高斯公式课件(20200524221923)
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高数高斯公式
R z
)dv
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
2、高斯公式的实质
（1）应用的条件
（2）物理意义 divAdv AdS
21
习题10 6
P174
高斯 ( Gauss ) 公 式25
1(2)(3)(4),2(3),3(2)
22
1
3
x2 y2 dxdy
Dxy
2
d
R
r rdr
2 R3
0
0
3
1
1
1
高斯
1 4 R3 2 R3 4 R3
( Gauss ) 公 式10
23
3
3
9
例 3 计算曲面积分
高斯
( x2 cos y2 cos z2 cos )ds,其中Σ为
( Gauss ) 公 式11
解 P ( y z)x, Q 0, x R x y,
1
3
z
o1
y
5
P y z, Q 0, R 0,
x
y
z
z
高斯 ( Gauss ) 公
式7
1
3
原式 ( y z)dxdydz
(利用柱面坐标得)
(r sin z)rdrddz
o1
y
x
2
1
3
0 d 0 rdr 0 (r sin z)dz
A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
沿场中某一有向曲面Σ的第二类曲面积分为
AdS Pdydz Qdzdx Rdxdy
如E为称电为场向强量 度,场单A位(时x,间y,通z)过向正的侧电穿通过量曲面I Σ的E通dS量.
电磁场——高斯定理PPT课件
E和D的分布都与介质有关。但是穿过闭合曲面的D通 量仅与该闭合面所包围的自由电荷有关，而与介质中 的束缚电荷无关。
20
第20页/共44页
点电荷的电场中置入任意一块介质
D 通量只取决于高斯面内 的自由电荷，而高斯面上的 D 是由高斯面内、外的系统 所有电荷共同产生的。
S1 D1 • dS q
(c)无限大平面电荷：包括无限大的均匀带电平面，平板等。
(a)
试问：
(b)
(c)
图3. 平行平面场的高斯面
能否选取底面为方型的封闭柱面为高斯面？
27
第27页/共44页
例1 真空中有两个同心金属球壳，内球壳半径R1，带电q1，外球 壳半径R2，壳厚R2，带电q2，求场中各处电场及电位。
解: ① 分析电荷分布情况 ：
正、负感应电荷分布在 B 的内、外 表面上。
+++-+--+- -+++++++-A+++-+++++-+-+-++---++
4
第4页/共44页
3.导体表面电荷密度 与该处 E表的大小成正比。
在导体外紧靠导体表面的一点 P :
E表
0
P E表
4.孤立带电导体表面电荷分布处在静电 平衡时,在导体表面凸出的尖锐部分电荷 面密度 较大;在比较平坦部分电荷面密 度较小。
有机玻璃 石腊 聚乙烯
1.0 2.3 1.3~4.0 2.6~3.5 2.1 2.3
石英 云母 陶瓷 纯水 树脂 聚苯乙烯
3.3 6.0 5.3~6.5 81 3.3 2.6
20
第20页/共44页
点电荷的电场中置入任意一块介质
D 通量只取决于高斯面内 的自由电荷，而高斯面上的 D 是由高斯面内、外的系统 所有电荷共同产生的。
S1 D1 • dS q
(c)无限大平面电荷：包括无限大的均匀带电平面，平板等。
(a)
试问：
(b)
(c)
图3. 平行平面场的高斯面
能否选取底面为方型的封闭柱面为高斯面？
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第27页/共44页
例1 真空中有两个同心金属球壳，内球壳半径R1，带电q1，外球 壳半径R2，壳厚R2，带电q2，求场中各处电场及电位。
解: ① 分析电荷分布情况 ：
正、负感应电荷分布在 B 的内、外 表面上。
+++-+--+- -+++++++-A+++-+++++-+-+-++---++
4
第4页/共44页
3.导体表面电荷密度 与该处 E表的大小成正比。
在导体外紧靠导体表面的一点 P :
E表
0
P E表
4.孤立带电导体表面电荷分布处在静电 平衡时,在导体表面凸出的尖锐部分电荷 面密度 较大;在比较平坦部分电荷面密 度较小。
有机玻璃 石腊 聚乙烯
1.0 2.3 1.3~4.0 2.6~3.5 2.1 2.3
石英 云母 陶瓷 纯水 树脂 聚苯乙烯
3.3 6.0 5.3~6.5 81 3.3 2.6
《高斯公式》课件
机遇
随着科技的发展和实际问题的多样化，高斯公式的应用前景越来越广阔。例如，在计算机图形学、物理模拟、工 程设计等领域，高斯公式的应用将更加广泛和深入。同时，随着数学与其他学科的交叉融合，高斯公式的应用也 将得到更多的创新和发展。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
数值微分
高斯公式也可以用于数值微分问题的 求解。通过将微分区间划分为足够小 的微元，然后利用高斯公式计算每个 微元的导数值并求和，可以得到整个 区间的导数值。
04 高斯公式的扩展与推广
高斯公式的变种
广义高斯公式
适用于更广泛的积分区域和函数类型，包括非凸区域 和非光滑函数。
离散高斯公式
将高斯公式应用于离散点集，用于数值计算和统计分 析。
高斯公式
目录
• 高斯公式简介 • 高斯公式的推导过程 • 高斯公式的应用实例 • 高斯公式的扩展与推广 • 总结与展望
01 高斯公式简介
高斯公式的定义
01
高斯公式是微积分中的一个基本定理，用于计算多维空间 中封闭曲线的积分。它是由德国数学家卡尔·弗里德里希· 高斯发现的，因此得名。
02
高斯公式的基本形式是：对于一个封闭的二维曲面或三维 体积，其内部的积分可以通过其表面的积分来表示。具体 来说，对于一个封闭的二维曲面S，其内部任一点P处的值 可以通过S上各点的值来计算。
应用拓展
随着科技的不断进步，高斯公式的应用领域也在不断拓展。未来需要加强高斯公式在各 个领域的应用研究，以促进数学与实际问题的结合。
数值计算
随着数值计算技术的发展，高斯公式的数值计算方法也需要不断改进和完善，以提高计 算精度和效率。
高斯公式在实际应用中的挑战与机遇
挑战
随着科技的发展和实际问题的多样化，高斯公式的应用前景越来越广阔。例如，在计算机图形学、物理模拟、工 程设计等领域，高斯公式的应用将更加广泛和深入。同时，随着数学与其他学科的交叉融合，高斯公式的应用也 将得到更多的创新和发展。
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数值微分
高斯公式也可以用于数值微分问题的 求解。通过将微分区间划分为足够小 的微元，然后利用高斯公式计算每个 微元的导数值并求和，可以得到整个 区间的导数值。
04 高斯公式的扩展与推广
高斯公式的变种
广义高斯公式
适用于更广泛的积分区域和函数类型，包括非凸区域 和非光滑函数。
离散高斯公式
将高斯公式应用于离散点集，用于数值计算和统计分 析。
高斯公式
目录
• 高斯公式简介 • 高斯公式的推导过程 • 高斯公式的应用实例 • 高斯公式的扩展与推广 • 总结与展望
01 高斯公式简介
高斯公式的定义
01
高斯公式是微积分中的一个基本定理，用于计算多维空间 中封闭曲线的积分。它是由德国数学家卡尔·弗里德里希· 高斯发现的，因此得名。
02
高斯公式的基本形式是：对于一个封闭的二维曲面或三维 体积，其内部的积分可以通过其表面的积分来表示。具体 来说，对于一个封闭的二维曲面S，其内部任一点P处的值 可以通过S上各点的值来计算。
应用拓展
随着科技的不断进步，高斯公式的应用领域也在不断拓展。未来需要加强高斯公式在各 个领域的应用研究，以促进数学与实际问题的结合。
数值计算
随着数值计算技术的发展，高斯公式的数值计算方法也需要不断改进和完善，以提高计 算精度和效率。
高斯公式在实际应用中的挑战与机遇
挑战
《高斯定理》PPT课件
布已知时，可以方便地求出电荷q0在电场中某点的电势能和 在电场中移动电荷q0时静电场力作的功。
Wa q0Va WAB q0VA q0VB q0UBA
第三节 静电场的环路定理 电势
第四章
四. 电势 电势差 静电场的矢量描述---电场强度 静电场的标量描述--电势
b E
dl
Wa
a
q0
Wb q0
Va Vb
Va
Wa q0
Vb
Wb q0
a点的电势:单位正电荷在该点处的电势能；
Va,Vb与试验电荷无关，反映了电场在a,b两点的性质; a,b两点的电势之差称为a,b两点的电势差或电压Uab
z
en
E dS
S
E dS E dS E dS
s(柱侧面）
s ( 上底）
s (下底）
E dS 0 0
s ( 柱侧面）
+ +
E
+
r h
+
+o y
x
en en
第二节
E dS EdS
S
s ( 柱侧面）
h 0
z
2π rhE h 0
E 2π 0r
+
+
+
r h
+
S
S′
由电场线的性质可知，通过球面 S′的电场线必定全部通过闭合面S， 因此，通过任意形状的包围点电荷 q的闭合面的电通量都等于q/ε0
第二节
点电荷在封闭曲面之外
dΦ1 E1 dS1 0
E2
dΦ2 E2 dS2 0 q
dΦ1 dΦ2 0
dS2
e
E dS 0
S
第四章
Wa q0Va WAB q0VA q0VB q0UBA
第三节 静电场的环路定理 电势
第四章
四. 电势 电势差 静电场的矢量描述---电场强度 静电场的标量描述--电势
b E
dl
Wa
a
q0
Wb q0
Va Vb
Va
Wa q0
Vb
Wb q0
a点的电势:单位正电荷在该点处的电势能；
Va,Vb与试验电荷无关，反映了电场在a,b两点的性质; a,b两点的电势之差称为a,b两点的电势差或电压Uab
z
en
E dS
S
E dS E dS E dS
s(柱侧面）
s ( 上底）
s (下底）
E dS 0 0
s ( 柱侧面）
+ +
E
+
r h
+
+o y
x
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第二节
E dS EdS
S
s ( 柱侧面）
h 0
z
2π rhE h 0
E 2π 0r
+
+
+
r h
+
S
S′
由电场线的性质可知，通过球面 S′的电场线必定全部通过闭合面S， 因此，通过任意形状的包围点电荷 q的闭合面的电通量都等于q/ε0
第二节
点电荷在封闭曲面之外
dΦ1 E1 dS1 0
E2
dΦ2 E2 dS2 0 q
dΦ1 dΦ2 0
dS2
e
E dS 0
S
第四章
《高等数学教学课件》 第六、七节 高斯、斯托克斯公式(共15页PPT资料
(1).是 分 片 光 滑 的 有 向 曲 面, 的 侧
与 它 的 边 界 曲 线的 方 向 满 足"右手法则"
(见 图 所 示).
(2).函 数P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)
在 包 含 曲 面的 某 邻 域 内 有 连 续 的 偏导 数.
则 P Q d x R d y d ( R y z Q z ) d y ( P z d R x z ) d z ( Q x d P y x ) d.x
Gauss
3 (x2y2z2)dv
2R
3 2d2sin dRr4d r 6 R 4
2R0 0
0
5
例 2、计 算 曲 面积 (x2c分 osy2cos z2cos)dS
其 中 为 锥x面 2 y2 z2介 于 平 z面 0及zh(h0)之 间
的 部 分 的 ,c下 os,侧 cos,cos是在 点 (x,y,z)处 的 法 向
xyz1被 三 个 坐 标三 面角 所形 截的 成,它 整 的的 个正 边 界
向 与 这 个 三法 角向 形量 上之 侧间 的则 符 . 合 右 手 规
解 如图所示有向 (上 曲侧 )面
方程:为 z1xy,(x, y)Dxy;
Dxy:0x1,0 y1x.
的 法 向 量:方 cos向 co余 sc弦 os为 1;
时针方. 向
解 取为球面的上侧被
所围成的部分,
令 :F (x ,y ,z)x 2y2 z2 2 Rx
F x 2 x 2 R ;F y 2 y ;F z 2 z .的法向 :n量 (x为 R,y,z),
cos ; co s ; xR (xR )2y2z2
高斯定理课件
∵R = R eR = ( x x′) + ( y y′) + (z z′) eR
2 2 2
R
整个介质产生的电位: 整个介质产生的电位:
P en ′ P [∫ dS′ + ∫ dV′] = V′ 4πε0 S′ R R ρP σP 1
结论: 结论:
1.在有介质存在的空间中,任意点的电场是由自由电 在有介质存在的空间中,任意点的电场是由自由电 在有介质存在的空间中 极化电荷共同在真空中产生的电场的叠加; 共同在真空中产生的电场的叠加 荷,极化电荷共同在真空中产生的电场的叠加; 2. 极化电荷的体密度为ρP,面密度为σP
4
2,有空腔的导体壳 ,有空腔的导体壳
静电屏蔽的原理 静电屏蔽的原理 正,负感应电荷分布 的外表面上. 在 B 的外表面上.
带电体 A 在空腔导体 B 外
A + ++ +++ ++
--
B E内=0
++ + + +
带电体 A 在空腔导体 B 内 正,负感应电荷分布在 B 的内,外表面上. 的内,外表面上.
1
第一章 静电场
电场强度, §1.1 电场强度,电位 §1.2 高斯定律 静电场的基本方程, §1.3 静电场的基本方程, 分界面上的衔接条件 §1.4 §1.5 §1.6 §1.7 静电场边值问题,唯一性定理 静电场边值问题, 分离变量法 有限差分法 镜像法和电轴法 应用
2
实验基础与理论基础 实验基础与理论基础 基础与理论
14
1.2.3 高斯定理 1,真空中的高斯定理: ,真空中的高斯定理:
点电荷q,闭合面为以点电荷所在处为球心的球面: ① 点电荷 ,闭合面为以点电荷所在处为球心的球面: q q qer ∫SE dS =∫S 4πε0r2 dS = 4πε0r2 ∫S er erdS= ε0 点电荷q,闭合面为任意形状: ② 点电荷 ,闭合面为任意形状: E dS = q ∫
高斯公式
Σ
证 设与n同向的单位向量为(cosα, cosβ, cosγ), 则
u v dS = ∫∫u(v cosα + v cos β + v cosγ )dS ∫∫ n z x y
=∫∫[(u v)cosα +(u v)cos β +(u v)cosγ ]dS z x y = ∫∫∫[ (u v)+ (u v)+ (u v)]dxdydz>>> x x y y z z
2v + 2v + 2v . v = 2 x y2 z2
Gauss公式 首页 上页 返回 下页 结束 铃
例3 设函数u(x, y, z)和v(x, y, z)在闭区域上具有一阶及二阶连 续偏导数, Σ是的整个边界曲面, n是Σ的外法线方向, 证明
uvdxdydz= ∫∫u v dS ∫∫∫(u v + u v + u v)dxdydz . ∫∫∫ n x x y y z z
Σ
P + Q + R)dv = (Pcosα +Qcos β +Rcosγ )dS , 或∫∫∫( ∫∫ x y z
这里Σ是的整个边界的外侧, cos α 、cos β 、cos γ 是Σ在点 (x, y, z)处的法向量的方向余弦.
定理证明 首页 上页 返回 下页 结束 铃
Σ
例 1 利用高斯公式计算曲面积分∫∫(x y)dxdy+(yz)xdydz ,
P + Q+ R divA= . x y z
Gauss公式
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铃
散度 向量场A(x, y, z)=P(x, y, z)i+Q(x, y, z)j+R(x, y, z)k的散度:
证 设与n同向的单位向量为(cosα, cosβ, cosγ), 则
u v dS = ∫∫u(v cosα + v cos β + v cosγ )dS ∫∫ n z x y
=∫∫[(u v)cosα +(u v)cos β +(u v)cosγ ]dS z x y = ∫∫∫[ (u v)+ (u v)+ (u v)]dxdydz>>> x x y y z z
2v + 2v + 2v . v = 2 x y2 z2
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例3 设函数u(x, y, z)和v(x, y, z)在闭区域上具有一阶及二阶连 续偏导数, Σ是的整个边界曲面, n是Σ的外法线方向, 证明
uvdxdydz= ∫∫u v dS ∫∫∫(u v + u v + u v)dxdydz . ∫∫∫ n x x y y z z
Σ
P + Q + R)dv = (Pcosα +Qcos β +Rcosγ )dS , 或∫∫∫( ∫∫ x y z
这里Σ是的整个边界的外侧, cos α 、cos β 、cos γ 是Σ在点 (x, y, z)处的法向量的方向余弦.
定理证明 首页 上页 返回 下页 结束 铃
Σ
例 1 利用高斯公式计算曲面积分∫∫(x y)dxdy+(yz)xdydz ,
P + Q+ R divA= . x y z
Gauss公式
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散度 向量场A(x, y, z)=P(x, y, z)i+Q(x, y, z)j+R(x, y, z)k的散度:
高等数学--高斯公式 PPT
例如, 球面所围区域 既是一维也是二维单连通区域 ; 环面所围区域 是二维但不是一维单连通区域 ; 立方体中挖去一个小球所成的区域 是一维但
不是二维单连通区 域.
2. 闭曲面积分为零的充要条件
定理2 设 P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)在空间二维单
连通域G内具有连续一阶偏导数, 为G内任一闭曲面, 则
为
所围立体,
判断下列演算是否正确?
(1)
x3 r3
d
yd
z
y3 r3
d
zd
x
z3 r3
d
xd
y
1 R3
x3 d y d z y3 d z d x z3dx d y
1 R3
3( x 2
y2
R2
z2)d
v
3 R
d v 4 πR2
(2)
Q u y
R u v
u x
v x
u y
v y
u z
v d xd y d z
z
z
其中 是整个 边界面的外侧.
注意:
高斯公式
P x
Q y
R z
dx d
ydz
P d y d z Q d z d x R d x d y
其中 为柱面
及平面 z = 0 , z = 3 所围空间
闭域 的整个边界曲面的外侧.
解 这里 P ( y z)x, Q 0, R x y
z
利用Gauss 公式, 得
不是二维单连通区 域.
2. 闭曲面积分为零的充要条件
定理2 设 P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)在空间二维单
连通域G内具有连续一阶偏导数, 为G内任一闭曲面, 则
为
所围立体,
判断下列演算是否正确?
(1)
x3 r3
d
yd
z
y3 r3
d
zd
x
z3 r3
d
xd
y
1 R3
x3 d y d z y3 d z d x z3dx d y
1 R3
3( x 2
y2
R2
z2)d
v
3 R
d v 4 πR2
(2)
Q u y
R u v
u x
v x
u y
v y
u z
v d xd y d z
z
z
其中 是整个 边界面的外侧.
注意:
高斯公式
P x
Q y
R z
dx d
ydz
P d y d z Q d z d x R d x d y
其中 为柱面
及平面 z = 0 , z = 3 所围空间
闭域 的整个边界曲面的外侧.
解 这里 P ( y z)x, Q 0, R x y
z
利用Gauss 公式, 得
高斯定理23页PPT
R2
r2l
qi l
E
2
r 0R
2
E 2 0 r
例、求均匀带电的无限大平面激发的场强分布。设电
荷面密度为σ 。
分析无限大均匀带电平面 的场强方向：
无限大均匀带电平面的场
强分布具有平面对称性－ －方向垂直于带电平面；
dl
距带电平面等距离的 点场强大小相等。
o dl
dE
p
dE
E
能否应用高斯定理求
场强？高斯面如何选？
E
Q
选择底面平行于带电平
面的闭合圆柱面为高斯面。
n
r o r
n
p
E
S
20
求无限大(无厚度）均匀带电平面 的场强， 已知电荷密度
解：如图取闭合柱面作为高斯面。
eE d sE d sE d sE d s
0
2 0
2 0
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zM
o
en
R
x
Q
二、高斯定理
真空中通过任一闭合曲面的电通量 e，等于该
闭合曲面所包围的电荷电量的代数和除以 0 ,
而与闭合面外的电荷无关。其数学表达式为
几点说明 :
e
EdS
S
qi
0
1、高斯定理对于任意电场都成立
2、通过闭合曲面S 的电通量，只与闭合面内的电荷有关, 而与闭合面外的电荷无关；
3、S 面上的场强是 S 面内外的电荷共同激发的。
4、高斯定理说明：静电场为有源场, 正电荷是静电场的源 头 ；负电荷为静电场的尾闾 。
高斯求积公式.ppt
Tn(x)=cos(narccos(x))
xk
cos
(2k 1)
2n
, Ak
n
3.Gauss - Laguerre 求积公式
ex f (x)dx
0
n
Ak f (xk )
(3)
k 1
4 .Gauss - Hermite 求积公式
e
x
2
f
( x)dx
n
Ak f ( xk )
k 1
(4)
例题:分别用不同方法计算如下积分,并做比较
[ 如果事先已选定[a ，b]中求积节点xk如下ax1 …x nb,上式成为n个未知 数 A1、...An的n元线性方程组，此时要r=n 时方程组有唯一解]
事实上,取 2n次多项式g(x)=(x-x1)2(x-x2)2….(x-xn)2 代入求积公式,有
左=
b
(x)g(x)dx o
a
右=
n
Ak g( xk )=0
A1 + A2 + …… + An =∫ab1dx.= b-a x1 A1 + x2 A2+ …… +xn An =∫abxdx.= （b2-a 2)/2
......
x1 rA1 + x2 rA2+ …… +xn rAn =∫abxr dxr =(br+1-a r+1)/ (r+1)
上式共有 r 个 等式，2n个待定系数(变元),要想如上方程组有唯一解，应有方 程组中方程的个数等于变元的个数,即 r=2n,这样求出的解答应的求积公式的代 数精度至少是2n-1,下面证明代数精度只能是2n-1.
定理: 若f(2n)(x)在[a,b]上连续，则高斯求积公式的余项为
高斯公式通量与散度课件
测市场趋势等。
03
历史发展
高斯公式的起源可以追溯到19世纪初，经过多位数学家的努力，最终由
德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯完善并命名。
高斯公式的未来研究方向
多维高斯公式
目前对高斯公式的讨论主要集中在二 维和三维的情况，对于更高维度的推 广和应用仍需进一步研究。
数值计算方法
与其他数学定理的结合
探索高斯公式与其他数学定理（如格 林公式、斯托克斯公式等）的内在联 系，有助于更深入地理解数学的本质 。
金融预测
在金融领域，高斯公式可以用于预 测市场趋势和风险评估，为投资者 提供决策依据。
THANKS
感谢观看
高斯公式的应用场景
总结词
高斯公式的应用场景包括计算几何形状的体积、解决物理问题以及在科学和工程领域中 的应用。
详细描述
高斯公式在计算几何形状的体积方面有着广泛的应用，例如计算球体、圆柱体和圆锥体 的体积等。此外，高斯公式在解决物理问题中也有着重要的应用，例如计算电场和磁场 的分布以及解决流体动力学问题等。在科学和工程领域中，高斯公式也被广泛应用于各
04
实例分析
实例一：二维平面上的高斯公式应用
总结词
二维平面上的高斯公式应用
详细描述
在二维平面上，高斯公式可以用来计算通量或散度。例如，在电磁学中，高斯公式可以用来计算电场 或磁场通过某个区域的通量。在流体动力学中，高斯公式可以用来计算流体的散度。
实例二：三维空间中的高斯公式应用
总结词
三维空间中的高斯公式应用
判断流动方向
通过高斯公式计算出的散度，可以判 断矢量场的流动方向，对于流体动力 学和气象学等领域具有重要意义。
高斯公式在通量与散度中的综合应用
《高斯公式》PPT课件
D xy
R zdv R(x,y,z)dx.dy
P
同理 xdvP(x,y,z)dy,dz
Q ydvQ(x,y,z)dz,dx
和并以上三式得：
( P x Q y R z)d v P d Q yd d R zzd dx
------------------高斯公 式
由两类曲面积分之间的关系知
3 . Σ 是 取 闭 曲 面 的 外 侧 .
例 2 计算曲面积分
( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )ds ,其 中 Σ 为
z
锥面 x2 y2 z2介于平面
z 0及 z h(h 0)
h
之间的部分的下侧,
cos , cos , cos
是Σ在(x, y,z)处
《高斯公式》PPT课件
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一、高 斯 公 式
设空间闭区域由分片光滑的闭曲面Σ围成, 函数P(x, y,z)、Q(x, y,z)、R(x, y,z)在上具有
一阶连续偏导数, 则有公式
P Q R
(xy z)dvPdydzQdzdxRdxdy
当 V收 缩 成 点 M 时 ,
AdS
极限lim
存在,
VM V
则 称 此 极 限 值 为 A 在 点 M 处 的 散 度 , 记 为 dA . iv
散度在直角坐标系下的形式
( P x Q y R z)d vvndS
V 1( P x Q y R z)d vV 1v ndS
积分中值定理,
( P x Q y R z)(,,)V 1vndS
z
o1
y
高斯公式【高等数学PPT课件】
第十一章
第六节 高斯公式 通量与散度
Hale Waihona Puke 推广Green 公式Gauss 公式
一、高斯公式
二、通量与散度
*三、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
一、高斯(Gauss)公式
定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 面 所围成, 的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在 上有连续的一阶偏导数 , 则有
记作
称为向量场 A 在点 M 的散度.
说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且 表明该点处有正源,
表明该点处有负源,
表明该点处无源, 散度绝对值的大小反映了源的强度.
若向量场 A 处处有 例如, 匀速场
, 则称 A 为无源场.
故它是无源场.
证:略
(Gauss 公式)
例1.用Gauss公式计算
其中 为柱面
及平面 z = 0 , z = 3 所围空间
闭域 的整个边界曲面的外侧.
解: 这里
利用Gauss 公式, 得
原式 =
(用柱坐标)
思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
例2. 设 为曲面
取上侧, 求
解: 作取下侧的辅助面
用柱坐标
用极坐标
二、通量与散度
引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为
设 为场中任一有向曲面,则由第二型曲面 积分的物理意义可知,
单位时间通过曲面 的流量为
若 为方向向外的闭曲面, 则单位时间通过 的流量为
当 > 0 时, 说明流入 的流体质量少于 流出的, 表明 内有“源泉”;
任意方式缩小至点 M
则有
此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化.
第六节 高斯公式 通量与散度
Hale Waihona Puke 推广Green 公式Gauss 公式
一、高斯公式
二、通量与散度
*三、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
一、高斯(Gauss)公式
定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 面 所围成, 的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在 上有连续的一阶偏导数 , 则有
记作
称为向量场 A 在点 M 的散度.
说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且 表明该点处有正源,
表明该点处有负源,
表明该点处无源, 散度绝对值的大小反映了源的强度.
若向量场 A 处处有 例如, 匀速场
, 则称 A 为无源场.
故它是无源场.
证:略
(Gauss 公式)
例1.用Gauss公式计算
其中 为柱面
及平面 z = 0 , z = 3 所围空间
闭域 的整个边界曲面的外侧.
解: 这里
利用Gauss 公式, 得
原式 =
(用柱坐标)
思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
例2. 设 为曲面
取上侧, 求
解: 作取下侧的辅助面
用柱坐标
用极坐标
二、通量与散度
引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为
设 为场中任一有向曲面,则由第二型曲面 积分的物理意义可知,
单位时间通过曲面 的流量为
若 为方向向外的闭曲面, 则单位时间通过 的流量为
当 > 0 时, 说明流入 的流体质量少于 流出的, 表明 内有“源泉”;
任意方式缩小至点 M
则有
此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化.
2020年高中物理竞赛—基础光学08光在单球面的成像：高斯公式和牛顿公式(共10张PPT)
物点在物方焦点之左：-x 物点在物方焦点之右：x 像点在像方焦点之左：-x’ 像点在像方焦点之右：x’
3.5 光在球面上的反射和折射（Reflection and Refraction of light on Spherical surface）
折射
即
s (x) ( f )
l' f 'x'
代入Gauss公式得 xx' ff ' （Newton公式）
在圆锥体（顶角为i）内 的入射光线均能通过光纤。
全反射的应用——光学纤维（optical fibre）
s in ic
n2 n1
n0 sini
n1 sini'
n1
s
in(
2
ic )
n1 cosic
n1
n12 n22 n12
n12 n22
空气中的纤维 n0 1，i arcsin n12 n22，欲使i大，
焦距
平行光线入射， l
n' n n'n l' l r
l' n' r f ' n'n
(像方焦距)。
通过物方焦点的光线折射后平行 l'
l n r f
（物方焦距）。
n'n
物、像方焦距之比 f n
f ' n'
f' f 1 l' l
（Gauss公式）
高斯公式中的各量均从顶点量起，若物距 和焦距均从焦点量起：
2020高中物理竞赛
基础光学
五、高斯公式和牛顿公式
将焦距 代入得： 上式是普遍的物象公式，称为高斯物象公式。 若光线自右向左进行，则物空间在原点的右方，象空间在 原点的左方，此时前述符号法则仍然适用，但此时实物物距应 该取正值 ，则得到的是实象，如果折射光束在象间发散，象点 在原点的右方，则得到的是虚象。
3.5 光在球面上的反射和折射（Reflection and Refraction of light on Spherical surface）
折射
即
s (x) ( f )
l' f 'x'
代入Gauss公式得 xx' ff ' （Newton公式）
在圆锥体（顶角为i）内 的入射光线均能通过光纤。
全反射的应用——光学纤维（optical fibre）
s in ic
n2 n1
n0 sini
n1 sini'
n1
s
in(
2
ic )
n1 cosic
n1
n12 n22 n12
n12 n22
空气中的纤维 n0 1，i arcsin n12 n22，欲使i大，
焦距
平行光线入射， l
n' n n'n l' l r
l' n' r f ' n'n
(像方焦距)。
通过物方焦点的光线折射后平行 l'
l n r f
（物方焦距）。
n'n
物、像方焦距之比 f n
f ' n'
f' f 1 l' l
（Gauss公式）
高斯公式中的各量均从顶点量起，若物距 和焦距均从焦点量起：
2020高中物理竞赛
基础光学
五、高斯公式和牛顿公式
将焦距 代入得： 上式是普遍的物象公式，称为高斯物象公式。 若光线自右向左进行，则物空间在原点的右方，象空间在 原点的左方，此时前述符号法则仍然适用，但此时实物物距应 该取正值 ，则得到的是实象，如果折射光束在象间发散，象点 在原点的右方，则得到的是虚象。