高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念学案新人教B版必修4
高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念示范教案新人教B版必修
2.1.1 向量的概念示范教案教学分析1．本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大．位移、速度、力等物理量学生都学过，这里仅是列出这些物理量让学生感知矢量，为进一步学习向量的概念作铺垫．由于向量来源于物理，并且兼具“数”和“形”的特点，所以它在物理和几何中具有广泛的应用．可通过几个具体的例子说明它的应用．位移、速度、力等是物理中的基本量，也是几何研究的重要对象．几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置．位移简明地表示了点的位置之间的相对关系，它是向量的重要的物理模型．力是常见的物理量．重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量．物理中还有其他力，让学生举出物理学中力的其他一些实例，目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系，以此更加自然地引入向量概念，并建立学习向量的认知基础．2．引出向量的概念后，为了使学生更好地理解向量概念，可采用与数量概念比较的方法，引导学生认识年龄、身高、长度、面积、体积、质量等量是“只有大小，没有方向的量”，同时给出“时间、路程、功是向量吗？速度、加速度是向量吗？”的思考题．通过这样的比较，可以使学生在区分相似概念的过程中更深刻地把握向量概念．实数与数轴上的点是一一对应的，数量常常用数轴上的一个点表示．教科书通过类比实数在数轴上的表示，给出了向量的几何表示——用有向线段表示向量．用有向线段表示向量，赋予了向量一定的几何意义．有向线段使向量的“方向”得到了表示，那么向量的大小又该如何表示呢？一个自然的想法是用有向线段的长度来表示．从而引出向量的模、零向量及单位向量等概念，为学习向量作了很好的铺垫．3．数学中，引进一个新的量后，首先要考虑的是如何规定它的“相等”，这是讨论这个量的基础．如何规定“相等向量”呢？由于向量涉及大小和方向，因此把“长度相等且方向相同的向量”规定为相等向量是非常自然的．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的方向和大小，就可以任意平行移动．因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，这为用向量处理几何问题带来方便，并使平面上的向量与向量的坐标得以一一对应．教学时可结合例题、习题说明这种思想．4．共线向量和平行向量是研究向量的基础，由此可以将一组平行向量平移(不改变大小和方向)到一条直线上，这给问题的研究带来方便．教学中，要使学生体会两个共线向量并不一定要在一条直线上，只要两个向量平行就是共线向量，当然，在同一直线上的向量也是平行向量．要避免向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线相混淆，教学中可以通过对具体例子的辨析来正确掌握概念．三维目标1．通过物理中的位移、速度、力等矢量，利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性，理解平面向量的概念以及确定平面向量的两个要素，搞清数量与向量的区别．2．理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量、零向量等概念，并能判断向量之间的关系．并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量．3．通过本节学习，培养学生从数学的角度思考生活中实际问题的习惯．加强数学的应用意识，切实做到学以致用．用联系、发展的观点观察世界．重点难点教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、向量的模、相等向量、共线向量的概念；会表示向量；知道如何用向量确定点的位置．教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别与联系．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.先引导学生阅读本章引言并观察思考章头图，然后提出问题：在同一时刻，老鼠由A向西北方向的C处逃窜，猫在B处向正东方向的D处追去，猫能否追到老鼠呢(如图1)？学生马上得出结论：追不上，猫的速度再快也没用，因为方向错了．教师适时设问：如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课的探究．图1思路2. 创设实物情境，回忆物理相关知识，让学生思考：两列火车先后从同一站台沿相反方向开出，各走了相同的路程，怎样用数学式子表示这两列火车的位移？中国象棋中规定马走“日”，象走“田”，让学生在图上画出马、象走过的路线，从物理知识位移的视角观察思考，并由此展开新课，这也是一个不错的导入选择．推进新课新知探究位移的概念提出问题回忆初中物理课中，我们学过的“位移”“速度”“力”等物理概念，让学生举出我们日常生活中有关“位移”“速度”“力”的实例.位移”“速度”“力”这些量的共同特征是什么？位移”“速度”“力”等量与长度、面积、质量等量有哪些不同？即数量与矢量的本质区别在哪里？活动：教师指导学生阅读课本，思考讨论课本中的实例所反映的物理量的特征．我们身边这样的实例很多，可以让学生充分思考讨论再举出一些位移、速度、力的实例来，如果学生举出的是一些有关长度、面积、质量的例子，效果会更好，这样就有了比较，教师因势利导，学生更能明了这些量的本质．例如：物体在液体中受到的浮力是竖直向上的，物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力越大；被拉长的弹簧的弹力是沿着反拉方向的，被压缩的弹簧的弹力是沿着反压方向的，并且在弹性限度内，弹簧拉长或压缩的长度越大，弹力越大；物理中的速度与加速度，物理中的动量与冲量等，这些量的共同特征是既有大小又有方向．如有学生举出我们的身高、运动会上的百米赛跑的跑道长度及场地面积、铅球体积、铅球质量等实例，教师适时地让学生讨论：这些量显然与以上那些量不同，因为长度、面积等这些量只有大小而无方向.如图2，一个质点从点A运动到点A′，这时点A′相对于点A的位置是“北偏东30°，3个单位”．从两个不同点出发的位移，只要方向相同，距离相等，我们都把它们看成相同的位移或相等的位移．一个质点从点B运动到点B′(图2)，如果点B′相对于点B的位置也是“北偏东30°，3个单位”，这时我们说这个位移与点A到A′的位移相等．我们在上体育课时，教师下达口令“向前三步走”，全班同学都进行了同一个位移．图2铺垫已经完成，至此时机成熟，教师恰时恰点地引导学生思考：在现实世界中，像位移、速度、力等既有大小，又有方向的量是很多的，我们能否在数学学科中对这些量加以抽象，形成一种新的量？由此引入本章重要概念——向量．在数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量统称为向量．讨论结果：(1)～(3)略．向量的概念，用向量表示点的位置提出问题在数学中，怎样表示向量呢？什么叫有向线段？有向线段和线段有何区别和联系？它们可以分别可以表示向量的什么？怎样定义零向量？怎样定义单位向量？满足什么条件的两个向量叫作相等向量？有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？怎样定义平行向量？ 如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？什么是向量的模？,怎样用向量表示点的位置？活动：在物理学中，表示位移最简单的方法，是用一条带箭头的线段，箭头的方向表示位移的方向，线段的长度表示位移的大小．速度和力也是用这种方法表示的，箭头的方向分别表示速度和力的方向，线段长度分别表示速度和力的大小．这种带箭头的线段，在数学中叫作“有向线段”．一般地，若规定线段AB 的端点A 为起点，端点B 为终点，则线段AB 就具有了从起点A 到终点B 的方向和长度．这种具有方向和长度的线段叫作有向线段(如图3)，记作AB →，线段AB 的长度也叫作有向线段AB →的长度，记作|AB →|.有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定．图3向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．向量也可以用黑体小写字母如a ，b ，c 表示．一定要学生规范：印刷用黑体a ，手写一定要在小写字母上加箭头．要注意不能说“向量就是有向线段，有向线段就是向量”，有向线段只是向量的一种几何表示，二者有本质的区别．向量只由方向和大小决定，而与向量的起点的位置无关，但有向线段不仅与方向、长度有关，也与起点的位置有关．如图3，在线段AB 的两个端点中，规定一个顺序，假设A 为起点，B 为终点，我们就说线段AB 具有方向，具有方向的线段叫作有向线段，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →.起点要写在终点的前面， 即是说AB →的方向是由点A指向点B ，点A 是向量的起点．如图4，关于向量的长度，这是向量的一个重要概念；向量AB →(或a )的大小，就是向量AB→(或a )的长度(或称模)，记作|AB →|(或|a |)．图4教师应注意引导学生将数量与向量的模进行比较，以明确向量的意义．数量有大小而没有方向，其大小有正、负和0之分，可进行运算，并可比较大小；向量的模是正数或0，也可以比较大小．但向量具有方向，由于方向不能比较大小，向量也就不能比较大小，像a >b 就没有意义，而|a |>|b |就有意义．理解了以上向量概念，那么关于向量相等和向量平行就很容易理解了，教师引导学生阅读教材即可．讨论结果：(1)用字母a ，b ，c ，…表示向量(印刷用粗黑体表示)，手写用字母加箭头来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示， 如AB →，CD →.注意：手写体上面的箭头一定不能漏写．(2)有向线段：具有方向的线段就叫作有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段．(3)长度为0的向量叫零向量，记作0，规定零向量的方向是任意的．长度为单位1的向量，叫单位向量. 但要注意，零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.(4)同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量．在图5中，有向线段AA′→，BB′→，CC′→…都表示同一向量a ，这时可记作图5AA′→＝BB′→＝CC′→＝…＝a .一个平面向量的直观形象是平面上“同向且等长的有向线段的集合”．(5)关于平行向量的定义：第一，方向相同或相反的非零向量叫平行向量；第二，我们规定0与任一向量a 平行，即0∥a .综合第一、第二才是平行向量的完整定义．向量a ，b ，c 平行，记作a ∥b ∥c .又如图6，a ，b ，c 是一组平行向量，任作一条与a 所在直线平行的直线l ，在l 上任取一点O ，则可在l 上分别作出OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .这就是说，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．这里教师要提醒学生注意：平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系．图6(6)共线向量，也就是平行向量．但要注意，平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)．平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.(7)| AB →|(或|a |表示向量AB →(或a )的大小，即长度(为模))．教师进一步提醒学生注意方向的问题．方向是大家非常熟知的概念，上面我们没有给它更多的描述，在一个平面内，方向“从西到东”，可以在该平面内任画一条“从左到右”的直线，再给出一个向东的指向来表示，从不同点画出具有同一方向的直线互相平行．由此可见，“方向”和“平行”有着深刻的内在联系．我们在用有向线段表示向量时，用箭头标出的方向，也就是以有向线段的始点为始点指向终点的射线方向．(8)任给一定点O 和向量a (图7)，过点O 作有向线段OA →＝a ，则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定，这时向量OA →，又常叫做点A 相对于点O 的位置向量．图7例如，在谈到天津相对于北京的位置时(图8)，我们说，“天津位于北京东偏南50°，114 km”．如图8，点O 表示北京的位置，点A 表示天津的位置，那么向量图8OA →＝“东偏南50°，114 km”就表示了天津相对于北京的位置．有了向量概念，我们就可以利用向量确定一点相对于另一点的位置．应用示例例1如图9，D ，E ，F 依次是等边△ABC 的边AB, BC, AC 的中点．在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为起点或终点的向量中，图9(1)找出与向量DE →相等的向量；(2)找出与向量DF →共线的向量．活动：本例安排的目的是让学生进一步熟悉向量的概念，属于基础练习，需要用到初中所学平面几何的相关知识，教师引导学生回忆相关知识后，可让学生充分讨论合作解决．解：由初中所学三角形中位线定理不难得到：(1)在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为起点或终点的向量中，与向量DE →相等的向量有：AF →和FC →；(2)在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为起点或终点的向量中，与向量DF →共线的向量有：BE →，EB →，EC →，CE →，BC →，CB →，FD →.(1) 图10例2一个人从A 点出发沿东北方向走了100 m 到达B 点，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100 m 到达C 点，求此人从C 点走回A 点的位移.解：根据题意画出示意图，如图11所示．图11|AB →|＝100 m ，|BC →|＝100 m ，∠ABC＝45°＋15°＝60°，∴△ABC 为正三角形．∴|CA →|＝100 m ，即此人从C 点返回A 点所走的路程为100 m.∵∠BAC＝60°，∴∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝15°，即此人行走的方向为西偏北15°.例3如图12，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与OA →、OB →、OC →相等的量．图12活动：本例是结合正六边形的一些几何性质，让学生巩固相等向量和平行向量的概念，正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，具有丰富的几何性质．解： OA →＝CB →＝DO →；OB →＝DC →＝EO →；OC →＝AB →＝ED →＝FO →.点评：向量相等是一个重要的概念，今后经常用到．让学生在训练中明确，向量相等不例4(1)下列命题正确的是( )A ．a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 也共线B ．任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四顶点C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D ．有相同起点的两个非零向量不平行活动：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确．由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确．向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D 不正确．对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a 与b 不都是非零向量，即a 与b 至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a 与b 共线，所以有a 与b 都是非零向量，所以只有C 正确．答案：C点评：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念特征入手，也可以从反面进行考虑．要判断一个结论不正确，只需举一个反例即可．要启发学生注意正反这两方面的结合．课堂小结1．先由学生回顾本节都学了哪些概念：向量，向量的两种表示，特别是对向量的手写要标上箭头，图示上要标上箭头和始点、终点，零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，明了平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比．2．再由教师简要总结：本节课我们学习了向量、向量的两种表示方法及向量的有关概念：如向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念，这些概念是我们进一步学习后续课程的基础，必须要在理解的基础上把握好．3．点拨学生要领悟我们是如何从大量的实际背景中获得这些数学概念的方法，本节的数学知识或许将来会忘掉或全部忘掉，但是我们探究这些知识的方法却会伴随我们一生，永远不会忘掉，使我们终生受益．作业如图13，在梯形ABCD 中，AB∥CD，AE∶ED＝BF∶FC＝AB∶DC，O 是AC 与BD 的交点，求证：EO →＝OF →.证明：如图13，∵AB∥CD，图13∴AO∶OC＝BO∶OD＝AB∶CD.又AE∶ED＝BF∶FC＝AB∶DC，∴AE∶ED＝AO∶OC.∴EO∥DC.同理，OF∥DC，∴E，O ，F 在同一直线上．∴EO DC ＝AE AD ＝BF BC ＝OF DC.∴EO＝OF ，即|EO →|＝|OF →|.又EO →与OF →方向相同，∴EO →＝OF →.设计感想1．本节是平面向量的第一节，对向量概念的理解无疑是重点，也是难点．本节教案的设计总思路是：把学生划分小组合作讨论学习，经过小组成员们的合作探究，对平面向量的基本概念，和基本解题方法有个清晰的认识，学生有很多的成功之处或收获．对失败或教训之处可能是对一些概念性问题没有深入研究，导致解题存在困难，不过这些会通过学习的深入弥补上来的．2．本教案设计充分利用向量的物理背景．作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后，给中学数学带来无限生机．通过本节大量物理背景实例的铺垫及数学问题的解决，让学生体会到数学在生活中的重要作用，并在实际课堂教学中规范学生的习惯，培养严谨的思考习惯和行为习惯，为后面学习打下基础．3．本教案设计遵循学生的认知规律，体现新课标理念，设计的教学方法主要是让学生自主探究，呈现“现实情境—数学模型—应用于现实问题”的特点，让学生通过观察、分析、归纳、验证，培养学生的主动探究的积极精神，让学生初步感受到向量确实生动有趣，是培养学生数学能力的很好题材．备课资料一、向量中有关概念的辨析1．数量、向量、有向线段对这几个概念的理解容易出现概念不清的问题．数量只有大小，没有方向，其大小可以用实数来表示，它是一个代数量，数量之间可以比较大小；向量既有大小又有方向，向量之间不可以比较大小；有向线段是向量的直观性表示，不能说向量就是有向线段．2．平行向量、共线向量、相等向量平行向量也叫共线向量，故平行向量与共线向量没有区别，而相等向量一定是平行向量，但平行向量不一定是相等向量，即平行向量是相等向量的必要条件而非充分条件．二、备用习题1．若正多边形有n 条边，它们对应的向量依次为a 1，a 2，…a n ，则这n 个向量( )A ．都相等B ．都共线C ．都不共线D ．模都相等2．如图14所示，在△ABC 中，DE∥BC，则其中共线向量有…( )图14A ．一组B ．二组C ．三组D ．四组3．若命题p ：a ＝b ，命题q ：|a |＝|b |，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不必要又不充分条件4．如图15所示，在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，则下列各组向量相等的是( )图15A.AD →与CB →B.OA →与OC →C.AC →与DB →D.DO →与OB →5．已知a ，b 是任意两个向量，有下列条件：①|a|＝|b|；②a ＝b ；③a 与b 的方向相反；④a ＝0或b ＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中是向量a 与b 共线的充分不必要条件的有__________．(把你认为正确的命题序号全都填上)6．如图16所示，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形.图16(1)写出与ED →相等的向量；(2)若|AB →|＝3，求向量EC →的模．7．判断下列各命题的真假：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a ∥b ，则a与b 的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5参考答案：1.D 2.C 3.A 4.D 5.②③④6．解：(1)与ED →相等的向量有DC →和AB →，因为四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形，故AB ＝ED ＝DC ；(2)向量EC →的模|EC →|＝6.7．C 因为①真命题；②假命题；③真命题；④假命题；⑤假命题；⑥假命题．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学 第二章 平面向量 2.1 向量的线性运算 2.1.2 向量的加法课堂导学案 新人教B版必修4
2.1.2 向量的加法课堂导学三点剖析一、向量加法的定义及向量加法的三角形法则学习这部分内容时要注意:①向量加法的定义及向量加法的三角形法则是从位移求和引出的.②两个向量的和仍是向量.特别注意的是:在向量加法的表达式中零向量一定要写成0,而不应写成0.③向量的加法运算应注意方向,忽视方向往往成为致错的根源之一.④用三角形法则作出两个向量的和,关键是掌握两个加数向量是首尾相连的,和向量是从一个向量的起点指向另一个向量的终点.具体做法是:把用小写字母表示的向量,用两个大写字母表示(其中后面向量的起点与前一个向量的终点重合,即用同一个字母来表示),则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和,如设a=AB,b=BC,则a+b=AB+BC=AC.⑤当两个向量共线(平行)时,三角形法则同样适用.如下图表示求两个平行向量和的特殊情况.【例1】设a表示“向西走2 km”,b表示“向北走2 km”,则a+b表示向哪个方向行走了多少?思路分析：画图求解.解:如图,作=a,=b,则OB=OA+=a+b.∵△ABO为直角三角形,且||=||=2,2且∠AOB=45°.∴|OB|=22 km.∴a+b表示向西北方向走了2各个击破 类题演练 1已知向量a 和非零向量b ,求作向量a +b .思路分析:已知中明确了b 是非零向量,没有明确a 是否是非零向量,所以,应就a =0和a ≠0两种情况分类讨论.解:(1)若a =0,则a +b =b ,见图(1).(2)若a ≠0,则①当a 与b 不共线时,a +b ,见图(2). ②当a 与b 共线时,有(ⅰ)a 与b 同向共线,a +b ,见图(3). (ⅱ)a 与b 反向共线, |a |<|b |,a +b ,见图(4); |a |=|b |,a +b ,见图(5); |a |>|b |,a +b ,见图(6). 变式提升 1如图所示,向量AB +BC +CD +DE +EF =________.解析:几个向量相加首尾相连和向量是由起点指向终点,即. 答案: 温馨提示更一般地,n n n A A A A A A A A A A 14131211-++++=Λ.特别地当A 1和A n 重合时,n n A A A A A A 13221-+++ΛΛ=0.二、向量加法的平行四边形法则三角形法则中的两个向量是首尾相接的,而平行四边形法则中的两个向量有公共的起点;三角形法则适用于所有的两个非零向量的求和,而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量的求和.三角形法则和平行四边形法则虽然都是求向量和的基本方法.但在应用上也有讲究,求两个向量和,当一个向量的终点为另一个向量的始点时,可用向量加法的三角形法则;而当它们的始点相同时,可用向量加法的平行四边形法则.【例2】 两个力F 1和F 2同时作用在一个物体上,其中F 1=40 N,方向向东,F 2=30 N,方向向北,求它们的合力.解：如图,OA 表示F 1,OB 表示F 2. 以OA,OB 为邻边作ABCD,则OC 表示合力F .在Rt△OAC 中,|OA |=|F 1|=40,|AC |=|OB |=|F 2|=30. 由勾股定理,得|F |=|OC |=22223040||||+=+AC OA =50.设合力F 与F 1的夹角为θ, 则tanθ=43||||||||12==F F OA AC =0.75. 所以θ≈37°.所以合力大小为50 N,方向为北偏东53°. 类题演练 2已知向量a 、b (如图),求作a +b .思路分析:在平面内作向量的和向量,若用平行四边形法则,则先选取一固定点,然后把两个向量平移,使两个向量都以这个固定点为起点；若用三角形法则,则只需平移一个向量,使这个向量的起点与另一个向量的终点重合.解:在平面内任取一点O,如图,作OA =a ,B O =b ,则C O =a +b .变式提升 2已知|a |=6,|b |=8,且|a+b |=|a -b |,求|a -b |.思路分析:从题目条件中挖掘平行四边形所满足的几何特征.解:如图,设||=a ,||=b ,以AB,AD 为邻边作ABCD,则AC =a +b ,DB =a -b . ∵|a +b |=|a -b |, 即|AC |=|DB |, ∴ABCD 为矩形,故AD⊥AB.在Rt△DAB 中,||=6,||=8, 由勾股定理,得|222286||||||+=+=AD AB =10.∴|a +b |=|a -b |=10.三、向量加法的运算性质(1)对于零向量与任一向量a 的和有a +0=0+a =a . (2)向量加法的交换律:a+b =b +a .(3)向量加法的结合律:(a +b )+c =a +(b +c ).(4)三角形不等式:对于任意两个向量a ,b ,都有||a |-|b ||≤|a +b |≤|a |+|b |.注意:(1)向量加法的交换律,在常识上是很显然的.你从点A 出发先位移向量a ,接着再位移向量b 与先位移向量b 再位移向量a 一定会达到同一终边C.这也就说明了向量加法交换律成立.(2)由于向量的加法满足交换律与结合律,因此多个向量的加法运算就可按照任意的次序与任意的组合来进行了. 【例3】 化简: (1)+; (2)BC CD DB ++;(3)FA BC CD DF AB ++++. 解:(1)=+=+.(2)+=++=++)(=0.或+=++=++=++)()(=0. (3)FA DF CD BC AB FA BC CD DF AB ++++=++++FA AF FA DF AD FA DF CD AC +=++=+++==0.类题演练 3如图所示,已知△ABC 中,D,E,F 分别是BC,CA,AB 的中点,且AD 与BE 交于O 点.求 证:++=0.思路分析:解这类题要善于运用向量的加法的运算法则及其性质,把题目变形后求得. 证明:BD AB AD +=, 又CD AC AD +=,∴AC AB CD BD AC AB AD +=+++=2, 同理,可证BA BC BE +=2,CB CA CF +=2, ∴)(21CB CA BA BC AC AB CF BE AD +++++=++=0. 变式提升 3 下列命题:①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反,那么a +b 的方向必与a ,b 之一的方向相同; ②△ABC 中,必有CA BC AB ++=0;③若CA BC AB ++=0,则A,B,C 为一个三角形的三个顶点; ④若a ,b 均为非零向量,则|a +b |与|a |+|b |一定相等. 其中真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3 解析:①假命题.当a +b =0时,命题不成立. ②真命题.③假命题.当A,B,C 三点共线时也可以有CA BC AB ++=0. ④假命题.只有当a 与b 同向时相等,其他情况均为|a |+|b |>|a +b |. 答案:B【例4】 已知A,B,C 是不共线的三点,G 是△ABC 内一点,若GC GB GA ++=0,求证:G 是△ABC 的重心.证明：如图所示,因为GC GB GA ++=0, 所以)(GC GB GA +-=.以GB ,GC 为邻边作平行四边形BGCD, 则有GD =GB +GC , 所以GD =GA -. 又因为在BGCD 中,BC 交GD 于点E,所以ED GE EC BE ==,. 所以AE 是△ABC 的边BC 的中线, 且|GA |=2|GE |.所以G 是△ABC 的重心. 温馨提示(1)解此题时要联系重心的性质和向量加法的意义;(2)把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法.通过本例题知,若G 为△ABC 的重心,则有GA +GB +GC =0.类题演练 4在重300 N 的物体上系两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30°,60°(如图),求重物平衡时,两根绳子的拉力大小.解:作OACB,如图所示,使∠AOC=30°,∠BOC=60°, 在△AOC 中,∠ACO=∠BOC=60°,∠OAC=90°.||=||cos30°=3150(N), |AC |=|OC |sin30°=150(N). |OB |=|AC |=150(N),∴与铅垂线成30°角的绳子拉力是3150 N,与铅垂线成60°角的绳子拉力是150 N. 变式提升 4用向量的方法证明:对角线互相平分的四边形是平形四边形.已知:如图所示,在四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于O,且AO=OC,DO=OB. 求证:ABCD 是平行四边形.证明:根据向量加法的三角形法则, 有OC DO DC OB AO AB +=+=,. 又∵=∴==,. ∴AB 与DC 平行且相等. ∴ABCD 为平行四边形.。
高中数学 第二章 平面向量 2.1 向量的线性运算 2.1.2 向量的加法课堂探究学案 新人教B版必修4
2.1.2 向量的加法课堂探究探究一 作向量的和应用三角形法则、平行四边形法则作向量和时需注意的问题： (1)三角形法则可以推广到n 个向量求和，作图时要求“首尾相连”．(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的始点重合． (3)当两个向量不共线时，两个法则实质上是一致的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半，在多个向量的加法中，利用三角形法则更为简便．【例1】如图所示，已知向量a ，b ，c ，试作出向量a ＋b ＋c ．分析：本题是求作三个向量的和向量的问题，首先应作出两个向量的和，由于这两个向量的和仍为一个向量，然后再作出这个向量与另一个向量的和，方法是多次使用三角形法则或平行四边形法则．解：作法1：如图(1)所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA ＝a ，接着作向量AB＝b ，则得向量OB ＝a ＋b ；然后作向量BC ＝c ，则向量OC＝(a ＋b )＋c ＝a ＋b ＋c 即为所求．图(1)作法2：如图(2)所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA ＝a ，OB ＝b ，OC＝c ，以OA ，OB 为邻边作▱OADB ，连接OD ，则OD ＝OA ＋OB＝a ＋b ．图(2)再以OD ，OC 为邻边作▱ODEC ，连接OE ，则OE ＝OD ＋OC＝a ＋b ＋c 即为所求．探究二 向量的加法运算多个向量相加，可以利用向量加法的三角形法则，也可以观察向量的字母直接运算(必要时，注意利用向量加法的运算律)．【例2】化简下列各式：(1)PB ＋OP＋OB ．(2)(AB ＋MB)＋BO ＋OM ．(3)AB ＋DF ＋CD ＋BC ＋FA．解：(1)PB ＋OP ＋OB ＝(OP ＋PB)＋OB ＝OB ＋OB ．(2)(AB ＋MB )＋BO ＋OM ＝(AB ＋BO )＋(OM ＋MB )＝AO ＋OB ＝AB．(3)AB ＋DF ＋CD ＋BC ＋FA ＝AB ＋BC ＋CD ＋DF ＋FA ＝AC ＋CD＋DF ＋FA ＝AD ＋DF ＋FA ＝AF ＋FA＝0．技巧点拨：求和的关键是利用三角形法则，将“首尾相接”的两个向量放在一组．在解答本题(3)时，易出现AC ＋CD ＋DF ＋FA＝0的情况，导致此种错误的原因是不清楚向量的和仍为向量．【例3】如图所示，在矩形ABCD 中，BC ＝5e 1，DC ＝3e 2，则OC等于( )A ．12 (5e 1＋3e 2) B ．12 (5e 1－3e 2) C ．12 (－5e 1＋3e 2) D ．－12(5e 1＋3e 2) 解析：由矩形的性质及向量加法的平行四边形法则得OC ＝12AC ＝12(AB ＋AD )＝12 (DC ＋BC )＝12(3e 2＋5e 1)．故选A ． 答案：A点评 结合图形分析，向量的平移常用向量相等来实现，此题也可用三角形法则AC ＝AB ＋BC＝DC ＋BC ．探究三 利用向量的加法证明几何问题利用向量加法可以证明线段相等和平行，可以证明三点共线，证明的关键是把几何关系转化为向量关系，通过向量运算得到结论，然后再把向量关系转化为几何关系．【例4】在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线及反向延长线上，取点F ，E ，使BE＝DF (如图所示)．用向量的方法判断：四边形AECF 的形状．解：如图所示，标记向量，AE =AB +BE ，FC =FD +DC．因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB =DC ． 又BE =FD ，所以AE =FC，即AE ，FC 平行且相等，所以四边形AECF 是平行四边形．反思 利用向量的加法可以得到线段的平行和相等，用向量法解几何问题的关键是把几何问题转化为向量问题，通过向量的运算得到结论，然后再把向量问题还原为几何问题．【例5】 已知任意四边形ABCD ，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，求证：EF ＋EF ＝AB ＋DC ．分析：用多边形法则把EF用不同的向量形式表示出来，然后相加即可得到结论．证明：如图所示，在四边形CDEF 中，EF +FB +BA +AE=0，所以EF＝－FC －CD －DE＝CF ＋DC ＋ED．①在四边形ABFE 中，EF ＋FB ＋BA ＋AE＝0，所以EF ＝BF ＋AB ＋EA．②①＋②得EF ＋EF ＝FC ＋DC ＋ED ＋BF ＋AB ＋EA＝(CF ＋BF )＋(ED ＋EA )＋(DC ＋AB )．因为E ，F 分别是AD ，BC 的中点，所以ED ＋EA ＝0，CF ＋BF＝0．所以EF ＋EF ＝AB ＋DC ．探究四 向量的加法在实际问题中的应用利用向量加法解决实际应用问题主要步骤如下： (1)由题意作出相对应的几何图形，构造有关向量；(2)利用三角形法则和平行四边形法则，对向量的加法进行运算； (3)构造三角形(一般是直角三角形)，利用三角形边和角的关系解题．【例6】 雨滴在下落一定时间后是匀速运动的，无风时雨滴下落的速度是4 m/s ．现在有风，风使雨滴以3 m/s 的速度水平向东移动，那么雨滴将以多大的速度着地？这个速度的方向怎样？解：如图所示，AB 为雨滴无风时的下落速度，AD为雨滴有风时的水平速度，由平行四边形法则，雨滴实际下落的速度为：AC ＝AB ＋AD，故|AC |＝5(m/s)，∠BCA ≈53．1°．即雨滴将沿与地面成53．1°的方向，以5 m/s 的速度着地．。
人教B版高中数学必修四《第二章 平面向量 2.1 向量的线性运算 2.1.1 向量的概念》_1
2.1.1向量的概念学习目标：(1)体会向量的实际背景，知道平面向量的概念和向量的几何表示．(2)知道向量的模、零向量、相等向量、平行向量等概念．(3)学会区分相等向量和平行向量．重点：向量、零向量、单位向量、相等向量、平行向量的概念．难点：向量的概念，平行向量、相等向量区别和联系．【情景导学】：1．在日常生活中有很多量，既有大小又有方向，如面积、质量、力、长度、速度、位移等，哪些量是既有大小又有方向的量？2．对既有大小又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？探究点一、向量的概念阅读教材77页—78页，完成下列问题1、向量的要素是什么？向量之间能否比较大小？向量与数量的区别是什么？2．向量的表示方法：（1）图形表示；（2）字母表示：3.向量的相关概念：（1）如果=a，那么的长度表示向量a的大小，也叫做a的长（或模），记作|a|两个向量a和b同向且等长，即a和b相等，记作a=b（2）通过有向线段的直线，叫做向量的基线.如果向量的基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行.（3）什么是零向量？什么是单位向量？单位向量是否一定相等？探究点二、位置向量任给一定点O 和向量a ，过点O 作有向线段OA →＝a ，则点A 相对于点O 的位置被向量a 唯一确定，这时向量OA →叫做点A 相对于点O 的位置向量．变式2.下列说法正确的是（1）零向量是唯一没有方向的向量；（2）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相等向量；（3）向量a 和b 是共线向量，a ||b ，则a 和c 是方向相同的向量；（4）相等向量一定是共线向量；（5）两个长度相等的向量一定相等；（6）相等的向量始点必相同；（7）若向量a 的模小于b 的模，则a <b例2：如图所示，O是正六边形ABC DEF的中心，且＝a，＝b(1)与a相等的向量有多少个？(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？(3)与a共线的向量有哪些？(4)请一一列出与b相等的向量．变式3： (1)写出与向量相等的向量．(2)写出与向量共线的向量；。
高中数学 第二章 平面向量 2.1.1 向量的概念课件 新人教B版必修4.pptx
4.如图，四边形 ABCD 和 ABDE 都是平行四边
形，则与 ED相等的向量有______．
答案： AB， DC
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向量的有关概念
[典例] 有下列说法：①向量 AB和向量 BA长度相等；②方 向不同的两个向量一定不平行；③向量 BC 是有向线段；④向量 0＝ 0，其中正确的序号为________．
|a|
零向量
长度等于 0 的向量
0
相等向量
两个向量 a 和 b 同向且等长
a＝b
向量的基线
通过有向__线___段__A_B__的直线
向量共线或
向量的基线互相 平行或重合
a∥b
平行
规定：零向量与任意向量都 平行
0∥a
任给一定点 O 和向量 a，过点 O 作有向线段OA＝a， 位置向量 则点 A 相对于点 O 的位置被向量 a 所 唯一确定，
[解析] 对于①，| AB|＝| BA|＝AB，故①正确； 对于②，平行向量包括方向相同或相反两种情况，故②错误； 对于③，向量可以用有向线段表示，但不能把二者等同起来， 故③错误； 对于④，0 是一个向量，而 0 是一个数量，故④错误． [答案] ①
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(1)判断一个量是否为向量应从两个方面入手 ①是否有大小；②是否有方向． (2)理解零向量应注意的问题 零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．
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(2)由于点 B 在点 A 正东方向处，且| AB|＝4，所以在坐标 纸上点 B 距点 A 的横向小方格数为 4，纵向小方格数为 0，于 是点 B 位置可以确定，画出向量 AB如图所示．
(3)由于点 C 在点 B 北偏东 30°处，且|BC |＝6，依据勾股 定理可得：在坐标纸上点 C 距点 B 的横向小方格数为 3，纵向 小方格数为 3 3≈5.2，于是点 C 位置可以确定，画出向量BC 如 图所示．
高中数学 第二章 平面向量 2.1.1 向量的概念教案 新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学教
向量的概念教案教学目标：1. 知识与技能：理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2. 过程与方法： 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3. 情感态度与价值观：通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.教学方法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.教学过程：Ⅰ.课题导入在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量.向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.而这一节课，我们将学习向量的有关概念.Ⅱ.讲授新课这一节，大家通过自学来熟悉相关内容，然后我们通过概念辨析例题来检验大家自学的效果.【探究新知】：出示自学提纲：请同学阅读课本7271P P 后回答：1、数量与向量的定义，有何区别？2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、零向量的定义5、单位向量的定义6、相等向量的定义7、平行或共线向量的定义 8、零向量与任何一向量平行吗？【讨论结果】1、数量定义：只有大小，没有方向的量。
向量定义：既有大小又有方向的量。
数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2、 向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB ；④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |.3、有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量概念：长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.5、单位向量概念长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.一般用0a 表示。
高中数学第二章平面向量2.1.1向量的概念学案新人教B版必修4
2．1 向量的线性运算 2．1.1 向量的概念[学习目标] 1.能结合物理中的位移认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．[知识链接]1．力和位移都是既有大小，又有方向的量，在物理学中常称为矢量，在数学中叫做向量；而把那些只有大小，没有方向的量称为数量，在物理学中常称为标量．2．已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度．其中是数量的有②④⑤⑨⑩，是向量的有①③⑥⑦⑧. 3．向量与数量有什么联系和区别？答 联系是：向量与数量都是有大小的量；区别是：向量有方向且不能比较大小， 数量无方向且能比较大小． [预习导引] 1．向量的概念既有大小，又有方向的量叫做向量． 2．向量的几何表示以A 为始点，以B 为终点的有向线段记作AB →. 3．向量的有关概念(1)零向量：长度等于零的向量叫做零向量，记作0.规定：零向量与任意向量平行． (2)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(3)平行向量(共线向量)：如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．也就是说方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量．向量a 平行于b ，记作a ∥b .要点一 向量的概念 例1 给出下列各命题： ①零向量没有方向；②若|a |＝|b |，则a ＝b ； ③向量就是有向线段；④两相等向量若其起点相同，则终点也相同； ⑤若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ⑥若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；⑦若四边形ABCD 是平行四边形，则AB →＝CD →，BC →＝DA →. 其中正确命题的序号是________． 答案 ④⑤解析 ①该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不定；②该命题不正确，|a |＝|b |只是说明这两向量的模相等，但其方向未必相同； ③该命题不正确，有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来；④该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合； ⑤该命题正确，由向量相等的定义知，a 与b 的模相等，b 与c 的模相等，从而a 与c 的模相等；又a 与b 的方向相同，b 与c 的方向相同，从而a 与c 的方向也必相同，故a ＝c ； ⑥该命题不正确，因若b ＝0，则对两不共线的向量a 与c ，也有a ∥0，0∥c ，但a \[KG －2.5mm ]∥c ；⑦该命题不正确．如图所示，显然有AB →≠CD →，BC →≠DA →.规律方法 要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表示的含义，搞清它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键． 跟踪演练1 给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ； ②向量的模一定是正数；③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ④向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是________． 答案 ③解析 ①错误．由|a |＝|b |仅说明a 与b 模相等，但不能说明它们方向的关系． ②错误.0的模|0|＝0.③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →、CD →必须在同一直线上． 要点二 向量的表示例2 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°； (2)AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东； (3)BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°.解 (1)由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA →如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向处，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB →如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°处，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 位置可以确定，画出向量BC →如图所示．规律方法 在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．应该注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．跟踪演练2 中国象棋中规定：马走“日”字．下图是中国象棋的半个棋盘，若马在A 处，可跳到A 1处，也可跳到A 2处，用向量AA 1→或AA 2→表示马走了“一步”．试在图中画出马在B ，C 处走了“一步”的所有情况．解 根据规则，画出符合要求的所有向量． 马在B 处走了“一步”的情况如图(1)所示； 马在C 处走了“一步”的情况如图(2)所示．要点三 相等向量与共线向量例3 如图所示，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 都是正方形．(1)写出与AO →相等的向量； (2)写出与AO →共线的向量； (3)向量AO →与CO →是否相等？解 (1)与AO →相等的向量为：OC →、BF →、ED →.(2)与AO →共线的向量为：OA →、OC →、CO →、AC →、CA →、ED →、DE →、BF →、FB →. (3)向量AO →与CO →不相等，因为AO →与CO →的方向相反，所以它们不相等．规律方法 判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可． 跟踪演练3如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别为AB 和CD 的中点，在以A ，B ，C ，D ，M ，N 为起点和终点的所有向量中，相等的向量分别有多少对？解 不妨设正方形的边长为2，则以A ，B ，C ，D ，M ，N 为起点和终点的向量中： (1)模为2的相等向量共有8对，AB →＝DC →，BA →＝CD →，AD →＝BC →，DA →＝CB →，AD →＝MN →，DA →＝NM →，BC →＝MN →，CB →＝NM →.(2)模为1的相等向量有12对，其中与AM →同向的有MB →，DN →，NC →，这四个向量组成相等的向量有6对，即AM →＝MB →，AM →＝DN →，AM →＝NC →，MB →＝DN →，MB →＝NC →，DN →＝NC →，同理与AM →反向的也有6对． (3)模为5的相等向量共有4对，AN →＝MC →，NA →＝CM →，MD →＝BN →，DM →＝NB→.1．下列说法正确的是( ) A ．零向量没有大小，没有方向 B ．零向量是唯一没有方向的向量 C ．零向量的长度为0D ．由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行 答案 C解析 零向量的长度为0，方向是任意的，故A ，B 错误，C 正确．零向量与任一向量平行，故D 错误．2．如图，在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，则图中相等的向量是( ) A.AD →与CB → B.OB →与OD → C.AC →与BD → D.AO →与OC → 答案 D解析 ∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴AC 、BD 互相平分，∴AO →＝OC →.3．如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，则图中是共线向量的有________________． 答案 ED →与CB →，AD →与BD →，AE →与CE →解析 观察图形，并结合共线向量的定义可得解．4．在四边形ABCD 中，AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，则四边形ABCD 的形状是________． 答案 梯形解析 ∵AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，∴AB ∥DC ，但AB ≠DC ，∴四边形ABCD 是梯形．1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用．2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．平行向量是指向量所在直线平行或重合即可，是一种广义平行．一、基础达标 1．有下列说法：①若向量a 与向量b 不平行，则a 与b 方向一定不相同； ②若向量AB →，CD →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →； ③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中，正确说法的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 对于①，由共线向量的定义知，两向量不平行，方向一定不相同，故①正确； 对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，由a ＝b 能推出|a |＝|b |且a ∥b ，反过来，则不成立，故③错误． 2．下列命题不正确的是( ) A ．零向量没有方向 B ．零向量只与零向量相等C ．零向量的模为0D ．零向量与任何向量共线 答案 A解析 零向量是有方向的，它的方向可以是任意的，故选A. 3．给出下列五个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若AB →＝DC →，则四边形ABCD 是正方形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ⑤若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k . 其中不正确的命题的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 B解析 不正确的是①②③.4．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO →，BO →，OC →，OD →是( ) A ．相等的向量B ．平行的向量C ．有相同起点的向量D ．模相等的向量答案 D解析 这四个向量的模相等．5．若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式：①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1.其中正确的是( ) A ．①④ B．③ C．①②③ D．②③ 答案 B解析 a 为任一非零向量，故|a |＞0. 6.如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( ) A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF → 答案 D解析 由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →；PE →与PF →模相等而方向相反，故PE →≠PF →；EP →与PF →模相等且方向相同，∴EP →＝PF →.7．如图，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N 、M 分别是AD 、BC 上的点，且CN →＝MA →.求证：DN →＝MB →. 证明 ∵AB →＝DC →， ∴|AB →|＝|CD →|且AB ∥CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴|DA →|＝|CB →|，且DA ∥CB . 又∵DA →与CB →的方向相同，∴CB →＝DA →.同理可证，四边形CNAM 是平行四边形， ∴CM →＝NA →.∵|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|， ∴|DN →|＝|MB →|.∵DN ∥MB 且DN →与MB →的方向相同，∴DN →＝MB →. 二、能力提升8．下列说法正确的是( )A ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C ．向量的大小与方向有关D ．向量的模可以比较大小 答案 D解析 向量不能比较大小，但是向量的模是实数，可以比较大小．9．给出下列四个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 方向相反；④|a |＝0或|b |＝0.其中能使a ∥b 成立的条件是________．答案 ①③④解析 因为a ＝b ⇒a ∥b ，即①能够使a ∥b 成立；由于|a |＝|b |并没有确定a 与b 的方向，即②不能够使a ∥b 成立；因为a 与b 方向相反时，a ∥b ，即③能够使a ∥b 成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a |＝0或|b |＝0时，a ∥b 能够成立．故使a ∥b 成立的条件是①③④.10．如图，已知矩形ABCD 中，设点集M ＝{A ，B ，C ，D }，求集合T ＝{PQ →|P 、Q ∈M ，且PQ →≠0}．解 集合T ＝{PQ →|P 、Q ∈M ，且PQ →≠0}中的元素为非零向量PQ →，且向量的起点与终点分别为矩形的顶点A 、B 、C 、D .这些向量为AB →，AC →，AD →，BA →，BC →，BD →，CB →，CA →，CD →，DA →，DB →，DC →. 由于AB →＝DC →，AD →＝BC →，BA →＝CD →，DA →＝CB →，根据集合元素的互异性，得集合T ＝{AB →，AC →，AD →，BD →，CD →，CA →，DA →，DB →}．11．某人从A 点出发向西走了250 m 到达B 点，然后改变方向向北偏西30°走了450 m 到达C 点，最后又改变方向，向东走了250 m 到达D 点． (1)作出向量AB →，BC →，CD →(1 cm 代表200 m)． (2)求DA →的模． 解 (1)如图所示：(2)连接DA ，由于CD →方向是正东，模长为250 m ，AB →方向是正西，模长为250 m ，所以CD 綊AB ，因此四边形ABCD 为平行四边形，所以|DA →|＝|BC →|＝450 m ，即DA →的模为450 m.12．如图所示，已知AA ′→＝BB ′→＝CC ′→.求证： (1)△ABC ≌△A ′B ′C ′； (2)AB →＝A ′B ′→，AC →＝A ′C ′→. 证明 (1)∵AA ′→＝BB ′→， ∴|AA ′→|＝|BB ′→|，且AA ′→∥BB ′→. 又∵A 不在BB ′→上，∴AA ′∥BB ′. ∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形． ∴|AB →|＝|A ′B ′→|.同理|AC →|＝|A ′C ′→|，|BC →|＝|B ′C ′→|. ∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.(2)∵四边形AA ′B ′B 是平行四边形， ∴AB →∥A ′B ′→，且|AB →|＝|A ′B ′→|. ∴AB →＝A ′B ′→.同理可证AC →＝A ′C ′→. 三、探究与创新 13.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是两对角线AC ，BD 的交点，设点集S ＝{A ，B ，C ，D ，O }，向量集合T ＝{MN →|M ，N ∈S ，且M ，N 不重合}，试求集合T 中元素的个数．解 由题意知，集合T 中的元素实质上是S 中任意两点连成的有向线段，共有20个，即AB →，AC →，AD →，AO →；BA →，BC →，BD →，BO →；CA →，CB →，CD →，CO →；DA →，DB →，DC →，DO →；OA →，OB →，OC →，OD →.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即AB →＝DC →，AD →＝BC →，DA →＝CB →，BA →＝CD →，AO →＝OC →，OA →＝CO →，DO →＝OB →，OD →＝BO →. ∵集合中元素具有互异性， ∴集合T 中的元素共有12个.。
高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念课件新人教B版必修41016320
1
2
3
【做一做2-1】 下列各量中是向量的是( ) A.身高 B.长度 C.电流 D.浮力 解析:主要考虑各量是否具备向量的两个要素,即大小和方向.身 高、长度和电流都只有大小,没有方向,只有浮力既有大小,又有方 向. 2-2】 如图,小正方形的边长为 1,则|������������|= ,|������������|= ,|������������|= .
因为两个字母是有顺序的,所以向量������������与向量������������是两个不同的向 量. 通常在印刷时,向量用黑体小写字母 a,b,c…表示,手写时,可写 成带箭头的小写字母 ������ , ������ , ������ …
→ → →
1
2
3
(4)向量的模:所谓向量������������的大小,就是向量������������的长(或模),记作|������������|.
1
2
3
(3)向量的表示方法:向量的图形表示和向量的符号表示. ①向量的图形表示.
向量常用一条有向线段来形象直观地表示(如右图),有向线段的 长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向. ②向量的符号表示. 如:������������表示从点 A 到点 B 的向量(即 A 为始点,B 为终点的向量),
解析: 根据勾股定理,可得|������������|=3 2,|������������|= 26,|������������ |=2 2.
答案:3 2
26 2 2
1
2
3
3.用向量表示点的位置 任给一定点 O 和向量 a(如图),过点 O 作有向线段������������=a,则点 A 相对于点 O 的位置被向量 a 所唯一确定,这时向量������������常叫做点 A 相 对于点 O 的位置向量.
高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.4向量数乘课堂导学案新人教B版必修42017111
2.1.4 向量数乘课堂导学三点剖析一、向量数乘的概念及几何意义1.对向量数乘定义的理解注意:①λa中的实数,叫做向量a的系数.②关于对向量数乘λa的理解:我们可以把向量a的长度扩大(当|λ|>1)时,也可以缩小(当|λ|<1时),同时可以不改变向量a的方向(当λ>0时),也可以改变向量a的方向(当λ<0 时).③向量数乘的特殊情况:当λ=0时,λa=0,而λ≠0,若a=0,也有λa=0.④实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算,如λ+a,λ-a就无法运算.2.向量数乘的几何意义向量数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小.【例1】已知a,b是两个非零向量,判断下列各命题的真假,并说明理由.(1)2a的方向与a的方向相同,且2a的模是a的模的2倍;(2)-2a的方向与5a的方向相反,且-2a的模是5a的模的(3)-2a与2a是一对相反向量;(4)a-b与-(b-a)是一对相反向量;(5)若a,b不共线,则0a与b不共线.思路分析:利用λa中λ的作用.解：(1)真命题.∵2>0,∴2a与a同向,且|2a|=2|a|.(2)真命题.∵5>0,∴5a与a同向,且|5a|=5|a|.-2<0,∴-2a与a反向,且|-2a|=2|a|. 2 5 ;∴-2a与5a反向,且|-2a|= (3)真命题. 23|5a|.(4)假命题.-(b-a)=-b+a=a-b.(5)假命题.∵0a=0,0与任一向量共线.温馨提示对数乘运算的理解,关键是对数的作用的认识,λ>0时,λa与a同向,模是|a|的λ倍;λ<0时,λa与a反向,模是|a|的-λ倍;λ=0时,λa=0.各个击破类题演练111如图(1),已知非零向量a,求作向量2a, a,-3a ,a.2 3思路分析:据向量数乘的定义作出图形即可.1作法:将向量 a 依次同向伸长到原来的 2倍,同向缩短到原来的1 2 倍,反向伸长到原来的 3倍, 反向缩短到原来的 变式提升 11 3倍,得到图(2).已知点 C 在线段 AB 的延长线上,且A B AC3 4 . (1)用 BC 表示 AB ;(2)用CB 表示 AC . 思路分析:本例已知中没有涉及方向,但欲求结果中却涉及了方向.因此,解答此类问题,要把握 好从单一的长度要素向长度,方向双重要素的过渡.解:如图①,由已知,点 C 在线段 AB 的延长线上,且 A B AC3 4,∴ AB AB BC3 4 ,解得 AB=3BC.同理,可得 AC=4CB.(1)如图②,向量 AB 与 BC 的方向相同,所以 AB =3BC .(2)如图③,向量 AC 与CB 的方向相反,所以 AC =-4CB .温馨提示确定向量,有两个方面的要求,一是指出向量的方向;二是指出向量的大小.二、向量数乘的运算律及应用设 λ,μ 为实数,则(1)(λ+μ)a =λa +μa ;(2)λ(μa )=(λμ)a ;(3)λ(a +b )=λa +λb (分配律).【例 2】 设 x,y 为未知向量.(1)解方程 5(x +a )+3(x -b )=0;1x 2 (2)解方程组x 1 2y y0, b解：(1)原方程可化为 5x +5a +3x -3b =0,∴8x +5a -3b =0.∴8x=3b-5a.∴x=38b-58a.21 x2 (2)x 12yy0,(1)b.(2)1①×2-②得(x-2y)-(x- y)=2a-b,23∴y=2a-b.224∴y=b- a.33124代入①得x=a+ b- a,23 34842∴x=2a+ b- a= b- a.3333 类题演练2化简下列各式:11(1) ［(2a+8b)-(4a-2b)］;32211(2) ［(4a-3b)+ b- (6a-7b)］.33411解:(1)原式= (a+4b-4a+2b)= ［(1-4)a+(4+2)b］3 31= (-3a+6b)=2b-a；32137(2)原式= (4a-3b+ b- a+ b)3324 2317= ［(4- )a+(-3+ + )b］3234 2511511= ( a- b)= a- b.3212318 温馨提示(1)实数与向量积的运算问题,必须按照实数与向量的积所满足的运算律进行运算.(2)实数与向量的积的运算,可对照实数与单项式的运算进行.变式提升2［2(2a+8b)-4(4a-2b)］化简成最简式为( )1将12A.2a-bB.2b-aC.a-bD.b-a思路分析:这是关于实数与向量的积的有关运算问题,只需按照实数和向量的积所满足的运算律进行运算即可.1解:原式= (4a+16b-16a+8b)121= ［(4-16)a+(16+8)b］123=-a +2b =2b -a .∴应选 B.答案:B三、向量的线性运算向量的加法,减法和实数与向量积的综合运算,通常叫做向量的线性运算(或线性组合).若 一个向量 c 是由另一些向量的线性运算得到的,我们说这个向量 c 可以用另一些向量线性表示,如 2a ,-3a ,- 1 3 a 都是 a 的线性表示,2a +3b ,-3a +5b , 1 2 a - 1 3b 等都可以由 a ,b 线性表示.【例 3】 梯形 ABCD(如图)中,AB∥CD 且 AB=2CD,M 、N 分别是 DC 与 AB 的中点.若 AB =a ,AD =b ,试用 a ,b 表示 BC 和 MN .解法一:连结 CN,N 为 AB 中点.∵AN∥DC,AN=DC,∴ANCD 为平行四边形.有CN AD =-b . 又∵CNNB BC =0, ∴ BC =NB CN =b - 1 2a .∴ MN =CN CM=CN + 1 2AN = 1 4 a -b .解法二:梯形 ABCD 中,有 AB +BC CD DA =0,1即 a +BC +(-a )+(-b )=0.21可得 BC =b -a .2在四边形 ADMN 中,AD DM MNNA =0, 即 b + 1 4 a +MN +(- 1 2a )=0.∴ MN = 1 4 a -b . 温馨提示解答本题应注意应用向量平行的充要条件以及封闭图形,首尾顺次连结的各向量和为 0的 结论.类题演练 3如图所示,△ABC 的重心为 G,O 为坐标原点,OA =a ,OB =b ,OC =c ,试用 a ,b ,c 表示OG .4解:如图,设 AG 交 BC 于点 M,则 M 是 BC 的中点.AB =b -a ,AC =c -a ,BC =c -b ,AM =AB + 1 2 BC =b -a + 1 2 (c -b )= 1 2(c +b -2a ), 2AG AM =3 1 3 (c +b -2a ),所以OG =OA +AG=a +变式提升 3 1 3 (c +b -2a )= 1 3(a +b +c ). 证明三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半.思路分析:数学语言分为三种形式:文字语言,符号语言,图形语言.解答用文字语言给出的数学 问题,必须用符号语言写出已知,求(求证),然后再去解(证明),这是规矩.已知:如图,DE 是△ABC 的中位线.求证:DE 1 2BC. 证明:如图,非零向量 DE , BC , DA , BA , AE , AC .∵DE 是△ABC 的中位线,∴D,E 分别是 BA,AC 的中点.1 1∴ DA = BA ,AE = AC . 22 11 ∵ DE =DA +AE BA + AC =2 2 1即 DE = BC ,① 21 2 (BA +AC )= 1 2 BC , ①式有两个方面的含义,即 DE ∥ BC .又 DE 与 BC 没有公共点,∴DE∥BC.②51 1 |DE |=| BC |,即 DE= 22 1 由②和③,可知 DE BC.2B C.③6。
高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念课堂探究学案
2.1.1 向量的概念课堂探究探究一有关向量概念的问题解有关向量的基本概念的题，首先，要清楚向量的两要素：大小和方向；其次，要对共线向量、相等向量、零向量有深入的理解，分别掌握它们的特征，共线向量又称平行向量，前提是两非零向量方向相同或相反，并规定，零向量与任一向量平行；相等向量是两向量大小相等且方向相同；零向量的大小为零，它的方向是任意的．【例1】给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若AB＝DC，则四边形ABCD是平行四边形；④在平行四边形ABCD中，一定有AB＝DC；⑤若m＝n，n＝k，则m＝k；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c．其中不正确的命题的个数为( )A．2 B．3 C．4 D．5解析：两个向量起点相同、终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，却不一定有起点相同，终点相同，故①不正确．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向相同，而②中方向不一定相同，故不正确．③也不正确，因为A，B，C，D可能落在同一条直线上．零向量方向不确定，它与任一向量都平行，故⑥中若b＝0，则a与c就不一定平行了．因此⑥也不正确．答案：C反思对向量的有关概念的理解要全面、准确．要注意相等向量与共线向量(或平行向量)之间的区别和联系；零向量的长度为零，方向不确定，解题时一定要注意这一特殊向量．探究二向量的表示(1)准确画出向量的方法是先确定向量的始点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．(2)画图时可以按比例画图，要注意题中是否规定有向线段的始点和终点．【例2】一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达点B，然后又改变方向向北偏西40°行驶了200千米到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D．(1)作出向量AB，BC，CD；(2)求|AD|．解：(1)如图所示．(2)由题意，易知AB与CD方向相反，故AB与CD共线，即AB∥CD．又因为|AB|＝|CD|，所以在四边形ABCD中，AB綉CD．所以四边形ABCD为平行四边形．所以|AD|＝|BC|＝200(千米)．探究三相等向量和共线向量向量有两个要素：一是大小，二是方向．两个向量只有当它们的模相等同时方向相同时才称为相等的向量，即a＝b就意味着|a|＝|b|，且a与b的方向相同，还要注意到0与0是相等的向量．【例3】如图所示，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形．(1)找出与向量AB相等的向量；(2)找出与向量AB共线的向量．解：(1)由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，知DC，ED与AB的长度相等且方向相同，所以与向量AB相等的向量为DC和ED．(2)由图可得：DC，ED，EC与AB方向相同，BA，CD，DE，CE与AB方向相反，所以与向量AB共线的向量有BA，DC，CD，ED，DE，EC，CE．警示误区找一个向量的共线向量时，易忽视找出与其方向相反的向量，尤其是与本身方向相反的向量，如本题中易把BA漏掉．探究四易错辨析易错点：因忽视与本身相反的向量而致错【例4】如右图，A1，A2，…，A8是⊙O上8个等分点，则在以A1，A2，…，A8及圆心O9个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于半径2倍的向量有多少个？错解：(1)模等于半径的有OAι(i＝1,2,3，…，8)共8个．(2)模等于半径2倍的向量为正方形A1A3A5A7和A2A4A6A8的边共8个．错因分析：忽略了向量的方向．正解：(1)模等于半径的向量只有两类：一类是OAι(i＝1,2，…，8)共8个，另一类是OAι(i ＝1,2，…，8)也有8个，两类合计16个．(2)以A1，A2，…A8为顶点的⊙O的内接正方形有两个，一是正方形A1A3A5A7，另一个正方形A2A4A6A8，在题目中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的2倍，所以模为半径2倍的向量共有4×2×2＝16个．。
高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.4数乘向量示范教案新人教B版必修
2.1.4 向量数乘示范教案整体设计教学分析向量的数乘运算，其实是加法运算的推广与简化，与加法、减法统称为向量的三大线性运算．教学时从加法入手，引入数乘运算，充分展现了数学知识之间的内在联系．实数与向量的乘积，仍然是一个向量，既有大小，也有方向．特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理．共线向量定理是本章节中重要的内容，应用相当广泛，且容易出错．尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量．共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质，且与后续的知识有着密切的联系．三维目标1．通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程；掌握实数与向量积的定义；理解实数与向量积的几何意义；掌握实数与向量的积的运算律．2．通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取精神；通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用．重点难点教学重点：1.理解数乘向量所表达的几何意义；2．理解并掌握向量的线性运算．教学难点：数乘向量分配律所表达的几何意义．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(类比引入)我们知道，平面几何中的全等与平行的问题，与向量加法及其运算律有着密切的联系，在几何中，一个重要问题是研讨图象的“放大”“缩小”和相似性质．我们是否也能用向量的某种运算去研究呢？由此展开新课．思路2.一物体做匀速直线运动，一秒钟的位移对应的向量为a，那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？怎样用图形表示？由此展开新课．推进新课新知探究提出问题已知非零向量a，试一试你能作出a＋a＋a 和－a ＋－a ＋－a 吗？你能对你的探究结果作出解释，并说明它们的几何意义吗？引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？数乘向量满足哪些运算律？活动：教师引导学生回顾相关知识并猜想结果，对于运算律的验证，点拨学生通过作图来进行．通过学生的动手作图，让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义．教师要引导学生特别注意0·a＝0，而不是0·a＝0.这个零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但又处处存在，稍不注意就会出错，所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系．实数与向量可以求积，但是不能进行加、减运算，比如λ＋a，λ－a都无法进行．向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式：(λ＋μ)a＝λa＋μa和λ(a＋b)＝λa＋λb，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．判断两个向量是否平行(共线)，实际上就是看能否找出一个实数，使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量．一定要切实理解两向量共线的条件，它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段．对问题(1)，学生通过作图1可发现，OC →＝OA →＋AB →＋BC →＝a ＋a ＋a .类似数的乘法，可把a ＋a ＋a 记作3a ，即OC →＝3a .显然3a 的方向与a 的方向相同，3a 的长度是a 的长度的3倍，即|3a|＝3|a |.同样，由图1可知，图1PN →＝PQ →＋QM →＋MN →＝(－a )＋(－a )＋(－a )，即(－a )＋(－a )＋(－a )＝3(－a )．显然3(－a )的方向与a 的方向相反，3(－a )的长度是a 的长度的3倍，这样，3(－a )＝－3a .已知AB →(图2)，把线段AB 三等分，分点为P ，Q ，则图2AP →＝13AB →，AQ ＝23AB →，BP →＝－23AB →. 由上述分析，我们引出数乘向量的一般定义：定义 实数λ和向量a 的乘积是一个向量，记作λa ，且λa 的长度|λa |＝|λ||a |.λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧ 当λ>0时，与a 同方向；当λ<0时，与a 反方向.当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0(图3)．图3λa 中的实数λ，叫做向量a 的系数．数乘向量的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或a 的反方向放大或缩小．根据实数与向量的积的定义，我们可以验证数乘向量运算满足下面的运算律．设λ、μ为实数，那么①λ(μa )＝(λμ)a ；②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；③λ(a ＋b )＝λa ＋λb (分配律)．特别地，我们有(－λ)a ＝－(λa )＝λ(－a )，λ(a －b )＝λa －λb .对问题(3)，向量共线的等价条件是：如果a (a ≠0)与b 共线，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa .推证过程教师可引导学生自己完成，推证过程如下：对于向量a (a ≠0)、b ，如果有一个实数λ，使b ＝λa ，那么由向量数乘的定义，知a 与b 共线．反过来，已知向量a 与b 共线，a ≠0，且向量b 的长度是向量a 的长度的μ倍，即|b |＝μ|a |，那么当a 与b 同方向时，有b ＝μa ；当a 与b 反方向时，有b ＝－μa .关于向量共线的条件，教师要点拨学生做进一步深层探究，让学生思考，若去掉a ≠0这一条件，上述条件成立吗？其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识．在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关．在没有指明非零向量的情况下，共线向量可能有以下几种情况：(1)有一个为零向量；(2)两个都为零向量；(3)同向且模相等；(4)同向且模不等；(5)反向且模相等；(6)反向且模不等．讨论结果：(1)数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由|λ|·|a |确定．(2)它的几何意义是把向量a 沿a 的方向或a 的反方向放大或缩小．(3)略．(4)略．应用示例例1设a ，b 为向量，计算下列各式：(1)－13×3a ； (2)2(a －b )－(a ＋12b )； (3)(2m －n)a －m b －(m －n)(a －b )(m ，n 为实数)．活动：本例是数乘运算的简单应用，可让学生自己完成，要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律．教学中，点拨学生不能将本题看作字母的代数运算，可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义，使学生明确向量数乘运算的特点．同时向学生点出，向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .解：(1)原式＝(－13×3)a ＝－a . (2)原式＝2a －2b －a －12b ＝(2a －a )－(2b ＋12b )＝a －52b . (3)原式＝2m a －n a －m b －m(a －b )＋n(a －b )＝2m a －n a －m b －m a ＋m b ＋n a －n b ＝m a －n b .点评：运用向量运算的运算律，解决向量的数乘．其运算过程可以仿照多项式运算中的2如图4所示，已知OA′→＝3OA →，A′B′→＝3AB →，说明向量OB →与OB′→的关系．图4解：因为OB′→＝OA′→＋A′B′→＝3OA →＋3AB →＝3(OA →＋AB →)＝3OB →，所以OB′→与OB →共线且同方向，长度是OB →的3倍．3如图5，的两条对角线相交于点M ，且AB →＝a ，AD →＝b ，你能用a 、b 表示MA →、MB →、MC →和MD →吗？图5活动：本例的解答要用到平行四边形的性质．另外，用向量表示几何元素(点、线段等)是用向量方法证明几何问题的重要步骤，教学中可以给学生明确指出这一点．解：在中，∵AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ，DB →＝AB →－AD →＝a －b ，又∵平行四边形的两条对角线互相平分，∴MA →＝－12AC →＝－12(a ＋b )＝－12a －12b ， MB →＝12DB →＝12(a －b )＝12a －12b ，MC →＝12AC →＝12a ＋12b ，MD →＝－MB →＝－12DB →＝－12a ＋12b . 点评：结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则，将两个向量的和或差表示出来，这是解决这类几何题的关键．4凸四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点分别为E 、F ，求证：EF →＝12(AB →＋DC →)． 活动：教师引导学生探究，能否构造三角形，使EF 作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决，或创造相同起点，以建立向量间关系．鼓励学生多角度观察思考问题．解：方法一：过点C 在平面内作CG →＝AB →，则四边形ABGC 是平行四边形，故F 为AG 中点．(如图6)图6∴EF 是△ADG 的中位线． ∴EF 12DG. ∴EF →＝12DG →.而DG →＝DC →＋CG →＝DC →＋AB →，∴EF →＝12(AB →＋DC →)． 方法二：如图7，连接EB 、EC ，则有EB →＝EA →＋AB →，EC →＝ED →＋DC →，图7又∵E 是AD 的中点，∴有EA →＋ED →＝0，即有EB →＋EC →＝AB →＋DC →.以EB →与EC →为邻边作EBGC ，则由F 是BC 之中点，可得F 也是EG 之中点．∴EF →＝12EG →＝12(EB →＋EC →)＝12(AB →＋DC →)． 点评：向量的运算主要从以下几个方面加强练习：(1)加强数形结合思想的训练，画出草图帮助解决问题；(2)加强三角形法则和平行四边形法则的运用练习，做到准确熟练运用.课堂小结1．让学生回顾本节学习的数学知识：向量的数乘运算法则，向量的数乘运算律，体会本节学习中用到的思想方法：特殊到一般，归纳、猜想、类比，分类讨论，等价转化．2．向量及其运算与数及其运算可以类比，这种类比是我们提高思想性的有效手段，在今后的学习中应予以充分的重视，类比是我们学习中伟大的引路人．作业课本本节练习A 2,3.设计感想1．本教案的设计流程符合新课程理念，充分抓住本节教学中的学生探究、猜想、推证等活动，引导学生画出草图帮助理解题意和解决问题．先由学生探究向量数乘的结果还是向量(特别地，0·a＝0)，它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小，当λ>0时，λa与a方向相同，当λ<0时，λa与a方向相反．2．向量具有的几何形式和代数形式的双重身份在本节中得以充分体现，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点，由此可看出在中学数学教材中的地位的重要，也成为近几年各地高考命题的重点和热点，教师要引导学生对平面向量中有关知识要点进行归纳整理．备课资料一、向量的数乘运算律的证明设a、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有(1)λ(μa)＝(λμ)a；①(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；②(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.③证明：(1)如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则①式显然成立．如果λ≠0，μ≠0，且a≠0，则根据向量数乘的定义，有|λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|，|(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|.所以|λ(μa)|＝|(λμ)a|.如果λ、μ同号，则①式两边向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两边向量的方向都与a反向．因此，向量λ(μa)与(λμ)a有相等的模和相同的方向，所以这两个向量相等．(2)如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则②显然成立．如果λ≠0，μ≠0且a≠0，可分如下两种情况：当λ、μ同号时，则λa和μa同向，所以|(λ＋μ)a|＝|λ＋μ||a|＝(|λ|＋|μ|)|a|，|λa＋μa|＝|λa|＋|μa|＝|λ||a|＋|μ||a|＝(|λ|＋|μ|)|a|，即有|(λ＋μ)a|＝|λa＋μa|.由λ、μ同号，知②式两边向量的方向或都与a同向，或都与a反向，即②式两边向量的方向相同．综上所述，②式成立．如果λ、μ异号，当λ>μ时，②式两边向量的方向都与λa的方向相同；当λ<μ时，②式两边向量的方向都与μa的方向相同．还可证|(λ＋μ)a|＝|λa＋μa|.因此②式也成立．(3)当a＝0，b＝0中至少有一个成立，或λ＝0，λ＝1时，③式显然成立.当a ≠0，b ≠0且λ≠0，λ≠1时，可分如下两种情况：当λ>0且λ≠1时如图8，在平面内任取一点O 作OA →＝a ，AB →＝b ，OA 1→＝λa ，A 1B 1→＝λb ，则OB →＝a ＋b ，OB 1→＝λa ＋λb .图8由作法知AB →∥A 1B 1→，有∠OAB＝∠OA 1B 1，|A 1B 1→|＝λ|AB →|.所以|OA 1→||OA →|＝|A 1B 1→||AB →|＝λ.所以△AOB∽△A 1OB 1. 所以|OB 1→||OB →|＝λ，∠AOB＝∠A 1OB 1. 因此O 、B 、B 1在同一条直线上，|OB 1→|＝|λOB →|，OB 1→与λOB →的方向也相同．所以λ(a＋b )＝λa ＋λb .当λ<0时，由图9可类似证明λ(a ＋b )＝λa ＋λb .图9所以③式也成立．二、备用习题1.13[12(2a ＋8b )－(4a －2b )]等于( ) A ．2a －b B ．2b －aC ．b －aD ．a －b2．若向量方程2x －3(x －2a )＝0，则向量x 等于( )A.65a B ．－6a C ．6a D ．－65a 3．在△ABC 中，AE →＝15AB →，EF ∥BC，EF 交AC 于F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，则BF →用a 、b 表示的形式是BF →＝________.4．在△ABC 中，M 、N 、P 分别是AB 、BC 、CA 边上的靠近A 、B 、C 的三等分点，O 是△ABC平面上的任意一点，若OA →＋OB →＋OC →＝13e 1－12e 2，则OM →＋ON →＋OP →＝________. 5．已知△ABC 的重心为G ，O 为坐标原点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，求证：OG →＝13(a ＋b ＋c )． 参考答案：1．B 2.C 3.－a ＋15b 4.13e 1－12e 2 5．证明：连接AG 并延长，设AG 交BC 于M.∵AB →＝b －a ，AC →＝c －a ，BC →＝c －b ，∴AM →＝AB →＋12BC →＝(b －a )＋12(c －b )＝12(c ＋b －2a )． ∴AG →＝23AM →＝13(c ＋b －2a )．∴OG →＝OA →＋AG →＝a ＋13(c ＋b －2a )＝13(a ＋b ＋c )． 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.4数乘向量预习导航学案新人教B版必修57
——————————新学期新成绩新目标新方向——————————
2.1.4 向量数乘
预习导航
1．数乘向量
(1)实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且λa的长度|λa|＝|λ||a|．若a≠0，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0．
(2)向量数乘的几何意义：把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小．
自主思考1试讨论λ的取值对λa的方向和长度的影响？
提示：若a≠0，当λ>1时，沿a的方向放大为原来的λ倍；当0<λ<1时，沿a的方向缩小为原来的λ倍；当λ<－1时，沿a的反方向放大为原来的|λ|倍；当－1<λ<0时，沿a的反方向缩小为原来的|λ|倍．由其几何意义可以看出用数乘向量能解决几何中的相似问题．
(3)数乘向量的运算律．
设λ，μ为实数，则①(λ＋μ)a＝λa＋μa；
②λ(μa)＝(λμ)a；
③λ(a＋b)＝λa＋λb．
自主思考2数乘向量与实数的乘法有何区别？
提示：(1)数乘向量与实数的乘法是有区别的，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数．特别要注意当λ＝0时，λa＝0，此处最容易出现的错误是将实数0与向量0混淆，错误地表述成λa＝0．
(2)要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a是无意义的．
桑水。
高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念示范教案
教学资料范本高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念示范教案编辑：__________________时间：__________________2.1.1 向量的概念示范教案教学分析1．本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大．位移、速度、力等物理量学生都学过，这里仅是列出这些物理量让学生感知矢量，为进一步学习向量的概念作铺垫．由于向量来源于物理，并且兼具“数”和“形”的特点，所以它在物理和几何中具有广泛的应用．可通过几个具体的例子说明它的应用．位移、速度、力等是物理中的基本量，也是几何研究的重要对象．几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置．位移简明地表示了点的位置之间的相对关系，它是向量的重要的物理模型．力是常见的物理量．重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量．物理中还有其他力，让学生举出物理学中力的其他一些实例，目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系，以此更加自然地引入向量概念，并建立学习向量的认知基础．2．引出向量的概念后，为了使学生更好地理解向量概念，可采用与数量概念比较的方法，引导学生认识年龄、身高、长度、面积、体积、质量等量是“只有大小，没有方向的量”，同时给出“时间、路程、功是向量吗？速度、加速度是向量吗？”的思考题．通过这样的比较，可以使学生在区分相似概念的过程中更深刻地把握向量概念．实数与数轴上的点是一一对应的，数量常常用数轴上的一个点表示．教科书通过类比实数在数轴上的表示，给出了向量的几何表示——用有向线段表示向量．用有向线段表示向量，赋予了向量一定的几何意义．有向线段使向量的“方向”得到了表示，那么向量的大小又该如何表示呢？一个自然的想法是用有向线段的长度来表示．从而引出向量的模、零向量及单位向量等概念，为学习向量作了很好的铺垫．3．数学中，引进一个新的量后，首先要考虑的是如何规定它的“相等”，这是讨论这个量的基础．如何规定“相等向量”呢？由于向量涉及大小和方向，因此把“长度相等且方向相同的向量”规定为相等向量是非常自然的．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的方向和大小，就可以任意平行移动．因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，这为用向量处理几何问题带来方便，并使平面上的向量与向量的坐标得以一一对应．教学时可结合例题、习题说明这种思想．4．共线向量和平行向量是研究向量的基础，由此可以将一组平行向量平移(不改变大小和方向)到一条直线上，这给问题的研究带来方便．教学中，要使学生体会两个共线向量并不一定要在一条直线上，只要两个向量平行就是共线向量，当然，在同一直线上的向量也是平行向量．要避免向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线相混淆，教学中可以通过对具体例子的辨析来正确掌握概念．三维目标1．通过物理中的位移、速度、力等矢量，利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性，理解平面向量的概念以及确定平面向量的两个要素，搞清数量与向量的区别．2．理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量、零向量等概念，并能判断向量之间的关系．并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量．3．通过本节学习，培养学生从数学的角度思考生活中实际问题的习惯．加强数学的应用意识，切实做到学以致用．用联系、发展的观点观察世界．重点难点教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、向量的模、相等向量、共线向量的概念；会表示向量；知道如何用向量确定点的位置．教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别与联系．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.先引导学生阅读本章引言并观察思考章头图，然后提出问题：在同一时刻，老鼠由A向西北方向的C处逃窜，猫在B处向正东方向的D处追去，猫能否追到老鼠呢(如图1)？学生马上得出结论：追不上，猫的速度再快也没用，因为方向错了．教师适时设问：如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课的探究．图1思路2.创设实物情境，回忆物理相关知识，让学生思考：两列火车先后从同一站台沿相反方向开出，各走了相同的路程，怎样用数学式子表示这两列火车的位移？中国象棋中规定马走“日”，象走“田”，让学生在图上画出马、象走过的路线，从物理知识位移的视角观察思考，并由此展开新课，这也是一个不错的导入选择．推进新课新知探究位移的概念提出问题，让学生举出我们日常生活中有关“位移”“速度”“力”的实例.量与长度、面积、质量等量有哪些不同？即数量与矢量的本质区别在哪里？活动：教师指导学生阅读课本，思考讨论课本中的实例所反映的物理量的特征．我们身边这样的实例很多，可以让学生充分思考讨论再举出一些位移、速度、力的实例来，如果学生举出的是一些有关长度、面积、质量的例子，效果会更好，这样就有了比较，教师因势利导，学生更能明了这些量的本质．例如：物体在液体中受到的浮力是竖直向上的，物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力越大；被拉长的弹簧的弹力是沿着反拉方向的，被压缩的弹簧的弹力是沿着反压方向的，并且在弹性限度内，弹簧拉长或压缩的长度越大，弹力越大；物理中的速度与加速度，物理中的动量与冲量等，这些量的共同特征是既有大小又有方向．如有学生举出我们的身高、运动会上的百米赛跑的跑道长度及场地面积、铅球体积、铅球质量等实例，教师适时地让学生讨论：这些量显然与以上那些量不同，因为长度、面积等这些量只有大小而无方向.如图2，一个质点从点A运动到点A′，这时点A′相对于点A的位置是“北偏东30°，3个单位”．从两个不同点出发的位移，只要方向相同，距离相等，我们都把它们看成相同的位移或相等的位移．一个质点从点B运动到点B′(图2)，如果点B′相对于点B的位置也是“北偏东30°，3个单位”，这时我们说这个位移与点A到A′的位移相等．我们在上体育课时，教师下达口令“向前三步走”，全班同学都进行了同一个位移．图2铺垫已经完成，至此时机成熟，教师恰时恰点地引导学生思考：在现实世界中，像位移、速度、力等既有大小，又有方向的量是很多的，我们能否在数学学科中对这些量加以抽象，形成一种新的量？由此引入本章重要概念——向量．在数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量统称为向量．讨论结果：(1)～(3)略．向量的概念，用向量表示点的位置提出问题以表示向量的什么？义平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？活动：在物理学中，表示位移最简单的方法，是用一条带箭头的线段，箭头的方向表示位移的方向，线段的长度表示位移的大小．速度和力也是用这种方法表示的，箭头的方向分别表示速度和力的方向，线段长度分别表示速度和力的大小．这种带箭头的线段，在数学中叫作“有向线段”．一般地，若规定线段AB 的端点A为起点，端点B为终点，则线段AB就具有了从起点A到终点B的方向和长度．这种具有方向和长度的线段叫作有向线段(如图3)，记作AB →，线段AB的长度也叫作有向线段AB →的长度，记作|AB→|.有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定．图3向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．向量也可以用黑体小写字母如a ，b ，c 表示．一定要学生规范：印刷用黑体a ，手写一定要在小写字母上加箭头．要注意不能说“向量就是有向线段，有向线段就是向量”，有向线段只是向量的一种几何表示，二者有本质的区别．向量只由方向和大小决定，而与向量的起点的位置无关，但有向线段不仅与方向、长度有关，也与起点的位置有关．如图3，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫作有向线段，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作AB →.起点要写在终点的前面， 即是说AB →的方向是由点A指向点B，点A是向量的起点．如图4，关于向量的长度，这是向量的一个重要概念；向量AB→(或a )的大小，就是向量AB →(或a )的长度(或称模)，记作|AB →|(或|a |)．图4教师应注意引导学生将数量与向量的模进行比较，以明确向量的意义．数量有大小而没有方向，其大小有正、负和0之分，可进行运算，并可比较大小；向量的模是正数或0，也可以比较大小．但向量具有方向，由于方向不能比较大小，向量也就不能比较大小，像a >b 就没有意义，而|a |>|b |就有意义．理解了以上向量概念，那么关于向量相等和向量平行就很容易理解了，教师引导学生阅读教材即可．讨论结果：(1)用字母a ，b ，c ，…表示向量(印刷用粗黑体表示)，手写用字母加箭头来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示， 如AB →，CD →.注意：手写体上面的箭头一定不能漏写．(2)有向线段：具有方向的线段就叫作有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段．(3)长度为0的向量叫零向量，记作0，规定零向量的方向是任意的．长度为单位1的向量，叫单位向量.但要注意，零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.(4)同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量．在图5中，有向线段AA′→，BB′→，CC′→…都表示同一向量a ，这时可记作图5AA′→＝BB′→＝CC′→＝…＝a . 一个平面向量的直观形象是平面上“同向且等长的有向线段的集合”．(5)关于平行向量的定义：第一，方向相同或相反的非零向量叫平行向量；第二，我们规定0与任一向量a 平行，即0∥a .综合第一、第二才是平行向量的完整定义．向量a ，b ，c 平行，记作a ∥b ∥c .又如图6，a ，b ，c 是一组平行向量，任作一条与a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，则可在l上分别作出OA →＝a ，OB→＝b ，OC→＝c .这就是说，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．这里教师要提醒学生注意：平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系．图6(6)共线向量，也就是平行向量．但要注意，平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)．平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.(7)| AB →|(或|a |表示向量AB →(或a )的大小，即长度(为模))．教师进一步提醒学生注意方向的问题．方向是大家非常熟知的概念，上面我们没有给它更多的描述，在一个平面内，方向“从西到东”，可以在该平面内任画一条“从左到右”的直线，再给出一个向东的指向来表示，从不同点画出具有同一方向的直线互相平行．由此可见，“方向”和“平行”有着深刻的内在联系．我们在用有向线段表示向量时，用箭头标出的方向，也就是以有向线段的始点为始点指向终点的射线方向．(8)任给一定点O和向量a (图7)，过点O作有向线段OA→＝a ，则点A相对于点O的位置被向量a 所唯一确定，这时向量OA →，又常叫做点A相对于点O的位置向量．图7例如，在谈到天津相对于北京的位置时(图8)，我们说，“天津位于北京东偏南50°，114km”．如图8，点O表示北京的位置，点A表示天津的位置，那么向量图8OA →＝“东偏南50°，114 km”就表示了天津相对于北京的位置．有了向量概念，我们就可以利用向量确定一点相对于另一点的位置． 应用示例例1如图9，D，E，F依次是等边△ABC的边AB, BC,AC的中点．在以A，B，C，D，E，F为起点或终点的向量中，图9(1)找出与向量DE →相等的向量；(2)找出与向量DF →共线的向量．活动：本例安排的目的是让学生进一步熟悉向量的概念，属于基础练习，需要用到初中所学平面几何的相关知识，教师引导学生回忆相关知识后，可让学生充分讨论合作解决．解：由初中所学三角形中位线定理不难得到：(1)在以A，B，C，D，E，F为起点或终点的向量中，与向量DE→相等的向量有：AF →和FC →；(2)在以A，B，C，D，E，F为起点或终点的向量中，与向量DF→共线的向量有：BE →，EB →，EC →，CE →，BC →，CB →，FD →.变式训练判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．(1) ABCD中，AB →与CD →是共线向量；(2)单位向量都相等．解：(1)正确；(2)不正确．点评：本题考查基本概念，对于单位向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好. 教师引导学生画出平行四边形，如图10.因为AB∥CD，所以，AB →∥CD →.由于上面已经明确，单位向量只限制了大小，方向不确定，所以单位向量不一定相等，即单位向量模均相等且为1，但方向不确定.图10例2一个人从A点出发沿东北方向走了100m到达B点，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100m到达C点，求此人从C点走回A点的位移.解：根据题意画出示意图，如图11所示．图11|AB →|＝100 m，|BC →|＝100 m，∠ABC＝45°＋15°＝60°，∴△ABC为正三角形．∴|CA →|＝100 m，即此人从C点返回A点所走的路程为100 m.∵∠BAC＝60°，∴∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝15°，即此人行走的方向为西偏北15°.例3如图12，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与OA →、OB →、OC→相等的量．图12活动：本例是结合正六边形的一些几何性质，让学生巩固相等向量和平行向量的概念，正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，具有丰富的几何性质．解： OA →＝CB →＝DO →；OB →＝DC →＝EO →；OC →＝AB →＝ED →＝FO →.点评：向量相等是一个重要的概念，今后经常用到．让学生在训练中明确，向量相等不仅大小相等，还要方向相同．变式训练(演示课件)1．本例变式一：与向量OA →长度相等的向量有多少个？(11个)本例变式二：是否存在与向量OA →长度相等、方向相反的向量？(存在) 本例变式三：与向量OA →共线的向量还有哪些？(BC →，OD →，EF →，FE →)2．对命题“a ∥b ，b ∥c 推出a ∥c ”，关于真假问题，甲、乙两个学生的判断如下：甲生判断是真命题．理由是：由a ∥b 可知a 与b 的方向相同或相反，由b ∥c 可知c 与b 的方向相同或相反，从而有a 与c 的方向相同或相反，故a ∥c ，即原命题为真命题；乙生判断是假命题．理由是：当两个非零向量a ，c 不平行，而b ＝0时，显然a ∥b 且b ∥c ，但不能推出a ∥c ，故此时结论不成立，即原命题为假命题．究竟甲、乙两生谁的判断正确呢？请给以分析．解：乙的判断正确．由于存在“零向量与任一向量都平行”这一特殊结论，所以在平行向量中应弄清是否有零向量存在．甲生没有考虑到向量b 可能为零向量的情况，故甲生的判断是错误的；乙生的判断完全正确．这说明向量平行的传递性若要成立，则“过渡”向量b 需不为零向量，即在b ≠0时有：(1)当a ≠0，b ≠0时，由a ∥b ，b ∥c 可推出a ∥c ；(2)若a 与c 中有一个为0，则另一个向量无论是否为0，均可推出a ∥c.例4(1)下列命题正确的是( )A．a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 也共线B．任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四顶点C．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D．有相同起点的两个非零向量不平行活动：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确．由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确．向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确．对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a 与b 不都是非零向量，即a 与b 至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a 与b 共线，所以有a 与b 都是非零向量，所以只有C正确．答案：C点评：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念特征入手，也可以从反面进行考虑．要判断一个结论不正确，只需举一个反例即可．要启发学生注意正反这两方面的结合．变式训练1. 判断：(1)平行向量是否一定方向相同？(不一定)(2)不相等的向量是否一定不平行？(不一定)(3)与零向量相等的向量必定是什么向量？(零向量)(4)与任意向量都平行的向量是什么向量？(零向量)(5)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？(平行向量)(6)两个非零向量相等当且仅当什么？(长度相等且方向相同)(7)共线向量一定在同一直线上吗？(不一定)2．把一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是( )A．一条线段 B．一段圆弧 C．两个点 D ．一个圆3．将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点，则这些向量的终点所构成的图形是( )A．一个点 B．两个点C．一个圆 D．一条线段答案：1.略 2.D 3.B课堂小结1．先由学生回顾本节都学了哪些概念：向量，向量的两种表示，特别是对向量的手写要标上箭头，图示上要标上箭头和始点、终点，零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，明了平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比．2．再由教师简要总结：本节课我们学习了向量、向量的两种表示方法及向量的有关概念：如向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念，这些概念是我们进一步学习后续课程的基础，必须要在理解的基础上把握好．3．点拨学生要领悟我们是如何从大量的实际背景中获得这些数学概念的方法，本节的数学知识或许将来会忘掉或全部忘掉，但是我们探究这些知识的方法却会伴随我们一生，永远不会忘掉，使我们终生受益．作业如图13，在梯形ABCD中，AB∥CD，AE∶ED＝BF∶FC＝AB∶DC，O是AC与BD的交点，求证：EO →＝OF →.证明：如图13，∵AB∥CD，图13∴AO∶OC＝BO∶OD＝AB∶CD.又AE∶ED＝BF∶FC＝AB∶DC，∴AE∶ED＝AO∶OC.∴EO∥DC.同理，OF∥DC，∴E，O，F在同一直线上．∴EO DC ＝AE AD ＝BF BC ＝OF DC.∴EO＝OF，即|EO →|＝|OF →|. 又EO →与OF →方向相同，∴EO →＝OF →.设计感想 1．本节是平面向量的第一节，对向量概念的理解无疑是重点，也是难点．本节教案的设计总思路是：把学生划分小组合作讨论学习，经过小组成员们的合作探究，对平面向量的基本概念，和基本解题方法有个清晰的认识，学生有很多的成功之处或收获．对失败或教训之处可能是对一些概念性问题没有深入研究，导致解题存在困难，不过这些会通过学习的深入弥补上来的．2．本教案设计充分利用向量的物理背景．作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后，给中学数学带来无限生机．通过本节大量物理背景实例的铺垫及数学问题的解决，让学生体会到数学在生活中的重要作用，并在实际课堂教学中规范学生的习惯，培养严谨的思考习惯和行为习惯，为后面学习打下基础．3．本教案设计遵循学生的认知规律，体现新课标理念，设计的教学方法主要是让学生自主探究，呈现“现实情境—数学模型—应用于现实问题”的特点，让学生通过观察、分析、归纳、验证，培养学生的主动探究的积极精神，让学生初步感受到向量确实生动有趣，是培养学生数学能力的很好题材．备课资料一、向量中有关概念的辨析1．数量、向量、有向线段对这几个概念的理解容易出现概念不清的问题．数量只有大小，没有方向，其大小可以用实数来表示，它是一个代数量，数量之间可以比较大小；向量既有大小又有方向，向量之间不可以比较大小；有向线段是向量的直观性表示，不能说向量就是有向线段．2．平行向量、共线向量、相等向量平行向量也叫共线向量，故平行向量与共线向量没有区别，而相等向量一定是平行向量，但平行向量不一定是相等向量，即平行向量是相等向量的必要条件而非充分条件．二、备用习题1．若正多边形有n条边，它们对应的向量依次为a 1，a 2，…a n ，则这n个向量( )A．都相等 B．都共线C．都不共线 D．模都相等2．如图14所示，在△ABC中，DE∥BC，则其中共线向量有…( )图14A．一组 B．二组C．三组 D．四组3．若命题p：a ＝b ，命题q：|a |＝|b |，则p是q的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不必要又不充分条件4．如图15所示，在四边形ABCD中，若AB→＝DC →，则下列各组向量相等的是( )图15A.AD →与CB →B.OA →与OC →C.AC →与DB →D.DO →与OB →5．已知a ，b 是任意两个向量，有下列条件：①|a|＝|b|；②a ＝b ；③a 与b 的方向相反；④a ＝0或b ＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中是向量a 与b 共线的充分不必要条件的有__________．(把你认为正确的命题序号全都填上)6．如图16所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.图16(1)写出与ED →相等的向量；(2)若|AB →|＝3，求向量EC →的模．7．判断下列各命题的真假：①向量AB →的长度与向量BA→的长度相等；②向量a ∥b ，则a 与b 的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB →与向量CD→是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为( )A．2 B．3C．4 D．5参考答案：1.D 2.C 3.A 4.D 5.②③④6．解：(1)与ED →相等的向量有DC→和AB →，因为四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，故AB＝ED＝DC；(2)向量EC →的模|EC →|＝6.7．C因为①真命题；②假命题；③真命题；④假命题；⑤假命题；⑥假命题．。
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2.1.1向量的概念
一、【使用说明】
1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；
2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。
二、【重点难点】
重点：向量的概念；
难点：对向量概念的理解.
三、【学习目标】
1、了解向量产生的物理背景，理解位移的概念；
2、理解向量的概念、向量的几何意义，能用向量表示点的位置；
3、初步理解零向量、相等向量、共线向量的意义；
四、自主学习
1、位移和哪些因素有关？如何确定位移？
2、向量的概念：
3、向量的表示法：
向量的模：
相等的向量：
共线向量：
利用向量表示点的位置：
例1、设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出，,与相等的向量。
五、合作探究
1、设点O为正八边形ABCDEFGH的中心，分别写出，,，相等的向量。
2、已知D 、E 、F 分别是ABC ∆各边AB,BC,CA 的中点,分别写出,,相等的向量。
3、选择适当的比例尺，用有向线段分别表示下列各向量：
（1）在南偏西60°方向上，一个大小为50N 的拉力；
（2）方向东南，8km/h 的风的速度；
（3）向量：方向东南，大小为90个单位
4、任作一向量a 和ABC ∆，三角形的每一个顶点位移向量a 分别到达A '，B '，C '的位置，做出C B A '''∆。
六、总结升华
1、知识与方法：
2、数学思想及方法：。