经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型

ˆ 其能够很好的拟合样本数据。 Yi 为别 解释变量的估计值，它是由参数估计 量和解释变量的观测之计算得到的。 那么，被解释变量的估计值与观测值 应该在总体上最为接近。
根据被解释变量的估计值于观测值应该在 总体上最接近的原则，给出判断标准是二者 之差的平方和最小，即 n ˆ min ˆ ˆ Q (Y Y ) 2 (2.3.1)
i
2 ˆ 1 ~ N 1 , x2 i
X i2 2 ˆ 0 ~ N 0 , 2 n xi
ˆ
2

e i , 2 e i , 2 e i ˆ n2 ˆ n n
支出随收入变化的简单散点图如下：
回归的现代解释
研究某一变量（被解释变量）与另一 个或多个变量（解释变量）间的因果 关系。用解释变量的已知值来估计和 预测因变量的总体平均值。
Y 0 1 X
Y E (Y | X )
•由于客观经济现象的复杂性
随机误差项主要包括以下因素的影响
0
1 xi i ) xi ( 0 1 xi i ) xi n x 2i ( xi ) 2

n1 x 2i n xx i 1 ( xi ) 2 i xi n x 2i ( xi ) 2
ˆ E1
同样可证明
0 1
其中e被称为样本残差。
§2.2 一元线性回归模型的基本假设
yi 0 1xi i i 1,2,, n
1.对模型设定的假设 假设1：回归模型是正确设定的 2.对解释变量的假设 假设2：解释变量是确定的变量，不是随机变量,解 释变量之间互不相关。 假设3：解释变量X在所抽取的样本中具有变异性， 而且随着样本容量的无限增加，解释变量X的样 本方差趋于一个非零的有限常数
第二章 经典单方程计量经济学模型： 一元线性回归模型
线性回归模型的特征
历史渊源： 皮尔逊（Karl Pearson）搜集了一千 多个家庭成员身高的记录，发现身体高的 父亲一组，儿子们身高平均低于他们父亲 的身高，身体矮的父亲一组，儿子们平均 身高高于他们父亲的身高，这样，儿子的 高矮趋向所有人的平均身高，即“回归到 普通人”。
在如此假设条件下，可以推出
E ( i ) 0 Var(i ) 2
假设5：随机误差项与解释变量之间不相关， 即 Cov( xi , i ) 0 假设6：随机误差项服从0均值、同方差的正 态分布。即
i | X i ~ N (0, 2 )
i 1,2,, n
§2.3一元线性回归模型的参数估计
§2.1 回归分析概述 一、回归分析基本概念 1. 变量之间的相互关系 2. 相关分析与回归分析
两个变量总体相关系数公式
两个变量的样本
相关系数公式
回归分析是研究一个变量关于另一个变量的依 赖关系的计算方法和理论。目的在于通过后者 的已知或者设定值，去顾及或预测前者的均值。 分为解释变量（自变量）和被解释变量（因变 量）。 回归分析包含的内容： （1）根据样本进行模型参数估计，得回归方 程； （2）对回归方程、参数估计值的显著性检验； （3）利用回归方程进行分析、评价、预测。
x 1 Xi , n
Xi Xi X ,
y 1 Yi n
Y Yi Y
若再记
则有
ˆ ˆ 0 y 1 x ˆ Yi X i 1 X 2i
二、最大似然法（ML,Maximum Likelihood）
考虑在一组分布中使得样本出现的可能性最 大的分布为我们所求。 对于 yi 0 1xi i ( i 1,2,, n)
在同族中抽取n对父-子的身高, 即有n对数据: (X1,Y1), (X2,Y2), … , (Xn,Yn). Yk a + bXk , 1kn. Yk ~ a + bXk , 1kn --男人平均身高. 由上式得 Yk - ~a + bXk - ~ a +(b-1) + b(Xk -) ~c+ b(Xk -) (注意=(1-b)+b ,c= a +(b-1) ,0<b<1)
ˆ E 0 0
ˆ E1 1
ˆ E
2
2
3.有效性：所有无偏估计量中具有最小方差； 4.渐近无偏性，随着样本容量增加，估计量均值收 敛于总体真值； 5.一致性：随着样本容量的增加，估计量依概率收 敛于总体真值； 6.渐进有效性：随着样本容量的增加，估计量在所 有一致估计量中是否具有最小的方差。 在经典线性回归假设下，最小二乘估计量是具有最 小方差的线性无偏估计量，也就是具有所有有限 样本性质。
2 x i yi xi yi xi y x ˆ ˆ 2 2 1 0 n x i ( xi ) n yx y x ˆ 1 ix2i ix2 i n i ( i )
可见其与用最小二乘估计方法获得的估计量相同，因 此有相同的性质。关于方差的最大或然估计为满足下 式的量 2 L* 0 可得
f ( yi )
2
1
exp{
1 2 2
ˆ ˆ ( yi 0 1xi )2} i 1,2, n
联合密度（似然函数）
ˆ ˆ L( 0 , 1, ) f ( y1,, yn )
1 n ( 2 ) n / 2
exp{
1 2 2
ˆ ˆ 2 ( yi 0 1xi ) }
Yi n 0 1 X i (2.3.3) Yi X i 0 X i 1 X 2 i
解得：
其中
X 2i Yi X i Yi X i y X ˆ ˆ 2 2 1 n X i ( X i ) 0 ˆ n Yi X2i Yi X i 1 n X i ( X )2 i

2 ˆ 1 n
ˆ x )2 ( yi 0 ˆ1 i
三、参数估计的矩法（MM）
矩估计（Method of Moment）思想:由
Ei 0 Cov( xi , i ) E( xi i ) 0 使用相应的样本矩条件可写成
1 n 1 n
整理后可得与正规方程组（2.3.2）相同的组式， 故矩估计法与普通最小二乘法及极大似然法有相 同的结果。
证明：
由
2 x i yi xi yi xi y x ˆ ˆ 2 2 0 1 n x i ( xi ) ˆ n yi x2i yi 2xi 1 n x i ( x ) i
ˆ 对 1 进一步推导有
n ( ˆ 1
( n x2i ( xi )2 ) 1 n x2i ( xi )2
1
ˆ E(0 ) 0
五、参数估计量的概率分布及随机干扰项方 差的估计
ˆ ˆ 1.参数估计量 0 和 1 的概率分布 在随机干扰正态分布的假定下，有
2. 随机干扰项 的方差 2 的估计 ˆ 记 ei yi yi 为第 i 个样本观测点的残差，则随机 误差项方差的最小二乘、极大似然和MM估计量分 别为 2 2 2

表2.1.1 某社区家庭每月可支配收入与消费支出统计表 每月家庭可支配收入X 800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 每月家庭消费Y 561 638 869 1023 1254 1408 1650 1969 2090 2299 594 748 913 1100 1309 1452 1738 1991 2134 2321 627 814 924 1144 1364 1551 1749 2046 2178 2530 638 847 979 1155 1397 1595 1804 2068 2266 2629 935 1012 1210 1408 1650 1848 2101 2354 2860 968 1045 1243 1474 1672 1881 2189 2486 2871 1078 1254 1496 1683 1925 2233 2552 1122 1298 1496 1716 1969 2244 2585 1155 1331 1562 1749 2013 2299 2640 1188 1364 1573 1771 2035 2310 1210 1408 1606 1804 2101 1430 1650 1870 2112 1485 1716 1947 2200 2002 共计 2420 4950 11495 16445 19305 23870 25025 21450 21285 15510
一、普通最小二乘原理 OLS(ordinary least square) 给定一元线性回归模型
设由获得的样本观测值 ( yi , xi ) ( i 1,2,, n) 去估计计量经济模型中的未知参数，
Yi 0 1 X i
0 , 1
i 1 i i
由于
ˆ Q (Yi Yi ) 2
i 1 n n
ˆ ˆ (Yi - ( 0 1 X i ))2
1
是待估参数的二次非负函数，因此其极小值 总存在。 Q 0 0 Q 1 0 易得
( 0 1 X i Yi ) 0 (2.3.2) ( 0 1 X i Yi ) X i 0
Ei 0 Di 2 i 1,2,, n i 1,2,, n
i ~ N (0, 2 ) i 1,2,, n 则对随机抽取的样本在获得参数估计值时，
应服从如下的正态分布
2 ˆ ˆ y i ~ N ( 0 1 x i , )
则其概率密度为
•未知因素的影响；