磁场中的高斯定理和安培环路定理

2R
B


0 I
2 r
rR
O
R
r
电场、磁场中典型结论的比较
电荷均匀分布
电流均匀分布
长直线
长 直
内
圆
柱外
面
长 直
内
圆
柱 体
外

E
2 0r
E0

E
2 0r r
E 2 0 R2
E
2 0r
B 0I 2r
B0
B 0I 2r
B

0 Ir 2R 2
2
r1
2
d r1 r2
2.26 106 wb
二、安培环路定理(Ampere’s circulation theorem)
1.导出： 可由毕 — 沙定律出发严格推证
采用： 以无限长直电流的磁场为例验证
推广到任意稳恒电流磁场（从特殊到一般）
1）选在垂直于长直载流导线的平面内，以导线与 平面交点o为圆心，半径为 r 的圆周路径 L，其指向 与电流成右旋关系。

不穿过 L 的电流：对 L 上各点 B 有贡献；

对 B dl 无贡献 L
安培环路定理揭示磁场是非保守场（无势场，涡旋场）
静电场
E dl 0
电场有保守性，它是 保守场，或有势场

E dS
1
s
0
qi
电力线起于正电荷、
止于负电荷。
静电场是有源场
稳恒磁场
B dl
0 I dl cos0
L
L 2 r
0I
2 r
2 r
0 dl 0 I
I
L
o
r B
二、安培环路定理(Ampere’s circulation theorem)
1. 安培环路定理的表述
恒电流磁场中，磁感应强度沿任意闭合环路的
积分等于此环路所包围的电流代数和的
规定：
与L 绕向成右旋关系 与L 绕向成左旋关系
Ii 0 Ii 0
例如：
Ii I1 2I2
(穿 过L )
注意：

L
B dl
0 Ii
(穿 过L)
B:
与空间所有电流有关

B 的环流：只与穿过环路的电流代数和有关


穿过 L的电流：对 B 和 B dl 均有贡献 L
§11-4 磁场中的高斯定理和安培环路定理
一、磁场的高斯定理(Gauss’ theorem magnetic field)
S
表示不存在
B dS 0 磁单极

B
B 0 微分形式
注意：（1） B dS 0 （2） B dS
对任意闭合曲面而言 不一定为0
例1、两平行载流直导线
r2 R2
I

I . dB
2π
rB

0r2
R2
I
B

0Ir
2π R2
dI B
11 – 4 安培环路定理
第十一章 稳恒磁场

B 的方向与 I 成右螺旋
0 r R,
B

0Ir
2π R2
r R,
B 0I
2π r
I
0I B
2π R
R
oR r
11 – 4 安培环路定理
第十一章 稳恒磁场
例4 无限长载流圆柱面的磁场
L1
r
IR
L2 r
0I B
2π R
oR r

解 0 r R, B d l 0 l r R, l B d l 0I
B0 B 0I
2π r
三、安培环路定理的应用
B dl 0 Ii
当场源分布具有高度对称性时，利用安培环路定理


0I
2π
d
B1 dl1 B2 dl2 0

l B d l 0
多电流情况
I1
I2
I3
l

B B1 B2 B3

Bdl
l
0(I2
I3)
以上结果对任意形状
的闭合电流（伸向无限远 的电流）均成立.
安培环路定理

n
I1 I2 20A
如图取微元
dm B dS Bldr
B 0I1 0I2 2r 2 (d r )

B
I1

r dr
I2
l
方向
r1
r2 d r3
m

dm

r1 r1

r2
[
0 I1 2r

0 I2 ]ldr 2 (d r)
0 I1l ln r1 r2 0 I2l ln d r1
计算磁感应强度
1. 无限长载流圆柱导体的磁场分布
I
已知：I、R
R
电流沿轴向，在截面上均匀分布
分析对称性
电流分布——轴对称
磁场分布——轴对称
B 的方向判断如下：
r
dS1
O
l
dS2
dB dB2 dB1
P
作积分环路并计算环流
如图 r R


B dl


Bdl

2rB
利用安培环路定理求
倍。
0

表达式
B dl
L
0
Ii
i
I n1
I2
符号规定：穿过回路 L 的电
流方向与 L 的环绕方向服从右
Ink
手关系的，I 为正，否则为负。 I1
Ii
不穿过回路边界所围面积的电流不计在内。
2. 安培环路定理的证明：无限长直电流的磁场
载流长直导线的磁感强
度为 B 0I
2π R
求:两线中点 BA
过图中矩形的磁通量
I1
A BA
I2
l
解：I1、I2在A点的磁场
B1

B2

0 I1 2 d 2
2.0 105T
r1
r2 d r3
d 40cm
BA B1 B2 4.0 105T
r2 20cm
l 25cm
方向
r1 r3 10cm
L
I
d r

B
dl
L
I Ⅹ d
r
B
dl

B dl
L
B cosdl 0 I rd 0 I
L
L 2 r
2
2
0 d 0 I
若电流反向，则为 0I
如果规定与L 绕向成右旋关系 I 0 ，反之 I 0
无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外部磁场 为零.
11 – 4 安培环路定理
例2
求载流螺绕环内的磁场

解 1） 对称性分析； 环内 B
线为同心圆，环外 B 为零.
2）选回路 .
l B dl 2π RB 0NI
B 0NI
2π R
第十一章 稳恒磁场
d
R
令 L 2πR B 0 NI L
数和与真空磁导率的乘积.
成立条件：稳恒电流的磁场
L : 场中任一闭合曲线 — 安培环路（规定绕向） B : 环路上各点总磁感应强度（包含空间穿过 L ，
不穿过 L 的所有电流的贡献）

L
B dl
0 Ii
(穿 过L)
Ii : 穿过以 L为边界的任意曲面的电流的代数和.
(穿 过L)
B 0I 2r
练习：同 求轴B的的两分筒布状。导线通有等值反向的电流I,
(1) r R2 , B 0
R2
R1
(2)
R1

r

R2 ,
B

0I 2r
I
rI
(3) r R1, B 0
2.长直载流螺线管的磁场分布
已知：I、n(单位长度导线匝数) 分析对称性 管内磁力线平行于管轴 管外靠近管壁处磁场为零

L L L B dl// 0
cos 0
0 I (I穿过L)
0 (I不穿过L)
5）空间存在多个长直电流时
I1
I4
I2
I3
L
由磁场叠加原理


B B1 B2 Bn



B dl L
L
( B1
B2


Bn
I
B
dl
l
B

dl


0
2π
I dl R
oR
l
B dl
0I
dl
l
2π R l

B dl
l
0I
设闭合回路 l 为圆形 回路（l 与 I成右螺旋）
I
B
dl
oR
l
d
dl
B
Ir
l
l 与 I 成右螺旋
若回路绕向化为逆时针时，则
l
B
统一为： B dl 0 I L
3）闭合路径不包围电流

B dl B dl B dl
Lຫໍສະໝຸດ Baidu
L1
L2
0I ( d d )
2 L1
L2
0I ( ) 0
2
I
L2
L1


穿过 L的电流：对B 和 L B dl 均有贡献
当 2R d 时，螺绕环内可视为均匀场 .
11 – 4 安培环路定理
第十一章 稳恒磁场
例3 无限长载流圆柱体的磁场
I
解 1）对称性分析 2）选取回路
RR

rR
Bdl l
0I
L
2π rB 0I
B 0I
2π r
r B
0 r R
l
B
d
l

0
π π
B
r
结论：无限长载流圆柱导体。已知：I、R
0 Ir

2
R2
B

0 I
2 r
B
0I 2R
rR rR
B
I
B
O
R
r
讨论：长直载流圆柱面。已知：I、R

B dl Bdl 2rB
0
rR
I


0 I
rR
R
0I B
0 rR

不穿过 L 的电流：对 L 上各点 B 有贡献；

对 L B dl 无贡献。
4）闭合路径不在垂直于电流的平面内
I
L
dl
dl
o
dl //
o L
dl //

B dl B (dl// dl )
L
L

B dl// B dl

dl


0I
2π
2π
0
d

0I
对任意形状的回路
B dl
0I
rd

0I
d
2π r
2π

B dl
l
0I
电流在回路之外
B1
B2
d
I
r1
dl1
dl2
r2
l
B1

0I
2π r1
，
B2

0I
2π r2
B1
dl1

B2
dl2
L

0 (I1

I1
I1
I2)

（0 I1

I
）
2
I1
I2 I3
I1
L
I1

问 1）B 是否与回路 L 外电流有关？


2）若 B d l 0 ，是否回路 L上各处 B 0？ L
是否回路 L 内无电流穿过？
若电流反向：
B dl
2 r 0 I dlcos
)
dl

L B1 dl L B2 dl L Bn dl
0 Ii ( 穿 过L )
2.推广：稳恒磁场的安培环路定理

L
B dl
0 Ii
(穿 过L)
稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任意闭合路径 L
的线积分（环流）等于穿过闭合路径的电流的代

B dl 0 Ii i
磁场没有保守性，它是 非保守场，或无势场

B dS 0
磁力线闭合、无自由磁荷 磁场是无源场
11 – 4 安培环路定理
第十一章 稳恒磁场
二 安培环路定理的应用举例
例1 求长直密绕螺线管内磁场
解 1 ) 对称性分析螺旋管内为均匀场 , 方向沿
轴向, 外部磁感强度趋于零 ，即 B 0 .
L
0 2 r
0I
2 r
2 r
0 dl 0 I
I
L
o
r B
与环路绕行方向成右旋关系的电流对环流的贡献为 正，反之为负。
如果规定 统一为：
与L 绕向成右旋关系 I 0 与L 绕向成左旋关系 I 0

B dl 0I L
2）选择在垂直于导线平面内围绕电流的任意闭合路径

B
B dl 0 I
2rB 0 I
B 0I 2 r
I R
0
r
B
作积分环路并计算环流
如图 r R


B dl


Bdl

2rB

利用安培环路定理求 B

B dl 0 I

0
I
R2
r 2
B

0 Ir 2 R2
I R
I
0
...............
B

I
计算环流

B

dl

b
a
Bdl
cos 0

d
c Bdl cos0
利用安培环路定理求 B

bc
B dl 0 Ii
i 1
安培环路定理

n
B dl 0 Ii
i 1

一闭合即路在径真的空积的分稳的恒值磁，场等中于，磁0感乘应以强该度闭合B 路沿径任
所包围的各电流的代数和.
注意
电流 I 正负的规定 ：I 与 L 成右螺旋时， I 为正；反之为负.

Bdl
11 – 4 安培环路定理
第十一章 稳恒磁场
2 ) 选回路 L .
磁场 B 的方向与
电流 I 成右螺旋.

M
NB
++++++++++++
P
LO

B dl B dl B dl B dl B dl
l
MN
NO
OP
PM
B MN 0nMNI B 0nI