数理统计学 基本概念
概率与统计学课件-第六章-数理统计的基本概念2-1
�总体与样本
基本概念: 总体：研究的问题所涉及的对象的全体 个体：总体中的每个成员 样本：从总体中抽取部分个体 样本容量：样本所包含的个体数量 样本观测值：
数的属性 样本的二重性 随机变量的属性
设X1,X2, …,Xn为总体X的一个容量为 n的 样本。若它满足 独立性，即X1,X2, …,Xn 相互独立； 同分布性，即每个 Xi都与总体X服从相 同的分布. 则称这样的样本为简单随机样本，简称为 样本。
�统计量
设是总体X的样本，g(X1,X2, …,Xn)是样本 的实值函数，且不包含任何未知参数，则 称g(X1,X2, …,Xn)为统计量。
例2.若X1,X2, X3是来自总体X~N(μ, σ 2)的 其中参数μ未知， σ2已知，则
X 1 X 3 − 3µ , X12 + 4 X 22 + 5µ 都不是统计量
�定理
若X1,X2, …,Xn是来自总体X的样本，设X 的分布函数为 F(x)，则样本X1,X2, …,Xn的 联合分布函数为
n
∏ F (x )
i i =1
例1.若X1,X2, …,Xn是来自总体X的样本，设 X的分布函数为 F(x)，则样本 X1,X2, …,Xn的联合分布函数为
⎧ n − λ xi (1 − e ), xi > 0(i = 1, 2,⋯ , n) ⎪∏ F ( x1 , x2 ,⋯ , xn ) = ⎨ i =1 ⎪ 0 , 其他 ⎩
1/8， 25 ≤ x<27 2/8， 27 ≤ x<30 3/8， 30 ≤ x<33 Fn(x)= 5/8， 33 ≤ x<35 6/8， 35 ≤ x<45 7/8， 45 ≤ x<65 1， 65 ≤ x
概率论与数理统计课程简介
概率论与数理统计课程简介
概率论与数理统计是一门重要的数学课程，它是研究随机现象的规律性和统计规律的数学分支。
概率论与数理统计的研究对象是随机变量和随机过程，它们是随机现象的数学模型。
概率论与数理统计的研究方法是数学分析和统计学方法，它们是研究随机现象的基本工具。
概率论是研究随机现象的规律性的数学分支。
它是研究随机事件发生的可能性大小的学科。
概率论的基本概念是概率，概率是指某一事件发生的可能性大小。
概率论的研究内容包括概率的基本性质、概率的计算方法、随机变量的概率分布、随机事件的独立性和条件概率等。
数理统计是研究统计规律的数学分支。
它是研究如何从样本中推断总体的性质和规律的学科。
数理统计的基本概念是样本和总体，样本是从总体中抽取的一部分数据，总体是指所有数据的集合。
数理统计的研究内容包括统计量的概念和性质、参数估计、假设检验、方差分析和回归分析等。
概率论与数理统计在现代科学和工程技术中有着广泛的应用。
在自然科学中，概率论与数理统计被广泛应用于物理学、化学、生物学等领域。
在社会科学中，概率论与数理统计被广泛应用于经济学、管理学、心理学等领域。
在工程技术中，概率论与数理统计被广泛应用于电子工程、通信工程、计算机科学等领域。
概率论与数理统计是一门重要的数学课程，它是研究随机现象的规律性和统计规律的数学分支。
概率论与数理统计在现代科学和工程技术中有着广泛的应用，它们是研究随机现象的基本工具。
数理统计
数理统计数理统计(Mathematics Statistics)什么是数理统计数理统计是以概率论为基础，研究社会和自然界中大量随机现象数量变化基本规律的一种方法。
其主要内容有参数估计、假设检验、相关分析、试验设计、非参数统计、过程统计等。
数理统计的特点它以随机现象的观察试验取得资料作为出发点,以概率论为理论基础来研究随机现象.根据资料为随机现象选择数学模型,且利用数学资料来验证数学模型是否合适,在合适的基础上再研究它的特点,性质和规律性.例如灯泡厂生产灯泡,将某天的产品中抽出几个进行试验.试验前不知道该天灯泡的寿命有多长,概率和其分布情况.试验后得到这几个灯泡的寿命作为资料,从中推测整批生产灯泡的使用寿命.合格率等.为了研究它的分布,利用概率论提供的数学模型进行指数分布,求出值,再利用几天的抽样试验来确定指数分布的合适性.数理统计的起源与发展数理统计是伴随着概率论的发展而发展起来的一个数学分支，研究如何有效的由集、整理和分析受随机因素影响的数据，并对所考虑的问题作出推断或预测，为采取某种决策和行动提供依据或建议.数理统计起源于人口统计、社会调查等各种描述性统计活动.公元前2250年，大禹治水，根据山川土质，人力和物力的多寡，分全国为九州；殷周时代实行井田制，按人口分地，进行了土地与户口的统计；春秋时代常以兵车多寡论诸侯实力，可见已进行了军事调查和比较；汉代全国户口与年龄的统计数字有据可查；明初编制了黄册与鱼鳞册，黄册乃全国户口名册，鱼鳞册系全国土地图籍，绘有地形，完全具有现代统计图表的性质.可见，我国历代对统计工作非常重视，只是缺少系统研究，未形成专门的著作.在西方各国，统计工作开始于公元前3050年，埃及建造金字塔，为征收建筑费用，对全国人口进行普查和统计.到了亚里土多德时代，统计工作开始往理性演变.这时，统计在卫生、保险、国内外贸易、军事和行政管理方面的应用，都有详细的记载.统计一词，就是从意大利一词逐步演变而成的.数理统计的发展大致可分为古典时期、近代时期和现代时期三个阶段.古典时期(19世纪以前).这是描述性的统计学形成和发展阶段，是数理统计的萌芽时期.在这一时期里，瑞土数学家贝努里(1654-1795年)较早地系统论证了大数定律.1763年，英国数学家贝叶斯提出了一种归纳推理的理论，后被发展为一种统计推断方法――贝叶斯方法，开创了数理统计的先河.法国数学家棣莫佛(1667-1754)于1733年首次发现了正态分布的密度函数.并计算出该曲线在各种不同区间内的概率，为整个大样本理论奠定了基础.1809年，德国数学家高斯(1777-1855)和法国数学家勒让德(1752-1833)各自独立地发现了最小二乘法，并应用于观测数据的误差分析.在数理统计的理论与应用方面都作出了重要贡献，他不仅将数理统计应用到生物学，而且还应用到教育学和心理学的研究.并且详细地论证了数理统计应用的广泛性，他曾预言："统计方法，可应用于各种学科的各个部门."近代时期(19世纪末至1845年)数理统计的主要分支建立，是数理统计的形成时期.上一世纪初，由于概率论的发展从理论上接近完备，加之工农业生产迫切需要，推动着这门学科的蓬勃发展.1889年，英国数学家皮尔逊(1857-1936)提出了矩估计法，次年又提出了频率曲线的理论.并于1900年在德国数学家赫尔梅特在发现 c 2分布的基础上提出了c 2 检验，这是数理统计发展史上出现的第一个小样本分布.1908年，英国的统计学家戈塞特(1876-1937)创立了小样本检验代替了大样本检验的理论和方法(即t分布和t检验法)，这为数理统计的另一分支――多元分析奠定理论基础.1912年，英国统计学家费歇(1890-1962)推广了t检验法，同时发展了显著性检验及估计和方差分析等数理统计新分支.这样，数理统计的一些重要分支如假设检验、回归分析、方差分析、正交设计等有了其决定其面貌的内容和理论.数理统计成为应用广泛、方法独特的一门数学学科.现代时期(1945年以后)美籍罗马尼亚数理统计学家瓦你德(1902-1950)致力于用数学方法使统计学精确化、严密化，取得了很多重要成果.他发展了决策理论，提出了一般的判别问题.创立了序贯分析理论，提出著名的序贯概率比检法.瓦尔德的两本著作《序贯分析》和《统计决策函数论》，被认为是数理发展史上的经典之作.由于计算机的应用，推动了数理统计在理论研究和应用方面不断地向纵深发展，并产生一些新的分支和边缘性的新学科，如最优设计和非参数统计推断等.当前，数理统计的应用范围愈来愈广泛，已渗透到许多科学领域，应用到国民经济各个部门，成为科学研究不可缺少的工具.。
高考数学冲刺数理统计的基本概念与方法
高考数学冲刺数理统计的基本概念与方法在高考数学的冲刺阶段，数理统计作为一个重要的知识点，需要我们深入理解其基本概念与方法，以提高解题能力和应对高考的信心。
首先，让我们来了解一下什么是数理统计。
简单来说，数理统计是研究如何有效地收集、整理和分析数据，从而对所研究的问题作出推断或预测的一门学科。
在高考中，常见的数理统计基本概念包括总体、个体、样本、样本容量等。
总体是指我们所研究对象的全体，个体则是总体中的单个元素。
而样本是从总体中抽取的一部分个体，样本容量则是样本中个体的数量。
例如，要研究某学校高三学生的数学成绩情况，那么该校全体高三学生的数学成绩就是总体，每个高三学生的数学成绩就是个体。
如果从该校高三学生中抽取 100 名学生的数学成绩作为研究对象，那么这100 名学生的数学成绩就是样本，100 就是样本容量。
接下来，我们谈谈数据的收集方法。
常见的数据收集方法有普查和抽样调查。
普查是对总体中的每个个体都进行调查，这种方法能够得到全面、准确的信息，但往往需要耗费大量的人力、物力和时间。
抽样调查则是从总体中抽取一部分个体进行调查，然后根据样本数据来推断总体的情况。
抽样调查的关键在于样本的选取要具有代表性和随机性。
在抽样方法中，又分为简单随机抽样、分层抽样和系统抽样。
简单随机抽样是最基本的抽样方法，它要求每个个体被抽取的概率相等。
比如，从一个装有 50 个球的箱子中随机抽取 5 个球，每个球被抽取的机会是相同的。
分层抽样则是将总体按照某些特征分成若干层，然后从每一层中分别抽取样本。
例如，要调查某城市居民的收入情况，可以按照不同的收入层次进行分层抽样。
系统抽样是将总体中的个体按照一定的顺序排列，然后按照固定的间隔抽取样本。
有了数据之后，我们需要对数据进行整理和描述。
这就涉及到数据的数字特征，比如平均数、中位数、众数、方差和标准差等。
平均数是一组数据的总和除以数据的个数，它反映了数据的平均水平。
中位数是将一组数据从小到大或从大到小排列后，位于中间位置的数，如果数据个数是奇数，则中位数就是中间的那个数；如果数据个数是偶数，则中位数是中间两个数的平均值。
第六章 数理统计的基本概念 - 浙江大学邮件系统
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2 极大似然估计
注意到，L ,
1
n
e
1
n
i1
xi
n
是的增函数，
取到最大值时，L达到最大。
故 X1 min X1, X 2 , , X n ,
又lnL
nln
1
n i 1
Xi
ˆ
令 dlnL d
n
解：似然函数L f xi , i 1
n
xi
1n 2来自 n 1
xi
i 1
i1
lnL
n 2
ln
n
1 ln xi
i 1
令
dlnL
d
n 2
1
2
1
n
ln xi 0
i 1
lnL 称为对数似然函数.
利用lnL
i
0, i
1,
2,...,
k.解得ˆi，i
1,
2,...,
k.
3. 若L 关于某个i 是单调增减函数，此时i的极大似然
估计在其取值范围的边界取得；
4. 若ˆ是 的极大似然估计，则g 的极大似然估计为g ˆ 。
n i 1
(xi 1)2
2 2
d
d 2
ln
L(
2
)
n
2
2
1
2
4
n
( xi
i 1
1)2
概率论与数理统计(叶慈南 刘锡平 科学出版社)第6章 数理统计的基本概念教程
3.样本k阶(原点)矩 Ak = 样本k阶中心矩
Bk =
1 n k ∑ X i 反映总体k阶矩E(Xk)的信息 n i =1 P E ( X k ) = k , k = 1, 2, L →
反映总体k
9
1 n P → ∑ ( X i X )k E {[ X E ( X )]k } = mk n i =1 k=1,2,…
1o
X ~ N ( ,
σ2 ) n
即
X ~ N (0,1) σ/ n
2o 3o
(n 1) S 2 ~ χ 2 ( n 1) σ2 X 与 S 2 相互独立 4o X ~ t ( n 1) S/ n
23
24
4
1o
X ~ N ( , X=
σ2 ) n
即
X ~ N ( 0, 1) σ/ n
4o
正态总体的抽样分布定理
例 设 X1,…,X10 是取自N(0,0.32)的样本,求
P{∑ X i > 1.44}
2 i =1 10
定理一,二,三
2 2 设 X 1 ,..., X n 是来总体 N ( , σ ) 的样本, X , S 分别为样
本均值和样本方差,则
例 设 X 1 , X 2 , L , X 15 是来自总体 N (0,1)的一个简单随 2 2 X 12 + X 2 + L + X 10 机样本, Y= 则 服从 分布. 2 2 2 2( X 11 + X 12 + L + X 15 )
4
个体:组成总体的元素(如:某一个灯泡的寿命)
每个可能的观察值
有限总体 无限总体 如:考察某大学大一2000名男生的身高 如:考察某大学大一2000名男生的身高 如:测量一湖泊任一地点的深度
数理统计学
数理统计学数量统计学是根据从总体中随机抽出的样本里所获得的信息来推断关于总体性质的一门学科.或者说是为了得到科学的和实用的结论,而系统整理并利用统计数据的数学方法.它的任务就是研究怎样获得数据和如何分析带有随机性数据,在此基础上对各知识领域中的问题进行推断、预测、直至确定应采取的行动和决策方案.“统计学”（statistics）一词是德国学者阿享瓦尔针对17世纪在德国兴起的“政治学”（德文,staatenkunde）而使用的术语.这门学问最初是用统计方法描述一些先进国家的经济和税收状况.而作为以概率论为基础的数理统计学的产生却是相对比较晚近的事.几百年来,数理统计学已经发展成为一门既有坚实的理论基础,又有广泛实用价值的数学学科.数理统计学的发展史大致可以分为三个时期.数理统计学的萌芽时期历史上最早出现的统计推断可以看作是英国统计学家格兰特在1662年组织调查伦敦市死亡人数,从数量上去掌握集团的统计推断,并发表专著《从自然和政治方面观察死亡统计表》.因此,数理统计学可以认为是格兰特于17世纪60年代开创的.格兰特对生命统计、保险统计及经济统计,进行数学的研究.这一学问曾被称为“政治算术”.他由统计的结果发现人口出生率与死亡率相对稳定,于是提出“大数恒静定律”,成为统计学的基本原理.英国学者佩蒂沿袭了格兰特的方法,统计不同职业人口及伦敦等地的居民数目,著有《政治算术》一书.由于需要对各地人口、农业生产品及国际贸易数量的估计,亟待若干形式的测定数作为处理问题的根据,并需要科学的方法,对测定数进行分析,于是统计学的数学性质逐渐加深,奠定了现代数理统计学的基础.另一方面,概率论的发展不可避免地要影响到数理统计学的发展.现在人们所理解的统计推断程序,最早的就是贝叶斯方法.贝叶斯长期担任英国一个地方教堂的牧师.他自学数学成才,对概率论作出了重要贡献.在他的论文《机会学说问题试解》中建立了条件概率的贝叶斯定理或贝叶斯公式,以后成为统计推断的基础.用概率模型作为手段的数据分析始于19世纪初.被某些人称为近代统计分析中的“汽车”1的最小二乘法原理是由两位著名数学家高斯和勒让德发展起来的2,首先用于分析天文观测中的误差.高斯把钟形曲线作为观测误差的分布曲线.20世纪以来,最小乘二法原理经过俄国数学家马尔可夫和其他学者的工作发展成为数理统计学中的一个重要方法.高斯的工作揭示了正态分布的重要性,因此,人们通常称正态分布为高斯分布.曾经有一段时间,学者们普遍认为在实际问题中遇到的几乎所有连续随机变量,都可以用正态分布来刻划.到19世纪后期,一些学者（特别是皮尔逊）开始认识到这种看法的局限性.19世纪中叶,许多数理统计学理论的新发展,几乎直接或间接地由两个人1指最小二乘法在近代统计中的作用,有如汽车在现代社会中的作用.2高斯和勒让德到底是谁先发明最小二乘法,是统计学史上最著名的有关优先权的争论.勒让德一直声称他是最早的发明者,他在1805年发表了有关结果.所推动.一个是比利时统计学家凯特勒,一个是英国生物学家高尔顿凯特勒的主要功绩在于使统计方法获得普遍应用.凯特勒对各种学科均有研究,如天文学、数学、物理学、生物学、社会统计学及气象学等.他将统计方法应用到上述研究范围上去,并强调了正态分布的用途,主张这一分布状态可以适用于许多学科范畴.凯特勒曾致力于比利时国势调查以及组织国际统计活动.他引进所谓“平均人”（averageman）的概念,起了总体概念的先驱作用.高尔顿是生物学家达尔文的表弟,他对遗传定律颇感兴趣,并最早把统计方法用于生物学.高尔顿曾到非洲考察和探险,搜集了大量资料,并投入很大精力钻研资料中所隐藏的模型与关系.在1889年出版了《自然的遗传》一书,引进了回归直线、相关系数的概念,创立了回归分析.这在遗传的研究中,是以弄清儿辈特征值与父辈特征值的相关关系为目的的.但在那个时代,样本特征值与总体特征值的区别还是很不清楚的.此外,高尔顿还提出了中位数、四分位数、百分位数及四分位偏差等概念.爱尔兰经济学家兼统计学家埃奇沃思关于方差和或然误差的一系列文章也是这一时期的工作.日渐成熟的数理统计学从19世纪末到第二次世界大战结束,可认为是数理统计学发展的第二个时期.这个时期,数理统计学蓬勃发展,名家辈出,提出了一些带根本性的重要概念和方法,完成了许多重要的工作,形成了一系列的基本分支,为数理统计成为一门数学学科打下了坚实的基础.这一时期开始于英国数学家皮尔逊的工作.皮尔逊1884年任伦敦大学学院应用数学和力学教授,担任过格雷沙姆几何学教授、应用数学系主任和高尔顿优生学教授.1899年,他和剑桥大学的动物学家讨论达尔文的自然选择理论.他将数理统计应用于生物遗传和进化诸问题,得到生物统计学和社会统计学的一些基本法则.进一步发展了回归和相关的理论.术语“总体”、“众数”、“标准差”,“变差系数”都是他引进的.皮尔逊认为,统计的基本问题在于“由过去的数据来推断未来会发生什么事”.做到这一点的途径是“把观测数据转化为一个可供预测用的模型”.他对统计的理解已经接近现代的理解.他为此发展了一系列方法──皮尔逊分布族、矩法、拟合优度2 检验等.为了描述自然现象的非对称分布特性,皮尔逊研究出所谓反频率曲线.他和高尔顿等人主持创办了著名的《生物计量》杂志,皮尔逊于1901—1936年担任主编.这一杂志,至今在国际上仍享有盛名;他还担任过《优生学纪事》的编辑.他的著作有:《对进化论的数学贡献》、《统计学家和生物统计学家用表》、《死的可能性和进行论的其它研究》等.19世纪末年,由于概率论的发展,使数理统计学进一步与应用相结合.于是,统计理论与方法开始演进到现代的形态.1908年对现代数理统计学来说,是极重要的一年.英国学者戈塞特以“学生”,为笔名在《生物计量》上发表一篇划时代的文章,得到了t-统计量的精确分布的形式.它不仅成为数理统计学常用的工具,而且也是统计量精确分布理论中一系列重要结果的开端;特别在多元正态总体抽样分布方面有重要意义.因此,可以说戈塞特的工作为样本资料的统计分析与解释开辟了一个新纪元.戈塞特自1899年到他逝世的1937年,都在世界上最大酿酒商之一吉尼斯的啤酒厂担任统计工作.他常与农业实验接触.为了使实验尽可能少消耗原料,他注意到应用小样本及从小样本得到可靠知识的重要性,从而创立了t-分布方法.但当时,他所推导的t-分布方法是不完整的.对现代数理统计学的发展作出决定性贡献的:是英国学者费希尔.他早年在剑桥大学攻读数学和理论物理,后来致力于生物统计学的研究.费希尔利用n维几何方法（多重积分法）给出了t-分布方法的完整证明.他引进了解消假设和显著性检验的概念,成为假设检验理论的先驱,并列举了一致性、有效性和充分性,作为参数的估计量应具备的性质.他还对估计的精度与样本所具有的信息之间的关系进行了考虑,得到了信息量的概念.极大似然法是由费希尔提出的.试验设计法也是由费希尔开创和发展的统计方法之一.他凭借随机化的手段,成功地把概率模型带进了实验领域,并作为分析这种模型的一个方法,建立了方差分析法,他强调了统计方法在试验设计中的重要性.1925年他发表《研究人员用统计方法》一书,50余年内已再版多次.1956年总结其数理统计学研究,著《统计方法及科学推理》一书.除了费希尔以外,这一时期数理统计学发展的重大事件要推内曼和皮乐逊之子皮尔逊在1928—1938年期间建立了假设检验理论和内曼在1934年建立了置信区间理论.内曼生于俄国,后移居美国,在伯克利的加里福尼亚大学任教.他在该校建立了一个研究机构,后来发展成为世界著名的数理统计中心.内曼在假设检验理论中,引进检验功效函数概念,以此作为判断检验方面,取得了许多成果.中国著名数理统计学家许宝騄,在20世纪数理统计史上享有盛名.早年留学英国,就读于费希尔门下,当时英国统计学派的研究在数学论证方面有不少欠缺,许宝騄以其扎实的数学基本功夫,给出许多统计规律的极其漂亮和严密的证明.他在多元分析、统计推断和线性模型方面做出国际水平的工作,尤其在多元分析方面的贡献,起了奠基性的作用.1979年,美国《数理统计年鉴》曾邀请一些著名学者撰文介绍他的生平和工作,高度评价他的贡献.二次大战前数理统计学的另一项重要进展是时间序列分析.1925—1930年间,英国数学家尤尔研究了振荡的时间序列,引进了自回归过程和序列相关等重要概念,奠定了这个统计分支现代发展的基础.1946年,瑞典统计学家克拉默尔发表了《统计学的数学方法》一书,总结了二次大战前数理统计学发展的大部分工作.某些专家认为,这部著作标志着现代数理统计作为一门数学分支的确立.数理统计学的深入发展二次大战以后是数理统计学发展的第三个时期.其特点一方面是使用的数学工具愈广愈深,除了数学分析、测度论、矩阵代数以外,往往还需要泛函分析、拓扑学、近世代数等现代数学工具;另一方面是数理统计学的应用愈加广泛.战后,由于工业和军事技术的飞速发展,使数理统计方法的应用达到前所未有的规模.如在工业上广泛应用统计质量管理,并由此产生了抽样检验、管理图等方法.其它如试验设计、多元分析、时间序列分析等也找到了不少新的应用领域.由于电子计算机的发展,使得在战前发展起来的一些统计方法发挥了更大作用.这一时期数理统计学的发展,主要有以下几个方面.1 统计判决函数理论犹太血统的美国学者瓦尔德创立了统计判决函数理论,它是统计学的统一数学理论.一般把瓦尔德的专著《统计决策函数》的发表作为这一理论诞生的年代.在这个理论中,把推断程序的全体命名为判决函数空间,第一次明确地定义它为一个集合.这样一来,检验和估计等数理统计问题可用统一方法处理.瓦尔德理论的出现,开拓了统计学一些新的研究领域,特别是参数估计这个分支在这个理论的影响下,面貌有了很大变化.瓦尔德定义了统计推断程序的风险函数,用来作为推断程序好坏的准则.他还使统计理论与对策论结合起来,并在统计学中引进了极小极大原理.2 发展大样本理论大样本理论的深入发展,遍及数理统计学各主要分支.例如,非参数统计,在战前还谈不上系统化,在战后发展很快.由于这个分支的特点决定,只有发展大样本理论,它才得以发展.目前构成这个分支主要内容的U-统计量理论、线性置换统计量理论及秩统计量的大样本理论都是战后发展起来的.再如,在参数估计中,象极大似然估计、稳健估计、自适应估计的大样本理论在战后也得到很大发展.3 贝叶斯统计学派的影响增长贝叶斯统计学派影响的增长是战后数理统计学发展的另一特征.因为贝叶斯方法是在作统计推断前考虑和运用了事前经验（先验知识）,并提供了一种易于实用者掌握的解决问题的方法,在应用上取得相当的地位.在一些数理统计学的专著中,贝叶斯方法仍占很大篇幅.并且以贝叶斯方法为工具研究的统计问题也日渐增多.然而贝叶斯方法的缺点在于未能提供直接由样本观察值来确定参数分布的方法.因此,贝叶斯统计始终是统计界争论的问题.除了以上几个方面以外,还有序贯分析、多元分析、试验设计、过程统计等方面都有不少进展,出现了一些新的工作,但有些理论尚待建立.至此,数理统计学的理论与应用,获得辉煌进展,而概率论的作用也更加重要,它不但成为数理统计学的理论基础,而且作为统计归纳与统计推理的依据.这些研究成果,导致今日更进步更复杂的数理统计学的产生,并使之迅速地应用于极广泛的领域.然而,科学的进展是无止境的,现代数理统计学,仍有许多问题,尚须有更佳的处理,有待学者们不断地探求.统计量样本的已知函数,其作用是把样本中有关总体的信息汇集起来,是数理统计学中一个重要的基本概念.常用统计量有样本矩、次序统计量、U-统计量和秩统计量等.其中U-统计量是霍夫丁于1948年引进的.统计量的充分性和完全性是两个重要概念.充分性是费希尔在1925年引进的,内曼和哈尔莫斯在1949年严格证明了一个判定统计量充分性的方法,叫做因子分解定理.统计量的分布叫做抽样分布,它的研究是数理统计中的重要课题.对一维正态总体,有三个重要的抽样分布,即2χ分布、t-分布和F-分布.其中2χ分布是赫尔梅特于1875年在研究正态总体的样本方差时得到的;t-分布是英国统计学家戈塞特（笔名“学生”）于1908年提出的;F-分布是费希尔在20世纪20年代提出的.实验设计法又称之为试验设计法.数理统计学的一个分支,研究如何制定实验方案,以提高实验效率,缩小随机误差的影响,并使实验结果能有效地进行统计分析的理论与方法.英国统计学家费希尔于1923年与梅克齐合作发表了第一个实验设计的实例,1926年提出了实验设计的基本思想.1935年费希尔出版了他的名著《实验设计法》,其中提出了实验设计应遵循的三个原则:随机化、局部控制和重复.费希尔最早提出的设计是随机区组和拉丁方方法,两者都体现了上述原则.1946年,英国统计学家芬尼在保证能估计全部主效应和少数一部分低阶交互作用的前提下,提出了部分实验法.正交表是进行部分实验法最方便的一种工具,日本统计学家田口玄一为正交表的形式和广泛应用做出了在国际上很有影响的工作.点估计总体未知参数估计的一种形式.目的是依据样本估计总体分布所含未知参数或未知参数的函数.构造点估计的方法常用的有矩估计法、最大似然估计法、最小二乘法和贝叶斯估计法.1894年英国统计学家皮尔逊提出的矩估计法,要旨是用样本矩的函数估计总体矩的同一函数.最大似然估计法是一种重要而普遍的点估计法,由英国统计学家费希尔在1912年提出,后来在他的1921年和1925年的工作中又加以发展.最小二乘估计法是由德国数学家高斯在1799—1809年和法国数学家勒让德在1806年提出的,并由俄国数学家马尔可夫在1900年加以发展.它主要用于线性统计模型中的参数估计问题.贝叶斯估计法是基于“贝叶斯学派”的观点而提出的估计法.英国学者贝叶斯1763年在《机会学说问题试解》中,提出了一种归纳推理的理论,以后被一些统计学者发展成为一种系统的统计推断方法,被称为贝叶斯方法.认为贝叶斯方法是唯一合理的统计推断方法的统计学者组成“贝叶斯学派”,它形成于20世纪30年代,到50—60年代已发展成为一个很有影响的学派.区间估计总体参数估计的一种形式.通过从总体中抽取的样本,根据一定的正确度与精确度的要求,构造出适当的区间,以作为总体的分布参数（或参数的函数）的真值所在范围的估计.1934年,由美国统计学家内曼创立了一种严格的区间估计理论,给出了置信系数和置信区间的概念.20世纪30年代初期英国统计学家费希尔提出了一种构造区间估计的方法,称之为信任推断法.另外,贝叶斯方法也是一种构造区间估计的方法.假设检验又被称为统计假设检验,是一种基本的统计推断形式,也是数理统计学的一个重要分支.在假设检验中,有一种检验方法被称为显著性检验.它是依据实际数据与理论假设H0之间的偏离程度来推断是否拒绝H0的检验方法.拟合优度检验是一类重要的显著性检验.英国统计学家皮尔逊在1900年提出的2 检验是一个拟合优度检验.原苏联数学家柯尔莫哥洛夫和斯米尔诺夫在20世纪30年代的工作开辟了非参数假设检验的方向,分别得到柯尔莫哥洛夫检验和斯米尔诺夫检验,它们都是重要的拟合优度检验方法.美国学者内曼和皮尔逊之子皮尔逊在前人工作的基础上,于1928—1938年间对假设检验进行了系统而深入的研究,发表了一系列文章,建立了假设检验的严格数学理论.内曼引进了检验功效函数的概念,以此作为判断检验程序好坏的标准.内曼与皮尔逊在1933年提出了著名的内曼─皮尔逊引理,是对简单假设寻求最大功效检验的一个构造性的结果.运用与最大似然估计类似的原理,可得到似然比检验法.在一般情况下,寻求似然比的精确分布并不容易.1938年,美国统计学家威尔克斯建立了有关似然比的一个统计量,并证明了它渐近2χ分布,这就为大样本的似然比检验提供了实行的可能.用似然比法导出的U-检验、t-检验和F-检验,都是假设检验中的重要检验法.统计决策理论一种数理统计学的理论.这种理论把数理统计问题看成是统计学家与大自然之间的博弈,用这种观点把各种各样的统计问题统一起来,以对策论的观点来研究.这一理论的创立是数理统计学上的一次革新,拓广了统计学的内容范围,有较大的实际意义.美国统计学家瓦尔德1939年开始探讨这一理论,提出一般的判决问题,引进了损失函数、风险函数、极小极大原则和最不利先验分布等重要概念.他于1950年出版了专著《统计决策函数》（中译本,上海科技出版社,1960）,系统地总结了他在这一理论研究中的成果,同时也宣布了统计决策理论的正式创立.瓦尔德的理论受到统计学界的重视,成为第二次世界大战后统计学史上一个重大事件.1950年以后的几十年在这方面出现了不少工作,同时,这种理论对数理统计各分支的发展产生了程度不同的影响,特别是参数估计这个分支在其影响下,面貌有了很大变化.序贯分析数理统计学的一个分支.其名称源出于美国统计学家瓦尔德在1947年发表的—本同名著作.它研究的对象是所谓“序贯抽样方案”,及如何用这种抽样方案得到的样本去作统计推断.美国统计学家道奇和罗米格的二次抽样方案是较早的一个序贯抽样方案.1945年,施坦针对方差未知时估计和检验正态分布的均值的问题,也提出了一个二次抽样方案,据此序贯抽样方案既可节省抽样量,又可达到预定的推断可靠程度及精确程度.第二次世界大战时,为军需验收工作的需要,瓦尔德发展了一种一般性的序贯检验方法,叫做序贯概率比检验,此法在他的1947年的著作中有系统的介绍.瓦尔德的这种方法提供了根据各次观测得到的样本值接受原假设H0或接受备择假设H1的临界值的近似公式,也给出了这种检验法的平均抽样次数和功效函数,并在1948年与美国统计学家沃尔福威兹一起,证明了在一切两种错误概率分别不超过α和β的检验类中,上述序贯概率比检验所需平均抽样次数最少.瓦尔德在其著作中也考虑了复合检验的问题,有许多统计学者研究了这种检验,瓦尔德的上述开创性工作引起了许多统计学者对序贯方法的注意,并继续进行工作,从而使序贯分析形成为数理统计学的一个分支.除了检验问题以外,序贯方法在其他方面也有不少应用,如在一般的统计决策、点估计、区间估计等方面都有不少工作.。
6-1数理统计学的基本问题与基本概念
Example 2:吸烟与肺癌的关系 • 吸烟增加患肺癌，其他癌症以及诸如心脏病 等严重疾病的危险． • １９４８－１９４９，英国学者多尔与希尔 从伦敦２０家医院中收集了７０９名肺癌病
人以及对照组－另７０９名患肺癌者的吸烟
情况的资料，按吸烟斗还是纸烟，男或女，
将烟吞进肺里与否等指标分类．
统计结论:吸烟与患肺癌呈明显的正相关. 如何理解这个统计规律的意义? 首先,统计规律是关于群体的规律。 对于群体中的个体情况复杂多样,没有一定.拿本例来 说:有吸烟很多而终生保持健康者,也有不吸烟而很早
, xn ) f ( xi )
i 1
n
由于抽样的目的是为 了对总体进行统计推断，为 了使抽取的样本能很好地反 映总体的信息，必须考虑抽 样方法.
最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽 样”，它要求抽取的样本满足下面两点:
1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察 的总体X有相同的分布. 2. 独立性： X1, X2,…, Xn是相互独立的随机变量.
简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，当 说到“X1,X2,…,Xn是取自某总体的样本”时，若不特别 说明，就指简单随机样本.
在实际问题中如何才能得到简单随机样本呢？
N 10 ），则连续抽取的n个个体就 （一般是 n
可以看成是一个简单随机样本。
当样本容量n相对总体中的个体数N很小时
如果是有放回的抽样，则不必要求n相对小 ，就能得到简单随机样本。
患肺癌者,不能用这类个别例子来否定二和者有正相关
性的结论,因为它讲的是群体中一种趋势。 １．这种规律反映了某种客观存在的现实有科学和认 识意义。 ２．对个体有警戒作用。
统计应用实例：
1． 孟德尔遗传定律的发现； ２．中国患SARS的病人的死亡率是多少；
概率论和数理统计(第三学期)第7章数理统计的基本概念
n i1
i
1 n
n
Ei
i1
D
D 1 n
n i 1
i
1 n2
n
Di
i 1
2
n
2
S~ 1 n
n i 1
i
2
1 n
n i 1
i2 2i
2
1 n
n
i2
i 1
2
n
i
i 1
n
2
1 n
n
i2
i 1
2
2
2
1 n
n
i2
i 1
2
E S~2
E
1 n
n
i2
i 1
23
.209
2
2 0.95
20
10
.851
当自由度n 45时，可用下面近似公式去求2 n:
x2 n
1 2
u
2
2n 1
例3
求
2 0.05
60 ．
解
2 0.05
60
1 2
u0.05
2
2 60 1
1 1.645
2
119 78.798
2
3、t分布的上侧分位点
对于给定的α(0<α<1)，使
2
e
xi 2 2
2
(2
) e 2
n 2
1
2 2
n i1
xi 2
在数理统计中，总体的分布往往是未知的，需 要通过样本找到一个分布来近似代替总体分布。
§7.3 分布的估计
频率分布 例 某炼钢厂生产的钢由于各种因素的影响，各炉
钢的含硅量可以看作是一个随机变量，现记录了 120炉钢的含硅量百分数，求出这个样本的频数分 布与频率分布。
数理统计学编程
数理统计学编程数理统计学编程：探索数据背后的故事数理统计学作为一门重要的学科，旨在通过收集、整理和分析数据来研究和理解现实世界中的现象。
而编程作为一种实现计算机自动化的工具，在数理统计学中发挥着重要的作用。
本文将围绕“数理统计学编程”展开深入探讨，旨在探索数据背后的故事。
一、数理统计学的基本概念数理统计学是一门研究如何收集、整理、分析和解释数据的学科。
它的核心目标是通过数据来推断和研究现象之间的关系。
在数理统计学中，我们需要掌握一些基本概念，如样本和总体、变量和观测值、统计量和参数等。
这些基本概念为我们后续的数理统计学编程提供了基础。
二、数理统计学编程的重要性数理统计学编程是将编程技术应用于数理统计学的过程。
它的重要性主要体现在以下几个方面：1.数据处理：数理统计学需要对大量的数据进行处理和分析。
编程技术能够帮助我们快速、高效地处理数据，提取出有用的信息。
2.数据可视化：数据可视化是数理统计学中非常重要的一环。
编程技术能够帮助我们将数据以图表的形式展示出来，更直观地展示数据背后的规律和趋势。
3.模型建立：数理统计学中常常需要建立各种模型来描述数据之间的关系。
编程技术能够帮助我们建立和优化这些模型，提高模型的准确性和效率。
4.数据分析：编程技术能够帮助我们实现各种数据分析算法，如回归分析、聚类分析等。
通过编程，我们能够更深入地理解数据背后的规律和机制。
三、数理统计学编程的常用工具数理统计学编程涉及到多种编程工具和语言。
以下是数理统计学编程中常用的工具：1.R语言：R语言是一种专门用于统计分析和数据可视化的编程语言。
它具有丰富的数据分析库和绘图函数，非常适合数理统计学的编程需求。
2.Python语言：Python语言是一种通用的编程语言，也在数理统计学中得到广泛应用。
Python拥有强大的科学计算库和数据处理库，如NumPy、Pandas和Matplotlib等。
3.SAS软件：SAS是一种统计分析系统，也是数理统计学中常用的分析工具。
数学的数理统计学
数学的数理统计学数理统计学是一门应用数学的分支学科，旨在研究数据的收集、分析和解释。
它是现代科学、工程和社会科学中必不可少的工具之一。
本文将从数学的角度出发，介绍数理统计学的基本概念、方法和应用。
一、基本概念数理统计学的基本概念包括总体、样本、随机变量和概率分布等。
总体是指研究对象的全体，样本则是从总体中选取的一部分个体。
随机变量是描述随机现象的数值特征，概率分布则描述了随机变量的取值规律。
二、数据的收集与描述在数理统计学中，收集和描述数据是关键的一步。
常见的数据收集方法包括抽样调查、实验和观测等。
而对数据进行描述的手段主要有集中趋势度量和离散程度度量。
集中趋势度量包括均值、中位数和众数等，用于反映数据的中心位置；离散程度度量包括方差、标准差和变异系数等，用于反映数据的离散程度。
三、概率与概率分布概率是数理统计学的重要概念之一，用来描述随机现象发生的可能性。
概率分布则用于描述随机变量的取值规律。
常见的概率分布包括正态分布、二项分布和泊松分布等。
正态分布是一种重要的连续型概率分布，其以钟形曲线为特征，广泛应用于自然科学和社会科学领域。
二项分布和泊松分布则常用于描述离散型随机变量的概率分布。
四、参数估计与假设检验参数估计与假设检验是数理统计学中的核心内容。
参数估计是根据样本数据对总体参数进行估计，常用的方法包括点估计和区间估计。
假设检验则是用于判断总体参数是否满足某个假设，常用的方法包括单样本假设检验、双样本假设检验和方差分析等。
五、回归与相关分析回归分析是研究两个或多个变量之间关系的统计方法。
简单线性回归分析用于描述两个变量之间的线性关系，多元线性回归分析则考虑多个自变量对因变量的影响。
相关分析则用于描述两个变量之间的相关程度，常用的是皮尔逊相关系数。
六、应用领域数理统计学在各个领域都有广泛的应用。
在自然科学方面，数理统计学可以帮助分析实验数据，验证理论模型。
在工程领域，数理统计学可以应用于质量控制、可靠性分析等。
计量经济学的统计学基础
协方差的性质 （1）cov(x, x) D(x)
(2) cov(x, y) cov( y, x) (3) cov(ax,by) ab cov(x, y) (4) cov(x1 x2, y) cov(x1, y) cov(x2, y) (5) cov(c, x) 0,其中c为常数
第四节 随机变量的分布 ——总体和样本的连接点
x
N为自由度
定理 2 分布的和仍然服从 2 分布
若X 1 ,
X
2
,.
.
.
.
.
.
,X
相
n
互独立
，且X
i
~
2 (ki ),
i 1,2,......,n。则
n
X1＋X 2＋.....＋ . X n ~ 2 ( ki ) i 1
n 时， 2(n) 正态分布
（3） t分布
• t分布的定义
若连续型随机变量X ~ N(0,1),Y ~ 2(n), X与Y相互独立，
变量X的取值 x1 x2 相应概率P p1 p2
…… xn …… pn
n
Ex
p 1
x1
p 2
x2
pn xn
p i
xi
i 1
• 定义： 连续型随机变量数学期望的定义(略）
若连续型随机变量X有分布密度函数 x ，若积分
x
xdx绝对收敛，则E
x
x
xdx称为X的数学期望。
2.1 数学期望（续）
• 小结：数学期望的定义 • 随机变量的可能值以相应概率为权数的算术
平均数
• 数学期望，平均值，均值 • 反映了随机变量的平均水平或集中趋势 • 通常以E(*)表示期望运算，以μ表示期望值。
大学数学统计篇之数理统计的基本概念——常用统计分布
例1 设 0.05, 求标准正态分布的水平 0.05 的上 侧分位数和双侧分位数.
解 由于
( u0.05 ) 1 0.05 0.95,
查标准正态分布函数值表可得
u0.05 1.645, 而水平 0.05 的双侧分位数为 u0.025 , 它满足: ( u0.025 ) 1 0.025 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.975,
正态分布， 故有
t ( n) u , t / 2 ( n) u / 2 .
一般当 n 45 时， t 分布 的位数可用正态近似. ② 设 t ( n ) 为 t ( n) 的上侧 分位数，则
P{T t ( n)} 1 , P {T t ( n)} ,
分布
2
t 分布
F 分布
一、分位数
设随机变量 X 的分布函数为 F ( x ), 对给定的实数
(0 1), 若实数 F 满足不等式
P { X F }
位数. （1）
则称 F 为随机变量 X 的分布的水平为 的上侧分 若实数 T / 2 满足不等式 P{ X T / 2 } 分位数. （2）
, x
(1)
f ( x ) 的图形关于 y 轴对称，且
lim f ( x ) 0 ; x
(2) 即有
当 n 充分大时，t 分布近似于标准正态分布，
1 lim f ( x ) e n 2
t 分布的分位数
2 x 2
,
但 n 较小时，两者相差较大；
(3) 对给定的实数 (0 1), 称满足条件
2 1 2 2
X X X X
2 1 2 2 2 m
2014年 同济大学 应用统计 第一章 数理统计的基本概念
2
n
n 1 2 ， （ 2） E ( S ) n
2
（ 3） E ( S )
*2
2
B (1, p )
期望 E(X)
P ( )
R ( a, b)
E ( )
N ( , 2 )
p p(1 p)
ab 2
(b a ) 2 12
ab 2
1
1
2
方差 D(X) 样本均值的 期望 E ( X ) 样本均值的 方差 D ( X )
所以我们希望从客观存在的总体中按 一定原则选取一些个体（即抽样），通过 对这些个体作观察或测试来推断关于总体 分布中的某些量（例如总体的参数、均值、 方差、中位数等）. 这些抽取的个体便称为取自总体 的一个样本，这些个体的观测值称为样本 观测值.
在试验前，样本的取值是不确定的，为了 体现随机性，在数理统计中样本记作 （ X 1 , X 2 ,, X n ） ，事实上是 n 维随机变量.样本 可能取值的全体称为样本空间；n 为样本大小，称为样 本容量. 抽样以后通过试验或观测得到的数值称为样本观 测值，记作 ( x1 , , x n ) ，事实上是样本空间的一个点
1 n 2 ( X X ) 修正的样本方差 S i n 1 i 1
*2
常用的统计量
（3）样本的 K 阶原点矩
1 n k Ak ＝ X i n i 1
（4）样本的 K 阶中心矩
(A1 X )
1 n k 2 M k ＝ ( X i X ) (M 2 S ) n i 1
总体指标 X ： X ~ f ( x, ) 或 f ( x)
X :离散型随机变量,
f ( x, ) ˆ P ( X x) 即为总体 X 的概率函数
《概率论与数理统计》学习笔记
《概率论与数理统计》（19）电子科技大学应用数学学院，徐全智吕恕主编。
2004版第6章数理统计的基本概念概率论与数理统计是两个紧密联系的姊妹学科，概率论是数理统计学的理论基础，而数理统计学则是概率论的重要应用.数理统计学是使用概率论和数学的方法，研究如何用有效的方式收集带有随机误差的数据，并在设定的模型下，对收集的数据进行分析，提取数据中的有用信息，形成统计结论，为决策提供依据. 这就不难理解，数理统计应用的广泛性，几乎渗透到人类活动的一切领域! 如：农业、生物和医学领域的“生物统计”，教育心理学领域的“教育统计”，管理领域的“计量经济”，金融领域的“保险统计”等等，这些统计方法的共同基础都是数理统计.数理统计学的内容十分丰富，概括起来可以分为两大类：其一是研究如何用有效的方式去收集随机数据，即抽样理论和试验设计；其二是研究如何有效地使用随机数据对所关心的问题做出合理的、尽可能精确和可靠的结论，即统计推断.本书主要介绍统计推断的基本内容和基本方法. 在这一章中先给出数理统计中一些必要的基本概念，然后给出正态总体抽样分布的一些重要结论.6.1总体、样本与统计量一、总体在数理统计中，我们将研究对象的全体称为总体或母体，而把组成总体的每个基本元素称为个体.二、样本样本是按一定的规定从总体中抽出的一部分个体" 这里的“按一定的规定”，是指为保证总体中的每一个个体有同等的被抽出的机会而采取的一些措施" 取得样本的过程，称为抽样.三、统计量6.2抽样分布统计量是我们对总体的分布规律或数字特征进行推断的基础. 由于统计量是随机变量，所以在使用统计量进行统计推断时必须要知道它的分布. 统计量的分布称为抽样分布.一、三个重要分布二、抽样分布定理6.3应用一、顺序统计量及其应用二、极值的分布及其应用。
北交大-统计学-第二章 数理统计的基本概念2
一、顺序统计量及其分布
定义： 设X 1 , X 2 , , X n是取自总体X的样本，X ( i )称为
该样本的第i个顺序统计量，它的取 值是将样本 观测值，由小到大排列 后得到的第i个观测值，
其中
X (1) min(X1 , X 2 ,, X n )
称为该样本的
五、样本分位数与样本中位数
设X (1) ,, X ( n)是有序样本，则样本中 位数m0.5定义为 定义3：
n为奇数 X n1 2 1 X n X n n为偶数 1 2 2 2
最小顺序统计量， X( n) max(X1 , X 2 ,, X n ) 称为该样本的最大顺序统计量。
一般情况下，X (1) , X ( 2) ,, X ( n)既不独立，分布也不相 同。
例1： 设总体X的分布为仅取0,1,2的离散均匀分布
X
0
1 3
1
1 3
2
1 3
P
现从中取出3个样本，X 1 , X 2 , X 3，其一切可能取值 1 有3 27种，每一组观测值的概率相同，都为 。 27 下面，我们分别求出各顺序统计量的边缘分布， 说明上面结论的正确性。
n! n r 1 F ( yr ) f ( y1 ) f ( yr ) g( y1 ,, yr ) ( n r n.
特别地，当r n时，X(1) ,, X( n)的联合密度函数为
g( y1 ,, yn ) n! f ( y1 ) f ( yn )
X (1)与X ( 2)的联合分布列为
X ( 2) X (1)
0
7 27
0
大学数理统计的基本概念
大学数理统计的基本概念数理统计是一门应用数学学科，研究如何收集数据、分析数据并进行推断的方法和理论。
在大学的数学统计课程中，学生将学习一系列核心的基本概念，如样本、总体、概率、随机变量等等。
本文将介绍大学数理统计中的基本概念，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、样本与总体在数理统计中，样本和总体是两个基本概念。
样本是从总体中选取的一部分个体或观测值的集合，而总体是研究对象的全体个体或观测值的集合。
样本的选择通常通过随机抽样来保证代表性。
二、概率与概率分布概率是描述随机事件发生可能性的数值，通常用0到1的数字表示。
在数理统计中，我们使用概率来描述随机变量的可能取值。
概率分布是随机变量取值的可能性分布，常见的概率分布包括均匀分布、正态分布等等。
概率和概率分布对于研究和预测随机事件至关重要。
三、随机变量与参数估计随机变量是在一个随机试验中可能取到的各种值，可以分为离散随机变量和连续随机变量。
参数估计是通过样本数据对总体参数进行估计的过程，主要包括点估计和区间估计两种方法。
参数估计是统计学的核心内容之一，对于从样本数据中推断总体特征非常重要。
四、假设检验与统计推断假设检验是判断关于总体参数的假设是否成立的一种方法。
在假设检验中，我们需要提出一个原假设和一个备择假设，并根据样本数据进行推断和判断。
统计推断是根据样本数据对总体进行推断和预测的过程，常用的方法包括参数估计和假设检验。
五、回归与方差分析回归分析是研究自变量和因变量之间关系的一种统计方法，用于建立数学模型并进行预测和解释。
方差分析是用于比较多个总体均值是否有显著性差异的统计方法，常用于实验设计和数据分析。
六、抽样调查与统计图表抽样调查是经济、社会和科学研究中常用的一种数据收集方法，通过从总体中选取样本进行调查和分析，得出对总体的推断。
统计图表是用来直观展示数据分布、关系和趋势的图形工具，包括条形图、折线图、饼图等等。
总结：大学数理统计的基本概念包括样本与总体、概率与概率分布、随机变量与参数估计、假设检验与统计推断、回归与方差分析以及抽样调查与统计图表。
第六章 数理统计的基本概念浙江大学邮件系统
5
单因素方差分析 仅考虑有一个因素A对试
验指标的影响. 假如因素 A有r 个水平, 分别
在第 i 水平下进行了 多次独立观测, 所得到
的试验指标的数据
A1 : N 1, 2 X11 X12
X 1n1
A2 : N 2 , 2 X 21 X 22
X 2n2
Ar : N r , 2 X r1 X r2
X rnr
6
各个总体相互独立. 因此, 可写成如下的 数 学模型:
ij
X ij i ij
~
N
(0,
2
),
各
独立
ij
j 1, 2, , ni，i 1, 2, , r
7
方差分析的目的就是要比较因素A 的r 个水平下试验指标理论均值的差异, 问 题可归结为比较这r个总体的均值差异.
r ni
Xij2 1047,
i1 j1
X1 7.5, X 2 5, X3 4.33, X 4 5.17, X5 6.17, X 5.63
24
方差来源 平方和 自由度 均方 F 因素A 36.467 4 9.117 3.90 误差 58.500 25 2.334 总和 94.967 29
引起日光灯管寿命不同的原因有二个方面:
其一, 由于日光灯类型不同,而引起寿命不同.
其二,同一种类型日光灯管,由于其它随机因 素的影响, 也使其寿命不同.
4
在方差分析中, 通常把研究对象的特征值, 即所考察的试验结果( 例如日光灯管的寿命) 称为 试验指标.
对试验指标产生影响的原因称为 因素, “日 光灯管类型” 即为因素.
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比如：两个生产同类产品的工厂的产品的总体 分布：
X p 0 0.983 1 0.017
X
p
0
0.915
1
0.085
个体 —— 组成总体的每一个元素 样本 —— 从总体中抽取的部分个体. 用 ( X 1 , X 2 , , X n ) 表示, n 为样本容量. 称 ( x1 , x2 , , xn ) 为总体 X 的一个容量为n 的样本观测值,或称样本的一个实现.
独立性: 样本中每一样品的取值不影 响其它样品的取值 -- X1, X2, …, Xn 相互 独立。
简单随机样本 若总体 X 的样本 ( X 1 , X 2 , , X n ) 满足: (1) X 1 , X 2 , , X n 与X 有相同的分布
(2) X 1 , X 2 ,, X n 相互独立 则称 ( X 1 , X 2 , , X n )为简单随机样本. 一般,对有限总体,放回抽样所得到的样 本为简单随机样本,但使用不方便,常用 不放回抽样代替.而代替的条件是
output<-c(160,196,164,148,170,175,178,166,181, 162,161,168,166,162,172,156,170,157,162,154) hist(output,breaks=c(147+10*0:5),right=FALSE)
Ch6-30
二、茎叶图
例6.1.3 考察某厂生产的某种电子元件的 寿命，选了100只进行寿命试验，得到 如下数据：
表6.1.2 100只元件的寿命数据
寿命范围 ( 0 24] (24 48] (48 72] (72 96] (96 120] (120 144] (144 168] (168 192] 元件数 4 8 6 5 3 4 5 4 寿命范围 (192 216] (216 240] (240 264] (264 288] (288 312] (312 336] (336 360] (360 184] 元件数 6 3 3 5 5 3 5 1 寿命范围 (384 408] (408 432] (432 456] (456 480] (480 504] (504 528] (528 552] >552 元件数 4 4 1 2 2 3 1 13
把每一个数值分为两部分，前面一部分（百 位和十位）称为茎，后面部分（个位）称为 叶，然后画一条竖线，在竖线的左侧写上茎， 右侧写上叶，就形成了茎叶图。如： 数值 分开 茎 112 11 | 2 11 和 和 叶 2
例5.2.3 某公司对应聘人员进行能力测试，测试 成绩总分为 150分。下面是50位应聘人员的测 试成绩（已经过排序）：
例6.1.2 啤酒厂生产的瓶装啤酒规定净含量为640 克。由于随机性，事实上不可能使得所有的啤酒 净含量均为640克。现从某厂生产的啤酒中随机 抽取10瓶测定其净含量，得到如下结果：
641, 635, 640, 637, 642, 638, 645, 643, 639, 640
这是一个容量为10的样本的观测值， 对应的总体为该厂生产的瓶装啤酒的净含量。 这样的样本称为完全样本。
6.2.2 频数--频率分布表
样本数据的整理是统计研究的基础，整理数据的最 常用方法之一是给出其频数分布表或频率分布表。 例6.2.2 为研究某厂工人生产某种产品的能力， 我们随机调查了20位工人某天生产的该种产品 的数量，数据如下
160 175 161 156 196 178 168 170 164 166 166 157 148 181 162 162 170 162 172 154
样品、样本、样本量:
样本具有两重性
• 一方面，由于样本是从总体中随机抽取的，
抽 取前无法预知它们的数值，因此，样本 是随机 变量，用大写字母 X1, X2, …, Xn 表 示；
• 另一方面，样本在抽取以后经观测就有确
定的 观测值，因此，样本又是一组数值。 此时用小 写字母 x1, x2, …, xn 表示是恰当 的。
64 82 67 82 70 83 72 85 74 86 76 88 76 91 79 91 80 92 81 93
93 93 95 95 95 97 97 99 100 100 102 104 106 106 107 108 108 112 112 114 116 118 119 119 122 123 125 126 128 133
(4) 统计样本数据落入每个区间的个数——频数，
并列出其频数频率分布表。
表6.2.1 例6.2.2 的频数频率分布表
组序 分组区间 组中值 1 [147，157) 152 2 [157，167) 162 3 [167，177) 172 4 [177，187) 182 5 [187，197) 192 合计
i 1
n
§6.2 样本数据的整理与显示
6.2.1 经验分布函数
设 X1, X2, …, Xn 是取自总体分布函数为F(x)的样 本，若将样本观测值由小到大进行排列,为 x(1), x(2), …, x(n)，则称 X(1), X(2), …, X(n) 为有序样本， 用有序样本定义如下函数 0, x < x (1) Fn ( x ) k / n , x (k ) x x (k 1) , 1, x (n ) x
甲车间 620 5 6 乙车间 87775554211 6 67788 877664421 7 2245555666889 8766532 8 01133344466778 73210 9 02358 5 3 0 0 10 7
注意：茎叶图保留数据中全部信息。当样本量较 大，数据很分散，横跨二、三个数量级时， 茎叶图并不适用。
表6.2.1 例6.2.2 的频数频率分布表
组序 分组区间 组中值 1 [147，157) 152 2 [157，167) 162 3 [167，177) 172 4 [177，187) 182 5 [187，197) 192 合计 频数 3 9 5 2 1 20 频率 0.15 0.45 0.25 0.10 0.05 1 累计频率(%) 15 60 85 95 100
• p 的大小如何； • p 大概在什么范围内； • 能否认为 p 满足设定要求
（如 p 0.05）。
§ 6.1 总体与个体
总体和样本 总体 —— 研究对象全体元素组成的集合
总体的三层含义：
1.研究对象的全体
2.数据
3.分布
例6.1.1 考察某厂的产品质量，以0记合格品， 以1记不合格品，则 总体 = {该厂生产的全部合格品与不合格品} = {由0或1组成的一堆数} 若以 p 表示这堆数中1的比例（不合格品率）， 则该总体可由一个二点分布表示： X P 0 1p 1 p
例6.2.1 某食品厂生产听装饮料，现从生产线上 随机抽取5听饮料，称得其净重（单位：克） 351 347 355 344 351
这是一个容量为5的样本，经排序可得有序样本： x(1)= 344, x(2)= 347, x(3)= 351, x(4)= 354, x(5)= 355
其经验分布函数为
我们用这批数据给出一个茎叶图，见下页。
6 7 8 9 10 11 12 13
4 0 0 1 0 2 2 3
7 2 1 Байду номын сангаас 0 2 3
4 2 2 2 4 5
6 2 3 4 6 6
6 3 3 6 8 8
9 5 3 6 9
6 8 5 6 6 7 7 9 7 8 8 9
图5.2.3
测试成绩的茎叶图
在要比较两组样本时， 可画出它们的背靠背的茎叶图。
k 1, 2,..., n 1
F ( x) P( X x) E[ I ( X x)] 1 Fn ( x) I ( X i x) n i 1
大数定律的应用
n
则Fn(x)是一非减右连续函数，且满足
Fn() = 0 和 Fn() = 1 由此可见，Fn(x)是一个分布函数， 并称Fn(x)为经验分布函数。
频数 3 9 5 2 1 20
频率 累计频率(%) 0.15 15 0.45 60 0.25 85 0.10 95 0.05 100 1
6.2.3 样本数据的图形显示 一、直方图
直方图是频数分布的图形表示，它的横坐标表 示所关心变量的取值区间，纵坐标有三种表示 方法：频数，频率，最准确的是频率/组距，它 可使得诸长条矩形面积和为1。凡此三种直方图 的差别仅在于纵轴刻度的选择，直方图本身并 无变化。
Fn(x) =
0， 0.2， 0.4， 0.8， 1，
x < 344 344 x < 347 347 x < 351 344 x < 347 x 355
由伯努里大数定律： 只要 n 相当大，Fn(x)依概率收敛于F(x) 。
更深刻的结果也是存在的，这就是格里纹科定理。
定理6.2.1（格里纹科定理） 设X1,X2,…,Xn是取自 总体分布函数为F(x)的样本, Fn(x) 是其经验分 布函数，当n时，有 PsupFn(x) F(x)0 = 1 格里纹科定理表明：当n 相当大时，经验分布函 数是总体分布函数F(x)的一个良好的近似。 经典的统计学中一切统计推断都以样本为依据， 其理由就在于此。
参数估计 (第七章)
推断 统计学
假设检验 (第八章) 方差分析 (第九章) 回归分析 (第九章)
Ch6-4
第六章 统计量及其分布
§6.1 总体与样本 §6.2 样本数据的整理与显示
§6.3 统计量及其分布
§6.4 三大抽样分布
例6.0.1 某公司要采购一批产品，每件产品不 是合格品就是不合格品，但该批产品总有一 个不合格品率 p 。 由此，若从该批产品中随机抽取一件，用 x 表示这一批产品的不合格数，不难看出 X 服从 一个二点分布B(1 , p). 但分布中的参数 p 是不知道的。一些问题：