/2, (y 1+y 2)/2）;(2)直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系:①两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ ②两直线垂直⇔121-=k k po三、典例精讲： 1.等腰三角形问题例1.【A 类】（2015师大4模）uprt 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C (0，4)，顶点为(1,29)． (1)求抛物线的函数表达式；教学目标1、使学生掌握二次函数中特殊三角形存在性问题的解题思路及解题方法；2提高学生的综合分析与解决问题的能力。
教学重点 二次函数图像在等腰三角形、直角三角形、相似三角形存在性问题中的综合应用。
教学难点 让学生学会归纳并熟练掌握类型题的作图方法与解答技巧。
教学方法 分类讨论法、尺规作图、归纳法。
常见考法此类型通常会出现在陕西省中考数学第24题，分值为10分；其他省市中考题与也均以解答题形式出现。
选材程度及数量课堂精讲例题课堂训练题课后作业A 类 1 2B 类 1 1 2C 类211(2)设抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，试在对称轴上找出点P ，使△CDP 为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P 的坐标；【教法参考】（1）.分类讨论：分类标准：讨论顶角的位置或者底边的位置例如：本题第二问：在抛物线上找一点p ，使得P D C 、、三点构成等腰三角形，则可分成以下几种情况：（1）当C ∠为顶角时，CP CD = （2）当D ∠为顶角时，DP DC = （3）当P ∠为顶角时，PD PC =(2).尺规作图：两圆一线（①当C ∠为顶角时，以C 为圆心CD 为半径画圆，与对称轴交点即为所求点P ，②当D ∠为顶角时，以D 为圆心DC 为半径画圆，与对称轴交点即为所求点P ，③当P ∠为顶角时，线段DC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P 。
第二讲表面科学与工程的基础理论-
➢ (3)化学吸附有选择性 化学吸附有高度选择性。如氢 会被钨与镍化学吸附,不能被铝化学吸附。物理吸附 无选择性。
物理吸附与化学吸附得区别
俯视图
剖面图
顶吸附
桥吸附
填充吸附
中心吸附
固体对气体得吸附
一个气体分子被表面吸附主要分成物理与化学两类 :
➢ 物理吸附 (Physical adorption):任何气体在其临界温度以下,都会在其与固体表面之间 得范德华力(Van der Waals)作用下,被固体吸附,但两者 之间没有电子转移。
典型得固体表面
❖2. 洁净表面
➢洁净表面:材料表层原子结构得周期性不同于体内,但化学 成分与体内相同,这种表面称为洁净表面。相对于表面受污 染表面与理想表面而言得。 ➢允许有吸附物,只有经过特殊处理方法得到,如高温处理。
➢清洁表面(定义):一般指零件经过清洗(脱脂、浸蚀等)以后 得表面。 ➢清洁表面易于实现,只要经过常规得清洗过程即可。 ➢洁净表面得“清洁程度”比清洁表面高。
习惯上,把多余半原子面在滑移面以上得位错称为 正刃型位错,用符号“┻”表示,反之为负刃型位错,用 “┳”表示。刃型位错周围得点阵畸变关于半原子面 左右对称。
Ø大家有疑问的, 可以询问和交流
➢可以互相讨论下, 但要小声点
典型得固体表面 (2)螺型位错:左螺型位错、右螺型位错
典型得固体表面
典型得固体表面
典型得固体表面
金属表面形貌对其表面特性得影响
➢ ①处于粗糙区域得原子比具有正常原子有更高得能量,具有 更高得表面自由能与表面流动性。
第2讲 大题专攻——空间中的平行、垂直与空间角问题 2023高考数学二轮复习课件
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二、真题感悟 1．(2022·全国甲卷)(证明线线垂直、求线面角)在四棱锥 P-ABCD
中，PD⊥底面 ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2， DP＝ 3. (1)证明：BD⊥PA； 解：证明：如图所示，取AB中点为O，连接DO，CO，则OB＝DC＝1. 又DC∥OB，所以四边形DCBO为平行四边形． 又BC＝OB＝1，所以四边形DCBO为菱形，所以BD⊥CO. 同理可得，四边形DCOA为菱形，所以AD∥CO， 所以BD⊥AD. 因为PD⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PD⊥BD， 又AD∩PD＝D，AD，PD⊂平面ADP，所以BD⊥平面ADP. 因为PA⊂平面ADP，所以BD⊥PA.
所以向量―AB→＝(1，0，0)为平面 PAD 的一个法向量． 而―BE→·―AB→＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，
所以BE⊥AB， 又BE⊄平面PAD，所以BE∥平面PAD.
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(3)平面PCD⊥平面PAD.
证明 由(2)知平面 PAD 的一个法向量为―AB→＝(1，0，0)，向量―PD→＝(0，
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02
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利用向量证明平行与垂直
【例1】 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD， AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1， 点E为棱PC的中点．证明： (1)BE⊥DC； 证明 依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐 标系A-xyz，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2， 0)，P(0，0，2)．由E为棱PC的中点，得E(1，1，1)．
向量―BE→＝(0，1，1)，―D→C ＝(2，0，0)， 故―BE→·―D→C ＝0. 所以BE⊥DC.
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(2)BE∥平面PAD； 证 明 因 为 AB⊥AD ， 又 PA⊥ 平 面 ABCD ， AB ⊂ 平 面 ABCD ， 所 以 AB⊥PA，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD， 所以AB⊥平面PAD，
通信原理_第二讲_信息及其量度
P( x) = 1 2 1 = − log 2 P ( x ) = 1bit I = log 2 P ( x)
结论：对于等概的二进制波形，其每个符号( 结论：对于等概的二进制波形，其每个符号(码 所包含的信息量为1bit 元)所包含的信息量为1bit
M = 2N) 2)M进制 进制( 2)M进制( P ( x) = 1 M = 2− N
数字通信系统的性能指标(重点) 1.5.2 数字通信系统的性能指标(重点) 有效性指标——传输速率 有效性指标 传输速率 码元传输速率R 单位时间内传输码元(符号) 1)码元传输速率RB:单位时间内传输码元(符号) 的数目 单位： 单位：波特 Baud B 若码元宽度为T (1若码元宽度为Tb 则 R B = 1 Tb (1-5) 码元传输速率又称为码元速率 传码率 码率等 信息传输速率R 2)信息传输速率Rb：单位时间内传送的信息量 单位：比特/ 单位：比特/秒 bit/s 信息传输速率又称为传信率 比特率等
通信原理 第二讲
通信基础教研室 潘若禹 号实验楼135 办公室 3号实验楼135 电话 88166354 panruoyu@ 邮箱
1.3信息及其量度 1.3信息及其量度 1.信息定义 1.信息定义 信息—information 信息 information 消息—message 消息 message 信息可以理解为消息中包含的有意义的内容 例如：今天晚上23点天已经黑了。 例如：今天晚上23点天已经黑了。 23点天已经黑了 今天晚上23点学校要放电影。 23点学校要放电影 今天晚上23点学校要放电影。 今天晚上23点西安要地震。 23点西安要地震 今天晚上23点西安要地震。 今天晚上23点地球要灭亡了。 23点地球要灭亡了 今天晚上23点地球要灭亡了。
第2讲 圆幂定理 - 学生版
第二讲圆幂定理【例题1】 ⑴如图，PC 是半圆的切线，且PB OB =，过B 的切线交PC 于D ，若6PC =，则O ⊙半径为 ，:C D D P =__________．⑵如图，过点P 作O ⊙的两条割线分别交O ⊙于点A B 、和点C D 、，已知3PA =，2AB PC ==则PD 的长是（ ）A ．3B ．7.5C ．5D ．5.5⑶如图，AB 是O ⊙的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，P 是BA 延长线上的点，连结PC 交O ⊙ 于F ，如果713PF FC ==，，且::2:4:1PA AE EB =，那么CD 的长是 ．【例题2】 已知P 点为1O 和2O 公共弦AB 上的一个点，过P 的一条直线交1O 和2O 分别于C ，D ，E ，F ．证明：CE DFPE PD=．PD COBAOD C BAPO F EDCBAPP FEDCBA【例题3】 如图，BC 是半圆O ⊙的直径，EF BC ⊥于点F ，5BFFC=．已知点A 在CE 的延长线上，AB 与半圆交于D ，且82AB AE ==，，则AD 的长为_____________．【例题4】 如图，已知O ⊙的弦AB ，CD 相交于点P ，4PA =，3PB =，6PC =，EA 切O ⊙于点A ，AE 与CD 的延长线交于点E ，25EA =，求PE 的长．【拓展1】 如图，P 为O ⊙外一点，过点P 作O ⊙的两条切线，切点分别为A B 、，过点A作PB 的平行线交O ⊙于点C ，联结PC 交O ⊙于点E ，联结AE ，并延长AE 交PB 于K ．求证：PE AC CE KB ⋅=⋅．A BCDEFO COPD EA BO K ECBAP。
第二讲 点运动的自然坐标法、极坐标法
图难于其易， 为大于其细。天下难事必作于易，天 下大事必作于细 。 ——老子
（1）矢量描述法（基本） （2）直角坐标法 （3）自然坐标法（难点） （4）极坐标法 （5）联合应用例题
1-3 描述点运动的自然坐标法
运动轨迹的参数方程 r = r(s)
自然坐标 s 具有坐标性质：
r(s)
• 自然轴系 切线PT, 单位矢τ 主法线PN, 在α内, PN ⊥ PT,单位矢 n 副法线PB, 单位矢b = τ × n
作业: 李俊峰、张雄主编《理论力学》,清华-Springer出版
习题 1-10，1-12，1-13, 1-14
密切面
例题 1.4 单摆的自然坐标描述。
单摆的运动规律为 ϕ =ϕ0 sinωt ，ω为常数， OA = l。求摆锤A的速度v和加速度a。
aτ
ap
an
ϕ (t )
x
o
a = &s&τ +(s&2 / ρ)n = Rϕ&&τ + Rϕ&2n
aτ
an
圆的曲率半径就是其半径 ρ = R 。
刚体定轴转动及其上点的运动
若刚体上的两点始终保持不动，则刚体上通过这两点直线 上的点也保持不动。 这种刚体运动称为定轴转动
定轴转动刚体上任一点 P 作圆周运动。
主法线单位矢： n = d τ dϕ
曲率半径：
ρ
=
ds dϕ
切向加速度 aτ = &s&
法向加速度 an = s&2 / ρ = v2 / ρ
1
讨论
点沿着一螺旋线自 外向内运动。点所走过的 弧长与时间的一次方成正 比 s = αt + β 。请判断点的运 动性质：
第二讲 参数方程复习课
学习目标 1.梳理知识要点，构建知识网络.2.进一步巩固对参数方程等相关概念的理解和认识.3.能综合应用极坐标、参数方程解决问题．1．参数方程的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，①并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．参数方程中的参数可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数． 2．常见曲线的参数方程 (1)直线直线的标准参数方程即过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α(α≠π2)的直线l 的参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝x 0＋t sin α(t 为参数)． (2)圆 ①圆x 2＋y 2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)；②圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)． (4)双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线b 2x 2－a 2y 2＝a 2b 2(a >0，b >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ(φ为参数)． (5)抛物线抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2p tan 2α，y ＝2ptan α(α为参数)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．类型一 参数方程化为普通方程 例1 把下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ－4sin θ，y ＝2cos θ＋sin θ(θ为参数)； (2)⎩⎨⎧x ＝a (e t ＋e －t )2，y ＝b (e t－e－t)2(t 为参数，a ，b >0)．解 (1)关于cos θ，sin θ的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ－4sin θ，y ＝2cos θ＋sin θ，变形得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝y －2x9，cos θ＝x ＋4y9.∴(x ＋4y 9)2＋(y －2x 9)2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，即5x 2＋4xy ＋17y 2－81＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a (e t ＋e －t )2，y ＝b (e t－e －t )2，解得⎩⎨⎧2xa ＝e t ＋e －t ， ①2yb ＝e t－e－t ， ②∴①2－②2，得4x 2a 2－4y 2b 2＝4， ∴x 2a 2－y 2b2＝1(x >0)． 反思与感悟 参数方程化为普通方程的注意事项(1)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致，由参数方程化为普通方程时需要考虑x 的取值范围，注意参数方程与消去参数后所得的普通方程同解性的判定． (2)消除参数的常用方法：①代入消参法；②三角消参法；③根据参数方程的特征，采用特殊的消参手段．跟踪训练1 判断方程⎩⎨⎧x ＝sin θ＋1sin θ，y ＝sin θ－1sin θ(θ是参数且θ∈(0，π))表示的曲线的形状．解 ∵x 2－y 2＝(sin θ＋1sin θ)2－(sin θ－1sin θ)2＝4，即x 2－y 2＝4，∴x 24－y 24＝1. 又∵θ∈(0，π)， ∴sin θ>0，∴x ＝sin θ＋1sin θ≥2，当且仅当θ＝π2时等号成立，又y ＝sin θ－1sin θ＝sin 2θ－1sin θ≤0，∴曲线为等轴双曲线x 24－y 24＝1在右支位于x 轴下方的部分．类型二 参数方程的应用命题角度1 直线参数方程的应用例2 已知点P (3,2)平分抛物线y 2＝4x 的一条弦AB ，求弦AB 的长．解 设弦AB 所在的直线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入方程y 2＝4x 整理，得 t 2sin 2α＋4(sin α－cos α)t －8＝0.① ∵点P (3,2)是弦AB 的中点，由参数t 的几何意义可知，方程①的两个实根t 1，t 2满足关系t 1＋t 2＝0. 即sin α－cos α＝0.∵0≤α<π，∴α＝π4.∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4·8sin 2π4＝8.反思与感悟 应用直线的参数方程求弦长要注意的问题 (1)直线的参数方程应为标准形式． (2)要注意直线倾斜角的取值范围． (3)设直线上两点对应的参数分别为t 1，t 2. (4)套公式|t 1－t 2|求弦长．跟踪训练2 直线l 过点P 0(－4,0)，它的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，直线l 与圆x 2＋y 2＝7相交于A ，B 两点． (1)求弦长|AB |；(2)过P 0作圆的切线，求切线长． 解 将直线l 的参数方程代入圆的方程， 得(－4＋32t )2＋(12t )2＝7，整理得t 2－43t ＋9＝0. (1)设A 和B 两点对应的参数分别为t 1和t 2，由根与系数的关系，得t 1＋t 2＝43，t 1t 2＝9. 故|AB |＝|t 2－t 1|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝2 3.(2)设圆过P 0的切线为P 0T ，T 在圆上， 则|P 0T |2＝|P 0A |·|P 0B |＝|t 1t 2|＝9， ∴切线长|P 0T |＝3.命题角度2 曲线参数方程的应用例3 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝2 2.(1)求曲线C 与直线l 在该直角坐标系下的普通方程；(2)动点A 在曲线C 上，动点B 在直线l 上，定点P (－1,1)，求|PB |＋|AB |的最小值．解 (1)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α，可得(x －2)2＋y 2＝1，由直线l 的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝22，可得ρ(sin θ＋cos θ)＝4，即x ＋y ＝4.(2)方法一 设P 关于直线l 的对称点为Q (a ，b )，故⎩⎪⎨⎪⎧a －12＋b ＋12＝4，(b －1a ＋1)×(－1)＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝5， 所以Q (3,5)，由(1)知曲线C 为圆，圆心C (2,0)，半径r ＝1，|PB |＋|AB |＝|QB |＋|AB |≥|QC |－1.仅当Q ，B ，A ，C 四点共线时，且A 在B ，C 之间时等号成立，故(|PB |＋|AB |)min ＝26－1. 方法二 如图，圆心C 关于直线l 的对称点为D (4,2)，连接PD ，交直线l 于点B ，此时|PB |＋|AB |有最小值，且|PB |＋|AB |＝|PB |＋|BC |－1＝|PB |＋|BD |－1＝|PD |－1＝26－1.反思与感悟 (1)关于折线段的长度和或长度差的最大值或最小值的求法，常常利用对称性以及两点之间线段最短解决．(2)有关点与圆、直线与圆的最大值或最小值问题，常常转化为经过圆心的直线、圆心到直线的距离等．跟踪训练3 已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．解 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ (θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|， 则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|， 其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.类型三 极坐标与参数方程例4 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与圆C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l的斜率．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)方法一 在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44. 由|AB |＝10，得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 方法二 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α代入(x ＋6)2＋y 2＝25，得t 2＋(12cos α)t ＋11＝0， 所以t 1＋t 2＝－12cos α，t 1t 2＝11. 设A ，B 对应的参数为t 1，t 2， 则|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝144cos 2α－44＝10，所以cos 2α＝38，所以tan α＝±153. 所以l 的斜率为153或－153. 反思与感悟 (1)极坐标与参数方程综合是高考的重点、热点．(2)解决此类问题一般可以转化为直角坐标下求解．当然也可以转化为极坐标下求解，关键是根据题目特点合理转化．跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos t ，y ＝23sin t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3ρcos θ＋2ρsin θ＝12.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，M 为曲线C 与y 轴负半轴的交点，求四边形OMAB 的面积．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos t ，y ＝23sin t ，得⎩⎨⎧x4＝cos t ，y 23＝sin t ，所以(x 4)2＋(y 23)2＝(cos t )2＋(sin t )2＝1，所以曲线C 的普通方程为x 216＋y 212＝1.在3ρcos θ＋2ρsin θ＝12中，由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， 得3x ＋2y －12＝0，所以直线l 的直角坐标方程为3x ＋2y －12＝0.(2)由(1)可得M (0，－23)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，3x ＋2y －12＝0，易得A (4,0)，B (2,3)，所以四边形OMAB 的面积为12×4×(3＋23)＝6＋4 3.1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)的焦点坐标为( )A ．(±3,0)B ．(0，±3)C ．(±6,0)D ．(0，±6)答案 D解析 曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)的普通方程为y 2102＋x 282＝1，这是焦点在y 轴上的椭圆，c 2＝a 2－b 2＝62，所以焦点坐标为(0，±6)．2．椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(0≤φ<2π)，则椭圆的离心率为( )A.12B.32C.22D.34答案 A3．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin θ，则直线l 与圆C 的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．由参数确定答案 C4．点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)上的点的最短距离为________．答案 1解析 设点P (1,0)到曲线上的点的距离为d ，则d ＝(x －1)2＋(y －0)2＝(t 2－1)2＋(2t )2＝(t 2＋1)2＝t 2＋1≥1.所以点P 到曲线上的点的距离的最小值为1.5．在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，求S ＝x ＋y 的最大值和最小值．解 椭圆x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，故设动点P (3cos φ，sin φ)，其中φ∈[0,2π)．因此S ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝2(sin π3cos φ＋cos π3·sin φ)＝2sin(φ＋π3)．∴当φ＝π6时，S 取得最大值2；当φ＝7π6时，S 取得最小值－2.1．参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式．某些曲线上点的坐标，用普通方程描述它们之间的关系比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，而用参数方程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便，学习参数方程有助于进一步体会数学方法的灵活多变，提高应用意识和实践能力． 2．参数方程、极坐标方程是解析几何曲线方程的另外两种巧妙的表达形式，解题时要善于根据解题的需求将参数方程与普通方程进行互化，达到方便解题的目的，同时注意参数的范围．课时作业一、选择题1．直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心答案 D解析 直线l 的普通方程为x －y ＋1＝0，圆C 的普通方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心C (2,1)到直线l 的距离为d ＝|2－1＋1|2＝2<r ＝2，所以l 与C 相交但不过圆心．2．下列各点在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数)所表示的曲线上的为( )A ．(2，－7)B ．(13，23)C ．(12，12)D ．(1,0)答案 C3．直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t (t 为参数)上与点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是( )A ．(－4,5)B ．(－3,4)C ．(－3,4)或(－1,2) D(－4,5)或(0,1)答案 C4．下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|t |，y ＝t B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝cos 2t C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1＋cos 2t 1－cos 2t D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t答案 D解析 注意参数的范围，可利用排除法，普通方程x 2－y ＝0中的x ∈R ，y ≥0.A 中x ＝|t |≥0，B 中x ＝cos t ∈[－1,1]，故排除A 和B ；而C 中y ＝2cos 2t 2sin 2t ＝1tan 2t ＝1x2，即x 2y ＝1，故排除C. 5．抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ，y ＝4t 2(t 为参数)的准线方程是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．y ＝1 D ．y ＝－1答案 D解析 由x ＝4t ，得t 2＝x 216， ∴y ＝4t 2＝x 24， 即x 2＝4y ，∴准线方程为y ＝－1.6．若直线y ＝x －b 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ， θ∈[0,2π)有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围是( ) A ．(2－2，1) B ．[2－2，2＋2]C ．(－∞，2－2)∪(2＋2，＋∞)D ．(2－2，2＋2) 答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ消去θ，得(x －2)2＋y 2＝1.(*)将y ＝x －b 代入(*)式，化简得2x 2－(4＋2b )x ＋b 2＋3＝0，依题意知，Δ＝[－(4＋2b )]2－4×2(b 2＋3)>0，解得2－2<b <2＋ 2.二、填空题7．点(－3,0)到直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝22t (t 为参数)的距离为________． 答案 1 解析 ∵直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t ，y ＝22t 的普通方程为x －22y ＝0，∴点(－3,0)到直线的距离为d ＝|－3－0|12＋(－22)2＝1.8．已知P 为椭圆4x 2＋y 2＝4上的点，O 为原点，则|OP |的取值范围是________． 答案 [1,2]解析 由4x 2＋y 2＝4，得x 2＋y 24＝1. 令⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)， 则|OP |2＝x 2＋y 2＝cos 2φ＋4sin 2φ＝1＋3sin 2φ.∵0≤sin 2φ≤1，∴1≤1＋3sin 2φ≤4， ∴1≤|OP |≤2.9．在极坐标系中，直线过点(1,0)且与直线θ＝π3(ρ∈R )垂直，则直线的极坐标方程为________． 答案 2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1(或2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1、ρcos θ＋3ρsin θ＝1) 解析 由题意可知在直角坐标系中，直线θ＝π3的斜率是3，所求直线过点(1,0)，且斜率是－13，所以直线方程为y ＝－13(x －1)，化成极坐标方程为ρsin θ＝－13(ρcos θ－1)，化简得2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1.10．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)上的两点M ，N 对应的参数分别为t 1和t 2，且t 1＋t 2＝0，则|MN |＝________.答案 4p |t 1|(或4p |t 2|)解析 显然线段MN 垂直于抛物线的对称轴，即x 轴，则|MN |＝2p |t 1－t 2|＝2p |2t 1|(或2p |2t 2|)，∴|MN |＝4p |t 1|(或4p |t 2|)．三、解答题11．已知x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求S ＝3x －y 的最值．解 由(x －1)2＋(y ＋2)2＝4可知，曲线表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆．令x ＝1＋2cos θ，y ＝－2＋2sin θ，则S ＝3x －y ＝3(1＋2cos θ)－(－2＋2sin θ)＝5＋6cos θ－2sin θ＝5＋210·sin(θ＋φ)(其中tan φ＝－3)，所以，当sin(θ＋φ)＝1时，S 取得最大值5＋210；当sin(θ＋φ)＝－1时，S 取得最小值5－210.12．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．解 (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.即实数a 的取值范围为[－25，25]．13．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，且0≤θ<2π)，点M 是曲线C 1上的动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹的直角坐标方程；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，若直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求点P 到直线l 距离的最大值．解 (1)曲线C 1上的动点M 的坐标为(4cos θ，4sin θ)，坐标原点O (0,0)，设P 的坐标为(x ，y )，则由中点坐标公式，得x ＝12(0＋4cos θ)＝2cos θ，y ＝12(0＋4sin θ)＝2sin θ，所以点P 的坐标为(2cos θ，2sin θ)，因此点P 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，且0≤θ<2π)，消去参数θ，得点P 轨迹的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.(2)由直角坐标与极坐标关系，得直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.又由(1)知点P 的轨迹为圆心在原点，半径为2为圆，因为原点(0,0)到直线x －y ＋1＝0的距离为|0－0＋1|12＋(－1)2＝12＝22，所以点P 到直线l 距离的最大值为2＋22. 四、探究与拓展14．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ<2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________.答案 5解析 直线l 的普通方程为y ＝x ＋1，曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，联立两方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2. 所以公共点为(1,2)，所以公共点的极径为ρ＝22＋1＝ 5. 15．设飞机以v ＝150 m/s 的速度水平匀速飞行，若在飞行高度h ＝588 m 处投弹(假设炸弹的初速度等于飞机的速度)．(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程；(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标．解 (1)如图所示，A 为投弹点，坐标为(0,588)，B 为目标，坐标为(x 0,0)．记炸弹飞行的时间为t ，在A 点t ＝0.设M (x ，y )为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t ，炸弹初速度v 0＝150 m/s ，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向的路程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝v 0t ，y ＝588－12gt2(g ＝9.8 m/s 2)， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝150t ，y ＝588－4.9t 2，所以炸弹离开飞机后的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝150t ，y ＝588－4.9t 2.(2)炸弹飞行到地面目标B 处的时间t 0满足方程y ＝0，即588－4.9t 20＝0，解得t 0＝230 s. 将t 0＝230代入x ＝150t 0中，得x 0＝30030 m.。
2020学年高中数学第二讲直线与圆的位置关系知识归纳与达标验收创新应用教学案新人教A版选修4_1
第二讲 直线与圆的位置关系[对应学生用书P35]近两年高考中，主要考查圆的切线定理，切割线定理，相交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等．题目难度不大，以容易题为主．对于与圆有关的比例线段问题通常要考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、相似三角形的判定和性质等；弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，它在解决圆内有关等角问题中可以大显身手；证明四点共圆也是常见的考查题型，常见的证明方法有：①到某定点的距离都相等；②如果某两点在一条线段的同侧时，可证明这两点对该线段的张角相等；③证明凸四边形的内对角互补(或外角等于它的内对角)等．1．(湖南高考)如图，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．解析：设AO ，BC 的交点为D ，由已知可得D 为BC 的中点，则在直角三角形ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝1，设圆的半径为r ，延长AO 交圆O 于点E ，由圆的相交弦定理可知BD ·CD ＝AD ·DE ，即(2)2＝2r－1，解得r ＝32. 答案：322.(新课标全国卷Ⅱ)如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC ＝2PA ，D 为PC 的中点，AD的延长线交⊙O 于点E .证明：(1)BE ＝EC ；(2)AD ·DE ＝2PB 2.证明：(1)连接AB ，AC .由题设知PA ＝PD ，故∠PAD ＝∠PDA .因为∠PDA ＝∠DAC ＋∠DCA ，∠PAD ＝∠BAD ＋∠PAB ，∠DCA ＝∠PAB ，所以∠DAC ＝∠BAD ，从而BE ＝EC .因此BE ＝EC .(2)由切割线定理得PA 2＝PB ·PC .因为PA ＝PD ＝DC ，所以DC ＝2PB ，BD ＝PB .由相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DC ，所以AD ·DE ＝2PB 2.3．(新课标全国卷Ⅱ)如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B ，E ，F ，C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值. 解：(1)证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC FA ＝DC EA， 故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EFA .因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ，故∠EFA ＝∠CFE ＝90°.所以∠CBA ＝ 90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)连接CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE .由BD ＝BE ，有CE ＝DC .又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12. [对应学生用书P35]圆内接四边形的判定与性质 接四边形的判定和性质．[例1] 已知四边形ABCD 为平行四边形，过点A 和点B 的圆与AD 、BC 分别交于E 、F .求证：C 、D 、E 、F 四点共圆．[证明] 连接EF ，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以∠B ＋∠C ＝180°.因为四边形ABFE 内接于圆，所以∠B ＋∠AEF ＝180°.所以∠AEF ＝∠C .所以C 、D 、E 、F 四点共圆．[例2] 如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，延长BC 到E ，已知∠BCD ∶∠ECD ＝3∶2，那么∠BOD 等于( )A ．120°B ．136°C ．144°D ．150°[解析] 由圆内接四边形性质知∠A ＝∠DCE ，而∠BCD ∶∠ECD ＝3∶2，且∠BCD ＋∠ECD ＝180°，∠ECD ＝72°.又由圆周角定理知∠BOD ＝2∠A ＝144°.[答案] C 直线与圆相切要，结合此知识点所设计的有关切线的判定与性质、弦切角的性质等问题是高考选做题热点之一，解题时要特别注意．[例3] 如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ABC ＝90°，点P 是圆外一点，PA 切⊙O 于点A ，且PA ＝PB .(1)求证：PB 是⊙O 的切线；(2)已知PA ＝3，BC ＝1，求⊙O 的半径．[解] (1)证明：如图，连接OB .∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA .∵PA ＝PB ，∴∠PAB ＝∠PBA .∴∠OAB ＋∠PAB ＝∠OBA ＋∠PBA ，即∠PAO ＝∠PBO .又∵PA 是⊙O 的切线，∴∠PAO ＝90°.∴∠PBO ＝90°.∴OB ⊥PB .又OB 是⊙O 半径，∴PB 是⊙O 的切线．(2)连接OP ，交AB 于点D .如图．∵PA ＝PB ，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上． ∵OA ＝OB ，∴点O 在线段AB 的垂直平分线上．∴OP 垂直平分线段AB . ∴∠PAO ＝∠PDA ＝90°.又∵∠APO ＝∠OPA ，∴△APO ∽△DPA .∴AP DP ＝PO PA .∴AP 2＝PO ·DP .又∵OD ＝12BC ＝12，∴PO (PO －OD )＝AP 2.即PO 2－12PO ＝(3)2，解得PO ＝2.在Rt △APO 中，OA ＝PO 2－PA 2＝1，即⊙O 的半径为1.与圆有关的比例线段圆的切线、到一些比例式、乘积式，在解题中，多联系这些知识，能够计算或证明角、线段的有关结论．[例4] 如图，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，求DE的长．[解] 设CB＝AD＝x，则由割线定理得：CA·CD＝CB·CE，即4(4＋x)＝x(x＋10)，化简得x2＋6x－16＝0，解得x＝2或x＝－8(舍去)，即CD＝6，CE＝12.连接AB，因为CA为小圆的直径，所以∠CBA＝90°，即∠ABE＝90°，则由圆的内接四边形对角互补，得∠D＝90°，则CD2＋DE2＝CE2，所以62＋DE2＝122，所以DE＝6 3.[例5] △ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆，交BC于D，O是圆心，DM是⊙O的切线交AC于M(如图)．求证：DC2＝AC·CM.[证明] 连接AD、OD.∵AB是直径，∴AD⊥BC.∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ODA.又AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD.则∠CAD＝∠ODA，OD∥AC.∵DM是⊙O切线，∴OD⊥DM.则DM⊥AC，DC2＝AC·CM.[对应学生用书P43](时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．圆内接四边形的4个角中，如果没有直角，那么一定有( )A ．2个锐角和2个钝角B ．1个锐角和3个钝角C ．1个钝角和3个锐角D ．都是锐角或都是钝角解析：由于圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的4个角中若没有直角，则必有2个锐角和2个钝角．答案：A2.如图，在⊙O 中，弦AB 长等于半径，E 为BA 延长线上一点，∠DAE＝80°，则∠ACD 的度数是( )A ．60°B ．50°C ．45°D ．30° 解析：∠BCD ＝∠DAE ＝80°，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12AC ， ∴∠ACB ＝30°.∴∠ACD ＝80°－30°＝50°.答案：B3．如图所示，在半径为2 cm 的⊙O 内有长为2 3 cm 的弦AB .则此弦所对的圆心角∠AOB 为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 解析：作OC ⊥AB 于C ，则BC ＝3，在Rt △BOC 中cos ∠B ＝BO OB ＝32. ∴∠B ＝30°.∴∠BOC ＝60°.∴∠AOB ＝120°.答案：C4.如图，已知⊙O 的半径为5，两弦AB 、CD 相交于AB 的中点E ，且AB ＝8，CE ∶ED ＝4∶9，则圆心到弦CD 的距离为( ) A.2143B.289C.273D.809 解析：过O 作OH ⊥CD ，连接OD ，则DH ＝12CD ， 由相交弦定理知，AE ·BE ＝CE ·DE .设CE ＝4x ，则DE ＝9x ，∴4×4＝4x ×9x ，解得x ＝23， ∴OH ＝OD 2－DH 2＝52－1332＝2143. 答案：A5.如图，PA 切⊙O 于A ，PBC 是⊙O 的割线，且PB ＝BC ，PA ＝32，那么BC 的长为( ) A. 3B ．2 3C ．3D ．3 3解析：根据切割线定理PA 2＝PB ·PC ， 所以(32)2＝2PB 2.所以PB ＝3＝BC .答案：C6．两个同心圆的半径分别为3 cm 和6 cm ，作大圆的弦MN ＝6 3 cm ，则MN 与小圆的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定 解析：作OA ⊥MN 于A .连接OM .则MA ＝12MN ＝3 3. 在Rt △OMA 中， OA ＝OM 2－AM 2＝3(cm)．∴MN 与小圆相切．答案：A7.如图，PAB ，PDC 是⊙O 的割线，连接AD ，BC ，若PD ∶PB ＝1∶4，AD ＝2，则BC 的长是( )A ．4B ．5C ．6D ．8解析：由四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形可得∠PAD ＝∠C ，∠PDA ＝∠B .∴△PAD ∽△PCB .∴PD PB ＝AD CB ＝14. 又AD ＝2，∴BC ＝8.答案：D8．已知⊙O 的两条弦AB ，CD 交于点P ，若PA ＝8 cm ，PB ＝18 cm ，则CD 的长的最小值为( )A ．25 cmB ．24 cmC ．20 cmD ．12 cm解析：设CD ＝a cm ，CD 被P 分成的两段中一段长x cm ，另一段长为(a －x ) cm.则x (a －x )＝8×18，即8×18≤(x ＋a －x 2)2＝14a 2. 所以a 2≥576＝242，即a ≥24.当且仅当x ＝a －x ，即x ＝12a ＝12时等号成立． 所以CD 的长的最小值为24 cm.答案：B9．如图，点C 在以AB 为直径的半圆上，连接AC 、BC ，AB ＝10，tan∠BAC ＝34，则阴影部分的面积为( ) A.252π B.252π－24 C ．24D.252π＋24 解析：∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∵tan ∠BAC ＝34， ∴sin ∠BAC ＝35. 又∵sin ∠BAC ＝BC AB，AB ＝10，∴BC ＝35×10＝6. AC ＝43×BC ＝43×6＝8，∴S 阴影＝S 半圆－S △ABC ＝12×π×52－12×8×6 ＝252π－24. 答案：B10．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以A 为圆心、AC 为半径的圆交AB 于F ，交BA 的延长线于E ，CD ⊥AB 于D ，给出四个等式：①BC 2＝BF ·BA ；②CD 2＝AD ·AB ；③CD 2＝DF ·DE ；④BF ·BE ＝BD ·BA .其中能够成立的有( )A ．0个B ．2个C ．3个D ．4个 解析：①②不正确，由相交弦定理知③正确，又由BC 2＝BE ·BF ，BC 2＝BD ·BA ，得BE ·BF ＝BD ·BA ，故④正确．答案：B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把正确答案填写在题中的横线上)11．四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD ＝120°，OB ＝1，则∠BAD ＝________，∠BCD ＝________，BCD 的长＝________.解析：∠BAD ＝∠12BOD ＝60°， ∠BCD ＝180°－∠BAD ＝120°，由圆的半径OB ＝1，∠BOD ＝2π3， ∴BCD 的长为2π3. 答案：60° 120° 2π3 12．(陕西高考)如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF ·DB ＝________.解析：由相交弦定理可知ED 2＝AE ·EB ＝1×5＝5，又易知△EBD 与△FED 相似，得DF ·DB ＝ED 2＝5.答案：513.如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，AC ，BC ，AB 分别与⊙O 切于点D ，E ，F ，∠C ＝90°，AD ＝3，⊙O 的半径为2，则BC ＝________.解析：如图所示，分别连接OD ，OE ，OF .∵OE ＝OD ，CD ＝CE ，OE ⊥BC ，OD ⊥AC ，∴四边形OECD 是正方形．设BF ＝x ，则BE ＝x .∵AD ＝AF ＝3，CD ＝CE ＝2，∴(2＋x )2＋25＝(x ＋3)2，解得x ＝10，∴BC＝12.答案：1214．如图，AB为⊙O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交AB的延长线于E，若EA＝1，ED＝2，则BC＝________.解析：∵CE为⊙O的切线，D为切点，∴ED2＝EA·EB.又∵EA＝1，ED＝2，得EB＝4，又∵CB、CD均为⊙O的切线，∴CD＝CB.在Rt△EBC中，设BC＝x，则EC＝x＋2.由勾股定理得EB2＋BC2＝EC2.∴42＋x2＝(x＋2)2，得x＝3，∴BC＝3.答案：3三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC＝PD，求证：(1)l是⊙O的切线；(2)PB平分∠ABD.证明：(1)连接OP，因为AC⊥l，BD⊥l，所以AC∥BD.又OA＝OB，PC＝PD，所以OP∥BD，从而OP⊥l.因为P在⊙O上，所以l是⊙O的切线．(2)连接AP，因为l是⊙O的切线，所以∠BPD＝∠BAP.又∠BPD＋∠PBD＝90°，∠BAP＋∠PBA＝90°，所以∠PBA＝∠PBD，即PB平分∠ABD.16．(本小题满分12分)(2012·辽宁高考)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E.证明：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.证明：(1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ，同理∠ACB ＝∠DAB ，所以△ACB ∽△DAB .从而AC AD ＝AB BD ，即AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD ，又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD .从而AE AB ＝AD BD，即AE ·BD ＝AD ·AB .结合(1)的结论，AC ＝AE .17.(本小题满分12分)如图，AB 为圆O 的直径，CD 为垂直于AB 的一条弦，垂足为E ，弦BM 与CD 交于点F .(1)证明：A ，E ，F ，M 四点共圆；(2)证明：AC 2＋BF ·BM ＝AB 2.证明：(1)连接AM ，则∠AMB ＝90°.∵AB ⊥CD ，∴∠AEF ＝90°.∴∠AMB ＋∠AEF ＝180°，即A ，E ，F ，M 四点共圆．(2)连接CB ，由A ，E ，F ，M 四点共圆，得BF ·BM ＝BE ·BA .在Rt △ACB 中，BC 2＝BE ·BA ，AC 2＋CB 2＝AB 2，∴AC 2＋BF ·BM ＝AB 2.18．(辽宁高考)(本小题满分14分)如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径；(2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .证明：(1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD .由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA ，又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA ，所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ，从而∠BDA ＝∠PFA .由于AF ⊥EP ，所以∠PFA ＝90°，于是∠BDA ＝90°.故AB 是直径．文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。
第二讲 久期与凸度
（2）修正久期（D*） ）修正久期（ ）
修正久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的 指标。 指标。 公式： 公式： D * (修正久期) = DM 1 +（公式 ） i 公式2-5） 这里i指利率 指利率。 这里 指利率。
（3）美元久期（D**） ）美元久期（ ）
D**=D* × PB 公式2-6） （公式 ） 其中： 指债券现行价格 指债券现行价格。 其中：PB指债券现行价格。 △PB=-D*PB△i △PB≈DMPB△i 这里： 指债券的价格变动， 指预期利率的变动 指预期利率的变动。 这里：△PB指债券的价格变动，△i指预期利率的变动。 这个公式告诉我们， 这个公式告诉我们，债券价格的变动与预期利率的变动方 向是反向的，而修正久期正好相当于一个放大因子。 向是反向的，而修正久期正好相当于一个放大因子。
第二讲 久期和凸度
吴义能
第一节 久期
1. 久期的概念
久期(也称持续期) 用来衡量债券的到期时间。它 久期(也称持续期) 用来衡量债券的到期时间。
是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。 是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。 久期是指收益率变化1％所引起的债券全价变化的 久期是指收益率变化1 百分比。即久期用来衡量债券价格对利率/ 百分比。即久期用来衡量债券价格对利率/收益率 变化的敏感性。 变化的敏感性。其实就是价格相对于收益率的一阶 导数。 导数。
王鑫 07级王鑫说： 07级王鑫说：利率 级王鑫说 上升风险是债券价 格下降的风险， 格下降的风险，这 时,修正久期小的 债券下降就小所以 修正久期小的债券 较修正久期大的债 券抗利率上升风险 能力强。 能力强。
例2：已知某种债券当前的市场价格为 已知某种债券当前的市场价格为125美元， 美元， 已知某种债券当前的市场价格为 美元 当前的市场年利率为5%，债券的久期为4.6年 当前的市场年利率为 ，债券的久期为 年， 如果市场利率上升40个基点 个基点， 求：如果市场利率上升 个基点，债券的市场价 格将发生怎样的市场变化？ 格将发生怎样的市场变化？ 解：PB=125, i=5%, DM=4.6年， △i=+0.004 年 所以△ 所以△PB≈DMPB△i=-4.6 × 125 × 0.004 = △ 2.19美元。 美元。 美元 即债券的价格将要下降2.19美元。 美元。 即债券的价格将要下降 美元
视频2-2 功和热
第 2 讲 化学热力学基础2.2 热和功2.2 Heat and Work热力学基本概念-体系与环境-状态与状态函数-过程与途径知识回顾-功与热热和功（heat and work）热热是因温度不同而在体系和环境之间传递的能量形式，常用符号Q表示。
•热的符号-体系从环境吸热为正（Q > 0）-体系向环境放热为负（Q < 0）热和功（heat and work）功除了热以外，体系和环境之间的其它一切能量传递形式都称之为功，常用符号W表示。
如体积功、电功、机械功、表面功等。
•功的符号-环境对体系做功为正（W > 0）-体系对环境做功为负（W < 0）由于化学反应通常不做电功、表面功等非体积功，因此，对于有体积变化的化学反应或相变过程而言，通常只做体积功。
-体积功一般用 W 表示，非体积功用 W′ 表示。
体系反抗外压发生体积变化时产生的功。
-液体和固体在变化过程中体积的变化很小，因此体积功通常是针对气体而言进行讨论。
当缸内气体的内压与外压相等，即 p 外 = p 1 时，体系处于热力学平衡态，即始态。
始态Lp 外 = p 2理想气体p 2 、V 2等温膨胀终态理想气体做等温膨胀，缸内气体反抗外压 ( p 外 = p 2 ) 使活塞移动了距离 L ，达到新的热力学平衡态，即终态。
p 外 = p 1活塞气缸理想气体p 1 、V 1体系反抗外压p外对环境所作的体积功可以用下式计算：W = – F×L= – p外×S×L= – p外×ΔV– p× ΔV注意：（1）p外等于气体做等温膨胀达到终态时的压力p2；（2）∆V = V2 ‒ V1。
p 1 = 405.2 kPa V 1 = 1.00 L T 1 = 273 K始态p 2 = 101.3 kPa V 2 = 4.00 L T 2 = 273 K终态p′ = 202.6 kPa V′ = ? T′ = 273 K中间态途径A途径B I途径B IIp 1 = 405.2 kPa V 1 = 1.00 L T 1 = 273 K始态p 2 = 101.3 kPa V 2 = 4.00 L T 2 = 273 K终态途径AW 1 = – p 外 ∆V （1）途径A （一次等温膨胀过程）：外压从405.2 kPa 一次减小到 101.3 kPa ，气体自动 迅速膨胀到终态。
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实验2 改变字段显示风格、创建系统主界面和菜单【实验目的和要求】1.打开工作区，创建数据源、建立描述文件、连接数据库2.将“性别”字段显示格式改为DropDownListBox3.将“生日”字段显示格式改为“XXXX年XX月XX日”4.为“备注”字段添加水平和垂直滚动条5.增加“年龄”计算字段6.在字段增加“说明”或“提示”7.在“标题带”中添加当前所显示的记录是“第X人（共X人）”8.在窗体上添加记录导向按钮“第一位”“前一位”“后一位”“最后位”9.系统菜单的制作10.运行程序【重点掌握】1.字段显示风格以及格式修改2.计算字段的添加方法和函数的使用3.记录导向按钮及代码【实验步骤】如果你是在自已的计算机上做练习，启动PowerBuilder后，你会发现你所开发的环境仍然保留在系统中，即工作区addressbook已经打开，而且addressbook数据库也被自动连接上了，此时你可以直接从步骤4做起。
但是，如果你是在学校的机房做实验，实验完成后必须将其备份起来。
因为学校的机房一般都安装了保护卡，重新启动计算机，系统将复原如新。
当把上次的实验结果恢复到系统中，重新启动PowerBuilder，工作区是空的，数据源以及描述文件均不存在，需要重新建立，必须从步骤1开始做起。
1.打开工作区菜单上，选择“File”→“Open…”，在打开的Open对话框上，Look In:后面的文本框中选择c:\addressbook文件夹，在下面的列表框中选择addressbook.pbw→“OK”。
2.建立数据源（Data Source）菜单上，选择DB Profile图标→ODB ODBC→Utilities→双击ODBC Administrator，打开ODBC 数据源管理器对话框，单击“添加”→选中SQL Anywhere 10→“完成”，打开SQL Anywhere 10的ODBC配置对话框。
（1）“ODBC”标签页，在“数据源名:”后面的文本框中输入addressbook（2）“登录”标签页，在“用户ID:”后面的文本框中输入dba，在“口令:”后面的文本框中输入sql（3）“数据库”标签页，单击“浏览…”，找到数据库文件C:\addressbook\addressbook.db →“打开”，在“数据库名:”后面的文本框中输入addressbook.db→“确定”→“确定”。
3.建立描术文件、连接数据库在“ODB ODBC”上单击右键→“New Profile…”→打开Database Profile Setup —ODBC 对话框，如图2-1所示，在Connection标签页上，“Profile Name:”后的文本框中输入addressbook→单击“Data Source:”后面文本框右边的箭头，在下拉列表框中选取刚建好的数据源addressbook，在“User ID:”后面的文本框中输入dba，在“Password:”后面的文本框中输入sql→“OK”，此时，在ODB ODBC下面已经多了一个数据库描述文件addressbook，在该文件名上右击鼠标→“Connect”，当数据库连接成功时，该文件名前面的图标上会有一个对钩。
图2-1 Database Profile设置4.打开数据窗口对象d_input双击系统树视图区中的d_input对象（或在d_input上单击右键→“Edit”）。
5.将“性别”的显示风格改为DropDownListBox选中“性别”字段→属性面版“Edit”标签页，在Style Type下面的列表框中选择“DropDownListBox”选项，在该标签页的下面出现了Code Table表，在Display Value和Data Value中分别输入“男”，按Tab键，在第2行中，两个域中分别输入“女”。
最后选中本页中的Always Show Arrow复选框，如图2-2（a）所示。
6.为“生日”字段设置掩码格式“XXXXXX月XX日”选中“生日”字段→属性面版“Edit”标签页，在Style Type下面的列表框中选择“EditMask”选项，然后在Mask下面的文本框中输入yyyy年mm月dd日，如图2-2（b）所示。
7.为“备注”字段添加水平和垂直滚动条选中“备注”字段→属性面版“Edit”标签页，选中Horizontal Scroll Bar和Vertical Scroll Bar两个复选框。
（a）（b）图2-2 字段属性设置8.增加“年龄”计算字段单击PainterBar1上Text图标右边的黑三角，在展开的工具箱中选择“Create acomputed field”图标，然后在d_input上单击，弹出Modify Expression对话框，在“Expression:”下面的文本框中输入year(today()) –year(生日) →“OK”，此时d_input上出现了一个计算字段。
再给“年龄”计算字段前面添加一个文字说明“年龄:”：单击PainterBar1上Compute图标右边的黑三角，在展开的工具箱中选择“Create a text object”图标，然后在d_input上单击，此时d_input上出现了一个文本框对象，通过StypeBar工具栏把文本框中的“text”改为“年龄:”，调整它的位置、字体颜色，如图2-3（a）所示。
（a）（b）图2-3 字段属性设置9.给字段增加“提示”程序在运行时，当鼠标经过某字段时可以自动显示提示信息，例如给生日添加一个信息提示“阳历日期”。
选中“生日”字段，在属性面板Tooltip标签页上，选中“Enabled”前面的复选框，并在Tip下面的文本框中输入“阳历日期”，如图2-3（b）所示。
10.在“标题带”中添加显示当前的记录和总记录，即“第X位（共X位）”在d_input对象中，用鼠标按住标题带的控制线向下拖动，其上方留出了一个空白区。
单击PainterBar1上Text图标右边的黑三角，在展开的工具箱中选择“Createa computed field”图标，然后在刚建好的空白区中单击一下，弹出Modify Expression对话框，在“Expression:”下面的文本框中输入"第"+getRow()+" 位（共"+rowCount()+" 位）"→“OK”，此时在d_input上出现了一个计算字段。
单击工具栏上的保存图标。
11.在窗体上添加记录导向按钮“第一位”“前一位”“后一位”“最后位”双击系统树视图区中的w_input对象（或在w_input上单击右键→“Edit”），打开w_input 窗口对象。
单击PainterBar1上的CommandButton图标，并在窗口上单击，创建了一个新的命令按钮，然后按三次Ctrl+T组合键再复制出三个按钮，调整它们的位置和大小，并通过StyleBar工具栏把四个按钮上的文本分别改为“第一位”“前一位”“后一位”“最后位”。
为四个按钮编写代码。
“第一位”按钮中的代码：dw_1.scrollToRow(1)“前一位”按钮中的代码：dw_1,scrollPriorRow()“后一位”按钮中的代码：dw_1.scrollNextRow()“最后位”按钮中的代码：dw_1.scrollToRow(dw_1.rowCount())单击工具栏上的保存图标。
关闭w_input和d_input对象。
12.创建系统主界面菜单上，选择“File”→“New…”，在打开的New对话框上，选择PB Object标签页，选择Window图标→“OK”，出现了一个窗口Layout的界面。
在属性General标签页上，把Title下面文本框中的“untitled”改为“通信录管理系统”，单击工具栏上的保存图标，在打开的Save Window对话框上“Windows:”下面的文本框中输入w_main→“OK”。
13.系统菜单的制作菜单上，选择“File”→“New…”，在打开的New对话框上，选择Pb Object标签页，选择Menu图标→“OK”，出现了菜单设计界面。
在“untitled0”上点右键→“Insert Submenu Item”，在“untitled0”下方出现了一个空白框，在空白框中输入“信息录入”，打回车键。
在“untitled0”上点右键→“Insert Submenu Item”，在“信息录入”下方出现了一个空白框，在空白框中输入“退出”，打回车键。
在“信息录入”上点右键→“Insert Submenu Item”，在“信息录入”下方出现了一个空白框，在空白框中输入“通信录信息录入”，打回车键。
（是信息录入的子菜单）如图2-4所示。
图2-1 Database Profile设置为菜单编写代码。
在“通信录信息录入”子菜单项上单击右键→“Script”，在下方的文本框中输入代码：open(w_input)。
在“退出”菜单项上单击右键→“Script”，在下方的文本框中输入代码：close(w_main)。
单击工具栏上的保存图标，在打开的Save Menu对话框上“Menus:”下面的文本框中输入m_main→“OK”，然后关闭该菜单，界面上显示出了窗口w_main。
14.把主界面菜单结合起来单击窗口w_main属性面板General标签页“MenuName”下面文本框右侧浏览图标，打开了Select Object对话框，“Menus:”下面的文本框中已经出现了菜单的名字m_main→“OK”，单击工具栏上的保存图标。
15.修改系统“应用”中的代码双击系统树视图区第四行的addressbook（系统的应用），右侧出现了系统应用的代码，把第四行代码open(w_input)改为open(w_main)，单击工具栏上的保存图标。
16.运行单击工具栏上的运行图标，你所设计的系统主界面和菜单就显示出来了，单击菜单上“信息录入”→“通信录信息录入”，“通信录录入界面”打开了，如图2-5图所示。
图2-5 修改后的通信录录入界面。