2022年浙教版初中数学七年级下册第四章因式分解章节测评试题(含答案及详细解析)

初中数学七年级下册第四章因式分解章节测评
（2021-2022学年 考试时间：90分钟，总分100分） 班级：__________ 姓名：__________ 总分：__________
一、单选题（15小题，每小题3分，共计45分） 1、下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A.ab +bc +b ＝b （a +c ）+b B.a 2
﹣9＝（a +3）（a ﹣3） C.（a ﹣1）2
+（a ﹣1）＝a 2
﹣a
D.a （a ﹣1）＝a 2
﹣a
2、下列由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A.（a ＋1）（a ﹣1）＝a 2
﹣1 B.a 2﹣6a ＋9＝（a ﹣3）2
C.a 2
＋2a ＋1＝a （a ＋2）＋1
D.a 2
﹣5a ＝a 2
（1﹣5
a
）
3、下列各式由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A.x 2
+xy ﹣4＝x (x +y )﹣4 B.2
(1)y x x y x x x
++=++
C.(x +2)(x ﹣2)＝x 2
﹣4
D.x 2﹣2x +1＝(x ﹣1)2
4、下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A.2(1)(1)1a a a -+=-
B.22
11()42
a a a ++=+
C.231(3)1a a a a +-=+-
D.26222(3)a ab a a a b ++=+
5、下列多项式中有因式x ﹣1的是（ ） ①x 2
+x ﹣2；②x 2
+3x +2；③x 2
﹣x ﹣2；④x 2
﹣3x +2
A.①②
B.②③
C.②④
D.①④
6、
()()()()
()
()()()()()
4
4444
4
4
4
4
4
549413417441
43
47411415439
4++++++++++的值为（ ）
A.
3941
B.
4139
C.
1353
D.353
7、对于任何整数a ，多项式()2
255a +-都能（ ） A.被3整除
B.被4整除
C.被5整除
D.被a 整除
8、下面从左到右的变形中，因式分解正确的是（ ） A.﹣2x 2
﹣4xy ＝﹣2x （x +2y ） B.x 2+9＝（x +3）2
C.x 2
﹣2x ﹣1＝（x ﹣1）2
D.（x +2）（x ﹣2）＝x 2
﹣4
9、下列各组式子中，没有公因式的是（ ） A.﹣a 2
+ab 与ab 2
﹣a 2
b B.mx +y 与x +y C.(a +b )2与﹣a ﹣b
D.5m (x ﹣y )与y ﹣x
10、把多项式﹣x 2
+mx +35进行因式分解为﹣（x ﹣5）（x +7），则m 的值是（ ） A.2
B.﹣2
C.12
D.﹣12
11、小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x ﹣1，a ﹣b ，3，x 2
+1，a ，x +1分别对应下列六个字：化，爱，我，数，学，新，现将3a （x 2
﹣1）﹣3b （x 2
﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A.我爱学
B.爱新化
C.我爱新化
D.新化数学
12、下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A.ax ＋bx ＋c ＝（a ＋b ）x ＋c B.（a ＋b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2
C.（a ＋b ）2
＝a 2
＋2ab ＋b 2
D.a 2
﹣5a ﹣6＝（a ﹣6）（a ＋1）
13、已知2x y -=，1
2
xy =，那么32233x y x y xy ++的值为（ ）
A.3
B.6
C.
132
D.
134
14、对于有理数a ，b ，c ，有（a +100）b ＝（a +100）c ，下列说法正确的是（ ） A.若a ≠﹣100，则b ﹣c ＝0 B.若a ≠﹣100，则bc ＝1 C.若b ≠c ，则a +b ≠c
D.若a ＝﹣100，则ab ＝c
15、小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：-a b ，x y -，x y +，a b +，
22x y -，22a b -分别对应下列六个字：勤，博，奋，学，自，主，现将()()222222
x y a x y b ---因式分
解，结果呈现的密码信息应是（ ） A.勤奋博学
B.博学自主
C.自主勤奋
D.勤奋自主
二、填空题（10小题，每小题4分，共计40分）
1、将12张长为a ，宽为b （a ＞b ）的小长方形纸片，按如图方式不重叠地放在大长方形ABCD 内，未被覆盖的部分用阴影表示，若阴影部分的面积是大长方形面积的13
，则小长方形纸片的长a 与宽b 的比值为 ___．
2、因式分解：42716a a ++=__．
3、已知a ＝2b ﹣5，则代数式a 2
﹣4ab ＋4b 2
﹣5的值是_____． 4、因式分解a 3
﹣9a ＝______________． 5、因式分解：x 3y 2－x ＝________
6、若20x y +-=，则代数式224x y y +-的值等于________．
7、将24a -分解因式________
8、因式分解：22421x y y ---=__________．
9、若2210m n -=，且2m n -=，则m n +=______． 10、分解因式：12a 2
b ﹣9a
c ＝___．
三、解答题（3小题，每小题5分，共计15分）
1、（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：
()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n a b m n +++=+++=+++=++．
①分解因式：1ab a b --+；
②若,a b ()a b >都是正整数且满足40ab a b ---=，求a b +的值；
（2）若,a b 为实数且满足40ab a b ---=，225
332s a ab b a b =+++-，求s 的最小值． 2、因式分解：
（1）5a a -； （2）22363ax axy ay ---． 3、因式分解： （1）2242x x -+ （2）481x -
---------参考答案----------- 一、单选题 1、B 【分析】
根据因式分解的定义逐项排查即可. 【详解】
解：根据因式分解的定义可知：A 、C 、D 都不属于因式分解，只有B 属于因式分解. 故选B.
本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解.
2、B
【分析】
根据因式分解的定义逐个判断即可.
【详解】
解：A.由左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.由左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C.由左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D.等式的右边不是整式的积的形式，即由左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B.
【点睛】
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解.
3、D
【分析】
根据因式分解的定义逐个判断即可.
【详解】
解：A.从等式左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.等式的右边不是整式的积，即从等式左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.从等式左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D.从等式左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
【点睛】
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解. 4、B 【分析】
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，据此解答即可. 【详解】
解：A 、是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； B 、符合因式分解的定义，是因式分解，故此选项符合题意； C 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意； D 、26222(31)a ab a a a b ++=++，分解错误，故此选项不符合题意； 故选：B. 【点睛】
本题考查了因式分解的知识，解答本题的关键是掌握因式分解的定义. 5、D 【分析】
根据十字相乘法把各个多项式因式分解即可判断. 【详解】
解：①x 2
+x ﹣2＝()()21x x +-；
②x 2
+3x +2＝()()21x x ++；
③x 2
﹣x ﹣2＝()()12x x +-；
④x 2
﹣3x +2＝()()21x x --.
∴有因式x ﹣1的是①④. 故选：D. 【点睛】
本题考查了十字相乘法因式分解，对于形如2x px q ++的二次三项式，若能找到两数a b 、，使a b q ⋅=，
且a b p +=，那么2x px q ++就可以进行如下的因式分解，即()()()22
x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++.
6、D 【分析】
观察式子中有4次方与4的和，将44x +因式分解，再根据因式分解的结果代入式子即可求解 【详解】
422222224(2)(2)(22)(22)[(1)1][(1)1]x x x x x x x x x +=+-=++-+=++-+
原式2222222
22222(41)(61)(81)(101)(401)(421)
(21)(41)(61)(81)(381)(401)
+++++
+++=+++++
+++
2242135321
+==+ 故答案为：353 【点睛】
本题考查了因式分解的应用，找到4224[(1)1][(1)1]x x x +=++-+是解题的关键. 7、B 【分析】
多项式利用完全平方公式分解，即可做出判断. 【详解】
解：原式()22
420255455a a a a =++-=++
则对于任何整数a ，多项式()2
255a +-都能被4整除. 故选：B. 【点睛】
此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键. 8、A 【分析】
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案. 【详解】
解：A 、把一个多项式转化成两个整式乘积的形式，故A 正确； B 、等式不成立，故B 错误； C 、等式不成立，故C 错误； D 、是整式的乘法，故D 错误； 故选：A. 【点睛】
本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别. 9、B 【分析】
公因式的定义：多项式ma mb mc ++中，各项都含有一个公共的因式m ，因式m 叫做这个多项式各项的公因式. 【详解】
解：A 、因为2()a ab a b a -+=-，22()ab a b ab b a -=-，所以2a ab -+与22ab a b -是公因式是()a b a -，故本选项不符合题意；
B 、mx y +与x y +没有公因式.故本选项符合题意；
C 、因为()a b a b --=-+，所以2()a b +与a b --的公因式是()a b +，故本选项不符合题意；
D 、因为5()5()m x y m y x -=--，所以5()m x y -与y x -的公因式是()y x -，故本选项不符合题意；
故选：B. 【点睛】
本题主要考查公因式的确定，解题的关键是先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公共因式. 10、B 【分析】
根据整式乘法法则进行计算﹣（x ﹣5）（x +7）的结果，然后根据多项式相等进行对号入座. 【详解】
解：∵﹣（x ﹣5）（x +7）＝2235x x --+， ∴2m =-， 故选：B. 【点睛】
此题主要考查了多项式的乘法法则以及多项式相等的条件，即两个多项式相等，则它们同次项的系数相等. 11、C 【分析】
把所给的式子运用提公因式和平方差公式进行因式分解，查看对应的字即可得出答案. 【详解】
解：()()22
3131a x b x ---
()()
2
-
=-
x a b
31
()()()
-，
=+-
311
x x a b
∵x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：化，爱，我，数，学，新，
∴结果呈现的密码信息可能是：我爱新化，
故选：C.
【点睛】
本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法和套用平方差公式.
12、D
【分析】
根据因式分解的定义对各选项进行逐一分析即可.
【详解】
解：A、ax＋bx＋c＝（a＋b）x＋c，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、a2﹣5a﹣6＝（a﹣6）（a＋1），等式的右边是几个整式的积的形式，故是因式分解，故此选项符合题意；
故选：D.
【点睛】
本题考查了分解因式的定义.解题的关键是掌握分解因式的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式.
13、D
【分析】
根据完全平方公式求出225x y +=，再把原式因式分解后可代入求值.
【详解】
解：因为2x y -=，12xy =，
所以()24x y -=，
22425x y xy +=+=
所以32233x y x y xy ++
()223xy x xy y =++
115322134⎛⎫=
+⨯ ⎪⎝⎭= 故选：D
【点睛】
考核知识点：因式分解的应用.灵活应用完全平方公式进行变形是解题的关键.
14、A
【分析】
将等式移项，然后提取公因式化简，根据乘法等式的性质，求解即可得.
【详解】
解：()()100100a b a c +=+，
()()1001000a b a c +-+=，
()()1000a b c +-=，
∴1000
-=，
b c
a+=或0
即：100
=，
a=-或b c
A选项中，若100
-=正确；
b c
a≠-，则0
其他三个选项均不能得出，
故选：A.
【点睛】
题目主要考查利用因式分解化简等式，熟练掌握因式分解的方法是解题关键.
15、A
【分析】
将式子先提取公因式再用平方差公式因式分解可得：（x2-y2）a2-（x2-y2）b2=（x2-y2）（a2-b2）=（x+y）（x-y）（a+b）（a-b），再结合已知即可求解.
【详解】
解：（x2-y2）a2-（x2-y2）b2
=（x2-y2）（a2-b2）
=（x+y）（x-y）（a+b）（a-b），
由已知可得：勤奋博学，
故选：A.
【点睛】
本题考查了因式分解的应用；将已知式子进行因式分解，再由题意求是解题的关键.
二、填空题
1、4
【分析】
用a ，b 分别表示出大长方形的长和宽，根据阴影部分的面积是大长方形面积的13，列式计算即可求解.
【详解】
解：根据题意得：AD =BC =8b +a ，AB =CD =2b +a ， ∵阴影部分的面积是大长方形面积的13， ∴非阴影部分的面积是大长方形面积的2
3， ∴()()2
82123b a b a ab ++=，
整理得：22880a ab b -+=，即()240a b -=，
∴4a b =，
则小长方形纸片的长a 与宽b 的比值为4.
故答案为：4.
【点睛】
本题主要考查了整式的混合运算的应用，以及因式分解的应用，解题的关键是弄清题意，列出长方形面积的代数式及整式的混合运算顺序与运算法则.
2、22(4)(4)a a a a +-++
【分析】
将2a 当作整体，对式子先进行配方，然后利用平方差公式求解即可.
【详解】
解：原式42222222816(4)(4)(4)a a a a a a a a a =++-=+-=+-++.
故答案是：22(4)(4)a a a a +-++.
【点睛】
此题考查了因式分解，涉及了平方差公式，解题的关键是掌握因式分解的方法，并将2a 当作整体，得到平方差的形式.
3、20
【分析】
将a =2b -5变为a -2b =-5，再根据完全平方公式分解a 2-4ab +4b 2-5=（a -2b ）2
-5，代入求解.
【详解】
解：∵a =2b -5，
∴a -2b =-5，
∴a 2-4ab +4b 2-5=（a -2b ）2-5=（-5）2-5=20.
故答案为：20.
【点睛】
此题考查的是代数式求值，掌握完全平方公式是解此题的关键.
4、(3)(3)a a a +-；
【分析】
先提取公因式a ，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案.
【详解】 a 3﹣9a ＝2(9)a a -=(3)(3)a a a +-
故答案为：(3)(3)a a a +-
【点睛】
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底.
5、x （xy ＋1）（xy －1）
【分析】
先提公因式x ，再根据平方差公式进行分解，即可得出答案.
【详解】
解： x 3y 2－x ＝x （x 2y 2
－1）＝x （xy ＋1）（xy －1）
故答案为x （xy ＋1）（xy －1）.
【点睛】
此题考查了因式分解的方法，涉及了平方差公式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键. 6、4
【分析】
直接利用已知代数式将原式得出x +y =2，再将原式变形把数据代入求出答案.
【详解】
解：∵x +y -2=0，
∴x +y =2，
则代数式x 2+4y -y 2=（x +y ）（x -y ）+4y
=2（x -y ）+4y
=2（x +y ）
=4.
故答案为：4.
【点睛】
此题主要考查了公式法的应用，正确将原式变形是解题关键.
7、()()22a a +-
【分析】
原式利用平方差公式分解即可.
【详解】
解：24a -
=()()22a a +-
故答案为：()()22a a +-.
【点睛】
此题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式是解本题的关键.
8、(21)(21)x y x y ++--
【分析】
先分组，然后根据公式法因式分解.
【详解】
22421x y y ---
224(21)x y y =-++
22(2)(1)x y =-+
(21)(21)x y x y =++--.
故答案为：(21)(21)x y x y ++--.
【点睛】
本题考查了分组分解法，公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解题的关键.
9、5
【分析】
将m 2-n 2
按平方差公式展开，再将m -n 的值整体代入，即可求出m +n 的值.
【详解】
解：22()()10m n m n m n -=+-=，
∵2m n -=，
∴5m n +=.
故答案为：5.
【点睛】
本题主要考查平方差公式，解题的关键是熟知平方差公式的逆用.
10、()343a ab c -
【分析】
根据提公因式法分解因式求解即可.
【详解】
解：12a 2b ﹣9ac ()343a ab c =-. 故答案为：()343a ab c -.
【点睛】
此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法.因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等.
三、解答题
1、（1）①()()11a b --；②8；（2）
4716
【分析】
（1）①根据题意分组分解即可；
②根据①的结论可得(1)(1)5a b --=，进而根据,a b ()a b >都是正整数，列二元一次方程组解决问题；
（2）先将s 利用分组分解法因式分解，再将已知条件整体代入，化为完全平方式，最后根据非负数的性质确定s 的最小值.
【详解】
解：（1）①1()(1)(1)(1)(1)(1)ab a b ab a b a b b a b --+=---=---=--
②由题15ab a b --+=即(1)(1)5a b --=
∵,a b 为正整数且a b >
∴1511a b -=⎧⎨
-=⎩ 即62a b =⎧⎨=⎩
∴8a b +=
（2）由题4ab a b =++ ∴225332s a ab b a b =+++-2253(4)32
a a
b b a b =+++++- 22221147612(3)()2416
a a
b b a b =++++=++++ ∵221(3)0,()04a b +≥+≥ ∴4716s ≥，当且仅当1
3,4a b =-=-时取等号 经验证当13,4a b =-=-时满足40ab a b ---=
综上，s 的最小值为
4716. 【点睛】
本题考查了提公因式法因式分解，分组分解法因式分解，二元一次方程组，非负数的性质，整体代入
是解题的关键.
2、（1）2(1)(1)(1)a a a a ++-；（2）23()a x y -+.
【分析】
（1）先提公因式a ，然后再利用平方差公式分解即可；
（2）先提公因式-3a ，然后再利用完全平方公式进行分解即可.
【详解】
解：（1）5a a -
=4(1)a a -
=22(1)(1)a a a +-
=()2(1)(1)1a a a a ++-；
（2）22363ax axy ay ---
=223(2)a x xy y -++
=23()a x y -+.
【点睛】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是熟练掌握并灵活运用提公因式法和公式法.
3、（1）22(1)x -；（2）2(9)(3)(3)x x x ++-
【分析】
（1）先提取公因式2，然后运用完全平方公式分解因式即可；
（2）运用平方差公式因式分解即可.
【详解】
解：（1）2
-+
242
x x
2
2(21)
=-+
x x
2
x
=-；
2(1)
（2）481
x-
22
x x
=+-
(9)(9)
2
=++-.
x x x
(9)(3)(3)
【点睛】
本题主要考查提公因式法与公式法因式分解，熟知完全平方公式与平方差公式的结构特点时解题的关键，注意结果要分解完全.。