【学练优】2016年秋九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径教案1 (新版)新人教版
人教版数学九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》教学设计
人教版数学九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》是圆的一部分性质的教学内容。
本节课主要让学生了解并掌握垂直于弦的直径的性质，能灵活运用这一性质解决相关问题。
教材通过实例引导学生探究，培养学生的观察、思考和动手能力，为后续圆的弦和圆弧的学习打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和定理有一定的理解。
但垂直于弦的直径这一性质较为抽象，学生可能难以理解。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、操作、思考、讨论等方式，逐步掌握性质，提高学生的空间想象和逻辑思维能力。
三. 教学目标1.了解垂直于弦的直径的性质，能证明并运用这一性质解决相关问题。
2.培养学生的观察、思考、动手和合作能力。
3.提高学生对圆的一部分性质的兴趣，为后续圆的学习打下基础。
四. 教学重难点1.垂直于弦的直径的性质及其证明。
2.灵活运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引导学生观察、思考，激发学生的学习兴趣。
2.问题驱动法：提出问题，引导学生探究，培养学生的解决问题能力。
3.合作学习法：分组讨论，共同完成任务，提高学生的团队协作能力。
4.实践操作法：让学生动手操作，加深对性质的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示实例和动画，辅助教学。
2.教学素材：准备相关的几何图形，便于学生观察和操作。
3.教学设备：投影仪、计算机、黑板、粉笔等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入课题，展示垂直于弦的直径的性质，激发学生的兴趣。
2.呈现（10分钟）展示垂直于弦的直径的性质，引导学生观察、思考，并提出问题。
3.操练（10分钟）分组讨论，让学生动手操作，证明垂直于弦的直径的性质。
4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立解答，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）出示一些实际问题，让学生运用垂直于弦的直径的性质解决，提高学生的应用能力。
人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计
人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计一. 教材分析《24.1.2垂直于弦的直径》是人教版数学九年级上册第24章《圆》的第二个知识点。
本节课主要学习了圆中一条特殊的直径——垂直于弦的直径，并探究了它的性质。
教材通过实例引导学生发现垂直于弦的直径的性质，并运用这一性质解决一些与圆有关的问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、圆的周长和面积计算、圆的性质等知识。
他们具备了一定的观察、分析和解决问题的能力。
但对于垂直于弦的直径的性质及其应用，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生发现和总结垂直于弦的直径的性质，并通过实例让学生体会其在解决实际问题中的应用。
三. 教学目标1.理解垂直于弦的直径的性质。
2.学会运用垂直于弦的直径的性质解决与圆有关的问题。
3.培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.垂直于弦的直径的性质。
2.运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.引导发现法：通过实例引导学生发现垂直于弦的直径的性质。
2.实践操作法：让学生动手画图，加深对垂直于弦的直径性质的理解。
3.问题驱动法：设置问题，引导学生运用垂直于弦的直径的性质解决问题。
六. 教学准备1.课件：制作课件，展示相关实例和问题。
2.练习题：准备一些与垂直于弦的直径性质有关的练习题。
3.圆规、直尺等画图工具：为学生提供画图所需的工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题：在一个圆形池塘中，怎样找到一个点，使得从该点到池塘边缘的距离最远？引导学生思考，并提出解决问题的方法。
2.呈现（10分钟）展示几个与垂直于弦的直径性质相关的实例，引导学生观察和分析这些实例，发现垂直于弦的直径的性质。
3.操练（10分钟）让学生动手画图，验证垂直于弦的直径的性质。
在这个过程中，引导学生运用圆规、直尺等画图工具，提高他们的动手能力。
九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径教案1 新人教版
24.1.2垂直于弦的直径教案参考教材：义务教育课程标准实验教材书数学九年级上册（人民教育出版社）一、教材分析1、作为《圆》这章的第一个重要性质，它研究的是垂直于弦的直径和这弦的关系。
2、该性质是圆的轴对称性的演绎，也是今后证明圆中线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时为后面圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的作用。
二、教学目标1、知识目标：（1）充分认识圆的轴对称性。
（2）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理。
（3）运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。
2、能力目标：让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。
让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。
3、情感目标：通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时培养学生勇于探索的精神。
三、教学关键圆的轴对称性的理解四、教学重点垂直于弦的直径的性质及其应用。
五、教学难点1、垂径定理的证明。
2、垂径定理的题设与结论的区分。
六、教学辅助多媒体、可折叠的圆形纸板。
七、教学方法本节课采用的教学方法是“主体探究式”。
整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。
令学生参与到“实验--观察--猜想--验证--归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理。
学生不再是知识的接受者，而是知识的发现者，是学习的主人。
八、教学过程：九、板书设计。
24.1.2垂直于弦的直径教案
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“垂直于弦的直径在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，例如：“你们认为这个性质在建筑或工程中可能会有哪些应用？”
24.1.2垂直于弦的直径教案
一、教学内容
《24.1.2垂直于弦的直径》为本章节的教学内容，选自人教版数学九年级下册第二十四章《圆》。本节课主要内容包括：
1.探索圆的性质：垂直于弦的直径。
2.证明垂径定理及其推论。
3.应用垂径定理解决实际问题。
二、核心素养目标
《24.1.2垂直于弦的直径》教学的核心素养目标为：
2.教学难点
-难点内容：
a.理解并证明垂径定理。
b.掌握垂径定理推论的应用。
c.将垂径定理应用于解决复杂的几何问题。
-难点突破：
a.通过动态演示或模型操作，帮助学生直观理解垂径定理。
b.分步骤引导学生进行垂径定理的证明，强调证明过程中的关键步骤。
c.设计不同难度的练习题，从简单到复杂，帮助学生逐步掌握垂径定理的应用。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解垂直于弦的直径的基本概念。垂直于弦的直径是圆内一条特殊的线段，它不仅垂直于弦，而且能够将弦平分成两段相等的部分。这个性质在几何图形的构造和解题中有着重要的作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们有一个圆，弦AB需要被平分，我们可以如何找到能够实现这一点的直径？通过分析，我们可以发现，只需找到垂直于AB的直径CD，就可以轻松完成这个任务。
人教版数学九年级上册教学设计24.1.2《垂直于弦的直径》
人教版数学九年级上册教学设计24.1.2《垂直于弦的直径》一. 教材分析《垂直于弦的直径》是人教版数学九年级上册第24章《圆》的一部分。
本节课主要内容是让学生掌握垂径定理，理解并证明圆中的一些特殊性质。
通过学习，学生能够运用垂径定理解决实际问题，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、圆的性质、圆的周长和面积等知识。
但部分学生对圆的性质理解不够深入，对圆中特殊位置关系的判断和证明能力较弱。
因此，在教学过程中，要注重引导学生发现圆中的垂直关系，培养学生动手操作和解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握垂径定理，学会运用垂径定理解决圆中的问题。
2.过程与方法：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，提高动手操作和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习圆的性质的兴趣，培养学生团队协作和积极参与的精神。
四. 教学重难点1.重点：垂径定理的理解和运用。
2.难点：圆中特殊位置关系的判断和证明。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实物演示、图形展示等手段，引导学生发现圆中的垂直关系。
2.问题驱动法：设计一系列问题，引导学生思考和探究，激发学生的学习兴趣。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和探究，培养学生的团队协作能力。
4.讲授法：教师讲解垂径定理及相关性质，引导学生理解和掌握。
六. 教学准备1.准备相关图形和实物，如圆、弦、直径等。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
3.准备练习题和测试题，用于巩固和检验学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实物或图形，展示圆中的垂直关系，引导学生关注垂直于弦的直径。
提问：你们发现了吗？垂直于弦的直径有什么特殊的性质吗？2.呈现（10分钟）介绍垂径定理的内容，并用多媒体展示垂径定理的证明过程。
让学生理解并掌握垂径定理。
3.操练（10分钟）设计一系列练习题，让学生运用垂径定理解决问题。
教师引导学生思考和探究，解答学生的疑问。
24.1.2 垂直于弦的直径教学设计
24.1.2 垂直于弦的直径本节内容是前面初步理解圆后的第一个重要性质，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也是为实行圆的计算和作图提供了方法和依据．本课时主要内容有垂直于弦的直径的性质、推论及其应用．教学时要提醒学生在使用性质时要注意：直径和直径垂直于弦这两个条件缺一不可．【情景导入】(1)请同学把手中的圆对折，你会发现圆是一个什么样的图形呢？(2)请同学们再把手中的圆沿直径向上折，折痕是圆的一条什么呢？通过观察，你能发现直径与这条折痕的关系吗？【说明与建议】说明：通过折叠圆的操作，探索圆的轴对称性及垂径定理，思考利用等腰三角形的性质证明圆的轴对称性．建议：学生动手操作，并分组观察、讨论和归纳操作结果，在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性．【归纳导入】(1)操作1：如图①，沿着圆的直径折叠圆，你有什么发现？【归纳】圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴．(2)操作2：如图，将一个圆二等分、四等分、八等分．①②③(3)操作3：按下面的步骤做一做：第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两部分重合；第二步，展开，得到一条折痕CD；第三步，在⊙O 上任取一点A ，过点A 作折痕CD 的垂线，沿垂线将纸片折叠； 第四步，将纸打开，得到新的折痕，其中点M 是两条折痕的交点，即垂足，新的折痕与圆交于另一点B ，如图．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？为什么？【说明与建议】 说明：通过对剪圆和折叠圆的操作，调动学生的积极性，活跃课堂气氛．建议：在学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质时注意全等图形或等腰三角形知识的复习和应用．命题角度1 垂径定理及推论的理解 1．下列说法正确的是(D)A ．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B ．平分弦的直径垂直于弦C ．垂直于直径的直线平分这条直径D ．弦的垂直平分线经过圆心2．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于点E ，则下列结论中不成立是(C)A.AC ︵＝AD ︵B.BC ︵＝BD ︵C ．OE ＝BED ．CE ＝DE命题角度2 直接利用垂径定理进行计算3．如图，⊙O 的直径为10，AB 为弦，OC ⊥AB ，垂足为C ，若OC ＝4，则弦AB 的长为(C)A ．10B ．8C ．6D ．44．如图，在⊙O 中，半径r ＝10，弦AB ＝12，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 长的最小值是(D)A ．10B ．16C ．6D ．8命题角度3 垂径定理的实际应用5．如图，一个隧道的截面图为⊙O 的一部分，路面AB ＝10米，净高CD ＝7米，则此圆半径长为(D)A ．5米B ．7米C.375米D.377米 6．(鄂州中考)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O 为圆心的圆，如图2.已知圆心O 在水面上方，且⊙O 被水面截得的弦AB 长为6米，⊙O 半径长为4米．若点C 为运行轨道的最低点，则点C 到弦AB 所在直线的距离是(B)图1 图2 A ．1米B ．(4－7)米C ．2米D ．(4＋7)米魔术蛋魔术蛋是九块板，这九块板合起来是一个椭圆，形如鸟蛋，用它可以拼出各种鸟形，因而又名“百鸟拼板”．要制作一个魔术蛋，先绘制一个椭圆形鸟蛋：上部为半圆，下部为椭圆．1．作一个圆，圆心为O ，并通过圆心，作直径AB 的垂线MN.2．连接AN ，并适当延长，再以A 为圆心，AB 的长为半径作圆弧交AN 的延长线于点C. 3．连接BN ，并适当延长，再以B 为圆心，BA 的长为半径作圆弧交BN 延长线于点D. 4．以N 为圆心，NC 为半径，作圆弧CD ，于是下部成为椭圆．5．在OM 上作线段MF 等于NC.以F 为圆心，MF 为半径作圆弧，交AB 于点G ，H ，连接FG ，FH ，这样魔术蛋便制好了．活动一：学生动手操作把事先准备好的一张圆形纸片沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你有什么发现？由此你能得到什么结论？试一试！师生活动：学生动手操作，教师观察操作结果，在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和衔接性．结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴． 活动二：出示问题从上面的动手操作可知，如图，如果⊙O 的直径CD 垂直于弦AA ′，垂足为M ，那么点A 和点A ′是对称点，把⊙O 沿着直径CD 折叠时，点A 与点A ′重合，你能找出图中有哪些相等的线段和弧吗？并说明理由．师生活动：学生进行观察、分析，通过合情推理总结结论，教师指导学生分析题目中的条件和结论．教师用多媒体演示，学生尝试归纳垂径定理后，教师补充、完善，最后用几何语言进行描述．教师板书：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．几何语言：∵CD ⊥AA ′，CD 是⊙O 的直径， ∴AM ＝MA ′，AC ︵＝A ′C ︵，AD ︵＝A ′D ︵. 活动三：教师针对图形，提出问题1：垂径定理是由几个条件得到几个结论？ 师生分析得：①直径；②垂直于弦；③平分弦；④平分优弧；⑤平分劣弧．问题2：把垂径定理中的“垂直”和“平分”互换，是否仍然成立呢？ 学生讨论、交流，并用语言进行总结，教师引导、点拨，得到结论： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．【典型例题】例1 如图所示，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，CD ⊥AB 于点E ，则下列结论中不一定正确的是(D)A ．∠COE ＝∠DOEB ．CE ＝DE C.AC ︵＝AD ︵D ．OE ＝BE例2 如图，在⊙O 中，CD 是⊙O 的直径，AB ⊥CD 于点E.若AB ＝6，OE ＝7，则⊙O 的直径为(D)A.10 B ．210 C ．4 D ．8师生活动：教师引导学生分析，圆心到弦的距离为，连接半径，从而构造直角三角形进行解答． 例3 解答赵州桥的问题．教师引导学生分析：根据赵州桥的实物图画出几何图形，如图．教师总结：在圆中解决有关弦长或半径的问题，常需要作垂直于弦的半径或过圆心向弦作垂线段，把垂径定理和勾股定理结合，得到半径r ，弦心距d ，弦长a 之间的关系：r 2＝d 2＋(a 2)2.学生书写解答过程，教师做好点评． 【变式训练】1.如图，⊙O 中弦AB 长为8，OC ⊥AB ，垂足为E.若CE ＝2，则⊙O 半径长是(D)A ．10B ．8C ．6D ．52．如图，一根排水管道的横截面是半径为13 cm 的圆．排水管内有水，若水面宽度AB ＝24 cm ，则水管中水的最大深度为8 cm.3．已知⊙O 的直径CD ＝100 cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB ＝96 cm ，则AC 的长为(B)A ．36 cm 或64 cmB ．60 cm 或80 cmC ．80 cmD ．60 cm师生活动：学生思考，小组讨论，教师作适当引导，使学生能运用转化思想、分类讨论思想解决问题.A．12.5 B．13 C．25 D．263．一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于(A)A．4.1米 B．4.0米 C．3.9米 D．3.8米师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行个别提问，并指导学生解释做题理由和做题方法，使学生在思考解答的基础上，共同交流，形成共识，确定答案.1.课堂小结：(1)你在本节课的学习中有哪些收获？有哪些进步？(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？教师讲解主要内容：在圆内求弦的长度，常常需要过圆心作弦的垂线段，利用勾股定理进行解答．2．布置作业：(1)教材第83页练习第2题，教材第89～90页习题24.1第8，9，10，11题．(2)补充题(选做)：好山好水好绍兴，石拱桥在绍兴处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16 m时，拱顶高出水平面4 m，货船宽12 m，船舱顶部为矩形并高出水面3 m.。
数学人教版九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》教案
1.教学重点
-理解垂直于弦的直径的定义：通过直观演示和实际操作，让学生明确什么样的直径是垂直于弦的，并能够准确地描述这一概念。
-掌握垂直于弦的直径的性质：分析并理解垂直于弦的直径所具有的性质，如平分弦、垂直平分弦等，并能够运用这些性质解决具体问题。
-应用垂直于弦的直径解决实际问题：培养学生将理论知识应用于解决实际问题的能力，如通过垂直于弦的直径的性质来求解圆的相关问题。
-与其他圆的性质的综合应用：在综合问题中，学生需要将垂直于弦的直径的性质与其他圆的性质结合起来，这对于学生来说是一个挑战。
举例：在讲解垂直于弦的直径的证明过程时，教师可以使用直观的动画或模型，逐步引导学生通过观察和思考，理解证明过程中的每一步。对于难点内容，如灵活运用性质，教师可以通过以下方法帮助学生突破：
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的空间观念和几何直观：通过观察、操作、推理等过程，使学生理解并掌握圆的基本性质，提高对圆的认识，发展空间想象力。
2.提升学生的逻辑推理能力：在学习垂直于弦的直径定义和性质的过程中，引导学生运用逻辑思维进行推理和证明，增强分析解决问题的能力。
举例：讲解垂直于弦的直径定义时，教师可以借助图形，如一个圆和一条弦，通过动画或实物演示，让学生观察并总结出垂直于弦的直径的特点。
2.教学难点
-理解垂直于弦的直径的证明过程：学生往往难以理解为什么垂直于弦的直径会具有平分弦的性质，以及如何通过几何证明来证实这一点。
-灵活运用垂直于弦的直径的性质：在解决具体问题时，学生可能难以迅速找到垂直于弦的直径，并有效地利用其性质来简化问题。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解垂直于弦的直径的基本概念。垂直于弦的直径是经过圆中心并且垂直于弦的线段。它在圆的性质中占有重要地位，因为它可以平分弦，并在几何图形中起到关键作用。
人教版数学九年级上册第24.1.2垂直于弦的直径优秀教学案例
3.教师对学生的学习情况进行评价，关注学生的全面发展，不仅仅是知识的掌握。
4.设置一些拓展性问题，对学生进行课后思考，提高他们的创新能力。
在教学过程中，我将注重发挥教师的主导作用，充分调动学生的积极性。通过情景创设、问题导向、小组合作等教学策略，引导学生主动参与课堂，提高他们的实践能力。同时，注重学生的个性化发展，鼓励他们提出自己的见解，培养他们的创新精神。在教学过程中，我还将对学生进行积极的评价，关注他们的全面发展，为他们的成长提供良好的指导。
在教学过程中,我采用了问题驱动的教学方法。首先,我通过引入一些实际问题,让学生感受到垂直于弦的直径的重要性。然后,我引导学生观察和分析一些几何图形,并通过小组合作探究的方式,让学生发现垂直于弦的直径的性质。最后,我通过一些练习题,帮助学生巩固所学知识,并提高解决问题的能力。
在教学过程中,我还注重了学生思维能力的培养。我鼓励学生从不同的角度去思考问题,培养他们的发散思维能力。同时,我也引导学生通过逻辑推理和数学证明来得出结论,培养他们的推理能力。
五、案例亮点
1.情景创设：本节课通过实物模型和多媒体课件的运用，成功地创设了与学生生活实际紧密相关的问题情境，激发了学生的学习兴趣，提高了他们的学习积极性。
2.问题导向：本节课以问题为导向，教师设计了一系列具有启发性的问题，引导学生从不同角度去思考和探究垂直于弦的直径的性质。这样的教学策略不仅提高了学生的逻辑推理能力，还培养了他们的问题意识。
2.鼓励学生提出自己的见解，让每个小组展示自己的研究成果。
3.教师对学生的研究成果进行点评，关注学生的全面发展。
4.总结本节课的主要内容，强调垂直于弦的直径的性质及推论。
人教版九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径教学设计
难点：学生在解决具体问题时，能够将垂径定理与所学知识综合运用，形成系统的解题思路。
3.重点：培养学生的几何直观和空间想象能力。
难点：如何设计教学活动，使学生在探索圆的性质过程中，提升几何直观和空间想象能力。
（二）教学设想
1.创设情境，导入新课
在教学开始时，通过展示生活中的圆形物体，如硬币、圆桌等，引导学生观察并思考其中所包含的几何性质。在此基础上，提出本节课要探讨的问题：垂直于弦的直径有哪些性质？
3.注重培养学生的几何直观和空间想象能力，帮助他们将几何知识与实际图形相结合，更好地理解和运用垂径定理。
4.鼓励学生积极参与课堂讨论，分享解题思路和经验，提高他们的合作能力和交流能力。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：垂直于弦的直径的性质及其应用。
难点：如何引导学生发现并理解垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧这一性质，并能灵活运用该性质解决相关问题。
4.布置课后作业，要求学生运用垂径定理解决实际问题，巩固课堂所学。
5.教师对本节课的教学进行反思，为下一节课做好准备。
五、作业布置
为了巩固本节课所学的垂径定理及其应用，特此布置以下作业：
1.请同学们完成课本第24.1.2节后的习题1、2、3，并尝试用垂径定理解决实际问题。
2.设计一道关于垂径定理的应用题，要求包含弦长、圆心角等元素，并尝试自己解答。
3.结合生活中的圆形物体，观察并思考其中可能涉及的垂径定理问题，将观察到的现象和问题记录下来，下节课与同学们分享。
4.针对本节课的学习内容，撰写一篇学习心得，内容包括：你对垂径定理的理解、学习过程中的困难与收获、对今后学习的期望等。
5.预习下一节课的内容，提前了解圆中其他相关性质，为课堂学习做好准备。
24.1.2垂直于弦的直径-人教版九年级数学上册教案
24.1.2 垂直于弦的直径-人教版九年级数学上册教案
一、知识点
•知识点1：弦、直径、路径
•知识点2：垂直平分线定理
•知识点3：直径定理
二、教学目标
1.了解弦、直径、路径的概念。
2.掌握垂直平分线定理和直径定理。
3.能够灵活运用所学知识解决数学问题。
三、教学重难点
1.弦、直径、路径的概念。
2.如何应用垂直平分线定理和直径定理。
四、教学过程
1.讲解弦、直径、路径的概念，引入垂直平分线定理和直径定理。
2.演示垂直平分线定理的证明过程。
3.引导学生自己证明垂直平分线定理。
4.讲解直径定理及其应用。
5.给出一些例题进行对所学知识的巩固。
6.小结。
五、教学方法
1.课堂讲解。
2.让学生自己发现并证明垂直平分线定理。
3.课堂练习。
4.小组讨论。
六、教学工具
1.黑板。
2.教学PPT。
3.课堂练习。
七、教学评估
1.课堂练习的成绩。
2.学生的上课表现。
八、教学后记
本节课内容涉及几个重要的数学定理，需要详细解释说明，同时引导学生自己发现和证明定理。
教师需要提前准备好教材和课件，用生动有趣的方式呈现课堂内容，激发学生对数学的兴趣和学习热情。
同时，教师还应该留出适当的时间给学生进行课堂练习和讨论，以加深学生的理解和掌握程度。
人教版九年级上册数学24.1.2垂直于弦的直径优秀教学案例
在导入新课时，我会利用多媒体展示一些生活中的实例，如圆形的桌面、车轮等，引导学生观察并思考：“在这些实例中，你能否找到一条特殊的直径，它垂直于连接圆上两点的线段？”通过这个问题，激发学生的兴趣和好奇心，引出本节课的主题——垂直于弦的直径。
（二）讲授新知
在讲授新知时，我会结合垂径定理，引导学生观察、思考、推理垂直于弦的直径的性质。首先，我会让学生观察圆形纸片，尝试找出一条垂直于弦的直径，并观察它与弦的关系。然后，我会引导学生通过推理、论证，得出垂直于弦的直径会平分弦，并且平分弦所对的弧。在这个过程中，我会引导学生运用已学的知识，如垂径定理，来解释和论证垂直于弦的直径的性质。
（四）反思与评价
在教学过程中，我会定期进行反思和评价，以了解学生的学习情况，并调整教学策略。例如，在讲解完一个知识点后，我会设计一些练习题，让学生进行练习，然后对他们的答案进行评价，找出他们的错误，并进行针对性的讲解。同时，我还会鼓励学生进行自我评价，让他们发现自己的不足，并找到改进的方法。
四、教学内容与过程
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我会让学生分成小组，共同探讨垂直于弦的直径的性质。每个小组需要通过观察、推理等方式，得出垂直于弦的直径的性质，并用自己的语言进行解释。这样既可以培养学生的合作意识，又可以提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。
（四）总结归纳
在总结归纳环节，我会让学生发表自己小组讨论的结果，并对各组的结论进行评价、分析、归纳。在这个过程中，我会引导学生运用归纳推理的方法，总结出垂直于弦的直径的性质，并强调其在几何图形中的应用。
4.反思与评价提高学习效果：在教学过程中，我定期进行了反思和评价，以了解学生的学习情况，并调整教学策略。例如，在讲解完一个知识点后，我设计了练习题，让学生进行练习，然后对他们的答案进行评价，找出他们的错误，并进行针对性的讲解。同时，我还鼓励学生进行自我评价，让他们发现自己的不足，并找到改进的方法。这种方式能够帮助学生及时发现和纠正自己的错误，提高学习效果。
24.1.2 垂直于弦的直径教案
24.1.2 垂直于弦的直径教案一、【教材分析】教学目标知识技能1.使学生理解圆的轴对称性 .2.掌握垂径定理及其推论，学会运用垂径定理及其推论解决有关的证明、计算问题.过程方法1.经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，通过观察、动手操作培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.2.在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法，锻炼学生的逻辑思维能力,体验数学来源于生活又用于生活.情感态度让学生积极投入到圆的轴对称性的研究中，体验到垂径定理是圆的轴对称性质的重要体现.教学重点垂径定理、推论及它们的应用.教学难点对垂径定理的探索和证明，并能应用垂径定理进行简单计算或证明.二、【教学流程】教学环节问题设计师生活动二次备课情景创设请大家观察教材上的图片并思考问题：你知道赵州桥吗？你能给大家介绍一下有关它的历史及构造吗？创设问题情境，开展学习活动，引起学生学习的兴趣了解我国古代人民的勤劳与智慧.自主探究问题一用纸剪一个圆，将圆对折、打开，再重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？让学生动手操作，观察、思考、交流，归纳得出圆的特性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在（或过培养学生动手、动脑、动口探究问题的能力问题二1、观察、思考并回答：（1）在含有一条直径AB的圆上再增加一条直径CD，两条直径的位置关系怎样？（2）把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦AB是否一定被直径CD平分？(3)猜想：弦AB在怎样情况下会被直径CD平分？（4）思考：直径CD两侧相邻的两条弧是否也相等？如何证明？2、你能给上题中这条特殊的直径命名吗？这条特殊的直径有哪些性质？请用一句话概括出来.垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧.例1 看下列图形，是否能使用垂径定理？平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.问题三圆心）的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条.教师提出问题，学生画图、思考，并回答提出的问题.教师参与小组活动，指导帮助学生，鼓励学生大胆试验、猜想，并共同给出验证过程.小组交流，根据直径的特征，容易给出直径的名字——垂直于弦的直径，师生共同归纳出特殊直径的性质，并给出教师出示图形，学生思考、解答，说出哪些图形能使用垂径定理?教师出示题目，学让学生积极参与探究知识的整个过程，更有利于对知识点的理解与掌握.给学生足够的发挥空间，利用反例、变式图形对定理进一步引申，揭示定理的本质属性，以加深学生对定理的本质了解.强化结论的命题“平分弦的直径一定垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.”这个命题正确吗？画图说明.如果不正确，错在哪里？你认为应该怎样修改？生画图探究说明命题不正确，通过交流、修改，进一步得出垂径定理的推论.使用条件：平分非直径弦的直径.尝试应用1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径.2、已知：如图1，若以O为圆心作一个⊙O的同心圆，交大圆的弦AB于C，D两点.求证：AC＝BD.变式1：隐去（图1）中的大圆，连接OA，OB，设OA=OB，求证：AC＝BD.变式2：再添加一个同心圆，得（图2）则AC BD（写出答案，不证明）3、请用所学知识解决求赵州桥拱半径的问教师出示题目，学生思考、解答学生解答完毕后，小组交流后以小组为单位展示小组的成果.教师巡视，帮助学习有困难的学生，并适时指导、点拨，不断提升、总结.学生交流，师生互动.对于第2题的解答，要求学生一题多解:法1：连接OA、OB、OC、OD，证△OAC≌△OBD法2：作OE⊥CD，垂足为E，利用垂径定理证明.要求：（1）正确画通过问题的训练，加深学生对垂径定理的理解及应用，同时强调辅助线的作法的重要性.经过一题多解、变式训练，锻炼学生发散思维及举一反三、触类旁通解决问题的能力.题.出图形，连接半径，构造直角三角形；（2）利用垂径定理的知识解决问题.补偿提高1、已知⊙O的半径为13，弦AB=24，P是弦AB上任意一点，求OP的取值范围.2、见教材第90页习题24.1第9题教师出示题目，学生练习时，教师巡视、辅导，进一步了解学生的掌握情况.学有余力的学生选做，达到培优的目的.小结与作业小结：通过这节课的学习，你有什么收获？作业：1、必做题教材第83页练习1，2题2、选做题教材第90页习题24.1第10题教师提出问题，学生回答，教师在学生总结后进行补充，并根据学生的回答，结合结构图总结本节知识.教师布置作业，动员分层要求.学生按要求课外完成，通过课后作业巩固本节知识.供学生课后探讨、研究.使学生能够回顾、总结、梳理所学知识.三、【板书设计】24.1.2 垂直于弦的直径四、【教后反思】本节课从介绍赵州桥的历史及构造入手，引起学生的学习兴趣和本课主题.再结合折纸、观察圆的对称性、利用对称性质验证一系列的过程，形象直观地抓住了定理，降低了单纯介绍定理的难度，同时让学生经历观察、思考、探索、交流、归纳的全过程，感受成功的喜悦.然后让学生通过对命题“平分弦的直径一定垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.”的判断与修改，进一步得出垂径定理的推论，并强化结论的使用条件，为推论的正确理解和应用打好基础，锻炼了学生的思维的严密性和逻辑思维能力.最后让学生就赵州桥的半径计算问题，建立数学模型，添加辅助线构造直角三角形，利用垂径定理进行计算，真正让学生体会到学会数学的重要性.。
人教版数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径优秀教学案例
1.提出引导性问题，引导学生观察、思考、讨论垂直于弦的直径的性质。
2.引导学生提出假设，进行推理和验证，如“垂直于弦的直径是否一定通过弦的中点？”
3.设计具有挑战性的问题，如“你能证明垂直于弦的直径平分弦吗？”，激发学生的创新思维。
（三）小组合作
1.将学生分成小组，鼓励学生进行讨论、交流、分享，培养学生的团队合作意识。
人教版数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径优秀教学案例
一、案例背景
本节课为人教版数学九年级上册第24章第1节中的内容，主要讲解圆中的一条特殊性质——垂直于弦的直径。在此之前，学生已经学习了圆的基本概念、圆的周长和面积等知识，对圆有了初步的认识。本节课的内容是在此基础上，进一步引导学生发现并证明垂直于弦的直径的性质，培养学生观察、思考、推理的能力。
三、教学策略
（一）情景创设
1.利用实物模型，如圆形的桌面、圆规等工具，为学生提供直观的视觉感受，引发学生对垂直于弦的直径性质的兴趣。
2.通过引入生活中的实例，如圆形桌面上的直径与垂线的关系，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
3.设计有趣的问题情境，如“在圆形操场上，如何找到一条垂线穿过弦的中点”，激发学生的思考欲望。
五、教学评价
1.评价学生对垂直于弦的直径性质的理解程度，观察学生能否灵活运用这一性质解决实际问题。
2.评价学生在观察、思考、推理、实践等方面的能力，培养学生独立解决问题的能力。
3.评价学生的团队合作意识，关注学生在讨论、交流、分享等方面的表现。
4.关注学生的情感态度，激发学生对数学的兴趣，培养学生积极的数学学习情感。
4.反思与评价：教师引导学生进行自我反思和评价，培养学生自我监控和自我评价的能力。同时，教师进行课堂观察和评价，关注学生在观察、思考、推理、实践等方面的表现，为学生提供及时的反馈和指导。
人教版九年级数学上册24.1.2：垂直于弦的直径优秀教学案例
五、案例亮点
1. 情景创设贴近生活：本节课通过现实生活中的实例和数学故事导入新课，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发了学生的学习兴趣，使他们愿意主动参与到课堂学习中。这种情境创设的方式，不仅提高了学生的学习积极性，还使他们更容易理解和掌握知识。
二、教学目标
（一）知识与技能
1. 让学生掌握垂直于弦的直径的性质，并能灵活运用这一性质解决相关问题。
2. 引导学生探索并证明垂直于弦的直径的性质，培养学生的逻辑思维能力和证明能力。
3. 通过对垂直于弦的直径性质的研究，让学生进一步理解圆的性质，提高他们分析问题和解决问题的能力。
（二）过程与方法
1. 采用自主探索、合作交流的教学方式，引导学生积极参与课堂讨论，提高他们的数学思维能力。
2. 设计具有挑战性的小组任务，如证明其他垂直于弦的直径的性质，让学生在完成任务的过程中，深入探究垂直于弦的直径的性质。
3. 教师要关注小组合作的过程，引导学生正确处理小组内部的矛盾，培养他们的团队精神。
（四）总结归纳
1. 引导学生总结垂直于弦的直径的性质，明确其在圆的性质中的重要地位。
2. 让学生谈谈自己在学习垂直于弦的直径性质过程中的收获和感悟，培养他们的反思能力。
2. 讲解垂直于弦的直径性质的定义和证明过程，引导学生理解并掌握这一性质。
3. 通过几何画板等教学辅助工具，直观地展示垂直于弦的直径性质，帮助学生更好地理解和掌握知识。
4. 设计具有梯度的练习题，让学生在实践中运用所学知识，提高他们进行小组讨论，让他们在合作中交流思想，共享成果，提高团队协作能力。
3. 创设问题情境，让学生在解决问题的过程中自然地引入垂直于弦的直径的性质，从而激发他们的求知欲。
九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径(教案)
九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径【知识与技术】1.经过察看实验，使学生理解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理及其推论.理解其证明，并会用它解决相关的证明与计算问题 .【过程与方法】经过研究垂径定理及其推论的过程，进一步领会和理解研究几何图形的各样方法 .【感情态度】1.联合本课特色，向学生进行爱国主义教育和美育浸透.2.激发学生研究、发现数学识题的兴趣和欲念.【教课要点】垂径定理及其推论，会运用垂径定理等结论解决一些相关证明，计算和作图问题 .【教课难点】垂径定理及其推论 .一、情境导入，初步认识你知道赵州桥吗？它是 1300 多年前我国隋代建筑的石拱桥，是我国古代人民勤奋与智慧的结晶 .它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为，拱高（弧的中心点到弦的距离）为 7.2m.你能求出主桥拱的半径吗？（图：课本第 82 页图）【教课说明】赵州桥问题充足表现了数学与应用数学的关系，认识我国古代人民的勤奋与智慧，要解决此问题需要用到这节课的知识，这样较好地调换了学生的踊跃性，开启了学生的思想，成功地引入新课.二、思虑研究，获得新知1.圆的轴对称性问题 1 用纸剪一个圆，沿着圆的随意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能获得什么结论？【教课说明】学生经过自己着手操作，概括出圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴 .2.垂径定理及其推论问题 2 请同学们达成以下问题：如右图， AB 是⊙ O 的一条弦，作直径CD.使 CD⊥AB ，垂足为 E.（1）右图是轴对称图形吗？假如是，其对称轴是什么呢？（2）你能发现图中有哪些等量关系？谈谈原因.【教课说明】问题（ 1）是对圆的轴对称性这一结论的复习与应用，也是为问题（ 2）作下铺垫，垂径定理是依据圆的轴对称性得出来的.问题（ 2）可由问题（1）获得，问题（ 2）由学生合作沟通达成，培育他们合作沟通和主动参加的意识 .【概括结论】垂径定理：垂直于弦的直径均分弦，而且均分弦所对的两条弧（优弧、劣弧） .数学语言：如上图，在⊙O 中， AB 是弦，直径 CD 垂直于弦 AB.∴AE=BE.AC BD 。
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垂直于弦的直径
1．进一步认识圆是轴对称图形．
2．能利用圆的轴对称性，通过探索、归纳、验证得出垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题．
3．认识垂径定理及推论在实际中的应用，会用添加辅助线的方法解决问题．
一、情境导入
你知道赵州桥吗？它又名“安济桥”，位于河北省赵县，是我国现存的著名的古代石拱桥，距今已有1400多年了，是隋代开皇大业年间(605～618)由著名将师李春建造的，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶．
它的主桥拱是圆弧形，全长50.82米，桥宽约10米，跨度37.4米，拱高7.2米，是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩石拱桥．你知道主桥拱的圆弧所在圆的半径吗？
二、合作探究
探究点一：垂径定理
【类型一】垂径定理的理解
如图所示，⊙O的直径AB垂直弦CD 于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是( )
A．23cm B．32cm
C．42cm D．43cm
解析：∵直径AB⊥DC，CD＝6，∴DP＝3.连接OD，∵P是OB的中点，设OP为x，则OD 为2x，在Rt△DOP中，根据勾股定理列方程32＋x2＝(2x)2，解得x＝ 3.∴OD＝23，
∴AB
＝4 3.故选D.
方法总结：我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形，然后应用勾股定理解决问题．
【类型二】垂径定理的实际应用
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的AB
︵
)，点O是这段弧的圆心，C是AB
︵
上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝300m，CD＝50m，则这段弯路的半径是________m.
解析：本题考查垂径定理，∵OC⊥AB，AB＝300m，∴AD＝150m.设半径为R，根据勾股定理可列方程R2＝(R－50)2＋1502，解得R＝250.故答案为250.
方法总结：
将实际问题转化为数学问题，再
利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．
探究点二：垂径定理的推论
【类型一】利用垂径定理的推论求角
如图所示，⊙O的弦AB、AC的夹角为50°，M、N分别是AB
︵
、AC
︵
的中点，则∠MON 的度数是( )
A．100° B．110°
C．120° D．130°
解析：已知M、N分别是AB
︵
、AC
︵
的中点，由“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得OM⊥AB、ON⊥AC，所以∠AEO＝∠AFO＝90°，而∠BAC＝50°，由四边形内角和定理得
∠MON ＝360°－∠AEO －∠AFO －∠BAC ＝360°－90°－90°－50°＝130°.故选D. 【类型二】利用垂径定理的推论求边
如图，点A 、B 是⊙O 上两点，AB ＝10cm ，点P 是⊙O 上的动点(与A 、B 不重合)，连接AP 、BP ，过点O 分别作OE ⊥AP 于E ，OF ⊥PB 于F ，求EF 的长． 解析：运用垂径定理先证出EF 是△ABP 的中位线，然后运用三角形中位线性质把要求的EF 与AB 建立关系，从而解决问题．
解：在⊙O 中，∵OE ⊥AP ，OF ⊥PB ，∴AE ＝PE ，BF ＝PF ，∴EF 是△ABP 的中位线，∴EF ＝12AB ＝1
2
×10＝5cm. 方法总结：垂径定理虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决问题，我们一定要把知识融会贯通，在解决问题时才能得心应手． 【类型三】动点问题
(2014·广东佛山)如图，⊙O 的直径为10cm ，弦AB ＝8cm ，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 的长度范围．
解析：当点P 处于弦AB 的端点时，OP 最长，此时OP 为半径的长；当OP ⊥AB 时，OP 最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP 的长．
解：作直径MN ⊥弦AB ，交AB 于点D ，由垂径定理，得AD ＝DB ＝1
2AB ＝4cm.又∵⊙O 的
直径为10cm ，连接OA ，∴OA ＝5cm.在Rt △
AOD 中，由勾股定理，得OD ＝OA 2－AD 2＝3cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP 的长度范围是3≤OP ≤5(单位：cm)．
方法总结：解题的关键是明确OP 最长、最短时的情况，灵活利用垂径定理求解．容易出错的地方是不能确定最值时的情况． 三、板书设计
教学过程中，强调垂径定理的得出跟圆的轴对称密切相关．在圆中求有关线段长时，可考虑垂径定理的应用.。