电磁场总复习

附录标量场 ()z y x ,,ϕϕ=一、等值面：()C z y x =,,ϕ 二、方向导数（标量）定义：()P ϕ从点0P 经l 变到点P 的变化率，记作γϕβϕαϕϕcos cos cos zy x l ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 其中()γβαcos ,cos ,cos 为l 的方向余弦，即γβαcos cos cos z y x l e e e e++=设ze y e x e g z y x∂∂+∂∂+∂∂=ϕϕϕ，则：l l e g g e g l ,cos =⋅=∂∂ϕ 所以当l 与g 方向一致时，l∂∂ϕ有最大值，ϕ增加最快，l 与g 反向，减小最快三、梯度（矢量）定义矢量g作为标量函数ϕ的梯度，记作ϕgrad 。

ze y e x e grad z y x ∂∂+∂∂+∂∂=ϕϕϕϕ梯度的方向就是使ϕ的方向导数取最大值的方向，即增长最快的方向：max⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=l g ϕ记哈密顿算子ze y e x e z y x∂∂+∂∂+∂∂≡∇ ，则ϕϕ∇=grad矢量场()z y x A A ,,=一、通量（标量）在矢量场中取一曲面S ，该A在S 上的面积积分称作通量()⎰⎰++=⋅=Φsz y x sdxdy A dzdx A dydz A Sd A若S为一闭合曲面，则其外侧为正。

二、散度（标量）描述S 所围区域V 中某一点附近A的通量：()dV z A y A x A dxdy A dzdx A dydz A S d A V z y x SSz y x ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=++=⋅=Φ（高斯定理）记散度：A z A y A x A A div z y x⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂==VSd A SV ∆⋅⎰→∆lim通量可以看作V 内各点处散度的体积分，散度是通量在V 中的分布密度 三、环量（标量）L 为一有向闭曲线，A 沿L 的线积分称作A沿L 的环量。

⎰⋅=ΓLl d A四、旋度（矢量）()⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=++=⋅=Γs x y z x y z LLz y x d x d y y A x A d z d x x A z A d y d z z A y A dz A dy A dx A l d A则记A的旋度为A rotSl d A A e y A x A e x A z A e z A y A A rot LS zx y y z x x y z ∆⋅=⨯∇=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⎰→∆0lim环量可以看作S 内各点处旋度的面积分，旋度是环量在S 中的分布密度。

无源场0=⋅∇A，任一点散度为零无源场存在矢势：任一矢量场F 的旋度再取散度恒为零：()0=⨯∇⋅∇F，说明旋度场（F ⨯∇）一定是无源场，换言之，一无源场必有：F A ⨯∇=，满足该式的F称为A 的矢势。

例：恒定磁场B无源（0=⋅∇B ），于是可用磁矢位A 表示：A B ⨯∇=无旋场0=⨯∇A，任一点旋度为0.无旋场A可表示为某一标量函数的梯度场：斯托克斯公式任一标量场的旋度再取梯度后恒为零：()0=∇⨯∇ϕ，说明梯度场（ϕ∇）一定是无旋场，换言之，一无旋场A 必有：ϕ∇=A，ϕ称为A 的位函数。

例：静电场无旋（0=⨯∇E ），于是可用电位ϕ表示：ϕ-∇=E注意：ϕ∇表示梯度，里面的ϕ是一个标量函数，哈密顿算子∇是矢量，所以最后乘出来的梯度ϕ∇是矢量A ⋅∇表示散度，里面的A是矢量函数，所以和矢量∇点乘后的散度A ⋅∇是标量。

另见书本p333-335的计算公式，尤其是各坐标系下的旋度、散度分别怎么求。

陈欣悦第一章 静电场1. 静电场基本方程SVD dS dV ρ⋅=⋅⎰⎰(高斯定理)；D ρ∇⋅=；（有源场）0lE dl ⋅=⎰（保守场）；0E ∇⨯=；（无旋场）2. 分界面的衔接条件 （1）21n n D D σ-=；（σ 为分界面上分布的自由电荷面密度）（2）12t t E E = ；（3）若两种介质为线性且各向同性，=0σ ，则有111D E ε= ,222D E ε=,11αβ= ,22αβ=,则1122sin sin E E αα= ，111222cos cos E E εαεα=即1122tan tan αεαε=；（4）1212-=nnϕϕεεσ∂∂∂∂ 。

3. 泊松方程：2=-ρϕε∇拉普拉斯方程：2=0ϕ∇ （=0ρ的区域内） 4.镜像法（1） 接地无限大导体平面上方一个点电荷的电场。

镜像电荷-q 。

（2） 接地导体球外电场。

镜像电荷-'Rq q d=-，2R b d=（3） 不接地导体球外电场。

镜像电荷-q'=-R q d，'R q q d=，2R b d=（4） 分界面左右分别充满1ε2ε的介质。

求1ε全空间：q 和q’产生电场，1212'q q εεεε-=+ ；求2ε全空间：q’’产生电场，2122''q q εεε=+ 。

戴琛第二章恒定电场1.电流按体密度分布的电荷，以运动形成电流密度矢量（电流面密度）：，则通过任意面积元的电流为按面密度分布的电荷，形成电流线密度矢量按线密度分布的电荷，形成线电流元电流段：体分布面分布线分布（）恒定电流：电流密度矢量在各处都不随时间变化的电流。

2.欧姆定律微分形式3.焦耳定律微分形式P（P为功率密度，单位体积的功率损耗）4.电流连续性方程对于恒定电场,即任一闭合面(净)流出的传导电流为05.场强的环路线积分①路线经过电源：为非保守场，为电源电动势②不经过电源：库仑场为保守场6.恒定电场基本方程（电源外）无源（线无头无尾闭合）无旋7.分界面的衔接条件①②③（媒质为各项同性，即与同向）④⑤满足拉普拉斯方程：8.设良导体（），不良导体（），，则电流由良导体流向不良导体，与良导体表面垂直9.导电媒质中的恒定电场与静电场比拟处））或10.镜像法I I γγγγ2121'+-=I I γγγ+=12''2211.求电导步骤UIG d U I l =→∙=→→→⎰当恒定电场与静电场边界条件相同时，可用静电比拟法：γε=G C12.接地电阻深埋接地导体球aR πγ41=✍非深埋接地导体球⎪⎭⎫ ⎝⎛+=h a R 21141πγ （h 为球心到地面距离）✍紧靠地面的半球形接地体aR πγ21=例题李偲第三章 恒定磁场1.媒质的磁化分子磁矩=转矩 T m B =⨯磁化强度矢量 0limi V m M V∆→=∆∑2.总磁化电流=lM dl ⋅⎰（穿过由l 围成的S 面）磁化电流面密度矢量磁化电流线密度3.安培环路定律=I lH dl ⋅⎰4.恒定磁场的基本方程 (1)·d =0SB S ⎰(2) ·d =lH l I ⎰ (3) ·0B ∇= (4) H J ∇⨯=5.分界面上的衔接条件 （1）（正负看与绕行方向是否符合右手螺旋）（2）（3）若两种媒质均为各项周性，分界面无电流： 由铁磁质（）非铁磁质（）则：（4）（5）6.磁矢位：满足泊松方程7.磁矢位的边值问题（1） （2）（3）1212m m n nϕϕμμ∂∂=∂∂ 8.磁位 在区域则：磁压BMAB Au H dl =⋅⎰9.磁位的边值问题（1） （2）（3）10.镜像法11.圆柱长直导线（内）自感：12.恒定磁场中的能量：13.14.磁场力（虚位移法） （1）|=+|k k m m I I dW Wf dg g ==∂=∂常量常量 （2）-|=-|k k m m dW Wf dg gψψ==∂=∂常量常量王泽电磁感应定律：回路不变，磁场随时间变化d t dt de s⎰∂∂-=-=ψ 感生电动势，变压器电动势磁场不变，回路切割磁力线d dt de l ⋅⨯=-=⎰)(ψ动生电动势，发电机电动势磁场随时间变化，回路切割磁力线ld B v S d t dt de l s⋅⨯+∂∂-=-=⎰⎰)(ψ空间总场强：电荷产生的电场+变化的磁场产生的电场ci E E +=d d t Bdt d d E l sm Li ⋅⨯+∂∂-=-=⋅⎰⎰⎰)(φ)(d t ⨯⨯∇+∂∂-=⨯∇若回路不动：t ∂∂-=⨯∇感应电场i E为非保守场t ∂∂是其涡旋源全电流定律：tJ H S d t S d J l d H SSl∂∂+=⋅∇⇒⋅∂∂+⋅=⋅⎰⎰⎰其中，位移电流t J D ∂∂=上述表明，不仅传导电流可激发磁场，位移电流也可以激发磁场电磁场的基本方程组全电流定律：S d tS d J l d H SSl⋅∂∂+⋅=⋅⎰⎰⎰t J H ∂∂+=⋅∇推广的电磁感应定律：d td sL⎰⎰∂∂-=⋅t B ∂∂-=⨯∇磁通连续性定理： 0=⎰d B S0=⋅∇E高斯定律： q d D S=⎰ ρ=⋅∇分界面上的衔接条件：当0,0==K σ时：2121tan tan εεαα=2121tan tan μμββ=理想导体表面上的边界条件：媒质1：理想导体 媒质2：电介质0,11=∞→E D 因为t B E ∂∂-=⨯∇11所以01=B则σ==-======-n n n t t n n D D D E E B B k t H t H t H 212121221200表明理想导体表面外侧的截止中，磁力线平行于其表面，电力线垂直于其表面动态位：ϕ∇-∂∂-=t 说明包含有旋、无旋两部分：矢量位 ϕ：标量位电磁能流定理（坡印廷定理）：dV E dV r J t W d e V V A ⋅+-∂∂-=⋅⨯⎰⎰⎰2)(t W∂∂：体积V 内增加的电磁场能量dVE eV⋅⎰：V 内电源提供的能量⎰VdV r J 2：V 内的焦耳热损耗⨯= 坡印廷矢量，电磁能流密度单位时间内通过垂直于能量传播方向单位面积的电磁能量))(H E t t t S φωφω++= 瞬时值*]Re[)cos()()(1H E H E dt t S T S H E Tow ⨯=-⨯==⎰φφ 有效值向量张凯第五章 准静态电磁场1.电准静态场(ESQ)（忽略电磁感应场B t ∂∂）0E ∇⨯≈;D H J t∂∇⨯=+∂;D ρ∇⋅=; 0B ∇⋅=。

E,D 求解：运用静电场公式，镜像法，电轴法，高斯定理。

2.磁准静态场(MSQ)（忽略电位移电流密度项Dt ∂∂ ）H J ∇⨯=;B E t∂∇⨯=-∂ ;D ρ∇⋅=;0B ∇⋅=。

H 求解：运用安培环路定理，镜像法。

当满足条件ωεγ （即良导体），导体中的时变电磁场可按磁准静态场处理。

3.ESQ 与MSQ 的相似点满足泊松方程：2A=J μ∇,2ρϕε∇=-4.电荷弛豫- 0=(x,y,z)eetτρρ弛豫时间：e ετγ=电荷弛豫指导体中的自由电荷体密度随时间指数规律递减。