北师大版中考数学规律专题(分类)
中考数学考点大串讲(北师大版)：专题05 投影与视图(基础30题2种题型)(解析版)
专题05投影与视图（基础30题2种题型）一、投影1．（2023秋·陕西西安·九年级高新一中校考阶段练习）正方形纸板在太阳光下的投影不可能是（）A．平行四边形B．一条线段C．矩形D．梯形【答案】D【分析】根据平行投影的性质，进行判断即可．【详解】解：一张正方形纸板在太阳光线的照射下，形成影子不可能是梯形，故选：D．【点睛】本题考查平行投影．熟练掌握平行投影的性质，是解题的关键．2．（2023秋·七年级课时练习）下图中各投影是平行投影的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据平行投影定义即可判断．【详解】解：只有C中的投影线是平行的，且影子长度与原物体长度比一致．故选：C．【点睛】本题考查了平行投影的知识，牢记平行投影的定义是解题的关键．3．（2023秋·七年级课时练习）中心投影的光线是（）A．平行的B．从一点发出的C．不平行的D．向四面发散的【答案】B【分析】根据中心投影的定义即可解答．【详解】解：中心投影的光线是从一点发出的，故选：B．【点睛】本题主要考查了中心投影的定义，解题的关键是掌握中心投影的光线是从一点发出的．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）正午时我们在太阳下的影子长度比下午时我们在太阳底下的影子的长度要．（长，短）【答案】短【分析】根据太阳光不同时刻照射时的角度，以及平行投影的性质判断即可．【详解】解：太阳光可理解为平行光线，正午时刻太阳光照射的角度更大，因此我们于地面形成的影子更短，而下午的时候，照射时的角度变小，在地面形成的影子就更长．故答案为：短．【点睛】本题考查投影，注意理解太阳光是平行光线，并且理解入射角度越大，形成的投影越短，角度越小，形成的投影越长．5．（2022秋·九年级单元测试）某学校操场上立着高度不同的甲、乙两种篮球架，那么在某一时刻的太阳光的照射下，甲种篮球架的高度与其影长的比（填“大于”“小于”或“等于”）乙种篮球架的高度与其影长的比．【答案】等于【分析】根据平行投影的性质进行求解即可．【详解】解：由平行投影的性质可知，在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的物高于影长的比值一定，∴甲种篮球架的高度与其影长的比等于乙种篮球架的高度与其影长的比，故答案为：等于．【点睛】本题主要考查了平行投影，熟知平行投影的性质是解题的关键．6．（2023秋·全国·九年级专题练习）由阳光形成的影子是投影，由灯光形成的影子是投影（选题“平行”或“中心”）【答案】平行中心【分析】由平行光线形成的投影是平行投影；由同一点（点光源）发出的光线所形成的投影是中心投影．【详解】由阳光形成的影子是平行投影，由灯光形成的影子是中心投影，故答案为：平行；中心【点睛】本题考查了中心投影和平行投影的概念，熟记概念是解题关键．7．（2023秋·九年级单元测试）把下列物体与它们的投影连接起来．【答案】见解析【分析】根据投影的定义解答即可．【详解】解：如图：【点睛】本题主要考查了投影，理解投影的定义成为解答本题的关键．8．（2022秋·陕西西安·九年级统考期末）如图，在路灯O（O为灯泡的位置）的同侧有两根高度相同的木棒AB与CD，请分别画出这两根木棒的影子．【答案】作图见解析【分析】根据中心投影的定义：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影，结合光沿直线传播，根据光源和木棒的高度作图即可得到答案．【详解】解：作图如下：影子BE与DF即为所求．【点睛】本题考查中心投影的特点与应用，解决本题的关键是根据光源和两根木棒的物高得影子长．9．（2022秋·陕西咸阳·九年级校考阶段练习）如图，小明和小丽分别站在路灯OA的两侧点B和点C的位置，已知BD为小明在路灯下的影子，请你画出小丽在路灯下的影子CE．【答案】图见解析【分析】作射线OF交直线BA于E，则线段CE即为所求作．【详解】解：如图，CE即为小丽在路灯下的影子．【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，中心投影等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．二、视图10．（2022·安徽合肥·校考三模）下图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，其左视图为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据三视图可进行求解．【详解】解：由图可知该几何体的左视图为；故选A．【点睛】本题主要考查三视图，解题的关键是熟知几何体的特征．11．（2023·浙江湖州·统考中考真题）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案．【详解】解：∵主视图和左视图是矩形，∴几何体是柱体，∵俯视图是圆，∴该几何体是圆柱，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力．12．（2022秋·陕西·九年级校考期中）下图是一个拱形积木玩具，其主视图是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据从前面看到的图形是主视图，即可求解．【详解】解：根据题意得，其主视图是：故选C．【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，掌握从前面看到的图形是主视图是解题的关键．13．（2022秋·广东深圳·九年级深圳市福田区石厦学校校考阶段练习）沿正方体相邻的三条棱的中点截掉一个角，得到如图所示的几何体，则它的左视图是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可．【详解】解：从左边看，是一个正方形，正方形的右上角有一条虚线．故选：C．【点睛】本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，正确掌握观察角度是解题关键．14．（2022·福建泉州·校考模拟预测）如图为某零件支架放置在水平面上，其中支架的两个台阶的高度和宽度相等，则其俯视图是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】解：从上面看，是一行两个相邻的矩形．故选：D．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，明确从上面看得到的图形是俯视图是解题的关键．15．（2021秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的左视图是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】从左边看几何体，所看到的是左视图，按左视图的定义进行判断即可.【详解】解：如图，左视图为故选：B．【点睛】本题考查了三视图的定义，理解定义会看出几何体的三视图是解题的关键．16．（2023·海南儋州·海南华侨中学校联考模拟预测）如图是由5个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形即可．【详解】主视图为从正面看到的图形，从正面看，第一列有1个小正方形，第二列有2个小正方形，第三列有1个小正方形，故选:B．【点睛】此题考查了简单组合体的三视图-主视图，掌握主视图的含义是解题关键．17．（2022秋·甘肃平凉·七年级统考期末）如图，是某立体图形的三视图，则该立体图形是．【答案】圆锥【分析】由正视图和左视图确定是锥体，再由俯视图确定具体形状．【详解】解：根据正视图和左视图为三角形判断出是锥体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆锥．故答案为：圆锥．【点睛】本题考查由三视图判断几何体，考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力和综合能力．熟练掌握简单几何体的三视图是解题的关键．18．（2023秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）写出一个三视图中主视图、左视图、俯视图完全相同的几何体名称：【答案】球（答案不唯一）【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形解答即可．【详解】解：∵球体的主视图、左视图、俯视图都是圆形，∴这个几何体可以是球体．故答案为：球（答案不唯一）．【点睛】本题考查了几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图．19．（2023秋·七年级课时练习）若干桶方便面摆放在桌子上，如图所示是它的三视图，则这一堆方便面共有桶．【答案】6【分析】根据三视图的知识，底层应有4桶方便面，第二层应有2桶，第三层有1桶．【详解】解：综合三视图，这堆方便面底层应该有314桶，第二层应该有2桶，因此共有426桶．故答案为：6．【点睛】本题考查由三视图判断几何体，能够综合三视图进行判断是解题的关键．20．（2022秋·广东茂名·七年级校考期中）从正面、左面、上面看一个几何体，看到形状图完全相同的几何体是（写两个几何体名称）【答案】正方体、球体【分析】根据简单几何体的三视图可得答案.【详解】解：从正面、左面、上面看一个几何体，看到形状图完全相同的几何体是：正方体、球体.【点睛】本题考查的是简单几何体的三视图，掌握柱体，球体，锥体的三视图是解本题的关键.21．（2023秋·全国·九年级专题练习）某圆柱体的实物图和它的主视图如图所示．若6,4AB BC ，则该圆柱体的侧面积等于．【答案】24【分析】首先求出圆柱底面圆的半径，然后利用圆柱的侧面积公式求解即可．【详解】∵4BC ，∴圆柱底面圆的半径为2，∴该圆柱体的侧面积等于22624 ．故答案为：24 ．【点睛】此题考查了圆柱的侧面积，解题的关键是熟练掌握圆柱的侧面积公式．22．（2023春·九年级单元测试）下图是某个几何体的三视图，则该几何体的名称是．【答案】三棱柱【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．【详解】解：根据主视图和左视图为矩形可得该几何体是柱体，再根据俯视图是三角形可得该几何体是三棱柱．故答案为：三棱柱．【点睛】本题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．掌握三视图的相关概念是解题的关键．23．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考期中）如图所示是由一些相同的小立方体搭成的几何体从正面、左面和上面看到的图形，则所搭这个几何体的小方体有个．【答案】5【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．【详解】解：从主视图和俯视图看第一列2个小立方体，第二列2个小立方体，第三列1个小立方体，则此几何体共有2215个小立方体．故答案为：5．【点睛】本题考查由三视图判断几何体．做这类题时要借助三种视图表示物体的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视图上弄清楚物体的上下和前后形状，综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意．24．（2022秋·山西太原·七年级校考阶段练习）一个几何体由一些大小相同的小正方块儿搭建，如图是从上面看到的这个几何体的形状如图，小正方形的数字表示在该位置的小正方块儿的个数，请画出从正面和左面看到的几何体的形状图．【答案】见解析【分析】由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，3；左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，3．据此可画出图形．【详解】解：主视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，3；左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，3，作图如下：．【点睛】本题考查几何体的三视图画法，由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．25．（2022秋·广东深圳·七年级统考期中）请你在答题卷相应的位置上画出下面几何体的三视图．【答案】见解析【分析】主视图从左到右列正方形个数依次为2，1，1；左视图从左到右列正方形个数依次为2，1；俯视图从左到右列正方形个数依次为2，1，1．【详解】解：作图如下：【点睛】本题主要考查了三视图的画法，掌握三视图分别是从物体正面、左面、上面看到的平面图形．26．（2023秋·江西吉安·七年级校考期末）如图，这是由4个完全相同的小正方体组成的几何体．请分别在网格中画出从正面、左面和上面看到的形状图．【答案】见解析【分析】三视图的具体画法及步骤为：①确定主视图位置，画出主视图；②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”．画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．【详解】解：如图所示：【点睛】本题主要考查了画三视图，画立体图形的三视图要循序渐进，不妨从熟悉的图形出发，对于一般的立体图要通过仔细观察和想象，再画它的三视图．要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线．27．（2022秋·山东威海·九年级校联考期中）如图，一个零件形如一个圆柱体削去底面圆的四分之一部分的柱体，请画出该零件的三视图【答案】见解析．【分析】根据立体图形的三视图的特点，正视图：从正面观察立体图形，正视图的宽、高与立体图形的宽、高相等；左视图：从左面看立体图形，左视图的长、高与立体图形的长、高相等；俯视图：从上往下看立体图形，俯视图的宽、长与立体图形的宽、长相等；由此即可求解．【详解】解：如图所示：【点睛】本题主要考查立体图形的三视图，理解并掌握三视图的概念，及绘图方法是解题的关键．28．（2023秋·陕西西安·七年级西安市第三中学校考阶段练习）从正面、左面、上面观察如图所示的几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图．【答案】见解析【分析】观察图形可知，从正面看到的图形是4列，分别为1，4，1，1个正方形；从左面看到的图形是3列，分别为3，1，1个正方形；从上面看到的图形是4列，分别为1，3，1，1个正方形；据此画图即可．【详解】解：由题意得，从正面看，从左面看，从上面看，【点睛】此题考查了从不同方向看几何体，并画出图形，准确画图是解题的关键．29．（2022春·九年级单元测试）填空：如图，A是一组立方块，请说出B，C各是其什么视图．【答案】B主视图，C俯视图【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】解：从正面看左排三层，右排一层，B是主视图；从上面看，左一个，又一个，C是俯视图，故答案为：B主视图，C俯视图．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图．30．（2023春·九年级单元测试）一个几何体的三视图如图所示，请你画出这个几何体的立体图形．【答案】作图见解析【分析】观察三视图可知，该几何体为两个圆柱组合而成，进而可得立体图形．【详解】解：由题意知，画几何体的立体图形如下：【点睛】本题考查了由三视图还原几何体．解题的关键在于根据三视图确定几何体的形状．。
专题10成比例线段(4个知识点3种题型2个易错点2种中考考法)(解析版)-初中数学北师大版9年级上册
【例 2】下列四组线段中，成比例线段的是（ ）
A．4，1，3，8 B．3，4，5，6
C．4，8，3，5
D．15，5，6，2
【答案】D
【分析】根据成比例线段的定义进行判断即可
解：A．∵ 4 :1 3 : 8 ，
∴ 4，1，3，8 不是成比例线段，不符合题意；
专题 10 成比例线段（4 个知识点 3 种题型 2 个易错点 2 种中考考法）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法 知识点 1.形状相同的图形 知识点 2.两条线段的比（重点） 知识点 3.成比例线段（重点） 知识点 4.比例的性质（难点）（重点） 【方法二】 实例探索法 题型 1.比例线段的有关计算 题型 2.利用比例的性质求值 题型 3.关于写比例式的开放性问题 【方法三】 差异对比法 易错点 1 在求两条线段的比时忽略了要统一单位 易错点 2 判断线段是否成比例时，局限于字母的顺序而出错 【方法四】 仿真实战法 考法 1. 比例的性质 考法 2.成比例线段 【方法五】 成果评定法
n
CD
2.比例尺：在地图或工程图纸上，图上长度与它所表示的实际长度的比值通常叫比例尺，比例尺是两条线
段的比的一种.
注意！！！
（1） 在计算两条线段的比时，这两条线段的长度单位必须要统一。
（2） 两条线段的比是一个没有单位的正实数，该比值与线段的长度无关。 （3） 在地图或工程图纸上，图上距离与实际距离的比通常称为比例尺，因此比例尺也是两条线段的比
【学习目标】
1. 认识形状相同的图形，结合实例能识别生活中形状相同的图形。 2. 了解线段的比和成比例线段的概念，掌握两条线段的比的求法。 3. 理解并掌握比例的性质，能利用比例式变形解决一些简单的实际问题。
北师大版中考数学总复习之教师版
北师大版中考数学总复习第1课时实数的有关概念【知识梳理】1.实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数. 有理数和无理数统称为实数.2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．实数和数轴上的点一一对应.3.绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作∣a∣，正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.4.相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数．a的相反数是-a0的相反数是0.5.有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.6.科学记数法：把一个数写成a×10n的形式(其中1≤a<10,n是整数),这种记数法叫做科学记数法. 如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10－5.7.大小比较：正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.8.数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂.9.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．10.开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．11.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0．12.立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0的立方根是0．13.开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方．【思想方法】数形结合，分类讨论【例题精讲】例1.下列运算正确的是（）A．33--=B．3)31(1-=-C3=±D3=-例）A．B C．2-D．2例3.2的平方根是（）A．4 B C．D．例4.《广东省2009年重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资726亿元，用科学记数法表示正确的是（ ）A ．107.2610⨯ 元B ．972.610⨯ 元C ．110.72610⨯ 元D ．117.2610⨯元例5.实数a b ，在数轴上对应点的位置如图所示， 则必有（ ）A ．0a b +>B ．0a b -<C ．0ab >D ．0ab< 例6.（改编题）有一个运算程序，可以使：a ⊕b = n (n 为常数)时，得（a +1）⊕b = n +2， a ⊕（b +1）= n -3现在已知1⊕1 = 4，那么2009⊕2009 = ． 【当堂检测】1.计算312⎛⎫- ⎪⎝⎭的结果是（ ）A ．16B ．16-C ．18D ．18-2.2-的倒数是（ ） A ．12-B ．12C ．2D ．2-3.下列各式中，正确的是（ ）A ．3152<<B ．4153<<C ．5154<<D ．161514<< 4.已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|1|a -的结果为（A ．1B ．1-C ．12a -D ．21a -5.2-的相反数是（ ） A ．2B ．2-C ．12D ．12-6.-5的相反数是____,-12的绝对值是=_____.7.写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于－1的数 . 8.如果2()13⨯-=，则“”内应填的实数是（ ）A ． 32B ．23C ．23-D ．32-第4题图a 0 例5图第2课时实数的运算【知识梳理】1．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数．2．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．3．有理数乘法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍为0．4．有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何非0的数都得0；除以一个数等于乘以这个数的倒数．5．有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的．6．有理数的运算律：加法交换律：a+b=b+a(a b、为任意有理数)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(a, b,c为任意有理数)【思想方法】数形结合，分类讨论【例题精讲】例1.某校认真落实苏州市教育局出台的“三项规定”，校园生活丰富多彩．星期二下午4 点至5点，初二年级240名同学分别参加了美术、音乐和体育活动，其中参加体育活动人数是参加美术活动人数的3倍，参加音乐活动人数是参加美术活动人数的2倍，那么参加美术活动的同学其有____________名.例2.下表是5个城市的国际标准时间（单位：时）那么北京时间2006年6月17日上午9时应是( )A．伦敦时间2006年6月17日凌晨1时.B．纽约时间2006年6月17日晚上22时.C．多伦多时间2006年6月16日晚上20时.D．汉城时间2006年6月17日上午8时.例3.如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，……，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由__________个圆组成.-4-5例2图……思考与收获例4.下列运算正确的是（ ） A ．523=+B ．623=⨯C ．13)13(2-=- D ．353522-=-例5.计算： (1) 911)1(8302+-+--+-π(2)0(tan 45π--+º(3)102)21()13(2-+--；(4)2008011(1)()3π--+-+【当堂检测】1.下列运算正确的是（ ）A ．a 4×a 2=a 6B ．22532a b a b -=C ．325()a a -= D ．2336(3)9ab a b =2.某市2008年第一季度财政收入为76.41亿元，用科学记数法（结果保留两个有效数字）表示为( )A ．81041⨯元B ．9101.4⨯元C ．9102.4⨯元D ．8107.41⨯元3.估计68的立方根的大小在( )A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间 4.如图，数轴上点P 表示的数可能是（ ） AB ．C ． 3.2-D ．5.计算：(1)02200960cos 16)21()1(-+--- （2）)1112-⎛⎫- ⎪⎝⎭第4题图第3课时 整式与分解因式【知识梳理】1.即n m n m a a a +=⋅（m 、n 为正整数）底数不变，指数相减，即n m n m a a a -=÷（a≠0，m 、n 为正整数，m>n ）乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即nnnb a ab =)(（n 为正整数）零指数：10=a （a≠0）；⑤负整数指数：n n aa 1=-（a≠0，n 为正整数）； 2.整式的乘除法:(1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除. (2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.(3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项. (4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.(5)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方， 即22))((b a b a b a -=-+；(6)它们的积的2倍，即2222)(b ab a b a +±=±3.式．4.分解因式的方法：⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，式法．⑵运用公式法：公式22()()a b a b a b -=+- ； 2222()a ab b a b ±+=±5先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解． 6．分解因式时常见的思维误区：⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准． ⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉． (3) 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等【例题精讲】 【例1】下列计算正确的是（ ）A. a ＋2a=3a 2B. 3a －2a=aC. a 2•a 3=a 6 D.6a 2÷2a 2=3a 2【例2】（2008年茂名）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（ ）A ．mB ．mC ．m +1D ．m -1【例3】若2320a a --=，则2526a a +-= ． 【例4】下列因式分解错误的是( )A．22()()x y x y x y-=+-B．2269(3)x x x++=+C．2()x xy x x y+=+D．222()x y x y+=+【例5】如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第n个“广”字中的棋子个数是________【例6】给出三个多项式：21212x x+-，21412x x++，2122x x-．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．【当堂检测】1.分解因式：39a a-=，_____________223=---xxx2.对于任意两个实数对（a，b）和（c，d），规定：当且仅当a＝c且b＝d时，（a，b）=（c，d）．定义运算“⊗”：（a，b）⊗（c，d）=（ac－bd，ad＋bc）．若（1，2）⊗（p，q）=（5，0），则p＝，q＝．3. 已知a=1.6⨯109，b=4⨯103，则a2÷2b=( )A. 2⨯107B. 4⨯1014C.3.2⨯105D. 3.2⨯1014．4.先化简，再求值：22()()(2)3a b a b a b a++-+-，其中2332a b=-=，．5．先化简，再求值：22()()()2a b a b a b a+-++-，其中133a b==-，．思考与收获第4课时 分式与分式方程【知识梳理】1. 分式概念：若A 、B 表示两个整式，且B 中含有字母，则代数式BA2.分式的基本性质：（1）基本性质：（2）约分：（3）通分： 3．分式运算4.分式方程的意义，会把分式方程转化为一元一次方程．5.了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根． 【思想方法】1.类比（分式类比分数）、转化（分式化为整式）2.检验【例题精讲】1．化简：2222111x x x x x x-+-÷-+2．先化简，再求值： 22224242x x x x x x --⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭，其中2x =3．先化简11112-÷-+x xx ）（，然后请你给x 选取一个合适值,4．解下列方程（1）013522=--+xx x x （2）41622222-=-+-+-x x x x x5．一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x 千米，则根据题意所列方程正确的是( )A. B.C.D.【当堂检测】1．当99a =时，分式211a a --的值是．2．当x 时，分式112--x x有意义；当x 时，该式的值为0．3．计算22()ab ab的结果为 ．4. ．若分式方程xxk x --=+-2321有增根，则k 为（ ） A. 2 B.1 C. 3 D.-25．若分式32-x 有意义，则x 满足的条件是：（ ） A ．0≠x B ．3≥x C ．3≠x D ．3≤x6．已知x ＝2008，y ＝2009，求x yx 4y 5x y x 4xy5x y 2xy x 2222-+-+÷-++的值7．先化简，再求值：4xx 16x )44x x 1x 2x x 2x (2222+-÷+----+，其中22+=x8.解分式方程． (1)22011xx x -=+- (2)x 2)3(x 22x x -=--；(3)11322xx x -=--- (4)11-x 1x 1x 22=+-- 思考与收获第5课时二次根式【知识梳理】1.二次根式：(1)定义:____________________________________叫做二次根式.2．二次根式的化简：3．最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式．（2）根号内不含分母（3）分母上没有根号4几个二次根式就叫做同类二次根式．5．二次根式的乘法、除法公式：（1）a b=ab a0b0⋅≥≥（，）（2）a a=a0b0bb≥（，）6．.二次根式运算注意事项：（1化简不正确；④合并出错．（2来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式．【思想方法】非负性的应用【例题精讲】【例1】要使式子1xx+有意义，x的取值范围是（）A．1x≠B．0x≠C．10x x>-≠且D．10x x≠≥-且【例2】估计132202⨯+的运算结果应在（）．A．6到7之间B．7到8之间C．8到9之间D．9到10之间【例3】若实数x y，满足22(3)0x y++-=，则xy的值是．【例4】如图，A，B，C，D四张卡片上分别写有523π7-，，，任取两张卡片．A B C D（1）请列举出所有可能的结果（用字母A，B，C，D表示）；（2）求取到的两个数都是无理数的概率．思考与收获【例5】计算：（1）103130tan 3)14.3(27-+︒---）（π（2）101(1)527232-⎛⎫π-+-+-- ⎪⎝⎭．【例6】先化简，再求值：)1()1112(2-⨯+--a a a ，其中33-=a ．【当堂检测】1.计算：（1）01232tan 60(12)+--+-+． （2）cos45°·(－21)－2－(22－3)0＋｜－32｜＋121- （3）026312()cos 304sin 6022++-+．2.如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简222()a b a b -思考与收获第6课时 一元一次方程及二元一次方程（组）【知识梳理】1的概念及解法，利用方程解决生活中的实际问题． 2．等式的基本性质及用等式的性质解方程：等式的基本性质是解方程的依据，在使用时要注意使性质成立的条件 ． 3．灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组．4．用方程解决实际问题：关键是找到“等量关系”助图表等，在得到方程的解后，要检验它是否符合实际意义． 【思想方法】方程思想和转化思想【例题精讲】例1． （1）解方程.x x+--=21152156（2）解二元一次方程组 ⎩⎨⎧=+=+27271523y x y x 解：例2．已知x =-2是关于x 的方程()x m x m -=-284的解，求m 的值． 方法1 方法2例3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A. B. C. D. 例4．在 中，用x 的代数式表示y ，则y=______________． 例5．已知a 、b 、c 满足⎩⎨⎧=+-=-+02052c b a c b a ，则a ：b ：c= ．例6 ．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过 A 度，那么这个月这户只需交 10 元用电费，如果超过 A 度，则这个月除了仍要交 10 用电费外，超过部分还要按每度 0.5 元交费． ①该厂某户居民 2 月份用电 90 度，超过了规定的 A 度，则超过部分应该交电费多少元（用 A 表示）？ ．②右表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况：根据右表数据，求电厂规定A 度为 ．⎪⎩⎪⎨⎧=+=+65115y x y x ⎩⎨⎧-=+=+2102y x y x ⎩⎨⎧==+158xy y x ⎩⎨⎧=+=31y x x 032=-+y x【当堂检测】1．方程x -=52的解是___ ___．2．一种书包经两次降价10%，现在售价a 元，则原售价为_______元． 3.若关于x 的方程x k =-153的解是x =-3，则k =_________． 4．若⎩⎨⎧-==11y x ，⎩⎨⎧==22y x ，⎩⎨⎧==c y x 3都是方程ax+by+2＝0的解，则c=____．5．解下列方程（组）：（1）()x x -=--3252； （2）....x x +=-0713715023； （3）⎩⎨⎧=+=+832152y x y x ； （4）x x-+=-21141356．当x =-2时，代数式x bx +-22的值是12，求当x =27．应用方程解下列问题：初一（4付9元，则多了5元，后来组长收了每人8元，自己多付了2板价值多少？8．甲、乙两人同时解方程组8(1)5 (2)mx ny mx ny +=-⎧⎨-=⎩由于甲看错了方程①中的m ，到的解是42x y =⎧⎨=⎩，乙看错了方程中②的n ，得到的解是25x y =⎧⎨=⎩，试求正确,m n的值．第7课时 一元二次方程【知识梳理】1. 一元二次方程的概念及一般形式：ax 2+bx +c =0 (a ≠0)2. 一元二次方程的解法：①直接开平方法②配方法③公式法④因式分解法 3．求根公式：当b 2-4ac≥0时，一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)的两根为 4．根的判别式： 当b 2-4ac ＞0时，方程有 实数根．当b 2-4ac=0时， 方程有 实数根． 当b 2-4ac ＜0时，方程 实数根．【思想方法】1. 常用解题方法——换元法2. 常用思想方法——转化思想，从特殊到一般的思想，分类讨论的思想 【例题精讲】 例1．选用合适的方法解下列方程：(1) (x-15)2-225=0； (2) 3x 2－4x －1＝0（用公式法）；(3) 4x 2－8x ＋1＝0（用配方法）； （4）x 2+22x=0例2 ．已知一元二次方程0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零，求m 的值．例3．用22cm 长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个矩形的长和宽又问：能否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？例4．已知关于x 的方程x 2―(2k+1)x+4(k -0.5)=0(1) 求证：不论k 取什么实数值，这个方程总有实数根；(2) 若等腰三角形ABC 的一边长为a=4，另两边的长b ．c 个根，求△ABC 的周长．aac b b x 242-±-=【当堂检测】 一、填空1．下列是关于x 的一元二次方程的有_______ ①02x 3x12=-+ ②01x 2=+③)3x 4)(1x ()1x 2(2--=- ④06x 5x k 22=++ ⑤021x x 2432=--⑥0x 22x 32=-+2．一元二次方程3x 2=2x 的解是 ．3．一元二次方程(m-2)x 2+3x+m 2-4=0有一解为0，则m 的值是 ． 4．已知m 是方程x 2-x-2=0的一个根，那么代数式m 2-m = ． 5．一元二次方程ax 2+bx+c=0有一根-2,则bc a 4+的值为 ．6．关于x 的一元二次方程kx 2+2x －1=0有两个不相等的实数根, 则k是__________．7．如果关于的一元二次方程的两根分别为3和4是 ． 二、选择题：8．对于任意的实数x,代数式x 2－5x ＋10的值是一个( ) A.非负数 B.正数 C.整数 D.不能确定的数 9．已知(1-m 2-n 2)(m 2+n 2)=-6,则m 2+n 2的值是（ ） A.3 B.3或-2 C.2或-3 D. 210．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） （A ）x 2＋4＝0 （B ）4x 2－4x ＋1＝0（C ）x 2＋x ＋3＝0（D ）x 2＋2x －1＝0 11．下面是李刚同学在测验中解答的填空题，其中答对的是（ ） A ．若x 2=4，则x=2 B ．方程x(2x-1)=2x-1的解为x=1 C ．方程x 2+2x+2=0实数根为0个 D ．方程x 2-2x-1=012．若等腰三角形底边长为8,腰长是方程x 2-9x+20=0的一个根,则这个三角形的周长是（ ） A.16 B.18 C.16或18 D.21 三、解下方程：(1)(x+5)(x-5)=7 (2)x(x-1)=3-3x (3)x 2-4x-4=0(4)x 2+x-1=0 (6)（2y-1）2 -2（2y-1）-3=0第8课时 方程的应用（一）【知识梳理】1. 方程（组）的应用；2. 列方程（组）解应用题的一般步骤；3. 实际问题中对根的检验非常重要． 【注意点】分式方程的检验，实际意义的检验．【例题精讲】例1. 足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0队打了14场，负5场，共得19分，那么这个队胜了（ ） A ．4场 B ．5场 C ．6场 D ．13场例2. 某班共有学生49人.人数的一半.若设该班男生人数为x ，女生人数为y 算出x 、y 的是（ ）A ．⎩⎨⎧x –y= 49y=2(x+1) B ．⎩⎨⎧x+y= 49y=2(x+1) C ．⎩⎨⎧x –y= 49y=2(x –1) D ．⎩⎨⎧x+y= 49y=2(x –1)例3. 张老师和李老师同时从学校出发，步行15李老师每小时多走1千米？设李老师每小时走x 千米，依题意得到的方程是（ ）1515115151..12121515115151..1212A B x x x x C D x x x x -=-=++-=-=--例4.用一张信笺，教务处每发出一封信都用3封，•但余下50张信笺，而教务处用掉所有的信笺但余下50个信封，的信笺数为x 张，•信封个数分别为y 个，则可列方程组 ． 例5. 团体购买公园门票票价如下： 100别购票，两团共计应付门票费1392元，门票费1080元．(1)请你判断乙团的人数是否也少于50人． (2)求甲、乙两旅行团各有多少人？【当堂检测】1. 某市处理污水，需要铺设一条长为1000m 的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时，每天比原计划多铺设10米，结果提前5天完成任务．原计划每天铺设管道xm ，则可得方程 ．2. “鸡兔同笼”是我国民间流传的诗歌形式的数学题， “头笼中露，看来脚有100只，几多鸡儿几多兔？”解决此问题，设鸡为x y 只，所列方程组正确的是（ ） ⎩⎨⎧=+=+100236.y x y x A 3636..2410022100x y x y B C x y x y +=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩⎩⎨⎧=+=+1002436..y x y x D 3.为满足用水量不断增长的需求，某市最近新建甲、乙、•厂的日供水量共计11.8万m 3，•其中乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的3丙水厂的日供水量比甲水厂日供水量的一半还多1万m 3． （1）求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米？（2）在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走600t 土石，运输公司派出A B•型两种载重汽车，A 型汽车6辆，B 型汽车4辆，分别运5或者A 型汽车3辆，B 型汽车6辆，分别运5次，也可把土石运完，那么每辆型汽车，每辆B 载）4. 2009年初我国南方发生雪灾，某地电线被雪压断，供电局的维修队要到远的郊区进行抢修．维修工骑摩托车先走，15min 结果两车同时到达抢修点．已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5车的速度．5. 某体育彩票经售商计划用45000•元从省体彩中心购进彩票20扎，每扎1000已知体彩中心有A 、B 、C 三种不同价格的彩费，进价分别是A•种彩票每张元，B 种彩票每张2元，C 种彩票每张2.5元．（1）若经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎，用去45000票方案；（2）若销售A 型彩票一张获手续费0.2元，B 型彩票一张获手续费0.3元，C 彩票一张获手续费0.5最多，你选择哪种进票方案？（3）若经销商准备用45000元同时购进A 、B 、C 三种彩票20方案．第9课时 方程的应用（二）【知识梳理】1.一元二次方程的应用；2. 列方程解应用题的一般步骤；3. 问题中方程的解要符合实际情况．【例题精讲】 例1. 一个两位数的十位数字与个位数字和是7，把这个两位数加上45后，•结果恰好成为数字对调后组成的两位数，则这个两位数是（ ） A ．16 B ．25 C ．34 D ．61例2. 如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修 建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积 需要551米2，则修建的路宽应为（ ） A ．1米 B ．1.5米 C ．2米 D ．2.5米 例3. 为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x ，则下列方程正确的是（ ）Ａ．225003600x = Ｂ．22500(1)3600x +=Ｃ．22500(1%)3600x += Ｄ．22500(1)2500(1)3600x x +++= 例4. 某地出租车的收费标准是：起步价为7元，超过3千米以后，每增加1千米，•加收2.4元．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费19元，•设此人从甲地到乙地经过的路程为x 千米，那么x 的最大值是（ ）A ．11B ．8C ．7D ．5例5. 已知某工厂计划经过两年的时间，•把某种产品从现在的年产量100万台提高到121万台，那么每年平均增长的百分数约是________．按此年平均增长率，预计第4年该工厂的年产量应为_____万台．例6. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月10000•元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？例7. 幼儿园有玩具若干份分给小朋友，如果每人分3件，那么还余59件．•如果每人分5件，那么最后一个人不少于3件但不足5件，试求这个幼儿园有多少件玩具，有多少个小朋友．【当堂检测】1. 某印刷厂1•月份印刷了书籍60•万册，•第一季度共印刷了200万册，问2、3月份平均每月的增长率是多少？2. 为了营造人与自然和谐共处的生态环境，某市近年加快实施城乡绿化一体化工程，创建国家城市绿化一体化城市．某校甲，乙两班师生前往郊区参加植树活动．已知甲班每天比乙班少种10棵树，甲班种150棵树所用的天数比乙班种120棵树所用的天数多2天，求甲，乙两班每天各植树多少棵？3. A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s 的速度向D移动.⑴ P、Q两点从出发开始到几秒时四边形PBCQ的面积为33 cm2？⑵ P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10 cm？4. 甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下表所示．甲班分两次共购买苹果70kg（第二次多于第一次），共付出189元，而乙班则一次购买苹果70kg．（1）乙班比甲班少付出多少元？（2）甲班第一次，第二次分别购买苹果多少千克？购苹果数不超过30kg 30kg以下但不超过50kg50kg以上每千克价格3元 2.5元2元第10课时 一元一次不等式（组）【知识梳理】1.一元一次不等式（组）的概念；2.不等式的基本性质；3.不等式（组）的解集和解法． 【思想方法】1.不等式的解和解集是两个不同的概念；2.解集在数轴上的表示方法．【例题精讲】 例1.如图所示，O 是原点，实数a 、b 、c 在数轴上对应的点分别为A 、B 、C ，则下列结论错误的是（ ） A. 0b a >-B. 0ab <C. 0b a <+D. 例2. 不等式112x ->的解集是（ ）Ａ．12x >- Ｂ．2x >- Ｃ．2x <-Ｄ．12x <-例3. 把不等式组21123x x +>-⎧⎨+⎩≤的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．例4. 不等式组221x x -⎧⎨-<⎩≤的整数解共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个例5. 小明和爸爸妈妈三人玩跷跷板，三人的体重一共为150kg ，爸爸坐在跷跷板的一端，小明体重只有妈妈一半，小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸那端仍然着地，那么小明的体重应小于（ ） A. 49kg B. 50kg C. 24kg D. 25kg 例6.若关于x 的不等式x －m ≥－1的解集如图所示，则m 等于（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．3例7.解不等式组：（1）21113x xx +<⎧⎪⎨-≥⎪⎩ （2）⎪⎩⎪⎨⎧+<+->+)6(3)4(4,5351x x x x4321B A O C)c a (b >-1 01- 10 1- 1 0 1- 1 0 1-第12课时 一次函数图象和性质【知识梳理】1．正比例函数的一般形式是y=kx(k≠0)，一次函数的一般形式是y=kx+b(k≠0). 2. 一次函数y kx b =+的图象是经过（kb-，0）和（0，b ）两点的一条直线. 3. 一次函数y kx b =+的图象与性质【思想方法】数形结合【例题精讲】 例1. 已知一次函数物图象经过A(-2,-3)，B(1,3)两点.（1）求这个一次函数的解析式；（2）试判断点P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上； （3）求此函数与x 轴、y 轴围成的三角形的面积.例2. 已知一次函数y=(3a+2)x －(4－b),求字母a 、b 为何值时： （1）y 随x 的增大而增大； （2）图象不经过第一象限；（3）图象经过原点； （4）图象平行于直线y=－4x+3； （5）图象与y 轴交点在x 轴下方.例3. 如图，直线l 1 、l 2相交于点A ，l 1与x 轴的交点坐标为（－1，0），l 2与y 轴的交点坐标为（0，－2），结合图象解答下列问题： （1）求出直线l 2表示的一次函数表达式；（2）当x 为何值时，l 1 、l 2表示的两个一次函数的函数值都大于0？k 、b 的符号k ＞0，b ＞0k ＞0，b ＜0k ＜0，b ＞0k ＜0，b ＜0图像的大致位置经过象限 第 象限 第 象限第 象限第 象限 性质y 随x 的增大 而y 随x 的增大而而y 随x 的增大 而y 随x 的增大 而xyO 32y x a=+1y kx b=+yxOBA例4.如图，反比例函数xy2=的图像与一次函数bkxy+=的图像交于点A(ｍ，2)，点B(－2, n )，一次函数图像与y轴的交点为C.（1）求一次函数解析式；（2）求C点的坐标；（3）求△AOC的面积.【当堂检测】1.直线y＝2x＋8与x轴和y轴的交点的坐标分别是_______、_______；2.一次函数1y kx b=+与2y x a=+的图象如图，则下列结论：①0k<；②0a>；③当3x<时，12y y<中，正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．33.一次函数(1)5y m x=++，y值随x增大而减小，则m的取值范围是（）A．1m>-B．1m<-C．1m=-D．1m<4.一次函数23y x=-的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．已知函数y kx b=+的图象如图，则2y kx b=+的图象可能是（）6.已知整数x满足-5≤x≤5，y1=x+1，y2=-2x+4对任意一个x，m都取y1，y2中的较小值，则m的最大值是（）A.1B.2C.24D.-97.如图，点A的坐标为(－1，0)，点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为( )A.（0，0）B.（22，22-）C.（－21，－21） D.（－22，－22）第2题图第5题图第13课时 一次函数的应用【例题精讲】例题1.某地区的电力资源丰富，并且得到了较好的开发.该地区一家供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费.月用电量x （度）与相应电费y （元）之间的函数图像如图所示.⑴月用电量为100度时，应交电费 元； ⑵ 当x≥100时，求y 与x 之间的函数关系式； ⑶ 月用电量为260度时，应交电费多少元？例题2. 在一次远足活动中，某班学生分成两组，第一组由甲地匀速步行到乙地后原路返回，第二组由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回，两组同时出发，设步行的时间为t （h ），两组离乙地的距离分别为S 1（km ）和S 2(km)，图中的折线分别表示S 1、S 2与t 之间的函数关系．（1）甲、乙两地之间的距离为 km ，乙、丙两地之间的距离为 km ； （2）求第二组由甲地出发首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间分别是多少？ （3）求图中线段AB 所表示的S 2与t 间的函数关系式，并写出t 的取值范围．例题3.某加油站五月份营销一种油品的销售利润y （万元）与销售量x （万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题： （1）求销售量x 为多少时，销售利润为4万元； （2）分别求出线段AB 与BC 所对应的函数关系式；（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在O A 、AB 、BC 三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）2·4·6· 8· S(km) 2 0 t(h) A B1日：有库存6万升，成本价4元/升，售价5元/升． 13日：售价调整为5.5元/升．15日：进油4万升，成本价4.5元/升．31日：本月共销售10万升．图（1） 2 O 5 x A B C P D 图（2）第1题图 例题4.奥林玩具厂安排甲、乙两车间分别加工1000只同一型号的奥运会吉祥物，每名工人每天加工的吉祥物个数相等且保持不变，由于生产需要，其中一个车间推迟两天开始加工．开始时，甲车间有10名工人，乙车间有12名工人，图中线段OB 和折线段ACB 分别表示两车间的加工情况．依据图中提供信息，完成下列各题：（1）图中线段OB 反映的是________车间加工情况；（2）甲车间加工多少天后，两车间加工的吉祥物数相同？ （3）根据折线段ACB 反映的加工情况， 请你提出一个问题，并给出解答．【当堂检测】 1.如图(1)，在直角梯形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD 运动至点D 停止．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图(2)所示，则△BCD 的面积是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 2.如图，在中学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生测试的路程s （米）与时间t （秒）之间的函数关系的图象分别为折线OABC 和线段OD ，下列说法正确的是（ ） A ．乙比甲先到终点B ．乙测试的速度随时间增加而增大C ．比赛到29.4秒时，两人出发后第一次相遇D ．比赛全程甲测试速度始终比乙测试速度快 3.小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A ，再走上坡路到达点B ，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（ ） A ．12分钟 B ．15分钟C ．25分钟D ．27分钟4.在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回．设汽车从甲地出发x (h)时，汽车与甲地的距离为y (km)，y 与x 的函数关系如图所示．根据图像信息，解答下列问题： （1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由；（2）求返程中y 与x 之间的函数表达式； （3）求这辆汽车从甲地出发4h 时与甲地的距离．2 B x （天） AC18 20 O 960 1000 y （只） 第2题图 第3题图 第4题图。
中考数学考点大串讲(北师大版)：勾股定理必刷基础30题(解析版)
专题01勾股定理（基础30题3种题型）一、探索勾股定理1．（2023春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）在Rt ABC △中，90C ，12a ，16b ，则c 的长为（）A ．26B ．18C ．20D ．21【答案】C【分析】根据勾股定理222 a b c ，即可．【详解】∵在Rt ABC △中，90C ，12a ，16b ∴2222121620c a b 故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是掌握勾股定理的运用．2．（2022秋·江苏扬州·八年级仪征市第三中学校考阶段练习）下列各组数中，是勾股数的为（）A ．1，2，3B ．4，5，6C ．6，8，10D ．7，8，9【答案】C【分析】根据勾股定理的逆定理分别进行分析，从而得到答案．【详解】解：A 、221236 ∵， 这组数不是勾股数；B 、222456+¹Q ， 这组数不是勾股数；C 、2226810 ∵， 这组数是勾股数；D 、222789 ∵， 这组数不是勾股数，故选：C ．【点睛】此题主要考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC 的三边满足222 a b c ，则ABC 是直角三角形．3．（2023春·河北廊坊·八年级廊坊市第四中学校考期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则正方形E 的面积是（）A ．47B ．37C ．34D ．13【答案】A 【分析】根据勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形的面积等于边长的平方，故可得到以斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的面积之和．【详解】解：由勾股定理得：正方形F 的面积 正方形A 的面积 正方形B 的面积223534 ，同理，正方形G 的面积 正方形C 的面积 正方形D 的面积222313 ，∴正方形E 的面积 正方形F 的面积 正方形G 的面积341347 ．故选：A ．【点睛】此题考查的是勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的正方形面积之和是解决此题的关键．4．（2023春·福建福州·八年级统考期中）在ABC 中，90C ，若3AB ，则222AB BC AC ．【答案】6【分析】利用勾股定理得222BC AC AB ，再代入计算即可．【详解】解：在ABC 中，90C ∵，222BC AC AB ，2222222(3)6AB BC AC AB ，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理解题的关键．5．（2023·北京丰台·二模）如图所示，正方形网格中，三个正方形A ，B ，C 的顶点都在格点上，用等式表示三个正方形的面积A B C S S S ，，之间的关系．【答案】A B CS S S 【分析】根据勾股定理以及正方形的面积公式即可得到结论．【详解】解：239A S ，2525B S ，正方形C 的边长为223534 ，∴ 23434C S ，∴A B C S S S ，，之间的关系为A B C S S S ，故答案为：A B C S S S ，【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．6．（2022秋·七年级单元测试）数组3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；……都是勾股数，若n 为直角三角形的一较长直角边，用含n 的代数式表示斜边为．【答案】1n /1n【分析】首先确定各勾股数中的较长直角边、斜边，认真观察，总结规律，不难得出．【详解】解：因为3、4、5中较长直角边是4、斜边是541 ；5、12、13中较长直角边是12、斜边是13121 ；7、24、25中较长直角边是24、斜边是25241 ；9、40、41中较长直角边是40、斜边是41401 ；…∴若n 为直角三角形的一较长直角边，用含n 的代数式表示斜边为1n ．【点睛】此题考查勾股数之间的规律，认真观察是关键．7．（2023春·陕西安康·八年级统考期末）已知在ABC 中，906cm 2cm ACB AC BC ，，，求AB 的长．【答案】210cm【分析】利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：∵在ABC 中，906cm 2cm ACB AC BC ，，，∴由勾股定理得222262210cm AB AC BC ．【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟知勾股定理是解题的关键．8．（2023春·山东聊城·八年级统考期中）如图，某人从A 地到B 地共有三条路可选，第一条路是从A 地沿AB 到达B 地，AB 为10米，第二条路是从A 地沿折线AC CB 到达B 地，AC 为8米，BC 为6米，第三条路是从A 地沿折线AD DB 到达B 地共行走26米，若,,C B D 刚好在一条直线上．(1)求证：90C ；(2)求AD 和BD 的长．【答案】(1)见解析(2)AD 的长为17米，BD 的长为9米【分析】（1）通过计算得出222AC BC AB ，再根据勾股定理的逆定理即可证明．（2）先设一条线段长x ，根据已知条件及勾股定理可列出关于x 的方程，然后求解即可．【详解】（1）证明：∵8AC 米，6BC 米，10AB 米，∴222AC BC AB ，∴ABC 是直角三角形，即90C ；（2）解：设AD x 米，则 26BD x 米，∴ 62632CD BC BD x x （米），在Rt ACD 中，由勾股定理得：2228(32)x x ，解得：17x ，则2626179x ．答：AD 的长为17米，BD 的长为9米．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，设未知数、运用方程解题是本题的关键所在．9．（2022秋·吉林长春·八年级统考期中）如图①、图②均为43 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1．在图①、图②中按下列要求各画一个三角形．(1)与ABC 全等，以点B 为一个顶点，另外两个顶点也在格点上．(2)与ABC 全等，且不与ABC 重合．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据题意画出符合题意的格点三角形即可；（2）根据题意画出对应的全等三角形即可．【详解】（1）解：如图①中，BCE 即为所求，（2）解：如图②所示，BFK 即为所求；【点睛】本题主要考查了画格点三角形，画全等三角形，正确理解题意是解题的关键．10．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）如图所示，在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝4，BC ＝3，165AD ，求CD 、BD 的长．【答案】CD 的长为125，BD 的长为95【分析】在Rt △ACD 中，利用勾股定理列式求出CD ，在Rt △BCD 中，利用勾股定理列式计算即可求出BD ．【详解】解：∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°，∴△ADC 和△BDC 是直角三角形，在Rt △ACD 中，222AC AD CD ，∴22221612455CD AC AD ，在Rt △BCD 中，222BC CD BD ，∴2222129355BD BC CD ，答：CD 的长为125，BD 的长为95．【点睛】本题考查了勾股定理，根据图形判断出所求的边所在的直角三角形是解题的关键．11．（2023·山西忻州·统考模拟预测）如图是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”．他通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明的重要数学定理是（）A ．三角形内角和定理B ．勾股定理C ．勾股定理的逆定理D ．斜边、直角边定理【答案】B 【分析】“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．【详解】解：由勾股定理相关的数学背景可知：“赵爽弦图”是对勾股定理的验证故选：B【点睛】本题考查了勾股定理的数学背景．熟知相关数学史即可．12．（2023春·山西吕梁·八年级统考期末）如图，毕达哥拉斯用图1，图2证明了．个重要的数学定理，他的思路是图1中拼成的正方形与图2中拼成的正方形面积相等，通过面积相等可以得到：222114422a b ab c ab ，整理得222 a b c ．证明的这个定理是（）A ．勾股定理B ．勾股定理的逆定理C ．祖暅原理D ．费马定理【答案】A 【分析】根据勾股定理作答即可．【详解】解：由222114422a b ab c ab ，整理得222 a b c ．而a 、b 、c 是直角三角形的三边，∴证明的定理是勾股定理，故选：A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟记勾股定理的内容是解题的关键．13．（2023春·河南驻马店·八年级统考期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于下列哪部著名数学著作中（）A ．《周髀算经》B ．《九章算术》C ．《海岛算经》D ．《几何原本》【答案】A【分析】加强教材的阅读，熟记相关知识的来源与出处．【详解】解：早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理的历史渊源，仔细阅读教材，熟记知识是解题的关键．14．（2023春·黑龙江绥化·八年级校考期中）如下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为2cm .【答案】49【分析】根据勾股定理计算即可【详解】解：最大的正方形的面积为22749cm ，由勾股定理得，正方形E 、F 的面积之和为249cm ，∴正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为249cm ，故答案为49．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222 a b c ．15．（2023秋·全国·八年级专题练习）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形.如图，设勾3a ，弦5c ，则小正方形ABCD 的边长．．是.【分析】根据勾股定理计算即可解题．【详解】解：根据勾股定理可得2222534b c a ，∴小正方形ABCD 的边长为431 ，故答案为：1．【点睛】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．16．（2023春·湖北宜昌·八年级校考期中）如图，数轴上点A 所表示的数为a ，求 a ．【答案】15 /51【分析】根据勾股定理算出斜边长度解题即可，注意是从-1开始．【详解】解：如图，由勾股定理得221115BC CA ．∵点C 表示-1，∴点A 表示的数是15a ．故答案为：15 ．【点睛】本题主要考查了数轴的意义和勾股定理，理解数轴的意义的是解答关键．17．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，将两个全等的直角三角形按照如下的位置摆放，使点A ，E ，D 在同一条直线上，90A D ，AE CD a ，AB ED b ，BE CE c ．(1)填空：BEC ______ ，根据三角形面积公式，可得BEC 的面积 ______；根据割补法，由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得BEC 的面积 ______．(2)求证：222 a b c ．【答案】(1)90，212c ，212c【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式即可得到结论；（2）用两种不同的方法表示梯形ABCD 的面积，计算化简后，即可得出222 a b c ．【详解】（1）解：AE CD a ∵，AB ED b ，BE CE c ，BAE ≌ SSS EDC ，ABE DEC ，90ABE AEB ∵，90AEB DEC ，90BEC ，BEC 的面积21122BE CE c，由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得BEC 的面积22222111112222222a b a b ab a ab b ab a b ab ab c ，故答案为：90，212c ，212c ；（2）证明：Rt ABE ∵ ≌Rt DEC △，AEB DCE ，BE EC c ，90D ∵，90DCE DEC ，90AEB DEC ，90BEC ，BEC 是等腰直角三角形，Rt ABE Rt CDE Rt BEC ABCD S S S S ∵梯形，2222AB CD AD AE AB ED DC BE EC，即2222a b a b ab ba ca ，2222222a ab bc ab ，222a b c ．【点睛】本题考查了梯形，勾股定理的证明，用两种不同的方法表示同一个图形的面积是解决问题的关键．18．（2021秋·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）已知某开发区有一块四边形空地ABCD ，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A =90°，∠CBD =90°，DB =5m ，CD =13m ，DA =4m ，若每平方米草皮需要200元，问需要多少投入【答案】需要投入资金为7200元【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果，连接BD，在直角三角形CBD中由勾股定理可求BC的长，在直角三角形ABD中可求得BA的长，由此看，四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC 构成，则容易求解．【详解】证明：连接BD∵∠A=90°，∠CBD=90°，∴△CBD，△ABD为直角三角形，在Rt△CBD中，BC2=CD2-BD2∴222213512BC CD BDm在△ABD中，AB2=BD2-AD2∴AB=2222543BD ADm∴四边形ABCD面积=S△BAD十S∆DBC=12∙AD∙AB+12∙DB∙BC=1143+512=6+30=3622m2，36×200=7200（元）所以需要投入资金为7200元．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，得出△CBD，△ABD为直角三角形，用勾股定理求出BC，AB 的长是解题的关键．19．（2022春·八年级单元测试）洋洋想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多2米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．【答案】214米【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+2）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．【详解】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+2）米，根据勾股定理可得：x2+52=（x+2）2，解得，x=21 4．答：旗杆的高度为214米．【点睛】此题考查学生利用勾股定理解决实际问题的能力，关键是利用勾股定理即可求得AB的长．20．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，请在数轴上找到表示17的P点．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【分析】因为17＝16＋1，则首先作出以1和4为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是17，再以原点为圆心，以17为半径画弧，和数轴的正半轴交于一点即可．【详解】解：如图，点P即为所求．【点睛】本题考查运用数轴上的点来表示一个无理数，比较基础．21．（2023春·重庆忠县·八年级统考期末）把5米长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙4米，则梯子顶端到离地面（）A．2米B．3米C．4米D．4.5米【答案】B【分析】根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵梯子的长度为5米，梯子底端离地面4米，将梯子长度看作直角三角形的斜边，梯子底端离地面距离看作一条直角边，梯子顶端到地面的距离为：22543 （米），故选B ．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，理解题意将实际问题转化为数字问题是解题的关键．22．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，垂直地面的旗杆在离地3m 处断裂，旗杆顶部落地点离旗杆底部4m ，则旗杆折断前的高度为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C 【分析】根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可．【详解】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为4m ，旗杆离地面3m 折断，且旗杆与地面是垂直的，所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．根据勾股定理，折断的旗杆为 22345m ，所以旗杆折断之前高度为3m 5m 8m ．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理在解实际问题中的运用，弄清勾股定理存在的条件是重点，解题的关键是理解文字语言的含义．23．（2023秋·八年级课前预习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC 为0.7m ，梯子顶端到地面的距离AC 为2.4m ．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A D 为1.5m ，则小巷的宽为（）．A ．2.4mB ．2mC ．2.5mD ．2.7m【答案】D【分析】,ACB A BD △△是直角三角形，根据勾股定理即可求解．【详解】解：根据题意可知，,ACB A BD △△是直角三角形，在Rt ABC △中， 2.4AC ，0.7BC ，∴22222(2.4)(0.7) 5.760.49 6.25AB AC BC ， 2.5AB ，在Rt A BD 中， 2.5A B AB ， 1.5A D ，则2 2.25A D ，∴22 6.25 2.252BD A B A D，∴小巷的宽为0.72 2.7m CB BD ，故选：D ．【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的运算方法是解题的关键．24．（2023秋·八年级课前预习）如图，一个圆桶底面直径为5cm ，高12cm ，则桶内所能容下的最长木棒为cm ．【答案】13【分析】根据题意画出示意图，再根据勾股定理求解，即可．【详解】解：如图，AC 为圆桶底面直径，BC 为圆桶的高，∵5cm AC ，12cm BC ，∴2222512=13cm AB AC BC ，∴桶内所能容下的最长木棒为：13cm ．故答案为：13．【点睛】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题，灵活运用勾股定理．25．（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级校考期中）已知，一轮船以4海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以3海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距海里．【答案】10【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了8海里和6海里，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．【详解】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴90BAC ，两小时后，两艘船分别行驶了428 ，326 海里，根据勾股定理得：228610 （海里）．故答案为：10．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．26．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，台阶A 处的蚂蚁要爬到B 处搬运食物，则它爬行的最短距离为．【答案】13m/13米【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【详解】解：如图所示，台阶平面展开图为长方形，5AC ，9312BC ，则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．由勾股定理得：222AB AC BC ，13AB ，故答案为：13m ．【点睛】本题主要考查了平面展开图—最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．27．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知一架5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚3m ，若梯子的顶端下滑1m ，则梯足将滑动多远？【答案】1米【分析】根据勾股定理求解即可．【详解】解：在直角三角形ABO 中，根据勾股定理可得，22534m OA ，如果梯子的顶度端下滑1米，则413m OA ．在直角三角形A B O 中，根据勾股定理得到：4m OB ，则梯子滑动的距离就是431m OB OB ．【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．28．（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？【答案】9120尺【分析】设折断处离地的高度为x 尺，利用勾股定理建立方程，解方程即可得．【详解】解：设折断处离地的高度为x 尺，由勾股定理得： 222310x x ，解得9120 x ，答：折断处离地的高度为9120尺．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．29．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，点O是位于东西海岸线的一个港口，A，B两艘客轮从港口O 同时出发，A客轮沿北偏东75°航行，航速是每小时18海里，B客轮沿北偏西15°方向航行，航速是每小时24海里，请计算3小时之后两客轮之间的距离．【答案】90海里【分析】根据题意得：∠AOB=75°+15°=90°，OA=18×3=54（海里），OB=24×3=72（海里），再由勾股定理，即可求解．【详解】解：根据题意得：∠AOB=75°+15°=90°，OA=18×3=54（海里），OB=24×3=72（海里），根据勾股定理得：2222547290AB AO BO海里，即3小时之后两客轮之间的距离90海里．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．30．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图是一个棱长为6cm的正方体的有盖纸盒，一只蚂蚁想从盒底的A 点爬到盒顶的B点，其中BC＝2cm，那么蚂蚁爬行的最短行程是多少？【答案】10cm【分析】将正方体侧面展开图展开，由勾股定理计算即可．【详解】解：如图所示．∵BC＝2cm，棱长为6cm，∴AD＝6+2＝8（cm），BD＝6cm由勾股定理得，AB＝2222＝10（cm），BD AD86答：蚂蚁爬行的最短行程是10cm．【点睛】此题考查了平面展开一最短路径问题，利用勾股定理是解题的关键．。
北师大版初中数学中考考点梳理
北师大版初中数学知识点梳理北师大版初中数学知识点梳理,按照中考一轮复习的顺序整理的,知识点很全面,适合所有采用北师大版教材的地区,稍作改动后,也可适用于人教版或其他版本教材的地区; 供大家参考学习第一章实数考点一、实数的概念及分类 3分1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2、无理数在理解无理数时,,归纳起来有四类：1开方开不尽的数,2有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,等；4某些三角函数,如sin60o等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 3分1、相反数实数与它的相反数时一对数只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零,从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a与b互为相反数,则有a+b=0,a=—b,反之亦成立;2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离,|a|≥0;零的绝对值时它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a≥0；若|a|=-a,则a≤0;正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小;3、倒数如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立;倒数等于本身的数是1和-1;零没有倒数;考点三、平方根、算数平方根和立方根 3—10分1、平方根如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根或二次方跟;一个数有两个平方根,;正数a2、算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根,正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零;3、立方根 如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a 的立方根或a 的三次方根;一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零;这说明三次根号内的负号可以移到根号外面;考点四、科学记数法和近似数 3—6分1、有效数字一个近似数四舍五入到哪一位,就说它精确到哪一位,这时,从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字,都叫做这个数的有效数字;2、科学记数法把一个数写做na 10⨯±的形式,其中101<≤a ,n 是整数,这种记数法叫做科学记数法; 考点五、实数大小的比较 3分1、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可;解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用;2、实数大小比较的几种常用方法1数轴比较：在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大;2求差比较：设a 、b 是实数,3求商比较法：设a 、b 是两正实数4绝对值比较法：设a 、b 是两负实数,5平方法：设a 、b 是两负实数,则b a b a <⇔>22;考点六、实数的运算 做题的基础,分值相当大 1、加法交换律 a b b a +=+2、加法结合律 )()(c b a c b a ++=++3、乘法交换律 ba ab =4、乘法结合律 )()(bc a c ab =5、乘法对加法的分配律 a ab c b a +=+)(6、实数的运算顺序先算乘方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,就先算括号里面的;第二章 代数式考点一、整式的有关概念 3分1、代数式用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式;单独的一个数或一个字母也是代数式;2、单项式只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式;注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的,其中系数不能用带分数表示,如这种表示就是错误的,一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数;如c b a 235-是6次单项式;考点二、多项式 11分1、多项式几个单项式的和叫做多项式;其中每个单项式叫做这个多项式的项;多项式中不含字母的项叫做常数项;多项式中次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数;单项式和多项式统称整式;用数值代替代数式中的字母,按照代数式指明的运算,计算出结果,叫做代数式的值;注意：1求代数式的值,一般是先将代数式化简,然后再将字母的取值代入;2求代数式的值,有时求不出其字母的值,需要利用技巧,“整体”代入;2、同类项所有字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项;几个常数项也是同类项;3、去括号法则1括号前是“+”,把括号和它前面的“+”号一起去掉,括号里各项都不变号;2括号前是“﹣”,把括号和它前面的“﹣”号一起去掉,括号里各项都变号;4、整式的运算法则整式的加减法：1去括号；2合并同类项; 整式的乘法：),(都是n m a a a n m n m +=• 整式的除法：)0,,(≠=÷-a n m a a a nm n m 都是正整数注意：1单项式乘单项式的结果仍然是单项式;2单项式与多项式相乘,结果是一个多项式,其项数与因式中多项式的项数相同;3计算时要注意符号问题,多项式的每一项都包括它前面的符号,同时还要注意单项式的符号;4多项式与多项式相乘的展开式中,有同类项的要合并同类项;5公式中的字母可以表示数,也可以表示单项式或多项式;7多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加,单项式除以多项式是不能这么计算的;考点三、因式分解 11分1、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式;2、因式分解的常用方法 1提公因式法：)(c b a ac ab +=+2运用公式法：))((22b a b a b a -+=-3分组分解法：))(()()(d c b a d c b d c a bd bc ad ac ++=+++=+++ 4十字相乘法：))(()(2q a p a pq a q p a ++=+++3、因式分解的一般步骤：1如果多项式的各项有公因式,那么先提取公因式;2在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下,观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式3分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止;考点四、分式 8~10分1、分式的概念一般地,用A 、B 表示两个整式,A÷B ,如果B 中含有字母,叫做分式;其中,A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母;分式和整式通称为有理式;2、分式的性质1分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不等于零的整式,分式的值不变;2分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变;3、分式的运算法则考点五、二次根式 初中数学基础,分值很大1、二次根式,a必须是非负数;2、最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数,因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式叫做最简二次根式;化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：1如果被开方数是分数包括小数或分式,先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式,然后利用分母有理化进行化简;2如果被开方数是整数或整式,先将他们分解因数或因式,然后把能开得尽方的因数或因式开出来;3、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式;4、二次根式的性质5、二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样,先乘方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里的或先去括号;第三章方程组考点一、一元一次方程的概念 6分1、方程含有未知数的等式叫做方程;2、方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解;3、等式的性质1等式的两边都加上或减去同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式;2等式的两边都乘以或除以同一个数除数不能是零,所得结果仍是等式;4、一元一次方程只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程,其中方程0a x 0≠=+b a x 叫做一元一次方程的标准形式,a 是未知数x 的系数,b 是常数项;考点二、一元二次方程 6分1、一元二次方程含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程;2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ,它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式,等式右边是零,其中2ax 叫做二次项,a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数；c 叫做常数项;考点三、一元二次方程的解法 10分1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法;直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程;根据平方根的定义可知,a x +是b 的平方根,当0≥b 时当b<0时,方程没有实数根; 2、配方法配方法是一种重要的数学方法,它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的其他领域也有着广泛的应用;配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看做未知数x,并用x 代替,则有222)(2b x b bx x±=+±; 3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法; 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法;考点四、一元二次方程根的判别式 3分根的判别式 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中,ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式,通常用“∆”来表示,即a b 42-=∆考点五、一元二次方程根与系数的关系 3分如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，,那么也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商;考点六、分式方程 8分1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程;2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”;它的一般解法是：1去分母,方程两边都乘以最简公分母2解所得的整式方程3验根：将所得的根代入最简公分母,若等于零,就是增根,应该舍去；若不等于零,就是原方程的根;3、分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想,其应用非常广泛,当分式方程具有某种特殊形式,一般的去分母不易解决时,可考虑用换元法;考点七、二元一次方程组 8~10分1、二元一次方程含有两个未知数,并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程,它的一般形式是2、二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元一次方程的一个解;3、二元一次方程组两个或两个以上二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组;4二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解;5、二元一次方正组的解法1代入法2加减法6、三元一次方程把含有三个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程;7、三元一次方程组由三个或三个以上一次方程组成,并且含有三个未知数的方程组,叫做三元一次方程组; 第四章 不等式组考点一、不等式的概念 3分1、不等式用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式;2、不等式的解集对于一个含有未知数的不等式,任何一个适合这个不等式的未知数的值,都叫做这个不等式的解;对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式;3、用数轴表示不等式的方法考点二、不等式基本性质 3~5分1、不等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式,不等号的方向不变;2、不等式两边都乘以或除以同一个正数,不等号的方向不变;3、不等式两边都乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变;考试题型：考点三、一元一次不等式 6~8分1、一元一次不等式的概念一般地,不等式中只含有一个未知数,未知数的次数是1,且不等式的两边都是整式,这样的不等式叫做一元一次不等式;2、一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：1去分母2去括号3移项4合并同类项5将x 项的系数化为1考点四、一元一次不等式组 8分1、一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组;几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集; 求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组;当任何数x 都不能使不等式同时成立,我们就说这个不等式组无解或其解为空集;2、一元一次不等式组的解法1分别求出不等式组中各个不等式的解集2利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即这个不等式组的解集;第五章 统计初步与概率初步考点一、平均数 3分1、平均数的概念1平均数：一般地,如果有n 个数,,,,21n x x x 那么n个数的平均数拔”;2加权平均数：如果n 个数中,1x 出现1f 次,2x 出现2f 次,…,k x 出现k f 次这里n f f f k=++ 21,那么,根据平均数的定义,这n 个数的平均数可以表示为,其中k f f f ,,,21 叫做权; 2、平均数的计算方法1定义法当所给数据,,,,21n x x x 比较分散时,2加权平均数法：当所给数据重复出现时,其中n f f f k=++ 21; 3新数据法：当所给数据都在某一常数a 的上下波动时,其中,常数a 通常取接近这组数据平均数的较“整”的数,a x x -=11',a x x -=22',…,a x x n n -=';数通常把,,,,21nx x x 叫做原数据,,',,','21n x x x 叫做新数据; 考点二、统计学中的几个基本概念 4分1、总体所有考察对象的全体叫做总体;2、个体总体中每一个考察对象叫做个体;3、样本从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本;4、样本容量样本中个体的数目叫做样本容量;5、样本平均数样本中所有个体的平均数叫做样本平均数;6、总体平均数总体中所有个体的平均数叫做总体平均数,在统计中,通常用样本平均数估计总体平均数; 考点三、众数、中位数 3~5分1、众数在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数;2、中位数将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位置的一个数据或最中间两个数据的平均数叫做这组数据的中位数;考点四、方差 3分1、方差的概念在一组数据,,,,21nx x x 中,,叫做这组数据的方差;通常用“2s ”表示,即2、方差的计算1基本公式：2简化计算公式Ⅰ：此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方;3简化计算公式Ⅱ：当一组数据中的数据较大时,可以依照简化平均数的计算方法,将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a,得到一组新数据a x x -=11',a x x -=22',…,a x x n n -=',那么](此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方;4新数据法： 原数据,,,,21n x x x 的方差与新数据a x x -=11',a x x -=22',…,a x x n n -='的方差相等,也就是说,根据方差的基本公式,求得,',,','21nx x x 的方差就等于原数据的方差; 3、标准差方差的算数平方根叫做这组数据的标准差,用“s”表示,即考点五、频率分布 6分1、频率分布的意义在许多问题中,只知道平均数和方差还不够,还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小,这就需要研究如何对一组数据进行整理,以便得到它的频率分布;2、研究频率分布的一般步骤及有关概念1研究样本的频率分布的一般步骤是：①计算极差最大值与最小值的差②决定组距与组数③决定分点④列频率分布表⑤画频率分布直方图2频率分布的有关概念①极差：最大值与最小值的差②频数：落在各个小组内的数据的个数③频率：每一小组的频数与数据总数样本容量n的比值叫做这一小组的频率;考点六、确定事件和随机事件 3分1、确定事件必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时,在每次试验中必然会发生的事件;不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生,这样的事件叫做不可能的事件;2、随机事件：在一定条件下,可能发生也可能不放声的事件,称为随机事件;考点七、随机事件发生的可能性 3分一般地,随机事件发生的可能性是有大小的,不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同;对随机事件发生的可能性的大小,我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小;要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平,就是看它们发生的可能性是否一样;所谓判断事件可能性是否相同,就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样,用数据来说明问题;考点八、概率的意义与表示方法 5~6分1、概率的意义一般地,在大量重复试验中,如果事件A p附近,那么这个常数p就叫做事件A的概率;2、事件和概率的表示方法一般地,事件用英文大写字母A,B,C,…,表示事件A的概率p,可记为PA=P考点九、确定事件和随机事件的概率之间的关系 3分1、确定事件概率1当A是必然发生的事件时,PA=12当A是不可能发生的事件时,PA=02、确定事件和随机事件的概率之间的关系事件发生的可能性越来越小0 1概率的值不可能发生必然发生事件发生的可能性越来越大考点十、古典概型 3分1、古典概型的定义某个试验若具有：①在一次试验中,可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中,各种结果发生的可能性相等;我们把具有这两个特点的试验称为古典概型;2、古典概型的概率的求法一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件A包含其中的m中结果,那么事件A发生的概率为考点十一、列表法求概率 10分1、列表法用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法; 2、列表法的应用场合当一次试验要设计两个因素, 并且可能出现的结果数目较多时,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用列表法;考点十二、树状图法求概率 10分 1、树状图法就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果,求出其概率的方法叫做树状图法; 2、运用树状图法求概率的条件当一次试验要设计三个或更多的因素时,用列表法就不方便了,为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用树状图法求概率; 考点十三、利用频率估计概率8分 1、利用频率估计概率在同样条件下,做大量的重复试验,利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数,可以估计这个事件发生的概率;2、在统计学中,常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计,这样的试验称为模拟实验;3、随机数在随机事件中,需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作;把这些随机产生的数据称为随机数;第六章 一次函数与反比例函数考点一、平面直角坐标系 3分 1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系;其中,水平的数轴叫做x 轴或横轴,取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴,取向上为正方向；两轴的交点O 即公共的原点叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面;为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限;注意：x 轴和y 轴上的点,不属于任何象限; 2、点的坐标的概念点的坐标用a,b 表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒;平面内点的坐标是有序实数对,当b a ≠时,a,b 和b,a 是两个不同点的坐标; 考点二、不同位置的点的坐标的特征 3分 1、各象限内点的坐标的特征点Px,y 在第一象限0,0>>⇔y x点Px,y 在第二象限0,0><⇔y x 点Px,y 在第三象限0,0<<⇔y x 点Px,y 在第四象限0,0<>⇔y x2、坐标轴上的点的特征点Px,y 在x 轴上0=⇔y ,x 为任意实数 点Px,y 在y 轴上0=⇔x ,y 为任意实数点Px,y 既在x 轴上,又在y 轴上⇔x,y 同时为零,即点P 坐标为0,0 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点Px,y 在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y 相等 点Px,y 在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同; 位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同; 5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征点P 与点p’关于x 轴对称⇔横坐标相等,纵坐标互为相反数 点P 与点p’关于y 轴对称⇔纵坐标相等,横坐标互为相反数 点P 与点p’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离 点Px,y 到坐标轴及原点的距离：1点Px,y 到x2点Px,y 到y 3点Px,y 考点三、函数及其相关概念 3~8分 1、变量与常量在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量;一般地,在某一变化过程中有两个变量x 与y,如果对于x 的每一个值,y 都有唯一确定的值与它对应,那么就说x 是自变量,y 是x 的函数;2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式; 使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围; 3、函数的三种表示法及其优缺点 1解析法两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做解析法;2列表法把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法;3图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法; 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 1列表：列表给出自变量与函数的一些对应值2描点：以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点3连线：按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来; 考点四、正比例函数和一次函数 3~10分 1、正比例函数和一次函数的概念一般地,如果b kx y +=k,b 是常数,k ≠0,那么y 叫做x 的一次函数;特别地,当一次函数b kx y +=中的b 为0时,kx y =k 为常数,k ≠0;这时,y 叫做x 的正比例函数;2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征： 一次函数b kx y +=的图像是经过点0,b 的直线；正比例函数kx y =的图像是经过原点0,0的直线;。
数学初中三年级北师大版 中考“统计与概” 热点题型分类解析(含解答)-
2006年中考“统计与概”热点题型分类解析【专题考点剖析】本专题实际应用性特别强，中考试题多为低、中档题，题量约占总题量的5%左右，题型以选择题、填空题为主，有时也有解答题．甚至设计了开放、探索题．试题源于教材，既考查双基，又涉及到统计、估计、数形结合、分类讨论等思想方法，试题所反映出的考点主要有：1．能通过具体实际问题辨认总体、个体、样本、样本容量四个基本概念．2．既要理解样本平均数、样本方差、样本标准差、中位数、•众数本身所反映的实际意义，又要会求一组数据的样本平均数、样本方差、标准差、中位数、众数，而且会运用样本估计总体的思想方法解决一类实际应用问题．3．会整理一组数据列出频率分布表，会画频率分布直方图，•知道每小时的频率是该小组的频数与数据总数的比值，各小组频率之和为1，•各小长方形面积等于该小组的频率，它们的和也是1，•能根据所给的一些信息来补全频率分布表和频率分布直方图．4．概率问题是近年中考的一大热点，它与生活联系密切，•主要的考查内容是利用概率知识来解决现实中的具体问题，如彩票中奖问题、投掷硬币、图钉等问题，从理论上来说明某些事情发生的可能性的大小．同时来对比现实，对一些迷信说法以有力的还击．5．扇形、条形、折线统计图的知识又是一个中考的热点，•关键在掌握它的画法，明确它们之间的关系，掌握它们各自的优缺点，如何从这些统计图中获取信息，然后再应用到具体问题中去是中考的一大考点．【解题方法技巧】统计与概率中的方法较多，有些是以公式出现如，如平均数、方差等，有些是以图表来表现的，如列表法、画直方图、条形图和折线图等，另外还有树状图的方法．在运用概念解决问题时，可直接运用概念、定义，另一方面，不少概念题必须用到这些概念、定义，因此，回到定义去是统计初步里的一种重要方法．在具体的统计题中，往往是多个概念的组合题．因此，我们在运用此方法解题时，不仅要准确把握各个概念的定义，而且要准确把握这些概念之间的区别与联系．【热点试题归类】题型一平均数、众数、中位数1．（2006，苏州）某校参加“姑苏晚报．可口可乐杯”中学生足球赛的年龄如下（单位：岁）：13，14，16，15，14，15，15，15，16，14，则这些队员年龄的众数是_____．2．（2006，浙江）数据2、4、4、7的众数是（）A．2 B．4 C．5 D．73．（2006，泉州）小明与小华本学期都参加了5次数学考试（总分均为100分），数学老师想判断这位同学的数学成绩谁更稳定，在作统计分析时，老师需比较这两人5•次数学成绩的（）A．平均数B．方差C．众数D．中位数4．（2006，大连）一鞋店试销一种新款女鞋，试销期间卖出情况如下表：对于这个鞋店的经理来说最关心哪种型号鞋畅销，•则下列统计量对鞋店经理来说最有意义的是（）A．平均数B．众数C．中位数D．标准差5．（2006，深圳）班主任为了解学生星期六、日在家的学习情况，家访了班内的六位学生，了解到他们在家的学习时间如下表所示，那么这六位学生学习时间的众数与中位数分别是（）A．4小时和4.5小时B．4.5小时和4小时C．4小时和3.5小时D．4小时和4小时6．（2006，诸暨）红星学校准备开办一些学生课外活动的兴趣班，结果反应热烈．•各种班的计划招生人数和报名人数，列前三位的如下表所示：若计划招生人数和报名人数的比值越大，•表示学生开设该兴趣班相对学生需要的满足程度就越高，那么根据以上数据，满足程度最高的兴趣班是（）A．计算机班B．奥数班C．英语口语班D．音乐艺术班7．（2006，成都）为了了解汽车司机遵守交通法则的意识，小明的学习小组成员协助交通警察在某路口统计的某个时段来往汽车的车速（单位：千米/小时）情况如图所示，根据统计图分析，这组车速数据的众数和中位数分别是（）A．60千米/小时，60千米/小时B．58千米/小时，60千米/小时C．60千米/小时，58千米/小时D．58千米/小时，58千米/小时8．（2006，南京）饮料店为了了解本店罐装饮料上半年的销售情况，•随机调查了8天该种饮料的日销售量，结果如下（单位：听）：33，32，28，32，25，24，31，35．（1）这8天的平均日销售量是多少听？（2）根据上面的计算结果，估计上半年（按181天计算）•该店能销售这种饮料多少听？9．（2006，枣庄）某射击运动员在一次比赛中，前6次射击已经得到52环，该项目的记录是89环（10次射击，每次射击环数只取1～10的正整数）．（1）如果他要打破记录，第7次射击不能少于多少环？（2）如果他第7次射击成绩为8环，那么最后3环射击要中要有几次命中10•环才能打破记录？（3）如果他第7次射击成绩为10环，那么最后3环射击中是否必须至少有一次命中10环才有可能打破记录？10．（2006，晋江）为了了解2006年五一期间学生做家务劳动的时间，•某中学实践活动小组对该班50名学生进行了调查，有关数据如下表：根据上表中的数据，回答下列问题：（1）该班学生每周做家务劳动的平均时间是多少小时？（2）这组数据的中位数、众数分别是多少？（3）请你根据（1）、（2）的结果，用一句话谈谈自己的感受．11．（2006，枣庄）某单位欲从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、•丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如下表所示：根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，•三人得票率（没有弃权票，每位职工只能推荐1人），如图所示，每得一票记作1分．（1）请算出三人的民主评议得分；（2）如果根据三项测试的平均成绩录用人选，那么谁将被录用（精确到0．01）？（3）根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按4：3：3•的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？12．（2006，黄冈）某中学开展“八荣八耻”演讲比赛活动，九（1）、九（2）•班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（•满分为100分）如图所示．（1） 根据图填写下表；（2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪一个班级的复赛成绩较好．（3）如果在每班参加复赛的选手中分别选出2人参加决赛，•你认为哪个班的实力更强一些，并说明理由．题型二极差、方差、频数分布直方图1．（2006，泉州）在“手拉手，献爱心”捐款活动中，某校初三年级5•个班的捐款数分别为260、220、240、280、290（单位：元），则这组数据的极差是_____元．2．（2006，晋江）一组数据-1，0，1，2，3的方差是________．3．（2006，泰州）小明和小兵两人参加学校组织的理化实验操作测试，近期的5•次测试成绩如图所示，则小明5次成绩的方差S12与小兵5次成绩的方差S22之间的大小关系为S12______S22．（填“<”、“>”、“＝”）4．（2006，绍兴）某课外兴趣小组为了解所在地区老年人的健康状况，分别作了四种不同的抽样调查，你认为抽样比较合理的是（）A．在公园调查了1 000名老年人的健康状况;B．在医院调查了1 000名老年人的健康状况;C．调查了10名老年邻居的健康状况;D．利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况5．（2006，南安）下列调查方式，你认为正确的是（）A．了解一批炮弹的杀伤半径，采用普查方式;B．了解南安市每天的流动人口数，采用抽查方式;C．要保证“神舟”六号载人飞船成功发射，对重要零部件采用抽查方式检查;D．了解南安市居民日平均用水量，采用普查方式6．（2006，南通）某市对2 400名年满15岁的男生的身高进行了测量，结果身高（单位：m）在1.68～1.70这一小组的频率为0.25，则该组的人数为（）A．600人B．150人C．60人D．15人7．（2006，泉州）下列调查，比较适用普查而不适用抽样调查方式的是（）A．调查全省市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准;B．调查一批灯泡的使用寿命;C．调查你所在班级全体学生的身高;D．调查全国初中生每人每周的零花钱数8．（2006，苏州）某校测量了初三（1）班学生的身高（精确到1cm），按10cm为一段进行分组，得到如图频数分布直方图，则下列说法正确的是（）A．该班人数最多的身高段的学生数为7人;B．该班身高低于160.5cm的学生人数为15人;C．该班身高最高段的学生数为20人;D．该班身高最高段的学生数为7人9．（2006，浙江）初三某班对最近一次数学测验成绩（得分取整数）进行统计分析，将所有成绩由低到高分成五组，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请结合直方图提供的信息，回答下列问题：（1）该班共有________名同学参加这次测验；（2）在该频数分布直方图中画出频数折线图；（3）这次测验成绩的中位数落在_____分数段内；（4）若这次测验中，成绩80分以上（不含80分）为优秀，•那么该班这次数学测验的优秀率是多少？10．（2006，烟台）下表是某居民小区五月份的用水情况：（1）计算20户家庭的月平均用水量；（2）在图中画出这20户家庭用水量的频数分布直方图；（3）如果该小区有500户家庭，根据上面的计算结果，估计该小区居民每月共用水多少立方米？11．（2006，广州白云区）某灯泡厂生产了100箱灯泡，从中随机抽取了10相，•发现这10箱中不合格的灯泡数分别是3，2，4，3，2，1，2，3，0，1，你能估计出这100•箱灯泡中大约有多少个坏灯泡？12．（2006，绍兴）如图表示某校七年级360位同学购买不同品牌计算器人数的扇形统计图，每位同学购买一只计算器，试回答下列问题：（1）分别求出购买各品牌计算器的人数；（2）试画出购买不同品牌计算器人数的频数分布直方图．13．（2006，泉州）某校七年级学生每人都只使用甲、乙、丙三种品牌中的计算器，如图是该年段全体学生使用三种不同品牌计算器人数的频数分布直方图．（1）求该校七年级学生的总人数；（2）你认为哪种品牌计算器的使用频率最高？并求出这个频率．14．（2006，重庆）学习了统计知识后，•班主任老师叫班长就本班同学的上学方式进行了一次调查统计．图1和图2是他通过收集数据后，绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答以下问题：（1）在扇形统计图中，计算“步行”部分所对应的圆心角的度数；（2）求该班共有多少名学生．（3）在图6-10中，将表示“乘车”的部分补充完整．(1) (2)题型三扇形、条形、折线统计图1．（2006，绍兴）如图是小敏五次射击成绩的折线图，根据图示信息，•则此五次成绩的平均数是_________环．（第1题）（第2题）2．（2006，重庆）在暑期社会实践活动中，小明所在小组的同学与一家玩具生产厂家联系，给该厂组装玩具，该厂同意他们组装240套玩具．这些玩具分为A、B、C•三种型号，它们的数量比例以及每人每小时组装各种型号玩具的数据如图所示．若线人组装同一种型号玩具的速度都相同，根据以上信息，完成下列填空：（1）从上述统计图可知，A型玩具有_______套，B型玩具有_______套，C•型玩具有________套．（2）若每人组装A型玩具16套与组装C型玩具12套所花的时间相同，那么a•的值为________，每人每小时组装C型玩具______套．3．（2006，重庆）•观察市统计局公布的“十五”时期重庆市农村居民人均收入每年比上一年增长率的统计图（如图），下列说法正确的是（）A．2003年农村居民人均收入低于2002年；B．农村居民人均收入比上年增长率低于9%的有2年；C．农村居民人均收入最多时为2004年；D．农村居民人均收入每年比上一年的增长率有大有小，•但农村居民人均收入在持续增加。
数学北师大版九年级下册规律探究1
输入x
1 x 2
1 x 2
输出
x为奇数
x＋ 3
（ A） 6
（ B ）3 （ C ）
3 2
2ห้องสมุดไป่ตู้06
3 （D） 100331003 2
例6
一个巴尔末的中学教师成功地从光谱数据， 9 16 25 36 …中得到巴尔末公式，从 , , , , 5 12 21 32 而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律， 写出第n(n≥1)个数据是_______________.
2 5 8 1 1
b …（ab≠0 7 ， a
3n1
20
b n 第n个式子是 (1 ) n （n为正整数 a ）
例3（2010江苏盐城）填在下面各 正方形中的四个数之间都有相同 的规律，根据此规律，m 的值是 （D ） 10 0 4 6 2 6 4 8 6 44 2 8 4 22 8 m A．38 B．52 C．66 D．74
分析：观察图表可知2*4-0=8, 4*6-2=22 ,6*8-4=44,8*10-6=74
例4中央电视台“开心辞典”栏目有这 么一道题:观察下列一组数列的排列规 律1,2,3,4,3,2,1,2,3,4,3,2,1……, B ） 那么第2006个数字是（ A.1 B.2 C.3 D.4
点拨:认真观察数据可以发现:这组数的排 列规律是1,2,3,4,3,2为一个循环,用2006 除以6商为334余数为2，对应数列中的2， 故选B。
输入x
1 x 2
输出
x为奇数
x＋ 3
输出次数 输出数值
1 2 3 24 12 6
4 3
5 6 … 6 3 …
分析：(2010-2)÷2=1004 若输出第 2011次呢？输出数值是几？
北师大版中考数学知识点总结
北师大版中考数学知识点总结一.必修一1.整式加减乘除1)同类项的合并与分离2)利用整式的代数性质进行计算2.一元一次方程1)解一元一次线性方程的步骤与方法2)列方程、解方程并应用于实际问题3.平方根与立方根1)正数的平方根与立方根2)计算含有平方根和立方根的式子4.数据分析1)直方图、折线图、饼图的读图与画图2)描述数值数据的中心与离散程度5.算式的字母代换1)字母的代数意义2)利用字母代数意义变形解决实际问题6.几何图形的变换1)平移、旋转、翻折的概念与性质2)利用变换解决实际问题7.二次根式1)二次根式的概念与性质2)二次根式的加减乘除8.算式的乘方1)乘方的定义与性质2)乘方的运算律9.一元二次方程1)解一元二次方程的步骤与方法2)利用一元二次方程解决实际问题10.圆的性质1)圆的定义与性质2)圆内接正多边形的面积与周长关系11.空间几何体的计算1)平行四边形、长方体、棱柱的计算2)利用空间几何体计算实际问题二.必修二1.实数的性质与运算1)实数的分类与性质2)实数的运算规律与法则2.一次函数与方程1)一次函数与一次方程的概念2)用函数与方程解决实际问题3.数与图的关系1)数据与图像的对应关系2)利用函数图像解决实际问题4.三角形的性质1)三角形内角和定理与外角定理2)利用三角形性质解决实际问题5.一元二次不等式1)解一元二次不等式的步骤与方法2)利用一元二次不等式解决实际问题6.合并与分解因式1)整式的乘法公式2)合并与分解因式的基本法则与技巧7.比例与相似1)比例与比例的性质2)相似三角形的性质与判定8.函数的概念与性质1)函数的定义与性质2)一次函数、指数函数、反比例函数的图像与性质9.数和式的巧算1)加减乘除的巧算技巧2)巧算结题10.数据的表示与传递1)数据的调查与表示方法2)利用数据传递解决实际问题11.圆的性质与切线1)圆的切线定义与性质2)圆周角、弧度弧长的关系这就是北师大版中考数学知识点的总结。
专题14相似三角形判定定理的证明(2个知识点6种题型1种中考考法)解析版-初中数学北师大版9年级上册
【答案】△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，证明见解析. 【分析】根据相似三角形的判定定理可以直接写出图中有 3 对相似三角形；可以利用相似三角形的判定定 理两组角对应相等的两个三角形相似来证明△AMF∽△BGM． 【详解】图中的相似三角形有：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM． 以下证明△AMF∽△BGM． ∵∠AFM＝∠DME+∠E（外角定理），∠DME＝∠A＝∠B（已知），∴∠AFM＝∠DME+∠E＝∠A+∠E＝∠ BMG，∠A＝∠B，∴△AMF∽△BGM． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定．解答此题，要找出对应角相等来证明三角形相似． 【变式】（2022 秋·九年级课时练习）如图，在 △ABC 和 △ADE 中，∠BAD=∠CAE, ∠ABC=∠ADE. （1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）； （2）请证明你写出的两对相似三角形.
∴△ABC∽△A′B′C′．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的证明，作出辅助线，证明△ADE≌△A′B′C′，是解题的关键．
【例 3】（2022 秋·九年级课时练习）已知：在△ABC 和△A′B′C′中，
AB AB
BC BC
AC AC
数学北师大版九年级下册分类讨论法
中考数学专题探究------分类讨论思想执教：朱明利单位：修武县实验中学教学目标：1.使学生理解分类讨论的定义，并掌握一定的分类技巧，以及常见题型的分类方法，形成一定的分类体系。
2.通过解决有关分类讨论的中考题，体会转化类比数形结合等数学思想，发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性。
教学重点:对常见题型分类方法的掌握，能够灵活运用一般的分类技巧。
教学难点对于分类的界点、标准，把握不准确，容易出现重复解，漏解等现象。
教学环节安排：一、创设情境，提出问题引例: 一张矩形纸片有４个角，剪掉一个角后还剩几个角？我们发现结论不唯一，这是什么原因导致的？（截线位置不同）二、导入新课，引出题目当研究对象的元素或其关系不明确时，常需要对研究对象元素或各元素之间关系的各种可能进行分类讨论，就是我们今天要复习的内容：“分类讨论思想”，这是一种极其重要的数学思想方法，也是我们中考的热点题型。
三、分类讨论思想方法介绍1.分类讨论方法定义在解答某些数学问题时，因为存在一些不确定的因素，解答无法用统一的方法或结论不能给出统一的表达，对这类问题依情况加以分类，并逐类求解，然后综合求解，这种解题方法叫分类讨论法。
2.用分类讨论思想解决问题可分为四步：（1）.确定讨论对象和原因。
（2）确定分类标准，正确进行合理分类, 即标准统一，不漏不重。
（3）.逐类讨论解决。
（4）归纳小结，综合得出结论。
四、典例引导，分类训练分类讨论问题的四种常见题型：(一).概念题型：问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的.例： 函数y=ax 2-ax+3x+1与x 轴只有一个交点，求a 的值与交点坐标。
解：当此函数为一次函数时，a=0,则y=3x+1,与x 轴的交点为（ ，0）当此函数为二次函数时，a ≠0,则y=ax 2-(a-3)x+1,△=a 2-10a+9 = 0,解得a=1或9.与x 轴的交点为 （-1，0）或（ ，0）练习: 已知a 、b 、c 均为非零实数，且满足则k 的值为（ ）A 1B -2C 1或-2D 1或2（二）、形状不确定题型：图形的形状是不确定的,如等腰三角形、直角三角形、四边形、相似形等。
一次函数(中考常考点分类)(基础练)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)
专题4.31一次函数（中考常考点分类专题）（基础练）一、单选题【考点1】函数的概念★★自变量的取值范围★★函数解析式★★函数值1．（2023秋·全国·八年级专题练习）下列图像中，不能表示y 是x 的函数的是（）A ．B ．C ．D ．2．（2022秋·广东深圳·八年级校联考开学考试）一支签字笔的单价为2.5元，小涵同学拿了100元钱去购买了()40x x ≤支该型号的签字笔，写出所剩余的钱y 与x 间的关系式是（）A ． 2.5y x=B ．100 2.5y x=-C ． 2.5100y x =-D ．100 2.5y x=+【考点2】一次函数➼➻定义★★参数★★自变量与函数值★★列一次函数解析式3．（2023秋·全国·八年级专题练习）若函数()124a y a x -=-+是一次函数，则a 的值为（）A ．2-B ．2±C ．2D ．04．（2020·江苏泰州·统考中考真题）点(),P a b 在函数32y x =+的图像上，则代数式621a b -+的值等于（）A ．5B ．3C ．3-D ．1-【考点3】正比例函数➼➻正比例函数的图象与性质5．（2023秋·安徽蚌埠·八年级统考阶段练习）关于正比例函数14y x =-，下列结论不正确的是（）A ．图象经过原点B ．y 随x 的增大而减小C ．点12,2⎛⎫⎪⎝⎭在函数14y x =-的图象上D ．图象经过二、四象限6．（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校统考阶段练习）已知正比例函数(21)y m x =+的图象上两点()11,A x y ，()22,B x y ，当12x x <时，有12y y >，那么m 的取值范围是（）A ．12m >-B ．12m <-C ．1m >-D ．1m <-【考点4】一次函数图象和性质➼➻判断位置★★求参数★★画一次函数图象7．（2022春·贵州安顺·八年级统考期末）已知一次函数22022y x m =-++的图象一定不经过的象限是（）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限8．（2022秋·陕西榆林·八年级校考期中）已知一次函数()34y a x a =+++的图象如图所示，那么a 的取值范围是（）A ．3a >-B ．3a <-C ．43a -<<-D ．a<0【考点5】一次函数图象和性质➼➻一次函数图象与坐标轴交点9．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数()11110y k x b k =+≠与()22220y k x b k =+≠的图象分别为直线1l 和直线2l ，下列结论正确的是（）A ．120k k > B ．120k k ->C ．120b b +<D ．12·0b b >10．（2023秋·安徽合肥·八年级校考阶段练习）已知一次函数4y ax =-与2y bx =+图象在x 轴上相交于同一点，则ba的值是（）A ．4B ．2-C ．12D ．12-【考点6】一次函数图象和性质➼➻一次函数图象平移问题11．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考阶段练习）将直线22y x =-+平移后，所得到的直线为23y x =--，则原直线（）A ．向上平移5个单位B ．向下平移5个单位C ．向左平移5个单位D ．向右平移5个单位12．（2022春·陕西渭南·八年级统考期末）如图，A 为x 轴负半轴上一点，过点A 作AB x ⊥轴，与直线y x =交于点B ，将ABO 沿直线y x =向上平移'A'B'O △，若点A 的坐标为(3,0)-，则点B'的坐标是（）A ．()1,1B ．()2,2C ．()3,3D ．()5,5【考点7】一次函数图象和性质➼➻一次函数的增减性➼➻求参数★★比较大小13．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级克东县第三中学校考开学考试）对于函数 1y x =-+，下列结论正确的是（）A ．它的图象必经过点(1,0)-B ．它的图象经过第一、二、三象限C ．当1x >时，0y <D ．y 的值随x 值的增大而增大14．（2023春·山东聊城·八年级统考期末）已知11 A x y （，），22 Bx y （，）为直线23y x =-上不相同的两个点，以下判断正确的是（）A ．()()12120x x y y --＞B ．()()12120x x y y --<C ．()()12120x x y y --≥D ．()()12120x x y y --≤【考点8】一次函数图象和性质➼➻直线与坐标轴交点➼➻求方程的解15．（2023春·天津·八年级统考期末）已知方程0ax b +=的解为x =-32，则一次函数y ax b =+的图象与x 轴交点的坐标为（）A ．()3,0B ．(-23,0)C ．()2,0-D ．(-32,0)16．（2023春·河南洛阳·八年级偃师市实验中学校考期末）一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点()30A -,，则关于x 的方程0kx b -+=的解为（）A ．3x =B ．3x =-C ．0x =D ．2x =【考点9】一次函数图象和性质➼➻规律问题★★最值问题17．（2019·福建厦门·校考二模）关于x 的一次函数1(2)(1)(01)=-+-<<y x k x k k，当2≤x≤3时，y 的最大值是（）A ．2-+kkB ．12-k kC ．kD ．-k18．（2023春·八年级课时练习）正方形111A B C O ，2221A B C C ，3332A B C C ，…，按如图的方式放置，点1A ，2A ，3A ，…和点1C ，2C ，3C ，…分别在直线1y x =+和x 轴上，则点7B 的坐标是（）A ．(31,16)B ．(63,32)C ．(64,32)D ．(127,64)二、填空题【考点1】函数的概念★★自变量的取值范围★★函数解析式★★函数值19．（2023·辽宁辽阳·辽阳市第一中学校联考一模）函数1y x=+x 的取值范围是.20．（2023秋·上海杨浦·八年级统考期末）已知()6=f x x，那么f=．【考点2】一次函数➼➻定义★★参数★★自变量与函数值★★列一次函数解析式21．（2022秋·浙江·八年级期末）一次函数y ＝10－2x 的比例系数是．22．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，点(0,4)A ，(2,4)B ，点P 在直线112y x =+上，当PA PB =时，点P 的坐标是．【考点3】正比例函数➼➻正比例函数的图象与性质23．（2023春·贵州黔西·八年级校考阶段练习）如图，正比例函数11223344y k x y k xy k x y k x ====，，，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则比例系数1k ，2k ，3k ，4k 从小到大排列并用“<”连接为．24．（2022秋·上海·八年级校考期中）已知正比例函数()0y kx k =≠的图象经过一、三象限，且经过点()2,21P k k ++，则k =．【考点4】一次函数图象和性质➼➻判断位置★★求参数★★画一次函数图象25．（2023春·黑龙江鹤岗·八年级统考期末）直线y kx b =+经过一、二、四象限，则直线y bx k =-+不经过第象限．26．（2020春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数y ＝|3x －1|＋2的图象记为l 1，y ＝x －7的图象记为l 2，把l 1、l 2组成的图形记为图形M ．若直线y ＝kx －5与图形M 有且只有一个公共点，则k 应满足的条件是【考点5】一次函数图象和性质➼➻一次函数图象与坐标轴交点27．（2022秋·四川达州·八年级校考阶段练习）函数42y x =-与x ，y 轴交点坐标分别为．28．（2023秋·山西运城·八年级统考期中）如图，已知直线24y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，以点A 为圆心，AB 为半径画弧，交x 轴负半轴于点C ，则点C 坐标为．【考点6】一次函数图象和性质➼➻一次函数图象平移问题29．（2022春·贵州安顺·八年级统考期末）直接写出一个与直线21y x =+平行的一次函数的解析式：．30．（2020春·福建福州·九年级校考开学考试）将直线4y x =-向右平移3个单位后，所得直线的表达式是．【考点7】一次函数图象和性质➼➻一次函数的增减性➼➻求参数★★比较大小31．（2023春·河南新乡·八年级校考期末）请写出一个过点()11,A y -和点()25,B y 且函数值满足12y y >的一次函数解析式：．32．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考阶段练习）已知一次函数1y ax b =+，2y cx d =+（a ，b ，c ，d 均为常数，且0a c ⋅≠）在平面直角坐标系中的图象如图所示，比较a ，b ，c ，d 的大小关系用“<”连接【考点8】一次函数图象和性质➼➻直线与坐标轴交点➼➻求方程的解33．（2023春·广东汕尾·八年级统考期末）已知一次函数y kx b =+的图象与x 轴相交于点()2,0A ，与y 轴相交于点()0,3B ，则关于x 的方程0kx b +=的解是．34．（2023春·八年级课时练习）已知直线24y x =+与两坐标轴分别交于A ，B 两点，线段AB 的长为.【考点9】一次函数图象和性质➼➻规律问题★★最值问题35．（2023春·四川德阳·八年级四川省德阳市第二中学校校考阶段练习）对于函数123y x =+和21y x =-+，3122y x =-，对于实数范围内x 的任意取值，y 总取y 1、y 2、y 3中的最小值，则y 的最大值等于．36．（2023春·四川广安·八年级广安中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线:1l y x =-与x 轴交于点1A ，如图所示依次作正方形111A B C O 、正方形2221A B C C …、正方形1n n n n A B C C -，使得点123,,A A A …在直线l 上，点123,,C C C …在y 轴正半轴上，则点2020B 的坐标是．参考答案1．D【分析】根据函数的概念，对于自变量x 的每一个值，y 都有唯一的值和它对应，判断即可．解：A 、对于自变量x 的每一个值，y 都有唯一的值和它对应，所以能表示y 是x 的函数，故A 不符合题意；B 、对于自变量x 的每一个值，y 都有唯一的值和它对应，所以能表示y 是x 的函数，故B 不符合题意；C 、对于自变量x 的每一个值，y 都有唯一的值和它对应，所以能表示y 是x 的函数，故C 不符合题意；D 、对于自变量x 的每一个值，y 不是有唯一的值和它对应，所以不能表示y 是x 的函数，故D 符合题意；故选：D ．【点拨】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．2．B【分析】用100减去买签字笔花的钱，即可表示出剩余的钱．解：由题知，因为签字笔每支2.5元，且小涵买了x 支，所以用取2.5x 元．故余下()100 2.5x -元．所以剩余的钱y 与x 之间的关系式是100 2.5y x =-．故选：B ．【点拨】本题考查函数关系式，准确表示出剩余的钱数是解题的关键．3．A【分析】根据一次函数y kx b =+的定义可知，k 、b 为常数，0k ≠，自变量的次数为1，即可求解．解：()124a y a x-=-+ 是关于x 的一次函数，11a ∴-=，且20a -≠，2a ∴=，且2a ≠，2a ∴=±且2a ≠，2a ∴=-．故选：A ．【点拨】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义和性质是解题的关键．4．C【分析】把(),P a b 代入函数解析式得32=+b a ，化简得32-=-a b ，化简所求代数式即可得到结果；解：把(),P a b 代入函数解析式32y x =+得：32=+b a ，化简得到：32-=-a b ，∴()()621=231=221=-3-+-+⨯-+a b a b ．故选：C ．【点拨】本题主要考查了通过函数解析式与已知点的坐标得到式子的值，求未知式子的值，准确化简式子是解题的关键．5．C【分析】根据正比例函数的图象和性质，逐项判断即可求解．解：A 、图象经过原点，故本选项正确，不符合题意；B 、因为104-<，所以y 随x 的增大而减小，故本选项正确，不符合题意；C 、当2x =时，1112422y =-⨯=-≠，则点12,2⎛⎫⎪⎝⎭不在函数14y x =-的图象上，故本选项错误，符合题意；D 、因为104-<，所以图象经过二、四象限，故本选项正确，不符合题意；故选：C【点拨】本题主要考查了正比例函数的图象和性质，熟练掌握正比例函数的图象和性质是解题的关键．6．B【分析】根据一次函数的性质即可求出当12x x <时，12y y >时，列出不等式，进而求出m 的取值范围．解：∵正比例函数图象上两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，当12x x <时，有12y y >，∴210m +<，∴12m <-．故选：B ．【点拨】本题考查的是一次函数的性质．解答此题要熟知一次函数y kx b =+：当0k >时，y 随x 的增大而增大；当0k <时，y 随x 的增大而减小．7．B【分析】根据一次函数的性质，由0k <，0b >时，函数y kx b =+的图象经过第一、二、四象限，即可得出；解：根据一次函数的性质，10-<，220220m +>，故0k <，0b >，函数y kx b =+的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．故选：B ；【点拨】本题考查了一次函数的性质．一次函数y kx b =+的图象经过的象限由k 、b 的值共同决定，有六种情况：①当0k >，0b >时，函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限，y 的值随x 的值增大而增大；②当0k >，0b <时，函数y kx b =+的图象经过第一、三、四象限，y 的值随x 的值增大而增大；③当0k <，0b >时，函数y kx b =+的图象经过第一、二、四象限，y 的值随x 的值增大而减小；④当0k <，0b <时，函数y kx b =+的图象经过第二、三、四象限，y 的值随x 的值增大而减小；⑤当0k >，0b =时，函数y kx b =+的图象经过第一、三象限；⑥当0k <，0b =时，函数y kx b =+的图象经过第二、四象限．8．A【分析】根据一次函数图象经过一、二、三象限得出3040a a +>⎧⎨+>⎩，求出结果即可．解：∵一次函数图象经过一、二、三象限，∴3040a a +>⎧⎨+>⎩，解得：3a >-，故A 正确．故选：A ．【点拨】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，一次函数()0y kx b k =+≠，当0k >直线经过一、三象限，当0k <直线经过二、四象限，当0b >直线与y 轴正半轴有交点，0b <直线与y 轴负半轴有交点．9．B【分析】根据图示，可得110,0k b >>，220,0k b <<，根据不等式的性质即可求解．解：根据图示，可知一次函数()11110y k x b k =+≠中，110,0k b >>；一次函数()22220y k x b k =+≠中，220,0k b <<，∴A 、12·0k k <，故原选项错误，不符合题意；B 、∵120,0k k ><，∴120k k ->，故原选项正确，符合题意；C 、∵120,0b b ><，且12b b >，∴120b b +>，故原选项错误，不符合题意；D 、∵120,0b b ><，∴120b b < ，故原选项错误，不符合题意；故选：B ．【点拨】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握一次函数图象的性质，不等式的性质是解题的关键．10．B【分析】由一次函数4y ax =-与2y bx =+的图象在x 轴上相交于同一点，即两个图象与x 轴的交点是同一个点．可用a 、b 分别表示出这个交点的横坐标，然后联立两式，可求出ba的值．解：在4y ax =-中，令0y =，得：4x a=；在2y bx =+中，令0y =，得：2=-x b；由于两个一次函数交于x 轴的同一点，因此42a b=-，则ab =422=--．故选：B ．【点拨】本题考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上点，就一定满足函数解析式．11．B【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．解：∵将直线22y x =-+平移后，得到直线23y x =--，设向上平移了a 个单位，∴2223x a x -++=--，解得：5a =-，所以沿y 轴向上平移了5-个单位，即向下平移5个单位，故选：B ．【点拨】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键．12．B【分析】求得B 的坐标，根据题意，将△ABO 向右平移5个单位，向上平移5个单位得到△A ′B ′O ′，从而得到B ′的坐标为（-3+5，-3+5），即B ′（2，2）．解：∵点A 的坐标为（-3，0），AB ⊥x 轴，与直线y =x 交于点B ，∴B （-3，-3），将△ABO 沿直线y =x 向上平移A ′B ′O ′，实质上是将△ABO 向右平移5个单位，向上平移5个单位，∴B ′的坐标为（-3+5，-3+5），即B ′（2，2），故选：B ．【点拨】本题主要考查了一次函数的图象与几何变换，点的平移问题，能根据题意得出平移的实质是本题的关键．13．C【分析】根据一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可．解：A 、把=1x -代入函数 1y x =-+得，() 1120y =--+=≠，故点(1,0)-不在此函数图象上，故本选项错误，不符合题意；B 、函数 1y x =-+中，10k =-<，10b =>，则该函数图象经过第一、二、四象限，故本选项错误，不符合题意；C 、当1x >时，110-+=，则0y <，故本选项正确，符合题意；D 、函数 1y x =-+中，10k =-<，则该函数图象y 值随着x 值增大而减小，故本选项错误，不符合题意．故选：C ．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．14．A【分析】将两个点代入直线方程整理判断即可．解：将A 、B 两点坐标分别代入直线方程，得1123y x =-，2223y x =-，则()12122y y x x -=-．()()()212121220x x y y x x --=-≥．∵A 、B 两点不相同，∴120x x -≠，∴()()12120x x y y -->．故选：A ．【点拨】本题主要考查一次函数图象上点的坐标，比较简单，分别代入计算整理即可．15．D【分析】关于x 的一元一次方程0ax b +=的根是x =32-，即x =32-时，函数值为0，所以直线过点(32-,0)，于是得到一次函数y ax b =+的图象与x 轴交点的坐标．解：方程0ax b +=的解为x =32-，则一次函数y ax b =+的图象与x 轴交点的坐标为(-32,0)，故选：D ．【点拨】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为0ax b +=(a ，b 为常数，0)a ≠的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y ax b =+确定它与x 轴的交点的横坐标的值．16．A【分析】先根据一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点()30A -,，求出3b k =，然后解方程即可．解： 一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点()30A -,，30k b ∴-+=，3b k ∴=，0kx b -+= ，33b k x k k∴===．故选：A ．【点拨】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，正确求出3b k =是解题的关键．17．B【分析】根据题目中的函数解析式和k 的取值范围，可以判断该函数一次项系数的正负，然后利用一次函数的性质即可解答本题．解：y=()()121x k x k-+-=12x k kx k k -+-=（1k -k ）x 2k -+k ，∵0＜k ＜1，∴1k k-＞0，∴该函数y 随x 的增大而增大，∴当2≤x≤3时，x=3时y 取得最大值，此时y=()()13213k k -+-=12-k k，故选：B ．【点拨】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．18．D【分析】先求出1B ，2B ，3B ，4B 的坐标，探究规律后即可解决问题．解：∵1111111OC OA B C A B ====，∴()11,1B ，∵2A 在直线1y x =+上，∴()21,2A ，∴12222C C B C ==，∴()23,2B ，同理可得()37,4B ，()415,8B …所以()121,2n n n B --，所以7B 的坐标为()127,64；故选：D ．【点拨】此题考查一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，解题关键在于根据题意找到规律．19．1x ≥【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为0列出不等式组，解不等式组得到答案．解：由题意得：0x ≠且10x -≥，解得：1x ≥，故答案为： 1.x ≥【点拨】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为0是解题的关键．20．【分析】将x ()6=f x x ，进行求解即可．解：f ==故答案为：【点拨】本题考查求函数值，分母有理化．正确的计算是解题的关键．21．2-【分析】先化为标准形式，再根据一次函数的定义解答．解：一次函数变形为：102210y x x =-=-+，故其比例系数k 是2-．故答案为：2-．【点拨】本题考查了一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的定义：一般地，形如(0y kx b k =+≠，k 、b 是常数）的函数，叫做一次函数．22．3(1,)2【分析】设点P 的坐标为1(,1)2m m +，利用两点间的距离结合PA PB =，即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论．解： 点P 在直线112y x =+上，∴设点P 的坐标为1(,1)2m m +．PA PB = ，222211(0)(14)(2)(14)22m m m m ∴-++-=-++-，即440m -=，解得：1m =，∴点P 的坐标为3(1,)2．故答案为：3(1,)2．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离以及解一元一次方程，利用一次函数图象上点的坐标特征及两点间的距离，找出关于m 的方程是解题的关键．23．2143k k k k <<<【分析】首先根据直线经过的象限判断k 的符号，再根据直线的平缓趋势判断k 的绝对值的大小，最后判断四个系数的大小．解：由直线经过的象限，知：12340000k k k k <>，，，，∵根据直线越陡，k 越大，∴21k k >，34k k >，∴2143k k k k <<<，故答案为：2143k k k k <<<．【点拨】本题考查正比例函数图象与性质，掌握正比例函数的性质是解题的关键．24．1【分析】先根据正比例函数的性质求出k 的取值范围，再把P 点坐标代入求解即可．解：∵正比例函数()0y kx k =≠的图象经过一、三象限，∴0k >．把()2,21P k k ++代入()0y kx k =≠，得()221k k k +=+，解得1k =或1k =-（舍去）．故答案为：1．【点拨】本题考查了正比例函数图象与系数的关系：对于y kx =（k 为常数，0k ≠），当0k >时，y kx =的图象经过一、三象限，y 随x 的增大而增大；当0k <时，y kx =的图象经过二、四象限，y 随x 的增大而减小．25．一【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k ，b 的取值范围，从而求解．解：由直线y kx b =+的图象经过第一、二、四象限，∴0k <，0b >，∴0k <，0b -<，∴直线y bx k =-+经过第二、三、四象限，∴直线y bx k =-+不经过第一象限，故答案为：一．【点拨】本题考查一次函数图象与系数的关系．解答本题注意理解：直线y kx b =+所在的位置与k 、b 的符号有直接的关系．0k >时，直线必经过一、三象限．0k <时，直线必经过二、四象限．0b >时，直线与y 轴正半轴相交．0b =时，直线过原点；0b <时，直线与y 轴负半轴相交．26．－3≤k≤3且k≠1．【分析】根据图像即可求得k 的取值范围．解：根据题意当x≥13时，y ＝3x －1＋2＝3x+1；当x ＜13时，y ＝1-3x ＋2＝3-3x ，由此画出图形M ，直线y ＝kx －5过定点（0，-5），交点在l 2上，如图可得：－3≤k≤3且k≠1，故答案为：－3≤k≤3且k≠1．【点拨】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，画出图像是本题关键．27．()2,0，()0,4【分析】根据坐标轴上点的坐标特点：横轴上的点，纵坐标为零；纵轴上的点，横坐标为零进行计算即可．解：∵当0x =时，4y =，∴与y 轴交点坐标为()0,4，∵当0y =时，2x =，∴与x 轴交点坐标为()2,0，故答案为：()2,0，()0,4．【点拨】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．28．()2-/()2,0-【分析】先根据坐标轴上点的坐标特征得到()2,0A ，()0,4B ，再利用勾股定理计算出AB =根据圆的半径相等得到AC AB ==解：当0y =时，240x -+=，解得2x =，则()2,0A ；当0x =时，244y x =-+=，则()0,4B ，所以AB ===因为以点A 为圆心，AB 为半径画弧，交x 轴于点C ，所以AC AB ==所以2OC AC AO =-=．即可得点C 坐标为()2C -．故答案为：()2-．【点拨】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，勾股定理，正确求出一次函数与坐标轴的交点坐标是解题的关键．29．21y x =-（答案不唯一）【分析】根据平行得出一次函数的解析式2k =，1b ≠即可；解：设一次函数的解析式是y kx b =+，与直线21y x =+平行，2k ∴=，1b ≠，∴符合条件的一次函数的解析式可以是21y x =-，故答案为：21(y x =-答案不唯一；【点拨】本题考查了两直线相交或平行问题的应用，关键是根据题意求出2k =，1b ≠．30．7y x =-【分析】直接根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．解：将直线4y x =-向右平移3个单位后，所得直线的表达式是()34y x =--，即7y x =-．故答案为：7y x =-．【点拨】本题考查的是一次函数的图象的平移，熟知函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”是解答此题的关键．31．21y x =-+【分析】根据题意可知所求的一次函数中，函数值随自变量的增大而减小，即所得函数中，自变量的系数为负，据此作答即可．解：一次函数过点()11,A y -和点()25,B y ，∵15-<，且12y y >，∴一次函数的函数值随自变量的增大而减小，∴一次函数中，自变量的系数为负，故答案为：21y x =-+（答案不唯一）．【点拨】本题主要考查了一次函数的图象与性质，判断出一次函数的函数值随自变量的增大而减小，是解答本题的关键．32．d b a c<<<【分析】首先根据函数图像可知0a >，0b <，0c >，0d <，由图象可以得到函数1y ax b =+与y 轴的交点在函数2y cx d =+与y 轴的交点的上方，故b d >，由图象可以发现函数1y ax b =+的图象的倾斜度比函数2y cx d =+的图象的倾斜度缓，故a c <，即可求解．解：由图象可得，0a >，0b <，0c >，0d <，由图象可以得到函数1y ax b =+与y 轴的交点在函数2y cx d =+与y 轴的交点的上方，故b d >，由图象可以发现函数1y ax b =+的图象的倾斜度比函数2y cx d =+的图象的倾斜度缓，故a c <，由上可得，d b a c <<<，故答案为：d b a c <<<．【点拨】本题主要考查了一次函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．33．2x =【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系，一次函数y kx b =+图象与x 轴交点的横坐标是方程0kx b +=的解，即可得出答案．解：∵一次函数y kx b =+的图象与x 轴相交于点()2,0A ，∴方程0kx b +=的解是2x =．故答案是2x =．【点拨】本题主要考查了图象法解一元一次方程，熟练掌握一次函数y kx b =+图象与x 轴交点的横坐标是方程0kx b +=的解，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键．34．【分析】根据表达式求出A 、B 两点坐标，再利用勾股定理求出AB 的长即可．解：把x =0代入y =2x +4得：y =4，∴直线与y 轴交点坐标为（0，4），把y =0代入y =2x +4得：0=2x +4，x =－2，∴直线与x 轴交点坐标为（－2，0），∴AB =故答案为：【点拨】本题考查一次函数及勾股定理，利用表达式求出点的坐标，再把坐标转化成线段长是解题的关键．35．1-【分析】利用两直线相交，分别求出三条直线两两相交的交点，观察函数图像，利用一次函数的性质解答．解：直线123y x =+和直线21y x =-+的交点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线123y x =+和直线3122y x =-的交点1011,33骣琪--琪桫，直线21y x =-+和直线3122y x =-的交点()2,1-，结合图像，对于实数范围内x 的任意取值，y 总取y 1、y 2、y 3中的最小值，所以，当2x =时，y 有最大值，最大值为1-，故答案为：1-．【点拨】本题考查一次函数的性质，掌握一次函数的图像性质是解题的关键，学会运用数形结合的思想解答更容易方便，这里注意求两条一次函数图像的交点即为联立两个一次函数解析式，求解出来的x 与y 即为交点坐标的横纵坐标．36．20192020(2,21)-【分析】根据题意，直线:1l y x =-与x 轴交于点1A ，当0y =时，1x =，可算出点,A B 的规律，由此即可求解．解：直线:1l y x =-与x 轴交于点1A ，当0y =时，1x =，∴1(1,0)A ，∴1(1,1)B ，同理可得，2(2,1)A ，3(4,3)A ，4(8,7)A ，5(16,15)A ，┈2(2,3)B ，3(4,7)B ，4(8,15)B ，5(16,31)B ，┈∴1(2,21)n n n B --（n 为正正数），∴2020120202020(2,21)B --，即201920202020(2,21)B -，故答案为：20192020(2,21)-．【点拨】本题主要考查一次函数图像的几何变换规律，掌握一次函数图像的性质，点的规律是解题的关键．。
北京师范大学附属中学中考数学规律问题算式变化类专题
北京师范大学附属中学中考数学规律问题算式变化类专题一、规律问题算式变化类1．当x 分别取-2019、-2018、-2017、…、-2、-1、0、1、12、13、…、12017、12018、12019时，分别计算分式2211x x -+的值，再将所得结果相加，其和等于( ) A ．-1B ．1C ．0D ．20192．按如图所示的程序计算，若1S a =，则2020S 的结果为（ ）A ．aB ．1a -C ．11a- D ．1aa-- 3．如图为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如()n a b +（其中n 为正整数）展开式的系数，例如：()a b a b +=+222,()2a b a ab b +=++，+=+++33223()33a b a a b ab b ，那么6()a b +展开式中前四项的系数分别为（ ）A ．1，5，6，8B ．1，5，6，10C ．1，6，15，18D ．1，6，15，204．一只跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳2个单位长度，第2次向左跳4个单位长度，第3次向右跳6个单位长度，第4次向左跳8个单位长度，⋯依此规律跳下去，当它第2019次落下时，落点表示的数是（ ） A ．2019 B ．2020C ．-2020D ．10105．2020减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，….依此类推，一直减到余下的12020，则最后剩下的数是（ ） A ．20202019B ．1C ．20192020D ．06．a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数．．．．如：3的差倒数是11132=--，1-的差倒数是111(1)2=--．已知12a =，2a 是1a 的整倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，依此类推，则2020a 为（ ） A ．2B ．1C ．1-D ．127．“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式；2111==21342+== 213593++== 21357164+++==213579255++++==解答下列问题：请用上面得到的规律计算：135759++++⋯⋯+=（ ） A ．901B ．900C ．961D ．6258．求22201412222++++⋅⋅⋅+的值，可令22201412222S =++++⋅⋅⋅+，则2342015222222S =++++⋅⋅⋅+，因此2015221S S -=-．仿照以上推理，计算出22201315555++++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．201451- B ．201551-C ．2015514-D ．2014514-9．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：31331+23331+2+333331+2+3+433331+2+3++25的值为（ ） A ．351B ．350C ．325D ．30010．已知1x ，2x ，⋯⋯2013x 均为正数，且满足122012232013()()M x x x x x x =++++++，122013232012()()N x x x x x x =++++++，则M 与N 之间的关系是（ ）A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．无法确定11．若规定“!”是一种数学运算符号，且则的值为（）A．B．99! C．9 900 D．2!12．观察等式：1+2+22＝23－1；1+2+22+23＝24－1；1+2+22+23+24＝25－1；若1+2+22+…+29＝210－1＝m，则用含m 的式子表示 211+212+ …+218+219的结果是（）A．m2+ m B．m2+m－2 C．m2－1 D．m2+ 2m13．对于正数x，规定f(x)=1xx+，例如f(3)=34，f(13)=14，计算f(12015)+f(12014)+f(12013)+…+f(13)+f(12)+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)+f(2014)+f(2015)的结果是（）A．2014 B．2014．5 C．2015 D．2015．5B14．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n 的代数式表示）（）．A．21n-B．22n-C．23n-D．24n-15．如图，已知ABC的面积是12，6BC=，点E，I分别在边AB，AC上，在边BC上依次作了n个全等的小正方形，DEFG，GFMN，，KHIJ，则每个小正方形的边长为（）A．1211B．1223n-C．125D．1223n+16．在明代的《算法统宗》中记载了利用方格进行两数相乘的一种方法，叫做“铺地锦”，如图1，计算4751⨯，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来，得2397，图2用“铺地锦”法表示两个两位数相乘，则a 的值为（ ）A ．7B ．5C ．3D ．217．山西面食不仅是中华民族饮食文化的重要组成部分，也是世界的面食之根.其中，“拉面”远播世界各地.制作方法如图所示，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，反复几次，这根很粗的面条就被拉成许多细的面条，第一次捏合变2根细面条，第二次捏合变4根细面条，第三次捏合变8根细面条，这样捏合到第n 次后可拉出细面条（ ）A ．2n 根B ．12n +根C ．12n -根D ．112n +⎛⎫ ⎪⎝⎭根18．已知有理数a ≠1，我们把11a-称为a 的差倒数，如：2的差倒数是112=--1，﹣1的差倒数是()11112=--．如果a 1=﹣2，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数…依此类推，那么a 1+a 2+…+a 109的值是( ) A ．8B ．﹣8C ．6D ．﹣619．计算：2222211111(1)(1)(1)...(1)(1)56799100-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-的结果是（ ） A ．101200 B ．101125C ．101100D ．110020．已知ABC 的面积为28cm ，连接ABC 各边中点构成第一个三角形，再连接这个新三角形的各边中点得到第2个三角形．依此类推，则第100个三角形的面积为（ ） A ．10314 B ．16012 C ．19712 D ．9812 21．观察下列式子：11223343453⨯+⨯+⨯=⨯⨯⨯，1122334454563⨯+⨯+⨯+⨯=⨯⨯⨯，112233445565673⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯⨯⨯，…探索以上式子的规律，与计算1112121318191920⨯+⨯++⨯+⨯的结果相等的算式是（ ）A ．()1192021910113⨯⨯⨯-⨯⨯B ．()11920211011123⨯⨯⨯-⨯⨯C ．()1181920910113⨯⨯⨯-⨯⨯D ．()11819201011123⨯⨯⨯-⨯⨯22．计算111111122334455667-----⨯⨯⨯⨯⨯⨯的结果为（ ）． A ．67 B ．67- C ．17- D ．1723．已知：2222233+=⨯，2333388+=⨯，244441515+=⨯，255552424+=⨯，……，若21010b b a a +=⨯（a 、b 为正整数）符合前面式子的规律，则a+b 的值是（ ）．A ．109B ．218C ．326D ．43624．观察下列等式：2223471236⨯⨯++=，222245912346⨯⨯+++=，222225611123456⨯⨯++++=，…．按照此规律，式子2222123100+++⋅⋅⋅+可变形为（ ） A ．1001011026⨯⨯B ．1001012016⨯⨯C ．1001012036⨯⨯D ．100101201100⨯⨯25．观察下列各式：， ， ，…计算：3×（1×2+2×3+3×4+…+99×100）=（ ） A ．97×98×99B ．98×99×100C ．99×100×101D ．100×101×102【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、规律问题算式变化类 1．A 【分析】设a 为负整数，将x=a 代入得：，将x=-代入得：，故此可知当x 互为负倒数时，两分式的和为0，然后求得分式的值即可． 【详解】∵将x=a 代入得：，将x=-代入得：， ∴， 当x=0时， 解析：A 【分析】设a 为负整数，将x=a 代入得：2211a a -+，将x=-1a 代入得：2211a a -+，故此可知当x 互为负倒数时，两分式的和为0，然后求得分式的值即可． 【详解】∵将x=a 代入得：2211a a -+，将x=-1a 代入得：2222222211111111a a a a a a a a ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭==++⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， ∴222211011a a a a --+=++， 当x=0时，2211x x -+=-1， 故当x 取-2019，-2018，-2017，……，-2，-1，0，1，12，13，……，12017，12018，12019时，得出分式2211x x -+的值，再将所得结果相加，其和等于：-1． 故选A ． 【点睛】本题主要考查的是数字的变化规律和分式的加减，发现当x 的值互为负倒数时，两分式的和为0是解题的关键．2．D 【分析】根据程序分别计算前几次输出的结果，从中找到规律，进一步探索第2020次得到的结果． 【详解】解：由题意知， S1=a ，n=1时，S2=1－S1=1－a ， n=2时，S3=， n=3解析：D 【分析】根据程序分别计算前几次输出的结果，从中找到规律，进一步探索第2020次得到的结果． 【详解】 解：由题意知， S 1=a ，n=1时，S 2=1－S 1=1－a ， n=2时，S 3=2111aS －， n=3时，S 4=1－S 3=1－11a －=a 1a﹣－， n=4时，S 5=41S =11a－， n=5时，S 6=1－S 5=1－（1－1a ）=1a， n=6时，S 7=61=a S ； ……发现规律：每6个结果为一个循环， 所以2020÷6=336…4， 所以S 2020=S 4=-a1a－， 故选：D ． 【点睛】本题考查了代数式的运算，解决此类题的关键是通过计算发现循环的规律，再进一步探索，注意规律的总结．3．D 【分析】由（a+b ）=a+b ，，可得的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于的相邻两个系数的和，由此可得的各项系数依次为1、4、6、4、1；的各项系数依次为1、5、10、10、解析：D 【分析】由（a+b ）=a+b ，222()2a b a ab b +=++，+=+++33223()33a b a a b ab b 可得()na b +的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于()1n a b -+的相邻两个系数的和，由此可得()4a b +的各项系数依次为1、4、6、4、1；()5a b +的各项系数依次为1、5、10、10、5、1；因此()6a b +的系数分别为1、6、15、20、15、6、1． 【详解】解：由杨辉三角系数表可以发现：()n a b +展开式中各项的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于1()n a b -+的展开式中相邻两项系数的和，则4()a b +展开式的各项系数依次为1,4,6,4,1；5()a b +展开式的各项系数依次为1,5,10,10,5,1；则6()a b +展开式的各项系数依次为1,6,15,20,15,6,1， ∴前四项的系数分别为1,6,15,20． 故选D ． 【点睛】本题考查了与完全平方公式相关的系数类的变化规律，读懂题意并根据所给的式子寻找系数之间的规律，是快速解题的关键．4．B 【分析】设向右跳动为正，向左跳动为负，根据题意把所有的数字相加即可得到结果； 【详解】解：设向右跳动为正，向左跳动为负， 由题意可得 ， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了有理数解析：B 【分析】设向右跳动为正，向左跳动为负，根据题意把所有的数字相加即可得到结果； 【详解】解：设向右跳动为正，向左跳动为负，由题意可得()()()()()2468403440364038++-+++-+⋯+-+()()()()246810122403440364038-+-+-+⋯+-+═20184038=-+2020=，故选：B．【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，准确计算是解题的关键．5．B【分析】根据题意，可列式2020×（1−）×（1−）×（1−）×…×（1−），先算括号里的减法，再约分即可．【详解】解：2020×（1−）×（1−）×（1−）×…×（1−）＝2020×××解析：B【分析】根据题意，可列式2020×（1−12）×（1−13）×（1−14）×…×（1−12020），先算括号里的减法，再约分即可．【详解】解：2020×（1−12）×（1−13）×（1−14）×…×（1−12020）＝2020×12×23×34…×20192020＝1．故选：B．【点睛】此题考查有理数的混合运算，首先要根据题意列式，总结规律是解题的关键．6．A【分析】可根据差倒数的定义依次计算出a2、a3、a4，即可发现每3个数为一个循环，然后用2020除以3，即可得出答案．【详解】解：已知，a1的差倒数；a2的差倒数；a3的差倒数；…解析：A【分析】可根据差倒数的定义依次计算出a2、a3、a4，即可发现每3个数为一个循环，然后用2020除以3，即可得出答案．【详解】解：已知12a=，a1的差倒数211 12a==--；a2的差倒数311 1(1)2a==--；a3的差倒数412112a==-；…依此类推，2020被3除，结果为2020=3×673+1，被3除余1，所以，a2020=a1=2．故选：A．【点睛】本题考查用代数式表示的新定义下，规律探索问题，关键是通过部分的有理数运算后，发现规律．7．B【分析】观察图形和算式的变化发现规律，进而根据得到的规律计算即可．【详解】观察以下算式：发现规律：，∵2n-1=59解得n=30，∴，故选：B．【点睛】本题考查了规解析：B【分析】观察图形和算式的变化发现规律，进而根据得到的规律计算即可．观察以下算式：2111==21312+==213593++==21357164+++==213579255++++==发现规律：()21321n n +++-=，∵2n -1=59解得n =30，∴21357...5930900+++++==，故选：B ．【点睛】本题考查了规律型——图形的变化类，有理数的乘方．解题的关键是根据图形和算式的变化寻找规律． 8．D【分析】类比题目中所给的解题方法解答即可．【详解】设a=1+5+52+53+...+52013，则5a=5（1+5+52+53+ (52013)=5+52+53+…+52013+52014，解析：D【分析】类比题目中所给的解题方法解答即可．【详解】设a =1+5+52+53+…+52013，则5a =5（1+5+52+53+…+52013）=5+52+53+…+52013+52014，∴5a -a =（5+52+53+…+52013+52014）-（1+5+52+53+…+52013）=52014-1，即a =2014514-． 故选：D ．【点睛】本题是阅读理解题，类比题目中所给的解题方法是解决问题的基本思路．9．C【分析】通过计算前面4个式子的值，得到规律为从1开始的几个连续整数的立方和的算术平方根等于这几个连续整数的和，然后利用此规律求解．①＝1；②＝3＝1+2；③＝6＝1+2+3；解析：C【分析】通过计算前面4个式子的值，得到规律为从1开始的几个连续整数的立方和的算术平方根等于这几个连续整数的和，然后利用此规律求解．【详解】1；3＝1+2；6＝1+2+3；10＝1+2+3+4； ∴3++25＝1+2+3+…+25＝325．故选：C ．【点睛】 本题考查实数运算有关的规律问题，解题关键是先计算题干中的4个简单算式，得出规律后再进行复杂算式的求解．10．A【详解】试题分析：依题意设=A ，设=BM=（A-x2013）×B ；N=A×（B-x2013）所以M-N=（A-x2013）×B- A×（B-x2013）="AB-B" x2013-AB+解析：A【详解】试题分析：依题意设122013x x x +++=A ，设232013x x x +++=BM=（A-x 2013）×B ；N=A×（B-x 2013）所以M-N=（A-x 2013）×B- A×（B-x 2013）="AB-B" x 2013-AB+ A x 2013=（A-B ）x 2013易知A-B=x 1＞0，x 2013＞0.则M ＞N考点：多项式运算点评：本题难度中等，主要考查学生对多项式运算知识点的掌握．为中考常见题型，要求学生牢固掌握解题技巧．11．C【详解】根据题意可得：100！=100×99×98×97×...×1，98！=98×97× (1)∴ =100×99="9" 900，故选C．解析：C【详解】根据题意可得：100！=100×99×98×97×...×1，98！=98×97× (1)∴=100×99="9" 900，故选C．12．C【分析】根据题意，先用m表示出2，然后将所求式子加上2，再减去2，然后利用乘法分配律即可求出结论．【详解】解：∵1+2+2+…+2＝2－1＝m∴2＝m＋1∴2+2+ …+2+2=2+解析：C【分析】根据题意，先用m表示出210，然后将所求式子加上210，再减去210，然后利用乘法分配律即可求出结论．【详解】解：∵1+2+22+…+29＝210－1＝m∴210＝m＋1∴211+212+ …+218+219=210+211+212+ …+218+219-210=210×（1+2+22+…+29）-210=m（m＋1）-（m＋1）= m2－1故选C．【点睛】此题考查的是有理数的乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解决此题的关键．13．B【解析】试题分析：根据题意可得：f(n)+f()=1，则原式=1×2014+=2014．5考点：规律题解析：B【解析】试题分析：根据题意可得：f(n)+f(1n)=1，则原式=1×2014+12=2014．5考点：规律题14．C【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的解析：C【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可．【详解】由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1），∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n2-3，∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3故选：C．【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解．15．D【分析】设正方形的边长为x，根据正方形的性质以及相似三角形性质先求出相应情况下的正方形边长，然后进一步寻求规律即可.【详解】当作了1个正方形时，如图所示，过A作AM⊥BC，垂足为M，交解析：D【分析】设正方形的边长为x，根据正方形的性质以及相似三角形性质先求出相应情况下的正方形边长，然后进一步寻求规律即可.【详解】当作了1个正方形时，如图所示，过A 作AM ⊥BC ，垂足为M ，交GH 于N ，∴∠AMC=90°，∵四边形EFGH 为正方形，∴GH ∥BC ，GH=GF ，GF ⊥BC ，∴∠AGH=∠B ，∠ANH=∠AMC=90°，∵∠GAH=∠BAC ，∴△AGH~△ABC ，∴AN:AM=GH:BC ，∵△ABC 面积为12，BC 为6， ∴1161222ABC s BC AM AM ∆===， ∴AM=4，设GH=x ， ∵GF=NM=GH ，∴AN=AM−NM=AM−GH= 4x -，∴464x x -=， ∴125x =， 同理，当2n =时，根据正方形性质可得：DN=2DE ， ∴244DN DE BC -=， ∴127DN =， 以此类推，当为第n 个正方形时，每个小正方形边长为：1223n +， 故选：D.【点睛】本题主要考查了正方形性质以及相似三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.16．A设4a的十位数字是m，个位数字是n，根据“铺地锦”的计算方法，把方格填完整，再列出三元一次方程组，即可求解．【详解】设4a的十位数字是m，个位数字是n，由题意可知，方格里的数字，解析：A【分析】设4a的十位数字是m，个位数字是n，根据“铺地锦”的计算方法，把方格填完整，再列出三元一次方程组，即可求解．【详解】设4a的十位数字是m，个位数字是n，由题意可知，方格里的数字，如图所示，∴2116410m a an aa m n+=+⎧⎪+=-+⎨⎪=+⎩，解得：287mna=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴a的值为：7．故选A．【点睛】本题主要考查三元一次方程组的应用，根据等量关系，列出方程组，是解题的关键．17．A【分析】找规律，然后根据有理数的乘方的定义列出更加一般的情况即可求解. 【详解】解：第一次捏合变2根细面条，可以看成是第二次捏合变4根细面条，可以看成是第三次捏合变8根细面条，可以看成是解析：A【分析】找规律，然后根据有理数的乘方的定义列出更加一般的情况即可求解.解：第一次捏合变2根细面条，可以看成是12第二次捏合变4根细面条，可以看成是22第三次捏合变8根细面条，可以看成是32依据这个规律下去第n次捏合可拉出细面条的根数为：2n.故答案为：A.【点睛】本题借助生活中的实际例子考查了有理数的乘方的定义，理解乘方的意义是解题的关键. 18．B【分析】根据题意，可以写出这列数的前几项，从而可以发现数字的变化规律，从而可以求得所求式子的值．【详解】解：由题意可得，a1=-2，，，a4=-2，…，则，∴a1+a2+…+解析：B【分析】根据题意，可以写出这列数的前几项，从而可以发现数字的变化规律，从而可以求得所求式子的值．【详解】解：由题意可得，a1=-2，211 1(2)3a==--，31312 13a==-，a4=-2，…，则1231312326a a a ++=-++=-， ∴a 1+a 2+…+a 109 =（a 1+a 2+a 3）+（a 4+a 5+a 6）+…+（a 106+a 107+a 108）+a 109 = 136(2)6⎛⎫-⨯+- ⎪⎝⎭=-6+（-2）-8，故选：B ．【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值．19．B【分析】先根据平方差公式把每个括号内的式子分解因式，进一步计算乘法即得答案．【详解】解：原式====．故选：B ．【点睛】本题考查了多项式的因式分解和有理数的简便运算，属于常解析：B【分析】先根据平方差公式把每个括号内的式子分解因式，进一步计算乘法即得答案．【详解】解：原式=111111111111111111115566779999100100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯⨯-⨯+⨯-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=46576898100991015566779999100100⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =41015100⨯=101125． 故选：B ．【点睛】本题考查了多项式的因式分解和有理数的简便运算，属于常考题型，熟练掌握分解因式的方法是解题关键．20．C【分析】利用相似三角形性质先求出第一个三角形面积2，再求第二个三角形．依次为，…2-2n+3，然后求出当n=100即可【详解】如图所示：∵点D 、E 、F 是△ABC 各边的中点，∴DE ∥BC解析：C【分析】利用相似三角形性质先求出第一个三角形面积2，再求第二个三角形12．依次为18，…2-2n+3，然后求出当n=100即可【详解】如图所示：∵点D 、E 、F 是△ABC 各边的中点，∴DE ∥BC ，且DE=12BC, ∴同理EF=12AB ，DF=12AC ， ∴DE EF 1==BC AB 2DF AC ， ∴△ABC ∽△FED ，∴S △ABC ：S △FED =AB 2：EF 2=4：1，∵S △ABC =8cm 2，∴S △FED =14 S △ABC =2，称为S 1，由此S 2=14S 1=14×2=12，S 3=18… 2=21,, 12=2-1,18=2-3…2-2n+3， 当n=100时，S 100=2-197=19712． 故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形各边中点围成的三角形面积，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是关键．21．B【分析】根据题目中的式子，可以发现式子的变化特点，然后对所求式子变形，即可得到所求式子的值，本题得以解决．【详解】，故选：B ．【点睛】本题考查了数字的变化类，解答本题的关键是明确解析：B【分析】根据题目中的式子，可以发现式子的变化特点，然后对所求式子变形，即可得到所求式子的值，本题得以解决．【详解】1112121318191920⨯+⨯+⋯+⨯+⨯()()1223192012231011=⨯+⨯+⋯+⨯-⨯+⨯+⋯+⨯1119202110111233=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ ()11920211011123=⨯⨯⨯-⨯⨯， 故选：B ．【点睛】本题考查了数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值．22．D【分析】将式子进行变形，然后计算即可．【详解】解：==【点睛】本题考查有理数的计算，关键在于进行变形．解析：D【分析】将式子进行变形，然后计算即可．【详解】 解：111111122334455667-----⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =111111111111()()()()()22334455667----------- =17【点睛】本题考查有理数的计算，关键在于进行变形．23．A【分析】通过观察已知式子可得分子与第一个加数相同，分母等于分子的平方减1，即可求解．【详解】解：由，，，，……，可知分子与第一个加数相同，分母等于分子的平方减1， ∴在中，b ＝10，a ＝1解析：A【分析】通过观察已知式子可得分子与第一个加数相同，分母等于分子的平方减1，即可求解．【详解】 解：由2222233+=⨯，2333388+=⨯，244441515+=⨯，255552424+=⨯，……，可知分子与第一个加数相同，分母等于分子的平方减1， ∴在21010b b a a+=⨯中，b ＝10，a ＝102－1＝99， ∴a ＋b ＝109，故选：A ．【点睛】 本题考查数字的变化规律；能够通过所给例子，找到式子的规律是解题的关键．24．B【分析】根据已知等式归纳类推出一般规律，由此即可得．【详解】，，，归纳类推得：，其中n 为正整数，则，故选：B ．【点睛】本题考查了有理数运算的规律型问题，正确归纳类推出一般规律 解析：B【分析】根据已知等式归纳类推出一般规律，由此即可得．【详解】()()2223313434712366⨯+⨯+⨯⨯++==， ()()222244145459123466⨯+⨯+⨯⨯+++==， ()()222225515656111234566⨯+⨯+⨯⨯++++==， 归纳类推得：()()()()222111211266n n n n n n n n ++++++++==，其中n 为正整数，则()()222210010012100110010120123100166⨯+⨯⨯++++⨯⨯⋅⋅⋅+==， 故选：B ．【点睛】本题考查了有理数运算的规律型问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 25．C【详解】试题分析：根据给出的式子得出一般性的规律，从而得到答案. 考点：规律题解析：C【详解】试题分析：根据给出的式子得出一般性的规律，从而得到答案.考点：规律题。
北京师范大学第二附属中学中考数学规律问题数字变化类专题
北京师范大学第二附属中学中考数学规律问题数字变化类专题一、规律问题数字变化类1．如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为1n，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为（）A．160B．1168C．1252D．12802．已知有理数a≠1，我们把11a-称为a的差倒数，如： 2的差倒数是112-＝－1，－1的差倒数11(1)--＝12．如果a1＝－2， a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1＋a2＋……＋a100的值是（）A．7.35 B．－7.5 C．5.5 D．－5.53．将正偶数按下表排成5列第一列第二列第三列第四列第五列第一行2468第二行16141210第三行18202224第四行 (2826)…则2004应该排在（）A．第251行，第3列B．第250行，第1列C．第500行，第2列D．第501行，第5列4．某种细胞开始有1个，1小时后分裂成2个，2小时分裂成4个，3小时后分裂成8个，按此规律，n 小时后细胞的个数超过1000个，n 的最小值是（ ） A ．9B ．10C ．500D ．5015．把所有正整数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（2，3，4），（5，6，7，8，9），（10，11，12，13，14，15，16），…，现用等式(),M A i j =表示正整数M 是第i 组第j 个数（从左往右数），如()73,3A =，则2020A =（ ）A ．（44，81）B ．（44，82）C ．（45，83）D ．（45，84）6．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x 的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是2，…，则第2020次输出的结果是（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2-7．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x 的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是4-，⋯，则第2021次输出的结果是（ ）A ．6-B ．4-C ．1-D ．2-8．观察下面由正整数组成的数阵：照此规律，按从上到下、从左到右的顺序，第51行的第1个数是（ ） A ．2500B ．2501C ．2601D ．26029．如图是一组按照某种规律摆放而成的图形，第1个图中有3条线段，第二个图中有8条线段，第三个图中有15条线，……，则第10个图中线段的条数是（ ）A ．60B ．90C ．120D ．14310．已知整数1a ，2a ，3a ，4a ，…满足下列条件：10a =，211a a =-+，322a a =-+，433a a =-+，…以此类推，则2018a 的值为（ ）A ．－1007B ．－1008C ．－1009D ．－201811．如果a 是大于1的正整数，那么a 的三次方可以改写成若干个连续奇数的和．例如3235=+，337911=++，3413151719=+++，…，已知3a 改写成的若干个连续奇数和的式子中，有一个奇数是2021，则a 的值是（ ） A ．36B ．45C ．52D ．6112．已知整数1234,,,a a a a ……满足下列条件：12132430,1,2,3a a a a a a a ==-+=-+=-+……，依次类推，则2019a 的值为（ ）A ．2018B ．2018-C ．1009-D ．100913．若线段122A A =，在线段12A A 的延长线上取一点3A ，使2A 是13A A 的中点；在线段13A A 的延长线上取一点4A ，使3A 是41A A 的中点；在线段41A A 的延长线上取一点5A ，使4A 是15A A 的中点……，按这样操作下去，线段2021A A 的长度为（ ）A ．182B ．192C ．202D ．21214．有一列数：3591724816、、、它有一定的规律性．若把第一个数记为a 1，第二个数记为a 2，……．第n 个数记为a n ，则1232020a a a a ++++的值是（ ）A ．2020B ．2021-202012C ．2020-202012D ．2021-20211215．如图，正方形ABCD 的边长为1，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…，按照此规律继续下去，则S 2018的值为（ ）A ．201612B ．201712C ．201812 D ．20191216．有一列数按如下规律排列：22-，34-，14，516-，632-，764，…，则第2019个数是（ ） A ．201920202B ．201820202C ．-201920202D ．-20182020217．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”，（如8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52，即8，16，24均为“和谐数”），若将这一列和谐数8，16，24……由小到大依次记为a 1，a 2，a 3，……，a n ，则a 1+a 2+a 3+…+a n ＝（ ） A ．4n 2+4B ．4n+4C ．4n 2+4nD ．4n 218．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形解释二项式()na b +的展开式中各项系数的规律，此三角形称为“杨辉三角”根据“杨辉三角”请计算()6a b +的展开式中从左起第四项的系数为（ ）A ．64B ．20C ．15D ．619．任意大于1的正整数m 的三次幂均可“分裂”成m 个连接奇数的和，如：3235=+，337911=++，3413151719=+++，…按此规律，若3m 分裂后，其中一个奇数是2021，则m 的值是（ ）A ．46B ．45C ．44D ．4320．已知整数1a 、2a 、3a 、4a ……满足下列条件：11a =-，211a a =-+，322a a =-+，433a a =-+，……，1n n a a n +=-+（n 为正整数）依此类推，则2019a 的值为（ ） A ．1010- B ．1009-C ．1008-D ．1007-21．探索：2(1)(1)1x x x -+=- 23(1)(1)1x x x x -++=- 324(1)(1)1x x x x x -+++=- 4325(1)(1)1x x x x x x -++++=-……判断22020+22019+22018+…+22+2+1的值的个位数是几？（ ）A．1 B．3 C．5 D．722．按如下的方法构造一个多位数：先任意写一个整数n（0＜n＜10）作为第一位上的数字，将这个整数n乘以3，若积为一位数，则将其作为第2位上的数字，若积为两位数，则将其个位数字作为第2位上的数字；再将第2位上的数字乘以3，若积为一位数，则将其作为第3位上的数字，若积为两位数，则将其个位数字作为第3位上的数字；…以此类推．若先任意写的一个整数n是7作为第一位上的数字，进行2020次如上操作后得到了第2021位上的数字，则第2021位上的数字是（）A．1 B．3 C．7 D．923．如果正整数a、b、c满足等式222a b c，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学+=+的值为（）将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x yA．47 B．62 C．79 D．9824．观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出n的值为（）A．491B．1045C．1003D．53325．已知一列数：1，-2，3，-4，5，-6，7，…将这列数排成下列形式：第1行1第2行-23第3行-45-6第4行7-89-10第5行11-1213-1415……按照上述规律排下去，那么第100行从左边数第4个数是（）A．-4954 B．4954 C．-4953 D．4953【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、规律问题数字变化类1．B解析：B 【分析】根据给出的数据可得：第n 行的第三个数等于112n n --的结果再乘11n -，再把n 的值代入即可得出答案． 【详解】解：根据给出的数据可得：第n 行的第三个数等于112n n --的结果再乘11n -， 则第8行第3个数（从左往右数）为111182881168⎛⎫-⨯= ⎪--⎝⎭； 故选：B ． 【点睛】本题考查与实数运算相关的规律题，通过阅读题意归纳总结有关规律再运算是解题关键．2．B解析：B 【分析】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以2-，13，32依次循环，且1312326-++=-，再求出这100个数中有多少个周期，从而得出答案． 【详解】解：12a =-，2111(2)3a ∴==--，3131213a ==-，412312a ==--，⋯⋯∴这个数列以2-，13，32依次循环，且1312326-++=-，1003331……÷=，1210011533()27.562a a a ∴++⋯+=⨯--=-=-，故选：B ． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．3．A解析：A 【分析】观察各行各列的规律，首先分析两端的规律：第一列是偶数行有，且数是16的2n倍，第五列是奇数行有，且数是8的n 倍，因为20041612522=⨯+⨯，200482504=⨯+，所以2004在第251行第3列. 【详解】规律为第一列是偶数行有，且数是16的2n倍，第五列是奇数行有，且数是8的n 倍，所以2004在第251行第3列. 故选：A. 【点睛】此题考查数字的规律，观察表格得到数字的排列规律，得到特定行列的数字规律并运用解决问题是解题的关键.4．B解析：B 【分析】设经过n 个小时，然后根据有理数的乘方的定义列不等式，计算求出n 的最小值即可． 【详解】由题意得，21000n ≥， ∵92512=，1021024=， ∴n 的最小值是：10， 故选：B ． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，是基础题，熟记乘方的定义并列出不等式是解题的关键．5．D解析：D 【分析】根据排列规律，先判断2020在第几组，再判断是这一组的第几个数即可解答． 【详解】解：根据排列规律，2020是第2020个数，设2020在第n 组， 则1+3+5+···(2n －1)≥2020， ∴(121)2n n+-⋅≥2020，即n 2≥2020，当n=44时，1+3+5+…+87= 1936， 当n=45时，1+3+5+…+89=2025， ∴2020在第45组，又∵第44组最后一个数为1936， ∴2020－1936=84，即2020是第45组第84个数， ∴2020A =（45，84）， 故答案选：D ．本题考查数字类的规律探究、有理数的加法运算，熟记公式1+3+5+···(2n －1)=(121)2n n+-⋅，善用联想探索数字规律是解决此类问题的常用方法．6．B解析：B 【分析】把x=2代入程序中计算，以此类推得到一般性规律，即可确定出第2020次输出的结果． 【详解】解：把x=2代入得：0.5×2=1， 把x=1代入得：1+1=2， 把x=2代入得：0.5×2=1， 把x=1代入得：1+1=2， ⋯，由此可知，奇数次运算结果是1，偶数次运算结果为2 ∴第2020次输出的结果为2， 故选：B ． 【点睛】此题考查了代数式求值，弄清题中的程序框图是解本题的关键．7．A解析：A 【分析】根据题意和运算程序可以计算出前几次的输出结果，从而可以发现结果的变化特点，从而可以得到第2021次输出的结果，本题得以解决． 【详解】 解：由题意可得， 第一次输出的结果为1， 第二次输出的结果为4-， 第三次输出的结果为2-， 第四次输出的结果为1-， 第五次输出的结果为6-， 第六次输出的结果为3-， 第七次输出的结果为8-， 第八次输出的结果为4-， 第九次输出的结果为2-， ⋯，由上可得，从第二次输出结果开始，以4-，2-，1-，6-，3-，-8依次循环出现， (20211)63364-÷=⋯，∴第2021次输出的结果是6-，【点睛】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解题的关键是明确题意，发现输出结果的变化特点．8．B解析：B【分析】观察这个数列知，第n行的最后一个数是n2，第50行的最后一个数是502=2500，进而求出第51行的第1个数．【详解】由题意可知，第n行的最后一个数是n2，所以第50行的最后一个数是502=2500，第51行的第1个数是2500+1=2501，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于发现第n行的最后一个数是n2的规律．9．C解析：C【分析】先根据前4个图得出一般性的规律，再依据规律解答即可．【详解】解：第1个图中有3=22−1条线段，第2个图中有8=32−1条线段，第3个图中有15=42−1条线段，第4个图中有24=52−1条线段，……，所以第n个图中有(n+1)2−1条线段；所以第10个图中有112−1=121-1=120条线段．故选：C【点睛】本题考查了图形的变化类规律，由简单的图形中线段的条数得出一般性的规律是解此题的关键．10．C解析：C【分析】根据前几个数字比较后发现：从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，结果的数值2, na n=-从而得到2018a的答案．解：10,a =211011,a a =-+=-+=- 322121,a a =-+=--+=- 433132,a a =-+=--+=- 544242,a a =-+=--+=-655253,a a =-+=--+=- 766363,a a =-+=--+=-…以此类推，发现： 从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，结果的数值是其顺序数的一半的相反数，即2,n a n =- 则2018120181009.2a =-⨯=- 故选：C ． 【点睛】本题考查的是数字的变化规律型，同时考查的是绝对值的含义，有理数的加法运算，乘法运算，掌握根据前几个数字找出结果数值与顺序数之间的规律是解决本题的关键．11．B解析：B 【分析】根据题意，解得3a 改写成的若干个连续奇数和的式子中，第一个数是(1)1a a -+，共有a 个奇数，当=45a 时，解得其第一个数与最后一个数，根据计算结果与2021作比较即可解题． 【详解】3235=+，337911=++，3413151719=+++，…，∴3a 改写成的若干个连续奇数和的式子中，第一个数是(1)1a a -+，共有a 个奇数，=45a 时，第一个数是45(451)1=4544+1=1981⨯-+⨯，一共有45个奇数，最后一个奇数是1981+2(451)=1981+88=2069⨯-1981<2021<2069∴有一个奇数是2021，则a 的值是45，故选：B ． 【点睛】本题考查数字的变化规律，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．12．C解析：C【分析】根据条件求出前几个数的值，再分n 是奇数时，结果等于-12（n-1），n 是偶数时，结果等于-2n ，然后把n 的值代入进行计算即可得解． 【详解】解： 123450|01|1|12|1|13|2|24|2a a a a a ==-+=-=--+=-=--+=-=--+=-678|25|3|36|3|37|4a a a =--+=-=-+=-=--+=-⋯⋯∴201920181009a a ==-，故选择C【点睛】本题考查了数字变化规律，根据所求出的数，观察出n 为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键．13．B解析：B【分析】根据线段中点的定义，和两点之间的距离，找出题目中的规律，即可得到结论．【详解】由题意可知：如图写出线段的长，A 1A 2=2，A 2是 A 1A 3 的中点得A 1A 2=A 2A 3=2，A 1A 3=4，A 3是 A 1A 4的中点得A 1A 3=A 3A 4=4，A 1A 4=8，A 4是 A 1A 5的中点得A 1A 4=A 4A 5=8，……根据线段的长，找出规律，∵A 1A 2=2，A 2A 3=2=21，A 3A 4=4=22，A 4A 5=8=23，A 5A 6=16=24，A 7A 8=……，总结通项公式，∴线段 A n A n+1=2n-1（n 为正整数）∴线段 A 20A 21=219故此题选：B【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，找出题目中的规律是解题的关键. 14．B解析：B【分析】分析数据可得a n = 212n n += 112n +；从而得到1232020a a a a ++++的表达式为232020111111112222++++++++,根据等比数列的特征即可求和.【详解】 解：观察可知∵a n = 212n n += 112n +, 设1232020a a a a ++++=b,则 b=232020111111112222++++++++ =23202011112020()2222+++++ ∴2b=23201911114040(1)2222++++++ ∴2b-b=23201911114040(1)2222++++++-[23202011112020()2222+++++] ∴b=202012020(1)2+-=2020120212-, 即1232020a a a a ++++=2020120212-, 故选:B.【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题找到a n 的表达式是解题关键. 15．B解析：B【解析】【分析】根据题意求出面积标记为S 2的等腰直角三角形的直角边长，得到S 2，同理求出S 3，根据规律解答．【详解】∵正方形ABCD 的边长为1，∴面积标记为S 2的等腰直角三角形的直角边长为2，则S 2＝2111222⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭面积标记为S 3＝12 ， 则S 3＝22111242⎛⎫== ⎪⎝⎭……则S 2018的值为：201712，故选：B ．【点睛】本题考查的是勾股定理、正方形的性质，根据勾股定理求出等腰直角三角形的边长是解题的关键． 16．A解析：A【分析】根据所给的算式，找出规律即可解答.【详解】观察算式可得，分子是连续整数的算术平方根，分母是2的整数次幂，整列数是两个负数及一个正数的循环，∵2019÷3=673，∴第2019个数是正数，∴第2019个数为20192. 故选A.【点睛】本题是数字规律探究题，根据所给的算式找出规律是解决问题的关键. 17．C解析：C【分析】根据题意设两个连续奇数为2n ﹣1，2n+1（n 为自然数），则“和谐数”＝（2n+1）2﹣（2n ﹣1）2，据此解答即可．【详解】解：a 1+a 2+a 3+…+a n ＝32﹣12+52﹣32+72﹣52+…+（2n ﹣1）2﹣（2n ﹣1）2+（2n+1）2 ＝4n 2+4n ．故选：C ．本题考查平方差公式：a 2-b 2=（a-b ）（a-b ），同时也考查对代数式的变形能力． 18．B解析：B【分析】先观察发现，这些数字组成的三角形是等腰三角形，两腰上的数都是1，从第3行开始，中间的每一个数都等于它肩上两个数字之和，展开式的项数比它的指数多1，再根据上面观察的规律列出()6a b +的展开式对应的系数即得．【详解】∵杨辉三角数的规律为每排的首尾两数均为1，中间的数为上一排相邻两数之和，且()5a b +的展开式中各项系数为：1，5，10，10，5，1∴()6a b +展开式中各项系数为：1，6，15，20，15，6，1 ∴()6a b +的展开式中从左起第四项的系数为：20故选：B ．【点睛】本题主要考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是基本抓住规律：每排的首尾两数均为1，中间的数为上一排相邻两数之和，指数为n 时展开式的系数为杨辉三角数的()1n +排的数．19．B解析：B【分析】观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到m 3的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数2021的是从3开始的第1010个数，然后确定出1007所在的范围即可得解．【详解】解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，∴m 3分裂成m 个奇数，所以，到m 3的奇数的个数为：2+3+4+…+m=(2)(1)2m m +-， ∵2n+1=2021，n=1010，∴奇数2021是从3开始的第1010个奇数， ∵(442)(441)(452)(451)989,103422+⨯-+⨯-==， ∴第1010个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个，即m=45．故选：B ．本题是对数字变化规律的考查，观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键，还要熟练掌握求和公式．20．A解析：A【分析】根据条件求出前几个数的值，再分n 是奇数时，()112n a n =-+，n 是偶数时，22n n a -=-，然后把n 的值代入进行计算即可得解． 【详解】解：a 1=-1，a 2=-|a 1+1|=-|-1+1|=0，a 3=-|a 2+2|=-|0+2|=-2，a 4=-|a 3+3|=-|-2+3|=-1，a 5=-|a 4+4|=-|-1+4|=-3，a 6=-|a 5+4|=-|-3+5|=-2，a 7=-|a 6+4|=-|-2+6|=-4…， 所以，n 是奇数时，()112n a n =-+，n 是偶数时，22n n a -=-， a 2019=12-（2019+1）=-1010， 故选：A ．【点睛】此题主要考查了数字变化规律，根据所求出的数，观察出n 为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键．21．A解析：A【分析】仔细观察，探索规律可知：22020+22019+22018+…+2+1=（22021-1）÷（2-1），依此计算即可求解．【详解】解：观察所给等式得出如下规律：211(1)(1)1n n n n x x x x x x --+-++++=-…… 变形得121111n n n n x x x x x x +---++++=-…… 令其x =2，n =2020得22020+22019+22018+…+2+1==（22021-1）÷（2-1）=22021-1，∵2n 的个位数字分别为2，4，8，6，即4次一循环，且2020÷4=505，∴22020的个位数字是6，∴22021的个位数字为2，∴22021-1的个位数字是1，∴22020+22019+22018+…+2+1的个位数字是1．故选：A ．【点睛】此题考查了多项式的乘法，乘方的末位数字的规律，注意从简单情形入手，发现规律，是解决问题的关键．22．C解析：C【分析】根据题意，进行六次操作后找到规律，是以7139四位数为周期循环出现，由此可以得出第2021位上的数字．【详解】解：进行第一次操作，7×3＝21，积是两位数，所以得到的数是71；进行第二次操作，1×3＝3，积是一位数，所以得到的数是713；进行第三次操作，3×3＝9，积是一位数，所以得到的数是7139；进行第四次操作，9×3＝27，积是两位数，所以得到的数是71397；进行第五次操作，7×3＝21，积是两位数，所以得到的数是713971；进行第六次操作，1×3＝3，积是一位数，所以得到的数是7139713；进行第七次操作，3×9＝27，积是两位数，所以得到的数是71397139；此时，根据以上规律，可以发现这个数是以7139四位数为周期循环出现；所以，第2020次操作后：2021÷4＝55…1，意思是进行2020次操作后，7139已经完整循环了55次，还余下1次，而第2021位上应是下一个循环的开头的数字7．故选：C ．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，理解题意，找准变化的规律是解题的关键．23．C解析：C【分析】依据每列数的规律，即可得到2221,,1a n b n c n =-==+，进而得出x y +的值. 【详解】解：由题可得：222321,42,521=-==+…… 2221,,1a n b n c n ∴=-==+当21658c n n =+==时，63,16x y ∴==79x y ∴+=故选C【点睛】本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键.24．B解析：B【分析】观察图表可以发现：最上方的数字是连续奇数1、3、5，…2n -1；左下方的数字为20，21，22，…2n-1；最后根据右下方的数字=左下方的数字+最上方的数字解答即可．【详解】解：观察图表可以发现：最上方的数字是连续奇数1、3、5，…2n -1；则2n-1=21，解得n=11左下方的数字为：20，21，22，…2n -1；令n=11可得：m=211-1=1024∴n=m+21=1024+21=1045故选：B ．【点睛】本题考查了数字的变化类规律题，解题的关键在于根据图表观察、归纳数字变化的规律并灵活运用规律．25．A解析：A【分析】分析可得：第n 行有n 个数，此行最后一个数的绝对值为(1)2n n +；且奇数为正，偶数为负；先求出99行最后一个数，然后可求出100行从左边数第4个数．【详解】解：第1行有1个数，最后一个数的绝对值是：1； 第2行有2个数，最后一个数的绝对值是：3=1+2=2(21)2⨯+； 第3行有3个数，最后一个数的绝对值是：6=1+2+3=3(31)2⨯+； 第4行有4个数，最后一个数的绝对值是：10=1+2+3+4=4(41)2⨯+； 第5行有5个数，最后一个数的绝对值是：15=1+2+3+4+5=5(51)2⨯+； ……；∴第n 行有n 个数，最后一个数的绝对值是：(1)2n n +； ∴第99行有99个数，此行最后一个数的绝对值为：99(991)49502⨯+=； ∴第100行从左边数第4个数的绝对值为4954，∵奇数为正，偶数为负，∴第100行从左边数第4个数为-4954，故选：A ．【点睛】本题考查规律型：数字的变化类以及学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧．本题的关键是得到规律：第n 行有n 个数，此行最后一个数的绝对值为(1)2n n +；且奇数为正，偶数为负．。
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规律专题
【数字规律】
1.按一定规律排列的一列数：，1，1，□，
，，，…请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为
2.（2015临沂中考）观察下列关于x 的单项式，探索其规律 ,.......11,9,7,5,3,65432x x x x x x
按照上述规律，第2015个单项式是（ ）
A.x 20152015
B.x 20144029
C.x 20154029
D.x 20154031
3.（2017滨州）观察下列式子：
22221312;
7918;
2527126;7981180;
.....
⨯+=⨯+=⨯+=⨯+=
可猜想第2016个式子为
4.（2016枣庄中考）一列数123,,....a a a 满足条件：11
11,(2)21n n a a n n a -=
=-≥，且为整数则，2016a =
5.（2016山东德州中考）一组数1,1,2,,5,.....x y 满足“从第三个数起，每个数都等于它前面两个数之和”，那么这组数中y 表示的数为（ ）
A.8
B.9
C.13
D.15
6.观察规律：222211;132;1353,13574.....=+=++=+++=则135....2015++++的值为
7.（2017.安徽宿州）观察下列各式： 223324(1)(1)1;
(1)(1)1
(1)(+21)1
.........
x x x x x x x x x x x x -+=--++=--++=-
（1）请根据以上规律，则65432(1)(1)x x x x x x x -++++++=
（2）你能否由此归纳出一般性规律：1(1)(.....1)n n x x x x --++++=
（3）根据（2）求出:23435
122...22+++++的结果.
【图形规律】
1.观察下列图形：
（1）依照此规律，第20个图形共有几个五角星？
（2）摆成第n 个图形需要几个五角星？
（3）摆成第2015个图形需要几个五角星？
2.如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，将黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n 个图案中有2017个白色纸片，则n 的值为（ ）
A.671
B.672
C.673
D.674
3（2016山东青州）.如图是一组有规律的图案，它们由边长相同的正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，以此规律，第n 个图案有个涂有阴影的小正方形。
【定义新运算】
1.（2018.江苏扬州月考）如果规定符号“※”的意义是a ※b
b
a a
b -,则 3※（-3）的值等于 2.（2018山东潍坊模拟）对于有理数,,,a b
c
d ，我们规定，a b ad bc c d =-，求3222
543x y x y xy y --的值
【平面直角坐标系规律】
1.（2017山东潍坊）直线l ：y=x ﹣1与x 轴交于点A 1，如图所示依次作正方形A 1B 1C 1O 、正方形A 2B 2C 2C 1、…、正方形A n B n C n C n ﹣1，使得点A 1、A 2、A 3、…在直线l 上，点C 1、C 2、C 3、…在y 轴正半轴上，则点B n 的坐标是 ．
2.（2015•济南）在平面直角坐标系中有三个点A （1，﹣1）、B （﹣1，﹣1）、C （0，1），点P （0，2）关于A 的对称点为P 1，P 1关于B 的对称点P 2，P 2关于C 的对称点为P 3，按此规律继续以A 、B 、C 为对称中心重复前面的操作，依次得到P 4，P 5，P 6，…，则点P 2015的坐标是（ ）
A ． （0，0）
B ． （0，2）
C ． （2，﹣4）
D ． （﹣4，2）
3.（2016山东泰安）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形A n B n﹣1B n顶点B n的横坐标为．
4.(2016山东威海)如图，点A1的坐标为（1，0），A2在y轴的正半轴上，且∠A1A2O=30°，过点A2作A2A3⊥A1A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5，垂足为A5，交y轴于点A6；…按此规律进行下去，则点A2016的纵坐标为。