安培环路定理

.
. .. . .. . . .
. . . . . .
B dl μ0 NI
l
0 NI B 2 r
若 R、 R2 R2 R1 1
B
N n 2 r 则： B μ 0nI
. . . . .
. . . . . .. . . . .
R 1 r o R2
11.6 安培环路定理
11.6.1 安培环路定理 11.6.2 安培环路定理的应用
一、安培环路定理
在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度B 沿任意 闭合曲线的线积分（也称B 的环流）,等于穿过该积分 回路的所有电流强度的代数和的 倍。 0
B dl 0 I
L
与环路成右旋关系的电流取正
解
面对称
ab
j
B dl B dl
bc cd da
B dl
B dl B dl
B dl B dl
a c
b
d
b
B
P
a
B 0 j / 2
• 在外部 • 在内部
2 Bab 0abj
c
x
d
B'
推广：有厚度的无限大平面电流
已知：I 、N、R1、R2 N — 导线总匝数
. . 磁感应线分布如图 . 作积分回路如图 . 则B 沿该闭合回路的环流为： .
B dl Bdl 2πrB
根据安培环路定理：
l l
. . . . . .. . . . .
R 1 r o R2
③闭合环路的形状尽可能简单，总长度可求。
3、注意环路方向与电流方向的右旋关系。
思考题：
L1
I1
A r
L1
A点的磁感应强度B =？
例 4 ：半径为 a 的无限长金属圆柱体内挖去一半径为 b(b<a)的无限长柱体，两柱体轴线平行，轴间距d ( d <(a b ) ) 。空心导体沿轴向通有电流 I并沿截面均匀分 布。(1) 求此二柱体轴线联线上任一点M的B；(2) 证明 腔内磁场是均匀磁场。
例： B dl μ0 (I1 I 2 2I3 )
L
I4
I1
l
I2
I3
关于安培环路定理的讨论： ①若电流方向与环路的正方向满足右旋关系，则：
I 0 否则 I 0
② μ0 中 I 为穿过环路总电流，环路外不计。 I ③磁感应强度的环流只与环路内的电流有关，但环路 上一点的磁强是由环路内、外电流共同产生的。 ④此定理仅适用于稳恒电流产生的磁场，故定理仅适用 于闭合的或者无限长的载流导线，而对于回路中的某 一段导线或电流元是不成立的。
.
. .. . .. . . .
. . . . . .
o
R1
R2
r
关于安培环路定理的应用 1、注意应用范围：磁场具有某种空间对称性。 2、积分环路的选择: ①环路必须通过所求场点。 ②环路上各点B 的大小相等，B 的方向平行于线元dl 或一部分环路B 的方向垂直于线元dl，或某一部分 环路上B =0 。
B 0 jd / 2
B 0 jx
d
j
小
一、磁通量
结
B dS BdS cos
s s
二、磁场的高斯定理

S
B dS

L
S
BdS cos 0
三、安培环路定理

B dl 0 Ii
i
四、利用安培环路定理求磁场
自己总结几种常见磁场公式（长直、圆环或盘、螺线管等）
B
B B1＋B2
0
2
J (r r )
0
2
J OO
从上式可见腔内各点的磁感应强度B与N点在腔内 的位置无关。大小为0Jd /2，方向与OO垂直。即 空腔内的场是均匀磁场。
例5 一无限大导体薄平板通有均匀的面电流密度(即通过与电流 方向垂直的单位长度的电流)，大小为j。求平面外磁场的分布.
R1
I
( 1 ) r R2 , B 0
r I
0 I ( 2 ) R1 r R2 , B 2r
( 3 ) r R1 , B 0
例题11.6：一根长直圆柱形铜导体载有电流I，均匀分布 于截面上。在导体内部，通过圆柱中心轴线作一平面 S。 试计算通过每米长导线内S平面的磁通量。 解 在距离导线中心轴线 为 x 与 x +d x 处，作一个 单位长窄条，其面积为 dS 。 dx S dS=1· dx R 窄条处的磁感应强度 1m 0 Ix B 2 2π R 0 Ix dx 通过dS的磁通量为 dΦ BdS 2 2π R R 0 I 0 Ix dx 通过S的磁通量为 Φ dΦ 0 2 2π R 4π
2
r
B1 B2 b O M O J d
B dl
1

B1 2 πr 0 πr J J μ0 Jr B1 2 B2 dl B2 2 π(d r ) 0 π(d r ) 2 J
μ0 Jd M点磁感强度为 B= B1＋B2 B B1 B2 2 方向垂直两轴线联线。从上式可见两轴联线上各点的 磁感强度B大小和方向均相同。
解 (1) 导体中的电流密度为
I J 2 2 π (a b )
利用补偿法
a
J
B1
B2 b O M O J d
半径为a的实心圆柱体在 M点产生的磁感强度为 B1，半 径为b的实心圆柱体在 M点产生的磁感强度为B2，其上 通过的电流方向相反，电流密度相同。
磁感强度用安培环路定理计算 设M点到O点的距离为r, a
根据安培环路定理：
l l
B μ0 I 2πR
r
B dl μ0 I
l
I 2 μ π r 0 2 πR μ 0 Ir B 则： 2 2 πR
0I 2π R
Bo
R
r
讨论：无限 长圆柱面电 流I 的磁场
o R
r
练习题：同轴的两无限长 筒状导线通有等值反向的 电流I,求其磁场分布。
R2
讨论： 如图所示一段导线可以用安培环路定理求出B吗？
θ1 θ2 / 4 0 I B d l cos1 cos 2 dl L
4a 0 I 2 2 2a 4a 2
L
I
2
a
L
1
0 2I 0 I 2
☆
安培环路定理只适用于闭合的载流导线（或无限
静电场
稳恒磁场
E dl 0
l
B dl μ0 I i
l
电场有保守性，它是 保守场，或有势场
磁场没有保守性，它是 非保守场，或无势场
S
E dS ε q i
0
1
S
B dS 0
磁感应线闭合、 稳恒磁场是无源 场
电场线起于正电荷、 止于负电荷。 静电场是有源场
b

l
c
I
B dl B dl B dl B dl Bab
a b c d
c
d
a
根据安培环路定理： B dl Bab μ 0nabI 得：
B μ 0nI
l
无限长直载流螺线管内的磁场：
B μ 0nI
例3：环形载流螺线管内的磁场分布
2：无限长直载流螺线管内的磁场分布 已知：I、n(单位长度线圈匝数)
...............
B
分析对称性
I
管内磁感应线平行于管轴 管外靠近管壁处磁场为零
选择环路如图所示： 则B 沿该闭合回路的环流为：
... ... ... ... .. B
a
d
b
B dl
二、安培环路定理的应用
利用安培环路定理可以求解具有对称性稳恒电流的 磁场分布 解题要点: 1）分析磁场特点，选择适当的积分回路
B dl 3）计算 I i 4）由 B dl I
2）计算
L L 0
i
求B
1：“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布 已知：I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分布 电流及其产生的磁场具有轴对称分布
长），对于任意设想的一段载流导线不成立！！
⑤安培环路定理揭示了磁场的基本性质，磁场是涡旋 的，而电流是磁场涡旋的中心。磁场是无源有旋场， 是非保守场，故不能引入势能的概念。
静电场是有源无旋场
稳恒磁场无源有旋场
静电场的高斯定理反映了电荷以发散的方式激发电场， 凡有电荷的地方，必有电场线从那里发出或汇聚 安培环路定理反映了电流以涡旋的方式激发磁场，凡 有电流地方，其周围必围绕着闭合的磁感应线
作积分回路如图
I
r R
则B 沿该闭合回路的环流为：
R
r
B
B dl Bdl 2πrB
根据安培环路定理：
l l
B dl μ0 I
l
μ0 I 则：B 2πr
R 如图示，当 r 时
作积分回路如图
I
R
I
则B 沿该闭合回路的环流为：
B dl Bdl 2πrB
μ0 J(d r) B2 2
(2) 证明：设N为腔内任一点， 由安培环路定理分别求得
μ0 Jr B1 2
μ 0 Jr B2 2
写成矢量式 0 0 B1 J r B2 J r 2 2 N点的磁感应强度为
B1 B2 a N r r b J O O J d