6.15较复杂的定义新运算
小学数学定义新运算
小学数学定义新运算一.什么是定义新运算我们已经学过了加、减、乘、除运算。
在有些情况下，常把「有多步含加、减、乘、除的运算」用某种新的符号表示，这就是定义了新的运算。
见到了这种用新的符号所定义的运算后，就按它所规定的「运算程序」进行运算，直到得出最后结果。
例如，设A、B表示自然数，如果定义符号「※」表示的运算如下：A※B＝3×A+4×B那么，根据新运算「※」的定义，就可以计算6※7如下：6※7＝3×6+4×7＝46。
如果定义符号「※」表示的运算为：A※B＝A÷B×2+3×A-2，那么，按此定义去计算4※2的话，就有：4※2＝4÷2×2+3×4-2＝2×2＋12－2＝14。
二.定义新运算需要注意的几个问题按照新定义的运算求某个算式的结果，关键是要正确理解这种新运算的意义，如上面举例中的运算符号「※」所表示的运算并不是一种固定的算法，而是因题而异，不同的题目有不同的规定，我们应当严格按不同的规定进行运算。
需要注意的是：（1）有括号时，应当先算括号里的；（2）新定义的运算往往不一定具备交换律和结合律，不能随便套用这些运算定律来解题。
（3）上面例举中所定义的运算使用了符号「※」来定义，但并不是说只有「※」才是规定运算的符号，可能用△，＃，…等符号。
符号的种类是次要的，符号所定义的运算按照怎样的程序来进行才是主要的。
三．典型例题例1设a，b表示整数(包括0)，规定「*」的运算为a*b＝a÷b×2+3×a-b，计算：169*13。
分析与解答动手算之前，先让我们弄清「*」是怎么一种运算程序，按规定，a*b的值是用a除以b，把商数乘2之后，再加上a的3倍，最后减去b，这些运算有两个特点：(1)各步运算都是大家熟悉的四则运算；(2)各步运算的先后次序要按规定的顺序办。
那么，根据「*」的规定，我们可以计算得到：169*13＝169÷13×2+3×169-13＝520。
人教版六年级下册数学小升初 较复杂的定义新运算
a...(ab1)
解： 1） 6& （ 2 1 1 67 42
5&3 1 1 6&2-5&311 2
567 210
42210105
(2& )4 x
1
1
x(x1 )(x2)(x3) 120
即 x (： x 1 ) (x 2 ) (x 3 ) 120
120=2×3×4×5
所以 x=2
人教版六年级下册数学：小升初 较复杂的定义新运算
意
运算顺序。
事
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
项
人教版六年级下册数学：小升初 较复杂的定义新运算
=（80，76）
人教版六年级下册数学：小升初 较复杂的定义新运算
人教版六年级下册数学：小升初 较复杂的定义新运算
关键问题
基 本 思 路
正确理解定义的运算符号的意义。
严格按照新定义的运算规则，把已知的数 代入，转化为加减乘除的运算，然后按照 基本运算过程、规律进行运算。
注
①新的运算不一定符合运算规律，特别注意
学 即 练
e如下（A,B）e（C,D）=（AC+BD,AD+BC）。试计算（（1,2） ⊕（3,6））e（（5,4）⊕（1,3））。
（1,2）⊕（3,6）=（1+3，2+6）=（4,8），
（5,4）⊕（1,3）=（5+1，4+3）=（6,7）， （4,8）e（6,7）=（（4×6+8×7）,（4×7+8×6））
4×2x+5(5x+8)=139
33x+40=139 33x=99 x=3
人教版六年级下册数学：小升初 较复杂的定义新运算
小学六年级奥数系列讲座：定义新运算(含答案解析)
定义新运算一、知识要点定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
二、精讲精练【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。
【思路导航】这题的新运算被定义为：a*b 等于a 和b 两数之和加上两数之差。
这里的“*”就代表一种新运算。
在定义新运算中同样规定了要先算小括号里的。
因此，在13*（5*4）中，就要先算小括号里的（5*4）。
练习1：1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。
求27*9。
2.设a*b=a2+2b ，那么求10*6和5*（2*8）。
3.设a*b=3a －b ×1/2，求（25*12）*（10*5）。
【例题2】设p 、q 是两个数，规定：p △q=4×q-(p+q)÷2。
求3△(4△6)。
【思路导航】根据定义先算4△6。
在这里“△”是新的运算符号。
13*5=（13+5）+（13-5）=18+8=26 5*4=（5+4）+（5-4）=1013*（5*4）=13*10=（13+10）+（13-10）=263△(4△6)＝3△【4×6－（4+6）÷2】 ＝3△19练习2：1．设p 、q 是两个数，规定p △q ＝4×q －（p+q ）÷2，求5△（6△4）。
2．设p 、q 是两个数，规定p △q ＝p2+（p －q ）×2。
求30△（5△3）。
3．设M 、N 是两个数，规定M*N ＝M/N+N/M ，求10*20－1/4。
定义新运算
定义新运算新运算是一种数学运算方式，通过对数字进行特定的计算规则和操作，得到一个新的数字结果。
下面将介绍新运算以及它的特点和应用。
新运算的定义：新运算是一种基于数字的运算方式，其计算规则和操作不同于传统的四则运算。
它通过对数字的排列、组合和变换，产生出一个全新的数字结果。
新运算的特点：1. 创新性：新运算采用了全新的计算规则和操作方式，与传统的四则运算不同，具有很高的创新性和独特性。
2. 多样性：新运算具有多种不同的运算规则和操作方式，可以根据需要进行选择和应用，适用于各种不同的计算问题。
3. 灵活性：新运算的计算规则和操作可以根据具体需求进行调整和扩展，具有很高的灵活性和可定制性。
4. 应用广泛：新运算可以在各个领域和行业中应用，如科学研究、工程设计、数据分析等，能够解决各种复杂的计算问题。
新运算的应用：1. 科学研究：新运算可以应用于物理学、化学、生物学等领域的科学研究中，可以处理大量的实验数据，分析数据间的关联和规律。
2. 工程设计：新运算可以用于工程设计中的优化问题，通过对不同参数的组合和变换，找到最优解决方案。
3. 数据分析：新运算可以应用于大数据分析中，通过对庞大的数据集进行排列和组合，发现数据中的隐藏规律和趋势。
4. 金融领域：新运算可以应用于金融领域中的风险管理和投资决策，通过对市场数据的分析和计算，提供决策支持和风险评估。
总之，新运算是一种具有创新性和独特性的数学运算方式，通过对数字的排列、组合和变换，产生出一个全新的数字结果。
它具有多样性、灵活性和广泛的应用领域，在科学研究、工程设计、数据分析和金融领域等方面都具有重要的应用价值。
定义新运算的解题诀窍
定义新运算的解题诀窍
（原创版）
目录
1.新运算的定义和特点
2.解决新运算问题的常用方法
3.具体例题解析
4.总结和建议
正文
一、新运算的定义和特点
新运算是指在数学中，对已知的四则运算（加、减、乘、除）之外的运算。
新运算通常具有特定的定义和运算规则，这使得它们在某些问题中具有独特的优势。
新运算的特点在于它们的创新性和实用性，可以帮助我们更好地理解和解决某些实际问题。
二、解决新运算问题的常用方法
解决新运算问题的方法有很多，以下是一些常用的方法：
1.类比法：通过将新运算与已知的四则运算进行类比，从而理解新运算的运算规则和性质。
2.举例法：通过具体的例子来理解新运算的运算过程和结果，从而找到解决问题的思路。
3.画图法：对于一些复杂的新运算问题，可以通过画图来辅助理解问题，从而找到解决方法。
4.逻辑推理法：通过逻辑推理来证明新运算的正确性或错误性，从而确定问题的解决方案。
三、具体例题解析
例如，有一个新运算“⊕”，定义为：a ⊕ b = a^2 - b^2。
现在有一个问题：求解 3 ⊕ 4 的结果。
我们可以采用以下方法来解决这个问题：
1.根据新运算的定义，将 3 ⊕ 4 转换为数学表达式：3^2 - 4^2。
2.计算表达式的结果：9 - 16 = -7。
3.得出结论：3 ⊕ 4 = -7。
通过以上步骤，我们成功地解决了这个新运算问题。
四、总结和建议
解决新运算问题需要我们具备一定的创新思维和实际操作能力。
在解决这类问题时，我们应该充分利用已知的数学知识，结合新运算的特点，采用适当的方法来解决问题。
定义新运算附答案
定义新运算附答案定义新运算附答案我们学过的常⽤运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝52×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算⽅式不同，实际是对应法则不同.可见⼀种运算实际就是两个数与⼀个数的⼀种对应⽅法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有⼀个唯⼀确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这⼀讲中，我们定义了⼀些新的运算形式，它们与我们常⽤的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1、设a、b都表⽰数，规定a△b＝3×a－2×b，①求 3△2， 2△3；②这个运算“△”有交换律吗？③求（17△6）△2，17△（6△2）；④这个运算“△”有结合律吗？⑤如果已知4△b＝2，求b.分析：解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：⽤运算符号前⾯的数的3倍减去符号后⾯的数的2倍.解：① 3△2＝3×3－2×2＝9－4＝52△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.②由①的例⼦可知“△”没有交换律.③要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有：17△6＝3×17－2×6＝39；再计算第⼆步39△2＝3 × 39－2×2＝113，所以（17△6）△2＝113.对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6－2×2＝14，其次17△14＝3×17－2×14＝23，所以17△（6△2）＝23.④由③的例⼦可知“△”也没有结合律.⑤因为4△b＝3×4－2×b＝12－2b，那么12－2b＝2，解出b＝5.例2、定义运算※为 a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；②求12※（3※4），（12※3）※4；③这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果3※（5※x）＝3，求x.解：①5※7＝5×7－（5＋7）＝35－12＝23，7※5＝7×5－（7＋5）＝35－12＝23.②要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第⼆步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以 12※（3※4）＝43.对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.③由于a※b＝a×b－（a＋b）；b※a＝b×a－（b＋a）＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交换律）所以有a※b＝b※a，因此“※”有交换律.由②的例⼦可知，运算“※”没有结合律.④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；3※（5※x）＝3※（4x－5）＝3（4x－5）－（3＋4x－5）＝12x－15－（4x－2）＝ 8x－ 13那么 8x－13＝3 解出x＝2.例3、定义新的运算a ⊕ b＝a×b＋a＋b.①求6 ⊕ 2，2 ⊕ 6；②求（1 ⊕ 2）⊕ 3，1 ⊕（2 ⊕ 3）；③这个运算有交换律和结合律吗？解：① 6 ⊕ 2＝6×2＋6＋2＝20，2 ⊕ 6＝2×6＋2＋6＝20.②（1 ⊕ 2）⊕ 3＝（1×2＋1＋2）⊕ 3＝5 ⊕ 3＝5×3＋5＋3＝231 ⊕（2 ⊕ 3）＝1 ⊕（2×3＋2＋3）＝1 ⊕ 11＝1×11＋1＋11＝23.③先看“⊕”是否满⾜交换律：a ⊕ b＝a×b＋a＋bb ⊕ a＝b×a＋b＋a＝a×b＋a＋b（普通加法与乘法的交换律）所以a ⊕ b＝b ⊕ a，因此“⊕”满⾜交换律.再看“⊕”是否满⾜结合律：（a ⊕ b）⊕ c＝（a×b＋a＋b）⊕ c＝（a×b＋a＋b）×c＋a×b＋a＋b＋c＝abc＋ac＋bc＋ab＋a＋b＋c.a ⊕（b ⊕ c）＝a ⊕（b×c＋b＋c）＝a×（b×c＋b＋c）＋a＋b×c＋b＋c＝abc＋ab＋ac＋a＋bc＋b＋c＝abc＋ac＋bc＋ab＋a＋b＋c.（普通加法的交换律）所以（a ⊕ b）⊕ c＝a ⊕（b ⊕ c），因此“⊕”满⾜结合律.说明：“⊕”对于普通的加法不满⾜分配律，看反例：1 ⊕（2＋3）＝1 ⊕ 5＝1×5＋1＋5＝11；1 ⊕ 2＋1 ⊕ 3＝1×2＋1＋2＋1×3＋1＋3＝5＋7＝12；因此1 ⊕（2＋3）≠ 1 ⊕ 2＋1 ⊕ 3.例4、有⼀个数学运算符号“?”，使下列算式成⽴：2?4＝8，5?3＝13，3?5＝11，9?7＝25，求7?3＝？解：通过对2?4＝8，5?3＝13，3?5＝11，9?7＝25这⼏个算式的观察，找到规律： a ?b ＝2a ＋b ，因此7?3＝2×7＋3＝17.例5、x 、y 表⽰两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny ，x △y=kxy ，其中 m 、 n 、k 均为⾃然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析：我们采⽤分析法，从要求的问题⼊⼿，题⽬要求1△2）*3的值，⾸先我们要计算1△2，根据“△”的定义：1△2=k ×1×2=2k ，由于k 的值不知道，所以⾸先要计算出k 的值，k 值求出后，l △2的值也就计算出来了.我们设1△2=a ， (1△2）*3=a*3，按“*”的定义： a*3=ma+3n ，在只有求出m 、n 时，我们才能计算a*3的值.因此要计算（1△2）*3的值，我们就要先求出 k 、m 、n 的值.通过1*2 =5可以求出m 、n 的值，通过（2*3）△4=64求出 k 的值.解：因为1*2=m ×1+n ×2=m+2n ，所以有m+2n=5.⼜因为m 、n 均为⾃然数，所以解出：①当m=1，n=2时：（2*3）△4=（1×2+2×3）△4 =8△4=k ×8×4=32k 有32k=64，解出k=2. ②当m=3，n=1时：（2*3）△4=（3×2+1×3）△4 =9△4=k ×9×4=36k有36k=64，解出k=971，这与k 是⾃然数⽭盾，因此m=3，n =1，k=971 这组值应舍去. 所以m=l ，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.在上⾯这⼀类定义新运算的问题中，关键的⼀条是：抓住定义这⼀点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代⼊数值.还有⼀个值得注意的问题是：定义⼀个新运算，这个新运算常常不满⾜加法、乘法所满⾜的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运⽤这些运算律来解题.课后习题m=1n =2m=2n =23（舍去）m=3 n =11.a*b 表⽰a 的3倍减去b 的21，例如： 1*2=1×3－2×21=2，根据以上的规定，计算：①10*6；②7*（2*1）. 2.定义新运算为 a ⼀b ＝b1a +，①求2⼀（3⼀4）的值；②若x ⼀4＝1.35，则x ＝？ 3.有⼀个数学运算符号○，使下列算式成⽴： 21○32=63，54○97=4511，65○71=426，求113○54的值.4.定义两种运算“⊕”、“?”，对于任意两个整数a 、b ， a ⊕b ＝a ＋b ＋1， a ?b=a ×b －1，①计算4?[（6⊕8）⊕（3⊕5）]的值；②若x ⊕（x ?4）=30，求x 的值.5.对于任意的整数x 、y ，定义新运算“△”， x △y=y×2x ×m y×x ×6+（其中m 是⼀个确定的整数），如果1△2=2，则2△9=？6.对于数a 、b 规定运算“▽”为a ▽b=（a ＋1）×（1－b ），若等式（a ▽a ）▽（a ＋1）=（a ＋1）▽（a ▽a ）成⽴，求a 的值.7.“*”表⽰⼀种运算符号，它的含义是： x*y=xy 1＋））（（A y 1x 1++，已知2*1=1×21＋））（（A 1121++=32，求1998*1999的值.8.a ※b=b÷a ba +，在x ※（5※1）=6中，求x 的值. 9.规定 a △b=a ＋（a ＋1）＋（a ＋2）＋…＋（a ＋b －1），（a 、b 均为⾃然数，b>a ）如果x △10=65，那么x=？10.我们规定：符号◇表⽰选择两数中较⼤数的运算，例如：5◇3=3◇5=5，符号△表⽰选择两数中较⼩数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：)25.2◇106237()9934△3.0()3323△625.0()2617◇6.0(++&&=？课后习题解答1.2.3.所以有5x-2=30，解出x=6.4左边：8.解：由于9.解：按照规定的运算：x△10=x +（x+1）+（x+2）+…+（x+10－1） =10x +（1+2+3+?+9）=10x + 45因此有10x + 45=65，解出x=2.欢迎您的下载，资料仅供参考！致⼒为企业和个⼈提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全⽹⼀站式需求。
定义新运算
【知识梳理】定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
一、定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二、定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合【分类型例题分析】一、直接运算型例 1若表示，求的值例 2 定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。
6△（3△4）例 3 已知a，b是任意自然数，我们规定：a⊕b= a+b-1，，那么例 4 规定运算“☆”为：若a>b，则a☆b=a＋b；若a=b，则a☆b=a－b＋1；若a<b，则a☆b=a×b。
那么，（2☆3）＋（4☆4）＋（7☆5）= 。
完整word版小学三年级奥数讲义定义新运算
定义新运算一、知识要点定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四那么运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四那么运算中的“＋、－、×、÷〞不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
二、精讲精练【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*〔5*4〕。
【思路导航】这题的新运算被定义为：a*b等于a和b两数之和加上两数之差。
这里的“*〞就代表一种新运算。
在定义新运算中同样规定了要13*5=〔13+5〕+〔13-5〕=18+8=26先算小括号里的。
因此，在13*〔5*4〕5*4=〔5+4〕+〔5-4〕=10中，就要先算小括号里的〔5*4〕。
13*〔5*4〕=13*10=〔13+10〕+〔13-10〕=26练习1：将新运算“*〞定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。
求27*9。
设a*b=a2+2b，那么求10*6和5*〔2*8〕。
3.设a*b=3a－b×1/2，求〔25*12〕*〔10*5〕。
3△(4△6)【例题2】设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。
求3△(4△6)。
＝3△【4×6－〔4+6〕÷2】＝3△19【思路导航】根据定义先算4△6。
在这里“△〞是新的运算符号。
＝4×19－〔3+19〕÷2＝76－11＝65练习2：1．设p、q是两个数，规定p△q＝4×q－〔p+q〕÷2，求5△〔6△4〕。
2．设p、q是两个数，规定p△q＝p2+〔p－q〕×2。
求30△〔5△3〕。
定义新运算
定义新运算导言在数学中，运算是一种数学操作，用于对数值或数值集合进行处理和计算。
常见的运算包括加法、减法、乘法和除法等。
然而，在某些场景下，常规运算无法满足需求，因此需要定义新的运算。
新运算的定义新运算是指不属于常规运算范畴的一种数学操作。
它可以对数值进行加工处理，从而获得满足特定需求的结果。
与常规运算不同的是，新运算可能具有不同的符号、规则和运算法则。
新运算的特点1.创新性：新运算是一种相对于常规运算的创新，它提供了新的数学方式和解决问题的途径。
2.特殊性：新运算通常具有特殊的性质和规则，与常规运算存在差异。
3.应用性：新运算在特定领域或问题中具有较高的应用价值，能够更好地解决特定问题。
新运算的例子例子一：矩阵运算矩阵运算是一种常见的新运算。
它对矩阵进行加、减、乘等操作，从而获得矩阵相加、相减、相乘后的结果。
矩阵运算在线性代数、计算机图形学等领域具有广泛的应用，例如图像处理、机器学习等。
例子二：向量运算向量运算是指对向量进行处理和计算的一种新运算。
它可以进行向量的加法、减法、点积、叉积等操作，从而获得向量的相加、相减、点积、叉积等结果。
向量运算在物理学、力学等领域具有重要的应用，例如力的合成、求解位置等。
新运算的运算法则新运算的运算法则是指确定新运算的规则和操作方式。
它可以保证新运算的正确性和可靠性。
不同的新运算可能有不同的运算法则，以下是一些常见的运算法则：1.封闭性：新运算中的结果仍然属于原有运算的数值集合。
2.结合律和交换律：新运算满足结合律和交换律，可以改变运算顺序或数值顺序而不影响结果。
3.幂等性：多次进行新运算的结果与一次运算的结果相同。
4.分配律：新运算与其他运算之间满足分配律，可以在不同运算之间进行组合。
结语通过定义新运算，我们可以拓展数学领域的研究和应用范围，寻找更加适用于特定问题的数学工具和方法。
新运算的引入和应用将促进数学学科的发展和创新，对于解决实际问题和推动科学进步具有重要的意义。
定义新运算讲义
定义新运算定义1、定义新运算是指：用一个符号把字母连接在一起，表示一种新的运算。
注意：（1）做题的关键是要正确理解式子含义，按照式子的计算顺序，将数值代入式子中，转化为一般的四则运算，然后进行计算。
（2）它通常使用特殊的运算符号，如：*、▢、★、◎、 、Δ、▤、■等来表示的一种运算。
（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。
例1、对于任意数a，b有a*b=a×b-a-b。
求12*4的值。
分析与解：根据题目的运算要求，直接代入后用四则运算即可。
12*4=12×4-12-4=48-12-4=32练习一1，设a、b都表示数，规定：a○b=6×a－2×b。
试计算3○4。
例2、假设a ★ b = ( a + b )÷ b 。
求 8 ★ 5 。
分析与解：该题的运算顺序为: a ★ b等于两数之和除以后一个数的商。
这里要先算括号里面的和，再算后面的商。
这里a代表数字8，b代表数字5。
8 ★ 5 = （8 + 5）÷ 5 = 2.6练习二对于两个数a与b，规定：a⊕b=a×b－（a＋b）。
计算3⊕5。
例3、如果a▢b=a×b-(a+b)。
求6▢（9▢2）。
分析与解：根据定义，要先算括号里面的。
括号里的部分已经构成了新运算，其运算结果又与括号外的部分构成新运算。
本题要运用新运算的关系，计算两次。
6▢（9▢2）=6▢[9×2-（9+2）]=6▢7=6×7-（6+7）=42-13=29练习三1、规定a▣b=a×b-（a＋b）。
求（10▣5）＋（28▣5）的值例4、已知1◎4=1+2+3+4，4◎5=4+5+6+7+8，按此规定，2001◎5=？分析与解：通过观察可以发现，“◎”这个特殊的符号在这道题中所规定的定义是求几个连续的自然数的和。
1◎4表示从1开始连续4个自然数的和，4◎5表示从4开始5个连续自然数的和，2001◎5是表示从2001开始连续5个自然数的和。
最新小学三年级奥数讲义定义新运算
△*△p 4 6 定义新运算一、知识要点定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：、 、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
二、精讲精练【例题 1】假设 a*b=(a+b)+(a-b)，求 13*5 和 13*（5*4）。
【思路导航】这题的新运算被定义为：a*b 等于 a 和 b 两数之和加上两数之差。
这里的“*”就代表一种新运算。
在定义新运算中同样规定了要先算小括号里的。
因此，在 13*（5*4）中，就要先算小括号里的（5*4）。
练习 1：13*5=（13+5）+（13-5）=18+8=265*4=（5+4）+（5-4）=1013*（5*4）=13*10=（13+10）+（13-10）=261.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。
求 27*9。
2.设 a*b=a2+2b ，那么求 10*6 和 5*（2*8）。
3.设 a*b=3a －b ×1/2，求（25*12）*（10*5）。
【例题 2】设 p 、q 是两个数，规定： q=4×q-(p+q)÷2。
求 △3错误!6)。
【思路导航】根据定义先算 4△6。
在这里“ ”是新的运算符号。
△3 错误! 6)＝△3 【×6－（4+6）÷2】＝△3 19＝4×19－（3+19）÷2练习 2：1．设 p 、q 是两个数，规定 △p q ＝4×q －（p+q ）÷2，求 △5 △（ 4）。
精品文档52．设p、q是两个数，规定△p q＝p2+（p－q）×2。
6.10较复杂的定义新运算
10 不一样的运算——较复杂的定义新运算学习目标:1、进一步理解四则运算的意义以及运算法则。
2、进一步熟悉定义新运算的意义，熟悉定义新运算的类型，能严格的按照定义新运算的计算规律进行计算。
3、掌握新旧运算转换的方法，训练学生模仿及推理计算的能力，培养学生对数和字母运用的理解，拓展学生的视野。
教学重点:1、熟练掌握四则运算的基本运算法则。
2、熟悉定义新运算的类型，能严格的按照定义新运算的计算规律进行计算。
教学难点：1、熟练掌握定义新运算的基本运算方法。
2、训练学生模仿及推理计算能力。
教学过程：一、情景体验师：同学们还记得以前学过的定义新运算吗？所谓定义新运算是指运用某种特殊符号来表述某种特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。
师：解决有关定义新运算问题的关键是理解新定义的算式含义，用代入法转化为常规的四则运算算式进行计算。
例如这样一个数学问题（课件展示），你能求出它的结果吗？生：4。
因为3△4=1+2+3+4，2△3=1+2+3，所以两个的差就为4。
师：很正确，看来同学们对我们之前学习的有关定义新运算的知识还是很熟悉的，今天这节课我们将进一步来探究关于定义新运算的知识。
（板书课题）二、思维探索（建立知识模型）展示例题：例1：“>”表示的是一种新运算：已知A>B=A+B＋5，求（1）3>4 （2）(5>6)>4师：认真观察分析题目，“>”就代表一种新运算，能理解这个定义运算符号的意义吗？生：“>”代表的运算方法就是这两个数的和再加上5。
师：很好，A和B两数之和加上5。
在（2）中我们可以发现有小括号存在，同学们需要注意的是，在定义新运算中同样规定了要先算小括号里的，再算中括号里的。
因此，在(5>6)>4中，就要先算小括号里的5>6，现在自己尝试完成下面的过程。
（学生自主完成计算过程）（1）3>4 （2）(5>6)>4=3+4+5 =（5+6+5）>4=12 =16>4=（16+4+5）=25展示例题：例2：已知M∞N=MN-M+N+1,那么(5∞7)∞4等于多少?师：认真观察分析题目，“∞”就代表一种新运算，能理解这个定义运算符号的意义吗？生：“∞”代表的运算方法就是这两个数的积减去前一个数加上后一个数再加上1。
定义新运算.汇总题库教师版
定义新运算教学目标定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
知识点拨一定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合模块一、直接运算型 【例 1】 若*A B 表示()()3A B A B +⨯+，求5*7的值。
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算【解析】 A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘积。
由A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ）可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312【答案】312【巩固】 定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求的值。
定义新运算
小升初定义新运算按照新定义的运算计算算式的结果，一定要掌握解题的关键和注意点。
1、解题关键：要正确理解新运算的意义，并严格按新定义的要求，将数值代入新定义的式子进行运算。
2、注意点：一是新定义的运算不一定符合交换律，结合律和分配律，二是新定义的运算所采用的符号是任意的，而不是确定的，通用的，在具体的题目中使用，到另一题中将失去原题中特定的意义。
第一种：直接计算型例1、对于任意数a、b，定义运算“★”，使a★b=2a×b求:(1)1★2 (2)2★1 例2、A、B表示两个数，定义A▼B=（A+B）÷2，求（45▼55）▼60。
例3、对于任意两个整数a、b，定义两种运算“☆”、“★”：a☆b=a+b-1，a★b=a×b-1。
计算（6☆8）★（3☆5）的值。
例4、规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。
计算[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）] 的值。
举一反三：1、“★”表示一种新运算，规定A★B=5A+7B，求(1)4★5 (2)5★4。
2、定义一种运算“□”：a□b=3×a-2×b求（1）（17□6）□2; (2) 17□(6□2)3、两个整数a和b，a除以b的余数记为a△b。
例如：13△5=3，根据这样定义的运算，（26△9）△4等于几？4、定义运算“△”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b。
例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12等于几？5、定义两种运算“#”和“&”如下：a#b表示a、b两数中较小的数的3倍，a&b表示a、b两数中较大的数的2.5倍.如4#5=4×3=12，4&5=5×2.5=12.5计算：【（0.6#0.5）+（0.3&0.8）】÷【（1.2#0.7）-（0.64&0.2）】第二种：找规律型例1、如果1※3=1+2+3=6，5※4=5+6+7+8=26,那么9※5=？例2、规定38=3+8=11，928=9+2+8=19，6281=6+2+8+1=17，照此计算：（1）98989；（2）475+121÷11例3、“☆”表示一种新运算，使下列等式成立：2☆3=7，4☆2=10，5☆3=13，7☆10=24。
定义新运算-中考数学命题点及重难题型分类(全国通用)
类型一 定义新运算“新定义”型问题，指的是命题老师用下定义的方式，给出一个新的运算、符号、概念、图形或性质等，要求同学们“化生为熟”、“现学现用”，能结合已有知识、能力进行理解，进而进行运算、推理、迁移的一种题型，这类题型往往是教材中一些数学概念的拓展、变式，是近几年中考数学命题的热点。
“新定义”型试题主要考查同学们学习新知识的能力，具体而言，就是考查大家的阅读理解能力、数学规则的选择与运用能力、综合运用数学知识分析问题解决问题的能力，有较强的数学抽象，旨在引导、培养大家在平时的数学学习中，能养成自主学习、主动探究的学习方式。
“定义新运算”是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算． 解决这类问题的关键是理解新运算规定的规则，明白其中的算理算法． 运算时，要严格按照新定义的运算规则，转化为已学过的运算形式，然后按正确的运算顺序进行计算．“定义新符号”试题是定义了一个新的数学符号，要求同学们要读懂符号，了解新符号所代表的意义，理解试题对新符号的规定，并将新符号与已学知识联系起来，将它转化成熟悉的知识，而后利用已有的知识经验来解决问题． 1．定义运算:m ☆n =21mn mn .例如: 4☆2=4×22-4×2-1=7.则1☆x =0方程的根的情况为( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.只有一个实数根 【答案】A【解析】由定义新运算可得210x x ，∴△=411-14-1-2+=⨯⨯）（）（=5＞0，所以方程有两个不相等的实数根，因此本题选A ． 2．对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：21a b a b⊗=-，这里等式右边是实数运算．例如：21113138⊗==--．则方程()2214⊗-=--x x 的解是（ ） A ．x ＝4 B ．x ＝5 C ．x ＝6 D ．x ＝7 【答案】B【解析】根据新定义运算，把方程转化为分式方程．因为211(2)(2)4x x x ⊗-==---，所以原方程可转化为12144x x =---，解得x ＝5．经检验，x ＝5是原方程的解．3.如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为"幸福数"．下列数中为"幸福数"的是（ ）A.205B.250C.502D.520【答案】 D【解析】设较小的奇数为x ，较大的为x +2，根据题意列出方程，求出解判断即可． 设较小的奇数为x ，较大的为x +2，根据题意得：（x +2）2﹣x 2＝（x +2﹣x ）（x +2+x ）＝4x +4，若4x +4＝205，即x ，不为整数，不符合题意；若4x +4＝250，即x ，不为整数，不符合题意；若4x +4＝502，即x ，不为整数，不符合题意；若4x +4＝520，即x ＝129，符合题意． 故选：D ．4．在实数范围内定义运算“☆”：1a b a b =+-☆，例如：232314=+-=☆．如果21x =☆，则x 的值是（ ）． A. 1- B. 1C. 0D. 2【答案】C【解析】根据题目中给出的新定义运算规则进行运算：2211☆=+-=+x x x ，又21x =☆，∴11x +=，∴0x =．故选：C ．5.对于任意两个不相等的数a ，b ，定义一种新运算“⊕”如下：a ⊕b a b a b +-3⊕23232+-512⊕4＝______．2【解析】依题意可知12⊕4124124+-482．6．（乐山）我们用符号[x ]表示不大于x 的最大整数．例如：[1.5]＝1，[－1.5]＝－2，那么：（1）当－1＜[x ]≤2时，x 的取值范围是________；（2）当－1≤x ＜2时，函数y ＝x 2－2a [x ]＋3的图象始终在函数y ＝[x ]＋3的图象下方，则实数a 的范围是________．【答案】（1）0≤x ≤3；（2）a ＜－1或a ≥32．【解析】（1）根据符号[x ]表示不大于x 的最大整数，得到－1＜[x ]≤2时[x ]＝0，1，2；当[x ]＝0时，0≤x ＜1；当[x ]＝1时，1≤x ＜2；当[x ]＝2时，2≤x ＜3；从而x 的取值范围是0≤x ＜3；（2）本题可根据题意构造新函数，采取自变量分类讨论的方式判别新函数的正负，继而根据函数性质反求参数．令y 1＝x 2－2a [x ]＋3，y 2＝[x ]＋3，y 3＝y 2－y 1，由题意可知：y 3＝－x 2＋(2a ＋1)[x ]＞0时，函数y ＝x 2－2a [x ]＋3的图象始终在函数y ＝[x ]＋3的图象下方．①当－1≤x ＜0时，[x ]＝－1，y 3＝－x 2－(2a ＋1)，此时y 3随x 的增大而增大，故当x ＝－1时，y 3有最小值－2a －2＞0，得a ＜－1； ②当0≤x ＜1时，[x ]＝0，y 3＝－x 2，此时y 3≤0；③1≤x ＜2时，[x ]＝1，y 3＝－x 2+(2a ＋1)，此时y 3随x 的增大而减小，故当x ＝2时，y 3有最小值2a －3≥0，得a ≥32；综上所述，a ＜－1或a ≥32．7.对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：a ⊗b=2a+b ．例如3⊗4=2×3+4=10． （1）求2⊗（-5）的值；（2）若x ⊗（-y ）=2，且2y ⊗x=-1，求x+y 的值．【解析】（1）依据关于“⊗”的一种运算：a ⊗b=2a+b ，即可得到2⊗（﹣5）的值； （2）依据x ⊗（﹣y ）=2，且2y ⊗x=﹣1，可得方程组，即可得到x+y 的值．8.对任意一个三位数n ，如果n 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F (n )．例如n ＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以F (123)＝6． （1）计算：F (243)，F (617);（2）若s ，t 都是“相异数”，其中s ＝100x ＋32，t ＝150＋y (1≤x ≤9，1≤y ≤9，x ，y 都是正整数），规定：k ＝F (s )F (t ),当F (s )＋F (t )＝18时，求k 的最大值． 【解析】解：(1)F (243)＝(423＋342＋234)÷111＝9；F (617)＝(167＋716＋671)÷111＝14．（2）∵s ，t 都是“相异数”，s ＝100x ＋32，t ＝150＋y ，∴F (s )＝(302＋10x ＋230＋x ＋100x ＋23)÷111＝x ＋5，F (t )＝(510＋y ＋100y ＋51＋105＋10y )÷111＝y ＋6． ∵F (t )＋F (s )＝18，∴x ＋5＋y ＋6＝x ＋y ＋11＝18，∴x ＋y ＝7．∵1≤x ≤9，1≤y ≤9，且x ，y 都是正整数， ∴⎩⎨⎧x ＝1y ＝6或⎩⎨⎧x ＝2y ＝5或⎩⎨⎧x ＝3y ＝4或⎩⎨⎧x ＝4y ＝3或⎩⎨⎧x ＝5y ＝2或⎩⎨⎧x ＝6y ＝1． ∵s 是“相异数”， ∴x ≠2，x ≠3． ∵t 是“相异数”， ∴y ≠1，y ≠5． ∴⎩⎨⎧x ＝1y ＝6或⎩⎨⎧x ＝4y ＝3或⎩⎨⎧x ＝5y ＝2， ∴⎩⎨⎧F (s )＝6F (t )＝12或⎩⎨⎧F (s )＝9F (t )＝9或⎩⎨⎧F (s )＝10F (t )＝8，∴k ＝F (s )F (t )＝12或k ＝F (s )F (t )＝1或k ＝F (s )F (t )＝54, ∴k 的最大值为54．9.我们规定：形如()ax ky a b k k ab x b+=≠+、、为常数，且的函数叫做“奇特函数”.当0a b ==时，“奇特函数”ax k y x b +=+就是反比例函数(0)ky k x=≠. （1） 若矩形的两边长分别是2和3，当这两边长分别增加x 和y 后，得到的新矩形的面积为8 ，求y 与x 之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”；（2） 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为（9，0）、（0，3）．点D 是OA 的中点，连结OB ，CD 交于点E ，“奇特函数”6ax ky x +=-的图象经过B ，E 两点.①求这个“奇特函数”的解析式； ②把反比例函数3y x=的图象向右平移6个单位，再向上平移 个单位就可得到①中所得“奇特函数”的图象.过线段BE 中点M 的一条直线l 与这个“奇特函数”的图象交于P ，Q 两点，若以B 、E 、P 、Q 为顶点组成的四边形面积为16103，请直接写出点P 的坐标．【解析】 （1）322x y x -+=+，是 “奇特函数”；（2）①296x y x -=-；②(7,5)或53,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或715,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或(5,1)-.试题分析：（1）根据题意列式并化为322x y x -+=+，根据定义作出判断. （2）①求出点B ，D 的坐标，应用待定系数法求出直线OB 解析式和直线CD 解析式，二者联立即可得点E 的坐标，将B （9，3），E （3，1）代入函数6ax ky x +=-即可求得这个“奇特函数”的解析式.②根据题意可知，以B 、E 、P 、Q 为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ 或BQEP ，据此求出点P 的坐标.试题解析：（1）根据题意，得，∵，∴.∴.根据定义，是 “奇特函数”.（2）①由题意得，.易得直线OB 解析式为，直线CD 解析式为，由解得.∴点E （3，1）.将B（9，3），E（3，1）代入函数，得，整理得，解得.∴这个“奇特函数”的解析式为.②∵可化为，∴根据平移的性质，把反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移2个单位就可得到.∴关于点（6，2）对称.∵B（9，3），E（3，1），∴BE中点M（6，2），即点M是的对称中心.∴以B、E、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ或BQEP.由勾股定理得，.设点P到EB的距离为m，∵以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为，∴.∴点P在平行于EB的直线上.∵点P在上，∴或.解得.∴点P的坐标为或或或.考点：1.新定义和阅读理解型问题；2.平移问题；3.反比例函数的性质；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.勾股定理；6.中心对称的性质；7.平行四边形的判定和性质；8.分类思想的应用.10.定义[a，b，c]为函数y＝a x2+bx c+的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（18,33）；②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于32；③当m＜0时，函数在x＞14时，y随x的增大而减小；④当m≠0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有___________【解析】解：根据定义可得函数y＝2m x2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m），①当m＝﹣3时，函数解析式为y＝﹣6x2+4x+2，∴224144(6)248,22(6)344(6)3b ac ba a-⨯-⨯--=-===⨯-⨯-，∴顶点坐标是（18,33），正确；②函数y＝2m x2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）与x轴两交点坐标为（1，0），（﹣12mm+，0），当m＞0时，1﹣（﹣12mm+）＝313222m+>，正确；③当m＜0时，函数y＝2m x2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）开口向下，对称轴111444xm=->，错误；④当m≠0时，x＝1代入解析式y＝0，则函数一定经过点（1，0），正确．故选：①②④11.定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝a，请用含a的代数式表示∠E.（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，AD＝BD，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E.求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角.（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径.①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积.【解析】（1）根据外角的性质及角平分线的概念求解；（2）根据圆内按四边形的性质，同弧或等弧所对圆周角的性质分别证明BE、CE为△ABC的内角及外角平分线即可；（3）①连结CF，根据遥望角的性质及同弧所对圆周角的性质证明∠BEC＝∠FAD，再由△FDE≌△FDA证明AD＝DE，最后由等腰直角三角形的性质求得∠AED的度数；②作AG⊥BE于点G，FM⊥CE于点M，根据相似三角形的判定证明△EGA∽△ADC，由相似三角形的性质及勾股定理求得△ACD边长，进而求得△DEF的面积．【答案】24.解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD．∴∠E＝∠ECD－∠EBD＝12(∠ACD－∠ABC)＝12∠A＝12a（2）如图，延长BC到点T.∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC＋∠FBC＝180°，又∵∠FDE＋∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，∵AD＝BD，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD＋∠BCD＝180°，∠DCT＋∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角.（3）①如图，连结CF.∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，∴∠BAC＝2∠BEC，∵∠BFC ＝∠BAC ，∴∠BFC ＝2∠BEC ，∵∠BFC ＝∠BEC ＋∠FCE ，∴∠BEC ＝∠FCE ，∵∠FCE ＝∠FAD ，∴∠BEC ＝∠FAD ，又∵∠FDE ＝∠FDA ，FD ＝FD ，∴△FDE ≌△FDA(AAS)， ∴DE ＝AD ，∵∠AED ＝∠DAE ，∵AC 是⊙O 的直径∴∠ADC ＝90°，∴∠AED ＋∠DAE ＝90°，∴∠AED ＝∠DAE ＝45°. ②如图，过点A 作AG ⊥BE 于点G ，过点F 作FM ⊥CE 于点M.∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，∵BE 平分∠ABC ，∴∠FAC ＝∠EBC ＝12∠ABC ＝45°，∵∠AED ＝45°，∴∠AED ＝∠FAC ，∵∠FED ＝∠FAD ，∴∠AED －∠FED ＝∠FAC －∠FAD ， ∴∠AEG ＝∠CAD ，∴∠EGA ＝∠ADC ＝90°，∴△EGA ∽△ADC ，∴AE ：AC ＝AG:CD ∵在Rt △ABG 中，AG ＝22AB ＝42，在Rt △ADE 中，AE ＝2AD ，∴AD:AC ＝45，在Rt △ADC 中，AD2＋DC2＝AC2，∴设AD ＝4x ，AC ＝5x ，则有(4x)2＋52＝(5x)2，∴x ＝53，∴ED ＝AD ＝203，∴CE ＝CD ＋DE ＝353，∵∠BEC ＝∠FCE ，∴FC ＝FE ，∵FM ⊥CE ，∴EM ＝12CE ＝356，∴DM ＝DE －EM ＝56，∵∠FDM ＝45° ,∴FM ＝DM ＝56，∴S △DEF ＝12DE ·FM ＝259.12.若记y =f （x ）=221x x+，其中f （1）表示当x =1时y 的值，即f （1）=22111+=12；f （12）表示当x =12时y 的值，即f （12）=22111212512f ==+（）（）（）；…；则f （1）+f （2）+f （22111212512f ==+（）（）（））+f （3）+f （13）+…+f （2011）+f （12011）=．【解析】解：∵y =f （x ）=221x x+，∴f （1x ）=22111x x+（）（）=211x +，∴f （x ）+f （1x）=1， ∴f （1）+f （2）+f （12）+f （3）+f （12）+…+f （2011）+f （12011）=f （1）+[f （2）+f （12）]+[f （3）+f （13）]+…+[f （2011）+f （12011）]=12+1+1+…+1 =12+2010 =201012． 故答案为：201012． 13.定义在区间[m ，n ]上有意义的两个函数f (x )与g (x )，如果对任意x ∈[m ，n ]均有| f (x ) – g (x ) |≤1，则称f (x )与g (x )在[m ，n ]上是接近的，否则称f (x )与g (x )在[m ，n ]上是非接近的，现有两个函数f 1(x ) = log a (x – 3a )与f 2 (x ) = log a ax -1(a > 0，a ≠1)，给定区间[a + 2，a + 3]．（1）若f 1(x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上都有意义，求a 的取值范围； （2）讨论f 1(x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上是否是接近的？ 【解析】解：（1）要使f 1 (x )与f 2 (x )有意义，则有a x a a a x a x 31003>⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠>>->-且 要使f 1 (x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上有意义， 等价于真数的最小值大于0 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠><<⇒>-+>-+1010032031a a a a a a a 且 （2）f 1 (x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上是接近的⇔| f 1 (x ) – f 2 (x )|≤1 ⇔ax a x a a ---1log )3(log ≤1 ⇔|log a [(x – 3a )(x – a )]|≤1⇔a ≤(x – 2a )2 – a 2≤a1 对于任意x ∈[a + 2，a + 3]恒成立设h (x ) = (x – 2a )2 – a 2，x ∈[a + 2，a + 3]且其对称轴x = 2a < 2在区间[a + 2，a + 3]的左边⎪⎩⎪⎨⎧++⇔⎪⎩⎪⎨⎧⇔)3( 1)2( )( 1)( max min a h a a h a x h a x h a ⎪⎩⎪⎨⎧+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧--⇔0192654 69 144 a a a a a a a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-⇔12579 12579 54 a a a 或 12579 0-<⇔a 当12579 0-<a 时 f 1 (x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上是接近的 当12579 -< a < 1时，f 1 (x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上是非接近的． 14.定义：点P 是△ABC 内部或边上的点（顶点除外），在△PAB ，△PBC ，△PCA 中，若至少有一个三角形与△ABC 相似，则称点P 是△ABC 的自相似点．例如：如图1，点P 在△ABC 的内部，∠PBC ＝∠A ，∠BCP ＝∠ABC ，则△BCP ∽△ABC ，故点P 是△ABC 的自相似点．请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：在平面直角坐标系中，点M 是曲线y ＝3 3x(x ＞0)上的任意一点，点N 是x 轴正半轴上的任意一点．（1）如图2，点P 是OM 上一点，∠ONP ＝∠M ，试说明点P 是△MON 的自相似点；当点M 的坐标是( 3,3),点N 的坐标是( 3,0)时，求点P 的坐标；（2）如图3，当点M 的坐标是(3, 3),点N 的坐标是(2，0)时，求△MON 的自相似点的坐≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≤标；（3）是否存在点M 和点N ，使△MON 无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）∵∠ONP ＝∠M ，∠NOP ＝∠MON ，∴△NOP ∽△MON ，∴点P 是△MON 的自相似点；过P 作PD ⊥x 轴于D ，则tan ∠POD ＝MN ON ＝3,∴∠MON ＝60°，∵当点M 的坐标是(3,3),点N 的坐标是(3,0),∴∠MNO ＝90°，∵△NOP ∽△MON ，∴∠NPO ＝∠MNO ＝90°，在Rt △OPN 中，OP ＝ON cos60°＝32, ∴OD ＝OP cos60°＝32×12＝34,PD ＝OP ﹒sin60°＝32×32＝34,{{dbc 5494c .png }} ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫34,34; （2）作MH ⊥x 轴于H ，如图3所示：∵点M 的坐标是(3,3),点N 的坐标是(2，0)， ∴OM ＝32＋(3)2＝23,直线OM 的解析式为y ＝33x ,ON ＝2，∠MOH ＝30°， 分两种情况：①如图3所示：∵P 是△MON 的相似点，∴△PON ∽△NOM ，作PQ ⊥x 轴于Q ，∴PO ＝PN ，OQ ＝12ON ＝1， ∵P 的横坐标为1，∴y ＝33×1＝33,{{eb 10936e .png }} ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫1,33; ②如图4所示：由勾股定理得：MN ＝(3)2＋12＝2，∵P 是△MON 的相似点，∴△PNM ∽△NOM ，∴PN ON ＝MNMO ,即PN 2＝223, 解得：PN ＝233, 即P 的纵坐标为233,代入y ＝33得：233＝33x , 解得：x ＝2，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2,233; 综上所述：△MON 的自相似点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1,33或⎝ ⎛⎭⎪⎫2,233; （3）存在点M 和点N ，使△MON 无自相似点,M (3,3),N (23,0);理由如下： ∵M (3,3),N (23,0),∴OM ＝23＝ON ，∠MON ＝60°，∴△MON 是等边三角形，∵点P 在△MON 的内部，∴∠PON ≠∠OMN ，∠PNO ≠∠MON ，∴存在点M 和点N ，使△MON 无自相似点． 15.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；（2）如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA= 32，求证：△ABC 是“好玩三角形”； （3））如图2，已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC=2β，点P ，Q 从点A 同时出发，以相同速度分别沿折线AB-BC 和AD-DC 向终点C 运动，记点P 经过的路程为s ．①当β=45°时，若△APQ 是“好玩三角形”，试求a s的值； ②当tan β的取值在什么范围内，点P ，Q 在运动过程中，有且只有一个△APQ 能成为“好玩三角形”．请直接写出tan β的取值范围．（4）（本小题为选做题，作对另加2分，但全卷满分不超过150分）依据（3）的条件，提出一个关于“在点P ，Q 的运动过程中，tan β的取值范围与△APQ 是‘好玩三角形’的个数关系”的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为1）【解析】解：（1）如图1，①作一条线段AB ，②作线段AB 的中点O ，③作线段OC ，使OC=AB ，④连接AC 、BC ，∴△ABC 是所求作的三角形．（2）如图2，取AC 的中点D ，连接BD∵∠C=90°，tanA=32，∴BC AC =32，∴设BC=3x ，则AC=2x ，∵D 是AC 的中点，∴CD=12AC=x∴BD=22223CD BC x x +=+=2x ，∴AC=BD∴△ABC 是“好玩三角形”；（3）①如图3，当β=45°，点P 在AB 上时，∴∠ABC=2β=90°，∴△APQ 是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，当P 在BC 上时，连接AC 交PQ 于点E ，延长AB 交QP 的延长线于点F ，∵PC=CQ ，∴∠CAB=∠ACP ，∠AEF=∠CEP ，∴△AEF ∽△CEP ，∴2AE AF AB BP sCE PC PC a s +===-．∵PE=CE ，∴2AEsPE a s =-．Ⅰ当底边PQ 与它的中线AE 相等时，即AE=PQ 时，2AE sPE a s =-，∴as =34，Ⅱ当腰AP 与它的中线QM 相等，即AP=QM 时，作QN ⊥AP 于N ，如图4∴MN=AN=12MP ．∴QN=15MN ，∴tan ∠APQ=153QNMNPN MN ==153，∴tan ∠APE=2AEs PE a s =-=153，∴a s =1510+12。
小升初数学课程：第三讲 定义新运算
第三讲定义新运算一、知识梳理定义新运算经常出现在小学四至六年级思维数学和部分初一衔接学习中,有别于我们已熟悉的“＋”、“－”、“×”、“÷”基础四则运算,不再只是简单传统的运算意义和计算法则,而是通过人为赋予数或式利用各种不同的运算符号创新运算定义和算理,更融入例如字母运算、方程,甚至是找规律思想在内的一种综合计算形式,系统学习这些知识,不仅可以开阔我们的视野,而且还能进一步拓展数学思维.1、基础运算型定义新运算基础题型是指通过字母表示,依据四则运算组合和运用括号进行计算的一种简单运算方式.2、复合运算型定义新运算复合运算题型是指反复利用字母表示及其结合四则运算,在符合运算定律基础上的一种混合运算方式.3、方程思想引入型定义新运算方程思想引入题型是指在基础和复合运算基础上,把方程计算引入的一种高级运算方式.4、找规律思想引入型定义新运算找规律思想引入题型是指在基础和复合运算基础上,把找规律计算引入的一种更高级运算方式.5、综合运算型定义新运算综合运算题型是指在探索规律背景下,融合四则基础和复合运算内容,进一步拓展方程思想参与计算的一种最高级运算方式.二、例题精讲例1：设a、b为两个数,规定a&b=a×5－b×3,试计算：4&2=？.【解析】该题运算最重要的是抓住定义的本质,即a、b是怎样去运算,然后运用这样的定义进行运算.这种新的运算方法还要很快的适应,并能很好的应用,以达到解题的目的.本题规定的运算本质是：用“&”前面的数乘以5减去“&”后面的数乘以3进行计算.∴4&2=4×5－2×3=14变式1：定义运算☆为A☆B=（A＋B）÷3,试算：11☆7=？.【解析】这种新运算的本质是用符号“☆”前面的数加上“☆”后面的数的和除以3 .∴11☆7=（11+7）÷3=18÷3=6变式2：设a◎b=a×b－(a＋b),试求：3◎4=？.【解析】这种新运算的本质是用符号◎前后两个数的积减去两个数的和,请注意运算顺序：有括号先算括号里面的.∴3◎4=3×4-（3+4）=12-7=5例2：设p、q是两个数,规定：p△q = 3×p－（p＋q）÷2,试求7△（2△4）=？. 【解析】这种新运算的本质是用符号△前后两个数的积减去两个数的和的一半,请注意运算顺序：有括号先算括号里面的.∴7△（2△4）= 7△【3×2－（2＋4）÷2】= 7△3 = 3×7－（7＋3）÷2 = 16变式1：设a%b = 4×a－b,试求（5%4）%（10%6）=？.【解析】这种新运算的本质是用符号*前数的4倍减去后一个数,请注意运算顺序：有括号先算括号里面的.∴（5%4 ）%（10%6）= （4×5－4 ）%（4×10－6）= 16%34=16×4－34 = 30. 变式2：设a,b表示两个不同的数,规定a^b=3a+4b,试求(8^7)^6=？.【解析】这种新运算的本质是用符号△前数的3倍加上后一个数的4倍,请注意运算顺序：有括号先算括号里面的.∴(8^7)=3×8+4×7 52^6=3×52+4×6=24+28 =156+24=52 =180例3：设a※b = 5a－3b,已知x※（3※2）= 18,求x.【解析】这种新运算的本质是用符号※前数的5倍减去后一个数的3倍,请注意运算顺序：有括号先算括号里面的；还应留意方程算理融入特点.∴3※2 = 5×3－3×2 = 9,x※9 = 5x－3×95x－27=18x=9变式1：规定a*3 = a＋（a＋1）＋（a＋2）,那么x*5 = 45,x = ________.【解析】这种新运算的本质是用符号*前的数开始算起,依次相差1累加连续自然数,直至加到比后一个数少1的数为止,请注意运算顺序：有括号先算括号里面的；还应留意方程算理融入特点.∴x＋（x＋1）＋（x＋2）＋（x＋3）＋（x＋4）= 45,5x =35x =7变式2：有两个整数是m和n,m☆n表示 m和n的平均数,如果m☆6=17,那么,m是多少？.【解析】这种新运算的本质是用符号☆前后的数计算平均数,请注意方程算理融入特点.∴m☆6=17（m+6）÷2=17m+6=34m=28例4：如果1★3=1＋2＋3,4★5=4＋5＋6＋7＋8,那么,3★6=？.【解析】这种新运算的本质是用符号★前的数开始算起,依次相差1累加连续自然数,直至加到★后的数位为止.∴3★6=3+4+5+6+7+8=33变式1：如果1▽3=1×2×3,5▽3=5×6×7,根据此规律计算：6▽3=？.【解析】这种新运算的本质是用符号▽前的数开始算起,依次相差1累积连续自然数,直到加到▽后的数位为止.∴6▽3=6×7×8=336变式2：如果1#5 = 1＋11＋111＋1111＋11111,2#4 = 2＋22＋222＋2222,3#3 = 3＋33＋333,……,那么4#3 = ________；105#2 = ________.【解析】这种新运算的本质是用符号#前的数开始算起,依次增加1个数位的相同数累加,直至加到#后的数位为止.∴4#3 = 4＋44＋444 = 492；105#2 = 105＋105105 = 105210例5：定义两种运算“☆”,“○”,对于任意两个整数a、b,a☆b = a＋b－1,a○b = a ×b－1,求：（1） 4○【（6☆8）☆（3☆5）】的值；（2）若x☆（x○4）= 30,求x的值是多少？.【解析】这种新运算的本质是分别利用符号☆和○前后的数的和或积减去1,请注意运算顺序：有括号先算括号里面的；还应留意方程算理融入特点.∴（1） 6☆8 = 6＋8－1 = 133☆5 = 3＋5－1 = 713☆7 = 13＋7－1 = 194○19 = 4×19－1 = 75（2） x☆（4x－1）= 30x＋4x－1－1 = 305x－2 = 30x = 6.4变式1：设x,y表示两个数,规定新运算“*”及“△”如下:x*y=mx+ny,x△y=kxy,其中 m,n,k 均为自然数,已知 1*2=5,(2*3)△4=64,试求(1△2)*3的值.【解析】本题我们应采用逐级运算分析法.首先计算1*2,根据"*"的定义:1*2=5可以分类讨论求出m,n的值,然后通过(2*3)△4=64求出 k的值,最后再求(1△2)*3的值.∴由1*2=m×1+n×2=m+2n,则m+2n=5.又m,n均为自然数,故解出:①当m=1,n=2时:(2*3)△4=(1×2+2×3)△4=8△4=k×8×4=32k有32k=64,解出k=2.②当m=3,n=1时:(2*3)△4=(3×2+1×3)△4=9△4=k×9×4=36k=64,则k不为自然数,故不符合题意,舍去该种可能性.所以m=1,n=2,k=2.(1△2)*3=(2×1×2)*3=4*3=1×4+2×3=10.变式2：▽表示一种运算符号,它的意义是X▽Y=1/XY+1/【(X+1) ×(Y+1) 】,已知2▽1=1/2+1/【3×（1+A）】=2/3,那么2015▽2016=？.【解析】本题应从已知条件入手,首选通过方程运算计算出A值,然后代入到新运算中得出运算式,最后计算2015▽2016的值.∴2▽1=1/2+1/【3×（1+A）】=2/3A=1则： X▽Y=1/XY+1/【(X+1) ×(Y+1)】2015▽2016=1/（2015×2016）+1/（2016×2017）=1/2015-1/2017=2/4064255三、课堂总结（1）解决此类问题,关键是应首选准确且透彻地理解新运算的算式含义,然后严格按照新定义的计算顺序,逐步将符合要求的数值代入算式中进行运算,最后再把它转化为四则混合或方程运算等予以计算,得出合理结果.（2）我们还应知晓,这是一种人为规定的运算形式,它是使用特殊的运算符号,如：*、▲、★、◎、、Δ、◆、■等来表示的一种创新运算.（3）新定义的算式中,如有括号的,要先算括号里面的,还须格外留意方程和找规律思想引入对解题计算的特殊要求.四、课后作业1、如果A*B=3A+2B,那么7*5=？.【解析】这种新运算的本质是用符号*前数的3倍加上后数的2倍的和进行计算.∴7*5=3×7+2×5=21+10=312、如果任何数A和B有A¤B=（A+B）×（A-B）,试求（5¤3）¤4=？.【解析】这种新运算的本质是用符号¤前后数的乘积减去前后两数的和,请注意运算顺序：有括号先算括号里面的.∴（5¤3）¤4=【（5+3）×（5-3）】¤4=（8×2）¤4=16¤4=（16+4）×（16-4）=20×12=2403、规定a$b=a+(a+1)+(a+2)+…(a+b-1),(a,b均为自然数,b>a).如果x$10=65,那么x的值是多少？.【解析】这种新运算的本质是用符号$前的数开始算起,依次相差1累加连续自然数,直至加到$后的数位少1为止,还应留意方程算理融入特点.∴X$10=x+(x+1)+(x+2)+…(x+10-1)=10x+45则: 10x+45=6510x=20X=24、有一个数学符号“@”,使下列等式成立：2@4=8,5@3=13,3@4=10,9@7=25,那么,7@3=？. 【解析】这种新运算的本质是用等式左边符号@前数的2倍加上后数的和等于等式右边的数进行计算.∴7@3=7×2+3=175、如果：1⊕2=1＋11=12,2⊕3=2＋22＋222=246,3⊕4=3＋33＋333＋3333=3702,那么1⊕5=（）.【解析】这种新运算的本质是用符号⊕前的数开始算起,依次增加1个数位的相同数累加,直至加到⊕后的数位为止.∴1⊕5=1+11+111+1111+11111=12345。
定义新运算完整版
定义新运算知识要点：定义新运算就是以加减乘除四则运算为基础，用某种新的符号来表示新运算。
见到这种新的运算符号所定义的运算后，就按照它所规定的“运算程序”进行运算，直到得出最后的结果。
运算时要严格按照新运算的定义要求进行计算，不得随意改变运算顺序，这是最关键的一点。
运算时，有括号的先算出括号里的值，再算出括号外的值，在没有确定新定义运算具有交换律，结合律之前，不能运用运算定律解题。
运算的符号可以是※，也可以是○，□。
§。
等，符号的种类是次要的，符号定义的运算运算程序才是主要的。
例1：设a、b是两个自然数，定义a*b=2a+4b，计算4*5是多少？开心一练：1设a、b是两个自然数，定义a*b=3a+5b，计算6*3是多少？2 对于自然数，定义a*b=3a+2b，求（1）10*11（2）11*10例2：定义新运算“*”对任何数a和b,有a*b=a×b-a+b,计算（1）8*10（2）（3*4）*5开心一练：1 定义新运算“*”对任何数a和b,有a*b=a×b+a-b,计算（1）4*6 （2）（4*6）*52对于整数a、b，设a*b=3a+b-1，求（1）4*（3*5）（2）（4*3）*53规定a△b=3a-b,求10△（2△5）。
例3：设a*b=4a-3b，求（1）5*（3*2）（2）x*（2*x）=15,求x。
开心一练：1已知a*b=a×b+a，如果（3*x）*2=18求x。
2设a*b=5a+4b，求（1）4*（3*2）（2）已知x*（4*x）=122,求x。
例4：对整数a*b,规定a*b=ax+b,如果4*5=23，求3*2的值。
开心一练：1 对整数a*b,规定a*b=a÷b×2+ab+x,如果6*3=28，求5*2的值。
2 对于整数a、b，设a*b=3a-bx，已知5*4=7，求x。
例5：设a、b都表示数，规定a♦b=3×a-2×b (1)求3♦2，2♦3。
六年级升初中小学数学思维训练 较复杂定义新运算
例1 设a*b表示a的4倍减去b的3倍，则a*b＝4a－3b。
（1）计算：；（2）已知x*（5*2）＝46，求x。
图解思路规范解答所以（2）5*2＝4×5－3×2＝20－6＝14x*14＝4x－3×14＝46所以x＝22例2 若规定aΔb＝，则1.3Δ（2Δ4）＋的值是多少？图解思路规范解答所以1.3Δ（2Δ4）＋＝例3 a，b是任意自然数，k是固定不变的数，规定：a*b＝，且1*1＝，求2014*2015的值。
图解思路规范解答，得k＝2。
所以，例4 求的值。
［x］表示不超过x的最大整数，如［4，5］＝4，［5］＝5，＝0。
①图解思路从特殊到一般，先分析特殊情况，再推广分析规范解答解：因为＝23。
用｛x ｝表示x 的小数部分，则｛x ｝＝x －［x ］所以 ＝23又因为：0＜＜2并且由①得是整数，所以它只能是1。
所以：＝22同理可知：＝22，k＝1，2，…，20答：原式＝22×20＝440。
小试身手1．已知1*6＝1×2×3×4×5×6，6*5＝6×7×8×9×10，按此规定计算（2*5）÷（6*6）。
2．令aΔb＝a×b－（a＋b）＋。
（1）求（20Δ5）＋（12Δ4）的值。
（2）若xΔ2＝，求x。
3．规定3Δ4＝3＋4＋5＋6＝18，6Δ5＝6＋7＋8＋9＋10＝40。
（1）求1989Δ5。
（2）若95Δx＝585，求x。
（3）若xΔ3＝5976，求x。
4．规定：aΔb＝，且5Δ6＝6Δ5，求（6Δ4）×（2Δ15）的值。
拓展提升5．规定x*y＝，求（5*3）＋（10*8）的值。
6．若A、B表示两个数，A*B＝（3A＋B）÷2，求：4*（8*12）的值。
7．若aΔb＝ax，a∇b＝，且（1Δ3）∇3＝1Δ（3∇3），求（1Δ3）∇3的值。
新运算知识点总结
新运算知识点总结随着科学技术的不断发展和进步，数学也在不断地发展和完善。
新运算是数学中的一个重要的知识点，它包含了一系列新的运算方法和概念，为数学的发展和应用提供了新的思路和方法。
本文将就新运算的概念、特点和应用进行总结和分析。
一、新运算的概念新运算是指在传统的四则运算基础上，引入了一些新的概念和方法，扩展了数学运算的范围，使得数学运算更加丰富和多样化。
新运算的本质是对传统的运算方法进行改进和完善，以满足日益增长的数学需求和实际应用的要求。
新运算包括了加减乘除以外的运算，例如幂、根、对数、三角函数等，也包括了一些新的运算规则和框架，例如模运算、矩阵运算、高维运算等。
这些新的运算方法和概念为数学的发展和应用提供了新的思路和方法，使得数学更加丰富和多样化。
二、新运算的特点新运算有以下几个显著的特点：1. 多样性新运算方法的引入，使得数学运算更加多样化，不仅包括了加减乘除，还包括了更多的运算方法和概念，例如幂、根、对数、三角函数等。
这些新的运算方法丰富了数学的内容，使得数学更加多样化和有趣。
2. 应用性新运算方法的引入，使得数学运算更加贴近实际问题的需求，更加具有实用性。
例如，矩阵运算可以用于解决线性方程组和矩阵的问题；对数运算可以用于描述指数增长和衰减的规律；三角函数可以用于描述周期性变化的规律等。
这些新的运算方法丰富了数学的应用领域，使得数学更加具有实用性。
3. 抽象性新运算方法的引入，使得数学运算更加抽象化和一般化，不仅包括了具体的数值计算，还包括了更多的符号计算和推理推导。
例如，模运算可以用于描述同余关系和剩余类的性质；高维运算可以用于描述抽象空间和向量空间的性质等。
这些新的运算方法丰富了数学的抽象性，使得数学更加具有一般性。
4. 统一性新运算方法的引入，使得数学运算更加统一和完整，不仅包括了传统的四则运算，还包括了更多的补充和扩展。
例如，幂和根可以用于推广加减乘除的运算规则；对数和指数可以用于推广正负数的运算规则；三角函数和复数可以用于推广实数的运算规则。
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10 不一样的运算
——较复杂的定义新运算
学习目标:
1、进一步理解四则运算的意义以及运算法则。
2、进一步熟悉定义新运算的意义，熟悉定义新运算的类型，能严格的按照定义新运算的计算规律进行计算。
3、掌握新旧运算转换的方法，训练学生模仿及推理计算的能力，培养学生对数和字母运用的理解，拓展学生的视野。
教学重点:
1、熟练掌握四则运算的基本运算法则。
2、熟悉定义新运算的类型，能严格的按照定义新运算的计算规律进行计算。
教学难点：
1、熟练掌握定义新运算的基本运算方法。
2、训练学生模仿及推理计算能力。
教学过程：
一、情景体验
师：同学们还记得以前学过的定义新运算吗？所谓定义新运算是指运用某种特殊符号来表述某种特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。
师：解决有关定义新运算问题的关键是理解新定义的算式含义，用代入法转化为常规的四则运算算式进行计算。
例如这样一个数学问题（课件展示），你能求出它的结果吗？
生：4。
因为3△4=1+2+3+4，2△3=1+2+3，所以两个的差就为4。
师：很正确，看来同学们对我们之前学习的有关定义新运算的知识还是很熟悉的，今天这节课我们将进一步来探究关于定义新运算的知识。
（板书课题）
二、思维探索（建立知识模型）
展示例题：
例1：朋朋在外星球上发现了一个神秘的运算符号“ ”，符号“ ”的运算规则是：a b=3×a+28×b，那么20 10等于多少？
师：认真观察分析题目，“ ”就代表一种新运算，能理解这个定义运算符号的意义吗？
生：符号“ ”规定了两个数必须按a b=3×a+28×b进行计算。
师：很好，那我们如何求20 10呢？
生：在20 10里，20就相当于a b里的a，10就相当于a b里的b，我们就按照3×20+28×10的运算顺序计算就可以了。
师：接下来大家能算出结果吗？
展示例题：
例2：已知M∞N=MN-M+N+1,那么(5∞7)∞4等于多少?
师：认真观察分析题目，“∞”就代表一种新运算，能理解这个定义运算符号的意义吗？
生：“∞”代表的运算方法就是这两个数的积减去前一个数加上后一个数再加上1。
师：很好，同样需要注意的是小括号的计算，在(5∞7)∞4中，就要先算小括号里的5∞7，它的结果是多少呢？
生：38,5×7+5-7+1=38。
师：正确，现在自己完成下面的过程。
（学生汇报计算结果）
38∞4=38×4+38-4+1=119
总结：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
三、思维拓展（知识模型拓展）
展示例题：
例3：设A @B=4A+5B ，解方程2x @（2@x ）=139。
师：观察分析题目，“@”为新的定义运算符，我们应该先算什么，再算什么呢？ 生：先算小括号里的2@x ，再算括号外面的。
师：先求出小括号中的2@x=4×2+5x=5x+8，再根据2x@(5x+8)=4×2x+5(5x+8)=33x+40,现在我们只用求什么呢？
生：只用解方程33x+40=139,求出x 的值。
师：很好，这个问题相当于把它转换成了我们熟悉的一元一次方程，自己尝试解答（学生自主完成，汇报结果）。
生：x=3。
展示例题：
例4：如果3&2=431⨯，8&3=10
981⨯⨯，求： （1）6&2-5&3； （2）解方程x&4=
1201 师：观察分析题目，理解题目中的运算规则了吗？
生：a&b=）
（）（1-11b a a a +⋯⨯+⨯。
师：6&2怎么计算呢？5&3又怎么计算呢？最终的结果是多少呢？ 生：
761⨯=42
1。
生：7651⨯⨯=210
1。
生：421-2101=1052。
师：回答的都非常正确。
理解了定义运算符的意义，那么问题二是不是就很简单了，要注意这是一个方程哦！（教师引导学生自主完成问题2的过程，汇报计算结果） x&4=)3)(2)(1(1+++x x x x =120
1 所以只需要求方程x(x+1)(x+2)(x+3)=120
四个连续的自然数的积为120，只需要把120分解质因数即可。
120=2×3×4×5，所以最后解得x=2。
四、融汇贯通（知识模型的运用）
展示例题：
例5：规定任意两个实数对（A,B）和（C,D），当且仅当A=C且B=D时，（A,B）=（C,D）。
定义运算（A,B）*（C,D）=（AC-BD,AD+BC）,若（1,2）*（P,Q）=（0,5），则P+Q的结果是多少？
师：观察分析题目，你理解了题目中的运算规则了吗？你发现了什么？
生：因为若（1,2）*（P,Q）=（0,5），所以1×P-2×Q=0，1×Q+2×P=5。
师：非常好！由题目信息，我们可以得到一个关于P、Q的二元一次方程组。
师：整理一下这个方程组，自己尝试完成下面的过程。
（学生自主完成，汇报结果）
……①
……②
解得P=2，Q=1，所以最后计算得到：P+Q=2+1=3
总结：
1、基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
2、注意：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
五、总结
通过这节课的学习，你学到了什么？。