几类非经典扩散方程的渐近行为
一类非经典反应扩散方程的指数吸引子
一类非经典反应扩散方程的指数吸引子
几何平均分散理论下的指数吸引子
（一）定义
指数吸引子是结合几何平均分散理论，用非经典反应扩散方程来解释
亚微米纳米动力学过程的数学建模。
它表示一种时变的概念，即在特
定的区域，当时间推移，给定的吸引子及其相应的参数，其核的强度
也能不断增强，从而达到指数级增强。
（二）几何平均分散理论
几何平均分散理论是一种微观动力学理论。
它定义了由几何平均分散
作用在分子活动体上所产生的非经典反应扩散系统。
该理论认为，一
个系统的反应动力，既受到分子给定的相互作用，也受到本源的非经
典影响，表现为非经典行为。
非经典反应扩散的作用，能够产生非线
性效应，如量子振荡、双極及超短信号等，这些理论也成为“指数吸引子”的基础。
（三）指数吸引子的应用
指数吸引子有着广泛的应用。
它可以用于模拟流体流动、热物理计算、传输过程等等。
例如，它可以用来模拟流体流动，其结果比经典模型
更接近实际情况。
在热物理计算中，它能够模拟准确的温度场和速度场，以改善热物理计算的精度和精确度。
此外，它也可以用来模拟传
输过程，模拟不同系统中的信号传输。
（四）指数吸引子的优点
指数吸引子的最大优点是，它能够提供更加准确的模拟结果，比常规
的经典反应扩散方程更具有准确性。
此外，由于几何平均分散的作用，它还能够提供更为强大的信号传输能力，以及更精确的模拟效果，这
对于解决技术问题有着重要的意义。
此外，由于它引入了本源端传递
与量子振荡，使得指数吸引子可以用来解决不同的问题，比如量子力学、量子计算和量子通信等。
具源项的奇异扩散方程解的存在性及渐近性
定理 １ 在假设 （ 之下， ２ ） 问题 （ 存在 唯一的光滑正解 札∈ｃ 。 ） （ ， ； ０１） １ ） ｏ（ ｎ 【 ∞）Ｌ （，） Ｇ ０ ．
其 中 ： Ｇ ＝（，） ０∞） ０１ ×（， ． 定 理 ２ 设 ｕ是 问题 （）的光 滑 正 解 ，则 存 在 正 常 数 ｃ 使 得 １ （ ｕ一面 ）ｄ Ｃ 了
在 Ｇ丁上 的光 滑 正 解 ，则 存 在 与 及 Ｕ 有 关 的 正 数 ＭＴ 使 得 Ｏ ，
ｕＩ一Ｇ ） ＭＴ Ｌ （Ｔ ｌ
其 中 ＭＴ＝【 １ ） 口 一ｐ ＋Ｍ１ｐ ． （ 一】
（ 集美大学理学院，福建 厦门 ３１２） ６０１
摘 要 讨论了—类具源项的奇异扩散方程的第二初边值问题， 证明了经典解的存在性以及时间充 分大时解的渐近性质．
关键词 源项；奇异扩散；渐近性质
中图分类号 ０ １７ ５ ． ８ 文献标识码 Ａ
１ 引 言
近 几 十 年 来 ，关 于 非 线 性 抛 物 方 程 ｕ ＝ （（） ＋６乱 （） ￡ ０ｕ札 ） （）＋ｃ札 的研 究 已有许 多 成 果 ． 当 ０ ａｘ） Ｍ ＜ ∞ 时 ，称 上 述 方 程 为 退 化 抛 物 方 程 ，它描 述 了 地 下 水 的 渗 透 （ 过 程 ；当 ａｚ） 为 无 限 时 ，方 程 变 为 奇 异 扩 散 方 程 ，也 称 为 快 扩 散 方 程 ，奇 异 扩 散 方 （ 可 程 有 其鲜 明 的 物 理 意 义 ． 比如 方 程 ｕ ＝ （ｒ－ ） 。 Ｕ １ ，当 ｍ ＝１时描 述 了等 离 子 体 的热 ｎ 扩 散 过 程 ；当 ｍ ＝ ０时 描 述 了 热 电子 云 的膨 胀 过 程 ；而 当 ” 一 １时 则 描 述 了固 态 氢
扩散方程 稳态扩散与非稳态扩散.
一、扩散方程稳态扩散与非稳态扩散1．稳态扩散下的菲克第一定律（一定时间内，浓度不随时间变化dc/dt=0）单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（扩散通量）与该面积处的浓度梯度成正比即J=－D（dc/dx）其中D：扩散系数，cm2/s，J：扩散通量，g/cm2·s ，式中负号表明扩散通量的方向与浓度梯度方向相反。
可见，只要存在浓度梯度，就会引起原子的扩散。
x轴上两单位面积1和2，间距dx，面上原子浓度为C1、C2则平面1到平面2上原子数n1=C1dx ，平面2到平面1上原子数n2=C2dx若原子平均跳动频率f, dt时间内跳离平面1的原子数为n1f·dt跳离平面2的原子数为n2fdt，但沿一个方向只有1/2的几率，则单位时间内两者的差值即扩散原子净流量。
令，则上式2．扩散系数的测定：其中一种方法可通过碳在γ-Fe中的扩散来测定纯Fe的空心园筒，心部通渗碳气氛，外部为脱碳气氛，在一定温度下经过一定时间后，碳原子从内壁渗入，外壁渗出达到平衡，则为稳态扩散单位时单位面积中碳流量：A：圆筒总面积，r及L：园筒半径及长度，q：通过圆筒的碳量则：即：则：q可通过炉内脱碳气体的增碳求得，再通过剥层法测出不同r处的碳含量，作出C-lnr曲线可求得D。
第一定律可用来处理扩散中浓度不因时间变化的问3．菲克第二定律：解决溶质浓度随时间变化的情况，即dc/dt≠0两个相距dx垂直x轴的平面组成的微体积，J1、J2为进入、流出两平面间的扩散通量，扩散中浓度变化为，则单元体积中溶质积累速率为（Fick第一定律）（Fick第一定律）（即第二个面的扩散通量为第一个面注入的溶质与在这一段距离内溶质浓度变化引起的扩散通量之和）若D不随浓度变化，则故：4．Fick第二定律的解：很复杂，只给出两个较简单但常见问题的解a. 无限大物体中的扩散设：1）两根无限长A、B合?金棒，各截面浓度均匀，浓度C2>C12）两合金棒对焊，扩散方向为x方向3）合金棒无限长，棒的两端浓度不受扩散影响4）扩散系数D是与浓度无关的常数根据上述条件可写出初始条件及边界条件初始条件：t=0时, x>0则C=C1，x<0, C=C2边界条件：t≥0时, x=∞,C=C1, x=－∞, C=C2令，代入则,则菲克第二定律为即（1）令代入式（1）则有（2）若代入（2）左边化简有而积分有（3）令，式（3）为由高斯误差积分：应用初始条件t=0时x>0, c=c1,x<0, c=c2,从式（4）求得(5)则可求得(6)将（5）和（6）代入（4）有：上式即为扩散偶经过时间t扩散之后，溶质浓度沿x方向的分布公式，其中为高斯误差函数，可用表查出：根据不同条件，无限大物体中扩散有不同情况（1）B金属棒初始浓度，则（2）扩散偶焊接面处溶质浓度c0，根据x=0时，，则，若B棒初始浓度，则。
非稳态扩散名词解释
非稳态扩散名词解释非稳态扩散：非稳态扩散又称自发过程、非平衡扩散，是不需要外界能量的作用就能自发进行的一类扩散过程。
自然界中的扩散多数是非稳态扩散。
本文主要介绍非稳态扩散。
⑴非稳态扩散定义：在无限时间内，随着流体通过的断面面积变化而产生的浓度变化，称为非稳态扩散。
它是依靠单位时间通过的总面积或所有截面的总通量来描述的。
⑵非稳态扩散过程的分类(1)化学平衡理论解释的平衡分布过程(2)熵值理论解释的平衡分布过程(量子力学认为所有物质的微观运动形式都服从统计规律)。
⑶非稳态扩散机理研究意义：⑴使对象更加复杂；⑵导致各个部分的性质发生改变；⑶导致结构变得更加复杂；⑷使人们可以获取到更加丰富的信息。
非稳态扩散：非稳态扩散又称自发过程、非平衡扩散，是不需要外界能量的作用就能自发进行的一类扩散过程。
自然界中的扩散多数是非稳态扩散。
非稳态扩散分为两大类：吸附扩散和分子扩散。
吸附扩散是分子或颗粒物质因受其他物质吸引，相互接近而引起的一种扩散过程。
其特点是扩散的浓度比在空气中低，扩散的传质系数比在空气中大。
分子扩散是指由于温度差或化学反应等引起的扩散。
其特点是扩散的浓度比在空气中高，扩散的传质系数比在空气中小。
⑷扩散过程与状态变化特点：①属于等温、等压、等体积过程；②扩散速率不受浓度差的影响；③扩散的方向性；④存在固定的扩散系数；⑤有特定的传质系数。
⑸浓度梯度与传质系数：在某一瞬时，物料中每一点上的浓度梯度是该点处各个浓度单位的相应值的连乘积。
传质系数k是单位时间内从扩散体系一侧通过单位截面积物料的量，也就是单位时间内每单位面积上的物料浓度梯度除以物料的体积V。
⑹不稳态扩散与稳态扩散：稳态扩散与不稳态扩散之间的区别是前者有外力推动。
而后者则没有，这是非稳态扩散与稳态扩散最根本的区别。
⑺稳态扩散与不稳态扩散的比较：在稳态扩散中，由于断面面积变化而产生的浓度变化可忽略，所以其分析的方法与其他类型的扩散相同。
而在不稳态扩散中，外力推动必须满足浓度变化的情况下才有意义，故其分析方法不同。
一类非经典反应扩散方程全局吸引子的正则性
局吸引子的正则性的讨论， 证明系统（ ） 砩（ 中的全局吸引子Ａ 即为系统在 Ｄ Ａ Ｉ在 力） （ ）中的
全局 吸 引子 Ａ 。
２ 预 备 知 识
首先 ， 令 日 ＝ （ ，Ｖ： （ ， Ａ）＝ （ ）ｎ （ ） 中 Ａ ＝一△， 别用 （ ， ） ． 表 ） ） Ｄ（ 其 ｉ ｎ ｆ ｓｏ ｕ ｔ ｏ
Ｇ ｎ ｉｇ Ｚ ｎ ａｑｎ ｏｇＪ ｎ ｅ ｇＭｉｏ ｉ ＱｎＧ ｉｉ ｇ ｉ ｕｘａ ｎ
（ ．Ｓｈｏ ｏ ｔｅ ａｉ ｎ ｏ ｐ ｔ ｉ ， ｈｎｓａＵ ｉｅｓｙｏ ｃ ｎｅａ ｄＴ ｃｎ ｌ ｙ Ｃ ａｇｈ ， １０ ４ １ ｃ ｏｌ ｆ ｈｍ ｔ ｓａｄＣ ｍ ｕ ｔ ｎ Ｃ ａｇｈ ｎｖｒｉ ｆ ｉ ｃ ｎ ｅｈｏｏ ， ｈｎｓａ ４ ０ １ ） Ｍａ ｃ ａｏ ｔ Ｓｅ ｇ （ ．Ｂ ｓ ｅｓＳｈｏ， ｅｔ ｌ ｏ ｔ Ｕ ｉ ｒｉ ，ｈ ｎｓａ４０ ８ ） ２ ｕｉ ｓ ｃｏｌＣ ｎｒ ｕｈ ｎ ｅ ｔ Ｃ ａｇｈ ，１０ ３ ｎ ａ Ｓ ｖｓ ｙ
示 中 内 与 数 用ｉｌ ｎ ｌ 示 的 数 （） 的 积 范 。 ｊ 中 范 。 ＝『 Ｉ Ｉ 表
对非 线项 ／作 如 下假设 ： 厂∈ Ｃ （ Ｒ）满 足 ：
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一
类非经典反应扩散方程全局 吸引子的正则性
２ ９
［ ］Ｅ ２ ｉ， ｉ￣Ｔ系统 （）整体弱解对应的解半群在空间 Ｖ＝ （ １ 力）中全局吸引子的存在性， 文献
［］ ３ 证明了系统 （ ） １ 整体强解对应的解半群在空间 Ｄ Ａ （ ）＝１ （ ｔ ）ｎ （ 中全局吸引子的 ２ ）
反应反常扩散和非遍历动力学_模型、理论及应用
反应反常扩散和非遍历动力学_模型、理论及应用反应反常扩散和非遍历动力学：模型、理论及应用引言：反应扩散是生物学、物理学、化学和地理学等多个领域中的重要现象之一。
在传统的扩散理论中，颗粒或分子的移动规律是随机的，在一个均匀的介质中自由扩散，具有线性时间依赖性。
然而，当扩散系统中存在其他因素时，扩散行为可以展示出非线性的、非均匀的特性，即反应反常扩散。
反应反常扩散是非线性动力学的重要组成部分，具有广泛的应用价值。
本文将对反应反常扩散以及与之相关的非遍历动力学进行概述，并探讨这些理论在生物学、物理学和化学等领域中的应用。
一、反应反常扩散的模型反应反常扩散的模型通常可以通过扩散方程和反应方程相结合来描述。
在一维扩散方程中，扩散系数可以是时空相关的，具有非线性的扩散通量。
另外，在反应方程中，反应速率也可能取决于浓度的空间分布。
这些非线性因素使得扩散和反应之间的相互作用变得复杂，导致系统表现出反应反常扩散现象。
二、理论基础理论上，反应反常扩散可以通过两种重要的概念进行解释：扩散界面和反应梯度。
扩散界面是指介质中的两个物质浓度不同的界面，该界面通常具有非线性特性。
反应梯度是指反应的速率与浓度梯度之间的关系。
当反应梯度随着扩散进行逐渐增大或减小时，系统将呈现出不同的动力学行为。
三、应用领域1. 生物学：反应反常扩散在生物学中起着关键作用。
例如，在神经元的传递过程中，离子通过细胞膜的扩散不仅取决于浓度梯度，还与细胞膜上的离子通道的分布和活性有关。
另外，许多生物体的生长和分布也受到局域性的非线性扩散过程的调控。
2. 物理学：反应反常扩散在物理学中具有重要的实验和理论研究价值。
例如，金属腐蚀和合金相变中的非线性扩散过程可以通过模型来解释。
此外，反应反常扩散也在复杂材料的制备和性能优化中发挥着重要作用。
3. 化学：许多化学反应都涉及到扩散过程。
反应反常扩散可以改变化学反应的速率和平衡点，进而影响产物的形成。
在化学工程中，利用反应反常扩散来调控化学反应的效率和选择性是一种重要的策略。
具Sobolev—Galpern型湿气迁移方程解的渐近性和Blow—up
关 键 词 ： 非 线 性 ； Ｓ ｂ ｌｘＧａｐ ｒ 型 ； 迁 移 方 程 ； 解 的 渐 近 行 为 和 爆 破 ｏ ｏｃ， ｌ ｅｎ 一
中图分类号 ： Ｏ ｌ ５ ７
Ｍ Ｒ 分类 号 ： ３ Ｋ５ ；３ Ｋ２ ５ ７ ５ ０
文献 标识码 ： 、
文章编号 ：１０ ６ ６ ２ ０ ）３ ０ ０ ６ ０ ９ ２ （０ ２０ ３ ５ ０ １
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ｎ Ｕ
及 更 一 般 的方 程 Ⅱ ｔＡｕ —ｃｔｕ ＝ ｇ ｕ ． ＋Ｆ ｔＶｕ＋ ｆ ｘ ｔＡ“ （ ） ｔ （）ｔ （． ） （ ） ｃ ， （ ，）
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边 值 问题 在解 存 在 唯 一下 ，讨 论 其解 渐 近 行 为和 Ｂ 。、． １、 ｒ ｐ现象 ，得 到 了 相应 问题 的新 结 果 ． 一 众 所 周 知 ，土 壤 中 的 湿气 源 于 土 壤 因子 、环 境 和 气 象 因子 ．它 涉及 到 地 形 、海 拔 、光 照时 间、空 气 湿 度 、风 力等 诸 多 因 素，它 们 均 与 该 两 大 因子 参 数 有 关 ．即 据 地 下 水 流 过 区 域 、地 热 和 压 力 ，周 围 温 度均 有 关 ．一 般讲 较 有 规 律 和 相 对 稳 定 的湿 气 ，对 促 进 以 自然 生 态 环 境 为 主 的 生物 种 群 的生 存 及 持 续 生 存 是 比较 适 合 有 益 的 ．
维普资讯
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扩散模型分类
扩散模型分类在数学和物理学中，扩散模型是一种描述扩散过程的数学模型。
扩散是指物质在不同浓度区域间的自发传输。
扩散模型可以应用于多个领域，包括化学、生物学、环境科学等。
根据不同的条件和假设，扩散模型可以分为不同的分类。
本文将对扩散模型的分类进行详细的介绍。
1. 精确解与近似解扩散模型的解可以分为精确解和近似解两种。
精确解是指通过严格的数学分析和求解，得到的能够准确描述扩散过程的解。
精确解常常是基于一些理想化的假设和边界条件得出的。
而近似解则是通过采用近似方法，将扩散模型简化为更容易求解的形式得到的解。
近似解可以通过数值方法或者解析方法得到，常常适用于复杂的扩散模型。
2. 线性与非线性模型线性扩散模型是指扩散过程中物质浓度与浓度梯度之间满足线性关系的模型。
线性扩散模型通常适用于物质浓度变化较小的情况。
而非线性扩散模型则是指扩散过程中物质浓度和浓度梯度之间存在非线性关系的模型。
非线性扩散模型适用于物质浓度变化较大的情况，通常需要借助数值方法进行求解。
3. 稳态与非稳态模型扩散模型还可以根据是否考虑时间因素进行分类。
稳态模型是指扩散过程中物质浓度不随时间变化的模型。
稳态模型适用于描述无外部影响，且物质浓度分布保持不变的情况。
非稳态模型则是指扩散过程中物质浓度随时间变化的模型。
非稳态模型适用于描述外部影响较大，或者物质浓度分布随时间变化的情况。
4. 离散与连续模型扩散模型还可以分为离散模型和连续模型两种。
离散模型是指将扩散过程离散为一系列的离散点，对每个离散点进行建模和计算。
离散模型适用于描述扩散在离散介质中的传播过程。
而连续模型则是指将扩散过程看作是在连续介质中的传播，通过连续的微分方程进行描述。
连续模型适用于描述扩散在连续介质中的传播过程。
5. 空间维度的不同最后，扩散模型还可以根据空间维度的不同进行分类。
一维扩散模型是指扩散过程在一维空间中进行，常用于描述沿直线传播的扩散。
二维扩散模型是指扩散过程在二维平面中进行，常用于描述平面上的扩散。
扩散方程稳态扩散与非稳态扩散
一、扩散方程稳态扩散与非稳态扩散1．稳态扩散下的菲克第一定律（一定时间，浓度不随时间变化dc/dt=0）单位时间通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（扩散通量）与该面积处的浓度梯度成正比即J=－D（dc/dx）其中D：扩散系数，cm2/s，J：扩散通量，g/cm2·s ，式中负号表明扩散通量的方向与浓度梯度方向相反。
可见，只要存在浓度梯度，就会引起原子的扩散。
x轴上两单位面积1和2，间距dx，面上原子浓度为C1、C2则平面1到平面2上原子数n1=C1dx ，平面2到平面1上原子数n2=C2dx若原子平均跳动频率f, dt时间跳离平面1的原子数为n1f·dt跳离平面2的原子数为n2fdt，但沿一个方向只有1/2的几率，则单位时间两者的差值即扩散原子净流量。
令，则上式2．扩散系数的测定：其中一种方法可通过碳在γ-Fe中的扩散来测定纯Fe的空心园筒，心部通渗碳气氛，外部为脱碳气氛，在一定温度下经过一定时间后，碳原子从壁渗入，外壁渗出达到平衡，则为稳态扩散单位时单位面积中碳流量：A：圆筒总面积，r及L：园筒半径及长度，q：通过圆筒的碳量则：即：则：q可通过炉脱碳气体的增碳求得，再通过剥层法测出不同r处的碳含量，作出C-lnr曲线可求得D。
第一定律可用来处理扩散中浓度不因时间变化的问3．菲克第二定律：解决溶质浓度随时间变化的情况，即dc/dt≠0两个相距dx垂直x轴的平面组成的微体积，J1、J2为进入、流出两平面间的扩散通量，扩散中浓度变化为，则单元体积中溶质积累速率为（Fick第一定律）（Fick第一定律）（即第二个面的扩散通量为第一个面注入的溶质与在这一段距离溶质浓度变化引起的扩散通量之和）若D不随浓度变化，则故：4．Fick第二定律的解：很复杂，只给出两个较简单但常见问题的解a. 无限大物体中的扩散设：1）两根无限长A、B合?金棒，各截面浓度均匀，浓度C2>C12）两合金棒对焊，扩散方向为x方向3）合金棒无限长，棒的两端浓度不受扩散影响4）扩散系数D是与浓度无关的常数根据上述条件可写出初始条件及边界条件初始条件：t=0时, x>0则C=C1，x<0, C=C2边界条件：t≥0时, x=∞,C=C1, x=－∞, C=C2令，代入则,则菲克第二定律为即（1）令代入式（1）则有（2）若代入（2）左边化简有而积分有（3）令，式（3）为由高斯误差积分：应用初始条件t=0时x>0, c=c1,x<0, c=c2,从式（4）求得(5)则可求得(6)将（5）和（6）代入（4）有：上式即为扩散偶经过时间t扩散之后，溶质浓度沿x方向的分布公式，其中为高斯误差函数，可用表查出：根据不同条件，无限大物体中扩散有不同情况（1）B金属棒初始浓度，则（2）扩散偶焊接面处溶质浓度c0，根据x=0时，，则，若B棒初始浓度，则。
农业推广学作业题
农业技术推广学作业题库第一章农业创新扩散原理一、名词解释：1、相对优越性2、创新的采用3、创新的扩散4、发明5、创新二、填空：1、美国学者罗杰斯根据不同时间的采用者划分为5种类型，分别为（）、（）、（）（）、（）。
2、农业创新总体的发展在时间序列上的（）与每项具体的农业创新在农业中应用实践的（），使农业创新的扩散呈现明显的（），而某项具体的（）的扩散过程就是一个周期。
3、在农业推广学中，S形扩散曲线所揭示的规律称为（）4、根据扩散曲线中不同时间扩散速率的特性变化，可把其分为4个不同时期（）、（）、（）、（）。
5、代代连续不断的往下传的方式叫（）。
三、简答题：1、简答创新的特性。
2、农民采用农业创新的过程分为几个阶段?3、简答农业创新的扩散方式。
4、简答农业创新的扩散过程。
5、技术的适用性具体有几种情况？四、论述题：1.影响农业创新扩散的因素有哪些?1.试述农业创新的扩散过程。
第二章农业科技成果转化原理一、名词解释：1、科学2、技术3、科技成果4、科技成果转化5、应用性研究成果）、（ ）、（ ）。
）、（）、（ ）。
）和（）。
是建立在（ ）和（ ）基5、市场经济发展的客观要求和必然趋势的运行机制是（ ）、（ ）、（ ） 6、衡量成果质量的标准有（）、（）、（）、（）、（ ）。
三、简答题1、农业科技成果的类型?2、农业科技成果的特点?3、简答农业科技成果的转化要素。
4、农业科技成果转化的社会效益是什么？二、填空:1、物化类有形成果的特点是（2、农业科技成果转化的要素有（3、科技成果依据表现形式分为（4、农业科技成果转化的社会效益， 础之上的更高形式的综合性效益。
5、农业科技成果转化的评价方法是什么？四、论述题1、试述我国农业科技成果转化常见的运行机制是什么？2、农业科技成果转化的条件是什么？第三章农业推广心理学原理一、名词解释：1、社会心理2、群体3、心理定势4、个性5、兴趣6、能力7、气质8、性格 9、思维 10、情感 11、意志二、填空题:1、人的心里是人脑的机能，是人脑对（ ）的反映。
非线性微分方程的反应扩散方程
非线性微分方程的反应扩散方程非线性微分方程是数学中研究较为深入的一个分支，其中的反应扩散方程更是应用广泛、影响深远。
本文将从基本概念、发展历程、实际应用等角度介绍反应扩散方程。
一、基本概念反应扩散方程是一类非线性偏微分方程，描述了物质在强化反应和扩散作用下的变化规律。
其一般形式为：$$\frac{\partial u}{\partial t}=D\Delta u+f(u)$$其中，$u$表示物质浓度，$t$表示时间，$\Delta u$表示$u$的拉普拉斯算子，$D$表示扩散系数，$f(u)$表示反应速率函数。
反应扩散方程可以用于模拟化学反应、生物种群扩散、城市规划等领域。
二、发展历程反应扩散方程最早由Turing在1952年提出，用于解释动物斑点和花斑的形成机制。
他的理论指出，当某个因素在自然界中存在时间足够长而又不均匀分布时，就会产生自组织现象，例如动物身上的斑点或花卉上的花斑。
这一理论被称为“Turing模型”。
随着时代的发展，反应扩散方程越来越多地应用于其他领域。
1986年，Hasimoto和Toyoki提出反应扩散方程可以用于分析城市规划中的交通流动问题。
1992年，Kailath和Vasudevan发明了一种基于反应扩散方程的数字滤波器，该数字滤波器可以处理高斯噪声并获得更加精确的图像。
三、实际应用反应扩散方程在真实世界的应用非常广泛。
其中最为典型的就是生物种群扩散，例如食物链、生态平衡等。
以食物链为例，反应扩散方程可以用于描述物种之间的竞争和掠食。
在一个封闭的生态系统中，物种之间的关系非常复杂，但反应扩散方程可以简化这种复杂性，并提供有关食物链中哪些物种可能最终获得优势地位的预测。
此外，反应扩散方程在城市规划、天气预报、金融市场等领域也有广泛应用。
在某些特定的情况下，反应扩散方程可以被视为经济学和市场分析的备选工具。
四、总结反应扩散方程是求解一类非线性偏微分方程的一个典型示例。
这个方程模拟了物质在时间和空间中的变化过程，被广泛应用于生物学、城市规划、金融市场等领域。
一类非线性差分方程的全局渐进稳定性
一类非线性差分方程的全局渐进稳定性一类非线性差分方程的全局渐进稳定性非线性差分方程是指一类常见的差分方程，它的研究可以帮助我们更好地理解和控制复杂系统。
而全局渐进稳定性是指一类非线性差分方程的稳定性，它可以帮助我们更好地理解和控制复杂系统的行为，从而更好地应用这类非线性差分方程。
一. 非线性差分方程的基本概念非线性差分方程是一类常见的差分方程，它以差分方程的形式描述复杂系统的时变行为。
它以抽象的形式表达复杂系统的一般性质，以及系统的运动规律，是研究复杂系统的重要工具。
非线性差分方程的典型形式为：y(n+1) = f(y(n))其中，y(n)表示系统状态在时刻n时的值，f(y(n))表示系统状态在时刻n+1时的值，它们之间的关系可以通过非线性函数f(y(n))来描述。
二. 全局渐进稳定性全局渐进稳定性是指一类非线性差分方程的稳定性，它可以帮助我们更好地理解和控制复杂系统的行为，从而更好地应用这类非线性差分方程。
全局渐进稳定性的定义：设y(n)为一类非线性差分方程的解，如果存在正定的常数k和M，使得当n→∞时，|y(n)|≤M·kn，则称此差分方程具有全局渐进稳定性。
全局渐进稳定性的特征：全局渐进稳定性可以保证一类非线性差分方程的解在某个范围内收敛，并且收敛速度是渐进的，即当n→∞时，|y(n)|的增长速度越来越慢。
三. 全局渐进稳定性的判别要判断一类非线性差分方程是否具有全局渐进稳定性，需要先确定这类非线性差分方程的有限解，然后根据定义验证这类非线性差分方程是否具有全局渐进稳定性。
（1）确定有限解：一般来说，一类非线性差分方程具有有限解的充要条件是，不等式f(y(n))≤y(n)成立，其中f(y(n))是一类非线性差分方程的右边的函数。
如果满足此条件，则一类非线性差分方程具有有限解。
（2）验证全局渐进稳定性：确定有限解后，可以根据定义，构造出一类非线性差分方程的有限解，并将其作为验证全局渐进稳定性的依据。
扩散方程稳态扩散与非稳态扩散
扩散⽅程稳态扩散与⾮稳态扩散⼀、扩散⽅程稳态扩散与⾮稳态扩散1．稳态扩散下的菲克第⼀定律（⼀定时间内，浓度不随时间变化dc/dt=0）单位时间内通过垂直于扩散⽅向的单位截⾯积的扩散物质流量（扩散通量）与该⾯积处的浓度梯度成正⽐即J=－D（dc/dx）其中D：扩散系数，cm2/s，J：扩散通量，g/cm2·s ，式中负号表明扩散通量的⽅向与浓度梯度⽅向相反。
可见，只要存在浓度梯度，就会引起原⼦的扩散。
x轴上两单位⾯积1和2，间距dx，⾯上原⼦浓度为C1、C2则平⾯1到平⾯2上原⼦数n1=C1dx ，平⾯2到平⾯1上原⼦数n2=C2dx若原⼦平均跳动频率f, dt时间内跳离平⾯1的原⼦数为n1f·dt跳离平⾯2的原⼦数为n2fdt，但沿⼀个⽅向只有1/2的⼏率，则单位时间内两者的差值即扩散原⼦净流量。
令，则上式2．扩散系数的测定：其中⼀种⽅法可通过碳在γ-Fe中的扩散来测定纯Fe的空⼼园筒，⼼部通渗碳⽓氛，外部为脱碳⽓氛，在⼀定温度下经过⼀定时间后，碳原⼦从内壁渗⼊，外壁渗出达到平衡，则为稳态扩散单位时单位⾯积中碳流量：A：圆筒总⾯积，r及L：园筒半径及长度，q：通过圆筒的碳量则：即：则：q可通过炉内脱碳⽓体的增碳求得，再通过剥层法测出不同r处的碳含量，作出C-lnr曲线可求得D。
第⼀定律可⽤来处理扩散中浓度不因时间变化的问3．菲克第⼆定律：解决溶质浓度随时间变化的情况，即dc/dt≠0两个相距dx垂直x轴的平⾯组成的微体积，J1、J2为进⼊、流出两平⾯间的扩散通量，扩散中浓度变化为，则单元体积中溶质积累速率为（Fick第⼀定律）（Fick第⼀定律）（即第⼆个⾯的扩散通量为第⼀个⾯注⼊的溶质与在这⼀段距离内溶质浓度变化引起的扩散通量之和）若D不随浓度变化，则故：4．Fick第⼆定律的解：很复杂，只给出两个较简单但常见问题的解a. ⽆限⼤物体中的扩散设：1）两根⽆限长A、B合?⾦棒，各截⾯浓度均匀，浓度C2>C12）两合⾦棒对焊，扩散⽅向为x⽅向3）合⾦棒⽆限长，棒的两端浓度不受扩散影响4）扩散系数D是与浓度⽆关的常数根据上述条件可写出初始条件及边界条件初始条件：t=0时, x>0则C=C1，x<0, C=C2边界条件：t≥0时, x=∞,C=C1, x=－∞, C=C2令，代⼊则,则菲克第⼆定律为即（1）令代⼊式（1）则有（2）若代⼊（2）左边化简有⽽积分有（3）令，式（3）为由⾼斯误差积分：应⽤初始条件t=0时x>0, c=c1,x<0, c=c2,从式（4）求得(5)则可求得(6)将（5）和（6）代⼊（4）有：上式即为扩散偶经过时间t扩散之后，溶质浓度沿x⽅向的分布公式，其中为⾼斯误差函数，可⽤表查出：根据不同条件，⽆限⼤物体中扩散有不同情况（1）B⾦属棒初始浓度，则（2）扩散偶焊接⾯处溶质浓度c0，根据x=0时，，则，若B棒初始浓度，则。
基于Matlab实验的非局部反应扩散逻辑方程解的进一步数值研究
ａ （， ｕｘｔ ）
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在［］ ４及许多文献 中，对于 （ ．）的平衡解 的研究 已经很充分 了，因此我们更加关注的是上述经典方程 的推广 形式【】 １ １ ５
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几类非线性偏微分方程精确解的研究
几类非线性偏微分方程精确解的研究几类非线性偏微分方程精确解的研究摘要：非线性偏微分方程在数学和物理领域中有着广泛的应用，其求解是一个重要的研究方向。
精确解研究涉及到方法和技术，大大提高了求解的速度和精度。
本论文针对几类非线性偏微分方程进行研究，探讨其精确解。
首先，本文介绍了这些非线性偏微分方程的基本概念和性质，包括一些应用领域和模型的描述。
然后，我们提出了精确解研究的一般思路和流程，并阐述了具体实现方法。
接着，我们选择了几种典型的非线性偏微分方程，分别介绍其数学特性、求解方法、解的性质等方面，并通过实例进行验证和说明。
最后，我们评估了精确解研究的优缺点，探讨其未来发展方向。
关键词：非线性偏微分方程、精确解、方法、技术、数学特性。
正文：第一章绪论1.1 非线性偏微分方程的基本概念偏微分方程（Partial differential equation）是描述自然界中物理学、工程学、化学、社会学等学科中的数量关系的数学方法之一。
偏微分方程的解法往往是比较困难的，因此近年来许多研究者将精力集中在非线性偏微分方程的求解上。
非线性偏微分方程是指，未知函数出现在方程的高次项、积、除法、指数函数等时，即同一方程中出现有关函数和其偏导数的非线性项。
1.2 非线性偏微分方程的应用领域非线性偏微分方程的求解方法及其精度和速度在科学和工程应用中具有广泛的应用。
例如，在流体力学中，非线性偏微分方程可用于描述涡旋流、湍流、振荡流、波浪等。
在分子生物学中，非线性偏微分方程可用于描述分子扩散、蛋白质演化等。
在量子力学中，非线性偏微分方程可用于描述玻色、费米子体系等。
在统计学中，非线性偏微分方程可用于描述随机微分方程、布朗运动等。
1.3 非线性偏微分方程的模型如果要用非线性偏微分方程来描述一个现象，我们需要构造出一个非线性偏微分方程模型。
偏微分方程模型一般包含几个要素，例如：基本方程、边界条件、初始条件、材料参数等。
第二章精确解研究的一般思路和流程2.1 精确解的定义和种类精确解是指以公式的形式表示的解。
菲克扩散定律
菲克扩散定律菲克定律是阿道夫·菲克（Adolf F i ck）于1855年提出的，指在不依靠宏观的混合作用发生的传质现象时，描述分子扩散过程中传质通量与浓度梯度之间关系的定律。
简述：菲克定律包括两个内容：（1）早在1855年，菲克就提出了：在单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（称为扩散通量Diffusion flux，用J表示）与该截面处的浓度梯度(Concentration gradient)成正比，也就是说，浓度梯度越大，扩散通量越大。
这就是菲克第一定律。
（2）菲克第二定律是在第一定律的基础上推导出来的。
菲克第二定律指出，在非稳态扩散过程中，在距离x处，浓度随时间的变化率等于该处的扩散通量随距离变化率的负值。
菲克第一定律1858年，菲克参照傅里叶于1822年建立的热传导方程，建立了描述物质从高浓度区向低浓度区迁移的扩散方程。
在单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（称为扩散通量Diffusion flux，用J表示）与该截面处的浓度梯度(Concentration gradient)成正比，也就是说，浓度梯度越大，扩散通量越大。
数学表达式如下：式中，D称为扩散系数(m²/s)，C为扩散物质（组元）的体积浓度(原子数/m³或kg/m³)，∂C/∂x为浓度梯度，“–”号表示扩散方向为浓度梯度的反方向，即扩散组元由高浓度区向低浓度区扩散。
扩散通量J的单位是kg / （m2·s）。
对于三维的扩散体系，作为矢量的扩散通量J可分解为x、y、z坐标轴方向上的三个分量Jx、Jy、Jz此时扩散通量可写成：其中，i、j、k表示x、y、z方向的单位矢量。
J为扩散通量，为一个三维向量场，D为扩散系数，为一个二阶张量，C为浓度，为一个数量场，▽为梯度算子。
上面两个式子为菲克第一定律的数学表达式，它是描述扩散现象的基本方程。
菲克第一定律指出：在任何浓度梯度驱动的扩散体系中，物质将沿起其浓度场决定的负梯度方向进行扩散，其扩散流大小与浓度梯度成正比。
稳态扩散和非稳态扩散名词解释
稳态扩散和非稳态扩散是物理学和化学领域中常用的术语，用来描述物质在空间中的扩散行为。
稳态扩散是指物质在均匀介质中的扩散过程，而非稳态扩散则是指物质在非均匀介质中的扩散过程。
本文将通过对稳态扩散和非稳态扩散的名词解释，解析其物理意义、数学表达和实际应用，帮助读者更好地理解这两个概念。
一、稳态扩散的名词解释1.1 稳态扩散的物理意义稳态扩散是指当物质在均匀介质中的浓度分布达到稳定状态时的扩散过程。
在稳态扩散中，物质的浓度分布不再发生变化，达到了动态平衡状态。
这种扩散过程通常以弥散系数来描述，可以用弥散方程进行数学建模，是一种重要的物质传输过程。
1.2 弥散系数的数学表达在稳态扩散中，物质的弥散系数是一个重要的物理参数，用来描述物质在均匀介质中扩散的能力。
它通常用符号D表示，是一个与时间和空间无关的常数。
弥散系数与介质的性质、温度和压力等因素有关，不同的物质在不同的介质中有不同的弥散系数。
1.3 稳态扩散的实际应用稳态扩散在化学工程、环境科学和生物医学等领域有着广泛的应用。
在化学工程中，稳态扩散常用来描述气体或液体在反应器中的传质过程；在环境科学中，稳态扩散被用来研究大气、水体和土壤中的污染物传播行为；在生物医学中，稳态扩散可用于分子在细胞内的扩散和运输研究。
二、非稳态扩散的名词解释2.1 非稳态扩散的物理意义非稳态扩散是指当物质在非均匀介质中的浓度分布随时间和空间发生变化的扩散过程。
在非稳态扩散中，物质的浓度分布不断改变，未达到动态平衡状态，通常需要考虑时间和空间的变化。
2.2 非稳态扩散的数学表达在非稳态扩散中，物质的扩散过程通常需要考虑时间和空间的变化，所以需要使用偏微分方程进行描述。
这类方程常常包括时间导数和空间导数，需要通过适当的数值或解析方法进行求解，得到物质浓度随时间和空间的变化规律。
2.3 非稳态扩散的实际应用非稳态扩散在材料科学、地球科学和生物学等领域有着重要的应用价值。
在材料科学中，非稳态扩散常用来研究材料中的晶体生长和变形过程；在地球科学中，非稳态扩散被用来描述地表和地下水体中的渗透和溶质迁移过程；在生物学中，非稳态扩散可用于描述细胞内物质的输运和信号传导过程。
扩散模型 非平衡态热力学
扩散模型非平衡态热力学非平衡态热力学是研究非平衡态系统中热力学性质和行为的学科。
在非平衡态热力学中，扩散模型是一个重要的研究对象。
本文将介绍扩散模型在非平衡态热力学中的应用和相关理论。
我们来了解一下扩散模型的基本概念。
扩散是指物质由高浓度区域向低浓度区域自发传播的过程。
扩散模型描述了物质扩散的规律和机制。
在非平衡态热力学中，扩散模型被广泛应用于描述各种物质在非平衡态下的传输过程。
扩散模型的核心是扩散方程，它描述了物质浓度的变化随时间和空间的演化规律。
扩散方程可以用来解释各种非平衡态现象，如热传导、质量传递和电导等。
扩散方程的形式通常为二阶偏微分方程，其中包含了扩散系数、浓度梯度和时间变量。
在非平衡态热力学中，扩散模型的应用非常广泛。
例如，在材料科学领域，扩散模型可以用来研究材料中的原子或分子的扩散行为，从而揭示材料的物理性质和结构变化。
在生物学领域，扩散模型可以用来解释生物体内分子的传输过程，例如细胞膜的渗透和离子通道的传导。
扩散模型在工程学中也有着重要的应用。
例如，在化学工程中，扩散模型可以用来设计和优化反应器和分离器等设备。
在环境工程中，扩散模型可以用来研究污染物在大气、土壤和水体中的传播和转化规律。
扩散模型的研究不仅涉及到理论分析，还包括实验验证和数值模拟。
实验验证可以通过测量物质的浓度分布和传输速率来验证扩散模型的准确性。
数值模拟可以通过求解扩散方程的数值解来模拟和预测扩散过程的行为。
扩散模型还与其他领域的非平衡态热力学模型相互关联。
例如，扩散模型和流体力学模型可以相结合，研究流体中的物质传输和混合过程。
扩散模型和化学动力学模型可以相结合，研究化学反应中的物质转化和反应速率。
扩散模型在非平衡态热力学中扮演着重要的角色，它被广泛应用于各个领域的研究和实践中。
扩散模型的研究不仅有助于我们深入理解非平衡态系统的行为，还为工程设计和环境保护等实际问题提供了重要的理论基础和指导。
未来，随着科学技术的不断发展，扩散模型的研究将会进一步深入，为我们解决更加复杂的非平衡态问题提供更多的思路和方法。
8．渐进分布理论
8．渐进分布理论渐进分析（或极限分析）是描述当样本量增加时估计量序列的收敛情况。
8.1确定性序列的收敛定义8.1：对于非随机数序列{a N：N = 1, 2, …}，如果对于ε > 0，存在满足如下条件：如果N > Nε，则| a N - a| < ε则称当N趋于无穷大时，a N收敛于a。
写作a N→ a，当N → ∞。
定义8.2：非随机数序列{a N：N = 1, 2, …}是有界的（bounded）当且仅当存在常数b < ∞使得对于所有的N = 1, 2, …都满足a N≤ b。
否则，称a N是无界的（unbounded）。
定义8.3：对于向量a N（或矩阵A N），如果所有的元素均满足定义8.1，则称向量a N（或矩阵A N）收敛于a（或A）；如果向量a N（或矩阵A N）中所有的元素均满足定义8.2，则称向量a N（或矩阵A N）有界。
例8.1：如果a N = 2+1/N，则a N→2。
如果a N = (-1)N，则a N不存在极限，但a N有界。
如果a N = N1/4，则a N不存在极限，写作a N → ∞，a N也是无界的。
定义8.4：对于非随机数序列{a N：N = 1, 2, …}，如果a N/Nλ是有界的，则称a N的数量级为Nλ。
写作a N = O(Nλ)。
作为特例，当λ=0时，如果a N / Nλ= a N有界，则a N = O(1)。
定义8.5：对于非随机数序列{a N：N = 1, 2, …}，如果a N/Nλ→ 0，则称a N的低阶数量级为Nλ，写作a N = o(Nλ)。
作为特例，当λ=0时，如果a N / Nλ= a N → 0，则a N = o(1)。
由定义8.4、8.5可知，如果a N = o(Nλ)，则a N = O(Nλ)。
作为特例，如果a N = o(1)，则a N = O(1)。
定义8.6：对于向量a N（或矩阵A N），如果每个元素的数量级为Nλ，则称向量a N（或矩阵A N）的数量级为Nλ；如果向量a N（或矩阵A N）每个元素的低阶数量级为Nλ，则称向量a N （或矩阵A N）低阶数量级为Nλ。
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几类非经典扩散方程的渐近行为
本文研究几类发展型非线性偏微分方程的渐近行为,涉及Fujita (?)临界指标与第二临界指标、整体解的渐近profile与非整体解的life span等问题.论文所考虑的四类非线性偏微分方程(组)特别包括伪抛物祸合组与非局部扩散方程这两类非经典扩散方程.我们着重考虑伪抛物耦合组中高阶粘性项,以及非局部扩散方程的源的局部化对解的渐近行为的特殊影响.本文分为以下四个章节：第一章介绍本文研究问题的实际背景及国内外发展情况,并概述主要内容和结果.第二章考虑一类非线性伪抛物耦合组的Cauchy (?)司题.借助压缩不动点定理得到温和解的局部存在性,进而得到古典解的局部存在性.借助于伪抛物方程基本解的正性性质建立该耦合组问题的比较原理.在这些准备工作的基础上,深入研究该问题的Fujita临界指标、第二临界指标,以及整体解的渐近profile.结果表明,高阶粘性项的存在形式上并没有改变对应经典抛物问题的两个临界指标以及渐近profile.然而，这一高阶项的出现给问题的研究带来了本质性困难,例如解的自相似性与正则性的缺失,基本解形式的复杂性等.第三章讨论源的非齐次性对解的渐近行为的影响.第一节研究具有局部化源的非局部扩散方程.结果表明,尽管扩散为非局部的,源的局部化仍然保持了对解的渐近行为的巨大影响.在空间维数大于等于二时,不再存在Fujita现象.即使在一维情形，与非局部扩散方程的局部源情形相比,局部化因子的存在不仅使Fuiita (?)旨标变小(亦即使解对任意初值爆破的指标范围缩小),而且使第二临界指标也变小(从而提高了在整体解和非整体解共存区域爆破对于初值的门槛要求).第二节研究一类具有径向加权非线性源的p-Laplace方程.在已有Fujita (?)临界指标结果的基础上,进一步研究其第二临界指标，并对齐次源情形得到关于非整体解life span的一
致性估计.第四章研究一类含有非齐次项的快扩散非线性耦合组的Fujita (?)临界指标与第二临界指标.结果表明,非齐次项存在,就会使问题的Fujita (?)临界指标发生改变,具体说,使解对任意初值爆破的指标范围扩大.但另一方面,小的非齐次项不改变第二临界指标.。