抛物线的几何性质课件
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抛物线的性质ppt课件
x
p
2
P1
l
p
p
端点为
(
, p )
特别地, 当x1 x2 时, AB 2 p, 此时 AB 为抛物线的通径.
2
2
y
y
设P ( x0 , y0 )，
l
P
P1
F
P
O
l
则由抛物线的定义，
|PF| | P1 P | x0
p
2
设P ( x0 , y0 )，
P1
x
O
则由抛物线的定义，
p
y k ( x 1)
联立 2
得k 2 x 2 (2k 2 4) x k 2 0(k 0).
y 4x
4
4
x1 x2 2 2 . PQ PF QF x1 x2 2 4 2 8.
k
k 2 1. k tan [1,0) (0,1].
(1)若直线l的倾斜角为60, 求 AB 的值.
(2)若 AB 9, 求线段AB的中点M到准线的距离.
3
3
解 : (1) F ( ,0), l : y 3 ( x )
2
2
3
9
y 3( x ) 2
联立
2 得x 5 x 0. 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ).
F
B
p
AF AA' p AF cos AF (1 cos ) p AF
1 cos
p
BF p BF cos BF
1 cos
上－下+
为直线的倾斜角.
高中数学抛物线的几何性质总结课件
开口大小与函数值随x变化的幅度有关，开口越小，函数值变化幅度越小；开口 越大，函数值变化幅度越大。
开口方向与开口大小的关系
开口方向与开口大小的相互影响
开口方向和开口大小是相互影响的，一般来说，向上开口的抛物线开口会逐渐变小，向下开口的抛物线开口会逐 渐变大。
特殊情况下的关系
当a=0时，抛物线退化为一条直线，此时开口方向和大小无法定义。
04 抛物线的对称性
抛物线的对称轴
抛物线关于其对称轴对称，对称轴是 一条垂直于x轴的直线。
对称轴是抛物线几何性质的一个重要 特征，它决定了抛物线的形状和位置 。
对于标准形式的抛物线 y=ax^2+bx+c，其对称轴的方程是 x=-b/2a。
抛物线的对称中心
抛物线的对称中心是其顶点的位 置，顶点坐标可以通过二次函数 的顶点式y=a(x-h)^2+k得到。
抛物线上的任意一点 到焦点的距离等于该 点到准线的距离。
抛物线的标准方程
开口向右的抛物线方程为 $y^2 = 2px$，其中 $p$ 是焦 距。
开口向左的抛物线方程为 $y^2 = -2px$，其中 $p$ 是 焦距。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
抛物线的标准方程可以根据焦 点和准线的位置进行变换。
抛物线的几何性质
01
02
03
开口方向与函数值变化趋势
开口方向与函数值随x的变化趋势一致，向上开口时函数值随x增大而增大，向 下开口时函数值随x增大而减小。
抛物线的开口大小
开口大小与二次项系数的绝对值大小
开口大小由二次项系数的绝对值|a|决定，|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛 物线开口越大。
开口大小与函数值变化幅度的关系
开口方向与开口大小的关系
开口方向与开口大小的相互影响
开口方向和开口大小是相互影响的，一般来说，向上开口的抛物线开口会逐渐变小，向下开口的抛物线开口会逐 渐变大。
特殊情况下的关系
当a=0时，抛物线退化为一条直线，此时开口方向和大小无法定义。
04 抛物线的对称性
抛物线的对称轴
抛物线关于其对称轴对称，对称轴是 一条垂直于x轴的直线。
对称轴是抛物线几何性质的一个重要 特征，它决定了抛物线的形状和位置 。
对于标准形式的抛物线 y=ax^2+bx+c，其对称轴的方程是 x=-b/2a。
抛物线的对称中心
抛物线的对称中心是其顶点的位 置，顶点坐标可以通过二次函数 的顶点式y=a(x-h)^2+k得到。
抛物线上的任意一点 到焦点的距离等于该 点到准线的距离。
抛物线的标准方程
开口向右的抛物线方程为 $y^2 = 2px$，其中 $p$ 是焦 距。
开口向左的抛物线方程为 $y^2 = -2px$，其中 $p$ 是 焦距。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
抛物线的标准方程可以根据焦 点和准线的位置进行变换。
抛物线的几何性质
01
02
03
开口方向与函数值变化趋势
开口方向与函数值随x的变化趋势一致，向上开口时函数值随x增大而增大，向 下开口时函数值随x增大而减小。
抛物线的开口大小
开口大小与二次项系数的绝对值大小
开口大小由二次项系数的绝对值|a|决定，|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛 物线开口越大。
开口大小与函数值变化幅度的关系
抛物线的简单几何性质课件
生活中的抛物线结构
总结词
在建筑、工程和设计等领域中利用抛物线形状的结构。
详细描述
在现实生活中，抛物线结构被广泛应用于建筑、工程和 设计等领域。例如，在建筑设计中，抛物线形状的屋顶 可以有效地排水并保持适当的角度，以适应当地的气候 条件。在工程领域，抛物线结构可以用于桥梁设计，以 实现最佳的承重能力和稳定性。此外，在艺术和装饰领 域，抛物线结构也被广泛使用，如抛物线形状的雕塑和 装饰品等。
抛物线的简单几何பைடு நூலகம்质课件
目录
• 抛物线的定义 • 抛物线的性质 • 抛物线的应用 • 抛物线的几何性质 • 抛物线的画法
01
抛物线的定义
什么是抛物线
定义1
抛物线是一种二次曲线，它的一 般形式是 y2 = 2px，其中p>0。
定义2
抛物线是指满足y^2=2px(p>0) 形式的曲线。当p>0时，抛物线 开口向右，当p<0时，抛物线开 口向左。
抛物线的标准方程
01
抛物线的标准方程是 y^2 = 2px ，其中 p 是焦准距，x 是自变量 ，y 是因变量。
02
焦准距 p 决定了抛物线的形状和 位置。p 越大，抛物线的开口越 窄，p 越小，抛物线的开口越宽 。
抛物线的焦点与准线
焦点：对于开口向右的抛物线，焦点坐标为 (p, 0)，对于开口向左的抛物 线，焦点坐标为 (-p, 0)。
使用数学软件绘制抛物线
MATLAB
MATLAB 是一种流行的数学软 件，可以轻松地绘制各种图形， 包括抛物线。只需使用 MATLAB 的图形功能，输入抛物线的方程
即可。
GeoGebra
GeoGebra 是一款流行的几何 软件，提供了丰富的几何工具，
抛物线的简单几何性质ppt课件
所以开口向左，焦点坐标为
1 2
,
0
，准线为
x
1 2
，对称轴为
x
轴，
即 D 正确，ABC 错误.
2.若抛物线 y2 4x 过焦点的弦被焦点分成长为 m 和 n 两部分，则 m 与 n 的关系式
为( C )
A. m n 4
B. mn 4
C. 1 1 1 mn
D. 1 1 2 mn
解析：令过焦点的弦为 x ky 1，与抛物线交点分别为 A、B，
下面介绍另一种方法——数形结合的方法
在图中，设 A x1, y1 ， B x2, y2 .由抛物线的定义可知， AF 等于点 A 到准线的
距离 AA' .由 p
2， p 2
1 ，得 AA'
x1
BF
BB '
x2
p 2
x2 1 ，于是得 AB
p 2
x1
AF
1 .于是 AF x1 1 ，同理， BF =x1+x2 +p x1+x2 +2 .
4.已知抛物线 y2 8x 上一点 P 到准线的距离为 d1 ，到直线l : 4x 3y 12 0 的距离
D 为 d2 ，则 d1 d2 的最小值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：由抛物线 y2 8x 知，焦点 F 2,0 ，准线方程为l : x 2 ，根据题意作图如下；
点 P 到直线 l : 4x 3y 12 0 的距离为 PA ，到准线l1 : x 2 的距离为 PB ， 由抛物线的定义知： PB PF ， 所以点 P 到直线 l : 4x 3y 12 0 和准线l1 : x 2 的距离之和为 PF PA ，
数学选修课件第章抛物线的几何性质
）。
开口方向与宽度
开口方向
对于形如$y^2=2px$的抛物线，当$p>0$时，开口向右；当 $p<0$时，开口向左。对于形如$x^2=2py$的抛物线，当 $p>0$时，开口向上；当$p<0$时，开口向下。
宽度
抛物线的宽度与焦准距$p$有关。当$p$增大时，抛物线开口 变宽；当$p$减小时，抛物线开口变窄。
点为$F(0,p/2)$。
准线
对于形如$y^2=2px$的抛物线 ，其准线方程为$x=-p/2$；对 于形如$x^2=2py$的抛物线，
其准线方程为$y=-p/2$。
对称轴
对于形如$y^2=2px$的抛物线 ，其对称轴为$y=0$（即x轴） ；对于形如$x^2=2py$的抛物 线，其对称轴为$x=0$（即y轴
抛物线焦点与准线的应用
通过抛物线的焦点和准线，可以建立坐标系，将问题转化为坐标运 算，从而简化问题。
在三角函数问题中应用
抛物线参数方程与三角函数的关系
01
通过抛物线的参数方程，可以将三角函数问题转化为参数方程
问题，从而利用三角函数的性质进行求解。
抛物线顶点与三角函数最值的关系
02
利用抛物线的顶点坐标，可以求出三角函数的最值，进而解决
焦点弦两端点横坐标之积等于 $p^2/4$ 。
焦点弦长度计算公式推导
公式推导
设抛物线 $y^2 = 2px$（$p > 0$）上两点 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$， 且 $AB$ 为焦点弦，则有
证明
由抛物线定义可知 $|AF| = x_1 + p/2$， $|BF| = x_2 + p/2$，因此 $|AB| = |AF| + |BF| = x_1 + x_2 + p$。
开口方向与宽度
开口方向
对于形如$y^2=2px$的抛物线，当$p>0$时，开口向右；当 $p<0$时，开口向左。对于形如$x^2=2py$的抛物线，当 $p>0$时，开口向上；当$p<0$时，开口向下。
宽度
抛物线的宽度与焦准距$p$有关。当$p$增大时，抛物线开口 变宽；当$p$减小时，抛物线开口变窄。
点为$F(0,p/2)$。
准线
对于形如$y^2=2px$的抛物线 ，其准线方程为$x=-p/2$；对 于形如$x^2=2py$的抛物线，
其准线方程为$y=-p/2$。
对称轴
对于形如$y^2=2px$的抛物线 ，其对称轴为$y=0$（即x轴） ；对于形如$x^2=2py$的抛物 线，其对称轴为$x=0$（即y轴
抛物线焦点与准线的应用
通过抛物线的焦点和准线，可以建立坐标系，将问题转化为坐标运 算，从而简化问题。
在三角函数问题中应用
抛物线参数方程与三角函数的关系
01
通过抛物线的参数方程，可以将三角函数问题转化为参数方程
问题，从而利用三角函数的性质进行求解。
抛物线顶点与三角函数最值的关系
02
利用抛物线的顶点坐标，可以求出三角函数的最值，进而解决
焦点弦两端点横坐标之积等于 $p^2/4$ 。
焦点弦长度计算公式推导
公式推导
设抛物线 $y^2 = 2px$（$p > 0$）上两点 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$， 且 $AB$ 为焦点弦，则有
证明
由抛物线定义可知 $|AF| = x_1 + p/2$， $|BF| = x_2 + p/2$，因此 $|AB| = |AF| + |BF| = x_1 + x_2 + p$。
第七节 抛物线 课件(共48张PPT)
(4)|A1F|＋|B1F|＝2p. (5)以弦AB为直径的圆与准线相切．
题组一 小题自测 1．(人A选修2－1·习题改编)过点P(－2，3)的抛物线 的标准方程是( ) A．y2＝－92x或x2＝43y B．y2＝92x或x2＝43y C．y2＝92x或x2＝－43y D．y2＝－92x或x2＝－43y
考点2 抛物线的标准方程与几何性质
角度 求抛物线方程
[例2] (1)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标
原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面
积为4 3，则抛物线的方程为( )
A．y2＝6x
B．y2＝8x
C．y2＝16x
D．y2＝152π
(2)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C 上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方 程为( )
1．(2020·全国卷Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)
上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，
则p＝( )
A．2
B．3
C．6 D．9
解析：法一 因为点A到y轴的距离为9，所以可设
点A(9，yA)，
所以y2A＝18p.又点A到焦点p2，0的距离为12，
所以 9－p22＋y2A＝12，所以9－p22＋18p＝122，
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 解析：(1)设M(x，y)，因为|OF|＝p2，|MF|＝4|OF|， 所以|MF|＝2p， 由抛物线定义知x＋p2＝2p，所以x＝32p， 所以y＝± 3p.
又△MFO的面积为4 3，
抛物线的简单几何性质 课件
对称轴
_x_轴
_y_轴
顶点 性 质 焦点
准线
F(p ,0) ___2___ _x____p2_
_O_(_0_,_0_)_
F( p ,0) ____2____
_x___p2__
F(0, p) _____2__ yp ______2_
F(0, p) ______2__
y p ____2__
离心率
e=_1_
即又yx020y=02p2p(x0,xy∴∴00x)y00=2=21p,xp2+0(x0=-52p),.
p 2
因此直线AB的方程为x=5p .
2
【互动探究】题2中,若把“垂心”改为“重心”,AB的方程如 何? 【解析】根据抛物线的对称性,因为F为△OAB的重心,所以A,B 两点关于x轴对称.又根据重心的性质, ∵|OF|= p,
FA FB
【解题探究】1.判断直线与圆位置关系时最常用的方法是什 么? 2.什么是定值? 探究提示: 1.判断直线与圆的位置关系时,一般利用几何法进行判断,即判 断圆心到直线的距离与半径的大小. 2.定值就是代数式化简的结果与任何参数都无关.
【证明】1.如图,作AA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1,
抛物线的简单几何性质
抛物线的简单几何性质
标准方程
y2=2px (p>0)
y2=-2px (p>0)
x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)
图象
标准方程
y2=2px (p>0)
y2=-2px (p>0)
x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)
范围 _x_≥_0_,_y_∈__R_ _x_≤__0_,_y∈__R_ _x_∈__R_,_y_≥_0_ x_∈__R_,_y_≤__0_
抛物线的几何性质课件
通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交 于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。
通径的长度：2P
思考：通径是抛物线的焦点弦
中最短的弦吗？
例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分 （如图），光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆 的直径为60cm ，灯深40cm ，求抛物线的标准方程 和焦点位置．
解：取轴截面所在平面，以反光镜的顶点为原点，
垂直于灯口直径的直线为x轴建立坐标系
设抛物线方程为：y2 2 px
由已知A(40,30) 代入方程得
302 2p 40
解得 p 45
4
所得抛物线方程为
y2
45
x
焦点坐标为 ( 45 ,0) 2
8
练习
求满足下列条件的抛物线的方程
（1）顶点在原点，焦点是（0，－4）
与椭圆、双曲线一样，通过抛物线 的标准方程可以研究它的几何性质．
以抛物线的标准方程：y2 2 px( p 0)
来研究 它的几何性质．
新授内容
一、抛y 物线的范围: y2=2px P(x,y)
o F( p ,0) x
2
•X 0 y取全体实数
因为 p 0，由方程可知 x 0，所以抛物线在y轴的
三、抛物线的顶点 y2=2px
Y
定义 ：抛物线
与对称轴的交点，
叫做抛物线的顶
X点
只有一个顶点
抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方 程中，当 y 0 时 x 0 ，因此抛物线的顶点就是坐标 原点．
四、抛物线的离心率 y2=2px
Y
所有的抛物 线的离心率 X 都是 1
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，
通径的长度：2P
思考：通径是抛物线的焦点弦
中最短的弦吗？
例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分 （如图），光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆 的直径为60cm ，灯深40cm ，求抛物线的标准方程 和焦点位置．
解：取轴截面所在平面，以反光镜的顶点为原点，
垂直于灯口直径的直线为x轴建立坐标系
设抛物线方程为：y2 2 px
由已知A(40,30) 代入方程得
302 2p 40
解得 p 45
4
所得抛物线方程为
y2
45
x
焦点坐标为 ( 45 ,0) 2
8
练习
求满足下列条件的抛物线的方程
（1）顶点在原点，焦点是（0，－4）
与椭圆、双曲线一样，通过抛物线 的标准方程可以研究它的几何性质．
以抛物线的标准方程：y2 2 px( p 0)
来研究 它的几何性质．
新授内容
一、抛y 物线的范围: y2=2px P(x,y)
o F( p ,0) x
2
•X 0 y取全体实数
因为 p 0，由方程可知 x 0，所以抛物线在y轴的
三、抛物线的顶点 y2=2px
Y
定义 ：抛物线
与对称轴的交点，
叫做抛物线的顶
X点
只有一个顶点
抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方 程中，当 y 0 时 x 0 ，因此抛物线的顶点就是坐标 原点．
四、抛物线的离心率 y2=2px
Y
所有的抛物 线的离心率 X 都是 1
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，
抛物线的几何性质课件
率心离、5
)y,x(P
y
R ∈x 轴y 1 )0,0( 0≤y 0≥y R∈x R ∈y 0≤x R∈y 0≥x
�0>p�x 2 2 � y ) p �,0( F yp2- = x 2 p
l
F
O
2 2 �0>p� x ��y ) , 0 ( F p p yp2 =
2x
l F
y
O
y
F
轴x
2 2 �0>p�x � x )0, �( F p p xp2- = 2y
而
)y,x(P
y
x
)0,
2 (F p o
xp2 =
满 也 ) y � , x (点 于 由
称对
2y
.称对轴x于关)0>p( 线 物 抛 故 � x p 2 = 2y 足
)y,x(P
y
) y � ,x (
轴x于关
)y ,x (
性称对、2
。同不点顶个两 有线曲双,点顶个四有圆椭与这:注
x
)0, 2 (F p o
x l x
O
y y
F
2 �y p 2 ��y p 2 �x p 2 ��x p
线 准
F O
形 图
y
l
下向口开 上向口开 左向口开 右向口开
向方口开
1� x
2 3
1� � y )1,0( F
8 7
�y
) �,0( F 0 � y 7 � x 2
8 7
��x
线准
)0,1�( F
)0, ( F
2 3
x 4� � y
2
x
B A
.称对轴x于关BA段线即�| 2y |�| 1y | 得可此由
)y,x(P
y
R ∈x 轴y 1 )0,0( 0≤y 0≥y R∈x R ∈y 0≤x R∈y 0≥x
�0>p�x 2 2 � y ) p �,0( F yp2- = x 2 p
l
F
O
2 2 �0>p� x ��y ) , 0 ( F p p yp2 =
2x
l F
y
O
y
F
轴x
2 2 �0>p�x � x )0, �( F p p xp2- = 2y
而
)y,x(P
y
x
)0,
2 (F p o
xp2 =
满 也 ) y � , x (点 于 由
称对
2y
.称对轴x于关)0>p( 线 物 抛 故 � x p 2 = 2y 足
)y,x(P
y
) y � ,x (
轴x于关
)y ,x (
性称对、2
。同不点顶个两 有线曲双,点顶个四有圆椭与这:注
x
)0, 2 (F p o
x l x
O
y y
F
2 �y p 2 ��y p 2 �x p 2 ��x p
线 准
F O
形 图
y
l
下向口开 上向口开 左向口开 右向口开
向方口开
1� x
2 3
1� � y )1,0( F
8 7
�y
) �,0( F 0 � y 7 � x 2
8 7
��x
线准
)0,1�( F
)0, ( F
2 3
x 4� � y
2
x
B A
.称对轴x于关BA段线即�| 2y |�| 1y | 得可此由
《抛物线的性质》课件
向上和向下开口
当 a 大于 0 时，抛物线向 上开口；当 a 小于 0 时， 抛物线向下开口。
形状
抛物线的形状由 a 的绝对 值决定，绝对值越大，抛 物线越扁；绝对值越小， 抛物线越窄。
抛物线在实际生活中的应用
1
物理学
抛物线经常用于描述物体的运动轨迹，如抛体的抛物线轨迹，炮弹的抛物线轨迹 等。
2
摄影学
抛物线的美学形状使其成为拍摄照片时的理想景，尤其是拍摄桥梁、弧形建筑 物等。
3
天文学
许多天体运动的轨迹可以近似为抛物线，如天体飞掠、彗星轨迹等。
《抛物线的性质》
抛物线是一种具有特殊几何性质的曲线，具有许多令人惊叹的特点和应用。 在本次PPT课件中，我们将深入探讨抛物线的定义、方程、性质以及实际应 用。
抛物线的定义和基本方程
什么是抛物线？
抛物线是一种平面曲线，由一个定点（焦点）和一条定直线（准线）上的动点构成，动点 到焦点的距离等于准线上到动点的垂直距离。
抛物线的基本方程
一般来说，抛物线的标准方程为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数。
抛物线方程的性质
抛物线方程的系数 a 决定了抛物线的形状，b 决定了抛物线的位置，c 决定了抛物线的 y 轴 截距。
抛物线的焦点与直线性质
焦点
抛物线的焦点是指准线和抛物线的交点。焦点 是抛物线的重要属性，决定了其形状和特性。
1 顶点
抛物线的顶点是曲线的 最高或最低点，也是抛 物线的对称轴与曲线的 交点。
2 顶点坐标
抛物线顶点的坐标可以 通过将方程中的二次项 系数和一次项系数与 b/2a 相关联得到。
3 轴线
抛物线的轴线是通过焦 点和顶点的直线。轴线 是抛物线的另一个重要 性质。
抛物线的简单几何性质 课件
变量y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程,考虑该一元二次方程的
判别式,则有:
Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点;
Δ=0⇔直线与圆锥曲线相切;
Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离.
2.运用抛物线的定义解决问题
剖析:抛物线的离心率e=1,体现了抛物线上的点到焦点的距离等
于它到准线的距离,因此,涉及抛物线的焦点、过焦点的弦的问题,
求抛物线的方程.
分析:先确定抛物线方程的形式,再由条件用待定系数法求解.
=
解法一:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴,
则可设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p>0).
∵抛物线的焦点到顶点的距离为5,
∴ = 5, ∴ = 10.
2
∴所求抛物线的方程为y2=20x或y2=-20x.
解法二:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴.
=
2
, 1·y2=p·(-p)=-p2(定值).
4
(4)当 AB 与 x 轴不垂直时,由抛物线的定义,知
|AF|=x1+ , || = 2 + ,
2
2
2 + + 1 +
2
2
1 +
+
2 2 2
1
1
1
1
故
+
=
+
=
|| || +
+
1
2 2 2
1 + 2 +
1
+
|| ||
2
=
2
1
1
判别式,则有:
Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点;
Δ=0⇔直线与圆锥曲线相切;
Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离.
2.运用抛物线的定义解决问题
剖析:抛物线的离心率e=1,体现了抛物线上的点到焦点的距离等
于它到准线的距离,因此,涉及抛物线的焦点、过焦点的弦的问题,
求抛物线的方程.
分析:先确定抛物线方程的形式,再由条件用待定系数法求解.
=
解法一:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴,
则可设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p>0).
∵抛物线的焦点到顶点的距离为5,
∴ = 5, ∴ = 10.
2
∴所求抛物线的方程为y2=20x或y2=-20x.
解法二:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴.
=
2
, 1·y2=p·(-p)=-p2(定值).
4
(4)当 AB 与 x 轴不垂直时,由抛物线的定义,知
|AF|=x1+ , || = 2 + ,
2
2
2 + + 1 +
2
2
1 +
+
2 2 2
1
1
1
1
故
+
=
+
=
|| || +
+
1
2 2 2
1 + 2 +
1
+
|| ||
2
=
2
1
1
3.3.2抛物线简单几何性质 课件(共21张PPT)
2
y2
2
2
3 ，∴ 2 0 y 0 3 ∴y =2
1
2
的距离 d=1-（-
或 y =-6（舍去）
，∴x=
2
3
1
=
.
）
2
2
∵点 M 到抛物线焦点的距离等于点 M 到抛物线 y2=2x 的准线的距离，
3
∴点 M 到该抛物线焦点的距离为 2 .
y2
2
=1
7.设 P 是抛物线 y 2 4 x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点.
(x2, y2)
即时巩固
过点M(2,0)作斜率为1的直线l，交抛物线y2=4x于两点A、B，求焦点，求|AB|．
解：设A(1 ,1 ), B(2 ,2 ),
直线l为 = − 2，代入抛物线方程，得x2-8x+4=0，
∴ 1 +2 =8, 1 2 =4
∴ =
1 + 2 ∙
线准线的距离等于（
A.2
B.1
C ）
C.4
D.8
3.已知抛物线 y 2 2 px( p 0) 的准线与圆 ( x 3) 2 y 2 16 相切，则 p 的值为（ C ）
A.
1
2
B.1
C.2
D.4
4.抛物线 x 2 8 y 焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点， PA l ，A 为垂足，如果直线 AF 的倾
第一章
3.3
抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质
学习目标
1.了解抛物线的简单几何性质.
2.能运用抛物线的几何性Байду номын сангаас解决相关问题.
抛物线的几何性质优质ppt课件
在抛物线上，且坐标分别为A(x1,y1)、
B(x2,y2),则
又|OA|=|OB|，所以x 2+y 2=x 2+y 2 1122
o
即 x 2-x 2+2px -2px =0, (X 2-x 2)+2p(x -x )=0,
12
1
2
12
12
(x1-x2)(x1+x2+2p)=0. X1>0，X2>0，2p>0,
二、探索新知
如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
1、 范围
由抛物线y2 =2px（p>0）
有
所以抛物线的范围为
2、 对称性
关于x轴 对称
若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px， 则 (-y)2 = 2px
即点(x,-y) 也在抛物线上,
故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.
焦半径公式：|PF|=x0+p/2
下面请大家推导出其余三种标准方程 抛物线的焦半径公式。
补、焦点弦：
通过焦点的直线，与抛物
y
A
线相交于两点，连接这两点的
F
线段叫做抛物线的焦点弦。
O
B
x
焦点弦公式：
下面请大家推导出其余三种标准方程 抛物线的焦点弦公式。
方程 图
形 范围
y2 = 2px
（p＞0） y
所以： 因此所求抛物线标准方程为：
探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、 太阳灶的镜面都是抛物镜面。 抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。 灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变 成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的 设计原理。
抛物线的简单几何性质 完整版课件
y
O
x
三、判断位置关系方法总结(方法一) 把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程
直线与抛物线相交(一个 交点)
得到一元二次方程 计算判别式
>0
=0 <0
相交 相切 相离
三、判断位置关系方法总结(方法二) 判断直线是否与抛物线的对称轴平行
平行
不平行
计算判别式
直线与抛物线相交(一个交 点)
>0
=0 <0
直线与椭圆
把直线方程代入椭圆方程
得到一元二次方程
计算判别式
>0
=0
<0
相交 相切 相离
直线与双曲线
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相交（一个交点）
得到一元二次方程
计算判别式
>0
=0 <0
相交 相切 相离
1、已知抛物线关于x轴为对称轴,它的顶点在坐标 原点,并且经过点 M(2,2 2),求它的标准方程.
一、温故知新
抛物线四种形式的标准方程及其性质
标准方程 y2=2px (p>0)
y2=-2px (p>0)
x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)
图形
范围 对称轴
x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
x轴
x轴
y轴
y轴
还有啥?
标准方程 y2=2px (p>0)
焦点坐标
准线方程 顶点坐标 O(0,0) 离心率 e=1
y2=-2px (p>0)
x2=2py (p>0)