数学建模中的优化模型ppt课件
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数学建模简明教程课件：简单优化模型
由上面三个表达式可求得：
r
1
4a 4,
cos
r1
4
r 2
r1
22
这也是在能量消耗最小原则下血管分岔处几何形状的 结果.由这个结果得：
a4
cos 2a 4
r 若取a＝1和a＝2可得 r1 和θ的大致范围约为：
r
1.26
1.32
r1
37
49
23
3.模型检验
记动物大动脉和最细的毛细血管半径分别为rmax和rmin
时刻为t＝t2，设t时刻森林烧毁面积为B(t)，则造成损失的森
林烧毁面积为B(t2)；单位时间烧毁的面积为 dB(t) (这 dt
也表示了火势蔓延的程度).在消防队员到达之前，即0≤t≤t1
期间，火势越来越大，从而
dB随(t )t的增加而增加 dt
；开始救火之后，即t1≤t≤t2期间，如果消防队员救火能力足
合来确定.式(3.3.2)还表明最优价格包括两部分：一部分为
成本的一半，另一部分与“绝对需求量”成正比，与市场
需求对价格的敏感系数成反比.
29
3.4 存贮模型
为了使生产和销售有条不紊地进行，一般的工商企业 总需要存贮一定数量的原料或商品，然而大量库存不但积 压了资金，而且会使仓库保管的费用增加.因此，寻求合理 的库存量乃是现代企业管理的一个重要课题.
min［订货费(或生产费)＋存贮费＋缺货损失费］
下面我们讨论几个重要的存贮模型.
31
3.4.1 不允许缺货的订货销售模型
为了使问题简化，我们作如下假设： (1)由于不允许缺货，所以规定缺货损失费为无穷大. (2)当库存量为零时，可立即得到补充. (3)需求是连续均匀的，且需求速度(单位时间的需求量) 为常数. (4)每次订货量不变，订货费不变. (5)单位存贮费不变.
数学建模～最优化模型(课件)
投资组合优化
在风险和收益之间寻求平衡，通 过优化投资组合实现最大收益。
03
非线性规划模型
非线性规划问题的定义
目标函数
一个或多个非线性函数，表示 要最小化或最大化的目标。
约束条件
决策变量的取值受到某些限制 ，通常以等式或不等式形式给 出。
决策变量
问题中需要求解的未知数，通 常表示为x1, x2, ..., xn。
这是一种常用的求解整数规划问题的算法，通过不断将问题分解为更 小的子问题，并确定问题的下界和上界，逐步逼近最优解。
割平面法
该方法通过添加割平面来限制搜索区域，从而逼近最优解。
迭代改进法
该方法通过不断迭代和改进当前解，逐步逼近最优解。
遗传算法
这是一种基于生物进化原理的优化算法，通过模拟自然选择和遗传机 制来寻找最优解。
定义域
决策变量的取值范围，通常是 一个闭区间或开区间。
非线性规划问题的求解方法
梯度法
利用目标函数的梯度信息，通过迭代方法寻 找最优解。
共轭梯度法
结合梯度法和牛顿法的思想，通过迭代方法 寻找最优解。
牛顿法
利用目标函数的二阶导数信息，通过迭代方 法寻找最优解。
信赖域方法
在每次迭代中，通过限制搜索步长来保证求 解的稳定性。
02
线性规划模型
线性规划问题的定义
01
02
03
线性规划问题
在给定一组线性约束条件 下，求一组线性函数的最 大值或最小值的问题。
约束条件
包括资源限制、物理条件 等，通常以等式或不等式 形式给出。
目标函数
需要最大化或最小化的线 性函数，通常表示为决策 变量的线性组合。
线性规划问题的求解方法
优化模型一：线性规划模型数学建模课件
题的求解过程。
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题 。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变 得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方 法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算 法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将 问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求 解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产 计划，确定最佳的生产组合和数量，以满 足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于 优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降 低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基 本可行解，如果它满足所有的约束条 件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用 一些启发式算法或随机搜索方法，以 快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一 个起始点，通过迭代和优化，可以逐 渐逼近最优解。
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题 。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变 得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方 法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算 法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将 问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求 解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产 计划，确定最佳的生产组合和数量，以满 足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于 优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降 低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基 本可行解，如果它满足所有的约束条 件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用 一些启发式算法或随机搜索方法，以 快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一 个起始点，通过迭代和优化，可以逐 渐逼近最优解。
数学建模最优化模型 ppt课件
output= iterations: 108 funcCount: 202
algorthm: 'Nelder-Mead simplex direct search '
2020/4/13
最优化问题的数学模型
建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描述所 研究的系统，具体建立怎样的数学模型需要丰富的经验和熟练 的技巧。即使在建立了问题的数学模型之后，通常也必须对模 型进行必要的数学简化以便于分析、计算。
其中等式（3）、（4）、（5）的右边可选用（1）或（2） 的等式右边.
函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求 目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解.
2020/4/13
MATLAB(wliti1)
例 1 求 x = 2ex sin x 在 0< x <8 中的最小值与最大值.
线性规划 整数规划 非线性规划 动态规划 多目标规划
对策论
2020/4/13
最优化问题的一般算法
最优化问题的一般数学模型
minfx
s.t.
hi x0
i1,2,L,m
(P)
gj(x)0 j1,2,Lp
2020/4/13
整体（全局）最优解：若 x* D，对于一切 x D ，恒有
fx*fx则称 x * 是最优化问题的整体最优解。
2020/4/13
整体最优解
求解 P 的基本方法（迭代算法）：
1 给定一个初始可行点 x0 D；
2 产生可行点 x1，x2，…，xk ，…，记为 xk ；
3 使得或者某个 xk 恰好是问题的一个最优
解，或者该点列xk 收敛到问题的一个最优解 x*。
2020/4/13
algorthm: 'Nelder-Mead simplex direct search '
2020/4/13
最优化问题的数学模型
建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描述所 研究的系统，具体建立怎样的数学模型需要丰富的经验和熟练 的技巧。即使在建立了问题的数学模型之后，通常也必须对模 型进行必要的数学简化以便于分析、计算。
其中等式（3）、（4）、（5）的右边可选用（1）或（2） 的等式右边.
函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求 目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解.
2020/4/13
MATLAB(wliti1)
例 1 求 x = 2ex sin x 在 0< x <8 中的最小值与最大值.
线性规划 整数规划 非线性规划 动态规划 多目标规划
对策论
2020/4/13
最优化问题的一般算法
最优化问题的一般数学模型
minfx
s.t.
hi x0
i1,2,L,m
(P)
gj(x)0 j1,2,Lp
2020/4/13
整体（全局）最优解：若 x* D，对于一切 x D ，恒有
fx*fx则称 x * 是最优化问题的整体最优解。
2020/4/13
整体最优解
求解 P 的基本方法（迭代算法）：
1 给定一个初始可行点 x0 D；
2 产生可行点 x1，x2，…，xk ，…，记为 xk ；
3 使得或者某个 xk 恰好是问题的一个最优
解，或者该点列xk 收敛到问题的一个最优解 x*。
2020/4/13
数学建模中的优化模型
数学建模中的优化模型发展前景
01
随着大数据和人工智能技术的快速发展，优化模型的应用领域将进一 步扩大。
02
优化模型将与机器学习、深度学习等算法结合，实现更加智能化的决 策支持。
03
优化模型将面临更多大规模、复杂问题的挑战，需要发展更加高效、 稳定的算法和求解技术。
04
优化模型将与可持续发展、环境保护等社会问题结合，为解决全球性 挑战提供解决方案。
优化模型的应用领域
工业生产
金融投资
优化模型在工业生产中广泛应用于生产计 划、工艺流程、资源配置等方面，以提高 生产效率和降低成本。
优化模型在金融投资领域中用于资产配置 、风险管理、投资组合等方面，以实现最 优的投资回报和风险控制。
交通运输
科学研究
优化模型在交通运输领域中用于路线规划 、车辆调度、物流配送等方面，以提高运 输效率和降低运输成本。
，为决策提供依据。
优化模型在实际应用中需要考虑各种约束条件和目标 函数，同时还需要处理大规模数据和复杂问题。
优化模型在数学建模中占据重要地位，用于解 决各种实际问题，如生产计划、物流运输、金 融投资等。
优化模型有多种类型，包括线性规划、非线性规 划、动态规划、整数规划等，每种类型都有其适 用的场景和特点。
非线性规划模型
非线性规划模型的定义与特点
总结词
非线性规划模型是一种数学优化模型，用于解决目标函数和约束条件均为非线性函数的 问题。
详细描述
非线性规划模型通常由目标函数、约束条件和决策变量三个部分组成。目标函数是要求 最小化或最大化的非线性函数，约束条件可以是等式或不等式，决策变量是问题中需要 优化的未知数。非线性规划模型的特点在于其非线性性，即目标函数和约束条件不能用
数学建模之优化模型PPT课件
（二）优化模型的分类
1.根据是否存在约束条件 有约束问题和无约束问题。
2.根据设计变量的性质 静态问题和动态问题。
3.根据目标函数和约束条件表达式的性质 线性规划，非线性规划，二次规划，多目标规划等。
第3页/共29页
（1）非线性规划
目标函数和约束条件中，至少有一个非线性函数。
minu f (x) x
配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生 产不同的部件时因更换设备要付生产准备费 （与生产数量无关），同一部件的产量大于需 求时因积压资金、占用仓库要付存贮费。今已 知某一部件的日需求量100件，生产准备费5000 元，存贮费每日每件1元。如果生产能力远大于 需求，并且不允许出现缺货，试安排该产品的 生产计划，即多少天生产一次（称为生产周 期），每次产量多少，可使总费用最小。
由相对变化量衡量对参数的敏感程度。
T 对c1 的敏感程度记为 S(T, c1) 2
S(T , c1)
T c1
T c1
dT d c1
c1 T
1 2
c2r c1 1 2c1 T 2
c2r
1
1
S (T , c2 ) 2
S(T , r) 2
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S (T , c1)
1 2
S
(T
,
一 优化模型的一般意义
（一）优化模型的数学描述
将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数
u f ( x) x (x1, x2, x3,...,xn ) 在约束条件 hi (x) 0,i 1,2,...,m.
和 gi (x) 0(gi (x) 0),i 1,2,...,p.
下的最大值或最小值，其中
工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用； 车间一次加工出一批零件，供装配线每天生产之用； 商店成批购进各种商品，放在货柜里以备零售； 水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和发电。
优化模型举例PPT课件
2021/4/17
第19页/共81页
实例2运输问题
设有某物资从m个发点A1,A2,…,Am输送到n个收点B1,B2,…,Bn，
其中每个发点发出量分别为 a1, a2,..., am 每个收点输入量分别
为
b1, b2,...,
bn
，并且满足
m
n
ai bj
i 1
ji
从发点A到收点B的距离（或单位运费）是已知的，设
为cij (i 1,2,..., m, j 1,2,..., n) 。一个调运方案主要由一组从发
点 Ai 到收点 B j 的输送量 xij 来描述。
问题：寻求一个调运方案，使总运输费用达到最小。
2021/4/17
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收点
发点
B1
B2
…. Bn
A1
X11 X12
….. X1n
a1
A2
s.t.
n k 1
aik
xk
bi , i
1,2,...,n.
xi 0, i 1,2,...,n.
2021/4/17
第11页/共81页
（3）二次规划问题
目标函数为二次函数，约束条件为线性约束
min u
f (x)
n
ci xi
i 1
1n
2
i
,
j
bij
1
xi
x
j
s.t.
n j 1
aij x j
2021/4/17
第16页/共81页
一单位实物 行走时间(分钟) 捕获时间(分钟) 热量(焦耳)
2021/4/17
X
2
2
25
Y
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2
3
4
• 制订月生产计划，使工厂的利润最大.
• 如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆，
那么最优的生产计划应作何改变？ 15
汽车厂生产计划
模型建立
设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为x1, x2, x3
小型 钢材 1.5 时间 280 利润 2
中型 3
250 3
大型 5
400 4
现有量 600 60000
p(t)w(t) p(t)w(t) 4
每天利润的增值 每天投入的资金
保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售
由 S(t,r)=3 若 1.8 w 2.2(10%), 则 7 t 13（30%） 建议过一周后(t=7)重新估计 p, p, w, w, 再作计算。
13
研究 r, g变化时对模型结果的影响 估计r=2， g=0.1
• 设r=2不变
t 3 20 g , 0 g 0.15 g
t 对g的（相对）敏感度 30
t
S(t, g) Δ t / t dt g 20 Δ g / g dg t
S(t, g) 3 3 3 20 g
7
常用优化软件
1. LINGO软件 2. MATLAB优化工具箱 3. EXCEL软件的优化功能 4. SAS(统计分析)软件的优化功能 5. 其他
8
2.简单的优化模型
——生猪的出售时机
问 饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设 题 备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。
市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降 低 0.1元，问生猪应何时出售。
均为整数，重新求解. 17
模型求解 整数规划(Integer Programming,简记IP)
Max z 2x1 3x2 4x3
s. t. 1.5x1 3x2 5x3 600
280 x1 250 x2 400 x3 60000
简要提纲
1. 优化模型简介 2. 简单的优化模型 3. 数学规划模型 4. 图论，动态规划(选讲) 5. 建模与求解实例
1
1. 优化模型简介
2
优化问题的一般形式
3
无约束优化:最优解的分类和条件
4
约束优化的简单分类
5
优化建模如何创新？
• 方法1：大胆创新，别出心裁 ---- 采用有特色的目标函数、约束条件等 ---- 你用非线性规划，我用线性规划 ---- 你用整数/离散规划，我用连续规划/网络优化 ---- …… • 方法2：细致入微，滴水不漏 ---- 对目标函数、约束条件处理特别细致 ---- 有算法设计和分析，不仅仅是简单套用软件 ---- 敏感性分析详细/ 全面 ---- ……
利润 Q=R-C=pw -C Q(t) (8 gt)(80 rt) 4t
求 t 使Q(t)最大 t 4r 40 g 2 =10 rg
Q(10)=660 > 640 10天后出售，可多得润20元
10
敏感性分析
t 4r 40 g 2 rg
研究 r, g变化时对模型结果的影响 估计r=2， g=0.1
6
建模时需要注意的几个基本问题
1、尽量使用实数优化，减少整数约束和整数变量 2、尽量使用光滑优化，减少非光滑约束的个数 如：尽量少使用绝对值、符号函数、多个变量求 最大/最小值、四舍五入、取整函数等 3、尽量使用线性模型，减少非线性约束和非线性变 量的个数（如x/y <5 改为x<5y） 4、合理设定变量上下界，尽可能给出变量初始值 5、模型中使用的参数数量级要适当(如小于103)
Variable Value Reduced Cost
X1 64.516129
0.000000
X2 167.741928
0.000000
X3 0.000000
0.946237
Row Slack or Surplus Dual Price
2 0.000000
0.731183
3 0.000000
0.003226
• 设g=0.1不变
t 40r 60 , r 1.5 r
t 对r 的（相对）敏感度
20
t
15
S(t, r)
Δt Δr
/t /r
dt dr
r t
10
60
5
S(t, r)
3
40r 60
0
1.5
2
2.5
r3
生猪每天体重增加量r 增加1%，出售时间推迟3%。 11
敏感性分析
t 4r 40 g 2 rg
1）舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值 z=629，与LP最优值632.2581相差不大.
2）试探：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等， 计算函数值z，通过比较可能得到更优的解.
• 但必须检验它们是否满足约束条件. 为什么？
3）模型中增加条件：x1, x2, x3
10 0
0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 g 0.16
生猪价格每天的降低量g增加1%，出售时间提前3%。 12
强健性分析
研究 r, g不是常数时对模型结果的影响
w=80+rt w = w(t) p=8-gt p =p(t)
Q(t) p(t)w(t) 4t
Q(t) 0
如果估计和预测有误差，对结果有何影响。
分 投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随 析 时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大
9
建模及求解
估计r=2， g=0.1 若当前出售，利润为80×8=640（元）
t 天 生猪体重 w=80+rt 出售 出售价格 p=8-gt
销售收入 R=pw 资金投入 C=4t
3. 数学规划模型
例1 汽车厂生产计划 例2 加工奶制品的生产计划 例3 运输问题
14
例1 汽车厂生产计划
汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对 钢材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量.
小型 中型 大型
现有量
钢材（吨）
1.5
3
5
600
劳动时间（小时） 280
250
400
60000
利润（万元）
Max z 2x1 3x2 4x3
s. t. 1.5x1 3x2 5x3 600 280 x1 250 x2 400 x3 60000
x1, x2 , x3 0
线性规划 模型(LP)
16
模型 求解
结果为小数， 怎么办？
Objective Value: 632.2581