2021年九年级中考数学基础过关：04《二次根式》(含答案)
最新2021年全国各地中考数学真题专项汇编：二次根式(含答案解析)
专题03 二次根式一、单选题1．（2021·取1.442 ）A ．-100B ．-144．2C ．144.2D ．-0.01442【答案】B【分析】类比二次根式的计算，提取公因数，代入求值即可．【详解】33 1.442= 33333(13-=--=-144.2=- 故选B ．【点睛】本题考查了根式的加减运算，类比二次根式的计算，提取系数，正确的计算是解题的关键．2．（2021·结果相同的是（ ）．A ．321-+B ．321+-C ．321++D ．321--【答案】A【分析】根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案．2=∵3212-+=，且选项B 、C 、D 的运算结果分别为：4、6、0故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混合运算的性质，即可得到答案．3．（2021·湖北恩施州），这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（ ）个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【分析】根据题意分别求出这三个实数中任意两数的积，进而问题可求解．【详解】解：由题意得：(2,==-=∴所有积中小于2的有2-两个；故选C ．【点睛】本题主要考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算是解题的关键．4．（2021·湖南常德市）计算：11122⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭（ ）A ．0B ．1C ．2 D【答案】C【分析】先将括号内的式子进行通分计算，最后再进行乘法运算即可得到答案．【详解】解：1⎫-⎪⎪⎝⎭=1122⋅=512- =2．故选：C ． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则以及乘法公式是解答此题的关键． 5．（2021·湖南衡阳市）下列计算正确的是（ ）A 4=±B ．()021-=C =D 3=【答案】B【分析】利用算术平方根，零指数幂，同类二次根式，立方根逐项判断即可选择．4=，故A 选项错误，不符合题意；0(2)1-=，故B 选项正确，符合题意；C 选项错误，不符合题意；D 选项错误，不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查算术平方根，零指数幂，同类二次根式，立方根．掌握各知识点和运算法则是解答本题的关键．6．（2021·浙江杭州市）下列计算正确的是（ ）A 2=B 2=-C 2=±D 2=± 【答案】A 【分析】由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案．2==，故A 正确，C 2=，故B 、D 错误；故选：A ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握性质进行判断．7．（2021·上海）下列实数中，有理数是（ ）A B C D 【答案】C【分析】先化简二次根式，再根据有理数的定义选择即可【详解】A 是无理数;BC 12为有理数;D 故选：C 【点睛】本题考查二次根式的化简、无理数的定义、有理数的定义、熟练掌握有理数的定义是关键8．（2021·江苏苏州市）计算2的结果是（ ）AB ．3C ．D ．9 【答案】B【分析】直接根据二次根式的性质求解即可．【详解】解：2=3，故选B ．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握2(0)a a =≥是解答此题的关键． 9．（2021·甘肃武威市）下列运算正确的是（ ）A 3=B ．4=C =D 4=【答案】C 【分析】直接根据二次根式的运算法则计算即可得到答案．=A 错；=B 错；=C 2=，故D 错．故选：C ．【点睛】此题考查的是二次根式的运算和化简，掌握其运算法则是解决此题关键．10.（2021柳州） 下列计算正确的是（ ）= B. 3+== D. 2=【答案】C【分析】根据二次根式的运算性质求解，逐项分析即可【详解】A.B. 3，不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；C. ==D.2， 不是同类二次根式，不能合并，不符合题意．故选C ．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的乘法法则，是解题的关键．11．（2021· ）A ．7B ．C ．D ． 【答案】B【分析】根据二次根式的运算法则，先算乘法再算减法即可得到答案；===B ．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．12．（2021湖北襄阳）若二次根式在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≥﹣3B ．x ≥3C ．x ≤﹣3D ．x ＞﹣3 【答案】A【分析】根据二次根式的概念，形如（a ≥0）的式子叫做二次根式，进而得出答案． 【解答】解：若二次根式在实数范围内有意义， 则x +3≥0，解得：x ≥﹣3．故选：A ．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．13．（2021·浙江嘉兴市·）能说明命题“若x 为无理数，则x 2也是无理数”是假命题的反例是（ ）A ．1x =B ．1x =C ．x =D ．x =【答案】C【分析】根据反例满足条件，但不能得到结论，所以利用此特征可对各选项进行判断．【详解】解：A 、)221=3x =-B 、)221x =C 、(22=18x =，是有理数，符合题意；D 、22=5x =-C ．【点睛】本题考查了无理数的概念以及二次根式的运算，熟练掌握运算法则和定义是解题的关键． 14．（2021·重庆）下列计算中，正确的是（ ）A．21=B．2+=C=D3=【答案】C【分析】根据二次根式运算法则逐项进行计算即可．【详解】解：A. =，原选项错误，不符合题意；B. 2C. =D. =C．【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练运用二次根式运算法则，进行准确计算．15．（2021·）A．4 B．4±C．D．±【答案】C()0,0,a b a b=≥≥直接化简即可得到答案．==故选：.C【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握积的算术平方根的含义是解题的关键．二、填空题1. （2021在实数范围内有意义，x的取值范围是________．【答案】1x≥-【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【详解】10x∴+≥，1x∴≥-.故答案为：1x≥-【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．2．（2021贵阳）计算（+）（﹣）＝．【分析】先把二次根式化为最简二次根式，然后利用平方差公式计算．【解答】解：原式＝（3+3）（﹣）＝3（+）（﹣）＝3×（3﹣2）＝3．故答案为3．【点睛】本题考查二次根式的混合运算．掌握二次根式的混合运算法则是解答本题你的关键．3．（2021·天津）计算1)的结果等于_____．【答案】9【分析】根据二次根式的混合运算法则结合平方差公式计算即可．【详解】21)19-=-=．故答案为9．【点睛】本题考查二次根式的混合运算．掌握二次根式的混合运算法则是解答本题你的关键．4．（2021·_______________________． 【答案】5【分析】根据二次根式的性质进行求解即可.5=5，故答案为5.【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.5．（2021·有意义，则x 可取的一个数是__________．【答案】如4等（答案不唯一，3x ≥） 【分析】根据二次根式的开方数是非负数求解即可．有意义，∴x ﹣3≥0，∴x ≥3，∴x 可取x ≥3的任意一个数，故答案为：如4等（答案不唯一，3x ≥．【点睛】本题考查二次根式、解一元一次不等式，理解二次根式的开方数是非负数是解答的关键．6. （2021x 的取值范围是____________．【答案】任意实数【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件及平方的非负性即可得解．【详解】解：∵20x ≥，∴22x ＋＞0，∴无论x∴x 的取值范围为任意实数，故答案为：任意实数．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件及平方的非负性，熟练掌握二次根式的定义是解决本题的关键．7．（2021·四川广安市）在函数y =x 的取值范围是___． 【答案】1x 2≥ 【详解】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负在实数范围内有意义，必须12x 10x 2-≥⇒≥．8．（2021·这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a =，b =则1ab =，记11111S a b =+++，2221111S a b =+++，…，1010101111S a b =+++．则1210S S S +++=____． 【答案】10【分析】先根据1ab =求出1111n n n S a b =+++（n 为正整数）的值，从而可得1210,,,S S S 的值，再求和即可得． 【详解】解：1ab =，111111()1nn n n n n n a S a b a a b ∴=+=+++++（n 为正整数）， 11()n n n n a a a ab =+++，111n n n a a a =+++，1=， 12101S S S ===∴=，则121010S S S +++=，故答案为：10．【点睛】本题考查了二次根式的运算、分式的运算，正确发现一般规律是解题关键．9．（2021·湖南岳阳市）已知1x x +=，则代数式1x x +=______． 【答案】0【分析】把1x x +=【详解】10x x+==故答案为：0． 【点睛】本题考查了求代数式的值，涉及二次根式的减法运算，整体代入法是解决本题的关键．10．（2021·四川眉山市）观察下列等式：1311212x ===+⨯；2711623x ===+⨯；313111234x ===+⨯；…… 根据以上规律，计算12320202021x x x x ++++-=______． 【答案】12016-【分析】根据题意，找到第n 1与1n(n 1)+的和；利用这个结论得到原式＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021，然后把12化为1﹣12，16化为12﹣13，120152016⨯化为12015﹣12016，再进行分数的加减运算即可．11(1)n n =++，20201120202021x =+⨯ 12320202021x x x x ++++-＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021 ＝2020+1﹣12+12﹣13+…+12015﹣12016﹣2021＝2020+1﹣12016﹣2021＝12016-．故答案为：12016-． 【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．11．（2021·x 的取值范围是________． 【答案】0x >【分析】根据分式及二次根式有意义的条件可直接进行求解．【详解】解：由题意得：0x ≠且20x≥，∴0x >；故答案为0x >． 【点睛】本题主要考查二次根式及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式及分式有意义的条件是解题的关键．三、解答题1．（2021·湖南长沙市）计算：(02sin 451-+°【答案】5．【分析】先化简绝对值、特殊角的正弦值、零指数幂、二次根式的乘法，再计算实数的混合运算即可得．【详解】解：原式21=++14=+5=． 【点睛】本题考查了化简绝对值、特殊角的正弦值、零指数幂、二次根式的乘法等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．2．（2021·山东临沂市）计算221122⎫⎫+-⎪⎪⎭⎭．【答案】【分析】化简绝对值，同时利用平方差公式计算，最后合并．【详解】解：221122⎫⎫+-⎪⎪⎭⎭11112222⎡⎤⎡⎤⎫⎫⎫⎫+-⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎭⎭⎭⎭⎣⎦⎣⎦【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是合理运用平方差公式进行计算．3．（2021·四川遂宁市）计算：()101tan 60232-⎛⎫-+︒-+- ⎪⎝⎭π【答案】-3【分析】分别利用负整指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，二次根式的性质化简，再进行计算即可．【详解】解：()101tan 60232-⎛⎫-+︒-+-- ⎪⎝⎭π(=2-=221--=3- 【点睛】本题考查了负整指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，二次根式的化简等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．。
人教版九年级数学上册二次根式教案及作业题(带答案)
人教版九年级数学上册二次根式教案及作业题（带答案）《人教版九年级上册全书教案》第二十一章二次根式教材内容1．本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．2．本单元在教材中的地位和作用：二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标1．知识与技能（1）理解二次根式的概念．（2）理解（a≥0）是一个非负数，（）2=a（a≥0），=a（a≥0）．（3）掌握•＝（a≥0，b≥0），=•；=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）．（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．2．过程与方法（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．•再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，•并运用规定进行计算．（3）利用逆向思维，•得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，•给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．3．情感、态度与价值观通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点1．二次根式（a≥0）的内涵．（a≥0）是一个非负数；（）2＝a（a≥0）；=a（a≥0）•及其运用．2．二次根式乘除法的规定及其运用．3．最简二次根式的概念．4．二次根式的加减运算．教学难点1．对（a≥0）是一个非负数的理解；对等式（）2＝a（a≥0）及=a（a≥0）的理解及应用．2．二次根式的乘法、除法的条件限制．3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．教学关键1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，•培养学生一丝不苟的科学精神．单元课时划分本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：21．1二次根式3课时21．2二次根式的乘法3课时21．3二次根式的加减3课时教学活动、习题课、小结2课时21．1二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用教学目标理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键1．重点：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．难点与关键：利用“（a≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x=，所以所求点的坐标（，）．问题2：由勾股定理得AB=问题3：由方差的概念得S=.二、探索新知很明显、、，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如（a≥0）•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a老师点评:（略）例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y•≥0）．分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、（x>0）、、-、（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：、、、．例2．当x是多少时，在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x≥当x≥时，在实数范围内有意义．三、巩固练习教材P练习1、2、3．四、应用拓展例3．当x是多少时，+在实数范围内有意义？分析：要使+在实数范围内有意义，必须同时满足中的≥0和中的x+1≠0．解：依题意，得由①得：x≥-由②得：x≠-1当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义．例4(1)已知y=++5，求的值．(答案:2)(2)若+=0，求a2004+b2004的值．(答案:)五、归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、布置作业1．教材P8复习巩固1、综合应用5．2．选用课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》第一课时作业设计一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（）A．-B．C．D．x2．下列式子中，不是二次根式的是（）A．B．C．D．3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A．5B．C．D．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？3．若+有意义，则=_______．4.使式子有意义的未知数x有（）个．A．0B．1C．2D．无数5.已知a、b为实数，且+2=b+4，求a、b的值．第一课时作业设计答案:一、1．A2．D3．B二、1．（a≥0）2．3．没有三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：x=．2．依题意得：，∴当x>-且x≠0时，＋x2在实数范围内没有意义．3.4．B5．a=5，b=-421.1二次根式(2)第二课时教学内容1．（a≥0）是一个非负数；2．（）2=a（a≥0）．教学目标理解（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键新|课|标|第|一|网1．重点：（a≥0）是一个非负数；（）2=a（a≥0）及其运用．2．难点、关键：用分类思想的方法导出（a≥0）是一个非负数；•用探究的方法导出（）2=a（a≥0）．教学过程一、复习引入（学生活动）口答1．什么叫二次根式？2．当a≥0时，叫什么？当a老师点评（略）．二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）（a≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出（a≥0）是一个非负数．做一做：根据算术平方根的意义填空：（）2=_______；（）2=_______；（）2=______；（）2=_______；（）2=______；（）2=_______；（）2=_______．老师点评：是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4的非负数，因此有（）2=4．同理可得：（）2=2，（）2=9，（）2=3，（）2=，（）2=，（）2=0，所以（）2=a（a≥0）例1计算1．（）22．（3）23．（）24．（）2分析：我们可以直接利用（）2=a（a≥0）的结论解题．解：（）2=，（3）2=32•（）2=32•5=45，（）2=，（）2=．三、巩固练习计算下列各式的值：X|k|b|1.c|o|m（）2（）2（）2（）2（4）2四、应用拓展例2计算1．（）2（x≥0）2．（）23．（）24．（）2分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；（4）4x2-12x+9=（2x）2-2•2x•3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的4题都可以运用（）2=a（a≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x≥0，所以x+1>0（）2=x+1（2）∵a2≥0，∴（）2=a2（3）∵a2+2a+1=（a+1）2又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0，∴=a2+2a+1（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2•2x•3+32=（2x-3）2又∵（2x-3）2≥0∴4x2-12x+9≥0，∴（）2=4x2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3（2）x4-4(3)2x2-3分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：1．（a≥0）是一个非负数；2．（）2=a（a≥0）;反之:a=（）2（a≥0）．六、布置作业1．教材P8复习巩固2．（1）、（2）P97．2．选用课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》第二课时作业设计一、选择题1．下列各式中、、、、、，二次根式的个数是（）．A．4B．3C．2D．12．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）．A．a>0B．a≥0C．a二、填空题1．（-）2=________．2．已知有意义，那么是一个_______数．三、综合提高题1．计算（1）（）2（2）-（）2（3）（）2（4）（-3）2(5)2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:（1）5（2）3.4（3）（4）x（x≥0）3．已知+=0，求xy的值．4．在实数范围内分解下列因式:（1）x2-2（2）x4-93x2-5第二课时作业设计答案:一、1．B2．C二、1．32．非负数三、1．（1）（）2=9（2）-（）2=-3（3）（）2=×6=（4）（-3）2=9×=6(5)-62．（1）5=（）2（2）3.4=（）2（3）=（）2（4）x=（）2（x≥0）3．xy=34=814.（1）x2-2=（x+）（x-）（2）x4-9=（x2+3）（x2-3）=（x2+3）（x+）（x-）(3)略。
2021年九年级数学中考一轮复习突破训练：二次根式性质的应用(附答案)
2021年九年级数学中考一轮复习突破训练：二次根式性质的应用（附答案）1．若实数m满足|m﹣4|＝|m﹣3|+1，那么下列四个式子中与（m﹣4）相等的是（）A．B．C．D．2．在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简﹣2|c﹣a﹣b|的结果为（）A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a3．把二次根式化简为（）A．B．C．D．4．已知a为实数，则代数式的最小值为（）A．0B．3C．D．95．下列计算正确的是（）A．（m﹣n）2＝m2﹣n2B．（2ab3）2＝2a2b6C．2xy+3xy＝5xy D．＝2a6．如图，从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2的两个小正方形，则余下的面积为（）A．16cm2B．40 cm2C．8cm2D．（2+4）cm27．若三角形的三边分别是a，b，c，且，则这个三角形的周长是（）A．+5B．C．D．8．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为cm，宽为4cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖部分的周长和是（）A．4cm B．16cm C．2（+4）cm D．4（﹣4）cm 9．将一个边长为a的正方形硬纸板剪去四角，使它成为正八边形，求正八边形的面积（）A．（2﹣2）a2B．a2C．a2D．（3﹣2）a2 10．代数式+的最小值是（）A．B．C．D．11．当x≤2时，化简：＝．12．化简：＝．13．当0＜x＜4时，化简的结果是．16．已知+2＝b+8，则的值是．14．已知|6﹣3a|+（b﹣4）2＝3a﹣6﹣，则b a＝．15．若长方形相邻两边的长分别是cm和cm，则它的周长是cm．16．若a＞a+1，化简|a+|﹣＝．17．不等式2x﹣＜x的解集是．18．如图，D是等边三角形ABC中AC延长线上一点，连接BD，E 是AB上一点，且DE＝DB，若AD+AE＝5，BE＝，则BC＝．19.同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数（以及0）都可以看作是一个数的平方，如，，下面我们观察：反之，3﹣2∴3﹣2∴﹣1求：（1）；（2）；（3）若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．20．观察下列各式：请利用你所发现的规律，解决下列问题：（1）第4个算式为：；（2）求的值；（3）诸直接写出的结果．21．先来看一个有趣的现象：＝＝＝2．这里根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：＝3、＝4等等．（1）猜想：＝，并验证你的猜想；（2）你能只用一个正整数n（n≥2）来表示含有上述规律的等式吗？（3）证明你找到的规律；（4）请你另外再写出1个具有“穿墙”性质的数．22．有这样一类题目：化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，并且mn ＝，那么将a±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而将化简．例如：化简因为所以仿照上例化简下列各式：（1）；（2）．23．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，求（1）Rt△ABC的面积．（2）斜边AB的长．（3）求AB边上的高．24．有一块矩形木板，木工采用如图的方式，先在木板上截出两个面积为18dm2和32dm2的正方形木板，后来又想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，请问最多能截出几块这样的木条？25．一个直角三角形的两条直角边长分别是（3﹣）cm，（3+）cm，求这个三角形的面积和周长．26．已知长方形长a＝，宽b＝．①求长方形的周长；②求与长方形等面积的正方形的周长，并比较长方形周长与正方形周长大小关系．参考答案1．解：由|m﹣4|＝|m﹣3|+1得，m≤3，∴m﹣4＜0，m﹣3≤0，∴（m﹣4）＝﹣＝﹣．故选：D．2．解：∵a、b、c为三角形的三边，∴a+c＞b，a+b＞c，即a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0；∴﹣2|c﹣a﹣b|＝（a﹣b+c）+2（c﹣a﹣b）＝﹣a﹣3b+3c．故选：B．3．解：∵﹣＞0，∴a＜0．原式＝a×＝a×＝﹣．故选：A．4．解：∵原式＝＝＝∴当（a﹣3）2＝0，即a＝3时代数式的值最小，为即3故选：B．5．解：A、（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2，故本选项错误；B、（2ab3）2＝4a2b6，故本选项错误；C、2xy+3xy＝5xy，故本选项正确；D、＝，故本选项错误；故选：C．6．解：从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2的两个小正方形，大正方形的边长是+＝4+2，留下部分（即阴影部分）的面积是（4+2）2﹣16﹣24＝16+16+24﹣16﹣24＝16（cm2）．故选：A．7．解：根据题意得a﹣2＝0，a﹣b﹣1＝0，c﹣4＝0，∴a＝2，b＝2﹣1，c＝4，∴三角形的周长为2+2﹣1+4＝4+3．故选：D．8．解：设小长方形卡片的长为x，宽为y，根据题意得：x+2y＝，则图②中两块阴影部分周长和是2+2（4﹣2y）+2（4﹣x）＝2+4×4﹣4y﹣2x＝2+16﹣2（x+2y）＝2+16﹣2＝16（cm）．故选：B．9．解：设剪去三角形的直角边长x，根据勾股定理可得，三角形的斜边长为x，即正八边形的边长为x，依题意得x+2x＝a，则x＝＝，∴正八边形的面积＝a2﹣4××＝（2﹣2）a2．故选：A．10．解：+＝+，设P（x，0），M（3，5），N（4，﹣3），则+表示点P到点M与点N的距离之和，当点P在线段MN上时，点P到点M与点N的距离之和最短，即+的最小值等于线段MN的长，∵MN＝＝，∴代数式+的最小值是，故选：B．11．解：∵x≤2，∴＝＝2﹣x．故答案为：2﹣x．12．解：原式＝＝，故答案为：．13．解：∵0＜x＜4，∴＝|x+1|+|x﹣4|＝x+1+x﹣4＝2x﹣3．故答案为：2x﹣3．14．解：由题可得，解得，即a＝17，∴0＝b+8，∴b＝﹣8，∴＝＝5，故答案为：5．15．解：∵＝|b﹣4|，∴a﹣3≥0，即a≥3，∴6﹣3a＜0，∴3a﹣6+（b﹣4）2＝3a﹣6﹣|b﹣4|，∴（b﹣4）2+|b﹣4|＝0，当b≥4时，有（b﹣4）2+（b﹣4）＝0，即（b﹣4）（b﹣4+）＝0，∴b﹣4＝0或b﹣4+＝0，∵b﹣4≥0，且b﹣4+＝0，∴b＝4，a＝3，当b＜4时，有（b﹣4）2﹣（b﹣4）＝0，即（b﹣4）（b﹣4﹣）＝0，∵b﹣4＜0，≥0，∴b﹣4﹣＜0，因此不存在a、b的值使b﹣4+＝0，综上所述，a＝3，b＝4，∴b a＝43＝64，故答案为：64．16．解：∵长方形相邻两边的长分别是cm和cm，∴它的周长是：2（+）＝2（2+5）＝14（cm）．故答案为：14．17．解：∵a＞a+1，∴（1﹣）a＞1，则a＜，即a＜﹣1﹣，∴a+＜﹣1，a++1＜0，原式＝﹣a﹣+a++1＝1，故答案为：1．18．解：2x﹣＜x，故答案为：x19．解：过D作DF⊥AB于F，交BC于G，∵DE＝DB，∴EF＝BF＝，设AE＝x，∴AD＝5﹣x，AF＝AE+EF＝x+，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠ADF＝30°，∴AD＝2AF，即5﹣x＝2（x+），∴x＝，∴BC＝AB＝+＝，故答案为：．20．解：（1）当x＝2时，＝，＝＝3，4﹣＝4﹣2＝2，∴△ABC的最长边的长度是3，故答案为：3；（2）由根式有意义可得即﹣1≤x≤4．可得，．所以C△ABC＝＝．（3）由（2）可得，且﹣1≤x≤4．由于x为整数，且要使C△ABC取得最大值，所以x的值可以从大到小依次验证．当x＝4时，三条边的长度分别是，但此时，不满足三角形三边关系．所以x≠4．当x＝3时，三条边的长度分别是2，2，3，满足三角形三边关系．故此时C△ABC取得最大值为7，符合题意．不妨设a＝2，b＝2，c＝3，得＝＝．24．解：（1）＝＝+1；（2）＝＝﹣1；（3）m+n＝a，mn＝b．理由：∵，∴（±）2＝a±2，∴m+n±2＝a±2，∴m+n＝a，mn＝b．20．解：（1）依题意：接下来的第4个算式为：故答案为（2）原式＝＝＝＝（3）原式＝＝＝＝21．解：（1），；（2）＝n；（3）证明：＝＝；（4）．22．解：（1）＝＝＝＝；（2）＝＝＝＝．23．解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，∴Rt△ABC的面积＝＝＝4，即Rt△ABC的面积是4；（2）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，∴AB＝＝＝2，即AB的长是2；（3）∵Rt△ABC的面积是4，AB＝2，∴AB边上的高是：＝，即AB边上的高是．24．解：剩余部分的长为dm，宽为﹣＝dm，∵＜1.5，∴剩余的木料的短边只能作为木条的短边，∵4.2＜＜4.3，4.2÷1.5≈2，因此只能截出2块，答：最多能截出2块．25．解：三角形的面积＝×（3﹣）×（3+）＝；三角形的斜边长＝＝，∴三角形的周长＝（3﹣）+（3+）+＝（6+）cm．26．解：①长方形的周长为2×（+）＝2×（2+）＝6；②长方形的面积为×＝2×＝6，则正方形的边长为，∴此正方形的周长为4，∵6＝，4＝，且＜，∴6＞4，则长方形的周长大于正方形的周长。
中考数学一轮教材梳理复习课件：第4课二次根式
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最简二次根式3】(2019·河池)下列式子中，为最简二次根式的 是( B )
1 A. 2
B． 2
C. 4
D． 12
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10.(2020·上海)下列二次根式中，与 3 是同类二 次根式的是( C )
A． 6
B． 9
C． 12
D． 18
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5.(2020·济宁)下列各式是最简二次根式 的是( A )
A． 13
B． 12
C． a3
D．
5 3
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5.二次根式的性质与运算
(1)双重非负性： a ≥0 且 a≥0；
(2)( a )2＝a(a≥0)， a2 ＝|a| (a 取全体实数)；
(3) ab ＝ a · b (a≥0，b≥0)；
(4)
a b
＝
a b
(a≥0，b>0).
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6. (1)计算：
52 ＝___5___；( 5 )2＝___5___；
（－5）2 ＝__5____．
(2)计算：
1 2
×
8 ＝___2____．
(3)计算： 63 ÷ 7 ＝____3____．
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考点精炼
二次根式有意义的条件(7 年 6 考)
【例 1】(2020·武汉)式子 x－2 在实数范围内有
意义，则 x 的取值范围是( D )
A．x≥0
B．x≤2
C．x≥－2
D．x≥2
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7.(2020·常德)若代数式
2 在实数范围内有 2x－6
意义，则 x 的取值范围是___x_＞_3___．
2021年九年级数学中考一轮复习专题突破训练：二次根式的应用(含答案)
2021年九年级数学中考一轮复习专题突破训练：二次根式的应用（附答案）1．如图，从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2的两个小正方形，则余下的面积为（）A．16cm2B．40 cm2C．8cm2D．（2+4）cm2 2．如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）A．（8﹣4）cm2B．（4﹣2）cm2C．（16﹣8）cm2D．（﹣12+8）cm23．若三角形的三边分别是a，b，c，且，则这个三角形的周长是（）A．+5B．C．D．4．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为cm，宽为4cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（）A．4cm B．16cm C．2（+4）cm D．4（﹣4）cm 5．将一个边长为a的正方形硬纸板剪去四角，使它成为正八边形，求正八边形的面积（）A．（2﹣2）a2B．a2C．a2D．（3﹣2）a2 6．代数式+的最小值是（）A．B．C．D．7．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，那么三角形的面积S＝．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝4，b＝5，c＝7，则△ABC面积是．8．矩形相邻两边长分别为，，则它的周长是，面积是．9．不等式x﹣3＜x的解集是．10．不等式：x＜2x+1的解是．11．若x＝，则x的值为．12．已知（a﹣）＜0，若b＝3﹣a，则b的取值范围．13．若一直角三角形两直角边的长分别为，，则这个直角三角形斜边上的中线为．14．不等式x﹣＞0的解集是．15．一个直角三角形的两直角边长分别为cm和cm，则这个直角三角形的面积是cm2．16．如图，D是等边三角形ABC中BA延长线上一点，连接CD，E是BC上一点，且DE ＝DC，若BD+BE＝6，CE＝2，则这个等边三角形的边长是．17．阅读下列材料，解答后面的问题：我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示即为：S＝…①（其中a、b、c为三角形的三边长，S为面积）．而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”：S＝…②（其中p＝）．（1）若已知三角形的三边长分别为3，5，6，试分别运用公式①和公式②计算该三角形的面积S；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试写出推导过程．18．阅读材料，请回答下列问题．材料一：我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示即为：S＝①（其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积），而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”；S＝……②（其中p＝）材料二：对于平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）公式逆用可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，例：a2﹣（b+c）2＝（a+b+c）（a﹣b﹣c）：（1）若已知三角形的三边长分别为4，5，7，请分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试，写出推导过程．19．有一块矩形木块，木工采用如图方式，求木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板，求剩余木料的面积．20．等腰三角形的一边长为，周长为，求这个等腰三角形的腰长．21．秦九韶是我国南宋著名数学家，他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，被誉为“他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”秦九韶所提出的大衍求一术和正负开方术及其名著《数书九章》，是中国数学史乃至世界数学史上光彩夺目的一页，对后世数学发展产生了广泛的影响．如果一个三角形三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶﹣﹣海伦公式：S＝（其中p＝（a+b+c））或其它方法求出这个三角形的面积S．试求出三边长分别为、3、2的三角形的面积S．22．（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空．+2；6+32；1+2；7+72．（2）由（1）中各式猜想a+b与2（a≥0，b≥0）的大小，并说明理由．（3）请利用上述结论解决下面问题：某同学在做一个面积为1800cm2，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？23．如果正方形的边长为x，它的面积与长为12、宽为8的矩形面积相等，求x的值．24．某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为，宽AB 为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为．（1）长方形ABCD的周长是多少？（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）25．一个矩形的长减少4cm，宽增加2cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，求这个矩形周长．26．长方形的长是3+2，宽是3﹣2，求长方形的周长与面积．参考答案1．解：从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2的两个小正方形，大正方形的边长是+＝4+2，留下部分（即阴影部分）的面积是（4+2）2﹣16﹣24＝16+16+24﹣16﹣24＝16（cm2）．故选：A．2．解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，∴它们的边长分别为＝4cm，＝2cm，∴AB＝4cm，BC＝（2+4）cm，∴空白部分的面积＝（2+4）×4﹣12﹣16，＝8+16﹣12﹣16，＝（﹣12+8）cm2．故选：D．3．解：根据题意得a﹣2＝0，a﹣b﹣1＝0，c﹣4＝0，∴a＝2，b＝2﹣1，c＝4，∴三角形的周长为2+2﹣1+4＝4+3．故选：D．4．解：设小长方形卡片的长为x，宽为y，根据题意得：x+2y＝，则图②中两块阴影部分周长和是2+2（4﹣2y）+2（4﹣x）＝2+4×4﹣4y﹣2x＝2+16﹣2（x+2y）＝2+16﹣2＝16（cm）．故选：B．5．解：设剪去三角形的直角边长x，根据勾股定理可得，三角形的斜边长为x，即正八边形的边长为x，依题意得x+2x＝a，则x＝＝，∴正八边形的面积＝a2﹣4××＝（2﹣2）a2．故选：A．6．解：+＝+，设P（x，0），M（3，5），N（4，﹣3），则+表示点P到点M与点N的距离之和，当点P在线段MN上时，点P到点M与点N的距离之和最短，即+的最小值等于线段MN的长，∵MN＝＝，∴代数式+的最小值是，故选：B．7．解：由a＝4，b＝5，c＝7，得p＝＝＝8．所以三角形的面积S＝＝＝4．故答案是：4．8．解：矩形的周长是2×（+）＝2×（+2）＝6，矩形的面积是×＝4．故答案为：6，4．9．解：由x﹣3＜x，得x﹣x＜3，（﹣）x＜3，x＞，即x＞﹣3﹣3．故答案是：x＞﹣3﹣3．10．解：x＜2x+1，∴x﹣2x＜1，∴（）x＜1，∴x＞，即：x＞，故答案为：．11．解：设x＝a n＝，a1＝，a2＝，a3＝，…，∴a n+1＝a n＞0，∴a n+1＜2，∴x＝，∴x＝2或x＝﹣1（舍），∴x＝2，故答案为2；12．解：∵（a﹣）＜0∴＞0，＜0∴0＜a＜∴﹣＜﹣a＜0∴3﹣＜3﹣a＜3∵b＝3﹣a∴3﹣＜b＜3故答案为：3﹣＜b＜3．13．解：∵一直角三角形两直角边的长分别为，，∴斜边长为：＝2，∴这个直角三角形斜边上的中线为，故答案为：．14．解：x﹣＞0，故答案为：x．15．解：这个直角三角形的面积＝cm2，故答案为：216．解：过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N．∵△ABC是等边三角形，DE＝DC，∴BM＝BC，CN＝CE＝∵AM⊥BC，DN⊥BC，∴AM∥DN∴设BA的长为x，则BM＝x，BN＝x﹣，BE＝x﹣2∵BD+BE＝6，∴BD＝6﹣BE＝8﹣x∴＝解得x＝故答案为：17．解：（1）由公式①，得S＝＝2．由②，得p＝＝7，故S＝＝2．（2）[a2b2﹣（）2]＝[c2﹣（a﹣b）2][（a+b）2﹣c2]，＝（c+a﹣b）（c﹣a+b）（a+b+c）（a+b﹣c），＝（2p﹣2a）（2p﹣2b）•2p•（2p﹣2c），＝p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c），∴＝．18．解：（1）设a＝4，b＝5，c＝7，由公式①得S＝＝4，由②得，故；（2）可以，过程如下：由平方差公式，①中根号内的式子可化为，通分，得，由完全平方公式，得，由平方差公式，得③，由，得2p＝a+b+c，代入③，得，所以．19．解：∵两个正方形木板的面积分别为18dm2和32dm2，∴这两个正方形的边长分别为：＝3（dm），＝4（dm），∴剩余木料的面积为：（4﹣3）×3＝×3＝6（dm2）．20．解：2是腰长时，底边是4+7﹣2×2＝7，∵2+2＝4＜7，∴此时不能组成三角形；2是底边时，腰长为（4+7﹣2）＝+，能组成三角形，综上所述，这个等腰三角形的腰长+．21．解：∵三角形的三边长分别为、3、2，∴p＝＝，∴p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c）＝×（﹣）×（﹣3）×（﹣2）＝9，∴S＝＝＝3，即该三角形的面积S为3．22．解：（1）∵＞0，∴+＞0，∴+＞2，同理得：6+3＞2；1+＞2；7+7＝2．故答案为：＞，＞，＞，＝；（2）猜想：a+b≥2（a≥0，b≥0），理由是：∵a≥0，b≥0，∴a+b﹣2＝（）2≥0，∴a+b≥2；（3）设AC＝a，BD＝b，由题意得：＝1800，∴ab＝3600，∵a+b≥2，∴a+b≥2，∴a+b≥120，∴用来做对角线的竹条至少要120厘米．23．解：依题意得：x2＝12×8∴x2＝96∴答：x的值为．24．解：（1）长方形ABCD的周长＝2（）＝2（9+8）＝18+16（m），答：长方形ABCD的周长是18+16（m），（2）购买地砖需要花费＝5[]＝5[72﹣（14﹣1）]＝5（72﹣13）＝360﹣65（元）；答：购买地砖需要花费（360﹣65）元；25．解：设矩形的长为xcm，宽为ycm，由题意得：，解得：，∴2（x+y）＝2（8+2）＝20．∴这个矩形周长为20cm．26．解：周长：2[（3+2）+（3﹣2）]，＝2（3+2+3﹣2），＝2×6，＝12；面积：（3+2）×（3﹣2）＝45﹣12＝33。
2023年中考数学----二次根式之定义与意义的条件专项练习题(含答案解析)
2023年中考数学----二次根式之定义与意义的条件专项练习题（含答案解析） 考点一：二次根式之定义与有意义的条件知识回顾1. 二次根式的定义： 形如()0≥a a 的式子叫做二次根式。
2. 二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数大于等于0。
即a 中，0≥a 。
专项练习题（含答案解析）1．（2022•湘西州）要使二次根式63−x 有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＞2B ．x ＜2C ．x ≤2D ．x ≥2【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．【解答】解：∵3x ﹣6≥0，∴x ≥2，故选：D ．2．（2022•广州）代数式11+x 有意义时，x 应满足的条件为（ ） A ．x ≠﹣1 B ．x ＞﹣1 C ．x ＜﹣1 D ．x ≤﹣1【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：代数式有意义时，x +1＞0，解得：x ＞﹣1．故选：B ．3．（2022•贵阳）代数式3−x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≥3B ．x ＞3C ．x ≤3D ．x ＜3 【分析】直接利用二次根式的定义得出x ﹣3≥0，进而求出答案．【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，∴x ﹣3≥0，解得：x ≥3，∴x 的取值范围是：x ≥3．故选：A ．4．（2022•绥化）若式子21−++xx 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞﹣1 B ．x ≥﹣1 C ．x ≥﹣1且x ≠0D ．x ≤﹣1且x ≠0 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，a ﹣p ＝（a ≠0）即可得出答案．【解答】解：∵x +1≥0，x ≠0，∴x ≥﹣1且x ≠0，故选：C ． 5．（2022•雅安）使2−x 有意义的x 的取值范围在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次根式有意义的条件，得出关于x 的不等式，解不等式，即可得出答案．【解答】解：∵有意义， ∴x ﹣2≥0，∴x ≥2，故选：B ．6．（2022•菏泽）若31−x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得，x ﹣3＞0，解得x ＞3．故答案为：x ＞3．7．（2022•青海）若式子11−x 有意义，则实数x 的取值范围是 ． 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不等于零列式计算可求解．【解答】解：由题意得x ﹣1＞0，解得x ＞1，故答案为：x ＞1．8．（2022•包头）若代数式x x 11++在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ．【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零，列不等式组，解出即可．【解答】解：根据题意，得， 解得x ≥﹣1且x ≠0，故答案为：x ≥﹣1且x ≠0．9．（2022•常德）要使代数式4−x x 有意义，则x 的取值范围为 ． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x ﹣4＞0，解得：x ＞4，故答案为：x ＞4．10．（2022•邵阳）若21−x 有意义，则x 的取值范围是 ． 【分析】先根据二次根式及分式有意义的条件列出x 的不等式组，求出x 的取值范围即可．【解答】解：∵有意义， ∴，解得x ＞0．故答案为：x ＞2．。
2024中考数学一轮复习专题精练专题04 二次根式(学生版)
知识点01：二次根式的基本性质与化简【高频考点精讲】1．二次根式有意义的条件（1）二次根式中的被开方数必须是非负数；（2）如果所给式子中含有分母，那么除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零。
2．二次根式的基本性质（1）≥0；a≥0（双重非负性）。
（2）（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）。
（3）＝a＝3．二次根式的化简（1）利用二次根式的基本性质进行化简。
（2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简。
＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）知识点02：同类二次根式及分母有理化【高频考点精讲】1．同类二次根式（1）一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，那么把这几个二次根式叫做同类二次根式。
（2）合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变。
2．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根号化去，分母有理化是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式。
①＝＝；②＝＝．（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式互为有理化因式。
知识点03：二次根式混合运算与化简求值【高频考点精讲】1．二次根式的混合运算顺序：先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。
2．在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”。
3．二次根式的运算结果要化为最简二次根式。
四、二次根式的应用【高频考点精讲】二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念，性质和运算方法。
检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.61一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•烟台）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．2．（2分）（2023•西宁）下列运算正确的是（）A．B．C．D．3．（2分）（2023•通辽）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C．D．4．（2分）（2023•巴中）下列运算正确的是（）A．x2+x3＝x5B．×＝C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．|m|＝m5．（2分）（2022•广州）代数式有意义时，x应满足的条件为（）A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣16．（2分）（2023•济宁）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x≥0且x≠27．（2分）（2023•内蒙古）不等式x﹣1＜的正整数解的个数有（）A．3个B．4个C．5个D．6个8．（2分）（2023•内蒙古）下列运算正确的是（）A．+2＝2B．（﹣a2）3＝a6C．+＝D．÷＝9．（2分）（2021•荆门）下列运算正确的是（）A．（﹣x3）2＝x5B．＝xC．（﹣x）2+x＝x3D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+110．（2分）（2020•呼伦贝尔）已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|a﹣1|﹣的结果是（）A．3﹣2a B．﹣1 C．1 D．2a﹣3二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•哈尔滨）计算的结果是．12．（2分）（2022•济宁）若二次根式有意义，则x的取值范围是．13．（2分）（2021•哈尔滨）计算﹣2的结果是．14．（2分）（2023•绥化模拟）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如果在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为．15．（2分）（2023•池州模拟）要使式子有意义，则x的取值范围为．16．（2分）（2023•内蒙古）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：＝．17．（2分）（2023•潍坊）从﹣，，中任意选择两个数，分别填在算式（□+〇）2÷里面的“□”与“〇”中，计算该算式的结果是．（只需写出一种结果）18．（2分）（2023•临汾模拟）计算：＝．19．（2分）（2023•锦江区校级模拟）已知实数m＝﹣1，则代数式m2+2m+1的值为．20．（2分）（2023•大同模拟）计算（）（）的结果等于．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•陕西）计算：．22．（6分）（2023•金昌）计算：÷×2﹣6．23．（8分）（2023•龙岩模拟）（1）计算：；（2）解不等式组：．24．（8分）（2023•晋城模拟）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响，g≈10m/s2）．（1）求从60m高空抛物到落地的时间．（结果保留根号）（2）已知高空坠物动能（单位：J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.2kg 的玩具被抛出后经过3s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要65J的动能）25．（8分）（2023•张家界）阅读下面材料：将边长分别为a，a+，a+2，a+3的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4．则S2﹣S1＝（a+）2﹣a2＝[（a+）+a]•[（a+）﹣a]＝（2a+）•＝b+2a例如：当a＝1，b＝3时，S2﹣S1＝3+2根据以上材料解答下列问题：（1）当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝，S4﹣S3＝；（2）当a＝1，b＝3时，把边长为a+n的正方形面积记作S n+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出S n+1﹣S n等于多少吗？并证明你的猜想；（3）当a＝1，b＝3时，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，t n＝S n+1﹣S n，且T＝t1+t2+t3+…+t50，求T的值．26．（8分）（2023•晋城模拟）阅读与思考请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．＝，＝＝＝3+像上述解题过程中，与、﹣与+相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程被称为分母有理化．任务：（1）的有理化因式；﹣2的有理化因式是．（2）写出下列式子分母有理化的结果：①＝；②＝．（3）计算：+……+．27．（8分）（2023•晋城模拟）问题：先化简，再求值：2a+，其中a＝3．小宇和小颖在解答该问题时产生了不同意见，具体如下．小宇的解答过程如下：解：2a+＝2a+……（第一步）＝2a+a﹣5……（第二步）＝3a﹣5．……（第三步）当a＝3时，原式＝3×3﹣5＝4．……（第四步）小颖为验证小宇的做法是否正确，她将a＝3直接代入原式中：2a+＝6+＝6+2＝8．由此，小颖认为小宇的解答有错误，你认为小宇的解答错在哪一步？并给出完整正确的解答过程．28．（8分）（2023•天山区校级模拟）计算：（1）；（2）．。
2024年中考数学二轮复习：二次根式(附答案解析)
�
= ，②
×
�
�
�
C．①③
�
=1，③ �� ÷
�
D．①②③
【考点】二次根式的乘除法．
【专题】计算题．
【答案】B
【分析】由 ab＞0，a+b＜0 先求出 a＜0，b＜0，再进行根号内的运算．
【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0，
∴a＜0，b＜0
�
�
① � = ，被开方数应≥0，a，b 不能做被开方数，（故①错误），
�
� �
� �
② �• � =1， �• � =
� �
× = 1 =1，（故②正确），
� �
第 3页（共 12页）
�
=−b，
�
��
−�
�
�
=−b，（故③正确）．
③ �� ÷ � =−b， �� ÷ � = �� ÷ −� = �� ×
��
故选：B．
【点评】本题是考查二次根式的乘除法，解答本题的关键是明确 a＜0，b＜0．
次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：由图可知：a＜0，a﹣b＜0，
则|a|+ (� − �)2
＝﹣a﹣（a﹣b）
＝﹣2a+b．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及实数与数轴，正确得出各项符号是解题关
键．
2．如果 ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①
其中正确的是（
A．①②
）
B．②③
�
D．2a﹣3
）
二．填空题（共 5 小题）
11．若|2017﹣m|+ � − 2018 =m，则 m﹣20172＝
专题04 二次根式(原卷版)-备战2024年中考数学真题题源解密(全国通用)
二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．①“”称为二次根号②a （a≥0）是一个非负数；判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．1.≥0； a≥0（双重非负性）．2.2()a a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．3.＝|a|＝（算术平方根的意义）1.二次根式的化简：（1）利用二次根式的基本性质进行化简；（2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b ＞0）2.化简二次根式的步骤：（1）把被开方数分解因式；（2）利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；（3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．1.积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0）2.二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0）3.商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）4.二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）规律方法总结：在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．1.分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．例如：①＝＝；②＝＝．2.两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．1.同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有意义，则若代数式有意义，则实数若代数式在实数范围内有意义，则实数计算等于（ ）．化简的结果为下列何者（ ）3．．．在数轴上对应点的位置如图所示，化简：＝考向三二次根式的乘除法．（2023•衡阳）对于二次根式的乘法运算，一般地，有•＝．该运算法则成立的条件是（ ）．×＝．﹣＝﹣÷＝﹣计算：＝ ．＝计算：（﹣++（）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）．．．．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）．．．．+2＝2．+＝．÷＝．+＝计算的结果是2 ．．．．．﹣，，中任意选择两个数，分别填在算式÷里面的计算：÷×2﹣6．若，，则＝（ ）．．＝++，则的值是 ．＜的正整数解的个数有（ ）（精确到个位，参考数据：≈4.581．（2023•金华）要使有意义，则x的值可以是（ ）A．0B．﹣1C．﹣2D．22．（2023•通辽）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（ ）A．B．C．D．3．（2023•上海）下列运算正确的是（ ）A．a5÷a2＝a3B．a3+a3＝a6C．（a3）2＝a5D．＝a4．（2020•荆州）若x为实数，在“（+1）□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+，﹣，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（ ）A．B．﹣1C．D．（多选）5．（2021•潍坊）下列运算正确的是（ ）A．（a﹣）2＝a2﹣a+B．（﹣a﹣1）2＝C．＝D．＝26．（2021•泰州）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（ ）A．与B．与C．与D．与7．（2023•西宁）下列运算正确的是（ ）A．B．．．＝+12要使二次根式有意义，则为正整数，若是整数，则根据＝＝3可知为正整数，若是大于计算：×的结果为计算：＝ 计算：﹣＝ （）﹣）（+）（﹣）则计算：．+，+2，+3的正方形面积分别记为+）+）+）+）•a3+2n的正方形面积记作。
中考数学复习《二次根式》专项训练（含答案）
~数学中考专项：二次根式【沙盘预演】1.函数y=自变量的取值范围是（）A．x≠﹣3 B．x＞﹣3 C．x≥﹣3 D．x≤﹣3【解析】解：根据题意得到：x+3＞0，解得x＞﹣3，故选B．2.下列运算正确的是（）A．﹣=13 B．=﹣6C．﹣=﹣5 D．=±3【解析】解：A、=﹣13，故错误；B、=6，故错误；C、=﹣5，正确；D、=3，故错误；故选：C．3.与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【解析】解：A、与﹣的被开方数不同，故A错误；B、与﹣的被开方数不同，故B错误；C、与﹣的被开方数相同，故C正确；D、与﹣的被开方数不同，故D错误；故选：C4.下列运算正确的是（）A．﹣a•a3=a3B．﹣（a2）2=a4C．x﹣x=D．（﹣2）（+2）=﹣1【解析】解：A、﹣a•a3=﹣a4，故选项错误；B、﹣（a2）2=﹣a4，选项错误；C、x﹣x=x，选项错误；D、（﹣2）（+2）=（）2﹣22=3﹣4=﹣1，选项正确．故选D．5.若二次根式有意义，则a的取值范围是（）A．a≥2B．a≤2C．a＞2 D．a≠2【解析】解：∵二次根式有意义，∴a﹣2≥0，即a≥2，则a的范围是a≥2，故选A6.在函数y＝34xx--中，自变量x的取值范围是( )A．x＞3 B．x≥3 C．x＞4 D．x≥3且x≠4【解析】欲使根式有意义，则需x－3≥0；欲使分式有意义，则需x－4≠0．∴x的取值范围是30,40.xx-⎧⎨-⎩≥≠解得x≥3且x≠4．故选D．7.要使式子有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1 B．x＞﹣1 C．x≥1 D．x≥﹣1 【解析】解：要使式子有意义，故x﹣1≥0，解得：x≥1．则x的取值范围是：x≥1．故选：C．8.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|＋的结果是（）A．﹣2a＋b B．2a﹣b C．﹣b D．b 【解析】解：如图所示：a＜0，a﹣b＜0，则|a|＋＝﹣a﹣（a﹣b）＝﹣2a＋b．故选：A．9.若式子1-x在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥1．【解析】解：∵式子在实数范围内有意义，∴x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．10.下列算式①＝±3；②＝9；③26÷23＝4；④＝；⑤a＋a＝a2．运算结果正确的概率是（）A．B．C．D．【解析】解：①＝3，故此选项错误；②＝＝9，正确；③26÷23＝23＝8，故此选项错误；④＝，正确；⑤a＋a＝2a，故此选项错误，故运算结果正确的概率是：．故选：B．11.若式子1x在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥1．-【解析】解：∵式子在实数范围内有意义，∴x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．12.若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥1．【解析】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，∴x≥1．故答案为：x≥1．【真题演练】1.（•张家界）下列运算正确的是（）A．a2+a=2a3B．=aC．（a+1）2=a2+1 D．（a3）2=a6【解析】解：A、a2和a不是同类项，不能合并，故原题计算错误；B、=|a|，故原题计算错误；C、（a+1）2=a2+2a+1，故原题计算错误；D、（a3）2=a6，故原题计算正确；故选：D．2.（•聊城）下列计算正确的是（）A．3﹣2=B．•（÷）=C．（﹣）÷=2D．﹣3=【解析】解：A、3与﹣2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；B、•（÷）=•==，此选项正确；C、（﹣）÷=（5﹣）÷=5﹣，此选项错误；D、﹣3=﹣2=﹣，此选项错误；故选：B．3.（•扬州）使有意义的x的取值范围是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x≥3D．x≠3【解析】解：由题意，得x﹣3≥0，解得x≥3，故选：C．4.（•孝感）下列计算正确的是（）A．a﹣2÷a5=B．（a+b）2=a2+b2C．2+=2D．（a3）2=a5【解析】解：A、a﹣2÷a5=，正确；B、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项错误；C、2+，无法计算，故此选项错误；D、（a3）2=a6，故此选项错误；故选：A．5.（•郴州）下列运算正确的是（）A．a3•a2=a6B．a﹣2=﹣C．3﹣2=D．（a+2）（a﹣2）=a2+4【解析】解：A、a3•a2=a5，故此选项错误；B、a﹣2=，故此选项错误；C、3﹣2=，故此选项正确；D、（a+2）（a﹣2）=a2﹣4，故此选项错误．6.（•泰州）下列运算正确的是（）A．+=B．=2C．•=D．÷=2【解析】解：A、与不能合并，所以A选项错误；B、原式=3，所以B选项错误；C、原式==，所以C选项错误；D、原式==2，所以D选项正确．故选：D．7.（•郴州）计算：=3．【解析】解：原式=3．故答案为：38.（•泸州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥1．【解析】解：∵式子在实数范围内有意义，∴x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．。
2021年中考数学基础过关：04《二次根式》(含答案)
2021年中考数学基础过关：04《二次根式》一、选择题1.下列式子：，，，，，，中，一定是二次根式的是( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个2.下列结论正确的是( )A．﹣=﹣6 B．()2=9 C．=±16 D．-(﹣)2=3.下列二次根式，与是同类二次根式的是( )A. B. C. D.4.下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )A． B． C． D．5.计算的结果估计在( )A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间6.若2＜a＜3，则等于( )A.5﹣2aB.1﹣2aC.2a﹣1D.2a﹣57.如果式子化简的结果为5-2x，则x的取值范围是( )A. B. C. D.8.如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a﹣b|+的结果等于( )A.﹣2bB.2bC.﹣2aD.2a二、填空题9.已知x、y为实数，，则y+x= .10.比较大小：．（填“＞、＜、或=”）11.计算﹣的结果是______．12.把二次根式化成最简二次根式，则= ．13.若x、y都是实数，且y=，x+y= ．14.计算= ．三、计算题15.计算：．16.计算：四、解答题17.已知x=，y=，求的值．18.若，先化简再求值：.参考答案1.答案为：B.2.答案为：A.3.答案为：D4.答案为：D5.答案为：C.6.答案为：D7.答案为：D.8.答案为：A.9.答案为：1.10.答案为：<.11.答案为：．12.答案为：．13.答案为：11．14.答案为：；15.原式=-12.16.答案为：3；17.解：∵x===5＋2，y===5－2．∴x＋y=10，x－y=4，xy=52－(2)2=1．====．18.解：原式=.。
2021年中考数学一轮复习二次根式(含答案)
2021年中考数学一轮复习二次根式一、单选题1有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x=3B ．x≥3C ．x＜3D ．x＜3 2．如果31a ，那么代数式21(1)11a a a +÷--的值为（ ）A ．3BCD 23．下列计算不正确的是（ ）A 2=B 2=-C =D 5=- 4．下列运算结果是无理数的是（ ）A ．BC D5．计算(⎛÷ ⎝的结果为（ ）A ．7B ．-5C ．5D ．-76．下列根式中属于最简二次根式的是（ ）A B CD7 ） A ．6到7之间B ．7到8之间C ．8到9之间D ．9到10之间8．如果m 2+m =0，那么代数式（221m m ++1）31m m +÷的值是（ ）A B．C D+ 29n是（）A．3B．2C．48D．610199+++的整数部分是()A．3B．5C．9D．6二、填空题113a=--，则a的取值范围________．12．一个长方形的面积为+，其中一边长为_________．13．比较大小：-________-14．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为3和9，那么阴影部分的面积为_____．三、解答题15．计算：（1（2（3（416．先化简，再求值：236(1)693x x x x -÷-+++，其中3x ．17之类的式子，其实我们还可以将其进一步化简，如：3==；==；2(31)2(31)31231(31)(31)以上这种化简的过程叫做分母有理化．（1；（2（3111 3153752121n n．18．已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC BC，求（1）Rt△ABC的面积．（2）斜边AB的长．（3）求AB边上的高．答案1．B 2．B 3．D 4．B 5．C 6．B7．C 8．A 9．A 10．C 11．a≤-312．3+ 13．< 14．15．（1）（2；（3）（4）1816．-13x+，．17．（1）3；（2-（3）18．（1）4；（2）；（3）3。
2021年中考数学总复习《二次根式》(含答案)
浙教版2021年中考数学总复习《二次根式》一、选择题1.下列运算正确的是( )A．+= B．=3 C．=﹣2 D．=2.下面与是同类二次根式的是( )A． B． C． D．+23.下列计算正确的是( )A.2×3=6B.+=C.5-2=3D. ÷=4.如果，那么( )A.a<2B.a≤2C.a>2D.a≥25.若＋(y＋3)2=0，则x－y的值为( )A．－1 B．1 C．－7 D．76.已知a=，b=﹣2，则a与b的关系是( )A．a=b B．a=﹣b C．a= D．ab=﹣17.在Rt△ABC中，∠C=90°，c为斜边，a、b为直角边，则化简的结果为( )A.3a+b﹣cB.﹣a﹣3b+3cC.a+3b﹣3cD.2a8.已知，，则代数式的值是( )A.9B.-3或3C.3D.5二、填空题9.是二次根式的条件是________．10.计算：．11.比较大小：．12.计算＋10的结果为________．三、解答题13.已知：y=++，求代数式4x+y的值．14.先化简，再求值：，其中，．15.阅读理解：已知x2-x＋1=0，求x2＋的值．请运用以上解题方法，解答下列问题：已知2m2-17m＋2=0，求下列各式的值：(1) m2＋；(2) m-.16.小明解答“先化简，再求值：+，其中x=+1．”的过程如图．请指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．参考答案1.答案为：D.2.答案为：B.3.答案为：D4.答案为：B.5.答案为：D.6.答案为：B.7.答案为：B.8.答案为：C.9.答案为：a≥-1.10.答案为：111.答案为：＞．12.答案为：413.解：∵1﹣8x≥0，8x﹣1≥0，∴1﹣8x=8x﹣1=0，∴x=，∴y=，∴原式=4×+=1．14.解：原式====，当，时，原式===．15.解：(1)因为2m2-m＋2=0，所以2m2＋2=m.又因为m≠0，所以m＋=，所以(m＋)2=，即m2＋2＋=.所以m2＋=.(2) ====，所以m-=±.16.解：。
2021年九年级数学中考一轮复习《二次根式》自主复习达标测评(附答案)
2021年春九年级数学中考一轮复习《二次根式》自主复习达标测评（附答案）1．下列计算正确的是（）A．＝4B．＝3C．4﹣＝3D．2．已知a＜0，b≠0，化简二次根式的结果是（）A．a B．﹣a C．a D．﹣a3．已知+2＝b+8，则的值是（）A．±3B．3C．5D．±54．下列二次根式是最简二次根式的为（）A．B．C．D．5．与根式﹣x的值相等的是（）A．﹣B．﹣x2C．﹣D．6．若＝x﹣3，则x的取值范围是（）A．x＞3B．x≥3C．x＜3D．x≤37．已知a2﹣12a+1＝0，当0＜a＜1时，则的值为（）A．B．C．D．8．在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成为了一个面积为192cm2的正方形，则原长方形纸片的面积为（）A．18cm2B．20cm2C．36cm2D．48cm29．计算﹣2等于．10．实数的整数部分a＝，小数部分b＝．11．已知x＝+1，则x2﹣2x﹣3＝．12．已知0＜a＜1，化简＝．13．化简：＝．14．如图，D是等边三角形ABC中AC延长线上一点，连接BD，E是AB上一点，且DE＝DB，若AD+AE＝5，BE＝，则BC＝．15．若x＝﹣1，则x3+x2﹣3x+2019的值为．16．已知y＝+8x，则的算术平方根为．17．当1＜x＜2时，化简+＝．18．已知+＝a，则a﹣20192＝．19．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：|a+1|﹣+＝．20．计算：＝．21．计算：（1）×；（2）已知|﹣a|+＝0，求a2﹣2+2+b2的值．22．计算（1）（2﹣1）2+（+2）（﹣2）（2）（﹣2）×﹣6．23．计算：（1）+﹣8；（2）（）﹣1﹣﹣﹣（﹣2）2．24．已知a＝，b＝．（1）求a2﹣b2的值；（2）求a2﹣ab+b2．25．小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：∵a＝．∴a﹣2＝﹣．∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）计算：＝；（2）计算：+…+；（3）若a＝，求2a2﹣8a+1的值．26．若x，y是实数，且y＝++，求（x+）﹣（+）的值．参考答案1．解：＝2，故选项A错误；＝2，故选项B错误；4﹣＝3，故选项C错误；×＝，故选项D正确；故选：D．2．解：因为a＜0，b≠0，所以，故选：B．3．解：由题可得，解得a＝17，∴0＝b+8，∴b＝﹣8，∴＝＝5，故选：C．4．解：A、是最简二次根式；B、＝2，不是最简二次根式；C、＝，不是最简二次根式；D、＝，不是最简二次根式；故选：A．5．解：∵有意义，∴x＜0，∴﹣x＞0，∴﹣x＝﹣x•＝，故选：D．6．解：因为，所以x﹣3≥0，解得：x≥3，故选：B．7．解：∵a2﹣12a+1＝0，∴a﹣12+＝0，∴a+＝12，（）2＝a﹣2+＝12﹣2＝10，∴＝±，∵0＜a＜1，∴＝﹣．故选：B．8．解：∵一个面积为192cm2的正方形纸片，边长为：8cm，∴原矩形的长为：8﹣2＝6（cm），宽为：8﹣7＝（cm），∴则原长方形纸片的面积为：（cm2）．故选：A．9．解：原式＝3﹣＝3﹣＝2．故答案是：2．10．解：＝＝，∵4＜7＜9，∴2＜＜3，∴＜＜3，即实数的整数部分a＝2，则小数部分为﹣2＝．故答案为：2；．11．解：当x＝+1时，原式＝（+1）2﹣2（+1）﹣3＝6+2﹣2﹣2﹣3＝1，故答案为：1．12．解：∵0＜a＜1，∴＜，∴原式＝﹣＝﹣＝﹣（）＝2．13．解：∵﹣a3≥0，∴a≤0，∴原式＝|a|＝﹣a，故答案为：﹣a14．解：过D作DF⊥AB于F，交BC于G，∵DE＝DB，∴EF＝BF＝，设AE＝x，∴AD＝5﹣x，AF＝AE+EF＝x+，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠ADF＝30°，∴AD＝2AF，即5﹣x＝2（x+），∴x＝，∴BC＝AB＝+＝，故答案为：．15．解：∵x＝﹣1，∴x2＝（﹣1）2＝2﹣2+1＝3﹣2，则原式＝x•x2+x2﹣3x+2019＝（﹣1）×（3﹣2）+3﹣2﹣3（﹣1）+2019＝3﹣4﹣3+2+3﹣2﹣3+3+2019＝2018，故答案为：2018．16．解：由题意得，2x﹣1≥0且1﹣2x≥0，解得x≥且x≤，∴x＝，∴y＝+8x＝0+0+8×＝4，∴＝＝4，∴的算术平方根是2．故答案为：2．17．解：∵1＜x＜2，∴+＝+＝2﹣x+x﹣1＝1．故答案为：1．18．解：∵要使有意义，必须a﹣2020≥0，解得：a≥2020，∵+＝a，∴a﹣2019+＝a，即＝2019，两边平方得：a﹣2020＝20192，∴a﹣20192＝2020，故答案为：2020．19．解：由题可得，﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，∴|a+1|﹣+＝|a+1|﹣|b﹣1|+|a﹣b|＝﹣a﹣1﹣（b﹣1）+（﹣a+b）＝﹣a﹣1﹣b+1﹣a+b＝﹣2a，故答案为：﹣2a．20．解：原式＝[（+2）（﹣2）]2020＝（3﹣4）2020＝1．故答案为1．21．解：（1）×＝4÷﹣+2＝4﹣+2＝4+；（2）∵|﹣a|+＝0，∴﹣a＝0，b﹣2＝0，∴a＝，b＝2，∴a2﹣2+2+b2＝（a﹣）2+b2＝（﹣）2+22＝02+4＝0+4＝4．22．解：（1）原式＝12﹣4+1+3﹣4＝12﹣4（2）原式＝﹣2﹣3＝3﹣6﹣3＝﹣6．23．解：（1）+﹣8＝3﹣+×3﹣8×＝3﹣+﹣＝3﹣；（2）（）﹣1﹣﹣﹣（﹣2）2＝3﹣2﹣（﹣1）﹣（3+4﹣4）＝3﹣2﹣+1﹣7+4＝﹣3+．24．解：（1）∵a＝＝+，b＝＝，∴a+b＝2，a﹣b＝2，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×＝4；（2））∵a＝＝+，b＝＝，∴a﹣b＝2，ab＝1，∴a2﹣ab+b2＝（a﹣b）2+ab＝（2）2+1＝8+1＝9．25．解：（1）＝＝﹣1，故答案为：；（2）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣＝﹣1＝；（3）∵a＝+2，∴a2＝（+2）2＝9+4，∴2a2﹣8a+1＝2（9+4）﹣8（+2）+1＝18+8﹣8﹣16+1＝3．答：2a2﹣8a+1的值为3．26．解：∵x，y是实数，且y＝++，∴4x﹣1≥0且1﹣4x≥0，解得：x＝，∴y＝，∴（x+）﹣（+）的值．＝2x+2﹣x﹣5＝x﹣3＝﹣3＝﹣。
2021年九年级中考数学总复习《二次根式》(含答案)
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯苏科版2021年中考数学总复习《二次根式》一、选择题1.下列式子一定是二次根式的是( )A． B． C． D．1.下列二次根式中是最简二次根式的为( )A． B． C． D．1.计算：的结果为( )A.3B.9C.1D.1.的倒数为( )A. B. C. D.1.如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为( )A．2 B．3 C．4 D．51.计算的结果是( )A． + B． C． D．﹣1.化简的结果是( )A．B． C． D．1.若a、b分别是8-的整数部分和小数部分，则a-b的值是( ).A.3-B.4+C.4-D.二、填空题1.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是1.把a中根号外因式适当变形后移至根号内得．1.已知二次根式与是同类二次根式，(a＋b)a的值是______．1.已知a+b=-4，ab=2，则的值等于 ______ ．三、计算题1.计算：．1.计算：四、解答题1.先化简，再求值：(1﹣)÷，其中m=﹣2．1.观察下列各式：请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）=（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：；（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）参考答案1.答案为：C1.答案为：B．1.答案为：C.1.答案为：C.1.答案为：D.1.答案为：B.1.答案为：D1.答案为：C.1.答案为：x≥3且x≠1．1.答案为：．1.答案为：1．1.答案为：2.1.原式=7-21.答案为：2．1.原式=(﹣)÷=•=，当m=﹣2时，原式==．1.解：（1）=1=1；故答案为：1；（2）=1+=1+；故答案为： =1+；（3）．一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。
这位习惯观察思考的人，突然，对主人家地面上一块块漂亮的正方形大理石感兴趣。
他没有心思听别人闲聊，沉思于脚下排列规则，大小如一的大理石彼此间产生的数的关系中。
2021全国中考真题汇编—二次根式【含解析】
2021 全国中考真题汇编——二次根式一．选择题（共15小题）1．（2018•怀化）使有意义的x的取值范围是（）A．x≤3B．x＜3C．x≥3D．x＞3【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵式子有意义，∴x﹣3≥0，解得x≥3．故选：C．2．（2018•扬州）使有意义的x的取值范围是（）A．x＞3B．x＜3C．x≥3D．x≠3【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．【解答】解：由题意，得x﹣3≥0，解得x≥3，故选：C．3．（2018•达州）二次根式中的x的取值范围是（）A．x＜﹣2B．x≤﹣2C．x＞﹣2D．x≥﹣2【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．【解答】解：由题意，得2x+4≥0，解得x≥﹣2，故选：D．4．（2018•苏州）若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式，把解集在数轴上表示即可．【解答】解：由题意得x+2≥0，解得x≥﹣2．故选：D．5．（2018•临安区）化简的结果是（）A．﹣2B．±2C．2D．4【分析】本题可先将根号内的数化简，再开根号，根据开方的结果为正数可得出答案．【解答】解：==2．故选：C．6．（2018•无锡）下列等式正确的是（）A ．（）2=3B．=﹣3C．=3D．（﹣）2=﹣3【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，判断即可．【解答】解：（）2=3，A正确；=3，B错误；==3，C错误；（﹣）2=3，D错误；故选：A．7．（2018•张家界）下列运算正确的是（）A．a2+a=2a3B．=a C．（a+1）2=a2+1D．（a3）2=a6【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；=a（a≥0）；完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可．【解答】解：A、a2和a不是同类项，不能合并，故原题计算错误；B、=|a|，故原题计算错误；C、（a+1）2=a2+2a+1，故原题计算错误；D、（a3）2=a6，故原题计算正确；故选：D．8．（2018•临安区）下列各式计算正确的是（）A．a12÷a6=a2B．（x+y）2=x2+y2C．D．【分析】此类题目难度不大，可用验算法解答．【解答】解：A、a12÷a6是同底数幂的除法，指数相减而不是相除，所以a12÷a6=a6，错误；B、（x+y）2为完全平方公式，应该等于x2+y2+2xy，错误；C、===﹣，错误；D、正确．故选：D．9．（2018•绵阳）等式=成立的x的取值范围在数轴上可表示为（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围．【解答】解：由题意可知：解得：x≥3故选：B．10．（2018•曲靖）下列二次根式中能与2合并的是（）A．B．C．D．【分析】先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为3的二次根式即可．【解答】解：A、，不能与2合并，错误；B 、能与2合并，正确；C、不能与2合并，错误；D、不能与2合并，错误；故选：B．11．（2018•孝感）下列计算正确的是（）A ．a﹣2÷a5=B．（a+b）2=a2+b2C．2+=2D．（a3）2=a5【分析】直接利用完全平方公式以及二次根式加减运算法则和幂的乘方运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、a﹣2÷a5=，正确；B、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项错误；C、2+，无法计算，故此选项错误；D、（a3）2=a6，故此选项错误；故选：A．12．（2018•郴州）下列运算正确的是（）A．a3•a2=a6B．a﹣2=﹣C．3﹣2=D．（a+2）（a﹣2）=a2+4【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及负指数幂的性质以及二次根式的加减运算法则、平方差公式分别计算得出答案．【解答】解：A、a3•a2=a5，故此选项错误；B、a﹣2=，故此选项错误；C 、3﹣2=，故此选项正确；D、（a+2）（a﹣2）=a2﹣4，故此选项错误．故选：C．13．（2018•长沙）下列计算正确的是（）A．a2+a3=a5B．3C．（x2）3=x5D．m5÷m3=m2【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、a2+a3，无法计算，故此选项错误；B 、3﹣2=，故此选项错误；C、（x2）3=x6，故此选项错误；D、m5÷m3=m2，正确．故选：D．14．（2018•泰州）下列运算正确的是（）A．+=B．=2C．•=D．÷=2【分析】利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．【解答】解：A、与不能合并，所以A选项错误；B、原式=3，所以B选项错误；C、原式==，所以C选项错误；D 、原式==2，所以D选项正确．故选：D．15．（2018•聊城）下列计算正确的是（）A．3﹣2=B．•（÷）=C．（﹣）÷=2D．﹣3=【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则逐一计算可得．【解答】解：A、3与﹣2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；B、•（÷）=•==，此选项正确；C 、（﹣）÷=（5﹣）÷=5﹣，此选项错误；D、﹣3=﹣2=﹣，此选项错误；故选：B．二．填空题（共10小题）16．（2018•泸州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥1．【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，∴x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．17．（2018•广州）如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a+=2．【分析】直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简即可．【解答】解：由数轴可得：0＜a＜2，则a+=a+=a+（2﹣a）=2．故答案为：2．18．（2018•郴州）计算：=3．【分析】原式利用平方根的定义化简即可得到结果．【解答】解：原式=3．故答案为：319．（2018•烟台）与最简二次根式5是同类二次根式，则a=2．【分析】先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可．【解答】解：∵与最简二次根式是同类二次根式，且，∴a+1=3，解得：a=2．故答案为2．20．（2018•滨州）观察下列各式：=1+，=1+，=1+，……请利用你所发现的规律，计算+++…+，其结果为9．【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．【解答】解：由题意可得：+++…+=1++1++1++…+1+=9+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=9+=9．故答案为：9．21．（2018•哈尔滨）计算6﹣10的结果是4．【分析】首先化简，然后再合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=6﹣10×=6﹣2=4，故答案为：4．22．（2018•武汉）计算的结果是【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式=+﹣=故答案为：23．（2018•天津）计算（+）（﹣）的结果等于3．【分析】利用平方差公式计算即可．【解答】解：（+）（﹣）=（）2﹣（）2=6﹣3=3，故答案为：3．24．（2018•枣庄）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为1．【分析】根据题目中的面积公式可以求得△ABC的三边长分别为1，2，的面积，从而可以解答本题．【解答】解：∵S=，∴△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为：S==1，故答案为：1．25．（2018•天门）计算：+|﹣2|﹣（）﹣1=0．【分析】根据二次根式的除法法则、绝对值的化简、负整数指数幂的运算法则计算即可．【解答】解：原式=+2﹣﹣2=0故答案为：0．三．解答题（共1小题）26．（2018•陕西）计算：（﹣）×（﹣）+|﹣1|+（5﹣2π）0【分析】先进行二次根式的乘法运算，再利用绝对值的意义和零指数幂的意义计算，然后合并即可．【解答】解：原式=+﹣1+1=3+﹣1+1=4．。
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中考数学基础过关：
04《二次根式》
一、选择题
1.下列式子：，，，，，，中，一定是二次根式的是( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2.下列结论正确的是( )
A．﹣=﹣6 B．()2=9 C．=±16 D．-(﹣)2=
3.下列二次根式，与是同类二次根式的是( )
A. B. C. D.
4.下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )
A． B． C． D．
5.计算的结果估计在( )
A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间
6.若2＜a＜3，则等于( )
A.5﹣2a
B.1﹣2a
C.2a﹣1
D.2a﹣5
7.如果式子化简的结果为5-2x，则x的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，
那么化简|a﹣b|+的结果等于( )
A.﹣2b
B.2b
C.﹣2a
D.2a
二、填空题
9.已知x、y为实数，，则y+x= .
10.比较大小：．（填“＞、＜、或=”）
11.计算﹣的结果是______．
12.把二次根式化成最简二次根式，则= ．
13.若x、y都是实数，且y=，x+y= ．
14.计算= ．
三、计算题
15.计算：．
16.计算：
四、解答题
17.已知x=，y=，求的值．
18.若，先化简再求值：.
参考答案
1.答案为：B.
2.答案为：A.
3.答案为：D
4.答案为：D
5.答案为：C.
6.答案为：D
7.答案为：D.
8.答案为：A.
9.答案为：1.
10.答案为：<.
11.答案为：．
12.答案为：．
13.答案为：11．
14.答案为：；
15.原式=-12
.
16.答案为：3；
17.解：∵x===5＋2，y===5－2．∴x＋y=10，x－y=4，xy=52－(2)2=1．
====．
18.解：原式=.。