磁场中的高斯定理和安培环路定律.
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2、磁场的高斯定理和安培环路定理
L
B dl o I i
L
S
B dS 0 j dS
S
B 0 j
安培环路定理的物理意义 磁场是有旋场(或磁场是非保守场，磁感应线 是闭合曲线)。
三、安培环路定理的应用
O
R
r
例3、求长直螺线管内的磁场。设螺线管的长度为 L,共有N匝线圈，单位长度上有 n = N/L匝线圈， 通过每匝线圈电流为I。管内中间部分的磁场是均 匀的，方向与管的轴线平行，在管的外侧磁场很 弱，可以忽略不计。
B
a
b
c d [解]: 若螺线管很长，则边缘效应可以忽略，螺 线管可看成是无限长，由对称性可知管内磁场是 均匀的，方向与管的轴线平行，并由右手螺旋定 则确定。在管的外侧磁场很弱，可以忽略不计。
B dl B 2πr μ0 I ,
j I / R2
且 I j s jπr 2 (r <R)
B
1 B μ0 jr 2
μ0 Ir B 2π R 2
0 I B 2R
μ0 I r = R处 B 2π R
B
0 Ir 1 0 jr， ( r R) 2 2 R 2 0 I 1 R2 0 j ， r R ) （ 2 r 2 r
例2、求均匀载流无限长圆柱导体内外的磁场分布。
[解]：当r R时 B dl B 2r 0 I
L
I
R
μ0 I B 2π r
I 由 j πR 2
1 R2 B μ0 j 2 r
(r >R)
I jπR2
r
L
L
第25讲 磁场的高斯定理和安培环路定理
第25 讲磁场的高斯定理安培环路定理的应用一、通过磁场中任一曲面S 的磁通量为二、磁场的高斯定理三、安培环路定理d SB SΦ=⋅⎰0d =⋅⎰SS B四、利用安培环路定理求解的典型电流的磁场(1) 电流均匀分布的无限长金属柱面02πI B rμ=)(R r >0=B (2) 电流均匀分布的无限长金属柱体02πI B rμ=022πIrB Rμ=()r R <)(R r >()r R <(3) 无限大平面电流20jB μ=(4) 载流无限长均匀密绕直螺线管0=B （管内）（管外）(5) 载流螺绕环=B （管内）（管外）0B nI μ=02πNIB rμ=Olxyz解：（1）立方体阴影面积2222(015m)22510mS l ..-===⨯[Q7.25.1]一边长为l =0.15m 的正立方体如图所示，有一均匀磁场通过立方体所在区域，求（1）通过立方体阴影面积的磁通量；（2）通过立方体六个面的总磁通量。
()6315T B i j .k =++O lxyz阴影面积的法线方向单位矢量通过阴影面积的磁通量为（2）根据磁场的高斯定理，通过立方体六个面的总磁通量n e i =ΦB S=⋅()()226315T 22510m 0135Wbi j .k .i .-=++⋅⨯=dI1r2r3rIld[Q7.25.2]如图所示，两平行长直导线相距d=40cm，每根导线载有电流I=20A。
求（1）两导线所在平面内与两导线等距离的一点处的磁感应强度；（2）通过图中阴影面积的磁通量。
（r1=r3=10cm，l=25cm）I1r 2r 3r Ild解：(1)两导线所在平面内与两导线等距离处的磁感应强度大小为⊗022π2μIB d /=722(4π10N/A )(20A)π(04m).-⨯⨯⨯=⨯54010T-.=⨯I1r 2r 3r IldOr（2）通过图中阴影面积的磁通量为2d ΦB S=⋅⎰121001212d ln 2ππr r r μI μIl r r l r r r ++==⎰72(025m)(4π10N/A )(20A)010m 020mlnπ010m ....-⨯⨯⨯+=62210Wb-.=⨯[Q7.25.3]一无限长圆柱形铜导体（磁导率μ0)，半径为R ，通有均匀分布的电流I 。
高斯定理和安培环路定理
r R 时在圆柱面内做一圆周
B cos dl B dl B 2r 0
L L
dI ' dI
P
B0
例 无限大平面电流的磁场．有一无限大的导体平面，均匀地 流着自下而上的面电流．设其电流线密度(垂直于电流线的单 位长度上的电流)为a,求距平面为d的任一点的磁感应强度B．
2、任意两条磁力线在空间不相交。 3、磁力线与电流方向之间可以用右手定则表示。
二.磁通量
磁场的高斯定理
静电场： e E dS qi / 0 S 磁 场： B dS ?
B dN dS
d B dS BS cos
m
通过面元的磁力线条数 —— 通过该面元的磁通量
(1)设闭合曲线L在垂直于无限长载流导线的平面内，电流I穿 过L. 设闭合回路 L为圆形回路（ L 与 I 成右螺旋）
载流长直导线的磁感强 度为 0I B 2π R 0I l B d l 2 π R d l 0I l B d l 2 π R l d l
即在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任
讨论 (1) 积分回路方向与电流方向呈右手螺旋关系 满足右螺旋关系时 I i 0 反之 I i 0
(2) 安培环路定理只适用于闭合的载流导线，对于任意设想 的一段载流导线不成立
例如 图中载流直导线, 设 θ 1 θ 2 / 4 则 L 的环流为:
B dl
L
I
2
L 4a cos1 cos 2 dl
2 2 2a
0 I
a
0 I
4a
2
0 2I
2
L
0 I
磁场的高斯定理和安培环路定理课件
03
安培环路定理的介绍与推导
安培环路定理的基本概念
总结词
安培环路定理是描述磁场散布的重要定理之一，它指出磁场线总是闭合的，且穿过任意一个封闭曲面的磁通量为 零。
详细描述
安培环路定理是电磁学中的基本定理之一，它描述了磁场线的性质和散布规律。根据安培环路定理，磁场线总是 闭合的，即磁场线不会中断或消失，而是形成一个完整的闭合曲线。此外，安培环路定理还指出，穿过任意一个 封闭曲面的磁通量为零，即磁场线不会从一个区域穿入另一个区域。
磁力线
磁感应强度
描述磁场强弱的物理量，单位是特斯 拉或高斯。
描述磁场散布的几何图形，磁力线闭 合且不相交，磁力线的疏密程度表示 磁场强弱。
高斯定理的背景与定义
高斯定理的背景
磁场在空间中的散布具有闭合性 ，即穿过某一封闭曲面S的磁通量 等于零或无穷大。
高斯定理的定义
穿过任意封闭曲面S的磁通量等于 该封闭曲面所包围的净磁荷量。
04
高斯定理与安培环路定理的比较与联系
两者之间的类似之处
闭合曲面的磁场通量
高斯定理和安培环路定理都涉及到闭合曲面的磁场通量。在高斯定理中，磁场 通量是通过闭合曲面进入或离开某一区域的量，而在安培环路定理中，磁场通 量与电流和闭合曲面的关系是关键。
无源磁场
高斯定理适用于无源磁场，即没有电流源的磁场。同样地，安培环路定理也适 用于无源磁场的情况。
高斯定理的应用场景
01
02
03
磁场散布分析
通过高斯定理可以分析磁 场在空间中的散布情况， 确定磁力线的走向和强弱 。
磁荷检测
高斯定理可以用于检测磁 场中的磁荷散布，例如磁 铁、发电机和电动机中的 磁荷散布。
磁场屏蔽
磁场中的高斯定理和安培环路定理
规定：
与L 绕向成右旋关系 与L 绕向成左旋关系
Ii 0 Ii 0
例如：
Ii I1 2I2
(穿 过L )
注意：
L
B dl
0 Ii
(穿 过L)
B:
与空间所有电流有关
B 的环流：只与穿过环路的电流代数和有关
穿过 L的电流：对 B 和 B dl 均有贡献 L
2
r1
2
d r1 r2
2.26 106 wb
二、安培环路定理(Ampere’s circulation theorem)
1.导出： 可由毕 — 沙定律出发严格推证
采用： 以无限长直电流的磁场为例验证
推广到任意稳恒电流磁场（从特殊到一般）
1）选在垂直于长直载流导线的平面内，以导线与 平面交点o为圆心，半径为 r 的圆周路径 L，其指向 与电流成右旋关系。
B 0I 2r
练习：同 求轴B的的两分筒布状。导线通有等值反向的电流I,
(1) r R2 , B 0
R2
R1
(2)
R1
r
R2 ,
B
0I 2r
I
rI
(3) r R1, B 0
2.长直载流螺线管的磁场分布
已知：I、n(单位长度导线匝数) 分析对称性 管内磁力线平行于管轴 管外靠近管壁处磁场为零
dl
0I
2π
2π
0
d
0I
对任意形状的回路
B dl
0I
rd
0I
d
2π r
2π
8-4 磁场高斯定理和安培环路定理
µ0 NI ≈ µ 0 nI B= 2π r
例3 无限大平面电流的磁场分布 r j －面电流密度矢量
Bz
By = 0
Bx = 0
Bx=0
By=0
l B
j
安培环流定理：2lB = µ 0 jl 安培环流定理：
B=
µ0 j
2
j
无限大均匀平面电流两侧的磁场是均匀磁 大小相等，方向相反。 场，大小相等，方向相反。
∫
L
ab
bc
cd
da
= B内 ab
N = µ0 ab I l
由安培环路定理
r ⊗ ⊗ ⊗ ⊗⊗ ⊗ ⊗ ⊗⊗ ⊗
N n= l
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
c d
均匀场
b
B内
a
B = µ 0 nI
环形螺线管
. . . . .
. . . .. . .. . . . .
R
.
r . . .
..
. . . . .
.. . . . ...
.
I
∫ l B . dl µ I =∫ 2π r
o
=
∫l B r dϕ
∫0
2 π
ϕ =µ o I rd 2π
d ϕ =µ o I
结束
返回
3. 若改变积分绕行方向
∫ l B . dl = ∫l B cosα dl
=
µoI B= 2 r π l I O B r dϕ dl
∫l B cos(π θ )dl θ = ∫ l B cos dl
r r B⋅ dS = 0 ∫
S
高斯定理的积 分形式
穿过任意闭合曲面S的总磁通必然为零， 穿过任意闭合曲面 的总磁通必然为零，这就 的总磁通必然为零 高斯定理。 是稳恒磁场的高斯定理 是稳恒磁场的高斯定理。
07磁场的高斯定理和安培环路定理
I
r L
B
7
安培环路定理为我们提供了求磁感应强度的另一种 方法。但利用安培环路定理求磁感应强度要求磁场具有 方法。但利用安培环路定理求磁感应强度要求磁场具有 高度的对称性 。 利用安培环路定理求磁感应强度的关健： 利用安培环路定理求磁感应强度的关健：根据磁 场分布的对称性，选取合适的闭合环路。 场分布的对称性，选取合适的闭合环路。 3、选取环路原则 (1)环路要经过所研究的场点。 环路要经过所研究的场点。 环路要经过所研究的场点 (2)环路的长度便于计算； 环路的长度便于计算； 环路的长度便于计算 r r (3)要求环路上各点 B 大小相等，B 的方向与环路 大小相等， 要求环路上各点 方向一致， 方向一致， r r µ0 ∑ I I 写成 B = 目的是将: B ⋅ dl = µ0 目的是将
3
2、磁通量
dΦm
r B
磁通量: 通过任一曲面的磁力线的条数。 磁通量 通过任一曲面的磁力线的条数。 1）穿过一面元的磁通量dΦ m ）
r r d Φ m = B ⋅ dS 单位：韦伯，Wb 单位：韦伯，
2）穿过某一曲面的磁通量 ）
dS
S
Φm = ∫
S
r r d Φ m = ∫ B ⋅ dS = ∫ BdScosθ
a
b
r B
d
c
r B外 = 0
r cr r d r r ar r r r b r B ⋅ dl = ∫a B ⋅ dl + ∫b B ⋅ dl + ∫c B ⋅ dl + ∫d B ⋅ dl ∫ r r r c r a r r Q B ⊥ d l , cosθ = 0 ∫b B ⋅ dl = ∫d B ⋅ dl = 0, r d r r B = µ0nI B 螺线管外： 螺线管外： 外 = 0, ∫ B ⋅ dl = 0
磁场的高斯定理和 安培环路定理.ppt
B d S B d S
S1
磁通量仅由 的共同边界线所决定
S2
能否找到一个矢量A，它沿L作 线积分等于通过S的通量？
A dl B dS (a)
L
S
数学上可以证明，这样的矢量A的确存在，对
于磁感应强度B，A叫做磁矢势，A在空间的
分布也构成矢量场，简称矢势。
2π R
oR r
解 0 r R, B d l 0 l r R, l B d l 0I
B0 B 0I
2π r
§3 §4 磁场的高斯定理和安培环路定理
第二章 恒磁场
例5 无限长圆柱电缆的磁场(两空心圆筒)
解 0 r R1, B d l 0 B 0
第二章 恒磁场
例3 无限长载流圆柱体的磁场
I
解 1）对称性分析 2） 选取回路
RR
rR
Bdl l
0I
L
2π rB 0I
B 0I
2π r
r B
0 r R
l
B
d
l
0
π π
r2 R2
I
2π rB 0r2 I
R2
B
0Ir
2π R2
I . dB
ABLCDLA
B dl
AB B dl，
BLC
B dl
CD
DLA
B dl， B dl
B dl
AB
CD
BLC
CLB
DLA
L
B dl B dl 0，即 B dl B dl
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4.环路定理只适用于闭合电流或无限电流，
16
例2：利用安培环路定律计算载流无限长直导线外一点 的磁感应强度。 解：以电流为轴，做半径为 r 的环路
Hale Waihona Puke B dl B dl 0 I B 2r 0 I 0 I B 2r
r
L
将上式用于有限长直导线则得出错误结果，算出B与无 限长直电流磁感应强度相同 ，矛盾，故安培环路定律 对有限电流不适用。 17
三、环路定理的应用 例2：圆柱形载流导体 半径为 R ，通过的电 流为 I ，电流在导体 横截面上均匀分布， 求圆柱体内、外的磁 感应强度的分布。
I
R
解：1.圆柱体内部
r < R 区域
18
B dl
选取半径为 r 的环路，
Bdl cos
2
I
由于环路上各点 B 大小相等，方向 B // dl 0
0
2
,
m 0
为正通量。 为负通量。
6
2
, m 0
例1、如图 矩形线圈与载流无限长直导线共面，直导 线电流为I,求线圈的磁通量。 解：选宽度为dr ,平行于直导线的面积元 ds=ldr
0 I dm Bldr ldr 2r a b 0 I m ldr 2r a 0 Il a b ln( ) 2 a
2
r
dl B
L
B d l 0
L
I
d
b
a
L
14
B d l ( B ) d l j
L L j
由此当空间有多个无限长直电流时，利用磁场的叠加 原理：
B j dl 0
j L
交换积分与求和符号
I
i
i
i是环路内的电流。
由此可得：
L
B d l 0 I
15
1. I 为环路内的电流代数和。 2.环流 B d l 只与环路内的电流有关，
而与环路外电流无关。
3. B为环路上一点的磁感应强度，它与环路内外电流 都有关。
若
若
B d l 0 并不一定说明环路上各点的 B 都为 0。 B d l 0 环路内并不一定无电流。
L L
r R r
0 I 1 B 2r r
20
分布曲线
B
0 I 2R B r
o
1 B r
R
r
21
四、选取环路原则
利用安培环路定理计算磁场 B ,要求磁场 具有高度的对称性 ; 目的是将: 写成
L B dl 0 I
L Bdl cos B dl 0 I 0 I B dl 要求环路上各点 B 大小相等，B 的方向 与环路方向一致， B // dl, cos 1
0 ( I1 2I 2 )
I2
I3
L
12
二、定理说明
特例：以无限长载流直导线为例。 长直导线周围的B 线为 一系列的同心圆，选取路 径方向与 B 线相同；
B
左边: B d l
L
I
r
L
L Bdl cos
由于环路上各点的 B 大小相等； 且 B // dl ；θ=0
0 I B dl 2r 0 I 2r L
...............B a b
d
c
B dl
L
0 I
c d a
r
24
选择如图所示的环路
B d l ( )B d l
b a b c d
其中
a B d l B d l 0,
c
...............
a
B d l , cos 0
b
d
b
B
Bd l 0
d c
B外 0
d
c
作闭合环路 abcda,环路 内的电流代数和为：
螺线管外B =0；
b B dl B dl
a
I nabI
Bab 0 I 0nabI
22
或 Bdl , cos 0
环路要经过所研究的场点。
五、解题方法 1.场对称性分析； 2.选取环路； 3.确定环路内电流的代数和 I ； 4.应用环路定理列方程求解。 应用环路定理求 B 要比毕萨定律简 单，但只适用于具有高度对称的场。
23
例3：密绕载流螺线管通 有电流为 I，线圈密度为 n，求管内一点的 B 。 (用无限长螺线管近似。) 解：理想密绕螺线管，管 内的磁场是均匀的，管外 的磁场为 0 ；由安培环路 定律：
I
a
b
B
l
r
7
3.穿过闭合曲面的磁通量 m dm B dS
规定闭合面的外法线方向为正
磁感线穿出闭合面时
/2 n
B n
0
2
,
通量为正。
磁感线穿入闭合面
B 0 /2
8
2
,
通量为负。
五、磁场中的高斯定理
28
B 0nI
25
例3：一环形载流 螺线管，匝数为 N ，内径为 R1 ， 外径为 R2 ，通有 电流 I ，求管内磁 感应强度。
解：在管内作环路 半径为 r ， 环路内电流代数和为
I NI
26
o R1 rR
2
L B dl 0 I
B2r 0 NI
0 NI B 2r
环路内电流代数和为：
2
0r B dl B2r 2 I R
R
I r 2 r 2 I I 2 R R
r
L
0 I B r r 2 2R
19
2.圆柱体外一点 r > R 区域
I
在圆柱体外作一环路，
B dl
Bdl cos
B dl B2r 0 I
L
B d l 0 I
注意：I是有符号的，四指沿环路 的方向弯曲，电流与拇指方向相同 的 I 取正值，电流与拇指方向相反 的 I 取负值。
I1 I 2
L
11
如图所示，求环路L的环流 解：由环路定理
B d l 。
I1
L
B d l 0 I 0 I1
由
dm BdS cos BdS
dS
dS
n
B
与磁感线的式子比较，磁 通量的数值就等于磁感线 的条数
5
2.穿过某一曲面的磁通量 m dm B dS
BdS cos
dS
单位：韦伯，Wb
dm
B
S
m
为标量，只有大小正负之分。其数值等 于通过该曲面的磁感线的条数。
当 r >> ( R2 – R1) 时
o R1 rR
2
N n 2r
为沿轴向线圈密度；
B 0nI 与直螺管的结论类似。
27
磁介质的安培环路定律。
B 0 r H H
H称为磁场强度，其安培环路定律。
H d l Ic
H与B的关系：
H
B
0 I B 2r
I
r
B
3
三、磁感线性质
1、磁感线不相交。
2、磁感线为闭合曲线，没有起点，也没有终点。或两 头伸向无穷远。
3、磁感线密处 B 大；磁感线疏处 B 小。 在稳恒磁场中，其基本定律也是高斯定律、与环路定 律。
4
四、磁通量
1.穿过一面积元的磁通量定义为： dm B dS
I 向下时为负值。
13
当环路为任意形状时：
L
B d l 0 I 左边=右边定理成立。
I
θ
B d l Bdl cos
L L
由于 Bdl cos Brd
d
0 I rd I 0 2r 0
当电流不在环路内时 0 I a点 B dl d 2 0 I d b 点 B dl 2
1.定理表述 穿过任意闭合面的磁通量等于 0。
m B dS 0
2.定理证明： 由于磁感线为闭合曲线，穿入穿出 闭合面的磁感线根数相同，正负通 量抵消。 磁场是无源场，磁感线为闭合曲线，磁场是涡旋场。
9
安培环路定理
10
一、定理表述
磁感应强度沿闭合回路的线积分， （ B 的环 流），等于环路所包围电流的代数和乘以 0。
§8-3 磁场中的高斯 定理和安培环 路定律
1
一、磁感线
形象的描绘磁场分布的空间曲线。
二、规定
1.B的方向：磁感线上任意点的切线方向为该点磁感应 强度的方向。
2. B的大小：穿过垂直于磁感应强度B方向的单位面 积的磁感线根数。
dm B dS
dm
dS
B
2
磁感应强度大小为磁感线的面密度。
•无限长直载流导线的磁感线分布 磁感应强度始终与r垂直。 半径为r处，磁感应强度大小相 等。 载流螺线管的磁感线分布