初中数学八年级上册第四章一次函数教案 北师大版
北师大版八年级数学上册第四章一次函数4
（1）第4题：已知一次函数的图像经过点（2，3）和（4，7），求该一次函数的表达式。
（2）第6题：一次函数的图像与坐标轴交于点A（-3，0）和点B（0，2），求该一次函数的表达式。
（3）第8题：已知一次函数的图像与坐标轴交于点（-2，0）和点（0，4），求该一次函数图像上y值大于0时的x取值范围。
3.运用数形结合的方法，培养学生通过图像分析问题、解决问题的能力，提高学生的几何直观和逻辑思维能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生学习数学的积极性，使其认识到数学在生活中的重要性。
2.培养学生勇于探索、积极思考的良好学习习惯，使其在面对问题时具有独立思考和解决问题的能力。
二、学情分析
八年级学生在前两年的数学学习中，已经掌握了基本的代数知识和几何知识，具备了一定的数学思维能力和解决问题的能力。在此基础上，学生对一次函数的概念和性质已有初步了解，但对于将一次函数应用于实际问题的解决，仍需进一步引导和培养。此外，学生在小组合作、交流讨论等方面的能力有待提高，需要教师在教学过程中给予关注和指导。因此，本章节教学应结合学生的实际情况，注重启发式教学，引导学生主动探究，提高其数学应用能力和团队合作意识。同时，针对学生在数学学习中可能存在的恐惧心理，教师应关注学生的情感态度，鼓励学生积极参与，培养其自信心和自主学习能力。
1.请同学们运用一次函数的知识，解决以下实际问题：
（1）某商品的原价为x元，商场进行打折促销，打八折后的价格为y元。请列出y关于x的一次函数表达式。
（2）小明计划坐出租车去机场，出租车的起步价为10元，行驶3公里后，每公里收费2元。如果小明要行驶12公里，他需要支付多少车费？
北师大版初中数学八年级上册《第四章 一次函数 1 函数》 优质课教案_0
函数一、教材分析《函数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第四章《一次函数》第一节的内容。
教材让学生分析了大量的问题，感受到在实际问题中存在两个变量，而且这两个变量之间存在一定的关系，它们的表示方式是多样地，如可以通过列表的方法表示，可以通过画图象的方法表示，还可以通过列解析式的方法表示，但都有着共性：其中一个变量依赖于另一个变量。
教材中的函数概念就是这样从具体实际问题的数量关系和变化规律中抽象出来的，主要是通过学生探索实际问题中存在的大量的变量之间关系，进而抽象出函数的概念。
本节内容是在七年级知识的基础上，继续通过对变量间的关系的考察，让学生初步体会函数的概念，为后续学习打下基础。
同时，函数的学习可以使学生体会到数形结合的思想方法，感受事物是相互联系和规律的变化。
二、学情分析1、对学生已有知识经验分析学生在小学时学到加减乘除运算法则，乘法口诀，就体现了一种对应关系。
还有按规律数火柴棒的经历，也体现了一种对应。
学生在六年级上学期学习圆和扇形时，就初步感知了两个变量的依赖关系；学习数据的表示（统计图表）时，认识数字与图形的联系和对应关系。
六年级下学期学习数轴时，初步接触点与数的对应。
学生在七年级上学期用字母表示数，代数式的值的教学是培养学生对变量的认识、树立初步的函数观念的良好契机。
数、字母、代数式之间的关系实际上就是数、自变数、函数之间的关系。
代数式本身就是代数式所含字母的函数，代数式求值实际上就是给自变数一个确定的值，求对应的函数值。
在七年级下册已学习了《变量之间的关系》，学生接触了大量的生活实例额，体会了变量之间相互依赖关系的普遍性，感受到了学习变量关系的必要性，对变量间互相依存的关系有了一定的认识。
初步具备了一定的识图能力和主动参与、合作的意识和初步的观察、分析、抽象概括的能力。
上述分析表明，课本在正式引进函数概念之前，早已结合有关知识，渗透了函数的概念和对应的思想：通过代数式的值的概念，可以很好给学生渗透一些变量间的依存关系以及变量的变化范围等方面的初步知识，学习平面上的点和有序实数对间的一一对应关系，为学生学习函数的图形做好了准备，此外，方程（特别是二元一次方程）、等式的学习以及有关几何量的计算，进一步促进学生认识两个量之间是相互关联的，体会到两个变量之间的相互依存关系，都为学生学习函数知识作了很好的准备！2、可能存在的难点分析由常量数学到变量数学的过渡，以函数的引入为标志，宣布了数学问题的研究由处理相对稳定的数学问题进入处理运动、变化的量与量关系的数学问题的领域，抽象层次的再一次提升；由数到形，又到数形结合，研究量与量之间运动、变化过程中表现出的关系，则又是一类研究对象与研究方法的转变而导致的不适应，就出现了由常量数学到变量数学过渡的这一难关。
北师大版八年级数学上册第四章一次函数4.4一次函数的应用(教案)
今天在教授一次函数的应用这一章节时，我发现学生们对于一次函数的实际意义和如何建立数学模型感到很有兴趣。他们对于将实际问题转化为数学表达式的过程感到好奇，这也让我意识到，将数学知识与现实生活紧密结合起来，能够有效提升学生的学习积极性。
在讲授过程中，我注意到有些学生在理解斜率的物理意义时遇到了困难。我通过举例和图示来帮助他们理解，但感觉还需要在今后的教学中继续加强这一部分的讲解和练习。可能通过更多的实际案例，让学生自己探索和发现斜率在不同情境下的含义，会更加有助于他们的理解。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
在总结回顾环节，我询问了学生是否有疑问，很高兴的是，他们能够提出一些深入的问题，这表明他们真正在思考和学习。但我也意识到，可能还有部分学生因为害羞或其他原因没有提问。我需要寻找更多途径，如课后辅导、小组互助等，来确保每一个学生都能得到帮助，解决他们的困惑。
北师大版八年级数学上册第四章一次函数4.4一次函数的应用（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版八年级数学上册第四章一次函数的4.4节，主要内容包括：
1.利用一次函数解决实际问题，如斜率与实际意义的联系；
2.一次函数图像在坐标平面上的应用，如何从图像中获取信息；
3.通过一次函数的例子，让学生理解函数与方程的关系；
举例：在讲解斜率的实际意义时，通过具体例子（如物体的匀速运动）来说明斜率与速度的关系，帮助学生理解斜率在现实中的具体应用。在绘制图像时，指导学生通过选取点、画直线等步骤，掌握绘制一次函数图像的技巧。对于变量关系的识别，可以通过案例教学，让学生在实际问题中练习区分变量和常量。在参数估计方面，教授学生使用实际数据点和函数表达式来计算k和b的值，并进行验证。
北师大初中数学八上《第四章一次函数》教案
一次函数教学目标：知识与技能了解一次函数的概念,掌握一次函数的图象和性质,能正确画出一次函数的图象,并能根据图象探索函数的性质.过程与方法经历函数、一次函数等概念的抽象过程，体会函数的模型思想，进一步发展符号意识情感、态度与价值观在画一次函数的图象、探索一次函数图象的变化情况，体会数形结合的思想方法与一次函数y=kx+b 中k与b的实际意义。
教学重点：,掌握一次函数的图象和性质教学难点：能正确画出一次函数的图象,并能根据图象探索函数的性质教学方法：归纳总结，数形结合教学过程：一、回顾与小结1、变量：数值发生变化的量．常量：数值始终不变的量．2、函数定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.3、函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。
4、描点法画图象的步骤：列表、描点、连线。
5、函数的三种表示方法：１）解析法，２）列表法，３）图象法．6、自变量的取值范围（1）分母不为0，（2）开偶次方的被开方数大于等于0，（3）使实际问题有意义。
7、练一练1、求下列函数中自变量x的取值范围（1）y= x（x+3）；（2）y=1 2 x二、一次函数的概念1、一次函数的概念：函数y=_______(k、b为常数，k______)叫做一次函数。
当b_____时，函数y=____(k____)叫做正比例函数。
★注意点：（1）、解析式中自变量x的次数是___次，⑵、比例系数_____。
2、、正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过点（_____）的_________。
3、一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是过点（0，___),（____，0)的__________。
3、.下列函数关系式中，那些是一次函数？哪些是正比例函数？（1）y= - x - 4 （2）y=x2（3）y=2πx （4）y=1/x(5)y=x/2 (6) y=5x-3一次函数有：正比例函数是：4、画函数图象的步骤1．列表 2．描点 3．连线例：画出y=3x+3的图象解：列表得：X 0 -1 Y3描点，连线如图 5.一次函数的性质 函数解析式 自变量的取值范围 图 像性质正比例函数y=kx （k ≠0）全体 实数k ＞0 k ＜0当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时， y 随x 的增大而减少.一次函数y=kx+b （k ≠0） 全体 实数k ＞0 k ＜0b ＞0b ＝0b ＜0b ＞0b ＝0b ＜0一次函数y=kx+b 的图象是一条直线，其中k 决定直线增减性，b 决定直线与y 轴的交点位置. k 和b 决定了直线所在的象限.正比例函数是特殊的一次函数。
八年级数学北师大版上册 第4章《4.4 一次函数的应用》教学设计 教案
第四章第四节一次函数的应用（2）一、教材分析本节课内容选自义务教育课程标准实验教科书北京师范大学版的数学教材八年级上册的第四章第四节，课题为《一次函数图象的应用》。
本节课为第2课时。
其主要内容是学生已经学习掌握了一次函数的意义、一次函数的图象及其性质、确定一次函数的表达式的基础之上，通过开展经历体验探究活动，进行应用一次函数的图象解决简单的实际问题并发现一元一次方程与一次函数之间关系的过程。
使学生体会到数学学习过程中“数形结合”思想的重要性。
在整个函数知识体系中，对于图象的感受、解读、分析特别是应用函数的图象解决问题是极其重要的内容，而一次函数图象的应用是学生在整个学习生涯中所接触的第一个相关内容，对于后续其它函数图象应用的学习将积累宝贵的学习经验和经历，因此本节课内容的重要性不言而喻。
二、教学目标及分析知识与能力目标：（1）能通过函数图象获取信息，发展形象思维。
（2）能利用函数图象解决简单的实际问题，发展学生的数学应用能力。
过程与方法目标：（1）在亲身的经历与实践探索过程中体会数学问题解决的办法。
（2）初步体会方程与函数的关系，体会数形结合思想。
情感态度与价值观目标：（1）进一步体会数学知识与现实生活的密切联系，丰富数学情感。
（2）树立良好的环境保护意识，引发热爱自然、热爱家乡的情感。
重点：利用函数图象解决简单的实际问题，提高数学的应用意识和能力。
难点：体会函数与方程的关系，发展“数形结合”的思想”。
三、教学对象分析学生已学习了一次函数及其图象，认识了一次函数的性质。
在现实生活中也见识过大量的函数图象，所以具备了从函数图象中获取信息，并借助这些信息分析问题、解决问题的基础。
但由于初中学生的年龄特点，他们认识事物还不够全面、系统，所以还需通过具体实例来培养他们这方面的能力。
四、教法学法根据本节课的特点、目标要求及学生的实际情况，在教法上主要采用探究式教学法，引导学生进行观察探索、合作交流、归纳总结等学习活动。
北师大版初中数学八年级(上)第四章一次函数4-1函数 教学详案
第四章 一次函数1 函 数教学目标1.初步掌握函数概念，能判断两个变量间的关系是否可以看成函数；根据两个变量之间的关系式，给定其中一个量，相应的会求出另一个量的值；了解函数的三种表示方法.2.通过函数概念的学习，初步形成学生利用函数观点认识现实世界的意识和能力.3.在函数概念形成的过程中，培养学生联系实际、善于观察、乐于探索和勤于思考的精神.教学重难点重点：初步理解函数的概念，能判断两个变量间的关系，了解函数的三种表示方法. 难点：根据两个变量之间的关系式，给定其中一个量，相应的会求出另一个量的值.教学过程导入新课1.分别指出下列关系式中的变量与常量：（1）圆的面积公式2πS R =（S 是面积，R 是半径）； （2）正多边形的内角公式(2)180n nα-︒=（α是正多边形的一个内角的度数，n 为正多边形的边数）.2.假设甲、乙两人在一次赛跑中，路程s 与时间t 的关系如图，那么可知道：（1）这是一次 米赛跑；（2）甲、乙两人中先到达终点的是 .设计意图：利用学生感兴趣的生活知识，贴近学生的生活，培养学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣，以愉快的心情开始一节课的学习，激发学习数学的积极性.探究新知一、合作探究问题一想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？下图反映了摩天轮上一点的高度h(m)与旋转时间t(min)之间的关系.(1)根据上图填表：t∕min012345…h∕m…(2)对于给定的时间t，相应的高度h确定吗？问题二瓶子或罐头盒等圆柱形的物体，常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？填写下表：层数n12345…物体总数y…对于给定任一层数n,相应的物体总数y确定吗？有几个y值和它对应？问题三一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T＝t+273,T≥0.(1)当t分别为-43 ℃，-27 ℃，0 ℃，18 ℃时，相应的热力学温度T是多少？(2)给定一个大于-273℃的摄氏温度t值，相应的热力学温度T确定吗？有几个T值和它对应？上面的三个问题中，有什么共同特点？都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值.（教师巡视）学生独立思考，然后小组内讨论，最后学生代表发表各小组的见解.设计意图：这样能较好地体现数学的现实性，可以形成良好的数学观.二、新知一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量,y是因变量.函数的形式:一般有列表法、图象法和关系式法.理解函数的概念应抓住以下三点：（1）函数的概念由三句话组成：“两个变量”，“x的每一个值”，“y有唯一的值”；（2）判断两个变量是否有函数关系不是看它们之间是否有关系的存在，更重要的是看对于x的每一个确定的值，y是否有唯一确定的值与之对应；（3）函数不是数，它是指在某一变化的过程中两个变量之间的关系.课堂练习1.下列各曲线中不能表示y是x的函数的是（）A B C D2.已知函数y＝2x-6，当x＝3时，y＝；当y＝-6时，x＝.3.下列关于变量x，y的关系式：①3x-4y＝0；②5x-y2＝1；③y＝|x|；④y＝2x2+1；⑤xy＝1.其中，y是x的函数的是.4.近日，某县提出了“绿色环保，安全骑行”的倡议，号召中学生在骑自行车时要遵守交通规则，注意交通安全.周末，小明骑共享单车到图书馆，他骑行一段时间后，在某路口等待红绿灯，待绿灯亮起后继续向图书馆方向前进，途中突然发现钥匙不见了，于是他着急地原路返回，在等红绿灯的路口处找到了钥匙，便继续前往图书馆.小明离家距离与所用吋间的关系示意图如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题：（1）图中自变量是，因变量是；（2）小明等待红绿灯花了分钟；（3）小明在分钟时间段的骑行速度最快，最快的速度是米/分；（4）在前往图书馆的途中，小明一共骑行了米.5.一辆汽车的油箱中现有汽油50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1 L/km.（1）写出表示y与x的函数关系的式子.（2）指出自变量x的取值范围.（3）汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？参考答案1.D2.0，03. ①③④⑤4.（1）时间，离家距离（2）2（3）12～13,240（4）19805.解：（1）y＝50-0.1x.（2）0≤x≤500.（3）y＝50-0.1×200＝30，因此当汽车行驶200km时,油箱中还有30 L汽油.课堂小结(学生总结，老师点评)1.函数的概念2.函数的三种表达方法3.自变量的取值范围布置作业随堂练习第1题习题4.1第2题板书设计第四章一次函数1函数1.函数的概念: 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量,y 是因变量.2.函数的三种表达方法：列表法图象法关系式法。
北师大版八年级数学上册第四章《一次函数》教案
第四章一次函数1 函数1.认识变量、常量，并学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.逐步感知变量之间的关系.2.了解函数的三种表达方式.3.经历观察、分析、思考等数学活动，发展合情推理，有条理、清晰地阐述自己的观点.4.让学生积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.【教学重点】认识变量、常量，用式子表示变量间的关系.【教学难点】用含有一个变量的式子表示另一个变量.一、创设情境，导入新课教材第75页内容.【教学说明】用学习身边熟悉的娱乐活动引入，提出问题引发思考，激发了学生强烈的求知欲望.二、思考探究，获取新知函数的概念.做一做并思考：教材第76页“做一做”.【教学说明】学生通过观察、思考、探究的形式，体会当一个变量变化，另一个量也随之发生变化的过程，为下面理解函数的概念做了充分准备.【归纳结论】在上面的案例中，都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值.一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量.函数的表示方法一般有：列表法、关系式法和图象法.讨论：上述问题中，自变量能取哪些值？【教学说明】不同的学生可能答案不一样.但是这是一个实际问题，自变量要符合本题的实际意义，不能认为是任意实数.【归纳结论】对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a的函数值.三、运用新知，深化理解1.现将500本笔记本捐助给贫困学生，每人5本，写出余下的笔记本数y（本）和学生数x（名）之间的关系式为，自变量x的取值范围是.2.某型号的汽车在路面上的制动距离s=v2/256，其中变量是（）A.s,vB.s,v2C.sD.v3.写出下列问题中满足的关系式，并指出各个关系式中哪些是常量，哪些是变量？（1）用总长为6m的篱笆围成长方形场地，求长方形的面积S与另一边长x 之间的关系式；（2）用总长为l的篱笆围成长方形场地，长方形的面积为60m2，求l与x之间的关系式.【教学说明】让学生独立做，加强对函数及有关概念的理解，教师通过学生反馈的信息了解他们掌握知识的情况，及时处理学生中的疑难问题并加强训练.【答案】1.y=500-5x，0≤x≤100且x为整数；2.A3.（1）S=x（3-x）=3x-x2，其中3是常量，x、S是变量；（2）l=2（60/x+x），其中60、2是常量，l、x是变量.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾函数、变量、常量、函数值等概念.2.通过本节课的学习，谈谈你有什么收获？还有哪些不足？请与同学交流.【教学说明】教师引导学生回顾本课有关知识点，学生大胆发言，对知识进行归纳整理，有助于消化理解.1.布置作业：习题4.1第1、2题.2.完成练习册中本课时相应练习.函数是学生接触的最新鲜的事物，不容易理解.在教学的过程中，要通过案例不断让学生去体会函数的意义，便于今后的实际运用.2 一次函数与正比例函数1.掌握一次函数与正比例函数的一般形式并学会判断.2.知道一次函数与正比例函数之间的关系，能利用一次函数和正比例函数解决实际问题.3.通过实例让学生经历思考，分析问题中量与量之间的关系，提高学生的归纳概括能力和辨别能力.4.利用学生独立思考、合作探究的学习形式培养学生科学的思维方法和良好的学习习惯.【教学重点】一次函数与正比例函数的概念【教学难点】利用一次函数与正比例函数的关系式解决实际问题.一、创设情境，导入新课教材第79页“做一做”上方的内容.【教学说明】从跟物理学有关的问题入手，体现了各学科之间是相互联系相互渗透的.同时也让学生认识到数学与现实生活是密不可分的，人们的需要产生了数学，调动他们学习数学的积极性.二、思考探索，获取新知1.一次函数和正比例函数的概念.做一做并思考：教材第79页“做一做”.【教学说明】由这些简单的实例让学生分析问题中各个量之间的关系，从现实生活中抽象出数学模型，找到建立数学关系的方法，也为导出一次函数与正比例函数的概念做好铺垫.你能利用我们刚学的知识解决下面的问题吗？请看：教材第79~80页例1【教学说明】通过对具体实例的分析，既消化了学生对一次函数和正比例函数的理解，又能为今后运用他们解决稍复杂的实际问题打下基础，同时也加强了它们之间的联系和区别.2.一次函数的实际应用.教材第80页例2.【教学说明】教师可以引导学生完成，让学生学习已知自变量的值求对应的函数值和已知函数值求自变量的值的方法.体现了一次函数与一元一次方程的密切联系，为后面的学习奠定了基础.三、运用新知，深化理解1.下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（）2.函数y=（2m-1）x n+3+（m-5）是一次函数的条件是（）A.m≠12且n≠-3B.n=-2C.m≠12且n=-2D.m≠12且m≠5，n=-23.若每上6个台阶就升高1m，则上升高度h（m）与上的台阶数m之间的函数关系式为.h是m的函数.4.滑车以每分1.5米的速度匀速从轨道的一端滑向另一端，已知轨道的长为50米.（1）求滑车滑行轨道剩下的路程S（米）和滑行时间t（分）之间的关系式.（2）如果滑行时间为12分钟，求剩下的路程.（3）若剩下的路程为20米，那么它滑行的时间为多少分钟？【教学说明】让学生独立完成，加深对一次函数和正比例函数的理解，同时也对所学的知识也是个检验，教师及时纠正并有针对性地加强训练.【答案】1.C. 2.C. 3.h=m/6(m)，一次（或正比例）.4.解：（1）S=50-1.5t；（2）32（米）；（3）20（分）.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾一次函数与正比例函数的一般形式.2.本节课学了哪些内容？你认为最重要的是什么？还有什么疑问？请与大家交流.【教学说明】让学生参与小结并允许学生发表各自的见解，增加了学生的积极性和主动性，培养他们对所学知识的回顾思考的习惯；同时也强调了本节课的重点，巩固了学习内容.1.布置作业：习题4.2第1、2、3题2.完成练习册中本课时相应练习..通过学生反馈的情况来看，绝大部分学生掌握得较好，但对于正比例函数是特殊的一次函数这种情况容易忽略.同时还有极少部分同学运用一次函数的一般形式解决实际问题不是相当熟练.在今后的教学中要花一定的时间不断完善提高.3 一次函数的图象第1课时正比例函数的图象和性质1.会利用描点法或两点法画出正比例函数的图象.2.掌握正比例函数的性质.3.通过对应描点来研究正比例函数的图象，经历知识的归纳、探究过程和利用正比例函数的图象归纳函数性质，体验数形结合的方法.4.通过画函数的图象，并借助图象研究函数的性质，体验数与形的内在联系，感受函数图象的简洁美.【教学重点】正比例函数的图象和性质.【教学难点】由正比例函数的图象归纳得出正比例函数的性质及对性质的理解.一、创设情境，导入新课把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象（graph）.前面第1节就是摩天轮上一点的高度h（m）与旋转时间t（min）之间函数关系的图象.正比例函数y=kx的图象是怎样的呢？它具有哪些性质呢？下面，我们一起去研究吧！【教学说明】给出函数图象的定义，学生一目了然，结合实例便于学生理解它的含义，为下面学习画函数图象指明了方向.二、思考探究，获取新知1.正比例函数图象的画法：思考：（1）你准备来用什么方法画出正比例函数y=2x的图象？（2）画出函数图象的一般步骤有哪些？【教学说明】让学生经历列表、描点、连线等画函数图象的具体过程，既可以加深对图象意义的认识，了解图像上点的横、纵坐标与自变量值、函数值之间的对应关系，又为学习如何画函数图象及对用描点法画函数图象的一般步骤进行归纳做了准备.【归纳结论】画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线.做一做：（1）画出正比例函数y=-3x的图象.（2）在所画的图象上任意取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证他们是否都满足关系式y=-3x.讨论：①满足关系式y=-3x的x，y所对应的点（x，y）都在正比例函数y=-3x 的图象上吗？②正比例函数y=-3x的图象上的点（x，y）都满足关系式y=-3x吗？③正比例函数y=kx的图象有何特点？你是怎样理解的？【教学说明】加强学生用描点法画正比例函数图象的方法，体会函数图象上的点都满足函数关系式，并通过观察得出正比例函数图象的特点.【归纳结论】正比例函数y=kx的图象是一条经过原点（0,0）的直线.因此，画正比例函数图象时，只需要再确定一个点，过这点和原点画直线就可以了.2.正比例函数图象的性质做一做：在同一直角坐标系内画出正比例函数y=x，y=3x，y=-12x和y=-4x的图象.思考：上述四个函数中，随着x值的增大，y的值分别如何变化？【教学说明】利用正比例函数的图象学生很直观地归纳出正比例函数的增减性.注意不要受算术中正比例概念的影响，片面地认为正比例函数总是随着自变量的增加而增加，它的增或减是由k的正或负决定的.【归纳结论】在正比例函数y=kx中，当k＞0时，y的值随着x值的增大而增大；当k＜0时，y的值随着x值的增大而减小.讨论：（1）正比例函数y=x和y=3x中，随着x值的增大，y的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能解释其中的道理吗？（2）类似地，正比例函数y=-12x 和y=-4x 中，随着x 值的增大，y 的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？【教学说明】通过图象让学生进一步体会正比例函数增减的快慢是由｜k ｜决定的，加深了对正比例函数图象性质的理解.三、运用新知，深化理解1.若函数y=232（）m m x -- 是正比例函数，则m= .2.若正比例函数y=（1-2m ）x 的图象经过点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2），当x 1＜x 2时，y 1＞y 2，则m 的取值范围是 .3.已知点P （1，m ）在正比例函数y=4x 的图象上，那么点P 的坐标是（ ）.A.（1,4）B.（-1，-4）C （1，-4）D.（-1,4）4.已知正比例函数y=kx （k ≠0）的图象经过第二、四象限，则（ ）A.y 随x 的增大而增大B.y 随x 的增大而减小C.当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；当x ＞0时，y 随x 的增大而减小.D.无论x 如何变化，y 不变.5.小刚以2千米/时的速度匀速从甲地行走到乙地，甲乙两地的距离为12千米.（1）求小刚行走的路程s （千米）与时间t （小时）之间的关系式以及自变量t 的取值范围.（2）画出图象.（3）根据图象说明当t 增大时，s 增大还是减小？【教学说明】教师让学生自主完成，加强对正比例函数图象和性质的理解和反馈学生对知识的掌握情况，便于及时矫正强化.【答案】1.-2；2.m ＞12；3.A ；4.B5.解：（1）s与t的关系式为s=2t，自变量t的取值范围是0≤t≤6.（2）是以O（0，0）和（6，12）为端点的一条线段.（3）由图象可知当t增大时，s也增大.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾正比例函数图象的画法以及它的性质.2.本节课你掌握了哪些知识？还有哪些疑问？请与大家交流.【教学说明】引导学生回顾本课所学知识，对知识进行归纳整理，找出不足便于教师及时调整，做到当堂消化.1.教材习题4.3第1、2、3、4题.2.完成练习册中本课时相应练习..本节课通过实际操作了解正比例函数图象的画法及利用图象说明其性质，并掌握图象特征与关系式的联系规律，经过思考讨论知道了正比例函数不同表现形式的转化方法和图象的简单画法，为后面学习一次函数奠定了基础.第2课时一次函数的图象和性质1.理解直线y=kx+b与直线y=kx之间的位置关系.2.会利用两个合适的点画出一次函数的图象.3.掌握一次函数的性质.4.通过一次函数图象和性质的研究，体会数形结合法在问题解决中的作用，并能运用性质、图象及数形结合法解决相关函数问题.5.在探究一次函数的图象和性质的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神.【教学重点】一次函数的图象和性质.【教学难点】由一次函数的图象归纳得出一次函数的性质及对性质的理解.一、创设情境，导入新课我们知道正比例函数y=-2x的图象是过原点的一条直线，那么一次函数y=-2x+1的图象又是怎样的呢?它们之间有什么位置关系？下面一起研究一次函数y=kx+b的图象.【教学说明】利用所学知识“最近发展区”——正比例函数的图象及性质，为类比、探究一次函数的图象及其性质作好铺垫.二、思考探究，获取新知1.一次函数的图象.（1）你能用描点法画出一次函数y=-2x+1的图象吗？（2）通过上面画一次函数的图象想一想一次函数y=kx+b的图象有什么特点，对此你是怎样理解的？【教学说明】在学生已经知道正比例函数的图象是一条直线的基础上，通过对应描点法来画出一次函数的图象，可以说是得心应手，减轻了学生心理上的压力.【归纳结论】一次函数y=kx+b的图象是一条直线，因此画一次函数图象时，只要确定两个点画直线就可以了.一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b.2.一次函数的性质.做一做：在同一直角坐标系内分别画出一次函数y=2x+3，y=-x，y=-x+3和y=5x-2的图象.讨论：（1）上述四个函数中，随着x值的增大，y的值分别如何变化？相应图象上点的变化趋势如何？（2）直线y=-x与y=-x+3的位置关系如何？你能通过适当的移动将直线y=-x 变为直线y=-x+3吗？一般地，直线y=kx+b与y=kx又有怎样的位置关系呢？（3）直线y=2x+3与直线y=-x+3有什么共同点？一般地，你能从函数y=kx+b 的图象上直接看出b的数值吗？【教学说明】进一步巩固一次函数图象的画法，并为探究一次函数的性质做准备.让学生利用图象观察体验y=kx与y=kx+b两者之间的位置关系，从而得出函数y=kx+b的图象实际上是对直线y=kx上的所有点进行平移的结果，同时还让学生明白b的值就是图象与y轴交点的纵坐标.【归纳结论】一次函数y=kx+b的图象经过点（0，b）.当k＞0时，y的值随着x值的增大而增大；当k＜0时，y的值随着x值的增大而减小.三、运用新知，深化理解1.已知一次函数y=mx+｜m+1｜的图象与y轴交于点（0,3），且y随x值的增大而增大，则m的值为.2.一次函数y=3x-4的图象不经过（）.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.下列一次函数中，y随x值的增大而减小的是（）.A.y=2x-1B.y=3-4xx+2D.y=（5-2）x4.一次函数y=（3a-1）x+5图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则a的取值范围是（）.A.a＞0B.a＜0C.a＞1 3D.a＜1 35.如图，将直线OA向上平移2个单位，得到一个一次函数的图象，求这个一次函数的表达式.【教学说明】让学生独立完成，加强对所学知识的理解，及时反馈教学效果，查漏补缺.对有困难的学生给予鼓励和帮助，并进行强化.【答案】1.2 2.B 3.B 4.D5.解：设直线OA的关系式为y=kx，把（-2,4）代入得k=-2，所以y=-2x，将直线OA向上平移2个单位之后一次函数的表达式为：y=-2x+2.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾一次函数图象的性质和它与正比例函数图象之间的关系.2.本节课你掌握了哪些知识？觉得哪些是大家需要注意的？与同学们分享.【教学说明】教师引导学生回顾本课知识点，加强理解各知识点之间的联系，不断进行归纳总结.让学生大胆交流，力求让每一个人在数学上得到一定的发展.1.布置作业：习题4.4第1、2、3、4题.2.完成练习册中本课时相应练习..本节课学习了用两点法画一次函数图象，进而利用数形结合的探究讨论的方法寻求出一次函数图象的特征与关系式的相互联系，使我们对一次函数知识的理解与掌握更透彻，也体会到数学思想在数学研究中的重要性.4 一次函数的应用第1课时确定一次函数的表达式1.了解两个条件确定一次函数，一个条件确定正比例函数.2.能由两个条件求出一次函数的表达式，并解决有关实际问题.3.经历用两个已知条件确定一次函数表达式的应用过程，提高学生研究数学问题的技能，体验数形结合，逐步学习利用这一思想分析解决问题.4.具体感知数形结合的思想在一次函数中的应用价值.【教学重点】根据所给信息确定一次函数的表达式.【教学难点】灵活运用一次函数的有关知识解决相关问题.一、创设情境，导入新课我们前面学习了有关一次函数的一些知识，掌握了其关系式的特点及图象特征，并学会了已知关系式画出其图象的方法以及分析图象特征与关系式之间的联系规律.如果反过来，告诉我们有关一次函数图象的某些特征或实际问题，能否确实关系式呢？这将是我们这节课要解决的主要问题，大家可有兴趣？【教学说明】利用一次函数图象的特征和关系式的相互转化，加强学生对知识的理解.通过提问，引发同学分析思考、寻求解决问题的办法，激起学生探求知识的欲望.二、思考探究，获取新知确定一次函数的表达式.教材第89页“想一想”上面的内容.思考：确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？【教学说明】通过思考分析解决由图象到关系式转化的方法过程，总结归纳一次函数关系式与图象之间的转化规律，增强数形结合的思想在函数中重要性的理解.采用上面类似的方法，你能解决日常生活中的实际问题吗？请看例题：例见教材第89页例1【教学说明】一次函数的应用实质就是确定一次函数的关系式，这就需要充分挖掘题中所给的已知条件，分析量与量之间的关系，从而找到求关系式的方法.然后利用关系式解决有关问题.三、运用新知，深化理解1.一个正比例函数的图象经过点A（3，-2），B（a，3），则a= .2.如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象.填空：（1）当x=30时，y= .（2）当y=30时，x= .第2题图第3题图3.如图，一次函数的图象过点A，且与正比例函数y=-x的图象交于点B，则该一次函数的表达式为（）.A.y=-x+2B.y=x+2C.y=x-2D.y=-x-24.如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，求l与两坐标轴所围成的三角形的面积.【教学说明】教师让学生独立完成，加深对所学知识的理解和检查学生对一次函数的实际应用的掌握程度，并有针对性地加强辅导.【答案】1. -92；2. 22，42；3.B；4.解：由图象可知b=2，图象又过点（2，-2），则有2k+b=-2，所以b=2，k=-2，这个一次函数的解析为y=-2x+2，当y=0时，解得x=1，l与两坐标轴所围成的三角形的面积为y=12×1×2=1.四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，你已经掌握了哪些知识？还有什么疑难问题需要解决的？与同学交流.【教学说明】学生利用互相交流的方式对知识进行搜集，归纳整理，互相补充，教师及时给予点评.特别是对于解题方法技巧上可以做适当强调，帮助他们加深印象.1.布置作业：习题4.5第1、2、4题.2.完成练习册中本课时相应练习..本节课利用图象或实际背景求一次函数关系式和利用关系式解决相关的实际问题，让学生从中体会求解关系式的方式方法.与此同时，在教学中要把图象和关系式有机结合起来，讨论它们之间的相互转化很有必要，培养学生全面认识事物的观点.第2课时一个一次函数的应用1.能利用一次函数解决简单的实际问题.2.了解一次函数与一元一次方程之间的关系.3.通过生活的实例结合一次函数的图象解决问题，继续体会数形结合的思想所起的重要作用.4.让学生深刻体会到数学知识来源于实际生产、生活的需求，反之，又服务于生产、生活的实际.【教学重点】利用一次函数解决简单的实际问题.【教学难点】根据一次函数图象去分析解决问题.一、创设情境，导入新课教材第91页例2上面的内容【教学说明】从生活中的实际问题出发，采用提问引发思考的方式引入，激发学生探求知识的兴趣.二、思考探究，获取新知简单的一次函数的实际应用教师引导学生完成教材第91页例2.【教学说明】让学生体会利用一次函数的图象解决实际问题的方法.如果从图象上不能很明显得出结论，还需要求出一次函数的表达式在进行求解.做一做：教材第92页“做一做”.【教学说明】巩固加深根据一次函数图象求直线表达式，同时体会当函数值为零时自变量的取值，为下面学习一元一次方程与一次函数的关系打下了基础.讨论：一元一次方程0.5x+1=0与一次函数y=0.5x+1有什么联系？【教学说明】充分体会一元一次方程与一次函数之间的转化关系，帮助学生从数形结合的角度进一步认识一次函数与一元一次方程的密切联系.【归纳结论】一般地，当一次函数y=kx+b的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程kx+b=0的解.从图象上看，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的解.三、运用新知，深化理解1.直线y=3x+6与x轴的交点的横坐标x的值是方程2x+a=0的解，则a的值是.2.小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所有的时间与路程的关系如图所示.下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（）.A.12分钟B.15分钟C.25分钟D.27分钟3.某服装厂现有A种布料70m，B种布料52m，现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装80套.已知做一套M型号的时装需要A种布料0.6m，B种布料0.9m，可获利润45元；做一套N型号的时装需要A种布料1.1m，B种布料0.4m，可获利润50元.若设生产N型号的时装套数x，用这批布料生产这两种型号的时装所获得总利润为y元.（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）该服装厂在生产这批时装中，当生产N型号的时装多少套时，所获利润最大？最大利润是多少？【教学说明】让学生独立完成，加深对新学知识的理解和检验学生掌握情况，便于教师查漏补缺，及时解决学生的疑难问题.【答案】1.4；2.B；3.解：（1）y=5x+3600（40≤x≤44）；（2）当生产N型号的时装44套时，所获利润最大，最大利润是3820元.四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，你会利用一次函数图象解决有关问题吗？你有哪些收获？请与大家共同分享.【教学说明】教师引导学生回顾所学知识点，对知识不断归纳整理，特别有时需要利用图象求出关系式再去解决问题更准确.1.布置作业：习题4.6中的第1、2题.2.完成练习册中本课时相应练习..本节课从实际生活背景出发，利用一次函数及图象解决问题，让学生体会一次函数的应用价值和一次函数与一元一次方程的密切关系，体验应用知识的成就感和学习教学更加热爱生活.。
北师大版八年级数学上册第四章一次函数1.1函数(教案)
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一次函数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过数量关系随着另一个数量的变化而变化的情况？”（如：购物时，商品的总价随着购买数量的增加而增加。）这个问题与我们将要学习的一次函数密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一次函数的奥秘。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-函数的定义：使学生掌握函数的基本概念，理解函数是一种特殊的多对一关系，能够正确表示函数关系；
-一次函数的一般形式：y=kx+b（k≠0，k、b为常数），让学生熟练记忆并能够运用一次函数的一般形式解决相关问题；
-一次函数图像的绘制：掌握一次函数图像的绘制方法，了解图像与函数性质之间的关系；
-一次函数的性质：理解并掌握一次函数的单调性、奇偶性等性质，并能运用这些性质解决实际问题。
举例解释：
(1)函数定义：通过实例让学生理解，例如，一个班级的学生和他们的身高构成一个函数关系，每个学生的身高是唯一的，对应于他的姓名；
(2)一次函数一般形式：通过实际例子（如购买物品，价格和数量之间的关系）让学生理解k和b的物理意义；
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一次函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
(3)一次函数性质的应用：通过具体问题，如一次函数在某个区间上的取值范围，让学生学会如何将性质应用于求解实际问题，理解单调性在求解过程中的关键作用。
北师大版八年级数学上册第四章一次函数单元教学设计
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对待数学学习的积极态度，激发学生对数学知识的兴趣，提高学生的学习热情。
2.通过解决实际问题，使学生认识到数学知识在实际生活中的重要作用，增强学生的社会责任感和应用意识。
二、学情分析
八年级学生在前期的数学学习过程中，已经掌握了函数的基本概念、线性方程和不等式等知识，具备了一定的数学基础。在此基础上，学习一次函数，对学生来说是知识的拓展和深化。然而，由于一次函数涉及到图象、性质、应用等多个方面，学生在理解上可能存在一定的困难。因此，在教学过程中，教师应关注以下几点：
1.学生在图象识别、性质分析方面的认知差异，针对不同学生的理解能力，采取分层教学，使学生在各自基础上得到提高。
4.鼓励同学们在完成作业的过程中，积极思考、主动探索，提高自己的数学素养。
3.教师批改并及时反馈，针对学生存在的问题进行讲解，确保学生掌握知识点。
（五）总结归纳
1.引导学生回顾本节课所学内容，包括一次函数的定义、性质、图象和应用等。
2.帮助学生形成系统的知识结构，明确一次函数在实际问题中的价值。
3.鼓励学生提出疑问，针对问题进行解答，巩固学生的学习成果。
4.总结课堂表现，表扬优秀学生，激发学生的学习积极性。
c.分析一次函数图象与斜率、截距之间的关系，并举例说明。
3.小组合作任务：分组讨论以下问题，并在课堂上进行分享：
a.一次函数在实际生活中的应用实例。
b.如何通过一次函数的性质来判断其图象？
c.如何利用一次函数解决温度变化、速度与时间等问题？
4.家庭作业：
a.结合所学知识，设计一道关于一次函数的实际问题，并给出解题步骤。
北师大版八年级数学上册第四章一次函数4
（3）关注学生的情感态度，营造轻松、愉快的学习氛围，提高学生的学习兴趣。
（4）加强课后辅导，针对学生的个体差异，给予有针对性的指导，提高学生的学习成绩。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.创设情境：以生活中的一次函数实例（如出租车计费、物品打折等）引导学生思考，激发学生对一次函数与正比例函数的学习兴趣。
1.请同学们认真完成作业，注重细节，确保解答过程的准确性和完整性。
2.鼓励同学们互相讨论、交流，共同解决作业中的问题。
3.作业完成后，及时进行自我检查，发现问题并进行纠正。
4.教师将针对作业完成情况进行评价，关注学生的进步与成长。
（2）通过列表法分析一次函数的变化规律，提高学生的数学运算能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生积极参与、主动探究的学习态度，激发学生对数学的兴趣。
（1）通过实际问题、生动案例，激发学生对一次函数与正比例函数学习的兴趣。
（2）鼓励学生提问、质疑，培养学生勇于探究、积极思考的学习态度。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，增强学生的社会责任感。
2.一次函数的图像特点
（1）介绍斜率k的几何意义，引导学生理解斜率表示函数图像的倾斜程度。
（2）介绍截距b的几何意义，让学生明白截距表示函数图像与y轴的交点。
（3）通过绘制图像，让学生直观地感受一次函数的图像特点。
3.正比例函数的性质
（1）介绍正比例函数是一次函数的特殊情况，强调k的几何意义。
（2）分析正比例函数图像的特点，如直线必过原点、斜率表示函数的增长速度等。
“同学们，你们在生活中遇到过这样的问题吗？当我们乘坐出租车时，费用会随着行驶的距离增加而增加，这是一种什么类型的函数关系呢？今天我们就来学习一种特殊的函数——一次函数。”
八年级数学北师大版上册第四章一次函数回顾与思考优秀教学案例
3.采用多元化的评价方式，既注重学生的课堂表现和学习成果，也关注他们的努力和进步，给予积极的肯定和鼓励。
4.定期进行评价和反馈，及时发现和解决问题，引导学生不断改进和提高，培养他们的自我监控和自我调节能力。
3.鼓励学生进行互助和协作，让学生在小组合作中相互学习、相互帮助，共同提高和学习效果。
4.注重小组合作的过程和质量，通过评价和反馈，激励学生积极参与小组合作，培养他们的团队合作精神和集体荣誉感。
（四）反思与评价
1.引导学生进行自我反思，帮助他们回顾和总结学习过程，发现问题和不足，调整学习策略和方法。
（二）过程与方法
1.采用启发式教学法，引导学生通过自主学习和合作交流，发现一次函数的性质和规律，培养学生独立思考和解决问题的能力。
2.利用信息技术手段，如多媒体演示和网络资源，提供丰富的学习材料和实践平台，帮助学生更好地理解和应用一次函数。
3.设计具有挑战性和实际意义的问题和情境，鼓励学生进行探究和实验，培养学生的创新思维和科学探究能力。
4.引导学生进行自我反思和总结，帮助他们理清思路，形成系统化的问题解决策略和思维方式。
（三）小组合作
1.合理划分学习小组，确保每个学生都能在小组合作中有机会发表自己的观点和想法，促进学生之间的交流和合作。
2.设计具有挑战性和实际意义的问题和任务，引导学生在小组合作中共同探讨和解决问题，培养学生的团队合作意识和问题解决能力。
在评价方式上，我采用了多元化评价体系，既注重学生的课堂表现，也关注他们的作业和练习成果。通过及时反馈和激励，激发学生的学习兴趣和自信心，使他们能够在不断进步中体验到成功的喜悦。
八年级数学北师大版上册 第4章《4.2 一次函数与正比例函数》教学设计 教案
八年级的学生好奇、好动、好表现，应尽量让学生发表自己的想法。
因此本节课既要考虑学生的认知思维特点，也要积极关注学生的已有知识储备。
就现阶段的学生而言，已经掌握了两个变量的关系，能列出变量间的关系表达式，但是借助生活情境，正确将实际问题抽象为函数模型是有一定困难的，因此需要积极引导学生学习好的数学方法，进一步体会变量和函数之间的关系更多说课稿因此在教学过程中教师要充分借助具体情境来激发学生学习兴趣的同时设置问题来引发学生思考，类比观察、探究规律，巧妙地建立概念。
四、教学过程一、情境导入复习上节课学习的函数,教师提出问题:(1)什么是函数?(2)函数有哪些表示方式?(3)在现实生活中有许多问题都可以归结为函数问题,大家能不能举一些例子呢? 意图：为了激发学生的求知欲望,吸引同学们的注意力,这里采用了“复习旧知识,诱导新内容”的引入方法.问题(1)(2)复习上节课的内容,问题(3)是让学生把所学知识运用于实际生活,提高学生的运用意识。
二、探索过程（一）活动一某辆汽车油箱有汽油100L,汽车每行驶50km耗油9L.(1)完成下表:0 50 100 150 200 300汽车行驶路程x/km油箱剩余汽油量y/L(2)你能写出x与y之间的关系式吗?(3)汽车行驶的路程x可以无限增大吗?有没有一个取值范围?剩余油量y呢?答案 (1) 100、91、82、73、64、46；(2) x与y之间的关系式为；kx b (,k b 为常数,当0b 时,则汽车油箱中的余油量从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念.效果：从两个具体问题的函数表达式出发，互相讨论,教师在教学上恰当地设疑立障总结出一次函数的定义，3x ,(2)5x ,(3)4x ,(4)223x x , 2x (6)12y x 中是一次函数的是_____,是正比例函数的是意图：对本节知识进行巩固练习。
效果：学生基本能交好的独立完成练习题,收到了较好的教学效果。
北师大版八年级数学上册：44一次函数的应用优秀教学案例
（五）作业小结
1.布置具有层次性的作业，让学生在巩固知识的同时，提高自己的数学素养；
2.要求学生在作业中运用一次函数解决实际问题，培养学生的数学应用能力；
3.鼓励学生总结本节课的学习收获，反思自己在学习过程中的成长和进步。
五、案例亮点
北师大版八年级数学上册：44一次函数的应用优秀教学案例
一、案例背景
本节课为人教版八年级数学上册第四章“一次函数的应用”，旨在让学生掌握一次函数的定义性质和图象，并能应用于解决实际问题。北师大版教材以实际问题为切入点，引导学生探索一次函数的规律，从而培养学生的数学应用能力。
章节内容主要包括：一次函数的定义、斜率和截距、一次函数的图象与性质、一次函数在实际问题中的应用。在学习过程中，学生需要通过观察、分析、归纳、实践等环节，掌握一次函数的基本概念，并能运用到实际问题中。
考虑到八年级学生的认知水平，本节课通过丰富的实例和生动的教学手段，激发学生的学习兴趣，培养学生解决问题的能力。在教学过程中，注重引导学生主动探究、合作交流，从而提高学生的数学素养。同时，本节课还关注学生的个体差异，根据学生的实际情况给予针对性的指导，使全体学生能在原有基础上得到提高。
二、教学目标
（一）知识与技能
2.通过设计有趣的数学游戏，如“猜价格”游戏，让学生在游戏中自然而然地接触到一次函数的应用；
3.创设问题情境，如“小明每天跑步的速度保持不变，他跑步的时间与路程之间的关系是怎样的？”引导学生思考并探索一次函数的规律。
（二）问题导向
1.引导学生提出问题，如“一次函数的图象有什么特点？如何判断两个变量之间的线性关系？”；
1.了解一次函数的定义、斜率和截距的概念，掌握一次函数的图象与性质；
北师大版八年级上册第四章一次函数复习教案
-分类讨论和转化与化归思想的运用：在解决一次函数相关问题时，如何进行分类讨论和转化。
-难点解析：学生在遇到多条件问题时，不知道如何分类讨论，或者在转化过程中出现错误。
-举例：讨论一次函数在x取不同值时，函数值的变化情况，以及如何将不等式问题转化为方程问题求解。
北师大版八年级上册第四章一次函数复习教案核心素养目标：
1.培养学生运用数学语言描述一次函数的概念、性质和应用能力，提高数学表达与交流素养。
2.培养学生通过数形结合思想，观察、分析一次函数图像，培养直观想象与逻辑推理素养。
3.培养学生运用一次函数知识解决实际问题，增强数学建模与问题解决素养。
4.培养学生在解决一次函数相关问题时，能够灵活运用分类讨论和转化与化归思想，提高数学运算与数据分析素养。
北师大版八年级上册第四章一次函数复习教案
一、教学内容
北师大版八年级上册第四章一次函数复习教案：
1.一次函数的定义与性质
-一次函数的定义
-一次函数图像的特点
-一次函数的增减性
2.一次函数的表示方法
-解析式表示
-图像表示
-表格表示
3.一次函数的应用
-求解线性方程
-求解线性不等式
-实际问题中的应用
4.函数图像的绘制
-利用解析式绘制图像
-利用表格绘制图像
-图像的平移与伸缩
5.一次函数与方程、不等式的关系
-一次函数与一元一次方程的关系
-一次函数与一元一次不等式的关系
-实际问题中的转化与应用
6.综合习题与拓展
-各类题数与其他数学知识的联系与运用
二、核心素养目标
北师大版八年级上册数学第4章《一次函数》教案
第四章一次函数1函数【学习目标】1．初步掌握函数的概念，能判断两个变量间的关系是否可以看成函数．2．会根据函数关系式，求出函数值．【学习重点】函数的概念，判断两个变量之间是否是函数关系．【学习难点】将实际问题抽象为函数问题．一、情景导入生成问题教师引导学生阅读教材第75页的内容．【说明】用身边熟悉的娱乐活动引入，提出问题引发思考，激发了学生强烈的求知欲望．二、自学互研生成能力知识模块一函数的概念自学自研教材第76页“做一做”的内容．【说明】学生通过观察、思考、探究的形式，体会当一个变量变化，另一个量也随之发生变化的过程，为下面理解函数的概念作了充分准备．【归纳结论】在上面的案例中，都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值．一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量．函数的表示方法一般有：列表法、关系式法和图象法．与同伴合作完成教材第76页“想一想”的学习与探究．讨论：上述问题中，自变量能取哪些值？【说明】不同的学生可能答案不一样，但是这是一个实际问题，自变量要符合本题的实际意义，不能认为是任意实数．【归纳结论】对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a的函数值．知识模块二列函数关系式，求函数值师生合作共同完成下面例题的学习．典例讲解：例：某蓄水池蓄水120m3，出水管每小时放水10m3.(1)填写下表：放水时间/小时24681012池内剩水量/m3(2)设放水时间为t(小时)，池内剩水量为Q(m3)，Q与t之间有怎样的关系？Q能看成t的函数吗？(3)当放水时间为3小时时，池内剩水量为多少？经过多少小时，池内水刚好放完？解：(1)感受变量之间的关系，出水管每小时放水10m3，则2小时可放水20m3，3小时可放水30m3，t小时可放水10t m3，因此池内剩水为(单位：m3)：100，80，60，40，20，0；(2)池内剩水量＝蓄水池原有的水量－放水量，因此，Q＝120－10t，Q能看成t的函数；(3)当t＝3时，Q＝120－10×3＝90(m3)；令Q＝0，得120－10t＝0，解得t＝12.三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一函数的概念知识模块二列函数关系式，求函数值四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________2一次函数与正比例函数【学习目标】1．理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系．2．能根据所给条件写出简单的一次函数表达式．【学习重点】一次函数与正比例函数的概念．【学习难点】利用一次函数与正比例函数的关系式解决实际问题．一、情景导入生成问题阅读教材第79页“做一做”上方的内容，并完成课本中设置的表格题目，初步了解一次函数的一般形式．【说明】从跟物理学有关的问题入手，体现了各学科之间是相互联系相互渗透的．同时也让学生认识到数学与现实生活是密不可分的，人们的需要产生了数学，调动他们学习数学的积极性．二、自学互研生成能力知识模块一一次函数与正比例函数的概念先自学自研教材第79页“做一做”的内容，然后再与同伴进行交流．【说明】由这些简单的实例让学生分析问题中各个量之间的关系，从现实生活中抽象出数学模型，找到建立数学关系的方法，也为导出一次函数与正比例函数的概念作好铺垫．【归纳结论】若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x 的一次函数．特别地，当b＝0时，称y是x的正比例函数．知识模块二列一次函数关系式先自学自研教材第79页的例1，然后再与同伴进行交流．【说明】通过对具体实例的分析，既加强了学生对一次函数和正比例函数的理解，又能为今后运用它解决稍复杂的实际问题打下基础，同时也加强了它们之间的联系和区别．知识模块三一次函数的实际应用师生合作完成教材第80页例2的学习与探究．【说明】教师可以引导学生完成，让学生学习已知自变量的值求对应的函数值和已知函数值求自变量的值的方法．体现了一次函数与一元一次方程的密切联系，为后面的学习奠定了基础．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一一次函数与正比例函数的概念知识模块二列一次函数关系式知识模块三一次函数的实际应用四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________3一次函数的图象第1课时正比例函数的图象和性质【学习目标】1．会作正比例函数的图象．2．通过作图归纳正比例函数图象的性质．【学习重点】作正比例函数图象．【学习难点】正比例函数图象和性质及应用．一、情景导入生成问题把一次函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．前面第1节就是摩天轮上一点的高度h(m)与旋转时间t(min)之间函数关系的图象．正比例函数y＝kx的图象是怎样的呢？它具有哪些性质呢？下面，我们一起去研究吧！【说明】给出函数图象的定义，学生一目了然，结合实例便于学生理解它的含义，为下面学习画函数图象指明了方向．二、自学互研生成能力知识模块一正比例函数图象的画法先阅读教材第83页例1及解答过程．思考：(1)你准备用什么方法画出正比例函数y ＝2x 的图象？ (2)画出函数图象的一般步骤有哪些？【说明】 让学生经历列表、描点、连线等画函数图象的具体过程，既可以加深对图象意义的认识，了解图象上点的横、纵坐标与自变量值、函数值之间的对应关系，又为学习如何画函数图象及对用描点法画函数图象的一般步骤进行归纳做了准备．【归纳结论】 画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线．与同伴合作交流完成教材第83页“做一做”的学习与探究． 做一做：(1)画出正比例函数y ＝－3x 的图象．(2)在所画的图象上任意取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否都满足关系式y ＝－3x . 讨论：(1)满足关系式y ＝－3x 的x ，y 所对应的点(x ，y )都在正比例函数y ＝－3x 的图象上吗？ (2)正比例函数y ＝－3x 的图象上的点(x ，y )都满足关系式y ＝－3x 吗？ (3)正比例函数y ＝kx 的图象有何特点？你是怎样理解的？【归纳结论】 正比例函数y ＝kx 的图象是一条经过原点(0，0)的直线．因此，画正比例函数图象时，只需要确定一个点，过这点和原点画直线就可以了．知识模块二 正比例函数图象的性质做一做：在同一直角坐标系内画出正比例函数y ＝x ，y ＝3x ，y ＝－12x 和y ＝－4x 的图象．思考：上述四个函数中，随着x 值的增大，y 的值如何变化？【说明】 利用正比例函数的图象，学生很直观地归纳出正比例函数的增减性，注意不要受算术中正比例概念的影响，片面地认为正比例函数总是随着自变量的增加而增加，它的增或减是由k 的正或负决定的．【归纳结论】 在正比例函数y ＝kx 中，当k >0时，y 的值随着x 值的增大而增大；当k <0时，y 的值随着x 值的增大而减小．讨论：(1)正比例函数y ＝x 和y ＝3x 中，随着x 值的增大，y 的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能解释其中的道理吗？(2)类似地，正比例函数y ＝－12x 和y ＝－4x 中，随着x 的增大，y 的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？【说明】 通过图象让学生进一步体会正比例函数增减的快慢是由|k |决定的，加深了对正比例函数图象性质的理解．三、交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一正比例函数图象的画法知识模块二正比例函数图象的性质四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________第2课时一次函数的图象和性质【学习目标】1．会作一次函数的图象．2．通过作图归纳一次函数图象的性质．【学习重点】作一次函数图象．【学习难点】一次函数的图象和性质．一、情景导入生成问题我们知道正比例函数y＝－2x的图象是过原点的一条直线，那么一次函数y＝－2x＋1的图象又是怎样的呢？它们之间有什么位置关系？下面一起研究一次函数y＝kx＋b的图象．【说明】利用所学知识“最近发展区”——正比例函数的图象及性质，为类比、探索一次函数的图象及其性质作好铺垫．二、自学互研生成能力知识模块一一次函数的图象先阅读教材第86页例2及其解答过程，然后完成下面的问题．(1)你能用描点法画出一次函数y＝－2x＋1的图象吗？(2)通过上面画一次函数的图象想一想一次函数y＝kx＋b的图象有什么特点，对此你是怎样理解的？【说明】在学生已经知道正比例函数的图象是一条直线的基础上，通过对应描点法来画出一次函数的图象，可以说是得心应手，减轻了学生心理上的压力．【归纳结论】一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线，因此画一次函数图象时，只要确定两个点画直线就可以了．一次函数y＝kx＋b的图象也称为直线y＝kx＋b.知识模块二一次函数的性质与同伴合作完成下面问题的学习与探究．做一做：在同一直角坐标系内分别画出一次函数y＝2x＋3，y＝－x，y＝－x＋3和y＝5x－2的图象．讨论：(1)上述四个函数中，随着x值的增大，y的值分别如何变化？相应图象上点的变化趋势如何？(2)直线y＝－x与y＝－x＋3的位置关系如何？你能通过适当的移动将直线y＝－x变为直线y＝－x＋3吗？一般地，直线y＝kx＋b与y＝kx又有怎样的位置关系呢？(3)直线y＝2x＋3与直线y＝－x＋3有什么共同点？一般地，你能从函数y＝kx＋b的图象上直接看出b的数值吗？【说明】进一步巩固一次函数图象的画法，并为探究一次函数的性质作准备．让学生利用图象观察体验y ＝kx与y＝kx＋b两者之间的位置关系，从而得出函数y＝kx＋b的图象实际上是对直线y＝kx上的所有点进行平移的结果，同时还让学生明白b的值就是图象与y轴交点的纵坐标．【归纳结论】一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，b)．当k>0时，y的值随着x值的增大而增大；当k<0时，y的值随着x值的增大而减小．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一一次函数的图象知识模块二一次函数的性质四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________4一次函数的应用第1课时确定一次函数的表达式【学习目标】1．能根据所给信息利用待定系数法确定一次函数表达式．2．能通过求一次函数表达式来解决简单的实际问题．【学习重点】根据所给信息确定一次函数的表达式．【学习难点】灵活运用一次函数的有关知识解决相关问题．一、情景导入生成问题我们前面学习了有关一次函数的一些知识，掌握了其关系式的特点及图象特征，并学会了已知关系式画出其图象的方法以及分析图象特征与关系式之间的联系规律．如果反过来，告诉我们有关一次函数图象的某些特征或实际问题，能否确定关系式呢？这将是我们这节课要解决的主要问题，大家可有兴趣？【说明】利用一次函数图象的特征和关系式的相互转化，加强学生对知识的理解．通过提问，引发同学分析思考、寻找解决问题的办法，激起学生探求知识的欲望．二、自学互研生成能力知识模块一建立模型，确定一次函数表达式先阅读教材第89页“想一想”上面的内容，然后完成下面的问题： 思考：确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？【说明】 通过思考分析解决由图象到关系式转化的方法过程，总结归纳一次函数关系式与图象之间的转化规律，增强对数形结合的思想在函数中重要性的理解．采用上面类似的方法，你能解决日常生活中的实际问题吗？ 例：见教材第89页例1.知识模块二 利用待定系数法确定一次函数的表达式师生合作完成下面例题的学习与探究． 典例讲解：例：已知：一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过M(0，2)，(1，3)两点． (1)求k ，b 的值；(2)若一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴交于点A(a ，0)，求a 的值．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2， ①k ＋b ＝3， ②将①代入②，得k ＝1.所以k ＝1，b ＝2；(2)将k ＝1，b ＝2代入y ＝kx ＋b ，得y ＝x ＋2.因为点A(a ，0)在y ＝x ＋2的图象上，所以0＝a ＋2，即a ＝2.三、交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 建立模型，确定一次函数表达式 知识模块二 利用待定系数法确定一次函数的表达式四、检测反馈 达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________第2课时 简单一次函数的应用【学习目标】1．能利用一次函数解决简单的实际问题． 2．了解一次函数与一元一次方程之间的关系． 【学习重点】利用一次函数解决简单的实际问题． 【学习难点】根据一次函数图象分析解决问题．一、情景导入 生成问题引导学生阅读教材第91页例2上面的内容．【说明】 从生活中的实际问题出发，采用提问引发思考的方式引入，激发学生探求知识的兴趣．二、自学互研 生成能力知识模块一 利用函数图象获得信息1．教师引导学生完成教材第91页例2的学习与探究．【说明】 让学生体会利用一次函数的图象解决实际问题的方法．如果从图象上不能很明显得出结论，还需要求出一次函数的表达式再进行求解．2．师生合作完成教材第92页“做一做”的学习与探究．【说明】 巩固加深根据一次函数图象求直线表达式，同时体会当函数值为零时自变量的取值，为下面学习一元一次方程与一次函数的关系打下了基础．知识模块二 一次函数与一元一次方程的关系师生合作完成教材第92页“议一议”的学习与探究．讨论：一元一次方程0.5x ＋1＝0与一次函数y ＝0.5x ＋1有什么联系？【说明】 充分体会一元一次方程与一次函数之间的转化关系，帮助学生从数形结合的角度进一步认识一次函数与一元一次方程的密切联系．【归纳结论】 一般地，当一次函数y ＝kx ＋b 的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程kx ＋b ＝0的解．从图象上看，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴交点的横坐标就是方程kx ＋b ＝0的解．知识模块三 利用一次函数图象解决实际问题典例讲解：例：科学家通过实验探究出，一定质量的某气体在体积不变的情况下，压强P(千帕)随温度t(℃)变化的函数关系是P ＝kt ＋b ，其图象如图．(1)根据图象求出上述气体的压强P 与温度t 的函数关系式； (2)当压强P 为200千帕时，求上述气体的温度．解：(1)因为函数P ＝kt ＋b 的图象经过点(0，100)，(25，110)所以，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝100， ①25k ＋b ＝110， ②把①代入②得，k ＝25，故所求函数关系式为P ＝25t ＋100(t ≥0)；(2)当P ＝200时，由(1)得25t ＋100＝200，解得t ＝250.即当压强为200千帕时，气体的温度是250℃.仿例：某种拖拉机的油箱可储油40升，加满油并开始工作后，油箱中的余油量y (升)与工作时间x (小时)之间为一次函数关系如图．(1)求y 与x 之间的函数关系式； (2)一箱油可供拖拉机工作几小时？ 解：(1)设y ＝kx ＋b ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧30＝2k ＋b ，40＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－5，b ＝40，∴y ＝－5x ＋40； (2)8小时．三、交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 利用函数图象获得信息 知识模块二 一次函数与一元一次方程的关系 知识模块三 利用一次函数图象解决实际问题四、检测反馈 达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________第3课时 复杂一次函数的应用【学习目标】1．进一步提高识图能力，通过函数图象获取信息． 2．能利用函数图象解决较复杂的实际问题． 【学习重点】两个一次函数图象的应用． 【学习难点】通过函数图象解决实际问题．一、情景导入 生成问题教师引导学生研读教材第93页习题4.6下方的内容．【说明】 让学生在同一题中利用图象体会两个一次函数中量与量之间的关系，找到解决问题的方法，为下面的学习奠定基础．思考：图4－10中，l1对应的一次函数y＝k1x＋b1中，k1和b1的实际意义各是什么？l2对应的一次函数y＝k2x＋b2中，k2和b2的实际意义各是什么？二、自学互研生成能力知识模块一两个一次函数图象在同一坐标系中的应用师生合作完成教材第94页例3的学习与探究．【说明】教师引导学生完成，给学生创造展示自己的机会，通过相互讨论达成共识，得出结果，充分发挥学生的主体作用．想一想：你能用其他方法解决上面的例题(1)～(5)吗？【说明】给学生充分的思考空间，让他们采用多种方法解决同一个问题，从而体会一题多解给大家的学习带来的快乐．知识模块二最佳方案问题典例讲解：例：某单位急需用车，但不准备买车，他们准备和一个个体车主或一国有出租车公司中的一家签订合同，设汽车每月行驶xkm，应付给个体车主的月租费是y1元，应付给国有出租车公司的月租费是y2元，y1、y2分别与x 之间的函数关系的图象(两条射线)如图所示，观察图象，回答下列问题．(1)分别写出y1，y2与x之间的函数关系式；(2)每月行驶的路程在什么范围内时，租国有公司的车合算？(3)每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？(4)如果这个单位估计平均每月行驶的路程为2300km，那么这个单位租哪家的合算？解：(1)由图象可知，设y1＝k1x＋b(k1，b为常数，k≠0)，y2＝k2x(k≠0)．∵y1，y2都经过点(1000，2000)，∴2000＝1000k2，∴k2＝2.将点(0，1000)代入y1中可求得b＝1000，再将点(1000，2000)代入y1中可得k1＝1，∴y1＝x＋1000(x≥0)，y2＝2x(x≥0)；(2)当y2<y1时，有2x<x＋1000，∴x<1000，∴每月行驶路程小于1000km时，租国有公司的车合算；(3)当y2＝y1时，有2x＝x＋1000，∴x＝1000，∴每月行驶的路程等于1000km时租两家车的费用相同；(4)当y2>y1时，有2x>x＋1000，∴x>1000，∴每月行驶的路程大于1000km时，租个体车主的车比较合算．∴当x＝2300km时，这个单位租个体车主的车比较合算．仿例：如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y(元)与销售量x(件)之间的函数图象．下列说法：①售2件时甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家的合算；③买3件时甲家的合算；④买乙家的1件售价约为3元，其中正确的说法是(D)A ．①②B ．②③④C ．②③D ．①②③三、交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 两个一次函数图象在同一坐标系中的应用知识模块二 最佳方案问题四、检测反馈 达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________本章复习小结【学习目标】1．掌握本章重要知识，能灵活运用一次函数的图象和性质解决实际问题．2．通过梳理本章知识，借助实际问题情境，由具体到抽象地认识函数，应用函数举例，体现数学建模和数形结合的思想方法．【学习重点】理解函数的概念，特别是一次函数和正比例函数的概念，掌握一次函数的图象及性质，会利用待定系数法求一次函数的关系式，利用函数图象解决实际问题，初步体会方程和函数之间的关系．【学习难点】利用一次函数图象解决实际问题．一、情景导入 生成问题引导学生回顾本章知识点，展示结构图，让学生系统地了解本章知识及它们之间的相互关系．边回顾边构建知识结构图，便于巩固加深．函数⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧概念：如果在一个变化过程中有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个值， 变量y 都有唯一的值与它对应，则称y 是x 的函数，其中x 是自变量.表示方法：列表法、关系式法和图象法（列表、描点、连线）一次函数⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧表达式⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b （k ，b 为常数，k ≠0）正比例函数y ＝kx （k ≠0）性质：⎩⎪⎨⎪⎧当k ＞0时，y 随x 的增大而增大当k ＜0时，y 随x 的增大而减小k 、b 的取值决定图象所在象限表达式的确定⎩⎪⎨⎪⎧正比例函数需一个条件一次函数需两个条件应用⎩⎪⎨⎪⎧与一元一次方程的关系实际应用二、自学互研 生成能力知识模块一知识清单加深理解1．函数的概念判断函数的关系时，要依据函数的概念抓住以下几点：①有两个变量x和y；②y随x的变化而变化；③对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应．2．自变量的取值范围确定自变量的取值范围时考虑不周，易漏掉某些情况或某些条件中的分界点，对于具有实际意义的函数关系，易漏掉隐含条件，做题时要全面考虑，特别注意实际问题中变量的实际意义．3．一次函数的概念一次函数的关系式y＝kx＋b，它是关于x的一次二项式，其中一次项系数k≠0，b为任意实数，特别地，当b＝0时，该一次函数为正比例函数．其中k≠0容易忽略．知识模块二典例引路全面复习例：已知直线l1和直线l2在同一平面直角坐标系中的位置如图所示，点P1(x1，y1)在直线l1上，点P3(x3，y3)在直线l2上，点P2(x2，y2)为直线l1、l2的交点，其中x2＜x1，x2＜x3，则(A)A．y1＜y2＜y3B．y3＜y1＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3分析：由于题设中没有具体给出两个一次函数的解析式，因此解答本题只能借助于图象，观察直线l1知，y 随x的增大而减小，因为x2＜x1，所以y2＞y1；观察直线l2知，y随x的增大而增大，因为x2＜x3，所以y2＜y3，故y1＜y2＜y3.变例：某公司推销一种产品，设x(件)是推销产品的数量，y(元)是推销费，图中表示公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图回答下列问题：(1)求y1与y2的解析式；(2)解释图中表示的两种方案是如何付推销费的；(3)如果你是推销员，应如何选择付费方案？分析：两直线交于点(30，600)，说明当推销产品30件时，两种方案所得推销费相同；当x＞30时，y1图象处于y2上方，说明选择y1所得推销费多；当x＜30时，y2图象位于y1上方，说明选择y2所得推销费多．解：(1)y1＝20x；y2＝10x＋300；(2)y1是不推销产品没有推销费，每推销一件产品得推销费20元；y2是保底工资为300元，每推销1件产品再提成10元；(3)若业务能力强，平均每月能保证推销多于30件产品，就选择y1的付费方案，否则，选择y2的付费方案．三、交流展示生成新知。
北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》教案
北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》教案一. 教材分析《一次函数与正比例函数》是北师大版八年级数学上册第4章的内容，主要包括一次函数和正比例函数的定义、性质和图象。
这一部分内容是学生学习函数的基础，对于培养学生的数学思维和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了初中数学的一些基本概念和运算，对于图象和方程有一定的认识。
但是一次函数和正比例函数的概念和性质可能对学生来说较为抽象，需要通过具体例子和实际问题来帮助学生理解和掌握。
三. 教学目标1.理解一次函数和正比例函数的定义和性质。
2.学会绘制一次函数和正比例函数的图象。
3.能够运用一次函数和正比例函数解决实际问题。
四. 教学重难点1.一次函数和正比例函数的定义和性质。
2.绘制一次函数和正比例函数的图象。
3.运用一次函数和正比例函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法和案例教学法，通过实际问题和具体例子引导学生理解和掌握一次函数和正比例函数的概念和性质，通过绘制图象和解决实际问题来巩固知识。
六. 教学准备1.教学PPT或者黑板。
2.教学案例和实际问题。
3.绘图工具，如直尺、圆规等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入一次函数和正比例函数的概念，例如：某商品的原价是100元，打8折后的价格是多少？引导学生思考如何用数学模型来解决这个问题。
2.呈现（15分钟）通过PPT或者黑板，呈现一次函数和正比例函数的定义和性质，结合实际例子进行解释和说明。
引导学生积极参与，提出问题和困惑。
3.操练（15分钟）让学生分组合作，通过绘制一次函数和正比例函数的图象来加深对概念和性质的理解。
可以给出一些具体的函数表达式，让学生根据性质来判断图象的形状和位置。
4.巩固（10分钟）通过解决一些实际问题，让学生运用一次函数和正比例函数的知识。
可以设置一些选择题、填空题或者解答题，检查学生对知识的掌握情况。
5.拓展（10分钟）引导学生思考一次函数和正比例函数的应用场景，例如：经济学中的成本和收益模型、物理学中的速度和时间模型等。
北师大版数学8年级上册教案第四章 一次函数
第四章一次函数4．1 函数1．掌握函数的概念，能判断两个变量间的关系是否可以看成函数，根据两个变量之间的关系式，给定其中一个量，会相应的求出另一个量的值．(重点)2．了解函数的三种表示方法．(难点)阅读课本P75～76，完成预习内容．(一)知识探究1．一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x、y，并且对于变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量．2．表示函数的方法一般有：列表法、关系式法和图象法．3．对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a的函数值．(二)自学反馈1．下列图象中，表示y是x的函数的是(B)A B C D2．已知函数y＝3x－1，当x＝3时，y的值是(C)A．6 B．7C．8 D．9活动1 小组讨论例1 你去过游乐园吗？你坐过摩天轮吗？你能描述一下坐摩天轮的感觉吗？当人坐在摩天轮上时，人的高度随时间在变化，那么变化有规律吗？摩天轮上一点的高度h与旋转时间t之间有一定的关系，下图就反映了时间t(min)与摩天轮上一点的高度h(m)之间的关系．你能从上图观察出，有几个变化的量吗？当t分别取3，6，10时，相应的h是多少？给定一个t值，你都能找到相应的h值吗？解：略．例2 瓶子或罐头盒等圆柱形的物体，常常如下图这样堆放．随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？填写下表：解：略．例3 一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到－273 ℃，则气体的压强为零．因此，物理学把－273 ℃作为热力学温度的零度．热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T ＝t ＋273，T ≥0. (1)当t 分别等于－43，－27，0，18时，相应的热力学温度T 是多少？ (2)给定一个大于－273 ℃的t 值，你能求出相应的T 值吗？ 解：略．在上面的问题中，都有两个变量，给定其中一个变量(自变量)的值，相应地就确定了另一个变量(因变量)的值．活动2 跟踪训练1．小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了骑车速度匀速行驶. 下面是行驶路程s(米)关于时间t(分)的函数图象，那么符合这个同学行驶情况的图象大致是(B)A B C D2．在函数y ＝1x －1中，自变量x 的取值范围是x ≠1．3．根据图中的程序，当输入x ＝2时，输出结果y ＝2．4．一名老师带领x 名学生到动物园参观，已知成人票每张30元，学生票每张10元，设门票的总费用为y 元，则y 与x 的函数关系式为y ＝30＋10x ．5．某地区现有果树24 000棵，计划今后每年栽果树3 000棵． (1)试写出果树棵数y 与年数x 之间的函数关系式； (2)求当x ＝5时，y 的值．解：(1)y ＝24 000＋3 000x.(2)39 000.6．如图是威海市2015年12月份某一天的气温随时间变化的情况，请观察此图，回答下列问题： (1)这天的气温变化的范围是什么？温度从最低上升到最高需要多少时间？ (2)T 是t 的函数吗？解：(1)－2 ℃～6 ℃，12 h ．(2)是． 活动3 课堂小结1．会判断函数关系，并会根据实际情况确定自变量的取值范围． 2．认识函数的三种表示方法．4．2 一次函数与正比例函数1．理解一次函数和正比例函数的概念．(重点)2．能根据所给条件写出简单的一次函数表达式．(难点)阅读课本P79～80，完成预习内容． (一)知识探究1．某弹簧的自然长度为3 cm ，在弹性限度内，所挂物体的质量x 每增加1 kg ，弹簧长度y 增加0.5 cm. (1)计算所挂物体的质量分别为1 kg 、2 kg 、3 kg 、4 kg 、5 kg 时的弹簧长度，并填入下表：(2)你能写出x 与y 之间的关系式吗？ 解：y ＝3＋0.5x.2．某辆汽车油箱有汽油100 L ，汽车每行驶50 km 耗油9 L. (1)完成下表：(2)你能写出x 与y 之间的关系式吗？解：x 与y 之间的关系式为y ＝100－0.18x.(3)汽车行驶的路程x 可以无限增大吗？有没有一个取值范围？剩余油量y 呢？解：汽车行驶路程x 不可能无限增大，因为汽油只有100 L ，每行驶50 km ，耗油9 L ，所以x 的取值范围是0≤x ≤5 0009，y 的取值范围是0≤y ≤100. 3．上面两个函数关系式形式上有什么共同点？解：都是y ＝kx ＋b 的形式，其中k ，b 是常数，k ≠0.4．若两个变量x ，y 间的对应关系可以表示成y ＝kx ＋b(k ，b 是常数，k ≠0)的形式，则称y 是x 的一次函数．特别地，当b ＝0时，称y 是x 的正比例函数，即y ＝kx(k ≠0)． (二)自学反馈1．下列函数中，一次函数是(B)A ．y ＝8x 2B ．y ＝x ＋1C ．y ＝8xD ．y ＝1x ＋12．下面两个变量是正比例函数关系的是(D) A ．正方形的面积和它的边长B ．变量x 增加，变量y 也随之增加C ．矩形的一组对边的边长固定，它的周长和另一组对边的边长D ．圆的周长与它的半径3．已知y ＝(k －1)x ＋k 2－1，当k ≠1时，它是一次函数；当k ＝－1时，它是正比例函数．活动1 小组讨论例1 写出下列各题中y 与x 之间的关系式，并判断y 是否为x 的一次函数？是否为正比例函数？ (1)汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程y(km)与行驶时间x(h)之间的关系；(2)圆的面积y (cm 2)与它的半径x(cm)之间的关系；(3)一棵树现在高50 cm ，每个月长高2 cm ，x 月后这棵树的高度为y cm.解：(1)由路程＝速度×时间，得y ＝60x ，y 是x 的一次函数，也是x 的正比例函数．(2)由圆的面积公式，得y ＝πx 2，y 不是x 的正比例函数，也不是x 的一次函数．(3)这棵树每月长高2 cm ，x 个月长高了2x cm ，因而y ＝50＋2x ，y 是x 的一次函数，但不是x 的正比例函数． 例2 我国个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入不超过3 500元的部分不收税；月收入超过3 500元但低于5 000元的部分征收3%的所得税…….如某人月收入为3 860元，他应缴纳个人工资、薪金所得税为(3 860－3 500)×3%＝10.8(元)．(1)当月收入超过3 500元而又不超过5 000元时，写出应缴纳个人工资、薪金所得税y(元)与月收入(x)之间的关系式；(2)某人月收入为4 160元，他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元？(3)如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税19.2元，那么此人本月工资、薪金收入是多少元？ 解：(1)y ＝0.03x －105. (2)19.8元． (3)4 140元． 活动2 跟踪训练1．对于函数y ＝2x －1，当自变量增加m 时，相应的函数值增加(A) A ．2m B ．2m －1 C ．m D ．2m ＋1 2．已知一次函数y ＝2x ＋1，当x ＝0时，函数y 的值是1．3．乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600千米，火车从乌鲁木齐出发，其平均速度为58千米/小时，则火车离库尔勒的距离s(千米)与行驶时间t(小时)的函数关系式是s ＝600－58t ．4．写出下列各题中y 与x 之间的关系式，并判断y 是否为x 的一次函数？是否为正比例函数？(1)小红去商店买笔记本，每个笔记本2.5元，小红所付款y(元)与买笔记本的个数x(个)之间的关系；(2)有一个长为120米、宽为110米的矩形场地准备扩建，使长增加x 米，宽增加y 米，且使矩形的周长为500米，y 与x 之间的关系．解：(1)y ＝2.5x ，既是一次函数，又是正比例函数． (2)y ＝－x ＋20，是一次函数，但不是正比例函数．5．李大爷要围一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长恰好为24米，要围成的菜园是如图所示的长方形ABCD ，设BC 边的长为x 米，AB 边的长为y 米． (1)求y 与x 之间的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围； (2)长方形的宽为5米时，求长方形的长．解：(1)由题意，得2y ＋x ＝24，故可得y ＝－12x ＋12(0＜x ＜24)．(2)当y ＝5时，x ＝14. 活动3 课堂小结这节课我们学习了一类很有用的函数：一次函数，只要表达式可以表示成y ＝kx ＋b(k ，b 为常数，k ≠0)的形式的函数则称为一次函数．正比例函数是一次函数当b ＝0时的特殊情形．4．3 一次函数的图象第1课时 正比例函数的图象与性质1．会作正比例函数的图象．2．通过作图象归纳正比例函数图象的性质．(重点) 3．会运用函数图象解决实际问题．(难点)阅读课本P83～84，完成预习内容． (一)知识探究1．正比例函数y ＝kx 的图象是一条经过原点(0，0)的直线．因此，画正比例函数的图象时，只要先描出原点以外的任意一点，过该点和原点画直线即可．2．当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，图象经过第一、三象限；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，图象经过第二、四象限．(二)自学反馈1．下列函数的图象经过原点的是(B) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2xC ．y ＝2x －3D ．y ＝x －122．在直角坐标系中，函数y ＝kx(k ＜0)的图象是下列的(C)A B C D 3．关于正比例函数y ＝－2x ，下列结论正确的是(C) A ．图象必经过点(－1，－2) B ．图象经过第一、三象限 C ．y 随x 的增大而减小D ．不论x 取何值，总有y ＜04．写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数y ＝kx(k ≠0)的表达式：答案不唯一，如：y ＝3x ．活动1 小组讨论例1 请作出正比例函数y ＝2x 的图象． 解：列表：描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点． 连线：把这些点依次连接起来，得到y ＝2x 的图象．(1)我们发现：作一个函数的图象需要三个步骤：列表，描点，连线；(2)正比例函数y ＝kx 的图象是一条经过原点(0，0)的直线．因此，画正比例函数的图象时，只要先描出原点以外的任意一点，过该点和原点画直线即可．例2 在同一直角坐标系内作出y ＝x ，y ＝3x ，y ＝－12x ，y ＝－4x 的图象．解：列表：作图如下：过点(0，0)和(1，1)作直线，则这条直线就是y ＝x 的图象； 过点(0，0)和(1，3)作直线，则这条直线就是y ＝3x 的图象； 过点(0，0)和(1，－12)作直线，则这条直线就是y ＝－12x 的图象；过点(0，0)和(1，－4)作直线，则这条直线就是y ＝－4x 的图象．当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，图象经过第一、三象限；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，图象经过第二、四象限． 活动2 跟踪训练1．已知正比例函数y ＝kx.(1)若函数图象经过第二、四象限，则k 的范围是什么？ (2)点(1，－2)在它的图象上，求它的表达式． 解：(1)k ＜0.(2)当x ＝1时，y ＝－2，则k ＝－2，即y ＝－2x. 2．在同一坐标系中画出下列正比例函数的图象： (1)y ＝－23x ； (2)y ＝3x ； (3)y ＝23x.解：图略．3．画出正比例函数y ＝12x 的图象，并结合图象回答下列问题：(1)点(4，2)是否在正比例函数y ＝12x 的图象上？点(－2，－2)呢？(2)若点(2a －2，3a)在正比例函数y ＝12x 的图象上，求a 的值；(3)随着x 的增大，y 的值如何变化？解：(1)点(4，2)在正比例函数y ＝12x 的图象上，点(－2，－2)不在函数图象上．(2)因为点(2a －2，3a)在正比例函数y ＝12x 的图象上，所以3a ＝12(2a －2)，解得a ＝－12.(3)y 的值随x 值的增大而增大．活动3 课堂小结本节课我们通过对正比例函数图象的研究，掌握了以下内容： 1．函数与图象之间是一一对应的关系；2．正比例函数的图象是一条经过原点的直线．3．作正比例函数图象时，只取原点外的另一个点，就能很快作出．第2课时一次函数的图象与性质1．会作一次函数的图象．2．通过作图象归纳一次函数图象的性质．(重点)3．会运用函数图象解决实际问题．(难点)阅读课本P86～87，完成预习内容．(一)知识探究1．一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线，因此画一次函数的图象时只要确定了两个点，再作过两点的直线就可以了．一次函数y＝kx＋b的图象也称为直线y＝kx＋b.2．一次函数的图象经过点(0，b)．当k>0时，y的值随x值的增大而增大；当k<0时，y的值随x值的增大而减小．(二)自学反馈1．一次函数y＝－2x＋5的大致图象是(A)A B C D2．一次函数y＝3x－4的图象不经过(B)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．点(5，—1)不在 (填“在”或“不在”)函数y＝－0.2x＋1的图象上．4．一次函数y＝－3x－9的图象与x轴的交点坐标是(－3，0)，与y轴的交点坐标是(0，－9)．活动1 小组讨论例1 画出一次函数y＝－2x＋1的图象．解：列表：描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点．连线：把这些点依次连接起来，得到y＝－2x＋1的图象(如图)，它是一条直线．一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线，因此画一次函数的图象时只要确定了两个点，再作过两点的直线就可以了．一次函数y＝kx＋b的图象也称为直线y＝kx＋b.例2 在同一直角坐标系内分别画出一次函数y＝2x＋3，y＝－x，y＝－x＋3和y＝5x－2的图象．(1)上述四个函数中，随着x值的增大，y的值分别如何变化？相应图象上点的变化趋势如何？(2)直线y＝－x与y＝－x＋3的位置如何？你能通过适当的移动将直线y＝－x变为直线y＝－x＋3吗？一般地，直线y＝kx＋b与y＝kx又有怎样的位置关系呢？(3)直线y＝2x＋3与直线y＝－x＋3有什么共同点？一般地，你能从函数y＝kx＋b的图象上直接看出b的数值吗？解：略．(1)当k>0时，y的值随x值的增大而增大；当k<0时，y的值随x值的增大而减小；(2)同一平面内，不重合的两条直线l1：y1＝k1x＋b1与l2：y2＝k2x＋b2，当k1＝k2时，l1∥l2；当k1≠k2时，l1与l2相交．活动2 跟踪训练1．(1)一次函数y ＝x －1的图象经过的象限是(D)A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限(2)一次函数y ＝mx ＋n －2的图象如图所示，则 m 、n 的取值范围是(D)A ．m>0，n<2B ．m>0，n>2C ．m<0，n<2D ．m<0，n>22．(1)判断下列各组直线的位置关系： ①y ＝x 与y ＝x －1；平行 ②y ＝3x －12与y ＝－x －12.相交(2)已知直线y ＝23x ＋5与一条经过原点的直线l 平行，则直线l 的函数表达式为y ＝23x ．3．小明骑车从家到学校，假设途中他始终保持相同的速度前进，那么小明离家的距离与他骑行时间的图象是下图中的B ；小明离学校的距离与他骑行时间的图象是下图中的A ．A B C4．你能找出下列四个一次函数对应的图象吗？请说出你的理由： (1)y ＝－2x ＋1；(2)y ＝3x －1；(3)y ＝x ；(4)y ＝－23x.解：四个图象对应的函数关系式分别为：(3)、(1)、(2)、(4)． 活动3 课堂小结1．一次函数y ＝kx ＋b 中，当k>0时，y 的值随x 的增大而增大，图象必经过第一、三象限；当k<0时，y 的值随x 的增大而减小，图象必经过第二、四象限．2．同一平面内，不重合的两条直线l 1：y 1＝k 1x ＋b 1与l 2：y 2＝k 2x ＋b 2，当k 1＝k 2时，l 1∥l 2；当k 1≠k 2时，l 1与l 2相交．4．4 一次函数的应用第1课时 借助一次函数表达式解决一些简单问题1．会利用待定系数法确定一次函数的表达式．(重点)2．通过求一次函数的表达式来解决简单的实际问题．(难点)阅读课本P89，完成预习内容． (一)知识探究1．物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(m/s)与其下滑时间t(s )的关系如图所示．(1)写出v 与t 之间的关系式； (2)下滑3秒时物体的速度是多少？ 解：(1)v ＝52t.(2)当t ＝3时，v ＝52×3＝152.所以下滑3秒时物体的速度是152m/s.要求v 与t 之间的关系式，首先应观察图象，确定函数的类型，然后根据函数的类型设它对应的表达式，再把已知点的坐标代入表达式求出待定系数即可． (二)自学反馈1．若一次函数y ＝2x ＋b 的图象经过A(－1，1)，则b ＝3，该函数图象经过点B(1，5)和点C(－32，0)．2．如图，直线l 是一次函数y ＝kx ＋b 的图象，填空： (1)b ＝2，k ＝－23；(2)当x ＝30时，y ＝－18； (3)当y ＝30时，x ＝－42．3．已知直线l 与直线y ＝－2x 平行，且与y 轴交于点(0，2)，求直线l 的表达式． 解：y ＝－2x ＋2.活动1 小组讨论例 在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)是所挂物体的质量x(kg)的一次函数，一根弹簧不挂物体时长14.5 cm ；当所挂物体的质量为3 kg 时，弹簧长16 cm.写出y 与x 之间的关系式，并求所挂物体的质量为4 kg 时弹簧的长度． 解：设y ＝kx ＋b ，根据题意，得 14．5＝b, ① 16＝3k ＋b ，②将b ＝14.5代入②，得k ＝0.5.所以在弹性限度内，y ＝0.5x ＋14.5.当x ＝4时，y ＝0.5×4＋14.5＝16.5(cm)．即物体的质量为4 kg 时，弹簧长度为16.5 cm. 活动2 跟踪训练1．已知正比例函数y ＝kx ，当x ＝－3时，y ＝6.那么该正比例函数应为(B) A ．y ＝12xB ．y ＝－2xC ．y ＝－12xD ．y ＝2x2．一次函数的图象经过点(2，1)和(－1，－3)，则它的表达式为(D) A ．y ＝34x －53B ．y ＝43x －35C ．y ＝34x ＋35D ．y ＝43x －533．已知y ＝kx －4，当x ＝－2时，y ＝0，则k ＝－2．4．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过M(0，2)，N(1，3)两点，则该函数图象与x 轴交点的坐标为(－2，0)． 5．已知函数y ＝(2m ＋1)x ＋m ＋1(x 是自变量)． (1)若函数图象经过原点，求函数的表达式；(2)若y ＝(2m ＋1)x ＋m ＋1是一次函数，且与x 轴相交于点(－1，0)，求此函数的解析式． 解：(1)因为函数图象经过(0，0)，所以m ＝－1.所以函数的表达式为y ＝－x.(2)因为函数图象经过(－1，0)，由－(2m ＋1)＋m ＋1＝0，解得m ＝0.所以函数的表达式为y ＝x ＋1 6．如图，一次函数图象经过点A ，且与正比例函数y ＝－x 的图象交于点B ，求一次函数的表达式．解：因为点B 在正比例函数的图象上，所以y ＝－(－1)＝1.所以点B 的坐标为(－1，1)． 设一次函数表达式为y ＝kx ＋b ，把A(0，2)、B(－1，1)代入，可求得k ＝1，b ＝2， 所以一次函数表达式为y ＝x ＋2. 活动3 课堂小结在确定一次函数的表达式时可以用待定系数法，即先设出表达式，再根据题目条件(根据图象、表格或具体问题)求出k ，b 的值，从而确定函数表达式．其步骤如下：(1)设函数表达式；(2)根据已知条件列出有关k ，b 的方程；(3)解方程，求k ，b ；(4)把k ，b 代回表达式中，写出表达式．第2课时借助单个一次函数图象解决简单实际问题能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题．(重难点)阅读课本P91～92，完成预习内容．(一)知识探究1．由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少．蓄水量V(万米3) 与干旱持续时间t(天)的关系如下图所示，回答下列问题：(1)水库干旱前的蓄水量是多少？(2)干旱持续10天后，蓄水量为多少？连续干旱23天后呢？(3)蓄水量小于400万米3时，将发生严重干旱警报．干旱多少天后将发出严重干旱警报？(4)按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干涸？解：观察图象可知：(1)当t＝0，v＝1 200，因此水库干旱前的蓄水量是1 200万米3.(2)当t为10时，蓄水量V约为1 000万米3.同理可知当t为23时，蓄水量V约为740万米3.(3)当V等于400万米3时，对应的t的值约为40天，因此干旱40天后将发生严重警告．(4)当V为0时，对应的t的值约为60，所以预计干旱60天水库将干涸．2．看图填空：(1)当y＝0时，x＝－2；(2)直线对应的函数表达式是y＝0.5x＋1；(3)一元一次方程0.5x＋1＝0与一次函数y＝0.5x＋1有什么联系？解：0.5x＋1＝0的解是一次函数的函数值为0时自变量的值．一般地，当一次函数y＝kx＋b的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程kx＋b＝0的解．从图象上看，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交点的横坐标就是方程kx＋b＝0的解．(二)自学反馈1．一辆汽车在行驶过程中，路程y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系如图所示，当1≤x≤2时，y关于x的函数表达式为y＝100x－40；那么当0≤x≤1时，y关于x的函数表达式为y＝60x．2．某公司销售人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，图象如图所示，则此销售人员的销售量为3千件时的月收入是1_400元．3．一次函数y ＝kx ＋b 的图象与y 轴相交于点(0，－3)，且方程kx ＋b ＝0的解为x ＝2，试求这个一次函数的表达式．解：由题意可知b ＝－3，且函数图象与x 轴交点坐标为(2，0)，所以可得方程2k －3＝0，解得k ＝32，故函数表达式为y ＝32x －3.活动1 小组讨论例 某种摩托车的油箱加满油后，油箱中剩余油量y(L)与摩托车行驶路程x(km)之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题：(1)油箱最多可储油多少升？(2)一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？ (3)摩托车每行驶100 km 消耗多少升汽油？(4)油箱中剩余油量小于1 L 时，摩托车将自动报警．行驶多少千米后，摩托车将自动报警？解：观察图象，得(1)当x ＝0时，y ＝10.因此，油箱最多可储油10 L.(2)当y ＝0时，x ＝500.因此，一箱汽油可供摩托车行驶500 km.(3)x 从0增加到100时，y 从10减少到8，减少了2，因此摩托车每行驶100 km 消耗2 L 汽油． (4)当y ＝1时，x ＝450.因此，行驶450 km 后，摩托车将自动报警． 活动2 跟踪训练1．一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，则方程kx ＋b ＝0的解为(D)A ．4B ．1C ．2D ．－32．已知方程kx ＋b ＝0的解是x ＝3，则函数y ＝kx ＋b 的图象可能是(C)A B C D3．如图是小明从学校到家里行进的路程s(米)与时间t(分)的函数图象，观察图象，从中得到如下信息，其中不正确的是(C)A．学校离小明家1 000米B．小明用了20分钟到家C．小明前10分钟走了路程的一半D．小明后10分钟比前10分钟走得快4．若一次函数y＝ax＋b的图象经过点(2，3)，则方程ax＋b＝3的解为x＝2．5．某同学将父母给的零用钱按每月相等的数额存放在储蓄盒内，准备捐给希望工程. 盒内原来有40元，2个月后盒内有80元．(1)求盒内钱数y(元)与存钱月数x之间的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；(2)画出图象，观察图象回答：按上述方法，该同学经过8个月能存够200元．解：(1)依据题意设函数的关系式为y＝kx＋40，因为2个月后盒内有80元，故可得方程2k＋40＝80，解得k＝20，所以函数关系式为y＝20x＋40.(2)图略．活动3 课堂小结1．能通过函数图象获取信息．2．能利用函数图象解决简单的实际问题．3．初步体会方程与函数的关系．第3课时借助两个一次函数图象解决简单实际问题1．会通过函数图象获取信息．(重点)2．会运用函数图象解决简单的实际问题，培养应用数学的能力．(难点)阅读课本P93～95，完成预习内容．自学反馈1．如图，图象l甲，l乙分别表示甲、乙两名运动员在校运动会800米比赛中所跑的路程s(米)与时间t(分)之间的关系，则他们跑的速度关系是(A)A．甲跑的速度比乙跑的速度快B．乙跑的速度比甲跑的速度快C．甲、乙两人跑的速度一样快D．图中提供的信息不足，无法判断2．如图，l1反映了某公司的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，当该公司盈利(收入大于成本)时，销售量(D)A．小于3 t B．大于3 tC．小于4 t D．大于4 t活动1 小组讨论例我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶．边防局迅速派出快艇B追赶(如图1)，图2中l1, l2分别表示两船相对于海岸的距离s(n mile)与追赶时间t(min)之间的关系．根据图象回答下列问题：图1 图2(1)哪条线表示B到海岸的距离与时间之间的关系？(2)A，B哪个速度快？(3)15 min内B能否追上A?(4)如果一直追下去，那么B能否追上A?(5)当A逃到离海岸12 n mile海里的公海时，B将无法对其进行检查．照此速度，B能否在A逃到公海前将其拦截？(6)l1与l2对应的两个一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2中，k1，k2的实际意义各是什么？可疑船只A与快艇B的速度各是多少？解：(1)观察图象，当t＝0时，B距海岸0 n mile，即s＝0，故l1表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系．(2)从0增加到10时，l2的纵坐标增加了2，而l1的纵坐标增加了5，即10 min内，A行驶了2 n mile，B行驶了5 n mile，所以B的速度快．(3)延长l1，l2(如图3)，可以看出，当t＝15时，l1上对应点在l2上对应点的下方，这表明，15 min时B尚未追上A.图3(4)如图3，l1，l2相交于点P.因此，如果一直追下去，那么B一定能追上A.(5)从图中可以看出，l1与l2交点P的纵坐标小于12，这说明在A逃入公海前，我边防快艇B能够追上A.(6)k1表示快艇B的速度，k2表示可疑船只A的速度．可疑船只A的速度是0.2 n mile/min，快艇B的速度是0.5 n mile/min.活动2 跟踪训练1．如图，OA、BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数，图中s和t分别表示运动路程和时间，根据图象判断快者比慢者每秒快(B)A．1 m B．1.5 mC．2 m D．2.5 m2．某公司为用户提供网费的两种收费方式如下表：若设用户上网的时间为x分钟，A、B两种收费方式的费用分别为y A(元)、y B(元)，它们的函数图象如图所示，则当上网时间多于400分钟时，选择B种方式省钱．(填“A”或“B”)3．如图，已知A地在B地的正南方3千米处，甲、乙两人同时分别从A、B两地向正北方向匀速行驶，他们与A地的距离(千米)与所行时间(时)之间的函数关系如图中AC和BD所示，当他们行驶了4小时后，他们之间的距离为3千米．4．王教授和孙子小强经常一起爬山. 有一天，小强让爷爷先走，然后追赶爷爷，图中的两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离(米)与爬山所用时间(分)的关系(从小强开始爬山时计时)．(1)小强让爷爷先走了多少米？(2)山顶离山脚的距离有多少米？谁先爬上了山顶？(3)小强经过多长时间追上了爷爷？解：(1)由图象可知小强让爷爷先走了60米．(2)由y轴纵坐标可知，山顶离山脚的距离为300米，由两条直线顶点的横坐标可知小强先爬上了山顶．(3)根据函数图象可得小强的速度为30米/分，240米处追上爷爷，两条线段的交点的横坐标即为相遇时的时间，即为240÷30＝8(分钟)．活动3 课堂小结在运用一次函数解决实际问题时，可以直接从函数图象上获取信息解决问题，当然也可以设法得出各自对应的函数关系式，然后借助关系式完全通过计算解决问题．通过列出关系式解决问题时，一般首先判断关系式的特征，当确定是一次函数关系时，可求出函数表达式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得我们所需要的结果．。
精选【北师大版】八年级数学上册第4章《一次函数》全章教学案
第四章一次函数1.初步理解函数的概念,在实际背景中感受自变量取值范围的意义;体会一次函数和正比例函数的意义,能根据所给信息确定一次函数表达式.2.能画一次函数的图象,理解当k>0和k<0时图象的变化情况,并利用一次函数图象解决简单的实际问题.3.在画一次函数的图象、探索一次函数图象的变化情况、利用一次函数的图象解决实际问题等过程中,体会数形结合的思想方法与一次函数y=kx+b中k与b的意义.经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程,发展应用意识;经历函数图象信息的识别与应用过程,发展几何直观.经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程,体会函数的模型思想,进一步发展符号意识;经历一次函数的图象及其性质的探索过程,在合作与交流活动中发展合作交流的意识和能力.一、《标准》要求1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程,理解函数的概念;探索具体问题中的数量关系和变化规律,掌握用函数进行表述的方法.2.通过用函数表述数量关系的过程,体会建模思想,建立符号意识;能独立思考,体会数学的基本思想和思维方式.3.初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识和方法解决简单的实际问题,增强应用意识,提高实践能力.4.在运用数学表述解决问题过程中,认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点,体会数学的价值.5.探索简单实例中的数量关系和变化规律,了解常量、变量的意义.6.结合实例,了解函数的概念和三种表示法,能举出函数的实例.7.能结合图象对简单问题中的函数关系进行分析.8.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围,并会求函数值.9.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系.10.结合对函数关系的分析,能对变量的变化情况进行初步讨论.11.结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次函数的表达式.12.能利用待定系数法确定一次函数的表达式.13.能画出一次函数的图象,根据一次函数的图象和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k<0时,图象的变化情况.14.能用一次函数解决简单实际问题.二、教材分析函数是数学中重要的基本概念之一,它揭示了现实世界中数量关系之间相互依存和变化的实质,是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型.本章是学习函数的入门,也是进一步学习的基础.教材通过具体的实例引入一次函数的概念,并通过练习巩固对一次函数意义的认识;通过让学生动手操作,让学生认识到一次函数的图象是一条直线,从而得出两点法作一次函数图象的方法;通过具体的取值结合函数的图象,让学生逐步得出一次函数的性质,体会一次函数在实际生活中的应用.教材注重让学生参与知识的形成过程,自始至终都采用让学生动手尝试、交流、归纳的方式,鼓励学生通过观察、猜想、验证,主动获取知识.【重点】1.初步理解函数的概念.2.画一次函数的图象.3.通过一次函数图象解决生活中的简单问题.【难点】1.一次函数图象的特点.2.一次函数y=kx+b中k与b的实际意义.1.加强与已有知识的联系.在代数式、方程、不等式等内容的学习、探索中都已经渗透了转化的思想,要注意引导学生在原有知识基础上理解变量和函数的概念.2.创设丰富的现实情境,重视直观感知的作用.3.注重学生对必要的数学语言和符号的理解与准确应用,运用数学语言和符号去理解、描述现实世界中问题的变化规律,是本章学习的主要目的之一.要在现实情境中鼓励学生运用自己的语言进行描述和交流,进而逐步学习和掌握规范的数学语言,增强符号感.1函数1课时2一次函数与正比例函数1课时3一次函数的图象2课时4一次函数的应用3课时回顾与思考1课时1函数了解函数产生的背景和函数的概念,能判断两个变量间的关系是否属于函数关系.通过对函数概念的探索,初步培养学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.1.经历函数概念的抽象概括过程,体会函数的模型思想.2.让学生主动地从事观察、操作、交流、归纳等探索活动,从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式.【重点】1.掌握函数的概念.2.会判断两个变量之间的关系是否属于函数关系.3.能把实际问题抽象概括为函数问题.【难点】1.理解函数的概念.2.能把实际问题抽象概括为函数问题.【教师准备】教材图4 - 1投影图片.【学生准备】预习教材75~76页内容.导入一:长春市某天的气温随时间变化的曲线如图所示.这条曲线反映了气温与时间之间怎样的关系?从这条曲线中又能获得哪些信息呢?导入二:我们生活在一个变化的世界中,时间、温度,还有你的身高、体重等都在悄悄地发生变化.从数学的角度研究变化的量,讨论它们之间的关系,将有助于我们更好地了解自己、认识世界和预测未来.观察下图,你能大致地描述男孩和女孩平均身高的变化情况吗?你的身高在平均身高之上还是之下?你能估计自己18岁时的身高吗?在现实生活中一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在.函数就是研究一些量之间确定性依赖关系的数学模型.一、感知函数出示教材图4 - 1及相关问题,并由学生讨论完成题目.(1)根据上图填表:t/min 0 1 2 3 4 5 …h/m …(2)对于给定的时间t,相应的高度h确定吗?[设计意图]由于我们已初步接触过这方面知识,所以答案较易得出.在这里要注意时间和高度这两个变量之间的关系.二、做一做1.罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放.随着层数的增加,物体的总数是如何变化的?填写下表:层数n 1 2 3 4 5 …物体总数y…【思考】层数n和物体总数y之间是什么关系?2.一定质量的气体在体积不变时,假若温度降低到-273 ℃,则气体的压强为零.因此,物理学中把-273 ℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系:T=t+273,T≥0.(1)当t分别为-43 ℃,-27 ℃,0 ℃,18 ℃时,相应的热力学温度T是多少?(2)给定一个大于-273 ℃的t值,你都能求出相应的T值吗?【思考】在关系式T=t+273中,两个变量中若知道其中一个,是否可以确定另外一个?三、函数的相关概念一般地,如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的值与它对应,那么我们称y是x的函数(function),其中x是自变量.表示函数的方法一般有:列表法、关系式法和图象法.对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a,函数有唯一确定的对应值,这个对应值称为当自变量等于a时的函数值.[知识拓展]理解函数概念时应注意:(1)在某一变化过程中有两个变量x与y.(2)这两个变量互相联系,当变量x取一个确定的值时,变量y的值就随之确定.(3)对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的一个值与它对应,如在关系式y2=x(x>0)中,当x=9时,y 对应的值为3或-3,不唯一,则y不是x的函数.1.(1)汽车在公路上匀速行驶,速度为每小时30千米,则汽车行驶的路程s(千米)与行驶的时间t(时)之间的关系式为.(2)圆的面积S与半径R的关系式为.答案:(1)s=30t (2)S=πR22.一般地,在某个变化过程中,有个变量x,y.如果给定一个x值,相应地就了一个y 值,那么我们称y是x的函数.其中是自变量,是因变量.答案:两确定x y3.对于两个变量之间的函数关系,可以采用不同的表达方式:,,.答案:列表法关系式法图象法4.圆的周长公式C=2πR中,有个变量,是.答案:两R,C5.某30层的大厦底层高4米,以上每层高3米,从底层数起,则前n层的高度h(米)与n的函数关系式为.答案:h=3n+11函数1.感知函数.2.做一做.3.函数的相关概念.一、教材作业【必做题】教材第77页习题4.1第1,2题.【选做题】教材第78页习题4.1第3题.二、课后作业【基础巩固】1.下列变量间的关系不是函数关系的是()A.长方形的宽一定,其长与面积B.正方形的周长与面积C.等腰三角形的底边长与面积D.圆的周长与半径2.下列是关于变量x和y的四个关系式:①y=x;②y2=x;③2x2=y;④y2=2x.其中y是x的函数的有()A.1个B.2个C.3个D.4个3.弹簧挂上物体后伸长,已知一弹簧的长度(cm)与所挂物体的质量(kg)之间的关系如下表:物体的质量/kg 0 1 2 3 4 5弹簧的长度/cm 10 12.5 15 17.5 20 22.5下列说法错误的是()A.没挂物体时,弹簧的长度为10 cmB.弹簧的长度随所挂物体的质量的变化而变化,物体的质量是因变量,弹簧的长度是自变量C.在弹簧的弹性限度内,如果物体的质量为m kg,那么弹簧的长度y cm可以表示为y=2.5m+10D.当物体的质量为4 kg时,弹簧的长度为20 cm4.下列各题中,哪些是函数关系?哪些不是函数关系?(1)匀速运动所走的路程和速度;(2)在平静的湖面上投入一粒石子,泛起的波纹的周长与半径;(3)x+3与x;(4)正方形的面积和梯形的面积;(5)水管中水流的速度和水管的长度.【能力提升】5.如图(1)所示,在长方形ABCD中,动点E从点B出发,沿BADC方向运动至点C处停止.设点E运动的路程为x,ΔBCE的面积为y,如果y关于x的函数图象如图(2)所示,则当x=7时,点E应运动到()A.点C处B.点D处C.点B处D.点A处6.如下图所示的是桂林冬季某一天的气温随时间的变化图象,请根据图填空:时气温最低,最低气温为℃,当天最高气温为℃,这一天的温差为℃.(所有的结果都取整数)【拓展探究】7.如图所示,正方形ABCD的边长为1,E是CD的中点,P为正方形ABCD边上一个动点,动点P从点A出发,沿A→B→C→E运动.若点P经过的路程为x,ΔAPE的面积为y,则当y=时,求x的值.【答案与解析】1.C(解析:A.长=;B.面积=;C.高不能确定,共有三个变量;D.周长=2π·半径.故选C.)2.B(解析:①③是y关于x的函数.)3.B(解析:因为表中的数据主要涉及弹簧的长度和所挂物体的质量,所以反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系,所挂物体的质量是自变量,弹簧的长度是因变量,故选项B错误,符合题意.故选B.)4.解:(1)匀速运动所走的路程和速度符合s=vt,是函数关系. (2)在平静的湖面上投入一粒石子,泛起的波纹的周长L与半径r符合L=2πr,是函数关系. (3)x+3与x,设y=x+3,即可得出是函数关系. (4)正方形的面积和梯形的面积没有关系,所以不是函数关系. (5)水管中水流的速度和水管的长度没有关系,所以不是函数关系.所以(1)(2)(3)是函数关系,(4)(5)不是.5.B(解析:当E在AB上运动时,ΔBCE的面积不断增大,当E在AD上运动时,面积不变,当E在DC上运动时,ΔBCE的面积不断减小,所以当x=7时,点E应运动到点D处.故选B.)6.4-210127.解:①当点P在AB上运动时,如图(1)所示,y=x(0≤x<1).当y=时,x=.②当点P在BC上运动时,如图(2)所示,y=1-×1×(x-1)-(2-x)-×1,整理得y=-x(1≤x<2).当y=时,-x,解得x=.③当点P在CE上运动时,如图(3)所示,EP=-x,y=×1×,即y=-x(2≤x≤2.5).当y=时,-x,解得x=.因为不在2≤x≤2.5内,所以此情况不符合要求.所以当y=时,x的值为或.本课时是函数学习的起始课,因此理解函数的基本思想和表达方式是本课时的重点.通过生活实例中对变量的提取,帮助学生比较深刻地领悟了函数的意义.教材安排的实际问题,旨在让学生通过直观感知,领悟相关概念,这些问题不宜单纯作为教师讲解的例题,要注意引导学生观察其中数量之间的相互关系、鼓励学生发表意见,可以根据学生交流的情况,鼓励学生举出自己熟悉的实例,穿插在几个问题的讨论之中.本课时的学习需注意后续相关内容的渗透,例如:观察函数图象,感知函数的单调性;通过求函数值,渗透初步的对应思想等.教师在组织教学中应注意做适当的铺垫.随堂练习(教材第77页)解:(1)问题中有时间和温度两个变量,且温度是时间的函数,自变量的取值范围是大于等于0,小于等于24.(2)问题中有汽车的速度v(km/h)和汽车紧急刹车后滑行的路程s(m)两个变量,且s是v的函数,v>0. (3)问题中有信件质量m(g)与邮资y(元)两个变量,且y是m的函数,0<m≤100.习题4.1(教材第77页)1.解:(1)反映了物体与抛射点之间的水平距离s与物体的高度h之间的关系. (2)依次填2,2.5,2.65,2.5,2,1.2,0. (3)确定. (4)可以.2.解:(1)当x=3时,y=9. (2)依题意得y=3x,x的取值范围是x>0,且x是整数.3.解:买单价是0.4元的铅笔,总金额y(元)与铅笔数x(支)之间的关系,其函数的关系式为y=0.4x,自变量的取值范围是非负整数.(答案不唯一)4.解:(1)能. (2)能. (3)能.1.关于确定函数关系式的问题,需要分析实际问题中的等量关系,其具体方法和列方程解应用题类似.2.关于函数自变量的取值范围的讨论,主要包含两个方面:一是自变量取值使函数关系式有意义;二是自变量取值使实际问题有意义,这需要对实际问题作具体分析,具有一定难度.图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的.设y为第n层(n为正整数)圆点的个数,则下列函数关系式中正确的是()A.y=4n-4B.y=n2C.y=4n+4D.y=4n〔解析〕由图可知n=1时,圆点有4个,即y=4;n=2时,圆点有8个,即y=8,从而可知y=4n.故选D.2一次函数与正比例函数理解一次函数和正比例函数的概念,以及两者之间的关系,利用一次函数和正比例函数解决实际问题.能够根据所给条件写出简单的一次函数表达式,并利用它解决实际问题.1.通过函数与变量之间的联系,一次函数与一次方程的联系,提高学生的数学思维能力.2.经历利用一次函数解决实际问题的过程,发展学生的数学应用能力.【重点】1.一次函数、正比例函数的概念.2.一次函数、正比例函数的关系.3.会根据已知信息写出一次函数的表达式.【难点】一次函数知识的运用.【教师准备】引例和例题投影图片.【学生准备】复习函数的定义、函数值等内容.导入一:生活中充满着许许多多变化的量,你了解这些变量之间的关系吗?如弹簧的长度(在弹性限度内)与所挂物体的质量,输液时间与相应时间内水滴数目……了解这些关系,可以帮助我们更好地认识世界.函数是刻画变量之间关系的常用模型,其中最为简单的是一次函数,那么什么是一次函数?用一次函数可以解决哪些问题呢?你想了解这些吗?一起进入这节课的学习吧!导入二:汽车的平均速度为95 km/h,A地直达北京的高速公路全程为570 km,小明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己与北京的距离.小明能得到一个什么样的关系式呢?他是怎样想的?猜猜看.[过渡语]怎样写出两个变量之间的函数关系式呢?某弹簧的自然长度为3 cm.在弹性限度内,所挂物体的质量x每增加1 kg,弹簧长度y增加0.5 cm.(1)计算所挂物体的质量分别为1 kg,2 kg,3 kg,4 kg,5 kg时弹簧的长度,并填入下表:x/kg 0 1 2 3 4 5y/cm(2)你能写出y与x之间的关系式吗?【分析】当不挂物体时,弹簧长度为3厘米,当挂1千克物体时,增加0.5厘米,总长度为3.5厘米,增加1千克物体,即所挂物体为2千克时,弹簧又增加0.5厘米,总共增加1厘米,由此可见,所挂物体为x千克时,弹簧就伸长0.5x厘米,则弹簧总长为原长加伸长的长度,即y=3+0.5x.二、做一做某辆汽车油箱中原有汽油60 L,汽车每行驶50 km耗油6 L.(1)完成下表:汽车行驶0 50 100 150 200 300路程x/km耗油量y/L(2)你能写出耗油量y(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗?(3)你能写出油箱剩余油量z(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗?【答案与提示】(1)如下表所示:汽车行驶0 50 100 150 200 300路程x/km耗油量y/L 0 6 12 18 24 36(2)y=6·x.(3)z=60-x.【归纳】若两个变量x,y间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数.例如y=2x+1, y=x-1等都是一次函数.特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.例如,y=2x,y=-3x等都是正比例函数.正比例函数是一次函数的特例,一次函数包含正比例函数.正比例函数与一次函数的关系如图所示.[知识拓展]正比例函数也是一次函数,不过是特殊的一次函数,就像是等边三角形与等腰三角形的关系一样.三、例题讲解写出下列各题中y与x之间的关系式,并判断:y是否为x的一次函数?是否为正比例函数?(1)汽车以60 km/h的速度匀速行驶,行驶路程y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;(2)圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系;(3)某水池有水15 m3,现打开进水管进水,进水速度为5 m3/h,x h后这个水池内有水y m3.(由学生交流讨论完成)解:(1)由路程=速度×时间,得y=60x,y是x的一次函数,也是x的正比例函数.(2)由圆的面积公式,得y=πx2,y不是x的正比例函数,也不是x的一次函数.(3)这个水池每小时增加5 m3水,x h增加5x m3水,因而y=15+5x,y是x的一次函数,但不是x的正比例函数.【思考】两个变量之间存在函数关系,它们之间一定是一次函数或正比例函数关系吗?我国自2011年9月1日起,个人工资、薪金所得税征收办法规定:月收入不超过3500元的部分不收税;月收入超过3500元但不超过5000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3860元,他应缴纳个人工资、薪金所得税为(3860-3500)×3%=10.8(元).(1)当月收入超过3500元而又不超过5000元时,写出应缴纳个人工资、薪金所得税y(元)与月收入x(元)之间的关系式;(2)某人月收入为4160元,他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元?(3)如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税19.2元,那么此人本月工资、薪金收入是多少元?〔解析〕一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)中,自变量的取值范围是全体实数,但是在实际问题中,要根据具体情况来确定该一次函数的自变量的取值范围.本例题的关键是确定问题当中的x的取值范围.解:(1)当月收入超过3500元而不超过5000元时,y=(x-3500)×3%,即y=0.03x-105.(2)当x=4160时,y=0.03×4160-105=19.8(元)(3)因为(5000-3500)×3%=45(元),19.2<45,所以此人本月工资、薪金收入不超过5000元.设此人本月工资、薪金收入是x元,则:19.2=0.03x-105,x=4140.即此人本月工资、薪金收入是4140元.1.一根弹簧的原长为12 cm,它能挂的重量不能超过15 kg并且每挂重物1 kg就伸长0.5 cm,则在弹性限度内,挂重物后的弹簧长度y(cm)与所挂重物x(kg)之间的函数关系式是.解析:弹簧伸长后的长度等于原长加上挂重物后伸长的长度,所以y=0.5x+12.由于这是实际问题,自变量的取值要有实际意义,所以0≤x≤15.故填y=0.5x+12(0≤x≤15).2.y=kx+b是一次函数,则k为()A.一切实数B.正实数C.负实数D.非零实数解析:y=kx+b是一次函数,也就是说kx+b是关于x的一次式,所以k是不等于0的实数.故选D.3.下列函数中,y是x的一次函数的是 ()A.y=-3x+5B.y=-3x2C.y=D.y=2解析:形如y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的函数是一次函数.故选A.4.下列说法不正确的是()A.一次函数不一定是正比例函数B.不是一次函数就一定不是正比例函数C.正比例函数是特殊的一次函数D.不是正比例函数就一定不是一次函数解析:正比例函数是特殊的一次函数,不是正比例函数也可能是一次函数,如y=2x-3.故选D.5.某面包厂现年产值是15万元,计划从今年开始每年增加产值2万元.(1)写出年产值y(万元)与年数x之间的函数表达式;(2)求5年后的年产值.解析:(1)年产值等于现年产值加上每年增加的年产值乘年数.(2)将x=5代入(1)中求得的表达式即可得解.解:(1)y=2x+15.(2)当x=5时,y=2×5+15=25,即5年后的年产值为25万元.2一次函数与正比例函数1.出示教材引例及问题.2.做一做.3.例题讲解.例1例2一、教材作业【必做题】教材第82页习题4.2第1,2题.【选做题】教材第82页习题4.2第5题.二、课后作业【基础巩固】1.若函数y=(m-5)x+(4m+1)x2(m为常数)中的y与x成正比例,则m的取值范围为()A.m>-B.m> 5C.m=-D.m=52.下列函数:①y=4x+3;②y=x;③y=x4;④y=x2;⑤y=1-x中,一次函数有 ()A.1个B.2个C.3个D.4个3.在函数y=x, y=x+3,y=,y=2x2-3, y=2(x-3)中,是关于x的正比例函数.【能力提升】4.容积为800 L的水池内已蓄水200 L,若每分钟注入的水量是15 L,设池内的水量为Q(L),注水时间为t(min).(1)请写出Q与t的函数关系式;(2)注水多长时间可以把水池注满?(3)当注水时间为0. 2 h时,池中水量是多少?5.某自行车保管站在某个星期日接受保管的自行车共有3500辆次,其中变速车保管费是每辆一次0.5元,一般车保管费是每辆一次0.3元.(1)若一般车停放的辆次数为x,总的保管费收入为y元,试写出y关于x的函数关系式;(2)若估计前来停放的3500辆自行车中,变速车的辆次不小于总辆次的25%,但不大于40%,试求该保管站这个星期日保管费收入总数的范围.【拓展探究】6.为了节约资源,科学指导居民改善居住条件,小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案.人均住房面积/m2单价/(万元/m2)不超过30的部分0.3超过30不超过n(m2)0.5的部分(45≤n≤60)超过n(m2)的部分0.7根据这个购房方案解决下列问题:(1)若某三口之家欲购买120 m2的商品房,求其应缴纳的房款;(2)设某三口之家购买商品房的人均面积为x m2,应缴纳房款为y万元,请写出y关于x的函数表达式.【答案与解析】1.C(解析:∵函数y=(m-5)x+(4m+1)x2中的y与x成正比例,∴即∴m=-.故选C.)2.C (解析:①y=4x+3是一次函数;②y=x是一次函数;③y=x4的自变量的次数不为1,故不是一次函数;④y=x2的自变量的次数不为1,故不是一次函数;⑤y=1-x是一次函数.故选C.)3.y=x(解析:只有y=x符合y=kx(k≠0)的形式.)4.解:(1)Q=200+15t,0≤t≤40. (2)注水40 min可以把水池注满. (3)当注水0.2 h,即12 min时,池中水量为380 L.5.解:(1)y与x的关系式是y=0.3x+0.5×(3500-x),即y=-0.2x+1750(0≤x≤3500,且x为整数). (2)因为变速车停放的辆次不小于3500的25%,但不大于3500的40%,所以一般自行车停放的辆次在3500×60%与3500×75%之间.当x=3500×60%=2100时,y=-0.2×2100+1750=1330;当x=3500×75%=2625时,y=-0.2×2625+1750=1225.所以该保管站这个星期日保管费收入总数在1225元至1330元之间.6.解析:(1)根据房款=房屋单价×购房面积就可以表示出应缴房款.(2)分别求出当0≤x≤30,30<x≤n和x>n时y与x之间的表达式即可.解:(1)由题意,得应缴纳房款为0.3×90+0.5×30=42(万元). (2)由题意得:①0≤x≤30时,y=0.3×3x=0.9x;②30<x≤n时,y=0.3×90+0.5×3×(x-30)=1.5x-18;③x>n时,y=0.3×90+0.5×3(n-30)+0.7×3×(x-n)=2.1x-18-0.6n.教学时从学生熟悉的实际问题入手,旨在让学生通过直观感知领悟相关概念,通过学生的合作交流得到一次函数和正比例函数的定义,引导学生把新学习的函数知识与实际问题联系起来.对正比例函数和一次函数之间的区别和联系没有做重点强调,这对于学生以后画函数图象和分析图象、性质会带来一定的困难.在教学过程中要适当增加习题,设计不同层次的习题,让不同层次的学生得到不同程度的练习,以提高学生的解题能力和对一次函数与正比例函数的理解和掌握.随堂练习(教材第80页)1.解:依题意得y=2.2x,所以y是x的一次函数,y也是x的正比例函数.2.解:(1)y=80x+100,y是x的一次函数. (2)当x=0.5时,y=140.习题4.2(教材第82页)1.解:y=-3x.2.解:(1)y=3x,y是x的一次函数, 也是x的正比例函数. (2)y=(10-2x)·x=-x2+5x,y不是x的一次函数,也不是x的正比例函数.3.解:(1)y=12+0.2x. (2)48元. (3)440 min.4.解:(1)y=0.25x. (2)45元. (3)400 min.5.解:y A=0.2x+12,y B=0.25x.(1)当x=300时,y A=0.2×300+12=72,y B=0.25×300=75.因为y A<y B,所以选择A类收费方式. (2)由题意得y A=y B,所以0.2x+12=0.25x,解得x=240.所以每月通话240 min时,按A,B两类收费标准缴费,所缴话费相等.要注意一次函数与正比例函数之间的关系,解决“根据所给条件写出简单的一次函数表达式”这类问题的基本思路为:先从实际问题中获取各种有用的信息,然后认真分析,探究这些有关的信息,在此基础上构建出数学模型,并解决这个数学问题,从而进一步解答问题.如图所示,函数、一次函数和正比例函数之间的包含关系是()〔解析〕正比例函数是一次函数的特殊形式,而它们又都是函数.故选A.。
北师大版八年级数学上册：第四章《一次函数》教案
第四章 一次函数1 函 数1．了解函数产生的背景和函数的概念，能判断两个变量间的关系是否属于函数关系．2．通过对函数概念的探索，初步培养学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力．3．让学生主动地从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式．重点掌握函数的概念，会判断两个变量之间的关系是否属于函数关系．难点能把实际问题抽象概括为函数问题．一、情境导入课件出示教材第75页图4－1及相关问题，并由学生讨论完成题目．师：在现实生活中一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在．函数就是研究一些量之间确定性依赖关系的数学模型．(板书课题)二、探究新知函数的相关概念．(1)课件出示教材第76页“做一做”第1题．师：层数n和物体总数y之间是什么关系？引导学生得出：只要给定层数，就能求出物体总数．(2)课件出示教材第76页“做一做”第2题．师：在关系式T＝t＋273中，两个变量中若知道其中一个，是否可以确定另外一个？一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量．表示函数的方法一般有：列表法、关系式法和图象法．对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值．理解函数概念时应注意：(1)在某一变化过程中有两个变量x与y.(2)这两个变量互相联系，当变量x取一个确定的值时，变量y的值就随之确定．(3)对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的一个值与它对应，如在关系式y2＝x(x>0)中，当x＝9时，y对应的值为3或－3，不唯一，则y不是x的函数．师：上述问题中，自变量能取哪些值？指出要根据实际问题确定自变量的取值范围．三、练习巩固教材第77页“随堂练习”．四、小结函数的概念包含以下三方面：(1)两个变量；(2)两个变量之间唯一确定的对应关系；(3)当一个变量取一个确定的值时，另一个变量有唯一的值与它对应．五、课外作业教材第77～78页习题4.1第1～4题．本节课是函数学习的起始课，因此理解函数的基本思想和表达方式是本节课的重点．通过生活实例中对变量的提取，帮助学生比较深刻地领悟了函数的意义．教材安排的实际问题，旨在让学生通过直观感知，领悟相关概念，这些问题不宜单纯作为教师讲解的例题，要注意引导学生观察其中数量之间的相互关系、鼓励学生发表意见，可以根据学生交流的情况，鼓励学生举出自己熟悉的实例，穿插在几个问题的讨论之中.2 一次函数与正比例函数1．理解一次函数和正比例函数的概念，以及两者之间的关系．2．能够根据所给条件写出简单的一次函数表达式，并利用它解决实际问题．3．经历利用一次函数解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力．重点一次函数、正比例函数的概念．会根据已知信息写出一次函数的表达式．难点一次函数知识的运用．一、情境导入师：生活中充满着许许多多变化的量，你了解这些变量之间的关系吗？如弹簧的长度(在弹性限度内)与所挂物体的质量，输液时间与相应时间内水滴数目……了解这些关系，可以帮助我们更好地认识世界．函数是刻画变量之间关系的常用模型，其中最为简单的是一次函数，那么什么是一次函数？用一次函数可以解决哪些问题呢？你想了解这些吗？一起进入这节课的学习吧！二、探究新知一次函数的相关概念．(1)课件出示教材第79页“做一做”上面的题目．分析：当不挂物体时，弹簧长度为3 cm，当挂1 kg物体时，增加0.5 cm，总长度为3.5 cm，增加1 kg物体，即所挂物体为2 kg时，弹簧又增加0.5 cm，总共增加1 cm，由此可见，所挂物体为x kg时，弹簧就伸长0.5x cm，则弹簧总长为原长加伸长的长度，即y＝3＋0.5x.(2)课件出示教材第79页“做一做”．解：①如下表所示：汽车行驶050100150200300路程x/km耗油量y/L0612182436②y＝6·x.③z＝60－x.若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数．例如y＝2x＋1, y＝x－1等都是一次函数．特别地，当b＝0时，称y是x的正比例函数．例如，y＝2x，y＝－3x等都是正比例函数．正比例函数是一次函数的特例，一次函数包含正比例函数．正比例函数与一次函数的关系如图所示．三、举例分析1．课件出示教材第79页例1.由学生交流讨论完成．师：两个变量之间存在函数关系，它们之间一定是一次函数或正比例函数关系吗？2．课件出示教材第80页例2.此题对于现阶段的学生有一定难度，由教师讲解．分析：一次函数y ＝kx ＋b(k ，b 为常数，k ≠0)中，自变量的取值范围是全体实数，但是在实际问题中，要根据具体情况来确定该一次函数的自变量的取值范围．本例题的关键是确定问题当中的x 的取值范围．四、练习巩固教材第80～81页“随堂练习”第1～2题．五、小结正比例函数――→定义形如y ＝kx （k ≠0）的函数一次函数――→定义 形如y ＝kx ＋b （k ，b 是常数，k ≠0）的函数六、课外作业教材第82页习题4.2第1～4题．教学时从学生熟悉的实际问题入手，旨在让学生直观感知领悟相关概念，通过学生的合作交流得到一次函数和正比例函数的定义，引导学生把新学习的函数知识与实际问题联系起来．在教学过程中要适当增加习题，设计不同层次的习题，让不同层次的学生得到不同程度的练习，以提高学生的解题能力和对一次函数与正比例函数的理解和掌握．3 一次函数的图象1．理解函数图象的概念，经历作图过程，初步了解作函数图象的一般步骤．理解一次函数的关系式与图象之间的对应关系，并熟练作出一次函数的图象．2．了解正比例函数y＝kx的图象的特点，会作正比例函数图象，理解一次函数及其图象的有关性质；进一步培养学生数形结合的意识和能力．重点能熟练地作出一次函数的图象，归纳作函数图象的一般步骤．难点理解一次函数的关系式与图象之间的对应系．一、情境导入课件出示题目：已知A，B两人在一次百米赛跑中，路程s(m)与赛跑时间t(s)的关系如图所示，你知道A，B两人所跑的路程s(m)与时间t(s)之间属于哪种函数关系吗？师：通过这节课的学习，同学们一定会有所了解. (板书课题)二、探究新知把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．一次函数y＝kx＋b的图象是怎样的呢？我们先研究较为简单的正比例函数的图象．1．正比例函数的图象．某地1千瓦时电费为0.8元，表示电费y(元)与所用电量x(千瓦时)之间的函数关系式是________，你能画出这个函数的图象吗？解：(1)确定自变量的取值范围．根据题意可知y＝0.8x，这是个实际问题，自变量的取值要使实际问题有意义，所以x≥0.(2)列表．取自变量x的一些值，算出相应的函数值，列成表格如下：师：x012345…y00.8 1.6 2.4 3.24…(3)描点．建立平面直角坐标系，以x的取值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出点O，A，B，C，D，E，…，如图所示．(4)连线．观察描出的这几个点，它们的位置关系是怎样的？学生观察这些点会得出这些点在一条直线上，由于自变量的取值范围是x≥0，因此我们猜想这个函数的图象是以原点为端点的一条射线，数学上已经证明这个猜想是正确的，于是这个函数的图象如下图所示．注意：因为两点可以确定一条直线，因此，画正比例函数的图象时只需过原点(0，0)和点(1，k)画一条直线即可．2．正比例函数的性质．学生画出图象后，引导学生分析：正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是一条经过原点(0，0)的直线，我们称它为直线y＝kx.当k>0时，经过第一、三象限，从左往右升，即y 的值随x值增大而增大；当k<0时，经过第二、四象限，即y的值随x值的增大而减小.课件出示教材第85页“随堂练习”．学生独立完成，让学生根据图象说说这两个正比例函数的性质．3．一次函数的图象．正比例函数y＝－2x的图象是过原点的一条直线，那么一次函数y＝－2x＋1的图象又是怎样的呢？下面我们研究一次函数y＝kx＋b的图象．(1)课件出示教材第86页例2.师：①直线y＝－2x和直线y＝－2x＋1是什么位置关系？②一次函数y＝kx＋b的图象有什么特点？你是怎样理解的？③根据上面的函数图象，怎样比较简单地画出一次函数y＝－2x＋3的图象？一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线，因此画一次函数图象时，只要确定两个点，再过这两点画直线就可以了．一次函数y＝kx＋b的图象也称为直线y＝kx＋b.(2)课件出示教材第86页“做一做”．注意：画图象时让学生表示出所画函数的关系式，以便于区分．(3)课件出示教材第87页“议一议”．解：①函数y＝2x＋3和y＝5x－2都是y随x的增大而增大，相应图象上点的位置逐渐升高．函数y＝－x和y＝－x＋3都是y随x的增大而减小，相应图象上点的位置逐渐降低．②直线y＝－x与直线y＝－x＋3互相平行，将直线y＝－x向上平移3个单位长度就变为直线y＝－x＋3了．当k≠0，b≠0或k＝0，b≠0时，直线y＝kx＋b与y＝kx平行；当k≠0，b＝0或k＝0，b＝0时，直线y＝kx＋b与y＝kx重合．③直线y＝2x＋3和直线y＝－x＋3与y轴相交于同一点(0，3)．直线y＝kx＋b与y轴交点的纵坐标就是b的值，一般能从函数y＝kx＋b的图象上直接看出b的数值．总结：一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，b)．当k>0时，y的值随着x值的增大而增大；当k<0时，y的值随着x值的增大而减小．拓展：(1)直线y＝kx＋b(k≠0，b≠0)与直线y＝kx(k≠0)的位置关系：①直线y＝kx＋b平行于直线y＝kx；②当b>0时，把直线y＝kx向上平移b个单位长度，可得直线y＝kx＋b；③当b<0时，把直线y＝kx向下平移|b|个单位长度，可得直线y＝kx＋b.(2)一次函数y1＝k1x＋b1与y2＝k2x＋b2中：若k1＝－k2，b1＝b2，则两直线关于y轴对称；若k1＝－k2，b1＝－b2，则两直线关于x轴对称；若k1＝k2，b1≠b2，则两直线平行．三、练习巩固教材第87页“随堂练习”第1～3题．四、小结1．正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过原点的一条直线．通常画正比例函数y＝kx(k≠0)的图象时，只取一点(1，k)，然后过原点和这一点画直线即可．2．正比例函数y＝kx(k≠0)的性质.k的取值k<0k>0图象图象特征过点(0，0)和(1，k)的直线变化规律y随x的增大而减小y随x的增大而增大3.一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，b)，当k>0时，y的值随着x值的增大而增大；当k<0时，y的值随着x值的增大而减小．五、课外作业1．教材第85页习题4.3第1～4题．2．教材第87～88页习题4.4第1～5题．本节课利用数形结合的思想引入新课，通过学生的自主探索与合作交流得到正比例函数的图象和性质，使学生易于接受新知识．通过例题的讲解，加深了学生对正比例函数的图象和性质的理解，提高了学生应用正比例函数的图象和性质解题的能力．一次函数的图象和性质是在正比例函数的基础上进行学习的，研究一次函数的图象和性质，除了借助图象本身去分析外，还应该注重引导学生思考k值对函数的图象和性质的影响，只有深刻领会k值的影响，才能从更深层次理解一次函数的图象及性质.4 一次函数的应用第1课时 一次函数的表达式1．了解两个条件确定一个一次函数，一个条件确定一个正比例函数．2．能由两个条件求出一次函数的表达式，由一个条件求出正比例函数的表达式，并解决有关实际问题．重点根据所给信息确定一次函数的表达式．难点用一次函数的关系式解决有关实际问题．一、情境导入课件出示：小红同学受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作．师：你能根据以上信息求出放入小球后量筒中水面的高度与小球个数之间的关系吗？学了本节内容后，你就能轻松解决了．二、探究新知1．一次函数的表达式．课件出示题目：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v (m/s)与其下滑时间t (s)的关系如图所示.(1)写出v与t之间的关系式；(2)下滑3 s时物体的速度是多少？分析：要求v与t之间的关系式，首先应观察图象，确定它是正比例函数的图象，还是一次函数的图象，然后设出函数关系式，再把已知的坐标代入关系式，求出待定系数即可．2．确定表达式所需的条件．课件出示教材第89页“想一想”．学生讨论得出：确定一次函数的表达式需要两个条件，确定正比例函数的表达式只需要一个条件．说明：①一次函数的表达式y＝kx＋b有两个常数k，b，要求出k和b的值需要两个条件，而正比例函数中b＝0，只需求k，所以只需一个条件．②因为一次函数的图象是一条直线，两点确定一条直线．所以需要两个条件，而正比例函数的图象是经过原点的一条直线．所以只需要一点就可以确定这条直线．三、举例分析课件出示教材第89页例1.分析：因为一次函数的图象是一条直线，两点确定一条直线，所以需要两个条件，而正比例函数的图象是经过原点的一条直线，所以只需要确定另外一点坐标就可以确定这条直线的关系式．拓展：利用待定系数法确定一次函数的关系式，其步骤为：一设：根据题意，先设出函数关系式为y ＝kx ＋b(k ≠0)；二代：确定两对对应值或图象上两个点的坐标，分别代入函数关系式，得到关于k ，b 的两个方程；三解：求出k ，b 的值(暂时可以通过等量代换的方式去求两个未知数)；四定：最后确定函数关系式．四、练习巩固1．教材第89～90页“随堂练习”1～3题．2．补充练习：(1)一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧后剩下的长度y cm 与燃烧时间x h 的函数关系用图象表示为下图中的( )(2)一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，那么k ，b 的值分别是( )A ．k ＝－1，b ＝1B ．k ＝－2，b ＝1C ．k ＝1，b ＝1D ．k ＝2 ，b ＝1(3)一个正比例函数的图象经过点(2，－3)，则其表达式是( )A ．y ＝－xB ．y ＝－x32C ．y ＝2x D ．y ＝－3x(4)已知直线l 经过点(0，3)和点(3，0)，求直线l 的函数表达式．五、小结确定一次函数表达式的方法：由问题的实际意义直接确定出函数表达式的一般形式：若为正比例函数，则设其表达式为y ＝kx(k ≠0)，代入一个除原点以外的点的坐标，求出k 的值，即可确定函数表达式；若为一般的一次函数，则设其表达式为y ＝kx ＋b(k ≠0)，代入两个点的坐标，求出k ，b 的值，从而确定一次函数的表达式．六、课外作业教材第90页习题4.5 第1～4题．确定函数表达式看似简单，但学生在刚刚接触到这个问题的时候往往无从下手．本节课正是基于这点认识，借助引例，首先从方法上指导学生确定函数表达式，即从判断类型、确定k值(或k和b的值)两个方面确定函数表达式．由于学生此时尚没有学到二元一次方程组，对于确定一次函数表达式存在一定的困难，教师可以建议学生用“代换”的方式，转化为一元一次方程，以此求出一次函数表达式当中的两个未知数，进而确定一次函数的表达式．第2课时 单一一次函数图象的应用1．能通过单一一次函数图象获取信息，进一步训练学生的识图能力．2．能利用单一一次函数图象解决简单的实际问题，进一步发展学生的数学应用能力．重点单一一次函数图象的应用．难点从函数图象中正确读取信息．一、复习导入师：在前几节课里，我们分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的特征，并且了解到一次函数的应用十分广泛，和我们日常生活密切相关，因此本节课我们一起来学习一次函数图象的应用．二、探究新知1．单一一次函数图象的应用．(1)课件出示教材第91页图4－7和题目．分析：①原蓄水量就是图象与纵轴交点的纵坐标．②求干旱持续10天时的蓄水量，也就是求t等于10时所对应的V的值．当t＝10时，V约为1 000万m3.同理可知当t为23时，V约为750万m3.③当蓄水量小于400万m3时，即V小于400万m3，所对应的t值约为40天．④水库干涸也就是V为0，函数图象与横轴交点的横坐标即为所求．当V为0时，所对应的t的值约为60天．(2)课件出示教材第91页例2.分析：①函数图象与x轴交点的横坐标即为摩托车行驶的最长路程，与y轴交点的纵坐标即为最多储油量．②x从0增加到100时，y从10开始减少，减少的数量即为行驶100 km消耗的油量．③当y<1时，摩托车将自动报警．2．一次函数与一元一次方程．(1)课件出示教材第92页“做一做”．学生独立完成．(2)课件出示教材第92页“议一议”．可以从“数”和“形”的方面引导学生讨论．生：函数y＝0.5x＋1与x轴交点的横坐标即为方程0.5x＋1＝0的解．总结：一般地，当一次函数y＝kx＋b的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程kx＋b＝0的解．从图象上看，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交点的横坐标就是方程kx＋b＝0的解．三、练习巩固教材第92页习题4.6第1题．四、小结一次函数图象的应用：(1)准确读图，找到图象与x轴、y轴的交点，根据这些关键点解题．(2)在实际问题中，注意自变量的取值范围，在画图和读图时也要注意．五、课外作业教材第93页习题4.6第2～3题．函数和我们的生活密切相关，函数图象可以直观地反映一些规律，对函数图象的理解，其关键是弄清函数图象上的点的意义，即横坐标与纵坐标的意义，渗透数形结合的数学思想．本节课采取学生通过小组合作交流获取信息，应用所学的知识解决有关一次函数的问题的方式进行．教学时还可以根据学生的实际情况，结合函数图象提出相应的实际问题．第3课时 两个一次函数图象在同一坐标系中的应用1．通过观察函数图象，能够从两个一次函数图象中获取信息，理解函数图象交点的实际意义．2．通过函数图象，解决实际问题．重点利用图象解决实际问题．难点从函数图象中提炼出有用的信息．一、情境导入课件出示题目：学校每月的复印任务原来由甲复印社承接，按每100页40元计费．现乙复印社表示：若学校先按月付给一定数额的承包费，则可按每100页15元收费．两复印社每月收费情况如图所示.根据图象回答：(1)乙复印社每月的承包费是多少？(2)当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同？(3)如果每月复印页数在1 200页左右，那么应选择哪个复印社？师：我们能不能运用一次函数解决一些比较复杂的问题呢？二、探究新知两个一次函数图象在同一坐标系中的应用．(1)课件出示教材第93页图4－10和题目．师：横轴和纵轴分别表示的实际意义是什么？生：横轴表示销售量，纵轴表示销售收入和销售成本．师：l1对应的一次函数y＝k1x＋b1中，k1和b1的实际意义各是什么？l2对应的一次函数y＝k2x＋b2中，k2和b2的实际意义各是什么？学生小组讨论，根据图象加以说明：l1对应的函数关系式是y＝1 000x，1 000表示每销售1 t，销售收入是1 000元，这里的“b＝0”，说明该产品没销售时无收入；l2对应的函数关系式是y＝500x＋2 000，这里500表示的是销售量每增加1 t，销售成本增加500元，没销售时成本是2 000元．(2)课件出示教材第94页例3.独立尝试，并在小组内交流自己的结论．师：对学生的结果进行全班讲评，并让学生思考：通过刚才的观察，你有哪些认识？各抒己见，互相补充．师：观察图象解答问题时要明确坐标轴所表示的含义，要注意两直线的交点的意义，在横轴上的一定取值范围内，位于上方图象的函数值要比位于下方图象的函数值大．分析：本例题主要通过对函数图象的分析解决问题，首先要准确判断l1和l2哪个代表A，哪个代表B.从A和B的速度角度看，l1较陡，l2较平，这说明l1的速度快．如果l1和l2有交点，交点的坐标就能反映出追赶上的时间和距离海岸的距离．根据图中的坐标，可以求出两条直线的表达式，通过表达式就能正确解决问题．三、练习巩固1．如图所示，OA，BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动路程和时间，根据图象快者的速度比慢者的速度每秒快( )A．2.5 m B．2 m C．1.5 m D．1 m2．小明骑自行车从A地去B地，一段时间后小刚骑摩托车也从A地出发追赶小明，两人走的路程s(km)与小明骑行时间t(h)的关系如图所示．(1)________表示小明行驶的路程与时间的关系(填“l1”或“l2”);(2)小刚比小明晚出发________小时；(3)v小刚＝________，v小明＝________；(4)小刚出发________小时后追上小明.五、小结利用函数图象解决问题注意三个点：与x轴交点、与y轴交点、两直线的交点．六、课外作业教材第95～96页习题4.7第1～3题．本节课的教学重点是借助一个坐标系中两个函数图象去分析问题，难点是只根据函数图象而不是通过计算去解决问题．学生习惯于通过计算去解决问题，通过函数图象去解决问题的机会比较少．本节课正是基于上述原因，在教学的过程中围绕教材中设立的问题，给学生扩充了问题或者提示，较好地解决了学习过程中的难点问题．。