《2.3 平面向量的基本定理及坐标表示》一课一练1

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高考数学专题《平面向量的基本定理及坐标表示》习题含答案解析

专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示1．（2021·全国高一课时练习）已知向量()1,2a =- ，()3,1b =- ，(),2c m = ，(2)c a b ⊥- ，则m 的值为（）ABC ．2D ．10【答案】C 【解析】先求出2a b -的坐标，再借助向量垂直的坐标表示即可得解.【详解】因()1,2a =- ，()3,1b =- ，则()25,5a b -=- ，而(),2c m = ，(2)c a b ⊥-，于是得(2)0c a b ⋅-=，即5520m -+⋅=，解得2m =，所以m 的值为2.故选：C2．（2021·全国高三其他模拟（文））已知()24,4,3a b a b ==-=- ，，记a 与b 夹角为θ，则cos θ的值为（）A ．1320B ．516-C ．34D ．57-【答案】B 【解析】利用平面向量数量积的定义以及模长公式求解即可.【详解】因为()4,3a b -=- ，所以5a b -=，因为a b -== 所以25416=+-16cos θ，所以5cos 16θ=-．故选:B .练基础3.（2021·天津和平区·高一期末）已知正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 的中点，F 是线段AE 上的点，则AF CF ⋅的最小值为（）A ．95B ．95-C ．1D ．1-【答案】B 【解析】根据题意，建立适当的平面直角坐标系，转化为坐标运算即可.【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，由题意知，()0,0A ，()2,1E ，()2,2C ，由F 是线段AE 上的点，设,2x F x ⎛⎫⎪⎝⎭，且02x ≤≤，因此,2x AF x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，2,22x CF x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故()25223224x x xAF x x x CF ⋅⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭，因02x ≤≤，所以当65x =时，AF CF ⋅ 取最小值95-.故选：B.4．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，平行四边形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 在线段BE 上，且3BF FE =，记a BA = ，b BC = ，则CF =（）A ．2133a b+ B ．2133a b-C ．1348a b-+D ．3548a b-【答案】D 【解析】取a BA = ，b BC = 作为基底，把BE 、BF用基底表示出来，利用向量的减法即可表示出CF .【详解】取a BA = ，b BC =作为基底，则12BE a b =+ .因为3BF FE =，所以3313344248BF BE a b a b ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ ，所以33354848CF BF BC a b b a b =-=+-=-.故选：D.5.（2021·全国高一专题练习）已知A B P ，，三点共线，O 为直线外任意一点，若OP xOA y OB →→→=+，则x y += ________.【答案】1【解析】由共线可设AB BP λ→→=，进而得OB OA OP OB λ→→→→⎛⎫= ⎪⎝-⎭-，化简对应的,x y 即可得解.【详解】∵,,A B P 三点共线，∴存在非零实数λ，使得AB BP λ→→=，∴OB OA OP OB λ→→→→⎛⎫= ⎪⎝-⎭-∴11OP OB OAλλλ→→→+=-∵OP xOA y OB →→→=+，∴111x y λλλ+⎛⎫+=-= ⎪⎭+⎝.故答案为：16．（辽宁高考真题）在平面直角坐标系中，四边形的边，，已知点，，则D 点的坐标为___________.【答案】【解析】平行四边形中，，∴，即点坐标为，故答案为.7．（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）设已知向量()1,1a =，向量()3,2b =- .（1）求向量2a b -的坐标；（2）当k 为何值时，向量ka b +与向量2a b -垂直.【答案】（1）()7,3-；（2）274k =.【解析】（1）进行向量坐标的减法和数乘运算即可得出2(7,3)a b -=-；（2）可求出(3,2)ka b k k +=-+ ，然后根据ka b + 与2a b - 垂直即可得出7(3)3(2)0k k --+=，解出k 即可．【详解】（1）∵()1,1a =，()3,2b =- ，∴()27,3a b -=-r r.（2）∵()3,2ka b k k +=-+r r ，且ka b + 与2a b - 垂直，∴()()73320k k --+=，解得274k =.8．（2021·江西新余市·高一期末（文））已知||4a =，(b =-xoy ABCD //AB DC //AD BC ()20A -，()68B ，()8,6C ()0,2-ABCD OB OD OA OC +=+()()()()2,08,66,80,2OD OA OC OB =+=+----=D ()0,2-()0,2-（1）若//a b ，求a的坐标；（2）若a 与b的夹角为120°，求a b -r r .【答案】（1）(2,-或(2,-；（2）.【解析】（1）先求与向量b 共线的单位向量，结合//a b ，即可得出a的坐标；（2）先根据夹角求出a b ⋅，根据模的运算律22a a = ，即可得到a b -r r .【详解】解：（1）(b =- Q ，||2b ∴=∴与b共线的单位向量为12b c b ⎛=±=±- ⎝.||4a = Q ，//a b，(||2,a a c ∴==-或(2,-.（2）||4a = Q ，||2b =，,120a b <>=︒ ，||||cos ,4a b a b a b ∴⋅==-，222()228a b a a b b ∴-=-⋅+=，||a b ∴-=9．（2021·全国高一专题练习）如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，AB 边上的点，12CD AE DA EB ==，记BC a →= ，CA b →= .试用向量a →，b →表示DE .【答案】1()3DE b a →→=- 【解析】根据向量的减法及向量的数乘，化简即可求解.【详解】因为111()()333AE AB CB CA a b →→==-=-- ，2233AD AC b →==- ，所以121()()()333DE AE AD a b b b a →→→→→=-=----=- .即1()3DE b a →→=- 10．（2021·江西省万载中学高一期末（理））已知向量(1,3),(1,)a b t →→=-=，若(2)a b a →→→+⊥，（1）求向量a →与b →的夹角；（2）求3a b →→-的值．【答案】（1）34π；（2）．【解析】（1）根据(2)a b a →→→+⊥得到2t =，再求出=5a b →→⋅-，a →=，b →=，即得解；（2）直接利用向量的模的坐标公式求解.【详解】（1）Q (1,-3),(1,)a b t →→==，()23,32a b t →→∴+=-+，Q (2)a b a →→→+⊥，()(2)=3132-30a b a t →→→+⋅⨯+-+⨯=∴（），解得2t =，11-325a b →→∴⋅=⨯+⨯=-（），a →=，b →=，cos ,a ba b a b→→→→→→⋅∴<>===⋅，所以向量a →与b →的夹角为34π.（2）Q 2223969106-55125a b a a b b →→→→→→-=-⋅+=⨯-⨯+=（），3a b →→∴-=．练提升1．【多选题】（2021·浙江高一期末）任意两个非零向量和m ，n ，定义：m n m n n n⋅⊗=⋅，若平面向量,a b满足||2||0a b ≥> ，a 与b 的夹角πθ0,3æöç÷Îç÷èø，且a b ⊗ 和b a ⊗ 都在集合4n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b ⊗ 的值可能为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】CD 【解析】由已知得集合{|}4nn Z ∈的元素特征，再分析a b ⊗ 和b a ⊗ 的范围，再由定义计算后，可得答案.【详解】首先观察集合311113{|},1,,,,0,,,,1,4424424n n Z ⎧⎫∈=⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭，从而分析a b ⊗ 和b a ⊗ 的范围如下：因为(0,3πθ∈，∴1cos 12θ<<，而cos b b a b a a a a θ⋅⊗==⋅，且||2||0a b ≥> ，可得10cos 2b a θ<< ，又∵b a ⊗∈ {|}4n n Z ∈中，∴1cos 4b a θ= ，从而14cos b a θ= ，∴2cos 4cos a a b a b b b b θθ===⋅⋅⊗ ，又21cos 14θ<<，所以214cos 4a b θ⊗<=< ．且a b ⊗ 也在集合{|}4n n Z ∈中，故有2a b ⊗= 或3．故选：CD.2．（2021·江西新余市·高一期末（文））如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC mOA nOB =+，则m n +的取值范围是___________.【答案】(1,0)-【解析】如图所示，由A ，B ，D 三点共线，利用向量共线定理可得：存在实数λ满足(1)OD OA OB λλ=+-，OD tOC = ，1t<-，(1)tOC OA OB λλ=+- ，即1OC OA OB t tλλ-=+，与OC mOA nOB =+两比较，即可得出．【详解】解：如图所示，A Q ，B ，D 三点共线，∴存在实数λ满足(1)OD OA OB λλ=+-，又OD tOC =，1t <-，(1)tOC OA OB λλ∴=+-，即1OC OA OB t tλλ-=+，与OC mOA nOB =+两比较，可得m tλ=，1n tλ-=，则1(1,0)m n t+=∈-．m n ∴+的取值范围是(1,0)-．故答案为：(1,0)-．3．（2021·宁夏银川市·高三其他模拟（理））已知A (1，1)，B (0，1)，C (1，0)，M 为线段BC 上一点，且CM CB λ= ，若MA BC MB MC ⋅>⋅，则实数λ的取值范围是___________.【答案】1⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据CM CB λ=可得1x y λλ=-⎧⎨=⎩，再表示出MA MB MC BC ，，，坐标，由条件可得2220x y y +-≤，再将1x y λλ=-⎧⎨=⎩代入可得关于λ的不等式，从而可得答案.【详解】解析：设点(),M x y ，由CM CB λ=，得()()1,1,1x y λ-=-，所以1x y λλ=-⎧⎨=⎩.因为MA BC MB MC ⋅>⋅，所以()()()()1,11,1,11,x y x y x y --⋅-≥----，即2211x y x x y y --+≥-+-+，化简得2220x y y +-≤将1x y λλ=-⎧⎨=⎩代入2220x y y +-≤，得()22120λλλ-+-≤，即22410λλ-+≤，解得11λ≤≤+因为M 为线段BC 上一点，且CM CB λ=，所以01λ≤≤.综上，可知11λ≤≤.故实数λ的取值范围是1⎡⎤⎢⎥⎣⎦.4．（江苏高考真题）在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC 的模分别为与OC 的夹角为α，且tan α=7,OB 与OC 的夹角为45∘，若OC =mOA +nOB (m,n ∈R )，则m +n =_________．【答案】3【解析】以OA 为x 轴，建立直角坐标系，则A (1,0)，由OC 的模为2与OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7知，cos α=210,sinα=210 ，可得B (cos(α+45∘),sin (α+45∘))，∴B ―35,，由OC =mOA +nOB可得=m ―35n,45n=m ―35n75=45nm =54,n =74，∴m +n =3，故答案为3.5．（2021·福建漳州市·高一期末）在平面直角坐标系xOy中，已知向量m =，()sin ,cos n x x = ，()0,x π∈．若//m n u r r，则x =______；若存在两个不同的x 值，使得n m t n += 恒成立，则实数t 的取值范围为______．【答案】34π)2．【解析】根据向量平行的坐标表示可求34x π=；用坐标表示出n m t n += ，结合三角函数的图象可得实数t 的取值范围.【详解】x x =，则tan 1x =-，又()0,x π∈，则34x π=；计算得sin ,cos m n x x +=+ ，则m n +== ，又存在两个不同的x 值，使得n m t n +=恒成立，则t =()0,π上有两个不同的解，令()22sin ,0,4y x x ππ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，由()0,x π∈，得3,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，2t <<．故答案为：34π；)2．6．（2021·天津滨海新区·高一期末）已知四边形ABCD ，0AB BC ⋅= ，AD BC λ=u u u r u u u r，1AB AD ==，且||||CB CD CB CD ⋅= ，（i ）λ=___________；（ii ）若2DE EC = ，动点F 在线段BE 上，则DF FC ⋅ 的最大值为___________.【答案】12 613 【解析】利用向量的数量积可得4BCD π∠=，过点D 作BC 的垂线，垂足为O ，可得1DO OC ==，进而可得2BC AD =，求出λ；以B 为坐标原点，,BC BD 为,x y 建立平面直角坐标系，首先求出点E 坐标，设(),F x y ，利用向量共线求出5x y =，再由向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】由||||CB CD CB CD ⋅= 1212cos e e e e BCD ⋅=∠= 因为[]0,BCD π∠∈，所以4BCD π∠=，过点D 作BC 的垂线，垂足为O ，可得1DO OC ==，因为1AB AD ==，所以2BC AD =，由AD BC λ=u u u r u u u r ，所以12λ=.以B 为坐标原点，,BC BD 为,x y 建立平面直角坐标系，如图：则()1,1D ，()2,0C ，设(),E m n由2DE EC =，即()()1,122,0m n m n --=--，解得51,33m n ==，即51,33E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(),F x y ，503x ≤≤，103y ≤≤，则51,33BE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),BF x y = ，因为,,B F E 三点共线，所以5133y x =，即5x y =，()1,1DF x y =-- ，()2,FC x y =-- ，所以()()()()()21215125DF FC x x y y y y y y⋅=--+-=--+- 224626162261313y y y ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭，当413y =时，DF FC ⋅ 取得最大值为613.故答案为：12；6137．（2021·全国高一专题练习）已知A (-2，4)，B (3，-1)，C (-3，-4).设,,AB a BC b CA c === ，且3,2CM c CN b ==- .（1）求33a b c +-；（2）求满足a mb nc =+ 的实数m ，n ；（3）求M ，N 的坐标及向量MN 的坐标.【答案】（1）(6，-42)；（2）11m n =-⎧⎨=-⎩；（3）M (0，20)，N (9，2)，(9,18)MN =- .【解析】（1）利用向量加、减、数乘的坐标运算即可求解.（2）利用向量加法的坐标运算以及向量相等即可求解.（3）利用向量减法的坐标运算即可求解.【详解】由已知得a =(5，-5)，b =(-6，-3)，c=(1，8).（1）33a b c +-=3(5，-5)+(-6，-3)-3(1，8)=(15-6-3，-15-3-24)=(6，-42).（2）∵mb nc + =(-6m +n ，-3m +8n )，∴65385m n m n -+=⎧⎨-+=-⎩，解得11m n =-⎧⎨=-⎩.（3）设O 为坐标原点，∵3CM OM OC c =-=，∴3OM c OC =+ =(3，24)+(-3，-4)=(0，20).∴M (0，20).又∵2CN ON OC b =-=- ，∴2ON b OC =-+=(12，6)+(-3，-4)=(9，2)，∴N (9，2)，∴MN =(9，-18).8．（2021·全国高一课时练习）已知△ABC 的面积为S 23S ≤≤，且AB ·BC ＝3，AB 与BC 的夹角为θ.求AB 与BC 夹角的取值范围．【答案】,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】可设AB 与BC 夹角为θ，则据题意得出θ为锐角，且3||||cos AB BC θ= ，从而根据ABC V 的面积32S ∈tan 1θ…，这样根据正切函数在(0,2π的单调性即可求出θ的范围．【详解】解：Q 3AB BC ⋅= ，∴,AB BC 的夹角为锐角，设,AB BC 的夹角为θ，则：||||cos 3AB BC θ= ，∴3||||cos AB BC θ=，又3]2S ∈；∴()13||||sin 22AB BC πθ- …，∴13||||sin 22AB BC θ …，∴33tan 22θ…，∴tan 1θ…，∴64ππθ……，∴AB 与BC 夹角的取值范围为[,]64ππ．9．（2021·全国高一专题练习）已知O ，A ，B 是不共线的三点，且(,)OP mOA nOB m n R =+∈ （1）若m +n =1，求证：A ，P ，B 三点共线；（2）若A ，P ，B 三点共线，求证：m +n =1.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由1m n +=原式可代换为()1OP mOA m OB =+- ，再由()1OP m m OP =+-⎡⎤⎣⎦ ，两式联立变形即可求证；（2）由A ，P ，B 三点共线，可得AP PB λ= ，变形得()OP OA OB OP λ-=- ，整理成OP 关于,OA OB 的表达式，再结合OP mOA nOB =+ ，由对应关系即可求证【详解】（1）证明：若m +n =1，则()1OP mOA m OB =+- ，()1OP m m OP =+-⎡⎤⎣⎦ ，故()()11mOP m OP mOA m OB +-=+- ，即()()()1m OP OA m OB OP -=-- ，()1mAP m PB =- ，即,AP BP 共线，又,AP BP 有公共点，则A ，P ，B 三点共线；（2）证明：若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使得AP PB λ= ，变形得()OP OA OB OP λ-=- ，即()1OP OB OA λλ+=+ ，111OB OA OB OA OP λλλλλ+==++++ ，又OP mOA nOB =+ ，1111λλλ+=++，故1m n +=10．（2021·北京首都师大二附高一期末）在△ABC 中.∠BAC =120°，AB =AC =1（1）求AB BC ⋅ 的值；（2）如图所示，在直角坐标系中，点A 与原点重合，边AB 在x 轴上，设动点P 在以A 为圆心，AB 为半径的劣弧BC 上运动.求⋅ BP CP 的最小值.【答案】（1）32-；（2）12-.【解析】（1）由()10B ,，12C ⎛- ⎝，利用坐标公式求得数量积即可.（2）设点P 坐标为()2cos ,sin 03πθθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，求得⋅ BP CP 1sin 26πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的最值求得数量积的最值.【详解】解：（1）()10B ,，12C ⎛- ⎝，AB BC ⋅ ()331,022⎛=⋅-=- ⎝.（2）点P 在以A 为圆心，AB 为半径的劣弧BC 上运动，设点P 坐标为()2cos ,sin 03πθθθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，又()10B ,，12C ⎛- ⎝，⋅ BP CP ()1cos 1,sin cos ,sin 2θθθθ⎛=-⋅+ ⎝2211cos cos cos sin 22θθθθθ=-+-+1sin 26πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又203πθ≤≤，则5666πππθ≤+≤1sin 126πθ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，故当sin 16πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，⋅ BP CP 有最小值12-.1.（2019·全国高考真题（理））已知=(2,3)，=(3，t )，=1，则=（）A ．-3B ．-2C ．2D ．3【答案】C【解析】由，，得，则，．故选C ．2.（2021·全国高考真题（理））已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+ ．若a c ⊥ ，则k =________．【答案】103-.【解析】利用向量的坐标运算法则求得向量c的坐标，利用向量的数量积为零求得k 的值【详解】()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+ Q ,(),33110a c a c k ⊥∴=++⨯=Q n ，解得103k =-,故答案为：103-.3．（2021·全国高考真题（理））已知向量()()1,3,3,4a b == ，若()a b b λ-⊥ ，则λ=__________．【答案】35AB AC ||BC AB BC ⋅(1,3)BC AC AB t =-=- 1BC == 3t =(1,0)BC = (2,3)(1,0)21302AB BC ⋅=⋅=⨯+⨯=u u u r u u u r 练真题【解析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详解】因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=-- ，所以由()a b b λ-⊥ 可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．4.（2021·全国高考真题（文））已知向量()()2,5,,4a b λ== ，若//a b r r ，则λ=_________．【答案】85【解析】利用向量平行的充分必要条件得到关于λ的方程，解方程即可求得实数λ的值.【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450λ⨯-⨯=，解方程可得：85λ=.故答案为：85.5.（2018·北京高考真题（文））（2018年文北京卷）设向量a=（1,0），b=（−1,m ）,若a ⊥(ma ―b )，则m =_________.【答案】-1.【解析】∵a =(1,0),b =(―1,m )，∴ma ―b =(m ,0)―(―1,m )=(m +1,―m )，由a ⊥(ma ―b )得：a ⋅(ma ―b )=0，∴a ⋅(ma ―b )=m +1=0，即m =―1.6．（2020·北京高考真题）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+ ，则||PD = _________；PB PD ⋅= _________．1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=- ，()0,1PB =- ，因此，PD == ，()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=- .1-.。

高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示1课后习题新人教A版必修4(2021年整理)

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2。

3。

1平面向量基本定理课后篇巩固探究A组基础巩固1。

在正方形ABCD中，的夹角等于（)A。

45°B.90°C.120°D。

135°解析如图,将平移到,则的夹角即为的夹角,且夹角为135°。

答案D2。

设向量e1与e2不共线，若3x e1+（10—y)e2=(4y-7)e1+2x e2，则实数x，y的值分别为() A.0,0 B.1，1 C。

3,0 D.3，4解析因为向量e1与e2不共线,所以答案D3.如图,e1，e2为互相垂直的单位向量,向量a+b+c可表示为（)A。

3e1—2e2B。

-3e1—3e2C。

3e1+2e2D。

2e1+3e2答案C4.若点D在△ABC的边BC上，且=4=r+s，则3r+s的值为（）A。

B.C.D。

解析∵=4=r+s，∴)=r+s，∴r=，s=-，∴3r+s=3×.答案C5。

如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ,Ⅳ（不包含边界).设=m+n,且点P落在第Ⅲ部分，则实数m，n满足()A。

平面向量的基本定理及坐标表示Word版含答案

平面向量的基本定理及坐标表示【课前回顾】1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB ―→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.【课前快练】1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)解析：选D 因为a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，所以12a －32b ＝12(1,1)－32(1，－1)＝⎝⎛⎭⎫12，12－⎝⎛⎭⎫32，－32＝(－1,2)． 2．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2D ．0解析：选B 因为a 与b 方向相反，所以b ＝m a ，m <0，则有(4，x )＝m (x,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得x ＝±2.又m <0，所以x ＝m ＝－2.3．已知平行四边形ABCD 中，AD ―→＝(3,7)，AB ―→＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO ―→的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，5B.⎝⎛⎭⎫12，5 C.⎝⎛⎭⎫12，－5 D.⎝⎛⎭⎫－12，－5 解析：选D ∵AC ―→＝AB ―→＋AD ―→＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，∴OC ―→＝12AC ―→＝⎝⎛⎭⎫12，5，∴CO ―→＝⎝⎛⎭⎫－12，－5. 4．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝________. 解析：a ＋2b ＝(－3,3＋2k )，3a －b ＝(5,9－k )，由题意可得－3(9－k )＝5(3＋2k )，解得k ＝－6.答案：－65．在▱ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AN ―→＝3NC ―→，M 为BC 的中点，则MN ―→＝________(用a ，b 表示)．解析：因为AN ―→＝3NC ―→，所以AN ―→＝34AC ―→＝34(a ＋b )，又因为AM ―→＝a ＋12b ，所以MN ―→＝AN―→－AM ―→＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . 答案：－14a ＋14b考点一平面向量基本定理及其应用1．用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．2．应用平面向量基本定理应注意的问题(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．【典型例题】1.如图，在△ABC 中，BE 是边AC 的中线，O 是边BE 的中点，若AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，则AO ―→＝( )A.12a ＋12b B.12a ＋13b C.14a ＋12b D.12a ＋14b 解析：选D ∵在△ABC 中，BE 是边AC 上的中线， ∴AE ―→＝12AC ―→.∵O 是边BE 的中点，∴AO ―→＝12(AB ―→＋AE ―→)＝12AB ―→＋14AC ―→＝12a ＋14b .2．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则2x －y ＝________.解析：由平面向量基本定理可知⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，故2x －y ＝9.答案：93.如图，已知▱ABCD 的边BC ，CD 的中点分别是K ，L ，且AK ―→＝e 1，AL ―→＝e 2，试用e 1，e 2表示BC ―→，CD ―→.解：设BC ―→＝x ，CD ―→＝y ，则BK ―→＝12x ，DL ―→＝－12y .由AB ―→＋BK ―→＝AK ―→，AD ―→＋DL ―→＝AL ―→，得⎩⎨⎧－y ＋12x ＝e 1， ①x －12y ＝e 2， ②①＋②×(－2)，得12x －2x ＝e 1－2e 2，即x ＝－23(e 1－2e 2)＝－23e 1＋43e 2，所以BC ―→＝－23e 1＋43e 2.同理可得y ＝－43e 1＋23e 2，即CD ―→＝－43e 1＋23e 2.4．如图，以向量OA ―→＝a ，OB ―→＝b 为邻边作▱OADB ，BM ―→＝13BC ―→，CN ―→＝13CD ―→，用a ，b 表示OM ―→，ON ―→，MN ―→.解：∵BA ―→＝OA ―→－OB ―→＝a －b ， BM ―→＝16BA ―→＝16a －16b ，∴OM ―→＝OB ―→＋BM ―→＝16a ＋56b .∵OD ―→＝a ＋b ， ∴ON ―→＝OC ―→＋13CD ―→＝12OD ―→＋16OD ―→ ＝23OD ―→＝23a ＋23b ， ∴MN ―→＝ON ―→－OM ―→＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，OM ―→＝16a ＋56b ，ON ―→＝23a ＋23b ，MN ―→＝12a －16b .考点二平面向量的坐标运算平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．【典型例题】1．若向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，c ＝⎝⎛⎭⎫0，52，则c 可用向量a ，b 表示为( )A.12a ＋b B ．－12a －bC.32a ＋12b D.32a －12b 解析：选A 设c ＝x a ＋y b ，则⎝⎛⎭⎫0，52＝(2x －y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋2y ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1，则c ＝12a ＋b .2．(2018·江西九校联考)已知O 为坐标原点，向量OA ―→＝(2,3)，OB ―→＝(4，－1)，且AP ―→＝3PB ―→，则|OP ―→|＝________.解析：设P (x ，y )，由题意可得A ，B 两点的坐标分别为(2,3)，(4，－1)，由AP ―→＝3PB ―→，可得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝12－3x ，y －3＝－3y －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝0，故|OP ―→|＝72.答案：723．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM ―→＝3c ，CN ―→＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点， ∵CM ―→＝OM ―→－OC ―→＝3c ，∴OM ―→＝3c ＋OC ―→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN ―→＝ON ―→－OC ―→＝－2b ，∴ON ―→＝－2b ＋OC ―→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)，∴MN ―→＝(9，－18)．考点三平面向量共线的坐标表示1．平面向量共线的充要条件的2种形式(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb .2．共线问题解含参，列出方程求得解向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．【典型例题】已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB ―→＝2a ＋3b ，BC ―→＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．解：(1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵k a －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0， ∴k ＝－12.(2)AB ―→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC ―→＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )． ∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB ―→∥BC ―→， ∴8m －3(2m ＋1)＝0， ∴m ＝32.【针对训练】1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( ) A.14 B.12 C ．1D ．2解析：选B 因为a ＋λb ＝(1＋λ，2)，(a ＋λb )∥c ，所以1＋λ3＝24，所以λ＝12.2．已知A (－1，－1)，B (1,3)，C (2,5)，求证：A ，B ，C 三点共线．证明：由题意得AB ―→＝(1,3)－(－1，－1)＝(1＋1,3＋1)＝(2,4)，AC ―→＝(2,5)－(－1，－1)＝(2＋1,5＋1)＝(3,6)．因为2×6－4×3＝0，所以AB ―→∥AC ―→，又直线AB 和直线AC 有公共点A ，所以A ，B ，C 三点共线．【课后演练】1．向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，则b ＝( ) A ．(－3,4) B ．(3,4) C ．(3，－4)D ．(－3，－4)解析：选A 由a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，所以b ＝12(－6,8)＝(－3,4)．2．若向量AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则BC ―→＝( ) A ．(1,1) B ．(－1，－1) C ．(3,7)D ．(－3，－7)解析：选B 由向量的三角形法则，BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)． 3．已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( )A ．(－23，－12)B ．(23,12)C ．(7,0)D ．(－7,0)解析：选A 由题意可得3a －2b ＋c ＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x ，y )＝(23＋x,12＋y )＝(0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 23＋x ＝0，12＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－12，所以c ＝(－23，－12)．4．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则BD ―→＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5)D ．(2,4)解析：选B 由题意得BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝BC ―→－AB ―→＝(AC ―→－AB ―→)－AB ―→＝AC ―→－2AB ―→＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ，3b )与n ＝(c os A ，sin B )平行，则A ＝( )A.π6B.π3C.π2D.2π3解析：选B 因为m ∥n ，所以a sin B －3bc os A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B c os A ＝0，又sin B ≠0，从而t a n A ＝3，由于0<A <π，所以A ＝π3.6．在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB―→＝a ，AC ―→＝b ，则PQ ―→＝( )A.13a ＋13b B ．－13a ＋13bC.13a －13b D ．－13a －13b解析：选A 由题意知PQ ―→＝PB ―→＋BQ ―→＝23AB ―→＋13BC ―→＝23AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋13AC ―→＝13a ＋13b . 7．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．解析：∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－38．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b . 因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎨⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －139．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．解析：因为a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，所以u ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)， v ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，即10x ＝5，解得x ＝12.答案：1210．已知梯形ABCD ，其中AB ∥DC ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．解析：∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥DC ， ∴DC ―→＝2AB ―→.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC ―→＝(4－x ，2－y )，AB ―→＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．答案：(2,4)11．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC ―→＝2AE ―→，则EM ―→＝( )A.12AC ―→＋13AB ―→B.12AC ―→＋16AB ―→C.16AC ―→＋12AB ―→D.16AC ―→＋32AB ―→ 解析：选C 如图，因为EC ―→＝2AE ―→，所以EC ―→＝23AC ―→，所以EM ―→＝EC ―→＋CM ―→＝23AC ―→＋12CB ―→＝23AC ―→＋12(AB ―→－AC ―→)＝12AB ―→＋16AC ―→.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内的点，且∠AOC ＝π4，|OC |＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝( )A ．2 2 B. 2 C ．2D ．4 2解析：选A 因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又因为OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.13．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ―→＝2PC ―→，点Q 是AC 的中点，若PA ―→＝(4,3)，PQ ―→＝(1,5)，则 BC ―→＝________.解析：AQ ―→＝PQ ―→－PA ―→＝(－3,2)，因为Q 是AC 的中点，所以AC ―→＝2AQ ―→＝(－6,4)，PC ―→＝PA ―→＋AC ―→＝(－2,7)，因为BP ―→＝2PC ―→，所以BC ―→＝3PC ―→＝(－6,21)．答案：(－6,21)14．已知A (－3,0)，B (0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC ―→＝λOA ―→＋OB ―→，则实数λ的值为________．解析：由题意知OA ―→＝(－3,0)，OB ―→＝(0，3)，则OC ―→＝(－3λ，3)，由∠AOC ＝30°知，以x 轴的非负半轴为始边，OC 为终边的一个角为150°，所以t a n 150°＝3－3λ，即－33＝－33λ，所以λ＝1. 答案：115．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n 的值；(2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k 的值．解：(1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎨⎧ m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613. 16.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ―→＝a ，BC ―→＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ―→，DF ―→，CD ―→.解：EF ―→＝EA ―→＋AB ―→＋BF ―→＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ， DF ―→＝DE ―→＋EF ―→＝－16b ＋⎝⎛⎭⎫13b －a ＝16b －a ， CD ―→＝CF ―→＋FD ―→＝－12b －⎝⎛⎭⎫16b －a ＝a －23b . 17.若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足AM ―→＝34AB ―→＋14AC ―→. (1)求△ABM 与△ABC 的面积之比；(2)若N 为AB 的中点，AM 与CN 交于点O ，设BO ―→＝xBM ―→＋y BN ―→，求x ，y 的值．解：(1)由AM ―→＝34AB ―→＋14AC ―→，可知M ，B ，C 三点共线．如图，设BM ―→＝λBC ―→，则AM ―→＝AB ―→＋BM ―→＝AB ―→＋λBC ―→＝AB ―→＋λ(AC ―→－AB ―→)＝(1－λ)AB ―→＋λAC ―→，所以λ＝14，所以S △ABM S △ABC ＝14，即△ABM 与△ABC 的面积之比为1∶4. (2)由BO ―→＝xBM ―→＋y BN ―→，得BO ―→＝xBM ―→＋y 2BA ―→， BO ―→＝x 4BC ―→＋y BN ―→，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线 ⇒⎩⎨⎧x ＋y 2＝1，x 4＋y ＝1⇒⎩⎨⎧ x ＝47，y ＝67.。

考点18 高中数学-平面向量的基本定理及坐标表示-考点总结及练习题

考点18平面向量的基本定理及坐标表示【命题趋势】平面向量的基本定理的利用要灵活掌握，用坐标表示平面向量并进行运算是考查的重点，具体要求是：（1）了解平面向量的基本定理及其意义.（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.【重要考向】一、平面向量基本定理的应用二、平面向量的坐标运算三、向量共线（平行）的坐标表示平面向量基本定理的应用如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使1122λλ+=a e e .其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．【巧学妙记】1.如图，已知△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将OB →分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解(1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →，所以OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由题意知，EC →∥DC →，故设EC →＝xDC →.因为EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b .所以(2－λ)a －b ＝a －53b因为a 与b 不共线，由平面向量基本定理，－λ＝2x，1＝－53x，＝35，＝45.故λ＝45.2.在△ABC中，点P是AB上一点，且CP→＝23CA→＋13CB→，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又CM→＝tCP→，则t的值为________．【答案】34【解析】∵CP→＝23CA→＋13CB→，∴3CP→＝2CA→＋CB→，即2CP→－2CA→＝CB→－CP→，∴2AP→＝PB→，即P为AB的一个三等分点，如图所示．∵A，M，Q三点共线，∴CM→＝xCQ→＋(1－x)CA→＝x2CB→＋(x－1)AC→，而CB→＝AB→－AC→，∴CM→＝x2AB→.又CP→＝CA→－PA→＝－AC→＋13AB→，由已知CM→＝tCP→，可得x2AB→＝AC→＋13AB又AB→，AC→不共线，＝t3，1＝－t，解得t＝34.3.如图所示，在ABO△中，14OC OA=，12OD OB=，AD与BC相交于点M，设OA = a ，OB = b.（1）试用向量a ，b 表示OM；（2）过点M 作直线EF ，分别交线段AC ，BD 于点E ，F .记OE λ= a ，OF μ=b ，求证：13λμ+为定值.【解析】（1）由A ，M ，D 三点共线，可设()1OM mOA m OD =+- 12m m -=+a b ，由B ，M ，C 三点共线，可设()1OM nOC n OB =+- ()14nn =+-a b ，∴14112m n m n⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得17m =，47n =，∴1377OM =+ a b .（2）由E ，M ，F 三点共线，设()1OM kOE k OF =+-()1k k λμ=+-a b ，由（1）知17k λ=，()317k μ-=，∴17k λ=，377k μ=-，∴137λμ+=，为定值.平面向量的坐标运算1．向量坐标的求法（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB=（x 2－x 1，y 2－y 1）.2．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ＋b =（x 2+x 1，y 2+y 1），a －b =（x 1－x 2，y 1－y 2），λa =（λx 1，λy 1），|a |，|a ＋b |.3．平面向量共线的坐标表示设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1=0.4．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA =a ，OB=b ，则∠AOB =θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b 的夹角.如果向量a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .【巧学妙记】4.已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为()A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)【答案】A【解析】设N (x ，y )，则(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，∴x ＝2，y ＝0.5.线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC →|＝2|BC →|，则x ＋y ＝________.【答案】－2或6【解析】由已知得AC →＝(1－x ，－4)，2BC →＝2(3,1－y )．由|AC →|＝2|BC →|，可得AC →＝±2BC →，则当AC →＝2BC →－x ＝6，4＝2－2y ，＝－5，＝3，此时x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →－x ＝－6，4＝－2＋2y ，＝7，＝－1，此时x＋y＝6.综上可知，x＋y＝－2或6.6.已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且MP→＝12MN→，则P点的坐标为()A．(－8,1)1D．(8，－1)【答案】B【解析】设P(x，y)，则MP→＝(x－3，y＋2)．而12MN→＝12(－8,1)4－3＝－4，＋2＝12，＝－1，＝－32，∴1故选B.向量共线（平行）的坐标表示1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若11(,)x y=a，22(,)x y=b，则∥a b的充要条件是1221x y x y=”解题比较方便．3．三点共线问题．A，B，C三点共线等价于AB与AC共线．4．利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解.【巧学妙记】7.已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,1)，c ＝(－5,1)，若(a ＋k b )∥c ，则实数k 的值为()A ．－114 B.12C ．2D.114【答案】B【解析】因为a ＝(2，－1)，b ＝(1,1)，所以a ＋k b ＝(2＋k ，－1＋k )，又c ＝(－5,1)，由(a ＋k b )∥c得(2＋k )×1＝－5×(k －1)，解得k ＝12，故选B.8.已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值是________．【答案】－23【解析】AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →，AC →共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.9.已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与3a －b 平行，则实数x 的值是__________________．【答案】2【解析】∵a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，∴a ＋b ＝(3，x ＋1)，3a －b ＝(1,3－x )，∵a ＋b 与3a －b 平行，∴3(3－x )－(x ＋1)＝0，解得x ＝2.一、单选题1．已知点(0,1)(3,2)A B ，，则向量AB =uu u r（）A ．(3,1)B ．(3,1)--C ．(3,1)-D ．(3,1)-2．设x ∈R ，向量a →＝（x ，1），b →＝（1，﹣2），且a →∥b →，则|a →+b →|＝（）A 5B ．102C 5D ．53．ABC 中，点M 为AC 上的点，且2MC AM =，若BM BA BC λμ=+，则 λμ-的值是（）A ．13B ．12C ．1D ．234．地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土烧制而成质坚、耐压、耐磨、防潮．地板砖品种非常多，图案也多种多样．如图是某公司大厅的地板砖铺设方式，地板砖有正方形与正三角形两种形状，且它们的边长都相同，若OA a = ，OB b = ，则AF =（）A ．5122a b-- B ．33232a b⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭C ．33233a b⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭D ．33233a b⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭ 5．如图两块斜边相等的直角三角板拼在一起，若AD xAB y AC =+，则（）A ．2313x =+，233y =B ．233x =，2313y =+C ．2x =+，y =D ．312x =+，32y =二、多选题6．己知向量()()2,1,3,1a b ==-，则（）A ．()a b a+⊥ B ．25a b +=C ．向量a在向量b方向上的投影是2-D ．与向量a方向相同的单位向量是255,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭7．设a 是已知的平面向量且0a ≠ ，向量b ，c 和a在同一平面内且两两不共线，关于向量a的分解，下列说法正确的是（）A ．给定向量b ，总存在向量c ，使a b c =+；B ．给定向量b 和c，总存在实数λ和μ，使a b c λμ=+ ；C ．给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a b c λμ=+；D ．给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c ，使a b c λμ=+ .三、填空题8．已知向量(a b t ==，若a 和b共线，则实数t =___________．9．已知向量()()2,4,1,12a b λ=-=-- ，若//a b ，则λ=___________.10．已知向量()2,1a =-r，()1,2b = ，()//2a a kb + ，则k =______．11．已知向量()2,1a =- ，()4,b x = ，且//a b，则2a b += ___________.一、单选题1．（2015·四川高考真题（文））设向量a ＝（2，4）与向量b＝（x ，6）共线，则实数x ＝（）A ．2B ．3C ．4D ．62．（2013·陕西高考真题（文））已知向量a =（1，m ），b =（m ，2），若a ∥b ，则实数m等于（）A ．2-B 2C ．0D ．2-23．（2008·广东高考真题（文））已知平面向量(1,2),(2,)a b m ==-，且//a b ，则23a b +=A ．(5,10)--B ．()4,8--C ．()3,6--D ．()2,4--4．（2014·北京高考真题（文））已知向量()2,4a = ，()1,1b =- ，则2a b -=A ．()5,7B ．()5,9C ．()3,7D ．()3,95．（2014·广东高考真题（文））已知向量()1,2a =，()3,1b = ，则b a -=A ．()2,1-B ．()2,1-C ．()2,0D ．()4,36．（2012·广东高考真题（文））若向量AB =（1,2），BC =（3,4），则AC=A ．（4,6）B ．(-4，-6)C ．(-2，-2)D ．(2,2)7．（2009·重庆高考真题（文））已知向量(1,1),(2,),a b x ==若a b + 与42b a -平行，则实数x 的值是（）A ．-2B ．0C ．1D ．28．（2015·全国高考真题（文））（2015新课标全国Ⅰ文科）已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =-- ，则向量BC =A ．(7,4)--B ．(7,4)C ．(1,4)-D ．(1,4)9．（2012·天津高考真题（文））ABC ∆中，90A ∠=︒,2,3,AB AC ==设点,P Q 满足,(1)AP AB AQ AC λλ==- .R λ∈若1BQ CP ⋅=,则λ=（）A ．13B ．23C ．43D ．210．（2016·四川高考真题（文））已知正三角形ABC 的边长为，平面ABC 内的动点P ，M 满足||1AP = ，PM MC =，则2||BM 的最大值是A ．B ．C ．D ．二、填空题11．（2017·山东高考真题（文））已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ-,若a ∥b ,则λ=____________.12．（2014·上海高考真题（文））已知曲线C ：x =l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为.13．（2009·辽宁高考真题（文））在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边//AB DC ，//AD BC ，已知点()20A -，，()68B ，，()8,6C 则D 点的坐标为___________.14．（2014·天津高考真题（文））已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，点,E F 分别在边,BC DC 上，3BC BE =，DC DF λ=.若1AE AF ⋅=，则λ的值为__________15．（2015·天津高考真题（文））在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠= 点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC == 则AE AF ⋅的值为________．一、单选题1．（2021·奉新县第一中学高三三模（文））已知向量(2,3)a =，(1,)b λ=-，若向量2a b-与向量a共线，则λ=（）A ．32-B ．132C 13D ．1342．（2021·宁夏银川市·贺兰县景博中学高三二模（文））设向量(1,1)=-a x ，(3,1)b x =+，则a与b一定不是（）A ．平行向量B ．垂直向量C ．相等向量D ．相反向量3．（2021·山东泰安市·高一期中）如果用,i j分别表示x 轴和y 轴正方向上的单位向量，且()()2,3,4,2A B ，则AB可以表示为（）A ．2i j- B ．42i j+ C ．23i j + D ．2i j-+ 4．（2021·浙江高一期末）设12,e e为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（）A ．12e e + 和12e e - B ．1224e e + 和2124e e -C ．122e e + 和12e e +D ．122e e -和2142e e - 5．（2021·全国高三其他模拟）已知ABC 中，9AB =，12AC =，15BC =，ABC ∠与BAC ∠的平分线交于点O ，则BO =（）A ．1243AB AC-+B ．2134AB AC-+C ．3143AB AC-+D ．1334AB AC-+6．（2021·浙江高一期末）如图Rt ABC 中，,22,2ABC AC AB BAC π∠===∠的平分线交ABC 的外接圆于点D ，则AD BC ⋅=（）A ．32B ．32C ．32-D ．327．（2021·上海高一专题练习）已知菱形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 为AO 的中点，若2AB =，60BAD ∠=︒，则AB DE ⋅=（）A ．2-B ．12-C ．72-D ．12二、填空题8．（2021·安徽黄山市·高三二模（文））已知()3,a x = ，()1,2b =-r ，若//a b r r，则23a b +=______．9．（2021·全国高一课时练习）已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，CM ＝3CA ，CN＝2CB ，则MN的坐标为________．10．（2021·北京市育英学校高三其他模拟）已知平面向量(,3)a m = ，(1,6)= b ，若//a b r r ，则m =________．11．（2021·定远县私立启明民族中学高三月考（理））设向量()1,2a =- ，(),1b m =r ，如果向量2a b + 与2a b - 平行，则a b +=___________.12．（2021·上海高一单元测试）已知向量(4,3)a =-，点(1,1)A ，(2,1)B -，记A B '' 为AB在向量a 上的投影向量，若A B λa =''，则λ=_________．三、解答题13．（2021·浙江高一期末）已知,,a b c →→→是同一平面的三个向量，其中(3,33)a →=．（1）若2b →=，且//a b →→，求b →的坐标；（2）若c →与a →的夹角θ的余弦值为2，且3a c a c →→→→⎛⎫⎛⎫-⊥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求c →．14．（2021·浙江高一期末）在直角梯形ABCD 中，已知//,90,4,2AB CD DAB AB AD CD ∠=︒===，对角线AC 交BD 于点O ，点M 在AB 上，且满足OM BD ⊥．（1）以,AB AD →→为基底分别表示向量,BD AO →→；（2）求AM BD →→⋅的值．参考答案跟踪训练1．A 【分析】利用平面向量的坐标运算直接得解.【详解】(0,1)A ，(3,2)B ，(3,1)AB ∴=故选：A 2．A 【分析】由向量共线求得未知数x ，根据模长的坐标表示求得即可.【详解】解：根据题意，向量a →＝（x ，1），b →＝（1，﹣2），若a →∥b →，则﹣2x ＝1，解可得x ＝﹣12，则a →＝（﹣12，1），故a →+b →＝（12，﹣1），则|a →+b →|，故选：A ．3．A 【分析】由已知结合向量的线性表示及平面向量基本定理可求．【详解】因为2MC AM =，所以13AM AC = ，1121()3333BM BA AM BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+ ，若BM BA BC λμ=+，则23λ=，13μ=，13λμ-=．故选：A ．4．D 【分析】以AB 的中点M 为坐标原点建立平面直角坐标系，根据平面向量的坐标运算公式，结合平面向量基本定理进行求解即可.【详解】以AB 的中点M 为坐标原点建立平面直角坐标系，设2AB =，则(O ，()1,0A -，()10B ,，(1,2F +，所以(1,OA =-，(1,OB =，(2,2AF =+ ．设AF OA OB λμ=+，则22λμ-+=⎧⎪=+，解得2333λμ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以33233AF OA ⎛=-+- ⎝⎭ ，即23AF a b b ⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭，故选：D 【点睛】方法点睛：用一组基底表示平面向量往往利用平面向量的坐标表示公式以及平面向量运算的坐标表示公式进行求解.5．D 【分析】以以,AB AC 为,x y 轴建立平面直角坐标系，设(1,0)B ，则有(,)D x y ，因此求出D 点坐标即可，易知sin sin135y BD DAB BD =∠=︒，从而得cos 45x AB BD =+︒，故得结论．【详解】如图，以,AB AC 为,x y 轴建立平面直角坐标系，设(1,0)B ，则(0,1)C ，(,)AD x AB y AC x y =+=，即(,)D x y，BC DF ==36sin 6022DB DF =︒==，又135ABD ∠=︒，ABD △中，设BAD θ∠=，则sin sin135BD ADθ=︒，所以623sin sin135222AD BD θ=︒=⨯=，所以2y =，cos 4511222x AB BD =+︒=+⨯=+．故选：D．【点睛】思路点睛：本题考查平面向量的线性运算，解题方法是建立平面直角坐标系,设1AB =，则(,)x y 是D 点坐标，求得BD 长即可得．6．ABCD 【分析】根据向量的坐标表示形式的运算及性质对选项一一分析即可.【详解】()(23,11)(2,1)(1,2)(2,1)0a b a →→→+⋅=-+⋅=-⋅=，则()a b a →→→+⊥，故A 正确；2(2,1)(6,2)(4,3)5a b →→+=+-=-=，故B 正确；向量a →在向量b →上的投影是102a bb→→→⋅==-，故C 正确；与a →方向相同的单位向量为255(,55a a→→==，故D 正确；故选：ABCD 7．AB 【分析】由平面向量的加减法可判断A ，由平面向量基本定理可判断B ，举出反例可判断C 、D.【详解】对于A ，给定向量b ，总存在向量c a b =- ，使a b c =+，故A 正确；对于B ，因为向量a ，b ，c在同一平面内且两两不共线，由平面向量基本定理可得：总存在实数λ和μ，使a b c λμ=+，故B 正确；对于C ，设()0,4a = ，给定()1,0,1b μ== ，则不存在单位向量c和实数λ，使a b c λμ=+ ，故C 错误；对于D,设()0,4a = ，给定1,1λμ==，则不存在单位向量b和单位向量c ，使a b c λμ=+ ，故D 错误.故选：AB.8．2【分析】由向量共线，结合向量共线的坐标表示可得0=，即可求参数t .【详解】由a 和b共线，知：0=，解得2t =，故答案为：29．12【分析】利用向量平行的充要条件得到方程求解.【详解】解：向量()()2,4,1,12,//a b a b λ=-=--，∴()21241λ---=⨯，解得12λ=.故答案为：1.2【点睛】平面向量()()1122,,,a x y b x y ==平行的的充分必要条件1221x y x y =.10．0【分析】首先求出2a kb +，再根据向量平行的坐标表示计算可得；【详解】解：因为()2,1a =-r，()1,2b = ，所以()()()222,11,24,22a kb k k k +=-+=-++ 因为()//2a a kb +，所以444k k --=-+，则0k =．故答案为：011．【分析】本题首先可根据//a b求出2x =-以及()4,2b =- ，然后求出()210,5a b +=- ，最后根据向量的模的相关性质即可得出结果.【详解】因为()2,1a =- ，()4,b x = ，//a b ，所以24x =-，2x =-，()4,2b =-，则()210,5a b +=- ，2a b +==，故答案为：.真题再现1．B 【详解】由向量平行的性质，有2∶4＝x ∶6，解得x ＝3，选B考点：本题考查平面向量的坐标表示，向量共线的性质，考查基本的运算能力.2．D 【分析】直接利用共线向量的坐标运算求解即可．【详解】向量a=（1，m ），b=（m ，2），若a∥b，则m 2=2，解得或故选D ．【点睛】本题考查向量的坐标运算，共线向量的应用，基本知识的考查．3．B 【详解】试题分析：因为(1,2)a =，(2,)b m =- ，且//a b，所以40,4m m +==-，()()2321,232,4a b +=+--=(4,8)--，故选B.考点：1、平面向量坐标运算；2、平行向量的性质.4．A 【详解】因为2(4,8)a =，所以2(4,8)(1,1)a b -=--=（5，7），故选A.考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.5．B 【详解】试题分析：由题意得()()()3,11,22,1b a -=-=- ，故选B.考点：本题考查平面向量的坐标运算，属于容易题.6．A【详解】()()()1,23,44,6AC AB BC =+=+=.7．D【详解】因为(1,1),(2,)a b x == ，所以(3,1),42(6,42),a b x b a x +=+-=- 由于a b + 与42b a - 平行，得6(1)3(42)0x x +--=，解得2x =.8．A【解析】试题分析：(31)(43)(74)BC BA AC =+=--+--=-- ，，，,选A.考点：向量运算9．D【详解】试题分析：以A 为坐标原点，,AB AC 分别为,x y 轴建立如图所示的直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ，(0,3)C ，则(2,0)AP λ= ，(0,3(1))AQ λ=- ，(2,3(1))BQ AQ AB λ=-=-- ，CP AP AC =- ＝(2,3)λ-，所以223(1)(3)1BQ CP λλ⋅=-⨯+-⨯-=，2λ=．故选D ．考点：平面向量的线性运算，平面向量的数量积．10．B【详解】试题分析：如图可得120,2ADC ADB BDC DA DB DC ∠=∠=∠=︒=== .以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，则()()()2,0,1,3,1,3.A B C ---设(),,P x y 由已知1AP =，得()2221x y -+=，又13133,,,,,2222x y x y PM MC M BM ⎛⎫⎛⎫-+++=∴∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()(222133||4x y BM +++∴= ，它表示圆()2221x y -+=上的点(),x y 与点(1,33--的距离的平方的14，()()2222max 149333144BM ⎫∴=+=⎪⎭ ，故选B.【考点】向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出120ADC ADB BDC ∠=∠=∠=︒，且2DA DB DC === ，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点,,,A B C D 的坐标，同时动点P 的轨迹是圆，则()(22214x y BM +++= ，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．11．-3【详解】由a b ∥可得162 3.λλ-⨯=⇒=-【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a b ∥的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为λa (λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(3)三点共线问题．A ,B ,C三点共线等价于与共线.12．[2,3]【详解】故答案为[2,3].13．()0,2-【分析】根据平行四边形的性质易得OB OD OA OC +=+ ，将向量用坐标表示，进行坐标运算即可得结果.【详解】平行四边形ABCD 中，OB OD OA OC +=+，∴()()()()2,08,66,80,2OD OA OC OB =+=+----= ，即D 点坐标为()0,2-，故答案为()0,2-.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，属于基础题.14．.【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．【详解】∵BC ＝3BE ，DC ＝λDF ，∴13BE BC = ，1DF DC λ= ，1133AE AB BE AB BC AB AD =+=+=+ ，11AF AD DF AD DC AD AB λλ=+=+=+ ，∵菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，∴|AB |＝|AD |＝2，AB •AD = 2×2×cos120°＝﹣2，∵AE •AF =1，∴（13AB AD + ）•（1AD AB λ+ ）22113AD AB λ=++ （113λ+）AB •AD = 1，即13⨯41λ+⨯4﹣2（113λ+）＝1，整理得10533λ=，解得λ＝2，故答案为2．【点睛】本题主要考查向量的基本定理的应用，以及数量积的计算，要求熟练掌握相应的计算公式．15．2918【详解】在等腰梯形ABCD 中,由AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠= 得12AD BC ⋅= ,1AB AD ⋅= ,12DC AB = ,所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+ 22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.考点：平面向量的数量积.模拟检测1．A【分析】有题意可得2=(4,32)a b λ-- ，根据向量平行可得其坐标间关系，即可求得答案.【详解】由题意得：2=(4,32)a b λ-- ，因为向量2a b - 与向量a 共线，所以43=2(32)λ⨯⨯-，解得32λ=-.故选：A2．C【分析】根据已知向量的坐标，结合//a b 、a b ⊥ 、a b = 、a b =- 的坐标表示判断参数是否存在，即可确定正确选项.【详解】假设//a b ，即(1)(1)30x x -+-=，2x =±，假设a b ⊥ ，即3(1)(1)0x x -++=，12x =，假设a b = ，即1311x x -=⎧⎨=+⎩，无解，假设a b =- ，即131(1)x x -=-⎧⎨=-+⎩，2x =-，故选：C ．3．A【分析】由已知点坐标写出AB 的坐标，根据平面向量的基本定理，可写出,i j 表示AB的代数形式.【详解】由题意知：(4,2)(2,3)(2,1)AB =-=- ，∴2AB i j =-uu u r r r.故选：A.4．D【分析】根据平面向量基本定理可知，只有不共线的两个向量才能做基底，即可求解．【详解】解：由题意可知，12,e e 是不共线的两个向量，可以判断选项A ，B ，C 都可以做基底，选项D ，122112(42)2e e e e -=-- ，故选项D 不能做基底．故选：D ．5．B【分析】根据222AB AC BC +=，以A 为原点建立平面直角坐标系，由AB AC r AB AC BC ⨯=++求得内切圆的半径，进而得到O ，B ，C 的坐标，再利用平面向量的基本定理求解.【详解】由已知得222AB AC BC +=，则90BAC ∠=︒．以A 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则ABC 内切圆半径912391215AB AC r AB AC BC ⨯⨯===++++，所以()3,3O ，()9,0B ，()0,12C ．设BO mAB nAC =+ ，则()()()6,39,00,12m n -=+，解得23m =-，14n =，故2134BO AB AC =-+ ，故选：B ．6．D【分析】连接BO 、DO 、BD ，根据题意，可得四边形ABDO 为菱形，即可求得各个边长可角度，又,AD AO OD BC OC OB =+=- ，根据数量积公式，即可求得答案.【详解】连接BO 、DO 、BD ，如图所示：由题意得：,222ABC AC AB π∠===，AD 为BAC ∠的平分线，所以四边形ABDO 为菱形，即1AO OD AB BD ====，又1cos 2AB BAC AC ∠==，所以60BAC ∠=︒，所以60BOA BOD DOC ∠=∠=∠=︒，又,AD AO OD BC OC OB =+=-，所以()()AD BC AO OD OC OB AO OC AO OB OD OC OD OB ⋅=+⋅-=⋅-⋅+⋅-⋅ =cos 0cos120cos 60cos 60AO OC AO OB OD OC OD OB ⋅-⋅︒+⋅︒-⋅︒=111312222⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭.故选：D7．B【分析】根据题意,以对角线交点为坐标原点，对角线所在直线为,x y 轴建立直角坐标系,利用坐标法求解.【详解】解：如图，以点O 为坐标原点，,OD OA 所在直线为,x y 轴建立平面直角坐标系，由2AB =，60BAD ∠=︒，所以(A ，()1,0B -，()1,0D，0,2E ⎛⎝⎭，所以(31,,1,2AB DE ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以31122AB DE ⋅=-=- .故选：B【点睛】本题考查向量的数量积运算，解题的关键在于根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标法求解，考查运算求解能力，是中档题.8．()3,6-【分析】由向量平行的坐标表示求得x ，再由向量线性运算的坐标表示计算．【详解】因为()3,a x = ，()1,2b =-r，所以由//a b r r，有()321x ⨯=-⨯，解得6x =-，所以()()()236,123,63,6a b +=-+-=- ，故答案为：()3,6-．9．(9，－18)【分析】根据平面向量坐标表示公式，结合平面向量的加法的运算性质进行计算即可.【详解】因为CM ＝33(1,8)(3,24)CA == ，CN ＝22(6,3)(12,6)CB ==，所以(3,24)(12,6)(9,18)MN MC CN CM CN =+=-+=-+=- ，故答案为：(9，－18)10．12【分析】由向量共线的坐标表示计算．【详解】由题意630m -=，12m =．故答案为：12．11．3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】先求出向量2a b + 与2a b -的坐标，根据向量平行求出参数m 的值，从而得出答案.【详解】()221,4a b m +=- ，()22,3a b m -=-- ，由向量2a b + 与2a b - 平行，()()423210m m ∴----=，解得12m =-，则3,32a b ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.故答案为：3,32⎛⎫-⎪⎝⎭.12．25-【分析】先求得AB 在向量a 上的投影，再根据A B '' 为AB 在向量a 上的投影，求得A B '' 的坐标，然后由A B λa ='' 求解.【详解】因为点(1,1)A ，(2,1)B -，所以(1,2)AB =- ，又向量(4,3)a =-，所以AB 在向量a 上的投影1025AB a a=⋅-=- ，所以862,55a A B a ⎛⎫''=-⨯=- ⎪⎝⎭ 因为A B λa =''，所以λ=25-，故答案为：25-13．（1）(或(1,-；（2）【分析】（1）根据题意得()3b a λλ→→==，再结合2b →=得13λ=±，进而得答案；（2）根据题意得223340a c a c a c c →→→→→→→⎛⎫⎛⎫-⋅-=+-⨯⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再结合6a →=可得23360c →-+=，解方程即可得答案.【详解】解：（1）∵//a b →→，∴存在实数λ使得(()3b a λλλ→→===，∵2b →=，∴62b λ→===，解得13λ=±，∴(b →=或(1,b →=-.（2）∵3a c a c →→→→⎛⎫⎛⎫-⊥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，c →与a →的夹角θ的余弦值为32∴2222334340a c a c a c a c a c c →→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫-⋅-=+-⋅=+-⨯⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵a →=，∴6a →==，∴23360c →-+=，解得c →=【点睛】本题考查向量的共线与垂直的坐标表示，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于熟练掌握向量共线与垂直定义与坐标表示，进而求解.14．（1）BD AD AB →→→=-；2133AO AD AB →→→=+；（2）83-.【分析】（1）直接利用平面向量的线性运算求解即可；（2）根据//AB CD ，2AB CD =，得到2AO OC =；再把AM BD →→⋅转化为23AC BD →→⋅进一步整理即可得到结论.【详解】（1）BD AD AB →→→=-；11121()33333AO AD DO AD DB AD BD AD AD AB →→→→→→→→→→→→=+=+=-=--=+.（2）在梯形ABCD 中，因为//AB CD ，2AB CD =，所以2AO OC =，∴()AM BD AO OM BD AO BD OM BD AO BD→→→→→→→→→→→⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅23AC BD →→=⋅222()())33AD DC AD AB AD DC AB →→→→→→→=+⋅-=-⋅28(424)33=-⨯=-.【点睛】方法点睛：平面向量问题的求解常用的方法有：（1）基底法；（2）坐标法.要根据已知条件灵活选择方法求解.。

平面向量的基本定理及坐标表示知识点及例题

知识点总结：1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cosθ叫与的数量积，记作⋅，即⋅ = ||||cosθ，并规定与任何向量的数量积为02．平面向量的数量积的几何意义：数量积⋅等于的长度与在方向上投影||c osθ的乘积.3．两个向量的数量积的性质设、为两个非零向量，是与同向的单位向量1︒⋅ = ⋅ =||cosθ； 2︒⊥⇔⋅ = 03︒当与同向时，⋅ = ||||；当与反向时，⋅ = -||||,特别地⋅ = ||24︒cosθ =； 5︒|⋅| ≤ ||||4.平面向量数量积的运算律①交换律：⋅ = ⋅②数乘结合律：()⋅ =(⋅) = ⋅()③分配律：( + )⋅ = ⋅ + ⋅5.平面向量数量积的坐标表示①已知两个向量，,则.②设，则.③平面内两点间的距离公式如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么.④向量垂直的判定两个非零向量，，则.⑤两向量夹角的余弦co sθ =（）.1．平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量，，怎样用与的坐标来表示呢？设向量分别为平面直角坐标系的轴、轴上的单位向量，则有，∴两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.3.平面向量数量积的坐标表示的性质⑴向量的模设，则有或⑵平面内两点间的距离公式设，，则，⑶两向量垂直的坐标表示的判断条件设，，则⑷两向量的夹角的坐标表示公式设非零向量，，为与的夹角，则二．例题讲解1.平面向量数量积的运算例题1 已知下列命题:①; ②; ③; ④其中正确命题序号是②、④ .点评: 掌握平面向量数量积的含义,平面数量积的运算律不同于实数的运算律.例题2 已知; (2) ;(3) 的夹角为,分别求.解(1)当时, =或=.(2)当时, =.(3)当的夹角为时, =.变式训练:已知,求解:=点评:熟练应用平面向量数量积的定义式求值,注意两个向量夹角的确定及分类完整.2.夹角问题例题3 若,且,则向量与向量的夹角为 ( )A. B. C. D.解:依题意故选C 学生训练: ①已知,求向量与向量的夹角.②已知,夹角为,则 .解: ①,故夹角为.②依题意得.变式训练:已知是两个非零向量,同时满足,求的夹角.法一解:将两边平方得,则, 故的夹角.为.法二: 数形结合点评:注意两个向量夹角共起点,灵活应用两个向量夹角的两种求法.3.向量模的问题例题4 已知向量满足,且的夹角为,求.解: ,且的夹角为;变式训练 :①已知向量,若不超过5,则的取值范围 ( )A. B. C. D.②已知的夹角为,, ,则等于( )A 5 B. 4 C. 3 D. 1解: ①,故选C②, ,解得,故选B 点评:涉及向量模的问题一般利用,注意两边平方是常用的方法.3．已知，，求，，，与的夹角.解：∵∴4．已知，，，试判断的形状，并给出证明. 解：是直角三角形. 证明如下：∵，∴∴∴是直角三角形例题引伸：在直角中，，，求实数的值；解：①若，则∴∴②若，则而∴∴③若，则而∴∴4.平面向量数量积的综合应用例题5 已知向量.(1) 若 ; (2)求的最大值 .解:(1)若,则,.(2) ==,的最大值为.。

高中数学人教A版必修四课时训练：2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.4 Word版含答案.docx

2.3.4 平面向量共线的坐标表示课时目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．1．两向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．(1)当a ∥b 时，有______________________．(2)当a ∥b 且x 2y 2≠0时，有____________________．即两向量的相应坐标成比例．2．若P 1P →＝λPP 2→，则P 与P 1、P 2三点共线．当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的内部，特别地λ＝1时，P 为线段P 1P 2的中点；当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的延长线上；当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的反向延长线上．一、选择题1．已知三点A (－1,1)，B (0,2)，C (2,0)，若AB →和CD →是相反向量，则D 点坐标是( )A ．(1,0)B ．(－1,0)C ．(1，－1)D ．(－1,1)2．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线3．若a ＝(2cos α，1)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan α等于( )A ．2B.12C ．－2D ．－124．已知向量a 、b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为( )A ．－1B ．－12C.12D ．1 6．已知A 、B 、C 三点在一条直线上，且A (3，－6)，B (－5,2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为( )A ．－13B ．9C ．－9D ．13题号 1 2 3 4 5 6 答案7．已知向量a ＝(2x ＋1,4)，b ＝(2－x,3)，若a ∥b ，则实数x 的值等于________．8．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________.9．若三点P (1,1)，A (2，－4)，B (x ，－9)共线，则x 的值为________．10．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________.三、解答题11．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？12．如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，O (0,0)，求AC 与OB 的交点P 的坐标．能力提升13．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1)，B (－1，3)，若点C 满足OC →＝mOA→＋nOB →，其中m ，n ∈R 且m ＋n ＝1，则点C 的轨迹方程为( )A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －2)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝014．已知点A (－1，－3)，B (1,1)，直线AB 与直线x ＋y －5＝0交于点C ，则点C 的坐标为________.1．两个向量共线条件的表示方法已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(1)当b ≠0，a ＝λb .(2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例． 2．向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面．(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．2．3.4 平面向量共线的坐标表示答案知识梳理1．(1)x 1y 2－x 2y 1＝0 (2)x 1x 2＝y 1y 22．(0，＋∞) (－∞，－1) (－1,0)作业设计1．C2．C [∵a ＋b ＝(0,1＋x 2)，∴平行于y 轴．]3．A [∵a ∥b ，∴2cos α×1＝sin α.∴tan α＝2.故选A.]4．D [由c ∥d ，则存在λ使c ＝λd ，即k a ＋b ＝λa －λb ，∴(k －λ)a ＋(λ＋1)b ＝0.又a 与b 不共线，∴k －λ＝0，且λ＋1＝0.∴k ＝－1.此时c ＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d .故c 与d 反向，选D.]5．B [∵u ＝(1,2)＋k (0,1)＝(1,2＋k )，v ＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，又u ∥v ，∴1×3＝2(2＋k )，得k ＝－12.故选B.] 6．C [C 点坐标(6，y )，则AB →＝(－8,8)，AC →＝(3，y ＋6)．∵A 、B 、C 三点共线，∴3－8＝y ＋68，∴y ＝－9.] 7.12解析由a ∥b 得3(2x ＋1)＝4(2－x )，解得x ＝12. 8．(－4，－8)解析由a ∥b 得m ＝－4.∴2a ＋3b ＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．9．3解析 P A →＝(1，－5)，PB →＝(x －1，－10)，∵P 、A 、B 三点共线，∴P A →与PB →共线．∴1×(－10)－(－5)×(x －1)＝0，解得x ＝3.10．2解析 λa ＋b ＝(λ＋2,2λ＋3)，c ＝(－4，－7)，∴λ＋2－4＝2λ＋3－7，∴λ＝2. 11．解由已知得k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13. 此时k a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )， ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向． 12．解方法一由题意知P 、B 、O 三点共线，又OB →＝(4,4)．故可设OP →＝tOB →＝(4t,4t )，∴AP →＝OP →－OA →＝(4t,4t )－(4,0)＝(4t －4,4t )，AC →＝OC →－OA →＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．又∵A 、C 、P 三点共线，∴AP →∥AC →，∴6(4t －4)＋8t ＝0，解得t ＝34， ∴OP →＝(3,3)，即点P 的坐标为(3,3)．方法二设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，OB →＝(4,4)．∵P 、B 、O 三点共线，∴OP →∥OB →，∴4x －4y ＝0.又AP →＝OP →－OA →＝(x ，y )－(4,0)＝(x －4，y )，AC →＝OC →－OA →＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)，∵P 、A 、C 三点共线，∴AP →∥AC →，∴6(x －4)＋2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －4y ＝0，6(x －4)＋2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．13．D [设点C 的坐标为(x ，y )，则(x ，y )＝m (3,1)＋n (－1,3)＝(3m －n ，m ＋3n )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m －n ， ①y ＝m ＋3n ，② ①＋2×②得，x ＋2y ＝5m ＋5n ，又m ＋n ＝1，∴x ＋2y －5＝0.所以点C 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0.]14．(2,3)解析设AC →＝λCB →，则得C 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－11＋λ，λ－31＋λ. 把C 点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－11＋λ，λ－31＋λ代入直线x ＋y －5＝0的方程，解得λ＝－3.∴C 点坐标为(2,3)．。

平面向量的基本定理及坐标表示练习含答案

平面向量的基本定理及坐标表示1．设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（） A BC D2.已知向量a,b ,且AB =a+2b 5BC ,=-a +6b 7CD ,=a-2b,则一定共线的三点是( )A.A 、B 、DB.A 、B 、CC.B 、C 、DD.A 、C 、D3.已知平行四边形ABCD 中DA ,=a DC ,=b ,其对角线交点为O,则OB 等于( ) A.12a +bB.a 12+bC.12(a +b )D.a +b4.已知OA =a OB ,=b ,C 为AB 上距A 较近的一个三等分点,D 为CB 上距C 较近的一个三等分点,则用a ,b 表示OD 的表达式为( ) A.4+59a b B +7169a b . C. +32a b D. +43a b5.已知P 是△ABC 所在平面内的一点,若CB PA PB λ=+,其中λ∈R ,则点P 一定在( )A.△ABC 的内部B.AC 边所在的直线上C.AB 边所在的直线上D.BC 边所在的直线上 6.在△ABC 中AB ,=c AC ,=b ,若点D 满足2BD DC =,则AD 等于( ) A.23b 13+ c B.53c 23-b C.23b 13- c D.13b 23+c7.在△ABC 中,设AB =m AC ,=n ,D 、E 是边BC 上的三等分点,即BD=DE=EC,则AD = AE ,= .8．设为内一点，且满足，则为的（）A 外心B 内心C 重心D 垂心9.已知△ABC 中,点D 在BC 边上,且CD =4DB ,CD =r AB +s AC ,则3r+s 的值为 .12,e e 1212e e e e +-和1221326e e e e --和4122122e e e e ++和212e e e +和O ABC ∆0AO BO CO ++=O ABC ∆10.计算下列各题:(1)3(3a -b )+4(b -2a );14(2)[(a +2b )+3a 13(6-a -12b )];(3)()(λμ+a +b )()(λμ--a -b ).11.已知M 是△ABC 的重心,设MA =a MB ,=b ,用a 、b 表示AC 、BC .12.已知a ,b 是两个不共线的非零向量,若a 与b 起点相同,则实数t 为何值时,a ,t b 13(,a +b )三向量的终点共线?13.(1)在△ABC 中,D 为BC 边上的中点. 求证:12()AD AB AC =+. (2)求证:G 为△ABC 重心,O 为平面内不同于G 的任意一点,则13()OG OA OB OC =++.平面向量的基本定理及坐标表示1．B 2. A 3. C 4.A 5.B 6. A 7. 23m n AD += 23n m AE += 8． C 9. 8510. (1) a +b (2)32a b +(3) 22b a λμ+ 11. 2AC a b =-- 82C a b =--12. 解:由已知,存在唯一实数λ,使a -t b [λ=a 13(-a +b )],化简得23(1)λ-a =3()t λ-b .由于a ,b 不共线,故 233100t λλ-=,⎧⎨-=,⎩ 解得 3212t λ=,⎧⎨=,⎩ 即12t =时,三向量的终点共线. 13.(1)证法一:AD AB BD AD AC CD =+,=+, 又D 为中点,∴BD CD +=0.∴2AD AB AC =+,即12()AD AB AC =+. 证法二:延长AD 至E,使DE=AD.∵BD=DC,∴四边形ABEC 为平行四边形.∴AE AB AC =+.又AE AD DE AD DE =+,=, ∴12()AD AB AC =+. (2)证明:∵OG OB BG =+,OG OA AG OG OC CG =+,=+,又∵G为△ABC的重心,∴AG CG++=0.∴OG OG OG OA OB OC ++=++,即13()OG OA OB OC=++.。

2.3平面向量基本定理及坐标表示教案

2.3.1 平面向量基本定理教学目标：（1）了解平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点：平面向量基本定理.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 教学过程：一、复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a方向相反；λ=0时λa=2．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa+λb3. 向量共线定理向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .二、讲解新课：平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e .探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量三、讲解范例：例1 已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e .例2 如图ABCD 的两条对角线交于点M ，且=a，=b ，用a ，b表示，，和例3已知ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O是任意一点，求证：+++=4例4（1）如图，，不共线，=t (t ∈R)用OA ，OB 表示OP .（2）设OA 、OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且(1)()OP t OA tOB t R =-+∈.求证：A 、B 、P 三点共线.例5 已知 a =2e 1-3e 2，b = 2e 1+3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c =2e 1-9e 2，问是否存在这样的实数,d a b λμλμ=+、使与c 共线.四、课堂练习：见教材五、小结（略）六、课后作业（略）：七、板书设计（略）八、教学反思2.3.2平面向量正交分解及坐标表示教学目标：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教学过程：一、复习引入：平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量二、讲解新课： 1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += (1)1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作 ),(y x a = (2)2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a =，则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1）若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++= 即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --= （2）若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.=-=( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=三、讲解范例：例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB 的坐标.例2 已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标.例3 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD 时，由=得D 1=(2， 2)当平行四边形为ACDB 时，得D 2=(4， 6)，当平行四边形为DACB 时，得D 3=(-6， 0) 例4已知三个力1F (3， 4)， 2F (2， -5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =，求3F 的坐标.解：由题设1F +2F +3F = 得：(3， 4)+ (2， -5)+(x ， y)=(0， 0)即：⎩⎨⎧=+-=++054023y x ∴⎩⎨⎧=-=15y x ∴3F (-5，1)四、课堂练习：1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=MN ，求P 点的坐标2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ，则 2= .3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ，求证：四边形ABCD 是梯形.五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：2.3.3平面向量的坐标运算【教学目标】1．能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力；2．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力. 【教学重难点】教学重点: 平面向量的坐标运算．教学难点: 对平面向量坐标运算的理解．【教学过程】一、〖创设情境〗以前，我们所讲的向量都是用有向线段表示，即几何的方法表示。

高一平面向量基本定理及坐标表示知识点+例题+练习含答案

1．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21. (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (a ≠0)，如果a ∥b ，那么x 1y 2－x 2y 1＝0；反过来，如果x 1y 2－x 2y 1＝0，那么a ∥b . 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( × )(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( √ )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( × )(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( √ )1．设e 1，e 2是平面内一组基底，那么下列说法正确的是________(填序号)． ①若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0；②空间内任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)； ③对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在该平面内；④对平面内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对．答案 ①2．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s ＝________. 答案 0解析因为CD →＝2DB →，所以CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，则r ＋s ＝23＋⎝⎛⎭⎫－23＝0. 3．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________．答案 (－3，－5)解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)， ∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．4．设0＜θ＜π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________.答案 12解析 ∵a ∥b ，∴sin 2θ×1－cos 2 θ＝0， ∴2sin θcos θ－cos 2 θ＝0，∵0＜θ＜π2，∴cos θ＞0，∴2sin θ＝cos θ，∴tan θ＝12.5．(教材改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________．答案 (1,5)解析设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.题型一平面向量基本定理的应用例1 (1)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________.(2)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案 (1)45 (2)311解析 (1)因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，所以AB →＝85AN →－45AM →，所以λ＋μ＝45.(2)设BP →＝kBN →，k ∈R . 因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN → ＝AB →＋k (AN →－AB →)＝AB →＋k (14AC →－AB →)＝(1－k )AB →＋k 4AC →，且AP →＝mAB →＋211AC →，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.思维升华 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．(1)在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________.(用e 1，e 2表示)(2)如图，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则xy x ＋y的值为________．答案 (1)－23e 1＋512e 2 (2)13解析 (1)如图，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC →＝－14AC →＋23(AC →－AB →)＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2.(2)易知AG →＝13AB →＋13AC →，MN →＝－xAB →＋yAC →，故MG →＝⎝⎛⎭⎫13－x AB →＋13AC →.由于MG →与MN →共线，所以⎝⎛⎭⎫13－x y ＝－13x ，即xy ＝13(x ＋y )，因此xy x ＋y ＝13.题型二平面向量的坐标运算例2 (1)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c ＝________. (2)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量A B →同方向的单位向量为__________．答案 (1)⎝⎛⎭⎫－133，－43 (2)⎝⎛⎭⎫35，－45 解析 (1)由已知3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．所以c ＝⎝⎛⎭⎫－133，－43. (2)A B →＝O B →－O A →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与A B →同方向的单位向量为A B→|A B →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 思维升华向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．(1)已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为__________．(2)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝________.答案 (1)(5,14) (2)(－6,21)解析 (1)设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5)．由AB →＝3a ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝14.(2)BC →＝3PC →＝3(2PQ →－P A →)＝6PQ →－3P A →＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．题型三向量共线的坐标表示命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标例3 (1)已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________.(2)已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．答案 (1)(－4，－8) (2)(2,4)解析 (1)由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)，即m ＝－4. 从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)． (2)∵在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC ＝2AB ， ∴DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )， AB →＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．命题点2 利用向量共线求参数例4 若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．答案－54解析 AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，根据题意AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5， ∴a ＝－54.命题点3 求交点坐标例5 已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．答案 (3,3)解析方法一由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP→＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．思维升华平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(3)三点共线问题．A ，B ，C 三点共线等价于AB →与AC →共线．设OA →＝(－2,4)，OB →＝(－a,2)，OC →＝(b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b 的最小值为________．答案3＋222解析由题意得AB →＝(－a ＋2，－2)，AC →＝(b ＋2，－4)，又AB →∥AC →，所以(－a ＋2，－2)＝λ(b ＋2，－4)，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2＝λ(b ＋2)，－2＝－4λ，整理得2a ＋b ＝2，所以1a ＋1b ＝12(2a ＋b )(1a ＋1b )＝12(3＋2a b ＋b a )≥12(3＋22a b ·b a )＝3＋222(当且仅当b ＝2a 时，等号成立)．11．解析法(坐标法)在向量中的应用典例 (14分)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．思维点拨可以建立平面直角坐标系，将向量坐标化，求出点A ，B 的坐标，用三角函数表示出点C 的坐标，最后转化为三角函数求最值．规范解答解以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1,0)，B (－12，32)．[4分]设∠AOC ＝α(α∈[0，2π3])，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，[8分] 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，[11分]又α∈[0，2π3]，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.[14分]温馨提醒本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出x ＋y 的最大值．引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了解析法(坐标法)解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．[方法与技巧]1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 2．根据向量共线可以证明点共线；利用两向量共线也可以求点的坐标或参数值． [失误与防范]1．要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况．2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.A 组专项基础训练 (时间：40分钟)1.如图，设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组： ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为该平面内其他向量的基底的是________．答案 ①③解析 ①中AD →，AB →不共线；③中CA →，DC →不共线．2．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝________.答案 (－1,2)解析 12a ＝(12，12)，32b ＝(32，－32)，故12a －32b ＝(－1,2)． 3．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝________. 答案 12a －32b解析设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，∴⎩⎨⎧λ＝12，μ＝－32，∴c ＝12a －32b .4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝________. 答案 12解析 ∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)，且(a ＋λb )∥c ，∴1＋λ3＝24，∴λ＝12.5．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n 的值为________．答案 3解析 ∵OA →·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系，OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )．∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m ＝3n ，即mn＝3. 6．已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________.答案 2解析设C (x ，y )，则AC →＝(x －7，y －1)，CB →＝(1－x,4－y )，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝2(1－x )，y －1＝2(4－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.∴C (3,3)．又∵C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ·3，∴a ＝2.7．已知点A (－1,2)，B (2,8)，AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，则CD →的坐标为________．答案 (－2，－4)解析设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)．因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.所以点C ，D 的坐标分别为(0,4)，(－2,0)，从而CD →＝(－2，－4)．8．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________．答案 m ≠54解析由题意得AB →＝(－3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，若A ，B ，C 能构成三角形，则AB →，AC →不共线，则－3×(1－m )≠1×(2－m )，解得m ≠54. 9．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解 (1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →.∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．10．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线．(1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2＜0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2＜0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)．∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →，∴AM →与AB →共线，又有公共点A ，∴A ，B ，M 三点共线．B 组专项能力提升(时间：15分钟)11．在△ABC 中，点P 是AB 上的一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则t 的值为________．答案 34解析 ∵CP →＝23CA →＋13CB →， ∴3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →.∴2AP →＝PB →，因此P 为AB 的一个三等分点．∵A ，M ，Q 三点共线，∴CM →＝xCQ →＋(1－x )CA →＝x 2CB →＋(x －1)AC → (0<x <1)． ∵CB →＝AB →－AC →，∴CM →＝x 2AB →＋⎝⎛⎭⎫x 2－1AC →. ∵CP →＝CA →－P A →＝－AC →＋13AB →，且CM →＝tCP →(0<t <1)，∴x 2AB →＋⎝⎛⎭⎫x 2－1AC →＝t ⎝⎛⎭⎫－AC →＋13AB →. ∴x 2＝t 3且x 2－1＝－t ，解得t ＝34. 12．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为________．答案－12解析 ∵u ＝(1,2)＋k (0,1)＝(1,2＋k )，v ＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，又u ∥v ，∴1×3＝2(2＋k )，得k ＝－12. 13．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(2cos α，2sin α)(α∈R )，实数m ，n 满足m a ＋n b ＝c ，则(m －3)2＋n 2的最大值为________．答案 16解析由m a ＋n b ＝c ，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2cos α，m －n ＝2sin α，故(m ＋n )2＋(m －n )2＝2，即m 2＋n 2＝1，故点M (m ，n )在单位圆上，则点P (3,0)到点M 的距离的最大值为OP ＋1＝3＋1＝4，故(m －3)2＋n 2的最大值为42＝16.14．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.答案 3解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴M 为△ABC 的重心．如图所示，连结AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点．∴AM →＝23AD →. 又AD →＝12(AB →＋AC →)， ∴AM →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.15．如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．答案 (－1,0)解析由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)，又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0. 又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →，∴mOA →＋nOB →＝kλOA →＋k (1－λ)OB →，∴m ＝kλ，n ＝k (1－λ)，∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．。

平面向量基本定理及其坐标表示习题(含答案)

平面向量基本定理和坐标表示【知识清单】1．两个向量的夹角（1）已知两个____向量a,b ，在平面内任取一点O ,作OA ＝a ，OB ＝b ，则AOB叫做向量a 与b 的夹角（2）向量夹角的范围是__________，当________时，两向量共线，当____________时，两向量垂直，记作a ⊥b2．平面向量基本定理及坐标表示（1）平面向量基本定理如果12,e e 是同一平面内的两个__________向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，__________一对实数1，2使a ＝______________．其中，不共线的向量12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组________．（2）平面向量的正交分解及坐标表示把一个向量分解为两个____________的向量，叫做把向量正交分解．（3）平面向量的坐标表示①在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使x y a =i +j ，这样，平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，把有序数对________叫做向量a 的坐标，记作a ＝__________，其中______叫做a 在x 轴上的坐标，______叫做a 在y 轴上的坐标．②OAx y ij ，则向量OA 的坐标,x y就是________的坐标，即若,OAx y ，则A 点坐标为__________，反之亦成立（O 是坐标原点）．3．平面向量的坐标运算向量加法和减法若1222,,,,x x x y a b则_____________,ab_____________,a b实数与向量的乘积若,,,x y R a 则________a向量的坐标若起点11,,A x y 终点22,,B x y 则___________,________ABAB4．平面向量共线的坐标表示设1122,,,x y x y ab ，其中0b，a //b ?__________________________．1.已知平面向量，且，则（）A BC ．D ．2.下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（）A. B. C.D.3.已知，则与平行的单位向量为( ).A. B.C. D.4.连续抛掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量，向量，则的概率是（）A． B． C． D．5.平面向量=（2，-1），=（1，1），=（-5，1），若∥，则实数k的值为（）A2 B. C. D.6.已知A（－3，0）、B（0，2），O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设，则的值为（）A、 B、C、 D、7.在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（）A. B .C. D.8.已知直角坐标平面内的两个向量，，使得平面内的任意一个向量都可以唯一分解成，则的取值范围．9.,若，则 ;若,则10.向量，若向量与向量共线，则.。

(同步复习精讲辅导)北京市高中数学平面向量基本定理及坐标表示课后练习一新人教A版必修4

（同步复习精讲辅导）北京市2014-2015学年高中数学平面向量基本定理及坐标表示课后练习一新人教A 版必修4题1：题面：已知把向量(1,1)a =→向右平移两个单位，再向下平移一个单位得到向量b ，则b的坐标为．题2：题面：已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d ，那么 ( )A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向题3：题面：已知a →与b →是两个不共线向量，且向量a →+λb →与－(b →－3a →)共线，则λ=题4：题面：在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC ，已知点 A (－2，0)，B (6，8)，C (8，6)，则D 点的坐标为___________.题5：题面：若平面向量,a b →→满足||1a b +=→→，a b +→→平行于x 轴，(2,1)b =-→，则a =→ .题6：题面：在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，或ACAE AF λμ=+→→→－－－，其中λ，μ∈R ，则λ+μ= _________.0题7：题面：给定两个长度为1的平面向量OA →－－和OB →－－，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB →－上变动.若OC x OA y OB =+→→→－－－－－－其中,x y R ∈，则x y +的最大值是________.题8：题面：在ABC ∆中，D 在线段BC 上，2,BD DC AD m AB n AC ==+→→→→→－－－－－，则m n= .题9：题面：某人骑车以每小时a 公里的速度向东行驶，感到风从正东方向吹来，而当速度为2a 时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向.课后练习详解题1：答案：(1，1)．详解：根据向量相等的概念，向量(1,1)a=→在平面内无论如何平移，只要平移过程中模不变，且方向不发生变化，得到的向量与原向量都是相等的向量，相等的向量坐标相等，所以，向量(1,1)a =→向右平移两个单位，再向下平移一个单位后，得到的向量(1,1)b =→ 故答案为(1，1)．题2：答案： D ．详解： ∵a ()1,0=，b ()0,1=，若1k =，则c =a +b ()1,1=，d =a -b ()1,1=-，显然，a 与b 不平行，排除A 、B .若1k =-，则c =－a +b ()1,1=-，d =－a +b =(1,－1)=－(－1,1) ，即c //d 且c 与d 反向，排除C ，故选D .题3：答案：13- 详解：由已知向量a →+λb →与－(b →－3a →)共线，得a →+λb →=－k (b →－3a →) ∴λ=－k ，3 k =1，解得11,33kλ==-题4：答案：(0，－2)．详解：平行四边形ABCD 中，OB OD OA OC +=+→→→→－－－－－－－－∴OD OA OC OB =+-→→→→－－－－－－－－＝(－2，0)＋(8，6)－(6，8)＝(0，－2)即D 点坐标为(0，－2) ．题5：答案： (－3，1)详解：因为平面向量,a b →→满足||1ab +=→→，a b +→→平行于x 轴，所以(1,0)a b +=→→或(－1,0)，则(1,0)(2,1)(1,1)a =--=-→或(1,0)(2,1)(3,1)a =---=-→.题6：答案：43. 详解：设BC b =→→－、BA a =→→－则12AF b a =-→→→－， 12AE b a =-→→→－，AC b a =-→→→－代入条件得2433u u λλ==∴+=.题7：答案： 2详解：设AOC α∠= OC OA xOA OA y OB OA OC OB xOA OB y OB OB⎧∙=∙+∙⎪⎨⎪∙=∙+∙⎩→→→→→→→→→→→→－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－即01cos 21cos(120)2x y x y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-+⎪⎩∴02[cos cos(120)]cos 2sin()26x y πααααα+=+-=+=+≤ 所以x y +的最大值是2题8：答案：12．详解：AD AB BD =+→→→－－－，32BC BD DC BD =+=→→→→－－－－， 32AC AB BC AB BD =+=+→→→→→－－－－－，代入AD m AB n AC =+→→→－－－： 3()2AB BD m AB n AB BD +=++→→→→→－－－－－，合并同类项有：3(1)(1)02m n AB n BD +-+-=→→→－－因为AB BD 与→→－－不共线，所以m +n －1=0且32n －1=0 解得：21,33n m ==，所以m n =12．题9：答案：实际风速是2a 的西北风．详解：设a →表示此人以每小时a 公里的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为-a →，设实际风速为v →，那么此时人感到的风速为v a -→→，设OA →－= -a →，OB →－= -2a →∵PO →－+OA →－－=PA →－∴PA →－=v a -→→，这就是感到由正北方向吹来的风速， ∵PO →－+OB →－－=PB →－ ∴PB →－= 2v a -，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是PB，由题意：∠PBO = 45︒， PA ⊥BO ， BA = AO从而，△POB 为等腰直角三角形，∴PO = PB =2a即：|v | =2a ∴实际风速是2a 的西北风．。

平面向量基本定理及坐标表示课时训练

平面向量基本定理及坐标表示基础热身1.若a,b是平面内的一组基底,则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是( )A.a-b,b-aB.a+b,a-bC.2b-3a,6a-4bD.2a+b,a+b2.已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a= ( )A.(2,-1)B.(-2,1)C.(2,0)D.(4,3)3.在△ABC中,D为BC上一点,且=,以向量,作为一组基底,则= ()A.+B.+C.+D.+4.[优质试题·北京昌平区二模]已知a=(1,),b=(,k),若a∥b,则k=.5.[优质试题·合肥一中、马鞍山二中等六校联考]在△ABC中,D为边BC上靠近点B的三等分点,连接AD,E为AD的中点,若=m+n,则m+n=.能力提升6.[优质试题·广州月考]已知点A(1,-1),B(2,t),若向量=(1,3),则t= ( )A.2B.3C.4D.-27.已知向量a=(1,2),b=(-3,5),c=(4,x),若a+b=λc(λ∈R),则λ+x的值为( )A.-B.C.-D.8.[优质试题·吉林梅河口一模]向量a,b,c在正方形网格中的位置如图K25-1所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则= ( )图K25-1A.2B.4C.5D.79.[优质试题·四川凉山一诊]设向量a=(cos x,-sin x),b=-cos-x,cos x,且a=tb,t≠0,则sin 2x= ( )A.1B.-1C.±1D.010.如图K25-2所示,在△ABC中,=,P是BN上的一点,若=m++,则实数m的值为( )图K25-2A. B.C.1D.311.[优质试题·株洲一模]平面内有三点A(0,-3),B(3,3),C(x,-1),且与共线,则x=.12.[优质试题·潮州二模]在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点.若=(4,3),=(1,5),则=(用坐标表示).13.(15分)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=3c,=-2b.(1)求3a+b-3c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)求M,N的坐标及向量的坐标.14.(15分)[优质试题·太原模拟]已知点O为坐标原点,A(0,2),B(4,6),=t1+t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件.(2)求证:当t1=1时,不论t2为何实数,A,B,M三点都共线.难点突破15.(5分)[优质试题·湖北重点中学联考]已知G为△ADE的重心,点P为△DEG内一点(含边界),B,C分别为AD,AE上的三等分点(B,C均靠近点A),若=α+β(α,β∈R),则α+β的取值范围是( )A.[1,2]B.C. D.16.(5分)[优质试题·四川资阳三诊]在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AB=BC=2AD=2,E,F分别为BC,CD的中点,以A为圆心,AD为半径的半圆分别交BA及BA的延长线于点M,N,点P在上运动(如图K25-3所示).若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则2λ-5μ的取值范围为( ) A.[-2,2] B.[-2,2]C.[-2,2]D.[-2,2]图K25-3课时作业(二十五)1.B[解析]显然向量a+b与向量a-b不共线,故选B.2.A[解析]易得b-a=(3-1,1-2)=(2,-1),故选A.3.D[解析]由题意得=+=+(-)=+,故选D.4.3[解析]∵a=(1,),b=(,k),a∥b,∴k×1-×=0,∴k=3.5.-[解析]由图可知=(+)=-=(-)-=-,∴m+n=-=-.6.A[解析]由题意得=(2-1,t+1)=(1,3),则t+1=3,解得t=2,故选A.7.C[解析]由已知可得(1,2)+(-3,5)=λ(4,x),∴∴∴λ+x=-,故选C.8.B[解析]以a的终点,b的起点为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示,则-解得a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3).由题意得c=(-λ+6μ,λ+2μ)=(-1,-3),则有故=4.。

高中数学：平面向量基本定理及其坐标表示练习

高中数学：平面向量基本定理及其坐标表示练习(时间:30分钟)1.下列各组向量中，可以作为基底的是( B ) (A)e 1=(0，0)，e 2=(1，-2) (B)e 1=(-1，2)，e 2=(5，7) (C)e 1=(3，5)，e 2=(6，10) (D)e 1=(2，-3)，e 2=(，-)解析:两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.2.已知向量a=(1，2x+1)，b=(2，3).若a ∥b ，则x 等于( B ) (A)- (B) (C)- (D)-解析:因为a ∥b ，所以1×3=2×(2x+1)，所以x=.故选B.3.如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( B )①a=λe 1+μe 2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量;②对于平面α内任一向量a ，使a=λe 1+μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个;③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线，则=.④若实数λ，μ使得λe 1+μe 2=0，则λ=μ=0. (A)①②(B)②③(C)③④(D)②④解析:由平面向量基本定理可知，①④是正确的.对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.对于③，当λ1λ2=0或μ1μ2=0时不一定成立，应为λ1μ2-λ2μ1=0.故选B.4.设向量a=(1，-3)，b=(-2，4)，若表示向量4a ，3b-2a ，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为( D ) (A)(1，-1) (B)(-1，1) (C)(-4，6) (D)(4，-6)解析:4a=(4，-12)，3b-2a=(-6，12)-(2，-6)=(-8，18)，由4a+(3b-2a)+c=0得c=(4，-6)，选D.5.设a=(x ，-4)，b=(1，-x).若a 与b 同向，则x 等于( B ) (A)-2 (B)2(C)±2 (D)0解析:由a∥b得-x2=-4，所以x=±2.又因为a与b同向，若x=-2，则a=(-2，-4)，b=(1，2)，a与b反向，故舍去，所以x=2.故选B.6.在△ABC中，点P在BC上，且=2，点Q是AC的中点，若=(4，3)，=(1，5)，则等于( B )(A)(-2，7) (B)(-6，21)(C)(2，-7) (D)(6，-21)解析:=-=(-3，2)，因为Q是AC的中点，所以=2=(-6，4)，=+=(-2，7)，因为=2，所以=3=(-6，21).7.在平面直角坐标系中，已知向量a=(1，2)，a-b=(3，1)，c=(x，3)，若(2a+b)∥c，则x 等于( D )(A)-2 (B)-4 (C)-3 (D)-1解析:因为a-b=(3，1)，所以a-(3，1)=b，则b=(-4，2).所以2a+b=(-2，6).又(2a+b)∥c，所以-6=6x，x=-1.故选D.8.在▱ABCD中，AC为一条对角线，=(2，4)，=(1，3)，则向量的坐标为. 解析:因为+=，所以=-=(-1，-1)，所以=-=-=(-3，-5).答案:(-3，-5)9.已知向量=(1，-3)，=(2，-1)，=(k+1，k-2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是.解析:若点A，B，C能构成三角形，则向量，不共线.因为=-=(2，-1)-(1，-3)=(1，2)，=-=(k+1，k-2)-(1，-3)=(k，k+1)，所以1×(k+1)-2k≠0，解得k≠1.答案:k≠1能力提升(时间:15分钟)10.已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且=2，则等于( C )(A)+(B)+(C)+(D)+解析: 如图，因为=2，所以=，所以=+=+=+(-)=+.故选C.11.( 河南洛阳模拟)在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若=λ+μ(λ，μ∈R)，则λ+μ的值为( A )(A)(B)(C)1 (D)-1解析:设正方形的边长为2，以点A为原点，AB，AD分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，M(2，1)，N(1，2)，所以=(2，2)，=(2，1)，=(-1，2)，所以解得λ=，μ=，所以λ+μ=，故选A.12.( 南昌二模)已知在平面直角坐标系xOy中，P1(3，1)，P2(-1，3)，P1，P2，P3三点共线且向量与向量a=(1，-1)共线，若=λ+(1-λ)(λ∈R)，则λ等于( D )(A)-3 (B)3 (C)1 (D)-1解析:设=(x，y)，则由∥a得x+y=0，于是=(x，-x).若=λ+(1-λ)，则有(x，-x)=λ(3，1)+(1-λ)(-1，3)=(4λ-1，3-2λ)，即所以4λ-1+3-2λ=0，解得λ=-1，故选D.13.( 沈阳质检)设点A(1，2)，B(3，5)，将向量按向量a=(-1，-1)平移后得到的向量= .解析:因为A(1，2)，B(3，5)，所以=(2，3)，向量平移后向量的坐标不变，故==(2，3).答案:(2，3)14.( 河北联盟二模)已知点A(1，0)，B(1，)，点C在第二象限，且∠AOC=150°，=-4+λ，则λ= .解析:因为点A(1，0)，B(1，)，点C在第二象限，=-4+λ，所以C(λ-4，λ). 因为∠AOC=150°，所以tan 150°==-，解得λ=1.答案:115.( 长沙一模)矩形ABCD中，AB=3，AD=2，P为矩形内部一点，且AP=1，若=x+y，则3x+2y的取值范围是.解析:设点P在AB上的射影为Q，∠PAQ=θ，则=+，且||=cos θ，||=sin θ.又与共线，与共线，故=，=，从而=+，故x=，y=，因此3x+2y=cos θ+sin θ=sin θ+，又θ∈0，，故3x+2y的取值范围是(1，].答案:(1，]。

高中数学：2.3.1平面向量的基本定理及坐标表示 Word版含答案

第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示(第一课时)学习目标1.了解平面向量基本定理及其意义,会用基底表示某一向量;掌握两个向量夹角的定义及两向量垂直的概念,会初步求解简单的两向量夹角问题,会根据图形判断两个向量是否垂直.2.通过本节学习,让学生体会用基底表示平面内一个向量的方法,体会求解一些比较简单向量夹角的方法.3.培养学生的动手操作能力、观察判断能力,体会数形结合思想.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:已知平面内一向量a是该平面内两个不共线向量b,c的和,怎样表达?问题2:如果向量b与e1共线、c与e2共线,上面的表达式发生什么变化?二、学生探索,尝试解决问题1:问题2:三、信息交流,揭示规律问题3:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,a是这一平面内的任一向量,那么a与e1,e2之间有什么关系?a是否可以用含有e1,e2的式子表示出来?问题4:一对实数λ1,λ2是否唯一?平面向量基本定理四、运用规律,解决问题【例题】已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M,设=a,=b,试用基底a,b 表示.五、变式演练,深化提高练习1:下面三种说法:(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示这个平面内的任一向量的基底;(2)一个平面内有无数对不共线的向量可作为表示这个平面内的任一向量的基底;(3)零向量不可以作为基底中的向量.其中说法正确的是(写出正确说法的序号).练习2:在平面内的四边形MNPQ中,下列一定可以作为该平面内任一向量的一组基底是()A. B. C. D.编题不是教师的专利,鼓励学生每人各编一个关于平面向量基本定理的题目,然后由同位算出★答案★.六、反思小结,观点提炼请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?用到了什么思想方法?你还有其他什么收获?布置作业课本P102习题2.3B组第3,4题.参考★答案★二、学生探索,尝试解决问题1:a=b+c.问题2:a=λ1e1+λ2e2.三、信息交流,揭示规律问题3:如图所示,平面内任一向量a,以及该平面内两个不共线的向量e1,e2,将这三个向量的始点平移至点O,并以a所在的直线为对角线,以e1,e2所在的直线为邻边,作平行四边形.=e1,=λ1e1,=e2,=λ2e2,a=λ1e1+λ2e2问题4:由作图中分解结果唯一,决定了两个分解向量唯一.由平行向量定理,有且只有一个实数t1,使得=λ1e1成立,同理λ2也唯一,即一组数λ1,λ2唯一确定.平面向量基本定理如果e1和e2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任意向量a,存在唯一的一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.说明:(1)我们把不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底;(2)定理中,e1,e2是非零向量;(3)a是平面内的任一向量,且实数对λ1,λ2是唯一的;(4)平面内任意两个不共线向量都可作为一组基底.四、运用规律,解决问题【例题】解:因为=a+b,=a-b,所以=-=-(a+b)=-a-b,(a-b)=a-b,a+b,=-=-a+b.五、变式演练,深化提高练习1:解析:平面向量的基底有无数对;零向量与任意向量平行,不可以参与基底.所以只有(2)正确.★答案★:(2)练习2:解析:四组向量中只有D选项中的两个不共线.★答案★:D六、反思小结,观点提炼1.平面向量基本定理;2.平面向量基本定理的应用;3.由特殊到一般、归纳概括 .。

高中数学人教A版必修四课时训练：2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.4

2.3.4 平面向量共线的坐标表示课时目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．1．两向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．(1)当a ∥b 时，有______________________．(2)当a ∥b 且x 2y 2≠0时，有____________________．即两向量的相应坐标成比例．2．若P 1P →＝λPP 2→，则P 与P 1、P 2三点共线．当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的内部，特别地λ＝1时，P 为线段P 1P 2的中点；当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的延长线上；当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的反向延长线上．一、选择题1．已知三点A (－1,1)，B (0,2)，C (2,0)，若AB →和CD →是相反向量，则D 点坐标是( )A ．(1,0)B ．(－1,0)C ．(1，－1)D ．(－1,1)2．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线3．若a ＝(2cos α，1)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan α等于( )A ．2 B.12 C ．－2 D ．－124．已知向量a 、b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为( )A ．－1B ．－12C.12D ．1 6．已知A 、B 、C 三点在一条直线上，且A (3，－6)，B (－5,2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为( )A ．－13B ．9C ．－9D ．13题号 1 2 3 4 5 6 答案7．已知向量a ＝(2x ＋1,4)，b ＝(2－x,3)，若a ∥b ，则实数x 的值等于________．8．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________.9．若三点P (1,1)，A (2，－4)，B (x ，－9)共线，则x 的值为________．10．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________.三、解答题11．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？12．如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，O (0,0)，求AC 与OB 的交点P 的坐标．能力提升13．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1)，B (－1，3)，若点C 满足OC →＝mOA→＋nOB →，其中m ，n ∈R 且m ＋n ＝1，则点C 的轨迹方程为( )A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －2)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝014．已知点A (－1，－3)，B (1,1)，直线AB 与直线x ＋y －5＝0交于点C ，则点C 的坐标为________.1．两个向量共线条件的表示方法已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(1)当b ≠0，a ＝λb .(2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例． 2．向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面．(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．2．3.4 平面向量共线的坐标表示答案知识梳理1．(1)x 1y 2－x 2y 1＝0 (2)x 1x 2＝y 1y 22．(0，＋∞) (－∞，－1) (－1,0)作业设计1．C2．C [∵a ＋b ＝(0,1＋x 2)，∴平行于y 轴．]3．A [∵a ∥b ，∴2cos α×1＝sin α.∴tan α＝2.故选A.]4．D [由c ∥d ，则存在λ使c ＝λd ，即k a ＋b ＝λa －λb ，∴(k －λ)a ＋(λ＋1)b ＝0.又a 与b 不共线，∴k －λ＝0，且λ＋1＝0.∴k ＝－1.此时c ＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d . 故c 与d 反向，选D.]5．B [∵u ＝(1,2)＋k (0,1)＝(1,2＋k )，v ＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，又u ∥v ，∴1×3＝2(2＋k )，得k ＝－12.故选B.] 6．C [C 点坐标(6，y )，则AB →＝(－8,8)，AC →＝(3，y ＋6)．∵A 、B 、C 三点共线，∴3－8＝y ＋68，∴y ＝－9.] 7.12解析由a ∥b 得3(2x ＋1)＝4(2－x )，解得x ＝12. 8．(－4，－8)解析由a ∥b 得m ＝－4.∴2a ＋3b ＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．9．3解析 P A →＝(1，－5)，PB →＝(x －1，－10)，∵P 、A 、B 三点共线，∴P A →与PB →共线．∴1×(－10)－(－5)×(x －1)＝0，解得x ＝3.10．2解析 λa ＋b ＝(λ＋2,2λ＋3)，c ＝(－4，－7)，∴λ＋2－4＝2λ＋3－7，∴λ＝2. 11．解由已知得k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13. 此时k a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )， ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向． 12．解方法一由题意知P 、B 、O 三点共线，又OB →＝(4,4)．故可设OP →＝tOB →＝(4t,4t )，∴AP →＝OP →－OA →＝(4t,4t )－(4,0)＝(4t －4,4t )，AC →＝OC →－OA →＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．又∵A 、C 、P 三点共线，∴AP →∥AC →，∴6(4t －4)＋8t ＝0，解得t ＝34， ∴OP →＝(3,3)，即点P 的坐标为(3,3)．方法二设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，OB →＝(4,4)．∵P 、B 、O 三点共线，∴OP →∥OB →，∴4x －4y ＝0.又AP →＝OP →－OA →＝(x ，y )－(4,0)＝(x －4，y )，AC →＝OC →－OA →＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)，∵P 、A 、C 三点共线，∴AP →∥AC →，∴6(x －4)＋2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －4y ＝0，6(x －4)＋2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．13．D [设点C 的坐标为(x ，y )，则(x ，y )＝m (3,1)＋n (－1,3)＝(3m －n ，m ＋3n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m －n ， ①y ＝m ＋3n ， ② ①＋2×②得，x ＋2y ＝5m ＋5n ，又m ＋n ＝1，∴x ＋2y －5＝0.所以点C 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0.]14．(2,3)解析设AC →＝λCB →，则得C 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－11＋λ，λ－31＋λ. 把C 点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－11＋λ，λ－31＋λ代入直线x ＋y －5＝0的方程，解得λ＝－3.∴C 点坐标为(2,3)．小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

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2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
一、选择题
1、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3,1），B （－1,3），若点C 满足
O C O A O B αβ=+
，其中α、β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为（）
A 、3ｘ＋2ｙ－11＝0
B 、（x-1）2+（y-2）2
=5 C 、2ｘ－ｙ＝0 D 、ｘ＋2ｙ－5＝0
2、若向量a
＝（x+3，x 2－3x －4）与AB 相等，已知A （1，2）和B （3，2），则x 的值
为
A 、－1
B 、－1或4
C 、4
D 、1或－4
3、已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个顶点的坐标是（）
A 、（1，5）或（5，5）
B 、（1，5）或（－3，－5）
C 、（5，－5）或（－3，－5）
D 、（1，5）或（5，－5）或（－3，－5）
4、设i 、j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，且j i OA 24+=， j i OB 43+=，则△OAB 的面积等于（）
A 、15
B 、10
C 、7.5
D 、5
5、己知P 1(2,－1) 、P 2(0,5) 且点P 在P 1P 2的延长线上,||2||21PP P P =, 则P 点坐标为( )
A 、(－2,11)
B 、()3,3
4
C 、(3
2,3) D 、(2,－7)
6、一个平行四边形的三个顶点的坐标分别是（5，7），（－3，5），（3，4），则第四个顶点的坐标不可能是。

（）
A 、（－1，8）
B ，（－5，2）
C 、（1l ，6）
D 、（5，2）
7、已知O 为原点，A ，B 点的坐标分别为（a ，0），（0，a ），其中常数a ＞0，点P 在线段
AB 上,且AP ＝t AB （0≤t≤1），则OA ·
OP 的最大值为（） A 、a B 、2a C 、3a D 、a 2
8、已知a =(2,3) , b =(4-,7) ,则a
在b 上的投影值为（）
A 、13
B 、5
13 C 、5
65 D 、65
二、填空题
9、已知点A （－1，5），若向量AB 与向量a ＝（2，3）同向，且AB ＝3a
，则点B 的坐
标为
10、平面上三个点，分别为A （2，－5），B （3，4），C （－1，－3），D 为线段BC 的中
点，则向量DA
的坐标为
三、解答题
11、已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，||O A =
60xOA ∠=
，求向量O A 的
坐标、
12、已知点A （－1，2），B （2，8）及13AC AB = ，13
D A B A =-
，求点C 、D 和CD 的
坐标。

13、已知平行四边形ABCD 的一个顶点坐标为A （－2，1），一组对边AB 、CD 的中点
分别为M （3，0）、N （－1，－2），求平行四边形的各个顶点坐标。

14、已知点O （0，0），A （1，2），B （4，5）及OP =OA +t AB ，求：（1）t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限?
（2）四边形OABP 能否构成平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由。

15、已知向量u =（x ，y ）与向量v =（y ，2y －x ）的对应关系可用v =f （u
）表示。

（1）证明：对于任意向量a 、b 及常数m 、n ，恒有f （m a +n b ）=mf （a ）+nf （b
）
成立；
（2）设a =（1，1），b =（1，0），求向量f （a ）及f （b
）的坐标；（3）求使f （c ）=（3，5）成立的向量c 。

参考答案
一、选择题
1、D ；
2、A ；
3、D ；
4、D ；
5、A ；
6、D ；
7、D ；
8、C 二、填空题
9、B （5，14）
10、DA ＝11(1,)2
-
三、解答题
11、解：设点A （ｘ，ｙ），则ｘ＝｜O A
｜cos 60
＝cos 60
＝ｙ＝｜O A
｜sin 60
＝sin 60 ＝6，即A
（6），所以O A
＝（6）、
12、解：设C （ｘ1，ｙ1），D （ｘ2，ｙ2），由题意可得A C ＝（ｘ1＋1，ｙ1－2），(
3,6)A B = ，
DA
＝（－1－ｘ2，2－ｙ2）
，BA ＝（－3，－6） ∵13A C A B =
，13D A B A =- ，∴（ｘ1＋1，ｙ1－2）＝1
3
（3，6）＝（1，2）（－1－ｘ2，2－ｙ2）＝－
13
（－3，－6）＝（1，2），则有
111122x y +=⎧⎨-=⎩和221122x y --=⎧⎨-=⎩，解得1104x y =⎧⎨=⎩和2220
x y =-⎧⎨=⎩、 ∴C 、D 的坐标分别为（0，4）和（－2，0）、因此CD
＝（－2，－4）、
13、解：设其余三个顶点的坐标为B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），D （x 3，y 3）、因为M 是AB 的中点，所以3=2
21
x +-，0=
2
11
y +，
解得x 1=8，y 1=－1、
设MN 的中点O '（x 0，y 0），则x 0=2
)
1(3-+=1，y 0=
2
)
2(0-+=－1，而O '既是AC 的中点，
又是BD 的中点，
所以x 0=2
2
x x A +，y 0=
2
2
y y A +，
即1=
2
22
x +-，－1=
2
12
y +、
解得x 2=4，y 2=－3、同理解得x 3=－6，y 3=－1、
所以B （8，－1），C （4，－3），D （－6，－1）、 14、解：（1）OP =OA +t AB =（1+3t ，2+3t ）、若P 在x 轴上，只需2+3t =0，所以t =－
32、
若P 在y 轴上，只需1+3t =0，所以t =－3
1
、
若P 在第二象限，只需⎩⎨
⎧>+<+，
，
032031t t
∴－3
2＜t ＜－3
1
、
（2）因为OA =（1，2），PB =（3－3t ，3－3t ），若OABP 为平行四边形，则OA =PB 、
由于⎩⎨⎧=-=-2
33133t t ，无解，故四边形OABP 不能构成平行四边形、
15、（1）证明：设向量a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），
则f （mx 1+nx 2，my 1+ny 2）=（my 1+ny 2，2my 1+2ny 2－mx 1－nx 2）、又mf （a ）=（my 1，2my 1－mx 1），nf （b ）=（ny 2，2ny 2－nx 2），所以mf （a ）+nf （b
）=（my 1+ny 2，2my 1+2ny 2－mx 1－nx 2）、所以f （m a +n b ）=mf （a ）+nf （b ）、（2）f （a ）=（1，1），f （b ）=（0，－1）、（3）由⎩
⎨⎧=-=，，523x y y 得⎩⎨⎧==.31y x ，所以c =（1，3）、。