高一数学指数函数及其性质1
4.2.1指数函数的概念4.2.2指数函数的图象和性质课件高一上学期数学人教A版
1 2 3 4 5 6
2.函数y=2-x的大致图象是( B )
解析 y=2 =
-x
1
.故选
2
B.
1 2 3 4 5 6
3.函数 y=
1
+1
2
的值域是( B )
A.(0,+∞)
B.(1,+∞)
C.[1,+∞)
D.(0,1)
解析 因为
1 x
由幂函数、指数函数的单调性可知0.80.5<0.80.4,0.80.4<0.90.4,即0.80.5<0.90.4,
则D正确.故选AB.
(2)[人教 B 版教材例题]已知实数 a,b 满足
解 因为函数
3 x
y=(7) 在实数集
R
3 a
3 b
>
,试判断
7
7
Байду номын сангаас
6a 与 6b 的大小.
3 a 3 b
上是减函数,所以由(7) >(7) ,可知
趋近于0?
解 ①观察图象可知,当x=1时,c1>b1>a1,即c>b>a.
②底数越大,图象与直线x=1的交点的纵坐标越大.
角度3.画指数型函数的图象
【例2—3】 画出函数y=
1 ||
的图象,这个图象有什么特征?你能根据图象
2
指出它的值域和单调区间吗?
解 y=
1 ||
2
=
1
,
2
1 -
2
5
2
3
<
1
2
2
3
高一数学指数函数ppt课件
与对数式的转换、对数运算的性质等。
拓展延伸：挑战更高难度题目
复杂指数函数的性质研究
引入更复杂的指数函数形式，如复合指数函 数、分段指数函数等，探讨它们的性质和应 用。
指数函数在实际问题中的应 用
结合实际问题，如复利计算、人口增长等，展示指 数函数的应用价值，并引导学生运用所学知识解决 实际问题。
指数函数与其他数学知识 的综合应用
指数函数图像特征
当a>1时，图像在x轴上方，且随着x 的增大，y值迅速增大；当0<a<1时， 图像在x轴上方，但随着
当a>1时，指数函数在R上是增函数；当0<a<1时，指数函数在R 上是减函数。
指数函数的值域
指数函数的值域为(0, +∞)。
在解题时，要注意判断题目所给 条件是否满足对称性，以便更好
地应用这一性质。
05 复杂问题解决方 法与策略
分段讨论法在处理复杂问题时应用
分段讨论法概念
将复杂问题按照一定条件分成若 干段，每一段内问题相对简单，
易于解决。
分段讨论法应用
在处理指数函数问题时，当自变量 在不同区间内取值时，函数性质可 能发生变化，此时可以采用分段讨 论法。
数形结合思想概念
将数学中的“数”与“形”结合起来，通过图形 直观展示数量关系，帮助理解问题本质。
数形结合思想应用
在处理指数函数问题时，可以通过绘制函数图像 来观察函数性质，如单调性、周期性等。
数形结合思想优势
通过数形结合可以更加直观地理解问题，提高解 题准确性。
06 总结回顾与拓展 延伸
关键知识点总结回顾
幂的乘方规则
$(a^m)^n = a^{m times n}$，幂的乘方，底 数不变，指数相乘。
高一数学人必修件指数函数的图象和性质
在生物学领域，指数函数用于描述生物种群的繁殖速度。某 些生物种群的增长符合指数函数的规律，如细菌繁殖、昆虫 数量增长等。
其他领域应用案例
放射性衰变
在物理学中，指数函数用于描述放射性物质的衰变过程。放射性元 素的原子数量随时间呈指数减少。
化学反应速率
化学领域中，指数函数可用于描述某些化学反应的速率。反应速率 与反应物浓度的关系可以用指数函数表示。
同底数幂相乘
幂的乘方
底数不变，指数相加。即$a^m times a^n = a^{m+n}$。
底数不变，指数相乘。即$(a^m)^n = a^{m times n}$。
同底数幂相除
底数不变，指数相减。即$a^m div a^n = a^{m-n}$。
幂的乘方法则
1 2
正整数指数幂的乘法
$(a^m)^n = a^{m times n}$，其中$m, n$为 正整数。
指数函数图像与坐标轴交点
指数函数的图像与x轴没有交点，与y轴的交点是(0,1)。
指数函数性质总结
指数函数的单调性
当a>1时，指数函数在定义域 内单调递增；当0<a<1时，指 数函数在定义域内单调递减。
指数函数的奇偶性
指数函数既不是奇函数也不是 偶函数。
指数函数的值域
指数函数的值域是(0, +∞)。
形如y=a^x（a>0且a≠1）的函 数叫做指数函数。
指数函数表达式
y=a^x，其中a是自变量，x是指 数，y是因变量。
指数函数图像特征
指数函数图像形状
指数函数的图像是一条从坐标原点出发，向右上方或右下方无限 延伸的曲线。
指数函数图像位置
当a>1时，图像位于第一象限和第二象限；当0<a<1时，图像位于 第一象限和第四象限。
指数函数的图象与性质课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
3.探究函数 = 与 =
深理解；
两道题进一步促进形成
4.通过练习检测目标是否
用函数观点解决实际问
达成.
题的意识.
象与性质
1.用描点法或信息技术画函
数 = 的图象，归纳其
性质；
2.用描点法或信息技术化函
数 =
的图象归纳其性
的图象的关系，并用信
息技术验证.
小结
过程设计
性质.
过程设计
2设计意图
例 1 引导学生将每一组中的两个值可以
看作一个指数函数的两个函数值利用单
调性进行比较，引导学生总结规律方法.
通过应用函数的单调性比较大小，进一
步理解指数函数的单调性.例 2 引导学生
将实际问题转化为数学问题，通过建立
指数函数模型，培养学生数学建模能力
，使学生学习“有用的数学”.
2 思维与能力基础
学生在上一章学习了幂函数，知道研究具体函数基本思路及一般过程，即“背景-概念-图象和性质-
应用”，经历过利用图象归纳出函数性质的过程.本节的学习可采用类比的方法，引导学生发现研究的
对象，研究的内容、研究的方法.
3 思维与能力基础
指数函数性质的探索需要学生自行选择具体的函数，学生可能在底数的选取上没有思路，在得到
要求用信息技术画图；
3.增加了例4(利用图象分析和解决问题).
3.正文和习题中均没有图象和相关题目.
学情分析
1 知识基础
学生在前面学习了指数函数的概念，解析式，指数增长与指数衰减，在此基础上，能够根据解析
式采用描点法画出函数图象，能够根据指数增长与指数衰减两种类型，对a的取值进行讨论，研究指
高一数学指数函数的概念、图象与性质(解析版)
专题32 指数函数的概念、图象与性质1．指数函数的定义一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R. 温馨提示：指数函数解析式的3个特征： (1)底数a 为大于0且不等于1的常数． (2)自变量x 的位置在指数上，且x 的系数是1. (3)a x 的系数是1.2．指数函数的图象和性质a 的范围a ＞10＜a ＜1图象性质定义域 R 值域(0，＋∞)过定点 (0,1)，即当x ＝0时，y ＝1单调性 在R 上是增函数在R 上是减函数奇偶性 非奇非偶函数对称性函数y ＝a x 与y ＝a －x 的图象关于y 轴对称(1)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y 轴．当a >b >1时，①若x >0，则a x >b x >1；②若x <0，则1>b x >a x >0. 当1>a >b >0时，①若x >0，则1>a x >b x >0；②若x <0，则b x >a x >1. (2)指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象都在x 轴上方．(3)当a >1时，x →－∞，y →0；当0<a <1时，x →＋∞，y →0.(其中“x →＋∞”的意义是“x 趋近于正无穷大”)题型一 指数函数的概念1．下列各函数中，是指数函数的是( )A ．y ＝(－3)xB ．y ＝－3xC ． y ＝3x －1 D ．y ＝⎝⎛⎭⎫13x [解析]由指数函数的定义知a >0且a ≠1，故选D. 2．下列函数一定是指数函数的是( )A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝x 3 C ．y ＝3·2xD ．y ＝3－x[解析]由指数函数的定义可知D 正确． 3．下列函数中，指数函数的个数为( )①y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x；④y ＝⎝⎛⎭⎫122x －1. A ．0个 B ．1个 C ．3个D ．4个[解析]由指数函数的定义可判定，只有②正确．[答案] B 4．下列函数：①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3. 其中，指数函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析]形如“y ＝a x (a >0，且a ≠1)”的函数为指数函数，只有③符合，选B. 5．下列函数中，是指数函数的个数是( )①y ＝(－8)x；②y ＝2x 2－1；③y ＝a x ；④y ＝2·3x .A ．1B ．2C ．3D ．0[解析] (1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；②中指数不是自变量x ，而是x 的函数，所以不是指数函数； ③中底数a ，只有规定a >0且a ≠1时，才是指数函数； ④中3x 前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D. 6．指出下列哪些是指数函数．(1)y ＝4x ；(2)y ＝x 4；(3)y ＝－4x ；(4)y ＝(－4)x ；(5)y ＝πx ；(6)y ＝4x 2；(7)y ＝x x ；(8)y ＝(2a －1)x ⎝⎛⎭⎫a ＞12，且a ≠1. [解析] (2)是四次函数；(3)是－1与4x 的乘积；(4)中底数－4＜0；(6)是二次函数；(7)中底数x 不是常数． 它们都不符合指数函数的定义，故不是指数函数．综上可知，(1)(5)(8)是指数函数． 7．已知函数f (x )＝(2a －1)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________．[解析]由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2a －1>0，2a －1≠1，解得a >12，且a ≠1，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)． 8．函数y ＝(a －2)2a x 是指数函数，则( )A ．a ＝1或a ＝3B ．a ＝1C ．a ＝3D ．a >0且a ≠1[解析]由指数函数的概念可知，⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)2＝1，a >0，a ≠1，得a ＝3.9．函数f (x )＝(m 2－m ＋1)a x (a >0，且a ≠1)是指数函数，则m ＝________. [解析]∵函数f (x )＝(m 2－m ＋1)a x 是指数函数，∴m 2－m ＋1＝1，解得m ＝0或1. 10．若函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x 是指数函数，则a 的值是( )A ．4B ．1或3C ．3D ．1[解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ≠1，a 2－4a ＋4＝1，解得a ＝3，故选C.11．若函数f (x )＝(a 2－2a ＋2)(a ＋1)x 是指数函数，则a ＝________. [解析]由指数函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＋2＝1，a ＋1>0，a ＋1≠1，解得a ＝1.12．指数函数f (x )＝a x 的图象经过点(2,4)，则f (－3)的值是________． [解析]由题意知4＝a 2，所以a ＝2，因此f (x )＝2x ，故f (－3)＝2－3＝18.13．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为________．[解析]由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝5，a 0＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝3，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x＋3，所以f (－2)＝⎝⎛⎭⎫12－2＋3＝4＋3＝7. 14．已知函数f (x )为指数函数，且f ⎝⎛⎭⎫－32＝39，则f (－2)＝________. [解析]设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，由f ⎝⎛⎭⎫－32＝39得a －32＝39，所以a ＝3，又f (－2)＝a －2， 所以f (－2)＝3－2＝19.15．若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝9，则f (－2)＝________，f (1)＝________. [解析]设f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，∵f (2)＝9，∴a 2＝9，a ＝3，即f (x )＝3x . ∴f (－2)＝3－2＝19，f (1)＝3.16．若点(a,27)在函数y ＝(3)x 的图象上，则a 的值为( )A. 6 B ．1 C ．2 2D ．0[解析]选A 点(a,27)在函数y ＝(3)x 的图象上，∴27＝(3)a ， 即33＝3a 2，∴a2＝3，解得a ＝6，∴a ＝ 6.故选A.17．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12ax ，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2)，则a ＝________，若g (x )＝4－x－2， 且g (x )＝f (x )，则x ＝________.[解析]因为函数的图象过点(－1,2)，所以⎝⎛⎭⎫12－a＝2，所以a ＝1，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ， g (x )＝f (x )可变形为4－x －2－x －2＝0，解得2－x ＝2，所以x ＝－1. 18．已知f (x )＝2x ＋12x ，若f (a )＝5，则f (2a )＝________.[解析]因为f (x )＝2x ＋12x ，f (a )＝5，则f (a )＝2a ＋12a ＝5.所以f (2a )＝22a ＋122a ＝(2a )2＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝⎝⎛⎭⎫2a ＋12a 2－2＝23. 19．若f (x )满足对任意的实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2020)f (2019)＝( )A ．1010B ．2020C ．2019D ．1009[解析]不妨设f (x )＝2x ，则f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝…＝f (2020)f (2019)＝2，所以原式＝1010×2＝2020.题型二 指数函数的图象及其应用1．y ＝⎝⎛⎭⎫34x的图象可能是( )[解析]0<34<1且过点(0,1)，故选C.2．函数y ＝3－x 的图象是( )A B C D[解析]∵y ＝3－x＝⎝⎛⎭⎫13x，∴B 选项正确．3．函数y ＝2－|x |的大致图象是( )[解析]y ＝2－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥0.2x ，x <0，画出图象，可知选C. 4．函数y ＝a －|x |(0<a <1)的图象是( )A B C D[解析]y ＝a－|x |＝⎝⎛⎭⎫1a |x|，易知函数为偶函数，∵0<a <1，∴1a>1，故当x >0时，函数为增函数，当x <0时，函数为减函数，当x ＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A. 5．函数y ＝－2－x 的图象一定过第________象限．[解析]y ＝－2－x ＝－⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 关于x 轴对称，一定过第三、四象限． 6．函数f (x )＝a x－b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0[解析]从曲线的变化趋势，可以得到函数f (x )为减函数，从而有0<a <1；从曲线位置看， 是由函数y ＝a x (0<a <1)的图象向左平移|－b |个单位长度得到，所以－b >0，即b <0. 7．已知0<m <n <1，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )[解析]由于0<m <n <1，所以y ＝m x 与y ＝n x 都是减函数，故排除A 、B ，作直线x ＝1与两个曲线相交， 交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C.8．若a >1，－1<b <0，则函数y ＝a x ＋b 的图象一定在( )A ．第一、二、三象限B ．第一、三、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、二、四象限[解析]A,∵a >1，且－1<b <0，故其图象如图所示．]9．若函数y ＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )A ．0<a <1，且b >0B ．a >1，且b >0C ．0<a <1，且b <0D ．a >1，且b <0[解析]函数y ＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象是由函数y ＝a x 的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以a ∈(0,1)．若经过第二、三、四象限，则需将函数y ＝a x (0<a <1)的图象向下平移至少大于1个单位长度，即b －1<－1⇒b <0.故选C.10．若函数y ＝a x ＋m －1(a ＞0)的图象经过第一、第三和第四象限，则( )A ．a ＞1B ．a ＞1，且m ＜0C ．0＜a ＜1，且m ＞0D ．0＜a ＜1[解析]选B,y ＝a x (a ＞0)的图象在第一、二象限内，欲使y ＝a x ＋m －1的图象经过第一、三、四象限，必须将y ＝a x 向下移动．当0＜a ＜1时，图象向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，故只有当a ＞1时，图象向下移动才可能经过第一、三、四象限．当a ＞1时，图象向下移动不超过一个单位时，图象经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图象恰好经过原点和第一、三象限，欲使图象经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m －1＜－1，所以m ＜0，故选B. 11．函数f (x )＝a x 与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是( )[解析]当a >1时，函数f (x )＝a x 单调递增，当x ＝0时，g (0)＝a >1，此时两函数的图象大致为选项A. 12．二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫b a x的图象可能是( )[解析]二次函数y ＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2－b 24a ，其图象的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－b 2a ，－b 24a ，由指数函数的图象知0<ba<1， 所以－12<－b 2a <0，再观察四个选项，只有A 中的抛物线的顶点的横坐标在－12和0之间．13．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是()[解析]由函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象可知0<a<1，b<－1，所以函数g(x)＝a x＋b是减函数，排除选项C、D；又因为函数图象过点(0,1＋b)(1＋b<0)，故选A.14．如图是指数函数①y＝a x，②y＝b x，③y＝c x，④y＝d x的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为()A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c[解析](1)解法一：由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.作直线x＝1，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数，则1<d<c，b<a<1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c.解法二：根据图象可以先分两类：③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近x轴．15．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．[解析]作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0.16．函数y＝a x－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．[解析]因为指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝a x－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝a x－3＋3的图象过定点(3,4)．17．函数y＝2a x＋3＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点________．[解析]令x＋3＝0得x＝－3，此时y＝2a0＋2＝2＋2＝4.即函数y＝2a x＋3＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点(－3,4)．18．当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝a x＋1－1的图象一定过点()A．(0,1) B．(0，－1)C ．(－1,0)D ．(1,0)[解析] 当x ＝－1时，显然f (x )＝0，因此图象必过点(－1,0)．19．已知函数y ＝2a x －1＋1(a >0且a ≠1)恒过定点A (m ，n )，则m ＋n ＝( )A ．1B ．3C ．4D ．2[解析]选C,由题意知，当x ＝1时，y ＝3，故A (1,3)，m ＋n ＝4. 20．函数y ＝a 2x ＋1＋1(a >0，且a ≠1)的图象过定点________． [解析]令2x ＋1＝0得x ＝－12，y ＝2，所以函数图象恒过点⎝⎛⎭⎫－12，2. 21．若函数y ＝2－|x |－m 的图象与x 轴有交点，则( )A ．－1≤m ＜0B ．0≤m ≤1C ．0＜m ≤1D ．m ≥0[解析]易知y ＝2－|x |－m ＝⎝⎛⎭⎫12|x |－m .若函数y ＝2－|x |－m 的图象与x 轴有交点，则方程⎝⎛⎭⎫12|x |－m ＝0有解， 即m ＝⎝⎛⎭⎫12|x |有解．∵0＜⎝⎛⎭⎫12|x |≤1，∴0＜m ≤1. 22．已知f (x )＝2x 的图象，指出下列函数的图象是由y ＝f (x )的图象通过怎样的变化得到：(1)y ＝2x ＋1；(2)y ＝2x －1；(3)y ＝2x ＋1；(4)y ＝2－x ；(5)y ＝2|x |. [解析] (1)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向左平移1个单位得到．(2)y ＝2x－1的图象是由y ＝2x 的图象向右平移1个单位得到．(3)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向上平移1个单位得到．(4)∵y ＝2－x 与y ＝2x 的图象关于y 轴对称，∴作y ＝2x 的图象关于y 轴的对称图形便可得到y ＝2－x的图象．(5)∵y ＝2|x |为偶函数，故其图象关于y 轴对称，故先作出当x ≥0时，y ＝2x 的图象，再作关于y 轴的对称图形，即可得到y ＝2|x |的图象．23．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，且a ≠1)．(1)若f (x )的图象如图①所示，求a ，b 的值； (2)若f (x )的图象如图②所示，求a ，b 的取值范围；(3)在(1)中，若|f (x )|＝m 有且仅有一个实数根，求m 的取值范围．[解析] (1)f (x )的图象过点(2,0)，(0，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ＝0，a 0＋b ＝－2，又因为a ＞0，且a ≠1，所以a ＝3，b ＝－3.(2)f (x )单调递减，所以0＜a ＜1，又f (0)＜0.即a 0＋b ＜0，所以b ＜－1. 故a 的取值范围为(0,1)，b 的取值范围为(－∞，－1)．(3)画出|f (x )|＝|(3)x －3|的图象如图所示，要使|f (x )|＝m 有且仅有一个实数根， 则m ＝0或m ≥3.故m 的取值范围为[3，＋∞)∪{0}．题型三 指数函数的定义域与值域1．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝1－3x ；(2)y ＝21x －4 ; (3)y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x | ; (4)y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3；(5)y ＝4x ＋2x ＋1＋2. [解析] (1)要使函数式有意义，则1－3x ≥0，即3x ≤1＝30，因为函数y ＝3x 在R 上是增函数，所以x ≤0， 故函数y ＝1－3x 的定义域为(－∞，0]．因为x ≤0，所以0<3x ≤1，所以0≤1－3x <1， 所以1－3x ∈[0,1)，即函数y ＝1－3x 的值域为[0,1)． (2)要使函数式有意义，则x －4≠0，解得x ≠4. 所以函数y ＝21x －4的定义域为{x |x ≠4}．因为1x －4≠0，所以21x －4 ≠1，即函数y ＝21x －4 的值域为{y |y >0，且y ≠1}．(3)要使函数式有意义，则－|x |≥0，解得x ＝0.所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |的定义域为{x |x ＝0}．因为x ＝0，所以⎝⎛⎭⎫23－|x | ＝⎝⎛⎭⎫230＝1，即函数y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |的值域为{y |y ＝1}． (4)定义域为R.∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4，∴⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3≤⎝⎛⎭⎫12－4＝16. 又∵⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3>0，∴函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3的值域为(0,16]． (5)因为对于任意的x ∈R ，函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2都有意义，所以函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的定义域为R. 因为2x >0，所以4x ＋2x ＋1＋2＝(2x )2＋2×2x ＋2＝(2x ＋1)2＋1>1＋1＝2， 即函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的值域为(2，＋∞)． 2．(1)求函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x -的定义域与值域；(2)求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2，x ∈[0,2]的最大值和最小值及相应的x 的值． [解析] (1)由x －2≥0，得x ≥2，所以定义域为{x |x ≥2}．当x ≥2时，x －2≥0， 又因为0＜13＜1，所以y ＝⎝⎛⎭⎫13x －2的值域为{y |0＜y ≤1}．(2)∵y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2，∴y ＝4·⎝⎛⎭⎫14x －4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2.令m ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则⎝⎛⎭⎫14x ＝m 2. 由0≤x ≤2，知14≤m ≤1.∴f (m )＝4m 2－4m ＋2＝4⎝⎛⎭⎫m －122＋1. ∴当m ＝12，即当x ＝1时，f (m )有最小值1；当m ＝1，即x ＝0时，f (m )有最大值2.故函数的最大值是2，此时x ＝0，函数的最小值为1，此时x ＝1. 3．函数y ＝2x －1的定义域是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，0]C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析]由2x －1≥0，得2x ≥20，∴x ≥0.[答案] C 4．函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x的定义域是________．[解析]由1－⎝⎛⎭⎫12x≥0得⎝⎛⎭⎫12x ≤1＝⎝⎛⎭⎫120，∴x ≥0，∴函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x的定义域为[0，＋∞)．5．若函数y ＝a x －1的定义域是(－∞，0]，则a 的取值范围为( )A ．a >0B ．a <1C ．0<a <1D ．a ≠1[解析]由a x －1≥0，得a x ≥a 0.∵函数的定义域为(－∞，0]，∴0<a <1.6．若函数f (x )＝a x －a 的定义域是[1，＋∞)，则a 的取值范围是( ) A ．[0,1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0,1)D ．(2，＋∞)[解析]∵a x －a ≥0，∴a x ≥a ，∴当a ＞1时，x ≥1.故函数定义域为[1，＋∞)时，a ＞1. 7．y ＝2x ，x ∈[1，＋∞)的值域是( )A ．[1，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析]y ＝2x 在R 上是增函数，且21＝2，故选B. 8．函数y ＝16－4x 的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)[解析]要使函数有意义，须满足16－4x ≥0.又因为4x ＞0，所以0≤16－4x ＜16， 即函数y ＝16－4x 的值域为[0,4)．9．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x(x ≥8)的值域是( )A ．R B.⎝⎛⎦⎤0，1256 C.⎝⎛⎦⎤－∞，1256 D.⎣⎡⎭⎫1256，＋∞[解析]因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在[8，＋∞)上单调递减，所以0<⎝⎛⎭⎫12x≤⎝⎛⎭⎫128＝1256. 10．函数y ＝1－2x ，x ∈[0,1]的值域是( )A ．[0,1]B ．[－1,0] C.⎣⎡⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎦⎤－12，0 [解析]∵0≤x ≤1，∴1≤2x ≤2，∴－1≤1－2x ≤0，选B.11．已知函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在[－2，－1]上的最小值是m ，最大值是n ，则m ＋n 的值为________．[解析]∵y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上为减函数，∴m ＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3，n ＝⎝⎛⎭⎫13－2＝9，故m ＋n ＝12. 12．函数y ＝⎝⎛⎭⎫1222x x －＋的值域是________． [解析]设t ＝－x 2＋2x ＝－(x 2－2x )＝－(x －1)2＋1≤1，∴t ≤1.∵⎝⎛⎭⎫12t ≥⎝⎛⎭⎫121＝12，∴函数值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 13．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－1的值域是________．[解析]∵x 2－1≥－1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－1≤⎝⎛⎭⎫12－1＝2，又y >0，∴函数值域为(0,2]．14．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0，－2－x ，x >0，则函数f (x )的值域是________． [解析]由x <0，得0<2x <1；由x >0，∴－x <0,0<2－x <1，∴－1<－2－x <0，∴函数f (x )的值域为(－1,0)∪(0,1)．15．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，其中a >0且a ≠1. (1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．[解析](1)∵f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，12，∴a 2－1＝12，则a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1，x ≥0.由x ≥0，得x －1≥－1，于是0<⎝⎛⎭⎫12x －1≤⎝⎛⎭⎫12－1＝2， 所以函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域为(0,2]．16．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a <b ，b ，a ≥b ，则函数f (x )＝3x ⊙3－x 的值域是________． [解析]当x >0时，3x >3－x, f (x )＝3－x ，f (x )∈(0,1)；当x ＝0时，f (x )＝3x ＝3－x ＝1； 当x <0时，3x <3－x ，f (x )＝3x ，f (x )∈(0,1)．综上， f (x )的值域是(0,1]．17．函数f (x )＝3x 3x ＋1的值域是________．[解析]数y ＝f (x )＝3x 3x ＋1，即有3x ＝－y y －1，由于3x ＞0，则－y y －1＞0，解得0＜y ＜1，值域为(0,1)． 18．若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值．[解析]当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 0－1＝2，a 2－1＝0无解． 当a ＞1时，函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝0，a 2－1＝2，解得a ＝ 3. 综上，a 的值为 3.19．已知f (x )＝9x －2×3x ＋4，x ∈[－1,2]．(1)设t ＝3x ，x ∈[－1,2]，求t 的最大值与最小值；(2)求f (x )的最大值与最小值．[解析](1)设t ＝3x ，∵x ∈[－1,2]，函数t ＝3x 在[－1,2]上是增函数，故有13≤t ≤9， 故t 的最大值为9，t 的最小值为13. (2)由f (x )＝9x －2×3x ＋4＝t 2－2t ＋4＝(t －1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t ＝1，且13≤t ≤9， 故当t ＝1时，函数f (x )有最小值为3，当t ＝9时，函数f (x )有最大值为67.。
高一数学必修教学课件第三章指数函数的图像和性质
对于形如$y = a^{bx}$的指数函数，可以通过伸缩基本指数函数的图像得到。具体地，当$b > 1$时，图像在纵 坐标方向上进行压缩，同时在横坐标方向上进行拉伸；当$0 < b < 1$时，图像在纵坐标方向上进行拉伸，同时 在横坐标方向上进行压缩。
图像特点总结与对比分析
指数函数图像特点
THANKS
感谢观看
阅读材料
推荐了一些与指数函数相 关的阅读材料，供学生课 后阅读，以拓宽视野。
下节课预习内容提示
下节课内容
简要介绍了下节课将要学 习的内容，包括指数函数 的运算性质和应用等。
预习要求
要求学生提前预习下节课 的内容，了解指数函数的 运算性质和应用场景，为 下节课的学习做好准备。
问题思考
提出了一些与下节课内容 相关的问题，引导学生进 行思考和预习。
解析
考察指数函数$y = 1.7^{x}$的单调性，由于底数大于1，函数在全体实数范围 内单调递增。因此，$1.7^{3} > 1.7^{2.5} > 1.7^{-1.5}$。
例题2
已知函数$f(x) = a^{x}(a > 0$且$a neq 1)$在区间$[-1,2]$上的最大值为4，最 小值为$m$，且函数$g(x) = (1 - 4m)sqrt{x}$在区间$[0, + infty)$上是单调函 数，求$a$和$m$的值。
明确任务要求
教师需要向学生明确任 务的要求，包括任务的 目标、完成时间、提交 方式等。
学生自主查阅资料及整理成果展示
1 2 3
学生自主查阅资料
学生可以利用图书馆、互联网等资源，自主查阅 与指数函数相关的资料，包括教材、参考书、学 术论文等。
高一数学：指数函数及其性质
目录
• 引言 • 指数函数的基本性质 • 指数函数的运算性质 • 指数函数的应用举例 • 指数函数的深入探究 • 复习与总结
01
引言
Chapter
指数函数的概念
指数函数是一种特殊的函数形式，形如$y=a^x$（ $a>0$，$a≠1$）的函数叫做指数函数。
指数函数中的自变量$x$位于指数位置，而底数$a$是一 个大于0且不等于1的常数。
指数函数与对数函数的关系
01
互为反函数
指数函数和对数函数是一对互为反函数的函数，它们的图像关于直线
y=x对称。这意味着对于任意的x和y，如果y是指数函数的结果，那么x
就是对数函数的结果；反之亦然。
02
转换关系
通过指数函数和对数函数之间的转换关系，可以将一些复杂的问题简化
。例如，在解决与复利、放射性衰变等相关的问题时，可以利用对数性
02
掌握运算法则
熟练掌握指数运算法 则，并能够灵活运用 。
03
多做练习题
通过多做练习题来加 深对知识点的理解和 记忆，提高解题能力 。
04
及时复习总结
学习完一个知识点后 要及时复习总结，形 成自己的知识体系。
THANKS
感谢观看
，即(am)n=am×n。
幂的开方
对于指数函数的开方运算，一般需 先计算出指数函数的值再进行开方 运算，但也可通过换元法或其他技 巧进行简化计算。
复合幂运算
对于复杂的幂运算，如幂的乘方再 开方等，需根据运算优先级和结合 律进行计算，也可通过换元法或其 他技巧进行简化计算。
04
指数函数的应用举例
Chapter
指数函数的除法运算
2014-2015学年高一数学必修1精品课件：2.1.2 指数函数及其性质 第1课时
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
2.1.2 指数函数及其性质 第1课时 指数函数及其性质
数学 必修1
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
自主学习 新知突破
数学 必修1
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
x
1 ，…在实数范围内函数值不存在． 16 (3)如果a＝1，那么y＝1x＝1是常量，对此就没有研究的必 要．
数学 必修1
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
指数函数的图象与性质
a>1 0<a<1
图象
定义域 值域 性 质 过定点 函数值的 变化 单调性
量．
数学 必修1
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
自主学习 新知突破 合作探究 的理由
x 当 x >0 时， a 恒为0； (1)如果a＝0，则 x 当 x <0 时， a 无意义.
1 1 1 (2)如果a<0，比如y＝(－2) ，这时对于x＝ ， ， ， 2 4 8
数学 必修1
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
合作探究 课堂互动
数学 必修1
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
指数函数的概念
若函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，求a的值． [思路探究]
1．判断一个函数是不是指数函数的依据是什么？
数学 必修1
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
高一数学必修一《指数函数及其性质》PPT课件
进行求解，也可以将对数方程转化为指数方程进行求解。
03
指数函数与对数函数在图像上的关系
指数函数的图像与对数函数的图像关于直线y=x对称。
02
指数函数运算规则
同底数指数运算法则
乘法法则
$a^m times a^n = a^{m+n}$，其中$a$是底数，$m$和$n$ 是指数。
除法法则
$a^m div a^n = a^{m-n}$，其中$a neq 0$。
分组让学生讨论指数函数的性质，如定义域、值域、 单调性、奇偶性等，并让他们尝试通过图像观察验证 这些性质。
问题导入
互动问答
通过具体案例，如“细菌繁殖”、“投资回报”等， 让学生应用指数函数的知识进行分析和计算，加深对
指数函数的理解。
案例分析
老师提出问题，学生抢答或点名回答，问题可以涉及 指数函数的计算、性质应用等，以检验学生的学习效 果。
放射性物质衰变模型
放射性物质衰变模型
01
N(t) = N0 * e^(-λt)，其中N(t)表示t时刻的放射性物质数量，
N0表示初始放射性物质数量，λ表示衰变常数。
指数函数在放射性物质衰变模型中的应用
02
通过指数函数可以描述放射性物质数量随时间减少的规律。
放射性物质衰变模型的意义
03
对于核能利用、环境保护等领域具有重要的指导意义。
单调性
当a>1时，指数函数在R上是增函数；当0<a<1时，指数函 数在R上是减函数。
指数函数与对数函数关系
01
指数函数与对数函数的互化关系
指数函数y=a^x（a>0且a≠1）与对数函数y=log_a x（a>0且a≠1）是
高一指数函数的知识点
高一指数函数的知识点指数函数是高一数学中重要的知识点之一，它在数学和实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍指数函数的定义、性质、图像以及解题方法，帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
一、指数函数的定义指数函数可以用以下形式来表示：f(x) = a^x，其中 a 为常数且不等于1。
在这个定义中，x 是自变量，a 是底数，f(x) 是函数值。
二、指数函数的性质1. 定义域和值域：指数函数的定义域是所有实数，值域是正实数。
2. 连续性：指数函数在定义域内是连续的。
3. 单调性：当底数 a 大于 1 时，指数函数是递增的；当底数 a在 0 和 1 之间时，指数函数是递减的。
4. 渐近线：指数函数的图像在 x 轴的负半轴上有一条渐近线 y= 0，即 x 趋近于负无穷时，函数值趋近于 0。
三、指数函数的图像1. 底数大于 1：当底数 a 大于 1 时，指数函数的图像呈现上升趋势。
当 x 为正数时，函数值随着 x 增大而不断增大；当 x 为负数时，函数值随着 x 减小而趋近于 0。
2. 底数在 0 和 1 之间：当底数 a 在 0 和 1 之间时，指数函数的图像呈现下降趋势。
当 x 为正数时，函数值随着 x 增大而趋近于 0；当 x 为负数时，函数值随着 x 减小而不断增大。
四、指数函数的解题方法1. 指数函数的性质可以应用于解决各类实际问题，如人口增长、放射性衰变等。
2. 在求解指数函数的方程时，可以运用对数的性质将指数方程转化为对数方程，然后用对数的解题方法求解。
通过本文的介绍，我们可以看到指数函数具有独特的性质和图像特点，能够帮助我们更好地理解数学和解决实际问题。
指数函数在高一数学中占据重要的地位，掌握了指数函数的知识，同学们将能够更加轻松地应对相关题目和考试。
希望同学们通过学习和实践，能够深入理解指数函数，并且能够熟练地运用到实际的数学和生活中。
4.2.2指数函数的图像和性质课件高一上学期数学人教A版【01】
答案：B
小试身手：
5、函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0 C．0<a<1，b>0
B．a>1，b>0 D．0<a<1，b<0
答案：D
小试身手：
6、 比较下列各组数的大小： ； ； ； (4)a与a(a>0且a≠1)．
0.35
-1
2
-0.5
0.71
0
1
1
0.5
1.41
1
2
1.5
2.83
2
4
思考探究
观察表格和图象，你发现了什么
结论 ：
底数互为倒数的两个指数函数的 图象关于y轴对称
思考探究
对于底数函数y=ax（a>0且a≠1），继续选取底数a的若干值，观
察函数的图象：（分别取a=2,3,4及 1 , 1 , 1 ） 234
学习目标
1. 运用描点法画指数函数的图像，运用图像来研究指数函 数的性质。
2．结合实例，体会从特殊到一般问题的研究方法。 3.能通过数形结合，解决定点、单调性等问题。
复习回顾
1. 指数函数的定义：
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量， 函数的定义域是R.
借助函数图像是了解函数性质最快的方法，如何 绘制函数图像呢？
规律小结：
比较幂的大小的方法：
1、同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较. 2、指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取 相同幂指数时可观察出函数值的大小. 3、底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数 比较，或借助“1”与两数比较. 4、当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论.
指数函数知识点高一上册
指数函数知识点高一上册指数函数是高中数学中的一个重要知识点，也是数学与实际问题结合的一个典型例子。
本文将围绕指数函数的定义、性质以及常见应用展开论述。
通过学习本文，读者可以对指数函数有一个全面而深入的理解。
一、指数函数的定义指数函数是以自然常数e为底的幂函数，记作y = a^x，其中a > 0且a≠1。
在指数函数中，a被称为底数，x被称为指数。
二、指数函数的性质1. 基本性质：指数函数的定义域为全体实数，值域为正实数。
2. 底数大于1时，指数函数是递增函数；底数介于0和1之间时，指数函数是递减函数。
3. 指数函数的图像在x轴上有一个水平渐近线y=0。
三、指数函数的图像特征指数函数的图像特征与底数的大小相关：1. 当底数a > 1时，指数函数的图像经过点（0,1），且随着x 的不断增大，图像逐渐趋近于x轴正半轴；2. 当0 < a < 1时，指数函数的图像经过点（0,1），且随着x的不断增大，图像逐渐趋近于x轴负半轴。
四、指数函数的常见应用1. 复利计算：指数函数常用于计算复利问题。
例如，一笔本金为P元，年利率为r，连续复利，n年后可得到的本利和为P(1+r)^n。
2. 自然增长和自然衰减：一些自然现象如细菌数量的增长和放射性物质的衰减，都可以用指数函数进行描述和分析。
3. 投资与财富增长：指数函数可用于描述投资增长的规律和财富的积累过程。
4. 电路中的电压和电流变化：指数函数可以用来描述电路中电压和电流随时间变化的规律。
五、指数函数的拓展应用除了上述常见应用外，指数函数还可以应用于更多领域：1. 生物学：描述生物种群的增长与衰减；2. 经济学：描述经济增长或衰退的模型；3. 物理学：描述衰变过程、弦的振动以及光强衰减等。
六、总结通过对指数函数的学习，我们了解了指数函数的定义、性质以及常见应用。
指数函数是数学与实际问题相结合的典型例子，在现实生活中有着广泛而重要的应用。
通过进一步深入研究指数函数，我们可以丰富数学知识，提高问题解决的能力。
高一指数函数整理知识点
高一指数函数整理知识点1. 指数函数的定义和性质- 指数函数的定义：指数函数是形如 f(x) = a^x 的函数，其中a 是一个实数且 a > 0，a ≠ 1，x 是实数变量。
- 指数函数的基本性质：- 当 a > 1 时，指数函数是递增的，图像从左下方向右上方延伸；- 当 0 < a < 1 时，指数函数是递减的，图像从左上方向右下方延伸；- 指数函数的图像都经过点 (0, 1)，因为 a^0 = 1；- 指数函数在定义域内的值都是正数。
2. 指数函数的图像和特殊函数- 幂函数：指数函数中 a 为正整数时，被称为幂函数。
幂函数的图像是一条通过点 (0, 1) 的递增曲线。
- 指数函数的特殊情况：- 当 a = e （自然对数的底）时，指数函数称为自然指数函数，用符号 y = e^x 表示。
自然指数函数在数学和科学中具有重要的应用。
- 当 a = 2 时，指数函数称为二次函数，用符号 y = 2^x 表示。
二次函数是一种特殊的指数函数。
3. 指数函数的图像变化- 缩放变化：当 a > 1 时，指数函数的图像在 x 轴方向上收缩；当 0 < a < 1 时，指数函数的图像在 x 轴方向上拉伸。
- 平移变化：加入常数 d 时，指数函数的图像在 y 轴方向上平移 d 个单位，表示为 f(x) = a^x + d。
- 反转变化：若 a < 1，则指数函数的图像关于 y = 0 轴对称。
4. 指数函数的求导- 求导规则：对于指数函数 f(x) = a^x，其导数为 f'(x) = (ln a)* a^x。
- 导数性质：指数函数的导数是它自身的实数倍数，并且导数大于零，说明指数函数是递增的。
5. 指数函数的应用- 复利问题：指数函数常常用于解决与复利计算相关的问题。
复利公式为 A = P(1 + r/n)^(nt)，其中 A 是最终金额，P 是本金，r是年利率，n 是计息次数，t 是时间。
指数函数的图象和性质教案(第一课时) 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
《指数函数的图象和性质（第一课时）》教学设计课例名称: 指数函数的图象和性质（第一课时）课时教学设计理念高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向。
因此该课时教学设计创设符合学生认知规律的问题探究，提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式，促进学生创新意识的发展。
该课时教学设计多种教学方法进行，注重信息技术与数学课程的深度融合，提高教学的时效性，提升学生应用数学解决实际问题的能力，提升数学核心素养的培养。
该课时教学设计关注学生的不同层次差异，设计有层次的学习内容，实现不同的学生在数学上得到不同的发展。
课时教学内容分析类比研究幂函数性质的过程和方法来进一步研究指数函数。
在同一直角坐标系内画出不同指数函数的图象，之后对所作的图象进行探讨，从“数”和“形”的角度得到：底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称。
从具体到一般，应用信息技术作出若干个底数a不同的值，观察图象的位置、公共点和变化趋势，找出共性，从而概括出指数函数的性质。
接下来对性质进行了如下的应用：利用指数函数的单调性比较大小。
通过构建函数，帮助学生进一步熟悉指数函数的性质，促使他们形成用函数观点解决问题。
总而言之，这节课的内容是观察图象、概括性质，由性质进一步认识图象。
即“以形助数”、“以数助形”，突出数形结合的思想方法，通过解析式、图象、性质等多元联系地认识函数的本质和函数模型的特征。
课时学情分析本课的学习对象为高一年级普通班的学生，处于初高中数学学习的衔接阶段。
通过前面三章的学习，学生对函数的概念与性质有了初步的认识，能够用函数的观点解决问题。
但是对于“比较大小化成同底并同时借助中间值的方法”的理解存在一定的困难。
学生对数学课的学习兴趣高，积极性强。
但学生在学习课堂上较为依赖老师的引导。
学生的群体性小组交流能力与协同讨论学习的能力不强，对学习资源和知识信息的获取、加工、处理和综合的能力一般。
课时教学目标新课程内容目标核心素养目标1.能用描点法或借助信息技术画出具体指数函数的图象.直观想象2.根据函数图象探索并理解指数函数的单调性.逻辑推理3.能够应用指数函数的图象和性质解决相关问题.数据分析数学运算数学抽象课时教学重点、难点教学重点：观察图象，概括性质.教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索，概括指数函数的性质.课时教学资源教学媒体：希沃教学一体机、摄影机、教学课件、几何画板、翻页笔等.工具：三角尺等素材：人教版高一数学必修1教材、教师教学用书、全优课堂、网络资源等.课时教学过程教学步骤教学活动设计意图组织形式【学习目标】向学生展示本课时新课程内容目标和数学核心素养要求.教师对本节课的目标要求作说明引导学生有了目标便明确了该课时学习的方向。
第1课时 指数函数及其图象、性质(一) 高一数学
坐标为
.
解析:(1)因为图象从左往右看是下降的,所以函数f(x)在定义
域上是减函数.所以0<a<1.
又由题中图象知0<f(0)<1,即0<a-b<1.又因为0<a<1,所以-b>0,
即b<0.故选D.
(2)当x+5=0,即x=-5时,a0-2=-1,即f(-5)=-1,故函数图象恒过定点
(4)若函数f(x)是指数函数,且f(1)>1,则f(x)是增函数.( √ )
合作探究·释疑解惑
探究一 与指数函数有关的函数的图象及其应用
【例1】 (1)已知函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,
则下列结论正确的是(
)
A.a>1,b<0
B.a>1,b>0
C.0<a<1,b>0
D.0<a<1,b<0
(2)对于底数不同,指数相同的两个幂值的大小,利用幂函数的
单调性来判断.
(3)对于底数不同,指数也不同的两个幂值的大小,利用中间值
来判断.
易 错 辨 析
忽视对底数的分类讨论致错
【典例】 若函数f(x)=ax+2(a>0,a≠1)在区间[-1,2]上的最大值
等于6,则实数a的值等于
.
【典例】 若函数f(x)=ax+2(a>0,且a≠1)在区间[-1,2]上的最大
故有0.80.9<0.80.8<0.90.8,即0.80.9<0.90.8.
比较下面两个数的大小:
必修一.指数函数及其性质
当 x < 0 时，y > 1； 当 x > 0 时，0< y < 1。
x
(1)定义域： R
相 性 同 点
质 不
同 点
(2)值域: （0，+∞）
(3)过点（0， 1 ）
(4)在R上是增函数
没有最值 没有奇偶性
(4)在R上是减函数
4 初步应用 巩固双基
例2：比较下列各题中两值的大小:
2.5 3
1.8
应用
⑤其它
3. 绘制图像 探索性质
3.1 绘制图像
1 x （1） 画出 y 2 的图像 （2） 画出 y ( ) 的图像 2
x
x -2 -1.5 y 0.25 x 2 1.5 1 0.5 y 0.25 0.35 0.5 0.71
0.35
0.5 0.71 1
-1
-0.5 0 0.5 1 1.5 2
有什么关系？
3. 绘制图像 探索性质
3.2 探索性质 ------------------------------------------------------------------------1 x 探究2：在同一直角坐标系再画出函数 y ( 3 )
和
y 3
x
的图像。
（1）观察图像，你能发现它们有哪些共同特征？ （2）观察图像，你能发现它们有哪些不同特征？ （3）在几何画板中改变底数a的值，观察第一象限内 各个指数函数的图像，你能发现底数a的变化规律吗？
y (1 7.3%) 1.073
x x
x N
*
, x 20
1 创设情境 ，引入新课
问题2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按 确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的 一半，这个时间称为“半衰期”．根据此规律，人们 获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系：
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呀，怎么搞的，小琴的谦卑语气没有了撒，取而代之的更像是一种老婆在极度关心老公的出差之后回到家的各种问候的语气。子溏帅哥也毫 不介意地回答小琴道，“嗯，顺利完成了。”自不必说，他又是很温柔的回答道。这声音真是一把利器啊，我在一旁也被寒得一身鸡皮疙瘩， 哪有女人能受得了啊。唔等一下，大少爷一起回来？但是我怎么看也就只有一个子溏愣在这里而已嘛！于是，我不自觉得到处张望，想找一 下传说中的大少爷。子溏貌似看出来我在做甚，于是就对我说道，“小兄弟，你不用再张望了，大少爷刚刚回去了。”说罢，便指着已经远 离我们但是还勉强能看到一些人影的人群方向，“最高的那个，就是我师傅！”纳尼！那个大彪悍是你的师父？不对，我们不是在说大少爷 吗？你怎么话题转得那么快啊？不对，纳尼！难道你的师父是大少爷？话说，这大少爷不应该是和丑妇人一个德行才对的吗？应该是又肥又 矮满脸狰狞样才对吧？此时，我心中正在激烈地翻滚着。小琴看我一脸惊讶状，就对一开始她下跪的那件事向我作了解释。原来，小琴是给 大少爷下跪的，而且这个大少爷不喜欢和不认识的人有什么眼神接触，难怪小琴把头埋得这么深。但是我们跪是跪下了，貌似这个大少爷没 有注意到我们俩的存在似的，直径走了过去。也许，这就是我们微不足道的表现的最好的例子了吧。虽然知道了大少爷是那个大汉了，但是 我就更好奇这个大少爷是干啥子的了。不是听说是个朝中大官吗？干嘛穿着一副侠士衣，而且他散发出来的就是去干架的那种气息。还有， 他和这位子溏兄去做任务？这是去打怪兽还是公会任务神马的啊？真心想不明白！子溏兄见我一直在思考什么东西，打趣地问了我话，“小 兄弟，你有什么不懂得地方吗？”惊！被他这么问一句我心中愣是一惊！这怎么能说我在无国界地天马行空地歪歪中呢？于是，我就说到， “没什么，我在发呆而已。”“嗯？这样啊。”此时子溏的声音听起来简直就是在怀疑我似的。难道，这个帅哥已经看出来了，看出来了我 不是这个时代的人？！“小琴，我先走一步了，还有事要忙。”说罢，子溏就咻的一声消失了。这个，这个子溏深不可测啊，说起话来能放 倒一片女人，问起话来又直中要害，貌似会读心术似的。这时，我转向小琴，发现她露出一脸依依不舍的样子，哎，这花痴时间还没结束吗？ 我带有取笑意味地对小琴说道，“子溏兄，你是不是要继续带我去熟悉熟悉你家宅子呢？”小琴听罢，回过神了，作一脸生气状，果然是被 我说到点子上去了，只能装怒去遮掩自己的难为情。然后带着我继续参观这大少爷宅子去了。花了半天时间，总算把这位大少爷的宅子给走 了一遍了。其实，这地方除了很大之外，也没有什么特别的地方
x
2 4 9
3 … 8 … 27 …
描点、连线
(1)
y=1
-4 -3
8 7 6 5 4 3 2 1
y=3
y=2
x
y=2-x
(2)
y=1
1 2 3 4 x -4 -3 -2 -1
-2 -1
0
0
1
2
3
4
x
(2)y=（1/2)x 与y=(1/3)x 的图象.
x
列表：
1 0.5 0.33 2 0.25 0.11 3 … 0.13 … 0.27 …
-x =a
1
x
y
y=a （a>1)
1
x
1
0
x
0
x
x
…
x
-x
-3
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
3
…
y=2
y=2
… 0.13 0.25 0.35 0.5 0.71 1
… 8 4 2.8 2
x
1.4
2
2.8
4
8
…
1.4
1 0.71 0.5 0.35 0.25 0.13 …
结论1：指数函数y=a 的图象与 y=( a ) 在同一坐标内关于y轴对称。
1 4
解指数不等式 练习2： 如果a
5 x
a
x7
(a 0, a 1),
求x的取值范围。
由最值求参数
世纪金榜第47页例4与互动探究
类型三
求函数的定义域与值域（最值）
EX1 : 求下列函数的定义域与 值域 (1) y 3
x2
1 (2) y ( ) 2
1 x
2 x (3) y ( ) 3
1
x
的图象
(1)
y=1
-4 -3
8 7 6 5 4 3 2 1 -2 -1
y
y=3
x
y=3
x
-x
y=2
y=2
-x
(2)
y=1
1 2 3 4 x -4 -3 -2 -1
8 7 6 5 4 3 2 1
y
0
0
1
2
3
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
(a>1)
(0<a<1)
结论2：⑴ 当底数a>1时，图象上升，且底数越大
时，图象向上越靠近于y轴。
8 7 6 5 4 3 2 1 -2 -1
y
y=2
x
-4 -3
0
1
2
3
4
x
1 (1)y 2 与(2) y 2
x
x
的图象关于y轴对称。
二、图象和性质
1、y=ax(a>0且a≠1)的代表图象及其一般 性质分析
例1、用描点法作出下列两组函数的 图象，然后写出其一些性质： (1) y=2 与 y=3 ; (2)
x y=(1/2) 与
x x
(a>1) (0<a<1)
x y=(1/3) .
(1) y=2 与 y=3 的图象.
x … -3 y=2x … 0.13 x y=3 … 0.037 -2 0.25 0.11
y
x
x
列表:
0 1 1 1 2 3 y=3 8 y
-x
7 6 5 4 3 2 1
-1 0.5 0.33
1 2 y
2 4
3 8
0.25 0.5
y=2
x
y=1
-4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
x
1 (2) y 2
x
x y
… …
-2 4
-1 2
0 1
1
0.5
2
0.25
… …
1 y= 2
x
y=1
-4 -3 -2 -1
8 7 6 5 4 3 2 1
y
0
1
2
3
4
x
x y=1 y=2
图象与方程 1.方程4 2 2 0的解是 ____
x x
(2)
y2
你注意解题步骤了吗?
1 2.(2007 上海春招)若x1 , x2为方程2 ( ) 2 的两个实数解 , 则x1 x2 ___
x
1 1 x
类型五
复合函数单调性问题
2 x 1
１.讨论下列函数的单调性
（见课本第57页 例8）
列表：
年份 1999 2000 2001 2002 … 1999+x
经过年数 0 1 2 3 … x
人口数/亿 13 13（1+1%）
13(1 1%)
2
13(1 1%)
…
3
13(1 1%)
x
由以上表格，可以方便地得到经过x年 后，我国的人口数为： x
y 13(1 1%)
x
类型一
指数函数定义的应用
练习: 世纪金榜第 46页例 1与变式训练 认真理解定义
过定点问题 函数f ( x) a
x 1
3的图象一定过
定点P, 则P点的坐标是____
动动手：
用描点法作出下列两组函数的图象，然后写出其一些性质：
(1)y 2
x
x y
… …
-2
-1
0 1
8 7 6 5 4 3 2 1
⑵当底数0<a<1时，图象下降，底数越小
时，图象向右越靠近于x轴。
世纪金榜第４８页第３题
练习 已知0 a 1, b 1, 则函数的 图象必不经过的是 ( ( A) 第一象限 (C )第三象限 ) ( B ) 第二象限 ( D) 第四象限
类型四
指数函数图象问题
x2
请画出函数图象并指出 单调区间 1 x (1) y ( ) 2
y2
2. 求下列函数单调区间 1 x 2 2 x 3 1 x 2 2 x 3 y( ) y( ) 2 2
能总结一下解题步骤吗？
1 1 3 x 1 y( ) y( ) 2 3
1 x
3.如果函数y a 2a 1(a 0且a 1)
2x x
在[1， 1]上的最大值为 14，求a的值。
常用的指数增长模型：
设原有总量为N，平均增长率为p,则对 于时间x的总量y可以用 y
x
N (1 p)
x
表示。
我们把形如： y ka (k R, a 0, 且a 1) 的函数称为指数型函数。
练习
世纪金榜第48页第4题
;
/ 银闪付 瀚银银闪付
… 2 2
x-2
×2=2 ×2=2
x
x-1
x-1 1 ( 2) x 1 ( 2)
…
x-1
x
∴
(1)
y=2
;
x 1 （2）S= ( 2 )
定义 函数
x y=a (a>0,且a≠1)
叫做指数函数，
其中自变量x∈R .
⑴定义域是R ⑵规定a>0且a≠1的理由