初中数学几何基证明技巧

初中数学几何基证明技巧

黄文杰

一.总论：

1.研究几何图形要把我们生活中的折叠，平移，旋转等操作运用到几何学习和探究中来，充分运用生活的观察视角去研究问题和解决问题；

2.要熟练掌握几何图形够成的基本元素是边和角，运用分类思想对组成图形的各要素进行研究和探索，得出合理的结论；

3.充分灵活运用“边清，角清，已知条件清，等量关系清，问题清”和“合情推理”。

4.图形计算问题一般运用公式，等量关系，勾股定理，相似比建立方程解决。

5.辅助线的添加要以基本公理，定理模型图为根据，完善模型；计算题一般是构造直角三角形和相似三角形；面积问题一般是根据面积的和与差建立等量关系。

二.几何证明的分析和书写：

（一）几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：

一是平面图形的数量关系；

二是有关平面图形的位置关系。

这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

（二）掌握分析、证明几何问题的常用方法：

（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；

例：如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AD为腰CB上的中线，CE⊥AD交AB于E．求证∠CDA＝∠EDB．

1

2

A

B C

D

E

（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；

例、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于

D ，EF 垂直平分AD ，交AC 于

E ，交AC 于F.求证：四边形AED

F 是菱形.

（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

例;已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，CD ⊥AD ，AD 2＋

CD 2＝2AB 2．

（1）求证：AB ＝BC ；

（2）当BE ⊥AD 于E 时，试证明：BE ＝AE ＋CD ．

（4）分析法与综合法的特点：

分析法的特点是从要证明的结论开始一步步地寻求其成立的条件，直至寻求到已知条件上。

综合法的特点是从已知条件开始推演，一步步地推导结果，最后推出要证明的结果。

（5）分析法与综合法的优缺点：

①证几何题时，在思索上，分析法优于综合法，在表达上分析法不如综合法。

②分析法利于思考，综合法宜于表述，在解决问题中，最好合并使用。

③对于一个新问题，我们一般先用分析法寻求解决，然后用综合法有条理地表（三）.掌握构造基本图形的方法：

复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。

（1）一般是以定理的模型图完善图形；

（2）根据轴对称和中心对称，旋转中心构造全等；

（3）记住梯形和圆中常添的辅助线；

（4）运用割补法进行图形平移；

（5）熟息相似的重要模型图。（如：A型和X型等）

（6）几何图形的计算经常用方程的思想去解决，一般运用勾股定理和相似比为等量关系建立方程。

（7）折叠图形是中考热点，也是轴对称，直角三角形和相似三角形。

注：养成良好的审题习惯，标注一直和问题；做到“边清，角清，图清，已知条

件清，数量关系清，位置关系清，问题清”和“合情推理”。

【分类解析】

1、证明线段相等或角相等

两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

这时应注意：

（1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量；

（2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。

（3）审题时要以轴对称，中心对称，旋转的眼光看图，找出添加辅助线的可能性。

2、证明直线平行或垂直

在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。

例3. 如图3所示，设BP、CQ是∆ABC的内角平分线，AH、AK分别为A

线段。（截长法）

例5. 已知：如图6所示在∆ABC 中，∠=︒B 60，∠BAC 、∠BCA 的角平分线AD 、CE 相交于O 。

例6. 已知：如图7所示，正方形ABCD 中，F 在DC 上，E 在BC 上，

∠=︒EAF 45。

求证：EF ＝

【实战模拟】

1. 已知：如图11所示，∆ABC 中，∠=︒C 90，D 是AB 上一点，DE ⊥CD 于D ，交BC 于E ，且有AC AD CE ==。求证：DE CD =

12

3. 已知：如图13所示，过∆ABC的顶点A，在∠A内任引一射线，过B、C 作此射线的垂线BP和CQ。设M为BC的中点。

求证：MP＝MQ

都是

求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ．

5、已知：如图，矩形ABCD，DF平分∠ADC，交AC于F，∠BDF=150.求∠BOC、∠DGC的度数.

A

C

B

D

P

Q