指数函数与对数函数 章末复习2 学案 2017-2018学年高中数学 北师大版 必修一
2017-2018学年高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.4 对数学案 北师大版必修1
3.4 对数[核心必知]1．对数的概念与性质 (1)定义：一般地，如果a (a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b＝N ，那么数b 叫作以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b .其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．log a N 读作以a 为底N 的对数．(2)常用对数与自然对数：以10为底的对数叫作常用对数，记作lg_N ；以e 为底的对数叫作自然对数，记作ln_N .(3)基本性质：①负数没有对数，即log a N 中真数必须大于零；②1的对数为0，即log a 1＝0； ③底数的对数为1，即log a a ＝1； ④对数恒等式：a log a N ＝N . 2．对数的运算性质如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则： (1)积的对数：log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)商的对数：log a M N＝log a M －log a N ； (3)幂的对数：log a M n＝n log a M (n ∈R )． 3．对数的换底公式log b N ＝log a Nlog a b (a ，b ＞0，a ，b ≠1，N ＞0)．[问题思考]1．指数式a b＝N 和对数式log a N ＝b (a ＞0且a ≠1，N ＞0)有什么关系？提示：关系如图示．2．如何用对数的定义证明a log a N ＝N? 提示：因为若a b＝N ，则b ＝log a N (a ＞0且a ≠1)，所以由等量代换得a log a N ＝N .3．对数运算性质(1)当M 、N 同号时成立吗？提示：不一定成立．如lg [(－5)×(－3)]有意义，而lg(－5)、lg(－3)无意义．讲一讲1．(1)将对数式log 1327＝－3化为指数式；(2)将指数式⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2＝16化为对数式；(3)求式子log 2(log 5x )＝0中的x ； (4)计算412(log 29－log 25)．[尝试解答] (1)因为log 1327＝－3，所以(13)－3＝27. (2)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2＝16，所以log 1416＝－2.(3)因为log 2(log 5x )＝0， 所以log 5x ＝1，所以x ＝5. (4)原式＝2log 29－log 25＝2log 292log 25＝95.(1)对数式和指数式互化的主要依据是关系式a b＝N 等价于b ＝log a N (a ＞0且a ≠1，N ＞0)，要注意a 、b 、N 的位置．(2)有关“底数”和“1”的对数，可利用对数的性质求出其值为“1”和“0”，化成常数，有利于化简和计算．(3)对于对数恒等式a log a N ＝N 要注意其结构特点：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．练一练1．(1)将指数式104＝10 000和⎝ ⎛⎭⎪⎫13m ＝5化为对数式；(2)将对数式log 0.10.01＝2和ln x ＝12化为指数式；(3)求式log 3(lg x )＝1中的x ； (4)计算71－log 75的值． 解：(1)lg 10 000＝4, m ＝log 135.(2)0.12＝0.01, e 12＝x .(3)∵log 3(lg x )＝1， ∴lg x ＝3， ∴x ＝103＝1 000. (4)原式＝77log 75＝75.讲一讲2．计算下列各式的值． (1)log 2748＋log 212－12log 242； (2)lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 1.2；(3)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22.[尝试解答] (1)原式＝log 27×1248×42＝log 212＝－12.(2)原式＝32lg 3＋3lg 2－32lg 3＋2lg 2－1＝32(lg 3＋2lg 2－1)lg 3＋2lg 2－1＝32.(3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(1＋lg 2)＋(lg 2)2＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2)＝2＋lg 5＋lg 2＝2＋1＝3.利用对数的运算性质化简、求值的一般策略：①把复杂的真数化简；②正用公式：将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商再化简；③逆用公式：将式中对数的和、差、积、商运用对数的运算法则，将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．练一练2．用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：(1)log a xy z ； (2)log a x 2y3z.解：(1)log a xyz＝log a (xy )－log a z ＝log a x ＋log a y －log a z .(2)log ax 2y3z＝log a (x2y )－log a 3z＝log a x 2＋log a y －log a 3z ＝2log a x ＋12log a y －13log a z .讲一讲3．(1)计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)；(2)设3a ＝4b＝36，求2a ＋1b的值．[尝试解答] (1)法一：原式＝log 253＋log 225log 24＋log 25log 28·log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125＝3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55＝⎝⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·(3log 52) ＝13log 25·log 22log 25＝13.法二：原式＝(lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8)(lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125) ＝(3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2)(lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5) ＝(13lg 53lg 2)(3lg 2lg 5)＝13.(2)法一：由3a＝4b＝36，得a ＝log 336，b ＝log 436，∴2a ＋1b＝2log 363＋log 364＝log 369＋log 364 ＝log 3636 ＝1.法二：对已知条件取以6为底的对数， 得a log 63＝2，b log 62＝1，∴2a ＝log 63，1b＝log 62.于是2a ＋1b＝log 63＋log 62＝log 66＝1.(1)解决指数、对数的化简、求值时，一般通过指数、对数互化及换底公式，使所求式子的底数与已知条件中的底数统一，从而达到代入化简求值的目的．(2)用已知对数表示其他对数时，若它们的底数不相同，常用换底公式来解决．(3)在一个等式的两边取对数，是一种常用的技巧．一般地说，给出的等式是以指数形式出现时，常用此法，在取对数时，要注意底数的合理选取．练一练3．(1)设log 1227＝a ，求证log 616＝4(3－a )3＋a； (2)已知14a＝2，用a 表示log27.解：(1)法一：4(3－a )3＋a ＝4(3－log 1227)3＋log 1227＝4log 1212327log 12(123×27)＝4log 1243log 12(43×36)＝log 12412log 12(43×36)＝6log 12426log 12(2×3)＝log 1216log 126＝log 616， 故原式得证．法二：a ＝log 1227＝3log 312＝32log 32＋1，∴log 32＝32a －12，log 616＝4log 62＝4log 22log 26＝41＋log 23＝41＋2a 3－a＝4(3－a )3＋a.(2)∵14a＝2， ∴log 142＝a ，log 27＝log 147log 142＝1－log 14212log 142＝1－a 12a ＝2－2aa .已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求的值．[错解] 因为lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， 所以xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0. 所以(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y . 则xy ＝1或x y＝4，[错因] 错解中忽略了lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )成立的前提是⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，x －2y ＞0，即x ＞2y ＞0，在求出x ，y 的关系后未检验是否满足前提条件，从而导致产生增根．[正解] 因为lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， 所以xy ＝(x －2y )2， 即x 2－5xy ＋4y 2＝0. 所以(x －y )(x －4y )＝0， 解得x ＝y 或x ＝4y .因为x ＞0，y ＞0，x －2y ＞0， 所以x ＝y 应舍去．则xy＝4，1．下列各式中正确的个数是( ) ①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0； ③若10＝lg x ，则x ＝10； ④若log 25x ＝12，则x ＝±5.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B ∵lg 10＝1，∴lg(lg 10)＝lg 1＝0，∴①正确；∵ln e ＝1.∴lg(ln e)＝lg 1＝0，∴②正确；若10＝lg x ，则1010＝x ，∴③不正确；若log 25x ＝12，则2512＝x ，∴x ＝5，④不正确．故只有①②正确．2．下列各等式中正确运用对数运算性质的是(其中x ，y ，z ＞0)( ) A ．lg(x 2y z )＝(lg x )2＋lg y ＋lg z B ．lg(x 2y z )＝z lg x ＋2lg y ＋2lg z C ．lg(x 2y z )＝2lg x ＋lg y －2lg z D ．lg(x 2y z )＝2lg x ＋lg y ＋12lg z解析：选D lg(x 2y z )＝lg x 2＋lg y ＋lg z ＝2lg x ＋lg y ＋12lg z .3．(安徽高考)(log 29)·(log 34)＝( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4解析：选D (log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4.4．已知ln x ＝a ，ln y ＝b ，则ln[x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫y e 2]＝________.(用a ，b 表示)解析：由于ln [x ·(y e )2]＝ln x ＋ln (y e )2＝ln x 12＋2ln y e ＝12ln x ＋2ln y －2ln e＝12a ＋2b －2. 答案：12a ＋2b －25．(四川高考)lg0.01＋log 216的值是________．解析：lg 0.01＋log 216＝lg 1100＋log 224＝－2＋4＝2. 答案：26．计算下列各式：(1)lg 8＋lg 125－lg 2－lg 5lg 10·lg 0.1；(2)log a na ＋log a 1an ＋log a 1na(a ＞0且a ≠1)．解：(1)原式＝lg 23＋lg 53－lg 2－lg 5lg 1012·lg 10－1＝2(lg 2＋lg 5)－12＝－4lg 10＝－4.(2)法一：原式＝log a a 1n ＋log a a －n＋log a a －1n＝log a a 1n －n －1n＝log a a －n＝－n .法二：原式＝log a ⎝⎛⎭⎪⎪⎫n a ·1a n ·1n a ＝log a a －n＝－n .一、选择题1．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x －12等于( )A.13B.123C.122 D.133 解析：选C ∵log 7[log 3(log 2x )]＝0， ∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3，即x ＝23＝8. ∴x －12＝122.2．已知lg x －lg y ＝a ，则lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 23＝( )A ．3a B.32aC ．a D.a2解析：选A lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 23＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x2－lg y 2＝3[(lg x －lg 2)－(lg y －lg 2)]＝3(lgx －lg y )＝3a .3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1(x ＜2)，log 31(x 2－1)(x ≥2)，则f (f (2))＝( )A.2e 2 B ．2e 2C ．2eD ．2解析：选A ∵f (2)＝log 31(22－1)＝log 33－1＝－1，∴f (f (2))＝f (－1)＝2e －2＝2e2.4．已知2m ＝7n＝p ，1m －1n＝4，则p 的值是( )解析：选B ∵2m＝7n＝p ， ∴m ＝log 2p ，n ＝log 7p . 又1m －1n ＝1log 2p －1log 7p ＝log p 2－log p 7＝log p 27＝4，∴p 4＝27.∴p ＝二、填空题5．(四川高考)lg 5＋lg 20的值是________． 解析：lg 5＋lg 20＝lg(5×20)＝ lg 10＝1.故填1. 答案：16．若a ＞0，a 23＝49，则＝________.解析：∵a ＞0, ＝49， ∴log a 49＝23，∴log a 23＝13，∴＝3.答案：37．已知2x＝3，log 483＝y ，则x ＋2y ＝________.解析：∵2x＝3， ∴x ＝log 23. ∵log 483＝y ，∴y ＝log 48－log 43＝log 28log 24－log 23log 24＝32－12log 23， ∴x ＋2y ＝log 23＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12log 23＝3. 答案：38．若10α＝2，β＝lg 3，则＝________.解析：法一：∵10α＝2，β＝lg 3， ∴α＝lg 2，＝＝＝22×3－1＝43.法二：∵10α＝2，β＝lg 3， ∴10β＝3，＝(10α)2·(10β)－1＝22×3－1＝43.答案：43三、解答题 9．(1)求值：(2)2013年我国国民生产总值为a 亿元，如果年平均增长率为8%，那么大约经过多少年后国民生产总值是2013年的两倍？(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年)解：(1)原式＝－(12)2＝9－2－14＝274. (2)设经过x 年后国民生产总值是2011年的两倍．经过1年，生产总值为a (1＋8%)，经过2年，生产总值为a (1＋8%)2，…，经过x 年，生产总值为a (1＋8%)x .由题意得a (1＋8%)x ＝2a ，即1.08x ＝2.两边取常用对数，得lg 1.08x ＝lg 2.故x ＝lg 2lg 1.08≈0.301 00.033 4≈9(年)． 答：约经过9年，国民生产总值是2011年的两倍．10．若a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．解：原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0，设t ＝lg x ，则原方程化为2t 2－4t ＋1＝0.∴t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝12. 由已知a ，b 是原方程的两个根，则t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12， ∴lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝(lg a ＋lg b )⎝⎛⎭⎪⎫lg b lg a ＋lg a lg b ＝(lg a ＋lg b )[(lg b )2＋(lg a )2]lg a lg b＝(lg a ＋lg b )·(lg b ＋lg a )2－2·lg a lg b lg a lg b＝2×22－2×1212＝12. 即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12.本文档仅供文库使用。
学年高中数学第章指数函数和对数函数章末复习课学案北师大版必修
第3章 指数函数和对数函数 指数、对数的运算【例1】 计算：(1)lg 52＋3lg 8＋lg 5lg 20＋(lg 2)2； [解] (1)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(1＋lg 2)＋(lg 2)2＝2(lg 2＋lg 5)＋lg 5＋lg 2×lg 5＋(lg 2)2＝2＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2)＝2＋lg 5＋lg 2＝3.1．指数幂运算的一般原那么(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)假设是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．2．对数运算的常用方法(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．1．a >b >1，假设log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，那么a ＝________，b ＝________. 4,2 [由log a b ＋log b a ＝52，得log a b ＋1log a b ＝52， ∴(log a b )2－52log a b ＋1＝0， 解得log a b ＝12或2，又a >b >1，那么log a b ＝12， 由a b ＝b a ，得b ＝a log a b ， ∴b ＝12a ， ∴log a 12a ＝12，即log a 12＋1＝12，∴log a 12＝－12， ∴a －12＝12， ∴a ＝4，b ＝2.] 指(对)数函数的图像及应用【例2】 函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x . (1)画出函数f (x )的图像；(2)根据图像写出f (x )的单调区间，并写出函数的值域．[解] (1)先作出当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图像，利用偶函数的图像关于y 轴对称，再作出f (x )在x ∈(－∞，0)时的图像．(2)函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]． 由于指数函数y ＝a x a >0，且a ≠1，对数函数y ＝log a x a >0，且a ≠1的图像与性质都与a 的取值有密切的关系，a 变化时，函数的图像与性质也随之改变.因此，在求解问题时，当a 的值不确定时，要对它进行分类讨论.2．当0<x ≤12时，4x <log a x ，那么a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C.()1，2 D ．()2，2B [易知0<a <1，那么函数y ＝4x 与y ＝log a x 的大致图像如图，那么只需满足log a 12>2，解得a >22， ∴22<a <1，应选B. ]比拟大小【例3】 (1)70.60.7 )A ．b <c <aB ．b <a <c。
2018版高中数学第三章指数函数和对数函数3.2指数扩充及其运算性质学案北师大版
3.2 指数扩充及其运算性质1. 理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点)2. 了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用实数指数幂逼近的思想方法．(易混点)3. 掌握指数的运算性质，能熟练地进行指数的运算．(重难点)[基础·初探]教材整理 1 分数指数幂阅读教材P 64～P 66的有关内容，完成下列问题． 1. 定义给定正实数a ，对于任意给定的正整数m ，n (m ，n 互素)，存在唯一的正实数b ，使得b n ＝a m ，把b 叫作a 的mn次幂，记作b ＝nm a，它就是分数指数幂．2. 几个结论(1)正分数指数幂的根式形式：nm a＝na m(a >0)．(2)负分数指数幂的意义：nm a＝nm a1(a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 322表示23个2相乘．( )(2)nm a＝ma n(a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)．( )(3) nma-＝1na m(a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)．( )【答案】 (1)× (2)× (3)√ 教材整理 2 指数运算的性质阅读教材P 66～P 67的有关内容，完成下列问题． 若a >0，b >0，对任意实数m ，n 指数运算有以下性质： (1)a m·a n＝am ＋n；(2)(a m )n ＝n m a -；(3)(ab )n ＝a n b n；(4)当a ≠0时，有am an ＝⎩⎪⎨⎪⎧a m －nm >n ，1m ＝n ，a －n －m m <n ；(5)⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n ＝anbn (b ≠0)．31064.0-＋160.75＋2125.0-＝________.【解析】 原式＝31-[(0.4)3]＋43[(24)]＋21[(0.5)2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25－1＋23＋12＝52＋8＋12＝11. 【答案】 11[小组合作型](1)3a ·4a ；(2)a a a ；(3)3a 2·a 3；(4)(3a )2·ab 3.【精彩点拨】 利用根式与分数指数幂的转化式子：nm a＝na m和nm a＝nm a1＝1na m进行转化，注意其中字母a 要使式子有意义．【尝试解答】 (1)原式＝31a·41a＝127a；(2)原式＝21a·41a·81a＝87a；(3)原式＝32a·23a＝613a；(4)原式＝(31a)2·21a ·23b＝67a23b.根式与分数指数幂互化的关键与技巧：关键：解决根式与分数指数幂的相互转化问题的关键在于灵活应用a >0，m ，n ∈N ＋，且n 技巧：当表达式中的根号较多时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简.[再练一题]1. 用分数指数幂表示下列各式． (1)3a ·6－a (a <0)； (2)3ab2ab3(a ，b >0)；(3)324)32(b (b <0)； (4)13x5x 22(x ≠0)．【解】 (1)原式＝31a·61)(a -＝31)(a --·61)(a -＝21)(a -- (a <0)；(2)原式＝＝(25a·27b)13＝65a 67b(a ，b >0)；(3)原式＝ (b <0)；(4)原式＝.计算下列各式．【精彩点拨】 (1)将负分数指数化为正分数指数，将小数指数化为分数指数； (2)将根式化为分数指数幂．意运算顺序问题.2. 计算或化简．[探究共研型]探究 1 已知21a＋21-a＝3，求a ＋a －1的值．【提示】 (21a＋21-a)2＝9，∴a ＋a －1＝7.探究 2 在探究1的条件下，求a 2＋a －2的值． 【提示】 (a ＋a －1)2＝49，∴a 2＋a －2＝47.已知32a ＋b ＝1，求9a×3b3a 的值． 【精彩点拨】 应先化成同底数幂的形式．解决此类问题的思路步骤如下：[再练一题]3. 若x >0，y >0，且x －xy －2y ＝0，求2x －xyy ＋2xy的值.【导学号：04100042】【解】 ∵x －xy －2y ＝0，x >0，y >0， ∴(x )2－xy －2(y )2＝0， ∴(x ＋y )(x －2y )＝0， 由x >0，y >0得x ＋y >0， ∴x －2y ＝0，∴x ＝4y ， ∴2x －xy y ＋2xy ＝8y －2y y ＋4y ＝65.1. 下列各式正确的是( ) A ．(3a )3＝aB ．(47)4＝－7C ．(5a )5＝|a | D.6a 6＝a【解析】 (47)4＝7，(3a )3＝a ，(5a )5＝a ，6a 6＝|a |，故选A. 【答案】 A2. 计算51)2431(的结果等于( )A.19B.13 C ．±13D ．－13【解析】51)2431(＝＝13. 【答案】 B3. (1)3a 5＝________. (2)32-a＝________.【解析】 (1)3a 5＝35a.(2) 32-a＝321a＝13a2. 【答案】 (1)35a(2)13a 24. 3227－2116-－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2－32)278(-＝________. 【导学号：04100043】【答案】5 25. 化简：．【解】原式＝。
新教材高中数学第4章指数函数对数函数与幂函数章末综合提升学案含解析新人教B版必修第二册
新教材高中数学学案含解析北师大版必修第二册：第4章 指数函数、对数函数与幂函数(教师独具)类型1 指数、对数的运算问题解决这类问题首先要熟练掌握指数式和对数式的积、商、幂、方根的运算法则，熟练掌握各种变形．如N 1b＝a ，a b ＝N ，log a N ＝b (其中N >0，a >0，a ≠1)是同一数量关系的不同表示形式，因此在许多问题中要能熟练进行它们之间的相互转化，选择适合题目的形式进行运算．【例1】 (1)若x log 23＝1，则3x ＋9x 的值为( ) A ．6 B ．3 C ．52D ．12(2)已知2a ＝5b ＝c ，1a ＋1b＝1，则c ＝________.(1)A (2)10 [(1)由x log 23＝1得x ＝log 32，所以3x＋9x＝3log 32＋(3log 32)2＝2＋4＝6.(2)由2a ＝5b ＝c ，得a ＝log 2c ，b ＝log 5c ，1a ＋1b ＝1log 2c ＋1log 5c＝log c 2＋log c 5＝log c 10＝1，所以c ＝10.][跟进训练]1．求值：(1)⎝⎛⎭⎫21412－(－9.6)0－⎝⎛⎭⎫338－23＋(1.5)－2； (2)log 2512·log 45－log 133－log 24＋5log 52.[解] (1)原式＝⎝⎛⎭⎫9412－1－⎝⎛⎭⎫278－23＋⎝⎛⎭⎫32－2 ＝32－1－⎝⎛⎭⎫32－2＋⎝⎛⎭⎫232＝32－1－49＋49＝12.(2)原式＝－12log 52·12log 25＋log 33－2log 22＋2＝－14＋1－2＋2＝34.类型2 函数图像与性质的应用指数函数、对数函数、幂函数是中学数学中重要的函数，它们的图像和性质是考查的重点，应熟练掌握图像的画法及形状，熟记性质，特别要注意指数函数与对数函数的底数在取不同值时，对图像和性质的影响．【例2】 当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(1,2] D ．⎝⎛⎭⎫0，12 C [设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图像在f 2(x )＝log a x 的下方即可，当0<a <1时，显然不成立．当a >1时，如图，要使在(1,2)上，f 1(x )＝(x －1)2的图像在f 2(x )＝log a x 的下方，只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2.∴log a 2≥1，∴1<a ≤2，故选C ．] [跟进训练]2．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x.(1)画出函数f (x )的图像；(2)根据图像写出f (x )的单调区间，并写出函数的值域． [解] (1)先作出当x ≥0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x的图像，利用偶函数的图像关于y 轴对称，再作出f (x )在x ∈(－∞，0)时的图像．(2)函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．类型3 数的大小比较问题比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，最基本的方法是将需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较．【例3】 (1)已知a ＝log 20.3，b ＝20.3，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．b ＞c ＞aD ．c ＞b ＞a (2)设a ＝log 132，b ＝log 123，c ＝⎝⎛⎭⎫130.3，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c (1)C (2)D [(1)∵a ＝log 20.3＜log 21＝0，b ＝20.3＞20＝1,0＜c ＝0.30.2＜0.30＝1，∴b ＞c ＞a .故选C ．(2)∵a ＝log 132＜0，b ＝log 123＜0，log 132＞log 133，log 133＞log 123，c ＝⎝⎛⎭⎫130.3＞0.∴b ＜a ＜c .故选D ．][跟进训练]3．已知0＜a ＜1，x ＝log a 2＋log a 3，y ＝12log a 5，z ＝log a 21－log a 3，则( )A ．x ＞y ＞zB ．z ＞y ＞xC ．y ＞x ＞zD ．z ＞x ＞yC [依题意，得x ＝log a 6，y ＝log a 5，z ＝log a 7.又0＜a ＜1，5＜6＜7，因此有log a 5＞log a 6＞log a 7，即y ＞x ＞z .]类型4 分类讨论思想所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略．分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全面，明确分类的标准，不重不漏地分类讨论．在初等函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据函数的图像和性质，依据函数的单调性分类讨论，使得求解得以实现．【例4】 已知函数f (x )＝x －2m 2＋m ＋3(m ∈N )为偶函数，且f (3)<f (5)． (1)求m 的值，并确定f (x )的解析式；(2)若g (x )＝log a [f (x )－ax ](a >0，且a ≠1)在[2,3]上为增函数，求实数a 的取值范围． [思路探究] (1)结合f (3)<f (5)，与函数f (x )的奇偶性，分类讨论确定m 的值及f (x )的解析式．(2)由g (x )为增函数，结合a 讨论，求出a 的取值范围． [解] (1)由f (3)<f (5)，得3－2m 2＋m ＋3<5－2m 2＋m ＋3， ∴⎝⎛⎭⎫35－2m 2＋m ＋3<1＝⎝⎛⎭⎫350. ∵y ＝⎝⎛⎭⎫35x为减函数，∴－2m 2＋m ＋3>0，解得－1<m <32.∵m ∈N ，∴m ＝0或1．当m ＝0时，f (x )＝x －2m 2＋m ＋3＝x 3为奇函数，不合题意； 当m ＝1时，f (x )＝x －2m 2＋m ＋3＝x 2为偶函数． 综上，m ＝1，此时f (x )＝x 2.(2)由(1)知，当x ∈[2,3]时，g (x )＝log a (x 2－ax )．①当0<a <1时，y ＝log a u 在其定义域内单调递减，要使g (x )在[2,3]上单调递增，则需u (x )＝x 2－ax 在[2,3]上单调递减，且u (x )>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≥3，u (3)＝32－3a >0，无解； ②当a >1时，y ＝log a u 在其定义域内单调递增，要使g (x )在[2,3]上单调递增，则需u (x )＝x 2－ax 在[2,3]上单调递增，且u (x )>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，u (2)＝22－2a >0，解得a <2. ∴实数a 的取值范围为(1,2)． [跟进训练]4．设a >0且a ≠1，若P ＝log a (a 3＋1)，Q ＝log a (a 2＋1)，试比较P ，Q 的大小． [解] 当0<a <1时，有a 3<a 2，即a 3＋1<a 2＋1． 又当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，即P >Q ； 当a >1时，有a 3>a 2，即a 3＋1>a 2＋1． 又当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增， ∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，即P >Q . 综上可得P >Q .类型5 函数与方程思想【例5】 若函数f (x )＝10|lg x |－a 有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <1 B ．a >1 C ．a ≤1D ．a ≥1B [若函数f (x )＝10|lg x |－a 有两个零点，则10|lg x |－a ＝0有两个实数根，即10|lg x |＝a 有两个实数根，转化为函数y ＝10|lg x |与y ＝a 图像有两个不同的交点，为此只要画出y ＝10|lg x |的图像即可． 当x ≥1时，lg x ≥0，y ＝10|lg x |＝10lg x ＝x ； 当0<x <1时，lg x <0，y ＝10|lg x |＝10－lg x＝1x， 所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x，0<x <1．这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出，如图．依题意，得a >1．][跟进训练]5．若关于x 的方程|x －2|(x ＋1)－m ＝0至少有两个实数根，则实数m 的取值范围是________．⎣⎡⎦⎤0，94 [若关于x 的方程|x －2|(x ＋1)－m ＝0至少有两个实数根，则|x －2|(x ＋1)＝m 至少有两个实数根，即函数y ＝|x －2|(x ＋1)与y ＝m 的图像至少有两个交点．当x ≥2时，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝⎝⎛⎭⎫x －122－94， 当x <2时，即x －2<0时， y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋94，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x －122－94，x ≥2，－⎝⎛⎭⎫x －122＋94，x <2.这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出，如图．依题意，得0≤m ≤94.](教师独具)1．(2020·全国卷Ⅰ)设a log 34＝2，则4－a ＝( ) A ．116B ．19C ．18D ．16B [法一：因为a log 34＝2，所以log 34a ＝2，则有4a ＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19，故选B ．法二：因为a log 34＝2，所以－a log 34＝－2，所以log 34－a ＝－2，所以4－a ＝3－2＝132＝19，故选B ．]2．(2020·全国卷Ⅲ)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K 1＋e－0.23(t －53)，其中K 为最大确诊病例数．当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln19≈3)( )A ．60B ．63C ．66D ．69C [由题意可知，当I (t *)＝0.95K 时，K 1＋e－0.23(t *－53)＝0.95K ，即10.95＝1＋e －0.23(t *－53)，e －0.23(t *－53)＝119，e 0.23(t *－53)＝19，∴0.23(t *－53)＝ln 19≈3，∴t *≈66.故选C ．] 3．(2020·全国卷Ⅲ)设a ＝log 32，b ＝log 53，c ＝23，则( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜bA [ ∵23＜32，∴2＜323，∴log 32＜log 3323＝23，∴a ＜c .∵33＞52，∴3＞523，∴log 53＞log 5523＝23，∴b ＞c ，∴a ＜c ＜b ，故选A ．]4．(2020·天津高考)设a ＝30.7，b ＝⎝⎛⎭⎫13－0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜bD [由题知c ＝log 0.70.8<1，b ＝⎝⎛⎭⎫13－0.8＝30.8，易知函数y ＝3x 在R 上单调递增，所以b ＝30.8>30.7＝a >1，所以c <a <b ，故选D ．]5．(2020·全国卷Ⅱ)若2x －2y ＜3－x －3－y ，则( ) A ．ln(y －x ＋1)＞0 B ．ln(y －x ＋1)＜0 C ．ln|x －y |＞0D ．ln|x －y |＜0A [由2x －2y <3－x －3－y ，得2x －3－x <2y －3－y ，即2x －⎝⎛⎭⎫13x <2y －⎝⎛⎭⎫13y.设f (x )＝2x －⎝⎛⎭⎫13x ，则f (x )<f (y )．因为函数y ＝2x在R 上为增函数，y ＝－⎝⎛⎭⎫13x 在R 上为增函数，所以f (x )＝2x －⎝⎛⎭⎫13x在R 上为增函数，则由f (x )<f (y )，得x <y ，所以y －x >0，所以y －x ＋1>1，所以ln(y －x ＋1)>0，故选A ．]6．(2020·北京高考)函数f (x )＝1x ＋1＋ln x 的定义域是________．(0，＋∞) [函数f (x )＝1x ＋1＋ln x 的自变量满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，x ＞0，∴x ＞0，即定义域为(0，＋∞)．]。
【高中】高中数学第三章指数函数和对数函数章末检测北师大版必修1
【关键字】高中2016-2017学年高中数学第三章指数函数和对数函数章末检测北师大版必修1班级__________ 姓名__________ 考号__________ 分数__________ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．函数y＝的值域是( )A．(0,1] B．[1，＋∞)C．(0,1) D．(1，＋∞)答案：A解析：由题意得0<≤0＝1.2．已知函数f(x)＝ln |x－1|，则f(x)( )A．在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上都是增函数B．在区间(－∞，1)上是增函数，在区间(1，＋∞)上是减函数C．在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上都是减函数D．在区间(－∞，1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数答案：D解析：∵|x－1|在区间(－∞，1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数，y＝ln x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)在区间(－∞，1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数．3．若函数f(x)＝，则f[f(－3)]＝( )A．2 B．3C．4 D．5答案：B解析：f(－3)＝(－3)2－1＝8，所以f[f(－3)]＝f(8)＝log28＝3.4．不等式x>x－1的解集是( )A．(－1，＋∞) B.C．(－∞，－1) D．(－∞，－2)答案：C解析：2x<x－1，x<－1.5．已知a＝log20.6，b＝20.2，c＝log2，则( )A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．a<c<b答案：D解析：∵a＝log20.6<0，b＝20.2>1，c＝log2＝，∴a<c<b.6．函数f(x)＝的定义域是( )A. B.C. D.答案：A解析：log0.5(3－4x)≥0,0<3－4x≤1，≤x<.7．函数y＝是奇函数，则实数a＝( )A．1 B．0C．－1 D．任意实数答案：A解析：f(0)＝(1－a)＝0，∴a＝1.16.如右图，开始时，桶1中有a L 水，t min 后剩余的水符合指数衰减曲线y 1＝a e －nt，那么桶2中水就是y 2＝a －a e －nt，假设过5 min 时，桶1和桶2的水相等，则再过________ min 桶1中的水只有a8L.答案：10解析：由题意，5 min 后，y 1＝a e －5n，y 2＝a －a e－5n，y 1＝y 2，∴n ＝15ln2.设再过t min桶1中的水只有a8L ，则y 1＝a e－n (5＋t )＝a8，解得t ＝10. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)(1)计算：3－63＋41－34＋80.25×42＋125÷425.(2)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18.解：(1)原式＝－6＋(3－1)＋(23)14×214＋53224-＝－6＋3－1＋2＋5＝ 3.(2)解法一：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg (32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.解法二：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝lg 14－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝ ⎛⎭⎪⎫732×18＝lg 1＝0.18．(12分)现有命题P 和Q 如下． P ：函数y ＝c x 在R 上单调递减．Q ：函数f (x )＝ln(2x 2＋4x ＋1c)的值域为R .如果P 和Q 中有且只有一个命题是真命题，求非负实数c 的取值范围．解：函数y ＝c x在R 上单调递减⇔0<c <1.函数f (x )＝ln(2x 2＋4x ＋1c )的值域为R ⇔Δ＝42－4×2·1c ≥0，所以1c≤2，又c >0，所以c ≥12.根据题设可知，命题P 和Q 有且仅有一个正确．(1)如果P 正确，Q 不正确，则0<c <12；(2)如果Q 正确，P 不正确，则c ≥1.所以，正数c 的取值范围为(0，12)∪[1，＋∞)．19．(12分)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋a x ，a ∈R . (1)求函数的定义域；(2)是否存在实数a ，使得f (x )为偶函数．解：(1)由2x－1≠0，得x ≠0，即函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)在定义域内任取x ，由f (x )－f (－x )＝0得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋a x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x －1＋a (－x )＝0. 所以2a ＝－12－x －1－12x －1＝1，解得a ＝12.存在实数a ＝12，使得f (x )－f (－x )＝0成立，即使得f (x )为偶函数．20．(12分)已知函数f (x )＝log 2(1－x )，g (x )＝log 2(x ＋1)，设F (x )＝f (x )－g (x )． (1)判断函数F (x )的奇偶性； (2)证明函数F (x )是减函数．解：(1)F (x )＝f (x )－g (x )＝log 2(1－x )－log 2(x ＋1)＝log 21－x1＋x.由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，得－1<x <1.∴函数F (x )的定义域为(－1,1)．∴函数F (x )的定义域关于原点对称，又∵F (－x )＝log 21＋x 1－x ＝－log 21－x1＋x＝－F (x )．∴函数F (x )为奇函数．(2)由(1)知函数F (x )的定义域为(－1,1)，任取－1<x 1<x 2<1，则log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 11＋x 1－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21＋x 2＝log 21－x 11＋x 21＋x 11－x 2＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x 2－x 1x 21＋x 1－x 2－x 1x 2. 又(1－x 1＋x 2－x 1x 2)－(1＋x 1－x 2－x 1x 2)＝2(x 2－x 1)>0，所以1－x 1＋x 2－x 1x 21＋x 1－x 2－x 1x 2>1，所以log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 11＋x 1－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21＋x 2>0，即log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 11＋x 1>log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21＋x 2，所以函数F (x )是减函数．21．(12分)求函数y ＝(12)212x x ＋－的值域和单调区间．解：令t ＝1＋2x －x 2，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t，而t ＝－(x －1)2＋2≤2，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.即所求的函数的值域是[14，＋∞)．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12212x x ＋－在(－∞，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．22．(12分)已知函数f (x )＝log a 1－m x －2x －3(a >0，a ≠1)，对定义域内的任意x 都有f (2－x )＋f (2＋x )＝0成立．(1)求实数m 的值；(2)若当x ∈(b ，a )时，f (x )的取值范围恰为(1，＋∞)，求实数a ，b 的值．解：(1)由f (x )＝log a 1－m x －2x －3及f (2－x )＋f (2＋x )＝0对定义域内任意x 都成立，可得：log a 1－m [2－x －2]2－x －3＋log a 1－m [2＋x －2]2＋x －3＝0.解得m ＝±1.当m ＝1时，函数f (x )无意义，所以，只有m ＝－1.(2)m ＝－1时，f (x )＝log a 1－m x －2x －3＝log a x －1x －3(a >0，a ≠1)，其定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．所以，(b ，a )⊆(－∞，1)或(b ，a )⊆(3，＋∞)． ①若(b ，a )⊆(3，＋∞)，则3≤b <a . 为研究x ∈(b ，a )时f (x )的值域，可考虑f (x )＝log a x －1x －3在(3，＋∞)上的单调性．下证f (x )在(3，＋∞)上单调递减． 任取x 1，x 2∈(3，＋∞)，且x 1<x 2，则 x 1－1x 1－3－x 2－1x 2－3＝2x 2－x 1x 1－3x 2－3>0. 又a >1，所以log a x 1－1x 1－3>log a x 2－1x 2－3，即f (x 1)>f (x 2)．所以当(b ，a )⊆(3，＋∞)时，f (x )在(3，＋∞)上单调递减．由题：当x ∈(b ，a )时，f (x )的取值范围恰为(1，＋∞)，所以，必有b ＝3且f (a )＝1，解得a ＝2＋3(因为a >3，所以舍去a ＝2－3)．②若(b ，a )⊆(－∞，1)，则b <a ≤1.又由于a >0，a ≠1，所以0<a <1. 此时，同上可证f (x )在(－∞，1)上单调递增(证明过程略)．所以，f (x )在(b ，a )上的取值范围为(f (b )，f (a ))，而f (a )为常数，故f (x )的取值范围不可能恰为(1，＋∞)．所以，在这种情况下，a ，b 无解．综上，符合题意的实数a ，b 的值为a ＝2＋3，b ＝3.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
高中数学章末质量检测四幂函数指数函数和对数函数湘教版必修第一册
章末质量检测(四) 幂函数、指数函数和对数函数考试时间：120分钟 满分：150分一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知a>0，则a 14 ·a －34等于( ) A ．a －12B ．a －316C ．a 13 D ．a2．方程2x －1＋x ＝5的解所在的区间是( )A ．()0，1B ．()1，2C ．()2，3D ．()3，43．函数y ＝lg x ＋lg (5－3x)的定义域是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，53 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，53 C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，534．设a ＝log 20.3，b ＝30.2，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a5．函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x 2－1的单调递增区间为( )A ．(]－∞，0B ．[)0，＋∞C ．()－1，＋∞D ．()－∞，－16．函数f(x)＝e x ＋1|x|（e x－1）(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( )7．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻．若2x＝52，lg 2＝0.301 0，则x 的值约为( )A ．1.322B ．1.410C ．1.507D ．1.6698．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ≤0ln()x ＋1，x>0 ，若|f(x)|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2，1]D ．[－2，0]二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．若函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数，则α可能的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 10．下列说法正确的是( ) A ．函数f ()x ＝1x在定义域上是减函数B ．函数f ()x ＝2x－x 2有且只有两个零点C ．函数y ＝2|x |的最小值是1D ．在同一坐标系中函数y ＝2x与y ＝2－x的图象关于y 轴对称11．已知函数f ()x ＝log a x ()a >0，a ≠1图象经过点(4，2)，则下列命题正确的有( ) A ．函数为增函数 B ．函数为偶函数 C ．若x >1，则f (x )>0 D ．若0<x 1<x 2，则f （x 1）＋f （x 2）2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.12．已知函数f (x )＝2x＋log 2x ，且实数a >b >c >0，满足f (a )f (b )f (c )<0，若实数x 0是函数y ＝f (x )的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是( )A ．x 0<aB ．x 0>aC ．x 0<bD ．x 0<c三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．) 13．若幂函数f (x )＝(m 2－m －1)22m mx+的图象不经过原点，则实数m 的值为________．14．已知3a＝5b＝A ，且b ＋a ＝2ab ，则A 的值是________．15．已知函数f (x )＝log a (－x ＋1)(a >0且a ≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0].若函数g (x )＝ax ＋m－3的图象不经过第一象限，则m 的取值范围为________．16．已知函数f (x )＝3|x ＋a |(a ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，则实数a 的值为________；若f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)求下列各式的值： (1)31log 43＋2log 92－log 329(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋π0＋log 223－log 416918.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 2(x ＋3)－2x 3＋4x 的图象在[－2，5]内是连续不断的，对应值表如下：(2)从上述对应填表中，可以发现函数f (x )在哪几个区间内有零点？说明理由．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x，x ∈R .(1)若函数f (x )在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值之和为6，求实数a 的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3，求3x ＋3－x的值．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 4(4x－1). (1)求函数f (x )的定义域；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求f (x )的值域．21．(本小题满分12分)科技创新在经济发展中的作用日益凸显．某科技公司为实现9 000万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到3 000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金总数不超过投资收益的20%.(1)现有三个奖励函数模型：①f (x )＝0.03x ＋8，②f (x )＝0.8x＋200，③f (x )＝100log 20x ＋50，x ∈[3 000，9 000].试分析这三个函数模型是否符合公司要求？(2)根据(1)中符合公司要求的函数模型，要使奖金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到多少万元？22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3.(1)若函数F (x )＝－3f (x )＋10－m 在区间(0，2)内存在零点，求实数m 的取值范围； (2)若函数f (x )＝g (x )＋h (x )，其中g (x )为奇函数，h (x )为偶函数，若x ∈(0，1]时，2ln h (x )－ln g (x )－t ≥0恒成立，求实数t 的取值范围．章末质量检测(四) 幂函数、指数函数和对数函数1．解析：a 14·a －34＝1344a -＝a －12.故选A. 答案：A2．解析： 设f (x )＝2x －1＋x －5，则由指数函数与一次函数的性质可知，函数y ＝2x －1与y ＝x 在R 上都是递增函数，所以f (x )在R 上单调递增，故函数f (x )＝2x －1＋x －5最多有一个零点，而f (2)＝22－1＋2－5＝－1<0，f (3)＝23－1＋3－5＝2>0，根据零点存在定理可知，f (x )＝2x －1＋x －5有一个零点，且该零点处在区间(2，3)内．故选C. 答案：C3．解析：要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧lg x ≥05－3x >0，解得1≤x <53，则函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53.故选C. 答案：C4．解析：a ＝log 20.3<log 21＝0，b ＝30.2>30＝1，c ＝0.30.2<0.30＝1，且0.30.2>0，∴b >c >a . 故选D. 答案：D5．解析：令t ＝x 2－1，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 为单调递减函数，且函数t ＝x 2－1在(]－∞，0上递减，所以函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－1的单调递增区间为(]－∞，0.故选A. 答案：A6．解析：由题意，函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (－x )＝e －x＋1|－x |（e －x －1）＝e x （e －x ＋1）|－x |（e －x －1）e x ＝e x＋1|x |（1－e x）＝－f (x )，即f (x )为奇函数，排除A ，B ；当x →＋∞时，e x＋1e x －1→1，1|x |→0，即x →＋∞时，e x＋1|x |（e x－1）→0，可排除D ， 故选C. 答案：C7．解析：∵2x＝52，∴x ＝log 252＝lg 5－lg 2lg 2＝1－2lg 2lg 2＝1－2×0.301 00.301 0≈1.322.故选A. 答案：A8．解析：作出y ＝||f （x ）的图象如图，由对数函数图象的变化趋势可知，要使ax ≤|f (x )|，则a ≤0，且ax ≤x 2－2x (x <0)，即a ≥x －2对任意x <0恒成立，所以a ≥－2，综上－2≤a ≤0.故选D. 答案：D9．解析：当α＝－1时，幂函数y ＝x －1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，A 不符合；当α＝1时，幂函数y ＝x ，符合题意；当α＝2时，幂函数y ＝x 2的定义域为R 且为偶函数，C 不符合题意；当α＝3时，幂函数y ＝x 3的定义域为R 且为奇函数，D 符合题意．故选BD.答案：BD10．解析：对于A ，f ()x ＝1x在定义域上不具有单调性，故命题错误；对于B ，函数f ()x ＝2x－x 2有三个零点，一个负值，两个正值，故命题错误；对于C ，∵|x |≥0，∴2|x |≥20＝1，∴函数y ＝2|x |的最小值是1，故命题正确； 对于D ，在同一坐标系中，函数y ＝2x与y ＝2－x的图象关于y 轴对称，命题正确． 故选CD.答案：CD11．解析：由题2＝log a 4，a ＝2，故f (x )＝log 2x . 对A ，函数为增函数正确． 对B, f (x )＝log 2x 不为偶函数．对C ，当x >1时， f (x )＝log 2x >log 21＝0成立． 对D ，因为f (x )＝log 2x 往上凸，故若0<x 1<x 2，则f （x 1）＋f （x 2）2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22成立．故选ACD. 答案：ACD12．解析：易知函数f (x )＝2x＋log 2x 在(0，＋∞)为增函数，由f (a )f (b )f (c )<0, 则f (a )，f (b )，f (c )中为负数的个数为奇数，对于选项A ，B ，C 可能成立．故选ABC. 答案：ABC13．解析：由函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋2m 是幂函数， 所以m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2；当m ＝－1时，f (x )＝x －1，图象不经过原点，满足题意； 当m ＝2时，f (x )＝x 8，图象经过原点，不满足题意； 所以m ＝－1. 答案：－114．解析：由 3a＝5b ＝A ，得a ＝log 3A ，b ＝log 5A . 当a ＝b ＝0时，A ＝1，满足条件．当ab ≠0时，由b ＋a ＝2ab ，即1a ＋1b＝2，将a ，b 代入得：1log 3A ＋1log 5A ＝2，即log A 3＋log A 5＝log A 15＝2，得A ＝15， 所以A ＝15或1. 答案：15或115．解析：函数f (x )＝log a (－x ＋1)(a >0且a ≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]. 当a >1时，f (x )＝log a (－x ＋1)单调递减， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＝log a 3＝0，f （0）＝log a 1＝－1，无解；当0<a <1时，f (x )＝log a (－x ＋1)单调递增， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＝log a 3＝－1，f （0）＝log a 1＝0，解得a ＝13.∵g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋m－3的图象不经过第一象限，∴g (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13m－3≤0，解得m ≥－1，即m 的取值范围是[－1，＋∞). 答案：[－1，＋∞)16．解析：(1)∵f (x )＝f (2－x )，取x ＝0得，f (0)＝f (2)， ∴3|a |＝3|2＋a |，即|a |＝|2＋a |，解得a ＝－1；(2)由(1)知f (x )＝3|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ≥1，31－x ，x <1，f (x )在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增． ∵f (x )在[m ，＋∞)上单调递增， ∴m ≥1，m 的最小值为1. 答案：－1 117．解析：(1)原式＝14＋(log 32－log 329)＝14＋2＝94；(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＋log 223－log 243 ＝49＋1＋log 212 ＝49. 18．解析：(1)由题意可知a ＝f (－2)＝log 2(－2＋3)－2·(－2)3＋4·(－2)＝0＋16－8＝8，b ＝f (1)＝log 24－2＋4＝4.(2)∵f (－2)·f (－1)<0，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0， ∴函数f (x )分别在区间(－2，－1)，(－1，0)，(1，2)内有零点．19．解析：(1)f (x )＝2x为R 上的增函数，则f (x )在区间[a ，2a ]上为增函数， ∴f (x )min ＝2a，f (x )max ＝22a，由22a ＋2a ＝6，得22a ＋2a －6＝0，即2a ＝－3(舍去)，或2a＝2，即a ＝1； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3，则21x ＝3，即1x ＝log 23＝lg 3lg 2＝1lg 2lg 3＝1log 32，则x ＝log 32， ∴3x ＋3－x＝3log 32＋3－log 32＝2＋12＝52.20．解析：(1)∵f (x )＝log 4(4x－1)， ∴4x－1>0解得x >0，故函数f (x )的定义域为(0，＋∞). (2)令t ＝4x－1，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，∴t ∈[1，15]， ∴y ＝log 4t ∈[0，log 415]， ∴f (x )∈[0，log 415]，即函数f (x )的值域为[0，log 415].21．解析：(1)由题意符合公司要求的函数f (x )在[3 000，9 000]为增函数， 且对∀x ∈[3 000，9 000]，恒有f (x )≥100且f (x )≤x5.①对于函数f (x )＝0.03x ＋8，当x ＝3 000时，f (3 000)＝98＜100，不符合要求； ②对于函数f (x )＝0.8x＋200为减函数，不符合要求；③对于函数f (x )＝100log 20x ＋50在[3 000，10 000 ]，显然f (x )为增函数，且当x ＝3 000时，f (3 000)>100log 2020＋50≥100； 又因为f (x )≤f (9 000)＝100log 209 000＋50<100log 20160 000＋50＝450；而x 5≥3 0005＝600，所以当x ∈[3 000，9 000]时，f (x )max ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 5min . 所以f (x )≤x5恒成立；因此，f (x )＝100log 20x ＋50为满足条件的函数模型． (2)由100log 20x ＋50≥350得：log 20x ≥3，所以x ≥8 000， 所以公司的投资收益至少要达到8 000万元．22．解析：(1)因为函数f (x )＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3， 所以a 12＝3，解得a ＝3， 则f (x )＝3x，因为x ∈(0，2)，故1＜3x＜9，11 令t ＝3x ，则1＜t ＜9，函数F (x )＝－3f (x )＋10－m 在区间(0，2)内存在零点，即函数G (t )＝－3t ＋10－m 在区间(1，9)内有零点，所以G (1)·G (9)＜0，即(7－m )(－17－m )＜0，解得－17＜m ＜7，所以实数m 的取值范围为(－17，7)；(2)由题意可得，函数f (x )＝g (x )＋h (x )，其中g (x )为奇函数，h (x )为偶函数，可得⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝g （x ）＋h （x ）＝3xf （－x ）＝g （－x ）＋h （－x ）＝3－x ，即⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋h （x ）＝3x －g （x ）＋h （x ）＝3－x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＝3x －3－x 2h （x ）＝3x＋3－x 2， 因为2ln h (x )－ln g (x )－t ≥0，所以t ≤ln h 2（x ）g （x ）＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3－x 223x －3－x 2＝ln （3x －3－x ）2＋42（3x －3－x ），设a ＝3x －3－x ，因为0＜x ≤1，且a ＝3x －3－x 在R 上为单调递增函数，所以0＜a ≤83，所以t ≤ln a 2＋42a ＝ln ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋4a ，因为a ＋4a ≥2a ·4a ＝4， 当且仅当a ＝4a ，即a ＝2时取等号，所以t ≤ln 2，故实数t 的取值范围为(－∞，ln 2].。
2018版高中数学第三章指数函数和对数函数章末分层突破学案北师大版
第三章指数函数和对数函数[自我校对] ①na m②1na m③ar ＋s④a rs⑤a r b r⑥R ⑦(0，＋∞) ⑧(0,1) ⑨0⑩1⑪log a M ＋log a N ⑫log a M －log a N ⑬n log a M1. 题类型，也是高考的必考内容．2. 指数式的运算首先要注意化简顺序，一般将负指数先转化成正指数、根式化为指数运算，其次若出现分式则要注意对分子、分母进行因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价．运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．计算：(1)lg 52＋23lg 8＋lg 5lg 20＋(lg 2)2；(2) .【精彩点拨】 利用对数的运算法则，指数的运算法则化简求值． 【规范解答】 (1)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(1＋lg 2)＋(lg 2)2＝2(lg 2＋lg 5)＋lg 5＋lg 2×lg 5＋(lg 2)2＝2＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2) ＝2＋lg 5＋lg 2＝3.[再练一题]1. (2016·浙江高考) 已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b＝________.【解析】 ∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52，∴log a b ＝2或12.∵a >b >1，∴log a b <log a a ＝1， ∴log a b ＝12，∴a ＝b 2.∵a b ＝b a ，∴(b 2)b ＝bb 2，∴b 2b ＝bb 2， ∴2b ＝b 2，∴b ＝2，∴a ＝4. 【答案】 4 2(1)指(对)数函数的性质，图像的形状及图像的变换． (2)指(对)数函数图像过定点问题．(3)指数(对数)函数的单调性，复合函数的单调区间、定义域、值域及最值问题． (4)指(对)数函数与其他知识的综合问题．由于指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)，对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像与性质都与a 的取值有密切的关系，a 变化时，函数的图像与性质也随之改变．因此，在求解问题时，当a 的值不确定时，要对它进行分类讨论．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.图31(1)画出函数f (x )的图像；(2)根据图像写出f (x )的单调区间，并写出函数的值域．【精彩点拨】 利用偶函数图像关于y 轴对称，作出函数f (x )的图像．【规范解答】 (1)先作出当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图像，利用偶函数的图像关于y 轴对称，再作出f (x )在x ∈(－∞，0)时的图像．(2)函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]． [再练一题]2. 当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C.()1，2 D.()2，2【解析】 易知0<a <1，则函数y ＝4x与y ＝log a x 的大致图像如图，则只需满足log a 12>2，解得a >22， ∴22<a <1，故选B.【答案】 B(1)常用方法：单调性法、图像法、中间量法． (2)技巧：①当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．②比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”“大于等于0小于等于1”“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．如果0<a <1，那么下列不等式中正确的是( )A ．B ．log (1－a )(1＋a )>0C ．(1－a )3>(1＋a )2D ．(1－a )1＋a >1(2)设a >1，则log 0.2a,0.2a，a 0.2的大小关系是( ) A ．0.2a <a 0.2<log 0.2a B ．log 0.2a <0.2a <a 0.2C ．a 0.2<log 0.2a <0.2aD ．0.2a<log 0.2a <a 0.2【精彩点拨】 利用指数，对数的单调性或借助中间值比较大小．【规范解答】 (1)A 中，因为0<a <1，所以0<1－a <1，故；B中，log (1－a )(1＋a )<log (1－a )1＝0；C 中(1－a )3<1<(1＋a )2；D 中(1－a )(1＋a )<(1－a )0＝1.故选A.(2)因为a >1，故log 0.2a <log 0.21＝0,0<0.2a <0.20＝1，a 0.2>a 0＝1. 故log 0.2a <0.2a<a 0.2. 【答案】 (1)A (2)B [再练一题]3. (1)已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)内的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫ln 13，b ＝f (log 43)，c ＝f (0.41.2)，则a ，b ，c 的大小关系是________．【解析】 (1)在同一直角坐标系中画出指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图像，由图可以看出，若⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，则a <b <0或a ＝b ＝0或a >b >0.故选B.(2)∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)内的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数，且a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 13＝f (－ln 3)＝f (ln 3)． ∵ln 3>ln e＝1，12＝log 42<log 43<log 44＝1,0<0.41.2<12，∴0.41.2<log 43<ln 3，故f (0.41.2)>f (log 43)>f (ln 3)，即c >b >a . 【答案】 (1)B (2)c >b >a已知偶函数f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＝0，求不等式f (log a x )＞0(a ＞0，且a ≠1)的解集．【精彩点拨】 利用函数f (x )的单调性，去掉“f ”，将函数不等式f (log a x )＞0转化为简单的对数不等式，再按a ＞1与0＜a ＜1两种情况求解．【规范解答】 ∵f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝0， ∴f (x )在(－∞，0)上是减函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0. 故若f (log a x )＞0，则有log a x ＞12或log a x ＜－12.①当a ＞1时，由log a x ＞12或log a x ＜－12，得x ＞a 或0＜x ＜a a. ②当0＜a ＜1时，由log a x ＞12或log a x ＜－12，得0＜x ＜a 或x ＞a a. 综上可知，当a ＞1时，f (log a x )＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a a ∪(a ，＋∞)；当0＜a ＜1时，f (log a x )＞0的解集为(0，a )∪⎝⎛⎭⎪⎫a a ，＋∞. [再练一题]4. 已知函数y ＝ax 2－3x ＋3在x ∈[1,3]时有最小值18，求a 的值．【解】 令t ＝x 2－3x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋34，当x ∈[1,3]时，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3. ①若a >1时，则y min ＝a 34＝18，解得a ＝116，与a >1矛盾；②若0<a <1，则y min ＝a 3＝18.解得a ＝12，满足题意．综合①②知，a ＝12.1 .设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x，x <0，则f [f (－2)]＝( )A ．－1 B.14 C.12 D.32【解析】 因为－2<0，所以f (－2)＝2－2＝14>0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－14＝1－12＝12. 【答案】 C2. 已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )【导学号：04100070】A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a【解析】 由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数可知m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1.所以a ＝f (log 0.53)＝2|log 0.53|－1＝2log 23－1＝2，b ＝f (log 25)＝2|log 25|－1＝2log 25－1＝4，c ＝f (0)＝2|0|－1＝0，所以c <a <b .【答案】 C3. (2016·四川高考) 设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0<x <1，ln x ，x >1图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)【解析】 由图象易知P 1，P 2位于f (x )图象的两段上，不妨设P 1(x 1，－ln x 1)(0<x 1<1)，P 2(x 2，ln x 2)(x 2>1)，则函数f (x )的图象在P 1处的切线l 1的方程为y ＋ln x 1＝－1x 1(x －x 1)，即y ＝－x x 1＋1－ln x 1.①则函数f (x )的图象在P 2处的切线l 2的方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝xx 2－1＋lnx 2.②由l 1⊥l 2，得－1x 1×1x 2＝－1，∴x 1x 2＝1.由切线方程可求得A (0,1－ln x 1)，B (0，ln x 2－1)， 由①②知l 1与l 2交点的横坐标x P ＝2－ln x 1－ln x 21x 1＋1x 2＝2x 1＋x 2.∴S △PAB ＝12×(1－ln x 1－ln x 2＋1)×2x 1＋x 2＝2x 1＋x 2＝2x 1＋1x 1.又∵x 1∈(0,1)，∴x 1＋1x 1>2，∴0<2x 1＋1x 1<1，即0<S △PAB <1.【答案】 A4. (2016·全国甲卷) 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x【解析】 函数y ＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.【答案】 D5. 下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( ) A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x【解析】 选项A 中，y ＝11－x 在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数，故y ＝11－x 在(－1,1)上为增函数；选项B 中，y ＝cos x 在(－1,1)上先增后减；选项C 中，y ＝ln(x ＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故y ＝ln(x ＋1)在(－1,1)上为增函数；选项D 中，y ＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，故y ＝2－x在(－1,1)上是减函数．【答案】 D6. (2016·天津高考) 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 【解析】 因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (－x )＝f (x )，且f (x )在(0，＋∞)上单调递减．由f (2|a －1|)＞f (－2)，f (－2)＝f (2)可得2|a －1|＜2，即|a －1|＜12，所以12＜a ＜32. 【答案】 C7. 下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( )A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝3xC ．f (x )＝x 12D ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 【解析】 f (x )＝x 3，f (x ＋y )＝(x ＋y )3≠x 3·y 3，不满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，A 错误．f (x )＝3x ，f (x ＋y )＝3x ＋y ＝3x ·3y ，满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，且f (x )＝3x 是增函数，B 正确．f (x )＝21x ，f (x ＋y )＝21)(y x +≠21x ·21y ，不满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，C 错误．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x ＋y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，但f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 不是增函数，D 错误． 【答案】 B8. 若a ＞b ＞0,0＜c ＜1，则( )A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b【解析】 对于选项A ：log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg c lg b，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.而a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负，∴log a c 与log b c 的大小不能确定．对于选项B ：log c a ＝lg a lg c ，log c b ＝lg b lg c ，而lg a ＞lg b ，两边同乘一个负数1lg c不等号方向改变，∴log c a ＜log c b ，∴选项B 正确．对于选项C ：利用y ＝x c(0＜c ＜1)在第一象限内是增函数，可得a c ＞b c ，∴选项C 错误．对于选项D ：利用y ＝c x (0＜c ＜1)在R 上为减函数，可得c a ＜c b ，∴选项D 错误，故选B.【答案】 B9. 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图32所示，则下列函数图像正确的是( )图32【解析】 由题意y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图像过(3,1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，显然图像错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图像可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图像不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图像与y ＝log 3x 的图像关于y 轴对称，显然不符，故选B.【答案】 B10. 已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图像如图33，则下列结论成立的是( )图33A ．a >1，c >1B ．a >1,0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1,0<c <1 【解析】 由对数函数的图像和性质及函数图像的平移变换知0<a <1,0<c <1.【答案】 D11. 在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x ≥0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )【解析】 方法一：当a >1时，y ＝x a 与y ＝log a x 均为增函数，但y ＝x a 递增较快，排除C ；当0<a <1时，y ＝x a 为增函数，y ＝log a x 为减函数，排除A ，由于y ＝x a 递增较慢，所以选D.方法二：幂函数f (x )＝x a 的图像不过(0,1)点，排除A ；B 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图像知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图像应是增长越来越慢的变化趋势，故B 错，D 对；C 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图像知a >1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图像应是增长越来越快的变化趋势，故C 错．【答案】 D12. 2－3, 213，log 25三个数中最大的数是________．【解析】 因为2－3＝123＝18<1,1<213＝3<2，log 25>log 24＝2，所以三个数中最大的数是log 25.【答案】 log 25。
2019-2020年高中数学 第三章指数函数与对数函数复习二教案 北师大版必修1
2019-2020年高中数学第三章指数函数与对数函数复习二教案北师大版必修1[教学目标]1、知识与技能（1）梳理知识网络，建构知识体系．（2）熟练掌握指数函数、对数函数的定义、图像与性质．（3）熟练运用指数函数、对数函数的图像和性质解答问题．2、过程与方法（1）让学生通过复习对指数函数和对数函数有一个总体认识，能够形成知识网络．（2）两种函数的图像和性质对比掌握,解决函数问题要做到数形结合．3、情感．态度与价值观使学生通过复习指数函数、对数函数的图像和性质，培养研究函数问题的思维方法,．[教学重点]: 指数函数、对数函数的图像与性质[教学难点]：指数函数与对数函数的性质．[课时安排]: 1课时[学法指导]：学生动脑、动手总结规律,梳理知识．[讲授过程]【建构知识网络】指数函数的图像与性质对数函数的图像与性质（0，+∞）（0，+∞）R R增函数减函数（1，0）（1，0）例题:一、定义域例1．求下列函数的定义域（1）;（2）解:（1）要使函数有意义,须使,即,因为函数为增函数,所以,所以函数的定义域为（2）要使函数有意义,须使x 1x 1212022,x 12,x 14------≥∴≥∴--≥-∴≤,所以函数的定义域为练习1: 求下列函数的定义域（1）;（2） 二、值域例2．求下列函数的值域（1） （2） （3）分析:要求函数的值域,必须先求函数的定义域,要在函数的定义域范围内求出． 解:（1） 函数的定义域为,指数,所以,函数的值域为;（2）函数有意义,必须,函数的定义域为,因为,所以函数的值域为． （3）要有意义,须使,函数的定义域为,此时真数,所以函数的值域为R 练习2: 求下列函数的值域（1） （2） （3） 解:（1）函数的值域为;（2）函数有意义,则所以函数的定义域为,值域为．（3）函数要有意义,须使,函数的定义域为,函数的值域为R ． 三、单调性例3．已知 ， ,试比较的大小。
解: x x f (x)1log 3log (3x)=+=,, 当,即时,,即, 当,即时, 即 当时, ,所以当时,此时,所以,所以．练习3: 设a 是实数，试证明对于任意a,为增函数 课堂小结:作业:复习参考题A 组8,9,10,122019-2020年高中数学第三章概率教案新人教版必修3一、课时学习目标知识与技能1、掌握随机事件、必然事件、不可能事件的概念。
高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数对数运算法则学案新人教B版必修第二册
4．2.2 对数运算法则【课程标准】理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一 对数的运算性质若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：(1)log a(MN)＝____________，(2)log a MN＝____________，(3)log a M n＝____________(n∈R).状元随笔 对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立 . 例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．知识点二 对数换底公式log a b＝____________(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，b＞0).特别地：log a b·log b a＝________(a＞0，a≠1，b＞0，b≠1)．状元随笔 对数换底公式常见的两种变形(1)log a b·log b a＝1，即1logab＝log b a ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数 .(2)log N n M m＝mnlog N M，此公式表示底数变为原来的n次方，真数变为原来的m次方，所得的对数值等于原来对数值的mn倍．基础自测1．下列等式成立的是( ) A．log2(8－4)＝log28－log24B．log28log24＝log284C．log28＝3log22D．log2(8＋4)＝log28＋log24 2.log49log43的值为( )A．12 B．2 C．32 D．923．2log510＋log50.25＝( )A．0 B．1C．2 D．44．已知ln2＝a，ln3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为________.课堂探究·素养提升——强化创新性题型1 用已知对数表示其他对数[经典例题]例1 用lg x，lg y，lg z表示下列各式：(1)lg (xyz)；(2)lg x y2 z；(3)lg x y3z；(4)lg√xy2z.方法归纳用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：(1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；(2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；(3)注意一些派生公式的使用．跟踪训练1 如果lg2＝m，lg3＝n，则lg12lg15等于( )A．2m+n1+m+nB．m+2n1+m+nC．2m+n1−m+nD．m+2n1−m+n题型2 对数运算性质的应用[经典例题]逆用对数的运算法则合并求值．例2 (1)计算lg2＋lg5＋2log510－log520的值为( ) A．21 B．20 C．2 D．1(2)求值：log2√748＋log212－12log242.方法归纳(1)对于同底的对数的化简，常用方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差).(2)对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg2＋lg5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．跟踪训练2 (1)计算：lg52＋2lg2－(12)−1＝________．利用对数运算性质化简求值．(2)求下列各式的值．①log53＋log51 3；②(lg5)2＋lg2·lg50；③lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.题型3 对数换底公式的应用[经典例题]例3 (1)已知2x＝3y＝a，1x＋1y＝2，则a的值为( )A ．36B ．6C ．2√6D ．√6(2)计算：log 89·log 2732.(3)已知log 189＝a ，18b ＝5，用a ，b 表示log 3645.状元随笔 (1)利用换底公式化简．(2)利用对数运算性质化简求值．方法归纳(1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n 为底的换为a 为底．(2)换底公式的派生公式：log a b ＝log a c ·log c b ；log a n b m ＝mnlog a b .跟踪训练3 (1)式子log 916·log 881的值为( )A ．18 B ．118C ．83D ．38(2)已知log 62＝p ，log 65＝q ，则lg5＝________；(用p ，q 表示)(3)①已知log 147＝a ，14b ＝5，用a ，b 表示log 3528；②设3x＝4y＝36，求2x＋1y的值．状元随笔 (1)方法一 对数式化为指数式，再利用对数运算性质求值．方法二 先求出a、b，再利用换底公式化简求值．(2)利用换底公式化简求值．4．2.2 对数运算法则新知初探·自主学习知识点一(1)log a M＋log a N (2)log a M－log a N (3)n log a M知识点二logcblog c a 1[基础自测]1．解析：由对数的运算性质易知C正确．答案：C2．解析：原式＝log39＝2.答案：B3．解析：原式＝log5102＋log50.25＝log5(102×0.25)＝log525＝2.答案：C4．解析：log32＝ln2ln3＝ab.答案：a b课堂探究·素养提升例1 【解析】 (1)lg (xyz)＝lg x＋lg y＋lg z.(2)lg xy2z＝lg (xy2)－lg z＝lg x＋2lg y－lg z.xy3√lg (xy3)－lg√z＝lg x＋3lg y－12lg z.(4)lg √xy2z＝lg√x－lg (y2z)＝12lg x－2lg y－lg z.跟踪训练1 解析：因为lg2＝m，lg3＝n，所以lg12lg15＝2lg2+lg3lg3+lg5＝2m+nn+1−lg2＝2m+nn+1−m.答案：C例2 【解析】 (1)lg2＋lg5＋2log510－log520＝1＋log510020＝1＋1＝2.(2)原式＝12(log27－log248)＋log23＋2log22－12(log22＋log23＋log27)＝12log27－12log23－12log216＋12log23＋2－12log27－12＝－12.【答案】 (1)C (2)见解析跟踪训练2 解析：(1)lg52＋2lg2－(12)−1＝lg5－lg2＋2lg2－2＝(lg5＋lg2)－2＝1－2＝－1.(2)①log53＋log513＝log5(3×13)＝log51＝0.②(lg5)2＋lg2·lg50＝(lg5)2＋(1＋lg5)lg2＝(lg5)2＋lg2＋lg2·lg5＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝lg5＋lg2＝lg10＝1.③原式＝lg25＋lg823＋lg 102·lg (10×2)＋(lg2)2＝lg25＋lg4＋(lg10－lg2)(lg10＋lg2)＋(lg2)2＝lg100＋(lg10)2－(lg2)2＋(lg2)2＝2＋1＝3.答案：(1)－1 (2)见解析例3 【解析】 (1)因为2x＝3y＝a，所以x＝log2a，y＝log3a，所以1x+1y＝1log2a+1log3a＝log a2＋log a3＝log a6＝2，所以a2＝6，解得a＝±√6.又a＞0，所以a＝√6.(2)log89·log2732＝lg9lg8·lg32lg27＝lg32 lg23·lg25lg33＝2lg33lg2·5lg23lg3＝109.(3)方法一 因为log189＝a，所以9＝18a.又5＝18b，所以log3645＝log2×18(5×9)＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818.又因为log2×1818＝1log18(18×2)＝11+log182＝11+log18189＝11+1−log189＝12−a，所以原式＝a+b 2−a.方法二 ∵18b＝5，∴log185＝b.∴log3645＝log1845log1836＝log18(5×9)log18(4×9)＝log185+log1892log182+log189＝a+b2log18189+log189＝a+b2−2log189+log189＝a+b2−a.【答案】 (1)D (2)(3)见解析跟踪训练3 解析：(1)原式＝log3224log2334＝2log32·43log23＝83.(2)lg5＝log65log610＝qlog62+log65＝qp+q.(3)①∵log147＝a，14b＝5，∴b＝log145.∴log3528＝log1428log1435＝log141427 log14(5×7)＝log14142−log147log145+log147＝2−aa+b.②∵3x＝36，4y＝36，∴x＝log336，y＝log436，∴1 x ＝1log336＝1log3636log363＝log363，1 y ＝1log436＝1log3636log364＝log364，∴2x+1y＝2log363＋log364＝log36(9×4)＝1.答案：(1)C (2)qp+q (3)见解析。
高中数学指数函数和对数函数 对数函数的概念 对数函数y=log2x的图像和性质学案含解析北师大版必修
§5对数函数5．1对数函数的概念5．2对数函数y＝log2x的图像和性质知识点一对数函数的有关概念[填一填](1)对数函数：我们把函数y＝log a x(a>0,a≠1)叫作对数函数,a叫作对数函数的底数．(2)常用对数函数与自然对数函数：称以10为底的对数函数y＝lg x为常用对数函数,以无理数e为底的对数函数y＝ln x为自然对数函数．[答一答]1．如何准确理解对数函数的定义？提示：(1)同指数函数一样,对数函数仍然采用形式定义,如y＝2log2x,y＝log2x2等都不是对数函数,只有y＝log a x(a>0,a≠1,x>0)才是．(2)由于指数函数y＝a x(a>0,且a≠1)的定义域是R,值域为(0,＋∞),再根据对数式与指数式的互化过程知道对数函数y＝log a x(a>0,且a≠1)的定义域为(0,＋∞),值域为(－∞,＋∞),它们的定义域和值域互换．知识点二反函数[填一填](1)指数函数y＝a x(a>0,a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0,a≠1)互为反函数,通常情况下,x表示自变量,y表示函数,指数函数y＝a x(a>0,a≠1)是对数函数y＝log a x(a>0,a≠1)的反函数；同时,对数函数y＝log a x(a>0,a≠1)也是指数函数y＝a x(a>0,a≠1)的反函数．互为反函数的图像关于直线y＝x对称．(2)y＝log2x的图像和性质对数函数y＝log2x的图像过点(1,0),函数图像都在y轴右边,表示了0和负数没有对数；当x>1时,y＝log2x的图像位于x轴上方,当0<x<1时,图像位于x轴下方；函数y＝log2x在(0,＋∞)为增函数．[答一答]2．如何正确理解反函数？提示：当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数．深刻理解定义．(1)函数y＝f(x)的反函数常用y＝f－1(x)来表示．(2)函数y＝f(x)与y＝f－1(x)互为反函数．(3)对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数,它们的图像关于直线y＝x对称．(a>0且a≠1)(4)反函数的定义域与值域正好是原来函数的值域与定义域．(5)对于任意一个函数y＝f(x),不一定总有反函数,只有当确定一个函数的映射是一一映射时,这个函数才有反函数．1．对数函数的形式特征(1)整体性：log a x为一个整体,且前面系数为1.(2)独立性：自变量x在真数的位置且为单个x.(3)限制性：底数a是满足a>0且a≠1的常数．2．对反函数的三点说明(1)只有一一映射确定的函数才有反函数,如一次函数y＝kx＋b(k≠0),反比例函数y＝k x(k≠0),指数函数y＝a x(a>0且a≠1),对数函数y＝log a x(a>0且a≠1),它们都是一一映射的函数,都有相应的反函数,而二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0),在整个定义域上没有反函数,因为它在定义域上不是一一映射的函数．(2)反函数也是函数,它具有函数的一切特征；反函数是相对于原函数而言的,函数与它的反函数互为反函数．(3)互为反函数的两个函数的定义域和值域互换,即原函数的定义域和值域分别是反函数的值域和定义域.类型一对数函数的判断【例1】下列函数是对数函数的是________．(1)y＝4x；(2)y＝log x2；(3)y＝－log3x；(4)y＝log0.4x；(5)y＝log(2a－1)x(a>12且a≠1,x是自变量)；(6)y＝log2(x＋1)．【思路探究】在对数函数y＝log a x中,log a x的系数必须是1,对数的底数a是一个大于0而不等于1的常数,对数的真数仅有自变量x.【解析】根据对数函数的定义,只有严格符合y＝log a x(a>0,a≠1,x>0)形式的函数才是对数函数,其中x是自变量,a是常数．易知,(1)式是指数函数；(2)式中的自变量在对数的底数的位置,不是对数函数；(3)式中y＝－log3x,系数不为1,所以不是对数函数；(4)式中y＝log0.4x,自变量x的次数不为1,所以不是对数函数；(5)式中对数的底数2a－1是一个大于0且不等于1的常数,符合对数函数的定义；(6)式中函数在对数的真数处不只有自变量x,而是关于x的表达式x＋1,故不是对数函数．由此可知只有(5)是对数函数．【答案】(5)规律方法判断一个函数是否为对数函数时,要紧扣对数函数解析式的三个特征,三者缺一不可．指出下列函数哪些是对数函数． (1)y ＝log a (x ＋7)； (2)y ＝4log 3x ； (3)y ＝2log a x ＋1； (4)y ＝log 0.2x .解：根据对数函数的定义进行判断．(1)(2)(3)均不是对数函数,它们都是由对数函数经过某种变换而得到的．只有(4)是对数函数．类型二 求对数函数的定义域 【例2】 求下列函数的定义域： (1)y ＝log a (9－x 2)(a >0,a ≠1)；【思路探究】 函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围,使函数有意义的条件可能有多个,对每一个条件都不能漏掉．【解】 (1)由9－x 2>0,得－3<x <3,∴函数y ＝log a (9－x 2)(a >0,a ≠1)的定义域是{x |－3<x <3}．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧16－4x>0，x ＋1>0，x ＋1≠1得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x >－1，x ≠0.∴－1<x <0或0<x <2.∴函数y ＝log (x ＋1)(16－4x )的定义域是{x |－1<x <0或0<x <2}．规律方法 (1)与对数函数有关的定义域问题,首先要考虑真数大于0,底数大于0且不等于1；其次若有偶次根号,则根号下的式子要大于或等于0；若有分母,则分母不能为0.(2)与对数函数有关的值域问题,要先考虑定义域对值域的影响,再由单调性求解．(1)函数f (x )＝1x －1＋lg(10－x )的定义域为( D ) A ．R B ．(－∞,－1)∪(1,＋∞) C ．[1,10]D ．(1,10)解析：由题意可得 x －1>0，10－x >0，解得1<x <10,故定义域为{x |1<x <10}．(2)已知函数f (x )＝lg(ax 2＋2x ＋1),若函数的定义域为R ,求实数a 的取值范围．解：因为f (x )的定义域为R ,所以关于x 的不等式ax 2＋2x ＋1>0的解集为R ,结合二次函数的图像可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，22－4·a ·1<0，解得a >1.类型三 对数函数的值域与最值【例3】 (1)求函数y ＝log 2(x 2－2x －3)的值域；(2)设x ≥0,y ≥0且x ＋2y ＝12,求式子log 2(8xy ＋4y 2＋1)的最大值和最小值．【思路探究】 (1)本题是复合函数,先求函数的定义域以及真数的范围,再求函数的值域；(2)欲求函数的最值,先求真数的最值,将真数的x ,y 统一,并注意自变量的取值范围．【解】 (1)定义域：x 2－2x －3>0,即x >3或x <－1, ∴y ＝log 2(x 2－2x －3)的定义域为(－∞,－1)∪(3,＋∞)． 令u ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4,∴u >0, ∴y ＝log 2u 的值域为R . (2)∵x ＋2y ＝12,∴2y ＝12－x .设P ＝8xy ＋4y 2＋1＝4x (12－x )＋(12－x )2＋1＝－3x 2＋x ＋54＝－3(x －16)2＋43.又∵x ≥0,y ≥0,x ＋2y ＝12,∴12－x ＝2y ≥0,即x ≤12,∴0≤x ≤12,在此范围内,P 的最大值为43,此时x ＝16.P 的最小值为1,此时x ＝12.又∵y ＝log 2x 是增函数,因此式子log 2(8xy ＋4y 2＋1)的最小值是0,最大值是log 243.规律方法 (1)考查复合函数值域的求法,先求定义域,再确定真数的范围,最后根据对数运算求出值域．(2)关键是真数的范围,特别注意的是隐含的自变量的取值范围．求下列函数的值域： (1)y ＝log 2(x ＋3)； (2)y ＝log 2(3－x 2)；(3)y ＝log a (x 2－4x ＋7)(a >0且a ≠1)． 解：(1)令t ＝x ＋3,则y ＝log 2t . ∵t >0,∴y ∈R ,∴此函数的值域为R . (2)令t ＝3－x 2,则0<t ≤3,∴y ≤log 23,∴此函数的值域为(－∞,log 23]． (3)令t ＝x 2－4x ＋7＝(x －2)2＋3≥3.当a >1时,y ≥log a 3,∴此函数的值域为[log a 3,＋∞)； 当0<a <1时,y ≤log a 3,∴此函数的值域为(－∞,log a 3]．类型四 求反函数【例4】 求下列函数的反函数．【思路探究】 根据指数函数y ＝a x (a >0,a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0,a ≠1)互为反函数进行求解．【解】 (1)对数函数y ＝log 4x ,它的底数是4, 它的反函数是指数函数y ＝4x .规律方法 要寻求函数y ＝f (x )的反函数,可以先把x 和y 换位,写成x ＝f (y ),再把y 解出来写成y ＝g (x )的形式,如果这种表达式是唯一确定的,就得到了f (x )的反函数g (x )．求下列函数的反函数： (1)y ＝log 2x ； (2)y ＝(13)x ；(3)y ＝5x ＋1.解：(1)由y ＝log 2x ,得y ∈R ,x ＝2y , 所以f －1(x )＝2x ,x ∈R .类型五 互为反函数图像间的关系【例5】 若点A (1,2)既在函数f (x )＝ax ＋b 的图像上,又在f (x )的反函数的图像上,求a ,b的值．【思路探究】 可由A 关于y ＝x 的对称点A ′(2,1)也在f (x )上,建立a ,b 的方程组求解． 【解析】 依题意可得f (1)＝2,f －1(1)＝2,即f (2)＝1,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝4，2a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝7.即a ＝－3,b ＝7.规律方法 1.互为反函数的图像关于直线y ＝x 对称是反函数的重要性质,由此可得互为反函数图像上任一成对的相应点也关于y ＝x 对称,所以若点(a ,b )在函数y ＝f －1(x )图像上,则点(b ,a )必在其反函数y ＝f (x )图像上．2．根据指数函数与对数函数图像的关系,利用数形结合、等价转化的思想可较为简便地解决有关方程解的个数问题．(1)已知函数y ＝a x ＋b 的图像过点(1,4),其反函数的图像过点(2,0),则a ＝3,b ＝1； 解析：由函数y ＝a x ＋b 的图像过点(1,4),得a ＋b ＝4；由反函数的图像过点(2,0)知原函数的图像必过点(0,2),得a 0＋b ＝2.因此a ＝3,b ＝1.(2)已知f (x )＝1－3x 1＋3x,则f －1⎝⎛⎭⎫45＝－2. 解析：本题的一般解法是先求f －1(x ),再把45代入求值．事实上,根据函数y ＝f (x )与y ＝f －1(x )之间的关系,求y ＝f －1⎝⎛⎭⎫45的值,就是求f (x )＝45时x 的值．解1－3x1＋3x ＝45,得3x ＝19,即x ＝－2,因此f －1⎝⎛⎭⎫45＝－2.——易错误区——忽略指数函数与对数函数的关系而致错【例6】 设方程2x ＋x －3＝0的根为a ,方程log 2x ＋x －3＝0的根为b ,则a ＋b ＝________. 【错解】 0或6【正解】 3 将方程整理得2x ＝－x ＋3,log 2x ＝－x ＋3.如图可知,a 是指数函数y ＝2x 的图像与直线y ＝－x ＋3交点A 的横坐标,b 是对数函数y ＝log 2x 的图像与直线y ＝－x ＋3交点B 的横坐标．由于函数y ＝2x 与y ＝log 2x 互为反函数,所以它们的图像关于直线y ＝x 对称,由题意可得出A 、B 两点也关于直线y ＝x 对称,于是A 、B 两点的坐标为A (a ,b ),B (b ,a )．则A 、B 都在直线y ＝－x ＋3上,∴b ＝－a ＋3(A 点坐标代入),或a ＝－b ＋3(B 点坐标代入),故a ＋b ＝3.【错因分析】 利用数形结合思想得出A 与B 关于直线y ＝x 对称,而误认为a ＋b ＝0或a ＋b ＝6.【防范措施】 1.数形结合思想的应用意识解题时,数形结合思想是常用的数学思想方法,用数形结合分析问题,往往能起到事半功倍的效果,如本例,借助于数形结合分析,很容易得到A ,B 两点的对称关系．2．定义的理解与灵活应用解题时,对一些定义、关系的理解与灵活应用至关重要．如本例,正确理解指数函数与对数函数,两者互为反函数的关系是灵活解题的关键所在．方程2x ＋x ＝2,log 2x ＋x ＝2,2x ＝log 2(－x )的根分别为a ,b ,c ,则a ,b ,c 的大小关系为b >a >c . 解析：在同一坐标系内画出y ＝2x ,y ＝log 2x ,y ＝2－x ,y ＝log 2(－x )的图像．所以b >a >c .一、选择题1．设集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3},集合B 为函数y ＝lg(x －1)的定义域,则A ∩B ＝( D ) A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2)D ．(1,2]解析：本题考查了不等式解法,函数定义域求法,集合中的交集运算．由－3≤2x －1≤3知,－1≤x ≤2,要使函数y ＝lg(x －1)有意义,须x －1>0,即x >1,∴集合A ＝{x |－1≤x ≤2},B ＝{x |x >1},∴A ∩B ＝{x |1<x ≤2},注意求交集时数形结合的运用．2．下列函数中是对数函数的是( A )解析：形如y ＝log a x (a >0,且a ≠1)的函数才是对数函数,只有A 是对数函数,故选A. 3．函数y ＝e x 的图像与函数y ＝f (x )的图像关于直线y ＝x 对称,则( C ) A ．f (x )＝lg x B ．f (x )＝log 2x C ．f (x )＝ln x D ．f (x )＝x e解析：易知y ＝f (x )是y ＝e x 的反函数．∴f (x )＝ln x .故选C. 二、填空题4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x >1，若f (x )＝2,则x ＝log 32.解析：当x ∈(－∞,1]时,f (x )∈(0,3]；当x ∈(1,＋∞)时,f (x )∈(－∞,－1)．∵f (x )＝2,∴3x ＝2⇒x ＝log 32.5．对数函数的图像过点P(9,2),则此对数函数的解析式为y＝log3x.解析：设对数函数为y＝log a x,∴2＝log a9,∴a＝3,∴解析式为y＝log3x.三、解答题6．说出下列各组函数之间是否互为反函数,并说明理由．解：(1),(3)组是,因为它们的定义域、值域互换,对应法则互逆,符合y＝a x与y＝log a x的关系．(2),(4)组不是,因为它们底数不同,不符合y＝a x与y＝log a x的关系．。
2017_2018版高中数学第三章指数函数和对数函数6指数函数幂函数对数函数增加的比较学案北师大版必
6 指数函数、幂函数、对数函数增加的比较学习目标 1.了解三种函数的增加特点.2.初步熟悉“直线上升”“指数爆炸”和“对数增加”.3.尝试函数模型的简单应用．知识点一同类函数增加特点试探一样是增函数，当x从2变到3，y＝2x到y＝10x的纵坐标增加了多少？梳理当a>1时，指数函数y＝a x是增函数，而且当a越大时，其函数值的增加就越快．当a>1时，对数函数y＝log a x是增函数，而且当a越小时，其函数值的增加就越快．当x>0，n>1时，幂函数y＝x n是增函数，而且当x>1时，n越大其函数值的增加就越快．知识点二指数函数、幂函数、对数函数的增加不同试探当x从1变到10，函数y＝2x，y＝x2和y＝lg x的纵坐标增加了多少？梳理一样地，在区间(0，＋∞)上，尽管指数函数y＝a x(a>1)、幂函数y＝x n(n>0)与对数函数y＝log a x(a>1)都是增函数，但它们的增加速度不同，而且不在同一个档次上．随着x的增大，y＝a x(a>1)的增加速度愈来愈快，会远远超过幂函数y＝x n(n>0)的增加速度，而对数函数y＝log a x(a>1)的增加速度愈来愈慢，因此总会存在一个x0，当x>x0时，就有________________________(a>1，n>0)．类型一依照图像判定函数的增加速度例1 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像如下图．设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1，C2别离对应的函数；(2)结合函数图像，判定f(6)，g(6)，f(2 013)，g(2 013)的大小．反思与感悟判定函数的增加速度，一个是从x增加相同量时，函数值的增加量的转变；另一方面，也可从函数图像的转变，图像越陡，增加越快．跟踪训练1 函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如下图．(1)试依照函数的增加不同指出曲线C1，C2别离对应的函数；(2)以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较．类型二函数增加模型的应用例2 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：天天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后天天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后天天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪一种投资方案？反思与感悟直线上升反映了一次函数(一次项系数大于0)的增加趋势，其增加速度不变(恒为常数)；指数爆炸反映了指数函数(底数大于1)的增加趋势，其增加速度急剧(愈来愈快)；对数增加反映了对数函数(底数大于1)的增加趋势，其增加速度平缓(愈来愈慢)．解题时，注意依照各函数的增加类型选择适合的函数模型刻画实际的转变规律．跟踪训练2 某公司为了实现1 000万元的利润目标，预备制定一个鼓励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过5万元，同时资金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？1．当x愈来愈大时，以下函数中，增加速度最快的应是( )A．y＝3x B．y＝log3xC．y＝x3D．y＝3x2．当a>1时，有以下结论：①指数函数y＝a x，当a越大时，其函数值的增加越快；②指数函数y＝a x，当a越小时，其函数值的增加越快；③对数函数y＝log a x，当a越大时，其函数值的增加越快；④对数函数y＝log a x，当a越小时，其函数值的增加越快．其中正确的结论是( )A．①③ B．①④C．②③ D．②④3．某林区的丛林蓄积量每一年比上一年平均增加10.4%，要增加到原先的x倍，需通过y年，那么函数y＝f(x)的图像大致是( )4．当2＜x＜4时，2x，x2，log2x的大小关系是( )A．2x＞x2＞log2x B．x2＞2x＞log2xC．2x＞log2x＞x2D．x2＞log2x＞2x5．某商场2016年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：①f(x)＝p·q x(q>0，q≠1)；②f(x)＝log p x＋q(p>0，p≠1)；③f(x)＝x2＋px＋q.能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)，假设所选函数知足f(1)＝10，f(3)＝2，那么f(x)＝____________.三种函数模型的选取(1)当增加速度转变专门快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增加，但又可不能增加过快，也可不能增加到专门大时，常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝x n(n＞0)，那么能够描述增加幅度不同的转变：n值较小(n≤1)时，增加较慢；n值较大(n＞1)时，增加较快．答案精析问题导学知识点一试探23－22＝4,103－102＝900，即一样是x从2变到3，y＝2x与y＝10x的纵坐标别离增加了4和900.知识点二试探210－21＝1 024－2＝1 022,102－12＝99，lg 10－lg 1＝1，即一样是x从1变到10，y＝2x，y＝x2和y＝lg x的纵坐标别离增加了1 022,99和1.梳理log a x<x n<a x题型探讨例1 解(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，∴1<x1<2,9<x2<10，∴x1<6<x2,2 013>x2.从图像上能够看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，∴f(6)<g(6)．当x>x2时，f(x)>g(x)，∴f(2 013)>g(2 013)．又g(2 013)>g(6)，∴f(2 013)>g(2 013)>g(6)>f(6)．跟踪训练1 解(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x<x1时，g(x)>f(x)；当x1<x<x2时，f(x)>g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．例2 解设第x天所得回报是y元，那么方案一能够用函数y＝40(x∈N＋)进行描述；方案二能够用函数y＝10x(x∈N＋)进行描述；方案三能够用函数y＝0.4×2x－1(x∈N＋)进行描述．要对三个方案作出选择，就要对它们的增加情形进行分析．画出三个函数的图像，如下图，由图可知方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增加情形很不相同．能够看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报别离是方案三的100倍和25倍，但它们的增加量固定不变，而方案三是“指数增加”，但“增加量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增加得快得多，这种增加速度是方案一、方案二所无法企及的．从天天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．下面再看累计的回报数．列表如下：天数回报/元方案1234567891011一40801216020024028032360400440二10306010015021028036450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.811天(含11天)以上，应选择方案三．跟踪训练2 解作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像(如图)．观看图像发觉，在区间[10,1 000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部份在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图像始终在y＝5和y＝0.25x的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．当堂训练1．D 2.B 3.D 4.B 5.③x2－8x＋17。
2017-2018版高中数学 第三章 指数函数和对数函数 2 指数扩充及其运算性质学案 北师大版必修
2 指数扩充及其运算性质学习目标 1.理解分数指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化.2.了解无理数指数幂，理解实数指数幂的运算性质.3.能用实数指数幂运算性质化简、求值．知识点一分数指数幂思考由a2＝22(a>0)易得a＝2＝222，由此你有什么猜想？梳理分数指数幂(1)定义：给定__________a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的__________b，使得____________，我们把b叫作a的____________，记作b＝__________.(2)意义知识点二无理数指数幂思考无理数是无限不循环小数，课本中是如何用有理数指数幂来研究无理数指数幂的？梳理无理数指数幂无理数指数幂aα(a>0，α是无理数) 是一个确定的正实数．至此，指数幂aα的指数取值范围扩充为R.知识点三实数指数幂的运算性质思考1 在实数指数幂a x中，为什么要规定a>0?梳理 一般地，在研究实数指数幂的运算性质时，约定底数为大于零的实数．思考2 初中，我们知道a ≠0，m <n 时有a m a n ＝a －(n －m )(其中m ，n 为正整数)．那么，当a >0，m ，n 为任意实数时，上式还成立吗？梳理 一般地，当a >0，b >0时，有： (1)a m·a n＝am ＋n；(2)(a m )n ＝a mn；(3)(ab )n＝a n b n，其中m ，n ∈R . 知识点四 实数指数幂的化简思考 如何化简(a －1b －1b a)23？梳理 实数指数幂的化简中，先把根式、分式都化为实数指数幂的形式，再利用指数幂运算性质化简．类型一根式与分数指数幂之间的相互转化命题角度1 分数指数幂化根式例1 用根式的形式表示下列各式(x>0，y>0)．(1)25x；(2)53x－.反思与感悟实数指数幂的化简与计算中，分数指数幂形式在应用上比较方便．而在求函数的定义域中，根式形式较容易观察出各式的取值范围，故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容，要切实掌握．跟踪训练1 用根式表示2132x y－(x>0，y>0)．命题角度2 根式化分数指数幂例2 把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0，b>0.(1)5a6；(2)13a2；(3)4b3a2；(4)－a6.反思与感悟指数的概念从整数指数扩充到有理数指数后，当a≤0时，mna有时有意义，有时无意义．如(－1)13＝3－1＝－1，但(－1)12就不是实数了．为了保证在mn取任何有理数时，mna都有意义，所以规定a>0.当被开方数中有负数时，幂指数不能随意约分．跟踪训练2 把下列根式化成分数指数幂．(1) 682；(2) a a(a>0)；(3)b3·3b2；(4)13x5x22.类型二 运用指数幂运算公式化简求值 例3 计算下列各式(式中字母都是正数)． (1)(0.027)23＋(27125)13-－(279)0.5；(2)211511336622(2)(6)(3)a b a b a b ÷－－； (3)111222.m m m m－－＋＋＋反思与感悟 一般地，进行指数幂运算时，可按系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．跟踪训练3 (1)化简：(18)13-×(－76)0＋80.25×42＋(32×3)6；(2)化简：21321111362515()()46xyx y x y －－－；－－ (3)已知1122x x －＋＝5，求x 2＋1x的值．类型三 运用指数幂运算公式解方程例4 已知a >0，b >0，且a b＝b a，b ＝9a ，求a 的值．反思与感悟 指数取值范围由整数扩展到有理数乃至实数，给运算带来了方便，我们可以借助指数运算法则轻松对指数进行变形，以达到我们代入、消元等目的． 跟踪训练4 已知67x ＝27,603y＝81，求3x －4y的值．1．化简238的值为( ) A ．2 B ．4C ．6D ．82．1225等于( )A ．25 B.125 C ．5 D.153．用分数指数幂表示a －b3(a >b )为( )A ．(a －b )12B ．(b －a )12C ．(a －b )32D ．(a －b )234．(36a 9)4等于( )A ．a 16B ．a 8C ．a 4D ．a 25．计算42＋1×22－22的结果是( )A ．32B ．16C ．64D ．1281．指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里面的；无括号的先做指数运算，负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数的运算性质． 2．指数幂的运算原则是：一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算，在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解．答案精析问题导学 知识点一思考 当a >0，b >0时，若a m＝b n，则a ＝n mb (m ，n 为非零整数)． 梳理 (1)正实数 正实数 b n＝a mmn 次幂 m na (2)na m1m na1na m知识点二思考 随着精确度越高，无理数指数幂的不足近似值和过剩近似值都无限趋近于同一个数，这个数即为实数． 知识点三思考1 把指数扩大为全体实数后，若a <0，a x有时没有意义，如(－2)12，为运算方便，规定a >0.思考2 因为指数已扩充为实数，故有a m a n ＝a m ·a －n ＝a m －n.既不必再区分m 、n 的大小，也不必区分a m·a n和a man 了．知识点四思考 (a －1b －1b a)23-＝(a －1·a 12-·b 12-·b －1)23-＝(23233()()32322()().a b ab ab --⨯---==题型探究例1 解 (1)25x ＝5x 2.(2)53x－＝13x 5.跟踪训练1 解 221332121·x y y x －＝＝1x·3y 2.例2 解 (1)5a 6＝65.a(2)13a 2＝23231.aa－＝(3)4b3a2＝⎝⎛⎭⎪⎫b3a214＝32134424.b a a b－－＝(4)－a6＝a6＝62a＝a3.跟踪训练2 解1776212(2)2. ===313224().a a====(3)b3·3b2＝b3·21133.b b＝3591353511.()xx x-======例3 解(1)(0.027)23＋(27125)13-－(279)0.5＝(30.027)2＋312527－259＝0.09＋53－53＝0.09.(2)原式＝[2×(－6)÷(－3)]211115326236a b＋－＋－＝4ab0＝4a.(3)111222m mm m－－＋＋＋＝1111222221122().m mm mm m---+=++.跟踪训练3解(1)原式＝1111131(1)()36623334424481)2(2)(3)223112.⨯⨯⨯⨯⨯－－＋＋(2＋＝2+＋＝(2)21321111362515()()46x yx y x y-----＝5×(－4)×(－65)×2111111()(1)()033226662424.x y x y y⨯－－－－－－－＝＝(3)由12x＋12x－＝5，两边同时平方得x＋2＋x－1＝25，整理得x＋x－1＝23，则有x2＋1x＝23. 例4 解方法一∵a>0，b>0，又a b＝b a，()199aba b a a∴⇒＝＝，∴81829993a a a=⇒=⇒=11 方法二 ∵a b ＝b a ，b ＝9a ，∴a 9a ＝(9a )a ，即(a 9)a ＝(9a )a ，∴a 9＝9a ，a 8＝9，a ＝43.跟踪训练4 解 由67x ＝33，得67＝33x ，由603y ＝81，得603＝34y ， ∴432603393,67y x -===∴4y －3x ＝2，故3x －4y ＝－2.当堂训练1．B 2.D 3.C 4.D 5.B。
2017-2018版高中数学第三章指数函数和对数函数章末复习课学案北师大版必修11
第三章 指数函数和对数函数学习目标 1.构建知识网络；2.进一步熟练指数、对数运算，加深对公式成立条件的记忆；3.以函数观点综合理解指数函数、对数函数、幂函数．1．指数幂、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数幂、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化．2．指数函数和对数函数的性质及图像特点是这部分知识的重点，而底数a 的不同取值对函数的图像及性质的影响则是重中之重，要熟知a 在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时函数的单调性及图像特点．3．应用指数函数y ＝a x和对数函数y ＝log a x 的图像和性质时，若底数含有字母，要特别注意对底数a ＞1和0＜a ＜1两种情况的讨论．4．幂函数与指数函数的主要区别：幂函数的底数为变量，指数函数的指数为变量．因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置从而决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决．5．比较几个数的大小是幂函数、指数函数、对数函数性质应用的常见题型，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较．6．求含有指数函数和对数函数复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图像，观察确定其最值或单调区间．7．函数图像是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图造式、图像变换以及用图像解题．函数图像形象地显示了函数的性质，利用数形结合有时起到事半功倍的效果．类型一 指数、对数的运算 例1 化简：(1)29253328)(10)10;-⨯÷(2)2log 32－log 3329＋log 38－25log 53.反思与感悟指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．跟踪训练1 计算80.25×42＋(32×3)6＋log32×log2(log327)的值为________．类型二数的大小比较例2 比较下列各组数的大小．(1)27,82；(2)log20.4，log30.4，log40.4；(3)1321211 2,log,log.33反思与感悟数的大小比较常用方法：(1)比较两数(式)或几个数(式)的大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数、幂函数图像与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图像法、中间搭桥法、作差法、作商法．(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小．跟踪训练2 比较下列各组数的大小．(1)log0.22，log0.049；(2)a1.2，a1.3；(3)30.4,0.43，log0.43.类型三指数函数、对数函数、幂函数的综合应用命题角度1 函数的性质及应用例3 已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．反思与感悟指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段，构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图像变换等手段化归为基本的指数函数、对数函数、幂函数来研究．跟踪训练3 已知函数f(x)＝log a(1－x)＋log a(x＋3)(0<a<1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值．命题角度2 函数的图像及应用例4 如图，函数f(x)的图像为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )A．{x|－1＜x≤0}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1＜x≤1}D．{x|－1＜x≤2}反思与感悟指数函数、对数函数、幂函数图像既是直接考查的对象，又是数形结合求交点，最值，解不等式的工具，所以要能熟练画出这三类函数图像，并会进行平移、伸缩，对称、翻折等变换．跟踪训练 4 若函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )1．化简2lg lg a1002＋lg lg a为( )A．1 B．2 C．3 D．02．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝x a(x>0)，g(x)＝log a x的图像可能是( )3．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与函数g (x )＝log 12|x |在区间(－∞,0)上的单调性为( )A ．都是增函数B ．都是减函数C ．f (x )是增函数，g (x )是减函数D ．f (x )是减函数，g (x )是增函数4．已知P ＝2－32，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是( )A ．P ＜Q ＜RB ．Q ＜R ＜PC ．Q ＜P ＜RD ．R ＜Q ＜P5．函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1与x 轴交点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．41．函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题．2．从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图像的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图像、性质等方面来考查．答案精析题型探究例1 解 原式＝2239533222(2)(10)10-⨯÷＝2－1×103×1052-＝2－1×1012＝102. (2) 原式＝log 34－log 3329＋log 38－552log 3＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫4×932×8－55log 9＝log 39－9＝2－9＝－7. 跟踪训练1 111解析 ∵log 32×log 2(log 327) ＝log 32×log 23＝lg 2lg 3×lg 3lg 2＝1，∴原式＝314422⨯＋22×33＋1＝21＋4×27＋1＝111. 例2 解 (1)∵82＝(23)2＝26，由指数函数y ＝2x 在R 上递增知26<27，即82<27. (2)∵对数函数y ＝log 0.4x 在(0，＋∞)上是减函数， ∴log 0.44<log 0.43<log 0.42<log 0.41＝0. 又幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是减函数， ∴1log 0.42<1log 0.43<1log 0.44， 即log 20.4<log 30.4<log 40.4. (3) ∵0<132-<20＝1，log 213<log 21＝0，112211log log 1,32>= 1321211log 2log .33-∴<<跟踪训练2 解 (1)∵log 0.049＝lg 9lg 0.04＝lg 32lg 0.22＝2lg 32lg 0.2＝lg 3lg 0.2＝log 0.23.又∵y ＝log 0.2x 在(0，＋∞)上递减， ∴log 0.22>log 0.23，即log 0.22>log 0.049. (2)∵函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)， 当底数a >1时在R 上是增函数； 当底数0<a <1时在R 上是减函数， 而1.2<1.3，故当a >1时，有a 1.2<a 1.3； 当0<a <1时，有a 1.2>a 1.3. (3)30.4>30＝1， 0<0.43<0.40＝1， log 0.43<log 0.41＝0， ∴log 0.43<0.43<30.4.例3 解 (1)当a >0，b >0时，因为a ·2x，b ·3x在R 上都是增函数，所以函数f (x )在R 上是增函数；当a <0，b <0时，因为a ·2x，b ·3x在R 上都是减函数， 所以函数f (x )在R 上是减函数． (2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x＋2b ·3x>0.①当a <0，b >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x>－a 2b ，解得x >log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2b ；②当a >0，b <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x<－a 2b ，解得x <log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b .跟踪训练3 解 (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋3>0，解得－3<x <1，∴定义域为(－3,1)． (2)函数可化为f (x )＝log a [(1－x )(x ＋3)] ＝log a (－x 2－2x ＋3) ＝log a [－(x ＋1)2＋4]．∵－3<x <1，∴0<－(x ＋1)2＋4≤4. ∵0<a <1，∴log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4. 由log a 4＝－2，得a －2＝4，∴a ＝124-＝12. 例4 C [借助函数的图像求解该不等式．令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )的图像如图.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图像知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}．]跟踪训练4 B [由题意得y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像过(3,1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝(13)x ，显然图像错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图像可知正确；选项C 中，y＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图像不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图像与y ＝log 3x 的图像关于y 轴对称．显然不符．故选B.] 当堂训练1．B 2.D 3.D 4.B 5.B。
对数函数的概念 对数函数y=logx的图像和性质 学案 2017-2018学年高中数学 北师大版 必修一
§5 对数函数5．1 对数函数的概念5．2 对数函数y＝log2x的图像和性质1. 理解对数函数的概念以及对数函数与指数函数间的关系．2. 了解指数函数与对数函数互为反函数，并会求指数函数或对数函数的反函数．(难点、易混点)3. 会画具体函数的图像．(重点)[基础·初探]教材整理 1 对数函数的概念阅读教材P89～P90“分析理解”以上部分，完成下列问题．1. 定义一般地，我们把函数y＝log a x(a>0，a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)，值域是R，a叫作对数函数的底数．2. 两类特殊的对数函数常用对数函数：y＝lg x，其底数为10.自然对数函数：y＝ln x，其底数为无理数e.给出下列函数：①y＝x2；②y＝log3(x－1)；③y＝log x＋1x；④y＝logπx.其中是对数函数的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 ①②不是对数函数，因为真数不是只含有自变量x ；③不是对数函数，因为底数不是常数；④是对数函数．故选A. 【答案】 A 教材整理 2 反函数阅读教材P 90从“分析理解”～P 91“练习”间的部分，完成下列问题． 指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)是对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的反函数；同时对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)也是指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的反函数，即指数函数与对数函数互为反函数．函数y ＝x 的反函数是________．【解析】 y ＝x 的反函数是y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x .【答案】 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x教材整理 3 函数y ＝log 2x 的图像和性质 阅读教材P 91～P 93有关内容，完成下列问题.1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝2log 2x 是对数函数．( )(2)函数y ＝3x的反函数是y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.( )(3) 对数函数y ＝log 2x 在(1，＋∞)上是增函数．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√2. log 2π________log 2e.(用“>”“<”填空)【解析】 因为y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，π>e ，故log 2π>log 2e. 【答案】 >[小组合作型](1)y ＝lg(x ＋1)＋3x 21－x ；(2)y ＝log (x －2)(5－x )．【精彩点拨】 由题意列出不等式组，再解不等式组，得出函数的定义域． 【尝试解答】 (1)要使函数有意义， 需⎩⎨⎧ x ＋1>0，1－x >0，即⎩⎨⎧x >－1，x <1， ∴－1<x <1，∴函数的定义域为(－1,1)． (2)要使函数有意义，需⎩⎨⎧5－x >0，x －2>0，x －2≠1，∴⎩⎨⎧x <5，x >2，x ≠3，∴定义域为(2,3)∪(3,5)．求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式(数)非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1.另一种是抽象函数的定义域问题.同时应注意求函数定义域的解题步骤.[再练一题]1. 求下列函数的定义域． (1)y ＝－log 2(1－x )；(2)y ＝lg(x －1)＋log (x ＋1)(16－4x )． 【解】 (1)要使函数有意义， 需有⎩⎨⎧1－x >0，－log 2(1－x )≥0，即⎩⎨⎧x <1，log 2(1－x )≤0， 解得0≤x <1，所以函数的定义域为[0,1)．(2)要使函数有意义，需有⎩⎨⎧x －1>0，16－4x>0，x ＋1>0，x ＋1≠1，即⎩⎨⎧x >1，x <2，x >－1，x ≠0，∴1<x <2，故所求函数的定义域为(1,2).(1)y ＝10x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45x ；(3)y ＝x; (4)y ＝log 7x . 【导学号：04100060】【精彩点拨】 根据指数式与对数式的互化写出．【尝试解答】 (1)指数函数y ＝10x ，它的底数是10，它的反函数是对数函数y ＝lg x .(2)指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45x ，它的底数是45，它的反函数是对数函数y ＝x .(3)对数函数y ＝x ，它的底数是13，它的反函数是指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x .(4)对数函数y ＝log 7x ，它的底数是7，它的反函数是指数函数y ＝7x .反函数的求法： (1)由y ＝a x (或y ＝log a x )，解得x ＝log a y (或x ＝a y )； (2)将x ＝log a y (或x ＝a y )中的x 与y 互换位置，得y ＝log a x (或y ＝a x )； (3)由y ＝a x (或y ＝log a x )的值域，写出y ＝log a x (或y ＝a x )的定义域.[再练一题]2. 求下列函数的反函数． ①y ＝ln x ；②y ＝log 5x ；③y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45x .【解】 ①对数函数y ＝ln x ，底数为e ，它的反函数是y ＝e x ； ②对数函数y ＝log 5x ，底数为5，它的反函数是y ＝5x ； ③指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45x ，底数为45，它的反函数是y ＝x .[探究共研型]探究 1 2【提示】 函数的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }． 函数解析式可化为y ＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，log 2(－x )，x <0，其图像如图所示． (其特征是关于y 轴对称)．探究 2 画出函数y ＝|log 2x |的图像，并写出它的单调区间． 【提示】 y ＝|log 2x |＝⎩⎨⎧－log 2x ， 0<x ≤1，log 2x ， x >1，其图像如图所示，增区间为[1，＋∞)，减区间为(0,1)．根据函数f (x )＝log 2x 的图像和性质求解以下问题： (1)若f (x －1)>f (1)，求x 的取值范围； (2)求y ＝log 2(2x －1)在 x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，52上的最值．【精彩点拨】 可依据y ＝log 2x 的图像，借助函数的单调性解不等式，求最值．【尝试解答】 作出函数y ＝log 2x 的图像如图．(1)由图像知y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数． 因为f (x －1)>f (1)，所以x －1>1，解得x >2，所以x 的取值范围是(2，＋∞)． (2)∵34≤x ≤52，∴12≤2x －1≤4，∴log 212≤log 2(2x －1)≤log 24，所以－1≤log 2(2x －1)≤2， 故函数y ＝log 2(2x －1)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，52上的最小值为－1，最大值为2.函数f (x )＝log 2x 是最基本的对数函数，它在(0，＋∞)上是单调递增的，利用单调性可以解不等式，求函数值域，比较对数值的大小.[再练一题]3. 利用函数f (x )＝log 2x 的图像和性质解决以下问题： (1)比较log 245与log 2 34的大小； (2)若log 2(2－x )>0，求x 的取值范围．【解】 (1)函数f (x )＝log 2x 在(0，＋∞)上为增函数， 又∵45>34，∴log 2 45>log 2 34.(2)log 2(2－x )>0，即log 2(2－x )>log 21， ∵函数y ＝log 2x 为增函数， ∴2－x >1，∴x <1.∴x 的取值范围为(－∞，1)．1. 函数y ＝log a13x ＋7的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－73，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－73D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－73 【解析】 由题意3x ＋7>0，x >－73，故函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，＋∞.【答案】 B2. 函数y ＝log 2(x 2＋2)的值域是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．(－1,0]【解析】 函数y ＝log 2x 是增函数，因为x 2＋2≥2，所以log 2(x 2＋2)≥log 22＝1.故选B.【答案】 B3. 若某对数函数的图像过点(4,2)，则该对数函数的解析式为________． 【解析】 由对数函数的概念可设该函数的解析式为y ＝log a x (a >0，且a ≠1)，则2＝log a 4＝log a 22＝2log a 2，即log a 2＝1，∴a ＝2，故所求函数解析式为y ＝log 2x .【答案】 y ＝log 2x4. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x (x >0)，3x (x ≤0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝________.【导学号：04100061】【解析】 f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 214＝f (－2)＝3－2＝19.【答案】 195. 写出下列函数的反函数： (1)y ＝log 2(2x )；(2)y ＝e 3x .【解】 (1)对数函数y ＝log 2(2x )的底数是2，所以2x ＝2y ，即x ＝12·2y＝2y －1，因此，函数y ＝log 2(2x )的反函数为y ＝2x －1.(2)指数函数y ＝e 3x ，它的底数是e ，所以3x ＝ln y ，取x ＝13 ln y ，所以y ＝e 3x 的反函数是y ＝13ln x (x >0)．。
2017-2018版高中数学第三章指数函数和对数函数3指数函数(二)学案北师大版必修1
3 指数函数(二)学习目标 1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断.2.能借助指数函数性质比较大小.3.会解简单的指数方程、不等式.4.了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法．知识点一 不同底指数函数图像的相对位置思考 y ＝2x与y ＝3x都是增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？梳理 一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图像时，图像的相对位置与底数大小有如下关系：(1)在y 轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过令x ＝1时，y ＝a 去理解，如图．(2)指数函数y ＝a x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax (a ＞0且a ≠1)的图像关于y 轴对称．知识点二 比较幂的大小思考 若x 1＜x 2，则ax 1与ax 2(a ＞0且a ≠1)的大小关系如何？梳理 一般地，比较幂大小的方法有(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的__________来判断．(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的________的变化规律来判断． (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过__________来判断． 知识点三 解指数方程、不等式思考 若a 1x＜a 2x ，则x 1，x 2的大小关系如何？梳理 简单指数不等式的解法 (1)形如af (x )＞ag (x )的不等式，可借助y ＝a x的______________求解．(2)形如af (x )＞b 的不等式，可将b 化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助y ＝a x的__________求解．(3)形如a x＞b x的不等式，可借助两函数y ＝a x，y ＝b x的图像求解． 知识点四 与指数函数复合的函数单调性思考 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 的定义域与y ＝1x 的定义域是什么关系？y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 的单调性与y ＝1x 的单调性有什么关系？梳理 一般地，有形如y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)函数的性质(1)函数y ＝af (x )与函数y ＝f (x )有________的定义域．(2)当a >1时，函数y ＝af (x )与y ＝f (x )具有________的单调性；当0<a <1时，函数y ＝af (x )与函数y ＝f (x )的单调性________．类型一 解指数方程 例1 解下列关于x 的方程．(1)81×32x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫19x ＋2；(2)22x ＋2＋3×2x－1＝0.反思与感悟 (1)af (x )＝b 型通常化为同底来解．(2)解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围．转化为解二次方程，用二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍． 跟踪训练1 解下列方程． (1)33x －2＝81；(2)5x＝325； (3)52x－6×5x＋5＝0.类型二 指数函数单调性的应用 命题角度1 比较大小例2 比较下列各题中两个值的大小． (1)1.7－2.5,1.7－3；(2)1.70.3,1.50.3；(3)1.70.3,0.83.1.反思与感悟 当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1.跟踪训练2 比较下列各题中的两个值的大小． (1)0.8－0.1,1.250.2；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1π－π，1.命题角度2 解指数不等式 例3 解关于x 的不等式：a 2x ＋1≤ax －5(a >0，且a ≠1)．反思与感悟 解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响． 跟踪训练3 已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x，则x 的取值范围是________．命题角度3 与指数函数复合的单调性问题例4 (1)求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122617x x －＋的单调区间； (2)求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋17的单调区间．反思与感悟 复合函数单调性问题归根结底是由x 1<x 2到f (x 1)与f (x 2)的大小，再到g (f (x 1))与g (f (x 2))的大小关系问题．注意在此过程中不等号的变化． 跟踪训练4 求下列函数的单调区间． (1)223;x x y a ＋－ (2)y ＝10.2x－1.1．若a ＝0.512，b ＝0.513，c ＝0.514，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞cB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a2．方程42x －1＝16的解是( )A ．x ＝－32B ．x ＝32C ．x ＝1D ．x ＝23．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1221x －的递增区间为( )A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(－∞，－1)4．设0＜a ＜1，则关于x 的不等式22232223x x x x aa －＋＋－＞的解集为________．5．若指数函数y ＝a x在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a ＝________.1．比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如a m与a n的大小，可运用指数函数y ＝a x的单调性．(2)比较形如a m与b n的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m<c 且c <b n，则a m<b n；若a m>c 且c >b n，则a m>b n .2．解简单指数不等式问题的注意点(1)形如a x>a y的不等式，可借助y ＝a x的单调性求解．如果a 的值不确定，需分0<a <1和a >1两种情况进行讨论．(2)形如a x>b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x的单调性求解．(3)形如a x>b x 的不等式，可借助图像求解． 3．(1)研究y ＝a f (x )型单调区间时，要注意a >1还是0<a <1.当a >1时，y ＝af (x )与f (x )的单调性相同． 当0<a <1时，y ＝af (x )与f (x )的单调性相反．(2)研究y ＝f (a x)型单调区间时，要注意a x属于f (u )的增区间还是减区间．答案精析问题导学 知识点一思考 经描点观察，在y 轴右侧，2x＜3x，即y ＝3x图像在y ＝2x上方，经(0,1)点交叉，位置在y 轴左侧反转，y ＝2x在y ＝3x图像上方． 知识点二思考 当a ＞1时，y ＝a x 在R 上为增函数，所以ax 1＜ax 2， 当0＜a ＜1时，y ＝a x在R 上为减函数，所以ax 1＞ax 2. 梳理 (1)单调性 (2)图像 (3)中间值 知识点三思考 当f (x )在区间[m ，n ]上单调递增(减)时，若x 1，x 2∈[m ，n ]，则f (x 1)＜f (x 2)⇔x 1＜x 2(x 1＞x 2)．所以，当0＜a ＜1时，a 1x＜a 2x ⇔x 1＞x 2，当a ＞1时，a 1x＜a2x ⇔x 1＜x 2.此原理可用于解指数方程、不等式． 梳理 (1)单调性 (2)单调性 知识点四思考 由于y ＝a x(a ＞0且a ≠1)的定义域为R ，故y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 的定义域与y ＝1x 的定义域相同，故研究y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 的单调性，只需在y ＝1x 的定义域内研究．若设0＜x 1＜x 2，则1x 1＞1x 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1211x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1221x ，不等号方向的改变与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝1x 的单调性均有关．梳理 (1)相同 (2)相同 相反 题型探究例1 解 (1)∵81×32x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫19x ＋2，∴32x ＋4＝3－2(x ＋2)，∴2x ＋4＝－2(x ＋2)， ∴x ＝－2. (2)∵22x ＋2＋3×2x－1＝0，∴4×(2x )2＋3×2x－1＝0.令t ＝2x(t ＞0)，则方程可化为4t 2＋3t －1＝0， 解得t ＝14或t ＝－1(舍去)．∴2x＝14，解得x ＝－2.跟踪训练1 解 (1)∵81＝34，∴33x －2＝34，∴3x －2＝4，解得x ＝2. (2)∵5x＝325，∴52x ＝523，∴x 2＝23，解得x ＝43. (3)令t ＝5x，则t >0， 原方程可化为t 2－6t ＋5＝0，解得t ＝5或t ＝1，即5x ＝5或5x＝1， ∴x ＝1或x ＝0.例2 解 (1)∵1.7＞1，∴y ＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数． ∵－2.5＞－3，∴1.7－2.5＞1.7－3.(2)方法一 ∵1.7＞1.5，∴在(0，＋∞)上，y ＝1.7x 的图像位于y ＝1.5x的图像的上方． 而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3. 方法二 ∵1.50.3＞0，且1.70.31.50.3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1.71.50.3， 又1.71.5＞1,0.3＞0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1.71.50.3＞1， ∴1.70.3＞1.50.3.(3)∵1.70.3＞1.70＝1,0.83.1＜0.80＝1， ∴1.70.3＞0.83.1.跟踪训练2 解 (1)∵0＜0.8＜1， ∴y ＝0.8x在R 上是减函数． ∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1，即0.8－0.1＜1.250.2.(2)∵0＜1π＜1，∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1πx在R 上是减函数．又∵－π＜0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1π－π＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1π0＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1π－π＞1. 例3 解 (1)当0<a <1时， ∵a2x ＋1≤ax －5，∴2x ＋1≥x －5，解得x ≥－6. (2)当a >1时，∵a2x ＋1≤ax －5，∴2x ＋1≤x －5，解得x ≤－6.综上所述，当0<a <1时，不等式的解集为{x |x ≥－6}；当a >1时，不等式的解集为{x |x ≤－6}．跟踪训练3 (12，＋∞)解析 ∵a 2＋a ＋2＝(a ＋12)2＋74>1，∴(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x⇔x >1－x ⇔x >12.∴x ∈(12，＋∞)．例4 解 (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122617x x －＋的定义域为R .在(－∞，3]上，y ＝x 2－6x ＋17是减少的，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122617x x －＋在(－∞，3]上是增加的． 在[3，＋∞)上，y ＝x 2－6x ＋17是增加的，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122617x x －＋在[3，＋∞)上是减少的． ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122617x x －＋的增区间是(－∞，3]， 减区间是[3，＋∞)．(2)设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，又y ＝t 2－8t ＋17在(0,4]上递减，在[4，＋∞)上递增．令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤4，得x ≥－2.∴当－2≤x 1<x 2时，4≥⎝ ⎛⎭⎪⎫121x >⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ， 即4≥t 1>t 2，∴t 21－8t 1＋17<t 22－8t 2＋17. ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋17的单调增区间是[－2，＋∞)．同理可得减区间是(－∞，－2]． 跟踪训练4 解 (1)设y ＝a u ，u ＝x 2＋2x －3，由u ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，得u 在(－∞，－1]上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数．当a >1时，y 关于u 为增函数；当0<a <1时，y 关于u 为减函数，∴当a >1时，原函数的增区间为[－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1]；当0<a <1时，原函数的增区间为(－∞，－1]，减区间为[－1，＋∞)．(2)已知函数的定义域为{x |x ≠0}．设y ＝1u －1，u ＝0.2x ，易知u ＝0.2x 为减函数．而根据y ＝1u －1的图像可知在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上，y 是关于u 的减函数，∴原函数的增区间为(－∞，1)和(1，＋∞)． 当堂训练1．B 2.B 3.A4．(1，＋∞)解析 ∵0＜a ＜1，∴y ＝a x 在R 上是减函数，又∵22232223x x x x aa －＋＋－＞， ∴2x 2－3x ＋2＜2x 2＋2x －3，解得x ＞1. 5.5±12解析 若0<a <1，则a －1－a ＝1，即a 2＋a －1＝0，解得a ＝－1＋52或a ＝－1－52(舍去)． 若a >1，则a －a －1＝1，即a 2－a －1＝0，解得a ＝1＋52或a ＝1－52(舍去)． 综上所述a ＝5±12.。
2017-2018学年高中数学(北师大版)必修1 名师讲学稿：第三章 5 对数函数
§5对数函数第一课时对数函数的概念、图像和性质预习课本P89～94，思考并完成以下问题1．对数函数的定义是什么？2．什么是常用对数函数？什么是自然对数函数？3．反函数的定义是什么？4．对数函数的图像是什么形状？有哪些性质？[新知初探]1．对数函数的概念函数y＝log a x(a>0，a≠1)叫作对数函数，其中a叫作对数函数的底数，x是自变量．2．特殊的对数函数常用对数函数以10为底的对数函数y＝lg_x自然对数函数以无理数e为底的对数函数y＝ln_x[点睛]对数函数是一个形式定义，只有形如y＝logx(a>0，且a≠1)的函数才是对数函数．a3．反函数原函数反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1) 对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1) 指数函数y＝a x(a>0，且a≠1) 指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的定义域和值域分别是对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)的值域和定义域；反过来，对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)的定义域和值域分别是指数函数y＝a x(a>0，a ≠1)的值域和定义域，这样的两个函数叫作互为反函数.xa它们定义域与值域互反．4．对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)的图像与性质1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)函数y ＝log 2x ＋1是对数函数．( )(2)对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x互为反函数．( ) (3)函数y ＝log a x 的图像与y ＝a x 的图像关于直线y ＝x对称．( ) (4)函数y ＝log a x 的图像过定点(1,0)．( )(5)函数y ＝log a x 的定义域和值域均为(0，＋∞)．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)× 2．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝log a (2x )(a ＞0，a ≠1) B ．y ＝log a (x 2＋1)(a ＞0，a ≠1) C ．y ＝log 1a x (a ＞0，a ≠1) D ．y ＝2lg x 答案：C3．已知对数函数f (x )的图像过点(8,3)，则f 132＝_________________________________.答案：－54．函数y ＝2log a (x －1)(a ＞0，且a ≠1)的图像过定点______________________． 答案：(2,0)[典例] (1)y ＝log 5(1－x )；(2)y ＝log (1－x )5； (3)y ＝log 0.5(4x －3).[解] (1)要使函数式有意义，需1－x ＞0，解得x ＜1，所以函数y ＝log 5(1－x )的定义域是{x |x ＜1}．(2)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，1－x ≠1，解得x ＜1，且x ≠0，所以函数y ＝log (1－x )5的定义域是{x |x ＜1，且x ≠0}．(3)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧4x －3＞0，log 0.5(4x －3)≥0，解得34＜x ≤1，所以函数y ＝log 0.5(4x －3)的定义域是x 34＜x ≤1.定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.[活学活用]求下列函数的定义域． (1)f (x )＝11－log 3(x －1)；(2)f (x )＝log 12x －1. 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＞0，log 3(x －1)≠1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，x ≠4.∴定义域为(1,4)∪(4，＋∞)． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，log 12x －1≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ≤12.∴0＜x ≤12，∴定义域为0，12.求函数的反函数[典例] (1)y ＝5x ； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫45x； (3)y ＝log 14x; (4)y ＝log 7x .[解] (1)指数函数y ＝5x ，它的底数是5，它的反函数是对数函数y ＝log 5x . (2)指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫45x ，它的底数是45，它的反函数是对数函数y ＝log 45x . (3)对数函数y ＝log 14x ，它的底数是14，它的反函数是指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x .(4)对数函数y ＝log 7x ，它的底数是7，它的反函数是指数函数y ＝7x .反函数的求法(1)由y ＝a x (或y ＝log a x )解得x ＝log a y (或x ＝a y )；(2)将x ＝log a y (或x ＝a y )中的x 与y 互换位置，得y ＝log a x (或y ＝a x )；(3)由y ＝a x (或y ＝log a x )的值域，写出y ＝log a x (或y ＝a x )的定义域． [活学活用]若函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数的图像过点(3,1)，则a ＝________. 解析：函数f (x )的反函数为y ＝log a x ， 由题意得，log a 3＝1，∴a ＝3. 答案：3对数函数的图像问题1．如图是对数函数y ＝log a x 的图像，已知a 取值3，43，35，110，则图像C 1，C 2，C 3，C 4相应的a 值依次是( )A.3，43，35，110B.3，43，110，35C.43，3，35，110D.43，3，110，35解析：选A 过(0,1)作平行于x 轴的直线，与C1，C 2，C 3，C 4的交点的坐标为(a 1,1)，(a 2,1)，(a 3,1)，(a 4,1)，其中a 1，a 2，a 3，a 4分别为各对数的底，显然a 1＞a 2＞a 3＞a 4，所以C 1，C 2，C 3，C 4的底数依次由大到小．题点二：图像的识别2．当a ＞1时，函数y ＝log a x 和y ＝(1－a )x 的图像只能是( )解析：选B ∵a ＞1，∴函数y ＝log a x 为增函数，且图像过定点(1,0)，故C 、D 均不正确． 又∵1－a ＜0，∴函数y ＝(1－a )x 的图像应过坐标原点且经过第二、四象限． 题点三：对数函数图像的应用3．当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2＜log a x 恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(1,2]D ．0，12解析：选C 设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2＜log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图像在f 2(x )＝log a x 的下方即可．当0＜a ＜1时，显然不成立．当a ＞1时，如图所示，要使在(1,2)上，f 1(x )＝(x －1)2的图像在f 2(x )＝log a x 的下方，只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，log a 2≥1，∴1＜a ≤2.(1)对数函数的图像随对数函数的底数变化的规律：由于对数函数y ＝log a x 的图像与直线y ＝1交于点(a,1)，所以在x 轴上方，对数函数y ＝log a x 的图像，从左到右对应的底数由小到大依次递增．由于函数y ＝log a x 的图像与直线y ＝－1交于点1a ，－1，所以在x 轴下方，函数y ＝log a x 的图像从左到右对应的底数由大到小依次递减．(2)图像的识别问题，主要依据底数确定图像是上升还是下降、图像的位置、图像所过定点、图像与坐标轴的交点等求解．(3)利用数形结合法解决与对数函数有关的大小比较、方程、不等式、取值范围以及过定点等问题．层级一 学业水平达标1．函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选C 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠0，1＋x ＞0，解得x ＞－1且x ≠1.2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( )A ．log 2x B.12x C ．log 12xD ．2x －2解析：选A 函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2，故f (x )＝log 2x .3．函数f (x )＝log 2x 2的图像的大致形状是( )解析：选D 由于f (x )＝log 2x 2＝2log 2|x |，所以函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，且当x ＞0时，f (x )＝2log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，又因为函数是偶函数，所以函数图像关于y 轴对称．4．已知函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)的反函数为g (x )，且满足g (2)＜0，则函数g (x ＋1)的图像是图中的( )解析：选A 由y ＝a x 得x ＝log a y ，∴g (x )＝log a x . 又∵g (2)＜0，∴0＜a ＜1.故g (x ＋1)＝log a (x ＋1)是递减的，并且是由函数g (x )＝log a x 向左平移1个单位得到的． 5．当a >1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x 与y ＝log a x 的图像是( )解析：选D ∵a >1，不妨取a ＝2， 找出函数y ＝2－x与y ＝log 2x 的图像即可．6．函数f (x )＝2－log 2x 的定义域是________． 解析：由2－log 2x ≥0 ⇒ log 2x ≤2， ∴0<x ≤4. 答案：(0,4]7．已知函数y ＝3＋log a (2x ＋3)(a ＞0且a ≠1)的图像必经过定点P ，则P 点坐标________． 解析：∵当2x ＋3＝1即x ＝－1时，log a (2x ＋3)＝0，y ＝3，P (－1,3)． 答案：(－1,3)8．方程x 2＝log 12x 解的个数是________．解析：函数y ＝x 2和y ＝log 12x 在同一坐标系内的图像大致为：所以函数y ＝x 2和y ＝log 12x 的图像只有一个交点，故方程x 2＝log 12x 解的个数是1.答案：19.已知函数y ＝log a (x ＋b )的图像如图所示，求实数a 与b 的值． 解：由图像可知，函数的图像过点(－3,0)和(0,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧log a (b －3)＝0，log ab ＝2， 解得b ＝4，a ＝2.10．作出函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图像． 解：第一步：作y ＝log 2x 的图像，如图(1)；第二步：将y ＝log 2x 的图像沿x 轴向左平移1个单位长度， 得y ＝log 2(x ＋1)的图像，如图(2)；第三步：将y ＝log 2(x ＋1)在x 轴下方的图像作关于x 轴的对称变换，得y ＝|log 2(x ＋1)|的图像，如图(3)．层级二 应试能力达标1.如图是三个对数函数的图像，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >c >b解析：选D y ＝log a x 的图像在(0，＋∞)上是上升的，所以底数a >1，函数y ＝log b x ，y ＝log c x 的图像在(0，＋∞)上都是下降的． 因此b ，c ∈(0,1)，又易知c >b ，故a >c >b .2．设f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 2x ，则当x ＜0时，f (x )等于( ) A ．－log 2x B ．log 2(－x ) C ．log x 2D ．－log 2(－x )解析：选D ∵x ＜0，∴－x ＞0.∴f (－x )＝log 2(－x )． 又∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )＝－log 2(－x )．3．若实数a ，b ，c 满足log a 2＜log b 2＜log c 2，则下列关系中不可能成立的是( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b解析：选A 由题中条件绘出函数图像如图所示．由图可知选A.4．函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝log ⎪⎪⎪⎪b a x (ab ≠0，|a |≠|b |)在同一直角坐标系中的图像可能是( )解析：选D 若⎪⎪⎪⎪b a ＞1，则函数y ＝log ⎪⎪⎪⎪b a x 的图像为选项A 、B 中所示过点(1,0)的曲线，且⎪⎪⎪⎪b 2a ＞12，故函数y ＝ax 2＋bx 的图像的对称轴x ＝－b 2a 应在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－12或12，＋∞内，A 、B 都不正确；若0＜⎪⎪⎪⎪b a ＜1，则函数y ＝log ⎪⎪⎪⎪b a x 的图像为选项C 、D 中所示过点(1,0)的曲线，且0＜b 2a ＜12，故函数y ＝ax 2＋bx 的图像的对称轴x ＝－b 2a 应在区间－12，0或0，12内，C 不正确，D 正确． 5.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ≤0，log c ⎝⎛⎭⎫x ＋19，x ＞0的图像如图所示，则a ＋b ＋c ＝________. 解析：由图像可求得直线的方程为y ＝2x ＋2， 又函数y ＝log c ⎝⎛⎭⎫x ＋19的图像过点(0,2)， 将其坐标代入可得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133.答案：1336．函数f (x )＝||log 3x 在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为________． 解析：数形结合||log 3x ＝0，则x ＝1，||log 3x ＝1， 则x ＝3或13.故(b －a )min ＝1－13＝23.答案：237．已知f (x )＝|lg x |，且1c ＞a ＞b ＞1，试比较f (a )，f (b )，f (c )的大小． 解：先作出函数y ＝lg x 的图像，再将图像位于x 轴下方的部分折到x 轴上方，于是得f (x )＝|lg x |图像，(如图)由图像可知，f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．由1c ＞a ＞b ＞1得：f 1c ＞f (a )＞f (b )，而f 1c ＝⎪⎪⎪⎪lg 1c ＝|－lgc |＝|lg c |＝f (c )．∴f (c )＞f (a )＞f (b )．8．已知a >0且a ≠1，f (log a x )＝a a 2－1⎝⎛⎭⎫x －1x . (1)求f (x )；(2)判断f (x )的单调性和奇偶性；(3)对于f (x )，当x ∈(－1,1)时，有f (1－m )＋f (1－2m )<0，求m 的取值范围． 解：(1)令t ＝log a x (t ∈R)， 则x ＝a t ，且f (t )＝a a 2－1⎝⎛⎭⎫a t －1a t ，所以f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(x ∈R)．(2)因为f (－x )＝a a 2－1(a －x －a x )＝－f (x )， 且x ∈R ，所以f (x )为奇函数． 当a >1时，a x －a－x为增函数，并且注意到aa 2－1>0，所以这时f (x )为增函数．当0<a <1时，类似可证f (x )为增函数． 所以f (x )在R 上为增函数． (3)因为f (1－m )＋f (1－2m )<0，且f (x )为奇函数，所以f (1－m )<f (2m －1)． 因为f (x )在(－1,1)上为增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－m <1，－1<2m －1<1，1－m <2m －1.解得23<m <1.即m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫23，1.第二课时 对数函数的图像和性质的应用(习题课)[典例] 比较大小． (1)log 23.4，log 28.5； (2)log 0.31.8，log 0.32.7； (3)log 67，log 76； (4)log 3π，log 20.8； (5)log 712，log 812.[解] (1)考查对数函数y ＝log 2x ， ∵2>1，∴它在(0，＋∞)上是增函数． ∴log 23.4<log 28.5.(2)考查对数函数y ＝log 0.3x ，∵0<0.3<1，∴它在(0，＋∞)上是减函数， ∴log 0.31.8>log 0.32.7.(3)∵log 67>log 66＝1，log 76<log 77＝1， ∴log 67>log 76.(4)∵log 3π>log 31＝0，log 20.8<log 21＝0，∴log 3π>log 20.8.(5)在同一坐标系中作出函数y ＝log7x 与y ＝log 8x 的图像，由底数变化对图像位置的影响知：log 712>log 812.比较对数大小的思路：(1)底相同，真数不同的，可看作同一对数函数上的几个函数值，用对数函数的单调性比较大小；(2)底数不同，真数相同的几个数，可通过图像比较大小，也可通过换底公式比较大小；(3)底不相同，真数也不相同的几个数，可通过特殊值来比较大小，常用的特殊值是“0”或“1”．[活学活用]比较下列各组中两个值的大小：(1)3log 45与2log 23；(2)log 30.2，log 40.2；(3)log 3π，log π3；(4)log 0.20.1与0.20.1.解：(1)∵3log 45＝log 4125,2log 23＝log 29＝log 481， 且函数y ＝log 4x 在(0，＋∞)上是增函数，125＞81，∴3log 45＞2log 23.(2)∵0＞log 0.23＞log 0.24，∴1log 0.23＜1log 0.24， 即log 30.2＜log 40.2.(3)∵函数y ＝log 3x 是增函数，且π＞3，∴log 3π＞log 33＝1.同理，1＝log ππ＞log π3，∴log 3π＞log π3.(4)∵0＜0.2＜1，∴函数y ＝log 0.2x 在(0，＋∞)上是减函数，∴log 0.20.1＞log 0.20.2＝1.∵0＜0.2＜1，∴函数y ＝0.2x 在R 上是减函数，∴0.20.1＜0.20＝1.∴log 0.20.1＞0.20.1.解对数不等式[典例] 解下列不等式：(1)log 17x ＞log 17(4－x )； (2)log x 12＞1； (3)log a (2x －5)＞log a (x －1)．[解] (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，4－x ＞0，x ＜4－x ，解得0＜x ＜2.所以原不等式的解集为(0,2)．(2)当x ＞1时，log x 12＞1＝log x x ，解得x ＜12， 此时不等式无解．当0＜x ＜1时，log x 12＞1＝log x x ，解得x ＞12， 所以12＜x ＜1.综上，原不等式的解集为12，1. (3)当a ＞1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －5＞0，x －1＞0，2x －5＞x －1，解得x ＞4.当0＜a ＜1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －5＞0，x －1＞0，2x －5＜x －1，解得52＜x ＜4. 综上所述，当a ＞1时，原不等式的解集为{x |x ＞4}；当0＜a ＜1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 52＜x ＜4.(1)解含有对数符号的不等式，要先看底数是大于1还是大于0且小于1，然后利用相应的对数函数的单调性将其转化为一般的代数不等式，要注意转化过程的等价性，即进行同解变形．(2)底数中若含有参数时，一定注意底数大于0且不等于1；同时要注意与1的大小的讨论．[活学活用]若－1＜log a 34＜1(a ＞0，且a ≠1)，求实数a 的取值范围． 解：∵－1＜log a 34＜1，∴log a 1a ＜log a 34＜log a a . 当a ＞1时，1a ＜34＜a ，则a ＞43； 当0＜a ＜1时，1a ＞34＞a ，则0＜a ＜34. 故实数a 的取值范围是0，34∪43，＋∞.有关对数型函数的值域与最值问题[典例](1)y ＝log 2(x 2＋4)；(2)y ＝log 12(3＋2x －x 2)． [解] (1)y ＝log 2(x 2＋4)的定义域是R.因为x 2＋4≥4，所以log 2(x 2＋4)≥log 24＝2，所以y ＝log 2(x 2＋4)的值域为[2，＋∞)．(2)设u ＝3＋2x －x 2＝－(x －1)2＋4≤4.因为u ＞0，所以0＜u ≤4.又y ＝log 12u 在(0，＋∞)上为减函数， 所以log 12u ≥log 124＝－2， 所以y ＝log 12(3＋2x －x 2)的值域为[－2，＋∞)．(1)求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解．(2)求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，结合函数的单调性求解，当函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值．[活学活用]已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及此时x 的值．解：y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(2＋log 3x )2＋log 3x 2＋2＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3.∵f (x )的定义域为[1,9]，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)中，x 必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9， ∴1≤x ≤3，∴0≤log 3x ≤1，∴6≤y ≤13.∴当x ＝3时，y 取得最大值，为13.对数型函数的单调性1．求函数y ＝log 12(x 2－3x ＋5)的单调区间． 解：由于x 2－3x ＋5的判别式Δ＝(－3)2－4×5＝－11＜0，∴x 2－3x ＋5＞0，令u (x )＝x 2－3x ＋5，当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，32时， u (x )为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，u (x )为增函数．∴y ＝log 12(x 2－3x ＋5)在⎝⎛⎭⎫－∞，32上为增函数，在⎝⎛⎭⎫32，＋∞上为减函数． 综上函数y ＝log 12(x 2－3x ＋5)的增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，32，减区间为⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 题点二：已知函数的单调性求参数2．已知函数f (x )＝lg(x 2－2ax －a )在区间(－∞，－3)上是减函数，求实数a 的取值范围． 解：设u (x )＝x 2－2ax －a .∵f (x )在(－∞，－3)上是减函数，∴u (x )在(－∞，－3)上是减函数，且u (x )＞0在(－∞，－3)上恒成立．又u (x )＝(x －a )2－a －a 2在(－∞，a )上是减函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧u (－3)≥0，a ≥－3，∴a ≥－95. ∴满足条件的实数a 的取值范围是－95，＋∞.解决对数型复合函数单调性问题的思路解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a 是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性；三是要注意其定义域．对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数为外函数，即y ＝log a f (x )型；另一类是内函数为对数函数，即y ＝f (log a x )型．对于y ＝log a f (x )型的函数的单调性，有以下结论：函数y ＝log a f (x )的单调性与函数u ＝f (x )(f (x )＞0)的单调性在a ＞1时相同，在0＜a ＜1时相反．研究y ＝f (log a x )型复合函数的单调性，一般用复合法判定即可，即令t ＝log a x ，则只需研究t ＝log a x 及y ＝f (t )的单调性即可．层级一 学业水平达标1．已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b解析：选B a ＝log 23.6＞1，b ＝log 43.2＜1，c ＝log 43.6＜1，又y ＝log 4x 为增函数，3.2＜3.6， ∴log 43.2＜log 43.6，即b ＜c ，∴b ＜c ＜a .2．如果log 12x ＜log 12y ＜0，那么( ) A ．y ＜x ＜1B ．x ＜y ＜1C ．1＜x ＜yD ．1＜y ＜x解析：选D 由log 12x ＜log 12y 得x ＞y .由log 12y ＜0得y ＞1.故x ＞y ＞1. 3．若log m 8.1＜log n 8.1＜0，那么m ，n 满足的条件是( )A ．m ＞n ＞1B ．n ＞m ＞1C ．0＜n ＜m ＜1D ．0＜m ＜n ＜1解析：选C 由题意知m ，n 一定都是大于0且小于1的，根据函数图像知，当x ＞1时，底数越大，函数值越小．4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(－x )，x <0，log 12x ，x >0，若f (m )<f (－m )，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析：选C 函数f (x )的图像大致如图：∴当f (m )<f (－m )时，f (x )<0.∴m ∈(－1,0)∪(1，＋∞)．5．已知函数f (x )＝2log 12x 的值域为[－1,1]，则函数f (x )的定义域是( ) A.⎣⎡⎦⎤22，2 B ．[－1,1]C.⎣⎡⎦⎤12，2D.⎝⎛⎦⎤－∞，22∪[)2，＋∞ 解析：选A －1≤2log 12x ≤1，－12≤log 12x ≤12， log 12⎝⎛⎭⎫12－12≤log 12x ≤log 12⎝⎛⎭⎫1212， ∵y ＝log 12x 是减函数，∴⎝⎛⎭⎫1212≤x ≤⎝⎛⎭⎫12－12. 即22≤x ≤ 2. 6．若定义在区间(－1,0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )＞0，则a 的取值范围是________． 解析：∵－1＜x ＜0，∴0＜x ＋1＜1.又log 2a (x ＋1)＞0，∴0＜2a ＜1，即0＜a ＜12. 答案：⎝⎛⎭⎫0，12 7．函数f (x )＝log 3(x 2＋2x ＋4)的值域为________．解析：令u ＝x 2＋2x ＋4，则u ＝(x ＋1)2＋3≥3，∴log 3(x 2＋2x ＋4)≥log 33＝1，即函数f (x )＝log 3(x 2＋2x ＋4)的值域为[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)8．函数f (x )＝ln(2－x )的单调减区间为________．解析：由2－x ＞0，得x ＜2.又函数y ＝2－x ，x ∈(－∞，2)为减函数，∴函数f (x )＝m (2－x )的单调减区间为(－∞，2)．答案：(－∞，2)9．函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，求a 的值．解：①当a ＞1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是增函数，所以log a 4－log a 2＝1，即log a 42＝1，所以a ＝2.②当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是减函数，所以log a 2－log a 4＝1，即log a 24＝1，所以a ＝12. 由①②知a ＝2或a ＝12. 10．已知函数y ＝(log 2x －2)log 4x －12,2≤x ≤8. (1)令t ＝log 2x ，求y 关于t 的函数关系式，并写出t 的范围；(2)求该函数的值域．解：(1)y ＝(log 2x －2)log 4x －12＝(log 2x －2)12log 2x －12， 令t ＝log 2x ，得y ＝12(t －2)(t －1)＝12t 2－32t ＋1， 又2≤x ≤8，∴1＝log 22≤log 2x ≤log 28＝3，即1≤t ≤3.(2)由(1)得y ＝12t －322－18，1≤t ≤3， 当t ＝32时，y min ＝－18； 当t ＝3时，y max ＝1，∴－18≤y ≤1， 即该函数的值域为－18，1. 层级二 应试能力达标1．设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )A ．a ＞c ＞bB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．a ＞b ＞c解析：选D a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72，则只要比较log 32，log 52，log 72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 的图像，由三个图像的相对位置关系，可知a ＞b ＞c .2．函数f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上是减函数，那么f (x )在(1，＋∞)上( )A ．递增且无最大值B ．递减且无最小值C ．递增且有最大值D ．递减且有最小值解析：选A 由|x －1|＞0，得函数y ＝log a |x －1|的定义域为{x |x ≠1}．设g (x )＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ＞1，－x ＋1，x ＜1， 则有g (x )在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．∵f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上是减函数，∴a ＞1.∴f (x )＝log a |x －1|在(1，＋∞)上递增且无最大值．3．已知函数f (x )＝|lg x |.若0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是( )A ．(22，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：选C 因为f (a )＝f (b )，所以|lg a |＝|lg b |，所以b ＝1a (a ＝b 舍去)，则a ＋2b ＝a ＋2a. 又0＜a ＜b ，所以0＜a ＜1＜b .令g (a )＝a ＋2a ，由对勾函数的性质知函数g (a )在(0,1)上为减函数，所以g (a )＞g (1)＝1＋21＝3，即a ＋2b 的取值范围是(3，＋∞)．4．若函数y ＝log a (2－ax )在x ∈[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．(1，＋∞)解析：选B 令u ＝2－ax ，因为a ＞0，所以u 是关于x 的减函数，当x ∈[0,1]时，u min ＝2－a ×1＝2－a .因为2－ax ＞0在x ∈[0,1]时恒成立，所以u min ＞0，即2－a ＞0，a ＜2.在[0,1]上，随着x 的增大，u ＝2－ax 减小，要使函数y ＝log a (2－ax )在x ∈[0,1]上是减函数，则y ＝log a u 在其定义域上必须为增函数，故a ＞1.综上可知，1＜a ＜2.故选B.5．设0＜a ＜1，函数f (x )＝log a (2a x －2)，则使得f (x )＜0的x 的取值范围为________．解析：由于y ＝log a x (0＜a ＜1)在(0，＋∞)上为减函数，则2a x －2＞1，即a x ＞32.由于0＜a ＜1，可得x ＜log a 32. 答案：－∞，log a 326．已知函数f (x )＝log a (x ＋3)的区间[－2，－1]上总有|f (x )|＜2，则实数a 的取值范围为________________．解析：∵x ∈[－2，－1]，∴1≤x ＋3≤2.当a ＞1时，log a 1≤log a (x ＋3)≤log a 2，即0≤f (x )≤log a 2.∵|f (x )|＜2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，log a 2＜2，解得a ＞ 2.当0＜a ＜1时，log a 2≤log a (x ＋3)≤log a 1，即log a 2≤f (x )≤0.∵|f (x )|＜2，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，log a 2＞－2，解得0＜a ＜22. 综上可得，实数a 的取值范围是0，22∪(2，＋∞)． 答案：0，22∪(2，＋∞) 7．已知函数f (x )＝lg(ax 2＋2x ＋1)．(1)若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f (x )的值域为R ，∴要求u ＝ax 2＋2x ＋1的值域包含(0，＋∞)．当a ＜0时，显然不可能；当a ＝0时，u ＝2x ＋1∈R 成立；当a ＞0时，若要u ＝ax 2＋2x ＋1的值域包含(0，＋∞)，则Δ＝4－4a ≥0，解得0＜a ≤1.综上可知，a 的取值范围是[0,1]．(2)由已知，u ＝ax 2＋2x ＋1的值恒为正，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a ＜0，解得a 的取值范围是(1，＋∞)．8．已知函数f (x )＝lg a －x 1＋x. (1)若f (x )为奇函数，求a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )在(m ，n )上的值域为(－1，＋∞)，求(m ，n )． 解：(1)∵f (x )为奇函数，∴f (x )＋f (－x )＝0，∴lg a －x 1＋x ＋lg a ＋x 1－x ＝0，∴(a －x )(a ＋x )1－x 2＝1， 解得a ＝1(a ＝－1舍去)．(2)由(1)知f (x )＝lg 1－x 1＋x，其定义域为(－1,1)． ∵x ∈(－1,1)时，t ＝1－x 1＋x ＝－1＋21＋x为减函数， 而y ＝lg t 在定义域内为增函数，∴f (x )＝lg 1－x 1＋x在其定义域内是减函数，则m ＝－1， 由题意知f (n )＝lg 1－n 1＋n＝－1，解得n ＝911. 故所求(m ，n )为－1，911.。
2017-2018学年高中数学北师大必修1：课时跟踪检测十九
课时跟踪检测（十九）指数函数、幂函数、对数函数增长的比较层级一学业水平达标1．有一组试验数据如下表所示：A．y＝log a x(a＞1)B．y＝ax＋b(a＞1)C．y＝ax2＋b(a＞0) D．y＝log a x＋b(a＞1)解析：选C通过所给数据可知y随x的增大而增大，其增长速度越来越快，而A、D 中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变．故选C.2．下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是()A．y＝50 B．y＝1 000xC．y＝0.4·2x－1D．y＝11 000ex答案：D3．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到()A．300只B．400只C．500只D．600只解析：选A由已知第一年有100只，得a＝100.将a＝100，x＝7代入y＝a log2(x＋1)，得y＝300.4．某种动物繁殖的数量y与繁殖次数x的关系如下表：①y＝2x－1；②y＝x2－1；③y＝2x－1；④y＝x2－x＋1.A．①②B．③④C．②③D．②④答案：B5．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A．f(x)＞g(x)＞h(x) B．g(x)＞f(x)＞h(x)C．g(x)＞h(x)＞f(x) D．f(x)＞h(x)＞g(x)解析：选B画出函数的图像，当x∈(4，＋∞)时，指数函数的图像位于二次函数图像的上方，二次函数的图像位于对数函数图像的上方，故g (x )＞f (x )＞h (x )．6．三个变量y 1，y 2，y 3随着变量x 的变化情况如下表：则关于x ，________，________.解析：通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y 3随x 的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来越快，y 2随x 的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y 1随x 的变化符合此规律．答案：y 3 y 2 y 17．工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y ＝a ·0.5x ＋b ，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此工厂3月份该产品的产量为________万件．解析：由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝0.5a ＋b ，1.5＝0.25a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2，∴y ＝－2×0.5x ＋2.∴3月份产量为y ＝－2×0.53＋2＝1.75万件． 答案：1.758.某工厂8年来某种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系如图所示，给出下列四种说法：①前三年中产量增长的速度越来越快；②前三年中产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的是________．解析：由t ∈[0,3]的图像，联想到幂函数y ＝x a (0＜a ＜1)，反映了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢，由t ∈[3,8]的图像可知，总产量C 没有变化，即第三年后停止生产．答案：②③9．假设我国国民经济的年平均增长率为9%，试问经过几年可以使国民经济翻一番？(lg 2≈0.301 0，lg 1.09≈0.037 4)解：设经过x 年后可以翻一番，则有(1＋0.09)x ＝2， 即1.09x ＝2.x ＝lg 2lg 1.09≈0.301 00.037 4≈8.所以经过8年可以翻一番． 10．函数f (x )＝lg x ，g (x )＝0.3x －1的图像如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f (x )，g (x )的大小进行比较)． 解：(1)C 1对应的函数为g (x )＝0.3x －1，C 2对应的函数为f (x )＝lg x .(2)当0<x ＜x 1时，g (x )＞f (x )；当x 1＜x ＜x 2时，f (x )＞g (x )；当x ＞x 2时，g (x )＞f (x )；当x ＝x 1或x ＝x 2时，f (x )＝g (x )．层级二 应试能力达标1．如图给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图：那么“红豆生南国，春来发几枝”的红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？( )A ．指数函数：y ＝2tB ．对数函数：y ＝log 2tC ．幂函数：y ＝t 3D ．二次函数：y ＝2t 2解析：选A 把t ＝1,2,3代入验证易得结果．2．四人赛跑，假设他们走过的路f i (x )(i ∈{1,2,3,4})和时间x (x ＞1)的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x ，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x解析：选D 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f 4(x )＝2x ，故选D.3．当0<x <1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的大小关系是( )A ．h (x )<g (x )<f (x )B ．h (x )<f (x )<g (x )C ．g (x )<h (x )<f (x )D ．f (x )<g (x )<h (x )解析：选D 取特殊值x ＝12代入可排除A 、B 、C.4．设x ∈(0,1)时，y ＝x p (p ∈Z)的图像在直线y ＝x 的上方，则p 的取值范围是( )A ．p ≥0B ．0<p <1C ．p <1且p ≠0D ．p >1解析：选C 当p <0时，f (x )＝x p ＝⎝⎛⎭⎫1x －p，在(0,1)上单调递减，∴y >f (1)＝1在直线y ＝x 上面，故只有C 正确．5．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子没有什么变化，但价格却上涨了，小张在2006年以150万元的价格购得一所新房子，假设这10年来价格年增长率不变，那么到2016年，这所房子的价格y (万元)与价格年增长率x 之间的函数关系式是______．解析：1年后，y ＝150(1＋x )；2年后，y ＝150(1＋x )2；3年后，y ＝150(1＋x )3，…，10年后，y ＝150(1＋x )10.答案：y ＝150(1＋x )106．已知元素“碳14”每经过5 730年，其质量就变成原来的一半．现有一文物，测得其中“碳14”的残存量为原来的41%，此文物距现在约有________年．(注：精确到百位数，lg 2＝0.301 0，lg 4.1＝0.613)解析：设距现在为x 年，则有⎝⎛⎭⎫12x 5 730＝41%，两边取对数，利用计算器可得x ≈7 400. 答案：7 4007．现有某种细胞100个，其中占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)解：现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数： 1 h 后，细胞总数为12×100＋12×100×2＝32×100；2 h 后，细胞总数为12×32×100＋12×32×100×2＝94×100； 3 h 后，细胞总数为12×94×100＋12×94×100×2＝278×100； 4 h 后，细胞总数为12×278×100＋12×278×100×2＝8116×100. 可见，细胞总数y 与时间x (h)之间的函数关系为 y ＝100×⎝⎛⎭⎫32x ，x ∈N ＋.由100×⎝⎛⎭⎫32x >1010，得⎝⎛⎭⎫32x >108，两边同时取以10为底的对数，得x lg 32>8， ∴x >8lg 3－lg 2.∵8lg 3－lg 2＝80.477－0.301≈45.45，∴x >45.45.故经过46 h ，细胞总数超过1010个．8．已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元， 且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x 之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f (x )＝a 1x 2＋b 1x ＋6，g (x )＝a 23x ＋b 2(a 1，a 2，b 1，b 2∈R)．(1)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；(2)在同一直角坐标系下画出函数f (x )与g (x )的草图，并根据草图比较今年甲、乙两个工厂的利润的大小情况．解：(1)依题意：由⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝6，f (2)＝14，有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋b 1＝0，4a 1＋2b 1＝8.解得a 1＝4，b 1＝－4，∴f (x )＝4x 2－4x ＋6.由⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＝6，g (2)＝8，有⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋b 2＝6，9a 2＋b 2＝8.解得a 2＝13，b 2＝5，∴g (x )＝13×3x ＋5＝3x －1＋5，所以甲在今年5月份的利润为f (5)＝86万元，乙在今年5月份的利润为g (5)＝86万元， 故有f (5)＝g (5)，即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等．(2)作函数图像如图所示：从图中，可以看出今年甲、乙两个工厂的利润：当x ＝1或x ＝5时， 有f (x )＝g (x )； 当1<x <5时， 有f (x )>g (x )； 当5<x ≤12时， 有f (x )<g (x )．。
高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数章末复习提升课学案新人教B版必修第二册
章末复习提升课指数、对数的运算化简：(1)(8) －23×(3102)92÷105；(2)2log 32－log 3329＋log 38－25log 53.【解】 (1)原式＝(232)－23×(1023)92÷1052 ＝2－1×103×10－52＝2－1×1012＝102.(2)原式＝log 34－log 3329＋log 38－52log 53＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫4×932×8－5 log 59＝log 39－9＝2－9＝－7.指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．计算80.25×42＋(32×3)6＋log 32×log 2(log 327)的值为________．解析：因为log 32×log 2(log 327)＝log 32×log 23 ＝lg 2lg 3×lg 3lg 2＝1， 所以原式＝234×214＋22×33＋1＝21＋4×27＋1＝111. 答案：111比较大小比较下列各组数的大小：(1)27，82；(2)log 20.4，log 30.4，log 40.4；(3)2－13，log 213，log 1213.【解】 (1)因为82＝(23)2＝26，由指数函数y ＝2x 在R 上单调递增知26<27，即82<27. (2)因为对数函数y ＝log 0.4x 在(0，＋∞)上是减函数， 所以log 0.44<log 0.43<log 0.42<log 0.41＝0. 又幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是减函数， 所以1log 0.42<1log 0.43<1log 0.44，即log 20.4<log 30.4<log 40.4. (3)0<2－13<20＝1.log 213<log 21＝0.log 1213>log 1212＝1.所以log 213<2－13<log 1213.数的大小比较常用方法(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数、幂函数图像与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图像法、中间搭桥法、作差法、作商法．(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”“大于等于0小于等于1”“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小．比较下列各组数的大小：(1)log 0.22，log 0.049；(2)a 1.2，a 1.3；(3)30.4，0.43，log 0.43. 解：(1)因为log 0.049＝lg 9lg 0.04＝lg 32lg 0.22＝2lg 32lg 0.2＝lg 3lg 0.2＝log 0.23.又因为y ＝log 0.2x 在(0，＋∞)上单调递减， 所以log 0.22>log 0.23，即log 0.22>log 0.049.(2)因为函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)，当底数a >1时在R 上是增函数；当底数0<a <1时在R 上是减函数，而1.2<1.3，故当a >1时，有a 1.2<a 1.3； 当0<a <1时，有a 1.2>a 1.3. (3)30.4>30＝1，0<0.43<0.40＝1， log 0.43<log 0.41＝0， 所以log 0.43<0.43<30.4.指数函数、对数函数、幂函数的综合应用 命题角度一：函数性质及应用已知函数f (x )＝a ·2x＋b ·3x，其中常数a ，b 满足ab ≠0. (1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性；(2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时的x 的取值范围．【解】 (1)当a >0，b >0时，因为a ·2x，b ·3x都单调递增，所以函数f (x )单调递增； 当a <0，b <0时，因为a ·2x，b ·3x都单调递减， 所以函数f (x )单调递减．(2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x＋2b ·3x>0.①当a <0，b >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x>－a 2b ，解得x >log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ；②当a >0，b <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x<－a 2b ，解得x <log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b .指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段，构成我们研究的函数，使用时则通过换元、图像变换等手段化归为基本的指数函数、对数函数、幂函数来研究．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与函数g (x )＝log 12|x |在区间(－∞，0)上的单调性为( )A ．都是增函数B ．都是减函数C ．f (x )是增函数，g (x )是减函数D ．f (x )是减函数，g (x )是增函数解析：选D.f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在x ∈(－∞，0)时为减函数，g (x )＝log 12|x |为偶函数，x ∈(0，＋∞)时g (x )＝log 12x 为减函数，所以在(－∞，0)上为增函数．命题角度二：函数图像及应用如图，函数f (x )的图像为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2}【解析】 借助函数的图像求解该不等式． 令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )图像如图.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2（x ＋1），得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. 所以结合图像知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}． 【答案】 C指数函数、对数函数、幂函数图像既是直接考查的对象，又是数形结合求交点，最值，解不等式的工具，所以要能熟练画出这三类函数图像，并会进行平移、伸缩，对称、翻折等变换．若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )解析：选B.由题意得y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像过(3，1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，显然图像错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图像可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图像不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图像与y ＝log 3x 的图像关于y轴对称．显然不符．故选B.函数的实际应用某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5～8千美元的地区销售该公司A 饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP 处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．(1)下列几个模拟函数中：①y ＝ax 2＋bx ；②y ＝kx ＋b ；③y ＝log a x ＋b ；④y ＝a x＋b (x 表示人均GDP ，单位：千美元，y 表示年人均A 饮料的销售量，单位：L)．用哪个模拟函数来描述人均A 饮料销售量与地区的人均GDP 关系更合适？说明理由；(2)若人均GDP 为1千美元时，年人均A 饮料的销售量为2 L ，人均GDP 为4千美元时，年人均A 饮料的销售量为5 L ，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A 饮料的销售量最多是多少？【解】 (1)用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均GDP 处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．而②，③，④表示的函数在区间上是单调函数，所以②，③，④都不合适，故用①来模拟比较合适．(2)因为人均GDP 为1千美元时，年人均A 饮料的销量为2 L ；人均GDP 为4千美元时，年人均A 饮料的销量为5 L ，把x ＝1，y ＝2；x ＝4，y ＝5代入到y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝a ＋b ，5＝16a ＋4b ，解得a ＝－14，b ＝94，所以函数解析式为y ＝－14x 2＋94x (x ∈[0.5，8])．因为y ＝－14x 2＋94x ＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＋8116，所以当x ＝92时，年人均A 饮料的销售量最多是8116L.不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律． (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律． (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律． (4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t ，120 t ，130 t ．为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y (t)与月序数x 之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y ＝f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 均为待定系数，x ∈N *)或函数y ＝g (x )＝pq x ＋r (p ，q ，r 均为待定系数，x ∈N *)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137t ，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？解：根据题意可列方程组：⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a ＋b ＋c ＝100，f （2）＝4a ＋2b ＋c ＝120，f （3）＝9a ＋3b ＋c ＝130，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝35，c ＝70.所以y ＝f (x )＝－5x 2＋35x ＋70. ① 同理y ＝g (x )＝－80×0.5x＋140. ② 再将x ＝4分别代入①与②式得：f (4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，g (4)＝－80×0.54＋140＝135(t)．与f (4)相比，g (4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y ＝g (x )＝pq x＋r 作为模拟函数较好．1.2lg （lg a 100）2＋lg （lg a ）等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．0解析：选B.2lg （lg a 100）2＋lg （lg a ）＝2lg （100·lg a ）2＋lg （lg a ）＝2[lg 100＋lg （lg a ）]2＋lg （lg a ）＝2.2．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )解析：选D.显然a >0且a ≠1. 若0<a <1，则只有D 符合．若a >1，只有B 中y ＝x a符合，但B 中g (x )不符合．3．已知P ＝2－32，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是( ) A ．P ＜Q ＜R B ．Q ＜R ＜PC ．Q ＜P ＜RD ．R ＜Q ＜P解析：选B.函数y ＝x 3在R 上是增函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫253＜⎝ ⎛⎭⎪⎫123，由函数y ＝2x在R 上是增函数知，2－32＞2－3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，所以Q ＜R ＜P .4．函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1与x 轴交点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B.函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1与x 轴交点个数即为函数y ＝|log 0.5x |与y ＝12x 图像的交点个数．在同一直角坐标系中作出函数y ＝|log 0.5x |，y ＝12x 的图像(图略)，易知有2个交点．5．已知函数f (x )＝x n－4x，且f (4)＝3.(1)判断f (x )的奇偶性并说明理由；(2)判断f (x )在区间(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论；(3)若对任意实数x 1，x 2∈[1，3]，有|f (x 1)－f (x 2)|≤t 成立，求t 的最小值． 解：(1)f (4)＝4n－1＝3，即4n＝4，所以n ＝1. 所以f (x )＝x －4x.其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 又因为f (－x )＝－x ＋4x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(2)f (x )在(0，＋∞)上单调递增，证明如下： 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－4x 1－x 2＋4x 2＝x 1－x 2＋4（x 1－x 2）x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4x 1x 2.因为x 1>x 2>0， 所以x 1－x 2>0，1＋4x 1x 2>0.所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增． (3)依题意，得t ≥|f (x 1)－f (x 2)|成立， 只要t ≥|f (x 1)－f (x 2)|的最大值即可． 因为f (x )在区间[1，3]上单调递增． 所以|f (x 1)－f (x 2)|的最大值为|f (3)－f (1)|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫3－43－（1－4）＝143.所以t ≥143.故t 的最小值为143.。
2017-2018学年高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.2 指数扩充及其运算性质学案 北师大
3.2 指数扩充及其运算性质[核心必知]1．分数指数幂 (1)定义：给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n (m ，n 互素)，存在唯一的正实数b ，使得b n＝a m，把b 叫作a 的m n 次幂，记作b ＝a mn，它就是分数指数幂．(2)几个结论：①正分数指数幂的根式形式：a mn＝na m(a >0)．②负分数指数幂的意义：a －m n ＝1a m n (a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．2．指数幂的运算性质若a >0，b >0，对任意实数m ，n ，指数运算有以下性质：(1)a m·a n＝a m ＋n；(2)(a m )n ＝am ·n；(3)(ab )m ＝a m b m.[问题思考]1．若b 2＝53，则b ＝532，b 叫作5的32次幂吗？提示：不一定，当b ＞0时，可以；当b ＜0时，b 不叫作5的32次幂．2．为什么分数指数幂中规定整数m ，n 互素？提示：如果没有这个规定将导致幂的运算结果出现矛盾．例如：a 13中，底数a ∈R ，当a ＜0时，a 13＜0，而如果把a 13写成a 26，有两种运算：一是a 26＝(a 16)2就必须a ≥0；二是a 26＝(a 2)16，在a ＜0时，a 26的结果大于0，与a 13＜0相矛盾．所以规定整数m 、n 互素．3．分数指数幂a m n 可以理解为m n个a 相乘，对吗？提示：分数指数幂a m n 不可理解为m n个a 相乘，它是根式的一种新的写法，规定：a m n＝(na )m＝na m(a >0，n 、m ∈N ＋，且m n为既约分数)，a －mn＝1a mn＝1(n a )m ＝1na m(a >0，n 、m ∈N＋，且m n为既约分数)．讲一讲1．用分数指数幂表示下列各式． (1)a a (a ＞0); (2)13x (5x 2)2；(3)(4b －23)－23(b ＞0)．此类问题应熟练应用a m n ＝n a m(a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再根据性质进行化简．练一练1．用分数指数幂表示下列各式． (1)82； (2)a 2·3a 2； (3) a 12a 12·a (a ＞0)；(4)a 2a ·3a 2(a ＞0)．解：(1)82＝23·212＝23＋12＝272. (2)原式＝a 2·a 23＝a 2＋23＝a 83.(3)原式＝a12a 12·a12＝ a12a ＝ a 12a 12＝ a ＝a 12.(4)原式＝a 2a 12a 23＝a 2－12－23＝a 56.讲一讲 2．计算或化简． (1)a 3b 2(2ab －1)3；(2)(0.064)－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋[(－2)3]－43＋ 16－0.75＋||－0.0112；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027－23－3π0＋3748； (4) 3a 92a －3÷ 3a －7·3a 13(a ＞0)；(5)42＋1·23－22·8－23.[尝试解答] (1)原式＝a 3b 223a 3b －3＝8a 6b －1.(2)原式＝[(0.4)3]－13－1＋(－2)－4＋2－3＋[(0.1)2]12＝(0.4)－1－1＋116＋18＋0.1＝14380. (3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25912＋102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6427－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748 ＝100.(4)原式＝[a 13×92·a 13×(－32)]÷[a 12×(－73)·a 12×133] ＝a 96－36＋76－136＝a 0＝1. (5)原式＝(22)2＋1·23－22·(23)－23＝222＋2·23－22·2－2＝222＋2＋3－22－2＝23＝8.进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质，并灵活运用．一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序问题．练一练2．计算或化简下列各式．(1)0.027－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27912－(2－1)0；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12·(4ab －1)30.1－2(a 3b －3)12； (3)a 43－8a 13b4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝⎛⎭⎪⎫1－23b a ×3a .解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫271 000－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25912－1＝103－49＋53－1＝－45. (2)原式＝(2－2)－12·432·a 32·b －32⎝ ⎛⎭⎪⎫110－2·a 32·b －32＝2·23102＝425. (3)原式＝a 13(a －8b )4b 23＋2a 13b 13＋a 23÷a 13－2b13a 13×a 13＝a 13(a 13－2b 13)(a 23＋2a 13b 13＋4b 23)4b 23＋2a 13b 13＋a 23·a13a 13－2b 13·a 13＝a 13·a 13·a 13＝a .讲一讲3．已知a 12＋a －12＝3，求下列各式的值：(1)a ＋a －1； (2)a 2＋a －2；.[尝试解答] (1)将＝3两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，即a ＋a －1＝7. (2)将a ＋a －1＝7两边平方，有a 2＋a －2＋2＝49.∴a 2＋a －2＝47.＝a ＋a －1＋1＝8.对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．要注意正确地变形及平方、平方差等公式的应用，含开方运算时还要注意其符号问题．练一练3．(1)若102x＝25, ＝5，则10y －x＝________；(2)若＝m ，则a 2＋1a＝________.解析：(1)由102x ＝25，得10x＝5， ∴10－x＝(10x )－1＝5－1，而＝＝5，∴10y ＝52，则10y －x＝10y ·10－x ＝52·5－1＝5. (2)由＝m ，两边平方得：a ＋a －1－2＝m 2，∴a ＋a －1＝m 2＋2，故a 2＋1a＝a ＋a －1＝m2＋2.答案：(1)5 (2)m 2＋2设a 2n ＝3，a ＞0，求a 3n ＋a －3na n ＋a －n的值．[解] 法一：由a 2n ＝3，a ＞0得a n ＝3，a －n ＝13，a 3n ＝(3)3＝33，a －3n＝133. ∴a 3n ＋a －3n a n ＋a －n＝33＋1333＋13＝(33)2＋13×33＋3＝2812＝73. 法二：a 3n ＋a －3na n ＋a－n ＝(a n ＋a －n )(a 2n －a n a －n ＋a－2n)a n ＋a －n＝a 2n－1＋a－2n＝3－1＋13＝73.[尝试用另一种方法解题]法三：a 3n ＋a －3na n ＋a －n ＝a 3n ＋1a 3na n＋1an＝a 6n ＋1a 2n (a 2n ＋1)＝33＋13(3＋1)＝73.1．计算等于( )A．9 B．3C．±3 D．－3解析：选B 由35＝243，得＝3.2．下列各式运算错误的是( )A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6D．[(a3)2·(－b2)3]3＝－a18b18解析：选C 对C，(－a3)2·(－b2)3＝a6·(－b6)＝－a6b6≠a6b6.3.a3a·5a4(a＞0)的值是( )A．1 B．a解析：选D 原式＝4．若b－3m＝π2n(b＞0，m，n∈N＋)，则b＝________.解析：由b－3m＝π2n，得b＝答案：5．已知x－3＋1＝a，则a2－2ax－3＋x－6的值为________．解析：∵x－3＋1＝a，∴a－x－3＝1，∴a2－2ax－3＋x－6＝(a－x－3)2＝1.答案：16．求值：2(32×3)6＋－42×80.25＋(－2 013)0.解：原式＝＋－4×74－＋1＝2×22×33＋2－7－2＋1＝210.一、选择题1．下列根式与分数指数幂互化中正确的是( )2．将 3－22化为分数指数幂的形式为( )解析：选B 原式＝3．计算的结果是( )A. 2 B ．－ 2 C.22 D ．－22解析：选A 原式＝＝＝ 2.4．若x ＞0，则等于( )A ．－23B ．23解析：选A 原式＝二、填空题解析：原式＝14×16－4－4＝－4.答案：－46．若x ＜0，则||x －x 2＋x 2||x ＝________.解析：原式＝||x －||x ＋|x ||x |＝1.答案：17．若xy ＝8，且x ＞0，y ＞0，则＝________.解析：原式＝＝－2.答案：－28．已知10α＝2,100β＝3，则＝________. 解析：∵100β＝3，即102β＝3，∴10β＝.∴＝106α－β＝(10α)610β＝＝6433.答案：6433三、解答题9．(1)计算：；(2)化简：(a >0，b >0)．解：(1)原式＝42＋1－3＝14. (2)原式＝＝1a.10．已知f (x )＝a x －a －x ，g (x )＝a x＋a －x(a ＞1)． (1)求[f (x )]2－[g (x )]2的值；(2)设f (x )·f (y )＝4，g (x )·g (y )＝8，求g (x ＋y )g (x －y )的值．解：(1)[f (x )]2－[g (x )]2＝(a x －a －x )2－(a x＋a －x )2＝2a x ·(－2a －x)＝－4.(2)∵f (x )·f (y )＝4，∴(a x－a －x)(a y －a －y)＝4. ∴ax ＋y＋a－(x ＋y )－ax －y－ay －x＝4，即g (x ＋y )－g (x －y )＝4.① ∵g (x )·g (y )＝8， ∴(a x＋a －x)·(a y ＋a －y)＝8. ∴ax ＋y ＋a－(x ＋y )＋ax －y＋ay －x＝8，即g (x ＋y )＋g (x －y )＝8.② 由①②得g (x ＋y )＝6，g (x －y )＝2.∴g (x ＋y )g (x －y )＝3.本文档仅供文库使用。
2017_2018学年高中数学第三章指数函数和对数函数3_5对数函数学案北师大版必修1
函数y＝logax的反函数是y＝ax(a＞0，a≠1)；函数y＝ax的反函数是y＝logax(a＞0，a≠1)．
练一练
2．写出以下函数的反函数．
(1)y＝lgx；(2)y＝lnx；(3)y＝ x.
解：(1)y＝lgx的反函数为y＝10x.
(2)y＝lnx的反函数为y＝ex.
答案：1
三、解答题
9．求以下函数的概念域．
(1)y＝lg(x＋1)＋ ；
(2)y＝log(x－2)(5－x)．
解：(1)要使函数成心义，需 即
∴函数的概念域为(－1,2)．
(2)要使函数成心义．需 即
∴概念域为(2,3)∪(3,5)．
10．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，g(x)＝log2(1－x)．
2．反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．
3．函数y＝定义域：(0，＋∞)
(2)值域：R
(3)过点(1,0)，即x＝1，y＝0
(4)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0
(5)单调性：在(0，＋∞)上是增函数
[问题试探]
1．函数y＝log3x(x>0)，y＝log x(x>0)，y＝2log2x，y＝log x2都是对数函数吗？什么缘故？
，且a≠1)的反函数，其图像通过点( ，a)，那么f(x)＝________.
解析：∵y＝f(x)的图像过点( ，a)，
∴其反函数y＝ax的图像过点(a， )，
∴aa＝ ＝ ，∴a＝ ，
∴f(x)＝ .
答案：
7．假设log2a＜log2b＜0，那么a，b,1的大小关系是________．
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章末分层突破
[自我校对] ①n a m ②
1n
a m
③a r ＋s ④a rs ⑤a r b r ⑥R ⑦(0，＋∞) ⑧(0,1)
⑨0
⑩1
⑪log a M＋log a N
⑫log a M－log a N
⑬n log a M
1.
查的重要问题类型，也是高考的必考内容．
2. 指数式的运算首先要注意化简顺序，一般将负指数先转化成正指数、根式化为指数运算，其次若出现分式则要注意对分子、分母进行因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价．运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．
计算：(1)lg 52＋2
3lg 8＋lg 5lg 20＋(lg 2)
2；
(2).
【精彩点拨】利用对数的运算法则，指数的运算法则化简求值．【规范解答】(1)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(1＋lg 2)＋(lg 2)2
＝2(lg 2＋lg 5)＋lg 5＋lg 2×lg 5＋(lg 2)2
＝2＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝2＋lg 5＋lg 2＝3.
[再练一题]
1. (2016·浙江高考) 已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝5
2，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________.
【解析】 ∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52，
∴log a b ＝2或1
2.
∵a >b >1，∴log a b <log a a ＝1， ∴log a b ＝1
2，∴a ＝b 2.
∵a b ＝b a ，∴(b 2)b ＝bb 2，∴b 2b ＝bb 2， ∴2b ＝b 2，∴b ＝2，∴a ＝4. 【答案】 4 2
(1)指(对)数函数的性质，图像的形状及图像的变换． (2)指(对)数函数图像过定点问题．
(3)指数(对数)函数的单调性，复合函数的单调区间、定义域、值域及最值问题．
(4)指(对)数函数与其他知识的综合问题．由于指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)，对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像与性质都与a 的取值有密切的关系，a 变化时，函数的图像与性质也随之改变．因此，在求解问题时，当a 的值不确定时，要对它进行分类讨论．
已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
.
图3-1
(1)画出函数f (x )的图像；
(2)根据图像写出f (x )的单调区间，并写出函数的值域．
【精彩点拨】 利用偶函数图像关于y 轴对称，作出函数f (x )的图像． 【规范解答】 (1)先作出当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
12x 的图像，利用偶函数的图像
关于y 轴对称，再作出f (x )在x ∈(－∞，0)时的图像．
(2)函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．
[再练一题]
2. 当0<x ≤1
2时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( ) A.⎝
⎛⎭⎪⎫
0，22
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫
22，1 C.()1，2
D.()2，2
【解析】 易知0<a <1，则函数y ＝4x 与y ＝log a x 的大致图像如图，则只需满足log a 12>2，解得a >2
2，
∴2
2<a <1，故选B.
【答案】 B
(1)常用方法：单调性法、图像法、中间量法．
(2)技巧：
①当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．
②比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”“大于等于0小于等于1”“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．
如果0<a<1，那么下列不等式中正确的是()
A．
B．log(1－a)(1＋a)>0
C．(1－a)3>(1＋a)2
D．(1－a)1＋a>1
(2)设a>1，则log0.2a,0.2a，a0.2的大小关系是()
A．0.2a<a0.2<log0.2a
B．log0.2a<0.2a<a0.2
C．a0.2<log0.2a<0.2a
D．0.2a<log0.2a<a0.2
【精彩点拨】利用指数，对数的单调性或借助中间值比较大小．
【规范解答】(1)A中，因为0<a<1，所以0<1－a<1，故
；B中，log(1
(1＋a)<log(1－a)1＝0；C中(1－a)3<1<(1＋a)2；
－a)
D 中(1－a )(1＋a )<(1－a )0＝1.故选A.
(2)因为a >1，故log 0.2a <log 0.21＝0,0<0.2a <0.20＝1，a 0.2>a 0＝1. 故log 0.2a <0.2a <a 0.2. 【答案】 (1)A (2)B [再练一题]
3. (1)已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b
，下列五个关系式：①0<b <a ；
②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
(2)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)内的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
ln 13，b ＝f (log 43)，c ＝f (0.41.2)，则a ，b ，c 的大小关系是________．
【解析】 (1)在同一直角坐标系中画出指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
13x 的图像，
由图可以看出，若⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13b
，则a <b <0或a ＝b ＝0或a >b >0.故选B.
(2)∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)内的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数， 且a ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
ln 13＝f (－ln 3)＝f (ln 3)．
∵ln 3>ln e ＝1，12＝log 42<log 43<log 44＝1,0<0.41.2<1
2， ∴0.41.2<log 43<ln 3，故f (0.41.2)>f (log 43)>f (ln 3)，即c >b >a . 【答案】 (1)B (2)c >b >a
已知偶函数f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12＝0，求不等式f (log a x )
＞0(a ＞0，且a ≠1)的解集．
【精彩点拨】 利用函数f (x )的单调性，去掉“f ”，将函数不等式f (log a x )＞0转化为简单的对数不等式，再按a ＞1与0＜a ＜1两种情况求解．
【规范解答】 ∵f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12 ＝0，
∴f (x )在(－∞，0)上是减函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12＝0.
故若f (log a x )＞0，则有log a x ＞12或log a x ＜－1
2. ①当a ＞1时，由log a x ＞12或log a x ＜－1
2， 得x ＞a 或0＜x ＜a
a .
②当0＜a ＜1时，由log a x ＞12或log a x ＜－1
2， 得0＜x ＜a 或x ＞a
a .
综上可知，当a ＞1时，f (log a x )＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，a a ∪(a ，＋∞)；当0＜a
＜1时，f (log a x )＞0的解集为(0，a )∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a a ，＋∞.。