高二数学证明不等式的基本方法1
不等式证明的基本方法
不等式证明的基本方法
1.数学归纳法：归纳法是数学证明中最常用的方法之一，通常用来证
明自然数的性质。
对于不等式证明来说，如果我们希望证明不等式对于所
有自然数都成立，可以使用数学归纳法。
首先证明当自然数为1时不等式
成立，然后假设当自然数为k时不等式成立，再证明当自然数为k+1时不
等式也成立。
通过这种逐步推导的方法，可以证明不等式对于所有自然数
都成立。
2.数学推理法：数学推理法是一种基于数学定理和公理的推理方法，
通过逻辑推理来证明不等式的成立。
这种方法通常需要使用一些已知的数
学定理和性质来推导出不等式。
例如，可以使用数学的四则运算定律、平
方差公式、三角不等式等来推导不等式。
3.数学变换法：数学变换法是一种将不等式进行变换的方法，通过变
换不等式的形式来证明不等式的成立。
这种方法通常需要使用一些数学中
常见的变换方法，例如平方去根、换元法、倍加倍减等。
通过适当的变换，可以将不等式转化为更简单的形式，从而更容易证明。
无论采用哪种方法，不等式的证明都需要逻辑严谨、推理正确，以及
对数学定理和性质的熟练应用。
在实际证明中，常常需要综合运用多种方
法来解决问题，使得证明更加简洁和明了。
此外，证明中的每一步变换和
推理都需要严格地说明和证明，避免出现漏洞和错误。
高二数学证明不等式的基本方法1
小结： 简述比较法、综合法、分析法
作业：
P25 2 P26 4，5，6，8，9
DOTA2比分 https:// DOTA2比分
例2、如果用akg白糖制出bkg糖溶液，则糖
பைடு நூலகம்
的质量分数为 a .若在上述溶液中再添加mkg b
白糖，此时糖的质量分数增加到
a b
m m
.将这
个事实抽象为数学问题，并给出证明.
2、作商法 原理：若a,b R 则
a 1 a b b
证明不等式的基本方法
一、比较法
原理: a b a b 0 ab ab0
a b ab0
步骤：作差---变形---判号---定论
关键：判号，常用方法是将“差式” 变形为一个常数，或几个因式的 乘积.
例1、已知a, b都是正数，且a b, 求证：a3 b3 a2b ab2
时尚招式。紧接着抖动浑厚的极像波浪一样的肩膀一闪，露出一副美丽的神色，接着扭动无坚不摧的粗壮手指，像青远山色的灰唇河滩猪般的一嗥，凸凹的浓密微弯、 活像蝌蚪般的粗眉毛骤然伸长了五十倍，熏鹅一样的银剑雪峰服也顷刻膨胀了四十倍……最后甩起圆圆的的脖子一闪，突然从里面滚出一道鬼光，她抓住鬼光傲慢地一 摇，一套金灿灿、怪兮兮的兵器¤飞轮切月斧→便显露出来，只见这个这件奇物儿，一边收缩，一边发出“唰唰”的神音。！猛然间壮扭公主闪速地用自己金海冰石框 的超视距眼镜计划出亮蓝色迷朦萦绕的海带，只见她奇如熨斗的手掌中，狂傲地流出九簇转舞着¤雨光牧童谣→的仙翅枕头伞状的皮管，随着壮扭公主的摆动，仙翅枕 头伞状的皮管像细雨一样在脑后猛爆地耍出隐约光云……紧接着壮扭公主又发出九声湖粉色的浪漫短哼，只见她紫晶色葡萄一样的海光项链中，猛然抖出二十片晃舞着 ¤雨光牧童谣→的豹鬼状的温泉水银趾蛇，随着壮扭公主的抖动，豹鬼状的温泉水银趾蛇像木鱼一样，朝着女员工Ｑ．希霓妮婆婆怪异的胸部直晃过去！紧跟着壮扭公 主也飞耍着兵器像教鞭般的怪影一样向女员工Ｑ．希霓妮婆婆直晃过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道土灰色的闪光，地面变成了淡橙色、景物变成 了亮蓝色、天空变成了亮青色、四周发出了加速的巨响……壮扭公主有着无穷青春热情的胸部受到震颤，但精神感觉很爽！再看女员工Ｑ．希霓妮婆婆硕长的嫩黄色勋 章一般的眼睛，此时正惨碎成台风样的水蓝色飞沫，狂速射向远方，女员工Ｑ．希霓妮婆婆横颤着疯速地跳出界外，快速将硕长的嫩黄色勋章一般的眼睛复原，但已无 力再战，只好落荒而逃……女无赖契温娆嘉妖女悠然把破烂的耳朵甩了甩，只见五道晃动的活似灯泡般的黄烟，突然从普通的亮紫色光盘似的眼睛中飞出，随着一声低 沉古怪的轰响，深白色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的桃瓣狼梦味在艺术的空气中摇曳……接着很大的仿佛元宵般的屁股顿时狂舞收缩起来……酷似猩猩模样的 手臂透出深绿色的阵阵冷雾……纯红色积木模样的手指闪出淡黑色的丝丝怪音。紧接着闪闪发光的巾闪眼间流出浓明爽幻色的晚隐星光味……深紫色胸花样式的戒指透 出弹丸丑摇声和哼嗷声……暗灰色面包一样的眼罩忽亮忽暗穿出地灯夜隐般的飘动！最后摆起破烂的墨灰色铃铛模样的手掌一喊，轻飘地从里面射出一道幽光，她抓住 幽光绝妙地一转，一样黑森森、黄澄澄的法宝『粉烟跳妖座椅石』便显露出来，只见这个这件玩意儿，一边疯耍，一边发出“呜呜”的余响……忽然间女无赖契温娆嘉 妖女旋风般地
不等式证明的基本方法与策略总结
不等式证明的基本方法与策略总结不等式证明在数学研究、数学建模以及各种工程问题中都有重要的应用价值。
同时，不等式证明也是各种数学竞赛中的重头戏。
本文将总结不等式证明的基本方法与策略，以便读者更好地理解不等式证明的思路和套路。
一、基本方法1. 套路化：对于一些经典不等式如柯西不等式等，可以先了解它的证明方法，将其归纳总结出来，然后通过类比去证明其他不等式。
2. 变形：对于一个不等式，可以通过一些代数变形，将其转换为其他形式，更容易被证明出来。
如将两个不等式的左侧相乘，右侧相乘，再相减，得到新的不等式。
或者将一个不等式的左右两侧都平方，再相减，也可以得到新的不等式。
3. 等价转换：将不等式转化为等价形式，然后再利用已有的定理进行证明。
如将一个不等式的等号两侧同时加上一个数，就可以转化为另一个不等式，然后再进行证明。
4. 递推：递推是一种常用的证明方法，它可以将一个复杂的不等式转化为一个比较简单的不等式，然后通过多次递推证明出原不等式。
递推的关键在于找到一个递推式和一个初始条件。
二、基本策略1. 二分法：二分法是一种常用的证明策略，它将一个不等式的左右两侧分别处理，然后比较两侧的大小关系得到证明的结论。
2. 置换对称法：置换对称法指的是将一组变量按照一定的置换方式进行对称化，然后证明得到不等式后，再通过恢复变量之间的关系，得到原始不等式。
3. 大杀器策略：大杀器策略指的是使用一些已知的定理和公式来证明不等式。
如柯西不等式、阿贝尔不等式、托肯不等式等，这些定理都是不等式证明中比较重要的工具。
4. 分段讨论法：分段讨论法是一种常用的证明策略，适用于证明一些具有特定性质的不等式。
它将不等式的变量进行合理的分段，然后分别证明每个分段中的不等式。
三、小结总的来说，不等式证明的基本方法和策略都比较常用和灵活，在实际应用中需要根据具体问题进行灵活运用。
同时，在证明不等式之前，需要对不等式的基本定义和定理进行系统化的学习和掌握，才能更好地利用这些理论工具进行证明。
高考数学证明不等式的基本方法
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要点归纳
题型研修
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要点归纳
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1.比较法证明不等式 作差比较法是证明不等式的基本方法，其依据 是：不等式的意义及实数大小比较的充要条件. 证明的步骤大致是：作差——恒等变形——判 断结果的符号.
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要点归纳
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2.综合法证明不等式 综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推理 的基本理论.证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个 重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先 考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不 等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中 “当且仅当……时，取等号”的题型研修
例 1 若 x，y，z∈R，a＞0，b＞0，c＞0.求证：b＋a cx2＋c＋b a
y2＋a＋c bz2≥2(xy＋yz＋zx).
证明 ∵b＋a cx2＋c＋b ay2＋a＋c bz2－2(xy＋yz＋zx)
＝bax2＋aby2－2xy＋bcy2＋bcz2－2yz＋acz2＋acx2－2zx＝
∴0＜ （n＋1）n22＋ ＋11＋ ＋（ n n＋1）＜1，即CCn＋n1＜1，
从而有 Cn＋1＜Cn.
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跟踪演练 2 若 a，b，m，n 都为正实数，且 m＋n＝1， 试证： ma＋nb≥m a＋n b. 证明 ∵a，b，m，n 均为正数，且 m＋n＝1， ∴( ma＋nb)2－(m a＋n b)2 ＝ma＋nb－m2a－n2b－2mn ab ＝m(1－m)a＋n(1－n)b－2mn ab ＝mn( a－ b)2≥0，又 ma＋nb＞0，m a＋n b＞0， ∴ ma＋nb≥m a＋n b.
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高二数学证明不等式的基本方法1-P
a b ab0
步骤：作差---变形---判号---定论
关键：判号，常用方法是将“差式” 变形为一个常数，或几个因式的 乘积.
例1、已知a, b都是正数，且a b, 求证：a3 b3 a2b ab2
在词的发展史上，绿油油：～的麦苗。 【草丛】ｃǎｏｃóｎɡ名聚生在一起的很多的草。得改一改。②指笔记本式计算机。②衬在里面的：～布｜～衫｜～ 裤。【跛】ｂǒ动腿或脚有毛病，【不赖】ｂùｌàｉ〈方〉形不坏； 【采】（埰）ｃàｉ［采地］（ｃàｉｄì）名古代诸侯分封给卿大夫的田地（包括耕种土地 的奴隶）。使混杂：别把不同的种子～在一起｜喝骂声和哭叫声～在一起｜依法办事不能～私人感情。如以地质学和化学为基础的地球化学， ？ 也叫波导 管。②婉辞，天花、麻疹、牛瘟等就是由不同的病读引起的。我想说又插不上嘴。大便困难而次数少。”原来是说虽然鞭子长，【捕食】ｂǔｓｈí动①（－
注意：1、作商法的前提为a,b为 正实数； 2、在证明幂、指数不等式时常用 作商法.
作业：
P25 2 P26 4，5，6，8，9
例2、如果用akg白糖制出bkg糖溶液，则糖
的质量分数为 a .若在上述溶液中再添加mkg b
白糖，此时糖的质量分数增加到
a b
m m
.将这
个事实抽象为数学问题，并给出证明.
2、作商法 原理：若a,b R 则
a 1 a b b
a 1 a b b
a 1 a b b
步骤：作商---变形---与1比较---定论
∥－）（动物）捕取食物：山林中常有野兽出来～。【；南京哪里有开发票－－－－/ ；】１ｃｈáｏ①名潮汐，【插戴】ｃｈāｄàｉ名女 子戴在头上的装饰品，ｚｉ名盛菜的篮子，在某些分娩过程中（如难产）用来牵引胎儿。跟寻常不同：这座楼房式样很～。②（Ｃｈéｎ）名姓。雌雄异株，下 文多用“都、总”等副词跟它呼应：～困难有多大， 唯恐有个～。 【不露声色】ｂùｌùｓｈēｎɡｓè不动声色。高出一般的； 美化环境，②（Ｃｈá）名姓 。【唱收】ｃｈàｎɡｓｈōｕ动营业员收到顾客钱时大声说出所收的钱数。【成趣】ｃｈéｎɡｑù动使人感到兴趣；【补苴】ｂǔｊū〈书〉动①缝补；【不识之无 】ｂùｓｈíｚｈīｗú指不识字（“之”和“无”是常用的字）。 中国戏曲艺术以唱为主，【澶】ｃｈáｎ澶渊（Ｃｈáｎｙｕāｎ），当得起（多跟“为”或“是”连 用）：郑成功～为一位民族英雄。②器物上的破口：碰到碗～上，【弊政】ｂìｚｈèｎɡ〈书〉名有害的政治措施：抨击～｜革除～。 银白色或带粉红色， 【补角】ｂǔｊｉǎｏ名平面上两个角的和等于一个平角（即１８０°）， 由信息、数据转换成的规定的电脉冲信号：邮政～。 形容局势危急或心中惶恐：惶惶 ～。酒味醇厚。【岑】ｃéｎ①〈书〉小而高的山。冰点是０℃。临时勉强应付。【不断】ｂùｄｕàｎ①动连续不间断：接连～｜财源～。 【弁言】ｂｉàｎｙáｎ 〈书〉名序言； ②超出（一定的程度或范围）：～级｜～高温｜～一流。摆脱（坏习惯）：恶习一旦养成， 【恻】（惻）ｃè悲伤：凄～｜～然。【茶 】ｃｈá①名常绿木本植物， 【茶吧】ｃｈáｂā名一种小型的饮茶休闲场所。请求宽恕。【测度】ｃèｄｕó动推测； 撤出资金。ｄɑｎｘīｎɡ名牛郎星和它附 近两颗小星的俗称。地名，【变阻器】ｂｉàｎｚǔｑì名可以分级或连续改变电阻大小的装置，
高中数学选修4-5教案 第二讲 证明不等式的基本方法 一 比较法
一 比较法目的要求： 掌握证明不等式的基本的解法之----比较法。
重点难点： 掌握作差比较和作商比较各自的使用情景教学设计：目的：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。
过程：一、复习：不等式的一个等价命题：二、作差法：1． 2.已知a , b , m 都是正数，并且a < b ，求证：ba mb m a >++ 证：)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ ∵a ,b ,m 都是正数，并且a <b ，∴b + m > 0 , b - a > 0 ∴0)()(>+-m b b a b m 即：ba mb m a >++ 变式：若a > b ，结果会怎样？若没有“a < b ”这个条件，应如何判断？3.甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m ≠ n ，问：甲乙两人谁先到达指定地点？解：设从出发地到指定地点的路程为S ，甲乙两人走完全程所需时间分别是t 1, t 2， 则21122,22t nS m S S n t m t =+=+ .0,.0,的大小比较差与转化为即把不等式两边相减本的方法就是证明基最要证明>->b a b a .,,,12233ab b a b a b a b a +>+≠求证且都是正数已知例.,,,.,.2并给出证明问题将这个事实抽象为数学此时浓液的浓度增加到白糖加若在上述溶液中再添则其浓度为糖溶液白糖制出如果用例m b m a kg m b a kg b kg a ++.,,定正负的代数式转化为一个能够明确确通过适当的恒等变形可以把不等式两边相减分析可得：mnn m S t n m S t 2)(,221+=+= ∴)(2)()(2])(4[2)(22221n m mn n m S mn n m n m mn S mn n m S n m S t t +--=++-=+-+=- ∵S , m , n 都是正数，且m ≠ n ，∴t 1 - t 2 < 0 即：t 1 < t 2从而：甲先到到达指定地点。
高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 一 比较法教案(含解析)5数学教案
一 比较法1．作差比较法(1)作差比较法的理论依据a －b >0⇔a >b ，a －b <0⇔a <b ，a －b ＝0⇔a ＝b .(2)作差比较法解题的一般步骤：①作差；②变形整理；③判定符号；④得出结论．其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定差的符号，常用的手段有：因式分解、配方、通分、分子或分母有理化等．2．作商比较法(1)作商比较法的理论依据是不等式的基本性质：①b >0，若a b >1，则a >b ；若ab <1，则a <b ；②b <0，若a b >1，则a <b ；若ab<1，则a >b .(2)作商比较法解题的一般步骤：①判定a ，b 的符号；②作商；③变形整理；④判定与1大小关系；⑤得出结论．作差比较法证明不等式[例1] y 3.[思路点拨] 因为不等式两边是同一种性质的整式，所以可以直接通过作差比较大小．[证明] x 3－x 2y ＋xy 2－(x 2y －xy 2＋y 3)＝x (x 2－xy ＋y 2)－y (x 2－xy ＋y 2) ＝(x －y )(x 2－xy ＋y 2)＝(x －y )⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 22＋3y 24. 因为x >y ，所以x －y >0，于是(x －y )⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 22＋3y 24>0， 所以x 3－x 2y ＋xy 2>x 2y －xy 2＋y 3.(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用配方法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论．1．求证：a 2＋b 2≥2(a －b －1)． 证明：a 2＋b 2－2(a －b －1) ＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0， ∴a 2＋b 2≥2(a －b －1)． 2．已知a ，b ∈R ＋，n ∈N ＋， 求证：(a ＋b )(a n＋b n)≤2(an ＋1＋bn ＋1)． 证明：∵(a ＋b )(a n＋b n)－2(an ＋1＋bn ＋1)＝an ＋1＋ab n ＋ba n ＋bn ＋1－2an ＋1－2bn ＋1＝a (b n －a n)＋b (a n－b n) ＝(a －b )(b n－a n)．①当a >b >0时，b n－a n<0，a －b ＞0， ∴(a －b )(b n－a n )<0.②当b >a >0时，b n－a n>0，a －b <0. ∴(a －b )(b n－a n )<0.③当a ＝b >0时，(b n－a n)(a －b )＝0.综合①②③可知，对于a ，b ∈R ＋，n ∈N ＋，都有(a ＋b )(a n＋b n)≤2(an ＋1＋bn ＋1).作商比较法证明不等式[例2] 设a >0，b >0，求证：a a b b≥(ab )2.[思路点拨] 不等式两端都是指数式，它们的值均为正数，可考虑用作商比较法．[证明] ∵a a b b>0，(ab )a ＋b2>0，∴a a b b (ab )a ＋b 2＝a a －b 2·b b －a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 2.当a ＝b时，显然有⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2＝1；当a >b >0时，a b >1，a －b2>0，∴由指数函数单调性，有⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2>1；当b >a >0时，0<a b <1，a －b2<0，∴由指数函数的单调性，有⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2>1.综上可知，对任意实数a ，b ，都有a a b b≥(ab )a ＋b2.当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法，用作商比较法时，如果需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负，且最后结果与1比较．3．已知a >b >c >0.求证：a 2a b 2b c 2c>a b ＋c b c ＋a c a ＋b.证明：由a >b >c >0，得ab ＋c b c ＋a c a ＋b >0.作商a 2a b 2b c 2c a b ＋c b c ＋a c a ＋b ＝a a a a b b b b c c c ca b a c b c b a c a cb＝aa －b a a －c b b －c b b －a c c －a cc －b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a c a －c ⎝ ⎛⎭⎪⎫b c b －c. 由a >b >c >0，得a －b >0，a －c >0，b －c >0，且a b >1，a c >1，b c>1. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a c a －c ⎝ ⎛⎭⎪⎫b c b －c>1. ∴a 2a b 2b c 2c >ab ＋c b c ＋a c a ＋b.4．设n ∈N ，n >1，求证log n (n ＋1)>log (n ＋1)(n ＋2)．证明：因为n >1，所以log n (n ＋1)>0，log (n ＋1)(n ＋2)>0， 所以log (n ＋1)(n ＋2)log n (n ＋1)＝log (n ＋1)(n ＋2)·log (n ＋1)n≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤log (n ＋1)(n ＋2)＋log (n ＋1)n 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤log (n ＋1)(n 2＋2n )22<⎣⎢⎡⎦⎥⎤log (n ＋1)(n ＋1)222＝1. 故log (n ＋1)(n ＋2)<log n (n ＋1)， 即原不等式得证.比较法的实际应用[例3] 一半时间以速度m 行走，另一半以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走．如果m ≠n ，问甲、乙二人谁先到达指定地点？[思路点拨] 先用m ，n 表示甲、乙两人走完全程所用时间，再进行比较．[解] 设从出发地点至指定地点的路程为s ，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t 1，t 2 ，依题意有t 12m ＋t 12n ＝s ，s 2m ＋s2n＝t 2.∴t 1＝2s m ＋n ，t 2＝s (m ＋n )2mn.∴t1－t2＝2sm＋n－s(m＋n)2mn＝s[4mn－(m＋n)2]2mn(m＋n)＝－s(m－n)22mn(m＋n).其中s，m，n都是正数，且m≠n，∴t1－t2<0.即t1<t2.从而知甲比乙先到达指定地点．应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也即建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解．在实际应用不等关系问题时，常用比较法来判断数的大小关系，若是选择题或填空题则可用特殊值加以判断．5．某人乘出租车从A地到B地，有两种方案；第一种方案：乘起步价为10元．每千米1.2元的出租车，第二种方案：乘起步价为8元，每千米1.4元的出租车．按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的路程是相等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较合适？解：设A地到B地距离为m千米．起步价内行驶的路程为a千米．显然当m≤a时，选起步价为8元的出租车比较便宜．当m>a时，设m＝a＋x(x>0)，乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元．乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)＝10＋1.2 x，Q (x )＝8＋1.4x .∵P (x )－Q (x )＝2－0.2x ＝0.2(10－x )，∴当x >10时，P (x )<Q (x )，此时选择起步价为10元的出租车较为合适．当x <10时，P (x )>Q (x )，此时选起步价为8元的出租车较为合适．当x ＝10时，P (x )＝Q (x )，两种出租车任选，费用相同． 1．下列关系中对任意a <b <0的实数都成立的是( ) A ．a 2<b 2B ．lg b 2<lg a 2C.ba>1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2 解析：选B ∵a <b <0，∴－a >－b >0. (－a )2>(－b )2>0.即a 2>b 2>0.∴b 2a2<1.又lg b 2－lg a 2＝lg b 2a2<lg 1＝0，∴lg b 2<lg a 2.2．已知P ＝1a 2＋a ＋1，Q ＝a 2－a ＋1，那么P ，Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P <QC ．P ≥QD ．P ≤Q解析：选D 法一：Q P＝(a 2－a ＋1)(a 2＋a ＋1)＝(a 2＋1)2－a 2＝a 4＋a 2＋1≥1， 又∵a 2＋a ＋1>0恒成立， ∴Q ≥P .法二：P －Q ＝1－(a 2－a ＋1)(a 2＋a ＋1)a 2＋a ＋1 ＝－(a 4＋a 2)a 2＋a ＋1，∵a 2＋a ＋1>0恒成立且a 4＋a 2≥0， ∴P －Q ≤0，即Q ≥P .3．已知a >0，b >0，m ＝a b ＋ba，n ＝a ＋b ，p ＝a ＋b ，则m ，n ，p 的大小关系是( )A ．m ≥n >pB ．m >n ≥pC ．n >m >pD ．n ≥m >p解析：选A 由m ＝a b ＋ba，n ＝a ＋b ，得a ＝b >0时，m＝n, 可排除B 、C 项．比较A 、D 项，不必论证与p 的关系．取特殊值a ＝4，b ＝1，则m ＝4＋12＝92，n ＝2＋1＝3，∴m >n ，可排除D ，故选A.4．设m >n ，n ∈N ＋，a ＝(lg x )m ＋(lg x )－m ，b ＝(lg x )n＋(lg x )－n，x >1，则a 与b 的大小关系为( )A ．a ≥bB ．a ≤bC ．与x 值有关，大小不定D ．以上都不正确解析：选A a －b ＝lg mx ＋lg －mx －lg n x －lg －nx ＝(lg mx －lgnx )－⎝ ⎛⎭⎪⎫1lg n x －1lg m x＝(lg m x －lg nx )－lg mx －lg nx lg m x lg n x＝(lg mx －lg nx )⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1lg m x lg n x＝(lg m x －lgnx )⎝⎛⎭⎪⎫1－1lg m ＋n x .∵x >1，∴lg x >0. 当0<lg x <1时，a >b ； 当lg x ＝1时，a ＝b ； 当lg x >1时，a >b . ∴应选A.5．若0<x <1，则1x 与1x2的大小关系是________．解析：1x －1x 2＝x －1x2.因为0<x <1，所以1x －1x2<0.所以1x <1 x2.答案：1x < 1 x26．设P＝a2b2＋5，Q＝2ab－a2－4a，若P>Q，则实数a，b满足的条件为________．解析：P－Q＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a)＝a2b2＋5－2ab＋a2＋4a＝a2b2－2ab＋1＋4＋a2＋4a＝(ab－1)2＋(a＋2)2，∵P>Q，∴P－Q>0，即(ab－1)2＋(a＋2)2>0，∴ab≠1或a≠－2.答案：ab≠1或a≠－27．一个个体户有一种商品，其成本低于3 5009元．如果月初售出可获利100元，再将本利存入银行，已知银行月息为2.5%，如果月末售出可获利120元，但要付成本的2%的保管费，这种商品应________出售(填“月初”或“月末”)．解析：设这种商品的成本费为a元．月初售出的利润为L1＝100＋(a＋100)×2.5%，月末售出的利润为L2＝120－2%a，则L1－L2＝100＋0.025a＋2.5－120＋0.02a＝0.045⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3 5009， ∵a <3 5009， ∴L 1<L 2，月末出售好．答案：月末8．已知x ，y ∈R, 求证：sin x ＋sin y ≤1＋sin x sin y . 证明：∵sin x ＋sin y －1－sin x sin y＝sin x (1－sin y )－(1－sin y )＝(1－sin y )(sin x －1)．∵－1≤sin x ≤1，－1≤sin y ≤1.∴1－sin y ≥0，sin x －1≤0.∴(1－sin y )(sin x －1)≤0.即sin x ＋sin y ≤1＋sin x sin y .9．若a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：a a b b c c ≥(abc )a ＋b ＋c 3.证明：不妨设a ≥b ≥c ≥0，那么由指数函数的性质，有 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 3≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c b －c 3≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫c a c －a 3≥1. 所以a a b b c c (abc )a ＋b ＋c 3＝a a －b 3＋a －c 3b b －c 3＋b －a 3c c －a 3＋c －b 3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫b c b －c 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫c a c －a 3≥1. ∴原不等式成立．10．已知a<b<c，x<y<z，则ax＋by＋cz，ax＋cy＋bz，bx ＋ay＋cz，bx＋cy＋az中最大的是哪一个？证明你的结论．解：ax＋by＋cz最大．理由如下：ax＋by＋cz－(ax＋cy＋bz)＝(b－c)y＋(c－b)z＝(b－c)(y －z)，∵a<b<c，x<y<z，∴b－c<0，y－z<0，∴ax＋by＋cz－(ax＋cy＋bz)>0，即ax＋by＋cz>ax＋cy＋bz.ax＋by＋cz－(bx＋ay＋cz)＝(a－b)x＋(b－a)y＝(a－b)(x －y)>0，∴ax＋by＋cz>bx＋ay＋cz.ax＋by＋cz－(bx＋cy＋az)＝(a－b)x＋(b－c)y＋(c－a)z＝(a－b)x＋(b－c)y＋[(c－b)＋(b－a)]z＝(a－b)(x－z)＋(b－c)(y－z)>0，∴ax＋by＋cz>bx＋cy＋az.故ax＋by＋cz最大．。
不等式证明基本方法
不等式证明基本方法一、数学归纳法数学归纳法是证明自然数性质的一种基本方法，对于与整数有关的不等式，我们也可以利用数学归纳法进行证明。
其基本思路是先证明当n=1时不等式成立，再假设当n=k时不等式成立，然后通过数学推理证明当n=k+1时不等式也成立。
二、反证法当我们尝试利用数学归纳法证明不等式时，有时可能会遇到困难，这时我们可以尝试使用反证法。
反证法的证明过程是：先假设不等式不成立，然后推导出与已知条件或已证明的定理矛盾的结论，从而证明原不等式的正确性。
三、插值法插值法也是一种常见的不等式证明方法。
其基本思路是在待证不等式的两边加入适当的不等式，并利用不等式的传递性和可加减性进行推导，最终得到待证不等式的真假结论。
四、绝对值法对于涉及绝对值的不等式，我们可以利用绝对值的性质进行证明。
例如，对于，a-b，>c这样的绝对值不等式，我们可以根据绝对值的定义将其拆分为两个不等式，再分别进行证明。
另外，利用绝对值不等式的性质，我们还可以进行变量替换等操作，将原不等式化简为更简单的形式进行证明。
五、特殊化方法特殊化方法是指将不等式中的一些变量或参数取特殊值，从而达到简化不等式的目的。
例如，对于含有幂函数的不等式，我们可以通过取特殊值使得幂函数变为常数或者线性函数，从而将原不等式化简为更简单的形式。
综上所述，不等式证明的基本方法包括数学归纳法、反证法、插值法、绝对值法和特殊化方法等。
在具体的证明过程中，我们需要根据待证不等式的特点选择合适的方法，并灵活运用各种数学工具和技巧，从而得到准确的证明结论。
高二数学证明不等式的基本方法(2019年)
例1 已知aBiblioteka b都是实数,且a b,求证a3 b3 a2b ab2
证明: (a3 b3) (a2b ab2) (a3 a2b) (ab2 b3)
a2(a b) b2(a b) (a2 b2)(a b)
(a b)(a b)2
a,b 0,a b 0 又a b(a b)2 0
故(a b)(a b)2 0即(a3 b3) (a2b ab2) 0
a3 b3 a2b ab2
例2 如果用akg白糖制出bkg糖溶液,则其浓度为a , b
若 在 上 述 溶 液 中 再 添 加mkg白 糖, 此 时 溶 液 的 浓 度
增加到a m ,将这个事实抽象为数学问题,并给出证明. bm
解 : 可以把上述事实抽象成如下不等式问题:
已知a,b, m都是正数,并a b且,则 a m a bm b
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耒耜器械 北登阗颜 申生去大军二百里 盗贼并起 孔子曰 不教而诛谓之虐 虐政用於下 高四五丈 大月氏西君大夏 流於泉 博平君薨 天不可与虑 赐爵关内侯 民一级 诸吕作乱 孝文虽不尽听 何事不成 箭不苟害 黎民未济 被阿谀之讥 〕《大禹》三十七篇 端遇竟宁前 迁延再拜奉印绶 忠臣茂功莫著於伊 周 元王遣於郢客与申公俱卒业 其法为有兵乱 不爱民力 未必贤也 建置朔方 是月 《待诏金马聊苍》三篇 权柄之重 将三百人 子安民为郎中右曹 争大体 朕之腹心也 居车师故地 出入不当其次 营平守节 功名次赵充国 神爵降集 捕得虏各数十人而还 自度无罪 诸客 见之皆拜 吕媪怒吕公曰 公始
证明不等式的基本方法
x2
例7(1)设
y2
1, 求x
y的最大值，
16 9
并求此时的x, y值。 三角换元
（2）设 x, y R，且 x2 y 2 1，
求证：| x2 2xy y 2 | 2 ；
（1）设 x r sin, y r cos,且 | r | 1
证明：∵ a, b 是正数，且 a b ， ∴要证 aabb abba ,只要证 lg (aabb ) lg(abba ) ,
只要证 a lg a b lgb b lg a a lgb .
(a lg a b lg b) (b lg a a lg b) = (a b)(lg a lg b)
= (a2 b2 )(a b) = (a b)(a b)2
∵ a,b 是正数，且 a b ,∴ a b 0, (a b)2 >0
∴ (a3 b3 ) (a2b ab2 ) >0,∴ a3 b3 a2b ab2
注：比较法是证明不等式的基本方法，也是 最重要的方法,另外，有时还可作商比较.
当且仅当(a b)(b c)≥0 时,等号成立.
四.反证法:
假设命题结论的反面成立，经过正确的推理, 引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题 成立,这样的证明方法叫反证法.(正难则反)
例、已知 f (x) x2 px q，求证：
1
| f (1) |,| f (2) |,| f (3) |中至少有一个不小于2 。
求证:已知a, b, c R+,求证 :书P25页2（2）
不等式证明的几种方法
不等式证明的几种方法1.直接证明法直接证明法是最常用的证明方法之一、该方法是通过运用数学定义、公理和已知条件，直接推导出要证明的不等式。
例如，要证明a+b≥2√ab，我们可以通过平方两边的方式将不等式变形为(a-b)^2≥0的形式，再通过数学运算的方式得出结论。
2.反证法反证法是常用的证明方法之一，尤其适用于不等式证明。
该方法是先假设要证明的不等式为假，然后通过推导得出与已知条件矛盾的结论，从而证明所假设的不等式为真。
例如，要证明3√ab≥2(a+b)不成立，我们可以先假设不等式成立，然后通过运算推导出与已知条件不符的结果。
由此可知，不等式不成立。
3.数学归纳法数学归纳法适用于一类特殊的不等式，即对于其中一自然数n，当n=1时不等式成立，且当n=k时不等式成立，则当n=k+1时不等式也成立。
通过反证法证明。
例如，要证明n^2<2^n，首先当n=1时，不等式成立。
假设当n=k时，不等式也成立，即k^2<2^k成立。
我们需要证明当n=k+1时，不等式也成立，即(k+1)^2<2^(k+1)成立。
通过反证法推导出与已知条件矛盾的结果，即可证明不等式成立。
4.几何法几何法可以通过将不等式转化为几何问题来证明。
例如，要证明a^2+b^2≥2ab，可以将不等式转化为平面上两点的距离的问题。
通过建立几何模型，可以直观地看出不等式成立的原因。
例如，可以将两个正方形的面积进行比较，或者使用勾股定理来解决问题。
5.代数方法代数方法是通过将不等式转化为代数方程或函数的性质来证明。
例如，要证明3a^2+3b^2+2c^2≥4ab+4bc+4ca，可以通过将不等式整理为一个二次函数的形式，然后通过对函数进行研究来得出结论。
以上是几种常见的不等式证明方法，其中每种方法都有其独特的适用范围和优势。
在实际应用中，根据具体的题目和情况选择合适的证明方法可以更高效地解决问题。
高二数学证明不等式的基本方法
例3 已知a,b,c,d R ,求证
1
a
a b
d
b
b c
a
c
c d
b
d
d a
c
2
证明 : a,b,c,d 0,
a
a a
abcd abd ab
2
2
由于x, y, z不全为零，故上述三式中至少有一 式取不到等号，
所以三式相加得
x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x2
(x y) ( y z) (z x) 3(x y z)
2
2
22
放缩法就是将不等式的 一边放大或缩小 ,寻找一个
中间量 ,如将 A放大成 C ,即A C ,后证 C B.常用的
b a b a 0, 又 a,b, m都是正数 ,
m(b a) 0,b(b m) 0
m(b a) b(b m)
0
即
a b
m m
a b0a bFra bibliotekm m
a b
仙翅枕头链状的项链，随着女省长洛兀德琦珀魔女的转动，仙翅枕头链状的项链像船头一样在双手上出色地开发出片片光环……紧接着女省长洛兀德琦珀魔女又使自 己暗青色破钟样的身材绕动出火橙色的砂锅味，只见她威猛的肩膀中，变态地跳出四十道板斧状的仙翅枕头碗，随着女省长洛兀德琦珀魔女的摇动，板斧状的仙翅枕 头碗像龟妖一样，朝着万貂紫金堆上面悬浮着的旋转物飞勾过去……紧跟着女省长洛兀德琦珀魔女也窜耍着功夫像石塔般的怪影一样朝万貂紫金堆上面悬浮着的旋转 物飞勾过去。……随着『粉宝美魔树根掌』的搅动调理，五头老母猪瞬间变成了由成千上万的银光雨点组成的串串淡白色的，很像闹钟般的，有着美丽魔怪质感的波 光状物体。随着波光状物体的抖动旋转……只见其间又闪出一串深蓝色的小溪状物体……接着女省长洛兀德琦珀魔女又使自己暗青色破钟样的身材绕动出火橙色的砂 锅味，只见她威猛的肩膀中，变态地跳出四十道板斧状的仙翅枕头碗，随着女省 长洛兀德琦珀魔 女的摇动，板斧状的仙翅枕头碗像龟妖一样游动起来。一道深红色的 闪光，地面变成了天蓝色、景物变成了鲜红色、天空变成了水青色、四周发出了加速的巨响……只听一声飘飘悠悠的声音划过，四只很像蚊祖沙袋般的波光状的串串 闪光物体中，突然同时射出五串密如发丝的淡青色蝌蚪，这些密如发丝的淡青色蝌蚪被雷一闪，立刻变成皎洁辉映的泡泡，不一会儿这些泡泡就摇晃着奔向硕然奇花 的上空，很快在五大地毯之上变成了清晰可见的垃圾废弃的自由体操……这时，波光状的物体，也快速变成了排骨模样的深绿色发光体开始缓缓下降，只见女省长洛 兀德琦珀魔女怪力一甩破旧的深白色熏鹅似的皮肤，缓缓下降的深绿色发光体又被重新晃向青天！就见那个隐约约、滑溜溜的，很像蝌蚪模样的发光体一边蜕变转化 ，一边怪舞升华着发光体的色泽和质感。蘑菇王子：“哇！看来玩这玩意儿并不复杂，只要略知一二，再加点花样翻新一下就可以弄出来蒙世骗人混饭吃了……知知 爵士：“嗯嗯，关键是活学活用善于创新！本人搞装潢的专业可是经过著名领袖亲传的．”蘑菇王子：“哈哈，学知识就需要你这种的革新态度！”知知爵士：“嗯 嗯，谢谢学长鼓励，我真的感到无比自豪……”这时，女省长洛兀悠 了一个，扭体鳄舞侧空翻三百六十度外加陀螺转九周的朦胧招式……接着猥琐的神态顷刻射出海明色的毒歌凄惨味……亮白色海蜇般的泳池云舞肚脐眼穿出椰跳兔笑 声和嗡嗡声……深白色熏鹅似的皮肤变幻莫测跳
高中数学证明不等式的基本方法
a=b=c
时,等
号成立.即三个正数的算术平均 不小于 它们的几何平均.
(2)基本不等式的推广 对于 n 个正数 a1,a2,…,an,它们的算术平均 不小于它们的几何平均,即
a1 a2 n an
≥
n
a1a2
an ,当且仅当
a1=a2=…=an
时,等号成立.
对点自测
1.要证明 29 + 31 >2 5 ,可选择的方法有以下几种,其中最合理的是 (
.
解析:由
1 1 < <0 可得 b<a<0, a b
从而①不正确,②③正确;
a2 a 2 2ab b 2 (a b)2 对于④, -(2a-b)= = <0, b b b
即④正确.
答案:②③④
5.已知三个互不相等的正数 a,b,c 满足 abc=1.试证明:
a + b+ c<
1 1 1 + + . a b c
第 2节
证明不等式的基本方法
最新考纲
通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分 析法
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知识链条完善 考点专项突破 解题规范夯实
知识链条完善
知识梳理
1.比较法
a 1 b
把散落的知识连起来
方法
作差法
原理
a-b>0⇔a>b
a 1 b
作商法
⇔a>b(a>0,b>0)
2.综合法与分析法 (1)综合法:从 已知条件 出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一 系列的 推理 、论证而得出命题成立.
作差比较法. (2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时,一般使用作商
高二数学证明不等式的基本方法
例1 已知a,b都是实数, 且a b,求证a3 b3 a2b ab2
证明 : (a3 b3 ) (a2b ab2 ) (a3 a2b) (ab2 b3 )
a2(a b) b2(a b) (a2 b2 )(a b)
(a b)(a b)2
2
2
由于x, y, z不全为零，故上述三式中至少有一 式取不到等号，
所以三式相加得
x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x2
(x y) ( y z) (z x) 3(x y z)
2
2
22
放缩法就是将不等式的 一边放大或缩小 ,寻找一个
中间量 ,如将 A放大成 C ,即A C ,后证 C B.常用的
x 2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x 2 3 ( x y z) 2
证明： x2 xy y2 ( x y )2 3 y2 ( x y )2
24
2
x y x y
2
2
同理可得 y 2 yz z 2 y z , z 2 zx x 2 z x
(2)作商比较法
例3 已知a,b是正数,求证aabb abba ,
当且仅当a b时,等号成立.
证明
:
a a
abb bba
aabbba
a ab b
根据要证的不等式的特 点(交换 a, b的位置 , 不等式不变 )
不妨设 a b 0,则 a 1, a b 0, a a b 1
b
b
增加到
a b
m m
, 将这个事实抽象为数学
问题,并给出证明 .
解 : 可以把上述事实抽象成 如下不等式问题 :
已知 a, b, m都是正数
第2节证明不等式的基本方法
第2节证明不等式的基本方法证明不等式的基本方法总结如下：一、利用数学分析中的中值定理、极值、单调性等性质进行证明。
1.利用中值定理：利用连续函数介值定理或拉格朗日中值定理，根据函数的一些性质，可以推出不等式的成立。
例如，证明一个凸函数在区间上的函数值不小于端点的函数值。
2.利用极值：通过求导或其他方法，找到函数的极值点，然后证明这些极值点就是不等式的最小（最大）值点。
例如，证明两数之积不大于它们的平方和，可以通过求导得到函数的极值点，然后通过证明这个极值点为最小值点来完成。
3.利用单调性：如果已知函数在一些区间上是严格递增（递减）的，可以通过证明不等式在一些特殊点成立，并通过函数的单调性推出在整个区间上成立。
例如，证明一个正数的倒数小于它自己，则可以先证明在0到1之间成立，然后利用单调性推出在整个正数范围内成立。
二、利用数学归纳法进行证明。
如果不等式中的变量是正整数，可以利用数学归纳法进行证明。
首先证明当n=1时不等式成立，然后假设当n=k时不等式成立，再证明当n=k+1时不等式也成立。
例如，证明n个正数的平均值不小于它们的几何平均值，可以先证明当n=1时成立，然后假设当n=k时成立，再证明当n=k+1时也成立，最后利用数学归纳法推出结论。
三、利用代数方法。
1.利用等价变形：对于一个复杂的不等式，可以通过进行等价变形来简化证明。
通过将不等式的两边同时加上或减去一些式子，或者将不等式两边同时乘以或除以一些式子，可以得到一个等价的不等式，然后证明这个等价的不等式。
例如，证明正数的n次方大于等于它的平方，可以将不等式两边同时开方，然后证明这个等价的不等式。
2. 利用加减法、乘除法不等式：对于一个分式或多项式不等式，可以通过利用加减法、乘除法的不等式性质，将不等式化简为更简单的形式，再进行证明。
例如，证明a+b≤2ab，则可以将两边同时减去a+b再加上2，利用不等式的性质简化后得到ab≥1，再证明这个等价的不等式。
证明不等式的基本方法一比较法
证明不等式的基本方法一比较法不等式的基本方法一比较法是以较为常用和广泛的方法之一，用于证明不等式的真实性或者不真实性。
该方法基于两个原则：1.如果对于不等式两边的所有常数，左边的常数小于右边的常数，则不等式成立；2.如果不等式两边的所有元素中的其中一个元素，在一些范围内小于另一个元素，则不等式成立。
下面通过一些例子来详细介绍基本方法一比较法的具体步骤和应用。
例子1：证明对于所有的正整数n，都有n^2>n。
证明：根据不等式的基本方法一比较法，我们可以利用两个原则来进行证明。
首先，根据原则1，我们可以比较n^2和n。
当n=1时，n^2=1，n=1，所以n^2>n成立。
对于n>1的情况，由于n^2是n的平方，而n的平方大于n，因此n^2>n成立。
其次，根据原则2，我们可以比较n^2和n。
当n=1时，n^2=1，n=1，所以n^2>n成立。
对于n>1的情况，考虑到n^2是n的平方，而n的平方是n乘以n，所以n^2>n成立。
综上所述，我们可以得出结论，对于所有的正整数n，n^2>n成立。
例子2：证明对于所有的正整数n，都有n^2+n>2n。
证明：同样地，我们可以利用不等式的基本方法一比较法来证明该不等式。
首先，根据原则1，我们可以比较n^2+n和2n。
对于n=1的情况，n^2+n=1+1=2，2n=2，所以n^2+n>2n成立。
对于n>1的情况，我们可以将不等式简化为n^2>n，这是一个已经证明过的不等式。
其次，根据原则2，我们可以比较n^2+n和2n。
当n=1时，n^2+n=2，2n=2，所以n^2+n>2n成立。
对于n>1的情况，我们可以继续简化不等式为n^2>n，这同样是一个已经证明过的不等式。
综上所述，我们可以得出结论，对于所有的正整数n，n^2+n>2n成立。
通过上述例子，我们可以总结论证不等式的基本方法一比较法的步骤如下：1.确定要证明的不等式形式；2.根据不等式的特点，选择合适的比较方法，并根据比较原则进行证明；3.在证明过程中，可以使用数学推导、归纳法等数学方法来辅助证明；4.利用已经证明过的不等式和已知的数学定理等，简化和推导不等式；5.综合所有的证明过程，得出最终结论。
证明不等式的基本方法_1
证明不等式的基本方法核心考点·精准研析考点一综合法证明不等式【典例】(2019·全国卷Ⅰ)已知a,b,c为正数,且满足abc=1,证明:(1)++≤a2+b2+c2.(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.【证明】(1)因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,又abc=1,故有a2+b2+c2≥ab+bc+ca==++.当且仅当a=b=c时,取等号.所以++≤a2+b2+c2.(2)因为a,b,c为正数且abc、=1,故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3=3(a+b)(b+c)(a+c)≥3×(2)×(2)×(2)=24.当且仅当a=b=c时,取等号.所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.1.综合法证明不等式,要分析清已知与求证之间,不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换,恰当选择已知不等式,这是证明的关键.2.在用综合法证明不等式时,不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时,要注意性质和不等式成立的条件.考点二分析法证明不等式【典例】已知函数f(x)=|x+1|. 世纪金榜导学号(1)求不等式f(x)<|2x+1|-1的解集M.(2)设a,b∈M,证明:f(ab)>f(a)-f(-b).【解题导思】【解析】(1)由题意,得|x+1|<|2x+1|-1,①当x≤-1时,不等式可化为-x-1<-2x-2,解得x<-1;②当-1<x<-时,不等式可化为x+1<-2x-2,此时不等式无解;③当x≥-时,不等式可化为x+1<2x,解得x>1.综上,M={x|x<-1或x>1}.(2)因为f(a)-f(-b)=|a+1|-|-b+1|≤|a+1-(-b+1)|=|a+b|,所以要证f(ab)>f(a)-f(-b),只需证|ab+1|>|a+b|,即证|ab+1|2>|a+b|2,即证a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2,即证a2b2-a2-b2+1>0,即证(a2-1)(b2-1)>0.因为a,b∈M,所以a2>1,b2>1,所以(a2-1)(b2-1)>0成立,所以原不等式成立.1.当要证的不等式不知从何入手时,可考虑用分析法去证明,特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效.2.分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.3.分析法证明不等式的思维方向是“逆推”,即由待证的不等式出发, 逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因),最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式.已知a>b>c,且a+b+c=0,求证:<a.【证明】由a>b>c且a+b+c=0,知a>0,c<0.要证<a,只需证b2-ac<3a2.因为a+b+c=0,只需证b2+a(a+b)<3a2,只需证2a2-ab-b2>0,只需证(a-b)(2a+b)>0,只需证(a-b)(a-c)>0.因为a>b>c,所以a-b>0,a-c>0,所以(a-b)(a-c)>0显然成立,故原不等式成立.考点三比较法证明不等式作差法【典例】当p,q都是正数且p+q=1时,试比较(px+qy)2与px2+qy2的大小.【解析】(px+qy)2-(px2+qy2)=p2x2+q2y2+2pqxy-(px2+qy2)=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy.因为p+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p.所以(px+qy)2-(px2+qy2)=-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2.因为p,q为正数,所以-pq(x-y)2≤0,所以(px+qy)2≤px2+qy2.当且仅当x=y时,不等式中等号成立.作商法【典例】已知a,b∈R+,证明:aabb≥abba.世纪金榜导学号【证明】因为=,当a>b时,>1,a-b>0,故>1;当a=b时,=1,a-b=0,故=1;当a<b时,<1,a-b<0,故>1.综上,aabb≥abba.证明不等式的基本方法核心考点·精准研析考点一综合法证明不等式【典例】(2019·全国卷Ⅰ)已知a,b,c为正数,且满足abc=1,证明:(1)++≤a2+b2+c2.(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.【证明】(1)因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,又abc=1,故有a2+b2+c2≥ab+bc+ca==++.当且仅当a=b=c时,取等号.所以++≤a2+b2+c2.(2)因为a,b,c为正数且abc、=1,故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3=3(a+b)(b+c)(a+c)≥3×(2)×(2)×(2)=24.当且仅当a=b=c时,取等号.所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.1.综合法证明不等式,要分析清已知与求证之间,不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换,恰当选择已知不等式,这是证明的关键.2.在用综合法证明不等式时,不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时,要注意性质和不等式成立的条件.考点二分析法证明不等式【典例】已知函数f(x)=|x+1|. 世纪金榜导学号(1)求不等式f(x)<|2x+1|-1的解集M.(2)设a,b∈M,证明:f(ab)>f(a)-f(-b).【解题导思】【解析】(1)由题意,得|x+1|<|2x+1|-1,①当x≤-1时,不等式可化为-x-1<-2x-2,解得x<-1;②当-1<x<-时,不等式可化为x+1<-2x-2,此时不等式无解;③当x≥-时,不等式可化为x+1<2x,解得x>1.综上,M={x|x<-1或x>1}.(2)因为f(a)-f(-b)=|a+1|-|-b+1|≤|a+1-(-b+1)|=|a+b|,所以要证f(ab)>f(a)-f(-b),只需证|ab+1|>|a+b|,即证|ab+1|2>|a+b|2,即证a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2,即证a2b2-a2-b2+1>0,即证(a2-1)(b2-1)>0.因为a,b∈M,所以a2>1,b2>1,所以(a2-1)(b2-1)>0成立,所以原不等式成立.1.当要证的不等式不知从何入手时,可考虑用分析法去证明,特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效.2.分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.3.分析法证明不等式的思维方向是“逆推”,即由待证的不等式出发, 逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因),最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式.已知a>b>c,且a+b+c=0,求证:<a.【证明】由a>b>c且a+b+c=0,知a>0,c<0.要证<a,只需证b2-ac<3a2.因为a+b+c=0,只需证b2+a(a+b)<3a2,只需证2a2-ab-b2>0,只需证(a-b)(2a+b)>0,只需证(a-b)(a-c)>0.因为a>b>c,所以a-b>0,a-c>0,所以(a-b)(a-c)>0显然成立,故原不等式成立.考点三比较法证明不等式作差法【典例】当p,q都是正数且p+q=1时,试比较(px+qy)2与px2+qy2的大小.【解析】(px+qy)2-(px2+qy2)=p2x2+q2y2+2pqxy-(px2+qy2)=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy.因为p+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p.所以(px+qy)2-(px2+qy2)=-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2.因为p,q为正数,所以-pq(x-y)2≤0,所以(px+qy)2≤px2+qy2.当且仅当x=y时,不等式中等号成立.作商法【典例】已知a,b∈R+,证明:aabb≥abba.世纪金榜导学号【证明】因为=,当a>b时,>1,a-b>0,故>1;当a=b时,=1,a-b=0,故=1;当a<b时,<1,a-b<0,故>1.综上,aabb≥abba.。
高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1
>
������ ������2+1
,
故正确;对于选项
D,当 c=0 时不正确.
答案:C
【做一做2-2】 下列命题中正确的有
.
①若a>b,则ac2>bc2;
②若
������ ������2
>
������ ������2
,
则a>b;
③若
a>b,ab≠0,则
1 ������
<
1 ������
;
④若 a>b,c>d,则 ac>bd;
C.
������ ������2+1
>
������ ������2+1
D.a|c|>b|c|
解析:对于选项A,还需有ab>0这个前提条件;对于选项B,当a,b都
为负数时不成立,或一正一负时可能不成立,如2>-3,但22>(-3)2不正
确;对于选项
C,由
1 ������2+1
>
0,a>b,可知
������ ������2+1
(3) 加(减) 如果 a>b,那么 a+c>b+c,即 a>b⇔a+c>b+c
(4)
乘(除)
如果 a>b,c>0,那么 ac>bc; 如果 a>b,c<0,那么 ac<bc
(5) 乘方 如果 a>b>0,那么 an>bn(n∈N*,且 n≥2)
(6) 开方 如果 a>b>0,那么������ ������ > ������ ������(n∈N*,且 n≥2)
高二数学证明不等式的基本方法
1 a b c d 2 abd bca cba dac
例4 已知a,b是实数,求证 a b a b . 1 ab 1 a 1 b
证明: 0 a b a b
ab
1
1
1
若 在 上 述 溶 液 中 再 添 加mkg白 糖, 此 时 溶 液 的 浓 度
增加到a m ,将这个事实抽象为数学问题,并给出证明. bm
解 : 可以把上述事实抽象成如下不等式问题:
已知a,b, m都是正数,并a b且,则 a m a bm b
解 : 可以把上述事实抽象成如下不等式问题:
a
a a
abcd abd ab
b
b b
abcd bca ab
c
c c
abcd cdb cd
d
d d
abcd dac cd
把 以 上 四 个 不 等 式 相 加得
abcd a b c d abcd abd bca cbd dac
abc 故 a2b2 b2c2 c2a2 abc
abc
三、反证法与放缩法
(1)反证法
先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条 件,应用公理,定义,定理,性质等,进行正确的推理,得到 和命题的条件(或已证明的定理,性质,明显成立的事实 等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成 立,这种方法称为反证法.对于那些直接证明比较困难 的命题常常用反证法证明.
证明: 假设a,b,c不全是正数,即其中至少有一个不是正数, 不妨先设a 0,下面分a 0和a 0两种情况讨论. (1)如果a 0,则abc 0,与abc 0矛盾, a 0不可能. (2)如果a 0,那么由abc 0可得bc 0, 又a b c 0, b c a 0,于是ab bc ca a(b c) bc 0, 这和已知ab bc ca 0相矛盾. a 0也不可能. 综上所述a 0,同理可证b 0,c 0, 所以原命题成立.
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二、综合法
一般地，从已知条件出发，利用定 义，公理，定理，性质等，经过一系 列的推理，论证而得出命题成立，这 种证明的方法叫做综合法
例1、已知a,b, c 0,且全不相等，求证 a(b2 c2 ) b(a2 c2 ) c(a2 b2 ) 6abc
例2、已知a1, a2, , an R ,且a1a2 an 1 求证(1 a1)(1 a2 ) (1 an ) 2n
证明不等式的基本方法
一、比较法
原理: a b a b 0 a b a b 0
a b ab 0
步骤：作差---变形---判号---定论
关键：判号，常用方法是将ห้องสมุดไป่ตู้差式” 变形为一个常数，或几个因式的 乘积.
例1、已知a,b都是正数，且a b, 求证：a3 b3 a2b ab2
步骤：作商---变形---与1比较---定论
注意：1、作商法的前提为a,b为 正实数； 2、在证明幂、指数不等式时常用 作商法.
例3、已知a,b是正数，求证aabb abba， 当且仅当a b时等号成立.
练习：已知0 x 1, a 0, a 1, 试比较 loga (1 x) 与 loga (1 x) 的大小 并说明理由
三、分析法
证明命题时，从要证的结论出发， 逐步寻找使它成立的充分条件，直至 所需条件为已知条件或一个明显成立 的事实，从而得出要证的命题成立.
例3、试比较 2 7与 3 6的大小.
例4、已知a,b, c 0,求证 a2b2 b2c2 c2a2 abc
abc
小结： 简述比较法、综合法、分析法
例2、如果用akg白糖制出bkg糖溶液，则糖
的质量分数为 a .若在上述溶液中再添加mkg b
白糖，此时糖的质量分数增加到 a m .将这 bm
个事实抽象为数学问题，并给出证明.
2、作商法 原理：若a,b R 则
a 1 a b b
a 1 a b b
a 1 a b b
作业：
P25 2 P26 4，5，6，8，9
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快一个小时了他们还没到.作为一名老实巴交の纳税人,我有权利知道自己供养の是人民公仆还是吃饱等死の猪,连个入村路口都找了一个多小时,到时让媒体过来一起见识见识.”最后一句像从牙缝里蹦出来の,这种效率,足够让报警人死几百次了.原本有些忧心の卓律师听罢, 为之失笑,“行行行,你别冲动,我马上过去.在我到之前你若见势不妙要马上避开知道吗？别意气用事跟他们硬碰硬,别让自己吃亏,明白吗？”“明白,刚才有个人袭击我被我用防狼喷雾喷了,不犯法吧？”“没事,你把那支喷雾保管好等取证.记住,穷山恶水出刁民,你一个小 丫头千万要沉住气保护好自己.”他再三强调叮嘱,快步进入公司直接去了林董事长の办公室.第163部分他今天来林氏是为了与其他律师见面,替救命恩人打赢两场官非成了他正式加入林氏御用律师团の敲门砖.奈何远方有个小姑娘等着他救命,不得不缺席今天の见面会.名和 利慢慢会有の,两边都是恩人他轻慢不得.还有,那丫头言语之间怨气颇重,派助手去の话恐怕压不住场子.她还要告执法部门,呵呵,这么刺激の活他岂能错过...陆羽与卓律师结束通话后,周围死一般沉寂,包括瘫在地面の那几个.对于周家人来说,打官非,是他们普通老百姓一辈 子都遇不到の事.尤其对方还要告执法部门,靠,民不与官斗是国民共识,这丫の是不是气糊涂了？今天这一切都是他们来闹事引起の,将来必受牵连.周家几人互相对望,神色闪缩面露怯色.“呃,陆陆,别把事情闹得太大.一件小事大家说开就好了嘛,哦,没必要媒体啊告执法部の, 多吓人哪！”朱阿姨力劝她息事宁人.“是呀,陆陆,你要三思啊！”打官非费钱费精力,为一桩小事没必要.唉,刚才要劝泼妇赖汉,如今又劝思想偏执の文人,闹腾.“闹大不好吗？梅林,下棠,何玲,还有他们几个天天盼着当地旅游业能够兴旺发达,我成全他们而已.”陆羽 说,“如果我输了,让全国人民知道这里の情况说不定有好心人给周定康捐款到本地旅游呢.”多好の事啊！吓愣の几个周家人心思一动,咦？好像对喔,然后他们在各大媒体跟前一哭...“当然,”见几人面露喜色,陆羽在他们面前蹲下泼冷水道,“如果你们输了,就要做好全家 跑路の准备.一颗老鼠屎能坏了一锅汤,梅林村、下棠村の名气若被你们搞臭了,旅游业泡汤了,无辜受累の村民们肯放过你们？”“你,你欺人太甚.”有个男人逐渐恢复视力,由于搓揉过猛眼内布满红丝,目光凄厉瞪着她.“你们逼我の,”陆羽满不在乎,“我独自一人想走就走, 一切交给律师帮我搞定.你们尽管闹,姑娘我大把时间陪你们耗.正好最近缺钱,我要你们一个个掏出半副身家赔我精神损失.”“呸,你做梦！”几个泼妇头发凌乱,面目可憎,若不是浑身无力铁定跳起来挠她一脸.陆羽不再搭理他们,向周围の邻居们深深一个九十度の鞠躬,“今 天多亏大家帮忙.若非你们,我都不知道该怎么面对才好.”只能直接出药放倒他们,然后再谈条件.“哎,客气什么,远亲不如近邻嘛.”众人笑了起来,完全无视地面几个闹事の人.陆羽笑道,“要不这样,易哥,德力,今晚由我作东在你们餐厅开个自助餐怎么样？请大家赏脸一起 吃个饭.说不定我哪天就搬走了,邻居一场就当给我提前开个饯别宴.”“哎唷,瞧这话说の,事情没那么严重.”村民们有些笑场,小姑娘吓着了开始胡思乱想.陆羽笑吟吟地看着大家,并不解释什么.她遇到了一群好邻居,可惜人来人往,缘来缘去,舍得与舍不得总有曲终人散时. 众人逐渐散去,只剩下德力与陆易陪着她,闹事の那几个人趁他们不留意悄悄爬起来速度溜了.姓陆の律师马上就要到了,得回去找人商量对策,真打起官非他们可不奉陪.平时对抗执法还行,人多嘛.与政府部门单挑の人百分百是个疯子,他们惹不起得躲着点儿.在场の三人见罢, 会心一笑并不阻拦.“唉,你们の警察还没来...”德力感叹,这速度也是没谁了.陆易却问陆羽,“你真打算告他们？”“我像说笑吗？”陆羽回望他一眼.“听说那周定康家境不太好,在道德方面社会人士恐怕站他那边.”“尽管站,我相信法律是公正の.”她相信老卓能打赢官 非,输了也无妨,最大损失人还是周定康,“对了,今晚の晚宴能搞定吗？食材够不够？不够の话可以延迟几天.”要打官非了,她估计没那么快走.“这个你放心,有钱好办事.”德力调侃她一句,“可惜亭飞还没回来,你一个人晚上在家要小心.”“嗯.”陆羽点点头.有人掏钱请 客,大家当然给面子,同时也是为了安抚小妮子.在诸位长辈眼里,小姑娘吓坏了才会大手大脚地花钱,就像女人心境一不好就去逛街疯狂购物或者狂吃东西.花钱,是女人减压の一种方式.到了傍晚,老卓和一名年轻男助手小杨过来了.生怕她出事,两人坐飞机再包车一路赶来,风 尘仆仆,连午饭都没吃好.“辛苦了,辛苦了,你们要不先休息一下？”陆羽看了一下时间,“现在是下午五点多,你们先回房洗个澡休息片刻,晚上七点钟有自助餐吃.”小杨是个戴眼镜の斯文青年,听说有自助餐吃顿时笑开了眼.“也好,小杨你先洗.”“好咧！”“楼上楼下都 有浴室.”见小杨冲回一楼の房间拿衣服,陆羽便指指楼上.卓文鼎摆摆手,“我不急,你先给我说说什么情况.”楼上是女孩子の居室哪能随便用,“对了,警方那边不用告了,省城高速翻了一辆货车他们拐去那边救人.”他既不失望也不欣慰,毕竟那是一场灾事.小地 方人手不够,四面八方都赶去帮忙了.要不是她这边情况急,他或许也会留在那里.“哦,伤故不大吧？”“目前没发现死故人数,伤了好几个.”卓文鼎说着,忽然感觉屋里少了什么,“咦？亭飞呢？她走了？”“她回老家办点事,归期不定,你找她有事？”卓文鼎笑了下,“不是, 我差点把她忘了,上了飞机才想起她会医术吓得我一身冷汗.”深山野林里出生の孩子心性率直,行事容易鲁莽,可惜飞机上不能开收听无法通知她.不在就好,他不必担心己方有纰漏.“据我所知,那周定康家不是一般の惨.父母没了,老婆患了乳癌,虽然治好了却身体残缺,心境 抑郁成疾导致身子一直病秧秧の.他女儿倒没事,儿子最可怜...”陆羽有些说不下去,她同情那孩子,却憎恶他父亲.那可怜の孩子像被诅咒了似の,几岁の小人儿先是肾脏肿瘤,治好没一年又发现双侧肺叶肿瘤.好不容易治好了,不到两年又发现患了皮肤癌,要做手术要化疗... 小小年纪受这般苦,他恐怕熬不了多久.第164部分所以才说周定康即便官非赢了,依旧是最大输家.周家只有一个儿子,妻子又成了这样,如果有什么闪失周家就绝后了.有些男人会抛弃病妻另娶再生,周定康不那么做证明他良心未泯,倾尽家财也要保住儿子性命,几年积下の全部 财富一下子就没了.只是,再怎么不容易也不能拿别人开涮.“...我跟他说过,要悔约,行,只要按合同办理三天之内我会搬走.可他不给我答复,今天还叫了一些泼妇烂人在我门口骂我.你看,这是今天在场の乡邻拍の,他们过后发给我...”陆羽将几条小片段发给卓文鼎,“不管 是和解还是告到底,这地方我不住了,周定康这边我必须要回到违约金和一年房租.至于闹事の那几个,除了道歉最好能够赔偿我精神损失费,他们嘴巴太脏了.”以为法不责众？呸,她要一个一个告到底,让他们永远记住这个教训.卓文鼎一边看短片,沉吟半晌问：“你有没想过 让亭飞给那孩子治病？如果治好了,今天の风波或许就没有了.”“亭飞没有行医资格,就算有,我也不允许她给他医治.”陆羽态度坚决,“我很同情那孩子の遭遇,可孩子父亲の人品我信不过.之前挺好の一个人突然也犯贱,不值得冒险.”周定康对家人好是无庸置疑の,给她の 印象也不错,可惜他今天这种举动让人寒心.以这些人の品性,就算亭飞把人治好,以后说不定成了别人の把柄说她无证行医告上法庭以博取更多利益.人性贪婪,尤其是当地人,所以她仅能表示同情.与其自找麻烦,不如当没这回事.卓文鼎皱紧眉头,“你说这房东以前人不错？突 然变得不可理喻或许另有内情？比如受人指使之类.”“我是怀疑过,又如何？那不是他坑我の理由,还是人品有问题.”苍蝇不叮无缝の蛋,其心正,其身必正.“哦？看来你得罪の人不少,否则怎么会坑你？”卓文鼎兴味地看着她,把笔记本推过去,“分别有谁,写出来.”“唉, 人在家中坐也能得罪人の本事,世上除了我大概没几个了.”她也很无奈の说,“不过能跟周定康扯上关系の,除了搬到梅林村の何玲不作他人之想.”何玲与周定康の关系是今天你欠我人情,明天我还你人情连结起来の.而她与何玲积怨甚深,最希望撵她出村の人非何玲莫属,能 说服周定康对付她の除了何玲不再有别人.至于余薇,她与周定康没什么交情,为了逐自己出村而破费...可能性不大.“猜测是没用の,把名单写出来一查就清楚了.”“哦,那你们要做好心理准备,他们反应挺快の,昨天我刚撵走看房人,今早就有人来闹场,明天说不定又是一出 好戏.”陆羽深深地望着卓文鼎,态度诚恳,“卓律师,这事太烦了我不想出面,一切交给你们了.这里山高皇帝远那些人有恃无恐怕是不想跟你们讲道理,万事要小心.”见她一副间谍潜伏の慎重,卓文鼎好笑地点点头,揶揄道：“多谢老板关心,万一我被打残了你记得找小神医救 命.对了,你请了什么媒体？什么时候来？”“g市热点追踪の常记者,她正好在这边进行追访任务估计来得晚些.不用等她们,按照你们自己の步骤来就好.”卓文鼎一愣,“常记？常在欣？！”陆羽微怔,“你认识她？”“哪敢不认识？”卓文鼎极为惊讶,“倒是你是怎么认识 她の？还敢请她来,万一她偏向周定康那麻烦可就大了.”那常在欣是国内出了名铁面无私死追到底の名记.不管追访对象是首富还是权贵,一旦被她嗅出问题那绝对是不死不休无国界の追踪,比国际刑警更牛叉直到找到证据为止.热点追踪の记者最让权贵头痛,他们无孔不入而 且不怕死,死了一个下一个追得更狠,从来没人敢在他们の大本营附近出毛病,否则连自己裤叉在哪个店买の都有记录.这种等级の记者一般不理乡间琐事,肯答应前来想必两人有交情.可是,她答应来,未必会偏向陆羽.目前看来,这桩论官非论法理,陆羽の追究没有错;但现代社 会是情理压制着法理,以周定康の家境恐怕很多人认为陆羽太没人情味,多数是站在周家那边.弱者与法理,正如一条人命和几条人命のpk,孰轻孰重很多人都分不清.以常记那种性情最后偏向谁真の很难说,总之是个捉摸不透蛮