数学建模 田径选拔比赛安排优化模型

楚雄师范学院

2013年数学建模培训第一次预赛论文题目田径赛安排优化模型

姓名马杰

系（院）数学系

专业信息与计算科学

年月日

田径赛安排优化模型

摘要：本文通过对某校田径选拔赛比赛日程安排表进行分析规划，并针对参赛项目即跳高、跳远、标枪、铅球、100米和200米短跑，在规定每个选手至多参加三个项目的比赛，有七名选手报名的情况下，设计比赛日程安排表，使得在尽可能短的时间内完成比赛，找出最小目标函数和各项约束条件的数学表达式，建立数学规划模型。模型的求解过程中，采用数据结构图解法及数学软件LINGO等编写相应的程序，对建立的模型进行求解，得出最优结果。

关键字：LINGO数学软件离散数学0-1变量线性规划数据结构

一、问题重述

假设某校的田径选拔赛共设六个项目的比赛，即跳高、跳远、标枪、铅球、100米和200米短跑，规定每个选手至多参加三个项目的比赛，现有七名选手报名，选手所选项目如表所示。现在要求设计一个比赛日程安排表，使得在尽可能

二、问题分析

根据条件分析：七名选手参加的比赛项目都没超过三个，说明他们所报的项目都可以比赛。

对于这七个同学参加六项田径选拔比赛，要使比赛时间在短时间内尽可能完成比赛，主要考虑每个项目尽能在同时间内可以同时进行几个足够多项目的比赛，并且保证每个选手都有时间参加每个项目。我们最容易想到的一个办法就是穷举法，这种赛日安排方法共有6!=720种,显然不能用这种方法解决这类题。

根据条件，我们可以重新把上表重新排列出每个项目分有哪些项参加（如下表），通过下表我们就可以准确的找出相关的限制条件：每个时间段只能参加一项目，不能同时参加几个项目（例赵宁在同一时刻参加了跳高，就不能参加跳远和铅球）。我们可以用1

0-变量表示每个项目是否在同一段时间是否进行，从

三、模型假设

1.假设每个同学都会按时参加每个项目，有足够多老师或教练组织每一项比赛，保证同一时间段可以同时进行几个项目的比赛。

2.假设每个同学在同一时间段只能参加一个项目，即：参加一个项目后没有时间在去参加其他项目。

四、模型建立

引入10-变量j x （j=1,2,3,4,5,6）表示项目（跳高，跳远，铅球，100米，200米，标枪）。若j x （项目）进行，记1x j =，否则记0x j =。根据参赛成员在同一时间段只能参加一个项目条件限制，j x 应该满足以下约束条件：

Min Z= x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6

对于赵宁限制：x 1+x 2+x 3=1;

对于钱虎限制： x 2+x 4=1; 对于孙正限制： x 1+x 3 +x 5=1; 对于李江限制： x 3 +x 5+x 6=1; 对于杨众限制： x 1+x 2+x 3=1; 对于刘平限制： x 1+x 3 +x 5=1; 对于王跃限制： x 2 +x 4+x 6=1。

从而我们可以得到线性规划模型：

Min Z= x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6

s.t.

x 1+x 2+x 3=1 x 2+x 4=1 x 1+x 3 +x 5=1 x 3 +x 5+x 6=1 x 2 +x 4+x 6=1

五、模型求解

下面介绍两种解法 第一种解法（图表法）：

为了能较好地解决这个模型，可以根据该问题的数据结构模型图如下图（竞赛项目在所有的两个不能同时进行比赛的项目之间连上一条边仙），表示出同一

个选手选择的几个项目是不能在同一时间内比赛的，因此该选手选择的项目中没有两两相连的线，可以同时进行并且是所用的时间也是最短的。

由此可得：只要安排3个不同的时间竞赛即可。时间1内可以比赛跳高（X1）和标枪（X6），时间2内可以比赛跳远（X2）和200米（X5），时间3可以进行比赛铅球（X3）和100米（X4）。（但这种方法主观性太强，依据不强）

第二种解法：用LINGO直接求解，输入文件：

model:

min=x1+x2+x3+x4+x5+x6;

x1+x2+x3=1;

x2+x4=1;

x1+x3 +x5=1;

x3+x5+x6=1;

x2+x4+x6=1;

end

int 6

求解可以得到最优解如下：

Global optimal solution found.

Objective value: 2.000000

Total solver iterations: 0

Variable Value Reduced Cost

X1 0.000000 0.000000

X2 0.000000 0.000000

X3 1.000000 0.000000

X4 1.000000 0.000000

X5 0.000000 0.000000

X6 0.000000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 2.000000 -1.000000

2 0.000000 0.000000

3 0.000000 0.000000

4 0.000000 -1.000000

5 0.000000 0.000000

6 0.000000 -1.000000

根据LINGO所求得的解可以知道：X3=X4=1 ，可知：铅球（X3）和100

米（X4）可以同时进行比赛，然后在由影子条件知：跳高（X1）和标枪（X6）也可同时进比赛，最后只剩下跳远（X2）和200米（X5），而他们的成员没有相同的，这两项也可同时进行比赛。从而要使赛程的时间最短，我们只要安排3个不同的时间竞赛分别安排能同时进行两个比赛项目即可。（由此我们也可以判定解法一也是正确的，并为一提供科学依据）