数学建模优化实验课件

1 用MATLAB优化工具箱解无约束优化问题

用MATLAB优化工具包求解无约束非线性规划时必须先化为如下形式：Min f(x) (NLP)

求解程序名为fminunc，其最简单的调用格式为：

x = fminuncn('fun',x0)

其最复杂的调用格式为：

[x,fval,exitflag,output,grad,hessian] =

fminunc(@f,x0,options,P1,P2,...)

输出参数输入参数注意事项

1.4.1 程序fminunc输出变量

其中输出变量的含义为：

1） x ：最优解

2） fval ：最优解处的函数值

3） exitflag ：程序结束时的状态指示：

· >0：收敛

· 0：函数调用次数或迭代次数达到最大值（该值在options中指定）· <0：不收敛

4) Output: 包含以下数据的一个结构变量

· funcCount 函数调用次数

· iterations 实际迭代次数

· cgiterations 实际PCG迭代次数（大规模计算用）

· algorithm 实际使用的算法

· stepsize 最后迭代步长（中等规模计算用）

5) grad: 目标函数梯度

6) hessian: 目标函数的hessian矩阵

1.4.2 程序fminunc输入参数

其中输入变量的含义为：

· x0为初始解（缺省时程序自动取x0=0）

· fun.m给出目标函数，当GradObj='on时必须给出其梯度，当Hessian='on 时还必须给出其Jacobi矩阵，一般形式为

· function [f,g,H] = fun(x)

· f = ... % objective function value

· if nargout > 1

· g = ... % gradient of the function

· if nargout > 2

· H = ... % Hessian of the function

· end

· options：包含算法控制参数的结构

设定（或显示）控制参数的命令为Optimset，有以下一些用法：

Optimset //显示控制参数

optimset optfun //显示程序'optfun的控制参数

opt=optimset //控制参数设为[]（即缺省值

opt=optimset(optfun)// 设定为程序'optfun的控制参数缺省值

Opt=optimset('par1',val1,'par2',val2,...)

Opt=optimset(oldopts,'par1',val1,...)

opt=optimset(oldopts,newopts)

可以设定的参数比较多，对fminunc，常用的有以下一些参数：

Diagnostics 是否显示诊断信息（ 'on' 或'off）

Display 显示信息的级别（'off' ， 'iter' ， 'final，'notify）

LargeScale 是否采用大规模算法（ 'on' 或'off）缺省值为on

MaxIter 最大迭代次数

TolFun 函数计算的误差限

TolX 决策变量的误差限

GradObj 目标函数是否采用分析梯度（'on' ，'off）

Hessian 目标函数是否采用分析Hess矩阵（'on' ，'off）

MaxFunEvals 目标函数最大调用次数

HessUpdate 拟牛顿法修改方法（’bfgs’(缺省

值)，’dfp’,’gillmurray’,’steepdesc’）

LineSearchType 线搜索方法(‘cubicpoly’,’quadcubic’(缺省值))

1.4.3 注意事项

· fminunc中输出变量、输入参数不一定写全，可以缺省。采用缺省值效果一般会很好。

· 当中间某个输入参数缺省时，需用[]占据其位置。

· 当函数高度非线性或严重不连续时，用程序fminsearch代替fminunc。

2用MATLAB优化工具箱解非线性最小二乘拟合问题

l 非线性最小二乘问题

min

s.t. v

1x v

2

求解程序名为lsqnonlin，其最简单的调用格式为：

x=lsqnonlin(@F,x0, v1,v2)

其最复杂的调用格式为：

[x,norm,res,ef,out,lam,jac] = lsqnonlin(@F,x0,v1,v2,opt,P1,P2, ... ) l 非线性拟合问题

min

s.t. v

1x v

2

求解程序名为lsqcurvefit，其最简单的调用格式为：

x=lsqcurvefit(@F, x0,t,y,v1,v2)

其最复杂的调用格式为：

[x,norm,res,ef,out,lam,jac] =

lsqcurvefit(@F,x0,t,y,v1,v2,opt,P1,P2,...)

输出参数输入参数注意事项

2.3.1 程序lsqnonlin和lsqcurvefit的输出参数

其中输出变量的含义为：

1） x ：最优解

2） norm ：误差的平方和

3）res: 误差向量

4） ef ：程序结束时的状态指示：

· >0：收敛

· 0：函数调用次数或迭代次数达到最大值（该值在options中指定）· <0：不收敛

5) out: 包含以下数据的一个结构变量

· funcCount 函数调用次数

· iterations 实际迭代次数

· cgiterations 实际PCG迭代次数（大规模计算用）

· algorithm 实际使用的算法

· stepsize 最后迭代步长（中等规模计算用）

· firstorderopt 一阶最优条件满足的情况（大规模计算用）

6) lam：上下界所对应的Lagrange乘子

7) jac：结果（x点）处的雅可比矩阵

2.3.2程序lsqnonlin和lsqcurvefit的输入参数

其中输入变量的含义为：

· x0为初始解（缺省时程序自动取x0=0）

· F给出目标函数的M文件，当Jacobian='on时必须给出其Jacobi矩阵，一般形式为：

function [F,J] = Fun(x)(对程序lsqcurvefit为Fun(x,t))

F = ... % objective function values at x

if nargout > 1 % two output arguments

J = ... % Jacobian of the function evaluated at x

end

· t,y: 拟合数据

· v1,v2: 上下界

· options：包含算法控制参数的结构

设定（或显示）控制参数的命令为Optimset，有以下一些用法：

Optimset //显示控制参数

optimset optfun //显示程序'optfun的控制参数

opt=optimset //控制参数设为[]（即缺省值

opt=optimset(optfun)// 设定为程序'optfun的控制参数缺省值

Opt=optimset('par1',val1,'par2',val2,...)

Opt=optimset(oldopts,'par1',val1,...)

opt=optimset(oldopts,newopts)

可以设定的参数比较多，对lsqnonlin和lsqcurvefit，常用的有以下一些参数：Diagnostics 是否显示诊断信息（ 'on' 或'off）

Display 显示信息的级别（'off' ， 'iter' ， 'final，'notify）LargeScale 是否采用大规模算法（ 'on' 或'off）缺省值为on

MaxIter 最大迭代次数

TolFun 函数计算的误差限

TolX 决策变量的误差限

Jacobian 目标函数是否采用分析Jacobi矩阵（'on' ，'off）

MaxFunEvals 目标函数最大调用次数

LevenbergMarquardt 搜索方向选用LM法(‘on’), GN法(‘off’,缺省值) LineSearchType 线搜索方法(‘cubicpoly’,’quadcubic’(缺省值))

2.3.3 注意事项

· fminunc中输出变量、输入参数不一定写全，可以缺省。

· 当中间某个输入参数缺省时，需用[]占据其位置。

3 用MATLAB优化工具包解线性规划

用MATLAB优化工具包求解线性规划时必须先化为如下形式：

（LP）

求解程序名为linprog，其最简单的调用格式为：

x = linprog(c,A1,b1) （用于不含有等式约束和上下解约束的问题）

其最复杂的调用格式为：

[x,fval,exitflag,output,lambda] =

linprog(c,A1,b1,A2,b2,v1,v2,x0,options)

4 用MATLAB优化工具包解二次规划

用MATLAB优化工具包求解二次规划时必须先化为如下形式：

(QP)

求解程序名为quadprog，其最简单的调用格式为：

x = quadprog(H,c,A1,b1) （用于不含有等式约束和上下解约束的问题）其最复杂的调用格式为：

[x,fval,exitflag,output,lambda] =

quadprog(H,c,A1,b1,A2,b2,v1,v2,x0,options)

5插值方法的Matlab实现

a．对于Lagrange插值必须自编程序

b．低次插值的Matlab命令

分段线性插值：

y=inter1(x0, y0, x)，其中输入离散数据x0、y0、x，输出对应x的插值y。

三次样条插值：

y=inter1(x0, y0, 'spline')

或

y=spline(x0, y0, x)

其中，x0、y0、x和y的意义同上。

6数值积分的Matlab实现

trapz(x)

用梯形公式计算(h=1)，输入数组x为各区间端点的函数值。

trapz(x,y)

用梯形公式计算，输入x,y为同长度的数组，输出y对x的积分(步长可不相等)。

quad('fun',a,b,tol)

用自适应辛普森公式计算，输入被积函数fun可以自定义如exp(-x.^2)，也可以是fun.m命名的函数M文件，积分区间(a,b)，绝对误差tol，输出积分值。

quadl('fun',a,b,tol)

用自适应的Gauss-Lobatto公式计算，其余同上。