高中数学选修22第三章复数测试题

选修2-2第三章复数测试题
时间：120分钟总分：150分
第一卷(选择题，共60分)
题
号12345
6789101112答案
一、选择题(每题5分，共60分)
1－i2
1．i为虚数单位，1＋i＝()
A．－1B．1C．－i D．i
2．设复数z＝1＋2i，那么z2－2z等于()
A．－3B．3C．－3i D．3i
3．假设复数z＝(x2－4)＋(x－2)i为纯虚数，那么实数x的值为()
A．－2B．0C．2D．－2或2
→→
4.如右图，在复平面内，向量OP对应的复数是1－i，将OP向左平
→
移一个单位后得到O0P0，那么P0对应的复数为(
)
A．1－iB．1－2iC．－1－iD．－i
5．a，b∈R，i是虚数单位，假设a－i与2＋bi互为共轭复数，那么(a＋bi)2＝()
A．5－4i B．5＋4i C．3－4i D．3＋4i
6．复数z＝1＋i，z为z的共轭复数，那么zz－z－1＝()
A．－2i B．－iC．iD．2i
是z的共轭复数，假设z＋z＝2，(z－z)i＝2(i为虚数单位)，
那么z＝()
A．1＋i B．－1－iC．－1＋i D．1－i
8．满足条件|z－1|＝|5＋12i|的复数z在复平面上对应Z点的轨迹是()
A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆
9．定义运算a b＝ad－bc，那么符合条
件
1－1
＝4＋2i的复c d z z i
数z为()
A．3－i B．1＋3iC．3＋i D．1－3i
10．复数z1＝a＋2i，z2＝a＋(a＋3)i ，且z1z2>0，那么实数a
的值为()
A．0B．0或－5C．－5D．以上均不对
11．复数z满足条件：|2z＋1|＝|z－i|，那么z对应的点的轨迹
是()
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
12．设z是复数，α(z)表示满足z n＝1的最小正整数n，那么对虚
数单位i，α(i)等于()
A．8B．6C．4D．2
第二卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每题5分，共20分)
13．复数i2(1＋i)的实部是__________．
2＋i
14．复数z＝1＋i(i为虚数单位)，那么z对应的点
在第________
象限．
11－7i
15．设a，b∈R，a＋b i＝1－2i(i为虚数单位)，那么a＋b的值为
________．
16．复数z＝a＋b i(a，b∈R＋，i是虚数单位)是方程x2－4x
5＝0的根．复数ω＝u＋
3i(u∈R)满足|ω－z|<25，那
么u的取值范围为________．
三、解答题(写出必要的计算
步骤，只写最后结果不得分，
共70
分)
2
17．(10分)m为何实数时，复数z＝(2＋i)m－3(i＋1)m－2(1－
是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
18．(12分)计算：
2＋i1－i24＋5i
；(2)
(1)
1－2i5－4i
. 1－i
19.(12
－1＋3i1－i－1＋3i
分)复数z＝i，ω＝ω
z＋a i(a∈R)，当z≤2时，求a的取值范围．
20．(12分)在复平面内，复数z1在连结1＋i和1－i的线段上移动，设复数z2在以原点为圆心，半径为1的圆周上移动，求复数z1＋z2在复平面上移动范围的面积．
21.(12分)设复数z＝x＋y i(x，y∈R)满足z·z＋(1－2i)·z ＋(1＋2i)·z≤3，求|z|的最大值和最小值．
(1)22.(12分)关于x的方程x2－(1＋3i)x＋(2i－m)＝0(m∈R)有纯
虚根x1.
求x1和m的值；
利用根与系数的关系猜想方程的另一个根x2，并给予证明；
设x1，x2在复平面内的对应点分别为A，B，求|AB|.
答案
1－i
1－i
2
－2i
2
1．A 1＋i ＝
＋
2＝
＝－1，应选A.
1i
2i 2．A z 2－2z ＝z (z －2)
＝(1＋2i)(
2i －1)
＝－2－1＝－3.
2
3．A ∵z ＝(x －4)＋(x －
2)i 为纯虚数，
→
→ →
4．D 要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道OP 0，而OP 0＝OO 0＋
→
，从而可求
对应的复数．
O 0P 0 P 0
→ → →
∵O 0P 0＝OP ，OO 0对应的复数是－1，
∴ 对应的复数即→
对应的复数是－1＋(1－i)＝－i.
P 0 OP 0
5．D 由a －i 与2＋b i 互为共轭复数，可得 a ＝2，b ＝1.所以(a b i)2＝(2＋i)2
＝4＋4i －1＝3＋4i.6．B ∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i.
z ·z ＝|z |2＝2.
z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝－i.
7．D 设z ＝a ＋b i(a ∈R ，b ∈R)，那么z ＝a －b i.
由z ＋z ＝2，得2a ＝2，即a ＝1；
又由(z －z )i ＝2，得2b i ·i ＝2，即b ＝－1.
故z ＝1－i.
8．C此题中|z－1|表示点Z到点(1,0)的距离，|5＋12i|表示复
数5＋12i的模长，所以|z－1|＝13，表示以(1,0)为圆心，13为半径的圆．注意复数的模的定义及常见曲线的定义．
9．A由定义，1－1
＝z i＋z，所以z i＋z＝4＋2i，所以z z z i
4＋2i
1＋i＝3－i.
10．C z1z2＝(a＋2i)·[a＋(a＋3)i]＝(a2－2a－6)＋(a2＋5a)i，由z1z2>0知z1z2为实数，且为正实数，因此满足
{a2＋5a＝0，a2－2a－6>0，
解得a＝－5(a＝0舍去)．
11．A设z＝x＋y i(x，y∈R)，
那么|2x＋2y i＋1|＝|x＋y i－i|，
即2x＋12＋4y2＝x2＋y－12，所以3x2＋3y2＋4x＋2y＝0，
22125
即x＋3＋y＋3＝9.
12．C∵α(z)表示满足z n＝1的最小正整数n，∴α(i)表示满
足i n＝1的最小正整数n.
i2＝－1，i4＝1.∴α(i)＝4.
－1
解析：∵i2(1＋i)＝－1－i，
i2(1＋i)的实部为－1.
14．四
2＋i2＋i1－i3－i31
解析：∵z＝1＋i＝2＝2＝2－2i，∴复数z
31
对应点的坐标为2，－2，为第四象限的点．
15．8
11－7i
解析：∵a＋b i＝1－2i，
11－7i1＋2i
∴a＋b i＝＝5＋3i.
1－2i1＋2i
根据复数相等的充要条件可得a＝5，b＝3，
故a＋b＝8.
16．(－2,6)
解析：原方程的根为x＝2±i.
∵a，b∈R＋，∴z＝2＋i.
∵|ω－z|＝|(u＋3i)－(2＋i)|＝u－22＋4<25，
∴－2<u<6.
2
217．解：∴z＝(2＋i)m－3(i＋1)m－2(1－i)
2
2m＋m i－3m i－3m－2＋2i
22
＝(2m－3m－2)＋(m－3m＋2)i
，
2
∴(1)由m－3m＋2＝0，得m＝1，或m＝2，
即m＝1或2时，z为实数．
2
(2)由m－3m＋2≠0，得m≠1，且m≠2，
即m≠1，且m≠2时，z为虚数．
21
2m－3m－2＝0，
(3)由2得m＝－，
m－3m＋2≠0，2
1
即m＝－2时，z为纯虚数．
2＋i1－i22＋i－2i21－2i 18．解：(1)＝＝
1－2i1－2i1－2i 2.
(2)4＋5i＝5－4i i
1－i5－4i1－i
5－4i
i i1＋i i－1
＝
1－i ＝
1－i1＋i＝2
11
＝－2＋2i.
2＋4i－1＋3i1＋i 19．解：∵z＝i＝i
ω＝－i(1＋i)＝1－i，
∴ω＝1＋(a－1)i，
1＋a－1i
∴z＝1－i
[1＋a－1i]1＋i
＝2－a＋a i
.
＝
22
ω2－a2a2
由z≤2，得2＋2≤2，
解得1－3≤a≤1＋3.
故a的取值范围是[1－3，1＋3]．
20．解：设ω＝z1＋z2，z2＝ω－z1，|z2|＝|ω－z1|，∵|z2|＝1，
|ω－z1|＝1.
上式说明对于给定的z1，ω在以z1为圆心，1为半径的圆上运动，又z1在连结1＋i和1－i的线段上移动，
∴ω的移动范围的面积为：S＝2×2＋π×12＝4＋π.
21.解：z·z＋(1－2i)·z＋(1＋2i)·z≤3
?x2＋y2＋(1－2i)(x＋y i)＋(1＋2i)(x－y i)≤3
(x＋1)2＋(y＋2)2≤8，即|z＋1＋2i|≤22，所以复数z对应的点的集合是以C(－1，－2)为圆心，22为半径的圆面(包括边界)．
又因为|OC|＝5<22，所以，原点在圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝8的
内部，如以下图．
5＋21010＋410
5＋22；当
所以，当z＝－－i时，|z|max＝
55
z＝0时，|z|min＝0.
22．解：(1)由题意，设x1＝b i(b≠0且b∈R)，代入方程，得(b i)2
(1＋3i)·b i＋(2i－m)＝0，即－b2－b i＋3b＋2i－m＝0，即(－b2
－b2＋3b－m＝0，
＋3b－m)＋(2－b)i＝0，所以
2－b＝0，
b＝2，
解得所以x1＝2i，m＝2.
m＝2.
由根与系数的关系知x1＋x2＝1＋3i，所以x2＝1＋3i－x1＝1
3i－2i＝1＋i.
证明：把x2＝1＋i代入原方程的左边，得(1＋i)2－(1＋3i)(1＋
i)＋(2i－2)＝2i－(－2＋4i)＋(2i－2)＝0，所以x2＝1＋i是方程x2
－(1＋3i)x＋(2i－2)＝0的根．
(3)由(1)，(2)知，(0,2)，(1,1)，
A B
所以|AB|＝0－12＋2－12＝2.。