大学物理-安培环路定理

2rB 0 NI
0 NI B 2r 0 内 外
R1、R2 R1 R2 N n 2r
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . R1
.
r
R2 . .
..
B 0 nI
与无限长螺线管同
B O
.. . . . ...
.
. . . . .
9-2
静电场
1 E dS
S
安培环路定理
恒定磁场
0
q
内
B dS 0
S
有源场
无源场
E dl 0
L
B dl ?
L
保守场
一、 安培环路定理
以无限长直电流的磁场为例说明 1、圆形积分回路
选在垂直于长直载流导线的平面内，以导线与平面 交点o为圆心，半径为 r 的圆周路径 L，其指向与电流 成右旋关系。 I
B 0 nI
4. 无限大载流导体薄板的磁场分布
已知：导线中电流强度 I 单位长度导线匝数n
I
分析对称性
磁力线如图 作积分回路如图 ab、cd与导体板等距
dB
b
a
.........
c
d
计算环流
b c B dl a Bdl cos 0 b Bdl cos 2
L
3、 闭合路径不包围电流
B dl B dl B dl
L L1 L2
1 2
I
L2
0 I 0 I rd rd L 2 r L 2 r 0 I 0 I ( d d ) ( ) 0 L L 2 2
在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度 B 沿任 意闭合曲线的线积分（也称 B的环流），等于穿过该
闭合曲线的所有电流强度（即穿过以闭合曲线为边界 的任意曲面的电流强度）的代数和的 0倍。即：
B d l I 0 L i
说明：
B d l I 0 L i
B dl
L
I
o
L
r
B
2r 0 I 0 I dl 2r 2r L 2r
L
0
dl cos 0
0 I
即： B dl 0 I
L
若电流反向 （积分绕行方向不变） 0 I I LB dl L 2r dl cos o r 0 I 0 I B L dl 2r 2r L 2r
R1
R2
r
例2.如图半径为R 的均匀带电无限长直圆筒， 电荷面密度 ，筒以速度 绕其轴 转动。求圆筒内部的 B。
R

L i
. . ..

Bo 0R 方 向: 平 行 轴 向 右
q
2 RL
思路：当成螺线管看待 总电流
j ( 2R L )
N j Bo 0 nI O 0R L N
解：作安培环路abcd
I
B dl 2BL
内
dB1
d dB
dB2
P
c
＝jL
a
2 BL 0 j L

o
B
0 j
2
L
b百度文库
（作公式用）
无限大平面
在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为 均匀磁场，方向相反。
磁场与电场分布的特殊对称情况对比：
电场 球对称：
b) B :环路上各点的磁感应强度（包含空间穿过 L ，
不穿过 L 的所有电流的贡献）
a) 成立的条件：恒定电流的磁场
c) L : 场中任一闭合曲线
— 安培环路（规定绕向）
d)
I 穿过以 L 为边界的任意曲面的电流的代数和
规定： 与 L 绕向成右旋关系 与 L 绕向成左旋关系
e) I i 0 时，B 不一定为零。
dI
' dB
dB
P
a) 若 r R B dl Bdl 2rB
利用安培环路定理求 B
I
内
＝I
I
0
R
r
B
2rB 0 I
0 I B 2r
1 r
a ) 若r R
B dl Bdl 2rB
2 I Ir 2 I r 2 内 R 2 R 利用安培环路定理求 B
磁场 不存在
轴对称：
电场
平面：
磁场
求解： E dS qi 0
S
B dl 0 I
L
L3
L 1 2I L 2 I L3 L4
( D )
二、安培环路定理的应用
B dl 0 I i
当磁场分布具有高度对称性时，利用安培环路定 理计算磁感应强度，可使计算大大简化。
步骤： 1）对称性分析
2）选取回路，并规定绕行方向 3）利用 B dl 0 I i 进行计算
Ii 0
Ii 0
如图，磁感应强度沿
l
的环流？
B dl 0 I i 0 ( I 2 I 3 )
由环路内电流决定
I1 I4
l
I2
I3
B dl 0 I i 0 ( I 2 I 3 )
由环路内外电流产生
B 的环流：只与穿过环路的电流代数和有关
I
单位长度上的匝数 n
1）分析对称性
管内磁力线平行于管轴 管外靠近管壁处磁场为零
...............
B

I
2）选取回路
M N 作矩形安培环路，如图 +++ + + + ++++++ 规定：顺时针绕向为正 L O P O M N p Bdl Bdl Bdl Bdl Bdl
B dl Bdl 2rB
0 I 0
0 B 0 I 2r r R rR
r R r R
I
R
0 I B 2R
O
R
r
练习：同轴的两筒状导线通有等值反向的电流I,
求 B的分布。
(1) r R2 , B 0
0 I ( 2) R1 r R2 , B 2r
R2
R1
I
r I
(3) r R1 , B 0
& 均匀带电球型分布在 空间任一点所产生的场 强可用一个公式表示
& 电流轴对称分布在空间 任一点所产生的磁感应强 度可用一个公式表示
E
4 0 r 2
q
0 I B 2r
0 I
即： B d l ( I ) 0
L
2、任意积分回路
在垂直于导线平面内围绕电流的任意闭合路径积分
L
B dl B cosdl
L L
I
r
d
B
dl
若电流反向 B dl 0 ( I ) L
0 I cos dl L 2r 0 I I 0 rd 2 L 2r 2 即： B dl 0 I
0 I B 2r 0 Ir B 2R 2 0 I B 2r
电场、磁场中典型结论的比较
2、 无限长直载流螺线管内磁场

B

B:
环路所包围的电流
与空间所有电流有关
不变
?
I4
B dl 0 I i 0 ( I 2 I 3 )
?
不变
?
I1
l
改变
I2
I1
I3
I2
I4
l
位置移动
I3
静电场
稳恒磁场
B dl 0 I i
i
E dl 0
电场有保守性，它是 保守场，或有势场
•其中∑I 为穿过过场 点所做的同心圆内的 电流代数和
•其中∑q 为过场点 所做的同心球面所包 围的电荷代数和
电荷均匀分布 长直线 长 直 圆 柱 面
长 直 圆 柱 体 内 外
电流均匀分布
E 2 0 r
E0
0 I B 2r
B0
内
外
E 2 0 r r E 2 0 R 2 E 2 0 r
磁场没有保守性，它是 非保守场，或无势场
1 s E dS 0 qi
电力线起于正电荷、 止于负电荷。 静电场是有源场
B dS 0
磁力线闭合、 无自由磁荷 磁场是无源场
练习：如图，流出纸面的电流为 2I ，流进纸面的电 流为 I ，则下述各式中那一个是正确的? ( B) B dl 0I ( A) B dl 2 0I L2 L1 ( D) B dl 0I (C ) B dl 0I L4
l M N O P
B
利用安培环路定理求 B
B MN 0nMNI
B MN
B 0 nI
方向可由右手螺旋法定。 无限长直螺线管内为均匀磁场
3、求螺线环内的磁感应强度 已知：I 、N、R1、R2 N——导线总匝数
. 解 1） 对称性分析；环内 B . 线为同心圆，环外 B 为零. .
1 2
L1
4 空间存在多个长直电流时，由磁场叠加原理
LB dl L( B1 B2 Bn ) dl LB1 dl LB2 dl LBn dl 0 I i
( L内)
安培环路定理
Bdl cos 0 d Bdl cos
d c
a

2
B ab B cd
利用安培环路定理求 B
2B ab 0 n ab I
2B ab
b
a
.........
c
d
B 0 nI 2
(习题课用)
板上下两侧为均匀磁场
练习：无限大薄导体板均匀通过电流，求磁场分布。 设：单位宽度的电流为 j
I
R
I
B
0
r
Ir 2rB 0 2 R
2
0 Ir B 2 2R
r
结论：无限长载流圆柱导体。已知：I、R
0 Ir 2R 2 B 0 I 2r r R r R
B 方向与 I 指向满足右旋关系
B
0 I 2R
B
I
R
B
O
r
讨论：长直载流圆柱面。已知：I、R
例.
总长均为 L(足够长) 的两根细导线， 分别均匀地平绕在半径为R 和 2 R 的两个长 直圆筒上，形成两个螺线管，载有电流均为 I ,求得两管轴线中部的磁感应强度大小 B1 和 B2 应满足：
（A ） B 1 = 2 B 2 （C） B1 = B2 √
根据:
(习题课用)
（B） 2B1 =B2 （D） B1 = 4B2
2) 作积分回路如图 过环内一点，以半径r作 一圆形闭合路径，方向： 沿顺时针方向。
环流： B dl Bdl 2rB
.
. . . .. . .. . . R1
.
.
r
R2 . .
. .
..
. . . . .
.. . . . . ...
I
内
＝NI
I
利用安培环路定理求 B
1. 无限长载流圆柱导体的磁场分布 已知：I、R，电流沿轴向， 在截面上均匀分布 1）对称性分析： 在 I 平面内，作以 为中心、 半径 的圆环 L ，
I
R
L上各点等价： B 大小相等，方向沿切向 。
磁场分布——轴对称
r
o
2）选取回路
以 L 为安培环路，逆 时针绕向为正:
o r L L ' dI