【教案学案】物理必修二6.5宇宙航行

第六章 万有引力和航天
第五节 宇宙航行
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[学习目标] 1.知道三个宇宙速度的含义，会推导第一宇宙速度．(重点) 2.掌握人造卫星的线速
度、角速度、周期与轨道半径的关系．(重点) 3.理解近地卫星、同步卫星的区别．(难点) 4.掌握卫
星的变轨问题．(难点)
基础知识
[先填空]
1．牛顿的“卫星设想”
如图6­5­1所示，当物体的初速度足够大时，它将会围绕地球旋转而不再落回地面，成为一颗绕
地球转动的人造卫星．
图6­5­1 2．原理
一般情况下可认为人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，向心力由地球对它的万有引力提供，即
G Mm r
2＝m v 2r ，则卫星在轨道上运行的线速度v ＝ 3．宇宙速度
4.1957年10月，苏联成功发射了第一颗人造地球卫星．
1969年7月，美国“阿波罗11号”登上月球．
2003年10月15日，我国航天员杨利伟踏入太空．
2010年10月1日，我国的“嫦娥二号”探月卫星发射成功．
2013年6月11日，我国的“神舟十号”飞船发射成功．
[后判断]
1．绕地球做圆周运动的人造卫星的速度可以是10 km/s.(×)
2．在地面上发射人造地球卫星的最小速度是7.9 km/s.(√)
3．要发射一颗月球人造卫星，在地面的发射速度应大于16.7 km/s.(×)
能力提升
学生分组探究一 第一宇宙速度的理解与计算
第1步探究——分层设问，破解疑难
1．通常情况下人造卫星总是向东发射的，为什么？
【提示】 由于地球的自转由西向东，如果我们顺着地球自转的方向，即向东发射卫星，就可以
充分利用地球自转的速度，节省发射所需要的能量．
2．我们要想往月球上发射一颗人造卫星，则发射速度必须要大于等于11.2 km/s 吗？
【提示】 不需要.11.2 km/s 是使卫星挣脱地球引力束缚的最小地面发射速度，而月球在地球引
力的控制范围内．
第2步结论——自我总结，素能培养
1．第一宇宙速度的定义
又叫环绕速度，是人造地球卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所具有的速度，是人造地球卫
星的最小发射速度，v ＝7.9 km/s.
2．第一宇宙速度的计算
设地球的质量为M ，卫星的质量为m ，卫星到地心的距离为r ，卫星做匀速圆周运动的线速度为
v ： 方法一：万有引力提供向心力→G Mm r 2＝m v 2r →v ＝GM r ――→r ＝R ＝6.4×106 m M ＝5.98
×1024 kg v ＝7.9 km/s 方法二：重力提供向心力→mg ＝m v 2r →v ＝gr ――→r ＝R ＝6.4×106 m g ＝9.8 m/s
2v ＝7.9 km/s 3．第一宇宙速度的推广 由第一宇宙速度的两种表达式可以看出，第一宇宙速度之值由中心星体决定，可以说任何一颗行
星都有自己的第一宇宙速度，都应以v ＝GM r 或v ＝gr 表示，式中G 为万有引力常量，M 为中心
星球的质量，g 为中心星球表面的重力加速度，r 为中心星球的半径．
第3步例证——典例印证，思维深化
若取地球的第一宇宙速度为8 km/s ，某行星质量是地球的6倍，半径是地球的1.5倍，
此行星的第一宇宙速度约为( )
A ．16 km/s
B ．32 km/s
C ．4 km/s
D ．2 km/s
【答案】 A
第4步巧练——精选习题，落实强化
1．(2015·衡阳高一期末)某人在一星球上以速率v 竖直上抛一物体，经时间t 物体以速率v 落回
手中，已知该星球的半径为R ，求这个星球上的第一宇宙速度．
【解析】 由匀变速运动的规律可得，该星球表面的重力加速度为g ＝2v t ，
第一宇宙速度即为卫星在星球表面附近绕它做匀速圆周运动的线速度，该星球对卫星的万有引力
提供向心力，而万有引力又可近似认为和物体重力相等，
所以有mg ＝m v 21R
. 第一宇宙速度v 1＝ gR ＝ 2v R t .
【答案】 2v R t
2．质量相等的甲、乙两颗卫星分别贴近某星球表面和地球表面围绕其做匀速圆周运动，已知该
星球和地球的密度相同，半径分别为R 和r ，则( )
A ．甲、乙两颗卫星的加速度之比等于R ∶r
B ．甲、乙两颗卫星所受的向心力之比等于1∶1
C ．甲、乙两颗卫星的线速度之比等于1∶1
D ．甲、乙两颗卫星的周期之比等于R ∶r
【答案】 A
学生分组探究二 卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系
第1步探究——分层设问，破解疑难
人造卫星的运行速度与其质量有关吗？
【提示】 无关．由G Mm r 2＝m v 2r 得v ＝GM r ，可见人造卫星的运动速度与其质量无关． 第2步结论——自我总结，素能培养
为了研究问题的方便，通常认为卫星绕地球做匀速圆周运动，向心力由万有引力提供．
小．可以概括为“高轨低速长周期”．
第3步例证——典例印证，思维深化
图6­5­2
如图6­5­2所示为在同一轨道平面上的几颗人造地球卫星A 、B 、C ，下列说法正确的是
( )
A ．根据v ＝gR ，可知三颗卫星的线速度v A ＜v
B ＜v C
B ．根据万有引力定律，可知三颗卫星受到的万有引力F A ＞F B ＞F C
C ．三颗卫星的向心加速度a A ＞a B ＞a C
D ．三颗卫星运行的角速度ωA ＜ωB ＜ωC
【答案】 C
第4步巧练——精选习题，落实强化
3．(2013·广东高考)如图6­5­3，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M 和2M 的行
星做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )
图6­5­3
A ．甲的向心加速度比乙的小
B ．甲的运行周期比乙的小
C ．甲的角速度比乙的大
D ．甲的线速度比乙的大
【答案】 A
4．“玉兔号”登月车在月球表面接触的第一步实现了中国人“奔月”的伟大梦想．机器人“玉
兔号”在月球表面做了一个自由下落实验，测得物体从静止自由下落h 高度的时间为t ，已知月球半
径为R ，自转周期为T ，引力常量为G .则( )
A ．月球表面重力加速度为t 22h
B ．月球第一宇宙速度为Rh t
C ．月球质量为hR 2Gt
2 D ．月球同步卫星离月球表面高度为3hR 2T 22π2t 2
－R 【答案】 D
专题突破
专题一 卫星轨道和同步卫星
1．人造地球卫星的轨道
人造卫星的轨道可以是椭圆轨道，也可以是圆轨道．
(1)椭圆轨道：地心位于椭圆的一个焦点上．
(2)圆轨道：卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星所需的向心力由万有引力提供，由于万有引力指
向地心，所以卫星的轨道圆心必然是地心，即卫星在以地心为圆心的轨道平面内绕地球做匀速圆周运
动．
图6­5­4
总之，地球卫星的轨道平面可以与赤道平面成任意角度，但轨道平面一定过地心．当轨道平面与
赤道平面重合时，称为赤道轨道；当轨道平面与赤道平面垂直时，即通过极点，称为极地轨道，如图
6­5­4所示．
2．地球同步卫星
(1)定义：相对于地面静止的卫星，又叫静止卫星．
(2)六个“一定”．
①同步卫星的运行方向与地球自转方向一致．
②同步卫星的运转周期与地球自转周期相同，T ＝24 h. ③同步卫星的运行角速度等于地球自转的角速度．
④同步卫星的轨道平面均在赤道平面上，即所有的同步卫星都在赤道的正上方．
⑤同步卫星的高度固定不变．
由GMm r 2＝mr ⎝⎛⎭⎫2πT 2知r ＝3GMT 24π2
.由于T 一定，故r 一定，而r ＝R ＋h ，h 为同步卫星离地面的高度，h ＝3GMT 2
4π2
－R .又因GM ＝gR 2，代入数据T ＝24 h ＝86 400 s ，g 取9.8 m/s 2，R ＝6.38×106 m ，得h ＝3.6×104 km.
⑥同步卫星的环绕速度大小一定：设其运行速度为v ，由于G Mm (R ＋h )2＝m v 2R ＋h
，所以v ＝GM R ＋h ＝gR 2
R ＋h ＝9.8×(6.38×106)2
6.38×106＋3.6×10
7 m/s ＝3.1×103 m/s. 由于卫星在轨道上运动时，它受到的万有引力全部提供给了向心力，产生了向心加速度，因此卫星及卫星上的任何物体都处于完全失重状态．
例1 已知某行星的半径为R ，以第一宇宙速度运行的近地卫星绕行星运动的周期为T ，该行星上发射的同步卫星的运行速度为v ，求同步卫星距行星表面高度为多少．
【思路点拨】 解答该题应理解下列问题：
(1)以第一宇宙速度运行的卫星即轨道半径r ＝R 的近地卫星．
(2)同步卫星的绕行线速度为v .
(3)两卫星都满足万有引力提供向心力．
【解析】 同步卫星，由万有引力提供向心力，则：
G Mm (R ＋h )2＝m v 2(R ＋h )
. 同理，对近地卫星有
G Mm R
2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2R . 由以上两式可得所求的高度为：
h ＝4π2R 3T 2v
2－R . 【答案】 4π2R 3
T 2v
2－R 例2．(2013·海南高考)“北斗”卫星导航定位系统由地球静止轨道卫星(同步卫星)、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成．地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行，它们距地面的高度分别约为地球半径的6倍和3.4倍．下列说法正确的是( )
A ．静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的2倍
B ．静止轨道卫星的线速度大小约为中轨道卫星的2倍
C ．静止轨道卫星的角速度大小约为中轨道卫星的17
D ．静止轨道卫星的向心加速度大小约为中轨道卫星的17
【解析】 由GMm (R ＋h )2＝m (R ＋h )(2πT )2＝m v 2R ＋h ＝m (R ＋h )ω2＝ma 可得：T 静T 中＝(R ＋h 静)3(R ＋h 中)3≈2，ω静ω中
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R ＋h 中R ＋h 静3≈12，v 静v 中＝R ＋h 中R ＋h 静≈0.71，a 静a 中＝(R ＋h 中R ＋h 静
)2≈0.395，故只有A 正确． 【答案】 A
例3．(2015·中山高一检测)关于“亚洲一号”地球同步通讯卫星，下述说法正确的是( )
A ．已知它的质量是1.24 t ，若将它的质量增为2.48 t ，其同步轨道半径将变为原来的2倍
B ．它的运行速度大于7.9 km/s
C ．它可以绕过北京的正上方，所以我国能利用它进行电视转播
D ．它距地面的高度约为地球半径的5倍，故它的向心加速度约为其下方地面上物体的重力加速度的136
【解析】 同步卫星的轨道半径是固定的，与质量大小无关，A 错；7.9 km/s 是人造卫星的最小
发射速度，同时也是卫星的最大环绕速度，卫星的轨道半径越大，其线速度越小，同步卫星距地面很
高，故其运行速度小于7.9 km/s ，B 错；同步卫星只能在赤道的正上方，C 错；由G Mm r 2＝ma n 可得，同步卫星的加速度a n ＝G M r 2＝G M (6R )2＝136G M R 2＝136
g ，故选项D 正确． 【答案】 D
专题二 卫星的变轨问题
1、卫星变轨问题的处理技巧
a ．当卫星绕天体做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，由G Mm r 2＝m v 2r ，得v ＝GM r ，由此可见轨道半径r 越大，线速度v 越小．当由于某原因速度v 突然改变时，若速度v 突然减小，则F
＞m v 2r ，卫星将做近心运动，轨迹为椭圆；若速度v 突然增大，则F ＜m v 2
r
，卫星将做离心运动，轨迹变为椭圆，此时可用开普勒第三定律分析其运动．
b ．卫星到达椭圆轨道与圆轨道的切点时，卫星受到的万有引力相同，所以加速度也相同． 2判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路
a ．判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断．
b ．判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒行星运动第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小．
c ．判断卫星由圆轨道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道时的速度大小如何变化时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析．
d ．判断卫星的加速度大小时，可根据a ＝F m ＝G M r
2判断．
例1 如图6­5­5所示，某次发射同步卫星的过程如下：先将卫星发射至近地圆轨道1，然后再次点火进入椭圆形的过渡轨道2，最后将卫星送入同步轨道3.轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是( )
图6­5­5
A ．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B ．卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度
C ．卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度大于它在轨道2上经过Q 点时的加速度
D ．卫星在轨道2上经过P 点时的加速度等于它在轨道3上经过P 点时的加速度
【思路点拨】 (1)在两个圆轨道上运行速率大小的比较，可利用万有引力提供向心力来推导．
(2)在不同轨道上经过同一点时的加速度大小的比较，可利用牛顿第二定律来判断．
【解析】 由G Mm r 2＝m v 2r ＝mrω2得，v ＝GM r ，ω＝GM r 3
，由于r 1＜r 3，所以v 1＞v 3，ω1＞ω3，A 、B 错；轨道1上的Q 点与轨道2上的Q 点是同一点，到地心的距离相同，根据万有引力定律及牛顿第二定律知，卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度等于它在轨道2上经过Q 点时的加速度，同理卫星在轨道2上经过P 点时的加速度等于它在轨道3上经过P 点时的加速度，C 错，D 对．
【答案】 D
例2(2015·宜春高一检测)2013年12月2日1时30分，“嫦娥三号”探测器由“长征三号乙”运载火箭从西昌卫星发射中心发射，首次实现月球软着陆和月面巡视勘察，“嫦娥三号”的飞行轨道示意图如图6­5­6所示．假设“嫦娥三号”在环月段圆轨道和椭圆轨道上运动时，只受到月球的万有
引力，则以下说法正确的是()
图6­5­6
A．若已知“嫦娥三号”环月段圆轨道的半径、运动周期和引力常量，则可以计算出月球的密度B．“嫦娥三号”由环月段圆轨道变轨进入环月段椭圆轨道时，应让发动机点火使其加速
C．“嫦娥三号”在从远月点P向近月点Q运动的过程中，加速度变大
D．“嫦娥三号”在环月段椭圆轨道上P点的速度大于Q点的速度
【解析】根据“嫦娥三号”环月段圆轨道的半径、运动周期和引力常量可以求出月球的质量，但是由于不知道月球的半径，故无法求出月球的密度，A错；“嫦娥三号”由环月段圆轨道变轨进入环月段椭圆轨道时，轨道半径减小，故应让发动机点火使其减速，B错；“嫦娥三号”在从远月点P向近月点Q运动的过程中所受万有引力逐渐增大，故加速度变大，C对；“嫦娥三号”在环月段椭圆轨道
上运动时离月球越近速度越大，故P点的速度小于Q点的速度，D错．
【答案】C。