磁场的高斯定理

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磁场-4 磁场中的高斯定理

大学物理
恒定磁场
第4讲磁场中的高斯定理
一、磁感应线
磁场中的高斯定理
磁感应线（B线）：为形象描绘磁场的空间分布而人为绘制出的一系列曲线
1.磁感应线上任一点的切线方向都与该点的磁感应强
度的方向一致。
v
2.垂直通过单位面积的磁
B
感应线条数等于该处磁感
应强度的大小。
条形磁铁周围的磁感应线
直线电流的磁感应线
解: 建立如图所示的坐标系
x处磁场: B = μ0I
2πx
rr
元通量: dΦm = B ⋅ dS = Bldx
= μ0I ldx
O x +dx
x
2πx
∫ ∫ Φm =
SdΦm
=
μ0 Il
2π
a+b 1 dx = μ0 Il ln a + b
ax
2π b
三、磁场中的高斯定理
磁场中的高斯定理
对封闭曲面，规定外法向为正
进入封闭曲面的磁通量 Φ < 0 m
穿出封闭曲面的磁通量 Φ > 0 m
磁场中高斯定理：
磁场中通过任意闭合曲面的磁感应强度通量等于
∫ ∫ 零。
v B
⋅
v dS
=
B cosθ dS = 0
S
S
磁场是“无源场”
磁场中的高斯定理
例题1. 如图所示，在磁感应强度为B的均匀磁场中，有一半径为R的半球面S，S的边线所在平面法线方向n与B的夹角为α ，求通过半球面S 的磁通量。
磁场中的高斯定理
磁感应线为一组环绕电流的闭合曲线。
圆电流的磁感应线
磁场中的高斯定理
I
磁感应线为一组环绕电流Leabharlann 闭合曲线。磁场中的高斯定理

大学物理-7-3 磁通量磁场的高斯定理

B
磁通量：通过某一曲面的磁感线数为通过此曲面的磁通量.
Φ BS cosBS
Φ B S B enS dΦ B dS
B dΦ BdS cos
s
Φ s BdS
单位 1Wb 1T 1m2
B dS1
1 B1
S
B2
2
dS2
dΦ1 B1 dS1 0 dΦ2 B2 dS2 0
SB cosdS 0
S B d S 0
3a
2a 5a
l
Φ s BdS = 0
I
磁场高斯定理
S B d S 0
物理意义：通过任意闭合曲面的磁通量必等于零。
（故磁场是无源的.）
求磁通量(1)用磁通量的定义求(2)用高斯定理求
例1 如图载流长直导线的电流为
积的磁通量.
解先求
,试I 求通过矩形面，B对变磁场给出
B
后积B 分dΦ求0I
2π x
Φ
B // S
I
l
d1 d2
dΦ BdS 0I ldx
Φ
S
B
dS
2π x
0Il
2π
d2
d1
dx x
o
x Φ 0Il ln d2
2π d1
例2 一半径为a的无限长直载流导线，沿轴向均
匀地流有电流I，若作一个半径为 R= 5a，高为l
的柱形曲面，已知此柱形曲面的轴与载流导线的轴平行且相距3a（如图），则在圆柱侧面S上的磁通量=？
第三节磁场的高斯定理
一磁感线
规定：曲线上每一点的切线方向就是该点的磁感
强度 B 的方向，曲线的疏密程度表示该点的磁感强度 B 的大小.
I

2、磁场的高斯定理和安培环路定理

L
B dl o I i
L

S
B dS 0 j dS

S
B 0 j
安培环路定理的物理意义磁场是有旋场(或磁场是非保守场，磁感应线是闭合曲线)。
三、安培环路定理的应用
O
R
r
例3、求长直螺线管内的磁场。设螺线管的长度为 L,共有N匝线圈，单位长度上有 n = N/L匝线圈，通过每匝线圈电流为I。管内中间部分的磁场是均匀的，方向与管的轴线平行，在管的外侧磁场很弱，可以忽略不计。
B
a
b
c d [解]: 若螺线管很长，则边缘效应可以忽略，螺线管可看成是无限长，由对称性可知管内磁场是均匀的，方向与管的轴线平行，并由右手螺旋定则确定。在管的外侧磁场很弱，可以忽略不计。
B dl B 2πr μ0 I ,
j I / R2
且 I j s jπr 2 (r <R)
B
1 B μ0 jr 2
μ0 Ir B 2π R 2
0 I B 2R
μ0 I r = R处 B 2π R
B
0 Ir 1 0 jr， ( r R) 2 2 R 2 0 I 1 R2 0 j ， r R ) （ 2 r 2 r
例2、求均匀载流无限长圆柱导体内外的磁场分布。
[解]：当r R时 B dl B 2r 0 I
L
I
R
μ0 I B 2π r
I 由 j πR 2
1 R2 B μ0 j 2 r
(r >R)
I jπR2
r
L
L

12磁场的高斯定理和安培环路定理解读

穿过一面元的磁通量：
d m BdS BdS cos B dS 式中：dS dSn ˆ 称为面元矢量。 ˆ 为法线方向单位矢量。 n
4
2.穿过某一曲面的磁通量
m d m B dS
d m
B
BdS cos
dS
ˆ n
S
3.穿过闭合曲面的磁通量
m d m B dS
规定：取闭合面外法线方向为正向。磁力线穿出闭合面为正通量，磁力线穿入闭合面为负通量。

2
B

磁通量单位：韦伯，Wb

2
ˆ n
Байду номын сангаас
B
5
3.磁场中的高斯定理定理表述：穿过任意闭合面的磁通量等于 0。
dB
dB ' dB' '
dl '
p
d
dl ' '
l
c
B
结果
o j
2
o
方向如图所示。
a
b
在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
15
例5 一矩形截面的空心环形螺线管，尺寸如图所示，其上均匀绕有N匝线圈，线圈中通有电流I。试求：（1）环内距轴线为r 远处的磁感应强度；（2）通过螺线管截面的磁通量。 I
解：在管内作环路半径为 r的圆环，
环路内电流代数和为： I NI
rR
o R1
2
当 r >> ( R2 – R1) 时N n 为沿轴向线圈密度；
0 NI B 2r 0 NI B 2r

磁场的高斯定理课件

磁力线
磁场中磁力方向相同的闭合曲线，表示磁力作用的路径。
磁感应强度
描述磁场强弱的物理量，与磁力线密度和方向有关。
高斯定理的背景与重要性
高斯定理的起源
高斯定理是电磁学中的基本定理之一，由德国物理学家卡尔·高斯提出。
定理的重要性
高斯定理在电磁学中具有重要地位，它揭示了磁场分布与电荷之间的内在关系，是解决磁场问题的重要工具。
05
磁场的高斯定理的实验验证
实验设计思路与原理
设计思路
01
利用磁场的高斯定理，推导实验中需要测量的物理量，并设计合适的实验装置。
03
02
通过磁场的高斯定理实验，验证磁场在封闭曲面上的通量守恒性质。
04
实验原理
磁场的高斯定理指出，穿过任意封闭曲面的磁场通量等于零，即磁场是无源场。
05
06
通过测量封闭曲面内的磁场强度，可以验证高斯定理的正确性。
实验操作过程与注意事项
01
操作过程
02
搭建实验装置，包括磁场发生器、测量线圈和数据采集系统。
将测量线圈放置在封闭曲面上，并确保测量过程中线圈与曲面
03
保持相对静止。
实验操作过程与注意事项
01
启动磁场发生器，记录测量线圈中的感应电动势。
02
重复实验，改变封闭曲面的形状和大小，以验证高斯定理的普遍性。
高斯定理的证明过程
总结词
高斯定理的证明过程涉及矢量场的基本性质和微积分的知识，通过一系列严密的数学推导，最终得出高斯定理的结论。
详细描述
证明高斯定理通常从矢量场的闭合曲面积分等于其内部区域散度的积分这一基本性质出发。通过选取适当的坐标系和参考系，利用矢量运算和微积分的基本定理，逐步推导出穿过封闭曲面的磁通量等于该曲面所包围区域内磁场强度的积分，从而证明了高斯定理。

11-4磁场的高斯定理和安培环路定理

S
闭合路径包围的电流为电流密度沿所包围的曲面的积分
ห้องสมุดไป่ตู้
∑I =∫∫
i i
v v r r ∫∫S (∇×B)⋅ d S = µ0 ∫∫S j ⋅ dS v v 安培环路定理微分形式 ∇× B = µ j 0
S
v v j ⋅ dS
安培环路定理的存在说明磁场不是保守场磁场不是保守场，安培环路定理的存在说明磁场不是保守场，不存在标量势函数。这是恒磁场不同于静电场的一存在标量势函数。个十分重要的性质。个十分重要的性质。安培环路定理可以用来处理电流分布具有一定安培环路定理可以用来处理电流分布具有一定对称性的恒磁场问题。对称性的恒磁场问题。
dl ' o dl ' ' 垂线，做 PO 垂线，取对称的长直电流元，其合磁场方向平行于电流平面。电流元，其合磁场方向平行于电流平面。无数对点的总磁场方向平行于电流平面。称元在 P点的总磁场方向平行于电流平面。点的总磁场方向平行于电流平面
电流平面无限大，电流平面无限大，故与电流平面等距离的各点 B 的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。 14 的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。
其磁场方向与电流满足右手螺旋。其磁场方向与电流满足右手螺旋。
R2
R
L
R 1
L
同理可求得在螺绕管外部的磁场为零：同理可求得在螺绕管外部的磁场为零：
∴B = 0
r ≤R 1
12
磁场的高斯定理
∫∫
∫L
S
v v B⋅ dS = 0
v ∇⋅ B = 0
安培环路定理
v v B⋅ dl = µ0 ∑Ii
i
v v ∇× B = µ0 j

133磁场的基本特征高斯定理和安培环路定理

S 恒定电流磁场是散度为零的场 B = 0
B d S = 0
1
1.磁感线
切线方向—— B 的方向；疏密程度—— B 的大小.
I I I
2
I S N S I N
3
直线电流的磁感应线
I I B
4
圆电流的磁感应线
I
5
通电螺线管的磁感应线
I
I
6
各种典型的磁感应线的分布：
围绕单根载流导线的任一回路 L
L2
对L每个线元 d l 以过垂直导线平面作参考分解为分量 dl// 和垂直于该平面的分量 d l d l B 0 B d l B d l B d l //
L
B d l B d l I 证明步骤同上 // 0 L L //
直线电流的磁感线
圆形电流的磁感线
7
直螺线管电流的磁感线
环形螺线管电流的磁感线
8
1.磁力线的特征无头无尾与电流套连与电流成右手螺旋关系闭合曲线
I
2. 磁通量
B d s 单位：韦伯(Wb) m S
9
2. 磁通量磁场的高斯定理
S B
ΔN B ΔS
磁场中某点处垂直 B 矢量的单位面积上通过的磁感线数目等于该点 B 的数值.
讨论
S 0 1）Bd
S
磁场的基本性质方程
2）关于磁单极：
将电场和磁场对比：由电场的高斯定理
d Sq 0 D
S
可把磁场的高斯定理写成与电场类似的形式
BdS qm
S
q0 －自由电荷
qm －磁荷

磁场中的高斯定理

高斯定理表明，在通电导线周围的磁场中，穿过任意一个闭合曲面的磁通量等于电流的代数和。
通过高斯定理，可以计算出通电导线周围的磁场分布和特点，例如磁场的方向和强度。
磁通量的计算实例
磁通量是指穿过某个面的磁场的强弱和方向的量。通过计算磁通量，可以了解磁场的分布和特点。
计算磁通量需要使用高斯定理，通过积分来计算穿过某个面的磁通量。
磁场矢量场
高斯定理的应用使得我们可以方便地处理磁场矢量场问题。通过计算矢量场的散度，我们可以得到特定区域内磁场的变化情况，从而更好地理解磁场的行为和性质。
磁场中的高斯定理的推导
高斯定理推导
高斯定理在磁场中的推导基于磁场的高斯定理和安培环路定律。通过引入磁通量密度和磁通量等概念，我们可以利用微积分的方法推导出高斯定理在磁场中的形式。
磁场与电场的关系
磁场和电场是相互联系的，变化的电场会产生磁场，变化的磁场也会产生电场。因此，磁场和电场可以相互转化，形成电磁波。
磁场的方向
磁场的方向
在磁场中任意一点，磁场都有一个特定的方向，称为该点的磁场方向。磁场方向可以通过放入该点的磁针的指向来确定，磁针的北极指向磁场方向。
磁场方向的确定
高斯定理表明，在磁场中，穿过任意一个闭合曲面的磁通量等于零，即磁场是无源场。
在地球磁场中，由于地球内部的物理过程，产生了磁场分布。高斯定理可以用来分析地球磁场的分布和特点，例如地磁场的极性和强度分布。
通电导线周围的磁场高斯定理分析
当导线中电流发生变化时，会在导线周围产生磁场。高斯定理可以用来分析这个磁场的分布和特点。
磁场大小的测量
测量磁场大小的方法有多种，如高斯计、特斯拉计等。这些仪器通过测量磁感应线的密度或磁通量来计算磁场的大小。在地球表面，地磁场的大小约为0.5-0.6特斯拉。

13-3磁场的基本特征高斯定理和安培环路定理

B 0I0I 0I 8R1 4R1 8R2

36
例8 通电导体的形状是：在一半径为R的无限长
的导体圆柱内，在距柱轴为 d 远处，沿轴线方
向挖去一个半径为 r 的无限长小圆柱。如图。
导为体J内均匀通过电流，电流密度
J
求：小圆柱空腔内一点的磁感强度
分析：由于挖去了一个小圆柱，使得电流的分布失去了对轴线的对称性，所以无法整体用安培回路定理求解。
例1：求无限长载流圆柱体磁场分布。
解：圆柱体轴对称，以轴上一点为 I
圆心取垂直轴的平面内半径为 r 的
圆为安培环路
L B d l 2 π r B0
I
dl ''
B 0I
r R
2 πr
B
dB
dl '
rBdl0IR r2 2 B2 π 0R Ir2 rR
由安环定理有 2πrB0 Ii
i
30
解得
2πrB0 Ii
i
0 Ii
B i 2πr
若场点在圆柱内，即 r < R
包围的电流为 Ii Jπr2
i
则磁感强度为 B0Jπr2 0Jr
2πr 2
若写成矢量式为
B

0
Jr
2
J I S
IR
J
r
B
31
解得
特殊形状电流产生的
fI
场的叠加，即
B B a b B b c B c d B d e B ef
R1 R2
eI
b
I
由毕萨拉定律得到各电流的磁感强度分别是
Bbc

1 0I

真空中磁场的高斯定理

高斯定理在磁场中的应用
计算磁场强度
确定磁场性质
通过高斯定理，可以计算出闭合曲面内的磁场强度，从而了解磁场分布情况。
高斯定理可以帮助我们确定磁场性质，例如在地球磁场中，高斯定理可以帮助我们了解地球磁场的分布和强度。
判断磁感应线的分布
高斯定理可以帮助我们判断磁感应线的分布情况，例如在电流周围产生的磁场中，高斯定理可以帮助我们判断磁感应线的走向和密度。
数学表达式为
∮S B·dS = ΣI / μ0，其中B是磁场强度，dS是曲面S上的面积元素，ΣI是曲面内包围的电流的代数和，μ0是真空中的磁导率。
高斯定理的意义
高斯定理是磁场的基本定理之一，它反映了磁场与电流之间的关系。
高斯定理表明，在真空中，磁场是由电荷和电流产生的，并且磁场的分布可以通过电流来描述和预测。
磁场高斯定理在科研问题中的应用
在科研领域，磁场高斯定理的应用也十分广泛。例如，在粒子物理和天体物理研究中，我们需要了解磁场分布和演化规律，以便更好地理解宇宙中的各种现象。
磁场高斯定理是研究这些问题的基本工具之一，它可以帮助我们揭示宇宙中磁场的奥秘，进一步推动相关领域的发展。此外，在生物医学研究中，磁场高斯定理也被用于研究生物体的磁场感应和磁性药物等方向。
高斯定理的证明方法
高斯定理可以通过微积分的方法进行证明，包括对磁场强度B的散度进行积分运算。
VS
证明的关键在于理解磁场线无头无尾的特性以及磁场与电流之间的关系。
高斯定理的应用
高斯定理在电磁学中有着广泛的应用，例如计算磁场的分布、确定电流产生的磁场等。
高斯定理还可以与其他电磁学定理结合使用，例如与安培环路定律、法拉第电磁感应定

磁场的高斯定理和安培环路定律

0I
是否成立？？？
设任意回路L在垂直于导线的平面内，与电流
成右手螺旋。
l B dl Bdl cos
0I
2πr
dlc
os
d
B
I
dl
r
0I
2πr
rd
0I
2π
d
l
B dl
l
0I
dl cos rd
闭合回路不环绕电流时
B1
0I
2 π r1
B2
0I
2 π r2
B1
B2
d
I
dl1
r1
dl2
I
I
解：取垂直纸面向里为法
B
线方向，以导线1所在位
置为坐标原点，建立如图所示的坐标轴。
x
l
取细长条面元，面元内为
均匀磁场
a aa
B
0I 2x
2
0I
3a
x
o
x
窄条形面元的元磁通为
dm B dS BdS Bldx I
通过矩形面积内的磁通量
m
dm
2a
Bldx
a1
2a
a
0I 2x
2
0I
o
B 0I
2π x
B // S
x
方向垂直于纸面向里
dΦ BdS 0I ldx I
2π x
B
Φ
S
B dS
0Il
2π
d2
d1
dx x
l
Φ 0Il ln d2
2π d1
d1 d2
o
x
例2 两平行的无限长直导线通有电流 I , 相距3a，
矩形线框宽为a，高为l与直导线共面，求通过线框的

13-2-磁场的高斯定理-安培环路定理

L1
电流在闭合回路内
n B dl 0 I i L i 1
电流在闭合回路外
——安培环路定理
路径的积分的值，等于 0 乘以该闭合路径所穿过的各电流的代数和.
在真空的恒定磁场中，磁感强度 B 沿任一闭合
二、安培环路定理
说明：
n B dl 0 I i i 1
解方程求出B的大小，指出B的方向。
二、安培环路定理
例2.无限大载流薄平板的磁场
d B1
j
d
dB
P
dB 2
d l1
O
c
d l2
结论：
B
1 2
0 j
a
L
b
在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为均匀磁场，大小相等，但方向相反。
二、安培环路定理
例3.载流螺线环内的磁场一环形载流螺线管，匝数为 N ，内径为 R1 ，外径为 R2 ，通有电流 I ，求管内磁感应强度。
计2 有两半径分别为 R 和 2 R 的金属球壳同心放置
分析：（1）内球壳接地，电势为零，但电量未必为零
（方法一：定义式求电势）设内球壳带电为 q ，由高斯定理得
r
R
2R
q 4 r 2 0 r E q q0 40 r 2
2R R R
R r 2R r 2R
q
q q0 外球壳 (q q0 ) 无穷远
2R
C C1 C2 4 π 0 r 1 R 1 2R 4 π 0 2 R
24 π 0 R
L
（3）若 B d l 0 ，则回路内无电流穿过。
L
二、安培环路定理

磁高斯定理

磁高斯定理
磁高斯定理（Maxwell's theorem）是磁力学的重要定理，由英国
物理学家乔治·马克斯韦（George Maxwell）于1865年提出。

它解释
了磁场的电流和旋转矢量之间的关系，是磁力学最根本的定律。

磁高斯定理可以用数学形式来表示：∇ × B = μ0J，其中B为
磁场，J为电流密度，μ0为真空磁导率（μ0=4π×10-7H/m），∇是
矢量求导运算符号。

这个定理描述了一个简单的物理现象：电流的旋
转产生了磁场，所以它是磁力学的基础。

磁高斯定理非常重要，可以解释各种电磁相关的现象。

它提供了
一种理解电磁学中电流向量、磁场强度和磁矢量之间关系的方法。

马
克斯韦在提出它的定理后，将电磁学理论推向了一个新的高度。

此外，磁高斯定理也可以用来解决电磁学中各种实际问题。

例如，它可以解释磁场强度的变化情况，从而帮助我们探索和分析电磁学现象。

总之，磁高斯定理是电磁学的基石，是磁力学的重要定理。

它不
仅能够精确地描述电磁学上的实际现象，而且可以结合其它电磁学定律，来求解一些复杂的实际问题。

磁场的高斯定理和安培环路定理

磁场是无源场磁场是无源场比较静电场稳恒磁场磁感应线闭合成环，无头无尾不存在磁单极。磁感应线闭合成环，或两端伸向不存在磁单极（？）高斯定理环路定理
内
3. 磁场的高斯定理
1 E dS
S
0
q
有源场无源场
E dl 0
L
保守场
B dS 0
三.安培环路定理的应用
—— 求解具有某些对称性的磁场分布
LB dl 0 I i
( 穿过L )
适用条件：稳恒电流的磁场求解条件：电流分布(磁场分布)具有某些对称性，
以便可以找到恰当的安培环路L，使 LB dl 能积
出，从而方便地求解 B 。
[例一] 无限长均匀载流圆柱体 I , R 内外磁场.
无限长直螺线管内为均匀磁场
思考：如果要计管外磁场（非线密绕）对以上结果有无影响？
I

n
B内 0nI
外

B
I //

0 //
I B 2r
练习：半径 R 无限长均匀带电圆筒绕轴线匀速旋转
.R. 求：内部 B ?
已知：
解：

R
等效于长直螺线管 B 0 nI 单位长度上电流 nI ?
I
i
I1 I 2 I 3
(穿过L )
I
i
注意：
LB dl 0 I i
( 穿过L )
B 的环流：只与穿过环路的电流代数和有关穿过 L 的电流：对 B 和 B dl 均有贡献
L
B : 与空间所有电流有关
不穿过 L 的电流：对 L 上各点 B有贡献；对 LB dl 无贡献

磁场中的高斯定理公式

磁场中的高斯定理公式
磁场中的高斯定理公式：∮EdS=(∑Q)/ε0，高斯定理也称为高斯通量理论，或称作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式。

在静电学中，表明在闭合曲面内的电荷之和与产生的电场在该闭合曲面上的电通量积分之间的关系。

高斯定律表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。

高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律，而二者都被集中在麦克斯韦方程组中。

因为数学上的相似性，高斯定律也可以应用于其它由平方反比律决定的物理量，例如引力或者辐照度。

磁场的高斯定理

R
当 2R >> d 时，螺绕环内可视为均匀场 .
例2 无限长载流圆柱体的磁场 L 解（1）对称性分析）（2） r > R ） v v µ0 I ∫l B ⋅ d l = µ 0 I B = 2π r v v π r2 0 < r < R ∫ B ⋅ d l = µ0 2 I l πR µ0 Ir B= 2 2π R
y
v dF θ
v B
I
v Idl
P
v 解取一段电流元 Idl v v v dF = Idl × B
o
L
x
dFx = −dF sin θ = − BIdl sin θ
dFy = dF cos θ = BIdl cos θ
Fx = ∫ d Fx = BI ∫ d y = 0
0
0
y
Fy = ∫ dFy = BI ∫ dx = BIl
v v ∫ B⋅dl = µ0(−I1 − I2)
L
= −µ0 I1 + I2）（
I1
I1
L
I2 I 3
v 问（1）是否与回路 L ） B
外电流有关？外电流有关？
I1
v v （2）若 ∫ B ⋅ d l = 0 ,是否回路 L 上各处）是否回路 L v 内无电流穿过？ B = 0 ？是否回路 L 内无电流穿过？
s⊥
θ
s
v B
θ
v en
v B
磁通量：磁通量：通过某曲面的磁感线数匀强磁场下，匀强磁场下，面 S的磁通量为：的磁通量为：的磁通量为 v v v v Φ = B ⋅ S = B ⋅ enS
Φ = BS cosθ = BS⊥ 一般情况 v v Φ = ∫s B ⋅ dS

磁场高斯定理

磁场高斯定理磁场的高斯定理：对于任意磁场B(r)B(r)和任意闭合曲面，曲面上的磁通量为零。

∮B(r)⋅ds=0(1)(1)∮B(r)⋅ds=0也就是说空间任意一点的磁场散度为零。

适用高斯定理可以写成微分形式：∇⋅B=0(2)(2)∇⋅B=0接下来我们试着验证一下这一结论是否和我们之前的理论是一致的，也就是说我们能否直接从比奥萨伐尔定律所给出的磁场B(r)B(r)推出，首先我们考虑静磁场下，电流是恒定的，因此电流密度j j不会在某一个点聚集或者散开，因此有：∇⋅j=0(3)(3)∇⋅j=0结合比奥萨伐尔：B(r)=μ04π∫j(r′)×(r−r′)|r−r′|3dV′(4)(4)B(r)=μ04π∫j(r′)×(r−r′)|r−r′|3dV′利用矢量乘法的规则可得：∇⋅(j×(r−r′)|r−r′|3)=(r−r′)|r−r′|3⋅(∇×j)−j⋅(∇×(r−r′)|r−r′|3)(5)(5)∇⋅(j×(r−r′)|r−r′|3)=(r−r′)|r−r′|3⋅(∇×j)−j⋅(∇×(r−r′)|r−r′|3)由于∇×(r−r′)|r−r′|3=0∇×(r−r′)|r−r′|3=0：∇⋅B=0(6)(6)∇⋅B=0注意磁场高斯定律适用于经典电动力学的任何情况，而后者只适用于静态的情况。

磁场的高斯定律实际上是电场的高斯定律在磁学中的对应，它反映了自然界没有孤立的磁单极（或者我们还没找到）。

形象地看，任意一条磁感线都不会起始或终止于空间中的某一点，它要么是闭合的回路，要么从无穷远来延伸到无穷远去。

正因为磁场的这条性质，我们可以将磁感应强度B B写成某个矢量场A A的旋度，其中A A称为矢量势（矢势）。

磁场的高斯定理,说明

磁场的高斯定理,说明高斯定律（gauss' law），属物理定律。

在静电场中，穿过任一封闭曲面的电场强度通量只与封闭曲面内的电荷的代数和有关，且等于封闭曲面的电荷的代数和除以真空中的电容率。

该定律表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。

静电场中通过任意闭合曲面（称高斯面）s 的电通量等于该闭合面内全部电荷的代数和除以真空中的电容率，与面外的电荷无关。

物理定律由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合起来了。

如果对于一个闭合曲面，定义向外为正法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为0。

这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理。

与静电场中的高斯定理相比较，两者有著本质上的区别。

在静电场中，由于自然界中存有着单一制的电荷，所以电场线存有起点和终点，只要闭合面内有净余的也已（或负）电荷，沿着闭合面的电通量就不等于零，即为静电场就是有源场；而在磁场中，由于自然界中没单独的磁极存有，n极和s极就是无法拆分的，磁感线都就是无头无尾的滑动线，所以通过任何闭合面的磁通量必等于零。

特别要强调两点： 1.关于电场线的方向的规定：电场线上每一点的切线方向就是该点电场的方向。

2.关于电场线的疏密的规定：电场线在某处的疏密要反映电场强度的大小，即在电场中通过某一点的电场线的数密度与该点电场强度的大小呈正相关，即： e=dn/ds，其中ds是在电场中的某一点取一个通过该点的且与电场线垂直的微分面，dn就是穿过该面ds的电场线的根数。

高斯定理来源于库仑定律,依赖场强共振原理,只有当电场线密度等同于场强悍小时场线通量就可以与场强通量等同于,并统一遵守高斯定理。

高斯面上的实际场强就是其内外所有电荷产生的场强共振而变成的合场强。

但利用高斯面所求出的场强则仅仅就是分析高斯面上场强原产时所牵涉的电荷在高斯面上产生的合场强,而不涵盖未牵涉的电荷所产生的场强。

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