初中数学北师大版 从梯子的倾斜程度谈起开学考试考点.doc
北师大版九年级下 §1.1 从梯子的倾斜程度说起
在现实生活中，自行车是很重要的交
通工具，小明骑自行车上学要经过两段上
坡路，要想骑得同样快，小明能使同样大
的劲吗？
B
A
60m
α
100m
坡角：坡面与水平面的夹角
坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比
比一比看谁做得快而准
1)在直角三角形中,一个锐角所对的 直角边与相邻直角边的比,叫做这 个角的( 正切 )
2) 在直角三角形中,两锐角的正切互 为( 倒数 )关系.
3) △ABC中∠C=90°,AC=6,
4 AB=10,tanA的值是( 3 )
C
A
B
4)如图,在Rt△ABC中AC=3,AB=√13,
则 tanA=( 2 ) 3
5)如图,在Rt△ABC中,AB=√7,
BC= √5,则 tanA=(√ 10 ),tanB=( √ 10 )
独立感悟，勇于思考，才 能真正做到“温故而知新”， 从而成为驾驭学习的主人。
取宝物比赛
咋判断陡？
选哪个？
10m
10m
（1）
1m
5m
（2）
梯子在上升变陡过程中，倾斜 角，铅直高度与水平宽度的比 发生了什么变化？
铅
直
高
倾斜角
度
水平宽度
梯子在上升变陡过程中，倾斜 角，铅直高度与水平宽度的比 发生了什么变化？
(2) B1C1 和 B2C2 有什么关系?
AC1 AC2
(3)如果改变B2在梯子上的位
置呢?由此你能得出什么结论?
A
C2 C1
∠A的正切 在Rt△ABC中, 如果 锐角A确定, B 那么∠A的对边与邻边的比
随之确定, 这个比叫做
∠A的正切. 记作:tanA 读？
北师大版九年级下 §1.1 从梯子的倾斜程度说起
4）初中阶段，我们只学习直角三角形中锐角 的正切。
书中第4页例题1
梯子越陡，tanA的值越大； 反过来， tanA的值越大，梯子越陡。
正切也经常用来描述山坡的坡度
梯子越陡，tanA的值越大； 反过来， tanA的值越大，梯子越陡。
正切也经常用来描述山坡的坡度
数学,就如一条伶俐的小狗，你若喜欢 它，它就向你摇头摆尾，忠心相随。可是 你若嫌弃它，疏远它，它就会向你狂吠， 冷不防咬你一口！
望你乘上数学之舟，科学之箭，闯荡 未来的人生。
作业：
写一篇数学日记。
日记中包含以下几个内容：今天的 收获，今天的疑问，对自己在课堂 的评价，对老师的评价。
在现实生活中，自行车是很重要的交
通工具，小明骑自行车上学要经过两段上
坡路，要想骑得同样快，小明能使同样大
的劲吗？
B
A
60m
α
100m
坡角：坡面与水平面的夹角
坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比
比一比看谁做得快而准
1)在直角三角形中,一个锐角所对的 直角边与相邻直角边的比,叫做这 个角的( 正切 )
5
A
5
C
睁开眼吧，小心看吧
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
练一练：
12
3）在Rt△ABC中∠C=90°AC=5, 5
BC=12,tanB=( )
12
A
5
C
睁开眼吧，小心看吧
B
练一练：
13 12 4）在Rt△ABC中∠C=90°AC=5,
AB=13,tanB=( 5 ) 12
A
5
C
睁开眼吧，小心看吧
B
练一练：
初二升初三数学衔接班资料(北师版)
第一章节 直角三角形的边角关系第一讲 1.从梯子的倾斜程度谈起本节内容：正切的定义 坡度的定义及表示（难点） 正弦、余弦的定义 三角函数的定义（重点） 1、正切的定义在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么A 的对边与邻边的比也随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA. 即tanA=baA =∠∠的邻边的对边A .注：tanA 的值越大，AB 越陡.例1 如图，△ABC 是等腰直角三角形，求tanC.例2 如图,已知在Rt △ABC 中,∠C=90°,CD ⊥AB,AD=8,BD=4,求tanA 的值.2、坡度的定义及表示（难点）我们通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比）。
坡度常用字母i 表示。
斜坡的坡度和坡角的正切值关系是：lh a =tan 注意：（1）坡度一般写成1：m 的形式（比例的前项为1，后项可以是小数）； （2）若坡角为a ，坡度为a lhi tan ==，坡度越大，则a 角越大，坡面越陡。
例3 如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD ,坝顶宽BC 为6m ,坝高为3.2m ,为了提高水坝的拦水能力,需要将水坝加高2m ,并且保持坝顶宽度不变,迎水坡CD•的坡度不变,但是背水坡的坡度由原来的i ＝1:2变成i ′＝1:2.5,（有关数据在图上已注明）.•求加高后的坝底HD 的长为多少?3、正弦、余弦的定义DCA在Rt 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA 。
即sinA=ca=∠斜边的对边A∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA 。
即cosA=cb=∠斜边的邻边A .锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数.例4在△ABC 中，∠C=90°，BC=1，AC=2，求sinA 、sinB 、cosA 、cosB 的值。
通过计算你有什么发现？请加以证明。
4、三角函数的定义（重点）直角三角形中，除直角外，共5个元素，3条边和2个角，它们之间存在如下关系： （1）三边之间关系：222c b a =+； （2）锐角之间关系：∠A+∠B=90°； （3）边角之间关系:sinA=c a ,cosA=c b ,tanA=ba.（其中∠A 的对边为a,∠B 的对边为b,∠C 的对边为c ）除指教外只要知道其中2个元素（至少有1个是边），就可以利用以上关系求另外3个元素。
从梯子的倾斜程度谈起
1.1从梯子的倾斜程度谈起学习目标：1理解正切、正弦、余弦的概念。
2会利用三角函数的定义解决问题。
知识点一：正切：在Rt △ABC 中，∠Ａ为锐角，tanA= 。
随着∠Ａ的增大，tanA ；若tanA 增大，则∠Ａ 。
注意：tanA 的值只与∠Ａ的大小有关，与Rt △ABC 的大小无关。
坡度：我们把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（坡比）。
注意：倾斜角α越大，tan α越大，坡就越陡。
例：甲、乙两个商场分别有A,B 两个自动扶梯，根据现有条件，你能判断出哪一个自动扶梯比较陡吗？练习：1、在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，Rt △ABC 绕着点C 旋转后，点B 落在AC 边上的点B ′,点A 落在点A ′,那么tan ∠AA ＇B ＇的值为 。
2、某人沿着山坡从山脚到山顶共走了1000m ，他上升了600m ，你能算出这个山坡的坡度吗？3、如图，一次函数的图像经过点M ，与x 轴交与点A ，与y 轴交与点B ，根据途中信息求： （1）这个函数的解析式（2）ta n ∠BAO 的值知识点二：正弦、余弦:在Rt △ABC 中，∠Ａ为锐角，sinA= ，cosA= 。
lαh随着∠Ａ的增大，sinA ，cosA 。
若sinA 增大，则∠Ａ ，若cosA 增大，则∠Ａ 。
注意：sinA 、cosA 的值只与∠Ａ的大小有关，与Rt △ABC 的大小无关。
例：如图，以支教坐标系的原点O 为圆心，以1为半径作圆，若点P 是该圆上第一象限内的一点，且OP 与x 轴正方向组成的锐角∠α，则点P 的坐标是（ ）A.(cos α，1)B.(1，sin α)C.(sin α，cos α)D.(cos α，sin α)练习：1、在△ABC 中，∠C =90°，sinA=32，则tanB 的值为（ ） A 、32 B 、35 C 、52 D 、25 2、若等腰三角形的两边长分别是6,8，则底角的余弦是（ ）A 、32 B 、83 C 、34 D 、32或83 3、如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cosA=53,BE=2， 则tan∠DBE 的值是（ ）A 、21B 、2C 、25D 、554、如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 点O ，那么DOAO= 。
北师大版初三数学下册从梯子的倾斜度谈起 正切.1 从梯子的倾斜度谈起
第一章直角三角形的边角关系1.1 从梯子的倾斜度谈起（1）一、学生知识状况分析在本节课以前，学生学习了直角三角形的边边关系（如勾股定理）、角角关系（直角三角形的两个锐角互余）等知识.对于边角关系，平面几何中在特殊的直角三角形中有所接触，如“在直角三角形中，30所对的直角边是斜边的一半”等.但还不能从根本上掌握直角三角形的边与角之间的内在联系.本课时从学生观察比较熟悉的生活工具——梯子的倾斜程度来展开，便于学生在直观感受的基础上进一步探讨更本质的东西，即由直观感受转为定性分析，最终进行定量研究，从而揭示直角三角形边角关系的内在本质.由于学生基于生活经验有一定的直观感受，因此学习本章节内容就有了很好的生活基础，降低了学习难度.但要准确刻画梯子倾斜程度，就需要通过本节课的学习利用直角三角形边与边的关系来判断.二、教学任务分析本课是九年级下册第一章第一节《锐角三角函数》的第一课时.先由学生基于生活经验直观感受、判断梯子的倾斜程度，然后通过不易于判断的个例呈现给学生，引导学生进行简单的演算、比较、推理，教师采用教育技术实验的方法，借助几何画板，通过几何直观，帮助学生真正领会到直角三角形中边与角之间确实存在着一定的关系，最终探索出直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比是随锐角的变化而变化的.说明在直角三角形中，用一个锐角的对边与邻边的的比来定义正切是合理的.在问题解决的过程中，要渗透数形结合等数学思想方法，发展学生的几何直观能力和符号感.由于不同学生对问题的理解是不一样的，教师应尊重学生间的差异，不要急于否定学生的答案，而要鼓励学生开展讨论，给学生提供成果展示的机会，培养学生的交流能力及学习数学的自信心.教学目标1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA 表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程 度、坡度等，能够用正切进行简单的计算.学习重点：理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.学习难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比.学习过程一 情境引入：多媒体播放：在两塔顶各有一宝物，你会选择哪一个塔呢？依据是什么？二、合作探究：合作探究一：这里摆放的两个梯子，你能辨别出那一个比较陡吗合作探究二：在小明家的墙角处放有一架较长的梯子，墙很高，又没有足够长的尺来测量，你有什么巧妙的方法得到梯子的倾斜程度呢？如图1-3，小明想通过测量B 1C 1及AC 1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为通过测量B 2C 2及AC 2 ，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度。
北师大版九年级数学下从梯子的倾斜程度谈起(二)
北师大版九年级数学下从梯子的倾斜程度谈起( 二)课题§从梯子的倾斜程度谈起( 二 )教课目的( 一 ) 教课知识点1. 经历研究直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.2. 能够运用sinA 、 cosA 表示直角三角形两边的比.3. 能依据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.4.理解锐角三角函数的意义 .(二 ) 能力训练要求1.经历类比、猜想等过程 . 发展合情推理能力，能有条理地、清楚地论述自己的看法.2.领会数形联合的思想，并利用它剖析、解决问题，提升解决问题的能力.(三 ) 感情与价值观要求1.踊跃参加数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2.形成合作沟通的意识以及独立思虑的习惯.教课要点1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.2.能用 sinA 、 cosA 表示直角三角形两边的比 .3.能依据直角三角形的边角关系，进行简单的计算.教课难点用函数的看法理解正弦、余弦和正切.教课方法研究——沟通法.教具准备多媒体演示 .教课过程Ⅰ . 创建情境，提出问题，引入新课[ 师 ] 我们在上一节课曾议论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度，而且得出了当倾斜角确准时，其对边与斜边之比随之确立 . 也就是说这一比值只与倾斜角相关，与直角三角形的大小没关 . 并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切.此刻我们提出两个问题：[ 问题 1] 当直角三角形中的锐角确立以后，其余边之间的比也确立吗?[ 问题 2] 梯子的倾斜程度与这些比相关吗?假如有，是如何的关系?Ⅱ. 解说新课1.正弦、余弦及三角函数的定义多媒体演示以下内容：想想：如图(1)直角三角形 AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系 ?(2)A1C1 和A2C2有什么BA1BA2关系?BC1和BC2呢? BA1BA2(3)假如改变 A2在梯子 A1 B上的地点呢 ?你由此可得出什么结论 ?(4)假如改变梯子 A1B的倾斜角的大小呢 ?你由此又可得出什么结论 ? 请同学们议论后回答.[ 生 ] ∵A1C1⊥ BC1， A2C2⊥ BC2，∴A1C1//A 2C2.∴Rt △BA1C1∽ Rt △ BA2C2.A1C1和A2 C2BA1BA2BC1 和BC 2( 相像三角形对应边成比率 ).BA1BA2因为 A2是梯子 A1B 上的随意—点，因此，假如改变A2在梯子 A1 B上的地点，上述结论仍建立 .由此我们可得出结论：只需梯子的倾斜角确立，倾斜角的对边. 与斜边的比值，倾斜角的邻边与斜边的比值随之确立. 也就是说，这一比值只与倾斜角相关，而与直角三角形大小没关 .[ 生 ] 假如改变梯子A1B 的倾斜角的大小，如虚线的地点，倾斜角的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值随之改变.[ 师 ] 我们会发现这是一个变化的过程. 对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值都跟着倾斜角的改变而改变，同时，假如给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值是独一确立的. 这是一种什么关系呢?[ 生] 函数关系 .[ 师 ] 很好 ! 上边我们有了和定义正切相同的基础，接着我们类比正切还可以够有以下定义：( 用多媒体演示)在 Rt △ ABC中，假如锐角 A 确立，那么∠ A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确立. 如图，∠ A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正弦 (sine) ，记作 sinA ，即sinA＝A的对边斜边∠ A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的余弦 (cosine) ，记作 cosA ，即A 的邻边 cosA=斜边锐角 A 的正弦、余弦和正切都是∠ A 的三角函数 (trigonometricfunction).[ 师 ] 你能用自己的语言解说一下你是如何理解“ sinA 、cosA 、 tanA 都是之 A 的三角函数”呢 ?[ 生 ] 我们在前面已议论过， 当直角三角形中的锐角A 确准时 . ∠ A 的对边与斜边的比值，∠A 的邻边与斜边的比值，∠ A 的对边与邻边的比值也都独一确立 . 在“∠ A 的三角函数”概念中，∠ A 是自变量，其取值范围是 0° <A<90°；三个比值是因变量 . 当∠ A 变化时，三个比值也分别有独一确立的值与之对应.2. 梯子的倾斜程度与 sinA 和 cosA 的关系 [师 ] 我们上一节知道了梯子的倾斜程度与 tanA 相关系： tanA 的值越大，梯子越陡. 由此我们想到梯子的倾斜程度能否也和 sinA 、 cosA 相关系呢 ?假如相关系，是如何的关系?[ 生 ] 以下图， AB ＝ A 1B 1，19在 Rt △ ABC 中， sinA=BC，在ABRt △ A 1B 1C 中， sinA 1=B 1C.A 1B 1∵BC ＜B 1C,AB A 1B 1即 sinA<sinA 1，而梯子 A 1B 1 比梯子 AB 陡，因此梯子的倾斜程度与 sinA 相关系 .sinA 的值越大， 梯子越陡 . 正弦值也能反应梯子的倾斜程度 .[ 生 ] 相同道理 cosA= AC1A 1Ccos A ＝ABA 1B 1∵ AB=ABAC ＞ A 1C 即 cosA>cosA ，11ABA 1B 11因此梯子的倾斜程度与 cosA 也相关系 .cosA 的值越小，梯子越陡 .[ 师 ] 同学们剖析得很棒，能够联合图形剖析就更加妙哉 ! 从理论上讲正弦和余弦都能够刻画梯子的倾斜程度，但实质中往常使用正切.3. 例题解说多媒体演示 .[ 例 1] 如图，在 Rt △ABC 中，∠ B=90°， AC ＝ 200.sinA ＝0.6 ，求 BC 的长 .剖析： sinA 不是“ sin ”与“ A ”的乘积， sinA 表示∠ A 所在直角三角形它的对边与斜边的比值，已知 sinA ＝ 0.6 ，BC＝ 0.6.AC解：在 Rt △ ABC 中，∠ B ＝ 90°， AC ＝ 200. sinA＝0.6 ，即 =BC0.6 ，BC ＝ AC × 0.6 ＝ 200× 0.6=120.AC思虑： (1)cosA ＝ ? (2)sinC ＝？ cosC ＝ ?(3)由上边计算，你能猜想出什么结论?解：依据勾股定理，得AB ＝AC 2 BC 2 2002 1202 =160.在 Rt △ ABC 中， CB ＝ 90°. cosA＝ AB160 4 ＝0.8 ，AC 200 5sinC=AB 160 4 =0.8 ，AC 200 5cosC ＝ BC1203＝0.6 ，AC200 5由上边的计算可知 sinA＝cosC ＝ O.6，cosA ＝sinC ＝ 0.8.因为∠ A+∠ C ＝ 90°， 因此， 结论为“一个锐角的正弦等于它余角的余弦” “一个锐角的余弦等于它余角的正弦” . [ 例 2] 做一做：如图，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°， cosA ＝12， AC ＝ 10， AB 等于多少 ?sinB 呢 ?cosB 、sinA13呢?你还可以得出近似例 1 的结论吗 ?请用一般式表达.剖析：这是正弦、余弦定义的进一步应用，同时进一步浸透 sin(90 ° -A) ＝cosA ， cos(90 ° -A)=sinA.解：在 Rt △ ABC 中，∠ C ＝ 90°， AC=10， cosA ＝12， cosA ＝AC,13AB∴ AB=Ac10 13 65 ,cos A12 1061213sinB ＝Accos A12 AB13依据勾股定理，得222＝ (652265260225 2BC＝ AB -AC6)-10 =3662∴BC＝25.625∴ cosB＝BC625 5 , AB6565136sinA ＝BC5 AB13能够得出同例 1 相同的结论 .∵∠ A+∠ B=90°，∴sinA ： cosB=cos(90-A) ，即 sinA ＝ cos(90 ° -A) ；cosA ＝sinB ＝ sin(90 ° -A) ，即 cosA＝ sin(90 ° -A).Ⅲ. 随堂练习多媒体演示1.在等腰三角形 ABC中， AB=AC＝ 5，BC=6，求 sinB ，cosB ， tanB.剖析：要求 sinB ， cosB，tanB ，先要结构∠ B 所在的直角三角形 . 依据等腰三角形“三线合一”的性质，可过 A 作 AD⊥ BC， D 为垂足 .解：过 A 作 AD⊥ BC， D 为垂足 .1∴ AB=AC，∴ BD=DC= BC=3.2在 Rt△ ABD中， AB＝ 5，BD=3，∴ AD＝4.sinB＝ AD4cosB ＝BD3 ,AB5AB5 tanB=AD 4 .BD32.在△ ABC中，∠ C＝ 90°， sinA ＝4， BC=20，求△ ABC的周长和面积 . 5解： sinA= BC，∵ sinA=4，BC＝ 20，AB5∴ AB＝BC20＝＝ 25. sin A45在 Rt△ BC中， AC＝252202=15，∴ ABC 的周长＝ AB+AC+BC ＝ 25+15+20＝ 60，△ ABC 的面积： 1 AC × BC=1×15× 20＝150.223.(2003年陕西 )( 增补练习 )在△ ABC 中. ∠ C=90°，若 tanA= 1，2则 sinA= .解：如图， tanA=BC = 1.AC 2设 BC=x ， AC=2x ，依据勾股定理，得AB= x 2(2x)25x .∴ sinA=Ⅳ . 课时小结BCx 1 5 .AB5x55本节课我们类比正切得出了正弦和余弦的看法， 用函数的看法认识了三种三角函数，即在锐角 A 的三角函数看法中，∠ A 是自变量，其取值范围是 0° <∠ A<90°；三个比值是因变量 .当∠ A 确准时，三个比值分别独一确立；当∠ A 变化时，三个比值也分别有独一确立的值与之对应 . 类比前一节课的内容，我们又进一步思虑了正弦和余弦的值与梯子倾斜程度之间的关系以及用正弦和余弦的定义来解决实质问题.Ⅴ . 课后作业习题 1、2 第 1、2、 3、4 题 Ⅵ . 活动与研究已知：如图， CD 是 Rt △ ABC 的斜边 AB 上的高，求证： BC 2＝ AB ·BD.( 用正弦、余弦函数的定义证明 )[ 过程 ] 依据正弦和余弦的定义，在不一样的直角三角形中，只需角度相同，其正弦值 ( 或余弦值 ) 就相等， 不用只限制于某一个直角三角形中， 在 Rt △ABC 中，CD ⊥ AB.因此图中含有三个直角三角形 . 比如∠ B 既在 Rt △ BDC 中，又在 Rt △ABC 中，波及线段 BC 、 BD 、 AB ，由正弦、余弦的定义得 cosB ＝BC，cosB=BD.ABBC[结果 ] 在 Rt △ ABC 中， cosB ＝BC又∵ CD ⊥ AB.∴在 Rt △ CDB 中， cosB ＝ ABBDBCBC BD2∴=BC ＝ AB · BD.AB BC板书设计§1.1.2 从梯子倾斜程度谈起 ( 二)1.正弦、余弦的定义在 Kt △ ABC中，假如锐角 A确立 . sinA ＝A的对边斜边cosA＝A的对边斜边2.梯子的倾斜程度与 sinA 和 cosA 相关吗 ?sinA 的值越大，梯子越陡cosA 的值越小，梯子越陡3.例题解说4.随堂练习。
九年级(下)1.1从梯子的倾斜程度谈起(1)
BC B B ( ). tan A AC AC 7m ┍ tan A ( ). C BC A A 10m C (1) (2) BC tan A ( ). AB ( ). (6).如图 (2) 10 tan B ( ). tan A 0.7, 7 tan A 0.7或 tan A 0.7
B3 A A C3 B2
B1
C2
C1
知道就做,别客气
小明和小亮这样想,如图:
如图,小明想通过测量B1C1及AC1, 算出它们的比,来说明梯子AB1的 倾斜程度; 而小亮则认为,通过测量B2C2及 AC2,算出它们的比,也能说明梯 子AB1的倾斜程度. 你同意小亮的看法吗?
A C2 C1 B1 B2
).
老师期望:你能从 中悟出点东西.
八仙过海,尽显才能
2.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时 扩大100倍,tanA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定
3.已知∠A,∠B为锐角
(1)若∠A=∠B,则tanA tanB;
B
(2)若tanA=tanB,则∠A
C
A
C
D
= 0.6
坡面与水平面夹角称为坡角。 坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(坡比). 即坡度等于坡角的正切.
八仙过海,尽显才能
1.鉴宝专家—--是真是假：
(1).如图 (1)
(2).如图 (2) (3).如图 (2)
(4).如图 (2)
(5).如图 (2) tan A 0.7 (
由感性上升到理性
直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数 --正切函数 在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值 是一个定值,那么这个角的值也随之确定.
北师大版数学九下1.1从梯子的倾斜程度谈起(2)
九下第一章直角三角形的边角关系1-1从梯子的倾斜程度谈起（2）【课标与教材分析】：课标要求：能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦，余弦。
本节从现实情境（梯子的倾斜程度）出发，让学生经历探索直角三角形边角关系的过程中，理解锐角三角函数的意义，并能够举例说明，能用tanA、sinA、cosA表示直角三角形中两边的比，并能够根据直角三角形的边角关系进行计算。
【学情分析】：1、学生已经知道的：学生在第一课时已经学习过有关直角三角形的边角关系中一个锐角与它的对边、邻边与斜边的关系2、学生想知道的：直角三角形中边与角之间是否还存在着其他的关系呢？教师采用实验的方法，让学生真正领会到直角三角形中的锐角和它的对边、邻边与斜边确实存在着一定的关系3、学生能自己解决的：探索出直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的的比及邻边与斜边的比是由锐角的大小变化而变化的。
【教学目标】：知识与技能：经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.数学思考：能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比,进行简单的计算. 问题解决：理解锐角三角函数的意义.情感态度价值观：结合具体实例，初步体会三角函数在现实生活中的应用，感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识.【教学重点】：理解正弦和余弦的意义，能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比,进行简单的计算【教学难点】：用函数的观点理解正弦、余弦和正切.【创新支点设计】：通过让学生观察自制教具圆规，来感受角的变化对正弦值、余弦值的影响，从而解决梯子的倾斜程度与sinA,cosA的关系问题，变抽象为具体。
【教学评价】：当堂检测，分组评价，在评价中.关注学生在学习过程中的表现,如能否积极地参与活动,能否从不同角度去思考问题。
鼓励学生使用数学语言,有条理的表达自己的思考过程,鼓励学生大胆质疑和创新。
【教学方法与媒体】：引导式自主探究 PPT【教学过程】： 一.情境引入我们在上一节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜角确定时，其对边与邻边之比随之确定.也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关.并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切. 现在请同学们考虑两个问题：[问题1]当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗?[问题2]梯子的倾斜程度与这些比有关吗?如果有，是怎样的关系?二.探究新知1.正弦、余弦及三角函数的定义 想一想：如图所示(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有 什么关系?(2) 2211A C A C B A B A 和有什么关系? 221112B C B C B A B A和呢?(3)如果改变B 2在梯子上的位置呢?上述结论还能成立吗？请同学们讨论后回答.由此我们可得出结论：只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边与斜边的比值，倾斜角的邻边与斜边的比值也随之确定.也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形大小无关.在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.如图，∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦(sine)，记作sinA ，即 sinA ＝斜边的对边A ∠，∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine)，记作cosA ，即 cosA=斜边的邻边A ∠锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数(trigonometricfunction). 2.梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 的关系我们上一节知道了梯子的倾斜程度与tanA 有关系：tanA 的值越大，梯子越陡.由此我们想到梯子的倾斜程度是否也和sinA 、cosA 有关系呢?如果有关系，是怎样的关系? 结合图形自主探究：梯子的倾斜程度与sinA 有关系.sinA 的值越大，梯子越 . 与cosA 也有关系.cosA 的值越小，梯子越.三．典型例题例1：在ABC Rt △中，090C ∠=，AC=15,BC=8,分别求B ∠的三个三角函数值针对训练：如图, 根据图求∠A 的三个三角函数值.例2、如图:在Rt △ABC 中,∠B=900,AC=200,sinA=0.6. 求BC 的长.针对训练：1、如图:在Rt △ABC 中,∠C=900,AC=10，cosA=1312，求:AB,sinB2.在Rt △ABC 中,∠C=900,BC=20,sinA=54，则△ABC 的周长为 ，面积为 。
从梯子的倾斜程度谈起
从梯子的倾斜程度谈起北师大出版社九年级数学下册第一章第一节一、教学建议本节课是由梯子的倾斜程度问题引入正切的概念，教科书呈现了梯子的几种情况，教学时可以呈现更多情形，供学生讨论，比如，可以增加“底边相同，高度不同”、“底边与高度成比例”的情形。
采用倾斜角的正切来刻画倾斜程度，学生可能不太容易理解，教学时要注意引导。
通过对教材上问题的讨论, 要引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法，以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础。
二、教学案例1教学背景分析锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用。
本节课是在学生学习了直角三角形角之间的关系、边之间的关系的基础上进行的，借助于学生生活中常见的梯子为切入点，通过研究梯子的倾斜程度，将问题转化为研究两边之比，利用相似知识解决问题，总结规律。
同时建立比较系统的研究问题的方法，学生认识和理解了正切的概念后可以为学习正弦、余弦作铺垫。
2整合思路采用倾斜角的正切来刻画倾斜程度，学生不太容易理解，首先应展示学生比较熟悉的梯子的各种形状，激发学生的学习兴趣。
在学生讨论问题的过程中，利用多媒体演示梯子的形状变化，让学生理解可以用倾斜角的对边与邻边的比来刻画梯子的倾斜程度，从而正确掌握正切的含义。
同时在幻灯片中展示不同类型建立模型：题引出正切的概念用电脑出示梯子的几种情况出示：情况你能求出其它的边和角吗？比如：要测一个古塔的高度，下面的方法行吗？（幻灯片展示）通过本章的学习，相信大家一定能够解决此问题。
探索新知：问题1：如图1，等高不等底的两个梯子，哪一个倾斜程度较大？学生观察图形，在独立思考的基础上合作交流, 最后总结出不同的方法。
方法总结如下：（1）测量（2）BC与DF大小比较.（3）AC 与EDBC DF的大小比较.（4）过E点作EMI AB等.问题2 :如图2,底与高都不等的两个梯子, 哪一个倾斜程度大?联系生活，激发学习兴趣通过讨论引导几种方法，以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础.㈠二）三）出示〈想一想〉内容（幻灯片出示）问题3:你还会想到哪些类型？（幻灯片展示）问题4：（幻灯片展示）小明，小亮的做法对吗?B.让学生充分理解当倾斜角确定时，其对边与邻边的比随之确定.这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形的大小无关。
北师大版九年级下册数学《从梯子的倾斜程度谈起》直角三角形的边角关系说课教学课件复习提升
梯子AB和EF哪个更 陡？你是怎样判断
的？
小颖的问题,如图:
A
E
?
4
3.5
m
m
B 1.5 C F 1.3 D
m
m
做一做P2 6
永恒的真理 变
驶向胜利 的彼岸
梯子AB和EF哪个 更陡？你是怎样
判断的？
小亮的问题,如图:
E A
4m
6m
B 2m C F 3m D
想一想P2 7
在实践中探索
驶向胜利 的彼岸
).
A
C
(1)
).
(6).如图 (2)
). tan A 0.7,
7┍m A 10m C
(2)
( ).
). tan A 0.7或 tan A 0.7
老师期望:你能从
(5).如图 (2) tan A 0.7 ( ). 中悟出点东西.
随堂练习P6 16
八仙过海,尽显才能
驶向胜利 的彼岸
4.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时
从梯子的倾 斜程度谈起
课件
教师寄语
• 锐角三角函数描述了直角三角形中边与 角的关系,它又是一个变量之间重要的 函数关系,即新奇,又富有魅力,你可要 与它建立好感情噢！
有的放矢 1
看看谁的 本领大
驶向胜利 的彼岸
在直角三角形中,知道一边和一 个锐角,你能求出其它的边和角 吗?
猜一猜,这座古塔有多高?
老师提示:
B
┌ D
C
过点A作AD垂直于BC于点D.
求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
随堂练习P6 17
相信自己
驶向胜利 的彼岸
12. 在Rt△ABC中,∠C=90°. (1)AC=25.AB=27.求tanA和tanB. (2)BC=3,tanA=0.6,求AC 和AB. (3)AC=4,tanA=0.8,求BC.
九年级数学第一章 第1-3节 从梯子的倾斜程度谈起知识精讲 试题
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日九年级数学第一章 第1－3节 从梯子的倾斜程度谈起北师大版【本讲教育信息】一、教学内容第一章 第1~3节 从梯子的倾斜程度谈起；30°，45°，60°角的三角函数值；三角函数的有关计算二、教学目的1、经历探究直角三角形中边角关系的过程，理解锐角三角函数的意义。
2、可以运用tanA ，sinA ，cosA 表示直角三角形中的边角关系，并能进展简单的计算。
3、利用三角函数的定义求30°，45°，60°角的三角函数值，并利用这些值进展一些简单的计算。
4、可以运用计算器计算三角函数值。
三、知识要点1、在ABC Rt ∆中，假如锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA=baA A =∠∠的邻边的对边，∠A 的对边与斜边的比，叫做∠A 的正弦。
记作sinA. ∠A 的邻边与斜边的比也随之确定，这个比叫做∠A 的余弦。
记作cosA.需注意的问题：〔1〕tanA ，sinA ，cosA 中常去角的符号“∠〞。
〔2〕tanA ，sinA ，cosA 没有单位，它表示一个比值。
〔3〕tanA ，sinA ，cosA 是一个完好的符号，不表示“tan 〞，“sin 〞，“cos 〞乘以“A 〞。
〔4〕在初中阶段，tanA ，sinA ，cosA 中，∠A 是一个锐角。
2、一般地，线段BC 的长度称为斜坡AB 的程度宽度，线段AC 的长度称为斜坡AB 的铅直高度，坡面的铅直高度h 与程度宽度l 的比叫做坡面的坡度，记作l h i :=。
3、锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数，在这里，我们可以把∠A 看作自变量，其取值范围是0°<∠A<90°，三个比值为∠A 的函数，它是随∠A 的变化而变化的，当∠A 确定时，三个比值都惟一确定，所以说tanA ，sinA ，cosA 都是∠A 的函数。
九年级数学北师大版下册从梯子的倾斜程度谈起
梯子在上升变陡过程中，倾斜角，铅直高度与水平宽度的比发生了什么变化？
4m
2、梯子的倾斜程度与tanA的关系。
构造直角三角形的意识.
锐角三角函数描述了直角三角形中边与角的关系,它又是一个变量之间重要的函数关系,既新奇,又富有魅力,你可要与它建立好感情噢！
B2
C2
C1
一、思考：1、判断对错: 如图， 1) tanA= BC
AC
1、如图 (2) tanA= AC （ ）
BC
(3)tanA= BC （ ）
AB
(4)tanA=0.7m（ ）
10
(5) tanB= （ ）
7
2、在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时 扩大100倍，tanA的值（ ）
A、扩大100倍 B、缩小100倍
C、不变
D、不能确定
二. 填空:
C
1.tan B = AC
BC
tan A = BC AC
A
B
tanA·tanB =___1___
2.如图, ∠ACB=90°CD⊥AB.
C
tan∠ACD= AD
CD
A
┌ DB
tanB=
AC CD BC BD
AD
CD摩 拳 擦 掌
例题欣赏
行家看“门道”
驶向胜利 的彼岸
例1 下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比
较陡?
甲
13m α
5m ┌
乙 6m ┐ 8m β
解:甲梯中, tan 5 5 . 老师提示: 132 52 12 生活中,常用
乙梯中, tan 6 3 .
84
九年级数学北师大版下册从梯子的倾斜程度谈起
(A) 1 (B) ( C)
B2 倾斜角越大——梯子陡
与tanA有关:tanA的值越大,梯子AB1越陡. 梯子在上升变陡过程中，倾斜角，铅直高度与水平宽度的比发生了什么变化？
(2) 和
有什么关系?
梯子在上升变陡过程中，倾斜角，铅直高度与水平宽度的比发生了什么变化？
你能比较两个梯子哪个更陡吗？
A
C2 C1
置呢?由此你能得出什么结论?
A
C2
C1
由感性到理性
想一想
B2
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三 角 形AB2C2有什么关系?
(2) B1C1 和 B2C2 有什么关系?
AC 1 AC 2
(3)如果改变B2在梯子上的位
置呢?由此你能得出什么结论?
A
C2 C1
由感性到理性
想一想
B2
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三 角 形AB2C2有什么关系?
铅 直 高 度
水平宽度
在实践中探索新知
梯子在上升变陡过程中，倾斜 角，铅直高度与水平宽度的比 发生了什么变化？
铅 直 高 度
水平宽度
探索发现
倾斜角越大——梯子陡
铅直高度与 水平宽度的比越大——梯子陡
理论应用于实际： 哪个梯子更陡？
A E
5m
4m
B
3m
F
2m
从梯子的倾斜程度谈起
若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的
B2 A
C2
(2) B1C1 和 B2C2 有什么关系?
AC 1 AC 2
(3)如果改变B2在梯子上的位
置呢?由此你能得出什么结论?
C1
由感性到理性
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初中数学北师大版从梯子的倾斜程度谈起开学考试考点
姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________
题型选择题填空题解答题判断题
计算题附加题总分
得分
一、选择题
2．如下图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针
旋转得到△AC′B′，则tan B′的值为( )
A. B. C. D.
3．如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（）
A．
B．
C．
D．3
6．在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=a，∠ACB=θ，那么下面各式正确的是（）
A．；
评卷人得分
B．；
C．；
D．.
5．已知、都是锐角，如果，那么与之间满足的关系是（）
A．；
B．°；
C．°；
D．°．
4．在Rt△ABC中，∠A=90°，如果把这个直角三角形的各边长都扩大2倍，那么所得到的直角三角形中，∠B的正切值（）
A．扩大2倍；
B．缩小2倍；
C．扩大4倍；
D．大小不变．
9．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）
A．的值越大，梯子越陡
B．的值越大，梯子越陡
C．的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与的三角函数值无关
8．如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则等于( )
A．
B．
C．
D．
12．某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m，则他上升的最大高度是( )m
A．
B．
C．
D．
12．若，则______________
14．已知为一锐角，化简：______________．
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=1，则sinA=“______,” tanA=“ _______,” cosA=_______. 14．若三角形三边的比是25:24:7，求最小角的正切值、正弦值和余弦值.
17．已知：如图，斜坡AB的倾斜角a，且tanα=，现有一小球从坡底A处以20cm/s 的速度向坡顶B处
移动，则小球以多大的速度向上升高?。