甘肃兰州一中11-12学年度下学期高二期末考试数学理试题
甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高二下学期期末学业质量检测数学试题
甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高二下学期期末学业质量检测数学试题一、单选题1．下列各关系不属于相关关系的是（ ） A ．产品的样本与生产数量 B ．球的表面积与体积 C ．家庭的支出与收入D ．人的年龄与体重2．已知随机变量X 服从两点分布，()0.7E X =，则其成功概率为（ ） A ．0B ．1C ．0.3D ．0.73．已知函数()e x f x kx =+在0x =处有极值，则k =（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．e4．已知二面角l αβ--，其中平面α的一个法向量(1,0,1)m =-v，平面β的一个法向量(0,1,1)n =-v，则二面角l αβ--的大小可能为( )A ．60oB ．120oC ．60o 或120oD ．135o5．根据历年气象统计资料，某地四月份某日刮东风的概率为310，下雨的概率为1130，既刮东风又下雨的概率为415，则在下雨条件下刮东风的概率为（ ） A ．25B ．89C ．811D ．9116．某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量 x （吨）与相应的生产能耗 y （吨）的几组对应数据如表所示：根据表中数据得出y 关于x 的线性回归方程为0.7ˆy x a=+，若生产7吨产品，预计相应的生产能耗为（ ） A ．5.15吨B ．5.25吨C ．5.5吨D ．9.5吨7．甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局、甲每局赢的概率为12，已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为（ ）A ．116 B ．18C ．316 D ．148．对于三次函数()()³²0f x ax bx cx d a =+++≠给出定义: 设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数32115()33212f x x x x =-+-，请你根据上面探究结果，计算12320202021202120212021f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ）A ．1010B ．2020C ．2023D ．2024二、多选题9．已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布(70,16)N ，其中60分为及格线，则下列结论中正确的有（ ）（附：随机变量2(,)N ξμσ:，则(22)0.9545P μσξμσ-<<+= A ．该校学生成绩的均值为70 B ．该校学生成绩的标准差为4 C ．该校学生成绩的标准差为16D ．该校学生成绩及格率超过95%10．设离散型随机变量X 的分布列如下表，若离散型随机变量Y 满足21Y X =-，则下列结果正确的是（ ）A ．0.2q =B ．()2E X =，() 1.8D X =C ．()2E X =，() 1.4D X =D ．()3E Y =，()7.2D Y =11．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，动点P 在体对角线1BD 上（含端点），则下列结论正确的有（ ）A ．当P 为1BD 中点时，APC ∠为锐角B ．存在点P ，使得1BD ⊥平面APCC ．AP PC +的最小值D ．顶点B 到平面APC 的最大距离为212．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行()N n n *∈次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为n X ，恰有1个黑球的概率为n p ，则下列结论正确的是（ ）A ．159p =B ．()1126P X ==C ．数列35n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列D ．n X 的数学期望()1nE X =三、填空题13．已知直线l 的方向向量为(1,1,2)e =-r ，平面α的法向量为()1,2,12n R λλ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭r 若l α⊥，则实数λ的值为.14．已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()20E X =，()15D X =，则p =.15．在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，2PA AB BC ===．M 为PC 的中点，则点P 到平面MAB 的距离为．16．赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12ξξE -E =（元）．四、解答题17．已知函数()33f x x x =-.(1)求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； (2)求曲线()y f x =过点(2,6)-的切线方程.18．某商场为提高服务质量，随机调查了50位男顾客和50位女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或者不满意的评价，得到下面部分列联表：(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)完成题目中的22⨯列联表，并通过计算判断能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异? 附:2()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++19．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，调查得该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），为了研究计算的方便，记2011年为1x =，2012年为2x =依次下去，得到下表：(1)求y 关于x 的线性回归方程；(2)用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少?附：对于线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()()1122211ˆn ni iiii i nniii i x y nxy x y b xn xx x x y ====---==--∑∑∑∑ˆˆay bx =-. 20．如图，在Rt AOB △中，π2AOB ∠=，4AO =，2BO =，Rt AOC V 可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角.动点D 在线段AB 上.(1)当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的余弦值； (2)求CD 与平面AOB 所成角的正弦值的最大值. 21．已知函数()()ln h x x a x a =-∈R . (1)若()h x 有两个零点，a 的取值范围；(2)若方程()e ln 0xx a x x -+=有两个实根1x 、2x ，且12x x ≠，证明：12212e ex x x x +>.。
甘肃省兰州一中2011-2012学年度高二下学期期末考试 数学理
甘肃兰州一中2011—2012学年度下学期期末考试高二数学理试题说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分100分,考试时间100分钟。
答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡。
第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一个．．．．选项符合题意)1.已知复数z =,z 是z 的共轭复数,则z z ⋅等于 A.16 B.4 C.1 D. 1162若函数21()sin (),()2f x x x R f x =-∈则是 A.最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为π的奇函数 C.最小正周期为π2的偶函数 D.最小正周期为π的偶函数3. 已知数列{}n a 为等比数列，若561516(0),a a a a a a b +=≠+=，则2526a a +等于A ．b aB ．22b aC ．2b aD ．2b a 4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 2B. 1C. 13D. 235．已知三个函数 ()2xf x x =+，()2g x x =-，2()log h x x x =+的零点依次为,,a b c则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c >>B ．a b c <<C ．a c b <<D ．a c b >>6. 庆“元旦”的文艺晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须安排在前两位，节目乙不能安排在第一位，节目丙必须安排在最后一位，则该晚会节目演出顺序的编排方案共有A ．36种B ．42种C ．48种D ．54种 7.若|8||2|)(-++=x x x f 的最小值为n ，则二项式nxx )2(2+的展开式中的常数项是 A ．第10项 B ．第9项 C ．第8项 D ．第7项 8.若[]2,2,k ∈-则过(1,1)A 可以做两条直线与圆045222=--++k y kx y x 相切的概率为A .21B .41C .43D .139. 已知函数),0()0,()(,4)(2+∞⋃-∞-=是定义在x g x x f 上的奇函数，当x>0时，)()(,log )(2x g x f y x x g ⋅==则函数的大致图象为10. 以圆222210x y x y +---=内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形的个数为A ．76B ．78C ．81D ．84第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）11. 01263459C C C C ++++ = .（用数字作答）下图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图， 则图中判断框应填 ，输出的s = .13．不等式组0013x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩，表示的平面区域的面积是 .14．已知半径为4的球O 中有一内接圆柱,当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 .三.解答题（本大题共5大题,共44分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. (本小题6分)8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中任取4个球,记取出白球的个 数为X .（1）求X 的分布列； （2）求1(20)1X P X +-≥-16. (本小题8分)已知向量m =（sin A ，sin B ），n =（cos B ，cos A ），m n ⋅=sin 2C ，且△ABC 的角A ，B ，C所对的边分别为a ，b ，c ． （1）求角C 的大小；（2）若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且()18CA AB AC ⋅-=，求c .17.（本小题8分）在长方形AA 1B 1B 中，AB =2AA 1，C ，C 1分别是AB ，A 1B 1的中点（如下左图）． 将此长方形沿CC 1对折，使平面AA 1C 1C ⊥平面CC 1B 1B （如下右图），已知D ，E 分别是A 1B 1，CC 1的中点． （1）求证：C 1D ∥平面A 1BE ; （2）求证：平面A 1BE ⊥平面AA 1B 1B .18. (本小题10分)已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ,首项为1a ,且2，n a ,n s 成等差数列. （I ）求数列{n a }的通项公式； （II ）若2log n n b a =，nn nb c a =，求数列{n c }的前n 项和T n .19. (本小题12分)已知定义在实数集R 上的奇函数()f x 有最小正周期2，且当(0,1)x ∈时，2()41xx f x =+（1） 证明()f x 在(0,1)上为减函数；（2） 求函数()f x 在[]1,1-上的解析式；（3） 当λ取何值时，方程()f x λ=在R 上有实数解.参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 11. 210 ; 12. 6i ≤ ； 12345a a a a a a +++++ ； 13.72; 14. 32π. 三.解答题（本大题共5大题,共44分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. (本小题6分) .解：（1）随机变量X 所有的可能取值为2,3,4，则有，………………………1分2226483(2),14C C p X C === 1326484(3),7C C p X C === 0426483(4),14C C p X C ===由此X 的分布列为：………………………3分 （2）1(20)(13)(2)(3)1X P P X P X P X X +-≥=<≤==+=-341114714=+=………………………6分16. (本小题8分).解：（1）sin cos sin cos sin()sin m n A B B A A B C ⋅=+=+=,又sin 2m n C ⋅=， sin sin 22sin cos C C C C ∴==1cos ,2C ∴= ………………………3分又0,C π<< .3C π∴=………………………4分 (2) 由已知得sin sin 2sin A B C +=，即2a b c +=又∵()18CA AB AC ⋅-=，∴18CA CB ⋅= 36ab =即 ………………………6分 由余弦定理得：2222cos 36c a b ab C =+-=∴ 6.c = ………………………8分17.（本小题8分）.解：（1）取1A B 的中点F ,连结,,DF EF111,D F A B A B 分别为，的中点， 11DF A BB ∴∆是的中位线，1111////1122DF BB CC DF BB CC ∴==且 即四边形1C EFD 为平行四边形,1//EF C D ∴1,EF A BE ⊂ 平面11//.C D A BE ∴平面 ………………………4分（2）依题意：1111A B C A BBA ⊥平面平面,11D A B 为的中点，111A CB 且三角形为等腰直角三角形， 111CD A B ∴⊥，由面面垂直的性质定理得 111C D A BB A ⊥平面， ……………………6分1//,C D EF 又 11EF A BB A ∴⊥平面，1,EF A BE ⊂ 平面平面A 1BE ⊥平面AA 1B 1B . ……………………8分18. (本小题10分)解：（1）∵2，n a , n S 成等差数列， 22n n a S ∴=+当1=n 时，111222a S a ∴=+=+，解得12a ∴=． …………………2分 当2n ≥时，．即1122(22)n n n n n a S S a a --=-=---12n n a a -=即．∴数列}{n a 是首项为2，公差为2的等差数列，2.n n a ∴= ……………………5分 （2）22log log 2,n n n b a n ===又nn nb c a =2n n n c ∴= ………………………6分,2232221322211n n n n na b a b a b T ++++=+++= ①.2232221211432+++++=n n n T ② ①—②，得n n T 212121212132++++= .21+-n n………………………8分 111(1)22222212n n n n n n T +-+∴=-=-- ………………………10分 19. (本小题12分)解：（1）证明：设1212,(0,1)x x x x ∈<且则，12121222()()4141x x x x f x f x -=-++ 1221122412414141x x x x x x +-+=++（）（）（）（） 211212+22214141x x x x x x --=++（）（）（）（）………………………3分 1201x x <<< ，211222,21x x x x +∴>> 1212()-()0,()()f x f x f x f x ∴>>即，∴()f x 在(0,1)上为减函数.………………………4分（2）(1,0)(0,1)x x ∈-∴-∈,2()41xxf x --∴-=+, ()f x 又为奇函数，2()()41xx f x f x --∴-==-+2()41xxf x --∴=-+ ………………………6分 (1)=(1)(1)=(1)f f f f --- 又，且 (1)(1)=f f ∴=- 2(0,1),410,1,()2(1,0)41xxxx x x f x x ⎧∈⎪+⎪=±⎪∴=⎨⎪-∈-⎪+⎪⎩………………………8分（3）若(0,1),x ∈21()4122x x x xf x ∴==++ 又152(2,),22x x +∈ 21()(,),52f x ∴∈ ………………………10分若(1,0),x ∈-21()14122x x xxf x ∴=-=-++ 12()(,),25f x ∴∈--λ∴的取值范围是1221|=0<<<.2552λλλλ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或-或 ………………………12分。
高二数学期末试卷(理科)及答案
高二数学期末考试卷（理科）一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分） 1、与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ） A ．（31，1，1） B ．（－1，－3，2）C ．（－21，23，－1）D ．（2，－3，－22）2、设命题p ：方程2310x x +-=的两根符号不同；命题q ：方程2310x x +-=的两根之和为3，判断命题“p ⌝”、“q ⌝”、“p q ∧”、“p q ∨”为假命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．33、“a ＞b ＞0”是“ab ＜222b a +”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值等于 （ ）. A ．5 B ．8 C ．5或3 D ．5或85、已知空间四边形OABC 中，c OC b OB a OA ===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN =（ ） A ．c b a 213221+- B ．c b a 212132++-C ．212121-+D ．213232-+6、抛物线2y 4x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为（ ）A ．1716 B ．1516 C ．78D ．0 7、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x ＋2y －3＝0，则该双曲线的离心率为（ ）A.5或54 或 C. D.5或538、若不等式|x －1| <a 成立的充分条件是0<x <4,则实数a 的取值范围是 ( ) A ．a ≤1 B ．a ≤3 C ．a ≥1 D ．a ≥39、已知),,2(),,1,1(t t t t t =--=，则||-的最小值为 （ ）A ．55 B ．555 C ．553 D ．51110、已知动点P(x 、y )满足1022)2()1(-+-y x ＝|3x ＋4y ＋2|，则动点P 的轨迹是 （ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．无法确定11、已知P 是椭圆192522=+y x 上的一点，O 是坐标原点，F 是椭圆的左焦点且),(21+=4||=，则点P 到该椭圆左准线的距离为（ ） A.6 B.4 C.3 D.25高二数学期末考试卷（理科）答题卷一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分）二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）12、命题：01,2=+-∈∃x x R x 的否定是13、若双曲线 4422=-y x 的左、右焦点是1F 、2F ，过1F 的直线交左支于A 、B 两点，若|AB|=5，则△AF 2B 的周长是 .14、若)1,3,2(-=，)3,1,2(-=，则,为邻边的平行四边形的面积为 ． 15、以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为正常数，||||PA PB k +=，则动点P 的轨迹为椭圆；②双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点； ③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④和定点)0,5(A 及定直线25:4l x =的距离之比为54的点的轨迹方程为221169x y -=． 其中真命题的序号为 _________．三、解答题（本大题共6小题，共55分）16、（本题满分8分）已知命题p ：方程11222=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线1522=-mx y 的离心率)2,1(∈e ，若q p ,只有一个为真，求实数m 的取值范围．17、（本题满分8分）已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1，试用向量法求平面A 1B C 1与平面AB CD 所成的锐二面角的余弦值。
兰州一中高二数学下年末试卷
兰州一中高二数学下年末试卷高中是重要的一年，大伙儿一定要好好把握高中，查字典数学网小编为大伙儿整理了兰州一中高二数学下期末试卷，期望大伙儿喜爱。
一.选择题(共10题，每题3分)1.不等式的解集是A. B. C. D.2.已知点的极坐标为,则过点且垂直于极轴的直线方程为A. B. C. D.3.参数方程( 为参数)和极坐标方程所表示的图形分别是A.圆和直线B.直线和直线C.椭圆和直线D.椭圆和圆4.如图在△中, ∥, , 交于点,则图中相似三角形的对数为A.1B.2C.3D.45.通过点(1,5)且倾斜角为的直线，以定点M到动点P的位移为参数的参数方程是A. B. C. D.6.园的极坐标方程分别是和，两个圆的圆心距离是A.2B.C.D. 57.函数的最小值为A.2B.C.4D.68.下列四个不等式：④恒成立的是A.3B.2C.1D.09.若曲线( 为参数) 与曲线相交于, 两点，则的值为A. B. C. D.10.如图，过圆内接四边形的顶点引圆的切线，为圆直径，若= ，则=A. B.C. D.二.填空题(共5题，每题4分)11.已知直线( 为参数)，( 为参数), 若，则实数.12.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，曲线的方程为.若曲线与有两个不同的交点，则实数的取值范畴是.13. 若为正实数，且，则的最小值是.二.填空题(共5题，每题4分)题号11 12 13 1415答案14. 如图，圆O上一点在直径上的射影为. ，，一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。
这儿的“师资”，事实上确实是先秦而后历代对教师的别称之一。
《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”因此也指教师。
这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副事实上的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。
甘肃省兰州一中高二下期末数学试卷理科
2015-2016学年甘肃省兰州一中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和（）A．越小 B．越大C．可能大也可能小D．以上都不对2．如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.5763．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%4．在极坐标系中，曲线关于（）A．直线θ=对称B．直线θ=对称C．点对称D．极点对称5．若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+2y=0对称，则实数k+m=（）A．﹣1 B．1 C．0 D．26．设（5x﹣）n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M﹣N=56，则展开式中常数项为（）A．5 B．15 C．10 D．207．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）﹣1A．3 B．4 C．5 D．68．函数的图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于y轴对称，则a的最小值为（）A．πB． C．D．9．已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．2110．两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A 的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和O2的表面积之和的最小值为（）A．3（2﹣）π B．4（2﹣）πC．3（2+）πD．4（2+）π二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．已知随机变量2ξ+η=8，若ξ～B（10，0.4），则E（η）=，D（η）．12．（选做题）在极坐标系中，曲线C1：ρ=2cosθ，曲线C2：，若曲线C1与曲线C2交于A、B两点则AB=．13．某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯闪烁的概率是，两次闭合后都出现红灯闪烁的概率为，则在第一次闭合后出现红灯闪烁的条件下，第二次出现红灯闪烁的概率是．14．若（1﹣2x）2016=a0+a1x+a2x2+…+a2016x2016（x∈R），则+++…+=．15．只用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数共有个．三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”（1）根据已知条件完成下面2×2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？非读书迷读书迷合计男15女45合计（2）将频率视为概率，现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书谜”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E （X）和方程D（X）附：K2=n=a+b+c+dP（K2≥k0）0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.82817．计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．（Ⅰ）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X 40＜X＜80 80≤X≤120 X＞120发电机最多可运行台数 1 2 3若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？18．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y （单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量的值．46.65636.8289.8 1.6 1 469 108.8表中w i=i，=w i．（1）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y﹣x．根据（2）的结果回答下列问题：①年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：．19．已知函数f（x）=x（a+lnx）的图象在点（e，f（e））（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若k为整数时，k（x﹣1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．2015-2016学年甘肃省兰州一中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和（）A．越小 B．越大C．可能大也可能小D．以上都不对【考点】相关系数．【分析】根据回归分析的公式和性质，可以用来衡量模拟效果好坏的几个量分别是相关指数，残差平方和和相关系数，只有残差平方和越小越好，其他的都是越大越好．【解答】解：用系数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，而用相关系数r的值判断模型的拟合效果时，|r|越大，模型的拟合效果越好，由此可知相关指数R2的值越大，说明残差平方和越小．故选A2．如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】首先记K、A1、A2正常工作分别为事件A、B、C，易得当K正常工作与A1、A2至少有一个正常工作为相互独立事件，而“A1、A2至少有一个正常工作”与“A1、A2都不正常工作”为对立事件，易得A1、A2至少有一个正常工作的概率；由相互独立事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，记K、A1、A2正常工作分别为事件A、B、C；则P（A）=0.9；A1、A2至少有一个正常工作的概率为1﹣P（）P（）=1﹣0.2×0.2=0.96；则系统正常工作的概率为0.9×0.96=0.864；故选B．3．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】由题意P（﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）=95.44%，可得P（3＜ξ＜6）=（95.44%﹣68.26%），即可得出结论．【解答】解：由题意P（﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）=95.44%，所以P（3＜ξ＜6）=（95.44%﹣68.26%）=13.59%．故选：B．4．在极坐标系中，曲线关于（）A．直线θ=对称B．直线θ=对称C．点对称D．极点对称【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】化极坐标方程为普通方程，求出圆的圆心的极坐标，即可得到象限．【解答】解：曲线，可得=2sinθ﹣2cosθ，可得ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ，它的普通方程为：x2+y2=2y﹣2．圆的圆心坐标（，1），经过圆的圆心与原点的直线的倾斜角为：，在极坐标系中，曲线关于直线θ=对称．故选：B．5．若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+2y=0对称，则实数k+m=（）A．﹣1 B．1 C．0 D．2【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】由题意，得直线x+2y=0是线段MN的中垂线，利用垂直直线的斜率关系算出k=2，得出圆方程为x2+y2+2x+my﹣4=0，将圆心坐标代入x+2y=0，解得m=﹣1，可得本题答案．【解答】解：由题意，可得∵直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+2y=0对称，∴直线x+2y=0是线段MN的中垂线，得k•（﹣）=﹣1，解之得k=2，所以圆方程为x2+y2+2x+my﹣4=0，圆心坐标为，将代入x+2y=0，解得m=﹣1，得k+m=1．故选：B6．设（5x﹣）n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M﹣N=56，则展开式中常数项为（）A．5 B．15 C．10 D．20【考点】二项式系数的性质．【分析】通过给二项式中的x赋值1求出展开式的各项系数和；利用二项式系数和公式求出二项式系数和，代入M﹣N=56求出n；利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项，令x的指数为0，求出常数项．【解答】解：令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为M=4n，二项式系数和为N=2n，由M﹣N=56，得n=3，∴其展开式的通项为令3﹣=0得r=2代入通项解得常数项为15．故选B．=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1A．3 B．4 C．5 D．6【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1与a m，进而得到公差d，由前n项和公式及S m=0可求得a1，再由通项公式及a m=2可得m值．=2，a m+1=S m+1﹣S m=3，【解答】解：a m=S m﹣S m﹣1所以公差d=a m+1﹣a m=1，S m==0，得a1=﹣2，所以a m=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，故选C．8．函数的图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于y轴对称，则a的最小值为（）A．πB． C．D．【考点】二倍角的余弦；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先利用二倍角公式，诱导公式，化简函数，再利用图象关于y轴对称，即可求a的最小值．【解答】解：函数==﹣，沿x轴向右平移a个单位（a ＞0），可得y=，∵图象关于y轴对称，∴∴sin2xcos2a=0∴2a=kπ（k∈Z）∵a＞0∴a的最小值为．故选D．9．已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．21【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建系，由向量式的几何意义易得P的坐标，可化=﹣（﹣1）﹣4（t﹣4）=17﹣（+4t），由基本不等式可得．【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（，0），C（0，t），∵，∴P（1，4），∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t﹣4），∴=﹣（﹣1）﹣4（t﹣4）=17﹣（+4t），由基本不等式可得+4t≥2=4，∴17﹣（+4t）≤17﹣4=13，当且仅当=4t即t=时取等号，∴的最大值为13，故选：A．10．两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A 的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和O2的表面积之和的最小值为（）A．3（2﹣）π B．4（2﹣）πC．3（2+）πD．4（2+）π【考点】球内接多面体．【分析】设出球O1与球O2的半径，求出面积之和，利用相切关系得到半径与正方体的对角线的关系，通过基本不等式，从而得出面积的最小值．【解答】解：∵AO1=R1，C1O2=R2，O1O2=R1+R2，∴（+1）（R1+R2）=，R1+R2=，球O1和O2的表面积之和为4π（R12+R22）≥4π•2（）2=2π（R1+R2）2=3（2﹣）π．故选：A．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．已知随机变量2ξ+η=8，若ξ～B（10，0.4），则E（η）=0，D（η）9.6．【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型．【分析】根据变量ξ～B（10，0.4）可以根据公式做出这组变量的均值与方差，随机变量2ξ+η=8，知道变量η也符合二项分布，故可得结论．【解答】解：∵ξ～B（10，0.4），∴Eξ=10×0.4=4，Dξ=10×0.4×0.6=2.4，∵2ξ+η=8，∴Eη=E（8﹣2ξ）=8﹣8=0，Dη=D（8﹣2ξ）=4×2.4=9.6，故答案为：0；9.6．12．（选做题）在极坐标系中，曲线C1：ρ=2cosθ，曲线C2：，若曲线C1与曲线C2交于A、B两点则AB=．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】分别将曲线C1与曲线C2的极坐标方程化成普通方程，得到曲线C1是以（1，0）为圆心、半径为1的圆，而曲线C2是经过原点的直线y=x．由直线与圆相交，利用点到直线的距离公式并结合垂径定理，可以算出AB的长．【解答】解：对于曲线C1：ρ=2cosθ，两边都乘以ρ得：ρ2=2ρcosθ，∵ρ2=x2+y2，且ρcosθ=x∴曲线C的普通方程是x2+y2﹣2x=0，表示以（1，0）为圆心、半径为1的圆；对于曲线C2：，可得它是经过原点且倾斜角为的直线，∴曲线C2的普通方程为y=x，即x﹣y=0因此点（1，0）到直线x﹣y=0的距离为：d==设AB长为m，则有（m）2+d2=r2，即m2+=1，解之得m=（舍负）故答案为：13．某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯闪烁的概率是，两次闭合后都出现红灯闪烁的概率为，则在第一次闭合后出现红灯闪烁的条件下，第二次出现红灯闪烁的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】设事件A表示开关第一次闭合后出现红灯闪烁，B表示开关第二次闭合后出现红灯闪烁，则P（A）=，P（AB）=，由此能求出在第一次闭合后出现红灯闪烁的条件下，第二次出现红灯闪烁的概率．【解答】解：设事件A表示开关第一次闭合后出现红灯闪烁，B表示开关第二次闭合后出现红灯闪烁，则P（A）=，P（AB）=，∴在第一次闭合后出现红灯闪烁的条件下，第二次出现红灯闪烁的概率是：P（B|A）===．故答案为：．14．若（1﹣2x）2016=a0+a1x+a2x2+…+a2016x2016（x∈R），则+++…+=﹣1．【考点】二项式定理的应用．【分析】在所给的等式中，令x=0，可得a0=1；再令x=，可得a0++++…+=0，从而求得要求式子的值．【解答】解：在（1﹣2x）2016=a0+a1x+a2x2+…+a2016x2016（x∈R）中，令x=0，可得a0=1，令x=，可得a0++++…+=0，故， +++…+=﹣1，故答案为：﹣1．15．只用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数共有18个．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】本题需要分步计数，由题意知1，2，3中必有某一个数字重复使用2次．首先确定谁被使用2次，再把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，最后将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，相乘得结果．【解答】解：由题意知，本题需要分步计数1，2，3中必有某一个数字重复使用2次．第一步确定谁被使用2次，有3种方法；第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法；第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法．故共可组成3×3×2=18个不同的四位数．故答案为：18三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”（1）根据已知条件完成下面2×2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？非读书迷读书迷合计男15女45合计（2）将频率视为概率，现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书谜”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E （X）和方程D（X）附：K2=n=a+b+c+dP（K2≥k0）0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验．【分析】（1）利用频率分布直方图，直接计算填写表格，然后利用个数求解K2，判断即可．（2）求出概率的分布列，然后利用超几何分布求解期望与方差即可．【解答】解：（1）完成下面的2×2列联表如下非读书迷读书迷合计男40 15 55女20 25 45合计60 40 100…≈8.249VB8.249＞6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关…（2）视频率为概率．则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率为．由题意可知X～B （3，），P（x=i）=（i=0，1，2，3）…从而分布列为X 0 1 2 3P．…E（x）=np=，D（x）=np（1﹣p）=…17．计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．（Ⅰ）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X 40＜X＜80 80≤X≤120 X＞120发电机最多可运行台数 1 2 3若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）先求出年入流量X的概率，根据二项分布，求出未来4年中，至少有1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）分三种情况进行讨论，分别求出一台，两台，三台的数学期望，比较即可得到．【解答】解：（Ⅰ）依题意，p1=P（40＜X＜80）=，，，由二项分布，未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为=（Ⅱ）记水电站的总利润为Y（单位，万元）（1）安装1台发电机的情形，由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=5000，E（Y）=5000×1=5000，（2）安装2台发电机的情形，依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000﹣800=4200，因此P（Y=4200）=P（40＜X＜80）=p1=，当X≥80时，两台发电机运行，此时Y=5000×2=10000，因此，P（Y=10000）=P（X≥80）=P2+P3=0.8，由此得Y的分布列如下Y 4200 10000P 0.2 0.8所以E（Y）=4200×0.2+10000×0.8=8840．（3）安装3台发电机的情形，依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000﹣1600=3400，因此P（Y=3400）=P（40＜X＜80）=p1=0.2，当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y=5000×2﹣800=9200，因此，P（Y=9200）=P（80≤X ≤120）=p2=0.7，当X＞120时，三台发电机运行，此时Y=5000×3=15000，因此，P（Y=15000）=P（X＞120）=p3=0.1，由此得Y的分布列如下Y3400 9200 15000P 0.2 0.7 0.1所以E（Y）=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620．综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．18．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y （单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量的值．46.65636.8289.8 1.6 1 469 108.8表中w i=i，=w i．（1）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y﹣x．根据（2）的结果回答下列问题：①年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：．【考点】线性回归方程．【分析】（1）根据散点图，即可判断出，（2）先建立中间量w=，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决；（3）①年宣传费x=49时，代入到回归方程，计算即可，②求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．【解答】解：（1）由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．（2）令w=，先建立y关于w的线性回归方程．由于d==68，c=﹣d=100.6，所以y关于w的线性回归方程为y=100.6+68w，因此y关于w的线性回归方程为y=100.6+68．（3）①由（2）知，当x=49时，年销量y的预报值y=100.6+68•=576.6，年利润z的预报值z=576.6×0.2﹣49=66.32．②根据（2）的结果知，年利润z的预报值z=0.2﹣x=﹣x+13.6+20.12．所以当==6.8，即x=46.24时，z取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．19．已知函数f（x）=x（a+lnx）的图象在点（e，f（e））（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若k为整数时，k（x﹣1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求导数，利用函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，可得f′（e）=3，从而可求实数a的值；（Ⅱ）构造g（x）==，求导函数，令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），确定h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4），进而可得g（x）==在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，求出最小值，即可得解．【解答】解：（Ⅰ）求导数可得f′（x）=a+lnx+1，∵函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，∴f′（e）=3，∴a+lne+1=3，∴a=1（Ⅱ）k（x﹣1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，∴k＜对任意x＞1恒成立，由（1）知，f（x）=x+xlnx，令g（x）==，则g′（x）=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则h′（x）=＞0，所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．…因为h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）．当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，…所以函数g（x）==在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．所以g（x）min=g（x0）=x0．因为x0＞3，所以x＞1时，k＜3恒成立故整数k的最大值是3．…2016年8月25日。
甘肃兰州一中11-12学年度下学期高二期末考试数学文试题
甘肃兰州一中2011—2012学年度下学期期末考试高二数学文试题说明: 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 满分100分, 考试时间100分钟. 答案写在答题卡上, 交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题意)1. 已知集合，, 集合满足条件, 则集合的个数为2. 下列有关命题的说法正确的是命题 “若，则”的否命题为：“若，则”“”是“”的必要不充分条件命题“存在, 使得”的否定是：“对任意, 均有”命题“若，则”的逆否命题为真命题3. 若函数最小正周期为的奇函数最小正周期为的偶函数最小正周期为的偶函数最小正周期为的奇函数4. 已知数列为等比数列，若，则等于5. 如右图, 是半圆的直径,点在半圆上, 于点,且, 设, 则6. 若，，则向量与的夹角为7．一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为8. 已知三个函数，，的零点依次为则的大小关系为9．已知函数上的奇函数，当时，的大致图象为10. 若，则的值使得过点可以做两条直线与圆相切的概率等于不确定第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）11. 某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：队员i123456三分球个数右图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填，输出的= .12. 已知满足不等式, 则的最大值是_______________.13．已知半径为的球中有一内接圆柱, 当圆柱的侧面积最大时, 球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 .14．设为正实数, 现有下列命题:① 若, 则；② 若, 则；③ 若, 则；④ 若, 则.其中的真命题有 （写出所有真命题的编号）三、解答题（本大题共5大题,共44分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. (本小题8分)如图所示，圆的两弦和交于点，∥，交的延长线于点，切圆于点.（1）求证：△∽△；（2）如果=1，求的长.16.（本小题8分）已知向量，，，且的角所对的边分别.（1）求角的大小；（2）若成等差数列，且，求.17. (本小题8分)在长方形中，分别是的中点（如下左图）．将此长方形沿对折，使平面⊥平面（如下右图），已知分别是，的中点．（1）求证：∥平面；（2）求证：平面⊥平面.18. (本小题8分)已知各项均为正数的数列前项和为，对总有2，，成等差数列.（1）求数列{}的通项公式；（2）若，，求数列{}的前项和.19. (本小题12分)已知定义在实数集上的奇函数有最小正周期2，且当时，（1）证明在上为减函数；（2）求函数在上的解析式；（3）当取何值时，方程在R上有实数解.参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）题号12345678910答案二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11. 12. 13. 14.① ④三.解答题（本大题共5大题,共44分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. (本小题8分)（1）证明.，.又∽ ………………… 4分（2）解 ∽，∴=..又切圆于，...已知.………………… 8分16.（本小题8分）.解：（1）,又，………………………3分又………………………4分(2) 由已知得，即又∵，∴………………………6分由余弦定理得：∴………………………8分17.（本小题8分）.解：（1）取的中点F,连结即四边形为平行四边形,………………………4分（2）依题意：,由面面垂直的性质定理得……………………6分平面A1B E⊥平面AA1B1B.……………………8分18. (本小题8分)解：（1）∵2，, 成等差数列，当时，，解得． …………………2分当时，．即．∴数列是首项为2，公差为2的等差数列，……………………4分（2）又………………………5分①②①—②，得………………………6分………………………8分19. (本小题12分)解：（1）证明：设………………………3分∴在上为减函数. ………………………4分（2）,,………………………6分………………………8分（3）若又………………………10分若………………………12分。
甘肃省兰州一中2012届高三年级期末考试试题(数学理)
兰州一中2011—2012学年度高三期末考试数学试题（理）注意：该试卷总分150分，考试时间120分钟，交卷时只交答题卡．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案直接涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．在复平面内，复数1ii+＋（1＋3i ）2对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知25,2(),1,2x x f x x -≠⎧=⎨=⎩则下列结论正确的是 （ ）A ．()f x 在2x =处连续B ．(2)1f =-C ．2lim ()1x f x →= D ．2lim ()1x f x →=-3．下列命题中错误的是 （ ）A ．如果平面⊥α平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面⊥α平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βD ．如果平面⊥α平面γ，平面⊥β平面γ，l αβ=，那么直线⊥l 平面γ4．已知}{n a 为等差数列，其公差为2-，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为}{n a 的前n 项和，*N n ∈，则10S 的值为（ ）A ．110-B ．90-C ．90D ．1105．若实数a ，b 满足0,0a b ≥≥，且0ab =，则称a 与b 互补，记(,)a b a b ϕ=-，那么(,a b ϕ=是a 与b 互补的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件6． 若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A ．222a b ab +>B．a b +≥C．11a b +> D ．2b aa b+≥ 7．已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定．若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为,1)，则z O M O =⋅的最大值为（ ）A ．3B ．4C．D．8．sin(2)3y x π=+的图像经过怎样的平移后所得的图像关于点(,0)12π-中心对称（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向左平移6π个单位C ．向右平移12π个单位D ．向右平移6π个单位9．若()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12xf x =+，则()f x 的反函数的图像大致是（ ）10． 有6个座位连成一排，三人就座，恰有两个空位相邻的概率是（ ）A ．45 B ．35 C ．25D ．1511．已知圆O ：221x y +=，点P 是椭圆C ：2214x y +=上一点，过点P 作圆O 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，直线AB 分别交x 轴、y 轴于点M 、N ，则OMN ∆的面积的最小值是（ ）A ．12 B ．1 C ．14D12．已知球的直径SC = 4，A ，B是该球球面上的两点，AB =30ASC BSC ∠=∠=︒，则棱锥S -ABC的体积为（ ）A． B． CD ．19二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 13．已知||||2a b ==，(2)()2a b a b +-=-，则a 与b 的夹角为 ． 14．已知1sin cos 2αα=+，且(0,)2πα∈，则cos 2sin()4απα-的值为 ． 15．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是 ．16．函数)(x f 的定义域为A ，若A x x ∈21,且)()(21x f x f =时总有21x x =，则称)(x f 为单函数．例如，函数)(12)(R x x x f ∈+=是单函数．下列命题： ①函数)()(2R x x x f ∈=是单函数；②若)(x f 为单函数，A x x ∈21,且21x x ≠则)()(21x f x f ≠； ③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原象； ④函数)(x f 在某区间上具有单调性，则)(x f 一定是该区间上的单函数． 其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程．17．（本小题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c，a =，tantan 4,22A B C++=2sin cos sin B C A =，求,A B 及,b c ．18．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都是4， E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合． （I ）当1CF =时，求证：1EF A C ⊥；（II ）设二面角C AF E --的大小为θ，求tan θ的最小值．19．（本小题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0．6,0．5,0．5，假设各盘比赛结果相互独立．（I ）求红队至少两名队员获胜的概率； （II ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ．20．（本小题满分12分）设函数()f x 定义在(0,)+∞上，(1)0f =，导函数/1()f x x=，/()()().g x f x f x =+（I ）讨论()g x 与1()g x的大小关系； （II ）求a 的取值范围，使得1()()g a g x a-<对任意0x >成立．21．（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，若n a S n n +=2，且11+-=n n n n a a a b ，数列}{n b 的前n 项和为n T ． （I ）求证：}1{-n a 为等比数列； （Ⅱ）求n T ；（III ）设*()(21)ln(21)1,()nnf x x x x n N =-+-+-+∈，求证：().2(1)nn T f x T ≥+22．（本小题满分12分）))(,(000a x y x P ±≠是双曲线)00(1:2222>>=b a by a x E ，-上一点，M 、N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM 、PN 的斜率之积为.51（I ）求双曲线的离心率； （II ）过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线E 于B A ，两点，O 为坐标原点，C为双曲线上一点，满足OC OA OB λ=+，求λ的值．参考答案一、1．B 2．D 3．A 4．D 5．C 6．D 7．B 8．C 9．A 10．B 11．A 12．C 二、13．3π14．2- 15．)1(21e e + 16．②③④ 三、17．由tan tan 422A B C ++=得cot tan 422C C +=，∴cossin224sin cos 22C CC C +=， ∴14sin cos 22C C =，∴1sin 2C =，又(0,)C π∈，∴566C C ππ==，或． ∴B C =，6B C π==，2()3A B C ππ=-+=．由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得1sin 2sin Bb c a A ====．18．解法一：过E 作EN AC ⊥于N ，连结EF ．（I ）如图1，连结NF 、1AC ，由直棱柱的性质知，底面ABC ⊥侧面1A C ． 又底面ABC侧面1A C =A C ，且EN ⊂底面ABC ，所以EN ⊥侧面1A C ，∴NF 为EF 在侧面1A C 内的射影，在Rt CNE ∆中，cos60CN CE =︒=1，则由114CF CN CC CA ==，得NF //1AC ，又11,AC AC ⊥故1NF A C⊥，由三垂线定理知1.EF A C ⊥（II ）如图2，连结AF ，过N 作NM AF ⊥于M ，连结ME ，由（I ）知EN ⊥侧面1A C ， 根据三垂线定理得EM AF ⊥,所以EMN ∠是二面角C —AF —E 的平面角，即EMN θ∠=． 设,045FAC αα∠=︒<≤︒则，在Rt CNE ∆中，sin 60NE EC =⋅︒=在,sin 3sin ,Rt AMN MN AN a a ∆=⋅=中故tan NE MN θ==又0,0sin 42παα<≤∴<≤sin 2α=即当45α=时，tan θ达到最小值，tan θ==，此时F 与1C 重合．解法二：（I ）建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得1(0,0,0),(0,4,0),(0,0,4),(0,4,1),A B C A E F于是1(0,4,4),(3,1,1).CA EF =-=-1(0,4,4)(,1)0440,CA EF ⋅=-⋅=-+= 故1.EF A C ⊥（II ）设(04)CF λλ=<≤平面AEF 的一个法向量为(,,)m x y z =， 则由（I ）得(0,4,)F λ，(3,3,0),(0,4,),AE AF λ== 于是由,m AE mAF ⊥⊥可得0,30,40.0,m AE y y z m AF λ⎧⋅=+=⎪⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩即 取,,4).m λ=-又由直三棱柱的性质可取侧面1AC 的一个法向量为(1,0,0)n =，于是由θ为锐角可得||cos ||||m n m n θ⋅=⋅θtan θ，由04λ<≤，得114λ≥，即tan θ≥故当4λ=，即点F 与点1C 重合时，tan θ 19．解：（I ）设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ， 则,,D E F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B ，丙不胜C 的事件．因为()0.6,()0.5,()0.5P D P E P F ==+=，()0.4,()0.5,()0.5P D P E P F ∴==+=． 红队至少两人获胜的事件有：,,,DEF DEF DEF DEF ，由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率()()()()0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55P P DEF P DEF P DEF P DEF =+++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（II ）由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3．又由（I ）知,,DEF DEF DEF 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立， 因此(0)()0.40.50.50.1P P DEF ξ===⨯⨯=，(1)()()()0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35P P DEF P DEF P DEF ξ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=(3)()0.60.50.5P P D E F ξ===⨯⨯=，由对立事件的概率公式得(2)1[(0)(1)(3)]0.4.P P P P ξξξξ==-=+=+==所以ξ的分布列为：因此00.110.3520.43 1.5 1.6.E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=20．解：（I ）∵/1()f x x=，∴()ln f x x c =+（c 为常数），又∵(1)0f =，所以ln10c +=，即0c =，∴1()ln ,()ln f x x g x x x ==+，∴/21()x g x x-=，令/()0g x =得1x =，当x ∈（0，1）时，/()0g x <，()g x 是减函数，故（0,1）是()g x 的单调减区间。
甘肃省兰州一中2012-2013学年高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)
2012-2013学年甘肃省兰州一中高二下学期期末考试理科数学试卷一、选择题1．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有A ．96种B ．180种C ．240种D ．280种 2．某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有A ．8种B ．10种C ．12种D ．32种3．二项式)30的展开式的常数项为第几项 A ．17 B ．18 C ．19 D ．204A ．棉农甲，棉农甲 B ．棉农甲，棉农乙 C ．棉农乙，棉农甲 D ．棉农乙，棉农乙5．两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R 2如下，其中拟合效果最好的模型是A ．模型1的相关指数R 2为0.96B ．模型2的相关指数R 2为0.86C ．模型3的相关指数R 2为0.73D ．模型4的相关指数R 2为0.66 6．已知随机变量X ～B(n ，0.8)，D(X)=1.6，则n 的值是A ．8B ．10C ．12D ．14 7．在4次独立试验中，事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率是8165，则事件A 在一次试验中出现的概率是 A ．31 B ．52 C ．65 D ．32 8由最小二乘法求得回归方程为y =0.67x+54.9，现发现表中有一个数据模糊不清，请推断该点数据的值为A ．67B ．68C ．69D ．709．已知a≥0，b≥0，且a+b=2，则A ．ab≤12B ．ab≥12C ．a 2+b 2≥2D ．a 2+b 2≤310．设x>0，y>0，z>0，a=x+1y，b=y+1z ，c=z+1x ，则a ，b ，c 三数A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2 二、填空题11．不等式2|x|+|x-1|<2的解集是 ．12．设随机变量ξ服从正态分布N(3，4)，若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2)，则a= ． 13．已知，则a ，b 大小关系是a b ．14．设某种动物由出生算起活到10岁的概率为0.9，活到15岁的概率为0.6．现有一个10岁的这种动物，它能活到15岁的概率是 ． 三、解答题15．若a ，b ，c ∈R +，且a+b+c=1，求c b a ++的最大值．16．已知三点(3，10)，(7，20)，(11，24)的横坐标x 与纵坐标y 具有线性关系，求其线性回归方程．(参考公式：1221ˆni ii ni i x y nx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-)17．已知x ，y ，z 均为正数．求证：111x y z yz zx xy x y z++≥++．18．为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚．为了了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，得到如下数据：处罚，在两个路口进行试验．(Ⅰ)求这两种金额之和不低于20元的概率；(Ⅱ)若用X 表示这两种金额之和，求X 的分布列和数学期望．19．“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是158． (Ⅰ)请将上面的列联表补充完整(在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析反感“中国式过马路 ”与性别是否有关？ (Ⅱ)若从这30人中的女性路人．．．．中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．下面的临界值表供参考：(参考公式：K 2=2()()()()()n ad bc a b c d a c b d -++++，其中n=a+b+c+d)参考答案一、选择题1．C 解：根据题意，由于从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，考虑没有选上甲乙，和只选择一个人的情况来讨论，和都选上，那么符合题意的情况有43132134533423+2+=240A C C A C C A ，故答案为C2．B 解：根据题意，由于某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法需要5步，那么只要确定了横的3步，则得到所有的情况，故有35C =10，因此答案为B.3．C 解：根据题意，由于二项式()30的展开式515r 30r 630305((2)150,186r rr rr C C a r --=-∴-==，因此可知常数项为第19项故答案为C4．B 解：根据表格中的数据可知，棉农甲的平均值为6872706971=705++++，而棉农乙的平均值为6868696971=695++++，那么可知平均产量较高的为甲，那么对于数据作出茎叶图可知，稳定性好的为棉农乙，故答案为B.5．A 解：根据题意，由于两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，由于R 2越大则拟合效果越好，故可知，由于模型1的相关指数R 2为0.96最大，故答案为A. 6．B 解：根据题意，由于随机变量X ～B(n ，0.8)，D(X)=1.6=0.8n(1-0.8)，n=10,故可知答案为B 。
甘肃省数学高二下期理数期末联考试卷
甘肃省数学高二下期理数期末联考试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2020 高三上·浙江月考) 已知复数（ 为虚数单位），则（）A.B.C.D.2. （2 分） (2017·合肥模拟) 已知 A=[1，+∞）， 范围是（ ）A . [1，+∞），若 A∩B≠∅，则实数 a 的取值B.C. D . （1，+∞） 3. （2 分） 若 A.1，则（）B.C. D.4. （2 分） (2017 高二上·南阳月考) 设 ， 满足约束条件则（）第 1 页 共 21 页，且的最小值为 ，A.B.C.或D. 或5. （2 分） (2019 高二下·吉林期末) 设 为数列 的前 项和，，的前 20 项和为（ ），则数列A. B. C. D.6. （2 分） (2020 高一上·南充期中) 设函数 A.2 B.0 C . 0 或-1 D . -17. （2 分） (2018·凉山模拟) 在中，，则的面积等于（ ）A.3，若，则 t 的值是（ ）分别是内角的对边，若，，B.C.第 2 页 共 21 页D.8. （2 分） (2019 高一下·吉林期末) 某个算法程序框图如图所示，如果最后输出的 S 的值是 25，那么图中 空白处应填的是（ ）A. B. C. D. 9. （2 分） 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图 所示，且图中的四边形是边长为 2 的正方形，则该球的表面积是（ ）A . 64π B . 32π C . 16π D . 12π第 3 页 共 21 页10. （2 分） (2017·日照模拟) 已知等差数列{a}的前 n 项和为 Sn ， 公差为 d，且 a1=﹣20，则“3＜d＜5” 是“Sn 的最小值仅为 S6”的（ ）A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件11. （2 分） (2019 高二上·宾县月考) 过点 平分弦 ，则直线 的方程为（ ） A. B. C. D.的直线与椭圆交于 ， 两点，且点12. （2 分） 已知函数 f（x）=lnx+2sinα（α∈（0， ））的导函数 f′（x），若存在 x0＜1 使得 f′（x0） =f（x0）成立，则实数 α 的取值范围为（ ）A.（ ， ）B . （0， ）C.（ ， ）D . （0， ）二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2018·虹口模拟) 已知，，则________．14. （1 分） (2019·通州模拟) 某同学近 5 次考试的数学附加题的得分分别为 30，26，32，27，35，则这组第 4 页 共 21 页数据的方差为________． 15. （1 分） (2017·辽宁模拟) 在区间（0，2）中随机抽取一个数，则这个数小于 1 的概率是________．16. （1 分） (2016 高二上·常州期中) 已知双曲线 b=________．的离心率 ，则该双曲线的虚半轴长三、 解答题 (共 6 题；共 65 分)17. （10 分） (2017 高三上·宜宾期中) 已知函数 f（x）=ax3+bx2 的图象经过点 M（1，4），且在 x=﹣2 取得 极值．（ I）求实数 a，b 的值；（ II）若函数 f（x）在区间（m，m+1）上不单调，求 m 的取值范围．18. （10 分） (2019 高三上·深圳期末) 为提倡节能减排，同时减轻居民负担，广州市积极推进“一户一表” 工程。
甘肃省兰州市高二下学期期末数学试卷(理科)
甘肃省兰州市高二下学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）复数（是虚数单位）的实部是（）A .B .C .D .2. （2分）曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为（）A .B .C .D .3. （2分）已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且=0.6826，则=（）A . 0.1588B . 0.1587C . 0.1586D . 0.15854. （2分） (2017高二下·安阳期中) 函数的导数是（）A . y′=sinx+xcosx+B . y′=sinx﹣xcosx+C . y′=sinx+xco sx﹣D . y′=sinx﹣xcosx﹣5. （2分）只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有（）A . 6个B . 9个C . 18个D . 36个6. （2分） (2016高二下·九江期末) 设（2x+ ）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6 ，则（a0+a2+a4+a6）2﹣（a1+a3+a5）2的值为（）A . ﹣1B . 1C . 2D . ﹣27. （2分）(2017·白山模拟) 已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣2）=2021，对任意x∈（﹣∞，+∞），都有f'（x）＜2x成立，则不等式f（x）＞x2+2017的解集为（）A . （﹣2，+∞）B . （﹣2，2）C . （﹣∞，﹣2）D . （﹣∞，+∞）8. （2分）对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是（）A .B .C .D .9. （2分） 25人排成5×5方阵，从中选出3人分别担任队长、副队长、纪律监督员，要求这3人任两人都不同行也不同列，则不同的任职方法数为（）A . 7200种B . 1800种C . 3600种D . 4500种10. （2分） (2017高三上·成都开学考) 已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣2ax）有两个极值点，则a 的取值范围为（）A . （﹣∞，1）B .C . （0，1）D .二、填空题 (共5题；共6分)11. （1分） (2018高一下·河南月考) 某人连续五周内收到的包裹数分别为3，2，5，1，4，则这5个数据的标准差为________12. （2分） (2018高三上·嘉兴期末) 已知，则项的二项式系数是________； ________.13. （1分）(2018高二下·中山月考) 在某次考试中，学号为的同学的考试成绩，且，则这四位同学的考试成绩的共有________种；14. （1分）将石子摆成如图的梯形形状．称数列5，9，14，20，…为“梯形数列”．根据图形的构成，此数列的第25项为________．15. （1分）已知函数f（x）是函数y=﹣的反函数，则函数f（x）图象上点x=﹣1处切线的方程为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (共6题；共60分)16. （10分） (2018高二下·河南月考) 已知的展开式中，第六项和第七项的二项式系数最大（1）求的值；（2）求展开式中系数的最大的项.17. （5分）(2017·青岛模拟) 某科技博览会展出的智能机器人有 A，B，C，D 四种型号，每种型号至少有 4 台．要求每位购买者只能购买1台某种型号的机器人，且购买其中任意一种型号的机器人是等可能的．现在有 4 个人要购买机器人．（Ⅰ）在会场展览台上，展出方已放好了 A，B，C，D 四种型号的机器人各一台，现把他们排成一排表演节目，求 A 型与 B 型相邻且 C 型与 D 型不相邻的概率；（Ⅱ）设这 4 个人购买的机器人的型号种数为ξ，求ξ 的分布列和数学期望．18. （10分） (2015高二上·东莞期末) 如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=SB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．（1）求证：SC⊥平面AMN；（2）求二面角D﹣AC﹣M的余弦值．19. （15分） (2017高二上·湖北期末) 甲、乙、丙三人投篮的水平都比较稳定，若三人各自独立地进行一次投篮测试，则甲投中而乙不投中的概率为，乙投中而丙不投中的概率为，甲、丙两人都投中的概率为．（1）分别求甲、乙、丙三人各自投篮一次投中的概率；（2）若丙连续投篮5次，求恰有2次投中的概率；（3）若丙连续投篮3次，每次投篮，投中得2分，未投中得0分，在3次投篮中，若有2次连续投中，而另外1次未投中，则额外加1分；若3次全投中，则额外加3分，记ξ为丙连续投篮3次后的总得分，求ξ的分布列和期望．20. （10分） (2018高二下·张家口期末) 某种子培育基地新研发了两种型号的种子，从中选出90粒进行发芽试验，并根据结果对种子进行改良.将试验结果汇总整理绘制成如下列联表：（1）将列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为发芽和种子型号有关；（2）若按照分层抽样的方式，从不发芽的种子中任意抽取20粒作为研究小样本，并从这20粒研究小样本中任意取出3粒种子，设取出的型号的种子数为，求的分布列与期望.0.150.100.050.0250.0100.0050.001，其中 .21. （10分）(2016·黄山模拟) 已知函数f（x）= ，曲线y=f（x）在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行．（1）若函数g（x）= f（x）﹣ax在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（2）若函数F（x）=f（x）﹣无零点，求k的取值范围．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (共6题；共60分) 16-1、16-2、17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、。
甘肃省兰州市第一中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题(含答案)
兰州一中2022-2023-2学期期末考试试题高二数学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题共60分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.1.已知集合{|(2)()0}A x a x x a =--<，若2A ∉，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[1,2]B ．[1,2)C ．(1,2)D ．(,1)(2,)-∞+∞2.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，PA ⊥平面ABCD ，点M ，N 满足12PM PC =，23PN PD = ．若MN xAB y AD z AP =++，则x y z ++=（ ）A ．1-B ．1C ．12-D ．123.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中依次不放回地取2个数，事件A 为“第一次取到的是偶数”，事件B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则()P BA ∣等于（ ） A ．38B ．1132C ．1145D ．344.已知正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在棱1DD 上，直线1AC ⊥平面1A BM ，则点M 的位置是（ ） A ．点DB ．点1DC ．1DD 的中点D ．不存在5.给出定义：设()f x ''是函数()y f x '=的导函数，若方程0()0f x ''=有实数解，则称点（x 0，f （x 0）） 为函数y ＝f （x ）的“拐点”．已知函数()34sin cos f x x x x =+-的拐点为M （x 0，f （x 0）），则下列结 论正确的为（ ） A ．tan x 0＝4 B ．点M 在直线y ＝3x 上 C ．sin2x 0＝417D ．点M 在直线y ＝4x 上6.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则平面11AB D 与平面1BDC 的距离为（ ）A BC D 7.抛一枚硬币，若抛到正面则停止，抛到反面则继续抛，已知该硬币抛到正反两面是等可能的，则以上操作硬币反面朝上的次数期望为（ ） A ．34B ．98C ．1D ．548.已知函数()f x 的定义域为R ，()f x '为函数()f x 的导函数，当[0,)x ∈+∞时，sin 2()0x f x '->， 且∀x ∈R ，2()()2sin 0f x f x x -+-=，则下列说法一定正确的是（ ）A ．1()(362f f ππ->B ．1(()344f f ππ-<C ．31()(344f f ππ-<D ．31((344f f ππ-->二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9.下列四个条件中，能成为x y >的充分不必要条件的是（ ） A ．22xc yc>B ．110x y<< C ．x y >D ．ln ln x y >11.我国古代数学名著《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为“堑堵”．现 有一如图所示的“堑堵”ABC ﹣A 1B 1C 1，其中AB ⊥BC ，若BB 1＝AB ＝2，BC ＝1，则（ ）A ．该“堑堵”的体积为2B ．该“堑堵”外接球的表面积为9πC ．若点P 在该“堑堵”上运动，则|PA |的最大值为D ．该“堑堵”上，AC 1与平面BB 1C 1C12.已知函数22sin 2()(0)sin x af x a x+=≠，则（ ） A ．f （x ）的最小正周期为2πB ．f （x ）的图象关于直线2x π=对称C ．a ＞0时，f （x ）在区间(,0)2π-单调递增D ．a ＜0时，f （x ）在区间(0,)π既有极大值点也有极小值点 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知0,0a b >>，若24a b +=，则ab 的最大值为________．14.拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，内容为：如果函数f （x ）在闭区间[a ，b ]上的图象连续不间断，在开区间（a ，b ）内的导数为()f x '，那么在区间（a ，b ）内至少存在一点c ，使得()()()()f b f a f c b a '-=-成立，其中c 叫做f （x ）在[a ，b ]上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数()ln f x x =在[1，e ]上的“拉格朗日中值点”为 _______．15.矩形ABCD 中，030,20,BCA AC PA ∠==⊥平面ABCD ，且5PA =，则P 到BC 的距离为__________． 16.已知(0,1),()(1)xxa f x a a ∈=++在(0,)+∞上为增函数，则a 的取值范围是______. 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本题满分12分）已已知函数()e e x f x ax =+-，R a ∈（注：e 2.718281=⋅⋅⋅是自然对数的底数）． (1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)若()f x 只有一个极值点，求实数a 的取值范围．19.（本题满分12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，ED DC =，F 为AE 的中点，G 为BE 上一点.(1)求证：//CE 平面DFB ；(2)若BD ⊥平面AGC ，求二面角G DC B --的度数.20.（本题满分12分）21. (本题满分12分）如图1所示，在矩形ABCD 中，AB ＝BC ＝2，M 为CD 中点，将△DAM 沿AM 折起，使点D 到 点P 处，且平面PAM ⊥平面ABCM ，如图2所示． （1）求证：PB ⊥AM ；（2）在棱PB 上取点N ，使平面AMN ⊥平面PAB ，求直线AB 与平面AMN 所成角的正弦值.22. (本题满分12分）已知函数()ln f x x a x =-(R)a ∈.(1)当e a <时，讨论函数()f x 零点的个数；(2)当(1,)x ∈+∞时，()ln e a xf x ax x x ≥-恒成立，求a 的取值范围.兰州一中2022-2023-2学期高二年级期末考试数学试题参考答案一、 单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.有且仅有一个选项符合题意； 二、 多选题：9--12题每题至少两个选项符合题意，多选不得分，少选得2分.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ACBABDCBABDBDABDBC第Ⅱ卷（非选择题 共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 214. 1e -15．16.三、解答题：共70分。
甘肃省兰州一中高二数学下学期期末考试试题 理
甘肃兰州一中2021—2021学年度下学期期末考试高二数学理试题说明：本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部份，总分值100分,考试时刻100分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分，把答案填在答题卡的相应位置上．） 1. 已知随机变量X 服从正态散布N (1,4)，且P (0≤X ≤2)＝0. 68，那么P (X >2)＝( ) A ．0.34 B ．0.16 C ．0.84 D ．0.322.在平面直角坐标系中，曲线C ：2236x y -=通过伸缩变换//1213x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩后，所得曲线的核心坐标为（ ）A．(0, B．( C．(0, D．(3.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品进程中纪录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据：依照上表提供的数据，求得y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，那么表中n 的值为 （ ） A ．3 B ．3.15 C ．3.5D．4.54．已知曲线的参数方程为cos sin (sin 2x y θθθθ=+⎧⎨=⎩为参数），那么曲线的一般方程为（ ） A ．21(x y x =+≤≤ B ． 21(11)x y x =+-≤≤ C ．21(x y x =-≤≤D ．21(11)x y x =--≤≤5. 假设存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，那么实数a 的取值范围是（ ） A. 31≤<-aB. 31≤≤-aC. 42<≤-aD. 42≤≤-a6.在极坐标系中，圆4cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程别离为 （ ）A ．0()R θρ=∈ 和cos 4ρθ=B ．()2R πθρ=∈ 和cos 4ρθ= C ．0()R θρ=∈ 和cos 2ρθ= D ．()2R πθρ=∈ 和cos 2ρθ=7.随机变量X 的概率散布列规律为()(1,2,3,4),(1)a P X n n n n ===+其中a 为常数，那么15()22P X <<的值为 （ ） A ．23 B ．34 C ．45 D ．568.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝4＋t (t 为参数)．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，那么直线l 和曲线C 的公共点有A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个9. 已知,x y R +∈，且28xy =，那么4x y +的最小值为 （ ）A ．42B ．62C ．6D ． 210.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上查验发觉是假钞，那么第2张也是假钞的概率为 （ ）A ．119 B ．1738 C ．419 D ． 217第Ⅱ卷（非选择题，共60分）二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上） 11．假设随机变量1(5,)3B ξ，那么______________(32)D ξ+=.展开式中常数12. 二项式22()nx x+的展开式中只有第6项的二项式系数最大，那么项为 .为 ．13．在区间[2,2]-上随机取一个数x ，使|1||1|1x x +--≤成立的概率14.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，那么圆2220x y y +-=的参数方程为 .15. 用一、二、3、4、五、6六个数组成没有重复数字的六位数，其中五、6均排在3的同侧，如此的六位数共有 个（用数字作答）．三、解答题（本大题共5小题，共40分．解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤．） 16. （本小题总分值6分）在直角坐标系xOy中，已知点P ，曲线C的参数方程为(3sin x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）.以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=（Ⅰ）判定点P 与直线l 的位置关系，说明理由；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 的两个交点为A 、B ，求||||PA PB ⋅的值. 17. （本小题总分值8分）设函数()|31| 3.f x x ax =-++ （Ⅰ）假设1a =，解不等式()4f x ≤； （Ⅱ）假设函数()f x 有最小值，求a 的取值范围.18. （本小题总分值8分）某校举行综合知识大奖赛，竞赛分初赛和决赛两部份，初赛采纳选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有6次答题的机遇，选手累计答对4题或答错3题即终止其初赛的竞赛，答对4题者直接进入决赛，答错3题者那么被淘汰.已知选手甲答题持续两次答错的概率为19（已知甲回答每道题的正确率相同，而且彼此之间没有阻碍）. （Ⅰ）求选手甲回答一个问题的正确率； （Ⅱ）求选手甲能够进入决赛的概率.19. (本大题总分值8分) 巴西世界杯足球赛正在如火如荼进行.某人为了了解我校学生“通过电视收看世界杯”是不是与性别有关,从全校学生中随机抽取30名学生进行了问卷调查,取得了如以下联表:已知在这30名同窗中随机抽取1人，抽到“通过电视收看世界杯”的学生的概率是158. (I)请将上面的列联表补充完整,并据此资料分析“通过电视收看世界杯”与性别是不是有关?(II)假设从这30名同窗中的男同窗中随机抽取2人参加一活动,记“通过电视收看世界杯”的人数为X,求X 的散布列和均值.(参考公式：))()()(()(22d b d c c a b a bc ad n K ++++-=， n a b c d =+++)20.（本小题总分值10分）已知函数.ln )2()(2x x a ax x f ++-=（Ⅰ）当1=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1f （处的切线方程；（Ⅱ）当0>a 时，假设)(x f 在区间],1[e 上的最小值为2-，其中e 是自然对数的底数，求实数a 的取值范围； 参考答案一、选择题：（本大题共10小题，每题4分，共40分）题号1234567891答案BD A A D B D B C D二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分，把答案填在相应横线上．） 11.10 12. 180 13.5814. 2sin 2(2sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数） 15. 480三、解答题（本大题共5小题，共44分．解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤．） 16．（本小题总分值6分）解：（Ⅰ）直线l 的方程可化为 2cos()6πρθ-=cos sin θρθ+=y +=P 代人上式知足， 故点P 在直线l 上. …………………2分（Ⅱ）直线l的参数方程为12(x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）， …………………3分曲线C 的直角坐标方程为22139x y +=，将直线l 的参数方程代人曲线C 的方程并整理得 2240t t +-=， 因此|||| 4.PA PB ⋅= …………………………6分 17. （本小题总分值8分）解：（Ⅰ）当1a =时，()|31| 3.f x x x =-++当13x ≥时，()4f x ≤可化为 3134x x -++≤，解得 1132x ≤≤； 当13x <时，()4f x ≤可化为 3134x x -+++≤，解得 103x ≤<.综上可得，原不等式的解集为1{|0}.2x x ≤≤ …………………………4分（Ⅱ）1(3)2,,3()|31|31(3)4,.3a x x f x x ax a x x ⎧++≥⎪⎪=-++=⎨⎪-+<⎪⎩………………6分函数()f x 有最小值的充要条件为30,30,a a +≥⎧⎨-≤⎩即3 3.a -≤≤ ………………8分18. (本大题总分值8分)解：（1）设选手甲答对一个问题的正确率为1P ，则211(1),9p -=应选手甲回答一个问题的正确率12.3P = ……………2分 （2）选手甲答了4道题进入决赛的概率为4216()381=； ………………3分选手甲答了5道题进入决赛的概率为33421264()()()333243C =； ……………5分 选手甲答了6道题进入决赛的概率为3325212160()()()333729C =； …… …7分 应选手甲可进入决赛的概率1664160496.81243729729p =++= ………… …8分19.（本小题总分值8分） 解(Ⅰ)由已知数据得:2230(10866) 1.158 3.84116141614K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯因此,没有充沛的理由以为“通过电视收看世界杯”与性别有关 . …………4分 (Ⅱ)X 的可能取值为0,1,2.211661022161611(0),(1)82C C C P X P X C C ======，2102163(2).8C P X C === ……6分 因此X 的散布列为:X 的均值为:1135012.8284EX =⨯+⨯+⨯= …………………………8分20. x x x x f a ln 3)(112+-==时，）当解：（,xx x f 132)(+-=因为2)1(,0)1(-=='f f .因此切线方程是2-=y ……………3分 (Ⅱ)函数x x a ax x f ln )2(2)(++-=的概念域是),0(+∞当0>a 时，)0()1)(12(1)2(21)2(2)(2>--=-+-=++-='x xax x x x a ax x a ax x f令0)(='x f 得ax x 121==或 …………………………5分 ① 当上单调递增在时，即],1[)(1,110e x f a a≥≤<，因此()f x 在[1,]e 上的最小值是(1)2f =-，知足条件，于是1≥a ；②当11e a <≤，即11a e ≤<时，()f x 在[1,]e 上的最小值是1()(1)2f f a <=-，不合题意； ③当1e a >，即10a e<<时，()f x 在[1,]e 上单调递减，因此()f x 在[1,]e 上的最小值是()(1)2f e f <=-，不合题意.综上所述有，1≥a . …………………………………10分。
甘肃兰州一中11-12学年度下学期高二期中考试(数学理)
甘肃兰州一中2011—2012学年度下学期期中考试高二数学理试题说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分100分,考试时间100分钟。
答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡。
第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中只有一个．．．．选项符合题意)1. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60º ”时，应该( ) A ．假设三内角都不大于60 º B ．假设三内角都大于60 º C ．假设三内角至多有一个大于60 º D ．假设三内角至多有两个大于60 º2. 已知点M 的极坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）A . 53，-⎛⎝ ⎫⎭⎪π B . 543，π⎛⎝ ⎫⎭⎪ C . 523，-⎛⎝ ⎫⎭⎪πD . ⎪⎭⎫ ⎝⎛-355π，3. 由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面 （ ）.A 各正三角形内任一点 .B 各正三角形的某高线上的点 .C 各正三角形的中心 .D 各正三角形外的某点4．参数方程⎩⎨⎧+-=+=θθ2cos 1sin 22y x （θ为参数）化为普通方程是 （ ）A .042=+-y xB .042=-+y xC .042=+-y x ]3,2[∈x D.042=-+y x ]3,2[∈x5. 极坐标方程2(1cos )5ρθ-=表示的曲线是 ( ) A .圆 B .椭圆 C. 双曲线的一支圆 D ．抛物线6. 某物体运动的位移y （单位：m ）是时间t (单位：s)的函数3221y t t =+-， 当2=t s 时，物体的瞬时速度v 等于 ( )A . 18/m sB . 20/m sC. 15/m sD ．19/m s7. 已知点1P 的球坐标是133(2,,)44P ππ,它的直角坐标为 （ ）.A (11-,, .B (11-.C (11-,, .D (11--,-, 8. 设2()ln(1)f x x =+，则=)2('f （ ）A .15 B .52 C ．45 D ．53 9. 若32()33(2)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围是（ ）A . 2a >或1a <-B . 12a -<<C ．2a ≥或1a ≤-D ．12a a ><-或 10. 函数)cos (sin 21)(x x e x f x +=在区间]2,0[π的值域为 （ ） A .]21,21[2πe B .)21,21(2πe C ．],1[2πe D ．),1(2πe 11. 若()xf x e =，则0(12)(1)limx f x f x →--=（ ） A .e B .e - C ．2e D ．2e -12. 根据条件：a 、b 、c 满足c b a <<，且a+b+c=0，下列推理正确的是 （ ） ①ac a c ()->0，②c b a ()-<0，③22cb ab ≤，④ab ac >A .①②B .②③C .③④D .①④第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13．在同一平面直角坐标系中，直线22=-y x 变成直线42='-'y x 的伸缩变换是 . 14. 若满足2220x y y +-=，且0x y m ++≥恒成立，则m 的范围是__________. 15. 直线221x ty t=+⎧⎨=-+⎩ (t 为参数)上对应t =0, t =1两点间的距离是___________.16. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮;现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含()f n 个小正方形. 则()f n 的表达式为 .三、解答题（本大题共4大题,共36分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. (本小题8分)求曲线1xy =及直线y x =，3y =所围成的平面图形的面积.18.（本小题8分）在平面直角坐标系xoy 中,曲线1C 的参数方程为4c o s ,(2),4s i n x y θθθπθ=⎧≤≤⎨=⎩为参数，且0点M 是曲线1C 上的动点.（1） 求线段OM 的中点P 的轨迹的直角坐标方程；（2） 以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极坐标方程为cos sin 10(0)ρθρθρ-+=>，求点P 到直线l 距离的最大值.19. (本小题8分)在数列{}n a 中， 21,(),(1)n a n N n +=∈+记12(1)(1)(1).n n b a a a =---（Ⅰ）求1b 、2b 、3b 、4b 并推测n b ； （Ⅱ）用数学归纳法证明你的结论.20. (本小题12分)已知函数2()ln(1)1f x ax x =+++，其中0a >. （1）若()f x 在1x =处取得极值，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）讨论函数()f x 在(0,)+∞的单调性；(4)(3)(2)(1)（3）若函数()f x 在[0,)+∞上的最小值为2，求a 的取值范围.参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 答案B DCD D B A C AADC二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.⎩⎨⎧='='yy x x 4；14. 1,)+∞()2221f n n n =-+；三.解答题（本大题共4大题,共36分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题共8分）解：做出曲线xy=1及直线y=x ，y=3的草图，则所求面积为阴影部分的面积解方程组 1xy y x =⎧⎨=⎩得直线y=x 与曲线xy=1的交点坐标为（1，1）同理得：直线y=x 与曲线y=3的交点坐标为（3，3） 直线y=3与曲线xy=1的交点坐标为（13，3）………………3分 因此，所求图形的面积为1312311113311(3)(3)(3ln )|(3)|4ln 32S dx x dx x x x x x =-+-=-+-=-⎰⎰ ………8分 18. （本小题共8分）解：(1)设曲线1C 上动点(4cos ,4sin ),(,)M P x y θθ，由中点坐标公式可得2cos ,2sin ,x y θθ==所以点P 的轨迹的参数方程为2cos ,(2),2sin x y θθθπθ=⎧≤≤⎨=⎩为参数，且0消参可得224x y +=……………4分 （2）由题可知直线l 的直角坐标方程为10x y -+=，因为原点到直线的距离为2， 所以点P到直线的最大距离为22+……………8分 19. （本小题共8分） 解：（1）求134b =、246b =、358b =、4610b =，猜想可得22(1)n n b n +=+………. 3分（2）①当1n =时，22(1)n n ++=34，又134b =，猜想正确②假设当n k =时猜想成立，即22(1)k k b k +=+，当1n k =+时，11221(1)[1]2(1)(2)k k k k b b a k k +++=-=-++=22(1)(3)2(1)(2)k k k k k +++⋅++ =3(1)22(2)2[(1)1]k k k k +++=+++，即当1n k =+时猜想也成立由①②可知，对于任何正整数n 都有22(1)n n b n +=+成立. ……….8分20. （本小题共12分）解：（1）22222'().1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-=-=++++因()f x 在1x =处取得极值 所以，'(1)0f =，解得1a =，此时'(0)1,(0)2f f =-=，可得求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为：2y x =-+ .……………3分 （2）易得222'()(1)(1)ax a f x ax x +-=++的分母大于零，①当2a ≥时，220,ax a +-> '()0f x >，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；②当02a <<时，由'()0f x >可得x >，由'()0f x <解得0x <<所以，函数()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增.…………6分 （3）当2a ≥时由（2）可知，()f x 在[0,)+∞上处取得最小值(0)2f =，当02a <<时由（2）可知()f x 在x =处取得最小值(0)2f f <=，不符合题意.综上，函数()f x 在[0,)+∞上的最小值为2时，求a 的取值范围是[2,)+∞.………12分。
甘肃省兰州市一中2020-2021学年高二下学期期末考试数学(理)试题Word版含解析
【答案】A
【解析】
【分析】
将不同的染色方案分为： 相同和 不同两种情况，相加得到答案.
【详解】按照 的顺序：
当 相同时：染色方案为
当 不同时：染色方案为
不同的染色方案为： 种
故答案为：A
【点睛】本题考查了加法原理和乘法原理，把染色方案分为 相同和 不同两种情况是解题的关键.
A. 0.7B. 0.6C. 0.4D. 0.3
【答案】B
【解析】
分析：判断出为二项分布，利用公式 进行计算即可。
或
，
,可知
故答案选B.
点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题。
11.设集合 ，那么集合A中满足条件“ ”的元素的个数为 ( )
A. 60B. 100C. 120D. 130
【答案】D
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】
将 表示成 ，利用绝对值三角不等式得到答案.
【详解】
当 或 是等号成立.
故答案选C
【点睛】本题考查了绝对值三角不等式，将 表示成 是解题的关键.
10.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 ，各成员的支付方式相互独立，设 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， ， ，则
【答案】
【解析】
试题分析：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，
若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，
必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错；
有相互独立事件的概率乘法公式，
可得P（A）=1×0.2×0.8×0.8=0.128，
故答案为0.128.
甘肃省兰州市第一中学2022-2023学年高二下学期7月期末数学参考答案
兰州一中2022-2023-2学期高二年级期末考试数学试题参考答案一、 单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.有且仅有一个选项符合题意； 二、 多选题：9--12题每题至少两个选项符合题意，多选不得分，少选得2分.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ACBABDCBABDBDABDBC第Ⅱ卷（非选择题 共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 214. 1e -15．16. 三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分10分)【解】（1）当1a =时，()e e x f x x =+-，()e 1x f x '=+，所以()f x 在()()0,0f 处的切线斜率为()02f '=， 又()01e f =-，所以()f x 在()()0,0f 处的切线方程为()()()000y f f x '-=-，即()()1e 20y x --=-， 所以()f x 在()()0,0f 处的切线方程为21e y x =+-． ---------6分（2）若()f x 只有一个极值点，则()0f x '=只有一个根， 所以方程e 0x a +=只有一个根，即e x a =-只有一个解， 即y a =-与e x y =只有一个交点， 因为e 0x >y=， 所以0a ->， 所以0a <，所以ln()x a =-，当ln()x a <-时，()0f x '<，当ln()x a >-时，()0f x '>， 所以()f x 只有一个极小值点ln()x a =-， 故a 的取值范围为(),0∞-． -----------12分 19. (本小题满分12分)【解】（1）证明：连接AC 交BD 于点O ，连接FO ，由ABCD 是正方形可得，O 是AC 的中点，又由F 为AE 的中点， 在ACE △中，FO 为中位线，所以//FO CE ，因为CE ⊄平面DFB ，且FO ⊂平面DFB ，所以//CE 平面DFB .---------6分 （2）解：连接GO ，由BD ⊥面AGC ，因为GO ⊂面AGC ，所以BD GO ⊥， 又由ED ⊥平面ABCD ，且BD ⊂面ABCD ，所以BD ED ⊥，所以//DE GO ， 所以点G 为BE 的中点，以点D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 设2DE DA DC ===，则()0,2,0C ，()0,0,0D ，()1,1,1G ，所以()1,1,1DG =，()0,2,0DC = ，设平面GDC 的法向量为(),,n x y z = ，则020n DG x y z n DG y ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令=1x -，则0y =，1z =，所以平面GDC 的一个法向量为()1,0,1n =-，20. (本小题满分12分)【解】（1）x y a b =⋅两边同时取自然对数得设ln y v =，所以ln ln v a x b =+因为523,0.84,55i x v x ===∑,21. (本小题满分12分)【解】（1）（法一）证明：∵平面PAM⊥平面ABCM ，CM ⊥CB ，故以C 为原点，CM 、CB为x 、y 轴，作Cz ∥平面PAM ，建立如图所示的空间直角坐标系，则B （0，2，0），A （，2，0），M ，0，0），在图1中，作DO ⊥AM 于点O ，过点O 作OE ⊥CD于E ，FO ⊥BC 于点F ， 由题知，AD ＝2，DM ，∴AM ，OD＝AD DM AM ⋅==， ∴cos ∠ODM＝OD DE DM OD =，∴DE=，OF ＝CD ﹣DE，OE 23=，∴P 23，∴43BP =- ，(2,0)AM =- ，∴4(((2)003BPAM ⋅=+-⨯-+=，故PB ⊥AM ．（1）（法二）证明：过PO ⊥AM ，连接OB ， 由法一可得：PO OM cos ∠AMB ＝22266812263AM BM AB AM BM +-+-==⋅⨯，在△MBO 中，由余弦定理可得OB 2＝OM 2+MB 2﹣2OM •BM cos AMB ∠， ∴OB 2+OM 2＝48699+＝MB 2，∵∴OB ⊥AM ， ∵OB ∩OP ＝O ，∴AM ⊥平面OPB ，∵PB ⊂平面OPB ， ∴PB ⊥AM ；--------6分（2）解：设,[0,1]PN PB λλ=∈ ，则点N2),(12))3λλλ-+-，∴4(2),())3AN λλλ=+-- ，设平面AMN 的法向量为(,,)m x y z = ，则0m AM m AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2042)(1)03y x y z λλλ⎧-=⎪⎨++-+-=⎪⎩）， 令y ＝﹣1，则x，z，∴m =- ，同理可得，平面PAB 的法向量n＝（0，2），∵平面AMN ⊥平面PAB ，∴20m n ⋅== ，解得λ＝15，∴平面AMN的法向量m =-=- ，(AB =-，设直线AB 与平面AMN 所成角为θ，∴||sin |cos ,|||||m AB AB m m AB θ⋅=<>===⋅故直线AB 与平面AMN------------12分。
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甘肃兰州一中2011—2012学年度下学期期末考试高二数学理试题说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分100分,考试时间100分钟。
答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡。
第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一个．．．．选项符合题意)1.已知复数z =,z 是z 的共轭复数,则z z ⋅等于 D. 1162若函数21()sin (),()2f x x x R f x =-∈则是 A.最小正周期为2π的奇函数B.最小正周期为π的奇函数/C.最小正周期为π2的偶函数D.最小正周期为π的偶函数3. 已知数列{}n a 为等比数列，若561516(0),a a a a a a b +=≠+=，则2526a a +等于A ．ba B ．22b aC ．2b aD ．2b a4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. 2 B. 1 C. 13 D. 235．已知三个函数 ()2xf x x =+，()2g x x =-，2()logh x x x =+的零点依次为,,a b c[则,,a b c 的大小关系为A ．a b c >>B ．a b c <<C ．a c b <<D ．a c b >>6. 庆“元旦”的文艺晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须安排在前两位，节目乙不能安排在第一位，节目丙必须安排在最后一位，则该晚会节目演出顺序的编排方案共有 A ．36种 B ．42种 C ．48种 D ．54种7.若|8||2|)(-++=x x x f 的最小值为n ，则二项式nxx )2(2+的展开式中的常数项是A ．第10项B ．第9项C ．第8项D ．第7项 8.若[]2,2,k ∈-则过(1,1)A 可以做两条直线与圆045222=--++k y kx y x 相切的概率为 )A .21B .41C .43D .139. 已知函数),0()0,()(,4)(2+∞⋃-∞-=是定义在x g x x f 上的奇函数，当x>0时，)()(,log )(2x g x f y x x g ⋅==则函数的大致图象为10. 以圆222210x y x y +---=内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形的个数为！A ．76B ．78C ．81D ．84第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 11. 01263459C C C C ++++= .（用数字作答）队员i1 2 3 4 ￥ 5 6 三分球个数1a 2a 3a 4a 5a 6a（则图中判断框应填 ，输出的s = .13．不等式组0013x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩，表示的平面区域的面积是 .14．已知半径为4的球O 中有一内接圆柱,当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 .三.解答题（本大题共5大题,共44分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. (本小题6分)8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中任取4个球,记取出白球的个 数为X . —（1）求X 的分布列； （2）求1(20)1X P X +-≥-16. (本小题8分)已知向量m =（sin A ，sin B ），n =（cos B ，cos A ），m n ⋅=sin 2C ，且△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． （1）求角C 的大小；（2）若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且()18CA AB AC ⋅-=，求c . -17.（本小题8分）在长方形AA 1B 1B 中，AB =2AA 1，C ，C 1分别是AB ，A 1B 1的中点（如下左图）． 将此长方形沿CC 1对折，使平面AA 1C 1C ⊥平面CC 1B 1B （如下右图），已知D ，E 分别是A 1B 1，CC 1的中点． （1）求证：C 1D ∥平面A 1BE ;（2）求证：平面A 1BE ⊥平面AA 1B 1B .~18. (本小题10分)已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ,首项为1a ,且2，n a ,n s 成等差数列. （I ）求数列{n a }的通项公式； （II ）若2log n n b a =，nn nb c a =，求数列{n c }的前n 项和T n .^19. (本小题12分)已知定义在实数集R 上的奇函数()f x 有最小正周期2，且当(0,1)x ∈时，2()41xx f x =+（1） 证明()f x 在(0,1)上为减函数； （2） 求函数()f x 在[]1,1-上的解析式；（3） 当λ取何值时，方程()f x λ=在R 上有实数解.）、！|参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） ）11. 210 ; 12. 6i ≤ ； 123456a a a a a a +++++ ； 13.72; 14. 32π. 三.解答题（本大题共5大题,共44分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. (本小题6分) .解：（1）随机变量X 所有的可能取值为2,3,4，则有，………………………1分2226483(2),14C C p X C === 1326484(3),7C C p X C ===0426483(4),14C C p X C === 由此X 的分布列为：P314 47 314………………………3分 （2）1(20)(13)(2)(3)1X P P X P X P X X +-≥=<≤==+=-341114714=+=………………………6分,16. (本小题8分).解：（1）sin cos sin cos sin()sin m n A B B A A B C ⋅=+=+=,又sin 2m n C ⋅=， sin sin22sin cos C C C C ∴==1cos ,2C ∴= ………………………3分又0,C π<< .3C π∴=………………………4分 (2) 由已知得sin sin 2sin A B C +=，即2a b c +=又∵()18CA AB AC ⋅-=，∴18CA CB ⋅=36ab =即 ………………………6分 由余弦定理得：2222cos 36c a b ab C =+-=∴ 6.c = ………………………8分【17.（本小题8分）.解：（1）取1A B 的中点F ,连结,,DF EF111,D F A B A B 分别为，的中点， 11DF A BB ∴∆是的中位线，1111////1122DF BB CC DF BB CC ∴==且 即四边形1C EFD 为平行四边形,1//EF C D∴1,EF A BE ⊂平面11//.C D A BE ∴平面 ………………………4分（2）依题意：1111A B C A BBA ⊥平面平面,?11D A B 为的中点，111AC B 且三角形为等腰直角三角形，111C D A B ∴⊥，由面面垂直的性质定理得111C D A BB A ⊥平面， ……………………6分1//,C D EF 又11EF A BB A ∴⊥平面，1,EF A BE ⊂平面平面A 1BE ⊥平面AA 1B 1B . ……………………8分18. (本小题10分)解：（1）∵2，n a , n S 成等差数列， 22n n a S ∴=+·当1=n 时，111222a S a ∴=+=+，解得12a ∴=． …………………2分当2n ≥时，．即1122(22)n n n n n a S S a a --=-=--- 12n n a a -=即．∴数列}{n a 是首项为2，公差为2的等差数列，2.nn a ∴= ……………………5分（2）22log log 2,n n n b a n ===又n n n b c a =2n n nc ∴= ………………………6分 ,2232221322211n n n n na b a b a b T ++++=+++= ①.2232221211432+++++=n n nT ② ①—②，得 ^n n T 212121212132++++= .21+-n n………………………8分 111(1)222212212n n n n n n T +-+∴=-=-- ………………………10分 19. (本小题12分)解：（1）证明：设1212,(0,1)x x x x ∈<且则，12121222()()4141x x x x f x f x -=-++ 1221122412414141x x x x x x +-+=++（）（）（）（） 211212+22214141x x x x x x --=++（）（）（）（）………………………3分 1201x x <<<，211222,21x x x x +∴>>1212()-()0,()()f x f x f x f x ∴>>即，∴()f x 在(0,1)上为减函数.………………………4分（2）(1,0)(0,1)x x ∈-∴-∈,2()41xxf x --∴-=+, ()f x 又为奇函数，2()()41xx f x f x --∴-==-+2()41xxf x --∴=-+ ………………………6分 (1)=(1)(1)=(1)f f f f ---又，且 (1)(1)=0f f ∴=-2(0,1),410,1,()2(1,0)41xxxx x x f x x ⎧∈⎪+⎪=±⎪∴=⎨⎪-∈-⎪+⎪⎩………………………8分（3）若(0,1),x ∈21()14122x x x xf x ∴==++ 又152(2,),22x x+∈ 21()(,),52f x ∴∈ ………………………10分若(1,0),x ∈-21()14122x x xxf x ∴=-=-++12()(,),25f x ∴∈--λ∴的取值范围是1221|=0<<<.2552λλλλ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或-或 ………………………12分。