7-4 安培环路定理

7 – 4 安培环路定理
所以单位长度导线内的磁通量为
R
第七章 稳恒磁场
Φ = ∫ dΦ = ∫
S
0
0 I 0 I rdr = 2 2πR 4π
例10、图中所示的是一根外半径为 1的无限长圆柱形导体 、图中所示的是一根外半径为R 管内空心部分的半径为R 空心部分的轴与圆柱的轴 管，管内空心部分的半径为 2,空心部分的轴与圆柱的轴 相平行但不重合，两轴相距为a,且 现有电流I沿导体 相平行但不重合，两轴相距为 且a>R2,现有电流 沿导体 现有电流 管流动，电流均匀分布在管的横截面上， 管流动，电流均匀分布在管的横截面上，而电流方向与 管的轴线平行。 管的轴线平行。求： （1）圆柱轴线上磁感强度的大小； ）圆柱轴线上磁感强度的大小； （2）空心部分轴线上的磁感强度的大小； ）空心部分轴线上的磁感强度的大小； （3）设R1=10mm,R2=0.50mm, a=5.0mm, I=20A, 分别计算 ） 上述两处磁感强度的数值大小。 上述两处磁感强度的数值大小。
B=
0 I
I
.
B
dB
dI
B
7 – 4 安培环路定理
第七章 稳恒磁场
B 的方向与 I 成右螺旋 0 Ir B= 2 0 < r < R, 2π R 0I r > R, B= 2π r
I
0I
2π R
B
R
o R
r
7 – 4 安培环路定理
例4 无限长载流圆柱面的磁场
L1
第七章 稳恒磁场
r
R
0 I
2π R
7 – 4 安培环路定理
二 安培环路定理的应用举例
第七章 稳恒磁场
例1 求长直密绕螺线管内磁场
解 1 ) 对称性分析螺旋管内为均匀场 , 方向沿 轴向, 轴向 外部磁感强度趋于零 ，即 B 0 .
7 – 4 安培环路定理
2 ) 选回路
第七章 稳恒磁场
L.
M N +++ + + + ++++++ L O P
I
7 – 4 安培环路定理
第七章 稳恒磁场
Bdl = 0 (I1 + I1 I1 I2 ) ∫
L
I1 I1
L
I2 I 3 I1
= 0 I1 + I2） （
外电流有关？ 问 1） B 是否与回路 L 外电流有关？ ） 2）若 ）
∫ Bd l = 0 ，是否回路 L上各处 B = 0？
L
内无电流穿过？ 是否回路 L 内无电流穿过？
∫L B dl = 0 ∑ I i ∫ab B dl = 0 ∑ I i B ab = 0 j ab B = 0 j
方向向右
第七章 稳恒磁场 例7、有一同轴电缆，其尺寸如图所示。两导体中的电流 、有一同轴电缆，其尺寸如图所示。 均为I,但电流的流向相反 导体的磁性可不考虑。 但电流的流向相反， 均为 但电流的流向相反，导体的磁性可不考虑。试计算 以下各处的磁感强度: 以下各处的磁感强度 (1)r<R1;(2) R1<r<R2;(3)R2<r<R3; (4)r>R3.画出 图线。 画出B-r图线 画出 图线。 分析 同轴电缆导体内的 电流均匀分布， 电流均匀分布，其磁场呈 R2 R3 轴对称，取半径为r的同心 轴对称，取半径为 的同心 圆为积分路径， 圆为积分路径，利用安培 环路定理，可解得各区域的磁感强度。 环路定理，可解得各区域的磁感强度。 I 解 由上述分析得 B1 dl = 0 πr 2 B = 0 Ir 2 ∫L 1 2 πR1 2πR1 当 r<R1时 I B1 2πr = 0 πr 2 2 πR1
7 – 4 安培环路定理
一、安培环路定理 静电场环路定理
l
第七章 稳恒磁场
如右图所示，真空中无限长 如右图所示， 载流直导线在任意点的磁感 强度大小为 I
∫ E dl = 0 磁感强度沿任意闭合路径积分 B d l = ? ∫
l
I
o
B
dl
R
B=
0
B沿右图圆周积分为 沿右图圆周积分为
l l
2π R
0 I 2 B20′ = πR2 2 πR12 πR2
0 I 2 Bo = B20′ = πR2 2 2 πR1 πR2
7 – 4 安培环路定理
（2）如右图所示。 ）如右图所示。
第七章 稳恒磁场 I
Bo′ = B1o + B2o′ R1 R2 B2o′ = 0 而 o 在红色圆环内所围的电流大小为 I I ′′ = πa 2 2 2 πR1 πR2 根据安培环路定理得 ∫l B0′ dl = ∫l ( B1o + B20′ ) dl = 0 I ′′ I B1o 2πa = 0 πa 2 2 πR12 πR2 0 I 0 I 2 2 Bo′ = B1o′ = πa B1o = πa 2 2 2 2 πR1 πR2 πR1 πR2
i =1
n
即在真空的稳恒磁场中， 即在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任 一闭合路径的积分的值， 一闭合路径的积分的值，等于 0 乘以该闭合路径 所包围的各电流的代数和. 所包围的各电流的代数和 注意 正负的规定 电流 I 正负的规定 ：I 与 之为负 为正；反之为负. 螺旋时， L 成右螺旋时，
第七章 稳恒磁场
7 – 4 安培环路定理
即
第七章 稳恒磁场 I R1 o Bo
R2
Bo = B1o + B2o′
（1）依题意，如右图所示。 ）依题意，如右图所示。 B1o=0, 以小圆的圆心为圆心，a为 以小圆的圆心为圆心， 为 半径作一圆周环路，环路上o点的磁 半径作一圆周环路，环路上 点的磁 感强度的方向如图所示。 感强度的方向如图所示。
半径为R 半径为 2的无限长的圆柱体上的电流大小为
I 2 I′ = πR2 2 πR12 πR2
7 – 4 安培环路定理
由安培环路定理得
第七章 稳恒磁场
∫B
l
0
dl = ∫ ( B1o + B20′ ) dl = 0 I ′
l
即
I 2 B2o′ 2πa = 0 πR2 2 2 πR1 πR2
R1
7 – 4 安培环路定理
7 – 4 安培环路定理
当R1<r<R2时
B2 2πr = 0 I
第七章 稳恒磁场 0 I B2 = 2πr
2 2 2 2 2
当R2<r<R3时
π (r R ) B3 2πr = 0 [ I I] 2 π ( R3 R )
2 0 I ( R3 r 2 ) B3 = 2 2 2πr ( R3 R2 )
7 – 4 安培环路定理
例3 无限长载流圆柱体的磁场 解 1）对称性分析 2）选取回路 ） ）
第七章 稳恒磁场
I
R R
r>R
2π rB = 0 I
∫ B d l = 0 I
l
L
r
2π r 2 πr 0 < r < R ∫ B d l = 0 2 I l πR 2 0r 0 Ir 2π rB = 2 I B= 2 R 2π R
7 – 4 安培环路定理
∫ B dl = ∫ B1 dl + ∫ B2 dl
L ab bc
+ ∫ B3 dl + ∫ B4 dl = 0 ∑ I
cd da
由对称性分析可知 与积分路径正交， B1=B3=B;B2 、B4与积分路径正交，所以
∫ B dl = ∫ B dl + ∫ B dl = 2BL = 0 Lj
例2 求载流螺绕环内的磁场 解 1） 对称性分析；环内 B ） 对称性分析； 线为同心圆， 为零. 线为同心圆，环外 B 为零 2）选回路 . ）
第七章 稳恒磁场
∫l B d l = 2π RB = 0 NI
B=
令 当
0 NI
2π R
d
R
L = 2 πR
B = 0 NI L
2R >> d 时，螺绕环内可视为均匀场 .
B
当r>R3时
B4 2πr = 0 ( I I ) = 0
B4 = 0
O 磁感强度B(r)的分布曲线如右图所示 磁感强度 的分布曲线如右图所示 R1 R2 R3 r
7 – 4 安培环路定理
第七章 稳恒磁场
例8、如图所示，N匝线圈均匀密绕在截面为长方形的中 、如图所示， 匝线圈均匀密绕在截面为长方形的中 空骨架上，求通入电流I后 环内外磁场的分布。 空骨架上，求通入电流 后，环内外磁场的分布。 取半径为r的同心圆为积分环路 解 取半径为 的同心圆为积分环路 由安培环路定理得
第七章 稳恒磁场 电流在回路之外
dφ
B1
B2
dl1
B1 =
0 I
2π r1
， B2 =
0 I
2π r2
dl2
B1 dl1 = B2 dl2 =
0 I
2π
dφ
I
r1
r2
l
B1 dl1 + B2 dl2 = 0
∫ B d l = 0
l
7 – 4 安培环路定理
多电流情况
第七章 稳恒磁场
B = B1 + B2 + B3
I3
I1
I2
∫ B d l = (I
l 0
2
I3 )
l
以上结果对任意形状 以上结果对任意形状 任意 的闭合电流（ 的闭合电流（伸向无限远 的电流）均成立. 的电流）均成立
n
安培环路定理
∫ B dl
= 0 ∑ Ii
i =1
7 – 4 安培环路定理
安培环路定理
第七章 稳恒磁场
∫ B dl
= 0 ∑ Ii
0 I
l
l
∫ B d l = ∫ B cos θdl = ∫ 2 π R dl I ∫ B dl = 2π R ∫ dl ∫ B dl = I
0 l l
l
0
第七章 稳恒磁场 上式表明，在稳恒磁场中，B沿闭合路径线积分，等于 上式表明，在稳恒磁场中， 沿闭合路径线积分， 沿闭合路径线积分 闭合路径所包围的电流与真空磁导率的乘积。 闭合路径所包围的电流与真空磁导率的乘积。
L ab cd
B=
0 j
2
第七章 稳恒磁场 例6、两平行板载有大小相等方向相反的电流，面电流 、两平行板载有大小相等方向相反的电流， 求板间磁场？ 板间距比板宽度小得多） 密度为 j, 求板间磁场？ （板间距比板宽度小得多）
7 – 4 安培环路定理
a
b
c
B
d
解：分析
L
板间： 均匀， 板间：B 均匀，方向向右 板外： 板外： B = 0 作环路 L 如图 为正） （I为正） 为正
NO OP PM
磁场 B 的方向与 右螺旋. 电流 I 成右螺旋
B
∫ B d l = ∫ B d l + ∫ B d l + ∫ B d l +∫ B d l
l MN
B MN = 0 n MN I
B = 0 nI
无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外部磁场 为零. 为零
7 – 4 安培环路定理
I
7 – 4 安培环路定理
B
dl
o
R
若电流方向不变， 若电流方向不变，绕行方向反向
l
dφ
∫l B d l = 2π ∫0
0 I
2π r
0 I
2π
dφ = 0 I
ຫໍສະໝຸດ Baidu
对任意形状的回路
dl
B B dl =
rdφ =
= 0 I
0 I
2π
dφ
I
l
r
l
l 与I 成右螺旋
∫ B dl
7 – 4 安培环路定理
B
I
L2
解
r
o R r
=0
0 < r < R,
r > R,
l
∫ Bdl
l
∫ B d l = 0I
B=
B=0 0I
2π r
第七章 稳恒磁场 例5、设电流均匀流过无限大导电平面，其电流密度为 、设电流均匀流过无限大导电平面，其电流密度为j, 求导电平面两侧的磁感强度。 求导电平面两侧的磁感强度。 取矩形回路abcda为积分环路，其 为积分环路， 解 取矩形回路 为积分环路 关于平面对称， 中ab与cd关于平面对称，设ab的长为 与 关于平面对称 的长为 L，由安培环路定理有 ， j c o' d o a b
即
∫ B dl = B 2πr = ∑ I B= ∑I 2πr
l 0
0
R1 R2
若r<R1 ,则： 则
∑ I = 0 所以 若R1<r<R2 ,则： ∑ I = NI 则
若r>R2 ,则： 则
B=0 0 NI B= 2πr B=0
∑I = 0
所以
7 – 4 安培环路定理
第七章 稳恒磁场 均匀地流过半径为R的圆形长导线 例9、电流 均匀地流过半径为 的圆形长导线，试计算 、电流I均匀地流过半径为 的圆形长导线， 单位长度导线内的磁场通过图中所示剖面的磁通量。 单位长度导线内的磁场通过图中所示剖面的磁通量。 解 在导体内围绕轴线取半径 为r的同心圆为积分环路 的同心圆为积分环路 R r (r<R),则环路内的电流为 则环路内的电流为 dr 2 I r 2 ∑ I = π R 2 πr = R 2 I l 2 r 根据安培环路定理有 ∫l B dl = B 2πr = 0 ∑ I = 0 2 I R 0 Ir 所以 B = 2πR 2 在图示剖面上取面积元dS=ldr则穿过该面积元的磁通量 在图示剖面上取面积元 则穿过该面积元的磁通量 0 Ir dΦ = BdS = ldr 2 2πR
7 – 4 安培环路定理
由场的叠加原理可知， 解 由场的叠加原理可知，轴 处的磁感强度B,可看着 线o处的磁感强度 可看着 处的磁感强度 由实心圆柱体（半径为R 由实心圆柱体（半径为 1) 的电流所产生的B 的电流所产生的 1o与小圆 柱体（半径为R 反向通以 柱体（半径为 2)反向通以 电流所产生的B 的叠加。 电流所产生的 2o的叠加。